«ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΙΚΡΟΔΟΡΥΦΟΡΟΥ»

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΙΚΡΟΔΟΡΥΦΟΡΟΥ» ΠΑΠΑΔΕΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΦΟΙΤΗΤΗ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΤΖΕΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Πάτρα, Ιούλιος 2012

2

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η διπλωματική εργασία με θέμα «ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΙΚΡΟΔΟΡΥΦΟΡΟΥ» του φοιτητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΠΑΠΑΔΕΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ του ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ (Α.Μ. 6431) Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στης 10 Ιουλίου 2012 Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Καθηγητής ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΤΖΕΣ Καθηγητής ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΚΟΥΣΟΥΛΑΣ

4

5 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: «ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΟΡΥΦΟΡΟΥ» Φοιτητής: Παπαδέας Παναγιώτης του Δημητρίου Επιβλέπον: Δρ. Μηχ. Τζές Αντώνιος, Καθηγητής Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται τη μελέτη και κατασκευή του συστήματος ελέγχου προσανατολισμού του UPSat, ενός δορυφόρου τύπου Cubesat. Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στο εργαστήριο Αυτοματισμού και Ρομποτικής του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Σκοπός της εργασίας είναι η μελέτη και κατασκευή των βασικών διατάξεων του συστήματος ελέγχου προσανατολισμού του δορυφόρου, καθώς και η αντίστοιχη πειραματική διάταξη για την επιβεβαίωση της αρχής λειτουργίας του συστήματος. Αρχικά μελετώνται οι συνθήκες που θα πρέπει να αντιμετωπίσει ο δορυφόρος κατά την αποστολή του. Παρουσιάζονται τα βασικότερα υποσυστήματα του και οι διαθέσιμες επιλογές τροχιάς. Στη συνέχεια γίνεται ανάλυση των τεχνικών μέσω των οποίων ο προσανατολισμός ενός δορυφόρου μπορεί να περιγραφεί με μαθηματικό τρόπο. Ακολουθεί μελέτη της κινηματικής και δυναμικής ενός ελεύθερου σώματος στο διάστημα και εξαγωγή των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων που διέπουν τη συμπεριφορά του, καθώς και η μοντελοποίηση του συστήματος στο χώρο κατάστασης. Επίσης μελετάτε το περιβάλλον και οι συνθήκες οι οποίες επηρεάζουν το σύστημα ελέγχου και θα πρέπει να ληφθούν υπόψη για το σχεδιασμό του. Ακολουθεί περιγραφή των διαφόρων τεχνικών ελέγχου του προσανατολισμού ενός δορυφόρου. Γίνεται αναλυτική περιγραφή της τεχνικής ελέγχου με χρήση μαγνητικών μέσων και των αντίστοιχων μαγνητικών ενεργοποιητών. Στη συνέχεια ακολουθεί παρουσίαση της αρχής λειτουργίας αλλά και των εξαρτημάτων της πειραματικής διάταξης που κατασκευαστικέ για τον έλεγχο του συστήματος. Περιγράφεται με μαθηματικό τρόπο το πειραματικό σύστημα και ακολουθεί ο σχεδιασμός και η υλοποίηση του αντίστοιχου ελεγκτή. Τέλος, παρουσιάζονται γραφικές παραστάσεις με την χρονική απόκριση του συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου.

6

7 Πρόλογος Πρόλογος Στη παρούσα διπλωματική εργασία μελετάται, σχεδιάζεται και κατασκευάζεται το σύστημα ελέγχου προσανατολισμού του UPSat, ενός δορυφόρου τύπου Cubesat. Η εργασία εκπονήθηκε στο εργαστήριο Αυτοματισμού και Ρομποτικής του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Αντικείμενο της εργασίας είναι η μελέτη και κατασκευή των βασικών διατάξεων του συστήματος ελέγχου προσανατολισμού του δορυφόρου, καθώς και η αντίστοιχη πειραματική διάταξη για την επιβεβαίωση της λειτουργίας του συστήματος. Συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 1 γίνεται ανάλυση των συνθηκών που θα επικρατούν όταν ο δορυφόρος θα βρίσκεται σε τροχιά και πως μπορούν να επηρεάσουν την λειτουργία των υποσυστημάτων. Ακολουθεί περιγραφή των υποσυστημάτων από τα οποία αποτελείτε ο δορυφόρος και τα κυριότερα χαρακτηριστικά τους και γίνεται ανάλυση των τροχιών στις οποίες μπορεί να τοποθετηθεί ο UPSat με τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της καθεμίας. Στο κεφάλαιο 2 μελετάται με μαθηματικό τρόπο η συμπεριφορά ενός «ελεύθερου» σώματος στο διάστημα. Παρουσιάζονται οι τεχνικές παραμετροποίησης του προσανατολισμού καθώς και οι δυναμικές και κινηματικές εξισώσεις που διέπουν τη κίνηση του δορυφόρου. Αποτέλεσμα του κεφαλαίου είναι η εξαγωγή του γραμμικοποιημένου μοντέλου του συστήματος στο χώρο κατάστασης. Το φυσικό περιβάλλον στο οποίο ο δορυφόρος θα λειτουργήσει επηρεάζει το σύστημα ελέγχου προσανατολισμού με τη μορφή εξωτερικών ροπών διαταραχής. Η ανάλυση της δυναμικής αυτών των ροπών αναλύεται στο κεφάλαιο 3. Το κεφάλαιο 4 πραγματεύεται τις τεχνικές οι οποίες εφαρμόζονται προκειμένου να ελεγχτεί ο προσανατολισμός μια διαστημοσυσκευής. Έμφαση δίνεται στην αρχή λειτουργίας ενεργού ελέγχου προσανατολισμού με χρήση μαγνητικών μέσων και συγκεκριμένα στην ανάλυση και σχεδιασμό μαγνητικών ενεργοποιητών. Προκειμένου να επαληθευτεί η αρχή λειτουργίας του μαγνητικά ελεγχόμενου προσανατολισμού δορυφόρου και να μελετηθεί η φύση και η συμπεριφορά του συστήματος απαιτείται η ύπαρξη μιας πειραματικής διάταξης. Το κεφάλαιο 5 περιγράφει τα εξαρτήματα, τις διασυνδέσεις και την αρχή λειτουργίας της πειραματικής διάταξης. Στο κεφάλαιο 6 μελετάται από μαθηματική σκοπιά η φύση του πειραματικού συστήματος με χρήση των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη δυναμική I

8 Πρόλογος του. Ακολουθεί περιγραφή του συστήματος στο χώρο κατάστασης και μελέτη της συμπεριφοράς του. Τέλος, σχεδιάζεται ένας ελεγκτής πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης για τον έλεγχο του συστήματος. Στο κεφάλαιο 7 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής ελέγχου κλειστού βρόχου για τον έλεγχο του προσανατολισμού του πειραματικού συστήματος. Παρουσιάζονται χρονικές αποκρίσεις της εξόδου του συστήματος για διαφορετικές αρχικές συνθήκες. Τέλος, καταγράφεται η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε και στα παραρτήματα ενσωματώνονται τα φυλλάδια των κατασκευαστικών στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν, ο κώδικας του μικροεπεξεργαστή και εικόνες της διατάξεως. Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα Καθηγητή της διπλωματικής μου εργασίας Δρ-Μηχ Αντώνιο Τζέ για την άψογη συνεργασία και καθοδήγηση που μου παρείχε σε όλα τα στάδια εκπόνησης της. Ευχαριστίες αρμόζουν επίσης και σε όλο το προσωπικό του εργαστηρίου Αυτοματισμού και Ρομποτικής, καθηγητές και μεταπτυχιακού φοιτητές. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια και τους φίλους μου για την συμπαράσταση και την υπομονή τους καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. II

9 Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Διάστημα και Τεχνητοί Δορυφόροι 1.1.Εισαγωγή Συνθήκες σε διαστημικό περιβάλλον Ακτινοβολία Θερμοκρασία και πίεση Επιτάχυνση και κραδασμοί Επίδραση των συνθηκών στο σύστημα ελέγχου προσανατολισμού Cubesat Ο δορυφόρος UPSat Υποσυστήματα Δορυφόρου Σύστημα Επικοινωνιών (COM) Σύστημα Καθορισμού και Ελέγχου Προσανατολισμού (ADCS) Κεντρικός Υπολογιστής Πτήσης (OBC) Σύστημα Θερμικού Ελέγχου Σύστημα Τροφοδοσίας Ηλεκτρικής Ισχύος Δομή Δορυφόρου Επιλογή Τροχιάς Δορυφόρου Γεωσύγχρονη τροχιά Γεωστατική τροχιά Τροχιά μέσης απόστασης Τροχιά μικρής απόστασης.. 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Το μοντέλο του Δορυφόρου 2.1.Συστήματα Αναφοράς Δορυφόρο-κεντρικά συστήματα αναφοράς Γεωκεντρικά συστήματα αναφοράς Παραμετροποίηση του προσανατολισμού Μήτρα Συνημίτονων κατεύθυνσης Γωνίες Euler Quaternions Κινηματική εξίσωση της κίνησης Δυναμική εξίσωση της κίνησης Ροπή έλξης της βαρύτητας Ευστάθεια βαρυτικής έλξης Γραμμικοποίηση συστήματος Περίληψη 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Το Διαστημικό Περιβάλλον Επίδραση στο Σύστημα Ελέγχου Προσανατολισμού 3.1.Ανάλυση τροχιάς Παραμετροποίηση του προσανατολισμού Ροπή αεροδυναμικής αντίστασης αέρα Ροπή πίεσης ηλιακής ακτινοβολίας. 57 III

10 Πίνακας Περιεχομένων Παραμένουσα διπολική ροπή Συνολικό επίπεδο ροπών διαταραχής.. 61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Υλικό Συστημάτων Ελέγχου Προσανατολισμού 4.1.Τεχνικές ελέγχου προσανατολισμού δορυφόρου Μαγνητικοί ενεργοποιητές «Θεμελιώδης υποενεργοποίηση» συστήματος μαγνητικού ελέγχου Μαθηματικό υπόβαθρο Διαδικασία σχεδιασμού ενεργοποιητών Απαιτήσεις συστήματος 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Πειραματική Διάταξη 5.1.Περιγραφή της πειραματικής διάταξης και της πειραματικής διαδικασίας Εξαρτήματα πειραματικής διάταξης Πρότυπο δορυφόρου Πηνία Helmholtz Μαγνητικοί ενεργοποιητές Υπολογιστής «Πτήσης» Πλακέτα οδήγησης ενεργοποιητών Ασύρματη επικοινωνία Κάμερα αναγνώρισης γωνίας ελέγχου Τροφοδοτικό ισχύος «πτήσης». 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Μαθηματική περιγραφή του πειραματικού συστήματος 6.1.Μαθηματική μοντελοποίηση συστήματος Ανάλυση συστήματος υποθέτοντας Ανάλυση συστήματος υποθέτοντας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Πειραματικά Αποτελέσματα 7.1.Μετρήσεις του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου Υλοποίηση ελέγχου Μετρήσεις χρονικής απόκρισης του συστήματος Βιβλιογραφία 123 Παραρτήματα Παράρτημα Α Κώδικες προγραμμάτων. 125 Παράρτημα Β Φύλλα δεδομένων εξαρτημάτων πειραματικής διάταξης. 148 IV

11 Λίστα εικόνων & Πινάκων Λίστα Εικόνων & Πινάκων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εικόνα 1.1. Single Event Upset (SEU) σε τρανζίστορ τύπου MOS Εικόνα 1.2. Διάταξη στρωμάτων ατμόσφαιρας. Θερμοκρασία και πυκνότητα αερίων συναρτήσει της απόστασης από την επιφάνεια της γης Εικόνα 1.3. P-POD φορέας για 3 δορυφόρους cubesat Εικόνα 1.4. Επιλογή πηγής ενέργειας για διάφορες απαιτήσεις ισχύος και διάρκειες αποστολής Εικόνα 1.5. Σκελετός δορυφόρου Cubesat κατασκευασμένος από αλουμίνιο 20 Εικόνα 1.6. Σύγκριση μάζας και 1ης ιδιοσυχνότητας βασικής και τροποποιημένης δομής ενός Cubesat-Kit και του δορυφόρου UPSat Εικόνα 1.7. Κυκλικές τροχιές δορυφόρων γύρω από τη γη 21 Εικόνα 1.8. Χαρακτηριστικά κυκλικής και ελλειπτικής τροχιάς 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εικόνα 2.1. Δορυφόρο-κεντρικά συστήματα αναφοράς.. 27 Εικόνα 2.2. Συστήματα αναφοράς ECEF & ECI Εικόνα 2.3. Ροπή έλξης βαρύτητας Εικόνα 2.4. επίπεδο αναπαριστά τις περιοχές ευστάθειας και αστάθειας 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πίνακας 3.1. Παράμετροι τροχιών Cubesat 54 Πίνακας 3.2. Ατμοσφαιρικοί παράγοντες 55 Πίνακας 3.3. Εύρος διακύμανσης της τιμής της ηλιακής σταθεράς. 57 Πίνακας 3.4. Σύνοψη των αναμενόμενων επιπέδων διαταραχών υπό τις χειρότερες συνθήκες.. 61 Εικόνα 3.1. Ισομαγνητικός χάρτης της έντασης του μαγνητικού πεδίου 59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Εικόνα 4.1. Παθητικός μαγνητικός έλεγχος.. 66 Εικόνα 4.2. «Θεμελιώδης υποενεργοποίηση» Εικόνα 4.3. Δύναμη Lorentz σε αγωγό Εικόνα 4.4. Δύναμη Lorentz στις πλευρές ενός πηνίου Πίνακας 4.1. Υλικό του αγωγού, Σύγκριση χαλκού-αλουμινίου. 74 Πίνακας 4.2. Θερμοκρασίες λειτουργίας. 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Εικόνα 5.1. Πειραματική Διάταξη Εικόνα 5.2. Όψεις του κύβου-δορυφόρου με χρήση εργαλείων CAD. Διακρίνονται οι έδρες του κύβου, τα πηνία και η μπαταρία. 83 V

12 Λίστα εικόνων & Πινάκων Εικόνα 5.3. Το πειραματικό μοντέλο δορυφόρου εφοδιασμένο με τα πηνία ενεργοποιητές και τα ηλεκτρονικά. 83 Εικόνα 5.4. Γραφική αναπαράσταση των δυναμικών γραμμών (Αρ.) και της διάταξης (Δε.) ενός πηνίου Helmholtz. 84 Εικόνα 5.5. Τα πηνία Helmholtz της πειραματικής διάταξης 85 Εικόνα 5.6. Το τροφοδοτικό ρεύματος της διάταξης των πηνίων Helmholtz 86 Εικόνα 5.7. Τα πηνία-ενεργοποιητές του συστήματος ελέγχου. 87 Εικόνα 5.8. Το καλούπι τυλίγματος των πηνίων (Αρ). Τα πηνία τοποθετημένα στο εσωτερικό του κύβου (Δε). 88 Εικόνα 5.9. inemo 89 Εικόνα Θύρα επικοινωνίας J Εικόνα Το υποσύστημα των ηλεκτρονικών του συστήματος. Διακρίνονται τα εξής: μπαταρία, «inemo», οδηγός ενεργοποιητών, «XBee» με τη βάση προσαρμογής.. 90 Εικόνα Κάτοψη και άνοψη του ολοκληρωμένου κυκλώματος οδήγησης των ενεργοποιητών Εικόνα Πλακέτα οδήγησης των πηνίων πάνω όψη (Αρ). Κάτοψη (Δε), διακρίνεται η βραχυκύκλωση των Pins Vcc και STBY.. 92 Εικόνα Μονάδα ασύρματης επικοινωνίας συνδεδεμένη με τον υπολογιστή βάσης Εικόνα Θύρα επικοινωνίας J Εικόνα Μονάδα ασύρματης επικοινωνίας συνδεδεμένη με τον υπολογιστή «πτήσης» Εικόνα Κάμερα καταγραφής της γωνίας προσανατολισμού Πίνακας 5.1. Διαστάσεις πηνίου ενεργοποιητή.. 86 Πίνακας 5.2. Αποτελέσματα σχεδιασμού για Ν=300, V=5 volt, T=15oC 87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εικόνα 6.1. Σχηματική αναπαράσταση της κάτοψης της πειραματικής διάταξης. 98 Εικόνα 6.2. Σχηματική αναπαράσταση της πειραματικής δομής. Διανυσματική αναπαράσταση μαγνητικών ροπών ελέγχου.. 99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Εικόνα 7.1. Ένταση του μαγνητικού πεδίου στους άξονες Χ, Υ και Ζ για Amp και Amp 111 Εικόνα 7.2. Ένταση του μαγνητικού πεδίου στους άξονες Χ, Υ και Ζ για Amp και Amp Εικόνα 7.3. Ένταση του μαγνητικού πεδίου στους άξονες Χ, Υ και Ζ για μεταβολή του ρεύματος από σε 113 Εικόνα 7.4. Ένταση του μαγνητικού πεδίου στους άξονες Χ, Υ και Ζ για και Εικόνα 7.5. Υποσύστημα λήψης, επεξεργασίας και υπολογισμού της τρέχουσας γωνίας προσανατολισμού. 116 Εικόνα 7.6. Πρότυπο αναγνώρισης προσανατολισμού VI

13 Λίστα εικόνων & Πινάκων Εικόνα 7.7. Δεύτερο υποσύστημα. Μετάδοση δεδομένων προς τον υπολογιστή «πτήσης» 117 Εικόνα 7.8. Χρονική απόκριση της γωνίας φ για και ενεργοποιητή τον Εικόνα 7.9. Χρονική απόκριση της γωνίας φ για και ενεργοποιητή τον 118 Εικόνα Χρονική απόκριση της γωνίας φ για και ενεργοποιητή τον Εικόνα Χρονική απόκριση της γωνίας φ για ασταθή ελεγκτή Εικόνα Χρονική απόκριση της γωνίας φ για έλεγχο ανοιχτού βρόχου και ενεργοποιητή τον 121 Εικόνα Χρονική απόκριση της γωνίας φ για έλεγχο με δύο ενεργοποιητές και. 122 Εικόνα Χρονική απόκριση της γωνίας φ για έλεγχο με δύο ενεργοποιητές και VII

14

15 Κεφάλαιο 1 ο Κεφάλαιο 1 Διάστημα και τεχνητοί δορυφόροι Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια γενική περιγραφή σχετικά με την τεχνολογία των τεχνιτών δορυφόρων. Αρχικά παραθέτονται κάποια ιστορικά στοιχεία και κατηγοριοποιήσεις, καθώς και ανάλυση των περιβαλλοντικών συνθηκών στις οποίες οι δορυφόροι λειτουργούν. Ακολουθεί περιγραφή των χαρακτηριστικών των δορυφόρων τύπου cubesat καθώς και του UPSat, του μικρο-δορυφόρου του Πανεπιστημίου Πατρών. Στη συνέχεια αναλύονται τα υποσυστήματα από τα οποία απαρτίζεται ένας σύγχρονος δορυφόρος και ο ρόλος αυτών. Τέλος, εξηγούνται τα κυρίως χαρακτηριστικά των καθορισμένων τροχιών γύρω από τη γη. 9

16 Κεφάλαιο 1 ο 1.1 Εισαγωγή Η εξερεύνηση του διαστήματος βρίσκεται στο επίκεντρο του ανθρώπινου ενδιαφέροντος εδώ και αρκετές δεκαετίες και συνεχίζει μέχρι και σήμερα µε συνεχώς αυξανόμενο ρυθμό. Η ανάπτυξη της τεχνολογίας που θα καθιστούσε δυνατή αυτή την εξερεύνηση έγινε αντικείμενο επιστημονικών μελετών που σαν σκοπό έχουν την τεχνολογική πρόοδο αλλά και τη βελτίωση της ζωής του ανθρώπου. Η αρχή έγινε από τη Σοβιετική Ένωση µε την εκτόξευση του τεχνητού δορυφόρου Σπούτνικ 1 στις 4 Οκτωβρίου Η συγκεκριμένη χρονιά είχε ορισθεί από την επιστημονική κοινότητα ως Διεθνές Γεωφυσικό Έτος. Οι Σοβιετικοί επιδόθηκαν σε έναν αγώνα δρόμου παράλληλα µε τις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής για το ποιος θα είναι ο πρώτος που θα εκτοξεύσει τεχνητό δορυφόρο στο διάστημα. Τελικά κατάφεραν µε επιτυχία, όχι µόνο να εκτοξεύσουν τον δορυφόρο, αλλά και να επικοινωνήσουν µε τα υποσυστήματα του δορυφόρου λαμβάνοντας δεδομένα από αυτά. Η ιδέα για τη χρήση δορυφόρων για την εξερεύνηση του διαστήματος είχε διατυπωθεί αρκετά χρόνια πριν την πρώτη εκτόξευση, δεν υπήρχε όμως η κατάλληλη τεχνολογία για την επίτευξη της. Μετά τον Β Παγκόσμιο πόλεμο και παράλληλα µε την ανάπτυξη της πυραυλικής τεχνολογίας για στρατιωτικούς σκοπούς, έγιναν οι πρώτες συστηματικές προσπάθειες για την ανάπτυξη της δορυφορικής τεχνολογίας. Από τότε η ανάπτυξή της δε σταμάτησε ποτέ και συνεχίζει μέχρι και σήμερα. Υπολογίζεται ότι από το 1957 έχουν εκτοξευθεί συνολικά πάνω από τεχνητοί δορυφόροι από τους οποίους µόνο παραμένουν σε τροχιά. Από αυτούς µόνο το 7% (περίπου 560) είναι λειτουργικοί ενώ οι υπόλοιποι απλά βρίσκονται σε τροχιά και αποτελούν διαστημικά σκουπίδια. Συνήθως οι δορυφόροι κατηγοριοποιούνται ανάλογα µε το μέγεθος και το βάρος τους. Η χρήση των τεχνητών δορυφόρων γίνεται για διάφορους λόγους από τους οποίους καθορίζεται και ο τύπος του δορυφόρου. Παρακάτω δίνονται οι κατηγορίες τεχνητών δορυφόρων µε βάση το βάρος αλλά και το σκοπό κατασκευής τους. Οι κατηγορίες δορυφόρων σύμφωνα µε το βάρος τους: Μεγάλοι δορυφόροι( >1000kg) Μεσαίου μεγέθους δορυφόροι ( kg) Μικρού μεγέθους δορυφόροι ( kg) Mini-δορυφόροι (50-100kg) Micro-δορυφόροι (10-50kg) Nano-δορυφόροι (1-10kg) 10

17 Κεφάλαιο 1 ο Pico-δορυφόροι (0.1-1kg) Femto-δορυφόροι (<0.1kg) Οι κατηγορίες δορυφόρων σύμφωνα µε τον σκοπό κατασκευής τους: Αστρονομικοί Βιο-δορυφόροι Επικοινωνιακοί Πλοήγησης Γεω-παρατήρησης Αναγνώρισης Μετεωρολογικοί Πρόσδεσης Διαστημικοί σταθμοί 1.2 Συνθήκες σε διαστημικό περιβάλλον Ακτινοβολία Στο διαστημικό περιβάλλον κυριαρχούν δύο ειδών ακτινοβολίες που επηρεάζουν έναν τεχνητό δορυφόρο. Η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία και ακτινοβολία από σωματίδια. Το μεγαλύτερο ποσοστό της ακτινοβολίας προέρχεται από τον ήλιο, αλλά η κοσμική και η σωματιδιακή ακτινοβολία προερχόμενες από το μαγνητικό πεδίο της γης συμβάλλουν επίσης σημαντικά. Η σωματιδιακή ακτινοβολία από το μαγνητικό πεδίο προέρχεται ουσιαστικά και αυτή από τον ήλιο, και είναι παγιδευμένη γύρω από το μαγνητικό πεδίο της γης διατεταγμένη σε ζώνες οι οποίες ονομάζονται ζώνες Van-Aalen. Η ακτινοβολία περιέχεται κυρίως σε αυτές τις ζώνες, εκτός των οποίων θεωρούμε ότι η ακτινοβολία είναι ελάχιστη. Σε κοντινή από τη γη τροχιά ο δορυφόρος δεν θα επηρεάζεται πολύ από αυτές τις ζώνες οι οποίες ξεκινάνε από περίπου 1-2 φορές την ακτίνα της γης(r=6371km). Και τα δύο είδη ακτινοβολίας, σωματιδιακή και η ηλεκτρομαγνητική, υποβαθμίζουν την λειτουργία των ηλεκτρονικών µε την πάροδο του χρόνου. Γι αυτό το λόγο τα ηλεκτρονικά που χρησιμοποιούνται σε τέτοιες αποστολές περνάνε ειδικές δοκιμασίες για την εξακρίβωση της αντοχής τους. Η προστασία των ηλεκτρονικών γίνεται µε θωράκισή του δορυφόρου χρησιμοποιώντας επιλεγμένα για το σκοπό αυτό υλικά, ανθεκτικά στη ακτινοβολία,συνήθως αλουμίνιο. Η ακτινοβολία κυρίως προκαλεί σφάλματα στις λογικές συσκευές,δηλαδή στα ολοκληρωμένα κυκλώματα. Αυτό συμβαίνει όταν ένα σωματίδιο υψηλής ενέργειας προσπίπτει πάνω στο κύκλωμα και το φαινόμενο ονομάζεται Single Event Upset(SEU). Υπάρχουν δύο περιπτώσεις σφαλμάτων. Στην πρώτη περίπτωση το 11

18 Κεφάλαιο 1 ο σωματίδιο που προσπίπτει διασχίζει τα στρώματα του υλικού (συνήθως πυρίτιο η κάποιο άλλο ημιαγωγικό υλικό) δημιουργώντας ένα ιονισμένο μονοπάτι το οποίο βραχυκυκλώνει όλα τα στρώματα όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 1.1: Single Event Upset (SEU) σε τρανζίστορ τύπου MOS. Στη δεύτερη περίπτωση το σωματίδιο προσπίπτει στη συσκευή και πριν προλάβει να διαπεράσει τη συσκευή, συγκρούεται µε τον πυρήνα ενός ατόμου. Αυτό προϋποθέτει ότι το σωματίδιο έχει αρκετή ενέργεια ώστε να διασπάσει τον πυρήνα του ατόμου. Τα κομμάτια από τον πυρήνα εκτοξεύονται και δημιουργούν το καθένα από ένα ιονισμένο μονοπάτι. Η κατάληξη είναι η ίδια µε την πρώτη περίπτωση, έχουμε δηλαδή βραχυκύκλωνα των στρωμάτων του υλικού. Το φορτισμένο σωματίδιο μπορεί να προκαλέσει πολλών ειδών σφάλματα όπως διαγραφή η τροποποίηση ψηφιακά αποθηκευμένων δεδομένων, αλλαγή χρονισμών σε ολοκληρωμένα κυκλώματα κ.α. Εάν το σωματίδιο έχει πολύ υψηλή ενέργεια μπορεί να προκαλέσει μόνιμη βλάβη ή και καταστροφή της προσβαλλόμενης συσκευής. Τότε έχουμε το ονομαζόμενο Single Event Latch-up(SEL). Τα σφάλματα SEU μπορούν να αντιμετωπιστούν µε τον εντοπισμό και την διόρθωσή τους από κατάλληλο λογισμικό. Τα SEL δεν αντιμετωπίζονται µέσω λογισμικού αλλά µόνο µε τεχνικές χρήσης πλεονάζοντος υλικού Θερμοκρασία και Πίεση Όσο απομακρυνόμαστε από τη γη, η ατμόσφαιρα γίνεται όλο και πιο αραιή. Μετά τα 100km η πυκνότητα της ατμόσφαιρας μειώνεται εκθετικά και φτάνει πρακτικά σε συνθήκες κενού, όπου η πίεση είναι πολύ χαμηλή ενώ η εξωτερική θερμοκρασία μπορεί να φτάσει σε τιμές αρκετά υψηλές. Στην εικόνα (1.2) δίνεται η θερμοκρασία συναρτήσει της απόστασης από την επιφάνεια της γης. Επειδή ο δορυφόρος θα βρίσκεται όπως είπατε σε συνθήκες κενού, θα πρέπει να εξασφαλιστεί ότι τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται αντέχουν σε αυτές τις συνθήκες και δεν θα καταστραφούν από το φαινόμενο της εξάτμισης. 12

19 Κεφάλαιο 1 ο Αφού ο δορυφόρος θα βρίσκεται σε κενό θα πρέπει να γίνει ειδική μελέτη ως προς τον τρόπο που θα αποβάλλεται η πλεονάζουσα θερμότητα από τα ηλεκτρονικά. Η θερμότητα αποβάλλεται είτε µέσω θερμικής αγωγής εσωτερικά είτε µέσω θερμικής ακτινοβολίας. Η θερμική μελέτη του δορυφόρου δε θα εξεταστεί σε αυτή τη διπλωματική εργασία. Θα θεωρηθεί ότι τα υποσυστήματα του δορυφόρου προστατεύονται επαρκώς και η λειτουργία τους είναι ομαλή. Κατά τη διάρκεια της εκτόξευσης και ενώ βρίσκεται μέσα στον φορέα P-POD ο δορυφόρος θα πρέπει να αντέχει σε θεοκρασίες που κυμαίνονται από -40 ο C έως 80 ο C. Η θερμοκρασία στα διάφορα υποσυστήματα του δορυφόρου εξαρτάται από την θερμική προστασία που έχει γίνει. Σύμφωνα µε το Τεχνολογικό Ινστιτούτο του Τόκυο η θερμοκρασία θα κυμαίνεται από -40 ο C έως 80 ο C ενώ σύμφωνα µε το Πανεπιστήμιο του Ιλινόις θα βρίσκεται ανάμεσα στους -100 ο C και στους 120 ο C. Είναι σίγουρο λοιπόν ότι ο δορυφόρος θα λειτουργεί κάτω από ακραίες συνθήκες οι οποίες πρέπει να ληφθούν σοβαρά υπό όψη στη θερμική μελέτη ώστε να µην υπάρξουν προβλήματα. Από προηγούμενες επιτυχείς αποστολές Cubesat φαίνεται ότι η χρήση ηλεκτρονικών που λειτουργούν σε θεοκρασίες από -40 ο C έως +85 ο C είναι αποδεκτή. Εικόνα 1.2: Διάταξη στρωμάτων ατμόσφαιρας. Θερμοκρασία και πυκνότητα αερίων συναρτήσει της απόστασης από την επιφάνεια της γης. 13

