Μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών. Διδακτική των Μαθηματικών ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών. Διδακτική των Μαθηματικών ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών Διδακτική των Μαθηματικών ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ο ρόλος του διπλού τετραγωνικού πλέγματος ως διδακτικού μέσου/βοηθήματος στο Γυμνάσιο: Η περίπτωση του διπλασιασμού του τετραγώνου. Αθανάσιος Σιδηρόπουλος Επιβλέπων καθηγητής: Αναστάσιος Πατρώνης ΠΑΤΡΑ

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα εργασία είναι αποτέλεσμα εντατικής αναζήτησης και προβληματισμού. Θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον επιβλέποντα καθηγητή Αναστάσιο Πατρώνη για την πολύτιμη βοήθεια, τη στήριξη και τις συμβουλές που μου παρείχε κατά τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της εργασίας. Ακόμα θέλω να ευχαριστήσω τους καθηγητές Δημήτριο Σπανό και Κώστα Ζαχάρο που με τίμησαν με τη συμμετοχή τους στην τριμελή επιτροπή. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον καθηγητή μου Σπύρο Πνευματικό, διότι όλα αυτά τα χρόνια στήριξε ηθικά, ψυχολογικά και πνευματικά τον αγώνα και τις προσπάθειες μου, κατά τη διάρκεια του πρώτου μου πτυχίου ως μαθηματικός, αλλά και κατά τη διάρκεια του μεταπτυχιακού μου διπλώματος. Τέλος, δεν μπορώ να παραλείψω να ευχαριστήσω όλους τους καθηγητές του Τμήματος Μαθηματικών, για την προσπάθεια που κατέβαλαν για να μας διδάξουν, αλλά και για την ουσιαστική βοήθεια που παρείχαν στη διάρκεια των σπουδών μας. 2

3 Αφιερώνω αυτή την εργασία στους γονείς μου Γιάννη και Άντζελα και στον αδερφό μου Γιώργο, για την πολύτιμη βοήθεια και συμπαράσταση που μου προσέφεραν και συνεχίζουν να προσφέρουν όλα αυτά τα χρόνια. 3

4 1. Εισαγωγή Η διδασκαλία των μαθηματικών και ιδιαίτερα της γεωμετρίας στο γυμνάσιο παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες. Η ανωριμότητα της σκέψης των παιδιών, η προκατάληψη για το μάθημα των μαθηματικών, η αφηρημένη φύση του μαθήματος καθώς και άλλοι κοινωνικοί παράγοντες συντελούν στο να δημιουργηθεί αρνητική στάση απέναντι στα μαθηματικά. Το μέρος της γεωμετρίας, σε σύγκριση με αυτό της άλγεβρας, είναι περισσότερο παραγκωνισμένο και παρατηρείται πως η πλειοψηφία των μαθητών βρίσκει δυσκολότερη τη γεωμετρία, παρόλο που δεν έχει ασχοληθεί με αυτή. Σε πείραμα που εκτελέσαμε σε τάξη Β Γυμνασίου σε σχέση με σύγκριση εμβαδών γεωμετρικών σχημάτων, στο πλαίσιο του μαθήματος Διδακτική & Επιστημολογία της Γεωμετρίας, φάνηκε πως μερικοί μαθητές έχουν λανθασμένη εντύπωση περί των ικανοτήτων τους στη γεωμετρία. Συνήθως υποτιμούν τις δυνατότητές τους, ενώ η πραγματικότητα δείχνει αντίθετα αποτελέσματα. Το πείραμα αυτό σχετιζόταν με εμβαδά και σχέσεις μεταξύ γεωμετρικών σχημάτων. Παρατηρήθηκε όμως πως κάποιοι μαθητές, ενώ είχαν την εντύπωση πως δεν τα καταφέρνουν με τη γεωμετρία, έδωσαν απαντήσεις ικανοποιητικές σε μεγάλο βαθμό. Η αντίληψη και η διαίσθηση τους, έδιναν σωστές απαντήσεις και συλλογισμούς. Μπορούμε να πούμε πως υπήρχε, εκτός των άλλων, μια δυσκολία στη χρήση όρων και συμβόλων. Επομένως, θα λέγαμε πως το πρόβλημα βρισκόταν κυρίως στη χρήση της μαθηματικής γλώσσας, παρά στον τρόπο σκέψης. Ο στόχος αυτής της εργασίας είναι να ερευνήσουμε σε ποιο βαθμό βοηθάει το διπλό τετραγωνικό πλέγμα στην κατανόηση της γεωμετρίας καθώς και στην διδασκαλία των άρρητων μεγεθών. Από άλλες σχετικές έρευνες έχει φανεί πως το τετραγωνικό πλέγμα είναι ένα διδακτικό μέσο κατάλληλο για την διευκόλυνση και κατεύθυνση των μαθητών, προς την κατάκτηση μέρους της γεωμετρικής γνώσης. 4

5 Ενδεχομένως εάν οι μαθητές εμπιστευτούν τη διαίσθησή τους και αντιληφθούν πως τα μαθηματικά δεν είναι απλώς σύμβολα, τότε θα ξεπεράσουν το στάδιο της φοβίας για τα μαθηματικά και θα περάσουν στο στάδιο της σκέψης για τα μαθηματικά. 2. Θεωρητικό πλαίσιο και αντικείμενο της έρευνας Μια από τις ανάγκες του ανθρώπου, εκτός των άλλων, είναι και η επικοινωνία με άλλους ανθρώπους, είτε έμμεσα, είτε άμεσα. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτή η επικοινωνία, έχουν επινοηθεί κάποια μέσα. Μπορούμε να αναφέρουμε κάποια μέσα επικοινωνίας όπως είναι το βιβλίο, το ραδιόφωνο, η τηλεόραση, ο κινηματογράφος, το διαδίκτυο κ.α. Το μέσο επικοινωνίας το οποίο μεταδίδεται από έναν πομπό προς ένα δέκτη, προϋποθέτει μια ουσία του σημείου και ένα υπόβαθρο και φορέα αυτής της ουσίας. Κατά τον McLuhan 1, τα μέσα επικοινωνίας αποτελούν επεκτάσεις των αισθήσεών μας και των λειτουργιών μας. Παράδειγμα, ο τροχός επέκταση των ποδιών, το ένδυμα επέκταση του δέρματος, τα ηλεκτρονικά κυκλώματα επέκταση του κεντρικού νευρικού συστήματος κ.ο.κ. Αλλοιώνουν και συχνά ανατρέπουν τις σχέσεις μας με το περιβάλλον μας. Σύμφωνα με τον McLuhan, τα μέσα επικοινωνίας διαιρούνται σε δύο ομάδες, σε θερμά και ψυχρά. Όσο μεγαλύτερος είναι ο όγκος των πληροφοριακών στοιχείων, για ένα δεδομένο μήνυμα, τόσο πυκνότερη είναι η πληροφορούσα ουσία, τόσο πιο θερμό το μήνυμα. Για παράδειγμα η ομιλία είναι πιο ψυχρή από την γραφή, η ιδεογραφική 2 γραφή πιο ψυχρή από την αλφαβητική γραφή, μια καρικατούρα είναι πιο ψυχρή από ένα πορτραίτο. 1 Βλ. σχετικά βιβλία [3] και [3α] 2 Ιδεογραφική γραφή: Η πρώτη μορφή της ήταν η προσπάθεια πιστής ζωγραφικής αναπαράστασης των διάφορων αντικειμένων του εξωτερικού κόσμου, με την οποία ή εννοούσαν αυτά τα ίδια τα αντικείμενα τα οποία και ζωγράφιζαν ή διάφορες άλλες ιδέες που αντιστοιχούσαν στη ζωγραφική τους. Γι' αυτό το λόγο και η γραφή αυτή ονομάζεται ιδεογραφική και τα γράμματα της γραφής αυτής λέγονται ιδεογραφήματα. Από την ιδεογραφική γραφή προήλθε η ονομαζόμενη εικονογραφική. 5

6 Σε ένα θερμό μήνυμα, η έννοια (το νόημα του μηνύματος) δίνεται από τον πομπό, ενώ σε ένα ψυχρό μήνυμα δίνεται (σε μεγαλύτερο ή μικρότερο ποσοστό) από τον δέκτη, που βρίσκεται, από αυτό και μόνο το γεγονός, ανακατεμένος στην επικοινωνία. Ας πάρουμε το παράδειγμα της ιδεογραφικής και αλφαβητικής γραφής. Ένα σύμβολο στην ιδεογραφική γραφή μπορεί να ερμηνευτεί διαφορετικά από δυο διαφορετικούς δέκτες, ενώ αντίθετα οι κανόνες της αλφαβητικής γραφής καθορίζουν ακριβέστερα τις έννοιες των λέξεων, επομένως το νόημα καθορίζεται ως επί το πλείστον από τον πομπό και το περιθώριο διαφορετικής ερμηνείας από τον δέκτη ελαχιστοποιείται. Έτσι, το εξαιρετικά θερμό πρόγραμμα μιας εξειδικευμένης εργασίας, η οποία παρέχει στον εργαζόμενο κάθε αναγκαία για τη δουλειά του πληροφορία, αυτόματα του στερεί μ αυτό τον τρόπο κάθε εκλογή, κάθε απόφαση και κάθε συμμετοχή, πράγμα το οποίο μπορεί να αντιτεθεί το σύστημα οδηγιών κανόνων και συνταγών μιας ψυχρής βιοτεχνικής εργασίας. Από την άποψη αυτή, η επιστήμη είναι θερμή και η (μοντέρνα) τέχνη ψυχρή, ο δυτικός πολιτισμός είναι θερμός και οι πρωτόγονοι ή υποανάπτυκτοι πολιτισμοί ψυχροί, η αστική ζωή είναι θερμή ενώ η αγροτική ζωή ψυχρή. Κατά τον McLuhan, ήδη από τις τελευταίες δεκαετίες του 20 ου αιώνα περνάμε από ένα θερμό σ έναν ψυχρό πολιτισμό, εξαιτίας της αλλαγής των μέσων επικοινωνίας κι εξαιτίας, ιδιαίτερα, της υποκατάστασης του βιβλίου από την τηλεόραση, της μηχανοποίησης από τον αυτοματισμό, των εικονικών από τις ανεικονικές τέχνες κ.ο.κ. Παρακάτω βλέπουμε κάποια ταξινομημένα παραδείγματα 3 θερμών και ψυχρών μέσων επικοινωνίας συγκεντρωμένα σ ένα πίνακα. 3 Τα παραδείγματα αυτά είναι από το βιβλίο [3α] 6

