מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

Transcript

1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n a k < ϵ k=m n פשוט מאי שיוויון המשולש, וכיוון שכל האיברים בסכום k=m a k n אם כך, k k=m a n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו חיוביים זה בדיוק שווה ל- k k=m a מחפשים כדי להוכיח שזה סדרת קושי פשוט להיות אותו N וסיימנו! וממבחן ההשוואה sin n n 1 n sin n מתכנס משום ש- n דוגמה 1. הטור הראשון, הטור מתכנס בהחלט, לכן מתכנס.. 1 התכנסות בתנאי מתכנס בתנאי אם הוא מתכנס אבל לא מתכנס בהחלט. הגדרה. אומרים שהטור a n 1) n 1 מתכנס בתנאי ראינו שלא n = דוגמה. הטור מתכנס בהחלט כי טור הערכים המוחלטים זה הטור ההרמוני, למה הוא מתכנס נראה עוד מעט) מבחן לייבניץ להתכנסות טורים כאשר c n חיובית ויורדת מונוטונית ל- 0 אזי הטור מתכנס. משפט. יהי 1)n 1 c n הוכחה. נסתכל על הסס ח.S n מתקיים ש- m+ S m+ = S m + c m+1 c ומשום ש- 0 n c נקבל ש- S m+ S m ומכאן ש- S n סדרה מונו עולה. בנוסף לכל n מתקיים ש- S n = c 1 c +c 3 c 4 + s = c 1 c c 3 ) c m c m 1 ) c m c 1 כי כל אחד מהאיברים בסוגריים הוא אי שלילי הסדרה c n מונו יורדת). מכאן ש- S n מונו עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. באותו אופן אפשר להראות על האי זוגיים שהם מתכנסים לאותו גבול. כיוון ש-,a n L a n L a n 1 L הטור מתכנס מתכנס לפי מבחן לייבניץ הטור הזה נקרא טור דוגמה.3 הטור לייבניץ) אבל לא מתכנס בהחלט משום שטור הערכים המוחלטים של הסדרה המתאימה זהו הטור ההרמוני. 1

2 4. 1 מבחן דיריכלה להתכנסות טורים ונניח ש- משפט.3 יהי a nb n חסומה. א. הסס ח של 1=n b n ב. 0 n a יורדת מונוטונית ל- 0 ) אזי הטור מתכנס הערה 1. המשפט הזה מכליל את מבחן לייבניץ, שם האיברים הם מהצורה 1 ) n c n כש- חסומה. 1=n n1 ) יורדת מונו ל- 0 וקל לראות שהסס ח של c n הוכחה. באמצעות קריטריון קושי נסמן את הסס ח של b n בתור B n מתקיים ש-. B n B n 1 = b n ב- S n ואז מתקיים ש- נסמן את הסס ח של 1=n a nb n S n = a n+1 B n + n B k a k a k+1 ) סכום טלסקופי). כיוון ש- B n חסומה ו- 1+n a שואפת ל- 0, כל הביטוי השמאלי שואף ל- 0. מצד שני, a n מונוטונית יורדת ולכן 0 1+k a k a ומותר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון: Ma 0 וזהו טור טלסקופי ששואף ל- n B ka k a k+1 ) M n a k a k+1 ולכן מתכנס. ממבחן ההשוואה נקבל שהחלק הימני של המשוואה של S n מתכנס גם הוא ולכן הטור מתכנס מבחן אבל להתכנסות טורים מתכנס ו- b n מונוטונית וחסומה, אזי הטור ונניח ש- a n משפט.4 יהי הטור a nb n מתכנס. הוכחה. b n מונו וחסומה ולכן מתכנסת לגבול L. נניח בה כ ש- b n מונוטונית יורדת ואם היא עולה נעשה באופן דומה) ואז מתקיים an b n = a n b n L + L) = a n b n L) + L a n הטור הראשון מתכנס לפי דיריכלה והשני נתון שהוא מתכנס, אז הטור הוא סכום של מתכנסים ולכן מתכנס. פעולות בין איברי הטור 1. קיבוץ איברים בטור אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: c) a + b) + c = a + b +. האם זה ככה בטורים? נסתכל על = 1 1) + 1 1) + 1 1) + = = 0