20 Κεφάλαιο 1 ο Επιτάχυνση και κραδασμοί Όταν ο δορυφόρος βρίσκεται σε τροχιά δε θα υπάρχουν εξωτερικοί κραδασμοί, ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας θα είναι σαφώς μικρότερη απ ότι στην επιφάνεια της γης. Όμως, κατά τη διαδικασία της εκτόξευσης, θα υπάρχουν δυνατοί κραδασμοί και η επιτάχυνση θα είναι πολύ ισχυρή. Ο δορυφόρος, και κατ επέκταση τα εσωτερικά συστήματα, θα πρέπει να είναι κατασκευασμένα με τέτοιο τρόπο ώστε να αντέχουν επιταχύνσεις των 15g. Οι επιταχύνσεις και οι κραδασμοί δεν έχουν άμεσο αντίκτυπο στα ηλεκτρικά χαρακτηριστικά των ηλεκτρονικών στοιχείων που χρησιμοποιούνται, θα πρέπει να δοθεί όμως σημασία στον τρόπο τοποθέτησής τους ώστε να αντέχουν στις μηχανικές καταπονήσεις και τις απότομες επιταχύνσεις. Γι αυτό το λόγο θα πρέπει να αποφεύγονται τα στοιχεία µε μεγάλο βάρος και ύψος τα οποία θα μπορούσαν να σπάσουν κατά τη διάρκεια της επιτάχυνσης. Επίσης θα πρέπει να αποφεύγονται στοιχεία των οποίων τα ηλεκτρικά χαρακτηριστικά είναι δυνατό να αλλάξουν από μηχανικές καταπονήσεις όπως για παράδειγμα τα περιστροφικά ποτενσιόμετρα. Όλα τα παραπάνω πρέπει να ληφθούν υπό όψη ώστε ο σχεδιασμός του υλικού του συστήματος ελέγχου προσανατολισμού να είναι όσο πιο συμπαγές γίνεται και µε το ελάχιστο δυνατό βάρος. Πριν την εκτόξευση ενός δορυφόρου γίνονται δοκιμές ώστε να διαπιστωθεί η αντοχή του συστήματος στους κραδασμούς και στις επιταχύνσεις. Εάν αυτές οι δοκιμές είναι επιτυχείς ο δορυφόρος είναι έτοιμος για εκτόξευση, µε την προϋπόθεση ότι έχουν πιστοποιηθεί ως προς την ορθή λειτουργία τους όλα τα υποσυστήματα του Επίδραση των συνθηκών του διαστήματος στο Σύστημα Ελέγχου Προσανατολισμού Συνοψίζοντας τις πληροφορίες που δόθηκαν στις προηγούμενες υποενότητες, οι κυριότεροι παράγοντες που επηρεάζουν το σύστημα ελέγχου αλλά και κάθε άλλου υποσυστήματος είναι η ακτινοβολία και η θερμοκρασία. Όσον αφορά τα μέτρα που πρέπει να ληφθούν για την προστασία του συστήματος από τις μεταβολές τις θεοκρασίας φαίνεται ότι η χρήση ηλεκτρονικών βιομηχανικής κλίμακας είναι επαρκής µε την προϋπόθεση ότι έχει γίνει θερμική προστασία ώστε στο εσωτερικό η θερμοκρασία να βρίσκεται εντός κάποιων ορίων. Όσον αφορά την ακτινοβολία, το σφάλμα SEU το οποίο αναλύθηκε προηγουμένως, είναι το πιο συχνό και πρέπει να ληφθούν μέτρα ώστε να αποφεύγεται αλλά και να διορθώνεται όταν συμβαίνει γιατί σταδιακά υποβαθμίζει τη λειτουργία των εξαρτημάτων του υποσυστήματος. Εκτός από τα ηλεκτρονικά βιομηχανικής κλίμακας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή και ηλεκτρονικά ημιαγωγικά στοιχεία τα οποία είναι πιστοποιημένα για διαστημικές εφαρμογές. Αυτά τα εξαρτήματα μπορούν να αντέξουν εντός 14

21 Κεφάλαιο 1 ο μεγαλύτερων ορίων θερμοκρασίας αλλά και σε μεγαλύτερες δόσεις ακτινοβολίας. Στην κατασκευή που γίνεται στα πλαίσια της διπλωματικής δε χρησιμοποιούνται εξαρτήματα πιστοποιημένα για διαστημικές εφαρμογές. 1.3 Cubesat Ο Cubesat είναι ένας τύπος δορυφόρου ο οποίος έχει συγκεκριμένες διαστάσεις και βάρος. Ανήκει στην κατηγορία των pico-δορυφόρων. Το πρότυπο του Cubesat αναπτύχθηκε το 1999 από τη συνεργασία του California Polytechnic State University (Calpoly) και του Stanford University, µε κύριο εμπνευστή τον καθηγητή Bob Twiggs. Το όνομα του προκύπτει από το κυβικό του σχήμα. Μία μονάδα Cubesat(1U) έχει διαστάσεις 10cm x 10cm x 10cm και το βάρος της δεν πρέπει να ξεπερνά το 1 χιλιόγραμμο (kg). Ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του είναι ότι χρησιμοποιεί ηλεκτρονικά εξαρτήματα που βρίσκονται εύκολα στο εμπόριο, τα επονομαζόμενα COTS (commercial off-the shelf). Οι περιορισμοί στις διαστάσεις και το βάρος υπάρχουν γιατί οι συγκεκριμένοι δορυφόροι εκτοξεύονται μέσα από ειδικούς φορείς, σταθερών διαστάσεων. Οι φορείς αυτοί ονομάζονται P-POD (Poly-PicoSatellite Orbital Deployer) και αναπτύχθηκαν από το πανεπιστήμιο Cal-Poly ειδικά για τους Cubesat. Εικόνα 1.3: P-POD φορέας για 3 δορυφόρους cubesat Ο Cubesat αναπτύχθηκε για εκπαιδευτικούς σκοπούς και συγκεκριμένα για την ενασχόληση των φοιτητών µε τη διαστημική και δορυφορική τεχνολογία. Χαρακτηριστικό του είναι ότι αποτελείται από υποσυστήματα τα οποία βρίσκονται σε όλους τους σύγχρονους δορυφόρους µε το πλεονέκτημα του χαμηλότερου κόστους κατασκευής και εκτόξευσης. Η κατασκευή ενός Cubesat, εάν συμπεριληφθούν τα έξοδα εκτόξευσης, κυμαίνεται μεταξύ $ δολαρίων. Ένας δορυφόρος επικοινωνιών, ο οποίος ζυγίζει μερικούς τόνους μπορεί να στοιχίσει δεκάδες εκατομμύρια δολάρια µόνο για την εκτόξευσή του. Το πλεονέκτημα των Cubesat είναι εμφανές, όσον αφορά την εκπαιδευτική 15

22 Κεφάλαιο 1 ο ενασχόληση, καθώς το κόστος τους δεν είναι απαγορευτικό ώστε να καλυφθεί από έναν πανεπιστημιακό φορέα. Τα τελευταία χρόνια έχουν αρχίσει να ασχολούνται µε την ανάπτυξη pico-δορυφόρων, εκτός από πανεπιστήμια και ιδιωτικές εταιρείες, οι οποίες κατασκευάζουν και αναλαμβάνουν τις διαδικασίες για την ένταξη των δορυφόρων σε κάποιο πρόγραμμα εκτόξευσης. 1.4 Ο δορυφόρος UPSat Ο UPSat (University of Patras Satellite) είναι ένας τεχνητός δορυφόρος τύπου Cubesat, η ανάπτυξη του οποίου ξεκίνησε σαν ιδέα από το τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών & Αεροναυπηγών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών και συγκεκριμένα από το Εργαστήριο Εφαρμοσμένης Μηχανικής. Είναι η πρώτη προσπάθεια κατασκευής ελληνικού δορυφόρου από ελληνικό Πανεπιστήμιο. Η συμμετοχή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών ξεκίνησε στα μέσα του 2008 από πρωτοβουλία φοιτητών και των δύο τμημάτων, οι οποίοι αποτέλεσαν τον συνδετικό κρίκο αυτής της συνεργασίας. Το επόμενο διάστημα ξεκίνησε η μελέτη των υποσυστημάτων του δορυφόρου στα πλαίσια ανάθεσης διπλωματικών εργασιών στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών. Μέχρι και σήμερα έχουν ανατεθεί τους τρείς διπλωματικές εργασίες, δύο εκ των οποίων έχουν ολοκληρωθεί συμπεριλαμβανόμενης και αυτής. H μελέτη και κατασκευή του UPSat έχει ως κύριο σκοπό την ενασχόληση των φοιτητών µε την τεχνολογία διαστήματος όχι µόνο σε θεωρητικό αλλά κυρίως σε πρακτικό επίπεδο. Επιπλέον, οι φοιτητές που ασχολούνται µε τα διάφορα υποσυστήματα θα πρέπει να βρίσκονται σε συνεχή συνεργασία και επικοινωνία ώστε ο δορυφόρος να λειτουργεί υποδειγματικά και σύμφωνα µε τις προδιαγραφές που έχουν αποφασιστεί. Στις προδιαγραφές των υποσυστημάτων, θα γίνει αναφορά σε επόμενο κεφάλαιο. Απώτερος σκοπός του εγχειρήματος είναι η κατασκευή ενός λειτουργικού δορυφόρου ο οποίος να μπορεί να τεθεί σε τροχιά και να φέρει σε πέρας την αποστολή για την οποία κατασκευάστηκε. 1.5 Υποσυστήματα δορυφόρου Όλοι οι σύγχρονοι δορυφόροι αποτελούνται από διάφορα υποσυστήματα σχεδιασμένα ώστε να καλύπτουν τις απαιτήσεις της αποστολής. Τα επιμέρους υποσυστήματα πρέπει να συνεργάζονται μεταξύ τους για να πετύχουν το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα. Ο σχεδιασμός στους μεγάλους δορυφόρους είναι πολύπλοκη υπόθεση γιατί απαιτείται η μεγιστοποίηση της απόδοσης µε ελαχιστοποίηση του κόστους. Το ίδιο ισχύει κατά συνέπεια και για τον σχεδιασμό του συστήματος 16

23 Κεφάλαιο 1 ο ελέγχου προσανατολισμού. Παρακάτω δίνονται τα κυριότερα υποσυστήματα που συναντώνται σε όλους τους σύγχρονους δορυφόρους Υποσύστημα Επικοινωνιών (COM) Το σύστημα επικοινωνιών αποτελείται από τον πομποδέκτη που είναι εγκατεστημένος στον δορυφόρο αλλά και από το σταθμό βάσης που βρίσκεται στη γη και επικοινωνεί µε τα διάφορα υποσυστήματα του δορυφόρου µέσω του κεντρικού υπολογιστή. Σκοπός του συστήματος το οποίο είναι εγκατεστημένο στον δορυφόρο είναι: Να λαμβάνει και να αποκωδικοποιεί σήματα που στέλνει ο σταθμός βάσης µε συγκεκριμένες εντολές και να τις διαβιβάζει στον κεντρικό υπολογιστή. Να εκπέμπει προς τον σταθμό βάσης πληροφορίες καταγεγραμμένων αλλά και σε πραγματικό χρόνο δεδομένων από τα διάφορα υποσυστήματα Σύστημα αναγνώρισης και ελέγχου προσανατολισμού (ADCS) Ο στόχος του Συστήματος Ελέγχου και Προσδιορισμού Προσανατολισμού είναι διπλός: πρώτον, η σταθεροποίηση του ρυθμού περιστροφής του σώματος του δορυφόρου και της στροφορμής μετά την ολοκλήρωση της απελευθέρωσης του από τον τροχιακό εκτοξευτή τύπου P-POD και των ακολουθιών αποδέσμευσης της κεραίας και δεύτερον, κατά τη διάρκεια της κανονικής λειτουργίας, η σταθεροποίηση του επιθυμητού προσανατολισμού έναντι όλων των διαταραχών που προκύπτουν από το περιβάλλον χαμηλής τροχιάς με σκοπό να κατευθύνει το ωφέλιμο φορτίο προς την επιφάνεια της Γης εντός ενός καθορισμένου περιθωρίου σφάλματος. Οι στόχοι αυτοί πρέπει να επιτευχθούν σε μια αυστηρώς οριοθετημένη μάζα, ισχύ και μέγεθος. Η λειτουργία αυτού του συστήματος είναι πολύ σημαντική καθώς παρέχει την απαιτούμενη ακρίβεια η οποία απαιτείται από τις κεραίες, τα φωτοβολταϊκά κύτταρα και τους διάφορους αισθητήρες. Ο έλεγχος της θέσης του δορυφόρου γίνεται στους τρείς άξονες µέσω αισθητήρων και ενεργοποιητών τα οποία δρουν µε σκοπό την επαναφορά και διατήρηση του προσανατολισμού του δορυφόρου στην επιθυμητή διεύθυνση. Οι αισθητήρες μπορούν να λειτουργούν εντοπίζοντας το ασθενές μαγνητικό πεδίο της γης,τη θέση του ήλιου ή τη θέση των αστεριών και να στέλνουν τα δεδομένα προς επεξεργασία ώστε να δοθούν οι κατάλληλες εντολές στους ενεργοποιητές, δηλαδή στα πηνία. 17

24 Κεφάλαιο 1 ο Κεντρικός υπολογιστής πτήσης(obc) Η μονάδα κεντρικού υπολογιστή πτήσης είναι υπεύθυνη για την λειτουργία του δορυφόρου από τη στιγμή της εκτόξευσης. Δέχεται αναλογικά, διακριτά και ψηφιακά δεδομένα από όλα τα υποσυστήματα του δορυφόρου και τα επεξεργάζεται συνεχώς ώστε να γίνει η εκπομπή τους στο σταθμό βάσης ή να αποθηκευτούν προσωρινά για μετέπειτα χρήση. Αυτά τα δεδομένα επεξεργάζονται από το σταθμό βάσης ώστε να εξαχθούν συγκεράσματα για την λειτουργική κατάσταση του δορυφόρου. Εκτός από τη διαχείριση των δεδομένων, σκοπός του κεντρικού υπολογιστή είναι να επιβλέπει τα επιμέρους υποσυστήματα και να επεμβαίνει σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, οι οποίες έχουν ενσωματωθεί στο λογισμικό από τον σχεδιαστή Σύστημα Θερμικού ελέγχου Το σύστημα θερμικού ελέγχου διατηρεί τη θερμοκρασία όλου του εξοπλισμού μέσα σε καθορισμένα όρια κατά τη διάρκεια της κανονικής λειτουργίας αλλά και σε ειδικές περιπτώσεις όπως για παράδειγμα στην εκτόξευση και όταν συμβαίνει κάποιο σφάλμα. Η θερμική προστασία γίνεται µε διάφορους τρόπους ανάλογα µε τα επιθυμητά όρια διατήρησης θερμοκρασίας, τις εξωτερικές συνθήκες που επικρατούν στην τροχιά που βρίσκεται ο δορυφόρος και το μέγεθος του. Τυπικά εξαρτήματα που χρησιμοποιούνται για αυτό το σκοπό είναι ψυκτικά, περσίδες, θερμικές επενδύσεις πολλών στρωμάτων τύπου κουβέρτας, μονωτικές ταινίες, θερμαστές, θερμοστάτες, αισθητήρες θερμοκρασίας και ηλεκτρονικά ελέγχου. Τα θερμίστορς χρησιμοποιούνται ευρέως ως αισθητήρες θερμοκρασίας. Όλα τα εξαρτήματα διαστασιολογούνται µε βάση την θερμότητα που παράγει το ηλεκτρικό σύστημα, και την εξωτερική θερμότητα που δέχεται ο δορυφόρος από τον ήλιο, την ανακλώμενη στη γη ακτινοβολία και την υπέρυθρη ακτινοβολία από τη γη Σύστημα τροφοδοσίας ηλεκτρικής ισχύος Το σύστημα τροφοδοσίας ηλεκτρικής ισχύος έχει ως σκοπό την παραγωγή, αποθήκευση, ρύθμιση και διανομή της απαιτούμενης ισχύος στα διάφορα υποσυστήματα του δορυφόρου. Στα παραπάνω πρέπει να προστεθεί και η προστασία του συστήματος από σημαντικά σφάλματα και η αποθήκευση δεδομένων για χρήση από τον κεντρικό υπολογιστή. Τα βασικά στοιχεία ενός συστήματος τροφοδοσίας είναι τα φωτοβολταϊκά κύτταρα, οι μπαταρίες, ρυθμιστές για τη φόρτιση και την εκφόρτιση των µπαταριών, ρυθμιστές για την ρύθμιση του επιπέδου τάσης, διακόπτες, ασφάλειες και φυσικά η καλωδίωση. Στο σύστημα μπορούν να προστεθούν και άλλα εξαρτήματα ανάλογα µε το σκοπό της αποστολής. 18

25 Κεφάλαιο 1 ο Οι απαιτήσεις ισχύος, ο σκοπός αλλά κυρίως η διάρκεια της αποστολής είναι οι σημαντικότεροι παράγοντες στους οποίους στηρίζεται η επιλογή της μονάδας παραγωγής ισχύος. Στους μεγάλους δορυφόρους συνήθως επιλέγονται δύο ή και περισσότερες μονάδες παραγωγής ισχύος. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η βέλτιστη επιλογή µε βάση τη διάρκεια της αποστολής και την απαιτούμενη ηλεκτρική ισχύ. Εικόνα 1.4: Επιλογή πηγής ενέργειας για διάφορες απαιτήσεις ισχύος και διάρκειες αποστολής. Στο σύστημα τροφοδοσίας ηλεκτρικής ισχύος του δορυφόρου UPSat γίνεται χρήση φωτοβολταϊκών κυττάρων ειδικά για διαστημικές εφαρμογές για την παραγωγή της απαιτούμενης ηλεκτρικής ισχύος. Για την αποθήκευση χρησιμοποιούνται μπαταρίες ιόντων λιθίου (η πολυμερών) Δομή δορυφόρου Η δομή πάνω στην οποία τοποθετούνται όλα τα εξαρτήματα του δορυφόρου είναι σημαντικό κομμάτι μελέτης καθώς πρέπει να συνδυάζει την λειτουργικότητα και την εργονομία έτσι ώστε να βελτιστοποιείται η απόδοση όλων των υποσυστημάτων. Πάνω στον σκελετό μπορεί να ενσωματώνονται και άλλοι μηχανισμοί για την ανάπτυξη κεραιών, φωτοβολταϊκών συστοιχιών και διάφορων αισθητήρων για τη διεξαγωγή μετρήσεων. Σε έναν δορυφόρο Cubesat του οποίου οι διαστάσεις είναι προκαθορισμένες οι προσπάθειες επικεντρώνονται στην ελαχιστοποίηση του βάρους σε συνδυασμό µε την αύξηση της αντοχής της δομής. Συνήθως χρησιμοποιούνται υλικά όπως αλουμίνιο μαγνήσιο, ατσάλι, βηρύλλιο. Τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται 19

26 Κεφάλαιο 1 ο συχνότερα ανθρακονήµατα τα οποία προσφέρουν υψηλή αντοχή και χαμηλό βάρος. Η κατάλληλη επιλογή υλικών και σχεδιασμού συμβάλλει, εκτός από την προστασία έναντι μηχανικών καταπονήσεων, και στην θερμική προστασία των υποσυστημάτων. Στην εικόνα που ακολουθεί φαίνεται ένας τυπικός σκελετός ενός δορυφόρου τύπου Cubesat Εικόνα1.5: Σκελετός δορυφόρου Cubesat κατασκευασμένος από αλουμίνιο. Για τον δορυφόρο UPSat έγινε ειδική μελέτη της δομής στα πλαίσια εκπόνησης διπλωματικής εργασίας από τον φοιτητή του τμήματος Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Ανδρέα Αµπατζόγλου µε τίτλο «Σχεδιασμός και ανάλυση μικροδορυφόρου κατασκευασμένου από σύνθετα υλικά. Σύγκριση µε τυπικό μικροδορυφόρο κατασκευασμένο από αλουμίνιο». Σκοπός της διπλωματικής είναι να σχεδιασθεί και να αναλυθεί η δομή του δορυφόρου UPSat µε τη χρήση σύνθετων υλικών (Τ300_5208 Carbon/Epoxy) και να γίνει σύγκριση µε µία τυπική δομή Cubesat κατασκευασμένη από αλουμίνιο (κράμα αλουμινίου 6061). Επίσης γίνεται σύγκριση ανάμεσα στη βασική δομή και σε µία τροποποιημένη η οποία περιλαμβάνει και τις μάζες των βασικών ηλεκτρονικών. Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται τα αποτελέσματα της σύγκρισης. Η διαφορά στην πρώτη ιδιοσυχνότητα της δομής είναι ελάχιστη ενώ η διαφορά στη μάζα είναι εμφανής. Στη βασική δομή έχουμε μείωση 58% της μάζας ενώ στην τροποποιημένη 28% χωρίς να υπάρχει υποβάθμιση της αντοχής. 20

27 Κεφάλαιο 1 ο Εικόνα1.6: Σύγκριση μάζας και 1ης ιδιοσυχνότητας βασικής και τροποποιημένης δομής ενός Cubesat-Kit και του δορυφόρου UPSat. 1.6 Επιλογή τροχιάς δορυφόρου Η γη είναι µια σφαίρα ελαφρώς πεπλατυσμένη στον ισημερινό. Η διάμετρος της είναι km στους δύο πόλους και km στον ισημερινό, µε τη διάφορά να είναι 42.78km. Η ατμόσφαιρα της γης εκτείνεται για μερικές δεκάδες χιλιόμετρα και σταδιακά μειώνεται η παρουσία της. Οι δορυφόροι που περιβάλλουν τη γη κατηγοριοποιούνται ανάλογα µε την απόστασή της τροχιάς τους από τη γη. Θα αναφερθούν οι κυριότερες τροχιές στις οποίες δρομολογούνται οι δορυφόροι, µε ποια κριτήρια επιλέγονται και τα κυριότερα χαρακτηριστικά τους. Στην εικόνα 1.7 φαίνονται οι κυριότερες τροχιές γύρω από τη γη. Εικόνα1.7: Κυκλικές τροχιές δορυφόρων γύρω από τη γη 21

28 Κεφάλαιο 1 ο Η τροχιά ενός δορυφόρου μπορεί να είναι κυκλική ή ελλειπτική. Στην πρώτη περίπτωση, η απόσταση του δορυφόρου από τη γη είναι σταθερή, ενώ στη δεύτερη περίπτωση η απόσταση μεταβάλλεται. Χαρακτηριστικά της ελλειπτικής τροχιάς είναι το απόγειο, το περίγειο, η εκκεντρικότητα, η κλίση, η περίοδος και η ταχύτητα. Το απόγειο είναι η μέγιστη απόσταση του δορυφόρου από τη γη ενώ το περίγειο είναι η ελάχιστη απόσταση. Η εκκεντρικότητα είναι το πηλίκο της διαφοράς προς το άθροισα του απογείου και του περιγείου. Παίρνει τιμές από 0 (κυκλική τροχιά) μέχρι 1. Για εκκεντρικότητα ίση µε 1 δεν έχουμε πλέον ελλειπτική τροχιά αλλά παραβολή. Ως κλίση ορίζουμε τη γωνία μεταξύ της τροχιάς του δορυφόρου και του ισημερινού. Για παράδειγμα η γη, που θεωρείται δορυφόρος του ήλιου, έχει ελλειπτική τροχιά γύρω από τον ήλιο µε αφήλιο (το αντίστοιχο απόγειο) 152,097,701 km, περιήλιο (το αντίστοιχο περίγειο) 147,098,074 km, εκκεντρικότητα και κλίση ως προς τον ηλιακό ισημερινό 7.25 ο. Η περίοδος είναι το χρονικό διάστημα για τη συμπλήρωση μιας πλήρους περιστροφής γύρω από τη γη. Η ταχύτητα του δορυφόρου εξαρτάται από την απόσταση που έχει από τη γη. Για κυκλικές τροχιές η ταχύτητα του δορυφόρου είναι σταθερή ενώ για ελλειπτική τροχιά μεταβάλλεται. Ο υπολογισμός της ταχύτητας θα γίνει αναλυτικότερα σε επόμενη ενότητα. Εικόνα1.8: Χαρακτηριστικά κυκλικής και ελλειπτικής τροχιάς[55] Γεωσύγχρονη τροχιά Η Γεωσύγχρονη τροχιά (Geosynchronous Earth Orbit - GEO) είναι σχεδόν κυκλική και βρίσκεται σε απόσταση km από την επιφάνεια της γης. Η κλίση ως προς τον ισημερινό μπορεί να κυμαίνεται από 0 έως 90 ο. Ένας δορυφόρος που τοποθετείται σε αυτή την τροχιά κινείται από την δύση στην ανατολή και είναι συγχρονισμένος µε τον ρυθμό και την κατεύθυνση κίνησης της γης. Δηλαδή παραμένει σταθερός ως 22

29 Κεφάλαιο 1 ο προς τη γη και βλέπει συνεχώς την ίδια περιοχή της. Η περίοδος της τροχιάς είναι ίδια µε αυτή της γης για µια πλήρη περιστροφή, όχι 24 ώρες όπως είναι ευρέως γνωστό για πρακτικούς λόγους, αλλά 23 ώρες 56 λεπτά και 4.09 δευτερόλεπτα. Οι περισσότεροι δορυφόροι επικοινωνιών τοποθετούνται σε αυτή την τροχιά,καθώς µε τρείς µόνο δορυφόρους, µε διαφορά 120 ο μεταξύ τους, μπορεί να καλυφθεί όλη η επιφάνεια της γης. Για την επικοινωνία µε δορυφόρους σε τροχιά GEO απαιτείται η χρήση κατευθυντικών κεραιών, κάτι που δε θεωρείται απαραίτητα μειονέκτημα αφού έτσι κι αλλιώς χρησιμοποιούνται από τους σταθμούς βάσης για διάφορους σκοπούς. Πλεονέκτημα αποτελεί και η μεγαλύτερη ευκολία εκτόξευσης και διατήρησης του δορυφόρου σε αυτή την τροχιά µε πολύ λιγότερα καύσιμα Γεωστατική Τροχιά Η γεωστατική τροχιά (Geostationary Earth Orbit - GEO) είναι ειδική περίπτωση της γεωσύγχρονης. Είναι απόλυτα κυκλική µε σταθερή απόσταση km από τη γη. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της, που τη διαφοροποιεί από τη γεωσύγχρονη, είναι η μηδενική κλίση της ως προς τον ισημερινό της γης. Η περίοδος περιστροφής είναι ίδια µε αυτή της γεωσύγχρονης. Πλεονέκτημα αυτής της τροχιάς είναι η ευκολία στην επικοινωνία του δορυφόρου µε το σταθμό βάσης καθώς είναι σε συνεχή οπτική επαφή. Μειονέκτημα αποτελεί η αναγκαιότητα για χρήση περισσότερων καυσίμων ώστε να φτάσει ο δορυφόρος στην τροχιά αλλά και να τη διατηρήσει. Επίσης, επειδή ο αριθμός των δορυφόρων σε αυτή την τροχιά έχει αυξηθεί τα τελευταία χρόνια, είναι δύσκολη η τοποθέτηση του δορυφόρου χωρίς να υπάρχει παρεμβολή στις ραδιοσυχνότητες από γειτονικούς δορυφόρους Τροχιά μέσης απόστασης ως προς τη γη Η μέση τροχιά (Medium Earth Orbit - MEO) είναι αυτή που βρίσκεται ανάμεσα στην γεωσύγχρονη και στην τροχιά μικρής απόστασης ως προς τη γη (LEO). Μπορεί να είναι είτε κυκλική είτε ελλειπτική. Η απόσταση από την επιφάνεια της γης κυμαίνεται συνήθως από 2000km έως km. Μέσα σε αυτή την περιοχή βρίσκονται ζώνες ακτινοβολίας οι οποίες πρέπει να αποφεύγονται ώστε να µην επηρεάζονται τα υποσυστήματα του δορυφόρου. Σε τροχιά MEO, και συγκεκριμένα σε απόσταση km βρίσκονται όλοι οι δορυφόροι του παγκόσμιου συστήματος εντοπισμού θέσης, το γνωστό GPS. Οι δορυφόροι αυτής της περιοχής ολοκληρώνουν µια πλήρη περιστροφή σε διάστημα 2 έως 24 ωρών. 23

30 Κεφάλαιο 1 ο Τροχιά μικρής απόστασης ως προς τη γη Η τροχιά μικρής απόστασης ως προς τη γη είναι περίπου κυκλική και η απόσταση από την επιφάνεια της γης κυμαίνεται από 160 έως 2000km. Οι δορυφόροι που τοποθετούνται στη συγκεκριμένη τροχιά είναι συνήθως μικρότερου μεγέθους και απλούστερης κατασκευής από αυτούς που τοποθετούνται σε μεγαλύτερες αποστάσεις ενώ η επικοινωνία µε αυτούς γίνεται µε πολύ μικρές καθυστερήσεις. Το κόστος εκτόξευσης δορυφόρου σε τροχιά LEO είναι πολύ μικρότερο συγκριτικά µε την τοποθέτηση μεγάλων δορυφόρων σε τροχιές MEO ή GEO. Εκτός από τα πλεονεκτήματα τοποθέτησης του δορυφόρου σε τροχιά LEO υπάρχουν και μειονεκτήματα τα οποία πρέπει να ληφθούν υπό όψη. Λόγω της μικρής απόστασης από τη γη οι συγκεκριμένοι δορυφόροι δεν είναι κατάλληλοι για επικοινωνιακές ζεύξεις καθώς το κομμάτι της επιφάνειας της γης που καλύπτουν είναι πολύ μικρό συγκρινόμενο µε δορυφόρους τοποθετημένους σε τροχιά GEO. Για την ίδια κάλυψη απαιτούνται δεκάδες δορυφόροι οι οποίοι πρέπει να έχουν στραμμένες τις κεραίες τους σε συγκεκριμένα σημεία, διαδικασία η οποία είναι ενεργοβόρος και συνεπώς δαπανηρή. Ένα άλλο πρόβλημα για τους δορυφόρους της συγκεκριμένης τροχιάς είναι η ατμοσφαιρική τριβή. Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η ατμόσφαιρα της γης μειώνεται σταδιακά και μετά από κάποια απόσταση θεωρούμε ότι βρισκόμαστε πρακτικά σε συνθήκες κενού. Εάν ο δορυφόρος βρίσκεται σε μικρή απόσταση από τη γη, κάτω από 500 χιλιόμετρα περίπου, τότε λόγω της μεγάλης ταχύτητας που θα έχει αναπτύξει και λόγω της παρουσίας αερίων της θερμόσφαιρας θα δημιουργηθεί τριβή η οποία καταπονεί τον δορυφόρο. Επίσης σε τροχιά μικρής απόστασης υπάρχει μεγαλύτερος κίνδυνος σύγκρουσης µε διάφορα αντικείμενα τα οποία θα επηρεάσουν τη λειτουργία του δορυφόρου. Παράδειγμα τεχνητού δορυφόρου που βρίσκεται σε τροχιά LEO είναι ο Διεθνής Διαστημικός Σταθμός (International Space Station-ISS) ο οποίος βρίσκεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη γη. Η απόσταση από τη γη αλλάζει κατά καιρούς και κυμαίνεται από 278 έως 460 χιλιόμετρα µε κλίση 51.6 μοίρες ως προς τον ισημερινό. Η μέση ταχύτητά του είναι m/s ή ,8 km/h µε περίοδο τροχιάς 91 λεπτά περίπου. Λόγω της ατμοσφαιρικής τριβής η απόσταση του ISS μειώνεται συνεχώς από τη γη και για αυτό το λόγο πρέπει κατά διαστήματα να ενεργοποιούνται προωθητές οι οποίοι τον επανατοποθετούν στη σωστή τροχιά. Ο δορυφόρος UPSat θα τοποθετηθεί σε τροχιά LEO της οποίας η απόσταση δεν έχει καθοριστεί ακόμα και θα εξαρτηθεί κυρίως από την αποστολή στην οποία θα ενταχθεί. Συνήθεις τροχιές για δορυφόρους τύπου Cubesat κυμαίνονται από 300 έως και 700 χιλιόμετρα από την επιφάνεια της γης ενώ η κλίση ως προς τον ισημερινό µε τη οποία τοποθετούνται παίρνει τιμές από 0 έως και 90 μοίρες και 24