7 ΘΕΡΜΑ Πορτραίτο Φωτογραφία, κινηματογραφική ταινία Γραφή Αλφαβητική γραφή Δυτικός πολιτισμός (μέχρι τη δεκαετία του 1960) Αστική ζωή ΨΥΧΡΑ Καρικατούρα Τηλεοπτική εικόνα Ομιλία Ιδεογραφική γραφή Πρωτόγονος πολιτισμός Αγροτική ζωή Πίνακας 1 (Προσαρμογή από το βιβλίο [3α]) Ακολουθούμε τη γενική θεωρία μετάδοσης της πληροφορίας του McLuhan, πάνω στην οποία στηριζόμαστε, προκειμένου να κατατάξουμε σε θερμά ή ψυχρά τα διδακτικά μέσα τα οποία χρησιμοποιούνται στο βιβλίο της Α Γυμνασίου, και πιο συγκεκριμένα στο μέρος της Γεωμετρίας. Συγκεκριμένα, ως θερμά διδακτικά μέσα μπορούμε να θεωρήσουμε αυτά τα οποία ενσωματώνουν μια αυστηρή μαθηματική δομή, με την οποία ο μαθητής καλείται να εξοικειωθεί προκειμένου να τα χρησιμοποιήσει για συγκεκριμένο διδακτικό σκοπό. Αντίθετα ως ψυχρά διδακτικά μέσα μπορούμε να θεωρήσουμε αυτά τα οποία, αν και σχετικά πιο εύχρηστα από το μαθητή και χωρίς να απαιτούν ιδιαίτερη εξοικείωση, δεν είναι μονοσήμαντα προσανατολισμένα σε ένα σκοπό ώστε από μόνα τους να οδηγήσουν το μαθητή σε ορισμένες ενέργειες, χωρίς τις δικές του επιλογές. Παράδειγμα: ο αβαθμολόγητος κανόνας και ο διαβήτης είναι ψυχρά διδακτικά μέσα, ενώ το υποδεκάμετρο είναι θερμό. Το υποδεκάμετρο ως μέσο μέτρησης του μήκους, ενσωματώνει τα εξής 4 : Μια δεδομένη μονάδα μήκους, τη διαδοχική επανάληψη της πάνω σε ευθεία γραμμή, καθώς και την υποδιαίρεση της σε μικρότερες μονάδες. Ενώ αντίθετα ο αβαθμολόγητος κανόνας έχει απλούστερη δομή, επομένως μπορούμε να το εντάξουμε στα ψυχρά διδακτικά μέσα. 4 Βλ. σχετικά άρθρο [7]. 7

8 Παρακάτω στον πίνακα 2 έχει γίνει μια ταξινόμηση των διδακτικών μέσων που χρησιμοποιούνται στο βιβλίο της Α Γυμνασίου στο μέρος της Γεωμετρίας. Τα διδακτικά μέσα είναι τοποθετημένα πάνω σε έναν άξονα, από τα θερμότερα προς τα ψυχρότερα. Οι αριθμοί αναφέρονται στα εξής διδακτικά μέσα από το ένα ως το τέσσερα κατά αντιστοιχία ως εξής: (1)Υποδεκάμετρο & βαθμολογημένος γνώμονας, (2)Υπολογιστική μηχανή, (3)Τετραγωνισμένο χαρτί & διπλό τετραγωνικό πλέγμα, (4)Διαφανές χαρτί, διαβήτης ως διαστημόμετρο (5)Διαβήτης, αβαθμολόγητος κανόνας & γνώμονας ως όργανα γεωμετρικών κατασκευών. Ταξινόμηση διδακτικών μέσων από τα περισσότερο θερμά στα λιγότερο θερμά ή περισσότερο ψυχρά Πίνακας 2 Το τετραγωνισμένο χαρτί και το διπλό τετραγωνικό πλέγμα τα τοποθετήσαμε κοντά στο κέντρο του άξονα διότι από τη μια πλευρά είναι θερμά διδακτικά μέσα, καθώς ενσωματώνουν μια συγκεκριμένη μαθηματική δομή, με την οποία ο μαθητής καλείται να εξοικειωθεί, όμως από την άλλη, για να αντιμετωπιστούν γεωμετρικά προβλήματα, όπως αυτό του διπλασιασμού του τετραγώνου απαιτείται μια πιο ψυχρή σκέψη που να μην προσανατολίζεται σε παγιωμένες 8

9 αντιλήψεις οι οποίες οδηγούν το μαθητή να βλέπει το πλάγιο τετράγωνο ως ρόμβο και όχι ως τετράγωνο. Στα σχολικά βιβλία μαθηματικών αυτό που παρατηρούμε είναι πως το τετράγωνο παρουσιάζεται σχεδόν πάντα με τις δυο πλευρές παράλληλες στο επίπεδο, με αποτέλεσμα το πλάγιο (στραμμένο) τετράγωνο να αδυνατούν να το δουν ως τετράγωνο 5. Συγκεκριμένα, όπως θα δούμε και παρακάτω, ένας μαθητής γράφει: το σχήμα αυτό είναι ρόμβος που αν το γυρίσουμε (στρέψουμε κατά 45 γύρω από τον εαυτό του), τότε το σχήμα είναι τετράγωνο. Οι εικόνες του παρακάτω πίνακα είναι από το βιβλίο της Α Δημοτικού και Α Γυμνασίου αντίστοιχα. Πίνακας 3 5 Όπως θα δούμε παρακάτω, το φαινόμενο αυτό παρατηρήθηκε και στους μαθητές του συγκεκριμένου πειράματος. 9

10 3. Σχετικές έρευνες στον Ελληνικό χώρο Παρόμοια πειράματα μ αυτό που θα παρουσιάσουμε πραγματοποιήθηκαν σε μαθητές Δημοτικού, Γυμνασίου και Λυκείου στην Ελλάδα αλλά και στο εξωτερικό. Θα αναφερθούμε στα πειράματα που πραγματοποιήθηκαν στον Ελληνικό χώρο και πιο συγκεκριμένα στις έρευνες του Δημήτρη Χασάπη, Γιώργου Κόσυβα και Παναγιώτη Δεληκανλή. Οι έρευνες - τα πειράματα αυτά έχουν ως θέμα το διπλασιασμό του τετραγώνου: δίνεται στους μαθητές ένα τετράγωνο συγκεκριμένων διαστάσεων και ζητείται να σχεδιαστεί ένα άλλο τετράγωνο με διπλάσιο εμβαδόν από το αρχικό. Στο πείραμα του Δημήτρη Χασάπη με μαθητές Ε και ΣΤ Δημοτικού, ζητήθηκε να σχεδιάσουν ένα τετράγωνο που να έχει διπλάσιο εμβαδόν, από ένα ήδη δοσμένο (συγκεκριμένα στο τετράγωνο που φαίνεται στην εικόνα 3.1). Μοιράστηκαν τυχαία στους μαθητές τρία διαφορετικά σχεδιαστικά πλαίσια, λευκό χαρτί, τετραγωνισμένο χαρτί και ένα διπλό τετραγωνικό πλέγμα (εικόνα 3.1). Σ αυτό το πείραμα παρατηρήθηκαν διαφορές στον τρόπο αντιμετώπισης των μαθητών ανάλογα με το σχεδιαστικό πλαίσιο που έχουν στην διάθεσή τους. Οι μαθητές οι οποίοι είχαν λευκό χαρτί παρουσίασαν, ως επί το πλείστον, αλγεβρική προσέγγιση στις απαντήσεις τους. Ενώ οι μαθητές που είχαν στη διάθεση τους τετραγωνισμένο χαρτί ή ένα διπλό πλέγμα λειτούργησαν περισσότερο γεωμετρικά. 10