3 אפשר גם להגיד ש = 1 1 1) 1 1) 1 1) = = 1 לסיכום, אי אפשר באופן כללי, אבל מתי כן? משפט 5. אם טור מתכנס, אפשר להשתמש בחוק הקיבוץ. יותר פורמלית, אם נגדיר n k סדרה מונוטונית עולה של טבעיים אז הטור = + ) n a 1 + a + + a n1 ) + a n a מתכנס לאותו מספר כמו הטור המקורי. k=1 n k p=n k 1 +1 a p) הוכחה. לשם ההוכחה נסמן את הסס ח של הטור המקורי בתור A n והסס ח של הטור החדש בתור A n. סדרת הסכומים החלקיים במקרה הזה תהיה פשוט A m = n m p=1 a p = A nm וכיוון ש- A nm S בתור תת סדרה של A n שמתכנסת אז גם. A m S תרגיל בית: יהי הטור a n ונתון ש- 0 n a וגם ש- C : k : n k+1 n k < C אז אם הסס ח A n מתכנסת אז גם A n מתכנסת. בעצם התרגיל הוא על טור שאיבריו שואפים ל- 0 והקיבוץ לא רחב כרצוננו אז אם הטור החדש מתכנס גם הטור המקורי.. התמרת איברים בטור ומשפט רימן כבר ראינו שקיבוץ איברים בטור זה בעייתי, אבל מה עם חוק החילוף? = ,S זה מוגדר משום שהטור מתכנס לפי דוגמה.4 נגדיר מבחן לייבניץ לטורים מחליפי סימן). נוכיח בהמשך ש-, S = ln אבל לעת עתה ברור ש- > 0 S משום שאפשר לקבץ את האיבר במקום ה- + 1 n עם האיבר במקום ה- + n 1 בכל מחובר וכל אחד מהם חיובי אז גם n 1 1 n+ ולקבל הפרש של שברים מהצורה הטור חיובי. נסדר את איברי הטור בצורה שונה: S = ) ) + = 1 n 1 1 4n 1 4n ) = 1 4n 1 4n ) = 1 1 n 1 1 n ) = 1 S S = 1 S S = 0 התקבלה סתירה! אם כך, מתי כן אפשר להחליף את איברי הטור בלי לשנות דבר? A ) a σn) חח ע ועל אז הטור σ : N N והעתקה A) הגדרה.3 נתון טור a n נקרא תמורה של A.A תמורה על A ) a σn) ו- A) משפט 6 טענת עזר). יהי 1=n a n אם 0 n n : a ו- A מתכנס אז גם A מתכנס. 3

4 N = max{σ1),, σn)} כעת, ניקח את C n : n הוכחה. A מתכנס ולכן k=1 a k C n ולכן מתכנס. k=1 a σk) N k=1 ונראה כי an C באותה דרך מוכיחים ש- A = A ) A תמורה על. A אם A מתכנס בהחלט אז a σn) ו- A) משפט.7 יהי a n גם A מתכנס בהחלט ומתקיים A A = כאשר a + n הם האיברים החיוביים בטור ו- a n הם הוכחה. a n = a + n a n הערך המוחלט של האיברים השליליים בטור. שני הטורים מתכנסים מבחן השוואה ראשון עם הטור המקורי). כעת נסתכל על aσn)) = a + σn) a σn) אבל כל טור פה הוא תמורה של אחד הטורים שכתבנו רק לפני רגע ואלה טוריים חיוביים ולכן, לפי טענת העזר, הם שווים. המסקנה היא ש- aσn) = a + n a n = a n מתכנס על תנאי, אזי לכל p R וגם עבור משפט 8 משפט רימן). יהי טור 1=n a n a σn) = p כך ש- σ : N N קיימת תמורה p = ± הוכחה. נראה שאם הטור מתכנס בתנאי אז = n a + n, a משום שאם שניהם היו מתכנסים אז הטור היה מתכנס בהחלט ואם רק אחד מהם היה מתכנס אז הטור היה מתבדר. כמו כן 0 n a כי זה תנאי הכרחי להתכנסות). כדי שהטור יתכנס ל- p ממשי, נחבר איברים חיוביים של הטור שוב ושוב עד שנגיע למספר שגדול מ- p, בשלב זה נחסר איברים מ- a n שוב ושוב עד שנגיע למספר שקטן מ- p, כעת שוב נחזור לחבר ואז כשנעבור את p נתחיל לחסר... הטור שקיבלנו שואף ל- p כי 0 n a ומאיך שבנינו את הטור) והוא גם תמורה של הטור המקורי. ברור שזה חח ע אבל מדוע זה על? פשוט מכך שמכל שלב בטור והלאה, אם רק נחבר a + n או רק נחסר a n נגיע לאינסוף או מינוס אינסוף בהתאמה. מה אם = p? נחבר מספיק איברים מ- a + n עד שנעבור את 10 ונחסר איבר מ- a, n ואז נחבר מספיק איברים חיוביים עד שנעבור את ה- 100 ושוב נחסר a, n עכשיו נחבר שוב מספיק איברים עד שנעבור את 1000 וכו... באופן דומה ל- p = 3. קוד:מכפלת טורים C) כאשר c n נגדיר את הטור. B) b n, A) יהיו טורים c n = n = a kb n k משפט 9. נניח שהטורים,A B מתכנסים בהחלט אזי גם C מתכנס בהחלט ו- B C = A m c n = m הוכחה. קודם נראה ש- C מתכנס בהחלט m n m n a k b n k a k b n k m a n b k = m m a n b k = A B 4

5 כאשר B A, זה טור הערכים המוחלטים של,A B וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של = C n c ואז הטור מתכנס בהחלט. נסמן את הסס ח של A ב- A n ואת הסס ח של B ב- B. n מתקיים ש- A n B n = n i=0 j=0 n a i b j = C n + n<i+j n מתקיים ש- C S n ונראה שזוהי סדרה מונוטונית עולה. נגדיר j = i+j n a i b מתכנס בהחלט ולכן n a k b n k = i+j=n a i b j a i b j < ולכן S n חסומה ואז מתכנסת לגבול. S A n B n C n = S n S n S S = 0 ומאריתמטיקה של גבולות A B = C 5