31 Κεφάλαιο 1 ο εξαρτάται από την περιοχή την οποία απαιτείται να καλυφθεί. Η γνώση της τροχιάς του δορυφόρου είναι σημαντική για τη μελέτη και το σχεδιασμό του συστήματος ελέγχου προσανατολισμού. 25

32 Κεφάλαιο 2 ο Κεφάλαιο 2 Το μοντέλο του δορυφόρου Η συμπεριφορά της δυναμικής του δορυφόρου συμπεριλαμβάνει την αναλυτική μελέτη της περιστροφικής κίνησης ενός σχεδόν ελεύθερου από ροπές σώματος στο χώρο των τριών διαστάσεων ενώ έχει εικονικά αποδεσμευτεί από την μεταφορική του κίνηση. Το παρόν κεφάλαιο παρουσιάζει περιληπτικά το απαραίτητο μαθηματικό υπόβαθρο για την παραμετροποίηση του προσανατολισμού ενός άκαμπτου σώματος στο διάστημα. Επίσης μελετάται η κινηματική και η δυναμική του σώματος και παρουσιάζονται οι αντίστοιχες μη γραμμικές δυναμικές και κινηματικές εξισώσεις της κίνησης. Στο κεφάλαιο αυτό ακόμα θα παρουσιαστεί η ροπή προερχόμενη από την έλξη της βαρύτητας της γης, ως μία υποστηρικτική στο σύστημα ελέγχου προσανατολισμού ροπή του διαστημικού περιβάλλοντος και θα αναλυθεί η επίδραση της στην ευστάθεια της πτήσης. Το σημαντικό αποτέλεσμα του κεφαλαίου είναι η εξαγωγή του γραμμικού μοντέλου στο χώρο κατάστασης της δυναμικής του δορυφόρου το οποίο θα χρησιμοποιείται για το σχεδιασμό του ελεγκτή. 26

33 Κεφάλαιο 2 ο 2.1 Συστήματα Αναφοράς Για την περιγραφή της κινηματικής και δυναμικής συμπεριφοράς των σωμάτων στο διάστημα με μαθηματικό τρόπο, είναι απαραίτητη η θέσπιση κάποιων συστημάτων αναφοράς. Τα συστήματα τα οποία χρησιμοποιούνται ευρέως στη διαστημική μηχανική διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, αυτά τα οποία έχουν την αρχή των αξόνων τους στο κέντρο του δορυφόρου και αυτά τα οποία έχουν την αρχή των αξόνων τους στο κέντρο της γης Δορυφόρο-κεντρικά Συστήματα Αναφοράς Τα χρήσιμα συστήματα αναφοράς τα οποία χρησιμοποιούνται ευρέως στη δυναμική των διαστημικών πτήσεων αποτελούνται από τρία ορθογώνια μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα βάσης και θα συμβολίζονται ως. Παρουσιάζεται παρακάτω ένα περιορισμένο σύνολο με τα σημαντικότερα και πιο χρήσιμα συστήματα αναφοράς τα οποία εμφανίζονται στη βιβλιογραφία και σχηματίζουν μία κοινή βάση για τη μελέτη της δυναμικής των διαστημικών πτήσεων. Όλα τα συστήματα συντεταγμένων αυτής της εργασίας θεωρούνται δεξιόστροφα ( ). Τέσσερα δορυφόρο-κεντρικά συστήματα συντεταγμένων, δηλαδή συστήματα η αρχή των οποίον συμπίπτει με το κέντρο βάρους (ΚΒ) του δορυφόρου, παρέχουν μια επαρκή βάση για πολλές από τις εργασίες που θα λάβουν χώρα και είναι ίσως τα χρησιμότερα στον μηχανικό ελέγχου διαστημικών πτήσεων. Αυτά είναι το αδρανειακό σύστημα (inertial frame), το τροχιακό σύστημα (orbit frame), το σύστημα του σώματος (body frame) και το σύστημα ελέγχου (control frame). Στην εικόνα 2.1 φαίνονται τρία από τα τέσσερα συστήματα συντεταγμένων. Εικόνα 2.1: Τα τρία σημαντικότερα δορυφόρο-κεντρικά συστήματα αναφοράς. Σύστημα ελέγχου (μαύρο), το σύστημα του σώματος (μπλε) και η συσχέτιση τους με το τροχιακό σύστημα (πράσινο). Δεξιά: το τροχιακό σύστημα αναφοράς σε σχέση με το Γεωκεντρικό Αδρανειακό σύστημα αναφοράς (ECI). 27

34 Κεφάλαιο 2 ο Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς Ο άξονας του αδρανειακού συστήματος αναφοράς συνδέει τους πόλους της ουράνιας σφαίρας με κέντρο το κέντρο του δορυφόρου και είναι παράλληλος με τον άξονα περιστροφής της Γής, ο οποίος είναι (σχεδόν) αδρανειακά σταθερός. Ο άξονας ενώνει το ΚΒ του δορυφόρου με την από το νότο προς το βορά τομή του ελλειπτικού επιπέδου και του ισημερινού της ουράνιας σφαίρας με κέντρο το κέντρο του δορυφόρου. Αλλιώς, είναι η παράλληλη κατεύθυνση στη γραμμή που ενώνει τον ήλιο με τη γη τη πρώτη μέρα της άνοιξης για το βόρειο ημισφαίριο. Αυτή η κατεύθυνση ιστορικά ονομάζεται εαρινή ισημερία. Ο άξονας συμπληρώνει το ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Τροχιακό Σύστημα Αναφοράς Για το πρόβλημα του ελέγχου του προσανατολισμού ενός δορυφόρου ως προς τη διεύθυνση της γης (nadir-pointing) το τροχιακό σύστημα είναι στην ουσία το επιθυμητό σύστημα αναφοράς με τους άξονες του οποίου ο προσανατολισμός του δορυφόρου θέλουμε να συμπίπτει. Ο άξονας του τροχιακού συστήματος αναφοράς έχει κατεύθυνση το κεντροειδές της γης και ο άξονας είναι αντιπαράλληλος στο κάθετο διάνυσμα του επιπέδου της τροχιάς. Τέλος, ο άξονας συμπληρώνει το δεξιόστροφο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και συμπίπτει με το διάνυσμα της ταχύτητας του δορυφόρου όταν η τροχιά είναι τελείως κυκλική. Για κάθε κλειστή τροχιά, το τροχιακό σύστημα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα και ως προς το αδρανειακό σύστημα. Για κυκλικές τροχιές, ο ρυθμός περιστροφής (γνωστός και ως mean motion ) είναι σταθερός και συμβολίζεται ως. Σύστημα Αναφοράς του Σώματος Ένας σωστός ορισμός του Συστήματος Αναφοράς του Σώματος μπορεί να βασιστεί στις γεωμετρικές ιδιότητες του δορυφόρου. Στη περίπτωση των cubesat, τα οποία χαρακτηρίζονται από κυβική δομή, οι άξονες διαισθητικά επιλέγονται έτσι ώστε να είναι παράλληλοι με τις ακμές του κύβου ή αντίστοιχα να είναι κάθετοι στις έδρες του. Η προέλευση των ονομασιών των αξόνων του συστήματος του σώματος έχει τις ρίζες της στις αρχές της αεροναυτικής όπου x-z-y ήταν «εμπρός, κάτω, πάνω από το δεξιό φτερό» αντίστοιχα. Σύστημα Αναφοράς Ελέγχου Η μήτρα των ροπών αδράνειας της δομής ενός δορυφόρου παραλληλισμένη με το σύστημα αναφοράς του σώματος περιέχει μη-μηδενικά γινόμενα αδράνειας. Σε πολλές περιπτώσεις οι εξισώσεις μπορούν να απλοποιηθούν σημαντικά εάν το πρόβλημα της δυναμική περιγράφει σε ένα σύστημα, στο οποίο όλοι οι όροι εκτός της κύριας διαγωνίου της θετικά ορισμένης μήτρας των ροπών αδρανείας είναι 28

35 Κεφάλαιο 2 ο μηδέν. Το σύστημα στο οποίο συμβαίνει αυτό ονομάζεται «κύριο» σύστημα (principal system) ή σύστημα ελέγχου. Τα στοιχεία της διαγωνίου της μήτρας που προκύπτει βρίσκονται με επίλυση της του γραμμικού προβλήματος ιδιοτιμών: (2.1) Οι ιδιοτιμές είναι οι κύριες ροπές αδράνειας και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα διανύσματα βάσης του συστήματος αναφοράς ελέγχου εκφρασμένα στο σύστημα αναφοράς του σώματος. Τα ιδιοδιανύσματα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για το σχηματισμό της Μήτρας Συνημίτονων Κατεύθυνσης, η οποία μετατρέπει το σύστημα αναφοράς του σώματος στο σύστημα αναφοράς ελέγχου. Στόχος κατά το σχεδιασμό της δομής και των υποσυστημάτων του δορυφόρου είναι ο παραλληλισμός των αξόνων του Συστήματος Σώματος με τους «κύριους» άξονες (principal axes). Η υπόθεση ότι είναι σωστή για τη περίπτωση του UPSat και θα χρησιμοποιηθεί στη παρούσα εργασία Γεωκεντρικά Συστήματα Αναφοράς Έχοντας ως σκοπό τον καθορισμό του προσανατολισμού, δύο επιπλέον συστήματα αναφοράς, τα οποία εστιάζουν στο κεντροειδές της Γης, είναι χρήσιμα. Εικόνα 2.2: Τα συστήματα αναφοράς ECEF & ECI. Γεωκεντρικό Αδρανειακό Σύστημα (ECI) Το σύστημα ECI (Earth Centered Inertial), είναι ένα (εν μέρει) αδρανειακό σύστημα αναφοράς με αρχή των αξόνων στο κέντρο μάζας της Γης. Το σύστημα αυτό είναι ίδιο από όλες τις απόψεις με το αδρανειακό δορυφόροκεντρικό σύστημα που περιγράφηκε παραπάνω, εκτός από τον διαφορετικό ορισμό προέλευσης. Οι ονομασίες των αξόνων είναι ο που έχει φορά προς την εαρινή 29

36 Κεφάλαιο 2 ο ισημερία, ο που κατευθύνεται προς τον (γεωγραφικό) βόρειο πόλο και ο που συμπληρώνει το σύστημα ως προς τη δεξιά φορά. Το σύστημα ECI χρησιμοποιείται κυρίως στην καρτεσιανή του μορφή: σχεδόν κάθε πρόγραμμα διάδοσης τροχιάς (orbit propagation) αποδίδει ένα διάνυσμα κατάστασης της θέσης στο καρτεσιανό σύστημα ECI. φυσικά δεν δίνεται μόνο η θέση του διαστημοπλοίου στο σύστημα ECI, αλλά επίσης και θέσεις άλλων σωμάτων, όπως είναι αυτή του ήλιου ή της σελήνης. Να σημειωθεί ότι η εαρινή ισημερία υπόκειται στην μετάπτωση των ισημεριών λόγω των κυρίαρχων διαταραχών που προκαλούνται από τον ήλιο και τη σελήνη. Η εαρινή ισημερία κινείται σε αργό αλλά με εμφανή ρυθμό περίπου 50 arcseconds ανά έτος. Επιπλέον, ο άξονας περιστροφής της Γης υπόκειται σε μετάπτωση, γεγονός που διαταράσσει επίσης τον ορισμό του αδρανειακού συστήματος. Οι αστρονόμοι παρακολουθούν αυτή την κίνηση και διατυπώνουν έναν νέο ορισμό του αδρανειακού συστήματος αναφοράς σε τακτό χρονικό διάστημα. Εφόσον ο ρυθμός αλλαγής είναι μικρός, η περίοδος ενημέρωσης των πληροφοριών ανά 50 χρόνια είναι αρκετή. Η πιο πρόσφατη ενημέρωση έγινε την εποχή του 2000 και η επόμενη αναμένεται το Γεωκεντρικό-Γεωστατικό Σύστημα (ECEF) Το σύστημα ECI που περιγράφθηκε παραπάνω είναι αδρανειακό, δηλαδή η Γη περιστρέφεται εντός του συστήματος ECI σε χρονικό διάστημα μιας αστρικής ημέρας. Για τον καθορισμό του προσανατολισμού είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε τη θέση του δορυφόρου σε ένα σύστημα που είναι σταθερό με την περιστροφή της Γης. Αυτό το σύστημα ονομάζεται Earth Centered Earth Fixed (ECEF) και μερικές φορές αναφέρεται και ως ECF. Συχνά, το σύστημα ECEF χρησιμοποιείται ως σφαιρική αναφορά, καθιστώντας το έτσι το μοναδικό σύστημα με κυρίως σφαιρική χρήση. Η θέση ενός αντικειμένου σε αυτό το σύστημα παραμετροποιείται από δύο γωνίες και την απόσταση από το κέντρο των αξόνων. Οι γωνίες είναι τα γνωστά γεωγραφικό πλάτος λ και γεωγραφικό μήκος φ και η απόσταση από κέντρο αναφέρεται ως ακτίνα R. O άξονας κατευθύνεται από το κεντροειδές της Γης στο γεωγραφικό βόρειο πόλο. Ο άξονας διέρχεται από τη τομή του πρώτου μεσημβρινού με το ισημερινό επίπεδο. Ο πρώτος μεσημβρινός ορίζεται ιστορικά ως ο ισημερινός ο οποίος διέρχεται από την περιοχή του Βρετανικού Βασιλικού Αστρονομικού Αστεροσκοπείου στο Γκρήνουιτς, κοντά στο Λονδίνο. Κατά συνέπεια, είναι επίσης γνωστός ως ο Μεσημβρινός του Γκρήνουιτς. Ο άξονας επιλέγεται έτσι ώστε να σχηματιστεί ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστημα αναφοράς. Το σύστημα ECEF παίζει σημαντικό ρόλο όποτε απαιτείται η συσχέτιση της θέσης του δορυφόρου (στο αδρανειακό σύστημα) με μια οντότητα που είναι σταθερή 30

37 Κεφάλαιο 2 ο στην περιστροφή της Γης. Τέτοια παραδείγματα είναι σταθερά σημεία στην επιφάνεια της Γης όπως σταθμοί εδάφους (εφόσον ο σταθμός εδάφους κινείται με τη Γη) και η εκτίμηση του διανύσματος του γεωμαγνητικού πεδίου σε μια δεδομένη θέση (εφόσον το δυναμικό του γεωμαγνητικού πεδίου είναι φυσικά σταθερό στο σώμα της Γης). 2.2 Παραμετροποίηση του προσανατολισμού. Είναι συχνά απαραίτητο να πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς μεταξύ των διαφόρων συστημάτων συντεταγμένων. Για παράδειγμα όταν θέλουμε να εκφράσουμε ένα διάνυσμα σε ένα διαφορετικό σύστημα αναφοράς. Η παραπάνω συζήτηση σχετικά με τη σχέση του συστήματος αναφοράς ελέγχου και αυτό του σώματος, έχει εισάγει την πρακτική ανάγκη να μπορούμε να εκφράζουμε το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο. Γνωρίζοντας το προσανατολισμό ενός συστήματος αναφοράς γνωρίζουμε αντίστοιχα και τον προσανατολισμό του άκαμπτου σώματος στο οποίο είναι προσαρτημένο το σύστημα αναφοράς. Στα ακόλουθα παρουσιάζονται τρείς από τις πιο συνήθης μεθόδους για να τη παραμετροποίηση του προσανατολισμού ενός άκαμπτου σώματος και τη μετατροπή μεταξύ συστημάτων αναφοράς. Αυτές είναι η μήτρα συνημίτονων κατεύθυνσης, οι γωνίες Euler και τα quaternions Μήτρα Συνημίτονων Κατεύθυνσης Ο πιο ευθύς τρόπος μετασχηματισμού ενός συνόλου διανυσμάτων βάσης σε ένα άλλο είναι μέσω μετασχηματισμού μητρώων. Για παράδειγμα, μία μήτρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μετατρέψει διανύσματα του σε. (2.2) Οι μετασχηματισμοί αυτοί έχουν την ιδιότητα να είναι ορθοκανονικοί, έτσι το ο ανάποδος μετασχηματισμός από το στο επιτυγχάνεται με απλή αναστροφή της μήτρας (2.3) (2.4) Μία μήτρα μετασχηματισμού αυτής της μορφής καλείται Μήτρα Συνημίτονων Κατεύθυνσης - ΜΣΚ (Direction Cosine Matrix - DCM), λόγω του γεγονότος ότι αποτελείται από τα συνημίτονα κατεύθυνσης των γωνιών μεταξύ των αντίστοιχων διανυσμάτων βάσης, 31

38 Κεφάλαιο 2 ο (2.5) τα οποία, στη περίπτωση της (2.5), αναπαριστούν τη βαθμωτή προβολή των αξόνων του συστήματος αναφοράς του σώματος στα διανύσματα βάσης του τροχιακού συστήματος αναφοράς Γωνίες Euler Ο πιο εύκολος τρόπος κατασκευής της ΜΣΚ στη περίπτωση στρεφόμενων συστημάτων αναφοράς και περιγραφής του προσανατολισμού ενός οχήματος είναι με το να περιγράφει μια τυχαία περιστροφή ως μια σειρά τριών απλών περιστροφών γύρω από τα διανύσματα βάσης του συστήματος αναφοράς του σώματος. Είναι γνωστή η παραμετροποίηση της απόκλισης του ως προς το με όρους του συνόλου των τριών «Tait-Bryan» γωνιών, ή «Cardan» γωνίες, pitch (θ), roll(φ), yaw(ψ). Οι όροι αυτοί έχουν τις ρίζες τους στη ορολογία της αεροναυτικής, και η χρήση τους επεκτάθηκε και στη διαστημική. Ο πιο διαδεδομένος ορισμός του συστήματος αναφοράς του σώματος ενός αεροσκάφους είναι «εμπρός, πάνω από τη δεξιά πτέρυγα, κάτω» ως προς τη διεύθυνση, και «roll, pitch, yaw» ως προς τους άξονες αντίστοιχα. Για ένα το προσανατολισμό ενός διαστημικού σκάφος 3-αξόνων, μια ακολουθία περιστροφών χρησιμοποιείται συχνά. Αυτό σημαίνει ότι η αρχική τριάδα διανυσμάτων του σώματος πρώτα υποβάλλεται σε μία περιστροφή ψ (yaw) γύρω από τον άξονα του συστήματος αναφοράς του σώματος η οποία έχει ως αποτέλεσμα ένα καινούριο πλαίσιο Η επόμενη περιστροφή θα είναι γύρω από τον άξονα για μια γωνία θ (pitch) και θα σχηματιστεί η τριάδα, και τέλος το καινούριο πλαίσιο περιστρέφεται γύρω από τον άξονα για μια γωνία φ (roll). Μαθηματικά το παραπάνω μπορεί να εκφραστεί ως 32

39 Κεφάλαιο 2 ο ή (2.6.α) (2.6.β) Οι τρείς ξεχωριστές περιστροφές οδηγούν στην ΜΣΚ για την απόλυτη περιστροφή του ως προς το. Στην (2.7) οι χαρακτήρες c και s συμβολίζουν τη συνάρτηση συνημίτονου και ημιτόνου αντίστοιχα. (2.7) Η προσέγγιση μικρών γωνιών είναι μια συνήθης παραδοχή για τη γραμμικοποίηση των δυναμικών συστημάτων, όπως θα παρουσιαστεί αργότερα στο παρόν κεφάλαιο. Η γραμμικοποιημένη ΜΣΚ για μία ακολουθία περιστροφών είναι (2.8) Υπάρχουν τρείς άξονες μεταξύ των οποίων μπορούμε να διαλέξουμε για τη πρώτη περιστροφή, δύο για τη δεύτερη και δύο για τη τρίτη, δηλαδή υπάρχουν 3x2x2 = 12 δυνατές ακολουθίες περιστροφών, εκ των οποίων έξι σχηματίζονται από ένα συμμετρικό σύνολο γωνιών Euler, πχ Να σημειωθεί ότι, αντίθετα με τις περιστροφές που καθορίζονται από τη ΜΣΚ, οι περιστροφές με όρους γωνιών Euler απαιτούν συνέπεια στην επιλογή της ακολουθίας των περιστροφών. Έτσι, οι γωνίες Euler χωρίς τήρηση της συμφωνημένης ακολουθίας περιστροφών έχει ως αποτέλεσμα αμφιλεγόμενες πληροφορίες για το προσανατολισμό. Ωστόσο, το κυρίως πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε θέλοντας να κατασκευάσουμε τη ΜΣΚ από τις γωνίες Euler είναι η ύπαρξη ιδιόμορφων σημείων (singularities) και το υπολογιστικό κόστος το οποίο απαιτείται για τον υπολογισμό έξι τριγωνομετρικών εξισώσεων, τεσσάρων προσθέσεων και δεκαέξι πολλαπλασιασμών. Εναλλακτική κινηματική αναπαράσταση υπάρχει, η οποία απολαμβάνει διαφόρων προτεραιοτήτων συγκρινόμενη με αυτή των γωνιών Euler. Η πιο σημαντική μέθοδος παραμετροποίησης του προσανατολισμού ενός σώματος επιτυγχάνεται μα τη χρήση των quaternions. 33

40 Κεφάλαιο 2 ο Quaternions Μετά τη ανακάλυψη των μιγαδικού αριθμητικού συστήματος πολλοί μαθηματικοί αναρωτηθήκαν αν υπάρχουν αριθμητικά συστήματα ακόμα μεγαλύτερης διάστασης. Μετά από μια μεγάλη και απογοητευτική περίοδο χωρίς επιτυχίες σε αυτό το πεδίο της έρευνας αποκαλύφθηκε ότι ο φυσικός διάδοχος του στη πραγματικότητα δε βρίσκεται στις τρείς, αλλά στις τέσσερεις διαστάσεις. Το σύνολο αυτών των μη-μεταβατικών αριθμών, οι οποίοι καλούνται quaternions, συμβολίζεται με προς τιμή του ανθρώπου που τους ανακάλυψε, το Ιρλανδό φυσικό και μαθηματικό «Sir William Rowan Hamilton» ( ). Τα quaternions αποδεικνύονται ως ένας κομψός τρόπος να εκφραστεί ο προσανατολισμός ενός σώματος στον Ευκλείδειο χώρο, κάνοντας χρήση σκεπτικού των παραμέτρων Euler οι οποίες είναι επακόλουθο του θεωρήματος της περιστροφής Euler. Το θεώρημα διατυπώνει ότι η πιο γενική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος με ένα σταθερό σημείο είναι η περιστροφή γύρω από ένα σταθερό άξονα. Έτσι, οι παράμετροι Euler a (άξονας Euler) και Φ (κύρια γωνία Euler) επαρκούν να περιγράψουν πλήρως τη συμπεριφορά ενός σώματος. Οι παράμετροι Euler χρησιμοποιούνται στο σχηματισμό των στοιχείων ενός αριθμού quaternion όπου (2.9.α) (2.9.β) (2.9.γ) (2.9.δ) Γενικά ικανοποιείται η σχέση και ειδικά (για τρισδιάστατες περιστροφές) ικανοποιείται η σχέση (2.10) ώστε να συντελέσει στο γεγονός ότι κάθε γωνιακή μετατόπιση έχει τρείς βαθμούς ελευθερίας. Φυσικά και σε αυτή τη περίπτωση υπάρχει η δυνατότητα της μετατροπής της πληροφορίας του προσανατολισμού από τη μία παραμετροποίηση στην άλλη, πχ από quaternions σε ΜΣΚ. 34

41 Κεφάλαιο 2 ο (2.11) όπου μία skew-συμμετρική μήτρα του διανυσματικού μέρους του quaternion. Skew-συμμετρικές μήτρες είναι οι μήτρες οι οποίες υπακούουν στη μορφή της (2.12) και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ένας εύκολος τρόπος αναδιαμόρφωσης ενός διανυσματικού εξωτερικού γινομένου σε μητρική αναπαράσταση. (2.12) Τα quaternions παρέχουν μια μέθοδο πραγματοποίησης απεριόριστων ακολουθιών περιστροφών. Το κύριο πλεονέκτημα τους είναι η παροχή μιας μεθόδου παραμετροποίησης του προσανατολισμού, απαλλαγμένη από ιδιόμορφα σημεία αλλά και αποδοτική. Ένα quaternion πάντα καθορίζει την αντίστοιχη συμπεριφορά με αναμφίβολο τρόπο χωρίς την ανάγκη επιπρόσθετων συνθηκών, όπως στη περίπτωση των γωνιών Euler, και ακόμα πιο συμπαγής από αυτή της ΜΣΚ. Προσοχή όμως πρέπει να δοθεί στο γεγονός ότι δεδομένου ενός συγκεκριμένου προσανατολισμού δεν συνεπάγεται αναμφίβολα συσχέτιση με ένα μοναδικό quaternion, διότι (2.13) 2.3 Κινηματική Εξίσωση της Κίνησης Αναμφίβολα η χρονική επίλυση του προσανατολισμού ενός άκαμπτου σώματος είναι μια διαδικασία η οποία απαιτεί δύο στάδια ολοκλήρωσης. Πρώτα ολοκληρώνεται η δυναμική εξίσωση της κίνησης με σκοπό να συσχετιστεί η ροπή που ασκείται στη δομή του δορυφόρου με τη γωνιακή ταχύτητα, έχοντας γνωστές τις αρχικές συνθήκες της ταχύτητας του σώματος. Το δεύτερο βήμα συσχετίζει τις γωνιακές ταχύτητες του σώματος με το προσανατολισμό του σώματος γνωρίζοντας τον αρχικό προσανατολισμό και επιτυγχάνεται ολοκληρώνοντας την κινηματική εξίσωση της κίνησης. Ο προσανατολισμός του Upsat έχει παραμετροποιηθεί με όρους quaternion, έτσι η κινηματική εξίσωση της κίνησης προκύπτει (2.14) 35

42 Κεφάλαιο 2 ο όπου (2.15) Να σημειωθεί ότι η κινηματική εξίσωση της κίνησης (2.14) αποτελείται από δύο γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Ωστόσο, οι συντελεστές τους είναι μη σταθεροί και αποκλείουν κλειστής μορφής λύση. Όταν ασχολούμαστε με δορυφόρους οι οποίοι στοχεύουν στο ναδίρ (προς τη γη) όπως ο Upsat, η απόκλιση τους ως προς το τροχιακό σύστημα αναφοράς είναι το πιο σημαντικό στοιχείο. Έτσι, προκείμενου να τύχει χρησιμότητας το κινηματικό μοντέλο της (2.14) πρέπει να περιέχει πληροφορία του προσανατολισμού στο τροχιακό σύστημα αναφοράς. Αφού η δυναμική εξίσωση της κίνησης περιγράφει τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς, όπως θα δειχθεί αργότερα, δύο επιλογές υλοποίησης της (2.14) σε ένα αριθμητικό περιβάλλον εξομοίωσης υπάρχουν: (α) η κινηματική υπολογίζεται στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς και στη συνέχεια μετατρέπεται στο τροχιακό ή (β) η αδρανειακή ταχύτητα του σώματος μετασχηματίζεται στο τροχιακό σύστημα το οποίο από μόνο του περιστρέφεται ως προς τον αδρανειακό κόσμο και στη συνέχεια ολοκληρώνεται από την (2.14). Και στης δύο επιλογές ο μετασχηματισμός συντεταγμένων είναι απαραίτητος. Επιλέγοντας τη δεύτερη μέθοδο οι ακόλουθες σχέσεις παρήχθησαν με σκοπό να υπολογίσει η τροχιακή ταχύτητα του σώματος από τις αδρανειακές ταχύτητες. Οι γωνιακές ταχύτητες μπορούν να προστεθούν αν εκφράζονται στο ίδιο σύστημα. (2.16) Ξεκινώντας από τη (2.16) οι σχέσεις των γωνιακών ταχυτήτων του Συστήματος αναφοράς του σώματος ως προς το τροχιακό, εκφρασμένες στο σύστημα του σώματος ( ) διατυπώνονται παρακάτω (2.17.α) (2.17.β) (2.17.γ) (2.17.δ) 36

43 Κεφάλαιο 2 ο (2.17.ε) Παρόλο που δε χρησιμοποιείται για το σκοπό της κινηματικής της συμπεριφοράς του Upsat η κινηματική εξίσωση της κίνησης σε όρους γωνιών Euler παρέχει χρήσιμες εξισώσεις για τη γραμμικοποίηση του συστήματος. (2.18.α) (2.18.β) (2.18.γ) Εφαρμόζοντας τη προσέγγιση μικρών γωνιών στις (2.18.α,β,γ) παίρνουμε τις απλές σχέσεις: (2.19.α) (2.19.β) (2.19.γ) Λύνοντας τις (2.18.α,β,γ) ως προς τις ταχύτητες roll, pitch, yaw, ( αποτέλεσμα ) έχουμε ως (2.20.α) (2.20.β) (2.20.γ) το οποίο δείχνει έναν απλό τρόπο να αποκτούμε πληροφορία για τον προσανατολισμό (ως προς το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων) σε όρους γωνιών Euler με ολοκλήρωση των μετρήσεων των (αδρανειακών) ταχυτήτων του σώματος (p, q, r) έχοντας γνωστές αρχικές συνθήκες. Οι μετρήσεις αυτές μπορούν να πραγματοποιηθούν από μια ποικιλία αδρανειακών αισθητήρων ταχύτητας, πχ γυροσκόπια. Οι εξισώσεις (2.20.α,β,γ) αποκαλύπτουν ένα από τα μεγαλύτερα μειονεκτήματα της μεθόδου των γωνιών Euler. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία περιστροφών ένα σημείο ιδιομορφίας υπάρχει για. Σε κάποια γυροσκοπικά 37