11 Εικόνα 3.1 Στο άρθρο με τίτλο: Αριθμητική προσέγγιση ή γεωμετρική ακρίβεια; αυθόρμητές αντιλήψεις δωδεκάχρονων που αγγίζουν την αρρητότητα, περιγράφεται άλλο σχετικό πείραμα που πραγματοποιήθηκε από τον Γιώργο Κόσυβα και ως αντικείμενο έρευνας είχε τις αντιλήψεις των μαθητών της Α Γυμνασίου για τα άρρητα μεγέθη. Σ αυτό το πείραμα, όπως και στο προηγούμενο, παρατηρούμε πως υπήρξε αλγεβρική αλλά και γεωμετρική προσέγγιση στην αντιμετώπιση του προβλήματος από τους μαθητές. Επίσης, αξίζει να σημειώσουμε, πως ένα συγκεκριμένο λάθος που έγινε από τους μαθητές στις εργασίες του Κόσυβα αλλά και του Χασάπη με αυτό το θέμα, ήταν το λάθος που έγινε από τον δούλο πριν από 2500 χρόνια, όπως μπορούμε να διαβάσουμε στον Πλατωνικό διάλογο Μένων. Αρκετοί μαθητές λοιπόν σε αυτές τις έρευνες 6, θεώρησαν πως αν διπλασιάσουμε την πλευρά θα διπλασιαστεί και το εμβαδόν. Μια γενικότερη σχετική συζήτηση στη Διδακτική των Μαθηματικών έχει γίνει για το φαινόμενο της Ψευδοαναλογίας. Για παράδειγμα, η Κυριακή Φράγκου στην εργασία της [1] αναφέρει τα εξής: «Ήδη από μικρή ηλικία, τα παιδιά έρχονται σε επαφή με αναλογικές σχέσεις ( ) Η μεγάλη σημασία που δίνεται στο αναλογικό μοντέλο στα πλαίσια των σχολικών μαθηματικών αλλά και από το κοινωνικό περιβάλλον, μπορεί να δημιουργήσει στους μαθητές την ψευδαίσθηση ότι το μοντέλο αυτό μπορεί να εφαρμοστεί παντού (Gagatsis & Kyriakides, 2000). ( ) Η τάση της ευρείας εφαρμογής του αναλογικού μοντέλου, ακόμη και σε μη 6 Αυτό το χαρακτηριστικό λάθος παρατηρήθηκε και στην δική μας έρευνα επίσης. 11

12 γραμμικές καταστάσεις αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως ψευδαίσθηση της αναλογίας («illusion of linearity»), γραμμική παγίδα («linear trap»), γραμμικό εμπόδιο («linear obstacle») ή γραμμική παρανόηση («linear misconception»).» 7 Έχει γίνει μια σημαντική προσπάθεια από διάφορους ερευνητές προκειμένου να διερευνηθεί και έπειτα να ελαττωθεί (στον βαθμό που είναι εφικτό), η τάση των μαθητών να χειρίζονται μη αναλογικά προβλήματα, (όπως είναι τα προβλήματα εμβαδών, που έχουμε και στην παρούσα εργασία) ως αναλογικά. Αυτό το φαινόμενο της ψευδοαναλογίας συναντάται αρκετά συχνά σε ηλικίες ετών, αλλά ακόμα και σε μεγαλύτερους μαθητές ηλικίας ετών. 8 Για παράδειγμα, η τάση των μαθητών να απαντούν, ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου διπλασιάζεται όταν διπλασιαστούν οι πλευρές του, είναι αποτέλεσμα του συγκεκριμένου φαινομένου (De Bock et al., 1998; Modestou & Gagatsis, 2007). 9 Τέλος, η έρευνα του Π. Δεληκανλή η οποία παρουσιάστηκε στο 26 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας δείχνει πως και μαθητές λυκείου έκαναν το παραπάνω συνηθισμένο λάθος, που πιθανόν οφείλεται στο φαινόμενο της ψευδοαναλογίας. Σε αυτή την έρευνα φαίνεται πως το τετραγωνισμένο χαρτί έχει βοηθητικό χαρακτήρα και αυτό αναδείχθηκε και από τις απαντήσεις που έδωσαν οι συγκεκριμένοι μαθητές, αλλά και από την ατομική συνέντευξη που συμμετείχαν κάποιοι από αυτούς. 4. Η έρευνά μας Η παρακάτω έρευνα διεξήχθη τον Απρίλιο του 2012 σε σχολείο της Βόρειας Ελλάδας, συγκεκριμένα σε μια ημιαστική περιοχή στην πόλη της Βέροιας. Το συγκεκριμένο πείραμα που παρουσιάζεται εδώ, ανήκει σε μια ευρύτερη σειρά διδακτικών πειραμάτων που έγιναν, με την εποπτεία του Τομέα Π.Ι.Φ.Μ. του Τμήματος Μαθηματικών, προκειμένου να εξαχθούν συμπεράσματα για τον τρόπο σκέψης των μαθητών του Γυμνασίου στη Γεωμετρία, καθώς και σε δυσκολότερες 7 Κ. Φράγκου [1], σελ Κ. Φράγκου [1], σελ Μοδεστίνα Σ. Μοδέστου [2], σελ

13 έννοιες όπως αυτή των άρρητων μεγεθών. Τα συμπεράσματα της έρευνας καταδεικνύουν τις αυθόρμητες απαντήσεις των μαθητών, οι οποίες μπορεί να έχουν μια ιδιαίτερη διδακτική σημασία. Η εκφώνηση του προβλήματος πάνω στο οποίο εξήχθησαν τα συμπεράσματα φαίνεται παρακάτω στην εικόνα 4.1. Εικόνα

14 Συνοδευτικά δόθηκε στους μαθητές ένα φύλλο Α4, στο οποίο είχε σχεδιαστεί ένα διπλό τετραγωνικό πλέγμα, το οποίο φαίνεται στην εικόνα 4.2. Είναι ένα τετραγωνισμένο χαρτί, που σχηματίζει ένα δεύτερο τετραγωνικό πλέγμα με τις διαγώνιες των τετραγώνων. Το σχεδιασμένο αυτό πλαίσιο έχει κάποια πλεονεκτήματα ως προς τη διδακτική προσέγγιση. Το διπλό αυτό τετραγωνικό πλέγμα μπορεί να παίξει βοηθητικό ρόλο στην εισαγωγή κάποιων εννοιών της Γεωμετρίας, όπως είναι τα εμβαδά σχημάτων ή η συμμετρία, αλλά και στην εκμάθηση Θεωρημάτων όπως είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Το διπλό τετραγωνικό πλέγμα είναι ένα διδακτικό μέσο το οποίο με τη σωστή χρήση και καθοδήγηση από τον καθηγητή μπορεί να παρέχει μεγάλη βοήθεια σε νέους μαθητές που καλούνται να μάθουν βασικές έννοιες, όπως είναι η έννοια του άρρητου μεγέθους. Εικόνα 4.2 Σκοπός μας ήταν, πρώτα να προσπαθήσουν να σκεφτούν ποιες θα είναι οι πλευρές του ζητούμενου τετράγωνου και έπειτα να γίνει προσπάθεια σχεδίασης του τετραγώνου στο πλέγμα που μοιράσαμε στον κάθε μαθητή. Αυτό που θέλαμε να παρατηρήσουμε είναι, σε τι βαθμό και 14

15 πως ακριβώς μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές το διπλό τετραγωνικό πλέγμα στη συγκεκριμένη γεωμετρική κατασκευή. 5. Διαδικασία Το πείραμα εκτελέστηκε σε δύο διδακτικές ώρες. Οι μαθητές είχαν ανησυχία κατά την διάρκεια της πρώτης ώρας του πειράματος. Το είδαν περισσότερο σαν παιχνίδι παρά σαν σχολική εργασία. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να μην έχουμε στα χέρια μας τα επιθυμητά συμπεράσματα και παρατηρήσεις καθώς η συμμετοχή δεν ήταν καθολική. Αναγκαστικά λοιπόν χρειάστηκε και δεύτερη διδακτική ώρα με 7 επιλεγμένα άτομα τα οποία κάθισαν ανά ομάδες με συγκεκριμένο τρόπο, τέτοιο ώστε να προωθηθεί η ομαδικότητα, και να γίνει εναλλαγή στο γνωσιακό επίπεδο των μαθητών. Η δεύτερη διδακτική ώρα έγινε σε κάποια άλλη αίθουσα και όχι στην αίθουσα που συνηθίζουν να κάνουν μάθημα. Οι μαθητές της δεύτερης ομάδας επιλέχθηκαν να καθίσουν με τρόπο τέτοιο ώστε να μην αποσπάτε η προσοχή τους από τον διπλανό συμμαθητή, δηλαδή κάθισαν σε άλλη θέση από αυτή που κάθισε κάποιος κοντινός τους φίλος ή φίλη. Επίσης, τους μαθητές που έδειξαν πως έχουν μεγαλύτερη ευχέρεια με τα μαθηματικά τους βάλαμε να καθίσουν δίπλα σε λιγότερο εξοικειωμένους μαθητές. Κατά την δεύτερη προσπάθεια οι μαθητές ήταν λιγότεροι και η αίθουσα πιο ήσυχη. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να είναι περισσότερο συγκεντρωμένοι και η διδακτική προσέγγιση να έχει μεγαλύτερη επιτυχία. Οι μαθητές λοιπόν που συμμετείχαν στην δεύτερη ομάδα απάντησαν σωστά και στα δύο ερωτήματα, καθώς επίσης κατάλαβαν τη σχέση εξάρτησης μεταξύ εμβαδού και μονάδας μέτρησης, ύστερα από συγκεκριμένα παραδείγματα που τους δόθηκαν. Όταν πλέον η έννοια της μονάδας μέτρησης έγινε κατανοητή από όλους τους μαθητές, τους ζητήθηκε να σχεδιάσουν ένα τετράγωνο με πλευρές 2cm, ένα άλλο με πλευρές 4cm και να υπολογίσουν τα εμβαδά των σχημάτων αυτών με δύο διαφορετικές μονάδες μέτρησης: πρώτα με μονάδα μέτρησης το 1 cm² και ύστερα με μονάδα μέτρησης το ένα από τα τέσσερα ίσα τρίγωνα που σχηματίζουν οι διαγώνιες του εκάστοτε τετραγώνου. Στην 15