44 Κεφάλαιο 2 ο αδρανειακά συστήματα, για παράδειγμα, αυτή η ιδιομορφία μπορεί να προκαλέσει ένα φαινόμενο που ονομάζεται «gimbal lock». 2.4 Η Δυναμική εξίσωση της κίνησης Ο Upsat έχει μοντελοποιηθεί ως ένα άκαμπτο σώμα, έτσι η εφαρμογή του νόμου του Euler παρέχει μια καλύτερη προσέγγιση για την εύρεση της δυναμικής εξίσωσης της κίνησης, από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, ο οποίος θα ήταν η κατάλληλη επιλογή για την περίπτωση εύκαμπτων διαστημικών σκαφών. Στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς ο νόμος του Euler σχετίζει τη συνολική συνισταμένη ροπή ως προς το κέντρο μάζας, με το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος γύρω από το κέντρο μάζας. (2.21) Η στροφορμή ορίζεται ως (2.22) Η μήτρα αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος είναι σταθερή στο σύστημα αναφοράς του σώματος. Συνεπώς είναι σύνηθες να εκφράζουμε τη δυναμική ενός σώματος ως προς ένα σταθερό ως προς το ίδιο το σώμα σύστημα συντεταγμένων. Εδώ, η στροφορμή καθορίζεται ως (2.23.α) Και (2.23.β) Παρατηρώντας την (2.23.α) συμπεραίνουμε ότι η στροφορμή και η γωνιακή ταχύτητα ευθυγραμμίζονται μόνο και μόνο όταν το σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν από τους κύριους (principal) άξονες. Στο σύστημα συντεταγμένων ελέγχου η μήτρα αδράνειας είναι διαγώνιος και έτσι μόνο ένα στοιχείο του μηδενικό. είναι μη Εφαρμόζοντας τον γενικό κανόνα παραγώγισης διανυσμάτων σε στρεφόμενα συστήματα συντεταγμένων 38

45 Κεφάλαιο 2 ο (2.24) η εξίσωση (2.22) μπορεί τώρα να γραφεί στο σύστημα συντεταγμένων του σώματος (2.25) Εισάγοντας τις (2.23.α) και (2.23.β) και λύνοντας ως προς έχουμε (2.26) η οποία είναι η μη-γραμμική δυναμική διαφορική εξίσωση της κίνησης ενός άκαμπτου σώματος με σταθερή μήτρα αδράνειας. Όταν η μήτρα αδράνειας είναι διαγώνιος, θετικά ορισμένη της μορφής στο, μια αλλαγή από το στο ισοδυναμεί με το να γράψουμε την (2.26) ως (2.27.α) (2.27.β) (2.27.γ) Οι εξισώσεις (2.27.α,β,γ) χρησιμοποιούνται στην ανάλυση των συνθηκών της ευστάθειας της πτήσης στην επόμενη ενότητα, μετά από την εισαγωγή μιας σημαντικής πηγής ροπών του διαστημικού περιβάλλοντος, του φαινόμενου της έλξης της βαρύτητας. 2.5 Ροπή έλξης της βαρύτητας Η ροπή λόγω της βαρύτητας οφείλεται στο γεγονότος ότι ο δορυφόρος κινείται σε μη ομογενές πεδίο κεντρικής δύναμης με αποτέλεσμα να ασκείται ελαφρώς διαφορετική βαρυτική έλξη στα σημεία του δορυφόρου. Το ακόλουθο μοντέλο βασίζεται στη προσέγγιση δύο σωμάτων. Οι βαρυτικές επιδράσεις από τον ήλιο ή τη σελήνη θεωρούνται αμελητέες και η Γή θεωρείται να έχει συμμετρική σφαιρική κατανομή μάζας, ώστε να έχουμε ένα ιδανικό βαρυτικό δυναμικό πεδίο. Επίσης, υποθέτουμε ότι το διαστημικό σκάφος είναι άκαμπτο και μικρό συγκρινόμενο με την απόσταση του από το κέντρο της Γής. 39

46 Κεφάλαιο 2 ο Εικόνα 2.3: Σε ένα πεδίο κεντρικής δύναμης, στοιχειώδης επιταχύνσεις εφαρμοζόμενες σε όλα τα στοιχεία μάζας ενός άκαμπτου σώματος κατευθύνονται προς το κέντρο μάζας του πρωτεύοντος σώματος, της Γής. (2.28) (2.29) Να σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα στην (2.29) ισούται με μηδέν στην περίπτωση ενός ομογενούς βαρυτικού πεδίου ή στη περίπτωση που το σώμα είναι απολύτως συμμετρικό. Με άλλα λόγια, κάθε ασύμμετρο σώμα εντός πεδίου κεντρικής δυνάμεως υπόκειται σε ροπή λόγω έλξης της βαρύτητας. Αυτές οι ροπές είναι πολύ μικρής ισχύος και δεν τις αντιλαμβανόμαστε στη καθημερινή μας ζωή. Αντίθετα, σε περιβάλλον LEO αυτές οι ροπές δε μπορούν πλέον να αγνοηθούν. Η ροπή λόγω βαρυτικής έλξης αποδεικνύεται ότι είναι (2.30) με να είναι η τοπική κάθετος (local vertical), το τρίτο μοναδιαίο διάνυσμα βάσης του τροχιακού συστήματος αναφοράς, εκφρασμένο στο σύστημα αναφοράς του σώματος. Παρατηρώντας την (2.30), δεν υπάρχει ροπή να ασκείται στην κατεύθυνση της τοπικής καθέτου. Οι ροπές έλξης της βαρύτητας ενός ασύμμετρου σώματος το οποίο υπόκειται σε βαρυτικό πεδίο είναι συντηρητικές ροπές και τείνουν να ευθυγραμμίσουν τον άξονα της μικρότερης κύριας ροπής αδράνειας με το διάνυσμα του βαρυτικού πεδίου. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο η ροπή έλξης της βαρύτητας δεν θεωρείται ως ροπή διαταραχής. Ο Upsat σχεδιάζεται έτσι ώστε να είναι ευσταθής ως προς την έλξη της βαρύτητας, ικανοποιώντας τα 40

47 Κεφάλαιο 2 ο κριτήρια της επόμενης ενότητας, και η συνισταμένη ροπή θα τείνει να ευθυγραμμίσει το ωφέλιμο φορτίο με τη κατεύθυνση της τοπικής καθέτου - ναδίρ. Συνεπώς, το φαινόμενο της έλξης της βαρύτητας υποστηρίζει το σύστημα ελέγχου, αντί να το διαταράσσει. Η ροπή βαρυτικής έλξης συχνά εκφράζεται στο κύριο σύστημα αναφοράς, στο οποίο κάποιοι όροι σχετιζόμενοι με τα παράγωγα της αδράνειας της μήτρας αδράνειας μηδενίζονται. Η συγκεκριμένη διατύπωση είναι πιο συμβατή με την εξίσωση της ορμής του Euler (2.27.α,β,γ). Με όρους γωνιών Euler η ροπή βαρυτικής έλξης περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις (2.31.α) (2.31.β) (2.31.γ) 2.6 Ευστάθεια βαρυτικής έλξης Έχοντας διατυπώσει τις εξισώσεις της κίνησης ενός άκαμπτου σώματος στο διάστημα και μιας ροπής η οποία δρα στο δορυφόρο ως συνάρτηση της συμπεριφοράς του και των ιδιοτήτων της μάζας του, προκύπτει η ερώτηση κάτω από ποίες συνθήκες ο δορυφόρος είναι «φυσικά» ευσταθής. Ο Upsat είναι σχεδιασμένος έτσι ώστε να παρέχεται παθητική υποστήριξη στο σύστημα ελέγχου της συμπεριφοράς του. Εφαρμόζοντας τη προσέγγιση μικρών γωνιών για το roll (φ) και το pitch (θ), και εισάγοντας την «μέση ταχύτητα τροχιάς» για κυκλικές τροχιές (2.32) η ροπή βαρυτικής έλξης μπορεί να γραμμικοποιηθεί ως (2.33.α) (2.33.β) (2.33.γ) 41

48 Κεφάλαιο 2 ο Υπό την υπόθεση μικρών γωνιών της (2.19.α,β,γ) και με (2.17.ε), η κινηματική της (2.34) γραμμικοποιείται ώστε να δώσει (2.35.α) και (2.35.β) Εισάγοντας τις (2.35.α) και (2.35.β) στις εξισώσεις του Euler (2.17.α,β,γ) και αποβάλλοντας τα γινόμενα των γωνιών Euler και τις παραγώγους τελικά παίρνουμε τη γραμμικοποιημένη ομογενή εξίσωση της κίνησης υπό την επίδραση της βαρυτικής έλξης και εκφρασμένη με την ορολογία των γωνιών Euler: (2.36.α) (2.36.β) (2.36.γ) Με απλή επισκόπηση, η (2.36.β) είναι μία διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως, χωρίς όρο απόσβεσης. Η περιστροφή γύρω από τον pitch άξονα θα είναι μία απλή αρμονική ταλάντωση όσο ισχύει (2.37) το οποίο αποτελεί και το πρώτο κριτήριο ευστάθειας. Όταν είναι ευσταθής ως προς τον pitch άξονα με συχνότητα ο δορυφόρος (2.38) 42

49 Κεφάλαιο 2 ο και πλάτος ίσο με την αρχική συνθήκη για το pitch θ (t=t0). Εάν η εξίσωση του pitch είναι ασταθής και ο δορυφόρος θα απομακρύνεται από το σημείο ισορροπίας όταν διαταράσσεται. Ορίζοντας τα ακόλουθα (2.39.α) (2.39.β) (2.39.γ) οι εξισώσεις (2.36.α) και (2.36.γ) γίνονται (2.40.α) (2.40.β) Από την ανάλυση ευστάθειας του μετασχηματισμού Laplace των (2.40.α) και (2.40.β) [14], τρείς ανισώσεις μπορούν να παραχθούν ως συνθήκες ευστάθειας: (2.41.α) (2.41.β) (2.41.γ) 43

50 Κεφάλαιο 2 ο Εικόνα 2.4: επίπεδο αναπαριστά τις περιοχές ευστάθειας και αστάθειας. Στην εικόνα 2.4 αποτυπώνονται οι περιοχές της ευστάθειας στο επίπεδο οι οποίες απορρέουν από τις συνθήκες (2.41.α,β,γ). Τα τέσσερα τεταρτημόρια συμβολίζονται ως Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV. Τα ΙΙ και ΙV είναι κατευθείαν ασταθή, αφού παραβιάζουν τη συνθήκη (2.41.β). Από την (2.39.α) προκύπτει ότι (2.42) Με την (2.37) μπορεί να αποδειχθεί ότι (2.43) Τα τεταρτημόρια Ι και ΙΙΙ διχοτομούνται από την ευθεία. Μόνο τα συστήματα με (κάτω της διχοτόμου) είναι ευσταθή. Η καμπύλη στο τεταρτημόριο ΙΙΙ αποτελεί τη λύση της ανισότητας (2.41.α), με τα ασταθή συστήματα να βρίσκονται κάτω από την καμπύλη. Συνεπώς απομένουν δύο ευσταθείς περιοχές, συμβολισμένες με Α και Β. Η μεταβλητή σ δεν αποτελεί σχεδιαστική παράμετρο, συνεπώς στο σχεδιασμό εμπλέκονται οι ροπές αδράνειας Ι. Από τις,, και (2.37) ισχύει για τη περιοχή Α εκτός από την (2.42) και ότι. Από τις, και (2.37) ισχύει για τη περιοχή Β εκτός από την και η. Οι συνθήκες αυτές υπολογίστηκαν από τον Beletsky το

51 Κεφάλαιο 2 ο Περιοχή Α Περιοχή Β Κύρια Συνθήκη Πρόσθετη Συνθήκη Πίνακας 2.1: Σύνοψη συνθηκών ευστάθειας με χρήση των κύριων ροπών αδράνειας. Συνήθως, κατά τον σχεδιασμό διαστημικών σκαφών, η ευστάθεια επιτυγχάνεται στη περιοχή Α λόγω των περιορισμένων περιθωρίων της περιοχή Β τα οποία επιβάλλουν πρακτικές δυσκολίες στο σχεδιασμό της κατασκευής. Επιπρόσθετα, η περιοχή Α προτιμάται λόγω του ολικού ελαχίστου ενεργείας. Στη περίπτωση απώλειας ενέργειας, αυτή είναι η μόνη ευσταθής περιοχή. Ο σχεδιασμός της κατανομής της μάζας στο εσωτερικό του δορυφόρου θα πρέπει να είναι τέτοιος ώστε να επιτυγχάνεται «φυσική» ευστάθεια στη περιοχή Α. 2.7 Γραμμικοποίηση Συστήματος Στην παρούσα ενότητα θα παρουσιαστεί ο υπολογισμός των γραμμικοποιημένων εξισώσεων της κίνησης ενός άκαμπτου δορυφόρου σε κυκλική τροχιά. Οι εξισώσεις θα περιγραφούν με την βοήθεια των quaternions. Το γραμμικό μοντέλο του συστήματος είναι απαραίτητο προκειμένου να εφαρμοστεί η θεωρία γραμμικών συστημάτων και στη σύνθεση του νόμου ελέγχου του συστήματος. Το σημείο εκκίνησης για τη διαδικασία της γραμμικοποίησης είναι οι εξισώσεις (2.14) και (2.26), η μη γραμμική κινηματική και δυναμική εξίσωση αντίστοιχα. Στόχος είναι η εύρεση ενός συστήματος εξισώσεων οι οποίες να είναι γραμμικές (σταθεροί συντελεστές) ως προς τις μεταβλητές κατάστασης του συστήματος, δηλαδή η εύρεση ενός γραμμικού αλγεβρικού συστήματος της μορφής: (2.44) όπου F είναι η μήτρα του συστήματος. Οι εξωτερικές διαταραχές του συστήματος, οι οποίες θα παρουσιαστούν στο επόμενο κεφάλαιο, έχουν παραληφθεί για τον λόγο ότι δε διαθέτουν γραμμική περιγραφή. Στα περισσότερα μηχανικά συστήματα, ο χώρος κατάστασης είναι διπλάσιος του αριθμού των βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Ένα διάνυσμα κατάστασης το οποίο έχει την ικανότητα να περιγράφει τη γωνία και το ρυθμό μεταβολής της γωνίας είναι αρκετό, καθώς αυτή η πληροφορία μαζί με την αρχική συνθήκη είναι επαρκής για την επίλυση της χρονικής ιστορίας του προσανατολισμού του δορυφόρου. Καθώς για την παραμετροποίηση της συμπεριφοράς του Upsat χρησιμοποιήθηκαν τα quaternions, επωφελούμενοι την υπεροχή τους σε σχέση με 45

52 Κεφάλαιο 2 ο τις άλλες μεθόδους παραμετροποίησης όπως συζητήθηκε προηγουμένως, ένα διάνυσμα κατάστασης της μορφής: (2.45) έχει επιλεχθεί για τη λεπτομερή εξαγωγή του γραμμικού συστήματος της δυναμικής του δορυφόρου υποκείμενη στη βαρύτητα της γης. Η επιλογή χρήσης των quaternions και του ρυθμού μεταβολής τους κάνει ευκολότερη την εκτίμηση της κατάστασης, αίροντας την ανάγκη για μετατροπή από quaternion rates σε γωνιακή ταχύτητα του σώματος ω, εφαρμόζοντας την ανάστροφη κινηματική της κίνησης (2.58). Συνεπώς η περιγραφή της δυναμικής του συστήματος με τη παραπάνω μέθοδο είναι πιο κοντά στη μέθοδο εκτίμησης της κατάστασης (attitude determination). Ο Upsat είναι ένας δορυφόρος ο οποίος στοχεύει προς τη γη (nadir-pointing satellite), συνεπώς το σημείο ισορροπίας του επιλέγεται έτσι ώστε το σύστημα αναφοράς ελέγχου να συμπίπτει με το τροχιακό σύστημα αναφοράς σε ισορροπία: και (2.46 α,β) Υποθέτοντας μικρές μεταβολές (Euler principal angle deviation ισορροπία οι κινηματικές μεταβλητές κατάστασης εκφράζονται ως: ) από την (2.47.α) Και (2.47.β) Ξαναγράφοντας την εξίσωση της δυναμικής της κίνησης (2.26) ως προς το σύστημα αναφοράς ελέγχου και λαμβάνοντας υπόψη μόνο τη ροπή της βαρυτικής έλξης έχουμε τη γνωστή μη γραμμική εξίσωση της Δυναμικής: (2.48) 46

53 Κεφάλαιο 2 ο Η παραπάνω εξίσωση αναγνωρίζει τους συντελεστές της γωνιακής επιτάχυνσης στο αδρανειακό σύστημα. Ο πρώτος όρος περιέχει το εξωτερικό γινόμενο, το οποίο προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι η δυναμική της κίνησης περιγράφεται από ένα στρεφόμενο σύστημα αναφοράς ως προς ένα αδρανειακά σταθερό σύστημα. Συχνά συναντάται ο όρος «cross-coupling» της περιστροφικής δυναμικής του δορυφόρου. Η εξίσωση της κίνησης μπορεί να επεκταθεί κατά έναν αριθμό ροπών οι οποίες επιδρούν στη κατασκευή του δορυφόρου. Οι πιο σημαντικές είναι: (α) η ροπή λόγω της επίδρασης της Γήινης βαρύτητας, (β) η εσωτερική ροπή ελέγχου και (γ) οι εξωτερικές ροπές διαταραχών. Ωστόσο για την παραγωγή του ημι-ομογενούς συστήματος, μόνο η έλξη της βαρύτητας θα ληφθεί υπόψη. (2.49) Οι τρείς όροι της εξίσωσης (2.49) μπορούν τώρα να γραμμικοποιηθούν ξεχωριστά. Γραμμικοποίηση του όρου της γωνιακής επιτάχυνσης. Ξαναγράφοντας το γενικό θεώρημα της άθροισης των γωνιακών ταχυτήτων (2.16) ως προς το σύστημα αναφοράς ελέγχου, έχουμε: (2.50) Η γωνιακή περιστροφή του τροχιακού συστήματος αναφοράς ως προς το αδρανειακό περιγράφεται από τη κυκλική τροχιακή ταχύτητα γύρω από τον άξονα του τροχιακού συστήματος αναφοράς παράλληλα στο κάθετο διάνυσμα του επιπέδου της τροχιάς -. Κάνοντας χρήση των κινηματικών σχέσεων (2.17.a) (2.17.e) η ακόλουθη σχέση μπορεί να δειχθεί με. (2.51) Έστω μία μήτρα συνημίτονων κατεύθυνσης η οποία περιγράφει το μετασχηματισμό από το τροχιακό σύστημα στο σύστημα αναφοράς ελέγχου και αποτελείται από τα μοναδιαία διανύσματα βάσης του τροχιακού συστήματος εκφρασμένα στο σύστημα αναφοράς ελέγχου: (2.52) Εφόσον υπάρχει η δυνατότητα της μετατροπής από τη μια παραμετροποίηση της συμπεριφοράς σε μια άλλη, τότε η μήτρα συνημίτονων κατεύθυνσης μπορεί να εκφραστεί εναλλακτικά σε όρους quaternion. Χρησιμοποιώντας την (2.11) έχουμε: 47

54 Κεφάλαιο 2 ο (2.53) Όπου (2.54) Όμως, όπως αναφέρεται και παραπάνω, τα και είναι μικρά νούμερα, οπότε τα γινόμενα: (2.55.α) (2.55.β) (2.55.γ) μπορούν να παραληφθούν ως προσέγγιση πρώτης τάξης. Σύμφωνα με την (2.47.α) το είναι περίπου 1. Υλοποιώντας αυτές τις απλοποιήσεις, η γραμμικοποιημένη μήτρα συνημίτονων κατεύθυνσης γίνεται: (2.56) και η αδρανειακή γωνιακή ταχύτητα του τροχιακού συστήματος αναφοράς όπως φαίνεται από σύστημα αναφοράς ελέγχου είναι: (2.57) Αναστρέφοντας τη κινηματική εξίσωση της κίνησης (2.14), η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αναφοράς ελέγχου όπως φαίνεται από το τροχιακό σύστημα μπορεί να εκφραστεί σε όρους quaternion και της αντίστοιχης ταχύτητας τους χρησιμοποιώντας τις ίδιες συντομεύσεις που αναλύθηκαν στην (2.54). (2.58) ή, με 48

55 Κεφάλαιο 2 ο (2.59) Μπορούμε να απαλλάξουμε την (2.59) από τους διάφορους παράγοντες της κατάστασης. Κάνοντας χρήση των υποθέσεων (2.55.α,β,γ), η εξίσωση (2.59) μπορεί να απλοποιηθεί στη (2.60) Εισάγοντας τα αποτελέσματα της (2.57) και (2.60) στη (2.50) έχουμε (2.61) Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αναφοράς ελέγχου εκφρασμένου ως προς το αδρανειακό, ο πρώτος γραμμικοποιημένος όρος του μοντέλου της κίνησης είναι (2.62) Γραμμικοποίηση του όρου «cross-coupling» Η προσοχή τώρα θα στραφεί στο δεύτερο όρο του μη γραμμικού μοντέλου, τον «cross-coupling» όρο. Πρώτα, το εξωτερικό γινόμενο θα γραμμικοποιηθεί χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα από την (2.61) και εφαρμόζοντας 49

56 Κεφάλαιο 2 ο (2.63) Εφαρμόζοντας τις υποθέσεις (2.55.α,β,γ) παίρνουμε μια σημαντικά απλοποιημένη έκδοση της (2.63) (2.64) Συμπεριλαμβάνοντας τη μήτρα αδράνειας στον ολοκληρωμένο όρο «crosscoupling» έχουμε (2.65) με τις αδρανειακές παραμέτρους και όπως καθορίστηκαν στις (2.39.α) και (2.39.γ). Η εξίσωση (2.65) συνιστά τη γραμμικοποιημένη έκδοση του «crosscoupling» όρου. Γραμμικοποίηση του όρου της βαρυτικής έλξης Ξαναγράφοντας την (2.30), ο όρος της βαρυτικής έλξης στην (2.48) μπορεί να γραφεί ως (2.66) Χρησιμοποιώντας τις (2.52) και (2.56) η παραπάνω μπορεί να απλοποιηθεί στη 50

57 Κεφάλαιο 2 ο (2.67) Συναρμολόγηση του γραμμικοποιημένου μοντέλου της κίνησης Έχοντας ορίσει τους γραμμικοποιημένους όρους της μη-γραμμικής εξίσωσης της κίνησης, η ολοκληρωμένη γραμμικοποιημένη μήτρα του συστήματος μπορεί τώρα να συγκροτηθεί από τα επιμέρους αποτελέσματα. Χρησιμοποιώντας την (2.48) και απαλείφοντας κάθε άλλη ροπή εκτός από αυτή της βαρυτικής έλξης, η γραμμική αλγεβρική εξίσωση μπορεί να γραφεί ως (2.68) Λύνοντας την (2.68) για τη δεύτερη παράγωγο ως προς το χρόνο του διανυσματικού μέρους του quaternion έχουμε (2.69.α) (2.69.β) (2.69.γ) Οι εξισώσεις (2.69.α,β,γ) συνιστούν τη τελική γραμμικοποιημένη εξίσωση της κίνησης ενός άκαμπτου διαστημικού σκάφους υποκείμενο μόνο στη βαρυτική έλξη και στη γειτονιά της κατάστασης ισορροπίας όπως έχει καθοριστεί στη (2.46.α,β). Η απεικόνιση του γραμμικού μοντέλου της κίνησης του δορυφόρου σε μορφή μήτρας μπορεί να γραφεί στη ακόλουθη μορφή 51

58 Κεφάλαιο 2 ο (2.70) Η μήτρα του συστήματος περιγράφεται από την (2.70). Το πάνω μισό έχει την αναμενόμενη ιδιότητα της ταυτοτικής μήτρας για τη περίπτωση ενός άκαμπτου σώματος χωρίς απόσβεση. 2.8 Περίληψη Στο κεφάλαιο εισήχθησαν οι έννοιες και ο ορισμός των συστημάτων αναφοράς, τα οποία θα χρησιμοποιηθούν σε όλη τη παρούσα εργασία. Οι σημαντικές μέθοδοι παραμετροποίησης της συμπεριφοράς που θα χρησιμοποιηθούν στα επόμενα κεφάλαια περιγράφηκαν καθώς και οι μη-γραμμικές εξισώσεις της δυναμικής και κινηματικής του δορυφόρου. Οι συντηρητικές ροπές δημιουργημένες από την επίδραση της έλξης της βαρύτητας παρουσιάστηκαν καθώς και η μέθοδος γραμμικοποίησης που χρησιμοποιήθηκε για τη παραγωγή των κριτηρίων ευστάθειας για το σχεδιασμό του δορυφόρου Upsat. Το σημαντικότερο αποτέλεσμα του κεφαλαίου αποτέλεσε η γραμμικοποίηση του μη-γραμμικού συστήματος σε όρους quaternion και των αντίστοιχων ταχυτήτων τους, ως προς το επιθυμητό σημείο ισορροπίας (nadir-pointing).έχοντας ένα γραμμικό μοντέλο του συστήματος, μπορούμε να εφαρμόσου τη θεωρία γραμμικού ελέγχου για το σχεδιασμό νόμων ελέγχου ικανών να σταθεροποιήσουν το σύστημα. 52

59 Κεφάλαιο 3 ο Κεφάλαιο 3 ο Το διαστημικό περιβάλλον Επίδραση στο Σύστημα Ελέγχου Προσανατολισμού Ένα αντικείμενο σε Χαμηλή Γήινη Τροχιά (LEO) υπόκειται σε ένα σύνθετο φυσικό περιβάλλον το οποίο περιλαμβάνει φορτισμένα σωματίδια, υψηλής ενέργειας ακτινοβολία, παρουσία ατομικού οξυγόνου και γεωφυσικά φαινόμενα όπως βαρυτικά και μαγνητικά πεδία. Τα περισσότερα από αυτά τα στοιχεία επηρεάζουν μέρη του δορυφόρου με τον έναν ή τον άλλο τρόπο. Το διάστημα είναι ένα αρκετά εχθρικό περιβάλλον για τις ανθρώπινες κατασκευές. Ωστόσο, οι μηχανικοί πιστεύουν ότι το διάστημα είναι ασφαλέστερο από τη Γή διότι το περιβάλλον είναι προβλέψιμο σε μεγάλο βαθμό και ο διαστημικός εξοπλισμός μπορεί να κατασκευαστεί με τέτοιον τρόπο ώστε να ανταπεξέρχεται σε αυτές τις συνθήκες. Για τον σχεδιαστή του συστήματος ελέγχου προσανατολισμού οι επιδράσεις του διαστημικού περιβάλλοντος στη δυναμική του σώματος είναι σημαντικού ενδιαφέροντος και επιβάλλεται η μελέτη τους. Ένας Μίκρο-δορυφόρος σε τροχιά είναι το πιο ελεύθερο-ροπών σύστημα που έχει κατασκευαστεί ποτέ από τον άνθρωπο. Ωστόσο ποικίλες διαταραχές δρουν στη δομή του δορυφόρου με τη μορφή εξωτερικών ροπών. Το αντικείμενο του ελέγχου προσανατολισμού είναι η αντιστάθμιση αυτών των διαταραχών, οι οποίες είναι πολύπλοκες συναρτήσεις της γεωμετρίας της δομής του δορυφόρου, του χρόνου, της θέσης και του τρέχοντος προσανατολισμού. Σκοπός του παρόντος κεφαλαίου είναι η παρουσίαση μοντέλων για τη περιγραφή των σημαντικότερων διαταραχών σε LEO και η εκτίμηση ενός μεγέθους ροπών βασισμένο σε υποθέσεις χειρότερων συνθηκών πτήσης. Ο υπολογισμός αυτού του επιπέδου είναι σημαντικός για τον την 53

60 Κεφάλαιο 3 ο επιλογή και το σχεδιασμό του υλικού του συστήματος ελέγχου. Οι διαταραχές που θα συζητηθούν είναι οι: Αεροδυναμική αντίσταση του αέρα Πίεση από την ηλιακή ακτινοβολία Παραμένων μαγνητισμός 3.1 Ανάλυση Τροχιάς Η γνώση της τροχιάς του δορυφόρου είναι σημαντική για την εκτίμηση του επιπέδου των διαταραχών στις οποίες θα εκτεθεί ο δορυφόρος κατά τη διάρκεια της αποστολής του. Κατά τη διάρκεια συγγραφής αυτής της εργασίας δεν είναι γνωστή κάποια τροχιά για τον UPSat. Συνεπώς προκειμένου να θεωρήσουμε μια λογική αναφορά τροχιάς για τον σχεδιασμό του συστήματος έλεγχου, τροχιές ήδη εκτοξευμένων CubeSat θα μελετηθούν. Ο πίνακας 3.1 δείχνει τις τροχιακές παραμέτρους για CubeSats που εκτοξεύτηκαν τον Ιούνιο του 2003 και τον Οκτώβριο του Οι πληροφορίες είναι βασισμένες σε TLE (two line element) δεδομένα αποκτημένα το Δεκέμβριο του S/C Number S/C Name DTUSat CUTE-1 AAUSat CanX-1 Inclination [deg] RAAN [deg] Eccentricity Arg. Of Perigee [deg] Mean Motion [revs/day] Period [min] semi-major axis [km] Perigee Alt. [km] Apogee Alt. [km] S/C Number S/C Name XI-IV XI-V UWE-1 Ncube-2 Inclination [deg] RAAN [deg] Eccentricity Arg. Of Perigee [deg] Mean Motion [revs/day] Period [min] semi-major axis [km] Perigee Alt. [km] Apogee Alt. [km] Πίνακας 3.1: Παράμετροι τροχιών Cubesat. 54

61 Κεφάλαιο 3 ο 3.2 Ροπές Διαταραχών Ροπή Αεροδυναμικής Αντίστασης Αέρα Αντίθετα με τη γενική αντίληψη ενός ιδανικού κενού σε ύψη χαμηλής γήινης τροχιάς, οι δορυφόροι υπόκεινται σε δυνάμεις και ροπές οι οποίες είναι αποτέλεσμα της αντίστασης του αέρα, καθώς ο δορυφόρος ταξιδεύει στα ανώτερα στρώματα της Γήινης ατμόσφαιρας όπου η ατμοσφαιρική πυκνότητα ρ είναι μεγαλύτερη του μηδενός. Υπάρχουν ποικίλα μοντέλα της ατμοσφαιρικής πυκνότητας, αλλά το MSISE-90 [23] είναι το προτεινόμενο στάνταρντ από το ECSS (European Cooperation for Space Standardization) από το οποίο οι κύριες θερμοδυναμικές παράμετροι της ατμόσφαιρας σε ύψος 600, 700 και 800 χιλιομέτρων και κατά τη διάρκεια χαμηλής, μέσης και υψηλής ηλιακής και γεωμαγνητικής δραστηριότητας απεικονίζονται στον πινάκα 3.2. Activity Level low Altitude [km] Temperature [K] Density [kg/m³] Pressure [N/m²] Molecular Weight [kg/mol] Scale Height [km] Activity Level mean Altitude [km] Temperature [K] Density [kg/m³] Pressure [N/m²] Molecular Weight [kg/mol] Scale Height [km] Activity Level extremely high Altitude [km] Temperature [K] Density [kg/m³] Pressure [N/m²] Molecular Weight [kg/mol] Scale Height [km] Πίνακας 3.2: Ατμοσφαιρική πυκνότητα, θερμοκρασία, πίεση, μοριακό βάρος και οριακό ύψος για ύψη 600, 700 και 800 χιλιομέτρων κατά τη διάρκεια χαμηλής, μέσης και υψηλής ηλιακής και γεωμαγνητικής δραστηριότητας σύμφωνα με ECSS. Το απλούστερο μοντέλο περιγραφής της αντίστασης του αέρα είναι ένας βαθμωτός υπολογισμός της δύναμης της αντίστασης του αέρα που ασκείται στο κέντρο της πίεσης με μία απόκλιση από το κέντρο μάζας. (3.1) 55

62 Κεφάλαιο 3 ο Αυτό το απλό μοντέλο αγνοεί το γεγονός ότι η ροή σε LEO δεν είναι συνεχής. Στην εξώσφαιρα της Γής τα μόρια του αέρα είναι αρκετά απομακρυσμένα μεταξύ τους. Το μέσο μήκος του ελεύθερου διαδρόμου μεταξύ των μορίων είναι μεγάλο συγκρινόμενο με της διαστάσεις ενός CubeSat. Αυτός ο τύπος της αραιοποιημένης ροής αερίου μπορεί να χαρακτηριστεί με τον καλύτερο δυνατό τρόπο από τα σωματίδια που με τυχαίο τρόπο και άψογη πλαστικότητα επιδρούν και ακολούθως ολισθαίνουν από την επιφάνεια του σώματος. Το μοντέλο αυτό λαμβάνει υπόψη μόνο τις δυνάμεις κανονικής πίεσης και όχι την τριβή του μορίου που γλιστρά σε μια επιφάνεια, και το κάνει αυτό με τρόπο ο οποίος θεωρείται συνήθης για τη υπόθεση της συνέχειας της Μηχανικής των Ρευστών. Ωστόσο, παρόλο που η στατιστική ανάλυση της μηχανικής των ρευστών αποφέρει μια καλύτερη προσέγγιση στο υπολογισμό της αεροδυναμικής οπισθέλκουσας στο διαστημόπλοιο, το μοντέλο στην (3.1) θεωρείται ότι δίνει αποτελέσματα λογικής χρησιμότητας ως υπολογισμός του αναμενόμενου επιπέδου ροπής. Η Νευτώνεια θεωρία για τη δυναμική των αερίων προβλέπει ότι ο συντελεστής τριβής c D είναι ακριβώς 2.0 για ένα σφαιρικά σχηματισμένο σώμα. Ένα σώμα κυβικού σχήματος θα είχε ελαφρώς υψηλότερους συντελεστές. Επομένως, εικάζεται ότι ο c D είναι 2.2. Υποτίθεται επίσης ότι το κέντρο της πίεσης συμπίπτει με το γεωμετρικό κέντρο του κύβου. Βασική προϋπόθεση είναι ότι το κέντρο μάζας του CubeSat πρέπει να βρίσκεται σε απόσταση εντός των 2 εκ. από το γεωμετρικό κέντρο. Άρα, στην χειρότερη περίπτωση η μετατόπιση του κέντρου πίεσης και του κέντρου βαρύτητας εικάζεται ότι είναι 0.02 εκ. Η προβαλλόμενη επιφάνεια A p μεγιστοποιείται, εάν το διάνυσμα της ταχύτητας ενώνει την κορυφή του κύβου με το γεωμετρικό κέντρο. Στην περίπτωση αυτή, η αεροδυναμική επιφάνεια είναι: (3.2) Για τον υπολογισμό της ροπής στην χειρότερη περίπτωση, εικάζονται η πυκνότητα για 600 χλμ. και υψηλή ηλιακή δραστηριότητα, δηλαδή ρ= kg/m 3 και το χαμηλότερο τροχιακό ύψος με κυκλική ταχύτητα 7558 m/s. Αυτό αποδίδει μια συντηρητική αεροδυναμική ροπή των Νm. Για σκοπούς προσομοίωσης, απαιτείται ένα μοντέλο, το οποίο μπορεί να εκτιμά τη συνεχή αεροδυναμική ροπή ως διάνυσμα. (3.3.α) Οποιοδήποτε σχήμα κυρτού σώματος μπορεί να διαιρεθεί σε έναν περιορισμένο αριθμό n επιφανειών και η συνολική αεροδυναμική ροπή προκύπτει από το 56

63 Κεφάλαιο 3 ο άθροισμα των μεμονωμένων συνεισφορών σε ροπή. Εφόσον η γεωμετρική διάταξη του UPSat είναι αρκετά απλή, ένας κύβος με έδρες τετράγωνου σχήματος και ίσης επιφάνειας, θα αποφέρει αποτελέσματα με ικανοποιητική ακρίβεια. Στην 3.3.α η A k είναι το εμβαδόν της επιφάνειας k, V είναι το κανονικοποιημένο διάνυσμα ταχύτητας στο σύστημα αναφοράς του κινούμενου σώματος, n k είναι το κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας k, και το r s,k είναι το διάνυσμα από το κέντρο μάζας στο κέντρο της περιοχής της επιφάνειας k. Και πάλι, στο διακριτό αυτό μοντέλο, ο εντοπισμός του κέντρου πίεσης εικάζεται αυτόματα ότι συμπίπτει με το γεωμετρικό κέντρο. Ο εντοπισμός του κέντρου μάζας υπολογίζεται εύκολα από λογισμικά σχεδιαστικά πακέτα Ροπή πίεσης ηλιακής ακτινοβολίας Ένας δορυφόρος σε χαμηλή τροχιά εκτίθεται σε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία προερχόμενη από τρεις βασικές πηγές: i) τον ήλιο, ii) την ηλιακή ακτινοβολία, η οποία αντανακλάται από τη Γη, γνωστή με τον όρο «albedo» και iii) τη θερμική υπέρυθρη ακτινοβολία της Γης. Για τη συζήτηση που ακολουθεί, μόνο η πρώτη πηγή, δηλαδή η άμεση ηλιακή ακτινοβολία λαμβάνεται υπόψη λόγω της υπεροχής της έναντι άλλων ροπών ίδιας φύσεως. Η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία του ήλιου ασκεί μια δύναμη στα διαστημικά αντικείμενα, γνωστή ως πίεση ηλιακής ακτινοβολίας. Αυτή η πίεση που προέρχεται από την ανταλλαγή φωτονικής ορμής προκαλεί μια κυκλική διαταρακτική ροπή, η οποία θα μοντελοποιηθεί σε παρόμοια μορφή με την αεροδυναμική ροπή πίεσης [24] (3.4) Η ηλιακή σταθερά S 0 ορίζεται ως η κανονική ροή ενέργειας σε μια μοναδιαία επιφάνεια ανά μονάδα χρόνου, εκτός ατμόσφαιρας, σε απόσταση 1 αστρονομικής μονάδας (ΑU) από τον ήλιο. Παρόλο που η S 0 έχει καθιερωθεί ως σταθερά, μεταβάλλεται περίπου κατά 3.4 % κατά τη διάρκεια ενός έτους, λόγω της εκκεντρότητας της τροχιάς της Γης γύρω από τον ήλιο. Μια επιπλέον διακύμανση της τάξεως περίπου του 0.1 % προκύπτει από την αυξομείωση του επιπέδου της κυκλικής εκπομπής του ήλιου σε χρονικό διάστημα 11 χρόνων, γνωστή ως ηλιακός κύκλος. Οι κανονικές τιμές για την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία του ήλιου είναι οι ακόλουθες: Ηλιακή Σταθερά σε 1 Αστρονομική Μονάδα (ΑU) 1371 W/m 2 Μέγιστη ροή ηλιακής ενέργειας (περιήλιο) 1428 W/m 2 Ελάχιστη ροή ηλιακής ενέργειας (αφήλιο) 1316 W/m 2 Πίνακας 3.3: Εύρος διακύμανσης της τιμής της ηλιακής σταθεράς. 57

64 Κεφάλαιο 3 ο Λόγω της μεγάλης απόστασης μεταξύ του ήλιου και ενός δορυφόρου χαμηλής τροχιάς, η διαταρακτική ροπή της ηλιακής πίεσης είναι εικονικά ανεξάρτητη από το τροχιακό ύψος. Εντούτοις, εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το είδος της επιφάνειας που δέχεται την ακτινοβολία. Γενικά, τα ηλιακά κύτταρα έχουν απορροφητική ικανότητα και το σώμα του διαστημοπλοίου είναι ο ανακλαστήρας. Οι συνηθισμένες τιμές για την ανακλαστική ιδιότητα r ενός σώματος κυμαίνονται από 0.4 και 0.7 (0: τέλεια απορρόφηση, 1: τέλεια ανάκλαση). Εφόσον το σώμα του UPSat καλύπτεται σε μεγάλο βαθμό με αντανακλαστικά ηλιακά κύτταρα, το r εικάζεται ότι είναι 0.6, μια συντηρητική τιμή. Η υπόθεση για την μέγιστη επιφάνεια που έχει δεχτεί ακτινοβολία είναι πανομοιότυπη με τη συζήτηση που αφορά την αεροδυναμική αντίσταση. Στη χειρότερη περίπτωση, η ηλιακή γωνία πρόσπτωσης προσδιορίζεται εύκολα ως i= 0º. Αυτό αποφέρει μια συντηρητική ροπή ηλιακή πίεσης της τάξεως του Νm. Παρόμοια με το μοντέλο της αεροδυναμικής ροπής, η διαταραχή που προέρχεται λόγω της πίεσης της ηλιακής ακτινοβολίας μπορεί να αναδιατυπωθεί με μια πιο γενική, διακριτή μορφή, δηλαδή για ένα στερεό σώμα με αυθαίρετη γεωμετρική διάταξη ως εξής: (3.5) Στην (3.5), η A k είναι το εμβαδόν της επιφάνειας k, S είναι το κανονικοποιημένο ηλιακό διάνυσμα στο σύστημα αναφοράς του κινούμενου σώματος, n k είναι το κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας k, και το r s,k είναι το διάνυσμα από το κέντρο μάζας προς το κέντρο της επιφάνειας k. Σημειώστε ότι η ροπή ηλιακής πίεσης είναι τυπικά μια μη συνεχής πηγή διατάραξης, εφόσον ο δορυφόρος πιθανόν να μην εκτίθεται συνεχώς στο άμεσο ηλιακό φώς κατά τη διάρκεια της τροχιάς. Πρόκειται για μια λογική απλούστευση για δορυφόρους χαμηλής τροχιάς ο ορισμός του, εάν ο δορυφόρος κινείται υπό σκιά, διαφορετικά το Παραμένουσα διπολική ροπή Όπως ο καθένας που έχει χρησιμοποιήσει πυξίδα γνωρίζει ότι γύρο από τη Γή επικρατεί εκτός του βαρυτικού πεδίου, και ένα σημαντικό μαγνητικό πεδίο. Οι επιστήμονες δεν έχουν ακόμα συμφωνήσει τελείως για την προέλευση αυτού του πεδίου, αλλά αυτό το οποίο είναι γνωστό στα σίγουρα είναι ότι το μαγνητικό πεδίο είναι μια σύνθεση της υπέρθεσης διαφόρων πηγών δυναμικών πεδίων. Αυτές οι πηγές είναι (α) το κυρίως πεδίο, ηλεκτροδυναμικά δημιουργούμενο στον εξωτερικό πυρήνα της Γής, (β) στο πεδίο το οποίο οφείλεται στο φλοιό της Γής (λιθόσφαιρα) 58

65 Κεφάλαιο 3 ο από τοπικά υλικά με παραμένοντα ή μαγνητικά επαγόμενο μαγνητισμό, πχ ηφαιστειακές πέτρες και (γ) ένα συνδυασμένο πεδίο διαταραχών από συστήματα ηλεκτρικών ρευμάτων στα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας (ιονόσφαιρα) αλλά και στη μαγνητόσφαιρα, η οποία επίσης επάγει δευτερεύοντα ηλεκτρικά ρεύματα στη θάλασσα και στο έδαφος. Το πεδίο, οφειλόμενο στο φλοιό της Γής, εξασθενεί αρκετά στα ύψη των δορυφόρων που ίπτανται σε LEO και με εξαίρεση τις πολικές περιοχές το πεδίο οφειλόμενο στις διαταραχές σε αυτά τα ύψη είναι επίσης πολύ ασθενές. Το απλούστερο μοντέλο περιγραφής του γεωμαγνητικού πεδίου είναι αυτό ενός ιδανικού δίπολου, το οποίο πρώτος ανακάλυψε ο «William Gilbert of Colchester», Άγγλος φυσικός και άνθρωπος των γραμμάτων στην αυλή της βασίλισσας Ελισάβετ της πρώτης, και, στα 1600 δημοσίευσε την εργασία του «De magnete, magneticisique corporibus». Ο Gilbert έδωσε τη πρώτη αιτιολογική εξήγηση στη μυστηριώδης ικανότητα της βελόνας της πυξίδας να δείχνει το βορρά και άνοιξε το χώρο για τη μοντέρνα φυσική και αστρονομία, ξεκινώντας ένα αιώνα σημαδεμένο με τα μεγάλα επιτεύγματα του Γαλιλαίου, του Κέπλερ του Νεύτωνα και άλλων. Αυτό, το οποίο Gilbert δε γνώριζε για την ώρα, ήταν ότι το δίπολο της Γής είναι κεκλιμένο ως προς τον άξονα περιστροφής της Γής. Συνεπώς οι γεωμαγνητικοί πόλοι δε συμπίπτουν με τους γεωγραφικούς πόλους. Επιπρόσθετα, η ένταση του πεδίου δεν είναι ανεξάρτητη από το γεωγραφικό μήκος. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται εκκεντρικό δίπολο. Εικόνα3.1: Ισομαγνητικός χάρτης της έντασης του μαγνητικού πεδίου στο επίπεδο της Θάλασσας σε "Vander-Grinten" προβολή. Το διάστημα μεταξύ των γραμμών αντιπροσωπεύει 2000 nt. 59

66 Κεφάλαιο 3 ο Υποθέτοντας ότι η Γή είναι ένα ιδανικό δίπολο, η ένταση του πεδίου δίνεται από τη σχέση (3.6) Όποιο παραμένον μαγνητικό πεδίο ενυπάρχει στον δορυφόρο, είτε παράγεται από μαγνητικά υλικά, πχ. φερομαγνητικά, είτε από ηλεκτρονικά συστήματα, θα επιδράσει με το γεωμαγνητικό πεδίο και θα παραχθεί μια μηχανική ροπή. Τα μαγνητικά πεδία μπορούν να αναπαρασταθούν με ισοδυναμικές γραμμές ενός μαγνητικού δυναμικού πεδίου. Τα διανύσματα της μαγνητικής ροής είναι εφαπτόμενα σε αυτές τις γραμμές. Η ένταση ενός μαγνητικού πεδίου ορίζεται από το μαγνητικό δίπολο του σώματος που δημιουργεί το πεδίο. Ένας συνήθης ραβδωτός μαγνήτης είναι ένα παράδειγμα μιας πηγής πεδίου μαγνητικού δίπολου. Έχει δύο πόλους, και όλες οι μαγνητικές γραμμές ενώνουν τους πόλους. Αποκλίσεις από το μοντέλο του απλού δίπολου μπορούν να υπάρξουν για σώματα με πολύπλοκη εσωτερική μαγνητική δομή. Τα πεδία μεγαλύτερης τάξης πόλων (τετράπολα, οχτάπολα), είναι υπερθέσεις των πεδίων των δίπολων προκειμένου να σχηματιστεί η σύνθετη δομή του μαγνητικού αυτού πεδίου. Εκφράζοντας το καθαρό παραμένον μαγνητικό πεδίο σε όρους παραμένοντα δίπολου D, η ροπή διαταραχής που ασκείται στη κατασκευή του δορυφόρου μπορεί συντηρητικά να γραφεί ως (3.7) Η γεωμαγνητική πυκνότητα ροής B γίνεται περιοδικά μέγιστη για για n=1,2,3, και η οποία εντοπίζεται πάνω από τους μαγνητικούς πόλους. Σε αυτές τις θέσεις και για τις χειρότερες συνθήκες η ροπή μπορεί να οριστεί ως (3.8) Η εκτίμηση του παραμένοντα μαγνητισμού πριν την ολοκλήρωση της κατασκευής του δορυφόρου είναι δύσκολη. Δεδομένου ότι ο UPSat είναι ένας πολύ μικρός δορυφόρος υποθέτουμε τη τιμή των 0.01 Am 2. Σύμφωνα με τη βιβλιογραφία, μικρά (αρκετά μεγαλύτερα όμως από τον Upsat) μη-αντισταθμιζόμενα οχήματα συνήθως παρουσιάζουν έναν παραμένοντα μαγνητισμό της τάξης του 1Am 2. Υποθέτοντας το κατώτερο όριο στο ύψος της τροχιάς, η χειρότερη περίπτωση για τη μαγνητική ροπή εκτιμάται στα Nm. 60

67 Κεφάλαιο 3 ο Συνολικό επίπεδο ροπών διαταραχής Συνοψίζοντας την ανάλυση των δυναμικών διαταραχών του περιβάλλοντος του Upsat και στη περίπτωση των χειρότερων συνθηκών, η συνεισφορά των διαφόρων ροπών είναι η ακόλουθη Προέλευση Αεροδυναμική αντίσταση Ηλιακή Πίεση Παραμένον μαγνητισμός Ροπή Nm Nm Nm Συνολικό διαταραχών επίπεδο Nm Πίνακας3.4: Σύνοψη των αναμενόμενων επιπέδων διαταραχών υπό τις χειρότερες συνθήκες. Τα παραπάνω αποτελέσματα αποτυπώνουν τις χειρότερες συνθήκες λειτουργίας, όπου η κάθε ροπή έχει απλά προστεθεί στις υπόλοιπες ως να επιδρούσαν όλες στον ίδιο άξονα, στην ίδια κατεύθυνση. Στη πραγματικότητα το παραπάνω σενάριο είναι αρκετά απίθανο να συμβεί. Ακύρωση ροπών είναι πολύ πιθανό να συμβεί, έχοντας ένα ως αποτέλεσμα σημαντικά χαμηλότερο επίπεδο ροπών διαταραχών. Να σημειωθεί ότι η ροπή λόγο της αεροδυναμικής αντίστασης είναι κυρίαρχη σε ύψη κάτω των 500 χλμ, ενώ η ροπή λόγω παραμένοντα μαγνητισμού είναι κυρίαρχη σε ύψη άνω των 500 χλμ. 61

68 Κεφάλαιο 4 ο Κεφάλαιο 4 Υλικό Συστημάτων Ελέγχου Προσανατολισμού Το τέταρτο κεφάλαιο ξεκινάει περιγράφοντας τις τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την επίτευξη του ελέγχου προσανατολισμού ενός δορυφόρου. Η συζήτηση επικεντρώνεται στη συνέχεια σε μια κατηγορία ενεργοποιητών, τους μαγνητικούς ενεργοποιητές. Περιγράφεται η αρχή λειτουργίας καθώς και το απαραίτητο μαθηματικό υπόβαθρο που διέπει τη συμπεριφορά τους. Τέλος, παρατίθεται η ανάλυση των λειτουργικών απαιτήσεων αλλά και της διαδικασίας σχεδιασμού των μαγνητικών ενεργοποιητών. 62

69 Κεφάλαιο 4 ο 4.1 Τεχνικές Ελέγχου Προσανατολισμού Δορυφόρου Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο του προσανατολισμού μιας διαστημοσυσκευής είναι πολλαπλές. Ωστόσο, εδώ αξίζει να μελετηθούν καλύτερα εκείνες που μπορούν να πετύχουν την λειτουργία προσανατολισμού κατεύθυνση προς τη Γη (nadir pointing), δηλαδή ενεργός έλεγχος προσανατολισμού σε τρεις άξονες και παθητική σταθεροποίηση με δράση της ροπής της βαρύτητας της Γής. Σε γενικές γραμμές, οποιαδήποτε πηγή ροπών ελέγχου αποτελεί πιθανή επιλογή για τον έλεγχο του προσανατολισμού του δορυφόρου. Η παθητική μέθοδος σταθεροποίησης με επίδραση της βαρύτητας, παρόλο που εννοιολογικά είναι απλή, έχει ένα σημαντικό μειονέκτημα για τον ελέγχου του προσανατολισμό του CubeSat: η ροπή προερχόμενη από την έλξη της βαρύτητας που δημιουργείται σε έναν δορυφόρο κυβικής δομής δεν είναι επαρκής σε μέγεθος, για να σταθεροποιηθεί ο δορυφόρος με ικανοποιητική ακρίβεια ως προς την επιθυμητή κατεύθυνση. Ο έλεγχος της γωνίας γύρω από τους άξονες X και Υ (roll & pitch) απαιτεί σημαντική διαφορά στο μέγεθος των «κύριων» ροπών αδράνειας μεταξύ του κατακόρυφου άξονα ĉ 3 και των άλλων δύο. Αυτό είναι δύσκολο να επιτευχθεί κατασκευαστικά, διότι απαιτείται ύπαρξη ενός αναπτυσσόμενου εξαρτήματος. Εντούτοις, για ένα δορυφόρο με κατεύθυνση το ναδίρ, το σταθεροποιητικό αποτέλεσμα της έλξης της βαρύτητας μπορεί να θεωρηθεί παθητική υποστήριξη ενός άλλου, ενεργού μέσου ελέγχου προσανατολισμού. Τα πανομοιότυπα CubeSats NCube-1 και NCube-2 χρησιμοποιούν μια αναπτυσσόμενη δοκό μήκους 1.5 μ. για το σκοπό αυτό αλλά και μια μονοπολική κεραία μήκους 0.5m επιφέρει το ίδιο αποτέλεσμα. Η ροπή λόγω της βαρύτητας προκαλεί πολύ λίγη ευστάθεια στον άξονα Z, γεγονός το οποίο είναι δευτερεύουσας σημασίας για ένα δορυφόρο του οποίου ο άξονας σκόπευσης του ωφέλιμου φορτίου συμπίπτει με τον κατακόρυφο άξονα. Σε σύγκριση με το παθητικό αποτέλεσμα της έλξης της βαρύτητας, όλες οι ενεργές μέθοδοι ελέγχου, παρόλο που εννοιολογικά είναι πιο ευέλικτες και ικανότερες, περιπλέκονται από το γεγονός ότι απαιτούν γνώση του προσανατολισμού του δορυφόρου με σκοπό να διαμορφωθεί ένα σύστημα ελέγχου κλειστού βρόγχου. Οι ενεργοποιητές των συστημάτων ανατροφοδότησης χρησιμοποιούνται για να επιβάλλουν μια ελεγχόμενη γωνιακή επιτάχυνση στο διαστημόπλοιο με σκοπό να τοποθετήσουν το σώμα στον επιθυμητό προσανατολισμό. Σε τέτοιους δορυφόρους ο προσανατολισμός ελέγχεται στους τρεις άξονες. Η γενικότερη ιδέα είναι η κατάλληλη διαχείριση της στροφορμής του συστήματος ώστε να ασκούνται ροπές ελέγχου, όπως περιγράφεται στην (4.1). (4.1) Όπου, η συνισταμένη των ροπών, η στροφορμή, η ροπή αδράνειας και η γωνιακή επιτάχυνση. 63

70 Κεφάλαιο 4 ο Καθώς η ροπή είναι η παράγωγος της στροφορμής, ο ενεργοποιητής πρέπει να αλλάξει τη στροφορμή του δορυφόρου, η οποία σύμφωνα με τον νόμο του Νεύτωνα πρέπει να είναι σταθερή, εφόσον ο δορυφόρος δεν επηρεάζεται από εξωτερικές ροπές. Κατά συνέπεια, υπάρχουν μόνο δύο ομάδες μεθόδων που μπορούν να αλλάξουν τον προσανατολισμό μιας διαστημοσυσκευής. Η ανταλλαγή στροφορμής με ένα εξωτερικό αντικείμενο Η ανταλλαγή στροφορμής με ένα άλλο μέρος του δορυφόρου Μια ενεργή μέθοδος που ανήκει στην πρώτη ομάδα των στρατηγικών ελέγχου προσανατολισμού είναι η ανταλλαγή στροφορμής μέσω ροπών που προέρχονται από την εκτόξευση αερίων από συμβατικούς είτε ηλεκτρικούς προωθητήρες. Οι CubeSats δεν μπορούν να μεταφέρουν οποιοδήποτε ρευστό υλικό όπως στερεές ή υγρές προωθητικές ύλες, αλλά οι προωθητήρες κρύου αερίου αποτελούν μια επιλογή. Ωστόσο, λόγω των αυστηρών περιορισμών βάρους, δεν έχει επιχειρηθεί μέχρι στιγμής στο πλαίσιο των πίκο-δορυφόρων καμία προσπάθεια εφαρμογής συστημάτων προώθησης κρύου αερίου για τον έλεγχο του προσανατολισμό ή της τροχιάς. Οι ηλεκτρικοί προωθητήρες εμφανίζουν προβλήματα στην πλατφόρμα του CubeSat, εφόσον οι υπάρχοντες σχεδιασμοί απαιτούν εξαιρετικά μεγάλες ποσότητες ηλεκτρικής ενέργειας και ένα δίκτυο υψηλής τάσης. Η τεχνολογία των μικρό-ηλεκτρομηχανικών συστημάτων (MEMS) προβλέπει μια υποσχόμενη προσέγγιση με σκοπό να υπερνικηθούν αυτά τα τεχνολογικά εμπόδια. Μια ερευνητική ομάδα από τη Δανία στο Τεχνικό Πανεπιστήμιο της Δανίας ανέπτυξε μια μινιατούρα εκπομπού ηλεκτρονίων χαμηλής τάσης, τεχνολογίας ΜΕΜS για πίκοδορυφόρους. Σχεδόν κάθε σύγχρονος δορυφόρος με έλεγχο στους τρεις άξονες διαθέτει ένα σύνολο τουλάχιστον τριών τροχών στροφορμής ως ενεργοποιητές για τον έλεγχο του προσανατολισμού. Αυτοί οι πολύ ακριβοί συνήθως ενεργοποιητές καθιστούν ικανό ένα δορυφόρο να αλλάζει προσανατολισμό στρεφόμενο προς οποιοδήποτε επιθυμητή κατεύθυνση και να την διατηρεί σε βαθμό ακριβείας, ο οποίος μπορεί να οριοθετηθεί μόνο από τη απόδοση του υποσυστήματος αναγνώρισης του προσανατολισμού του δορυφόρου. Ανάλογα με το μέγεθος των ενεργοποιητών, μπορούν να επιτευχθούν υψηλοί ρυθμοί μεταβολής, και πολύπλοκα σενάρια αποστολής, όπως είναι ο εγκλωβισμός στόχων, είναι εφικτά. Ο τροχός στροφορμής ανήκει στη δεύτερη κατηγορία ενεργοποιητών, καθώς η στροφορμή μεταφέρεται αντίστροφα από το δορυφόρο στους τροχούς στροφορμής. Αυτοί αποτελούνται από έναν κινητήρα και έναν σφόνδυλο. Όταν ο σφόνδυλος επιταχύνεται από τον κινητήρα αποκτά στροφορμή, η οποία μεταφέρεται από τη βάση στην οποία ο κινητήρας τοποθετείται. Κάποιοι τροχοί στροφορμής τίθενται σε λειτουργία 64

71 Κεφάλαιο 4 ο μονοκατευθυντικά με σταθερό ρυθμό περιστροφής που ανέρχεται στο μισό του μέγιστου επιτρεπόμενου ρυθμού προς αποφυγή μη γραμμικοτήτων που παρουσιάζονται λόγω στατικής τριβής. Ο κινητήρας έχει όρια κορεσμού, δηλαδή έναν μέγιστο ρυθμό περιστροφής που είναι συνήθως <10,000rpm και έναν ελάχιστο ρυθμό περιστροφής που είναι συνήθως >0rpm και αυτό περιορίζει την ποσότητα της στροφορμής που μπορεί να μεταφερθεί μεταξύ των τροχών και του δορυφόρου. Οι τροχοί στροφορμής χρησιμοποιούνται συνεπώς σε συνδυασμό με ένα άλλο σύστημα ενεργοποίησης με σκοπό τον «από-κορεσμό του τροχού» ή την «αποφόρτιση της στροφορμής». 4.2 Μαγνητικοί ενεργοποιητές Οι πιο γνωστοί ενεργοποιητές, χρησιμοποιούμενοι σε συνδυασμό με «τροχούς αδρανείας» προκειμένου να αποφορτίσουν την συσσωρευμένη ορμή είναι τα μαγνητικά πηνία. Υπάρχει μία απλή αλγεβρική εξίσωση ικανή να περιγράψει τον τρόπο με τον οποίο η ροπή ελέγχου δημιουργείται από τη παρουσία μαγνητικής ροπής m μέσα σε εξωτερική μαγνητική ροή πυκνότητας B. (4.2) Ως αντιπροσωπευτικό παράδειγμα, η αρχή λειτουργία της πυξίδας, του σημαντικότερου οργάνου προσανατολισμού πριν φυσικά την εγκατάσταση του Παγκόσμιου Συστήματος εντοπισμού θέσης (GPS), μπορεί να κατανοηθεί ευκολότερα ερμηνεύοντας την εξίσωση (4.2). Η κοινή πυξίδα είναι μία επίπεδη συσκευή εφοδιασμένη με βελόνη κατασκευασμένη από μαγνητικό υλικό με ισχυρή μαγνητική ροπή. Η βελόνη στηρίζεται σε κάθετο άξονα και είναι ελεύθερη προς κίνηση. Η μαγνητική ροπή της βελόνης μπορεί να αναπαρασταθεί από μία διανυσματική ποσότητα στερεωμένη σε αυτή. Η αλληλεπίδραση της μαγνητικής ροπής και του Γήινου μαγνητικού πεδίου προκαλεί μηχανική ροπή στρέψης, περιστρέφοντας της βελόνη μέχρι η μαγνητική ροπή να ευθυγραμμιστεί με τη κατεύθυνση του γεωμαγνητικού πεδίου (μαγνητικός βόρειος πόλος), όπου το εξωτερικό γινόμενο και συνεπώς η ροπή αποκτούν τη τιμή μηδέν. Αυτή η εξαιρετικά προβλέψιμη δυνατότητα παραγωγής μηχανικής ροπής έχει εμπνεύσει τους μηχανικούς των πρώτων δορυφόρων να εφαρμόσουν τεχνικές παθητικού προσανατολισμού συνδέοντας μια ισχυρά μαγνητισμένη σιδηρομαγνητική ράβδο καθώς επίσης και έναν μηχανισμό απόσβεσης στη δομή του δορυφόρου, με τέτοιο τρόπο ώστε το διάνυσμα της μαγνητικής ροπής του δορυφόρου να ακολουθεί πάντα τις γεωμαγνητικές γραμμές του πεδίου. Ωστόσο, ο παθητικός, μαγνητικός μηχανισμός ελέγχου καταλήγει σε μια κίνηση του δορυφόρου, η οποία δεν είναι συμβατή με την απαίτηση κατεύθυνσης προς το 65