16 εικόνα 5.1 φαίνονται οι μονάδες μέτρησης και στην εικόνα 5.2 φαίνεται η απάντηση ενός μαθητή για τα εμβαδά των δυο τετραγώνων εκφρασμένα και στις δυο μονάδες μέτρησης. Εικόνα 5.1 Εικόνα 5.2 Μόλις διαπιστώθηκε η ευχέρεια των μαθητών πάνω στην έννοια του εμβαδού και στον σχεδιασμό τετραγώνων, τους ζητήθηκε να σχεδιάσουν στο ίδιο πλέγμα, ένα τετράγωνο με εμβαδόν 8 cm² (Παράδειγμα γραπτού μαθητή βλέπουμε στην Εικόνα 5.3). Έπειτα να γράψουν ποιά ήταν η σκέψη, που τους οδήγησε στο σχεδιασμό αυτό. 16

17 Εικόνα 5.3 Σ αυτό το σημείο, αξίζει να σημειώσουμε πως αρχικά οι μαθητές δεν είχαν μεγάλη ευχέρεια με τα εμβαδά και επίσης δεν είχαν πλήρως καταλάβει την λειτουργία των μονάδων μέτρησης. Στη πορεία, αυτό που τους βοήθησε να ξεπεράσουν αυτό το γνωστικό εμπόδιο, ήταν η διδακτική παρέμβαση μέσω παραδειγμάτων της καθημερινότητας, όπως είναι το εμβαδόν των σπιτιών ή το εμβαδόν της σχολικής αυλής. Σχεδόν όλοι είχαν ακούσει κάποια στιγμή στη ζωή τους, πως ένα σπίτι είναι x τετραγωνικά μέτρα, χωρίς όμως να έχουν συνδεδεμένη την πρόταση αυτή με τα Μαθηματικά. 17

18 6. Ανάλυση των αποτελεσμάτων 6.1 Πρώτη ομάδα απαντήσεων Οι απαντήσεις των μαθητών κατατάσσονται σε δύο βασικές ομάδες. Η πρώτη ομάδα αποτελείται από μαθητές οι οποίοι απάντησαν μόνο στο πρώτο ερώτημα και η προσέγγιση τους ήταν αλγεβρική. Αυτή την ομάδα την χωρίζουμε σε τρεις υποομάδες: 1. Στην υποομάδα αυτή, οι μαθητές βρίσκουν με πράξεις πως το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου τετραπλασιάζεται, όμως παρόλα αυτά απαντούν πως διπλασιάζεται. Εικόνα Οι μαθητές της δεύτερης υποομάδας απαντούν σωστά πως το εμβαδόν τετραπλασιάζεται. 18

19 Εικόνα Οι μαθητές αυτής της υποομάδας κάνουν πράξεις χωρίς να απαντούν για την μεταβολή που υφίσταται στο νέο τετράγωνο ή απαντούν για την μεταβολή αυτή χωρίς να αιτιολογούν την απάντηση με πράξεις. Εικόνα

20 6.2 Δεύτερη ομάδα απαντήσεων Στη δεύτερη ομάδα οι μαθητές είχαν αλγεβρικό αλλά και γεωμετρικό τρόπο σκέψης στο πρόβλημα. Οι περισσότεροι μαθητές εδώ απάντησαν στο πρώτο ερώτημα με τη βοήθεια τύπων. Μια αξιοσημείωτη παρατήρηση είναι ότι σχεδόν όλοι, ως γράμμα που παριστάνει την πλευρά ενός τετραγώνου θεωρούν το α. Πιθανόν αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, τις περισσότερες φορές, είτε στα σχολικά βιβλία είτε σε άλλα βοηθήματα βλέπουν γραμμένη τη φράση: τετράγωνο πλευράς α. Στο δεύτερο ερώτημα χρησιμοποίησαν το διπλό τετραγωνικό πλέγμα σε συνδυασμό με δική μας παρέμβαση και επεξηγήσεις. Τα αποτελέσματα και οι απαντήσεις των μαθητών στη δεύτερη ομάδα είναι πιο περιεκτικές και ενδιαφέρουσες. Αυτή η προσπάθεια λοιπόν ήταν εμφανώς πιο επιτυχημένη, με την έννοια ότι υπήρχε περισσότερη συμμετοχή από τα παιδιά, καθώς η προσοχή τους ήταν μεγαλύτερη και το ενδιαφέρον τους ήταν επικεντρωμένο στην εργασία και στα ερωτήματα που είχαν να αντιμετωπίσουν. Στα γραπτά των μαθητών της δεύτερης ομάδας είδαμε μια ποικιλία απαντήσεων. Αξίζει να παρατηρήσουμε την απάντηση του Δημήτρη, ο οποίος βρήκε μια προσέγγιση του αριθμού 1, με τη βοήθεια υπολογιστικής μηχανής και σχημάτισε ένα τυχαίο τετράγωνο με πλευρές που έχουν μήκος αυτό τον αριθμό. Όταν όμως πολλαπλασίασε τον αριθμό αυτό με τον εαυτό του, δεν πήρε ως αποτέλεσμα 2 αλλά 1, (Εικόνα 6.4). Έκανε απόπειρα να βρει και άλλους αριθμούς που το γινόμενο με τον εαυτό τους να δίνει 2, όμως δεν τα κατάφερε και απάντησε πως δεν υπάρχει τέτοιο τετράγωνο, καθώς το εμβαδόν του θα είναι λίγο μεγαλύτερο ή λίγο μικρότερο του 2. Ο συγκεκριμένος μαθητής συμμετείχε και στη δεύτερη ομάδα. Κατά τη διάρκεια της πρώτης διδακτικής ώρας, η οποία διήρκησε λιγότερο από 45 λεπτά, δεν ασχολήθηκε με το πλέγμα και την γεωμετρική προσέγγιση του προβλήματος. Όμως την δεύτερη ώρα μετά από παρατήρηση του 20

21 πλέγματος, είδε με διαφορετική σκοπιά το πρόβλημα και φάνηκε πως εγκαταλείπει την αρχική του, καθαρά αριθμητική αντίληψη. Εικόνα 6.4 Παρακάτω θα δούμε μερικές απαντήσεις που έδωσαν οι μαθητές σχετικά με τα εμβαδά των τετραγώνων και τις σκέψεις που έκαναν προκειμένου να σχεδιάσουν το τετράγωνο με εμβαδόν 8 cm². - Σταύρος: «Όταν μετράμε τα τρίγωνα του πρώτου τετραγώνου (4cm²) βλέπουμε ότι είναι 16. Στο τετράγωνο που σχηματίστηκε μέσα στο πρώτο είναι τα μισά (8). Άρα θα μειωθεί το εμβαδόν κατά μισό (1/2)». Σ αυτό το σημείο ο Σταύρος, έχοντας σχεδιάσει τα ζητούμενα τετράγωνα, παρατήρησε και έγραψε κατά πόσο μεταβάλλεται το εμβαδόν του εσωτερικού τετραγώνου. Βλέπουμε λοιπόν, πως οι μαθητές αρχίζουν να κάνουν πολυπλοκότερες σκέψεις και να σκέφτονται πιο ελεύθερα. Ενδεχομένως αυτή η ελευθερία της σκέψης, να πηγάζει από την ικανοποίηση της κατάκτησης της γνώσης. Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται τα σχήματα που σχεδίασε ο Σταύρος. 21

22 Εικόνα Δημήτρης: «Το ένα τετράγωνο είναι 1cm τα 4 είναι 4cm. Το ένα τρίγωνο είναι 0,25cm τα 4 είναι 1cm αν σχηματίσουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν 4cm² και 4 τρίγωνα με εμβαδόν 1cm και τα προσθέσουμε θα μας δώσουν ένα ρόμβο τον οποίο άμα τον γυρίσουμε θα μας σχηματίσει ένα τετράγωνο με...». Μετά τα αποσιωπητικά ο Δημήτρης είναι πιθανό να ήθελε να γράψει: με εμβαδόν 8cm². Είναι φανερό πως δεν έχει ευχέρεια με τις μονάδες μέτρησης. Όμως, παρόλο που συγχέει τις μονάδες μέτρησης μήκους με τις μονάδες μέτρησης εμβαδού στο χαρτί του, στην πραγματικότητα καταλαβαίνει τη διαφορά ανάμεσα στη μια και στις δύο διαστάσεις. Αξιοσημείωτο είναι ότι τα πλάγια (στραμμένα) τετράγωνα, δεν τα αναγνωρίζει ως τετράγωνα 10, αλλά ως ρόμβους. Όπως λέει στο γραπτό του: «το σχήμα αυτό είναι ρόμβος που αν το στρέψουμε κατά 45 γύρω από τον εαυτό του, τότε το σχήμα είναι τετράγωνο». Αυτό το φαινόμενο παρατηρήθηκε και σε άλλους μαθητές. 10 Αυτό το φαινόμενο παρατηρείται και σε άλλους μαθητές. 22

23 Εικόνα Ζωή: «To 1 τετράγωνο είναι 1cm² τα 4 είναι 4cm² γύρω από αυτό έχει το 1/4 των 4 τετραγώνων άρα αν τα προσθέσω όλα μαζί μου βγάζει 8cm». Η Ζωή είναι πιθανό να ήθελε να γράψει 8cm². Εδώ βλέπουμε ακόμα μια περίπτωση δυσκολίας χειρισμού των μονάδων μέτρησης. Το φαινόμενο αυτό παρατηρήθηκε στην πλειοψηφία των μαθητών. 23

24 Εικόνα Λευτέρης: «Σκέφτηκα ένα τετράγωνο με 0,25cm πλευρά άρα εμβαδόν 0,5cm². Μετά μέτρησα 16 τετραγωνάκια που βγαίνει 0,5cm² 16=8cm²». 24

25 Εικόνα Κωνσταντίνος: «Από το τετράγωνο που σχεδίασα τα τρίγωνα είναι 16, από τα τρίγωνα πήρα τα 8 και έκανα ένα μικρότερο αλλά με το ίδιο εμβαδόν και αν το γυρίσω θα είναι κάτι σαν ρόμβος και αν τα ενώσουμε τα δύο τετράγωνα θα μας βγάλει 16 αν τα πολλαπλασιάσουμε με το δύο 8 φορές». Παρακάτω ο ίδιος μαθητής γράφει: «τα τέσσερα τριγωνάκια είναι 1 τετραγωνικό εκατοστό, τα 8 τριγωνάκια είναι 2 τετραγωνικά εκατοστά, 16τρ=4τε ( ) 8 τετραγωνικά εκατοστά». Εδώ ( ) ο μαθητής παρέλειψε να γράψει πως 32 τριγωνάκια είναι 8 τετραγωνικά εκατοστά. Είναι φανερό πως προχωράει το συλλογισμό του αναλογικά. Παρόμοια λειτουργούν και άλλοι μαθητές. 25

26 Εικόνα 6.9 Στην ουσία βλέπουμε πως για να σχεδιάσουν τα ζητούμενα τετράγωνα, οι περισσότεροι μαθητές, μετράνε τα επιμέρους σχήματα, τα οποία αποτελούν τη μονάδα μέτρησης και δημιουργώντας αναλογίες βρίσκουν το απαιτούμενο σχήμα. Επίσης, είναι φανερό πως μερικοί έχουν λανθασμένες αντιλήψεις και ιδέες όσον αφορά σε μαθηματικές έννοιες και ειδικότερα στην έννοια του εμβαδού. Για παράδειγμα, ο Κώστας πιστεύει πως δύο τετράγωνα μπορούν να είναι ισεμβαδικά παρόλο που το ένα είναι μικρότερο σε διαστάσεις από το άλλο. Αυτό δείχνει πως λείπουν θεμελιώδεις γνώσεις από τους μαθητές. Ο συγκεκριμένος μαθητής λοιπόν, ο οποίος θεώρησε πως δυο τετράγωνα διαφορετικών διαστάσεων μπορούν να είναι ισεμβαδικά, προφανώς δεν έχει καταλάβει την έννοια του εμβαδού, παρόλο που μπορεί να υπολογίσει εμβαδά σχημάτων με τη χρήση μαθηματικών τύπων. Εδώ ίσως υπάρχει και μια άλλη εξήγηση. Πολλές φορές το σχήμα ξεγελάει 26

27 και δημιουργεί αντίφαση μεταξύ της γνώσης που έχει ο μαθητής και της οπτικής του αναπαράστασης. Ο Κωνσταντίνος εξισώνει την πλευρά του τετραγώνου με το μισό της διαγωνίου του. Το σχήμα τον πείθει πως τα μήκη αυτά είναι ίσα και αυτό αρκεί. Χωρίς να σκεφτεί κάνει εφαρμογή του μαθηματικού τύπου και βρίσκει το εμβαδόν των δύο τετραγώνων να είναι 4cm². Έτσι τα τετράγωνα βγαίνουν ισεμβαδικά, παρόλο που ο ίδιος έχει παρατηρήσει πως το ένα τετράγωνο είναι μικρότερο από το άλλο. Αξιοσημείωτο είναι, πως ο μαθητής αυτός γνώριζε τον μαθηματικό τύπο του εμβαδού τετραγώνου. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα πως μάλλον αρκετοί μαθητές απλώς απομνημονεύουν τους μαθηματικούς τύπους, δίχως να καταλαβαίνουν ουσιαστικά τις έννοιες πάνω στις οποίες χτίζονται οι τύποι αυτοί. Εικόνα 6.10 Ο Δημήτρης, όπως και κάποιοι άλλοι μαθητές αντιστοίχισαν αναλογικά το εμβαδόν του τετραγώνου πλευράς 1cm, με το εμβαδόν του ενός από τα τέσσερα ίσα τρίγωνα που σχηματίζουν οι διαγώνιές του. Στο δοσμένο πλέγμα, το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων τριγώνων, είναι ίσο με το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς 1cm. Κάποιοι από τους μαθητές δημιούργησαν πίνακα τιμών (εικόνα 6.11) και κάποιοι άλλοι έγραψαν την αντιστοιχία στο χαρτί περιφραστικά. 27

28 Εικόνα 6.11 Παρακάτω βλέπουμε στην εικόνα 6.12 μια αντιστοιχία εμβαδών και σχημάτων, όπως την σκέφτηκε ένας μαθητής. Ο μαθητής αυτός εξέφρασε με διαφορετικό τρόπο την αντιστοιχία που είδαμε προηγουμένως στους πίνακες από άλλους μαθητές. Μπορεί να μην γίνεται σωστή χρήση των συμβόλων, παρόλα αυτά ο μαθητής έχει ξεκάθαρο στο μυαλό του αυτό που θέλει να γράψει. Μετά από δική του διευκρίνιση, εξήγησε πως αυτό που γράφει είναι το εξής: η έκταση που καταλαμβάνει το τριγωνάκι στο χαρτί είναι ίση με το 1/4 της έκτασης που καταλαμβάνει το τετράγωνο πλευράς 1cm. 28

29 Εικόνα 6.12 Οι περισσότεροι μαθητές προκειμένου να σχεδιάσουν το τετράγωνο εμβαδού 8cm², χρησιμοποίησαν 32 τριγωνάκια ή 16 μικρότερα τετραγωνάκια. Ο Λευτέρης για παράδειγμα σχεδίασε το ζητούμενο τετράγωνο μετρώντας μικρότερα τετραγωνάκια με εμβαδόν 0,5cm², όπως μπορούμε να δούμε στην εικόνα Η κάθε τελίτσα που έχει σημειώσει ο μαθητής αυτός στο πλέγμα, δηλώνει εμβαδόν μισού τετραγωνικού εκατοστού. Εικόνα

30 Ο ίδιος μαθητής ερμήνευσε την σκέψη που τον οδήγησε να σχεδιάσει το ζητούμενο τετράγωνο της ερώτησης 2 γράφοντας το εξής: «Είπα ότι το 1 τριγωνάκι είναι 0,25 και μέτρησα 8 τριγωνάκια και έκανα 0,25 8=2cm² και άμα τα ένωνα έβγαινε τετράγωνο». Έπειτα από παρότρυνση ο μαθητής εξηγεί τι εννοεί με την φράση του το 1 τριγωνάκι είναι 0,25 ως εξής: «ένα τετράγωνο με πλευρές 1cm έχει εμβαδόν 1cm² δηλαδή άμα το διαιρέσεις με το 4 βγαίνει 0,25cm. Εδώ έχετε τέσσερα τρίγωνα σε ένα τετράγωνο με πλευρά 1cm το ένα πρέπει να είναι 0,25cm² γιατί 1cm²:4=0,25cm² το τετράγωνο το χωρίζετε σε 4 ίσα μέρη». 7. Επίλογος - Συμπεράσματα Έχοντας μελετήσει αρκετές εργασίες σχετικές με τη διδακτική της Γεωμετρίας και πιο ειδικά σχετικές με το δικό μας θέμα, παρατηρούμε ομοιότητες αλλά και διαφορές. Όμως καλό θα ήταν να κρατήσουμε κάποιες επιφυλάξεις για τον βαθμό γενίκευσης των αποτελεσμάτων. Ίσως μπορούμε να βγάλουμε κάποιες γενικές παρατηρήσεις που μπορούν να φανούν χρήσιμες, όμως δεν μπορούμε να παραβλέψουμε πως οι έρευνες και τα σχετικά ευρήματα, αφορούν τους συγκεκριμένους μαθητές κάτω από τις συγκεκριμένες συνθήκες. Ενδεχομένως σε μια άλλη τάξη με άλλους μαθητές να παρατηρήσουμε τελείως διαφορετικές συμπεριφορές και να έχουμε διαφορετικά συμπεράσματα. Ενώ πολλές εργασίες στον ελληνικό χώρο στηρίζονται στη θεωρία του Vygotsky για τα εκπαιδευτικά εργαλεία, η δική μας προσεγγίζει το ζήτημα από τη σκοπιά οπτική γωνία της θεωρίας του McLuhan για τα μέσα επικοινωνίας. Θεωρούμε το διπλό τετραγωνικό πλέγμα ως ένα διδακτικό μέσο βοήθημα σκέψης που μεταφέρει κάποια γνώση στο μαθητή. Πιο συγκεκριμένα, το θεωρούμε ως μέτρια θερμό διδακτικό μέσο το οποίο με την κατάλληλη χρήση και σωστή καθοδήγηση από τον διδάσκοντα μπορεί να αποτελέσει σημαντικό βοήθημα για την εξέλιξη των γεωμετρικών γνώσεων του μαθητή του γυμνασίου. 30