72 Κεφάλαιο 4 ο ναδίρ, για τον λόγο ότι το διάνυσμα του γεωμαγνητικού πεδίου περιστρέφεται δύο φορές σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα ή μια φορά σε σχέση με το τροχιακό σύστημα. Εικόνα 4.1: Ο παθητικός μαγνητικός έλεγχος ευθυγραμμίζει έναν επιλεγμένο άξονα του δορυφόρου με το τοπικό διάνυσμα του γεωμαγνητικού πεδίου. Ευτυχώς, υπάρχει μια εναλλακτική για τον μόνιμο σιδηρομαγνήτη, ο ηλεκτρομαγνήτης. Ένας ηλεκτρομαγνήτης αποτελείται από ένα κύκλωμα αγωγών, οι οποίοι μπορούν να είναι διατεταγμένοι γύρω από έναν πυρήνα υψηλής μαγνητικής διαπερατότητας. Με το σιδηρομαγνητικό αυτό υλικό, ο ηλεκτρομαγνήτης σχηματίζει έναν ενεργό, μαγνητικό ενεργοποιητή δορυφόρου γνωστό ως ράβδοροπής. Αντί για αυτό, συνήθως χρησιμοποιείται ο όρος πηνίο αέρος. Ο ενεργός, μαγνητικός έλεγχος περιλαμβάνει ένα εύρος πλεονεκτημάτων έναντι άλλων μεθόδων ελέγχου προσανατολισμού. Το υλικό του ηλεκτρομαγνητικού πηνίου είναι φθηνό, απλό, καλής κατασκευής, αξιόπιστο και επιδέχεται ρύθμιση των διαστάσεων του. Συγκεκριμένα, το τελευταίο χαρακτηριστικό είναι σημαντικό για τους πίκο-δορυφόρους των οποίων οι κατάλληλοι ενεργοποιητές δεν είναι άμεσα διαθέσιμοι. Η μέθοδος του μαγνητικού ελέγχου δε προκαλεί δονήσεις στη δομή του δορυφόρου, γεγονός που μπορεί να είναι ένα σημαντικό πλεονέκτημα για πιθανά, επιστημονικά ωφέλιμα φορτία. Επίσης, ο μαγνητικός έλεγχος προσφέρει μια σχετικά απλή και αξιόπιστη μέθοδο για την απόσβεση στροφορμής κατά την αρχική φάση της ζωής του δορυφόρου, όταν αυτός απελευθερωθεί από τον πύραυλο-φορέα, που είναι γνωστή ως σταθεροποιητής του μέτρου γωνιακής ταχύτητας με τη χρήση του αλγορίθμου B-dot. 66

73 Κεφάλαιο 4 ο Τα βασικά μειονεκτήματα που θα πρέπει να αποδοθούν στον ενεργό, μαγνητικό έλεγχο περιλαμβάνουν την εγγενώς μέτρια ακρίβειά του λόγω ενός φαινομένου που αναφέρεται ως «Θεμελιώδης υποενεργοποίηση». Μια άμεση συνέπεια αυτής της βασικής υπολειτουργίας είναι ότι ο μαγνητικός έλεγχος είναι επιλογή μόνο για τους μικρούς δορυφόρους (έως περίπου 60 κιλά) και τροχιές με υψηλές κλίσεις. Επιπλέον, αυτός είναι εφικτός για συσκευές χαμηλής τροχιάς λόγω του κυβικά αποκλίνοντος μεγέθους του γεωμαγνητικού πεδίου με αυξανόμενο ύψος. 4.3 «Θεμελιώδης υποενεργοποίηση» συστήματος μαγνητικού ελέγχου Επισκοπώντας το εξωτερικό γινόμενο της κύριας εξίσωσης (4.2) διαφαίνεται ότι η δυνατότητα παραγωγής ροπής έχει ένα σημαντικό μειονέκτημα. Οι ροπές ελέγχου είναι πάντα κάθετες στη μαγνητική ροπή και στο γεωμαγνητικό πεδίο μαζί, συνεπώς η στροφορμή στη διεύθυνση του διανύσματος του πεδίου δεν είναι δυνατό να ελέγχει. Για το λόγο αυτό δορυφόροι οι οποίοι διαθέτουν μόνο μαγνητικούς ενεργοποιητές αναφέρονται ως θεμελιωδώς υπό-ενεργοποιούμενοι. Το πρόβλημα αυτό θα μπορούσε να κριθεί ως απαγορευτικό, αλλά λόγω των ισχυρών διπολικών χαρακτηριστικών του κυρίως μαγνητικού πεδίου της Γής, ο άξονας της υπόενεργοποίησης περιστρέφεται καθώς ο δορυφόρος κινείται κατά μήκος της τροχιάς εάν υποτεθεί μεγάλη μαγνητική κλίση. Σε τέτοιου είδους τροχιές το διάνυσμα του πεδίου περιστρέφεται δύο φορές, μια ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς και μια ως προς το σύστημα αναφοράς του σώματος. Έτσι η κατεύθυνση της υπόενεργοποίησης βρίσκεται σε συνεχή κίνηση και, σε χρόνο μίας τροχιάς, όλοι οι περιστροφικοί βαθμοί ελευθερίας μπορούν να διαχειριστούν, ακόμα και αν σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή το σύστημα με την αυστηρή έννοια του όρου είναι μη ελέγξιμο στη κατεύθυνση του γεωμαγνητικού πεδίου. 67

74 Κεφάλαιο 4 ο Εικόνα 4.2: «Θεμελιώδης υποενεργοποίηση». Κάθε χρονική δεν είναι όλοι οι βαθμοί ελευθερίας ελέγξιμοι, αλλά σε διάστημα μίας τροχιάς το σύστημα είναι ελέγξιμο. Στη εικόνα (4.2) φαίνεται η σημαντική επίδραση της «θεμελιώδους υπόενεργοποίησης» στους μαγνητικά ενεργοποιούμενους δορυφόρους. Εάν είναι επιθυμητός ο προσανατολισμός του δορυφόρου ιδανικά προς το ναδίρ και επιπρόσθετα το διάνυσμα να είναι ευθυγραμμισμένο με το, τότε οι βαθμοί ελευθερίας είναι φυσικά οι τρείς μεταβλητές περιστροφής roll, pitch, yaw. Στις περιοχές της μαγνητόσφαιρας πάνω από τον ισημερινό το γεωμαγνητικό πεδίο είναι ευθυγραμμισμένο με τον άξονα του roll, αφήνοντας τη στροφορμή στον ίδιο άξονα μη ελέγξιμη. Παρομοίως, ο yaw άξονας είναι μη ελέγξιμος στις περιοχές στις οποίες το γεωμαγνητικό πεδίο είναι παράλληλο με τον yaw άξονα, για παράδειγμα στους μαγνητικούς πόλους. Στο ενδιάμεσο των παραπάνω περιοχών, οι υπόενεργοποιούμενοι άξονες δεν περιγράφονται εύκολα καθώς συνιστώσες των κύριων αξόνων είναι υπό-ενεργοποιούμενες. 4.4 Μαθηματικό υπόβαθρο Τα μαγνητικά πηνία στη πραγματικότητα δεν είναι τίποτα άλλο παρά τυλίγματα καλωδίου σε «μεγάλες» σπείρες, τα οποία όταν διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα εμφανίζουν μαγνητική πεδίο. Εάν το πηνίο βρεθεί σε εξωτερικό μαγνητικό περιβάλλον, τα δύο πεδία θα αλληλεπιδράσουν με αποτέλεσμα την δημιουργία μηχανικής ροπής στρέψης. Δημιουργία μαγνητικής ροπής Τα μαγνητοστατικά πεδία δημιουργούνται από ροή ηλεκτρικού στατικού ρεύματος και συνεπώς από τη κίνηση φορτισμένων σωματιδίων. Παρατηρήσεις έχουν δείξει 68

75 Κεφάλαιο 4 ο ότι σε ένα κομμάτι αγωγού με φορείς ρεύματος ασκούνται δυνάμεις. Το μαγνητικό πεδίο μπορεί να περιγραφεί με διανυσματικούς όρους και συμβολίζεται με B. Η μαγνητική δύναμη, γνωστή ως «δύναμη Lorenz» σε κινούμενα φορτία εξαρτάται από το φορτίο και τη ταχύτητα τους, καθώς και από το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Το ρεύμα σε έναν αγωγό είναι ο μέσος όρος πολλών κινούμενων φορτίων. Συνεπώς η συνολική δύναμη σε έναν αγωγό μπορεί να προσδιοριστεί αθροίζοντας τις δυνάμεις του κάθε φορτίου ξεχωριστά. Θεωρώντας μία απειροστά μικρή τομή ενός αγωγού όπως φαίνεται στην εικόνα (4.3), με το ρεύμα να δηλώνεται από τη κατεύθυνση της πυκνότητας του ρεύματος. Έστω x ο αριθμός των φορέων φορτίου ανά μονάδα όγκου και q το φορτίο του κάθε φορέα. Εάν η μέση ταχύτητα των φορέων είναι, τότε η πυκνότητα του ρεύματος δίνεται από τη σχέση. Στον όγκο της απειροστά μικρής τομής υπάρχουν κινούμενα φορτία. Η συνολική δύναμη σε αυτά τα φορτία δίνεται από τη παρακάτω σχέση (4.4) Εικόνα 4.3: Δύναμη Lorentz σε αγωγό 69

76 Κεφάλαιο 4 ο Το ολικό ρεύμα σε έναν αγωγό δίνεται από τη σχέση. Η έκφραση της μαγνητικής δύναμης σε ένα στοιχείο ρεύματος σε εξωτερικό μαγνητικό πεδίο γράφεται ως: (4.5) Η συνολική δύναμη σε ένα πεπερασμένο αγωγό υπολογίζεται ολοκληρώνοντας τη παραπάνω έκφραση κατά μήκος του αγωγού. (4.6) Ένα τετραγωνικό πηνίο είναι στην ουσία ένας μακρύς αγωγός τυλιγμένος σε σπείρες, για το οποίο η δύναμη σε κάθε πλευρά δίνεται από τον τύπο (4.6) και απεικονίζεται στην εικόνα (4.4). Η κατεύθυνση των δυνάμεων σε κάθε πλευρά μπορεί να οπτικοποιηθεί με τον κανόνα του δεξιού χεριού, όπου ο αντίχειρας δηλώνει την κατεύθυνση του ρεύματος και ο δείκτης τη κατεύθυνση του διανύσματος του μαγνητικού πεδίου. Ως αποτέλεσμα, ο μέσος δηλώνει τη κατεύθυνση της δύναμης. Στην εικόνα φαίνονται οι τέσσερεις δυνάμεις Lorentz σε μία σπείρα και διακρίνεται καθαρά η απαλοιφή των δυνάμεων των πλευρών μήκους b στον y-άξονα, καθώς και οι ενεργές δυνάμεις των πλευρών μήκους a στους x-z άξονες. Οι δυνάμεις σε κάθε πλευρά καθορίζονται από τη σχέση (4.6), η οποία γίνεται (4.7) Εικόνα4.4: Δύναμη Lorentz στις πλευρές ενός πηνίου. 70

77 Κεφάλαιο 4 ο Η προκύπτουσα ροπή Τ των δύο εναπομενουσών δυνάμεων είναι: (4.8) Ο υπολογισμός των δυνάμεων Lorentz και της ροπής ενός πηνίου με N σπείρες βρίσκεται εύκολα πολλαπλασιάζοντας με N. (4.9) Οι παράμετροι a,b του πηνίου απλοποιούνται στην επιφάνεια A και σχηματίζουν με το ρεύμα I μια διανυσματική ποσότητα, τη μαγνητική ροπή, η οποία δίνεται από το διάνυσμα στην εικόνα (4.4). Η μαγνητική ροπή περιγράφεται από τη σχέση (4.10) Κάνοντας χρήση επίσης του κανόνα του δεξιού χεριού, μπορεί να οπτικοποιηθεί η κατεύθυνση της μαγνητικής ροπής m. Η παλάμη του χεριού καμπυλώνει έτσι ώστε να δείχνει τη κατεύθυνση του ρεύματος στη σπείρα. Τότε ο αντίχειρας δείχνει τη κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Αυτή η κατεύθυνση, κάθετη στη σπείρα, είναι επίσης και η κατεύθυνση της μαγνητικής ροπής m. Για αριθμό Ν σπειρών η έκφραση της μαγνητικής ροπής επεκτείνεται στην (4.11) Χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα του καρτεσιανού γινομένου η κύρια εξίσωση (4.2) προκύπτει ως: (4.12) Προκύπτει ότι συνδυάζοντας τρία, αμοιβαία κάθετα μεταξύ τους πηνία, η μηχανική ροπή που παράγεται θα είναι: (4.13) Ακολουθώντας ένα λογικό σχεδιασμό, τα τρία πηνία θα σχεδιαστούν πανομοιότυπα, έχοντας τις ίδιες φυσικές παραμέτρους. Δηλαδή, 71

78 Κεφάλαιο 4 ο και. Έτσι, η μόνη ανεξάρτητη παράμετρος είναι το ρεύμα του κάθε πηνίου, και η σχέση (4.13) παίρνει τη μορφή: (4.14) Εφαρμόζοντας διαφορετικές τιμές ρεύματος στο κάθε πηνίο, αντίστοιχα παράγονται και διαφορετικές μαγνητικές ροπές. Έτσι, μετρώντας τη πυκνότητα της γεωμαγνητικής ροής με έναν αισθητήρα προσαρμοσμένο στο δορυφόρο, και ρυθμίζοντας κατάλληλα το ρεύμα των πηνίων καταφέρνουμε να ρυθμίσουμε αντίστοιχα τη μηχανική ροπή και να ελέγξουμε αποτελεσματικά το προσανατολισμό του δορυφόρου. 4.5 Διαδικασία Σχεδιασμού των ενεργοποιητών Κατά τη διαδικασία σχεδιασμού των μαγνητικών ενεργοποιητών οι κυριότεροι παράμετροι που εμπλέκονται είναι ο αριθμός των σπειρών Ν και το εμβαδόν της επιφάνειας Α του πηνίου. Σχετικά με τη δεύτερη παράμετρο, την επιφάνεια Α, δεν υπάρχει μεγάλη ελευθερία στο σχεδιασμό διότι επιβάλλονται δομικοί περιορισμοί στο εσωτερικό του κύβου. Ο επιθυμητός σχεδιασμός στοχεύει στη κάλυψη της όσο το δυνατόν μεγαλύτερης επιφάνειας. Οι παράγοντες που καθορίζουν την παράμετρο Α είναι οι εσωτερικές διαστάσεις της έδρας του κύβου, η διάταξη των εξαρτημάτων στο εσωτερικό και η τεχνική στήριξης τους. Αντίθετα με το εμβαδόν, η επιλογή των σπειρών του πηνίου Ν αποτελεί μια ενδιαφέρουσα παράμετρο σχεδιασμού και αξίζει να μελετηθεί καλύτερα. Οι φυσικές και ηλεκτρικές ιδιότητες των μαγνητικών πηνίων και πιο συγκεκριμένα η μάζα, η ισχύς, η αντίσταση και παραγόμενη μαγνητική ροπή, διέπονται από ένα σύνολο τεσσάρων βασικών εξισώσεων. Η μάζα του πηνίου δίνεται από το γινόμενο του συνολικού μήκους του αγωγού, της επιφάνειας διατομής και της πυκνότητας του υλικού κατασκευής. (4.15) όπου το a w είναι η επιφάνεια διατομής, ρ η πυκνότητα του υλικού του αγωγού και η μέση περίμετρος C ορίζεται ως εξής (4.16) 72

79 Κεφάλαιο 4 ο Όπου b και h είναι το πλάτος και το ύψος του πηνίου, ενώ τομής του. είναι το ύψος της Η καταναλισκόμενη ηλεκτρική ισχύς δίνεται από τον Νόμο του Ωμ (4.17) όπου η αντίσταση του πηνίου R c περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση και αποτελεί επίσης συνάρτηση της θερμοκρασίας. (4.18) Η εξάρτηση της από τη θερμοκρασία περιγράφεται με γραμμική προσέγγιση που διέπεται από δύο παραμέτρους, το συντελεστή ειδικής αντίστασης του υλικού σ 0 και το θερμικό συντελεστή αντίστασης α. (4.19) Χρησιμοποιώντας την απλή σχέση του ρεύματος του πηνίου και της μαγνητικής ροπής (4.11) και εισάγοντας την 4.15 στην 4.17, η κατανάλωση ενέργειας ενός πηνίου μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση της μάζας του πηνίου. (4.20) Η εξίσωση (4.20) δηλώνει σαφώς ότι η κατανάλωση ενέργειας είναι αντιστρόφως ανάλογη της μάζας του πηνίου αλλά σχετίζεται ανάλογα με το τετράγωνο του λόγου της περιμέτρου και της επιφάνειας του πηνίου. Η συνέπεια αυτού είναι ότι ένα κυκλικό πηνίο αποφέρει τη χαμηλότερη κατανάλωση ενέργειας για μια δεδομένη μάζα ή αντίστοιχα τη χαμηλότερη μάζα για τη δοθείσα, μέγιστη, διαθέσιμη ενέργεια. Ωστόσο, παρά την μικρή απώλεια σε απόδοση, συνήθως επιλέγεται η χρήση ορθογώνιων πηνίων λόγω της απλούστερης δομικής ενσωμάτωσης στο κύβο και της μεγαλύτερης επιτευχθείσας επιφανειακής κάλυψης. Η αναδιατύπωση της (4.20) για την μαγνητική ροπή έχει ως αποτέλεσμα (4.21) Η εξίσωση (4.21) δηλώνει ότι η παραγόμενη μαγνητική ροπή μπορεί να αποκτήσει τη μέγιστη τιμή της μέσω της ελαχιστοποίησης του γινομένου της πυκνότητας του υλικού ρ και της ειδικής αντίστασης του υλικού σ. Και οι δύο παράμετροι 73

80 Κεφάλαιο 4 ο αποτελούν συνάρτηση του υλικού. Τα υποψήφια υλικά είναι ο χαλκός και το αλουμίνιο. Ο Πίνακας 4.1 παραθέτει τις σχετικές ιδιότητες των δύο αυτών υλικών. Τιμή Τιμή Παράμετρος Σύμβολο Μονάδα (Χαλκός) (Αλουμίνιο) Πυκνότητα υλικού ρ 8.93Ε Ε-03 g/mm 3 Ειδική αντίσταση υλικού σ Ε Ε-05 Ωmm Θερμοκρασιακός συντελεστής ειδικής αντίστασης α 3.90Ε Ε-03 1/K Πίνακας 4.1: Υλικό του αγωγού, Σύγκριση χαλκού-αλουμινίου Δεδομένων των στοιχείων του πίνακα, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι οι όσον αφορά τη παράμετρο του βάρους το αλουμίνιο αποτελεί ευνοϊκότερη επιλογή, καθώς το υλικό του αγωγού του πηνίου έχει γινόμενο ειδικής αντίστασηςπυκνότητας Ωg/m 2 σε σύγκριση με τον χαλκό, ο οποίος έχει γινόμενο παραμέτρων 0.14 Ωg/m 2. Δεδομένου ενός μεγάλου αριθμού σπειρών σε μικρό όγκο, μια μικρή διάμετρος αγωγού κρίνεται απαραίτητή. Τυπικά, αυτό μπορεί να αποδειχθεί με την αναδιατύπωση της 4.15 (4.22) Είναι γεγονός ότι σε σύγκριση με τον χαλκό, το αλουμίνιο δεν είναι ευρέως εμπορικά διαθέσιμο για τόσο λεπτούς αγωγούς. Για το λόγο αυτό καθώς και λόγο του χαμηλότερου κόστους είναι προτιμότερη η επιλογή του χαλκού ως το υλικό κατασκευής των μαγνητικών πηνίων. Σύμφωνα με την (4.18), υπάρχει ένα κατώτερο όριο για τη διάμετρο του καλωδίου εξαιτίας του γεγονότος ότι η ωμική αντίσταση αυξάνεται με την μείωση της διατομής του αγωγού. Η μέγιστη, αποδεκτή ωμική αντίσταση συμπίπτει με τη μέγιστη ειδική αντίσταση, η οποία προκύπτει στη μέγιστη λειτουργική θερμοκρασία T max των πηνίων. (4.23) Με την αντικατάσταση του αριθμού των στροφών της (4.22) και την αναδιατυπώνοντας ως προς a w,min προκύπτει η ελάχιστη επιφάνεια διατομής για τον αγωγό. 74

81 Κεφάλαιο 4 ο (4.24) 4.6 Απαιτήσεις του συστήματος Οι μαγνητικοί ενεργοποιητές θα τοποθετηθούν στο εσωτερικό των πλευρών της κυβικής δομής του δορυφόρου. Δεδομένου ότι ο σχεδιασμός αφορά ένα ελεγχόμενο στους τρείς άξονες δορυφόρο, απαιτούνται το λιγότερο τρείς ενεργοποιητές προκείμενου να δημιουργηθεί μαγνητική ροπή m σε κάθε κατεύθυνση του κύβου. Ο δορυφόρος θα φέρει τρείς ενεργοποιητές, ένα πηνίο για κάθε άξονα. Το μαγνητικό δίπολο m είναι η βασική μονάδα μαγνητισμού και παράγεται από ένα πηνίο με N σπείρες. Στις προηγούμενες ενότητες αναλύθηκε η αρχή λειτουργίας και το απαραίτητο μαθηματικό υπόβαθρο. Η μαγνητική ροπή m ενός πηνίου συνδυάζεται με τη προκύπτουσα μηχανική ροπή Τ αλλά και με το υπάρχον εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, στη περίπτωση μας το γήινο μαγνητικό πεδίο, μέσω της ακόλουθης σχέσης: Το μέγεθος της απαιτούμενης μηχανικής ροπής, την οποία το σύστημα θα πρέπει να είναι ικανό να προκαλέσει, προκειμένου να μανουβραριστεί ο δορυφόρος σε κάθε άξονα προκύπτει από ανάλυση του περιβάλλοντος λειτουργίας και των εκτιμώμενων ροπών που θα πρέπει να αντισταθμιστούν σε κάθε άξονα. Για δορυφόρους τύπου cubesat η τιμή του 1μNm είναι ικανοποιητική. Οι μαγνητικοί ενεργοποιητές θα πρέπει να είναι ικανοί να παράγουν την απαιτούμενη μηχανική ροπή μέσα στο γεωμαγνητικό πεδίο. Η ένταση του γεωμαγνητικού πεδίου είναι μια συνάρτηση του ύψους πτήσης του δορυφόρου, το οποίο με τη σειρά του εξαρτάται από τον πύραυλο-φορέα. Συνήθως οι μίκρο-δορυφόροι τύπου cubesat εκτοξεύονται σε ηλιο-σύγχρονη τροχεία σε ύψος χλμ και σε κλίση μέχρι και 98 μοίρες. Η ερμηνεία του εξωτερικού γινόμενου σε βαθμωτή μορφή υποδηλώνει τη γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων. Δεδομένης της χρήσης τριών πηνίων η γωνία μεταξύ του διανύσματος της παραγόμενης μαγνητικής ροπής και του διανύσματος της έντασης του γεωμαγνητικού πεδίου είναι.ο υπολογισμός της μαγνητικής ροπής m γίνεται με πολλαπλασιασμό του ρεύματος I, του αριθμού των σπειρών N και της περιβαλλόμενης περιοχής A, μεγέθη τα οποία περιγράφθηκαν παραπάνω. 75

82 Κεφάλαιο 4 ο Ο σχεδιασμός ενός cubesat υπόκειται σε αυστηρούς περιορισμούς, όσον αφορά τη διαθέσιμη ενέργεια και το μέγιστο βάρος των εξαρτημάτων του. Έχοντας υπόψη ότι κατά μέσω όρο 1 watt είναι σταθερά διαθέσιμο για όλο το σύστημα του δορυφόρου, τα πηνία πρέπει να τροφοδοτούνται το πολύ με 250mW. Η διαμόρφωση των πηνίων επιτρέπει τη λειτουργία δύο πηνίων κάθε χρονική στιγμή, συμπεριλαμβανόμενου του περιορισμού ότι τα πηνία δε θα είναι σε σταθερή λειτουργία. Όσον αφορά το περιορισμό του βάρους, σύμφωνα με την υπάρχουσα βιβλιογραφία, αυτό έχει υπολογισθεί και καθοριστεί στα 20g για κάθε πηνίο. Όσον αφορά τους περιορισμούς στις διαστάσεις των πηνίων αυτοί προέρχονται από τον διαθέσιμο χώρο στο εσωτερικό του κύβου και τη διάταξη των λοιπών υποσυστημάτων. Δεδομένου ότι ακόμα για τον Upsat δε έχει καθοριστεί η διάταξη των υποσυστημάτων, μια παραμετρική παρουσίαση του σχεδιασμού θα ακολουθήσει. Η θερμική ανάλυση του δορυφόρου είναι αντικείμενο των μηχανολόγων μηχανικών της ομάδας του cubesat. Σύμφωνα με την υπάρχουσα βιβλιογραφία ο παρακάτω πίνακας περιγράφει τις θερμοκρασίες λειτουργίας του συστήματος. Minimum temperature T min -50 C Nominal temperature T Nominal 20 C Maximum T max 100 C temperature Πίνακας4.2: Θερμοκρασίες λειτουργίας Η ένταση του γεωμαγνητικού πεδίου είναι συνάρτηση του ύψους της τροχιάς. Το ύψος υπολογίζεται ως η ακτίνα από το κέντρο της Γής μέχρι το ύψος πτήσης του δορυφόρου,. Επίσης αναφέρονται στο σημείο αυτό οι σταθερές: Ακτίνα της Γής: Μαγνητική διπολική ροπή της Γής: Μαγνητική διαπερατότητα: (4.25) Η ελάχιστη ένταση του γεωμαγνητικού πεδίου σε ύψος 600 km υπολογίζεται από τη σχέση (4.25) ως. Ο μηχανικός ελέγχου, γνωρίζοντας την ελάχιστη ένταση του γήινου μαγνητικού πεδίου (Β) στην τροχιά πτήσης του δορυφόρου, αλλά την απαιτούμενη μηχανική 76

83 Κεφάλαιο 4 ο ροπή στρέψης (T) που είναι απαραίτητο να παραχθεί σύμφωνα με την ανάλυση της δυναμικής του περιβάλλοντος και των διαταραχών για τη συγκεκριμένη τροχιά, είναι σε θέση να υπολογίσει τη μέγιστη μαγνητική ροπή (m) την οποία οι ενεργοποιητές του συστήματος θα πρέπει να είναι ικανοί να αποδώσουν σε πλήρη ισχύ. 77

84 Κεφάλαιο 5 ο Κεφάλαιο 5 Πειραματική Διάταξη Εισαγωγή Στόχος του πειραματικού σκέλους της εργασίας είναι η μελέτη της φύσης του υπό ελέγχου συστήματος καθώς και η πρακτική εφαρμογή και επιβεβαίωση της αρχής λειτουργίας ελέγχου του προσανατολισμού του δορυφόρου με χρήση μαγνητικών ενεργοποιητών. Στο παρόν κεφάλαιο περιγράφεται η πειρατική διάταξη και τα εξαρτήματα από τα οποία αποτελείται, καθώς και η πειραματική διαδικασία. 78

85 Κεφάλαιο 5 ο 5.1 Περιγραφή της Πειραματικής Διάταξης και της Πειραματικής Διαδικασίας Αντικείμενο της πειραματικής διαδικασίας είναι ο έλεγχος του προσανατολισμού μίας κυβικής δομής, μέσα σε ένα τεχνητό μαγνητικό περιβάλλον με χρήση μαγνητικών ενεργοποιητών και τεχνικών αυτομάτου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Αρχικά, η κατασκευή μιας κυβικής δομής η οποία θα αντιπροσωπεύει τον δορυφόρο UPSat, έχοντας ίδια γεωμετρικά χαρακτηριστικά είναι απαραίτητη. Στο εσωτερικό της φιλοξενούνται οι ενεργοποιητές του συστήματος, ο κεντρικός υπολογιστής «πτήσης», το τροφοδοτικό ηλεκτρικής ισχύος και τα απαραίτητα ηλεκτρονικά ι) για υλοποίηση της επικοινωνίας του δορυφόρου με τον υπολογιστή βάσης και ιι) για την διασύνδεση των ενεργοποιητών με τη μονάδα ελέγχου (υπολογιστή «πτήσης»). Όπως έχει αναλυθεί σε προηγούμενα κεφάλαια η αρχή λειτουργίας του ενεργού αυτομάτου ελέγχου προσανατολισμού ενός δορυφόρου με μαγνητικά μέσα απαιτεί την ύπαρξη ενός εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Στο διάστημα το πεδίο αυτό προέρχεται από τη Γή και είναι το γνωστό γεωμαγνητικό πεδίο της Γής. Σε συνθήκες εργαστηρίου θα πρέπει με κάποιο τρόπο να εξομοιωθεί ένα μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του οποίου θα τοποθετηθεί το πρότυπο του δορυφόρου εφοδιασμένο με τους μαγνητικούς ενεργοποιητές. Η λύση στο πρόβλημα αυτό ήταν η κατασκευή ενός ζεύγους πηνίων Helmholtz. Η μηχανική ροπή στρέψης προϋποθέτει την αλληλεπίδραση δύο μαγνητικών πεδίων στο χώρο. Το ένα είναι σταθερό και προέρχεται από το ζεύγος Πηνίων Helmholtz. Το δεύτερο πεδίο προέρχεται από τους ενεργοποιητές του συστήματος ελέγχου και είναι μεταβλητό, ρυθμίζεται δε με τέτοιο τρόπο ώστε να επιτευχθεί ο επιθυμητός προσανατολισμός του δορυφόρου. Οι ενεργοποιητές του συστήματος είναι επίσης πηνία, τετραγωνικού σχήματος. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο έλεγχος του προσανατολισμού πραγματοποιείται με τεχνικές αυτομάτου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Σε επόμενη ενότητα θα παρουσιαστεί ότι το διάνυσμα κατάστασης του συστήματος αποτελείται από τη γωνία και τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής γύρω από τον άξονα-ζ. Θα πρέπει με κάποιο τρόπο το σύστημα ελέγχου να τροφοδοτείται με το διάνυσμα κατάστασης προκειμένου να υλοποιηθεί ο νόμος ελέγχου. Η λύση δόθηκε με τη τοποθέτηση μιας κάμερας διαδικτύου στο επίπεδο έδρασης του ζεύγους Πηνίων Helmholtz και κάτω από το πρότυπο του δορυφόρου στραμμένη προς αυτόν. Με τεχνικές ψηφιακής επεξεργασίας εικόνας και αναγνώρισης προτύπων είναι δυνατή η εξακρίβωση της γωνίας και συνεπώς του προσανατολισμού του δορυφόρου. 79

86 Κεφάλαιο 5 ο Η κάμερα είναι συνδεδεμένη με τον υπολογιστή «βάσης» οπού πραγματοποιείται η επεξεργασία των δεδομένων που λαμβάνονται. Η επεξεργασία γίνεται σε περιβάλλον «Labview» και με χρήση του εργαλείου «Vision Assistant». Στην ουσία αυτό το οποίο γίνεται είναι κάθε χρονική στιγμή να συγκρίνεται η πληροφορία η οποία παρέχεται από την κάμερα με ένα πρότυπο το οποίο είναι αποθηκευμένο στη μνήμη του υπολογιστή. Το πρότυπο είναι μία φωτογραφία της κάτω έδρας του δορυφόρου και προσανατολισμένη κατάλληλα ώστε να υποδεικνύει τη γωνία μηδέν μοιρών. Έξοδος του συγκεκριμένου υποσυστήματος είναι η γωνία απόκλισης του δορυφόρου από τις μηδέν μοίρες κάθε χρονική στιγμή. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να αναφερθεί ότι η διάταξη της κάμερας και του υπολογιστή «βάσης» εμπλέκεται μόνο για τις ανάγκες του παρόντος πειράματος. Σε καμία περίπτωση η εφαρμογή της συγκεκριμένης τεχνικής αναγνώρισης της γωνίας δε μπορεί να εφαρμοστεί στο διάστημα. Για την εξακρίβωση του προσανατολισμού του δορυφόρου στο διάστημα έχουν αναπτυχθεί διάφορες τεχνικές με χρήση υλικού και λογισμικού. Η ανάλυση των τεχνικών αυτών δεν αποτελεί αντικείμενο αυτής της εργασίας, αλλά είναι το δεύτερο σκέλος ενός ολοκληρωμένου συστήματος αναγνώρισης και ελέγχου του προσανατολισμού ενός δορυφόρου. Η υλοποίηση του νόμου ελέγχου λαμβάνει χώρα στον κεντρικό υπολογιστή «πτήσης», τοποθετημένο στο εσωτερικό της κυβικού προτύπου-δορυφόρου. Η πληροφορία του προσανατολισμού του δορυφόρου, δηλαδή της γωνίας, βρίσκεται στον υπολογιστή «βάσης». Είναι εύκολα αντιληπτό ότι οι δύο υπολογιστές θα πρέπει να επικοινωνήσουν προκειμένου η πληροφορία της γωνίας να μεταφερθεί στον υπολογιστή «πτήσης». Αυτό επιτυγχάνεται με την ανάπτυξη ασύρματης επικοινωνιακής ζεύξης μεταξύ των δύο υπολογιστών, και υλοποιείται με τη χρήση των ηλεκτρονικών μονάδων ασύρματης επικοινωνίας «Xbee». Να αναφερθεί ότι κατά τη διάρκεια κατασκευής της πειρατικής διάταξης επιχειρήθηκε αρχικά η ενσύρματη πρόσβαση στο εσωτερικό του κύβου. Δοκιμάστηκαν διάφοροι τρόποι όπως χρήση πολύ λεπτών καλωδίων (δ<0.15 mm) σε συνδυασμό με διάτρηση συμμετρικών οπών στη πάνω και στη κάτω έδρα του κύβου, αλλά όλοι απότυχαν. Ο λόγος αποτυχίας είναι η εισαγωγή εξωτερικών διαταραχών στο σύστημα με τη μορφή ροπών, οι οποίες δεν είναι δυνατόν να αντισταθμιστούν από το σύστημα ελέγχου. Η δυνάμεις που δημιουργούνται από το σύστημα ελέγχου και γενικά από τη αλληλεπίδραση μαγνητικών πεδίων σε τέτοια κλίμακα είναι κατά πολύ ασθενέστερες από αυτές που εισάγουν τα καλώδια. Όταν η πληροφορία της γωνίας φτάσει στον δέκτη ο οποίος βρίσκεται στο εσωτερικό του κύβου, αυτή διοχετεύεται μέσω μιας θύρας τύπου «USART» στον κεντρικό υπολογιστή «πτήσης». Εκεί υπολογίζεται με διακριτή παραγώγηση και η 80

87 Κεφάλαιο 5 ο δεύτερη κατάσταση του συστήματος, η γωνιακή ταχύτητα. Στη συνέχεια υλοποιείται ο νόμος ελέγχου και υπολογίζεται η έξοδος του συστήματος. Εάν το πείραμα εκτελούνταν στο διάστημα, τότε η κυβική δομή θα ήταν δυνατό να περιστραφεί γύρο από καθένα από τους τρείς άξονες που συγκροτούν το τρισδιάστατο χώρο. Αντίθετα, στη επιφάνεια της Γης ο έλεγχος μόνο της γωνίας περιστροφής γύρο από τον κατακόρυφο Ζ-άξονα είναι εφικτός. Στους άξονες Χ και Υ η περιστροφή δεν είναι δυνατή λόγω της υπάρχουσας ροπής που προκαλείται από το βαρυτικό πεδίο της Γής και είναι η επικρατέστερη. Στον Ζ-άξονα, σαφώς και υπάρχει βαρυτική έλξη αλλά εξουδετερώνεται από τη τάση του νήματος από το οποίο αναρτάται ο κύβος-δορυφόρος. Ο περιορισμός της κίνησης γύρω από τον άξονα-ζ μόνο, δεν αποτελεί μειονέκτημα σε καμία περίπτωση, αφού ο σχεδιασμός του υλικού και του ελεγκτή είναι πανομοιότυπος και για τους τρείς ενεργοποιητές με τους οποίους θα είναι εφοδιασμένος ο UPSat σε πιθανή πραγματική διαστημική αποστολή. 5.2 Εξαρτήματα Πειραματικής Διάταξης Τα εξαρτήματα της πειραματικής διάταξης αριθμούνται παρακάτω και ακλουθεί λεπτομερής περιγραφή του καθενός. Πρότυπο δορυφόρου Ζεύγος Πηνίων Helmholtz Μαγνητικοί ενεργοποιητές Υπολογιστής «πτήσης» Τροφοδοτικό ηλεκτρικής ισχύος (μπαταρία) Ηλεκτρονικές μονάδες ασύρματης επικοινωνίας Ηλεκτρονική πλακέτα οδήγησης ενεργοποιητών Υπολογιστής βάσης Κάμερα διαδικτύου Αναρτήρας 81

88 Κεφάλαιο 5 ο Εικόνα 5.1: Πειραματική Διάταξη Πρότυπο δορυφόρου Η κατασκευή ενός εργαστηριακού μοντέλου με γεωμετρικά χαρακτηριστικά όμοια ενός cubesat είναι απαραίτητη για την εκτέλεση του πειράματος. Το εργαστηριακό πρότυπο είναι μια κυβική δομή με διαστάσεις 10x10x10 εκατοστά. Βασικός παράγοντας στο σχεδιασμό του προτύπου είναι ότι αυτό επιβάλλεται να κατασκευαστεί από μη μαγνητικά υλικά. Ο λόγος είναι ότι θα τοποθετηθεί στο κέντρο ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου και οποιαδήποτε μαγνητική δομή θα αλλοίωνε αυτή την ομοιογένεια. Επίσης θα αλληλεπιδρούσε παραμορφώνοντας και το παραγόμενο από του ενεργοποιητές μαγνητικό πεδίο εισάγοντας προβλήματα στην απόδοση και την αποτελεσματικότητα του συστήματος έλεγχου. Ως υλικό κατασκευής επιλέχθηκε το πλεξιγκλάς, διότι είναι ελαφρύ, διαφανές επιτρέποντας οπτική επαφή με τα εξαρτήματα στο εσωτερικό του κύβου και προπαντός μη μαγνητικό υλικό. Το βάρος της κατασκευής υπολογίστηκε περίπου στα 600 χιλιόγραμμα. Η πάνω έδρα του κύβου σχεδιάστηκε έτσι ώστε να είναι αποσπώμενη επιτρέποντας πρόσβαση στο εσωτερικό του κύβου για τοποθέτηση των εξαρτημάτων. Η προσαρμογή της στον κύβο επιτυγχάνεται με τέσσερεις πλαστικές βίδες, μία σε κάθε ακμή της πάνω έδρας. Τέλος, στο κέντρο της πάνω έδρας ανοίχτηκε οπή προκειμένου να προσαρτηθεί ο κύβος μέσω ίνας κέβλαρ από τον αναρτήρα και να αιωρηθεί στο μέσο της απόστασης του ζεύγους Helmholtz. Οι πλαϊνές έδρες (x4) σχεδιάστηκαν διαμπερής επιτρέποντας και πάλι τη πρόσβαση στο εσωτερικό. Ο 82

89 Κεφάλαιο 5 ο σχεδιασμός έγινε με χρήση του λογισμικού πακέτου AutoCAD και το σχέδιο παραδόθηκε στο πανεπιστημιακό μηχανουργείο για κατασκευή. Εικόνα 5.2: Όψεις του κύβου-δορυφόρου με χρήση εργαλείων CAD. Διακρίνονται οι έδρες του κύβου, τα πηνία και η μπαταρία. Εικόνα 5.3: Το πειραματικό μοντέλο δορυφόρου εφοδιασμένο με τα πηνία ενεργοποιητές και τα ηλεκτρονικά Πηνία Helmholtz Για τη δημιουργία του εξωτερικού ομογενούς μαγνητικού πεδίου επιλέχθηκε ο σχεδιασμός και η κατασκευή ενός ζεύγους πηνίων Helmholtz. Το πηνίο Helmholtz πήρε το όνομά του από τον Γερμανό φυσικό Hermann von Helmholtz ( ), που ήταν ο πρώτος που το σχεδίασε και ανέπτυξε. Υπήρξε ο πιο κλασσικός και ενδεδειγμένος τρόπος μέτρησης χαμηλών μαγνητικών πεδίων για περισσότερο από έναν αιώνα. Συνήθως χρησιμοποιείται για την παραγωγή σχετικά χαμηλών και ομοιόμορφων μαγνητικών πεδίων συγκεκριμένης έντασης, κάτι που 83

90 Κεφάλαιο 5 ο βοηθάει επιστήμονες και μηχανικούς να εκτελέσουν πειράματα και μετρήσεις που απαιτούν μεγάλη ακρίβεια. Έτοιμες διατάξεις πηνίων Helmholtz είναι διαθέσιμες στο εμπόριο σε ποικιλία διαστάσεων. Υπάρχουν μονο-αξονικά και τρι-αξονικά πηνία, με τα δεύτερα να συναντώνται σε κυκλική και τετραγωνική μορφή. Το κόστος κυμαίνεται από μερικές χιλιάδες δολάρια (~5000 $)ενός απλού μονο-αξονικού έως και δεκάδες χιλιάδες δολάρια (~44000 $) μίας τρι-αξονικής διάταξης. Λόγο του αυξημένου κόστους αγοράς αλλά και της ευκολίας κατασκευής για τις προδιαγραφές της παρούσας πειραματικής διάταξης αποφασίστηκε η κατασκευή της διάταξης των πηνίων Helmholtz. Ένα ζεύγος πηνίων Helmholtz αποτελείται από δυο κυκλικά πηνία ακτίνας R, τοποθετημένα παράλληλα και σε απόσταση επίσης R μεταξύ τους. Κάθε πηνίο περιλαμβάνει τον ίδιο αριθμό σπειρών και είναι συνδεδεμένα σε σειρά. Όταν η διάταξη τροφοδοτηθεί με ηλεκτρικό ρεύμα τα πηνία δημιουργούν στη μεταξύ τους περιοχή μαγνητικό πεδίο τέτοιο ώστε για πρακτικούς λόγους να θεωρείται ομογενές. Η πυκνότητα της μαγνητικής ροής στο κέντρο της διάταξης δίνεται από τη μαθηματική σχέση (5.1) Όπου n ο αριθμός των σπειρών, R η ακτίνα, I η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε πηνίο και η μαγνητική διαπερατότητα του κενού ( ). Εικόνα 5.4: Γραφική αναπαράσταση των δυναμικών γραμμών (Αρ.) και της διάταξης (Δε.) ενός πηνίου Helmholtz. 84

91 Κεφάλαιο 5 ο Κατασκευαστικά χαρακτηριστικά της διάταξης πηνίων Helmholtz Αρχικά, μια βάση με σκοπό την έδραση στον πάγκο εργασίας αλλά και την υποστήριξη των τυλιγμάτων των πηνίων έπρεπε να κατασκευαστεί. Το υλικό κατασκευής της βάσης δεν επιτρέπεται να είναι μαγνητικό, για την αποφυγή διατάραξης της ομογένειας του μαγνητικού πεδίου. Ως υλικό κατασκευής επιλέχθηκε το ξύλο και η εργασία ανατέθηκε σε ξυλουργείο. Κάθε κύκλος έχει διάμετρο 46 εκατοστά και πάχος δύο εκατοστών. Επιπλέον χρειάστηκε η διάνοιξη ενός αυλακιού, βάθους 0,5 εκατοστών, στη περιφέρεια της κυκλικής κατασκευής για τη τύλιξη του σύρματος. Έτσι η πραγματική ακτίνα των πηνίων είναι 22,5 εκατοστά. Για το τύλιγμα των πηνίων επιλέχτηκε πηνιόσυρμα χαλκού διαμέτρου ενός χιλιοστού. Να σημειωθεί ότι το πηνιόσυρμα διαθέτει από κατασκευής μόνωση, συνεπώς η ακριβής διάμετρος του αγωγού είναι 0,95 χιλιοστά. Κάθε πηνίο διαθέτει 27 τυλίγματα, ενώ η συνολική αντίσταση της διάταξης είναι 2, 5 ohm. Η τιμή αυτή μεταβάλλεται ελαφρώς κυρίως από τη θερμοκρασία περιβάλλοντος άλλα και από το χρόνο λειτουργίας της διάταξης. Προσοχή δόθηκε κατά τη τύλιξη των πηνίων ώστε να τηρηθεί η σωστή φορά τυλίγματος και τα μαγνητικά πεδία να υπερτίθενται και όχι να αλληλοακυρώνονται. Για τη τροφοδοσία των πηνίων Helmholtz στη πειραματική διάταξη χρησιμοποιείται ένα τροφοδοτικό ρεύματος εργαστηριακού τύπου. Ρυθμίζοντας το ρεύμα της πηγής μεταβάλλεται, με γραμμικό τρόπο, το μαγνητικό που δημιουργείτε στο εσωτερικό τους. Κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του πειράματος το ρεύμα παραμένει σταθερό, συνεπώς οποιαδήποτε ανάλυση μεταβατικών φαινομένων δε είναι απαραίτητη. Εικόνα 5.5: Τα πηνία Helmholtz της πειραματικής διάταξης. 85

92 Κεφάλαιο 5 ο Εικόνα 5.6: Το τροφοδοτικό ρεύματος της διάταξης των πηνίων Helmholtz Μαγνητικοί ενεργοποιητές Η θεωρητική περιγραφή της αρχής λειτουργία αλλά και της στρατηγικής σχεδιασμού των μαγνητικών ενεργοποιητών έγινε αναλυτικά στο κεφάλαιο 4. Στη παρούσα ενότητα θα περιγραφεί η επιλογή των φυσικών παραμέτρων και οι λεπτομέρειες κατασκευής των πηνίων. Παρόλο που για τις ανάγκες του πειράματος αυστηρός περιορισμός γενικά για το σχεδιασμό των παραμέτρων των πηνίων δεν υπάρχει, προτιμήθηκε να ακολουθηθεί ένα ρεαλιστικό σενάριο. Η επιλογή των διαστάσεων έγινε με τρόπο ώστε να καλύπτεται η μέγιστη δυνατή επιφάνεια αλλά και να μην εμποδίζεται η τοποθέτηση τους στο εσωτερικό των εδρών του κύβου. Ο παρακάτω πίνακας (5.1) περιέχει τις φυσικές κατασκευαστικές παραμέτρους των πηνίων. Διάσταση Μήκος Τιμή 9 cm Πλάτος 8 cm Ύψος (βάθος) 2 mm Επιφάνεια 72 mm 2 Περιφέρεια 34 cm Πίνακας 5.1: Διαστάσεις πηνίου ενεργοποιητή. Κατά τη διάρκεια σχεδιασμού θεωρήθηκε διαθέσιμη για τη τροφοδοσία των πηνίων τάση επιπέδου 5 Volt, και θερμοκρασία λειτουργίας 15 ο C. Η ανάλυση έγινε για χάλκινο αγωγό, διαμέτρου 0,14 mm χωρίς τη μόνωση και αντίστοιχης διατομής 1, m 2. Στον πίνακα (5.2) παρουσιάζονται τα αποτελέσματα σχεδιασμού για τις τιμές των παραπάνω παραμέτρων και για αριθμό σπειρών Ν=

93 Κεφάλαιο 5 ο Ωμική Αντίσταση Rc 100,701 Ω Μάζα πηνίου Mc 16,312 G Μαγνητική ροπή m 0,107 Am 2 Μέγιστο ρεύμα 49,7 ma Μέγιστη κατανάλωση 248,26 mw Ισχύος Πίνακας 5.2: Αποτελέσματα σχεδιασμού για Ν=300, V=5 volt, T=15 o C. Τα πηνία τυλίχθηκαν με πηνιόσυρμα διαμέτρου 0,151 χιλιοστών, συμπεριλαμβανομένης της μόνωσης, δηλαδή 0,14 χιλιοστών καθαρού αγωγού. Καθένα διαθέτει 300 σπείρες, έχει ωμική αντίσταση 96 Ohm και ζυγίζει 16,5 γραμμάρια. Για τη τύλιξη των πηνίων σχεδιάστηκε ένα καλούπι με πρότυπο τις επιθυμητές διαστάσεις των πηνίων. Κατασκευάστηκε από πλεξιγκλάς και αποτελείτε από τρία αποσπώμενα επίπεδα. Στο κέντρο διαθέτει οπή για τη προσαρμογή του άξονα της μηχανής τυλίγματος. Όταν η διαδικασία τυλίγματος ολοκληρωθεί, αφαιρούνται οι βίδες οι οποίες συγκρατούν τα επίπεδα και η κατασκευή λύεται απελευθερώνοντας το πηνίο. Συνολικά κατασκευάστηκαν τέσσερα πηνία. Τα δύο από αυτά είναι ενεργά και συνδεδεμένα στο σύστημα, ενώ τα υπόλοιπα παρέχουν συμμετρία στη διάταξη. Φυσικά δεν αποκλείεται η μελλοντική ένταξή τους στο σύστημα ελέγχου, για πειραματισμό και βελτίωση αυτού. Εικόνα 5.7: Τα πηνία-ενεργοποιητές του συστήματος ελέγχου. 87

94 Κεφάλαιο 5 ο Εικόνα 5.8: Το καλούπι τυλίγματος των πηνίων (Αρ). Τα πηνία τοποθετημένα στο εσωτερικό του κύβου (Δε) Υπολογιστής «πτήσης» Κεντρικό σημείο του συστήματος ελέγχου του προσανατολισμού του πειραματικού δορυφόρου αποτελεί ο υπολογιστής «πτήσης». Επιτελεί τις διεργασίες συλλογής και επεξεργασίας πληροφοριών καθώς και εκτέλεσης των εντολών ελέγχου του συστήματος. Για το σκοπό αυτό επιλέχθηκε το «inemo» ή για την ακρίβεια το «STEVAL-MKI062V2» της εταιρίας «ST microelectronics». Πρόκειται για μια τετραγωνική πλακέτα με μήκος πλευράς 4 εκατοστών η οποία φιλοξενεί ένα ολοκληρωμένο σύστημα επεξεργαστή, αισθητήρων και θυρών επικοινωνίας. Κεντρικό σημείο του «inemo» είναι ο ισχυρός επεξεργαστής «STM32F103RET», 32- bit τύπου ARM με τον οποίο είναι εφοδιασμένο. Διαθέτει αδρανειακούς αισθητήρες μέτρησης επιτάχυνσης και ταχύτητας (γυροσκόπιο) και στους τρείς καρτεσιανούς άξονες. Ακόμα, είναι εφοδιασμένο με μαγνητόμετρα ικανά να μετρήσουν το περιβάλλων μαγνητικό πεδίο σε κάθε κατεύθυνση, καθώς και με αισθητήρες βαρομετρικής πίεσης και θερμοκρασίας. Συνδυασμένη χρήση των παραπάνω αισθητήρων δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού γραμμικών και περιστροφικών κινήσεων με ακρίβεια, παρέχοντας μια πλατφόρμα δέκα βαθμών ελευθερίας. Για τη διασύνδεση του «inemo» με άλλα υπολογιστικά συστήματα οι επιλογές μέσω θύρας mini-usb και κάρτας SD, καθώς και μέσω σειριακής θύρας ασύρματης επικοινωνίας (UART) είναι διαθέσιμες. Η απαραίτητη για τη λειτουργία της πλακέτας ηλεκτρική ισχύς παρέχεται είτε μέσω του καλωδίου USB είτε μέσω του ειδικού για το σκοπό αυτό βύσματος. Για λεπτομερή περιγραφή των δυνατοτήτων του «inemo» ανατρέξτε στο παράρτημα ή στον ιστότοπο της εταιρίας. 88

95 Κεφάλαιο 5 ο Εικόνα 5.9: inemo Το «inemo» στη πειραματική διάταξη Το «inemo» βρίσκεται τοποθετημένοι στη πάνω επιφάνεια της μπαταρίας, και κολλημένο σε αυτή. Και οι δύο μονάδες είναι τοποθετημένες στο εσωτερικό της κυβικής δομής του πειραματικού δορυφόρου, παραλληλισμένες με τις ακμές του και προσανατολισμένες κατάλληλα. Η τροφοδοσία του γίνεται από τη μπαταρία και με χρήση του ειδικού βύσματος. Η απαραίτητη για την υλοποίηση του νόμου ελέγχου πληροφορία φτάνει μέσω του «XBee» στη θύρα σειριακής επικοινωνίας στο τερματικό J4. Ο έλεγχος των ενεργοποιητών του συστήματος γίνεται μέσω σημάτων ελέγχου προς τη πλακέτα οδήγησης. Τα σήματα αυτά παρέχονται μέσω του τερματικού J8 με το οποίο είναι εφοδιασμένο το «inemo». Αναλυτικά για το τερματικό J8, το Pin #2 παρέχει σήμα τάσης επιπέδου 3,3 Volt (Vcc) συνδέεται με το Pin #7 του τερματικού JP1 της πλακέτας οδήγησης των ενεργοποιητών. Τα Pins #6 και #7 έχουν προγραμματιστεί κατάλληλα ώστε να παρέχουν σήμα PWM για τον έλεγχο της τάσης τροφοδοσίας των πηνίων, και είναι συνδεδεμένα με τα Pins #1 και #7 του τερματικού JP2 της πλακέτας οδήγησης. Τα Pins #8 και #10 είναι λογικά σήματα με σκοπό τον έλεγχο του ρεύματος του πρώτου πηνίου και είναι συνδεδεμένα στα Pins #3 και #2 του τερματικού JP2. Τέλος για το δεύτερο πηνίο τα σήματα των Pins #3 και #9 συνδέονται με τα Pins #5 και #6 αντίστοιχα του JP2. 89

96 Κεφάλαιο 5 ο Εικόνα 5.10: Θύρα επικοινωνίας J8. Ο προγραμματισμός του «inemo» γίνεται μέσω του περιβάλλοντος ανάπτυξης εφαρμογών λογισμικού «IAR», ενώ η φόρτωση του κώδικα στη μνήμη του επεξεργαστή απαιτεί ενέργειες, οι οποίες περιγράφονται στο σχετικό εγχειρίδιο (βλ. παράρτημα). Εικόνα 5.11: Το υποσύστημα των ηλεκτρονικών του συστήματος. Διακρίνονται τα εξής: μπαταρία, «inemo», οδηγός ενεργοποιητών, «XBee» με τη βάση προσαρμογής Πλακέτα οδήγησης ενεργοποιητών Η οδήγηση συσκευών όπως είναι οι κινητήρες αλλά και τα πηνία στη συγκεκριμένη εφαρμογή δεν είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί απευθείας από έναν επεξεργαστή. Οι επεξεργαστές δεν διαθέτουν την δυνατότητα τροφοδοσίας με 90

97 Κεφάλαιο 5 ο ηλεκτρική ισχύ αυτών των συσκευών, αλλά διαθέτουν κατάλληλες εξόδους παρέχοντας ηλεκτρικά σήματα για τον έλεγχο αυτών. Συνεπώς, θα πρέπει κάποιο ηλεκτρονικό κύκλωμα να παρεμβάλλεται μεταξύ του υπολογιστή «πτήσης» και των ενεργοποιητών-πηνίων. Για το σκοπό της οδήγησης των ενεργοποιητών του συστήματος επιλέχθηκε το ολοκληρωμένο κύκλωμα «TB6612FNG». Πρόκειται για ένα κύκλωμα οδήγησης κινητήρων συνεχούς ρεύματος. Έχει τη δυνατότητα οδήγησης μέχρι και δύο κινητήρων αφού διαθέτει δύο λογικές μονάδες ελέγχου. Στη συγκεκριμένη πειραματική διάταξη εμπλέκονται δύο πηνία-ενεργοποιητές, συνεπώς μία μονάδα αυτού το ολοκληρωμένου είναι επαρκής. Το επίπεδο της τάση τροφοδοσίας των πηνίων ρυθμίζεται μέσω σήματος παλμών PWM. Μέσω δύο ψηφιακών σημάτων ελέγχου είναι δυνατή η ενεργοποίηση της τροφοδοσία με ρεύμα των πηνίων ή η διακοπή αυτής, καθώς και ο έλεγχος της φοράς του ρεύματος στα πηνία, όταν φυσικά αυτά είναι ενεργοποιημένα. Τα τρία αυτά σήματα ελέγχου παρέχονται από τον υπολογιστή «πτήσης». Συνολικά απαιτούνται έξι σήματα έλεγχου, τρία για κάθε πηνίο. Αυτά είναι τα PWMA, AIN1 και AIN2 για το πρώτο πηνίο και αντίστοιχα τα PWMB, BIN1 και BIN2 για το δεύτερο. Με κατάλληλη χρήση των παραπάνω σημάτων είναι δυνατή η ρύθμιση της τάσης, και συνεπώς του ρεύματος που θα διαρρέει τα πηνία-ενεργοποιητές. Τα πηνία συνδέονται στα Pin εξόδου του ολοκληρωμένου κυκλώματος. Κάθε πηνίο διαθέτει δύο ακροδέκτες, συνεπώς τέσσερα Pins εξόδου απαιτούνται από το ολοκληρωμένο. Αυτά είναι τα AO1, AO2 για το πρώτο πηνίο και τα BO1 BO2 για το δεύτερο αντίστοιχα. Επιπρόσθετα το ολοκληρωμένο κύκλωμα απαιτεί σύνδεση με τέσσερα ακόμα σήματα. Αυτά είναι τα, GND, Vcc, και STBY. Η είναι η (μέγιστη) τάση τροφοδοσίας των πηνίων ή γενικά όποιων εξαρτημάτων συνδεθούν στη έξοδο του ολοκληρωμένου. Μπορεί να κυμαίνεται από 2.5 έως 13.5 Volt. Στην παρούσα εφαρμογή η είναι περίπου 5.8 Volt, και η τιμή της επηρεάζεται από την κατάσταση των μπαταριών. Το σήμα GND είναι σήμα μηδενικού δυναμικού (0 Volt). Τα σήματα και GND παρέχονται από το τροφοδοτικό ισχύος στο εσωτερικό του κύβου. Το σήμα Vcc είναι ένα «μικρό» σήμα και πρέπει να κυμαίνεται μεταξύ 2,7 και 5,5 Volt. Στη διάταξη παρέχεται από τον υπολογιστή «πτήσης» και είναι της τάξης των 3,3 Volt. Τέλος, το σήμα STBY πρέπει να βρίσκεται σε λογικό «1» για τη λειτουργία του κυκλώματος. Για το σκοπό αυτό τα Pins Vcc και STBY βραχυκυκλώθηκαν μόνιμα. 91

98 Κεφάλαιο 5 ο Εικόνα 5.12: Κάτοψη και άνοψη του ολοκληρωμένου κυκλώματος οδήγησης των ενεργοποιητών. Εικόνα 5.13: Πλακέτα οδήγησης των πηνίων πάνω όψη (Αρ). Κάτοψη (Δε), διακρίνεται η βραχυκύκλωση των Pins Vcc και STBY Ασύρματη επικοινωνία Για την επικοινωνιακή ζεύξη μεταξύ υπολογιστή «βάσης» και υπολογιστή «πτήσης» οποιαδήποτε καλωδίωση είναι απαγορευτική λόγω των επιπρόσθετων ροπών που εισάγονται στο σύστημα. Η λύση της ασύρματης επικοινωνίας είναι μονόδρομος για τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Για το σκοπό αυτό επιλέχθηκαν τα «Xbee» και συγκεκριμένα το μοντέλο «XBee Pro Series 2». Πρόκειται για ολοκληρωμένα κυκλώματα τηλεπικοινωνιακού σκοπού χαμηλού κόστους και χαμηλής ισχύος, εφοδιασμένα με πομποδέκτη και κεραία. Για την υλοποίηση της ζεύξης δύο μονάδες αυτών είναι απαραίτητες, μία συνδεδεμένη με τον υπολογιστή «βάσης» και αντίστοιχα μία προσαρμοσμένη στο «inemo». Τα «XBee» έχουν πολλαπλές δυνατότητες, όπως η συγκρότηση έξυπνων δικτύων ασύρματων αισθητήρων και παρέχουν επίσης τη δυνατότητα προγραμματισμού τους. Κατά την εφαρμογή τους στη πειραματική διάταξη η λειτουργία τους θα περιοριστεί σε λειτουργία «transparent», δηλαδή σε απλή μετάδοση δεδομένων από τη μία άκρη στην άλλη, χωρίς καμία επεξεργασία. Η λειτουργία αυτή δε χρειάζεται κάποιο προγραμματισμό. Όταν κάποιο δεδομένο φτάσει στο ένα «XBee» 92

99 Κεφάλαιο 5 ο αυτομάτως μεταδίδεται στο άλλο. Πρόκειται στην ουσία για απλή αντικατάσταση ενός καλωδίου με μια ασύρματη ζεύξη. Στη μεριά του υπολογιστή «βάσης» η διασύνδεση πραγματοποιείται μέσω μιας ειδικής πλακέτας βάσης στην οποία προσαρμόζεται το «XBee». Πρόκειται για το μοντέλο «XBIB-R-DEV Rev.4» της εταιρίας «Digi International». Η πλακέτα απαιτεί ξεχωριστή τροφοδοσία συνεχούς ρεύματος επιπέδου τάσης μεταξύ 5 και 14 Volt, και παρέχεται μέσω μετασχηματιστή από το δίκτυο. Για την επικοινωνία με άλλες συσκευές το «XBIB-R-DEV Rev.4» διαθέτει μια σειριακή θύρα RS232. Για τη διασύνδεση του στον υπολογιστή «βάσης» απαιτείται η παρεμβολή ενός προσαρμογέα μετατροπής επικοινωνιακού σήματος από RS232 σε USB και αντίστροφα, συνοδευόμενο με εγκατάσταση του κατάλληλου λογισμικού οδήγησης. Εικόνα 5.14: Μονάδα ασύρματης επικοινωνίας συνδεδεμένη με τον υπολογιστή βάσης. Διακρίνεται το «XBee», η βάση προσαρμογής με τη τροφοδοσία της, ο μετατροπέας σειριακού επικοινωνιακού σήματος σε αντίστοιχο σήμα USB. Στη μεριά του κύβου-δορυφόρου πάλι απαιτείται μια πλακέτα βάσης στην οποία προσαρμόζεται το «XBee». Πρόκειται για μία απλής κατασκευής πλακέτα, και αποκτήθηκε από την εταιρία «Sparkfun electronics». Η διασύνδεση της με τον υπολογιστή «πτήσης» υλοποιείται μέσω του τερματικού επικοινωνίας J4 του «inemo» και γίνεται μέσω τεσσάρων καλωδίων, δύο για τροφοδοσία και δύο για σήματα επικοινωνίας. Συγκεκριμένα, στη πλακέτα βάσης του «XBee» τα Pins #11 και #10 του τερματικού JP4 χρησιμοποιούνται για τροφοδοσία με το πρώτο να λαμβάνει σήμα επιπέδου 93

100 Κεφάλαιο 5 ο τάσης 0 Volt - GND και το δεύτερο σήμα επιπέδου τάσης 3,3 Volt Vcc. Τα Pins #9 και #8 ή DOUT και DIN αντίστοιχα είναι επικοινωνιακού σκοπού. Στη μεριά του τερματικού επικοινωνίας J4, σχεδιάγραμμα του οποίου παρατίθεται παρακάτω (εικόνα 5.15), του «inemo» τα Pins #1 (UART_RX) και #2 (UART_TX) είναι επικοινωνιακού σκοπού και συνδέονται στα Pins #9 (DOUT) και #8 (DIN) αντίστοιχα της πλακέτας πρόσδεσης του «XBee». Τα Pins #6 (+3V3) και #5 (GND) του J4 τροφοδοτούν με τάση 3,3 Volt και 0 Volt τα Pins #10 και #11 αντίστοιχα. Εικόνα 5.15:Θύρα επικοινωνίας J4. Τα παραπάνω αφορούσαν καλωδίωση του υλικού. Για να υλοποιηθεί όμως η επικοινωνία θα πρέπει ο μικροεπεξεργαστής του «inemo» να προγραμματιστεί κατάλληλα μέσω εντολών και κάνοντας χρήση των απαραίτητων βιβλιοθηκών, διαθέσιμων στο λογισμικό πακέτο που συνοδεύει το «inemo». Το τερματικό J4 αποτελεί μία Θύρα Ασύγχρονης Σειριακής Επικοινωνίας (UART). 94

101 Κεφάλαιο 5 ο Εικόνα 5.16: Μονάδα ασύρματης επικοινωνίας συνδεδεμένη με τον υπολογιστή «πτήσης» Κάμερα αναγνώρισης γωνίας ελέγχου Για λήψη και μετάδοση σήματος βίντεο που καταγράφει τη περιστροφική κίνηση του κύβου-δορυφόρου χρησιμοποιήθηκε μια κάμερα-διαδικτύου του εμπορίου. Συγκεκριμένα το μοντέλο «Microsoft LifeCam HD-6000» της εταιρίας «Microsoft». Η κάμερα διασυνδέεται με τον υπολογιστή «βάσης» μέσω καλωδίου τύπου USB και το απαραίτητο λογισμικό οδήγησης της συσκευής εγκαταστάθηκε στο υπολογιστικό σύστημα «βάσης». Τέλος, ανάλυση της ρυθμιστικέ σε υψηλής πιστότητας (HD) βίντεο. Να σημειωθεί ότι οποιαδήποτε κάμερα του εμπορίου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σκοπό αυτό, αρκεί το απαραίτητο λογισμικό οδήγησης να έχει εγκατασταθεί στον υπολογιστή βάσης και να ρυθμιστούν οι αντίστοιχες παράμετροι στο πρόγραμμα «Labview» Εικόνα 5.17: Κάμερα καταγραφής της γωνίας προσανατολισμού. 95

102 Κεφάλαιο 5 ο Τροφοδοτικό ισχύος «πτήσης» Η ηλεκτρική ισχύς για τη τροφοδοσία των ενεργοποιητών και του υπολογιστή «πτήσης» του συστήματος ελέγχου παρέχεται από μπαταρίες. Συγκεκριμένα τέσσερις μπαταρίες του εμπορίου, τύπου ΑΑ των 1,5 Volt, συνδεδεμένες σε σειρά και τοποθετημένες σε ένα πλαστικό κουτί παρέχουν την απαιτούμενη ηλεκτρική ισχύ. Από το κουτί εξέρχονται δύο καλώδια, ένα κόκκινο και ένα μαύρο. Το κόκκινο παρέχει επίπεδο τάσης περίπου 5,8Volt ( )ενώ το μαύρο παρέχει επίπεδο τάσης 0Volt (Ground). Τα καλώδια διακλαδίζονται σε δύο βύσματα, ένα συνδεδεμένο με την ειδική υποδοχή της πλακέτας «inemo» για παροχή ισχύος, και το άλλο με τη πλακέτα οδήγησης «TB6612FNG», όπου το κόκκινο καλώδιο είναι συνδεδεμένο με το Pin #8 και το μαύρο καλώδιο με το Pin #1 της πλακέτας. 96

103 Κεφάλαιο 6 ο Κεφάλαιο 6 Μαθηματική Περιγραφή του Πειραματικού Συστήματος Στο έκτο κεφάλαιο περιγράφεται με μαθηματικό τρόπο η δυναμική του πειραματικού συστήματος. Εξετάζεται η περίπτωση στην οποία το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από το ζεύγος πηνίων Helmholtz είναι ιδανικά ομογενές αλλά και η περίπτωση κατά την οποία το παραπάνω δε συμβαίνει και εμφανίζεται συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου και κάθετα ως προς τον άξονα που ενώνει τα δύο πηνία. Η ανάλυση λαμβάνει υπόψη την ύπαρξη δύο ενεργοποιητών στο σύστημα και τη δυνατότητα ελέγχου της φοράς του ρεύματος σε αυτούς. 97

104 Κεφάλαιο 6 ο Εικόνα 6.1: Σχηματική αναπαράσταση της κάτοψης της πειραματικής διάταξης. 6.1 Μαθηματική Μοντελοποίηση του Συστήματος Το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, δημιουργούμενο από το ζεύγος των πηνίων Helmholtz, μας δίνει μαγνητικές συνιστώσες και στους τρείς καρτεσιανούς άξονες. (6.1) Το σύστημα διαθέτει δύο ενεργοποιητές. Καθένας είναι ικανός να παράγει μαγνητική ροπή ρυθμίζοντας τη τάση και συνεπώς το ρεύμα που τον διαρρέει. Οι ροπές αυτές μπορούν να αναπαρασταθούν διανυσματικά ως: (6.2) 98

105 Κεφάλαιο 6 ο Εικόνα 6.2: Σχηματική αναπαράσταση της πειραματικής δομής. Διανυσματική αναπαράσταση μαγνητικών ροπών ελέγχου. Η συνολική μαγνητική ροπή δίνεται από το διανυσματικό άθροισμα των μαγνητικών ροπών των δύο ενεργοποιητών και είναι: (6.3) Η μηχανική ροπή στρέψης δίνεται από το εξωτερικό γινόμενο της συνολικής μαγνητικής ορμής και του εξωτερικό μαγνητικού πεδίου: (6.4) Αντικαθιστώντας τα μεγέθη από τις (6.1) & (6.3) και εκτελώντας τους υπολογισμούς προκύπτει (6.5) Από την (6.5) παρατηρούμε ότι εμφανίζονται ροπές στρέψης γύρω και από τους τρείς άξονες. Λόγο της μη ολονομικότητας του συστήματος, δεν είναι δυνατόν να 99

106 Κεφάλαιο 6 ο υπάρξει περιστροφή γύρω από τους άξονες X,Y, αλλά μόνο γύρω από τον άξονα Ζ. Στη πραγματικότητα υπάρχουν πολύ μικρές ταλαντώσεις γύρω από τους άξονες X,Y, αλλά αποσβένονται ταχύτατα λόγο της επίδρασης της Γήινης βαρύτητας. Συνεπώς, μόνο η συνιστώσα έχει επίδραση στο σύστημα. (6.6) Η δυναμική της περιστροφής γύρω από τον άξονα Ζ ενός στερεού σώματος, το οποίο αιωρείται με τη βοήθεια νήματος περιγράφεται από την εξίσωση (6.7) όπου είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα Ζ και είναι η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος γύρω από τον άξονα Ζ. Εισάγοντας την (6.6) στην (6.7) έχουμε: (6.8) Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει τη δυναμική του συστήματος και είναι η βασική σχέση για το σχεδιασμό του συστήματος έλεγχου. Περιγραφή στο χώρο κατάστασης Επιλέγω τις μεταβλητές κατάστασης ως εξής:, η γωνία μεταξύ του άξονα Υ και του διανύσματος., η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα Τότε η δυναμική καταστατική εξίσωση του συστήματος περιγράφεται από (6.9) Παρατηρούμε ότι το σύστημα είναι ένα μη γραμμικό, χρονικώς αμετάβλητο σύστημα δύο εισόδων. 100

107 Κεφάλαιο 6 ο Ανάλυση συστήματος υποθέτοντας Από τη βασική σχέση (6.8) και για =0 έχουμε: (6.10) Και το καταστατικό μοντέλο γίνεται: (6.11) Για τον υπολογισμό των σημείων ισορροπίας εξισώνουμε τις δυναμικές εξισώσεις με το μηδέν: (6.12) Όπου η γωνία ισορροπίας, η γωνιακή ταχύτητα ισορροπίας και,.οι αντίστοιχες ροπές ισορροπίας των δύο ενεργοποιητών του συστήματος. Από τη (6.12) συμπεράνουμε ότι η γωνιακή ταχύτητα ισορροπίας είναι και η γωνία ισορροπίας υπολογίζεται από τη λύση της ακόλουθης εξίσωσης, η οποία αποτελεί και συνθήκη ισορροπίας. (6.13) Για μικρές διαταραχές γύρω από το σημείο ισορροπίας (6.14) Αντικαθιστώντας στην (6.10) Αφού, συνεπάγεται ότι και. Έτσι, 101

108 Κεφάλαιο 6 ο Κάνοντας χρήση των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων Η σχέση μετασχηματίζεται σε: Για Εφαρμόζοντας την σχέση (6.13) και επισημαίνοντας ότι στη κατάσταση ισορροπίας ισχύει ότι και προκύπτει (6.15) Για το καταστατικό μοντέλο προκύπτει: (6.16) Η εξίσωση (6.16) περιγράφει το σύστημα ανοιχτού βρόχου. Δεδομένου ότι η ροπή αδράνειας του σώματος είναι πάντα θετική ποσότητα διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις: 102

109 Κεφάλαιο 6 ο 1. Εάν,, τότε το σύστημα έχει δύο ιδιοτιμές στο μηδέν. 2. Εάν,, τότε το σημείο ισορροπίας είναι ασταθές. 3. Εάν,, τότε το σημείο ισορροπίας είναι οριακά ευσταθές. Επιλέγοντας ως επιθυμητή γωνία ισορροπίας του συστήματος τη γωνία συνθήκη ισορροπίας (6.13) γίνεται:, η Η παραπάνω σχέση επαληθεύεται όταν: και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή Η παραπάνω συνθήκη μπορεί εύκολα να ερμηνευτεί. Όταν η γωνία φ είναι μηδέν, τότε το διάνυσμα της μαγνητικής ροπής είναι παραλληλισμένο με τον Υ άξονα και τη συνιστώσα του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Για το λόγο, αυτό το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων μηδενίζεται. Συνεπώς όποια τιμή και να πάρει η μαγνητική ροπή δεν επιδρά καθόλου στο σύστημα. Αντίθετα το διάνυσμα της μαγνητικής ροπής βρίσκεται κάθετα στο διάνυσμα. Έτσι το εξωτερικό γινόμενο και συνεπώς η μηχανική ροπή στρέψης παίρνει τη μέγιστη τιμή της, αναγκάζοντας το σύστημα να περιστραφεί και να αποκλίνει τελικώς από το σημείο ισορροπίας. Προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί η κατανάλωση ισχύος στο σύστημα, επιλέγεται η μαγνητική ροπή. Τα διανύσματα των μαγνητικών ροπών ελέγχου μπορούν να γραφούν στη μορφή: (6.17) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (6.17) και (6.14) στην (6.10) προκύπτει η σχέση 103

110 Κεφάλαιο 6 ο Για, και προκύπτει: Δ Ο όρος Δ μπορεί να απαλοιφή δεδομένου ότι αποτελεί γινόμενο πολύ μικρών όρων. Έτσι προκύπτει: (6.18) Και σε καταστατική μορφή, η σχέση (6.18) γράφεται (6.19) Η μορφή της σχέσης (6.19) αποτελεί το καταστατικό μοντέλο ενός γραμμικού και χρονικώς αμετάβλητου συστήματος της κλασικής μορφής Η ποσότητα αποτελεί την είσοδο του συστήματος. Επιλέγω είσοδο της μορφής Υλοποιώντας το παραπάνω έλεγχο ανατροφοδότησης καταστάσεως το σύστημα κλειστού βρόχου περιγράφεται από Τα πρέπει να επιλεχτούν έτσι ώστε και 104

111 Κεφάλαιο 6 ο Ανάλυση συστήματος υποθέτοντας Παρόλο που το πηνίο Helmholtz επιλέχθηκε για τη δημιουργία ομογενούς μαγνητικού πεδίου στον άξονα Υ, στη πραγματικότητα ασθενέστερο αλλά υπαρκτό μαγνητικό πεδίο υπάρχει και στον άξονα Χ. H βασική σχέση (6.8) περιγράφει τη δυναμική του συστήματος Για η (.8) μετασχηματίζεται στην (.20) Και το καταστατικό μοντέλο γίνεται: (.21) Για τον υπολογισμό των σημείων ισορροπίας εξισώνουμε τις δυναμικές εξισώσεις με το μηδέν: (6.22) Όπου η γωνία ισορροπίας, η γωνιακή ταχύτητα ισορροπίας και,.οι αντίστοιχες ροπές ισορροπίας των δύο ενεργοποιητών του συστήματος. Από τη (6.22) συμπεράνουμε ότι η γωνιακή ταχύτητα ισορροπίας είναι και η γωνία ισορροπίας υπολογίζεται από τη λύση της ακόλουθης εξίσωσης, η οποία αποτελεί και συνθήκη ισορροπίας. (6.23) Για μικρές διαταραχές γύρω από το σημείο ισορροπίας 105

112 Κεφάλαιο 6 ο (6.14) Αντικαθιστώντας την (6.14) στην (6.20) Αφού, συνεπάγεται ότι και. Έτσι, Κάνοντας πάλι χρήση των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων η σχέση μετασχηματίζεται σε: Όπου για συντόμευση Για Εφαρμόζοντας την σχέση (6.23) και επισημαίνοντας ότι στη κατάσταση ισορροπίας ισχύει ότι και, απαλείφοντας τους απαραίτητους όρου από τη παραπάνω σχέση προκύπτει (6.24) Για το καταστατικό μοντέλο προκύπτει: 106

113 Κεφάλαιο 6 ο (6.25) Η εξίσωση (6.25) περιγράφει το σύστημα ανοιχτού βρόχου. Επιλέγοντας ως επιθυμητή γωνία ισορροπίας του συστήματος τη γωνία συνθήκη ισορροπίας (.23) γίνεται:, η (6.26) Η φυσική ερμηνεία είναι ότι στο σημείο ισορροπίας και οι δύο διανύσματα των μαγνητικών ροπών είναι ευθυγραμμισμένα με αυτά του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Συνεπώς τα εξωτερικά τους γινόμενα είναι μηδέν και η συνολική μηχανική ροπή στρέψης είναι μηδέν. Άρα όταν το σύστημα βρίσκεται στο σημείο ισορροπίας δεν έχει νόημα η ενεργοποίηση των πηνίων. Έτσι, και για λόγους εξοικονόμησης ισχύος επιλέγεται (6.27) Τα διανύσματα των μαγνητικών ροπών ελέγχου μπορούν να γραφούν στη μορφή: (6.28) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (.28) και (.14) στην (.20) Για, και προκύπτει: 107

114 Κεφάλαιο 6 ο Οι όρος Δ και Δ μπορούν να απαλειφτούν δεδομένου ότι αποτελούν γινόμενα πολύ μικρών όρων. Έτσι προκύπτει: (6.29) Και σε καταστατική μορφή, η σχέση (6.29) γράφεται Ισχύει ότι (6.30) Η μορφή της σχέσης (6.30) αποτελεί το καταστατικό μοντέλο ενός γραμμικού και χρονικώς αμετάβλητου συστήματος με δύο εισόδους της κλασικής μορφής Το διάνυσμα αποτελεί την είσοδο του συστήματος. Επιλέγω είσοδο της μορφής Υλοποιώντας το παραπάνω έλεγχο ανατροφοδότησης καταστάσεως το σύστημα κλειστού βρόχου περιγράφεται από Τα πρέπει να επιλεχτούν έτσι ώστε και 108

115 109 Κεφάλαιο 6 ο

116 Κεφάλαιο 7 ο Κεφάλαιο 7 Πειραματικά Αποτελέσματα Στο κεφάλαιο 7 γίνεται παρουσίαση των διάφορων πειραματικών μετρήσεων που καταγράφηκαν κατά τη διάρκεια του πειράματος. Μετρήθηκε το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό των πηνίων Helmholtz για διαφορετικές τιμές ρεύματος τροφοδοσίας και καταγράφηκε η μεταβολή του πεδίου όταν τα πηνίαενεργοποιητές ενεργοποιούνται. Στη συνέχεια παρατίθενται γραφήματα που αποτυπώνουν τη χρονική απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου με έναν ή και δύο ενεργοποιητές εμπλεκόμενους. Επιπρόσθετα αποκρίσεις του συστήματος ανοιχτού βρόχου, αλλά και του συστήματος σε αστάθεια είναι διαθέσιμες. 110

117 Κεφάλαιο 7 ο 7.1 Μετρήσεις του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου Για την εξακρίβωση της διάταξης του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του ζεύγους πηνίων Helmholtz πραγματοποιήθηκαν προσεκτικές μετρήσεις με τη βοήθεια τον μαγνητομέτρων του «inemo». Οι τιμές της έντασης, αλλά και η διάταξη των μαγνητικών δυναμικών γραμμών του πεδίου είναι συνάρτηση του ηλεκτρικού ρεύματος το οποίο διαρρέει τα πηνία. Παρατηρήθηκε ότι όσο αυξάνεται η ένταση του ρεύματος τόσο το πεδίο γίνεται πιο ιδανικό-ομογενές στο κέντρο της διάταξης. Η συνιστώσα Bx ασθενεί, ενώ αναμενόμενα η τιμή της έντασης του πεδίου στον Υ άξονα αυξάνεται. Η εικόνα (7.1) παρουσιάζει τις μετρήσεις του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου όταν τη πηνία Helmholtz δε διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα ( ). Επίσης ούτε τα πηνία στο εσωτερικό του κύβου είναι ενεργοποιημένα ( ). Συνεπώς οι παρακάτω μετρήσεις περιγράφουν το μαγνητικό περιβάλλον της πειραματικής διάταξης με την επίδραση μόνο του γήινου μαγνητικού πεδίου. Εικόνα7.1: Ένταση του μαγνητικού πεδίου στους άξονες Χ, Υ και Ζ για Amp και Amp. Οι ενδιαφέρουσες για το σύστημα ελέγχου συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου είναι αυτές στους άξονες Χ και Υ. Παρατηρούμε ότι το μέτρο της έντασης του πεδίου στον Υ άξονα είναι περίπου τρεις φορές μεγαλύτερο από αυτό στον Χ άξονα. Ακόμα, το διάνυσμα By έχει αρνητικό πρόσημο που σημαίνει ότι η κατεύθυνση των μαγνητικών δυναμικών γραμμών είναι αντίθετη στην κατεύθυνση του 111

118 Κεφάλαιο 7 ο δημιουργούμενου από τα πηνία Helmholtz μαγνητικού πεδίου, όταν φυσικά αυτά ενεργοποιηθούν. Η εικόνα (7.2) παρουσιάζει μετρήσεις του μαγνητικού πεδίου στους τρείς άξονες της πειραματικής διάταξης όταν τα πηνία Helmholtz διαρρέονται από ρεύμα έντασης 2 Amp και το ρεύμα στους ενεργοποιητές είναι μηδενικό. Παρατηρούμε ότι η συνιστώσα του πεδίου στον άξονα Χ έχει εξασθενήσει κατά περίπου 40 mga, ενώ η συνιστώσα By έχει μέτρο 1000 mga και κατεύθυνση αντίθετη σε αυτή του μαγνητικού πεδίου της γης. Μέσω του ζεύγους Helmholtz επιτεύχθηκε η παραγωγή του επιθυμητού εξωτερικού μαγνητικού πεδίο σύμφωνα με το σχεδιασμό της πειραματικής διάταξης. Εικόνα7.2: Ένταση του μαγνητικού πεδίου στους άξονες Χ, Υ και Ζ για Amp και Amp. Αυξάνοντας το ρεύμα που διαρρέει τα πηνία Helmholtz, αποδεικνύεται ότι αυξάνεται με γραμμικό τρόπο (σχ. 5.1) η ένταση του μαγνητικού πεδίου στον άξονα Υ. Το τροφοδοτικό του εργαστηρίου που χρησιμοποιήθηκε για τη τροφοδοσία των πηνίων είναι ικανό να παρέχει ρεύμα άνω των 2Amp αλλά τα μαγνητόμετρα με τα οποία είναι εφοδιασμένο το «inemo» φθάνουν σύντομα στο κόρο και δε μπορούν να καταγράψουνε τις τιμές του μαγνητικού πεδίου. Το πείραμα πραγματοποιήθηκε για τιμή του ρεύματος, όπου η συνιστώσα By υπολογίζεται περίπου στα 1800 mga ενώ η συνιστώσα στον Bx άξονα μετρήθηκε στα mga. Παρατηρείται ότι ο λόγος By/Bx είναι περίπου 50, και συνεπώς για τους σκοπούς του πειράματος το μαγνητικό πεδίο μεταξύ του ζεύγους Helmholtz μπορεί να 112

119 Κεφάλαιο 7 ο θεωρηθεί ομογενές. Δυστυχώς δεν υπάρχουν μετρήσεις του μαγνητικού πεδίου για δεδομένου του κορεσμού των μαγνητομέτρων. Στην εικόνα (7.3) διαγράφεται η μεταβολή του μαγνητικού πεδίου στους άξονες Χ, Υ, Υ καθώς το ρεύμα τροφοδοσία των πηνίων Helmholtz αυξάνεται από τα ) Amp στα 2 Amp. Εικόνα 7.3: Ένταση του μαγνητικού πεδίου στους άξονες Χ, Υ και Ζ για μεταβολή του ρεύματος από σε. Στην εικόνα (7.4) φαίνεται η μεταβολή στο μαγνητικό πεδίο όταν επενεργούν οι ενεργοποιητές του συστήματος. Τα πηνία Helmholtz είναι απενεργοποιημένα και συνεπώς επικρατεί μόνο το γήινο μαγνητικό πεδίο. Ξαφνικά, τη χρονική στιγμή t ενεργοποιούνται οι δύο ενεργοποιητές του συστήματος προκαλώντας μεταβολή του μαγνητικού πεδίου όπως αυτή καταγράφεται από τους αισθητήρες του «inemo» τοποθετημένοι στο εσωτερικό του κύβου. Η μεταβολή μπορεί να περιγραφεί από μια βηματική συνάρτηση τη χρονική στιγμή t. Να σημειωθεί ότι τα πηνία τροφοδοτούνται με το μέγιστο ρεύμα, συνεπώς και η μαγνητική τους ροπή είναι η μέγιστη. 113

120 Κεφάλαιο 7 ο Εικόνα 7.4: Ένταση του μαγνητικού πεδίου στους άξονες Χ, Υ και Ζ για και. Εξετάζοντας τα παραπάνω γραφήματα παρατηρούμε ότι προκαλείται μεταβολή του μαγνητικού πεδίου και στο άξονα Ζ, παρόλο που δεν υπάρχει ενεργοποιητής στο επίπεδο κάθετο στον άξονα αυτό. Προφανών αυτό συμβαίνει διότι οι δυναμικές γραμμές των μαγνητικών πεδίων των πηνίων είναι κλειστές γραμμές και καμπυλώνονται γύρω από τα πηνία προκαλώντας μεταβολές και στο μαγνητικό πεδίο του Ζ-άξονα. Όπως έχει αναφερθεί, το μαγνητικό πεδίο στον Ζ-άξονα δεν επηρεάζει τη δυναμική του εργαστηριακού συστήματος. Επίσης, παρόλο που τα πηνία-ενεργοποιητές είναι κατασκευασμένα σύμφωνα με τις ίδιες παραμέτρους, πιθανόν να παρατηρηθεί διαφορά στο μέγεθος της μαγνητικής ροπής τους, όπως αυτή καταγράφεται από τους αισθητήρες. Αυτό μπορεί να συμβεί διότι τα μαγνητόμετρα δεν είναι τοποθετημένα στο κέντρο ακριβώς της πλακέτας του «inemo» και δεν απέχουν την ίδια απόσταση από τα πηνία. 7.2 Υλοποίηση ελέγχου Από τις πειραματικές μετρήσεις της ενότητας (7.1) είναι φανερό ότι η ένταση του μαγνητικού πεδίου στον άξονα Υ είναι πολλαπλάσια της έντασης στον άξονα Χ κατά ένα σημαντικό παράγοντα. Συνεπώς για το σχεδιασμό του ελεγκτή είναι αποδεκτή η χρήση του μαθηματικού μοντέλου που περιγράφει το σύστημα για Bx=0 και αναλύθηκε στο κεφάλαιο έξι. Σύμφωνα με την ανάλυση αυτή η χρήση ενός ενεργοποιητή και συγκεκριμένα του, για τον έλεγχο του συστήματος είναι επαρκής. 114

121 Κεφάλαιο 7 ο Επιλέχτηκε ο σχεδιασμός ενός PD ελεγκτής πλήρους ανατροφοδότησης κατάστασης της μορφής. Η πληροφορία της γωνίας προέρχεται από μετρήσεις και παρέχεται με διαδικασία που περιγράφεται αμέσως παρακάτω. Η δεύτερη κατάσταση του συστήματος, η γωνιακή ταχύτητα, γίνεται παρέχεται με υπολογιστικό τρόπο, εφαρμόζοντας διακριτή παραγώγιση. Η πληροφορία της γωνίας είναι διαθέσιμη στον επεξεργαστή «πτήσης» κάθε 200 msec, χρόνος ικανοποιητικά αρκετός για τη φύση του συγκεκριμένου συστήματος. Για τον υπολογισμό των κερδών και του ελεγκτή χρησιμοποιήθηκε εκτίμηση της τάξης μεγέθους τους από εξομοίωση του συστήματος με χρήση του Matlab/Simulink. Στη συνέχεια εφαρμόστηκαν πειραματικά και έγινε η τελική τους ρύθμιση. Οι τιμές των κερδών είναι: Περιγραφή προγράμματος υπολογιστή «βάσης» Στα ακόλουθα περιγράφεται η διαδικασία καταγραφής και αναγνώρισης της γωνίας του προσανατολισμού του κύβου-δορυφόρου καθώς και η διαδικασία μετάδοσης της πληροφορίας αυτής στον υπολογιστή πτήσης. Ο προγραμματισμός των διεργασιών πραγματοποιήθηκε σε περιβάλλον «Labview» και αποτελείτε από δύο λογισμικές οντότητες, οι οποίες εκτελούνται συγχρόνως και η μία τροφοδοτεί την άλλη. Το πρώτο στάδιο αφορά τη λήψη και επεξεργασία του σήματος βίντεο της κάμερας προκειμένου να υπολογιστεί ο τρέχων προσανατολισμός. Η αναγνώριση της κάμερας ως εξωτερικής συσκευής και η διασύνδεση της με το πρόγραμμα γίνεται με τη βοήθεια του πακέτου «vision acquisition» και «vision development». Στη συνέχεια το υποπρόγραμμα «Vision Assistant» τροφοδοτείτε και επεξεργάζεται τη πληροφορία της κάμερας. Στο συγκεκριμένο υποπρόγραμμα γίνεται η σύγκριση της τρέχουσας εικόνας με μια εικόνα-πρότυπο, η οποία απεικονίζει την επιθυμητή γωνία ισορροπίας των μηδέν μοιρών και βρίσκεται αποθηκευμένη στη μνήμη του υπολογιστή. Όπως απεικονίζεται στην εικόνα (7.6) το πρότυπο είναι ένα βέλος κόκκινου χρώματος ζωγραφισμένο στη κάτω έδρα του κύβου. Κάθε χρονική στιγμή το υποσύστημα συγκρίνει τον τρέχον προσανατολισμό του βέλους με τον πρότυπο προσανατολισμό και υπολογίζει σε μοίρες την περιστροφή (σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού) του πρώτου ως προς το δεύτερο. Η έξοδος του υποσυστήματος είναι μια πραγματική μεταβλητή. Μετρήσεις του χρόνου εκτέλεσης του υποσυστήματος έδειξαν ότι απαιτούνται περίπου 125 msec για να ολοκληρωθεί 115

122 Κεφάλαιο 7 ο ένας κύκλος λήψης, σύγκρισης και υπολογισμού της γωνίας προσανατολισμού. Η εικόνα (7.5) απεικονίζει το πρώτο υποσύστημα. Εικόνα7.5: Υποσύστημα λήψης, επεξεργασίας και υπολογισμού της τρέχουσας γωνίας προσανατολισμού. Εικόνα7.6: Πρότυπο αναγνώρισης προσανατολισμού. Γνωρίζοντας πλέον τη τρέχουσα απόκλιση του κύβου από το επιθυμητό σημείο θα πρέπει η πληροφορία αυτή να τροφοδοτηθεί στον υπολογιστή «πτήσης» προκειμένου να υλοποιηθεί ο νόμος ελέγχου. Στο δεύτερο στάδιο εκτέλεσης του προγράμματος του υπολογιστή «βάσης» υλοποιεί αυτή τη διεργασία. Η μετάδοσή τη πληροφορίας γίνεται με σειριακή επικοινωνία 8bit. Για το προγραμματισμό σε περιβάλλον «Labview» χρησιμοποιήθηκε το πακέτο «VISA» καθώς και τα βασικά εργαλεία προγραμματισμού του περιβάλλοντος αυτού. Αρχικά, η σειριακή θύρα 116