31 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Παρατηρήσεις σχετικά με τα διδακτικά μέσα-βοηθήματα της σκέψης και τον τρόπο που χρησιμοποιούνται στο βιβλίο Μαθηματικών της Α Γυμνασίου στο μέρος της Γεωμετρίας Ο ρόλος που θα μπορούσε να παίξει το τετραγωνισμένο χαρτί (ή το τετραγωνικό πλέγμα). Ως διδακτικά μέσα-βοηθήματα της σκέψης στη μάθηση των Μαθηματικών θεωρούμε όλα τα μέσα που μεταφέρουν (ή διευκολύνουν την πρόσβαση σε) κάποια πληροφορία ή συστηματική γνώση κατά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Ο ορισμός αυτός στηρίζεται στη θεωρία μετάδοσης της πληροφορίας από έναν «πομπό» (εδώ, το εκπαιδευτικό σύστημα) προς ένα «δέκτη» (το μαθητή) μέσω ενός «καναλιού» ή «μέσου» (εδώ, το διδακτικό μέσο-βοήθημα). Στο κεφάλαιο Β.1.1. γίνεται μια εισαγωγή σε κάποια βασικά γεωμετρικά στοιχεία (ορισμούς), όπως τον ορισμό της ευθείας, του ευθυγράμμου τμήματος, της ημιευθείας και του σημείου. Για την κατασκευή αυτών των γεωμετρικών σχημάτων, πιο συγκεκριμένα για την κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος, γίνεται χρήση του κανόνα. Στη δραστηριότητα 2, σελίδα 152, όπως φαίνεται στην εικόνα 1 δίνεται ένας βοηθητικός χάρτης ως βοηθητικό μέσο για την διευκόλυνση της λύσης. 31

32 Εικόνα 1 Παρατηρούμε, ότι αυτός ο χάρτης, όμως, δεν χρησιμοποιείται εδώ ως μέσο πρόσβασης σε κάποιες γνώσεις γεωγραφικές, αλλά εμφανίζεται μόνο ως τεχνητή αναπαράσταση πλαίσιο ενός προβλήματος συνδυαστικής γεωμετρίας: «Στο διπλανό χάρτη φαίνονται έξι πόλεις της Ελλάδας( ) Μπορείς να σχεδιάσεις τις απευθείας αεροπορικές συνδέσεις μεταξύ των πόλεων αυτών;». Στην ενότητα Β.1.2 γίνεται εισαγωγή στις γωνίες, στα ευθύγραμμα σχήματα και στην ισότητα σχημάτων. Δίνονται κάποιοι ορισμοί καθώς και παραδείγματα των καινούριων εννοιών. Εδώ παρατηρούμε κάτι παράδοξο. Ζητείται από τους μαθητές να περιγράψουν την έννοια που καλούνται να διδαχθούν πριν από κάποιες σχετικές εμπειρίες, επεξηγήσεις και τον ορισμό της έννοιας. Η περιγραφή είναι πιο δύσκολη από την παρατήρηση, καθώς φυσιολογικά προηγείται η εμπειρική παρατήρηση και ακολουθεί η περιγραφή. Μια εναλλακτική διατύπωση της εν λόγω πρότασης, της πρώτης δραστηριότητας θα μπορούσε να είναι: Παρατηρείτε να σχηματίζονται κάποιες γωνίες στις παρακάτω εικόνες;. Στην εφαρμογή της σελίδας 155 προκειμένου να διαπιστωθεί η ισότητα των σχημάτων, προτείνεται ως διδακτικό μέσο βοήθημα στη σκέψη το διαφανές χαρτί. Αρχικά γίνεται η παρατήρηση της ισότητας των σχημάτων και έπειτα διατυπώνεται η πρόταση ως γενική παρατήρηση: Οι αντίστοιχες πλευρές και γωνίες των ίσων σχημάτων είναι ίσες. Όπως σε πολλά παραδείγματα του βιβλίου έτσι και σε αυτό 32

33 εξάγονται συμπεράσματα και εισάγονται νέες προτάσεις με επαγωγικό συλλογισμό. Στην επόμενη ενότητα Β.1.5., Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων Απόσταση σημείων Μέσο ευθύγραμμου τμήματος εισάγονται οι μονάδες μέτρησης και η μέτρηση μονοδιάστατων μεγεθών. Αυτό το κεφάλαιο είναι σημαντικό από μόνο του, αλλά επιπρόσθετα σημαντικό προκειμένου να κατανοηθούν αργότερα έννοιες όπως το εμβαδόν. Απαιτείται παρόλα αυτά προσοχή καθώς η ευελιξία στην χρήση των μονάδων μέτρησης είναι πολύ σημαντική. Οι περισσότεροι μαθητές παίρνουν ως δεδομένο τις γνωστές μονάδες μέτρησης και αγνοούν την δυνατότητα έκφρασης εμβαδών με άλλες μονάδες μέτρησης. Επομένως, είναι απαραίτητο να καταλάβουν σε βάθος την έννοια και τον ρόλο των μεγεθών και των μονάδων μέτρησης τους. Η σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων σ αυτό το κεφάλαιο είναι μεγάλης σημασίας προκειμένου ένας μαθητής να καταλάβει πως η μονάδα μέτρησης ενός μονοδιάστατου μεγέθους είναι ένα μήκος. Τα μέσα που χρησιμοποιούνται εδώ για τη σύγκριση μεγεθών είναι τα πλέον θερμά : το υποδεκάμετρο και ο διαβήτης. Το τετραγωνισμένο χαρτί, σ αυτό εδώ το σημείο, θα μπορούσε να δώσει νέα ώθηση στην κατανόηση αυτών των εννοιών που προσπαθούμε να εισαγάγουμε. Η διαφορά είναι πως τα ευθύγραμμα τμήματα που είναι κατακόρυφα ή οριζόντια σχεδιασμένα σε τετραγωνισμένο χαρτί είναι εύκολο να μετρηθούν χωρίς υποδεκάμετρο, καθώς αυτό είναι κατά κάποιο τρόπο ενσωματωμένο. Για την σύγκριση αυτών των ευθύγραμμων τμημάτων που σχεδιάσαμε στο τετραγωνισμένο χαρτί μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε παράλληλα και τον διαβήτη ως διαστημόμετρο, προκειμένου να γίνει κατανοητός ο βοηθητικός ρόλος που μπορεί να παίξει στην σύγκριση μηκών. Ο ρόλος αυτός μπορεί να γίνει ιδιαίτερα σημαντικός στο σύνθετο πλέγμα που θα εισαγάγουμε στη συνέχεια. Επιπλέον, αφού χρησιμοποιήσουμε τον διαβήτη σε τετραγωνισμένο χαρτί, μπορούμε να συγκρίνουμε μήκη με 33

34 τη βοήθεια διαβήτη και κανόνα σε λευκό χαρτί. Το τετράδιο με τις γραμμές μπορεί να αποσπάσει την προσοχή του μαθητή, οπότε ίσως οι λευκές κόλλες Α4 είναι καταλληλότερες σ αυτό το σημείο. Το λευκό χαρτί παρέχει απεριόριστη ελευθερία κινήσεων, κάτι που δεν συμβαίνει με το τετραγωνισμένο χαρτί ή το πλέγμα, άρα ίσως είναι καλύτερα να δούμε πως λειτουργεί η σκέψη των μαθητών εκεί. Σύμφωνα με τη δομή του βιβλίου, προηγείται η εξοικείωση του μαθητή με τα γεωμετρικά όργανα και αργότερα διατυπώνεται η «διαπίστωση πρόταση», ως συμπέρασμα. Η χρήση του υποδεκάμετρου και η επεξήγηση της έννοιας της απόστασης σημείων γίνεται με αλγοριθμικά βήματα. Βήμα 1: χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Βήμα 2: μετράμε το μήκος. Βήμα 3: λέμε ότι η απόσταση είναι x cm και γράφουμε ΑΒ= x cm. O αλγοριθμικός τρόπος όσον αφορά τα κατασκευαστικά προβλήματα και τη χρήση των μέσων είναι συχνά αποτελεσματικός για τα παιδιά. Πολλές φορές, όταν κάποιος μαθητής σχεδιάζει κάποιο γεωμετρικό σχήμα, στην πραγματικότητα σκέφτεται αλγοριθμικά με βήματα: Πρώτα θα σχεδιάσω αυτό, μετά θα φέρω αυτή τη γραμμή κλπ. Παρατηρούμε, στο παράδειγμα 1 της σελίδας 160, ότι ζητείται από τους μαθητές να σχεδιάσουν ευθύγραμμο τμήμα με τη βοήθεια α) υποδεκάμετρου και β) διαβήτη. Η διατύπωση της εκφώνησης δημιουργεί σύγχυση στον μαθητή, καθώς δεν αρκεί μόνο ένας διαβήτης για τη δημιουργία ευθύγραμμου τμήματος (εικόνα 2). 34

35 Εικόνα 2 Σαφέστερο θα ήταν να ζητηθεί η κατασκευή ευθύγραμμου τμήματος με κανόνα και διαβήτη (ή με υποδεκάμετρο και διαβήτη), καθώς ακόμα και στην υπόδειξη της κατασκευής γράφεται: χαράζουμε μια ευθεία ε επομένως χρησιμοποιείται και κανόνας στο σχέδιο, εκτός από διαβήτη. Στο ίδιο κεφάλαιο, το τετραγωνισμένο χαρτί και πιο σύνθετα πλέγματα θα μπορούσαν να αποτελέσουν διδακτικά μέσα που θα χρησιμοποιηθούν για κάποιες ασκήσεις κατανόησης. Για παράδειγμα παίρνοντας τρία δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ= 2cm, ΓΔ= 3cm, ΕΖ= 6cm πάνω στις γραμμές του πλέγματος, να γίνει ακριβής σύγκριση μεταξύ τους ανά δύο, δηλαδή να βρεθούν οι λόγοι τους. Ίσως αυτού του είδους οι ασκήσεις δώσουν το ερέθισμα για την κατανόηση της εξάρτησης μεταξύ των διαστάσεων των σχημάτων και των μονάδων μέτρησης, καθώς και της ανεξαρτησίας των λόγων απ αυτές. Για παράδειγμα το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ είναι τριπλάσιο του ΑΒ, ενώ το ΓΔ 35

36 είναι μιάμιση φορά μεγαλύτερο από το ΑΒ. Αν θεωρήσουμε λοιπόν, το μήκος ΑΒ ως μέτρο σύγκρισης, μπορούμε να εκφράσουμε το μήκος οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος συγκριτικά με αυτό. Με τη βοήθεια του ΑΒ που έχει συγκεκριμένο μήκος, δύο εκατοστά, φαίνεται σαν να μπορώ να εκφράσω όλα τα υπόλοιπα 11. Άρα μπορώ να το θεωρήσω ως σταθερό συγκριτικό μέγεθος ή όπως συνηθίζουμε να λέμε, ως «μονάδα μέτρησης». Στην επόμενη ενότητα της πρόσθεσης και αφαίρεσης ευθυγράμμων τμημάτων, το πλέγμα επίσης μπορεί να παίξει βοηθητικό ρόλο στην εξοικείωση των μαθητών με αυτό το γεωμετρικό θέμα. Μπορούμε, για παράδειγμα να δημιουργήσουμε ασκήσεις και παραδείγματα τεθλασμένων γραμμών και να συγκρίνουμε τις αποστάσεις τέτοιων σχημάτων, να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε ευθύγραμμα τμήματα, και άλλες παρόμοιες ασκήσεις. Η επόμενη ενότητα αναφέρεται στη μέτρηση και σύγκριση γωνιών, με βασικό όργανο το μοιρογνωμόνιο. Έχει παρατηρηθεί αρκετά συχνά, δυσκολία στη χρήση αυτού του εργαλείου από μαθητές του γυμνασίου και ειδικότερα στην πρώτη τάξη. Επομένως πρέπει να δοθεί έμφαση σε ασκήσεις μέτρησης γωνιών με τη χρήση μοιρογνωμονίου. Βέβαια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και άλλα εργαλεία για τη σύγκριση γωνιών. Για παράδειγμα στη σελίδα 166 στην πρώτη εφαρμογή ζητείται να χρησιμοποιηθεί διαφανές χαρτί, το οποίο δίνει τη δυνατότητα, μέσω της οπτικοποίησης να κατανοήσει ο μαθητής την ισότητα γωνιών. Έτσι και στη δεύτερη εφαρμογή χρησιμοποιείται διαφανές χαρτί για να διαπιστωθεί αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Επιπλέον στην τρίτη εφαρμογή για την κατασκευή διχοτόμου μιας δοσμένης γωνίας παρουσιάζονται δυο τρόποι κατασκευής: με τη χρήση μοιρογνωμονίου και με δίπλωση χαρτιού. Είναι επίσης εύκολο με ένα διαφανές χαρτί να κατασκευάσουμε τη διχοτόμο μιας γωνίας. Στο δεύτερο λυμένο παράδειγμα προκειμένου να διατυπωθεί η πρόταση: Οι προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες το βιβλίο χρησιμοποιεί την 11 Βέβαια, εδώ υπάρχει το πολύ σημαντικό ζήτημα της ασυμμετρότητας, όπως συμβαίνει λ.χ. με τα μήκη της διαγωνίου και της πλευράς ενός τετραγώνου, που θα συζητήσουμε στη συνέχεια. 36

37 ατελή επαγωγή: από ένα ειδικό συμπέρασμα που προκύπτει με σύγκριση γωνιών μέσω διαφανούς χαρτιού, καταλήγει σε ένα γενικότερο. Η συγκεκριμένη ιδιότητα ισχύει στο ισοσκελές τρίγωνο που κατασκευάσαμε, άρα ισχύει για όλα τα ισοσκελή τρίγωνα. Ένα μεγάλο μέρος των μαθητών λειτουργεί με τέτοιου είδους συλλογιστικά σχήματα και πολλές φορές η διαίσθηση, τους οδηγεί να γενικεύουν κάποια ειδικά συμπεράσματα που αποκομίζουν από ασκήσεις. Στην πρώτη άσκηση της σελίδας 168 ζητείται από τους μαθητές να απαντήσουν για το μέγεθος μιας γωνίας, ενώ η λέξη που χρησιμοποιήθηκε στην θεωρία είναι μέτρο γωνίας. Ίσως αυτή η εκφώνηση δημιουργεί σύγχυση στην σκέψη των παιδιών και ενδεχομένως ως μέγεθος να θεωρήσουν το μήκος των πλευρών μιας γωνίας ή οτιδήποτε άλλο φανταστούν. Είναι καλύτερο να χρησιμοποιούμε τις ίδιες λέξεις για τις έννοιες που διαπραγματευόμαστε, διαφορετικά είμαστε υποχρεωμένοι να τις επεξηγήσουμε στους μαθητές εφόσον επιθυμούμε να καταφέρουμε τα σωστά διδακτικά αποτελέσματα. Το διαφανές χαρτί χρησιμοποιείται ως μέσο για την κατασκευή του αθροίσματος και άλλα παρόμοια κατασκευαστικά προβλήματα. Έχει κάποιο διαδραστικό ρόλο, θα λέγαμε, καθώς ο μαθητής και δημιουργεί αλλά και βλέπει το σχέδιο αυτό, από τη μια πλευρά στο χαρτί του και από την άλλη στο διαφανές χαρτί, και έτσι είναι σε θέση να παρατηρήσει ή να συγκρίνει τα δύο σχήματα. Στη δραστηριότητα 2 της ενότητας Β.1.9 ζητείται από τους μαθητές να βρουν την σχετική θέση κάποιων ευθειών. 37

38 Εικόνα 3 Οι μαθητές σ αυτή την ηλικία δεν είναι εξοικειωμένοι με τέτοιου είδους ορολογία, όπως είναι η φράση σχετική θέση ευθειών. Επομένως μάλλον θα δημιουργηθεί πρόβλημα κατανόησης, εφόσον δεν γίνει κάποια σχετική εισαγωγή όσον αφορά τις σχετικές θέσεις ευθειών. Εικόνα 4: Διπλό τετραγωνικό πλέγμα Ένα τετραγωνισμένο χαρτί ή ένα διπλό τετραγωνικό πλέγμα (εικόνα 4) θα μπορούσε να είναι χρήσιμο σε αυτό το σημείο καθώς οι ευθείες είναι ήδη χαραγμένες. Εκτός απ αυτές μπορούμε εύκολα να σχεδιάσουμε και άλλες παράλληλες και τεμνόμενες ευθείες, και να παρατηρήσουμε την σχετική θέση που καταλαμβάνουν στο επίπεδο. 38

39 Η εκφώνηση επίσης της ίδιας δραστηριότητας είναι ασαφής. Για να απαντήσουν περί των σχετικών θέσεων πρέπει να γνωρίζουν την έννοια της παραλληλίας, όμως παρόλ αυτά οι ορισμοί παρουσιάζονται μετά την δραστηριότητα. Ακόμα και στην περίπτωση που έχουν διδαχθεί στο παρελθόν κάποιες έννοιες η υπενθύμιση είναι προτιμότερο και ευκολότερο για τους μαθητές να προηγείται ή να γίνεται παράλληλα με το ζητούμενο. Εικόνα 5 Σε μια εφαρμογή της ίδιας ενότητας ζητείται να σχεδιαστεί ευθεία, που να είναι παράλληλη σε μια άλλη ευθεία του επιπέδου και να διέρχεται από σημείο εκτός της αρχικής ευθείας. Για την κατασκευή αυτή χρησιμοποιούνται ο γνώμονας και ο αβαθμολόγητος κανόνας. Μετά από την κατασκευή αυτή ακολουθεί η πρόταση: «Από ένα σημείο εκτός ευθείας ε, διέρχεται μια και μοναδική ευθεία ε₁ παράλληλη στην ε». Παρατηρούμε λοιπόν, πως και εδώ η στρατηγική που ακολουθείται είναι η εξής: Η κατασκευή που θα κάνει ο ίδιος ο μαθητής δίνει το έδαφος για την εισαγωγή της μαθηματικής πρότασης ή του θεωρήματος. 39

40 Αυτό που παρατηρήσαμε σε αυτό το σημείο είναι το εξής. Στη ζητούμενη κατασκευή, προτείνεται ως μέσο όπως προαναφέραμε, ο κανόνας. Το βιβλίο παρουσιάζει την επεξήγηση της λέξης κανόνας στο δεύτερο κεφάλαιο. Η επεξήγηση όμως μιας λέξης είναι προτιμότερο να εμφανίζεται κατά την εισαγωγή της, και όχι αργότερα, προκειμένου ο μαθητής να κατανοεί τη σημασία της. Στη δραστηριότητα 1 της σελίδας 194 έχουμε μια από τις ελάχιστες περιπτώσεις, όπου στο σχολικό βιβλίο ζητείται να χρησιμοποιηθεί τετραγωνισμένο χαρτί για την επίλυση του προβλήματος. Το συγκεκριμένο πρόβλημα λύνεται πιο δύσκολα χωρίς τετραγωνισμένο χαρτί. Εικόνα 6 40

41 Στο δεύτερο κεφάλαιο της Γεωμετρίας στο ίδιο βιβλίο εισάγεται η έννοια της συμμετρίας. Το τετραγωνισμένο χαρτί ή γενικότερα το ορθογώνιο πλέγμα ως εργαλείο και μέσο σχεδίασης θα μπορούσε να βοηθήσει αρκετά στο σχηματισμό συμμετρικών σχημάτων και ενδεχομένως στην κατανόηση της ίδιας της έννοιας της συμμετρίας. Τα συμμετρικά σχήματα είναι ίσα μεταξύ τους και με τη βοήθεια του τετραγωνισμένου χαρτιού ή πλέγματος η ισότητα των σχημάτων και οι αναλογίες φαίνονται πιο «καθαρά». Στη σελίδα 200 της παραγράφου Β.2.1 υπάρχει η πρόταση: «Κάθε σημείο μιας ευθείας ε είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς την ε» (ανακλαστική ή αυτοπαθής ιδιότητα, μια έννοια γενικά δύσκολη για τους νεαρούς μαθητές. Η έννοια της συμμετρίας είναι συνδεδεμένη με ένα ζεύγος σχημάτων σχεδίων, επομένως αυτή η πρόταση θέλει προσοχή και ιδιαίτερη επεξήγηση κατά την εισαγωγή της στη σχολική τάξη. Είναι πιθανόν αρκετοί μαθητές να μην κατανοήσουν πλήρως το περιεχόμενο της πρότασης αυτής. Τα εργαλεία που επίσης βοηθούν στην κατανόηση της έννοιας της συμμετρίας αρχικά, και στην κατασκευή συμμετρικών σχημάτων αργότερα, είναι ο χάρακας (και ο διαβήτης για την κατασκευή του συμμετρικού ενός κύκλου ως προς ευθεία). Ένα επιπλέον εργαλείο που είναι αρκετά χρήσιμο για τη θεματική ενότητα της συμμετρίας, είναι το διαφανές χαρτί. Παρατηρήσεις Στη σελίδα 204 στην πρώτη παράγραφο της πρώτης δραστηριότητας το ζητούμενο δεν είναι ξεκάθαρο και ειδικότερα το περιεχόμενο της τρίτης πρότασης. Πιθανόν κάποιοι μαθητές να μην κατανοήσουν τι ζητάει η εκφώνηση από τον αναγνώστη. Επίσης στη σελίδα 181 εισάγεται η λέξη κανόνας, που επεξηγείται ως χάρακας χωρίς υποδιαιρέσεις στη σελίδα

42 Εικόνα 7 Στη σελίδα 207 του κεφαλαίου Β.2.3 στα παραδείγματα 1 και 2 ζητείται να σχεδιαστεί η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος με τη βοήθεια γεωμετρικών οργάνων. Στο πρώτο παράδειγμα γίνεται χρήση του υποδεκάμετρου και του γνώμονα, ενώ στο δεύτερο η κατασκευή γίνεται με κανόνα και διαβήτη. Στα παραδείγματα 3, 4, 5 δεν γίνεται υπόδειξη για το ποια εργαλεία θα χρησιμοποιηθούν στις κατασκευές, αλλά η λύση είναι γραμμένη σε βήματα και γίνεται η χρήση γεωμετρικών οργάνων. Υπάρχει και σειρά κατασκευαστικών πράξεων σε μορφή φιλμ για οπτικοποίηση της διαδικασίας σχεδιασμού των σχημάτων. 42

43 Εικόνα 8 Στο κεφάλαιο Β.2.4. για να κατασκευαστεί συμμετρικό σημείο, σημείου, ή συμμετρικό ευθύγραμμο τμήμα ευθύγραμμου τμήματος ως προς ένα δοσμένο σημείο χρησιμοποιείται υποδεκάμετρο και διαβήτης. Προκειμένου να διαπιστωθεί η ισότητα δύο γωνιών, ως εργαλείο χρησιμοποιούμε το μοιρογνωμόνιο στα παραδείγματα του κεφαλαίου Β

44 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Κ. Φράγκου κ.α. Αναλογικός και μη αναλογικός συλλογισμός σε μαθητές με συμπτώματα δυσλεξίας. [2] Μ. Μοδέστου Μαθηματική αναλογική σκέψη στο Δημοτικό και Γυμνάσιο ένα πολυδιάστατο γνωστικό και μεταγνωστικό μοντέλο. Μέρος διδακτορικής διατριβής από το βιβλίο: Προβλήματα μάθησης των μαθηματικών κατά τη μετάβαση από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο. [3] Marshall McLuhan, Understanding Media: The Extensions of Man. London and New York, [3α] Pierre Guiraud, Η Σημειολογία. Εκδόσεις Δαίδαλος [4] Γ. Κόσυβας Αριθμητική προσέγγιση ή γεωμετρική ακρίβεια; Αυθόρμητες αντιλήψεις δωδεκάχρονων που αγγίζουν την αρρητότητα. (Χειρόγραφο άρθρο). [5] D. Chassapis The influence of a cultural tool on approaching a problem from the history: Solving a geometry problem on graph paper, στο Proceedings of the 5 th International Colloquium on the Didactics of Mathematics, University of Crete, Department of Education, Rethymnon, vol ΙΙ, σ [6] Π. Δεληκανλής Τετραγωνισμένο χαρτί: ένα διαμεσολαβητικό μέσο για την επίλυση του προβλήματος διπλασιασμού του εμβαδού τετραγώνου στο Μένωνα του Πλάτωνα στα πρακτικά του 26 ου Πανελλήνιου Συνέδριου Μαθηματικής Παιδείας της Ε.Μ.Ε. άρθρο. [7] Κ. Δασακλής, Τ. Πατρώνης Η φιλοσοφία του υποδεκάμετρου στο Γυμνάσιο, στα Πρακτικά 4 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας της Ε.Μ.Ε. (1990) σ [8] A. Gagatsis & L. Kyriakides Teachers Attitudes Towards Their Pupils Mathematical Errors Educational Research and Evaluation 2000, Vol. 6, No. 1, pp

45 Περιεχόμενα Τίτλος Σελίδα 1.Εισαγωγή 4 2.Θεωρητικό πλαίσιο και αντικείμενο της έρευνας 5 3.Σχετικές έρευνες στον ελληνικό χώρο 10 4.Η έρευνά μας 12 5.Διαδικασία 15 6.Ανάλυση αποτελεσμάτων 18 7.Επίλογος συμπεράσματα 30 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 31 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 44 45

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Πέτρος Κλιάπης Τάξη Στ Βοηθητικό υλικό: Σχολικό βιβλίο μάθημα 58 Δραστηριότητα 1, ασκήσεις 2, 3 και δραστηριότητα με προεκτάσεις Προσδοκώμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 05. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ορισμός Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα»

Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Εκπαιδευτικό λογισμικό: Αβάκιο Χελωνόκοσμος Δραστηριότητα 1: «Διερευνώντας τα παραλληλόγραμμα» Φύλλο δασκάλου 1.1 Ένταξη δραστηριότητας στο πρόγραμμα σπουδών Τάξη: Ε και ΣΤ Δημοτικού. Γνωστικά αντικείμενα:

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 1

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ CABRI Όλγα Κασσώτη Εργασία που κατατίθεται ως παραδοτέο της παρακολούθησης εκπαιδευτικού προγράμματος στο πλαίσιο υλοποίησης της Πράξης με τίτλο: «Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος

Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 6 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : 1 Η Διδακτική ώρα : Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων

222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 222 Διδακτική των γνωστικών αντικειμένων 8. Χελωνόκοσμος (απαιτεί να είναι εγκατεστημένο το Αβάκιο) (6 ώρες) Τίτλος: Ιδιότητες παραλληλογράμμων Δημιουργός: Μιχάλης Αργύρης ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Α+Β Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 1.1 Αριθμοί 1-1000 Γραφή, Ανάγνωση, Απαγγελία, Απαρίθμηση, Σύγκριση, Συμπλήρωση (κατά αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: Ε Η ομάδα χορού 1. Σε μια ομάδα παραδοσιακών χορών συμμετέχουν 39 αγόρια και 23 κορίτσια. Κάθε εβδομάδα προστίθενται στην ομάδα 6 νέα αγόρια και 8 νέα κορίτσια.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.1 Ονομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες)

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά Προβλήματα Μαθηματικών Γυμνασίου. στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Ενδεικτικά Προβλήματα Μαθηματικών Γυμνασίου. στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Tα προβλήματα που συμπεριλάβαμε στο παρόν σημείωμα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Β Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 2012. ΜΕΡΟΣ Α Κεφ. 7

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών

Διδακτική των Μαθηματικών Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο : Μαμτζέλλη Χρυσούλα Τάξη : Γ Δημοτικού Κεφάλαιο 43 : Η συμμετρία Πρόκειται για ένα εισαγωγικό μάθημα στην αξονική συμμετρία. Οι μαθητές θα μάθουν πότε δύο σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ IV ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κ. ΧΡΗΣΤΟΥ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: Μ. ΣΤΡΙΛΙΓΚΑ ΘΕΜΑ: Η ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα;

ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα; ΥΔΡΟΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ (ΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Τίτλος διερεύνησης: Ποιοί παράγοντες επηρεάζουν το πόσο νερό συγκρατεί το χώμα; Σύντομη περιγραφή διερεύνησης: Σκοπός αυτής της διερεύνησης ήταν να κάνουν κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ 13/11/2016 ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ: ΣΤ. Προτείνεται να μην αξιοποιηθούν διδακτικά από το Βιβλίο Μαθητή τα παρακάτω: 1 ο σελ. 7, 4 η άσκηση, σελ. 8, 2 ο πρόβλημα

ΤΑΞΗ: ΣΤ. Προτείνεται να μην αξιοποιηθούν διδακτικά από το Βιβλίο Μαθητή τα παρακάτω: 1 ο σελ. 7, 4 η άσκηση, σελ. 8, 2 ο πρόβλημα ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ: Βιβλίο μαθητή, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, ένα τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, α τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, β τεύχος Τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα