ΠΡΑΚΣΙΚΑ. 13 ο ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΤΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΗΜΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΑΚΣΙΚΑ. 13 ο ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΤΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΗΜΗ"

Transcript

1 ΠΡΑΚΣΙΚΑ 13 ο ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΤΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΗΜΗ Υεβρουαρύου 2011 Πϊφοσ ΟΡΓΑΝΩΣΗ 28 Χρόνια Προςφοράσ και Δημιουργίασ ςτη Μαθηματική Παιδεία και Επιςτήμη τησ Κφπρου ε συνεργασία με: Τπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού χολή Κοινωνικών Επιστημών και Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Σμήμα Μαθηματικών και τατιστικής, Πανεπιστήμιο Κύπρου ύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου Κυπριακή Αστροναυτική Εταιρεία Επιμέλεια Πρακτικών Αθανάσιος Γαγάτσης, Ανδρέας Υιλίππου, Παντελής Δαμιανού ISBN: ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ τασίνου 36, Γραφείο 102, τρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Σηλ , Υαξ: ,

2 (ii)

3 Οργάνωςη 13o Παγκύπριο υνϋδριο Μαθηματικόσ Παιδεύασ και Επιςτόμησ Γενικόσ Συντονιςτήσ Συνεδρίου: Γρηγόρησ Μακρίδησ, Πρόεδροσ ΚΥΜΕ και Προΰςτάμενοσ ΥΕΔΣ Πανεπιςτημίου Κύπρου Επιςτημονικόσ Υπεύθυνοσ Συνεδρίου Αθανάςιοσ Γαγάτςησ, Αντιπρόεδροσ ΚΥΜΕ και Αντιπρύτανησ Πανεπιςτημίου Κύπρου Εκτελεςτικόσ Συντονιςτήσ Συνεδρίου: Δημήτρησ Καραντάνοσ, Οργανωτικόσ Γραμματέασ ΚΥΜΕ Συντονιςτήσ Συμποςίου Μαθηματικήσ Παιδείασ Πρωτοβάθμιασ Εκπαίδευςησ: Αθανάςιοσ Γαγάτςησ, Αντιπρόεδροσ ΚΥΜΕ και Αντιπρύτανησ Ακαδημαΰκών υποθέςεων Πανεπιςτημίου Κύπρου Συντονιςτήσ Συμποςίου Μαθηματικήσ Παιδείασ Δευτεροβάθμιασ Εκπαίδευςησ: Ανδρέασ Φιλίππου, Γενικόσ Γραμματέασ ΚΥΜΕ και καθηγητήσ Μέςησ Εκπαίδευςησ Συντονιςτήσ Συμποςίου Μαθηματικήσ Επιςτήμησ: Παντελήσ Δαμιανού, Τμήμα Μαθηματικών και Στατιςτικήσ Πανεπιςτημίου Κύπρου Συντονιςτέσ Μαθητικού Συνεδρίου: Θεόκλητοσ Παραγιού, Ταμίασ ΚΥΜΕ και καθηγητήσ Μέςησ Εκπαίδευςησ Δημήτρησ Καραντάνοσ, Οργανωτικόσ Γραμματέασ Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία (iii)

4 (iv)

5 Μέλη Οργανωτικήσ Επιτροπήσ Σάββασ Αντωνίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Μάριοσ Ευςταθίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Όλγα Παπαγιάννη, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρούλα Χριςτοδούλου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέασ Σκοτεινόσ, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββασ Τιμοθέου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέασ Σαββίδησ, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κωνςταντίνοσ Παπαγιάννησ, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Αναςταςία Ηρακλέουσ-Θεοδώρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Χαράλαμποσ Καττιμέρησ, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Παντελήσ Ζαμπυρίνησ, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Δώρα Συμεού, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Λοΰζιάσ Σωτήρησ, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Γρηγορίου Γρηγόρησ, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Βαλανίδησ Χρήςτοσ, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κωνςταντίνοσ Χρίςτου, Τμήμα Επιςτημών τησ Αγωγήσ, Πανεπιςτήμιο Κύπρου Νικόλασ Γιαςουμήσ, Σύνδεςμοσ Μαθηματικών Κύπρου Πέτροσ Πέτρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τα ενυπόγραφα άρθρα εκφράζουν τις απόψεις και μόνον των συγγραφέων και δεν απηχούν απαραίτητα τις απόψεις του εκδότη. (v)

6 (vi)

7 ΠΡΟΛΟΓΟ A Σο 13o Παγκύπριο υνϋδριο Μαθηματικόσ Παιδεύασ και Επιςτόμησ οργανώνεται ςε μια περύοδο που ολόκληρη η υφόλιοσ ζει μια πρωτοφανό οικονομικό κρύςη. ε καιρούσ δημοςιονομικών περιοριςμών, το μελλοντικό βιοτικό μασ επύπεδο εξαρτϊται από την ικανότητϊ μασ να προωθόςουμε την καινοτομύα και την παιδεύα καθώσ και πρότυπα. Σα μαθηματικϊ δεν μπορούν παρϊ να ϋχουν και ςε αυτϋσ τισ δύςκολεσ ςτιγμϋσ το δικό τουσ καθοριςτικό ρόλο. Αυτόσ εύναι και ο διπλόσ ςτόχοσ του υνεδρύου, να προωθόςει νϋα ερευνητικϊ αποτελϋςματα ςτη μαθηματικό παιδεύα και επιςτόμη και από την ϊλλη να υποκινόςει το ενδιαφϋρον και να προςελκύςει τουσ νϋουσ ηλικύασ ώςτε να μελετόςουν τα μαθηματικϊ και να εκτιμόςουν τισ εφαρμογϋσ τουσ. Η Κυπριακό Μαθηματικό Εταιρεύα αναπτύςςει και υποςτηρύζει δρϊςεισ με ςτόχο την κατανόηςη των μαθηματικών και γενικϊ τησ επιςτόμησ από το ευρύ κοινό το οπούο θα ςυμβϊλει ςτην ανϊπτυξη του επιςτημονικού πολιτιςμού. Με όλεσ τισ δρϊςεισ τησ η ΚΤ.Μ.Ε. ςυμβϊλει ςτουσ ςτόχουσ τησ ςτρατηγικόσ τησ Ευρωπαώκόσ Ένωςησ «Ευρώπη 2020» που αφορούν ςτην ανϊγκη επύτευξησ υψηλότερων επιπϋδων δεξιοτότων για την αντιμετώπιςη τησ ανεργύασ και ϊλλων οικονομικών και διαρθρωτικών προκλόςεων ςτην Ευρώπη. Ευχαριςτούμε τουσ ςυνεργϊτεσ μασ ςτο ςυνϋδριο αυτό όπωσ το Τπουργεύο Παιδεύασ και Πολιτιςμούσ (Γενικό Διεύθυνςη, Διεύθυνςη Μϋςησ Εκπαύδευςησ, Διεύθυνςη Δημοτικόσ Εκπαύδευςησ, Παιδαγωγικό Ινςτιτούτο, Γενικό Επιθεώρηςη), τη χολό Κοινωνικών Επιςτημών και Επιςτημών τησ Αγωγόσ του Πανεπιςτημύου Κύπρου, το Σμόμα Μαθηματικών και τατιςτικόσ του Πανεπιςτημύου Κύπρου, το ύνδεςμο Μαθηματικών Κύπρου και την Κυπριακό Αςτροναυτικό Εταιρεύα. Θα όθελα να ευχαριςτόςω τουσ Αθανϊςιο Γαγϊτςη, Παντελό Δαμιανού και Ανδρϋα Υιλύππου που ανϊλαβαν την επιμϋλεια των πρακτικών του 13 ου Παγκύπριου υνεδρύου Μαθηματικόσ Παιδεύασ και Επιςτόμησ και ςτουσ Θεόκλητο Παραγιού και Δημότρη Καραντϊνο για το ςυντονιςμό του Μαθητικού υνεδρύου. Ιδιαύτερεσ ευχαριςτύεσ ςτη Γενικό Διευθύντρια του Τπουργεύου Παιδεύασ και Πολιτιςμού, κα Ολυμπύα τυλιανού, που ϋθεςε το υνϋδριο Μαθηματικόσ Παιδεύασ και Επιςτόμησ υπό την Αιγύδα τησ. Εκ μϋρουσ του Διοικητικού υμβουλύου τησ Κυπριακόσ Μαθηματικόσ Εταιρεύασ εκφρϊζω ευχαριςτύεσ ςε όλουσ όςουσ βοόθηςαν ςτην οργϊνωςη των υνεδρύων. Δρ Γρηγόρησ Μακρύδησ Πρόεδροσ Κυπριακόσ Μαθηματικόσ Εταιρεύασ (vii)

8 (viii)

9 ΠΡΟΛΟΓΟ Β Η ϋκδοςη του τόμου των Πρακτικών του 13 ου Παγκυπρύου υνεδρύου Μαθηματικόσ Παιδεύασ και Επιςτόμησ που οργανώνει η Κυπριακό Μαθηματικό Εταιρεύα τον Υεβρουϊριο του 2011 εύναι αποτϋλεςμα μιασ ϊριςτησ ςυνεργαςύασ με τουσ φύλουσ και ςυνεργϊτεσ Παντελό Δαμιανού και Ανδρϋα Υιλύππου. τη διοργϊνωςη του 13 ου υνεδρύου και ςτην επιμϋλεια των πρακτικών ςυνεργϊςτηκαν επύςησ διϊφορα μϋλη του Σμόματοσ Επιςτημών τησ Αγωγόσ τησ χολόσ Κοινωνικών Επιςτημών και Επιςτημών τησ Αγωγόσ του Πανεπιςτημύου Κύπρου. Η ςυνϊντηςη εκπαιδευτικών και από τισ τρεισ βαθμύδεσ τησ εκπαύδευςησ ςτο ςυνϋδριο δύνει την ευκαιρύα να αναπτυχθούν προβληματιςμού για τη μαθηματικό παιδεύα και επιςτόμη και ϋνασ ςτοχαςμόσ για τη γϋνεςη και εξϋλιξη των μαθηματικών ιδεών. Η αναζότηςη ιδεών και απαντόςεων ςε ερωτόματα που παρουςιϊζονται ςτην καθημερινό διδακτικό πρακτικό, ςτην ϋνταξη διεπιςτημονικών θεμϊτων, ςτην ανϊπτυξη ςχολικών δραςτηριοτότων ςτα προγρϊμματα ςπουδών τησ εκπαύδευςησ και ςτην ανϊπτυξη των αναλυτικών προγραμμϊτων ςπουδών φϋρνουν πιο κοντϊ ςυναδϋλφουσ από όλο το φϊςμα τησ εκπαύδευςησ όπωσ και την ευρύτερη επιςτημονικό και ερευνητικό κοινότητα. Η χολό Κοινωνικών Επιςτημών και Επιςτημών τησ Αγωγόσ θα ςυνεχύςει να ενιςχύει τη διοργϊνωςη του ςυνεδρύου τησ ΚΤ.Μ.Ε. με ποικύλουσ τρόπουσ και με τον νεοκλεγϋντα Κοςμότορα καθηγητό τϋλιο Γεωργύου. Από την ϊλλη πλευρϊ παρϊ την εκλογό μου ςτην θϋςη του Αντιπρύτανη Ακαδημαώκών Τποθϋςεων του Πανεπιςτημύου Κύπρου θα προςπαθόςω να ςυνεχύςω να προςφϋρω ςτην ΚΤΜΕ και ςτη Μαθηματικό Παιδεύα του τόπου. Ελπύζω ότι ο παρών τόμοσ θα εκπληρώςεισ τισ φιλοδοξύεσ του, δηλαδό θα εύναι χρόςιμοσ για τουσ εκπαιδευτικούσ Μϋςησ και Δημοτικόσ Εκπαύδευςησ και γενικϊ για όλουσ όςουσ ϋχουν ερευνητικϊ ό διδακτικϊ-πρακτικϊ ενδιαφϋροντα για τα Μαθηματικϊ και τη Διδακτικό τουσ. Αθανϊςιοσ Γαγϊτςησ Αντιπρόεδροσ ΚΤΜΕ Αντιπρύτανησ Ακαδημαώκών Τποθϋςεων Πανεπιςτημύου Κύπρου (ix)

10 (x)

11 ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ ΚΕΥΑΛΑΙΟ Ι ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΣΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΤΗ 1. Μαθηματικό μοντελοπούηςη και εφαρμογϋσ Γρηγόρησ Η. Καλογερόπουλοσ 2. Η Γεωμετρύα του Legendre και οι επιρροϋσ τησ ςτο βιβλύο «A School Geometry» των A.Walker και P. Mcnicol 3 7 Αθανϊςιοσ Γαγϊτςησ, Γεωργύα Παπαχριςτοδούλου και Άντρη Φατζηγεωργύου 3. Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ Αθανϊςιοσ Γαγϊτςησ, οφύα ϊββα- Παπαγιϊννη, και Μαρύα ολωμού-κύζα 4. Μπορεύ η ϋκπληξη να ανατρϋψει την πλόξη; Δόκιμεσ μαθηματικών παραδόξων ςτην τϊξη Γιώργοσ Δ. Κόςυβασ 5. Μελϋτη των προςεγγύςεων των μαθητών Α και Β Λυκεύου ςε ϋργα ςυναρτόςεων Ανδρϋασ Υιλύππου, Αννύτα Μονογυιού και Αθανϊςιοσ Γαγϊτςησ 6. Μϋθοδοσ τησ εξϊντληςησ. Παρουςύαςη και η εφαρμογό τησ μεθόδου ςτο διδακτικό βιβλύο τησ Α και Β Ενιαύου Λυκεύου Κωνςταντύνοσ Δημητριϊδησ 7. τϊςεισ και πεποιθόςεισ των εκπαιδευτικών για τα νϋα αναλυτικϊ προγρϊμματα των μαθηματικών ςτην Κύπρο οφύα ϊββα, Μαρύα ολωμού και Κωνςταντύνοσ Παπαγιϊννησ 8. Η χρόςη των αντιπαραδειγμϊτων ςτη διδαςκαλύα των Μαθηματικών Ανδρϋασ Υιλύππου, ϊββασ Σιμοθϋου (xi)

12 9. Σα λϊθη των μαθητών ςτα μαθηματικϊ και η διδακτικό αξιοπούηςη τουσ Λοώζιϊσ ωτόρησ, Φατζηγεωργύου Έλενα 10. Σο βιβλύο που ενϋπνευςε και ανϋδειξε τον Ramanujan Θεόκλητοσ Παραγυύου, Παναγιώτησ Χαρϊκησ και Δημότρησ Γ. Κοντογιϊννησ 11. Προβληματιςμού για τουσ οριςμούσ, θεωρόματα, παραδεύγματα και τισ αςκόςεισ κεφαλαύου Μελϋτη και γραφικό παρϊςταςη ςυνϊρτηςησ Δημότρησ Παπαμιλτιϊδησ, τϋλιοσ Αντωνιϊδησ 12. Από το οριςμϋνο ολοκλόρωμα ςτο αόριςτο μια διδακτικό πρόταςη Παναγιώτησ Μούζουροσ, Γιώργοσ Μυλωνϊσ 13. Η αξιοπούηςη των νϋων τεχνολογιών ςτην εννοιολογικό κατανόηςη βαςικών μαθηματικών εννοιών Γιώργοσ Μυλωνϊσ, ϊββασ Σιμοθϋου υναιςθηματικού παρϊγοντεσ και χρόςη ςτρατηγικών μεθόδων ςτην επύλυςη μαθηματικού προβλόματοσ. πυρούλα Πϊτςη, Γιώργοσ Καούλλασ ΚΕΥΑΛΑΙΟ IΙ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΗ 1. HEIGHT-2 TODA SYSTEMS Παντελόσ Α. Δαμιανού, Herve Sabourin και Pol Vanhaecke 2. LOTKA-VOLTERRA EQUATIONS IN THREE DIMENSIONS SATISFYING THE KOWALEVSKI-PAINLEV E PROPERTY Κυριϊκοσ Κωνςταντινύδησ, Παντελόσ Δαμιανού 3. κϋψεισ για το ϊπειρο Παςχϊλησ Παςχϊλη (xii)

13 ΚΕΥΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΑΣΡΟΝΑΤΣΙΚΗ 1. Αποςτολό ςτον πλανότη Άρη χωρύσ επιςτροφό Πϋτροσ Πϋτρου μ.χ. «Η ςυντϋλεια των αιώνων» Ιωϊννησ Υϊκασ 3. Γεωθερμικό ενεργεύα: Από τη θεωρύα ςτην πρϊξη Νικόλαοσ Δερμοςονιϊδησ, 4. Η ζωό των αςτροναυτών ςτο διϊςτημα οφούλησ Καρλεττύδησ (xiii)

14 (xiv)

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 1

16 2 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

17 ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΜΟΝΣΕΛΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΕΥΑΡΜΟΓΕ Γρηγόρησ Η. Καλογερόπουλοσ Καθηγητήσ Σμήματοσ Μαθηματικών Πανεπιςτημίου Αθηνών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σύςτημα είναι ένα αντικείμενο ή μια ςυλλογή αντικειμένων με ςκοπό να εκτελέςει κάποιο έργο. Με τον όρο ςύςτημα καλύπτεται ένα ευρύ φάςμα του φυςικού, βιολογικού και κοινωνικού μασ κόςμου. Π.χ. το Ηλιακό ςύςτημα, ένα ηλεκτρικό κύκλωμα, ένασ τεχνητόσ Δορυφόροσ, ο αυτόματοσ πιλότοσ ενόσ αεροπλάνου, ένασ ηλεκτρονικόσ υπολογιςτήσ, ο άνθρωποσ κ.α. Μια μέθοδοσ που απαντά ςε ερωτήματα που ςχετίζονται με ένα ςύςτημα είναι η πειραματική. Επιςτημονικά θεωρείται ιςχυρή αλλά πολλέσ φορέσ είναι ακατάλληλη ή ακόμη και επικίνδυνη. Για την μελϋτη των ςυςτημϊτων τότε καταφεύγουμε ςτη δημιουργύα του μοντϋλου. Μοντϋλο ενόσ ςυςτόματοσ εύναι ϋνα εργαλεύο που χρηςιμοποιούμε για την απϊντηςη ςε ερωτόματα ποιοτικόσ ό ποςοτικόσ φύςησ για το ςύςτημα χωρύσ να απαιτεύται να καταφύγουμε ςτη πειραματικό μϋθοδο. Μαθηματικό μοντελοπούηςη ό Δυναμικό μοντελοπούηςη εύναι η τϋχνη μοντελοπούηςησ φαινομϋνων που μεταβϊλλονται μϋςα ςτο χρόνο. Για τη δημιουργύα μοντϋλου πρϋπει να γνωρύζουμε καλϊ το φυςικό πρόβλημα, τισ μεταβλητϋσ, τισ παραμϋτρουσ και την μαθηματικό ςχϋςη μεταξύ τουσ. Αυτϋσ τισ υποθϋςεισ τισ μεταφρϊζουμε ςτη ςυνϋχεια ςε μαθηματικϋσ εξιςώςεισ. Στη ςυνϋχεια χρηςιμοποιούμε τισ μαθηματικϋσ γνώςεισ για να επιλύςουμε το μαθηματικό πρόβλημα (ςυνόθωσ Διαφορικϋσ Εξιςώςεισ ό Εξιςώςεισ Διαφορών ό και Αλγεβρικϋσ Εξιςώςεισ). Συγκρύνουμε τα αποτελϋςματα αυτϊ με τα πειραματικϊ αποτελϋςματα. Η ςύγχρονη μαθηματικό θεωρύα αυτομϊτου ελϋγχου μελετϊ τα φυςικϊ ςυςτόματα μϋςω του μαθηματικού τουσ μοντϋλου. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 3

18 Γρ. Η. Καλογερόπουλοσ Η διαδικαςύα μοντελοπούηςησ ακολουθεύ τα επόμενα βόματα. Αναγνώριςη ποςοτότων και παραμϋτρων καθώσ και των ςχϋςεων μεταξύ τουσ Διατύπωςη Μαθηματικών Εξιςώςεων OXI Σύγκριςη λύςεων με πειραματικϊ δεδομϋνα Λύςη των εξιςώςεων (4) ΝΑΙ (3) (Αποδεκτό μοντϋλο) Ένα μαθηματικό μοντϋλο ονομϊζεται Ντετερμινιςτικό όταν οι ςχϋςεισ που περιγρϊφουν τισ μεταβλητϋσ και τισ παραμϋτρουσ του ςυςτόματοσ εκφρϊζονται χωρύσ καμύα αβεβαιότητα. Ένα μοντϋλο ονομα ζεται ςτοχαςτικό εϊν περιϋχει ποςότητεσ οι οπούεσ περιγρϊφονται με εξιςώςεισ όπου οι μεταβλητϋσ εύναι ςτοχαςτικϋσ. Επύςησ τα μαθηματικϊ μοντϋλα διακρύνονται ςε ςυνεχούσ χρόνου ό διακριτού χρόνου, αναλόγωσ του αν εύναι ςυνεχό ωσ προσ το χρόνο ό παύρνουν διακριτϋσ τιμϋσ για διαφορετικϋσ ςτιγμϋσ δειγματοληψύασ. Τα ςυνεχό μοντϋλα περιγρϊφονται με διαφορικϋσ εξιςώςεισ, ενώ τα διακριτϊ μοντϋλα περιγρϊφονται με εξιςώςεισ διαφορών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Στη ςυνϋχεια δύνουμε κϊποια παραδεύγματα που το μαθηματικό μοντϋλο του φυςικού ςυςτόματοσ δύνεται με εξύςωςη διαφορών (διακριτϊ μοντϋλα). Πληθυςμιακό Μοντέλο Το 20% ηοσ πληθσζμού ηης Θεζζαλονίκης κάθε τρόνο μεηακινούνηαι εκηός ηης πόλης, ενώ ηο 10% ηοσ πληθσζμού εκηός πόλης μεηακινούνηαι ενηός. Μαθημαηικό Μονηέλο Έζηω ο πληθσζμός ηης Θεζζαλονίκης ηη τρονιά και ο πληθσζμός εκηός πόλης ηη τρονιά. Τόηε, [ ] [ ] [ ], [ ] αρχικϋσ ςυνθόκεσ. Έςτω [ ] και [ ] 4 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

19 Μαθηματική Μοντελοποίηςη και Εφαρμογέσ O πύνακασ A ϋχει ιδιοτιμϋσ [ ] και [ ] και αντύςτοιχα ιδιοδιανύςματα Οπότε η λύςη του ςυςτόματοσ, Όπου [ ] και [ ]..Οπότε [ ] [ δηλαδή [ Και επομϋνωσ, ] [ ] [ ], ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] 1 [ 0 0 (0.7) k xk x y (2 x0 y0 )] 3 1 [ (0.7) k yk x y (2 x0 y0 )] 3 Όταν k τότε 1 lim xk [ x0 y0] k 3 και 2 lim yk [ x0 y0] k 3. Μοντέλο Εθνικήσ Οικονομίασ (Samuelson) Συμβολύζουμε: : Το εθνικό ειςόδημα τη χρονικό ςτιγμό k. : Τισ καταναλωτικϋσ δαπϊνεσ τη χρονικό ςτιγμό k. : Τισ επενδύςεισ τη χρονικό ςτιγμό k. : Τισ κυβερνητικϋσ δαπϊνεσ τη χρονικό ςτιγμό k. Εν ςυνεχεύα, κϊνουμε τισ επόμενεσ 4 υποθϋςεισ: Τπόθ. 1: Η εξύςωςη του εθνικού ειςοδόματοσ εύναι ( ) Τπόθ. 2: ( ) Τα χρόματα καταναλώνονται την επόμενη από την περύοδο που αποκτόθηκαν. Τπόθ. 3: ( ) ( ) 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 5

20 Γρ. Η. Καλογερόπουλοσ Οι επενδύςεισ εύναι ανϊλογεσ τησ αύξηςησ τησ κατανϊλωςησ. Τπόθ. 4: Υποθϋτουμε ότι οι κυβερνητικϋσ δαπϊνεσ εύναι ςταθερϋσ. Συνόθωσ θϋτουμε: Από την εξύςωςη (1) θϋτοντασ ϋχουμε: κϊνοντασ χρόςη των (2) και (3) προκύπτει ( ) ( ) ( ) που εύναι εξύςωςη διαφορών γραμμικό δεύτερησ τϊξησ με ςταθερούσ ςυντελεςτϋσ. Η εξύςωςη (5) εκφρϊζει το μοντϋλο Samuelson για το εθνικό ειςόδημα χώρασ. μιασ Γενικϊ υποθϋτουμε ότι γνωςτϊ. Η εξύςωςη (5) που δύνει τη δυναμικό ςυμπεριφορϊ του εθνικού ειςοδόματοσ, ςυνδϋει το εθνικό ειςόδημα μιασ περιόδου με το εθνικό ειςόδημα των δύο προηγούμενων περιόδων. H μαθηματικό επεξεργαςύα και η διερεύνηςη των λύςεων τησ εξύςωςησ (5) για τισ διϊφορεσ τιμϋσ των παραμϋτρων α και b θα αναπτυχθεύ κατϊ τη διϊρκεια τησ διϊλεξησ. Κατϊ τη διϊρκεια τησ διϊλεξησ επύςησ θα διαμορφωθεύ και θα μελετηθεύ ϋνα μαθηματικό μοντϋλο που αφορϊ τη διαμόρφωςη των μιςθών κατϊ τη διϊρκεια διαπραγματεύςεων μεταξύ εργαζομϋνων και εργοδοτών. Τϋλοσ θα διαμορφωθεύ ϋνα πληθυςμιακό μοντϋλο (διακριτό λογιςτικό εξύςωςη), θα διερευνηθεύ και θα εξηγηθεύ η ϋννοια του χϊουσ και τησ χαοτικόσ ςυμπεριφορϊσ. 6 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

21 Η ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ΣΟΤ LEGENDRE ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΡΡΟΕ ΣΗ ΣΟ ΒΙΒΛΙΟ «A SCHOOL GEOMETRY» ΣΩΝ A.WALKER KAI P. MCNICOL 1 Αθανάςιοσ Γαγάτςησ, Γεωργία Παπαχριςτοδούλου και Ϊντρη Χατζηγεωργίου Σμήμα Επιςτημών τησ Αγωγήσ, Πανεπιςτήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Μϋςω τησ εργαςύασ αυτόσ εξετϊςαμε το ύφοσ με το οπούο οι A.Walker και George P. McNicol ϋγραψαν το βιβλύο "A School Geometry", τισ επιρροϋσ που ϋλαβαν από τον Legendre και τον τρόπο που αυτόσ παρουςύαςε τη Γεωμετρύα ςτα βιβλύα του. Για το ςκοπό αυτό κϊναμε μια ςύγκριςη του πρώτου βιβλύου και του βιβλύου του Legendre, μεταφραςμϋνο από τον Ιωϊννη Καρανδηνό ςτην Κϋρκυρα το Παρατηρεύται, λοιπόν, πωσ οι δυο ςυγγραφεύσ δεν ακολουθούν τα «Στοιχεύα» του Ευκλεύδη, αλλϊ υιοθετούν ϋνα πιο απλοώκό και ςυνϊμα αυςτηρό ςτυλ, που τεύνει να μοιϊςει με αυτό του Legendre. Οι θεμελιώδεισ οριςμού που αναφϋρονται ςτην αρχό του βιβλύου, όπωσ αυτόσ τησ ευθεύασ, του ςημεύου, του επιπϋδου κ.λπ., διατυπώνονται με τρόπο λιτό, ςε κϊποιεσ περιπτώςεισ, όμωσ, όχι τόςο αυςτηρό. Έχει διαπιςτωθεύ, επύςησ, πωσ και ςτα δύο βιβλύα ειςϊγονται αλγεβρικού ςυμβολιςμού που διευκολύνουν την ανϊγνωςό τουσ, όμωσ πρωτοςτϊτησ ςε αυτό όταν αναμφιςβότητα ο Legendre. Όπωσ διαπιςτώνει κανεύσ διαβϊζοντασ τα δύο βιβλύα υπϊρχουν αρκετϋσ ομοιότητεσ ςτισ αποδεύξεισ προτϊςεων και θεωρημϊτων, όμωσ ςε κϊποιεσ περιπτώςεισ οι αποδεύξεισ που δύνει ο Legendre ςτο βιβλύο του εύναι πιο αυςτηρϋσ και ςτηρύζονται ςε προτϊςεισ των οπούων ϋχει προηγηθεύ η απόδειξη, εύτε γύνεται χρόςη των οριςμών που ειςϊγονται ςτην αρχό του κϊθε κεφαλαύου. Αντύθετα οι Walker και McNicol ςε αρκετϋσ περιπτώςεισ χρηςιμοποιούν πρωτότυπεσ καταςκευϋσ ωσ μϋςο απόδειξησ θεωρημϊτων και προτϊςεων και διαπιςτώνεται ότι επιθυμούν να ειςϊγουν απλϋσ αποδεύξεισ και πολλϋσ εφαρμογϋσ, οι οπούεσ δε ςτηρύζονται τόςο ςε προηγούμενεσ προτϊςεισ ό οριςμούσ. Πρωτότυπη καταςκευαςτικό απόδειξη που χρόζει ιδιαύτερησ ςημαςύασ εύναι αυτό που παρουςιϊζουν για να δεύξουν πωσ το ϊθροιςμα των γωνιών τριγώνου εύναι 180 και η οπούα αναδεικνύεται ςτην παρούςα εργαςύα. 1 Η εργαζία ασηή αποηειεί κέρος ηοσ σπό έθδοζε βηβιίοσ «Σηοιτεία Ιζηορίας ηης Μαθημαηικής Παιδείας ζηην Κύπρο από ηο 1878 ως ηο 1960», ηο οποίο εθπολήζεθε ζηα πιαίζηα ηοσ οκώλσκοσ Προγράκκαηος ηοσ Κέληροσ επηζηεκοληθώλ ερεσλώλ ηοσ Υποσργείοσ Παηδείας θαη Ποιηηηζκού. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 7

22 Α. Γαγάηζης, Γ. Παπατριζηοδούλοσ & Ά. Χαηζηγεωργίοσ ΕΙΑΓΩΓΗ Σε μια προςπϊθεια να εντοπύςουμε το ενδιαφϋρον τησ Ιςτορύασ τησ Μαθηματικόσ Εκπαύδευςησ, καθύςταται ςημαντικό αρχικϊ να ορύςουμε τον όρο «Ιςτορύα τησ Μαθηματικόσ Εκπαύδευςησ». Ο όροσ αυτόσ εύναι ςχετικϊ πρόςφατα καθιερωμϋνοσ ςτην ελληνικό βιβλιογραφύα και την ακαδημαώκό ορολογύα, ςε αντύθεςη με τη διεθνό βιβλιογραφύα. Για να δοθεύ μια πρώτη προςϋγγιςη τησ ςημαςύασ αυτού του όρου, εύναι αναγκαύα η προςφυγό ςτον αντύςτοιχο παιδαγωγικό όρο: «Ιςτορύα τησ Εκπαύδευςησ». Φαύνεται ότι και αυτόσ ο αντύςτοιχοσ παιδαγωγικόσ όροσ εύναι, επύςησ, ςχετικϊ πρόςφατα καθιερωμϋνοσ ςτη ςχετικό βιβλιογραφύα (Γαγϊτςησ, 1993). Ο Χαρύτοσ (1990) αναφϋρει ςχετικϊ: «Το περιεχόμενό του, όχι εντελώσ αποςαφηνιςμϋνο, ανταποκρύνεται ςτον επιςτημονικό κλϊδο, που κινεύται μεταξύ τησ Ιςτορύασ και τησ Παιδαγωγικόσ και ουςιαςτικό ϋργο του ϋχει την ϋρευνα και τη μελϋτη τησ ιςτορικόσ διϊςταςησ των εκπαιδευτικών φαινομϋνων». Ο Χαρύτοσ (1990) ςυμπληρώνει, επύςησ, ότι «Η Ιςτορύα τησ Παιδεύασ, κατϊ ςυνϋπεια, ταυτιζόμενη με την Ιςτορύα του Πολιτιςμού και των Παιδαγωγικών θεωριών, εξετϊζει τα ςχετικϊ θϋματα, προβλόματα και φαινόμενα κατϊ την ιςτορικό τουσ διαμόρφωςη, πορεύα και εξϋλιξη. Αντύθετα, η Ιςτορύα τησ Εκπαύδευςησ, ϋχει ωσ θεματολογύα τη μελϋτη και τον προβληματιςμό ςχετικϊ με τα εκπαιδευτικϊ ςυςτόματα και προγρϊμματα (ςχεδιαζόμενα και εφαρμοζόμενα), τουσ ςχολικούσ θεςμούσ και λειτουργύεσ, τα πρόςωπα και τα πρϊγματα που ςυμμετϋχουν ςτισ διαδικαςύεσ διδαςκαλύασ και ςχολικόσ ζωόσ, υπό το πρύςμα τησ ιςτορικόσ τουσ εξϋλιξησ.» Εύναι φανερό ότι ο οριςμόσ αυτόσ δεν εύναι ανεξϊρτητοσ από τον προηγούμενο, αλλϊ και ότι μια μελϋτη τησ Ιςτορύασ τησ Μαθηματικόσ Εκπαύδευςησ δεν εύναι ανεξϊρτητη τησ Ιςτορύασ τησ Εκπαύδευςησ γενικϊ. Λογικϊ, με βϊςη τα γενικϊ ςτοιχεύα τησ Ιςτορύασ τησ Εκπαύδευςησ, θα γύνει δυνατό να παρακολουθόςουμε τον τρόπο με τον οπούο επιδρούςαν ςτη Μαθηματικό Εκπαύδευςη ενόσ τόπου, οι κοινωνικοοικονομικϋσ, πολιτικϋσ και εκπαιδευτικϋσ αλλαγϋσ, καθώσ και η παρϊδοςη και κουλτούρα του. Έτςι θα όταν δυνατό, να ερμηνευτούν, μερικϊ ςημαντικϊ φαινόμενα τησ Μαθηματικόσ Εκπαύδευςησ όπωσ π.χ. η μεγϊλη απόχηςη τησ ςχολικόσ Γεωμετρύασ του Legendre ςτην Ελλϊδα (Γαγϊτςησ, 1993). Η Ιςτορύα των Μαθηματικών μπορεύ να χρηςιμοποιηθεύ με διϊφορουσ τρόπουσ, από τουσ οπούουσ μερικού δεν ϋχουν ςχϋςη με προςδιοριςμό εμποδύων και πειραματικϋσ μελϋτεσ. Αυτό όμωσ δε ςημαύνει ότι η απλό αναφορϊ τησ λϋξησ «Ιςτορύα» θα λύςει όλα τα προβλόματα των καθηγητών, που θα μπορούν πια να διδϊςκουν όλα ςε όλουσ. Υπϊρχει, όμωσ, και κακό χρόςη τησ Ιςτορύασ. Γι αυτό, παρακϊτω παρουςιϊζονται μερικϋσ απόψεισ για τη χρόςη τησ Ιςτορύασ των Μαθηματικών (Γαγϊτςησ, 1991; Γαγϊτςησ, Δεληγιϊννη, Ηλύα, Μονογυιού & Παναούρα, 2008). 8 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

23 ΣΟ ΒΙΒΛΙΟ Η Γεωμετρύα του Legendre Το βιβλύο «A School Geometry» γρϊφτηκε από τουσ A.Walker και G.P. McNicol και πρωτοεκδόθηκε το Σεπτϋμβριο του Ακολούθηςαν ακόμα δύο εκδόςεισ το Σεπτϋμβριο του 1936 και το Φεβρουϊριο του 1948 ςτην Αγγλύα. Το βιβλύο, εκτόσ από την Αγγλύα, κυκλοφόρηςε και ςτο Παρύςι. Όπωσ αναφϋρεται ςτην ειςαγωγό, ςκοπόσ αυτού του βιβλύου εύναι η καταγραφό και απόδειξη προτϊςεων κυρύωσ του Ευκλεύδη και η αποφυγό αλγεβρικών πολύπλοκων αποδεύξεων. Καλύπτει την ύλη που απαιτεύται να γνωρύζει ϋνασ μαθητόσ για να μπορϋςει να παρακαθύςει τισ πιο κϊτω εξετϊςεισ: Leaving Certificate Examination of the Scottish Education Department, Preliminary Examination of the Scottish Universities, London Matriculation Examination, Oxford and Cambridge Local Examinations. Γνωρύζοντασ τη μεγϊλη απόχηςη που εύχε το βιβλύο τησ Γεωμετρύα του Legendre ςε ολόκληρη την Ευρώπη, λόγω τησ μεγϊλησ ςαφόνειασ τησ παρουςύαςησ του και του ελκυςτικού του ςτιλ, θϋλαμε να εξετϊςουμε την επιρροό που εύχε και ςε μεταγενϋςτερουσ ςυγγραφεύσ βιβλύων τησ Γεωμετρύασ. Για το ςκοπό αυτό, ςτην εργαςύα μασ θα εξετϊςουμε το ύφοσ με το οπούο γρϊφουν οι δύο ςυγγραφεύσ και θα το ςυγκρύνουμε με το απλοώκό και ςαφϋσ ςτιλ με το οπούο ο Legendre ϋγραψε το δικό του βιβλύο. Επύςησ, εύναι γνωςτό πωσ ο Legendre πρωτοςτϊτηςε ωσ προσ την απλούςτευςη τησ παρουςύαςησ τησ Γεωμετρύασ και ο ύδιοσ απομακρύνεται από το βαρύ ύφοσ του Ευκλεύδη που απευθυνόταν ςε ςοφούσ τησ εποχόσ του. Αυτό το κατορθώνει, εύτε με την ειςαγωγό ςυμβόλων, εύτε με την ειςαγωγό καινούριων μεθόδων ςτη Γεωμετρικό ςκϋψη. Πόςο επηρϋαςε αυτό το πρωτοποριακό βόμα του Legendre τουσ δυο ςυγγραφεύσ του βιβλύου "A School Geometry" και πώσ αυτού θα προςπαθόςουν να πρωτοτυπόςουν ςτο δικό τουσ βιβλύο; Αυτϊ εύναι τα ερωτόματα τα οπούα θα προςπαθόςουμε να απαντόςουμε μϋςω τησ εργαςύασ μασ. Περιεχόμενα Το βιβλύο αποτελεύται από 379 ςελύδεσ και εύναι χωριςμϋνο ςε δϋκα μϋρη. Στον πύνακα 1 παρουςιϊζεται το ακριβϋσ περιεχόμενο του βιβλύου. Πύνακασ 1: Περιεχόμενα του βιβλύου "A School Geometry" ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΛΙΔΕΣ Ειςαγωγό 1-72 Θεωρητικό Γεωμετρύα Βιβλύο. Γωνύεσ-Τρύγωνα-Παρϊλληλεσ Βιβλύο. Επιφϊνεια Βιβλύο. Ο κύκλοσ ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 9

24 Α. Γαγάηζης, Γ. Παπατριζηοδούλοσ & Ά. Χαηζηγεωργίοσ Βιβλύο. Ορθογώνια Βιβλύο. Λόγοι και Αναλογύεσ Επαναληπτικϊ Διαγωνύςματα Απαντόςεισ Δεύκτησ Ειςαγωγό & Θεωρητικό Γεωμετρύα Στην ειςαγωγό του βιβλύου "A School Geometry" οι ςυγγραφεύσ δύνουν ϋνα οριςμό τησ Γεωμετρύασ και ακολούθωσ εξηγούν με περιςςότερη λεπτομϋρεια τισ θεμελιώδεισ ιδϋεσ που την αποτελούν. Συγκεκριμϋνα, δύνουν τουσ βαςικούσ οριςμούσ για τισ γωνύεσ, τον κύκλο και το τρύγωνο. Στην ειςαγωγό υπϊρχει και η απόδειξη για το ϊθροιςμα των γωνιών τριγώνου και το εμβαδόν του κύκλου. Η γεωμετρύα του Legendre αρχύζει με κϊποιουσ βαςικούσ οριςμούσ (ςημεύο ευθεύασ γωνύασ, ςώμα). Επύςησ, ειςϊγει και ορύζει ςύμβολα τα οπούα και χρηςιμοποιεύ ςτισ προτϊςεισ, τα θεωρόματα και ςτισ αποδεύξεισ αυτών. Κϊποια από τα ςύμβολα αυτϊ εύναι τα,,,. Θεμελιώδεισ ιδϋεσ Γεωμετρία: Η γεωμετρύα αςχολεύται με τα ςτερεϊ, τισ επιφϊνειεσ, τισ γραμμϋσ και τα ςημεύα. O Legendre ςτο βιβλύο του δύνει ϋνα πιο ολοκληρωμϋνο, θα λϋγαμε, οριςμό τησ γεωμετρύασ: «Η Γεωμετρύα εύναι η επιςτόμη που το αντικεύμενο τησ εύναι η καταμϋτρηςη τησ εκτϊςεωσ. Η ϋκταςησ ϋχει τρεισ διαςτϊςεισ, μόκοσ, πλϊτοσ και ύψοσ». τερεά: Οποιοδόποτε μϋροσ του χώρου εύναι ςτερεό. Με τον πιο πϊνω οριςμό που δύνουν οι ςυγγραφεύσ ςυμφωνεύ και ο Legendre και προςθϋτει: «Στερεόν ό ςώμα εύναι ότι περιϋχει εν ταύτα τισ τρεισ διαςτϊςεισ τησ εκτϊςεωσ». Επιφάνεια: Τα ςτερεϊ ορύζονται από τισ επιφϊνειεσ. Οι επιφϊνειεσ χωρύζονται ςε δύο κατηγορύεσ, τισ επύπεδεσ και τισ κυρτϋσ. Οι επιφϊνειεσ του κύβου εύναι ευθεύεσ, ενώ τησ ςφαύρασ εύναι κυρτϋσ. Οι επιφϊνειεσ ϋχουν μόκοσ και εύροσ, αλλϊ όχι πϊχοσ. Ο Legendre εύναι πιο ςύντομοσ ςε αυτόν τον οριςμό, χωρύσ όμωσ να εύναι λανθαςμϋνοσ. «Επιφϊνεια εύναι ότι ϋχει μόκοσ και πλϊτοσ, χωρύσ ύψοσ ό πϊχοσ». Επύςησ αναφϋρει: «Το επύπεδο εύναι επιφϊνεια ςτην οπούα αν πϊρεισ δυο ςημεύα και τα ενώςεισ με μύα ευθεύα γραμμό, η ευθεύα αυτό γραμμό βρύςκεται ςε όλη την 10 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

25 Η Γεωμετρύα του Legendre επιφϊνεια. Κϊθε επιφϊνεια που δεν εύναι επύπεδο ό ςύνθεςη επιπϋδων επιφανειών, εύναι καμπύλη επιφϊνεια». Γραμμέσ: Οι επιφϊνειεσ τϋμνονται ςε γραμμϋσ και ορύζονται από γραμμϋσ. Οι γραμμϋσ χωρύζονται ςε δύο κατηγορύεσ, τισ ευθεύεσ και τισ κυρτϋσ. Μια ευθεύα γραμμό την ονομϊζουμε ςυνόθωσ με δύο γρϊμματα, ϋνα ςτην αρχό τησ ευθεύασ και ϋνα ςτο τϋλοσ. Οι γραμμϋσ ϋχουν μόκοσ, αλλϊ όχι πλϊτοσ. Χαρακτηριςτικό ιδιότητα τησ ευθεύασ γραμμόσ εύναι ότι ορύζεται από δύο ςημεύα. Επύςησ, μόνο μια ευθεύα γραμμό μπορεύ να ςχεδιαςτεύ ανϊμεςα ςε δύο ςημεύα. Κατϊ τον Legendre: «α) Η γραμμό εύναι μόκοσ χωρύσ πλϊτοσ.. Τα ϊκρα τησ γραμμόσ καλούνται ςημεύα: Το ςημεύο δεν ϋχει ϋκταςιν. β) Η ευθεύα γραμμό εύναι ο πλϋον ςύντομοσ δρόμοσ από ϋνα ςημεύο ςε ϋνα ϊλλον. γ) Κϊθε γραμμό που δεν εύναι ούτε ευθεύα ούτε ςύνθεςη από ευθεύεσ γραμμϋσ εύναι καμπύλη γραμμό. Έςτω ΑΒ ευθεύα γραμμό, ΑΓΔΒ εύναι γραμμό τεθλαςμϋνη, ό ςύνθεςη από ευθεύεσ και ΑΕΒ εύναι καμπύλη γραμμό (ςχόμα 1)». ημεία: Τα ϊκρα γραμμών εύναι ςημεύα και οι γραμμϋσ τϋμνονται ςε ςημεύα. Ονομϊζουμε το ςημεύο με ϋνα γρϊμμα για παρϊδειγμα: Α. Το ςημεύο ϋχει θϋςη αλλϊ όχι μϋγεθοσ. Γωνία: Όταν δύο ευθεύεσ γραμμϋσ ςχεδιαςτούν από ϋνα κοινό ςημεύο ςχηματύζουν γωνύα. Μια γωνύα ςυνόθωσ ονομϊζεται με τρύα γρϊμματα, το ϋνα οπουδόποτε πϊνω ςτη μια ευθεύα, το ϊλλο οπουδόποτε πϊνω ςτην ϊλλη ευθεύα και το τρύτο εύναι η κορυφό. Κατϊ τον Legendre: «Όταν δυο ευθεύεσ γραμμϋσ ςυναπαντώνται ωσ ΑΒ, ΑΓ ό ποςότη περιςςότερον ό ολιγότερων μεγϊλη δια τησ οπούασ απομακρύνονται αυταύ αι ευθεύαι, όςον προσ την θϋςιν των, καλεύται γωνύα. Το ςημεύον τησ ςυναπαντόςεωσ ό τησ κοινόσ τομόσ Α εύναι η κορυφό τησ γωνύασ αι δε γραμμαύ ΑΒ, ΑΓ εύναι αι πλευραύ αυτόσ». Παρακείμενες γωνιές: Όηαλ δύο γωληές ΑΟΒ θαη ΒΟC έτοσλ κηα θοηλή εσζεία θαη θοηλή θορσθή Ο, ιέγοληαη παραθείκελες γωληές. Όηαλ δύο εσζείες γρακκές ηέκλοληαη, ζτεκαηίδοληαη κατακορσφήν γωνίες. Οη γωληές ABC θαη EBD είλαη θαηαθορσθήλ γωλίες. Οη γωληές ABE θαη CBD είλαη θαηαθορσθήλ γωλίες. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 11

26 Α. Γαγάηζης, Γ. Παπατριζηοδούλοσ & Ά. Χαηζηγεωργίοσ είωςη: Μια πλόρησ ςτροφό εύναι ύςη με 360 μούρεσ, γρϊφουμε 360. Μια ευθεύα γωνύα εύναι με Μια ορθό γωνύα εύναι ύςη με το 1 4 μιασ πλόρησ ςτροφόσ, δηλαδό ύςη με 90 μιασ πλόρησ ςτροφόσ, δηλαδό ύςη 1 2 μιασ ευθεύασ γωνύασ και το Οξεία γωνία: Εύναι γωνύα μικρότερη από την ορθό γωνύα. Αμβλεία γωνία: Εύναι γωνύα μεγαλύτερη από την ορθό γωνύα και μικρότερη από την ευθεύα γωνύα. Ανακλαςτική γωνία: Εύναι γωνύα μεγαλύτερη από την ευθεύα γωνύα, αλλϊ μικρότερη από την πλόρη ςτροφό. Οι προαναφερθϋντεσ οριςμού δύνονται με τον ύδιο τρόπο και ςτα βιβλύα του Legendre. Κύκλοσ: ονομϊζεται το επύπεδο το οπούο ορύζεται από μια καμπύλη γραμμό η οπούα λϋγεται περύμετροσ κύκλου και όλεσ οι ευθεύεσ γραμμϋσ που ξεκινούν από ϋνα ςυγκεκριμϋνο ςημεύο μϋςα ςτο κύκλο και καταλόγουν ςτην περύμετρο εύναι ύςεσ. Το ςημεύο αυτό λϋγεται κϋντρο του κύκλου και οι ευθεύεσ γραμμϋσ που ξεκινούν από το κϋντρο του κύκλου και καταλόγουν ςτην περύμετρο λϋγονται ακτύνεσ του κύκλου. Τον ύδιο οριςμό δύνει και ο Legendre. Συγκεκριμϋνα αναφϋρει «Ενύοτε εισ την ομιλύα ςυγχϋομαι τον κύκλο με την περιφϋρεια του, αλλϊ ευκόλωσ δυνϊμεθα να αποφεύγαμε την ςύγχυςη αυτόν και να αντικαθιςτϊμε την ακρύβεια των εκφρϊςεων, ενθυμούμενοι ότι ο κύκλοσ εύναι επιφϊνεια αφού ϋχει μόκοσ και πλϊτοσ, ενώ η περιφϋρεια εύναι γραμμό (Η περιφϋρεια εύναι η γραμμό τησ καμπύλησ τησ οπούασ όλα τα ςημεύα ιςϊκισ απϋχουν από ϋνα εντόσ αυτόσ ςημεύο καλούμενο ωσ κϋντρο)». Χορδή: εύναι μια ευθεύα γραμμό η οπούα ενώνει οποιαδόποτε δύο ςημεύα ςτην περύμετρο του κύκλου. Ο Legendre ορύζει τη χορδό ωσ «μια ευθεύα γραμμό η οπούα ενώνει τα δυο ϊκρα του τόξου» Διάμετροσ: εύναι η χορδό η οπούα περνϊ από το κϋντρο του κύκλου. Σόξο: ονομϊζεται οποιοδόποτε μϋροσ τησ περιμϋτρου. Οι δυο αυτού οριςμού δύνονται με τον ύδιο απλό τρόπο και από τον Legendre. Απόδειξη του τύπου: E ύ r 2 κατϊ A.Walker και G.P. McNicol 12 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

27 Η Γεωμετρύα του Legendre Η απόδειξη που ακολουθεύ ο Legendre εύναι διαφορετικό από αυτό των A.Walker και G.P. McNicol. Η προςϋγγιςη του, εύναι η ακόλουθη: Στη διπλανό εικόνα ϋχουμε ϋνα κύκλο χωριςμϋνο ςε 16 ύςα μϋρη. Κόβουμε το κϊθε κομματϊκι και τα τοποθετούμε το ϋνα δύπλα ςτο ϊλλο. Το ςχόμα που παύρνουμε μοιϊζει με ορθογώνιο με πλϊτοσ ύςο με r και μόκοσ ύςο με πr. E = ύ E = βϊςη x ύψοσ= r x ί 1 2 περιμϋτρου= r x πr = π Θεώρημα: Το εμβαδόν του κύκλου ιςούται με το γινόμενο τησ περιφϋρειασ επύ το όμιςυ τησ ακτύνασ. Απόδειξη: (Λόγω τησ πολυπλοκότητασ τησ απόδειξόσ απλϊ περιγρϊφουμε τη μϋθοδο που ακολουθεύται) Ο Legendre υποθϋτει πωσ το εμβαδόν του κύκλου δεν ιςούται με το γινόμενο τησ περιφϋρειασ επύ το όμιςυ τησ ακτύνασ. Έτςι αν η ποςότητα αυτό δεν εύναι ύςη με το εμβαδόν του κύκλου ϋπεται ότι η ποςότητα αυτό εύναι ύςη με το μϋτρο εύτε μεγαλύτερου εύτε μικρότερου κύκλου. Πρώτα υποθϋτει ότι εύναι ύςη με το μϋτρο μεγαλύτερου κύκλου όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα και εγγρϊφοντασ πολύγωνα καταλόγει ςε ϊτοπον. Κϊνει το ύδιο υποθϋτοντασ ότι εύναι ύςη με το μϋτρο μικρότερου κύκλου όπου πϊλι καταλόγει ςε ϊτοπον. Και ϊρα το εμβαδόν του κύκλου ιςούται με το γινόμενο τησ περιφϋρειασ επύ το όμιςυ τησ ακτύνασ. Μια απόδειξη που παρουςιϊζεται ςτο βιβλύο του Legendre και δεν αναφϋρεται από τουσ A.Walker και George P. McNicol εύναι η εξόσ: Θεώρημα: Κϊθε διϊμετροσ ΑΒ διαιρεύ τον κύκλο και την περιφϋρεια του ςε δυο ύςα μϋρη. Απόδειξη: Αν εφαρμόςουμε το ςχόμα AEB ςτο AΖB με κοινό βϊςη τότε θα ςυμπϋςουν, αλλιώσ θα υπόρχαν ςτο ϋνα ό ςτο ϊλλο ςχόμα ςημεύα που δεν θα απϋχουν ύςα από το κϋντρο, κϊτι που αντιβαύνει με τον οριςμό του κύκλου. Σο τρίγωνο: ϋχει ϋξι ςτοιχεύα, τρεισ πλευρϋσ και τρεισ γωνύεσ. Κατϊ το Legendre «Το πολύγωνον εκ τριών πλευρών εύναι το απλούςτερον απο όλα και ονομϊζεται τρύγωνο» Θεώρημα: Το Άθροιςμα των γωνιών τριγώνου εύναι 180. Οι ςυγγραφεύσ ςτο βιβλύο τουσ με τη χρόςη του μοιρογνωμονύου διατυπώνουν ότι το ϊθροιςμα των γωνιών τριγώνου εύναι ύςο με 180. Ακολούθωσ, δύνουν την παρακϊτω καταςκευαςτικό απόδειξη: r 2 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 13

28 Α. Γαγάηζης, Γ. Παπατριζηοδούλοσ & Ά. Χαηζηγεωργίοσ Το πιο πϊνω ςχόμα καταςκευϊζεται πϊνω ςε χαρτόνι ωσ εξόσ: AD εύναι κϊθετη ςτην BC. Ο μϋςο τησ AD, ΕΚ κϊθετη ςτην AD ΕΗ και KL εύναι κϊθετεσ ςτην BC Το τρύγωνο EBH εύναι διπλωμϋνο ςτην ΕΗ, το KCL ςτην KL και το AEK ςτην EK. Έτςι δημιουργεύται το HLKE. Οι γωνύεσ Α, Β και C εύναι ύςεσ με τισ γωνύεσ EDK, EDB και KDC, ϊρα το ϊθροιςμϊ τουσ εύναι ύςο με δύο ορθϋσ γωνύεσ. Απόδειξη κατϊ Legendre: Λόγω τησ πολυπλοκότητασ τησ απόδειξησ του Legendre θεωρόςαμε καλό να την παρουςιϊςουμε ςτην πρωτότυπη τησ μορφό, όπωσ αυτό παρουςιϊζεται μεταφραςμϋνη από τον Ιωϊννη Καρανδηνό το 1829(12 η ϋκδοςη). Βιβλύο I. Γωνύεσ-Τρύγωνα-Παρϊλληλεσ Παράλληλεσ: εύναι οι ευθεύεσ γραμμϋσ οι οπούεσ βρύςκονται ςτο ύδιο επύπεδο και δε ςυναντιούνται, όςο και αν επεκταθούν και από τισ δύο πλευρϋσ (Ο Legendre ςυμφωνεύ με τον πιο πϊνω οριςμό). Όπωσ διαπιςτώνει κανεύσ διαβϊζοντασ το βιβλύο των Walker και McNicol, αποφεύγονται οι αλγεβρικϋσ αποδεύξεισ και οι αποδεύξεισ που χρηςιμοποιούν δε ςτηρύζονται τόςο ςε προηγούμενεσ προτϊςεισ, όπωσ αυτϋσ του Legendre. Πιο κϊτω δύνουμε δύο παραδεύγματα που υπϊρχουν ςτο βιβλύο Ι και τα οπούα καταδεικνύουν αυτό μασ την παρατόρηςη. 14 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

29 Η Γεωμετρύα του Legendre Πρόταςη 1 [Ι, 4] Αν δύο τρύγωνα ϋχουν δύο πλευρϋσ ύςεσ και τισ περιεχόμενεσ γωνύεσ ύςεσ, τότε τα τρύγωνα ιςούνται. Απόδειξη από τουσ Walker και McNicol : Ασ εύναι τα τρύγωνα ABC και DEH με AB=DE, AC=DH και Εφαρμόζουμε το ϋνα τρύγωνο πϊνω ςτο ϊλλο, ϋτςι ώςτε το Α να εύναι πϊνω από το D και η πλευρϊ AB πϊνω από την DE. Τότε ϋχουμε ότι AB=DE (δοςμϋνο), το ςημεύο Β εύναι ακριβώσ πϊνω από το Ε, (δοςμϋνο), η πλευρϊ AC βρύςκεται ακριβώσ πϊνω από την DH, AC=DH (δοςμϋνο) και το C βρύςκεται ακριβώσ πϊνω ςτο Η. Άρα αποδεύξαμε ότι Β εύναι ακριβώσ πϊνω από το Ε και C βρύςκεται ακριβώσ πϊνω ςτο Η. Άρα BC ςυμπύπτει με την EH. Τότε το τρύγωνο ABC ςυμπύπτει με το τρύγωνο DEH, δηλαδό ABC=DEH. Απόδειξη από Legendre: Εύναι ύδια με την απόδειξη που δύνουν οι Walker και McNicol: 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 15

30 Α. Γαγάηζης, Γ. Παπατριζηοδούλοσ & Ά. Χαηζηγεωργίοσ «Έςτω η πλευρϊ ΑΒ ύςη με την πλευρϊ ΔΕ, η πλευρϊ ΑΓ ύςη με την πλευρϊ ΔΖ, η γωνύα Α ύςη με την γωνύα Δ, λϋγω ότι τα τρύγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ θϋλουν εύναι ύςα. Αυτό διότι το ϋνα τρύγωνον δύναται να τεθό επύ του ϊλλου ωσ εντελώσ να εφαρμόςει με αυτό. Και κατϊ πρώτον εϊν η πλευρϊ ΔΕ τεθό επύ τησ ύςησ ΑΒ, το ςημεύο Δ θϋλει πϋςει εισ το Λ και το Ε εισ το Β αλλϊ επειδό η γωνύα Δ εύναι ύςη με την γωνύα Λ, αφού η πλευρϊ ΔΕ τεθό επύ τησ ΑΒ η πλευρϊ ΔΖ θϋλει λϊβει την διεύθυνςη τησ ΑΓ. Επιπλϋον ΔΖ εύναι ύςη με την ΑΓ λοιπόν το ςημεύο Ζ θϋλει πϋςει εισ ο Γ και η τρύτη πλευρϊ ΕΖ θϋλει εφαρμόςει ακριβώσ με την τρύτη πλευρϊ ΒΓ, λοιπόν το τρύγωνο ΔΕΖ εύναι ύςο με το τρύγωνο ΑΒΓ αξ 5». 16 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

31 Η Γεωμετρύα του Legendre Πρόταςη 4 [, 8] Αν δύο τρύγωνα ϋχουν και τισ τρεισ πλευρϋσ ύςεσ, τότε τα τρύγωνα εύναι ύςα. Απόδειξη από τουσ Walker και McNicol : Ασ εύναι τα τρύγωνα ABC και DEH με AB=DE, BC=EH και CA=HD. Εφαρμόζουμε το ϋνα τρύγωνο πϊνω ςτο ϊλλο, ϋτςι ώςτε το ςημεύο Β εύναι ακριβώσ πϊνω από το Ε, η BC βρύςκεται ακριβώσ πϊνω από την EH. BC=EH (δοςμϋνο) και C βρύςκεται ακριβώσ πϊνω ςτο Η. Ασ εύναι το ςημεύο Α να βρύςκεται ςτη πλευρϊ που εύναι η EH απϋναντι από το ςημεύο D. Ασ εύναι το τρύγωνο EKH η νϋα θϋςη του τριγώνου ABC. Ενώνουμε τα ςημεύα D και K και παύρνουμε την ευθεύα DK. Τότε EDK=EKD. Επύςησ HDK=HKD. EDK + HDK = EKD + HKD. Άρα EDH=EKH και η γωνύα EDH=A. Συγκρύνοντασ τα τρύγωνα ABC και DEH ϋχουμε ότι (1) AB=DE (δοςμϋνο) (2) AC=EDH (δοςμϋνο) (3) A=EDH (αποδεύχτηκε) ABC = DEH (ϋχουν δύο πλευρϋσ και την περιεχόμενη γωνύα ύςεσ) Απόδειξη από Legendre: Βαςύζεται ςτην απόδειξη του προηγούμενου θεωρόματοσ: «Έςτω η πλευρϊ ΑΒ=ΔΕ, ΑΓ=ΔΖ, ΒΓ=ΕΖ λόγω του ότι θϋλουμε ϋχει την γωνύα Α=Δ, Β=Ε, Γ=Ζ. Διότι εϊν η γωνύα Α όταν μεγαλύτερη τησ γωνύασ Δ, επειδό οι πλευρϋσ ΑΒ, ΑΓ εύναι ύςεσ με τισ πλευρϋσ ΔΕ, ΔΖ η κϊθε μια με την κϊθε μιαν, ηθϋλιν ακολουθόςει κατϊ το προλϊβον θεώρημα, ότι η πλευρϊ ΒΓ εύναι μεγαλύτερη τησ ΕΖ. Εϊν δε η γωνύα Α όταν μικρότερα τησ γωνύασ Δ, όθελεν ακολουθόςει ότι η πλευρϊ ΒΓ εύναι μικροτϋρα τησ ΕΖ, αλλϊ ΒΓ εύναι ύςη τη ΗΖ λοιπόν η γωνύα Α δε εύναι δυνατόν να εύναι ούτε μεγαλύτερη ούτε μικρότερη τησ γωνύασ Δ, λοιπόν εύναι ύςη με αυτόν. Παρομούωσ αποδεικνύεται ότι η γωνύα Β=Ε και η γωνύα Γ=Ζ» 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 17

32 Α. Γαγάηζης, Γ. Παπατριζηοδούλοσ & Ά. Χαηζηγεωργίοσ Βιβλύο ΙΙ. Επιφϊνεια Στο βιβλύο αυτό οι ςυγγραφεύσ επικεντρώνονται ςε καταςκευϋσ τριγώνων. Αξύζει να παρουςιϊςουμε τη μϋθοδο με την οπούα αποδεικνύουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Πυθαγόρειο Θεώρημα Απόδειξη: Το ηρίγωλο ABC έτεη ηελ γωλία Α ίζε κε 90. Σηης πιεσρές ΑΒ, BC θαη CA ζτεδηάδοσκε ηεηράγωλα BADE, BCML θαη ACHK. Φέροσκε από ηο Α ηελ AP παράιιειε κε ηελ BL, λα ζσλαληά ηελ LM ζηο P. Ελώλοσκε ηελ EC, AL. Απόδειξη από τουσ Walker και McNicol : Η γωνύα ΒΑC εύναι ορθό όπωσ επύςησ και η γωνύα BAD (γωνύα τετραγώνου). DA και AC ςχηματύζουν μια ευθεύα γραμμό. Συγκρύνοντασ τα τρύγωνα EBC και ABL ϋχουμε: α)εβ=αβ (πλευρϋσ τετραγώνου), β)bc=bl (πλευρϋσ τετραγώνου) και γ) C και A L (η κϊθε μια εύναι ορθό +A C). => EBC=ABL => = 2 x EBC και BP = 2 x ABL. Άρα το τετρϊγωνο BD = ορθογώνιο BP και το τετρϊγωνο CK = ορθογώνιο CP. Απόδειξη από Legendre: ό αλλιώσ. Το καταςκευαζόμενο τετρϊγωνο επύ τησ υποτεύνουςασ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου ιςούται με το ϊθροιςμα των τετραγώνων των καταςκευαζόμενων επύ των ϊλλων πλευρών. Απόδειξη: Η απόδειξη εύναι ύδια με των Walker και McNicol, αλλϊ αποφεύγοντασ τουσ ςυμβολιςμούσ. Βιβλύο ΙΙΙ. Ο κύκλοσ Στο βιβλύο ΙΙΙ οι ςυγγραφεύσ διατυπώνουν και αποδεικνύουν διϊφορεσ προτϊςεισ που ιςχύουν ςτο κύκλο. Παρακϊτω, ενδεικτικϊ, ςυγκρύνουμε μια απόδειξη από το βιβλύο με την αντύςτοιχη απόδειξη που υπϊρχει ςτο βιβλύο του Legendre. Πρόταςη 8 [, 15] Η διϊμετροσ εύναι η μεγαλύτερη χορδό ςε ϋνα κύκλο και από όλεσ τισ ϊλλεσ αυτό που εύναι πιο κοντϊ ςτο κϋντρο του κύκλου εύναι μεγαλύτερη από αυτϋσ που εύναι => 18 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

33 Η Γεωμετρύα του Legendre πιο μακριϊ (Πιο κϊτω θα δώςουμε μόνο την απόδειξη του πρώτου μϋρουσ τησ πρόταςησ). AB εύναι η μεγαλύτερη χορδό. Απόδειξη από Legendre: Ακριβώσ η ύδια απόδειξη δύνεται και από τον Legendre. AD < AC + CD = DC + CB = δ Βιβλύο IV. Ορθογώνια Απόδειξη από τουσ Walker και McNicol: Δύνεται AB η διϊμετροσ του κύκλου και CD χορδό του κύκλου. Από το ςχόμα OC+OD>CD (το ϊθροιςμα δύο πλευρών τριγώνου εύναι μεγαλύτερο από την τρύτη πλευρϊ) OC=OA, και OD=OB (ακτύνεσ κύκλου) OA + OB > CD, => AB > CD. Με τον ύδιο τρόπο AB εύναι μεγαλύτερη από οποιαδόποτε χορδό η οπούα δεν περνϊ από το O. Στο βιβλύο IV οι ςυγγραφεύσ αποδεικνύουν χρηςιμοποιώντασ γεωμετρύα με αλγεβρικϋσ ταυτότητεσ όπωσ εύναι για παρϊδειγμα: που θα αποδεύξουμε πιο κϊτω. Πρόταςη 4 [, 4] Εϊν ευθεύα γραμμό χωριςτεύ ςε δύο ϊνιςα μϋρη, το τετρϊγωνο τησ ευθεύασ γραμμόσ ιςούται με το ϊθροιςμα των τετραγώνων των δύο ϊνιςων μερών και δύο φορϋσ το εμβαδόν του ορθογωνύου που ςχηματύζεται με πλευρϋσ τα δύο ϊνιςα τμόματα. Απόδειξη από τουσ Walker και McNicol: Δύνεται η ευθεύα ΑΒ, η οπούα χωρύζεται ςε δύο ϊνιςα μϋρη, τα AC και CB. Από την καταςκευό, όπωσ φαύνεται πιο πϊνω, το τετρϊγωνο ABED= AB, ACOK= AC OLEH= OL CB KOHD=KO KD=AC CB, CBLO=CBC O=CB AC 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 19

34 Α. Γαγάηζης, Γ. Παπατριζηοδούλοσ & Ά. Χαηζηγεωργίοσ ημείωςη: Η ύδια απόδειξη υπϊρχει και ςτον Ευκλεύδη (2.4) Πρόταςη κατϊ Legendre: Εϊν γραμμό ΑΓ διαιρεθεύ ςε δυο μϋρη ΑΒ και ΒΓ, τότε το καταςκευαζόμενο τετρϊγωνο επύ τησ όλησ ΑΓ θϋλει περιϋχει το καταςκευαζόμενο τετρϊγωνο επύ του μϋρουσ ΑΒ, πλϋον το καταςκευαζόμενο επύ του ϊλλου μϋρουσ ΒΓ, πλϋον δισ το ορθογώνιο το περιεχόμενο υπό των δυο μερών ΑΒ, ΒΓ. Αυτό δε εκφρϊζεται ωσ: Απόδειξη από Legendre: Η απόδειξη που ακολουθεύ ο Legendre εύναι ύδια: Ασ καταςκευαςτεύ το τετρϊγωνο ΑΓΔΕ, ασ ληφθεύ ΑΖ=ΑΒ, ασ αχθεύ ΖΗ παρϊλληλοσ τησ ΑΓ και ΒΘ τησ ΑΒ. Με αυτό την καταςκευό, το τετρϊγωνο ΑΒΓΔ διαιρεύται ςε τϋςςερα μϋρη: το πρώτο ΑΒΙΖ εύναι το καταςκευαζόμενο τετρϊγωνο επύ τησ ΑΒ, επειδό ελόφθει ΑΖ=ΑΒ, το δεύτερο ΙΗΔΘ εύναι το καταςκευαζόμενο τετρϊγωνο επύ τησ ΒΓ, διότι επειδό ΑΓ=ΑΕ και ΑΒ=ΑΖ, η διαφορϊ ΑΓ-ΑΒ εύναι ύςη με την διαφορϊ ΑΕ-ΑΖ, εκ του οπούου ϋπεται ότι ΒΓ=ΕΖ, αλλϊ εξαιτύασ των παρϊλληλων ΙΗ=ΒΓ και ΔΗ=ΕΖ, λοιπόν ΘΙΗΔ ιςούται με το τετρϊγωνο τησ ΒΓ. Τα δυο ταύτα μϋρη αφαιρεθϋντα επύ το όλον τετρϊγωνο αφόνουν υπόλοιπο τα δύο ορθογώνια ΒΓΗΙ, ΕΖΙΘ που το κϊθε ϋνα ϋχει για μϋτρο, λοιπόν ϋτςι καταςκευϊζομε το τετρϊγωνων επύ τησ ΑΓ κτλ. ΣΧΟΛΙΟ: Η πρόταςη αυτό εύναι ύδια με την εισ την Άλγεβρα αποδεικνυόμενη δια των ςχημϊτων του τετραγώνου ενόσ διωνύμου και η οπούα εκφρϊζεται ωσ Βιβλύο V. Λόγοι και Αναλογύεσ Πρόταςη 6 [, 6] Εϊν δύο τρύγωνα ϋχουν μια γωνύα ύςη και οι πλευρϋσ τουσ εύναι ανϊλογεσ, τότε τα τρύγωνα λϋγονται όμοια. 20 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

35 Η Γεωμετρύα του Legendre Απόδειξη από τουσ Walker και McNicol: Δύδονται τα τρύγωνα ABC και DEH, τα οπούα ϋχουν τη γωνύα B=DEH και AB:DE=BC:EH. Στο Ε φτιϊχνουμε την ΗΕΚ=Β και ςτο Η την ΕΗΚ=C. K=A (ϊθροιςμϊ των γωνιών τριγώνου ιςούται με δύο ορθϋσ γωνύεσ). Άρα τα τρύγωνα ABC και KEH εύναι ιςογώνια. AB:EK=BC:EH, αλλϊ AB:DE=BC:EH(δοςμϋνο) DE=EK. Συγκρύνοντασ τα τρύγωνα DEH και KEH ϋχουμε, (1) DE=EK (αποδεύκτηκε) (2) EH εύναι κοινό πλευρϊ (3) DEH=KEH (εύναι ύςεσ γωνύεσ, η κϊθε μια ιςούται με τη Β) Το τρύγωνο DEH KEH (δύο πλευρϋσ και η περιεχόμενη γωνύα ύςεσ) η γωνύα Κ=D και οι γωνύεσ EHK=EHD ιςούνται, όμωσ K=A (όπωσ αποδεύξαμε) και οι γωνύεσ EHD=C ιςούνται όπωσ γνωρύζουμε από την καταςκευό. τα τρύγωνα ABC και DEH εύναι ιςογώνια και οι αντύςτοιχεσ πλευρϋσ τουσ ανϊλογεσ => όμοια. Απόδειξη από Legendre Έςτω γωνύα Α=Δ και ασ υποθϋςουμε ότι ϋχουμε τότε τα τρύγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ εύναι όμοια. Ασ πϊρουμε ΑΗ=ΔΕ και ασ φϋρουμε την ΗΘ παρϊλληλη τησ ΒΓ, η γωνύα ΑΗΘ θϋλει εύναι ύςη με την ΑΒΓ (εντόσ εκτόσ επύ τα αυτϊ) ) και το τρύγωνο ΑΗΘ ιςογώνιο με το ΑΒΓ(ϊρα όμοια πρ ΙΗ ). Θϋλουμε να ϋχει λοιπόν, αλλϊ από την υπόθεςη και από την καταςκευό ΑΗ=ΔΕ ϋτςι ΑΘ=ΔΖ. Τα δυο τρύγωνα ΑΗΘ και ΔΕΖ ϋχουν, λοιπόν, μια γωνύα ύςη και τη περιεχόμενη γωνύα μεταξύ πλευρών ύςων ϊρα εύναι ύςα. Τώρα το τρύγωνο ΑΗΘ εύναι όμοιο με το ΑΒΓ, ϋτςι λοιπόν ΔΕΖ εύναι επύςησ όμοιο με το ΑΒΓ. ΤΜΠΕΡΑΜΑΣΑ ΕΠΙΛΟΓΟ Μϋςα από τη μελϋτη των δύο βιβλύων που ϋχουμε κϊνει, διαπιςτώςαμε πωσ οι Walker και McNicol δεν ακολουθούν τα «Στοιχεύα» του Ευκλεύδη. Εύναι εμφανϋσ πωσ ϋχουν επηρεαςτεύ ςε μεγϊλο βαθμό από τον Legendre και αυτό φαύνεται από 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 21

36 Α. Γαγάηζης, Γ. Παπατριζηοδούλοσ & Ά. Χαηζηγεωργίοσ τισ πολλϋσ ομοιότητεσ που ϋχουμε διακρύνει. Πρώτα παρατηρόςαμε μια ςαφό ομοιότητα ωσ προσ το ύφοσ και το ςτιλ με το οπούο γρϊφουν. Εύναι απλό, ςαφϋσ και εύκολα κατανοητό ακόμα και ςε ϊτομα που δεν αςχολούνται με τα μαθηματικϊ. Αυτό η απλότητα με την οπούα γύνεται η παρουςύαςη των οριςμών, των προτϊςεων και θεωρημϊτων, καθώσ επύςησ και των αποδεύξεων αυτών, κατορθώνεται μϋςω ςυμβόλων, εύκολων ςχημϊτων και μϋςω ενόσ απλοώκού τρόπου ςκϋψησ. Εύναι αναμφιςβότητο πωσ αυτϋσ οι μϋθοδοι ϋχουν παρατηρηθεύ πρώτα ςτα ςυγγρϊμματα του Legendre. Πιο ςυγκεκριμϋνα ςτην ειςαγωγό και των δυο βιβλύων δύνονται θεμελιώδεισ οριςμού, όπωσ εύναι αυτού τησ ευθεύασ, του ςημεύου, του επιπϋδου κ.λπ., με τρόπο λυτό και ταυτόχρονα ςαφϋσ. Στουσ περιςςότερουσ από αυτούσ τουσ οριςμούσ οι ςυγγραφεύσ ςυμφωνούν, υπϊρχουν όμωσ και περιπτώςεισ ςτουσ οπούουσ οι οριςμού που δύνει ο Legendre εύναι πιο πλόρεισ. Αυτό που αξύζει να ςημειώςουμε εύναι πωσ ςε οριςμϋνεσ περιπτώςεισ οι οριςμού που δύνονται δεν εύναι καλϊ οριςμϋνοι, δηλαδό χρηςιμοποιούνται ςτουσ οριςμούσ ϋννοιεσ που δεν ϋχουν προηγουμϋνωσ οριςτεύ., κϊτι που παρατηρεύται και ςτο βιβλύο του Legendre. Ένα παρϊδειγμα εύναι ο οριςμόσ που δύνεται για τη Γεωμετρύα: «Η γεωμετρύα αςχολεύται με τα ςτερεϊ, τισ επιφϊνειεσ, τισ γραμμϋσ και τα ςημεύα». Τα ςτερεϊ, την επιφϊνεια, τισ γραμμϋσ και τα ςημεύα δεν τα ϋχουν ορύςει προηγουμϋνωσ. Σε αυτό την περύπτωςη, πληρϋςτεροσ εύναι ο οριςμόσ που δύνει ο Legendre: «Η Γεωμετρύα εύναι η επιςτόμη που το αντικεύμενο τησ εύναι η καταμϋτρηςη τησ εκτϊςεωσ. Η ϋκταςησ ϋχει τρεισ διαςτϊςεισ, μόκοσ, πλϊτοσ και ύψοσ». Όπωσ διαπιςτώνει κανεύσ διαβϊζοντασ τα δύο βιβλύα, καθώσ επύςησ και μϋςα από τα παραδεύγματα που παραθϋτουμε πιο πϊνω, οι αποδεύξεισ που δύνει ο Legendre ςτο βιβλύο εύναι πιο αυςτηρϋσ από αυτϋσ που δύνουν οι Walker και McNicol. Οι δεύτεροι ςε αρκετϋσ περιπτώςεισ χρηςιμοποιούν τισ καταςκευϋσ ωσ μϋςο απόδειξησ θεωρημϊτων και προτϊςεων. Έχει παρατηρηθεύ πωσ οι Walker και McNicol επιθυμούν να ειςϊγουν απλϋσ αποδεύξεισ και πολλϋσ εφαρμογϋσ, οι οπούεσ δε ςτηρύζονται τόςο ςε προηγούμενεσ προτϊςεισ ό οριςμούσ. Αντύθετα, ο Legendre δύνει αποδεύξεισ όπου εύτε χρηςιμοποιεύ προτϊςεισ των οπούων ϋχει προηγηθεύ η απόδειξη, εύτε χρηςιμοποιεύ τουσ οριςμούσ που ειςϊγει ςτην αρχό του κϊθε κεφαλαύου. Παραδεύγματα που επιβεβαιώνουν τα προαναφερθϋντα εύναι οι αποδεύξεισ που παρουςιϊςαμε πιο πϊνω για την ιςότητα τριγώνων. Χαρακτηριςτικό, επύςησ, παρϊδειγμα εύναι η απόδειξη τησ πρόταςησ «το ϊθροιςμα των γωνιών ενόσ τριγώνου εύναι 180 μούρεσ» ςτην οπούα οι Walker και McNicol παραθϋτουν μια πρωτότυπη, εύκολα κατανοητό, καταςκευαςτικό απόδειξη, η οπούα δε ςτηρύζεται ςε προηγούμενεσ προτϊςεισ ό ιδιότητεσ. Αντύθετα με την απόδειξη που προτεύνει ο Legendre, η οπούα εύναι μεν πιο αυςτηρό αλλϊ εύναι ταυτόχρονα πολύπλοκη, ςτηρύζεται ςε ϋνα δύςκολο ςχόμα και βαςύζεται ςε προηγούμενεσ προτϊςεισ. Μϋςω εφαρμογών, καταςκευαςτικών και διαιςθητικών, θα λϋγαμε, αποδεύξεων, οι δυο ςυγγραφεύσ προςπαθούν να πρωτοτυπόςουν και επύςησ 22 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

37 Η Γεωμετρύα του Legendre προςπαθούν και αυτού με τη ςειρϊ τουσ να παρουςιϊςουν με όςο το δυνατό πιο απλοώκό τρόπο τη Γεωμετρύα ςτουσ μαθητϋσ, αφού το βιβλύο απευθύνεται και ςε αυτούσ. Βιβλιογραφία Γαγϊτςησ, Α. (1993). Στοιχεύα Ιςτορύασ τησ Μαθηματικόσ Εκπαύδευςησ. Θεςςαλονύκη: Αριςτοτϋλειο Πανεπιςτόμιο Θεςςαλονύκησ. Γαγϊτςησ, A. (1991). Θϋματα Διδακτικόσ των Μαθηματικών. Θεςςαλονύκη: Εκδόςεισ Κυριακύδη. Γαγϊτςησ, Α, Δεληγιϊννη, Ε., Ηλύα, Ι., Μονογυιού, Α., Παναούρα, Α. (2008). Προβλόματα μϊθηςησ ςτα μαθηματικϊ κατϊ τη μετϊβαςη από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο. Λευκωςύα: Πανεπιςτόμιο Κύπρου. Legendre (1935). Στοιχεύα Γεωμετρύασ του Legendre. Ένα βιβλύο μεταφραςμϋνο από τον Ιωϊννη Καρανδηνό ςτην Κϋρκυρα το 1829 (12 η ϋκδοςη). Walker, Α & McNicol, G.P (1948). A School Geometry. Χαρύτοσ, X. (1990). Δοκύμιο για την Ιςτορύα τησ Ιςτορύασ τησ Νεοελληνικόσ Εκπαύδευςησ. Σύγχρονη Εκπαύδευςη, 54, ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 23

38 24 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

39 ΙΣΟΡΙΑ ΣΗ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ 1 Αθανάςιοσ Γαγάτςησ, οφία άββα- Παπαγιάννη, Μαρία ολωμού-κύζα Σμήμα Επιςτημών τησ Αγωγήσ, Πανεπιςτήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργαςύα αυτό δύνει μια ςφαιρικό εικόνα τησ Γεωμετρύασ όπωσ παρουςιϊζεται μϋςα από το βιβλύο του Υρανκ Μπαρϋλ. Αναφϋρονται διϊφορεσ γεωμετρικϋσ ϋννοιεσ, οριςμού και θεωρόματα και δύνονται οι αντύςτοιχεσ αποδεύξεισ. Γύνεται ςυςχϋτιςη και ςύγκριςη με αντύςτοιχεσ γεωμετρικϋσ ϋννοιεσ και αποδεύξεισ που δύνουν ϊλλοι ιςτορικού μαθηματικού (Ευκλεύδησ, Legendre, Δημητριϊδησ, Κορϋσ). Μϋςα από αυτό τη ςύγκριςη διαφαύνεται η πορεύα και η εξϋλιξη τησ Γεωμετρύασ μϋχρι και ςόμερα, όπωσ παρουςιϊζονται οι ςυγκεκριμϋνεσ γεωμετρικϋσ ϋννοιεσ ςτα ςχολικϊ εγχειρύδια. κοπόσ τησ εργαςύασ εύναι να γύνει αντιληπτό η ιδιαιτερότητα του μαθόματοσ τησ Γεωμετρύασ και ϋτςι να αντιμετωπύζεται από κϊθε εκπαιδευτικό με ςοβαρότητα. ΕΙΑΓΩΓΗ Η Ιςτορύα των Μαθηματικών μπορεύ να χρηςιμοποιηθεύ με διϊφορουσ τρϐπουσ, απϐ τουσ οπούουσ μερικού δεν ϋχουν ςχϋςη με προςδιοριςμϐ εμποδύων και πειραματικϋσ μελϋτεσ. Αυτϐ ϐμωσ δε ςημαύνει ϐτι η απλό αναφορϊ τησ λϋξησ «Ιςτορύα» θα λϑςει ϐλα τα προβλόματα των καθηγητών, που θα μποροϑν πια να διδϊςκουν ϐλα ςε ϐλουσ. Τπϊρχει, ϐμωσ, και κακό χρόςη τησ Ιςτορύασ. Γι αυτϐ, παρακϊτω παρουςιϊζονται μερικϋσ απϐψεισ για τη χρόςη τησ Ιςτορύασ των Μαθηματικών (Γαγϊτςησ, 1991; Γαγϊτςησ, Δεληγιϊννη, Ηλύα, Μονογυιοϑ & Παναοϑρα, 2008). Οι A. Arcavi M. Bruckheimer, ερευνητϋσ του Weizman Institute of Science του Ιςραόλ, αναφϋρουν ϐτι οι γενικού ςκοπού μιασ τϋτοιασ προςϋγγιςησ προσ την Ιςτορύα των Μαθηματικών εύναι (ΘωμαϏδησ, 1990): Να βελτιώςει τισ μαθηματικϋσ γνώςεισ των καθηγητών ςε θϋματα που περιϋχονται ςτο αναλυτικϐ πρϐγραμμα, με τρϐπο που να παρακινεύ τον καθηγητό να επανεξετϊςει ζητόματα που εύχαν γύνει αντικεύμενο μελϋτησ ςτο παρελθϐν, αλλϊ δεν εύχαν κατανοηθεύ τϋλεια. 1 Ζ εξγαζία απηή ζρεηίδεηαη κε ην ππό έθδνζε βηβιίν «Σηνηρεία Ιζηνξίαο ηεο Μαζεκαηηθήο Παηδείαο ζηελ Κύπξν από ην 1878 σο ην 1960», ην νπνίν εθπνλήζεθε ζηα πιαίζηα ηνπ νκώλπκνπ Πξνγξάκκαηνο ηνπ Κέληξνπ επηζηεκνληθώλ εξεπλώλ ηνπ Υπνπξγείνπ Παηδείαο θαη Πνιηηηζκνύ. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 25

40 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα Να εμπλουτύςει το μαθηματικϐ υπϐβαθρο των καθηγητών ςε θϋματα του αναλυτικοϑ προγρϊμματοσ. Να δώςει ευκαιρύεσ για ςυζότηςη ςχετικών διδακτικών μεθϐδων και εξϋταςό τουσ, ςε ςχϋςη με τα καθαρϊ Μαθηματικϊ των αντύςτοιχων θεμϊτων. Να δημιουργόςει μια εϑλογη εικϐνα των Μαθηματικών και τησ μαθηματικόσ δραςτηριϐτητασ ωσ ανθρώπινησ προςπϊθειασ. Ιδιαύτερα, να δημιουργόςει μια ςυναύςθηςη τησ ιςτορύασ των θεμϊτων που περιϋχονται ςτο αναλυτικϐ πρϐγραμμα. Η Lucia Grugnetti (Bazzini & Steiner, 1989) απϐ το Σμόμα Μαθηματικών του Πανεπιςτημύου Cagliari τησ Ιταλύασ, ςτο ϊρθρο τησ «Ο ρόλοσ τησ Ιςτορύασ των Μαθηματικών ςε μια διεπιςτημονικό προςϋγγιςη τησ διδαςκαλύασ των Μαθηματικών», προτεύνει: Να εκπαιδευτοϑν κατϊλληλα οι δϊςκαλοι και οι καθηγητϋσ. Να γύνει ςτα ςχολεύα μια ιςτορικό προςϋγγιςη των μαθηματικών. Να ακολουθόςουμε την πορεύα ςκϋψησ των γνωςτών Μαθηματικών τησ Ιςτορύασ, τουσ ενδοιαςμοϑσ και την πρϐοδϐ τουσ. Να αναπτυχθεύ μια διεπιςτημονικό μελϋτη. Δϑο τρϐποι διδαςκαλύασ εύναι: α) να δουλεϑουν πολλού δϊςκαλοι διαφϐρων ειδικοτότων μαζύ πϊνω ςτην ύδια ιςτορικό περύοδο και β) να διδϊςκουν πολλού δϊςκαλοι διαφϐρων ειδικοτότων μαζύ το ύδιο διδακτικϐ κεφϊλαιο. Οι μϋθοδοι αυτού προτεύνονται ειδικϊ για τη μελϋτη τησ εποχόσ του Μεςαύωνα ςτην Ευρώπη και ςτο Ιςλϊμ. Να δειχθεύ η ανθρωπιςτικό ϊποψη των Μαθηματικών. Να μην «κομματιϊζουμε» τα διϊφορα θϋματα, γιατύ βρύςκονται ςτοιχεύα που τα ενώνουν ςτην ιςτορικό τουσ διϊςταςη. Ο Hans Georg Steiner (Bazzini & Steiner, 1989), του Ινςτιτοϑτου Διδακτικόσ του Bielefeld τησ Γερμανύασ, ςτο ϊρθρο του «χϋςεισ μεταξύ Ιςτορικό επιςτημολογικών μελετών και ϋρευνα ςτη Μαθηματικό Εκπαύδευςη» αναφϋρει: Σα Μαθηματικϊ για να ςυνειςφϋρουν ςτη γενικό μϐρφωςη πρϋπει να βαςύζονται ςτην κατανϐηςό τουσ ωσ κοινωνικοώςτορικϐ φαινϐμενο. Οι ϋννοιεσ πρϋπει να παρουςιϊζονται ϐχι ωσ δεδομϋνα αναλλούωτα, αλλϊ ωσ ςυςτατικϊ που μποροϑν να οδηγόςουν ςε δυναμικϋσ αλλαγϋσ και ανϊπτυξη. Ο δϊςκαλοσ χρειϊζεται να κατϋχει τη γνώςη πϊνω ςτη γνώςη, τη «μεταγνώςη» Φρειϊζεται να θεμελιωθοϑν κοινϋσ διαδικαςύεσ μϊθηςησ και διδαςκαλύασ απϐ τουσ Ιςτορικοϑσ και τουσ Παιδαγωγοϑσ. Θα πρϋπει η Υιλοςοφύα και η επιςτημολογύα των Μαθηματικών να ςυνδϋουν την ιςτορύα των Μαθηματικών με την ϋρευνα ςτη μαθηματικό παιδεύα. 26 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

41 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ Η επιςτημολογύα να εύναι περιγραφικό και εμπειρικό και να αςχολεύται με τον τρϐπο που καταςκευϊςτηκαν και χρηςιμοποιόθηκαν τα μαθηματικϊ απϐ τουσ ανθρώπουσ. Επύςησ, να γύνει επεξεργαςύα τησ επιςτημολογύασ των ςχολικών μαθηματικών Για να καταλϊβουμε καλϑτερα την ατομικό και ςυλλογικό διαδικαςύα μϊθηςησ ςτο ςχολεύο, πρϋπει να μελετόςουμε τισ ςυλλογικϋσ διαδικαςύεσ μϊθηςησ ςτην Ιςτορύα των Μαθηματικών. Ο Horst Struve (Bazzini & Steiner, 1989), του εμιναρύου Διδακτικόσ των Μαθηματικών τησ Κολωνύασ τησ Γερμανύασ, ςτο ϊρθρο του «Η ςχϋςη των διερευνόςεων τησ Ιςτορικόσ ανϊπτυξησ των Μαθηματικών θεωριών για τη διδαςκαλύα αυτών των θεωριών», αναφϋρει: Πρϋπει να μελετόςουμε την Ιςτορύα των Μαθηματικών, γιατύ τα προβλόματα που εμφανύςτηκαν εύναι παρϐμοια με αυτϊ που αντιμετωπύζουν οι μαθητϋσ μασ. Η ςχϋςη τησ ιςτορικόσ ϋρευνασ με τη ςϑγχρονη εκπαύδευςη χαρακτηρύζεται απϐ την «εξύςωςη»: φυλογϋνεςη = οντογϋνεςη. Σα προβλόματα των μαθητών για πολλϋσ ϋννοιεσ εύναι επιςτημολογικϊ, και οφεύλονται ςτη «φϑςη» αυτών των εννοιών. Η Marta Menghini (Bazzini & Steiner, 1989), του Σμόματοσ Μαθηματικών τησ Ρώμησ τησ Ιταλύασ, ςτο ϊρθρο τησ «Μερικϋσ παρατηρόςεισ για τη διδακτικό χρόςη τησ Ιςτορύασ των Μαθηματικών», προτεύνει: Να χρηςιμοποιοϑμε την Ιςτορύα των Μαθηματικών για την αποςαφόνιςη μιασ ϋννοιασ. Δεν πρϋπει να επιβϊλλουμε μια ϋννοια, μια θεωρύα, ϋναν τρϐπο, αλλϊ να τα εξηγοϑμε. Δε χρειϊζεται να κϊνουμε μια ακριβό ιςτορικό αναδρομό (με ονϐματα, ακριβεύσ ημερομηνύεσ κλπ.), παρϊ μϐνο να ακολουθόςουμε την ιςτορικό εμφϊνιςη τησ ϋννοιασ, τησ θεωρύασ κλπ. Να προωθοϑμε τη διεπιςτημονικϐτητα με ςκοπϐ να δεύξουμε πωσ πολλϋσ επιςτόμεσ μαζύ ςχηματύζουν ϋνα κλϊδο γνώςεων. Η E. Barbin (ΘωμαϏδησ, 1990), ερευνότρια του IREM, του Πανεπιςτημύου Maine τησ Γαλλύασ, ςτην ειςόγηςό τησ για τισ ςχϋςεισ ανϊμεςα ςτην Ιςτορύα και την Παιδαγωγικό των Μαθηματικών ςτο 6 ο I.C.M.E. ςτη Βουδαπϋςτη, αναφϋρει: Η Ιςτορύα των Μαθηματικών εύναι μια μορφό «θεραπεύασ» του δογματιςμοϑ ςτη διδαςκαλύα των Μαθηματικών. Η ιςτορύα μασ βοηθϊ να ςυλλϊβουμε τη ςημαςύα και το νϐημα των μαθηματικών εννοιών και θεωριών. Η Ιςτορύα των Μαθηματικών μασ δύνει τη δυνατϐτητα να μελετόςουμε την επιςτημονικό, φιλοςοφικό, πολιτιςμικό και κοινωνικό ςυγκυρύα, μϋςα ςτην οπούα ϋγινε η επεξεργαςύα τησ μαθηματικόσ γνώςησ. Ο Hans Niels Jahnke (Bazzini & Steiner, 1990), του Ινςτιτοϑτου Διδακτικόσ των 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 27

42 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα Μαθηματικών του Bielefeld τησ Γερμανύασ, ςτο ϊρθρο του «Μαθηματικϊ και ςυςτηματικό ςκϋψη: μια ιςτορικό ςημεύωςη ςε ϋνα οξύ πρόβλημα», αναφϋρεται ςτη μεταρρϑθμιςη του 1810 ςτη Γερμανύα και υποςτηρύζει ϐτι: Οι μαθητϋσ κατανοοϑν ϐταν μποροϑν να χρηςιμοποιόςουν λογικϊ αυτϊ που ϋχουν διδαχθεύ. Γι αυτϐ, πρϋπει να ϋχουν μια ςυνολικό ϊποψη τησ γνώςησ. Πρϋπει να διαθϋτουν ςυςτηματικϐ τρϐπο ςκϋψησ. Γι αυτϐ, ο ρϐλοσ του «ςυςτόματοσ» ςτη διδαςκαλύα των Μαθηματικών εύναι ςημαντικϐσ. Σο «ςϑςτημα» πρϋπει να ϋχει υψηλό εςωτερικό ομογϋνεια, ώςτε ϐποιοσ καταλϊβει το πρώτο βόμα μιασ θεωρύασ, να μπορεύ να καταλαβαύνει και τισ αρχϋσ που διϋπουν αυτό τη θεωρύα. Σα ςυςτόματα δεν μποροϑν να διδαχθοϑν, γιατύ η περιγραφό τουσ χρειϊζεται γνώςη των ςτοιχεύων τουσ και η περιγραφό των ςτοιχεύων τουσ χρειϊζεται γνώςη του ςυςτόματοσ. Η χρόςη του ςυςτόματοσ αποτελεύ αρχό οργϊνωςησ των θεμϊτων, που για την καταςκευό του ςχολικοϑ προγρϊμματοσ πρϋπει να μειωθεύ ςτο ελϊχιςτο. Αντύθετα, η ιδϋα του ςυςτόματοσ ωσ επιςτημολογικό αρχό εύναι απαραύτητη ςτη διδαςκαλύα των Μαθηματικών και ςε κϊθε διδαςκαλύα. ΣΟ ΒΙΒΛΙΟ O ςυγγραφϋασ του βιβλύου που μελετϊμε εύναι ο Υρανκ Μπαρϋλ. Τπόρξε μελετητόσ ςτο Pembroke Collage, Cambridge, Καθηγητόσ Υυςικών Επιςτημών ςτο H.M.S Brittannia, ενώ ϐταν ϋγραψε το βιβλύο αυτϐ το 1903 όταν διδϊκτωρ ςτο University Collage, Bristol. ϑμφωνα με τα ϐςα αναφϋρει ςτον πρϐλογο του βιβλύου, η διδακτικό τησ Γεωμετρύασ πρϋπει να βαςύζεται ςε τρύα χαρακτηριςτικϊ: a. Προςεκτικό και ακριβόσ καταςκευό ϐλων των ςχημϊτων b. Απϐρριψη του μη αναγκαύου λεκτικοϑ μϋρουσ που εμφανύζεται ςυχνϊ ςτη διδαςκαλύα τησ Ευκλεύδειασ Γεωμετρύασ c. Αναγνώριςη του γεγονϐτοσ ϐτι τα δϑςκολα ςημεύα πρϋπει να αντιμετωπύζονται και να μην αποφεϑγονται. κοπϐσ τησ Γεωμετρύασ, ϐπωσ αναφϋρει ο Frank Barrell, εύναι η μελϋτη ςχημϊτων και μεγεθών. Κϊποια απϐ τα ςχόματα τησ καθημερινϐτητασ εύναι πολϑ πολϑπλοκα, γι αυτϐ και δεν αςχολεύται με αυτϊ ςτην ϋρευνϊ του. Η Γεωμετρύα διαχωρύζεται ςε δϑο μορφϋσ, την πρακτικό και τη θεωρητικό. Η πρακτικό Γεωμετρύα χρηςιμοποιεύται ςτο ςχεδιαςμϐ π.χ. απϐ μηχανικοϑσ, αρχιτϋκτονεσ κ.α. Η θεωρητικό μασ βοηθϊ να ανακαλϑψουμε ςχϋςεισ και ιδιϐτητεσ που διϋπουν τα γεωμετρικϊ ςχόματα. Μασ βοηθϊ ςτο να κατανοόςουμε γιατύ κϊποιεσ ποςϐτητεσ π.χ. γωνύεσ, εμβαδϊ, μόκη εύναι ύςα, χωρύσ να χρειαςτεύ να τα μετρόςουμε παρϊ μϐνο να τα αποδεύξουμε. Κυρύωσ, ϐμωσ, μασ βοηθϊ ςτο να αναπτϑξουμε τη λογικό μασ. O Legendre ςτο βιβλύο του δύνει ϋνα πιο ολοκληρωμϋνο οριςμϐ τησ γεωμετρύασ: «Η Γεωμετρύα εύναι η επιςτόμη που το αντικεύμενο τησ εύναι η 28 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

43 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ καταμϋτρηςη τησ εκτϊςεωσ. Η ϋκταςησ ϋχει τρεισ διαςτϊςεισ, μόκοσ, πλϊτοσ και ύψοσ». Η δομό των προτϊςεων ςτο βιβλύο αυτϐ βαςύζεται κυρύωσ ςτα αναλυτικϊ προγρϊμματα για τισ τοπικϋσ εξετϊςεισ του Cambridge και ςτισ προτϊςεισ του υμβουλύου του υνδϋςμου Μαθηματικών. Προτάςεισ Ευκλείδη Μϋςα απϐ το βιβλύο παρουςιϊζονται αρκετϋσ απϐ τισ προτϊςεισ του Ευκλεύδη με αναφορϊ ϐπωσ Ι.13, ΙΙ.5 κ.ο.κ.. Ο ςυγγραφϋασ, ϐμωσ, κατϊ την απϐδειξη τησ πρϐταςησ δύνει πϊντα μύα δικό του απϐδειξη, ενώ κϊποιεσ φορϋσ δύνει και μια ςϑνοψη τησ απϐδειξησ του Ευκλεύδη. Εδώ πρϋπει να αναφϋρουμε ϐτι ο Barrell δε δύνει την προϋλευςη των αποδεύξεων που παρουςιϊζει. ε αντύθεςη με τον Ευκλεύδη, ο Barrell επεξεργϊζεται αρχικϊ προτϊςεισ αποδεικτικϋσ και αφόνει ϐλεσ τισ προτϊςεισ καταςκευών ςτο τϋλοσ. Ο ύδιοσ ςχολιϊζει ϐτι μερικϋσ απϐ τισ προτϊςεισ του Ευκλεύδη περιϋχουν ωραύεσ και ακριβεύσ αποδεύξεισ που εύναι πολϑ γνωςτϋσ ςτουσ μαθηματικοϑσ και θα τισ χρηςιμοποιόςει και ο ύδιοσ. Κϊποιεσ ϐμωσ ϋχουν ελϊχιςτη πρακτικό ό θεωρητικό χρόςη και κϊποιεσ ϋχουν μη ικανοποιητικό απϐδειξη, ϋτςι δεν τισ παρουςιϊζει. τον παρακϊτω πύνακα παρουςιϊζονται τα περιεχϐμενα του βιβλύου που μελετϊμε: Ενϐτητα 1 Ι. Ειςαγωγό (οριςμού, προτϊςεισ, αξιώματα περύ γραμμών, γωνιών κϑκλων) ΙΙ. Περύ γωνιών και παραλλόλων ΙΙΙ. Περύ Σριγώνων IV. Παραλληλϐγραμμα και Εμβαδϐν V. Απλϋσ Καταςκευϋσ VI. Επιπρϐςθετεσ προτϊςεισ ςε Σρύγωνα. VII. Ορθογώνια Σρύγωνα Ενϐτητα 1. Μϋροσ 2 ο VIII. Κϑκλοι, ςχϋςεισ γωνιών ΙΦ. Εφαπτϐμενεσ Φ. Καταςκευϋσ ςε ςχϋςη με τον κϑκλο ΦΙ. Γεωμετρικϐσ τϐποσ Ενϐτητα 2 ΦΙΙ. Αλγεβρικϋσ ταυτϐτητεσ με γεωμετρικό απϐδειξη(α+β) ², (α-β)(α+β), (α+β)(γ+δ) 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 29

44 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα ΦΙΙΙ. Λϐγοι και Αναλογύεσ ΦΙV. Ιδιϐτητεσ Κϑκλου XV. Καταςκευϋσ πολυγώνων και κϑκλων με προϒποθϋςεισ ΦVI. Μϋγιςτα και ελϊχιςτα Ενϐτητα 3(τερεομετρύα) XVII. Γραμμϋσ και Επύπεδα ΦVIII. Πρύςματα Πυραμύδεσ ΦΙΦ. Επιφϊνεια και ϐγκοσ τερεοϑ ΦΦ. Γωνύεσ Επιπϋδων ΦΦΙ. φαύρα ημείο Σο ςημεύο ορύζεται απϐ τον Barrell ωσ η τομό δϑο γραμμών, Ακολοϑθωσ δύνει κϊποια ςχϐλια για το ςημεύο: «Υαντϊςου μια τελεύα πολύ μικρό, πιο μικρό από οτιδόποτε μπορεύσ να φανταςτεύσ, ακόμα και από μια τελεύα που φαύνεται μόνο ςτο μικροςκόπιο. Αυτό η τελεύα εύναι απεύρωσ μικρό και ονομϊζεται ςημεύο, δεν ϋχει μϋγεθοσ αλλϊ ϋχει θϋςη. Σο ςημεύο που γρϊφεται με ϋνα ςτυλό δεν εύναι γεωμετρικό ςημεύο, αφού ϋχει μϋγεθοσ, απλϊ λόγω του ότι πρϋπει να εύναι κϊτι που φαύνεται το ςχεδιϊζουμε ςαν μια τελεύα». Γραμμή Η γραμμό ορύζεται ωσ η τομό δϑο επιφανειών και τα ςχϐλια που δύνει για τη γραμμό εύναι ϐτι η γραμμό ϋχει μόκοσ, ϋχει θϋςη αλλϊ δεν ϋχει πλϊτοσ. Αναφϋρει, επύςησ, τισ πιο κϊτω εξηγόςεισ: 1) Υαντϊςου ϊπειρο αριθμό ςημεύων να εύναι κολλημϋνα το ϋνα με το ϊλλο, τότε το ςύνολο όλων αυτών των ςημεύων ονομϊζεται γραμμό. 2) Υαντϊςου το ύχνοσ που θα αφόνει ϋνα ςημεύο όταν μετακινεύται από μια θϋςη ςε μύα ϊλλη θϋςη, αυτό το ύχνοσ ονομϊζεται γραμμό. Επιφάνεια Για τον Barrell η επιφϊνεια ϋχει μόκοσ και πλϊτοσ, αλλϊ ϐχι πϊχοσ και δημιουργεύται ωσ εξόσ: 1) Υαντϊςου μια γραμμό που αφόνει μελϊνι, αν την μετακινόςεισ πλαγύωσ τότε θα δημιουργόςει ϋνα ςημϊδι που ϋχει μόκοσ και πλϊτοσ αλλϊ χωρύσ πϊχοσ. 2) Υαντϊςου ϊπειρο αριθμό γραμμών κολλημϋνεσ η μια δύπλα ςτην ϊλλη. Επύςησ δύνει τον οριςμϐ τησ επιφϊνειασ ωσ: «Σο όριο που διαχωρύζει το χώρο ςτο κομμϊτι που υπϊρχει ϋνα ςτερεό, από το κομμϊτι που δεν υπϊρχει το ςτερεό, ϋχει μόκοσ και πλϊτοσ αλλϊ δεν ϋχει πϊχοσ». Ο Δημητριϊδησ αναφϋρει την επιφϊνεια ωσ «το όριον των ςωμϊτων» και ο Κορϋσ λϋει για την επιφϊνεια «πϊντα τα εν ςυνόλω τα όρια τού ςώματοσ». Εύναι αντιληπτϐ ϐτι οι τρεισ οριςμού εύναι ιςοδϑναμοι, αφοϑ η επιφϊνεια καθορύζεται 30 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

45 απϐ τα ϐρια ενϐσ ςώματοσ. Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ Ο Legendre, απϐ την ϊλλη, αναφϋρει ϐτι: «Επιφϊνεια εύναι ότι ϋχει μόκοσ και πλϊτοσ, χωρύσ ύψοσ ό πϊχοσ». Επίπεδο το βιβλύο του Barrell το επύπεδο εύναι μια επιφϊνεια τϋτοια ώςτε, αν οποιαδόποτε δϑο ςημεύα τησ ενωθοϑν απϐ μια ευθεύα γραμμό, τϐτε η γραμμό βρύςκεται ολϐκληρη πϊνω ςτην επιφϊνεια. Σο διπλανϐ ςχόμα δεν εύναι επύπεδο. Ο Δαμαςκηνϐσ αναφϋρει ϐτι: «Επιφϊνειϊ τισ καλεύται επύπεδον, όταν όναι τοιαύτη ώςτε, εϊν ληφθώςιν επ αυτόσ δύο κατ αρϋςκειαν ςημεύα και ενωθώςι ταύτα δι ευθεύασ γραμμόσ, η ενόνουςα τα ςημεύα ταύτα ευθεύα να κόται ολόκληροσ επύ τόσ επιφανεύασ». Ο Κορϋσ δύνει τον οριςμϐ: «Πϊςα Γεωμετρικό επιφϊνεια δύναται να θεωρηθό παραγομϋνη υπό ευθεύασ ό καμπύλησ γραμμόσ, καλουμϋνησ γενετεύρασ, ότισ κινεύται εν τω διαςτόματι καθ ωριςμϋνην τινϊ ςυνθόκην. Κατϊ την ςυνθόκην ταύτην η γενϋτειρα δϋον να ςτηρύζηται επύ ωριςμϋνου ακινότου γραμμόσ, ότισ καλεύται οδηγόσ ό ιθύνουςα. Εκ τούτου βλϋπομεν ότι επύπεδόν τι δύναται να θεωρηθό παραγώμενον διϊ τησ κινόςεωσ γενετεύρασ ευθεύασ, ότισ, διερχομϋνη διϊ ςταθερού ςημεύου του διαςτόματοσ ςτηρύζηται διαρκώσ επύ ςταθερϊσ δεδομϋνησ ευθεύασ ωσ οδηγού». Ο Legendre αναφϋρει ϐτι: «Σο επύπεδο εύναι επιφϊνεια ςτην οπούα αν πϊρεισ δυο ςημεύα και τα ενώςεισ με μύα ευθεύα γραμμό, η ευθεύα αυτό γραμμό βρύςκεται ςε όλη την επιφϊνεια. Κϊθε επιφϊνεια που δεν εύναι επύπεδο, ό ςύνθεςη επιπϋδων επιφανειών, εύναι καμπύλη επιφϊνεια». Ευθεία γραμμή: Για τον Barrell μια γραμμό εύναι ευθεύα αν μποροϑμε να αντιγρϊψουμε ϋνα κομμϊτι τησ και το αντύγραφο μπορεύ να τοποθετηθεύ πϊνω ςτην αρχικό γραμμό με οποιοδόποτε τρϐπο, χωρύσ να μϋνει χώροσ μεταξϑ τησ γραμμόσ και του αντύγραφου. Μη ευθείεσ γραμμέσ Ο Ευκλεύδησ δύνει τον οριςμϐ: «Ευθεύα γραμμό εύναι αυτό η οπούα κεύται εξύςου προσ τα ςημεύα». την ουςύα αυτϐσ ο οριςμϐσ δεν ϋχει καμύα αξύα, αφοϑ ο οριςμϐσ πρϋπει να μασ αναφϋρει κϊποια ςτοιχεύα ϋτςι ώςτε να διαχωρύζουμε ϋνα αντικεύμενο απϐ τα υπϐλοιπα. Έτςι, ο οριςμϐσ αυτϐσ δε μασ βοηθϊ, αλλϊ αντιθϋτωσ κϊνει τα πρϊγματα πιο περύπλοκα. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 31

46 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα Επύςησ, εύναι γεγονϐσ ϐτι ευθεύα γραμμό εύναι η μικρϐτερη γραμμό μεταξϑ δϑο ςημεύων, αλλϊ αυτϐ δεν μπορεύ να θεωρηθεύ ςαν οριςμϐσ, αφοϑ δεν μποροϑμε να βροϑμε ποια εύναι η μικρϐτερη απϐςταςη μεταξϑ 2 ςημεύων αν πρώτα δεν εξετϊςουμε καθεμύα απϐ τισ ϊπειρεσ γραμμϋσ που ενώνουν δϑο ςημεύα. Ο Legendre αναφϋρει ϐτι: «α) Η γραμμό εύναι μόκοσ χωρύσ πλϊτοσ. Σα ϊκρα τησ γραμμόσ καλούνται ςημεύα: Σο ςημεύο δεν ϋχει ϋκταςη. β) Η ευθεύα γραμμό εύναι ο πλϋον ςύντομοσ δρόμοσ από ϋνα ςημεύο ςε ϋνα ϊλλον. γ) Κϊθε γραμμό που δεν εύναι ούτε ευθεύα ούτε ςύνθεςη από ευθεύεσ γραμμϋσ εύναι καμπύλη γραμμό.» Ιςότητα ευθειών: Ο Barrell αναφϋρει ότι δύο ευθεύεσ εύναι ύςεσ αν μπορούμε να τισ τοποθετόςουμε την μια πϊνω από την ϊλλη ϋτςι ώςτε να αρχύζουν και οι δύο από το ύδιο ςημεύο και να τελειώνουν ςτο ύδιο ςημεύο. Πρακτικό εφαρμογό: Με τη βοόθεια ενϐσ χϊρακα ςχεδιϊζουμε μια γραμμό ab ςτην ςυνϋχεια τοποθετοϑμε το χϊρακα ανϊποδα και ςχεδιϊζουμε την γραμμό a b. Αν μεταξϑ των δϑο γραμμών υπϊρχει χώροσ,τϐτε η γραμμό δεν εύναι ευθεύα Ο Δαμαςκηνϐσ αναφϋρει ϐτι: «Ευθεία γραμμή καλεύται απροςδιόριςτόσ τισ γραμμό, ότισ εύναι ςυντομωτϋρα πϊςησ ϊλλησ γραμμόσ, ενούςησ δύο οποιαδόποτε των ςημεύων αυτόσ». Ο Δημητριϊδησ αναφϋρει ϐτι: «Εμπόγοντεσ εισ τόν γόν παςςαλύςκον τινϊ α προςδιορύζομεν ούτωσ εν ςημείον επύ τόσ γόσ. Ενούντεσ δε τϊ επύ τόσ γόσ δύο ςημεύα α και β δια χορδόσ θϋλομεν ϋχει επύ τόσ γόσ τόν ευθείαν Γραμμήν». Ο Κορϋσ δύνει ϋναν οριςμϐ τησ ευθεύασ γραμμόσ η οπούα θεωρεύ ϐτι διαγρϊφεται απϐ ϋνα ςημεύο το οπούο κινεύται ςτην ύδια κατεϑθυνςη προσ ϋνα ϊλλο ςημεύο το οπούο εύναι ακύνητο2. τη ςυνϋχεια δύνει και οριςμϐ τησ τεθλαςμϋνησ, αλλϊ και καμπϑλησ γραμμόσ:«η απλουςτϋρα παςών των γραμμών εύναι η ευθεύα, τόσ οπούασ πϊσ τισ ϋχει ϋννοιαν. Σόν ευθείαν γραμμήν δυνϊμεθα να νοόςωμεν 2 Ο νξηζκόο απηόο ζπκίδεη ην δεύηεξν νξηζκό πνπ δίλεη ν Barrell ζην βηβιίν ηνπ. 32 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

47 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ διαγραφομϋνην υπό ςημεύου, το οπούον, κινούμενον ςταθερώσ κατϊ την αυτόν διεύθυνςιν, τεύνει προσ ϋτερον ςημεύον ακύνητον. Εκ τούτου εξϊγομεν αμϋςωσ ότι δύο ςημεύα ορύζουςι την θϋςιν μιϊσ καύ μόνησ ευθεύασ». «Τεθλαςμένη καλεύται η γραμμό η διαγραφομϋνη υπό ςημεύου, το οπούον κινούμενον, μεταβϊλλει κατϊ διαφόρουσ χρονικϊσ ςτιγμϊσ διεύθυνςιν. Καμπύλη καλεύται η γραμμό η διαγραφομϋνη υπό ςημεύου κινουμϋνου και κατϊ πϊςαν ςτιγμόν μεταβϊλλοντοσ διεύθυνςιν. Ούτωσ, δυνϊμεθα να θεωρόςωμεν την καμπύλην γραμμόν ωσ τεθλαςμϋνην, αποτελουμϋνην εξ απεύρων μερών, ών ϋκαςτον εύναι απειροςτόν». Γωνία: Όςον αφορϊ ςτη γωνύα, ο Barrell αναφϋρει ϐτι: «Αν δύο ευθεύεσ ΟΑ και ΟΒ ενωθούν ςε ςημεύο Ο, οι πλευρϋσ ΟΑ και ΟΒ ςχηματύζουν γωνύα μεταξύ τουσ, με το Ο να εύναι η κορυφό και το ΟΑ και ΟΒ να εύναι οι πλευρϋσ τησ». Για τη γωνύα δύνονται οι πιο κϊτω εξηγόςεισ: Εξόγηςη 1: Η γωνύα μεταξϑ ΟΑ και ΟΒ εύναι η ποςϐτητα αλλαγόσ τησ φορϊσ ό η ποςϐτητα ςτροφόσ που χρειϊζεται για να μετακινηθοϑμε απϐ την ΟΑ ςτην ΟΒ. Μποροϑμε να φτϊςουμε ςτο ΟΒ γυρνώντασ με την φορϊ του ρολογιοϑ ό με φορϊ αντύθετη του ρολογιοϑ. Έτςι οι ΟΑ και ΟΒ περιϋχουν δϑο γωνύεσ αλλϊ ςαν κανϐνα θα ονομϊζουμε γωνύα αυτό που χρειϊζεται λιγϐτερη περιςτροφό. Εξόγηςη 2: Αν πϊρουμε ϋνα διαβότη και τον ανούξουμε τϐτε γωνύα ονομϊζουμε το ϊνοιγμα μεταξϑ των ποδιών του διαβότη χωρύσ να μασ ενδιαφϋρει πιο μετακινόθηκε. Δηλαδό η διαφορϊ με την πρώτη ϋννοια εύναι ϐτι κοιτϊζουμε μϐνο την τελικό θϋςη. Εξόγηςη 3: ε ϋνα κομμϊτι χαρτύ ςχεδύαςε δϑο γραμμϋσ ΟΑ και ΟΒ που προεκτεύνονται μϋχρι το τϋλοσ του χαρτιοϑ p και q. οι ευθεύεσ χωρύζουν το χαρτύ ςε δϑο μϋρη το ϋνα εύναι ςκιαςμϋνο ςτη αριςτερό εικϐνα και το ϊλλο ςτην δεξιϊ εικϐνα. Υαντϊςου το χαρτύ να μεγαλώςει και τα ϐρια του να εύναι το p και q και η διαδικαςύα αυτό ςυνεχύζεται επ ϊπειρων. Η μια γωνύα περικλεύεται απϐ το ΟΑpp και OBqq προσ την πλευρϊ του Φ, ενώ η ϊλλη προσ την πλευρϊ του Τ. Ορθή γωνία: Ο οριςμϐσ που δύνει για την ορθό γωνύα εύναι ϐτι αν μια ευθεύα ΟΡ τϋμνει μια ϊλλη ευθεύα ΑΒ ςε ςημεύο Ο και οι εφεξόσ γωνύεσ που δημιουργοϑνται εύναι ύςεσ, τϐτε οι γωνύεσ εύναι ορθϋσ. Ο Δαμαςκηνϐσ αναφϋρει για τη γωνύα ϐτι εύναι το ςχόμα δϑο τεμνομϋνων ευθειών. Ο Δημητριϊδησ δύνει τον οριςμϐ: «Εϊν υποθϋςωμεν ευθεύαν τινϊ ΟΓ κατ αρχϊσ ταυτύζομϋνην μετϊ τησ ΑΒ, ότι ςτρϋφεται 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 33

48 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα περύ το ςημεύον Ο, τότε καθόςον απομακρύνεται αύτη τησ ΑΒ η μεγαλυτϋρα ό η μικροτϋρα απ αλλόλων απόςταςισ των ευθειών λϋγεται γωνία... Η γωνύα επύ τόσ γόσ παρύςταται διϊ τριών παςςαλύςκων, καύ αι πλευραύ αυτόσ διϊ τόσ χορδόσ...κατϊ την κύνηςύν τησ η ΟΓ, ενόςω απομακρύνεται τόσ ΟΒ θα καταντόςη νϊ λϊβη θϋςιν τινϊ ΟΠ, κατϊ τόν οπούαν αι προςκεύμεναι ό εφεξόσ γωνύαι ΒΟΠ, ΠΟΑ θα εύναι ύςαι και τότε λϋγονται ορθαύ». Ο Κορϋσ λϋει ϐτι: «Όταν δύο ευθεύαι ΑΒ και ΑΓ, αρχόμεναι εκ του αυτού ςημεύου, διευθύνωνται διαφόρωσ, λϋγομεν ότι ςχηματύζουςι γωνίαν». Ο Legedre αναφϋρει ϐτι: «Όταν δυο ευθεύεσ γραμμϋσ ςυναπαντώνται ωσ ΑΒ, ΑΓ ό ποςότητα περιςςότερον ό ολιγότερων μεγϊλη δια τησ οπούασ απομακρύνονται αυταύ αι ευθεύαι, όςον προσ την θϋςιν των, καλεύται γωνιϊ. Σο ςημεύον τησ ςυναπαντόςεωσ ό τησ κοινόσ τομόσ Α εύναι η κορυφό τησ γωνιϊσ αι δε γραμμαύ ΑΒ, ΑΓ εύναι αι πλευραύ αυτόσ». το βιβλύο του ο Barrell αναφϋρει για τον κύκλο ϐτι εύναι το επύπεδο ςχόμα που περικλεύεται απϐ καμπϑλη γραμμό που ονομϊζεται περιφϋρεια. Εύναι τϋτοιο ώςτε ϐλεσ οι ακτύνεσ που φϋρονται απϐ ςημεύο εντϐσ του κϑκλου εύναι ύςεσ και το ςημεύο αυτϐ ονομϊζεται κϋντρο. O Legendre δύνει περύπου τον ύδιο οριςμϐ: Η περιφϋρεια εύναι η γραμμό τησ καμπϑλησ τησ οπούασ ϐλα τα ςημεύα απϋχουν ύςα απϐ ϋνα εντϐσ αυτόσ ςημεύο, καλοϑμενο ωσ κϋντρο. Προτάςεισ που δίνονται ςτο βιβλίο Πρόταςισ ιγ. [Ι.13]3: Αν ϋχουμε δϑο ευθεύεσ που τϋμνονται, το αποτϋλεςμα του αθρούςματοσ των γωνιών που ςχηματύζονται ςτη κϊθε πλευρϊ τησ ευθεύασ εύναι ύςο με δϑο ορθϋσ γωνύεσ. Απϐδειξη Ευκλεύδη: Αν ΑΟΡ = ΡΟΒ τϐτε οι δϑο γωνύεσ εύναι ορθϋσ, ϊρα ΑΟΡ+ΡΟΒ = 2 ορθϋσ. Αν δεν εύναι ύςεσ τϐτε φϋρουμε ΟC ϋτςι ώςτε ΒΟC=AOC ϊρα 2 ορθϋσ, ϋτςι ΑΟC + BOC = 2 ορθϋσ, αλλϊ αφοϑ ΑΟC= AOP+POC τϐτε ϋχουμε AOP+POC +BOC = 2 ορθϋσ, ϐμωσ POC+COP= BΟP και AOP+POB = 2 ΟΡΘΕ Απϐδειξη Barrell 1. Αν μια γραμμό ξεκινόςει απϐ τη θϋςη ΟΑ και περιςτραφεύ μϋχρι το ΟΒ γϑρω απϐ το Ο, τϐτε περνϊ πρώτα απϐ τη γωνύα α και μετϊ απϐ τη γωνύα β, γρϊφοντασ ϋτςι μιςό περιςτροφό ϊρα α+β = μιςό περιςτροφό = 2 ορθϋσ. 3 Σηελ πξόηαζε απηή ν ζπγγξαθέαο αλαθέξεη κηα δηθή ηνπ απόδεημε θαη κηα ζύλνςε ηεο απόδεημεο ηνπ Δπθιείδε. Παξαζέηνπκε ηελ απόδεημε ηνπ Δπθιείδε γηα ζύγθξηζε. 34 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

49 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ Απϐδειξη Barrell 2 (ςϑνοψη απϐδειξησ Ευκλεύδη). Αν α=β τϐτε κϊθε μια εύναι ορθό, ϊρα α+β=2 ορθϋσ. Αν δεν εύναι ύςεσ τϐτε φϋρε ΟC κϊθετη ςτην ΑΒ. Σϐτε α και β μαζύ γεμύζουν το χώρο ςτην μια πλευρϊ τησ ΑΒ. Σον ύδιο χώρο καλϑπτουν οι 2 ορθϋσ ϊρα α+β = 2 ορθϋσ. Πρόταςη Ι.154: Αν δύο ευθεύεσ τϋμνονται τότε οι κατακορυφόν γωνύεσ εύναι ύςεσ μεταξύ τουσ. Απϐδειξη 1: Σοποθετοϑμε ϋνα χϊρακα πϊνω ςτην ΑΟΒ και τον περιςτρϋφουμε φορϊ αντύθετη του ρολογιοϑ και με κϋντρο το Ο μϋχρι να ςυμπύπτει με την COD. Η γωνύα α εύναι η γωνύα περιςτροφόσ. Η γωνύα γ εύναι η γωνύα περιςτροφόσ, ϊρα α=γ. Με ϐμοιο τρϐπο β=δ, ϊρα οι κατακορυφόν γωνύεσ εύναι ύςεσ. Πρόταςισ [Ι.32] Σο ϊθροιςμα των γωνιών τριγώνου εύναι ύςο με 2 ορθϋσ5. Θεώρηςε ϋνα βϋλοσ ςτη θϋςη Α να βλϋπει προσ την ΑC. Περύςτρεψε το βϋλοσ γϑρω απϐ το Α, ϋτςι ώςτε να βλϋπει προσ την ΑΒ. Σο βϋλοσ ϋχει διαγρϊψει την γωνύα α. Μετακύνηςε το βϋλοσ προσ τα πϊνω για να φτϊςει ςτην θϋςη 3, χωρύσ να περιςτραφεύ. Περύςτρεψε το βϋλοσ γϑρω απϐ το Β για να φτϊςει ςτη θϋςη 4. Σο βϋλοσ ϋχει διαγρϊψει τη γωνύα β. Μετακύνηςε το βϋλοσ χωρύσ περιςτροφό ςτη θϋςη 5. Περύςτρεψϋ το γϑρω απϐ το ςημεύο C μϋχρι να φτϊςει ςτη θϋςη 6. Σο βϋλοσ περιςτρϊφηκε κατϊ γωνύα γ. Σώρα το βϋλοσ βλϋπει ακριβώσ ςτην αντύθετη πλευρϊ απϐ το αρχικϐ, ϊρα ϋχει κϊνει μιςό περιςτροφό, δηλαδό ςτρϊφηκε κατϊ 2 ορθϋσ. Και ςτισ τρεισ γωνύεσ το τϐξο περιςτρϊφηκε με την ύδια φορϊ (αντύθετη του ρολογιοϑ), ϊρα α+β+γ= 2 ορθϋσ. Παράλληλεσ ευθείεσ6: Αν δϑο βϋλη βλϋπουν προσ την ύδια κατεϑθυνςη PQ και περιςτραφοϑν κατϊ τον ύδιο τρϐπο με ύςεσ γωνύεσ α, γ, τϐτε και πϊλι θα βλϋπουν προσ την ύδια κατεϑθυνςη. Δύνονται δϑο οριςμού για τισ παρϊλληλεσ ευθεύεσ: α) Παρϊλληλεσ ονομϊζονται δύο ευθεύεσ αν μια από τισ εςωτερικϋσ γωνύεσ εύναι ύςη 4 Σε απηή ηελ πξόηαζε ν ζπγγξαθέαο δίλεη δύν απνδείμεηο, ε δεύηεξε από απηέο είλαη ίδηα κε ηνπ Δπθιείδε ρσξίο όκσο λα αλαθέξεηαη ζηελ πξνέιεπζε ησλ απνδείμεσλ. 5 Σηελ πξόηαζε απηή ν ζπγγξαθέαο δίλεη κηα δηθή ηνπ απόδεημε θαη αγλνεί εληειώο ηελ απόδεημε ηνπ Δπθιείδε. 6 Δδώ ν ζπγγξαθέαο δίλεη έλα νξηζκό πνπ βαζίδεηαη ζηελ πεξηζηξνθή δηαλπζκάησλ. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 35

50 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα με την επύ τα αυτϊ εξωτερικό τησ. β) Παρϊλληλεσ εύναι δύο ευθεύεσ του ύδιου επιπϋδου που δεν ενώνονται όςο και αν προεκταθούν. Ιςότητα ςχημάτων: Δϑο ςχόματα εύναι ύςα αν το ϋνα απϐ αυτϊ (ό αντύγραφο του) μπορεύ να τοποθετηθεύ ακριβώσ πϊνω ςτο ϊλλο. Ο Δημητριϊδησ αναφϋρει ϐτι: «Δύο γραμμαύ, δύο επιφϊνειαι, δύο ςτερεϊ τότε λϋγονται ύςα όταν τιθϋμενα τό ϋν επύ τό ϊλλο, εφαρμόζονται καθ όλα αυτών τϊ ςημεύα και εντελώσ» Ο Κορϋσ αναφϋρει ϐτι: «Δύο ςχόματα λϋγονται ύςα, όταν, επιτιθϋμενα το ϋν επύ τού ετϋρου, ταυτύζονται ούτωσ, ώςτε πϊν ςημεύον τού ενόσ ςχόματοσ να εύναι ςημεύον και τού ετϋρου. Δύο μόκη αποτελούμενα εκ τού αυτού αριθμού μονϊδων τού μόκουσ, δύο επιφϊνειεσ αποτελούμενεσ από τόν ύδιο αριθμό μονϊδων επιφανεύασ και δύο όγκοι αποτελούμενοι εκ τού αυτού αριθμού μονϊδων τού όγκου, αλλϊ κατ ουδϋνα τρόπο ταυτιζόμενοι, λϋγονται ιςοδύναμοι». Ιςότητα τριγώνων 7 : το βιβλύο του Barrell η ιςϐτητα τριγώνων γύνεται με επιτοποθϋτηςη τριγώνων. Φρηςιμοποιοϑνται τα τρύα κριτόρια: α) Κριτόριο Π-Γ-Π β) Κριτόριο Π-Π-Π γ)κριτόριο Γ-Π-Γ 8. Επύςησ γύνεται αναφορϊ ςτο ιςοςκελϋσ τρύγωνο και ςτισ ιδιϐτητεσ του, ςτην ιςϐτητα ορθογωνύων τριγώνων και ςτη ςχϋςη ανιςϐτητασ γωνιών και αντιςτούχων πλευρών. Ο Δημητριϊδησ χρηςιμοποιεύ επύςησ τα τρύα κριτόρια: 1) μύα πλευρϊ και οι προςκεύμενεσ γωνύεσ, 2) δϑο πλευρϋσ και η περιεχϐμενη γωνύα, 3) τρεισ ύςεσ πλευρϋσ,. Κϊνει αναφορϊ για τη ςχϋςη ανιςϐτητασ γωνιών και αντύςτοιχων πλευρών, το ιςοςκελϋσ τρύγωνο και τα κριτόρια ιςϐτητασ ορθογωνύων τριγώνων. Ο Δαμαςκηνϐσ δύνει τον οριςμϐ του πολυγώνου, αναφϋρεται ςτο ιςϐπλευρο, ιςοςκελϋσ και ορθογώνιο τρύγωνο και δύνει επύςησ τα τρύα κριτόρια ιςϐτητασ τριγώνων: 1 ο κριτόριο: δϑο πλευρϋσ και η περιεχϐμενη γωνύα. 2 ο κριτόριο: μύα πλευρϊ και οι προςκεύμενεσ γωνύεσ 3ο κριτόριο: τρεισ ύςεσ πλευρϋσ. Πρόταςη Ι.4 Κριτήριο Π-Γ-Π Αν δϑο τρύγωνα ϋχουν δϑο πλευρϋσ ύςεσ και τισ περιεχϐμενεσ γωνιϋσ ύςεσ, τϐτε τα τρύγωνα ιςοϑνται. 7 Τα θξηηήξηα ηζόηεηαο απνδεηθλύνληαη κε επηηνπνζέηεζε ησλ ηξηγώλσλ. 8 Δδώ ν Δπθιείδεο ρξεζηκνπνηεί ηελ εηο άηνπνλ. 36 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

51 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ Μετακινούμε το τρύγωνο II πϊνω ςτο τρύγωνο I κόβοντασ το ό παύρνοντασ ϋνα αντύγραφο αυτού ςε ϋνα χαρτύ ό καλύτερα μπορούμε να το φανταςτούμε ότι μετακινώντασ το θα ςυμπϋςει το ςημεύο D με το ςημεύο Α. Σο τρύγωνο II θα ϋχει μια θϋςη όπωσ αυτό του τριγώνου ΙΙΙ. Περιςτρϋφουμε το τρύγωνο γύρω από το ςημεύο Α ϋτςι ώςτε η ΔΕ πλευρϊ να εφαρμόςει πϊνω ςτην ΑΒ. Με αυτό τον τρόπο η DE ϋχει το ύδιο μόκοσ με ΑΒ αφού ξεκινούν από το ύδιο ςημεύο Α και καταλόγουν ςτο ςημεύο Β. Επύςησ επειδό η γωνιϊ α εύναι ύςη με τη δ, η πλευρϊ DF πρϋπει να εφαρμόζει πϊνω ςτην AC και ϋτςι αφού ξεκινούν και οι δύο από το ςημεύο Α και καταλόγουν ςτο C θα εύναι ύςεσ. Σα δύο ϊκρα τησ EF θα ςυμπϋςουν με τα ϊκρα τησ BC και ϋτςι θα εύναι ύςεσ. Επομϋνωσ, αφού θα ϋχουν τισ τρεισ πλευρϋσ τουσ αντύςτοιχα ύςεσ τα δύο τρύγωνα θα εύναι ύςα και θα ϋχουν όλα τα αντύςτοιχα ςτοιχεύα τουσ ύςα9. Πρόταςη Ι.8. Κριτήριο Π-Π-Π10 Αν οι τρεισ πλευρϋσ τριγώνου εύναι ύςεσ με τισ τρεισ πλευρϋσ ϊλλου τριγώνου, τϐτε τα τρύγωνα εύναι ύςα μεταξϑ τουσ. Μετακύνηςε το τρύγωνο ABC πϊνω από το τρύγωνο DEF κόβοντασ το ό παύρνοντασ ϋνα αντύγραφο αυτού ςε ϋνα χαρτύ ό καλύτερα μπορούμε να το φανταςτούμε. Σοποθϋτηςε το ABC ςτη θϋςη EFA, ϋτςι ώςτε η BC να τοποθετηθεύ πϊνω ςτην EF. Αυτό εύναι δυνατόν αφού εύναι ύςεσ και ευθεύεσ και ϋτςι Α και D εύναι ςε αντύθετεσ πλευρϋσ τησ EF. 9Απόδειξη Walker και McNicol που είναι ίδια με Legendre : Ασ εύναι τα τρύγωνα ABC και DEH με AB=DE, AC=DH και Εφαρμϐζουμε το ϋνα τρύγωνο πϊνω ςτο ϊλλο ϋτςι ώςτε το Α να εύναι πϊνω απϐ το D και η πλευρϊ AB πϊνω απϐ την DE. Σϐτε ϋχουμε ϐτι AB=DE (δοςμϋνο), το ςημεύο Β εύναι ακριβώσ πϊνω απϐ το Ε, (δοςμϋνο), η πλευρϊ AC βρύςκεται ακριβώσ πϊνω απϐ την DH, AC=DH (δοςμϋνο) και το C βρύςκεται ακριβώσ πϊνω ςτο Η. Άρα αποδεύξαμε ϐτι Β εύναι ακριβώσ πϊνω απϐ το Ε και C βρύςκεται ακριβώσ πϊνω ςτο Η. Άρα BC ςυμπύπτει με την EH. Σότε το τρύγωνο ABC ςυμπύπτει με το τρύγωνο DEH, δηλαδό ABC=DEH. 10 Legendre Βαςύζεται ςτην απόδειξη του προηγούμενου θεωρόματοσ: «Έςτω η πλευρϊ ΑΒ=ΔΕ, ΑΓ=ΔΖ, ΒΓ=ΕΖ λόγω του ότι θϋλουμε ϋχει την γωνιϊ Α=Δ, Β=Ε, Γ=Ζ. Διότι εϊν η γωνιϊ Α όταν μεγαλύτερη τησ γωνιϊσ Δ, επειδό οι πλευρϋσ ΑΒ, ΑΓ εύναι ύςεσ με τισ πλευρϋσ ΔΕ, ΔΖ η κϊθε μια με την κϊθε μιαν, ηθϋλιν ακολουθόςει κατϊ το προλϊβον θεώρημα, ότι η πλευρϊ ΒΓ εύναι μεγαλύτερη τησ ΕΖ. Εϊν δε η γωνιϊ Α όταν μικρότερα τησ γωνιϊσ Δ, όθελεν ακολουθόςει ότι η πλευρϊ ΒΓ εύναι μικροτϋρα τησ ΕΖ, αλλϊ ΒΓ εύναι ύςη τη ΗΖ λοιπόν η γωνιϊ Α δε εύναι δυνατόν να εύναι ούτε μεγαλύτερη ούτε μικρότερη τησ γωνιϊσ Δ, λοιπόν εύναι ύςη με αυτόν. Παρομούωσ αποδεικνύεται ότι η γωνιϊ Β=Ε και η γωνιϊ Γ=Ζ». 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 37

52 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα Υϋρε την A D να τϋμνει την EF ςε ςημεύο Ρ. Αν το Ρ εύναι μεταξύ E και F τότε ΕΑ =ΕD (Τπϐθεςη) τϐτε ΕDA ιςοςκελϋσ ϊρα α=γ FΑ =FD (Τπϐθεςη) τϐτε FDA ιςοςκελϋσ ϊρα β=δ Έτςι η γωνύα EDF = α+β = γ+δ = γωνύα EA F, που εύναι η BAC. υγκρύνοντασ τα τρύγωνα ABC,DEF γνωρύζουμε ϐτι AB=DE, AC=DF, γωνύεσ BAC=EDF ϋτςι απϐ την πρϐταςη Ι.4 τα τρύγωνα εύναι ύςα. Αν το Ρ εύναι πϊνω ςτο Ε ό το F τϐτε ΕΑ =ΕD (Τπϐθεςη) τϐτε ΕDA ιςοςκελϋσ ϊρα α=γ. Έτςι η γωνύα EDF = α = γ γωνύα EA F που εύναι η BAC. υγκρύνοντασ τα τρύγωνα ABC,DEF γνωρύζουμε ϐτι AB=DE, AC=DF, γωνύεσ BAC=EDF ϋτςι απϐ την πρϐταςη Ι.4 τα τρύγωνα εύναι ύςα. Αν το Ρ εύναι εκτϐσ τησ EF ΕΑ =ΕD (Τπϐθεςη) τϐτε ΕDA ιςοςκελϋσ ϊρα α=γ FΑ =FD (Τπϐθεςη) τϐτε FDA ιςοςκελϋσ ϊρα β=δ Έτςι η γωνύα EDF = β-α =δ-γ γωνύα EA F που εύναι η BAC. υγκρύνοντασ τα τρύγωνα ABC,DEF γνωρύζουμε ϐτι AB=DE, AC=DF, γωνύεσ BAC=EDF ϋτςι απϐ την πρϐταςη Ι.4 τα τρύγωνα εύναι ύςα. Πρόταςη Ι.5 ε ιςοςκελέσ τρίγωνο οι παρά τη βάςη γωνίεσ είναι ίςεσ 11. Απϐδειξη 1. Ιςοςκελϋσ τρύγωνο BAC. (Υϋρουμε ευθεύα ΑΡ. Η γωνύα ΒΑΡ εύναι μικρϐτερη απϐ την PAC. Αν το Ρ μετακινηθεύ προσ την πλευρϊ του C τϐτε ΒΑΡ>PAC. Άρα απϐ το θεώρημα τησ ενδιϊμεςησ τιμόσ υπϊρχει ςημεύο V ςτην BC τϋτοιο ώςτε οι γωνύεσ εύναι ύςεσ). ϑγκριςη τριγώνων ABV, ACV. H ΑV διχοτομεύ τη γωνύα ΒΑC, η ΑV εύναι κοινό και ΑΒ=ΑC και ϊρα απϐ το κριτόριο Π-Γ-Π τα τρύγωνα εύναι ύςα ϊρα και γωνύεσ ύςεσ. Απϐδειξη 2. Με δύπλωςη. Δύνεται το τρύγωνο ABC με AB=ΑC. Δύπλωςε το τρύγωνο ςτην γραμμό ΑΡ μϋςω του Α ϋτςι ώςτε η ΑΒ να ςυμπϋςει με την ΑC. Σότε το Β θα τοποθετηθεύ πϊνω ςτο C αφού AB=AC, ϊρα και η ΒΡ θα ςυμπϋςει ςτην CP και το τρύγωνο ΑΒΡ θα ςυμπϋςει με το τρύγωνο APC και ϋτςι η β γωνύα θα εύναι ακριβώσ ύδια με την γ. αν αντιπαρϊδειγμα δύνει την περύπτωςη ϐπου η ΑΒ ϊνιςη τησ AC και εξηγεύ ϐτι δε θα όταν εφικτϐ να ςυμπϋςει το Β με το C. 11 Σε απηή ηελ πεξίπησζε ελώ αλαθέξεη όηη ε πξόηαζε απηή είλαη ε Ι.5 ηνπ Δπθιείδε δίλεη δύν απνδείμεηο αιιά θακία από απηέο δελ είλαη από ηνλ Δπθιείδε. 38 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

53 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ Ο Κορϋσ αναφϋρει ϐτι: «Σού ιςοςκελούσ τριγώνου αι απϋναντι τών ύςων πλευρών κεύμεναι γωνύαι εύναι ύςαι». Απϐδειξη: «Έςτω το ιςοςκελϋσ τρύγωνον ΑΒΓ, εν τω οπούω εξ υποθϋςεωσ η πλευρϊ ΑΓ εύναι ύςη τη ΓΒ δεύξωμεν ότι η γωνύα Α εύναι ύςη τη Β. Προσ τούτο ασ θεωρόςωμεν το αυτό τρύγωνο επαναληφθϋν, και ασ επιθϋςωμεν το τρύγωνον Α Β Γ επύ τό ΑΒΓ ούτωσ, ώςτε το Γ να πϋςη επύ το Γ και το Β επύ το Α, εύναι δε δυνατό η ςύμπτωςισ, αύτη καθότι ϋχομεν ΑΓ=ΒΓ=Β Γ. Επειδό δϋ αι δύο γωνύαι Γ καύ Γ εύναι ύςαι, θα ταυτιςθώςι, και η πλευρϊ ΓΆ θα λϊβη την διεύθυνςιν τόσ ΓΒ καύ επειδό ΓΆ =Γ Β =ΓΒ, το ςημεύον Α θα πϋςη επύ το Β...». Παραλληλόγραμμα και εμβαδόν: Δύνεται ο οριςμϐσ του παραλληλϐγραμμου και ιδιϐτητεσ12. Δύνεται η Πρϐταςη Ι.35 και η απϐδειξό τησ, γύνεται αναφορϊ ςτο ϐτι τα τρύγωνα με ύδια βϊςη και ϑψοσ ϋχουν ύδιο εμβαδϐν και γενικϊ ςτα εμβαδϊ ςχημϊτων. Πρόταςη Ι.35 Αν δύο παραλληλόγραμμα έχουν την ίδια βάςη και περικλείονται μεταξύ των ίδιων παράλληλων τότε έχουν ίςο εμβαδόν13. Μετϊ την κανονικό απϐδειξη προχωρεύ και ςε μύα, ϐπωσ την αποκαλεύ, παραςτατικό απϐδειξη. Σο ορθογώνιο ABCD τεμαχύζεται ςε ύςεσ λωρύδεσ. Η χαμηλότερη τοποθετεύται ςτο B C. Κϊθε ϊλλη λωρύδα μετακινεύται πιο δεξιϊ ώςτε τα κϊτω ϊκρα τησ να βρύςκονται πϊνω ςτισ πλευρϋσ Β Ε και C F. Σο ζικ-ζακ ςχόμα ςυμπύπτει με το παραλληλόγραμμο EB C F εκτόσ από το οδοντωτό ςχόμα που περιςςεύει ςτα αριςτερϊ και αυτό που υπολεύπεται από τα δεξιϊ, τα οπούα όμωσ εύναι φανερό ότι εξουδετερώνονται μεταξύ τουσ. Με τον ύδιο τρϐπο προςεγγύζει και την απϐδειξη για την πρϐταςη «τρύγωνα με ύδια βϊςη και ύςο ϑψοσ ϋχουν ύςο εμβαδϐν». χετικά με το εμβαδόν αναφϋρει τα πιο κϊτω: Σο εμβαδϐν ενϐσ ςχόματοσ μπορεύ να μετρηθεύ βρύςκοντασ πϐςεσ φορϋσ μια δεδομϋνη μονϊδα μϋτρηςησ περιϋχεται ςτο ςχόμα. Για μεγϊλεσ εκτϊςεισ χρηςιμοποιοϑμε εκτϊρια, τετραγωνικϊ μύλια ό τετραγωνικϊ χιλιϐμετρα ενώ για μικρϋσ καταςκευϋσ χρηςιμοποιοϑμε τετραγωνικϋσ ύντςεσ, τετραγωνικϊ εκατοςτϊ ό τετραγωνικϊ χιλιοςτϊ. τη ςυνϋχεια προχωρεύ ςε εφαρμογό τϑπων για υπολογιςμϐ εμβαδών διαφϐρων ςχημϊτων π.χ. Ορθογώνιο, τετρϊγωνο, παραλληλϐγραμμο, τρύγωνο κτλ. 12 Οη απνδείμεηο πνπ δίδνληαη ζρεηηθά κε ηα παξαιιειόγξακκα θαη ηηο ηδηόηεηεο ηνπο είλαη νη ίδηεο πνπ δίδεη θαη ν Δπθιείδεο ζηηο Πξνηάζεηο ηνπ Ι.33 θαη Ι Δδώ ν Barell δίλεη ηελ ίδηα απόδεημε κε ηνλ Δπθιείδε ζηελ ζπλέρεηα πξνρσξεί ζην ζπκπέξαζκα όηη παξαιιειόγξακκν θαη νξζνγώλην κε ηελ ίδηα βάζε θαη ην ίδην ύςνο έρνπλ ίδην εκβαδόλ. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 39

54 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα Πρόταςη Ι.4314: ε ορθογώνιο παραλληλϐγραμμο τα παραπληρώματα εύναι ύςα (δηλαδό ςτο ςχόμα τα ορθογώνια ΑΖΗΕ και ΕΘΔΙ εύναι ιςεμβαδικϊ). Η απϐδειξη αυτό εύναι αρκετϊ απλό και την παραθϋτουμε αυτοϑςια. Καταςκευέσ :Ο Barrell εξηγεύ πωσ θα φτϊςουμε ςε κϊποιεσ καταςκευϋσ, τισ περιςςότερεσ φορϋσ οι προτϊςεισ αυτϋσ προϋρχονται από τον Ευκλεύδη. Μερικϋσ από τισ καταςκευϋσ που προτεύνει εύναι το τρύγωνο με δεδομϋνεσ τισ τρεισ πλευρϋσ (Ι.22), η γωνύα ύςη με δεδομϋνη γωνύα (Ι.23), η διχοτόμηςη γωνύασ (Ι.9), η Διχοτόμηςη ευθυγρϊμμου τμόματοσ (Ι.10), η κϊθετη ςε ευθεύα από ςημεύο αυτόσ (Ι.11)15, η κϊθετη ςε ευθεύα από ςημεύο εκτόσ αυτόσ (Ι.12) και η παρϊλληλη προσ ευθεύα από ςημεύο εκτόσ αυτόσ (Ι.31)16. Καταςκευό 1. (ύδια με Ευκλεύδη) Πϊρε τυχαύο ςημεύο Φ. Καταςκευό κύκλου Κ(Ρ,ΡΦ) που τϋμνει την ΑΒ ςε ςημεύο Τ. Με ακτύνα μεγαλύτερη του ΦΡ και κϋντρα Φ και Τ καταςκευϊζονται 2 κύκλοι που τϋμνονται ςτο L. To LP εύναι κϊθετο ςτην ΑΒ. Καταςκευό 2. Πϊρε ςημεύο Ο εκτόσ τησ ΑΒ και αριςτερϊ από το Ρ. Καταςκεύαςε κύκλο Κ(Ο,ΟΡ). Από το ςημεύο τομόσ Qτησ ΑΒ και του κύκλου φϋρε διϊμετρο QR. Ευθεύα RP εύναι κϊθετη με την ΑΒ ςτο ςημεύο Ρ. Καταςκευό 1η ε ευθεύα ΑΒ πϊρε τυχαύο ςημεύο Ρ. Με τυχαύα ακτύνα R καταςκεύαςε κύκλουσ 14 Καη ζε απηή ηελ πξόηαζε ν Barell θάλεη κηα απινύζηεπζε ηεο απόδεημεο ηνπ Δπθιείδε, ρσξίο όκσο λα αλαθέξεη ηελ πξνέιεπζε ηεο απόδεημεο. 15 Σε απηή ηελ πεξίπησζε ν Σπγγξαθέαο δίλεη δύν θαηαζθεπέο. Η 1ε θαηαζθεπή είλαη ίδηα κε απηήλ ηνπ Δπθιείδε. Δλδηαθέξνλ πξνθαιεί ε 2ε θαηαζθεπή αθνύ γηα ηελ απόδεημε ρξεηάδεηαη ην ζεώξεκα «θάζε εγγεγξακκέλε πνπ βαίλεη ζε δηάκεηξν είλαη νξζή» ην νπνίν δελ έρεη πξνεγεζεί, αιιά ν ζπγγξαθέαο αλαθέξεη όηη ζα γίλεη ε απόδεημε αξγόηεξα. 16 Δδώ δίλνληαη δύν ηξόπνη θαηαζθεπήο ν 1 νο κε ράξαθα θαη δηαβήηε θαη ν 2νο κε δύν γλώκνλεο ην νπνίν πξνθαιεί ελδηαθέξνλ, αθνύ είλαη ε πξώηε θαηαζθεπή πνπ δελ ρξεζηκνπνηεί ράξαθα θαη δηαβήηε. 40 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

55 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ Κ1(P,R) και Κ2(O,R). Ν τομό του Κ2 με ΑΒ.Καταςκευό κύκλου Κ3(Ρ,ΟΝ).Q τομό Κ2 και Κ3. H OQ // AB. Καταςκευό 2η Σοποθϋτηςε την μια κϊθετη πλευρϊ του γνώμονα Ι ςτην ευθεύα ΑΒ. Σοποθϋτηςε την υποτεύνουςα του γνώμονα ΙΙ πϊνω ςτην υποτεύνουςα του γνώμονα Ι. ύρε τον γνώμονα Ι μϋχρι η πλευρϊ που ταυτιζόταν με την ΑΒ να ακουμπόςει ςτο ςημεύο Ρ. Φϊραξε ευθεύα ςε αυτόν την πλευρϊ. Ϊλλεσ προτάςεισ για τρίγωνα Αν δύο κορυφϋσ Β, C τριγώνου ABC ενωθούν με ςημεύο Ρ τησ διαμϋςου AD τότε τα τρύγωνα ΙΙΙ, ΙV που προκύπτουν εύναι ύςα μεταξύ τουσ. Απόδειξη: Σρύγωνα ΑBD=ACD ύςη βϊςη BD=DC και ύδιο ύψοσ Σρύγωνα Ι=ΙΙ ύςη βϊςη BD=DC και ύδιο ύψοσ. Με αφαύρεςη προκύπτει ΙΙΙ=ΙV. I.47 Πυθαγόρειο θεώρημα17 Να ςημειωθεύ ϐτι δεν αναφϋρεται ςτην πρϐταςη αυτό ςαν Πυθαγϐρειο Θεώρημα. Ενώ η δεϑτερη προκϑπτει απϐ τισ προτϊςεισ ΙΙ.4ΙΙ.8 του Ευκλεύδη και που ϐπωσ αναφϋρει ο Bretsneider η φυςικό θϋςη του Π.Θ ςτο βιβλύο του Ευκλεύδη θα ϋπρεπε να βρύςκεται μετϊ την ΙΙ Γίλεη δύν απνδείμεηο ηνπ ζεσξήκαηνο. Η πξώηε είλαη ίδηα κε ηελ Ι.47 πνπ δίλεη ν Δπθιείδεο. Απόδειξη από τους Walker και McNicol θαη Legendre: Τν ηξίγσλν ABC έρεη ηελ γσληά Α ίζε κε. Σηηο πιεπξέο ΑΒ, BC θαη CA ζρεδηάδνπκε ηεηξάγσλα BADE, BCML θαη ACHK. Φέξνπκε από ην Α ηελ AP παξάιιειε κε ηελ BL, λα ζπλαληά ηελ LM ζην P. Δλώλνπκε ηελ EC, AL.Η γσληά ΒΑC είλαη νξζή όπσο επίζεο θαη ε γσληά BAD (γσληά ηεηξαγώλνπ). DA θαη AC ζρεκαηίδνπλ κηα επζεία γξακκή. Σπγθξίλνληαο ηα ηξίγσλα EBC θαη ABL έρνπκε: α)δβ=αβ (πιεπξέο ηεηξαγώλνπ), β)bc=bl (πιεπξέο ηεηξαγώλνπ) θαη γ) C θαη (ε θάζε κηα είλαη νξζή + ). => EBC=ABL => = 2 x EBC θαη BP = 2 x ABL. Άξα ην ηεηξάγσλν BD = νξζνγώλην BP θαη ην ηεηξάγσλν CK = νξζνγώλην CP. => ή αιιηώο. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 41

56 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα ΠΕΡΙ ΚΤΚΛΟΤ: Για τον κϑκλο αναφϋρονται κϊποια ςτοιχεύα του ϐπωσ το τόξο που ορύζεται ωσ κϊθε κομμϊτι τησ περιμϋτρου, η χορδή 18 που ορύζεται ωσ το ευθϑγραμμο τμόμα που ενώνει οποιαδόποτε δϑο ςημεύα ςτην περύμετρο του κϑκλου, το τμήμα ωσ το κϊθε κομμϊτι του κϑκλου που αποκϐπτεται απϐ μια χορδό και ο τομέασ ωσ το κϊθε κομμϊτι του κϑκλου που περικλεύεται απϐ ϋνα τϐξο και δϑο ακτύνεσ. Δύνεται και ο οριςμϐσ των Ομόκεντρων κύκλων ωσ δϑο κϑκλοι που ϋχουν το ύδιο κϋντρο. Ο ςυγγραφϋασ παραθϋτει και μια ςειρϊ θεωρημϊτων που ςυμφώνα με τον ύδιο εύναι φανερϐ ϐτι ιςχϑουν και δεν χρειϊζεται καμύα απϐδειξη, ταυτϐχρονα ϐμωσ δύδει για το κϊθε ϋνα απϐ αυτϊ μια εξόγηςη. Θεωρήματα: Ο κϑκλοσ δεν μπορεύ να ϋχει περιςςϐτερα απϐ ϋνα κϋντρα (Αν υπόρχαν τϐτε η χορδό που ϊγεται απϐ αυτϊ θα εύχε δϑο μϋςα ). Δϑο ομϐκεντροι κϑκλοι δεν μποροϑν να ενώνονται ό να τϋμνονται (Αν εύχαν την ύδια ακτύνα τϐτε δε θα όταν δϑο οι κϑκλοι, αλλϊ ϋνασ και αν δεν εύχαν την ύδια ακτύνα τϐτε ϐλα τα ςημεύα του ενϐσ θα βρύςκονταν εκτϐσ του ϊλλου). Αν δϑο κϑκλοι ϋχουν ύςεσ ακτύνεσ τϐτε ϐλα τουσ τα ςτοιχεύα εύναι ύςα (Αν το κϋντρο του ενϐσ τοποθετηθεύ πϊνω ςτο κϋντρο του ϊλλου τϐτε θα ςυμπύπτουν). Δϑο κϑκλοι με ύςο εμβαδϐν ϋχουν και ύςεσ ακτύνεσ (Αν οι ακτύνεσ δεν όταν ύςεσ ϐταν τοποθετοϑςαμε το ϋνα κϋντρο πϊνω ςτο ϊλλο, τϐτε ο ϋνασ κϑκλοσ θα όταν εντϐσ του ϊλλου ϊρα δεν θα εύχαν το ύδιο εμβαδϐν). 1 η πρϐταςη ςτον Κϑκλο : (ΙΙΙ.3) Αν η διϊμετροσ κϑκλου διχοτομεύ μια χορδό που δεν εύναι διϊμετροσ, τϐτε η διϊμετροσ εύναι κϊθετη με την χορδό. Σα δεδομϋνα εύναι: διϊμετροσ CD και χορδό ΑΒ που τϋμνονται ςτο Ν. Απϐδειξη: Υϋρε ΑΟ και ΒΟ, ΑΟ=ΒΟ (ακτύνεσ), ΑΝ=ΒΝ (υπϐθεςη), ΟΝ=ΟΝ ϊρα τα τρύγωνα ΑΟΝ και ΒΟΝ εύναι ύςα. Άρα θ=φ αλλϊ θ+φ= 2 ορθϋσ ϊρα θ και φ ορθϋσ. υμμετρία : Αν ο κϑκλοσ (Fig. 1) διπλωθεύ πϊνω ςτην διϊμετρο DOC τϐτε η ΝΑ θα τοποθετηθεύ πϊνω ςτην ΝΒ (αφοϑ θ=φ=ορθό) και επειδό ΝΑ=ΝΒ τϐτε το Α θα τοποθετηθεύ πϊνω ςτο Β. Αυτϐ θα ιςχϑει για κϊθε χορδό που εύναι κϊθετη ςτην διϊμετρο DOC. Άρα ϐταν διπλωθεύ τϐτε το ϋνα ημικϑκλιο θα ςυμπύπτει με το ϊλλο ημικϑκλιο και ϋτςι το ημικϑκλιο εύναι πρϊγματι μιςϐσ κϑκλοσ. Εδώ φαύνεται να γύνεται μια προςπϊθεια για να τονιςτεύ ϐτι η διϊμετροσ μοιρϊζει τον κϑκλο ςε δυο ύςα μϋρη. Ο Legendre εδώ εύναι πιο ξεκϊθαροσ. LEGENDRE: Ο Legendre αναφϋρει ϐτι κϊθε διϊμετροσ ΑΒ διαιρεύ τον κϑκλο και την περιφϋρεια του ςε δυο ύςα μϋρη. 18 Ο Legendre νξίδεη ηελ ρνξδή σο «κηα επζεία γξακκή ε νπνία ελώλεη ηα δπν άθξα ηνπ ηόμνπ». 42 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

57 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ Απόδειξη: Αν εφαρμϐςουμε το ςχόμα AEB ςτο AΖB με κοινό βϊςη τϐτε θα ςυμπϋςουν, αλλιώσ θα υπόρχαν ςτο ϋνα ό ςτο ϊλλο ςχόμα ςημεύα που δεν θα απϋχουν ύςο απϐ το κϋντρο κϊτι που αντιβαύνει με τον οριςμϐ του κϑκλου. Ο Barrell λϋει ϐτι: Λαμβϊνοντασ υπϐψη το ςυμμετρικϐ τρϐπο, ςημεύα ϐπωσ τα Α και Β βρύςκονται ςε ύςη απϐςταςη και ςε απϋναντι πλευρϋσ τησ DOC τϐτε η Διϊμετροσ ονομϊζεται ϊξονασ ςυμμετρύασ19 του κϑκλου. Πρόταςη (ΙΙΙ.15) : α) Αν μια απϐ δϑο χορδϋσ κϑκλου εύναι πιο κοντϊ ςτο κϋντρο του κϑκλου τϐτε εύναι και η μεγαλϑτερη απϐ τισ δϑο και β) η διϊμετροσ εύναι η μεγαλϑτερη χορδό ςτον κϑκλο. α) Απϐδειξη: Δεδομϋνο p>q δηλαδό και p2>q2. Υϋρουμε κϊθετεσ ςτισ p και q τισ ΑΒ και CD αντύςτοιχα a2+p2=r2 και b2+q2=r2 ϊρα a2+p2= b2+q2 αφοϑ p2>q2 τϐτε και b2>a2αρα b>a ϋτςι ιςχϑει CD>AB. β) Απϐδειξη: Κϊθε χορδό και οι ακτύνεσ τησ δημιουργοϑν τρύγωνο, τϐτε οι 2 ακτύνεσ εύναι μεγαλϑτερεσ απϐ την χορδό. Αφοϑ η διϊμετροσ εύναι ύςη με 2 ακτύνεσ ϋτςι η διϊμετροσ μεγαλϑτερη απϐ την χορδό. Επύςησ παρουςιϊζει: Α. Σισ ςχϋςεισ μεταξϑ χορδόσ, ακτύνασ, αποςτόματοσ Β. Σισ ςχϋςεισ εγγεγραμμϋνων και επύκεντρων γωνιών Γ. Εγγεγραμμϋνα τετρϊπλευρα Δ. Θεώρημα χορδόσ εφαπτομϋνησ Εφαπτομένη: Ο Barrell προςπαθεύ μϋςα απϐ ϋνα ςυλλογιςμϐ ϐτι μια καμπϑλη εύναι μια οριακό μορφό πολυγώνου, να φτϊςει ςτον οριςμϐ τησ εφαπτομϋνησ. Κϊνει, λοιπϐν, τουσ ακϐλουθουσ ςυλλογιςμοϑσ. Σι εύναι ο κύκλοσ; Κϊτι που μπορεύ να φτιαχτεύ με διαβότη; Αν εύναι ϋτςι τότε φαντϊςου την κύνηςη του μολυβιού όταν κινηθεύ κατϊ 0,001 cm πϊνω ςτον κύκλο. Σώρα ϋνωςε αυτϊ τα ϊκρα αυτού του κομματιού με μια ευθεύα γραμμό. Κοιτϊζοντασ 19 Σηελ γεσκεηξία ηνπ Νηθνιάνπ δίλεηαη αθξηβώο ε απόδεημε ηνπ Legendre ελώ ζε κεηαγελέζηεξε γεσκεηξία ηνπ Παπαληθνιάνπ (1975) δίλεηαη ζαλ πόξηζκα ηνπ εμήο ζεσξήκαηνο: Κάζε δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ είλαη άμνλαο ζπκκεηξίαο ηνπ. Απόδεημε: Παίξλνπκε ηπραίν ζεκείν Α ηνπ θύθινπ, θαη βξίζθνπκε ην ζπκκεηξηθό ηνπ σο πξνο ηελ δηάκεηξν ηνπ. Έζησ ην Α. Αξθεί λα δείμνπκε όηη είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ. Αθνύ από ηελ ζπκκεηξία ΟΑ = ΟΑ = R, άξα ζα είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 43

58 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα λοιπόν αυτϊ τα δύο κομμϊτια του κύκλου και τησ ευθεύασ ύςωσ να μην μπορεύσ να τα ξεχωρύςεισ, αλλϊ με ϋνα μικροςκόπιο μπορεύ να δεισ την διαφορϊ τουσ. Υαντϊςου λοιπόν αυτό το κομμϊτι του κύκλου να όταν τόςο μικρό που ακόμα και με την ςκϋψη να μην μπορούςεσ να δεισ την διαφορϊ μεταξύ τησ ευθεύασ και του κύκλου. Ή μόπωσ ο κύκλοσ εύναι ο Γεωμετρικόσ τόποσ των ςημεύων που ιςαπϋχουν από το κϋντρο. Αν εύναι ϋτςι πϊρε δύο διαδοχικϊ ςημεύα και ϋνωςε τα με μια ευθεύα γραμμό. Έτςι λοιπόν μπορούμε να φανταςτούμε ότι μια καμπύλη αποτελεύται από μια μορφό πολυγώνου με εκατομμύρια πλευρϋσ και η κϊθε μύα να ϋχει μηδαμινό μόκοσ. Σα ϊκρα τησ κϊθε πλευρϊσ θα τα ονομϊςουμε διαδοχικϊ ςημεύα. 1 οσ Οριςμϐσ εφαπτομϋνησ: Εφαπτομϋνη τησ καμπϑλησ εύναι η ευθεύα γραμμό που περνϊ απϐ δϑο διαδοχικϊ ςημεύα τησ καμπϑλησ. 2 οσ Οριςμϐσ εφαπτομϋνησ 20 : Εφαπτομϋνη τησ καμπϑλησ ςε ϋνα ςημεύο Α εύναι η οριακό θϋςη τησ τϋμνουςασ ΑΒ τησ καμπϑλησ που περνϊ απϐ το ςημεύο Α, ϐταν το ϊλλο ςημεύο τομόσ Β τεύνει να ςυμπύπτει με το αρχικϐ ςημεύο. Όςον αφορϊ ςτον προβληματιςμϐ του Barrell κατϊ πϐςο ο κϑκλοσ εύναι ο Γεωμετρικϐσ τϐποσ των ςημεύων που ιςαπϋχουν απϐ το κϋντρο, ο Κορϋσ εύναι ο μϐνοσ που ορύζει τον κϑκλο ωσ γεωμετρικϐ τϐπο. Καταςκευϋσ ςε ςχϋςη με τον Κϑκλο (Παραθϋτουμε μερικϋσ) Να βρεθεύ το κϋντρο κϑκλου (ΙΙΙ.1). Απϐ ϋνα ςημεύο φϋρε 2 χορδϋσ. Υϋρε τισ μεςοκαθϋτουσ. Σο ςημεύο τομόσ των μεςοκαθϋτων εύναι το κϋντρο του κϑκλου. Καταςκευό κϑκλου περιγεγραμμϋνου ςε τρύγωνο (IV 5). Υϋρε τισ μεςοκαθϋτουσ δϑο πλευρών. Σο ςημεύο Ο, τομό των μεςοκαθϋτων. Καταςκεϑαςε κϑκλο με κϋντρο το Ο και ακτύνα ΟΒ (Β μια απϐ τισ κορυφϋσ του τριγώνου. Εφαπτομϋνη απϐ ςημεύο Α εκτϐσ κϑκλου. Εδώ δύνονται 2 καταςκευϋσ αλλϊ εντϑπωςη προκαλεύ η δεϑτερη καταςκευό αφοϑ δεν μπορεύ να θεωρηθεύ ςαν μαθηματικό καταςκευό. 1 οσ τρϐποσ: Υϋρε την ΟΑ. Βρεσ το μϋςον Ι τησ ΟΑ. Καταςκευό κϑκλου Κ(Ι,ΙΟ) Ρ τομό των δϑο κϑκλων. ΑΡ η εφαπτϐμενη. 2 οσ τρϐποσ: Πϊρε χϊρακα που να περνϊ απϐ το Α και να αγγύζει τον κϑκλο, ϐςο πιο καλϊ μπορεύ να το δει το μϊτι, και χϊραξε την εφαπτομϋνη.ο δεϑτεροσ τρϐποσ καταςκευόσ που θα μποροϑςαμε να τον ονομϊςουμε «εφαπτομϋνη κατϊ προςϋγγιςη» εμφανύζεται 20 Με ην δεύηεξν νξηζκό ζπκθσλνύλ θαη νη Κνξέο θαη Γεκεηξηάδεο. <<Καινύζηλ ελ γέλεη εθαπηνκέλελ εηο ηη ζεκείνλ Α θακπύιεο ηηλόο, ην όξηνλ ΑΒ ησλ ζέζεσλ, αο ιακβάλεη ηέκλνπζα ηηο ΑΒ ζηξεθόκελε πεξί ην ζεκείνλ Α κέρξηο νπ δεύηεξνλ ζεκείν Β ηεο ηνκήο ηαπηηζζεί κε ην πξώηνλ.>> 44 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

59 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ και ςε ϊλλεσ καταςκευϋσ ϐπωσ α) εφαπτομϋνη του κϑκλου ςε ςημεύο αυτοϑ, κοινό εφαπτομϋνη δϑο κϑκλων κοκ. Γεωμετρικόσ τόποσ των ςημεύων που ικανοποιοϑν μια ςχϋςη ονομϊζεται το ςϑνολο των ςημεύων που βρύςκονται ςτην κατϊλληλη θϋςη. Για να αποδειχθεύ ϐτι μια γραμμό ό ςϑνολο γραμμών εύναι ο Γεωμετρικϐσ τϐποσ ενϐσ ςημεύου πρϋπει α) κϊθε ςημεύο ςτισ γραμμϋσ να ικανοποιεύ τη ςχϋςη β) κανϋνα ϊλλο ςημεύο εκτϐσ των ευθειών να ικανοποιεύ τη ςχϋςη21. Αλγεβρικέσ ταυτότητεσ με γεωμετρική απόδειξη22 Πρϐταςη ΙΙ.4 (α+β)² = α² + 2αβ + β² Η απϐδειξη που δύνεται ςε αυτό την πρϐταςη εύναι η ύδια που δύνεται απϐ τον Ευκλεύδη, τον LEGENDRE και τουσ Walker, McNicol, απλϊ ο Barrell την παρουςιϊζει με πιο παραςτατικϐ τρϐπο. Πρϐταςη ΙΙ.7: (α-β)² = α² - 2αβ +β² Λόγοι και Αναλογίεσ: Όταν α και β δϑο ποςϐτητεσ του ύδιου εύδουσ, τϐτε το κλϊςμα α/β ονομϊζεται ο λϐγοσ του α ωσ προσ το β και γρϊφεται ςαν α:β. Σϋςςερισ ποςϐτητεσ α, β, γ, δ, βρύςκονται ςε αναλογύα αν Ιδιϐτητεσ αναλογιών23. Μερικϋσ απϐ αυτϋσ τισ ιδιϐτητεσ εύναι 21 Σην ηέινο ηεο πξώηεο ελόηεηαο ν Barrell ππνδεηθλύεη όηη ζα ήηαλ θαιά νη καζεηέο λα εθαξκόδνπλ ηελ κέζνδν Αλάιπζε- Σύλζεζε-Απόδεημε θαη δίλεη θαη δύν παξαδείγκαηα εθαξκόδνληαο ηελ ζπγθεθξηκέλε κέζνδν. 22 Απόδειξη από Legendre:Αο θαηαζθεπαζηεί ην ηεηξάγσλν ΑΓΓΔ, αο ιεθζεί ΑΕ=ΑΒ, αο αρζεί ΕΖ παξάιιεινο ηεο ΑΓ θαη ΒΘ ηεο ΑΒ. Με απηή ηελ θαηαζθεπή, ην ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ δηαηξείηαη ζε ηέζζεξα κέξε: ην πξώην ΑΒΗΕ είλαη ην θαηαζθεπαδόκελν ηεηξάγσλν επί ηεο ΑΒ, επεηδή ειήθζεη ΑΕ=ΑΒ, ην δεύηεξν ΗΖΓΘ είλαη ην θαηαζθεπαδόκελν ηεηξάγσλν επί ηεο ΒΓ, δηόηη επεηδή ΑΓ=ΑΔ θαη ΑΒ=ΑΕ, ε δηαθνξά ΑΓ-ΑΒ είλαη ίζε κε ηελ δηαθνξά ΑΔ-ΑΕ, εθ ηνπ νπνίνπ έπεηαη όηη ΒΓ=ΔΕ αιιά εμαηηίαο ησλ παξάιιεισλ ΗΖ=ΒΓ θαη ΓΖ=ΔΕ ινηπόλ ΘΗΖΓ ηζνύηαη κε ην ηεηξάγσλν ηεο ΒΓ. Τα δπν ηαύηα κέξε αθαηξεζέληα επί ην όινλ ηεηξάγσλν αθήλνπλ ππόινηπν ηα δύν νξζνγώληα ΒΓΖΗ, ΔΕΗΘ πνπ ην θάζε έλα έρεη γηα κέηξν ινηπόλ έηζη θαηαζθεπάδνκε ην ηεηξάγσλσλ επί ηεο ΑΓ θηι. 23 Δδώ ν Barrell δίλεη δηάθνξεο ηδηόηεηεο αλαινγηώλ πνπ απνδεηθλύνληαη κε παξόκνην ηξόπν από ηνλ Δπθιείδε 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 45

60 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα Ομοιότητα τριγώνων24: Ο Barrell δύνει δϑο οριςμοϑσ. Οριςμϐσ 1: Δϑο τρύγωνα εύναι ϐμοια αν ϋχουν τισ τρεισ γωνύεσ τουσ ύςεσ μια προσ μύα. Οριςμϐσ 2: Δϑο τρύγωνα εύναι ϐμοια αν ϋχουν τισ τρεισ πλευρϋσ τουσ ανϊλογεσ. Πρόταςη VI 6: Αν δϑο τρύγωνα ϋχουν μύα ύςη γωνύα και οι πλευρϋσ τουσ εύναι ανϊλογεσ τϐτε τα τρύγωνα εύναι ϐμοια μεταξϑ τουσ. Απϐδειξη Barrell: Σα δεδομϋνα εύναι: α=δ και. Σοποθϋτηςε το τρύγωνο DEF πϊνω ςτο ΑΒC ϋτςι ώςτε η γωνύα δ να βρύςκεται πϊνω ςτην α τϐτε η EF θα πϊρει την θϋςη τησ E F. E F // BC λ=γ και μ=β αλλϊ λ=φ και μ=θ ϊρα γ=φ και β=θ ϊρα τα τρύγωνα ABC και DEF ϋχουν τρεύσ ύςεσ γωνύεσ ϊρα τα τρύγωνα εύναι ϐμοια. Ομοιότητα ςχημάτων Ο Barrell αναφϋρει ϐτι δϑο ςχόματα εύναι ϐμοια αν ϋχουν τισ γωνύεσ τουσ ύςεσ μια προσ μύα και τισ πλευρϋσ τουσ ανϊλογεσ μύα προσ μύα. Σριγωνομετρικοί αριθμοί Αφοϑ ϋχει επεξηγόςει τουσ λϐγουσ και αναλογύεσ προχωρεύ ςε οριςμϐ των τριγωνομετρικών αριθμών ημύτονο, ςυνημύτονο, εφαπτϐμενη κοκ. Έτςι προχωρεύ ςε απϐδειξη του τϑπου Εμβαδϐν παραλληλογρϊμμου Ε=α.β.ημθ. τη ςυνϋχεια κϊνει αναφορϊ και ςτο νϐμο των ςυνημιτϐνων. Εμβαδόν Κύκλου : Δύνεται μια απϐδειξη του εμβαδοϑ του κϑκλου. Κϐβουμε τον κϑκλο ςε πολλοϑσ μικροϑσ τομεύσ και τουσ τοποθετοϑμε ςε ςειρϊ. Κϊθε τομϋασ μοιϊζει με τρύγωνο που το ϑψοσ του εύναι περύπου ύςο με την ακτύνα του κϑκλου και η βϊςη του ύςη με το τϐξο που αντιςτοιχεύ ςτον τομϋα. 24 Ο Γακαζθελόο δίλεη ηνλ πην θάησ νξηζκό γηα ηα όκνηα ηξίγσλα: «Γύν ηξίγσλα ιέγνληαη όκνηα, όηαλ έρσζηλ ηαο γσλίαο ίζαο εθάζηελ εθάζηε θαη ηαο νκνιόγνπο απηώλ πιεπξάο αλαιόγνπο». 46 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

61 Ιςτορύα τησ Γεωμετρύασ Ε τομϋα = ½ (ακτύνα) (τϐξο), Ε κϑκλου= ½(ακτύνα) (ϊθροιςμα τϐξων) Ε κϑκλου= ½(ακτύνα) (περύμετρο κϑκλου), Ε κϑκλου= ½ R 2πR = πr² υνοπτικϊ ο Barrell για τισ γραμμέσ και επιφάνειεσ αναφϋρει τα πιο κϊτω: Επιφϊνεια: «Σο όριο που διαχωρύζει τον χώρο ςτο κομμϊτι που υπϊρχει ϋνα ςτερεό από το κομμϊτι που δεν υπϊρχει το ςτερεό, ϋχει μόκοσ και πλϊτοσ αλλϊ δεν ϋχει πϊχοσ». Γραμμό: εύναι η τομό δύο επιφανειών. Ευθεύα Γραμμό :εύναι η τομό δύο επιπϋδων. Επύςησ κϊθε δύο τεμνόμενεσ ευθεύεσ βρύςκονται ςτο ύδιο επύπεδο. ΣΕΡΕΟΜΕΣΡΙΑ τη ςτερεομετρύα ο Barrell αναφϋρεται ςτισ Γραμμϋσ και Επύπεδα, ςτα Πρύςματα- Πυραμύδεσ, ςτην Επιφϊνεια και ϐγκοσ τερεοϑ, ςτισ Γωνύεσ Επιπϋδων και ςτη φαύρα. Όςον αφορϊ το Δημητριϊδη δεν ϋχουμε το Β μϋροσ του βιβλύου του ςτη ςτερεομετρύα, ενώ ο Δαμαςκηνϐσ χωρύζει τα ςτερεϊ ςε Πολύεδρα και τρογγυλά ώματα. Η ςφαίρα μελετϊται χωριςτϊ. Ο Κορϋσ δύνει προςόλωςη ςτην ϋννοια του ορύου, αναφϋρεται ςτα πρύςματα και τον κϑλινδρο, ςτην πυραμύδα και τον κώνο, ςτα κϐλουρα ςτερεϊ και ςτη ςφαύρα. ημειώνεται ϐτι δεν υπϊρχουν διαφορϋσ ςτο περιεχϐμενο. ΤΜΠΕΡΑΜΑΣΑ Υαύνεται, λοιπϐν, ϐτι ο Frank Barrell ϋχει πϊρα πολλϊ κοινϊ ςτοιχεύα με τουσ Δημητριϊδη, Δαμαςκηνϐ και γενικϊ τη ςχολό του Legendre, ιδιαύτερα ϐμωσ εύναι πολϑ κοντϊ ςτον Κορϋ. Σαυτϐχρονα, ϐμωσ, ςε κϊθε ευκαιρύα προςπαθεύ να παραθϋςει περιςςϐτερεσ απϐ μια αποδεύξεισ, δηλαδό φαύνεται να μην εύναι απϐλυτοσ ςε μια απϐδειξη, αλλϊ ϐςεσ αποδεύξεισ του αρϋςουν τισ περιλαμβϊνει ςτο βιβλύο του. Σο μϊθημα τησ Γεωμετρύασ εύναι ϋνα ιδιαύτερα δϑςκολο αλλϊ και ενδιαφϋρον θϋμα και θα πρϋπει να μελετηθεύ πολϑ ςοβαρϊ, ϐχι μϐνο ςχετικϊ με το τι παρουςιϊζουμε ςτουσ μαθητϋσ, αλλϊ και το πώσ το παρουςιϊζουμε. Δε θα πρϋπει κϊποια θεωρόματα να δύνονται ϋτοιμα ςτουσ μαθητϋσ χωρύσ απϐδειξη και απλϊ να ζητοϑμε αποςτόθιςη και εφαρμογό των θεωρημϊτων αυτών. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΥΙΑ Barrell, F. (1913). Elementary Geometry. London. Γαγϊτςησ, A. (1991). Θϋματα Διδακτικόσ των Μαθηματικών. Θεςςαλονύκη: Εκδϐςεισ Κυριακύδη. Γαγϊτςησ, Α, Δεληγιϊννη, Ε., Ηλύα, Ι., Μονογυιοϑ, Α., Παναοϑρα, Α. (2008). 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 47

62 Α. Γαγϊτςησ,. ϊββα- Παπαγιϊννη & Μ. ολωμού-κύζα Προβλόματα μϊθηςησ ςτα μαθηματικϊ κατϊ τη μετϊβαςη από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο. Λευκωςύα: Πανεπιςτόμιο Κϑπρου. Δαμαςκηνϐσ, A.B (1878). τοιχεύα Γεωμετρύασ Λεγϋνδρου. Αθόνα. Δημητριϊδησ, Γ.Α. (1874). τοιχεύα Γεωμετρύασ (Θεωρητικόσ, Πρακτικόσ και Εφαρμοςμϋνησ). Κωνςταντινοϑπολη Elements of Geometry by A. M. Legendre, translated by John Farrar 2 nd Edition, Cambridge Κορϋσ, Μ. (1903). τοιχεύα Γεωμετρύασ. Αθόνα. τοιχεύα του Ευκλεύδη: Βιβλύα Walker, Α. & McNicol, G. (1929). A school Geometry. Αγγλύα. 48 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

63 ΜΠΟΡΕΙ Η ΕΚΠΛΗΞΗ ΝΑ ΑΝΑΣΡΕΨΕΙ ΣΗΝ ΠΛΗΞΗ; ΔΟΚΙΜΕ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΠΑΡΑΔΟΞΩΝ ΣΗΝ ΣΑΞΗ Γιώργοσ Δ. Κόςυβασ, Βαρβάκειο Πειραματικό Λύκειο ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργαςία αυτή παρουςιάζονται και αναλύονται δεδομένα με μαθηματικά παράδοξα από τάξεισ του ελληνικού Λυκείου. Η εργαςία επικεντρώνεται ςτουσ ςυλλογιςμούσ και τισ γνωςτικέσ αςυμφωνίεσ των μαθητών που παρατηρούνται τόςο ςε ατομικό επίπεδο όςο και κατά τισ μαθηματικέσ αλληλεπιδράςεισ ςτην τάξη. Από τα αποτελέςματα αυτήσ τησ έρευνασ προκύπτει ότι το εκάςτοτε παράδοξο προκαλεί έκπληξη ςτουσ μαθητέσ, κεντρίζει το ενδιαφέρον τουσ και λειτουργεί ωσ κίνητρο εναςχόληςησ για την ανίχνευςη του λάθουσ και την εμβάθυνςη ςτισ μαθηματικέσ έννοιεσ. Θεωρητικό πλαίςιο Τόςο ςτο Δημοτικό ςχολεύο όςο και ςτο Γυμνϊςιο οι μαθητϋσ ςυμπορεύονται με τα μαθηματικϊ. Αυτό η ςυμπόρευςη εύναι υποχρεωτικό για όλουσ, όμωσ δεν φαύνεται αληθινϊ επιθυμητό για πολλούσ μαθητϋσ. Έτςι, ενώ ςτισ πρώτεσ τϊξεισ του Δημοτικού όλοι οι μαθητϋσ εμπλϋκονται εθελοντικϊ ςτισ δραςτηριότητεσ τησ τϊξησ και ϋχουν ζωηρό επιθυμύα για την πρόςκτηςη μαθηματικών γνώςεων, καθώσ μεταβαύνουν από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο παρατηρεύται εξαςθϋνιςη τησ επιμονόσ τουσ και μεταβολό των μαθηςιακών κινότρων (Αθαναςύου & Φιλύππου 2007). Επιπλϋον, εμφανύζονται τα πρώτα ύχνη ανηςυχύασ και φόβου για τα μαθηματικϊ (Καγκουρϊ κ. ϊ. 2009). Σταδιακϊ καθώσ οι μαθητϋσ προχωρούν ςτισ μεγαλύτερεσ τϊξεισ ο ζόλοσ τουσ ατονεύ και το αρχικό ενδιαφϋρον εξατμύζεται, ενώ η ανύα και αντιπϊθειϊ τουσ προσ τα μαθηματικϊ αυξϊνεται. Σε αυτό ςυμβϊλλουν ςυχνϊ οι δϊςκαλοι και οι γονεύσ, ιδιαύτερα αν οι ύδιοι ϋνιωςαν ςυναιςθόματα ταπεύνωςησ κατϊ την αυταρχικό μαθηματικό διδαςκαλύα που δϋχτηκαν ό αντιπαθούν τα μαθηματικϊ. Μεταφϋρουν ςτα παιδιϊ την αποθαρρυντικό αντύληψη ότι εφόςον δεν διαθϋτουν το φυςικό χϊριςμα τησ μαθηματικόσ ευφυΐασ δεν θα κατανοόςουν ποτϋ τα μαθηματικϊ. Οι μαθητϋσ ανϊλογα με τον κοινωνικό τουσ περύγυρο και τισ επιδόςεισ τουσ ςτο ςχολεύο ϋχουν ςχηματύςει και εξακολουθούν να πλϊθουν και να αναπλϊθουν μια ευχϊριςτη ό δυςϊρεςτη εικόνα για τη φύςη των μαθηματικών, όπωσ βϋβαια και το ρόλο του μαθηματικού και το 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 49

64 Γ. Δ. Κόςυβασ δικό τουσ ρόλο. Έτςι φθϊνουν ςτο Λύκειο, ϋχοντασ όδη ςφυρηλατόςει οι περιςςότεροι μια μϊλλον αρνητικό εικόνα για τα μαθηματικϊ, τα οπούα θεωρούν ωσ μια δυςνόητη επιςτόμη η οπούα θα καθορύςει την εκπαιδευτικό τουσ εξϋλιξη. Πολλϊ ςυνηγορούν υπϋρ τησ υπόθεςησ ότι η διδαςκαλύα των μαθηματικών αφόνει μακροπρόθεςμα τα πιο οδυνηρϊ τραύματα ςτουσ μαθητϋσ. Αυτό η αρνητικό εικόνα, τα μαθηματικϊ ωσ φόβοσ και τρόμοσ, μεταδύδεται από γενιϊ ςε γενιϊ (Κόςυβασ 2010). Εύναι πικρό και ανηςυχητικό η διαπύςτωςη ότι η διδαςκαλύα των μαθηματικών παρϊγει ςυχνϊ υπερβολικό αδιαφορύα, πλόξη και αποςτροφό των μαθητών του Λυκεύου. Μπροςτϊ ςτον κύνδυνο περιθωριοπούηςόσ τουσ ακόμα και ικανού μαθητϋσ προςαρμόζουν τα ενδιαφϋροντϊ τουσ προσ τισ γενικϋσ τϊςεισ που επικρατούν ςτισ εφηβικϋσ ομϊδεσ. Έτςι ςπϊνια υπϊρχουν μαθητϋσ που επιμϋνουν να εμπλϋκονται ςε καταςτϊςεισ προβληματιςμού με αυτοπεπούθηςη και πολύ λιγότεροι με ενθουςιαςμό και περιϋργεια. Στην καλύτερη περύπτωςη ϋνα μϋροσ από αυτούσ αποκτούν ϋνα ωφελιμιςτικό εξωτερικό κύνητρο, ενδιαφϋρονται να πϊρουν καλούσ βαθμούσ, ϋχουν εκπαιδευτικϋσ και επαγγελματικϋσ βλϋψεισ, αλλϊ δεν εργϊζονται με πραγματικό ευχαρύςτηςη. Στο Λύκειο η μϊθηςη υποτϊςςεται ςτην εξεταςτικό χρηςιμότητα. Έτςι, η καθημερινό διδαςκαλύα των μαθηματικών ςύρεται ςε μια προδιαγεγραμμϋνη πορεύα, χωρύσ παρεκκλύςεισ και εκπλόξεισ. Επιπλϋον, με τον παραμεριςμό του νοόματοσ θυςιϊζεται το μόνο γνόςιο μαθηςιακό κύνητρο για τα μαθηματικϊ, η χαρϊ τησ ανακϊλυψησ. Η προαναφερόμενη αρνητικό εικόνα των μαθητών για τα μαθηματικϊ ςε ςυνδυαςμό με τισ αντύςτοιχεσ προςδοκύεσ, καθορύζει προςωρινϊ τισ πεποιθόςεισ και τισ ςτϊςεισ τουσ, αλλϊ δεν εύναι πολύ βαθιϊ χαραγμϋνη και μπορεύ να μεταβληθεύ ανϊλογα με τισ εμπειρύεσ τουσ ςτο ςχολεύο. Μπορεύ δηλαδό να επιβεβαιωθεύ και να ενιςχυθεύ ό να τροποποιηθεύ από τα πραγματικϊ βιώματα (McLeod 1992, Viau 2003). Τα τελευταύα χρόνια αποδύδεται βαρύνουςα ςημαςύα από τουσ ερευνητϋσ τησ μαθηματικόσ εκπαύδευςησ ςτο ρόλο του ςυναιςθόματοσ ςτη διδαςκαλύα και τη μϊθηςη των μαθηματικών (DeBellis & Goldin 2006, Hannula 2006, Zan et al. 2006). Οι ρευςτϋσ αντιλόψεισ των παιδιών για τη ςημαςύα των Μαθηματικών ςτη ζωό, για το εύροσ εφαρμογόσ τουσ, για το βαθμό δυςκολύασ ςτη μϊθηςό τουσ, για το κύροσ και το γόητρό τουσ, αποτελούν ςυχνϊ πηγό χαρϊσ ό φόβου. Συναιςθηματικού παρϊγοντεσ των μαθητών, όπωσ οι ςτϊςεισ και οι ςυγκινόςεισ, οι αυτοεικόνεσ και οι ετεροεικόνεσ, τα κύνητρα και οι προςδοκύεσ, οι πεποιθόςεισ και οι αξύεσ εύναι εξύςου ςημαντικού με τη μϊθηςη του γνωςτικού αντικειμϋνου και επηρεϊζουν τισ ςχολικϋσ επιδόςεισ και την αποτελεςματικό λύςη προβλόματοσ (Gomez-Chacon 2000, Φιλύππου & Χρύςτου 2001). Ειδικότερα, η ϋκπληξη, ο θαυμαςμόσ και η περιϋργεια θεωρούνται ωσ ελκυςτικϊ παιδαγωγικϊ τεχνϊςματα του δαςκϊλου για τη διϋγερςη του ενδιαφϋροντοσ των μαθητών, την προαγωγό τησ μϊθηςησ και την ανϊπτυξη τησ κριτικόσ ςκϋψησ (Malone & Lepper 1987, Brown & Walter 1990, Arsac & Mante 2007, Kosyvas 2010). Η έκπληξη είναι 50 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

65 Δοκιμέσ Μαθηματικών Παραδόξων ςτην Τάξη αναμφιςβήτητα ένα ευχάριςτο ςυναίςθημα. Θα μπορούςε να αξιοποιηθεί ώςτε η διδαςκαλία των μαθηματικών να είναι ευχάριςτη και γόνιμη για όλουσ τουσ μαθητέσ; Η ϋκπληξη αποτελεύ ϋνα παγκοςμύωσ κοινό ςυναύςθημα: δεν αποκτιϋται με την εκπαύδευςη, αλλϊ μϊλλον εύναι ϋμφυτη ςε όλουσ τουσ ανθρώπουσ. Εύναι κατϊ βϊςη το ευχϊριςτο ξϊφνιαςμα ό η αύςθηςη τησ περιϋργειασ από ϋνα αςυνόθιςτο ό απρόοπτο γεγονόσ και εμπεριϋχει τα γνωρύςματα τησ χαρϊσ, του θαυμαςμού, τησ διαςκϋδαςησ και τησ ικανοπούηςησ (Berlyne 1960, Knuth 2002, Johnson 2007). Καθώσ οι μαθητϋσ εκπλόςςονται βιώνουν μια ϋντονη και καθολικό ϋλξη και εμπλϋκονται υπαρξιακϊ και ςυναιςθηματικϊ. Το εν λόγω ςυναύςθημα ςυνοδεύει πνευματικϋσ εναςχολόςεισ, όπωσ η ςυγκύνηςη που παρϊγεται κατϊ τη διϊρκεια ερευνητικών μαθηςιακών διαδρομών καθώσ η διϊνοια καταγύνεται με ϋνα αντικεύμενο που φαντϊζει παρϊξενο ό αςυνόθιςτο (Κόςυβασ 2010). Επιπλϋον, η ϋκπληξη μπορεύ να εκδηλώνεται όταν υπολανθϊνει μια περύεργη υπόνοια μη κατανόηςησ ό όταν κϊτι οικεύο εμφανύζεται κϊτω από μια ϊγνωςτη ό αςυνόθιςτη οπτικό γωνύα. Συνόθωσ αποκαλύπτει την αςυμφωνύα τησ ςκϋψησ και εύναι απαραύτητη ςτην ανϊπτυξη προβληματιςμού. Αποτελεύ μια δημιουργικό μετϊβαςη για την πρόςκτηςη τησ γνώςησ, αλλϊ και τον αναςτοχαςμό. Εφόςον ο ρόλοσ τησ ςτη μαθηςιακό διαδικαςύα εύναι γόνιμοσ, απομϋνει να εξετϊςουμε πώσ μπορεί να γεννηθεί η έκπληξη ςτισ τάξεισ των μαθηματικών. Η πρόκληςη γνωςτικόσ ςύγκρουςησ θεωρεύται ςυχνϊ ωσ διδακτικό ςτρατηγικό η οπούα μπορεύ να ςυμβϊλλει ςτη μϊθηςη (Behr & Harel 1990, Tirosh & Graeber 1990). Η δόμηςη των νοητικών ικανοτότων των μαθητών περιγρϊφεται ςυνόθωσ από το πρότυπο του Piaget που χαρακτηρύζεται από τισ διαδικαςύεσ τησ αφομούωςησ, τησ προςαρμογόσ και τησ ιςορροπύασ. Καθώσ οι μαθητϋσ ϋρχονται ςε γνωςτικό ςύγκρουςη, ςυνειδητοποιούν ότι οι γνώςεισ τουσ εύναι ανεπαρκεύσ και πρϋπει να τισ αναθεωρόςουν, να τισ ςυμμορφώςουν. Αμφιβϊλλοντασ για τισ βεβαιότητϋσ τουσ, τισ επανεξετϊζουν ςε βϊθοσ και τισ αναδομούν. Αυτό η αντύληψη απορρϋει από τη θεωρύα τησ γνωςτικόσ αςυμφωνύασ (Festinger 1957) που ςτηρύζεται ςτην υπόθεςη ότι η γνωςτικό ςύγκρουςη προκαλεύ μια ψυχικό αςυμφωνύα ςτο ϊτομο που προςπαθεύ να την περιορύςει, διατηρώντασ τη μεγαλύτερη δυνατό εςωτερικό ςυμφωνύα. Η ςύγκρουςη οδηγεύ ςε αποςταθεροπούηςη των βεβαιοτότων και αναδόμηςη των νοητικών τουσ δομών (Giordan 1998). Την αρχικό ϋκπληξη διαδϋχεται η γνωςτικό διατϊραξη και ϋπειτα η πολυςύνθετη διαδικαςύα τησ εννοιολογικόσ αλλαγόσ. Τύθεται τότε το ερώτημα πώσ θα εμφυςήςουμε την επιθυμία των μαθηματικών ςε μαθητέσ που ίςωσ ποτέ δεν είχαν την έφεςη ή το ενδιαφέρον για αυτά. Κατϊλληλεσ διδακτικϋσ καταςτϊςεισ που ενδϋχεται να δημιουργόςουν ϋκπληξη και γνωςτικό ςύγκρουςη εύναι τα παρϊδοξα προβλόματα. Τα μαθηματικϊ παρϊδοξα εύναι προτϊςεισ που περιϋχουν αντύφαςη, ςυλλογιςμού χωρύσ φανερό ρόγμα που όμωσ καταλόγουν ςε παρϊλογο ςυμπϋραςμα, ό γενικότερα καταςτϊςεισ αντύθετεσ προσ τη διαύςθηςη και την κοινό αντύληψη. Συνόθωσ ςε 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 51

66 Γ. Δ. Κόςυβασ μια ςυνδυαςμϋνη ακολουθύα ορθών ιςχυριςμών που φαύνεται γερϊ θεμελιωμϋνη υπολανθϊνουν λϊθη που οφεύλονται ςτην παραβύαςη μαθηματικών ιδιοτότων, την εςφαλμϋνη εφαρμογό κανόνων ό την εκτϋλεςη αλγεβρικών υπολογιςμών χωρύσ νόημα. Τα παρϊδοξα αφθονούν ςτα μαθηματικϊ και αποτελούν πρόςφορα διδακτικϊ μϋςα: αποφεύγουν προφανό ςυμπερϊςματα προκαλώντασ τη γεφύρωςη αντιφϊςεων και αςυμφωνιών (Κόςυβασ 2010). Κϊθε φορϊ που καλούμαςτε να διδϊξουμε μια νϋα μαθηματικό ϋννοια ςτο Λύκειο ψϊχνουμε να βρούμε κατϊλληλα προβλόματα που να απαντούν ςτισ απορύεσ των μαθητών. Αναζητούμε εύςτοχεσ περιπτώςεισ που ενιςχύουν τη βαθύτερη μαθηματικό κατανόηςη και προςφϋρονται για γόνιμεσ μαθηματικϋσ ςυζητόςεισ ςτην τϊξη. Ένα μϋροσ από αυτϊ αποτελούν προβλόματα με αντιφϊςεισ, πλϊνεσ και παρϊδοξα. Τα ακόλουθα παραδεύγματα ςυχνϊ εκπλόςςουν τουσ μαθητϋσ: , ϊρα 2=-2! , άρα 5 = -5! x x x x x x x dx x dx x x dx 1 x dx 1 x dx 1 dx 2, ϊρα 0=1! i = 1 2i i 2i 1 4i 4i 3 4i, άρα: i = i = 5! Η διαςϊφηςη τϋτοιων παραδόξων ςτην τϊξη εύναι ςυχνϊ διαςκεδαςτικό. Επιπλϋον, μϊσ καθιςτούν πιο προςεκτικούσ όταν εφαρμόζουμε «ςυνηθιςμϋνουσ» κανόνεσ τησ ϊλγεβρασ, τησ ανϊλυςησ ό των μιγαδικών αριθμών. Η πρόθεςό μασ ςυνοψύζεται ςτη διδακτικό χρόςη μαθηματικών παραδόξων ςτισ τϊξεισ του Λυκεύου. Παύρνοντασ αφορμϋσ από τα βιώματα και τα ενδιαφϋροντα των μαθητών εντϊςςουμε ςτο μϊθημα παρϊδοξεσ εκπλόξεισ με λεπτό προςοχό. Η δημιουργύα ενόσ υποςτηρικτικού μαθηςιακού περιβϊλλοντοσ που ευνοεύ τη ςυμμετοχό και ενθαρρύνει την ανϊπτυξη των ιδιαύτερων κλύςεων και ικανοτότων των μαθητών αποκτϊ βαρύνουςα παιδαγωγικό ςημαςύα. Ελπύζουμε οι μαθητϋσ του Λυκεύου να αιςθανθούν κϊποια ϋκπληξη, να ανακτόςουν την ϋφεςη τησ παιδικόσ ηλικύασ για το παρϊξενο, το αςυνόθιςτο και την καινοτομύα αποκτώντασ μια ακατϊλυτη και παντοτινό επιθυμύα εξερεύνηςησ και πνευματικόσ περιπϋτειασ. Η δύναμη των παραδόξων, επϋφερε αξιοςημεύωτη πρόοδο ςτην ιςτορύα των επιςτημών, αποκαλύπτοντασ λογικϋσ αδυναμύεσ, ανεπϊρκειεσ ό επιςτημολογικϊ εμπόδια. Γι αυτό αποτελούν ϋνα πολύτιμο εργαλεύο που εμπλουτύζει την καθημερινό διδαςκαλύα. Η πρόκληςη ϋκπληξησ, μπορεύ να κινητοποιόςει ακόμα και μαθητϋσ που δεν αιςθϊνονται ϊνετα ό φοβούνται τα μαθηματικϊ, να λύςουν 52 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

67 Δοκιμέσ Μαθηματικών Παραδόξων ςτην Τάξη τα παρϊδοξα προβλόματα. Αρκεύ να ψϊξουν για εξηγόςεισ που φωτύζουν τισ αντιφϊςεισ και ςυνθϋτουν ςχϋςεισ με λογικό ςυνοχό. Με την προβολό ενόσ παραδόξου δεν υπϊρχει υπεκφυγό παρϊ μόνο η λύςη τησ ςύγκρουςησ: το γνωςτικό εμπόδιο δεν μπορεύ να παρακαμφθεύ, πρϋπει να διαςχιςτεύ. Η παρούςα εργαςία Στόχοσ τησ εργαςίασ: Σε αυτό την εργαςύα διερευνώνται οι μαθηματικού ςυλλογιςμού των μαθητών του Λυκεύου καθώσ αυτού καταγύνονταν με τη λύςη μαθηματικών παραδόξων και την εξεύρεςη των λαθών. Στα εν λόγω διδακτικϊ πειρϊματα ςυγκεντρώνουμε το ερευνητικό ενδιαφϋρον τόςο ςτισ αςυμφωνύεσ που παρατηρούνται ςε ατομικό επύπεδο ςτουσ μαθητϋσ όςο και ςτισ μαθηματικϋσ αλληλεπιδρϊςεισ ςτην τϊξη. Διατυπώνουμε την υπόθεςη ότι τα παρϊδοξα ϋχουν παιδαγωγικό ενδιαφϋρον για τα μαθηματικϊ ςτο Λύκειο (μαθηςιακό, ςυναιςθηματικό, μεθοδολογικό, μεταγνωςτικό). Πλαίςιο έρευνασ και ςυμμετέχοντεσ: Η ϋρευνα εκτυλύχτηκε ςε διϊφορεσ τϊξεισ του Βαρβακεύου Πειραματικού Λυκεύου, ςτην Αθόνα, κατϊ τα διδακτικϊ ϋτη και Ο εκπαιδευτικόσ εύναι καθηγητόσ μαθηματικών του ςχολεύου. Το διδακτικϊ πειρϊματα αναφϋρονται ςε μαθηματικϊ παρϊδοξα που εκτύθενται παρακϊτω μαζύ με τα αποτελϋςματα. Συλλογή και ανάλυςη δεδομένων: Παρατηρόθηκαν οι αλληλεπιδρϊςεισ ανϊμεςα ςτουσ μαθητϋσ κατϊ τη διϊρκεια τησ ςυνεργαςύασ τουσ ανϊ δύο και κατϊ τη διϊρκεια τησ κοινόσ ςυζότηςησ ςε όλη την τϊξη. Επύςησ, λόφθηκαν υπόψη οι γραπτϋσ ςημειώςεισ κϊθε μαθητό κατϊ τη διϊρκεια τησ λύςησ των προβλημϊτων. Η ανϊλυςη των δεδομϋνων εύναι ποιοτικό και αφορϊ τη ςυμμετοχικό παρατόρηςη τησ τϊξησ. Εξετϊζουμε κυρύωσ την ανϊπτυξη του μαθηματικού ςυλλογιςμού κατϊ τη διϊρκεια των δραςτηριοτότων (Erickson 1986, Cobb et al. 2003, Collins et al. 2004, Kosyvas & Baralis 2010). Οι μαθηματικέσ δραςτηριότητεσ: Τα παρϊδοξα που επιλϋχτηκαν εύναι αλγεβρικού και γεωμετρικού τύπου. Τα προβλόματα καταςκευϊςτηκαν ό αντλόθηκαν από διϊφορεσ πηγϋσ και προςαρμόςτηκαν (Northrup 1944, Kleiner & Movshovitz-Hadar 1994, Abiteboul 1998, Movshovitz-Hadar & Webb 1998). Στη ςυνϋχεια παρουςιϊζουμε ενδεικτικϊ οριςμϋνα προβλόματα που δοκιμϊςτηκαν ςτισ τϊξεισ με μια προκαταρκτικό ανϊλυςη και μια ςύνοψη των ςυλλογιςμών των μαθητών κατϊ τη μαθηματικό επικοινωνύα. Παρουςίαςη και ςυζήτηςη των αποτελεςμάτων 1. Το τριάντα δύο είναι ίςο με το τριάντα τρία! (Β Λυκείου) Εκφώνηςη: Τα παρακάτω ςχήματα δείχνουν δύο πάζλ που έχουν καταςκευαςτεί από τα ίδια κομμάτια. Αν αναδιατάξουμε τα κομμάτια του πρώτου πάζλ, τότε ςχηματίζεται το δεύτερο ςτο οποίο όμωσ περιςςεύει ένα λευκό τετράγωνο. Πώσ εξηγείτε αυτό το αποτέλεςμα; 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 53

68 Γ. Δ. Κόςυβασ Ο ςτόχοσ αυτού του προβλόματοσ εύναι να θϋςουμε τουσ μαθητϋσ ςε μια κατϊςταςη ϋκπληξησ (τα δύο πϊζλ καλύπτουν φαινομενικϊ «ύςα τρύγωνα» των οπούων το εμβαδόν διαφϋρει!). Το εν λόγω πϊζλ αποτελεύ μια εκδοχό ανϊλογου πϊζλ που εφευρϋθηκε από τον Lewis Carroll, και αναμϋνεται να προκαλϋςει γνωςτικό ςύγκρουςη ςτουσ μαθητϋσ ανϊμεςα ςτην οπτικό αντύληψη και τισ γνώςεισ τουσ για τα εμβαδϊ. Η πλειονότητα των μαθητών θεώρηςε παρϊξενο τα ύδια κομμϊτια ςτο δεύτερο πϊζλ να αφόνουν ϋνα μικρό λευκό τετρϊγωνο. Οριςμϋνοι μαθητϋσ με χαμηλό μαθηματικό αυτοπεπούθηςη δεν ϋψαξαν για τη λύςη επειδό θεώρηςαν ότι δεν θα τη βρουν. Όμωσ, δόλωςαν ότι επιθυμούν να τη γνωρύςουν. Οι ςυναιςθηματικϋσ αντιδρϊςεισ των μαθητών ποικύλουν: από τη μια μεριϊ εύναι εκεύνοι που εξϋφραςαν την επιθυμύα να λύςουν το πρόβλημα εκδηλώνοντασ ϋκπληξη, αμηχανύα, περιϋργεια, γοητεύα και ανακούφιςη όταν ϋβριςκαν κϊποια εξόγηςη και από την ϊλλη εκεύνοι που εξϋφραςαν δυςαρϋςκεια, ανηςυχύα, νευρικότητα, ϋλλειψη κατανόηςησ, αμφιβολύα, ϊγνοια και φόβο. Το πρόβλημα προκϊλεςε βαθειϊ γνωςτικό ςύγκρουςη ςτουσ μαθητϋσ και ο διαςκεδαςτικόσ χαρακτόρασ τούσ ώθηςε να ψϊξουν για μια εξόγηςη. Οριςμϋνεσ εξηγόςεισ που ϋδωςαν οι μαθητϋσ για να αιτιολογόςουν τη διαφορϊ των εμβαδών αποκαλύπτουν αποςταθεροπούηςη: «το αποτέλεςμα εξαρτάται από τον τύπο του εμβαδού», «όταν αλλάζουμε τη διάταξη των κομματιών, το εμβαδόν αλλάζει». Εύναι αξιοςημεύωτο ότι δύο μαθητϋσ ϋδειξαν ϋςτω προςωρινϊ αδυναμύα διατόρηςησ του εμβαδού. Οι περιςςότεροι μαθητϋσ ςτα φύλλα εργαςύασ βρόκαν τα εμβαδϊ των δύο υποτιθϋμενων τριγώνων από τα κομμϊτια τουσ με χρόςη τύπων και απαριθμόςεισ τετραγώνων: 32 cm 2 και 33 cm 2. Λιγότεροι μαθητϋσ υπολόγιςαν το εμβαδόν του μιςού ορθογωνύου: 32,5 cm 2 και από αυτούσ ακόμα λιγότεροι προβληματύςτηκαν πϊνω ςε αυτό τη διαφορϊ. Μόνο τρεισ δυϊδεσ μαθητών ανϋφεραν ότι δεν έχουμε τρίγωνα, αλλά τετράπλευρα αφού το ένα «μπαίνει μέςα» και το άλλο «βγαίνει έξω». Έτςι, διατύπωςαν την εικαςύα ότι δεν ςχηματύζεται «ένα κανονικό ορθογώνιο τρίγωνο, αφού τα τρία ςημεία ςτην υποτιθέμενη υποτείνουςα δεν ευθυγραμμίζονται». Για την απόδειξη τησ εικαςύασ χρηςιμοποιόθηκαν: το Πυθαγόρειο θεώρημα, ομοιότητα τρύγωνα, χρόςη διανυςμϊτων και τριγωνομετρύα. Μόνο η χρόςη του Πυθαγορεύου θεωρόματοσ τελεςφόρηςε: 54 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

69 Δοκιμέσ Μαθηματικών Παραδόξων ςτην Τάξη Γ Μ B 8 3 Ζ Δ Ε 3 A Λ 5 Ν Σ Ρ 2 Κ Αν εφαρμόςουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα ςτα τρίγωνα ΔΕΓ και ΒΖΔ του πρώτου ςχήματοσ έχουμε: ΓΓ = ΓΔ + ΔΓ = 5 +2 = 29 5,385 Από το τρίγωνο ΑΒΓ βρίςουμε: και BΓ= ΒΕ + ΕΓ = 8 +3 = 73 8, BΓ = ΒΑ + ΑΓ = = = ,898. Έχουμε: ΒΓ=13,898, ΒΔ+ΔΓ=8,544+5,385=13,929. Επομένωσ: ΒΓ<ΒΔ+ΔΓ και τα ςημεία Β, Δ, Γ δεν είναι ςυνευθειακά. Το ίδιο ιςχύει ια τα ςημεία Λ, Ν, Μ. Στο πρώτο ςχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν μιςό τετραγωνάκι περιςςότερο από το πάζλ (32,5-32=0,5), ενώ ςτο δεύτερο, το τρίγωνο ΚΛΜ είναι μιςό τετραγωνάκι λιγότερο από το πάζλ μαζί με το λευκό τετράγωνο (33-32,5=0,5). Αυτά τα δύο μιςά εξηγούν την παράξενη παρουςία του λευκού τετραγώνου. Έτςι οι μαθητϋσ ςυμπϋραναν ότι οι κορυφϋσ των κομματιών που οπτικϊ τοποθετούνται ςτην «υποτεύνουςα του τριγώνου» δεν αποτελούν ςυνευθειακϊ ςημεύα. Το παρϊδοξο οφεύλεται ςε οφθαλμαπϊτη. Τα τϋςςερα κομμϊτια του πϊζλ ϋχουν και ςτισ δύο περιπτώςεισ το ύδιο εμβαδόν, αλλϊ δεν ςχηματύζουν ορθογώνιο τρύγωνο όπωσ παραπλανητικϊ φαύνεται. Με τη βοόθεια τετραγωνιςμϋνου χαρτιού ό γεωμετρικών οργϊνων οι μετρόςεισ εύναι ανακριβεύσ γιατύ οι ατϋλειεσ του ςχόματοσ εύναι ανεπαύςθητεσ και ςτο όριο του πειραματικού ςφϊλματοσ. Το ςχόμα εύναι χρόςιμοσ οδηγόσ ςυλλογιςμού, αλλϊ μπορεύ να καταλόγει ςε πλϊνεσ. Η θεωρητικό μελϋτη του ςχόματοσ με λογικϋσ διαδικαςύεσ όπωσ με χρόςη του Πυθαγόρειου Θεωρόματοσ, Τριγωνομετρύασ κλπ. οδηγεύ ςε αςφαλό ςυμπερϊςματα. 2. Το τέςςερα είναι ίςο με πέντε! (Α Λυκείου) Εκφώνηςη: Να βρεθεί το λάθοσ ςτη ςειρά των ςυλλογιςμών: (Movshovitz-Hadar & Webb 1998). 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 55

70 Γ. Δ. Κόςυβασ = (1) = (2) = (3) = (4) = (5) 4 = 5. (6) Ο ςυλλογιςμόσ που εκτύθεται παραπϊνω αρχύζει με μια ιςότητα που εύναι αληθόσ (16 36 και εύναι ύςα με 20), αλλϊ καταλόγει ςε ϋνα προφανώσ ψευδϋσ ςυμπϋραςμα (4 = 5)! Πώσ να εξηγόςουμε αυτό το αποτϋλεςμα; Στόχοσ τησ δραςτηριότητασ εύναι να ςκεφτούν οι μαθητϋσ την ψευδό απόδειξη για να βρουν το βόμα με τον λανθαςμϋνο ςυλλογιςμό. Εύναι αντιμϋτωποι με μια αναμφιςβότητη αντύφαςη αλλϊ δυςκολεύονται να βρουν από που προϋρχεται το λϊθοσ όταν η απόδειξη φαύνεται αναντύρρητα ςωςτό. Αυτό η ϊςκηςη μπορεύ ενδεχομϋνωσ να αποτρϋψει τουσ μαθητϋσ από τη διϊπραξη του ςυχνού λϊθουσ: (η 2 2 ςωςτό ιδιότητα εύναι: ). 2 2 Αυτό το πρόβλημα δυςκόλεψε τουσ μαθητϋσ τησ Α Λυκεύου πϊρα πολύ: όταν αδύνατο να βρουν τον εςφαλμϋνο ςυλλογιςμό. Οι μαθητϋσ δεν όταν ςε θϋςη να αντικρούςουν μια απόδειξη που οδόγηςε ςε λϊθοσ και βυθύςτηκαν ςε μια κατϊςταςη ςοβαρόσ γνωςτικόσ αςυμφωνύασ. Η γνωςτικό ςύγκρουςη ανϊμεςα ςτη βεβαιότητϊ τουσ ότι το τϋςςερα δεν εύναι ύςο με πϋντε και την πεπούθηςό τουσ ότι οι υπολογιςμού που παρουςιϊζονται εύναι ακριβεύσ προκϊλεςε ϋντονεσ αντιδρϊςεισ. Οι μαθητϋσ όταν ςε εμφανό ςύγχυςη από αυτούσ υπολογιςμούσ που καταλόγουν ςε ϋνα αδύνατο αποτϋλεςμα. Οι μαθητϋσ θεώρηςαν ότι ϋκαναν λανθαςμϋνη εφαρμογό τησ ταυτότητασ. H μϋθοδοσ ςυμπλόρωςησ τετραγώνου όταν το δυςκολότερο ςημεύο τησ απόδειξησ και οι περιςςότεροι μαθητϋσ δυςκολεύονταν να παρακολουθόςουν τουσ υπολογιςμούσ που εκτϋθηκαν ςτην εκφώνηςη. Έτςι εντόπιςαν το πιθανό υπολογιςτικό λϊθοσ ςτο ςτϊδιο τησ απόδειξησ που δεν κατεύχαν καλϊ. Παρόλα αυτϊ, καμύα αιτιολόγηςη δεν προςκόμιςαν για την χρόςη τησ ταυτότητασ. Οριςμϋνοι μαθητϋσ κϊνοντασ πρϊξεισ μϋςα ςτισ παρενθϋςεισ βρόκαν: =. 2 2 Εντούτοισ, αυτό δεν τούσ βοόθηςε να κατανοόςουν την αιτύα του αποτελϋςματοσ 4=5. Η κύρια αιτύα τησ αποτυχύασ των μαθητών ςχετύζεται με την ενςωμϊτωςη δύςκολων εννοιών ςε μια ςύνθετη μια ακολουθύα ςυλλογιςμών που δεν ϋχουν ςυνηθύςει. υμπεράςματα Η διδακτικό πρακτικό με τα μαθηματικϊ παρϊδοξα ςτισ τϊξεισ του Λυκεύου 56 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

71 Δοκιμέσ Μαθηματικών Παραδόξων ςτην Τάξη αποδεύχτηκε μαθηςιακϊ γόνιμη. Οι μαθητϋσ κατϊφεραν να προςεγγύςουν οικεύεσ μαθηματικϋσ ϋννοιεσ με ϋνα νϋο και αςυνόθιςτο τρόπο που τούσ προκϊλεςε εκπλόξεισ, αςυμφωνύεσ και γνωςτικϋσ αποςταθεροποιόςεισ. Τα προαναφερόμενα διδακτικϊ πειρϊματα, αποκαλύπτουν τη ςημαςύα τησ παιδαγωγικόσ τησ ϋκπληξησ και αναδεικνύουν διϊφορεσ πλευρϋσ τησ, όπωσ μεθοδολογικϋσ, μεταγνωςτικϋσ, ςυναιςθηματικϋσ και κυρύωσ γνωςτικϋσ. Στισ καταςτϊςεισ προβληματιςμού και ϋκπληξησ που εκτϋθηκαν, οι μαθητϋσ αναγκϊζονται να ςκεφτούν ςε βϊθοσ, να πϊρουν ενεργό μϋροσ ςτισ μαθηματικϋσ ςυζητόςεισ τησ τϊξησ, αμφιςβητώντασ ςυνόθεισ εςφαλμϋνουσ αυτοματιςμούσ, υπερβαύνοντασ αντιφϊςεισ και προβϊλλοντασ πειςτικϊ αποδεικτικϊ επιχειρόματα. Οι μαθηματικϋσ παραδοξότητεσ χρηςιμοποιόθηκαν ωσ διδακτικϊ τεχνϊςματα που προκϊλεςαν γνωςτικϋσ ςυγκρούςεισ προωθώντασ αναδομόςεισ που οδόγηςαν ςε μεγαλύτερη εςωτερικό ςυνοχό των γνώςεων των μαθητών. Σε ανϊλογα ςυμπερϊςματα κατϋληξαν και ϊλλεσ ϋρευνεσ (Movshovitz-Hadar & Hadass 1990, Movshovitz- Hadar & Hadass 1991). Ωςτόςο, υπόρξαν και περιπτώςεισ μαθητών που η διδακτικό τεχνικό τησ γνωςτικόσ ςύγκρουςησ τούσ προξϋνηςε πρόςκαιρη ςύγχυςη και απογοότευςη. Με την ενθϊρρυνςη επιδιώχτηκε, ενύςχυςη τησ αυτοπεπούθηςησ και ανϊκτηςη τησ ελπύδασ. Οι παρατηρόςεισ μασ δεύχνουν ότι η ϋκπληξη τονώνει θαυμϊςια κύνητρα για τη λύςη παρϊδοξων προβλημϊτων και προκαλεύ ςτουσ μαθητϋσ αναςτοχαςμό και κριτικό επανεξϋταςη των μαθηματικών γνώςεων που απαιτούνται για την προαγωγό τησ μϊθηςησ που βαςύζεται ςτο νόημα. Τελικϊ, θα πρϋπει να υπογραμμιςτεύ ότι ο ςτόχοσ τησ ϋκπληξησ αντιςτρϊφηκε κατϊ τρόπο απρόβλεπτο: ενώ τα παρϊδοξα προβλόματα προκϊλεςαν ϋκπληξη ςτουσ μαθητϋσ, εκεύνοι με τη ςειρϊ τουσ εξϋπληξαν πολλαπλϊ και τον διδϊςκοντα: όςο πιςτεύαμε ότι θα εκπλήξουμε τόςο πιο έκπληκτοι μέναμε! Οι αντιδρϊςεισ των μαθητών και οι αναθεωρόςεισ των αντιλόψεών τουσ αποτελούν ϋναν ανεκτύμητο διδακτικό θηςαυρό. Πώσ θα μπορούςε να αλλϊξει η ϊχαρη και ϊνυδρη διδαςκαλύα των μαθηματικών ςτο Λύκειο; Αναμφιςβότητα, η ϋκπληξη εύναι ϋνα μαθηςιακό κύνητρο για τουσ μαθητϋσ που ωσ εκπαιδευτικού δεν πρϋπει να αγνοόςουμε ό να υποτιμόςουμε. Εκτυλύςςεται ςυνόθωσ ςε μικρό χρονικό διϊρκεια και ςυνδυϊζει «το τερπνόν μετά του ωφελίμου». Αποτελεύ ϋνα ιςχυρό μϋςο εςωτερικόσ παρακύνηςησ για μϊθηςη που κρατϊ αμεύωτο το ενδιαφϋρον των μαθητών, γεννϊ νϋεσ ιδϋεσ και ςυνιςτϊ ϋνα πρόςφορο διδακτικό εφεύρημα για περαιτϋρω μαθηςιακϋσ αναζητόςεισ. Τι μπορούμε να κϊνουμε για να υπϊρχει ςτην τϊξη μασ το ςτοιχεύο τησ ϋκπληξησ; Πρώτον, να επιλϋγουμε ερεθύςματα που δεν εύναι αυθαύρετα, αλλϊ απαντούν ςτα προώπϊρχοντα ερωτόματα και τη θολό αύςθηςη ζότηςησ των μαθητών μασ. Δεύτερον, να αξιοποιόςουμε παρϊδοξα ό ϊλλεσ παρεμφερεύσ ιδϋεσ που υπϊρχουν ςτα ςχολικϊ εγχειρύδια. Οι εκπλόξεισ βρύςκονται παντού και μπορούν να εμπλουτύςουν τη διδαςκαλύα προκαλώντασ τουσ μαθητϋσ να ςκεφτούν ςε βϊθοσ και να ανακαλύψουν τη γνώςη. Αλλϊ υπϊρχει ϋνα 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 57

72 Γ. Δ. Κόςυβασ πρόβλημα: οι περιςςότεροι δάςκαλοι των μαθηματικών είμαςτε τόςο εξοικειωμένοι με το περιεχόμενο του μαθήματοσ που όταν διδάςκουμε δεν μασ προξενεί πλέον πραγματική «έκπληξη». Η τεχνικό τησ ϋκπληξησ βελτιώνει το καθημερινό μϊθημα με εναλλακτικϋσ προςεγγύςεισ που μεταμορφώνουν την αδιατϊρακτη ρουτύνα και δημιουργούν χαρούμενη διϊθεςη. Στα μαθηματικϊ παρϊδοξα ενυπϊρχει το ςτοιχεύο τησ ϋκπληξησ που κεντρύζει την κρύςη και τον αναςτοχαςμό. Όμωσ, εύναι αναγκαύο κατϊ τη διϊρκεια τησ μαθηματικόσ ςυζότηςησ ςτην τϊξη να ενθαρρύνονται οι μαθητϋσ να εκφρϊζουν αυθόρμητα αυτϊ που ςκϋφτονται. Μόνο τότε θα βγουν ςτην επιφϊνεια η ϋλλειψη κατανόηςησ, οι δυςκολύεσ και τα πραγματικϊ προβλόματα που πρϋπει να αντιμετωπιςτούν. Ίςωσ τότε μπορεύ: Η παρανόηςη να κϊνει τόπο ςτη μαθηματικό κατανόηςη. Η τυποπούηςη να δώςει τη θϋςη τησ ςτην πούηςη. Η πλόξη να ανατραπεύ από την ϋκπληξη. Βιβλιογραφία Abiteboul, O. (1998). Le paradoxe apprivoisé, Paris: Flammarion. Arsac, G. & Mante, M. (2007). Les pratiques du problème ouvert, Villeurbanne : IREM de Lyon, CRDP. Behr, M. & Harel, G. (1990). Students Errors, Misconceptions, and Cognitive Conflict in Application of Procedures. Focus on Learning Problems in Mathematics, 12(3 & 4), Berlyne, D. N. (1960). Conflict, arousal, and curiosity. New York : McGraw-Hill. Brown, S.-I. & Walter, M. (1990). The Art of Problem Posing. Hillsdale, N.J.: LEA. Cobb, P., Confrey, J., disessa, A., Lehrer, R., & Schauble, L. (2003). Design experiments in educational research. Educational Researcher, 32(1), Collins, A., Joseph, D., & Bielaczyc, K. (2004). Design research: Theoretical and methodological issues. Journal of the Learning Sciences, 13(1), DeΒellis, V.A. & Goldin, G. (2006). Affect and meta-affect in mathematical problem solving: A representational perspective. Educational Studies in Mathematics, 63, Erickson, F. (1986). Qualitative methods in research on teaching. In M.C. Merlin (Ed.), Handboock of research on teaching (pp ). New York: Macmillan Publishing Company. Festinger, L.(1957). A Theory of Cognitive Dissonance. Evanston, 111: Row, Peterson. Giordan, A. (1998). Apprendre! Paris: Belin. 58 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

73 Δοκιμέσ Μαθηματικών Παραδόξων ςτην Τάξη Gomez-Chacon, I. M. (2000). Affective influences in the knowledge of mathematics, Educational Studies in Mathematics, 43, Hannula, M. S. (2006). Affect in Mathematical Thinking and learning. In J. Maaß & W. Schlöglmann (Eds.), New mathematics education research and practice (pp Rotterdam: Sense. Johnson, D.-R. (2007). The Element of Surprise: An Effective Classroom Technique. Mathematics Teacher, 100, (special issue), Kleiner, I. & Movshovitz-Hadar N. (1994). The role of paradoxes in the evolution of mathematics, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, 10, pp Knuth, E. (2002). Fostering Mathematical Curiosity. Mathematics Teacher, 95, Kosyvas, G. (2010). Problèmes ouvertes: notion, catégories et difficultés, Annales de Didactique et des Sciences cognitives, 15, IREM de Strasbourg, pp Kosyvas, G. & Baralis G. (2010). Les stratégies des élèves d aujourd hui sur le problème de la duplication du carré, Repères IREM, 78, pp Malone, T.W. & M.R. Lepper (1987). Making Learning Fun: A Taxonomy of Intrinsic Motivations for Learning. Ιn R.E. Snow and M.J. Farr (Eds), Aptitude, Learning and Instruction: III. Conative and affective process analyses, (pp ). Erlbaum: Hilsdale, NJ. McLeod, D. B. (1992). Research on Affect in Mathematics Education: A Reconceptualization. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning, (pp ). New York: Macmillan. Movshovitz-Hadar N. & Webb J. (1998). One Equals Zero and Other Mathematical Surprises: Paradoxes, Fallacies and Mind Bogglers. Emeryville (USA): Key Curriculum Press. Movshovitz-Hadar, N. & Hadass, R. (1990). Preservice education of math teachers using paradoxes, Educational Studies in Mathematics, 21, Movshovitz-Hadar, N. & Hadass, R. (1991). More about Mathematical Paradoxes in Preservice Teacher Education. Teaching & Teacher Education, 7(1), Northrup, E.- P. (1944). Riddles in Mathematics: A Book of Paradoxes. New York: D. Van Nostrand. Tirosh, D. & Graeber, A. (1990). Evoking Cognitive Conflict to Explore Preservice Teachers Thinking About Division. Journal for Research in Mathematics Education, 21(2), Viau, R. (2003). La motivation en contexte scolaire. Bruxelles: De Boeck. Zan, R., Brown, L., Evans, J., & Hannula, M. S. (2006). Affect in mathematics education: An introduction. Educational Studies in Mathematics, 63(2), ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 59

74 Γ. Δ. Κόςυβασ 121. Αθαναςύου, Χ. & Φιλύππου, Γ. (2007). Τα κύνητρα των μαθητών ςτα μαθηματικϊ κατϊ τη μετϊβαςη από το δημοτικό ςτο γυμνϊςιο και οι διαφορϋσ με βϊςη το φύλο. Στο Χ. Σακονύδησ, & Δ. Δεςλό (Eπιμ.), Πρακτικά του 2 ου ςυνεδρίου τησ ΕΝ.Ε.ΔΙ.Μ, (ςς ). Εκδόςεισ Τυπωθότω. Καγκουρϊ, Θ., Γαγϊτςησ, Α., Μονογυιού, Α., & Ηλύα, Ι. (2009). Επύλυςη αςυνόθιςτων προβλημϊτων και πεποιθόςεισ των μαθητών Δημοτικού και Γυμναςύου Ελλϊδασ για τα μαθηματικϊ. Στο Α. Γαγϊτςησ, Α. Φιλύππου, Π. Δαμιανού & Ε. Αυγερινόσ (Επιμ.), Πρακτικά του 11 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικήσ Παιδείασ και Επιςτήμησ (ςς ). Λευκωςύα: Κυπριακό Μαθηματικό Εταιρεύα. Κόςυβασ, Γ. (2010). Η παιδαγωγικό τησ ϋκπληξησ με μαθηματικϊ παρϊδοξα ςτο Λύκειο, Πρακτικά 27ου ςυνεδρίου τησ ΕΜΕ, , ΕΜΕ. Φιλύππου, Γ., & Χρύςτου, Κ. (2001). Κείμενα Παιδείασ: Συναιςθηματικοί παράγοντεσ και μάθηςη των μαθηματικών. Αθόνα: Εκδόςεισ Ατραπόσ. 60 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

75 ΜΕΛΕΣΗ ΣΩΝ ΠΡΟΕΓΓΙΕΩΝ ΣΩΝ ΜΑΘΗΣΩΝ Α ΚΑΙ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Ε ΕΡΓΑ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 1,2 Ανδρέασ Υιλίππου, Αννίτα Μονογυιού και Αθανάςιοσ Γαγάτςησ Πανεπιςτήμιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπόσ τησ παρούςασ μελϋτησ όταν να διερευνόςει: α) αν η διδαςκαλύα ςτην Α Λυκεύου παρεμποδύζει τη μϊθηςη των ςυναρτόςεων ςτη Β Λυκεύου, β) το ρόλο των διαφόρων αναπαραςτϊςεων και γ) το ρόλο τησ αλγεβρικόσ και γεωμετρικόσ προςϋγγιςησ ςτην επύλυςη ϋργων με ςυναρτόςεισ. Στην ϋρευνα ςυμμετεύχαν 68 μαθητϋσ Α Λυκεύου και 97 μαθητϋσ Β Λυκεύου. Στην Α Λυκεύου οι μαθητϋσ λύνουν τα ϋργα αλγεβρικϊ ενώ οι μαθητϋσ ςτη Β Λυκεύου χρηςιμοποιούν τόςο αλγεβρικϋσ όςο και γεωμετρικϋσ προςεγγύςεισ. Ωςτόςο, η αλγεβρικό προςϋγγιςη (point-wise approach) εξακολουθεύ να κυριαρχεύ. Οι απαντόςεισ που δύνουν οι μαθητϋσ τησ Α Λυκεύου δεύχνουν ϋνα ςτεγανοποιημϋνο τρόπο ςκϋψησ αφού λύνουν τα ϋργα ανϊλογα με την αναπαρϊςταςη που περιλαμβϊνουν, ενώ ςτη Β Λυκεύου κϊνουν προςπϊθεια για αποςτεγανοπούηςη. Τα ευρόματα δεύχνουν επύςησ ότι η ικανότητα των μαθητών για την επύλυςη ϋργων μετϊφραςησ ςυνδϋεται ςτενϊ με την ικανότητα επύλυςησ προβλόματοσ. ΕΙΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΣΙΚΟ ΠΛΑΙΙΟ Η ϋννοια τησ ςυνϊρτηςησ εύναι ιδιαύτερα ςημαντικό ςτα μαθηματικϊ και τισ εφαρμογϋσ τουσ. Προκύπτει από τη γενικό τϊςη των ανθρώπων να ςυνδϋουν δύο ποςότητεσ, που εύναι τόςο αρχαύα όςο και τα μαθηματικϊ. Η κατανόηςη των ςυναρτόςεων εύναι αρκετϊ δύςκολη. Μαθητϋσ δευτεροβϊθμιασ εκπαύδευςησ αλλϊ και φοιτητϋσ, ςε κϊθε χώρα, ϋχουν δυςκολύεσ ςτην εννοιολογικό κατανόηςη τησ ϋννοιασ τησ ςυνϊρτηςησ. Η κατανόηςη τησ ϋννοιασ αυτόσ εύναι ϋνα θϋμα που 1 Ένα μζροσ από το άρκρο αυτό παρουςιάςτθκε ςτο PME34 (34 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education) που πραγματοποιικθκε ςτθ Βραηιλία (18-23 Ιουλίου 2010) 2 Αυτό το άρκρο βαςίηεται ςτο ερευνθτικό πρόγραμμα «Ικανότθτα χριςθσ πολλαπλών αναπαραςτάςεων ςυναρτιςεων και γεωμετρίασ: θ μετάβαςθ από το γυμνάςιο ςτο λφκειο» (0308(ΒΕ)/03) που χρθματοδοτείται από το ΙΠΕ (Ίδρυμα Προώκθςθσ Έρευνασ Κφπροσ) 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 61

76 Α. Φιλύππου, Α. Μονογυιού & Α. Γαγϊτςησ ςυγκεντρώνει την προςοχό των εκπαιδευτικών αλλϊ και τησ μαθηματικόσ ερευνητικόσ κοινότητασ γενικότερα (Dubinsky & Harel, 1992: Sierpinska, 1992). Ένασ παρϊγοντασ που επηρεϊζει ιδιαύτερα τη μϊθηςη των ςυναρτόςεων εύναι οι πολλαπλϋσ αναπαραςτϊςεισ που ςχετύζονται με την ϋννοια αυτό (Hitt, 1998). Πολλού ερευνητϋσ (π.χ. Monoyiou & Gagatsis, 2008a: Monoyiou & Gagatsis, 2008b: Monoyiou & Gagatsis, 2010: Gagatsis & Shiakalli, 2004: Mousoulides & Gagatsis, 2004) επιςόμαναν το ςημαντικό ρόλο των διαφόρων αναπαραςτϊςεων και τησ μετϊφραςησ από μια αναπαρϊςταςη ςε ϊλλη ςτην κατανόηςη τησ ϋννοιασ τησ ςυνϊρτηςησ. Ένασ ςημαντικόσ εκπαιδευτικόσ ςτόχοσ ςτα μαθηματικϊ εύναι οι μαθητϋσ να εύναι ςε θϋςη να αναγνωρύζουν και να χρηςιμοποιούν αποτελεςματικϊ διϊφορεσ μορφϋσ αναπαραςτϊςεων τησ ύδιασ μαθηματικόσ ϋννοιασ και να περνούν ευϋλικτα από ϋνα ςύςτημα αναπαρϊςταςησ ςε ϊλλο. Η χρόςη πολλαπλών αναπαραςτϊςεων ϋχει ςυνδεθεύ με την πολύπλοκη διαδικαςύα τησ μϊθηςησ ςτα μαθηματικϊ και πιο ςυγκεκριμϋνα με την καλύτερη κατανόηςη από μϋρουσ των μαθητών πολύπλοκων μαθηματικών εννοιών όπωσ η ϋννοια τησ ςυνϊρτηςησ (Dufour-Janvier, Bednarz, & Belanger, 1987: Greeno & Hall, 1997). Δεδομϋνου ότι μια αναπαρϊςταςη δεν μπορεύ να περιγρϊψει πλόρωσ μια μαθηματικό ϋννοια και ότι κϊθε αναπαρϊςταςη ϋχει διαφορετικϊ πλεονεκτόματα, η χρόςη πολλαπλών αναπαραςτϊςεων για την ύδια μαθηματικό κατϊςταςη μπορεύ να θεωρηθεύ η βϊςη τησ μαθηματικόσ κατανόηςησ (Duval, 2002). Οι Ainsworth, Bibby και Wood (1997) αναφϋρουν ότι η χρόςη πολλαπλών αναπαραςτϊςεων μπορεύ να βοηθόςει τουσ μαθητϋσ να αναπτύξουν διαφορετικϋσ ιδϋεσ και διαδικαςύεσ, επεκτεύνει το νόημα των εννοιών και προωθεύ τη βαθύτερη, εννοιολογικό κατανόηςη. υνδυϊζοντασ διϊφορεσ αναπαραςτϊςεισ οι μαθητϋσ δεν περιορύζονται από τισ δυνατότητεσ ό τισ αδυναμύεσ μιασ ςυγκεκριμϋνησ αναπαρϊςταςησ. Ο Kaput (1992) αναφϋρει ότι η χρόςη περιςςότερων αναπαραςτϊςεων βοηθϊ τουσ μαθητϋσ να αποκτόςουν μια καλύτερη εικόνα για μια μαθηματικό ϋννοια ό κατϊςταςη. Η ικανότητα για αναγνώριςη και απεικόνιςη τησ ύδιασ ϋννοιασ με διαφορετικϋσ αναπαραςτϊςεισ θεωρεύται προαπαιτούμενο για την κατανόηςη τησ ϋννοιασ (Duval, 2002: Even, 1998). Πϋραν από την κατανόηςη τησ ύδιασ ϋννοιασ ςε πολλαπλϊ ςυςτόματα αναπαρϊςταςησ, η ικανότητα για ευϋλικτο χειριςμό τησ ϋννοιασ ςε αυτϊ τα ςυςτόματα αναπαρϊςταςησ καθώσ και η ικανότητα για μετϊφραςη από το ϋνα ςύςτημα αναπαρϊςταςησ ςτο ϊλλο αποτελούν απαραύτητεσ προώποθϋςεισ για εννοιολογικό κατανόηςη τησ ϋννοιασ (Lesh, Post, & 62 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

77 Μελϋτη των Προςεγγύςεων των Μαθητών Α και Β Λυκεύου Behr, 1987) και επιτρϋπουν ςτουσ μαθητϋσ να δουν πλούςιεσ ςχϋςεισ και ςυνδϋςεισ (Even, 1998). Ο Duval (2002, 2006) υποςτηρύζει ότι η μαθηςιακό δραςτηριότητα ςτα μαθηματικϊ μπορεύ να αναλυθεύ ςε δύο τύπουσ μεταςχηματιςμών των ςημειωτικών αναπαραςτϊςεων: τουσ χειριςμούσ (treatments) και τισ μεταφρϊςεισ (conversions). Οι χειριςμού αποτελούν μεταςχηματιςμούσ των αναπαραςτϊςεων που λαμβϊνουν χώρα μϋςα ςτο ύδιο το ςύςτημα αναπαρϊςταςησ, ενώ οι μεταφρϊςεισ αφορούν τουσ μεταςχηματιςμούσ οι οπούοι περιλαμβϊνουν αλλαγό του ςυςτόματοσ αναπαρϊςταςησ. ύμφωνα με τον Duval (2002) οι διϊφοροι μαθηματικού χειριςμού εξαρτώνται από το ςύςτημα αναπαρϊςταςησ. Κατϊ τη διαδικαςύα μετϊφραςησ όλο ό μϋροσ του νοόματοσ τησ αρχικόσ αναπαρϊςταςησ διατηρεύται χωρύσ να μεταβϊλλεται το αντικεύμενο ςτο οπούο αναφϋρεται. Η μετϊφραςη περιλαμβϊνει δυο μορφϋσ αναπαρϊςταςησ: την πηγό (αρχικό αναπαρϊςταςη) και το ςτόχο (τελικό αναπαρϊςταςη). Οι διαδικαςύεσ μετϊφραςησ αναπτύςςονται αποτελεςματικότερα όταν οι μαθητϋσ καλούνται να κϊνουν μεταφρϊςεισ τόςο από την πηγό ςτο ςτόχο όςο και από το ςτόχο ςτην πηγό κατϊ τρόπο ςυμμετρικό. Ο Lesh και οι ςυνεργϊτεσ του (1987) επιςημαύνουν ότι οι χειριςμού και οι μεταφρϊςεισ βρύςκονται ςτην πραγματικότητα ςε ςχϋςη αλληλεξϊρτηςησ. Αν και οι χειριςμού ςτα πλαύςια του ύδιου ςυςτόματοσ αναπαρϊςταςησ εύναι πιο ςημαντικού από μαθηματικόσ ςκοπιϊσ, οι μεταφρϊςεισ εύναι αποφαςιςτικόσ παρϊγοντασ μϊθηςησ (Duval, 2006). Κϊποιοι ερευνητϋσ ερμηνεύουν τα λϊθη των μαθητών εύτε ωσ αποτϋλεςμα των μη αποτελεςματικών χειριςμών των αναπαραςτϊςεων εύτε τησ ϋλλειψησ ςυντονιςμού ανϊμεςα ςτισ διϊφορεσ αναπαραςτϊςεισ (Greeno & Hall, 1997: Smith, DiSessa, & Roschelle, 1993). Οι ςυνηθιςμϋνεσ/τυπικϋσ αναπαραςτϊςεισ για κϊποιεσ μαθηματικϋσ ϋννοιεσ, όπωσ η ϋννοια τησ ςυνϊρτηςησ, δεν εύναι αρκετϋσ για να οικοδομόςουν οι μαθητϋσ το νόημα και να κατακτόςουν το εύροσ των εφαρμογών τουσ. Οι καθηγητϋσ μαθηματικών, ςτη δευτεροβϊθμια εκπαύδευςη, παραδοςιακϊ εςτιϊζουν τη διδαςκαλύα τουσ ςτη χρόςη αλγεβρικών αναπαραςτϊςεων για τη διδαςκαλύα τησ ϋννοιασ τησ ςυνϊρτηςησ (Eisenberg & Dreyfus, 1991). Η Sfard (1992) υποςτηρύζει ότι οι μαθητϋσ δυςκολεύονται να ςυνδυϊςουν τισ αλγεβρικϋσ και γραφικϋσ αναπαραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων ενώ οι Markovits, Eylon και Bruckheimer (1986) παρατόρηςαν ότι η μετϊφραςη από τη γραφικό ςτην αλγεβρικό μορφό εύναι δυςκολότερη από την αντύθετη μετϊφραςη. Η Sierpinska (1992) υποςτόριξε ότι οι μαθητϋσ αντιμετωπύζουν 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 63

78 Α. Φιλύππου, Α. Μονογυιού & Α. Γαγϊτςησ δυςκολύεσ όταν καλούνται να κϊνουν ςυνδϋςεισ ανϊμεςα ςτισ διαφορετικϋσ αναπαραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων, ςτην ερμηνεύα γραφικών παραςτϊςεων και ςτο χειριςμό ςυμβόλων που ςχετύζονται με τισ ςυναρτόςεισ. Περαιτϋρω, οι Aspinwall, Shaw και Presmeg (1997) επιςόμαναν ότι ςε μερικϋσ περιπτώςεισ οι οπτικϋσ αναπαραςτϊςεισ δημιουργούν γνωςτικϋσ δυςκολύεσ οι οπούεσ περιορύζουν την ικανότητα των μαθητών για μετϊφραςη από γραφικϋσ ςε αλγεβρικϋσ αναπαραςτϊςεισ. Πολλού ερευνητϋσ διερεύνηςαν το ςημαντικό ρόλο των ςυνδϋςεων ανϊμεςα ςτισ διαφορετικϋσ αναπαραςτϊςεισ τησ ϋννοιασ τησ ςυνϊρτηςησ και την ικανότητα επύλυςησ προβλόματοσ. υγκεκριμϋνα, οι Gagatsis και Shiakalli (2004) διαπύςτωςαν ότι η ικανότητα των φοιτητών να μεταφρϊζουν από μια αναπαρϊςταςη τησ ϋννοιασ τησ ςυνϊρτηςησ ςε μια ϊλλη ςυνδϋεται ϊμεςα με την επιτυχύα ςτη λύςη προβλόματοσ. Επιπλϋον, οι Elia, Panaoura, Gagatsis, Gravvani και Spyrou (2008) διαπύςτωςαν ότι η αποτελεςματικότητα των μαθητών ςτη λύςη προβλόματοσ μπορεύ να προβλϋψει την επιτυχύα τουσ ςτη χρόςη διαφόρων αναπαραςτϊςεων τησ ϋννοιασ, ςτον οριςμό και ςε παραδεύγματα τησ ϋννοιασ τησ ςυνϊρτηςησ. ύμφωνα με τουσ Moschkovich, Schoenfeld και Arcavi (1993) υπϊρχουν δύο διαφορετικϋσ προςεγγύςεισ-διαςτϊςεισ μϋςα από τισ οπούεσ μπορεύ να ιδωθεύ η ϋννοια τησ ςυνϊρτηςησ: α) η διϊςταςη διαδικαςύασ ό η αλγεβρικό διϊςταςη και β) η διϊςταςη αντικειμϋνου ό γεωμετρικό διϊςταςη. ύμφωνα με την πρώτη διϊςταςη, οι μαθητϋσ αντιλαμβϊνονται τη ςυνϊρτηςη ωσ μια ςχϋςη τιμών μεταξύ των τετμημϋνων και τεταγμϋνων (χ και ψ), αντικαθιςτούν ςε μια εξύςωςη το χ με μια τιμό και υπολογύζουν την τιμό του ψ και μπορούν ακόμη να βρουν λύςη ςε μια εξύςωςη βρύςκοντασ τισ ςυντεταγμϋνεσ ενόσ ςημεύου τησ γραφικόσ παρϊςταςησ. ύμφωνα με τη διϊςταςη αντικειμϋνου, οι μαθητϋσ αντιλαμβϊνονται τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ωσ μια οντότητα. Οι μαθητϋσ που χρηςιμοποιούν τη διϊςταςη αυτό, αναγνωρύζουν τη μορφό τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ ςυνϊρτηςησ από τη μελϋτη τησ ςυμβολικόσ τησ μορφόσ και κϊνουν παρατηρόςεισ για τισ τιμϋσ και το πρόςημο των ςυντελεςτών τησ (π.χ. για την καταςκευό των γραφικών παραςτϊςεων των ςυναρτόςεων f(x)=2x, g(x)=2x+2) χρηςιμοποιούν τη ςχϋςη που τισ ςυνδϋει (g(χ)=f(χ)+2) (Knuth, 2000). τη διϊςταςη αντικειμϋνου, η ςυνϊρτηςη αντιμετωπύζεται ωσ μια ανεξϊρτητη οντότητα με τισ δικϋσ τισ ιδιότητεσ και ςυμπεριφορϊ. Οι ςυναρτόςεισ μπορούν να θεωρηθούν ωσ αντικεύμενα ςτα οπούα διαδικαςύεσ, όπωσ η ςύνθεςη, μπορούν να εκτελεςθούν. Κατϊ ςυνϋπεια, ϋνα ϋργο ςτο οπούο παρουςιϊζονται οι γραφικϋσ παραςτϊςεισ δύο 64 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

79 Μελϋτη των Προςεγγύςεων των Μαθητών Α και Β Λυκεύου ςυναρτόςεων και οι μαθητϋσ καλούνται να εξηγόςουν πώσ η γραφικό παρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ θα μπορούςε να μεταςχηματιςτεύ για να παραγϊγει τη δεύτερη γραφικό παρϊςταςη θα απαιτούςε την υιοθϋτηςη τησ διϊςταςησ αντικειμϋνου. Για τουσ ςκοπούσ τησ μελϋτησ αυτόσ, η πρώτη προςϋγγιςη-διϊςταςη ονομϊζεται αλγεβρικό ενώ η δεύτερη ονομϊζεται γεωμετρικό. την Κύπρο, η διδαςκαλύα των ςυναρτόςεων ςτην Α Λυκεύου εςτιϊζεται κυρύωσ ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ τησ ςυνϊρτηςησ (π.χ. οριςμόσ, πεδύο οριςμού, πεδύο τιμών) και ςτισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ (ευθεύα γραμμό, υπερβολό, παραβολό), ενώ το πρόγραμμα ςπουδών ςτη Β Λυκεύου περιλαμβϊνει πιο περύπλοκεσ ϋννοιεσ που αφορούν τη ςυνϊρτηςη όπωσ η εύρεςη ορύων και παραγώγων. κοπόσ τησ μελϋτησ αυτόσ όταν να διερευνόςει: α) αν η διδαςκαλύα ςτην Α Λυκεύου παρεμποδύζει τη μϊθηςη των ςυναρτόςεων ςτη Β Λυκεύου, β) το ρόλο των διαφόρων αναπαραςτϊςεων που χρηςιμοποιούνται ςτη λύςη αςκόςεων και προβλημϊτων με ςυναρτόςεισ και γ) το ρόλο τησ αλγεβρικόσ και γεωμετρικόσ προςϋγγιςησ ςτην επύλυςη ϋργων με ςυναρτόςεισ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Οι ςυμμετϋχοντεσ ςτην ϋρευνα όταν 195 μαθητϋσ, 68 μαθητϋσ Α Λυκεύου και 97 μαθητϋσ Β Λυκεύου. Σο δοκύμιο που καταςκευϊςτηκε περιλϊμβανε 6 ϋργα ςυναρτόςεων. Σο πρώτο ϋργο όταν πολλαπλόσ επιλογόσ, ενώ ςτο δεύτερο ϋργο οι μαθητϋσ ϋπρεπε να χαρακτηρύςουν μια δόλωςη που τουσ δόθηκε ωσ ορθό ό λανθαςμϋνη. τόχοσ αυτών των ϋργων όταν να διερευνηθεύ η εξοικεύωςη των μαθητών με το καρτεςιανό επύπεδο. Και ςτισ δύο περιπτώςεισ οι μαθητϋσ κλόθηκαν να αιτιολογόςουν την απϊντηςό τουσ. Οι αιτιολογόςεισ των μαθητών κωδικοποιόθηκαν εύτε ωσ διαγραμματικϋσ εύτε ωσ αλγεβρικϋσ. 1. Σο ςημεύο (-5, 2) εύναι ςυμμετρικό ωσ προσ το ςημεύο (5, -2) ςε ςχϋςη με: α. τον ϊξονα, β. τον ϊξονα γ. το ςημεύο (0,0) δ. τη γραμμό ε. τη γραμμό (VR1, Sd1, Sa1) 2. Σο ςημεύο ανόκει ςτη γραμμό με την εξύςωςη ωςτό ό λϊθοσ (VR2, Sd2, Sa2) 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 65

80 Α. Φιλύππου, Α. Μονογυιού & Α. Γαγϊτςησ Σο τρύτο ϋργο περιλϊμβανε μεταφρϊςεισ από λεκτικό ςε αλγεβρικό αναπαρϊςταςη τησ ϋννοιασ τησ ςυνϊρτηςησ και αποτελεύ ϋνδειξη τησ αλγεβρικόσ ικανότητασ των μαθητών. 3. Να γρϊψτε τισ εξιςώςεισ που περιγρϊφονται από τισ ακόλουθεσ προτϊςεισ: α. Σο εμβαδόν τετραγώνου, ςε ςυνϊρτηςη με την πλευρϊ του, β. Ο όγκοσ ενόσ κύβου ςε ςυνϊρτηςη με την ακμό του, γ. Η περύμετροσ ϋνα ορθογωνύου μόκουσ 3 και πλϊτουσ ςαν ςυνϊρτηςη του πλϊτουσ του, δ. Η ταχύτητα ενόσ αυτοκινότου που ςε χρόνο καλύπτει απόςταςη 10 χιλιομϋτρων ωσ ςυνϊρτηςη του χρόνου, ε. Σο κόςτοσ ςε ευρώ μονϊδων ενόσ προώόντοσ, αν η τιμό τησ μονϊδασ του προώόντοσ ϋχει κόςτοσ 5, ςε ςυνϊρτηςη με τισ μονϊδεσ, ςτ. Ο υπόλοιποσ όγκοσ τησ βενζύνησ ςε μια δεξαμενό, αν ςτη δεξαμενό υπόρχαν 1000 λύτρα βενζύνησ αρχικϊ και υπϊρχει μια κατανϊλωςη 20 λύτρα ανϊ ημϋρα, ςαν ςυνϊρτηςη των ημερών (Cva31, Cva32, Cva33, Cva34, Cva35, Cva36) Σο τϋταρτο ϋργο περιλαμβϊνει τη διαγραμματικό αναπαρϊςταςησ μιασ ςυνϊρτηςησ. 4. Από το διϊγραμμα τησ ςυνϊρτηςησ να βρεύτε: (α) i. Σισ λύςεισ τησ εξύςωςησ, ii. Σισ λύςεισ τησ ανιςότητασ, iii. Σο ελϊχιςτο ςημεύο, iv. Σο ςύνολο τιμών τησ ςυνϊρτηςησ, v. Σο πρόςημο τησ διακρύνουςασ, (β) i. τισ τιμϋσ των α, β και γ, ii. την εξύςωςη τησ (Rd41, Rd41, Rd43, Rd44, Rd45, Pd41, Pd42) Οι απαντόςεισ των μαθητών ςτο πϋμπτο ϋργο κωδικοποιόθηκαν ωσ "αλγεβρικϋσ" αν οι μαθητϋσ δεν χρηςιμοποιούςαν τισ πληροφορύεσ που παρϋχονταν από την γραφικό παρϊςταςη τησ πρώτησ ςυνϊρτηςησ και προχωρούςαν ςτην καταςκευό τησ καμπύλησ τησ δεύτερησ και τησ τρύτησ ςυνϊρτηςησ με την εύρεςη ζευγαριών τιμών για και. Αντύθετα, η λύςη κωδικοποιόθηκε ωσ "γεωμετρικό" αν οι 66 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

81 Μελϋτη των Προςεγγύςεων των Μαθητών Α και Β Λυκεύου μαθητϋσ παρατηρούςαν και χρηςιμοποιούςαν τη ςχϋςη μεταξύ των ςυναρτόςεων για την καταςκευό τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ δεύτερησ και τησ τρύτησ ςυνϊρτηςησ. 5. Δύνεται το διϊγραμμα τησ. χεδιϊςτε τισ ςυναρτόςεισ: α. και β. (P51, Pa51, Pg51, Ρ52, Pa52, Pg52) Σο πρώτο μϋροσ του ϋκτου ϋργου περιλαμβϊνει την αλγεβρικό αναπαρϊςταςη μιασ ςυνϊρτηςησ, ενώ το δεύτερο και το τρύτο μϋροσ περιλαμβϊνουν διαγραμματικϋσ αναπαραςτϊςεισ. 6.Δύνεται η ςυνϊρτηςη α. υμπληρώςτε τον παρακϊτω πύνακα τιμών για τη ςυνϊρτηςη. (Pa61) β. Να παραςτόςετε γραφικϊ τη ςυνϊρτηςη όταν η μεταβλητό ορύζεται μόνο ςτο ςύνολο των ακεραύων {1, 2, 3, 4}. (Pd62) γ. Να παραςτόςετε γραφικϊ τη ςυνϊρτηςη αν η μεταβλητό ορύζεται ςτο διϊςτημα. (Pd63) Για την ανϊλυςη των δεδομϋνων πραγματοποιόθηκε η ςυνεπαγωγικό μϋθοδοσ ανϊλυςησ (Lerman, 1981) με τη χρόςη του λογιςμικού προγρϊμματοσ C.H.I.C. (Classification Hiérarchique, Implicative et Cohésitive) (Bodin, Coutourier, & Gras, 2000). Προϋκυψαν δύο διαγρϊμματα ομοιότητασ, ϋνα για την Α Λυκεύου και ϋνα για τη Β Λυκεύου. Σο διϊγραμμα ομοιότητασ παρουςιϊζει τισ μεταβλητϋσ ανϊλογα με την ομοιότητα που παρουςιϊζουν. ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΑ Ο πύνακασ 1 παρουςιϊζει τα ποςοςτϊ επιτυχύασ των μαθητών ςτα ϋργα του δοκιμύου ξεχωριςτϊ για την Α και Β Λυκεύου. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 67

82 Α. Φιλύππου, Α. Μονογυιού & Α. Γαγϊτςησ Έργα Α Λυκεύου Β Λυκεύου Έργα Α Λυκεύου Β Λυκεύου VR Rd Sd Rd Sa Rd VR Pd Sd Pd Sa P Cva Pa Cva Pg Cva P Cva Pa Cva Pg Cva Pa Rd Pd Rd Pd Πύνακασ 1. Τα ποςοςτϊ επιτυχύασ των μαθητών ςτα ϋργα του δοκιμύου για την Α και Β Λυκεύου ξεχωριςτϊ ύμφωνα με τα αποτελϋςματα, τα ποςοςτϊ επιτυχύασ εύναι πιο ψηλϊ ςτη Β Λυκεύου ςε ςύγκριςη με την Α Λυκεύου. Αυτό εύναι αποτϋλεςμα τόςο τησ γνωςτικόσ ανϊπτυξησ όςο και τησ διδαςκαλύασ και μϊθηςησ. Περαιτϋρω, αξιοςημεύωτο εύναι το γεγονόσ ότι οι μαθητϋσ τησ Α Λυκεύου δεν χρηςιμοποιούν καθόλου τη γεωμετρικό προςϋγγιςη. Οι μαθητϋσ τησ Β Λυκεύου χρηςιμοποιούν τόςο την αλγεβρικό όςο και τη γεωμετρικό προςϋγγιςη. Ωςτόςο, αξύζει να ςημειωθεύ ότι αν και τα ποςοςτϊ τησ διαγραμματικόσ και γεωμετρικόσ προςϋγγιςησ εύναι ψηλότερα ςτη Β Λυκεύου, η αλγεβρικό προςϋγγιςη ςτισ αςκόςεισ και προβλόματα του δοκιμύου εξακολουθεύ να κυριαρχεύ. Σο ςχόμα 1 παρουςιϊζει το διϊγραμμα ομοιότητασ των απαντόςεων των μαθητών τησ Α Λυκεύου ςτα ϋργα του δοκιμύου. το διϊγραμμα διακρύνονται δυο ομϊδεσ ομοιότητασ. Η ομϊδα 1 περιλαμβϊνει τισ απαντόςεισ των μαθητών ςτην ϊςκηςη 1, την αλγεβρικό προςϋγγιςη των αςκόςεων 1 και 2, τη διαγραμματικό προςϋγγιςη ςτην ϊςκηςη 2, το πρώτο, το τρύτο και το πϋμπτο μϋροσ τησ ϊςκηςησ 4, το πρώτο μϋροσ του προβλόματοσ 4 και το δεύτερο και τρύτο μϋροσ του προβλόματοσ 6. Η ομϊδα αυτό περιλαμβϊνει διαγραμματικϋσ αναπαραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων (VR1, Pd62, Sd2, Sa1, Sd2, Rd41, Pd63, Rd43, Rd45, Rd44, Pd41). Η ομϊδα 2 68 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

83 Μελϋτη των Προςεγγύςεων των Μαθητών Α και Β Λυκεύου περιλαμβϊνει τισ μεταβλητϋσ που αντιςτοιχούν ςτη διαγραμματικό προςϋγγιςη τησ ϊςκηςησ 1, ςτο πρώτο μϋροσ του προβλόματοσ 6, το οπούο περιλαμβϊνει αλγεβρικϋσ αναπαραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων, ςε όλα τα μϋρη τησ ϊςκηςησ 3, η οπούα περιλαμβϊνει ϋργα μετϊφραςησ με αρχικό αναπαρϊςταςη λεκτικό και τελικό αναπαρϊςταςη αλγεβρικό, και την αλγεβρικό λύςη του προβλόματοσ 5 (Sd1, Pa61, Cva31, Cva33, Cva32, Cva34, Cva35, Cva36, Ρ51, Ρ52, Pa51, Pa52). Ομϊδα 1 Ομϊδα 2 Σχόμα 1. Διϊγραμμα ομοιότητασ των απαντόςεων των μαθητών τησ Α Λυκεύου ςτα ϋργα του δοκιμύου Από τα παραπϊνω προκύπτει ότι, το διϊγραμμα ομοιότητασ των απαντόςεων των μαθητών τησ Α Λυκεύου χωρύζεται ςε δύο ξεχωριςτϋσ ομϊδεσ ανϊλογα με το εύδοσ τησ αναπαρϊςταςησ. Η πρώτη ομϊδα περιλαμβϊνει τισ μεταβλητϋσ που ϋχουν διαγραμματικϋσ αναπαραςτϊςεισ και η δεύτερη ομϊδα τισ μεταβλητϋσ με αλγεβρικϋσ αναπαραςτϊςεισ. Αξύζει επύςησ να αναφερθεύ ότι η ικανότητα επύλυςησ των ϋργων μετϊφραςησ τησ ϊςκηςησ 3, και τα οπούα δεύχνουν ϋνα υψηλό επύπεδο αλγεβρικόσ ικανότητασ, εύναι ςτενϊ ςυνδεδεμϋνη με την ικανότητα των μαθητών Α Λυκεύου ςτην επύλυςη προβλόματοσ. Ωςτόςο, οι μαθητϋσ τησ Α Λυκεύου προςϋγγιςαν τα προβλόματα καθαρϊ αλγεβρικϊ. Έτςι ςτο ςχόμα 1, δεν παρατηρούνται ςυνδϋςεισ ομοιότητασ με ϊλλα ϋργα. Σο ςχόμα 2 παρουςιϊζει το διϊγραμμα ομοιότητασ των απαντόςεων των μαθητών τησ Β Λυκεύου ςτα ϋργα του δοκιμύου. το διϊγραμμα ομοιότητασ διακρύνονται δύο ομϊδεσ. Η ομϊδα 1 περιλαμβϊνει τισ απαντόςεισ των μαθητών ςτην ϊςκηςη 1, την αλγεβρικό και διαγραμματικό προςϋγγιςη των αςκόςεων 1 και 2, το πρώτο και το τρύτο μϋροσ τησ ϊςκηςησ 4, τα οπούα περιλαμβϊνουν διαγραμματικϋσ αναπαραςτϊςεισ, το πρόβλημα 5 και την αλγεβρικό προςϋγγιςη ςτο πρόβλημα 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 69

84 Α. Φιλύππου, Α. Μονογυιού & Α. Γαγϊτςησ αυτό (VR1, Sd1, Sd2, VR2, Sa1, Sa2, Rd41, Rd43, P51, P52, Pa51, Pa52). Η ομϊδα 2 αποτελεύται από τισ απαντόςεισ των μαθητών ςε όλα τα μϋρη τησ ϊςκηςησ 3 η οπούα περιλαμβϊνει μεταφρϊςεισ, τη γεωμετρικό προςϋγγιςη ςτο πρόβλημα 6, την ϊςκηςη και το πρόβλημα 4, τα οπούα περιλαμβϊνουν διαγραμματικϋσ αναπαραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων και τη γεωμετρικό λύςη του προβλόματοσ 5 (Cva31, Cva32, Cva34, Cva33, Cva35, Cva36, Pd63, Pd62, Rd42, Pd41, Pd42, Pg51, Pg52, Rd44, Rd45, Pa61). Ομάδα 1 Ομάδα 2 Σχόμα 2. Διϊγραμμα ομοιότητασ των απαντόςεων των μαθητών τησ Β Λυκεύου ςτα ϋργα του δοκιμύου Οι δύο ομϊδεσ που ςχηματύςτηκαν ςτο διϊγραμμα ομοιότητασ των μαθητών τησ Β Λυκεύου βαςύζονται ςτη δυςκολύα των αςκόςεων και όχι ςτισ εμπλεκόμενεσ αναπαραςτϊςεισ. Φαύνεται ότι λόγω τησ διδαςκαλύασ που λαμβϊνει χώρα ςτη Β Λυκεύου οι μαθητϋσ αναπτύςςουν γνωςτικϋσ διαδικαςύεσ οι οπούεσ τουσ βοηθούν ςτο να χειρύζονται και να επιλύουν ϋργα ςυναρτόςεων με βϊςη το περιεχόμενό τουσ. Όπωσ και ςτην περύπτωςη των μαθητών τησ Α Λυκεύου το ψηλό επύπεδο αλγεβρικόσ ικανότητασ ςτην επύλυςη ϋργων μετϊφραςησ εύναι ςτενϊ ςυνδεδεμϋνο με την ικανότητα επύλυςησ προβλόματοσ. Ωςτόςο, οι μαθητϋσ τησ Β Λυκεύου προςεγγύζουν την επύλυςη προβλόματοσ τόςο γεωμετρικϊ όςο και διαγραμματικϊ. Έτςι, ςτο ςχόμα 2 παρατηρούνται ςυνδϋςεισ ομοιότητασ μεταξύ του τρόπου που επϋλυςαν οι μαθητϋσ τησ Β Λυκεύου τα ϋργα μετϊφραςησ και γεωμετρικών και διαγραμματικών ςτρατηγικών. υγκρύνοντασ τα ςχόματα 1 και 2, διαπιςτώνουμε ότι η ςχϋςη ομοιότητασ μεταξύ των μεταβλητών Ρ51, Ρ52, Pa51 και Pa52 υπϊρχει και ςτα δύο. Σο γεγονόσ ότι οι 70 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

85 Μελϋτη των Προςεγγύςεων των Μαθητών Α και Β Λυκεύου μαθητϋσ και των δύο τϊξεων (Α και Β Λυκεύου) προςεγγύζουν με όμοιο τρόπο τα ϋργα αυτϊ δεύχνει ότι οι λύςεισ των μαθητών ςτο πρόβλημα 5 ςυνδϋονται ςτενϊ με την αλγεβρικό προςϋγγιςη. Έτςι, παρϊ τη διδαςκαλύα και τη μϊθηςη που ςημειώθηκαν ςτο μεταξύ, οι μαθητϋσ εξακολουθούν να υπακούουν ςτη «ςημεύο προσ ςημεύο» προςϋγγιςη (point-wise approach), η οπούα κυριαρχεύ και ςτισ δύο τϊξεισ. ΤΖΗΣΗΗ Ο ςκοπόσ τησ παρούςασ ϋρευνασ όταν να διερευνόςει: α) αν η διδαςκαλύα ςτην Α Λυκεύου παρεμποδύζει τη μϊθηςη πιο πολύπλοκων εννοιών ςε ςχϋςη με τισ ςυναρτόςεισ ςτη Β Λυκεύου, β) το ρόλο των διαφόρων αναπαραςτϊςεων που χρηςιμοποιούνται ςτη λύςη αςκόςεων και προβλημϊτων με ςυναρτόςεισ και γ) το ρόλο τησ αλγεβρικόσ και γεωμετρικόσ προςϋγγιςησ ςτην επύλυςη ϋργων με ςυναρτόςεισ. ύμφωνα με τα αποτελϋςματα, οι μαθητϋσ ςτην Α Λυκεύου λύνουν τα ϋργα που περιλαμβϊνουν ςυναρτόςεισ αυςτηρϊ αλγεβρικϊ ενώ ςτη Β Λυκεύου χρηςιμοποιούν τόςο αλγεβρικϋσ όςο και γεωμετρικϋσ προςεγγύςεισ ωσ αποτϋλεςμα τησ διδαςκαλύασ και τησ μϊθηςησ. Ωςτόςο, η «ςημεύο προσ ςημεύο» προςϋγγιςη (point-wise approach) εξακολουθεύ να εύναι κυρύαρχη. Σο αποτϋλεςμα αυτό εύναι ςε ςυμφωνύα με τα ευρόματα ϊλλων ερευνών που δεύχνουν ότι οι περιςςότεροι μαθητϋσ προςεγγύζουν τισ ςυναρτόςεισ «ςημεύο προσ ςημεύο» (Even, 1998: Bell & Janvier, 1981). Οι μαθητϋσ μπορούν να τοποθετούν και να διαβϊζουν ςημεύα ςτο καρτεςιανό επύπεδο, αλλϊ δεν μπορούν να ςκεφτούν και να προςεγγύςουν μια ςυνϊρτηςη ολιςτικϊ. Περαιτϋρω, τα ευρόματα αυτών των ερευνών δεύχνουν ότι η ςφαιρικό-ολιςτικό προςϋγγιςη εύναι πιο ιςχυρό από τη «ςημεύο προσ ςημεύο» προςϋγγιςη. Οι μαθητϋσ που μπορούν εύκολα να χρηςιμοποιούν τη ςφαιρικό-ολιςτικό προςϋγγιςη ϋχουν καλύτερη και πιο ιςχυρό κατανόηςη των ςχϋςεων μεταξύ των γραφικών και αλγεβρικών αναπαραςτϊςεων και ϋχουν ψηλότερη επύδοςη ςτην επύλυςη προβλόματοσ. Η προτύμηςη των μαθητών ςτην αλγεβρικό προςϋγγιςη εύναι ύςωσ το αποτϋλεςμα τησ ϋμφαςησ που δύνεται τόςο ςτο αναλυτικό πρόγραμμα όςο και ςτη διδαςκαλύα ςτισ αλγεβρικϋσ αναπαραςτϊςεισ και το χειριςμό τουσ (Dugdale, 1993). τα εγχειρύδιϊ τουσ, οι μαθητϋσ ςυνόθωσ καλούνται να καταςκευϊςουν γραφικϋσ παραςτϊςεισ ςυγκεκριμϋνων εξιςώςεων χρηςιμοποιώντασ ζεύγη τιμών. Ωσ αποτϋλεςμα, οι μαθητϋσ αδυνατούν να ςυνδϋςουν τισ αλγεβρικϋσ και τισ γραφικϋσ αναπαραςτϊςεισ των ςυναρτόςεων και ωσ εκ τούτου αδυνατούν να αναπτύξουν 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 71

86 Α. Φιλύππου, Α. Μονογυιού & Α. Γαγϊτςησ μια ςφαιρικό-ολιςτικό προςϋγγιςη. Παρϊ το γεγονόσ ότι οι μαθητϋσ χρηςιμοποιούςαν κυρύωσ τη ςημεύο προσ ςημεύο προςϋγγιςη, όταν τουσ ζητόθηκε να ςχεδιϊςουν μια ςυνϊρτηςη με δοςμϋνεσ τιμϋσ που αντιςτοιχούςαν ςε μια μη ςυνεχό γραμμό οι επιδόςεισ τουσ όταν χαμηλϋσ. Σο αποτϋλεςμα αυτό μπορεύ να εξηγηθεύ λαμβϊνοντασ υπόψη την παρανόηςη των μαθητών ότι η ςυνϊρτηςη εύναι πϊντα μια ςυνεχόσ γραμμό. Επιπλϋον, από τισ απαντόςεισ που ϋδωςαν οι μαθητϋσ τησ Α Λυκεύου ςτα ϋργα των ςυναρτόςεων φϊνηκε η ςτεγανοπούηςη ςτον τρόπο ςκϋψησ τουσ αφού ϋλυςαν τα ϋργα ανϊλογα με το εύδοσ αναπαρϊςταςησ που περιλϊμβαναν και όχι το περιεχόμενό τουσ. Σο φαινόμενο τησ ςτεγανοπούηςησ φανερώνει τη γνωςτικό δυςκολύα που προκύπτει από την ανϊγκη για επύτευξη ευϋλικτων και αποτελεςματικών μεταφρϊςεων ανϊμεςα ςτισ διϊφορεσ μαθηματικϋσ αναπαραςτϊςεισ. Αυτϋσ οι γνωςτικϋσ δυςκολύεσ εύναι ενδεικτικϋσ τησ αποςπαςματικόσ μαθηματικόσ κατανόηςησ (Duval, 2002). Η μϊθηςη των ςυναρτόςεων θα μπορούςε να επιτευχθεύ μϋςω τησ αποςτεγανοπούηςησ. ε αντύθεςη με τουσ μαθητϋσ τησ Α Λυκεύου, οι μαθητϋσ τησ Β Λυκεύου κϊνουν μια προςπϊθεια για ϋνα αποςτεγανοποιημϋνο τρόπο προςϋγγιςησ των ϋργων. Αξύζει να ςημειωθεύ ότι η ικανότητα των μαθητών τησ Α και Β Λυκεύου να επιλύουν ϋργα μετϊφραςησ ςυνδϋεται ςτενϊ με την ικανότητϊ τουσ ςτη λύςη προβλόματοσ. Η διαπύςτωςη αυτό εύναι ςύμφωνη με τα αποτελϋςματα προηγούμενων ερευνών που τονύζουν το ςημαντικό ρόλο των διαφόρων τρόπων αναπαρϊςταςησ ςτισ ςυναρτόςεισ και ςυγκεκριμϋνα ςτη λύςη προβλόματοσ (Gagatsis & Shiakalli, 2004: Hitt, 1998). ύγουρα υπϊρχει ανϊγκη για περαιτϋρω μελϋτη ςτο θϋμα αυτό. Θα όταν ενδιαφϋρουςα αλλϊ και πρακτικϊ χρόςιμη η διερεύνηςη τησ βελτύωςησ τησ ικανότητασ των μαθητών ςτην επύλυςη προβλημϊτων ςυναρτόςεων με παρεμβατικϊ προγρϊμματα που θα ϋχουν ςτόχο την ανϊπτυξη τόςο των αλγεβρικών όςο και των γεωμετρικών προςεγγύςεων των ςυναρτόςεων. Αναφορέσ Ainsworth, S., Bibby, P., & Wood, D. (1997). Evaluating principles for multirepresentational learning environments. Paper presented at the 7th European Conference for Research on Learning and Instruction, 1997, August, Athens. 72 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

87 Μελϋτη των Προςεγγύςεων των Μαθητών Α και Β Λυκεύου Aspinwall, L., Shaw, K. L., & Presmeg, N. C. (1997). Uncontrollable mental imagery: Graphical connections between a function and its derivative. Educational Studies in Mathematics, 33, Bell, A., & Janvier, C. (1981). The interpretation of graphs representing situations. For the Learning of Mathematics, 2(1), Bodin, A., Coutourier, R., & Gras, R. (2000). CHIC : Classification Hiérarchique Implicative et Cohésive-Version sous Windows CHIC 1.2. Rennes : Association pour la Recherche en Didactique des Mathématiques. Dubinsky, E., & Harel, G. (1992). The nature of the process conception of function. In E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The Concept of Function. Aspects of Epistemology and Pedagogy (pp ). United States: The Mathematical Association of America. Dufour Janvier, B., Bednarz, N., & Belanger, M. (1987). Pedagogical considerations concerning the problem of representation. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates Publishers. Dugdale, S. (1993). Functions and graphs perspective on student thinking. In T. A. Romberg, E. Fennema, & T. P. Carpenter (Eds.), Integrating research on the graphical representation of functions (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Duval, R. (2002). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 1(2), Duval (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61(1-2), Eisenberg, T., & Dreyfus, T. (1991). On the reluctance to visualize in mathematics. In W. Zimmermann & S. Cunningham (Eds.), Visualization in Teaching and Learning Mathematics (pp. 9-24). United States: Mathematical Association of America. Elia, I., Panaoura, A., Gagatsis, A., Gravvani, K., & Spyrou, P. (2008). Exploring different aspects of the understanding of function: Toward a four-facet model. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 8(1), Even, R. (1998). Factors involved in linking representations of functions. The Journal of Mathematical Behavior, 17(1), ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 73

88 Α. Φιλύππου, Α. Μονογυιού & Α. Γαγϊτςησ Gagatsis, A., & Shiakalli, M. (2004). Ability to translate from one representation of the concept of function to another and mathematical problem solving. Educational Psychology, 24(5), Greeno, J. G., & Hall, R.P. (1997). Practicing representation: Learning with and about representational forms, Phi Delta Kappan, 78, Hitt, F. (1998). Difficulties in the articulation of different representations linked to the concept of function. The Journal of Mathematical Behavior, 17(1), Kaput, J. (1992). Technology and mathematics education. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan. Knuth, J. E. (2000). Student understanding of the Cartesian Connection: An exploratory study. Journal of Research in Mathematics Education, 31(4), Lerman, I. C. (1981). Classification et analyse ordinale des données. Paris: Dunod. Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of Mathematics (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Markovits, Z., Eylon, B., & Bruckheimer, M. (1986). Functions today and yesterday. For the Learning of Mathematics, 6(2), Monoyiou, A., & Gagatsis, A. (2008a). A coordination of different representations in function problem solving. Article available at the website of the 11 th International Congress of Mathematics Education, under Topic Study Group 20 (http://tsg.icme11.org/tsg/show/21). Monterrey, Mexico. Monoyiou, A., & Gagatsis, A. (2008b). The stability of students approaches in function problem solving: A coordinated and an algebraic approach. In A. Gagatsis (Ed.), Research in Mathematics Education (pp.3-12). Nicosia: University of Cyprus. Monoyiou, A., & Gagatsis, A. (2010). Preservice teachers definitions, examples and approaches in function problem solving: a comparative study between Cyprus and Italy. In Gagatsis, A., Rowland, T., Panaoura, A., & Stylianides, A. (Eds.), Mathematics Education Research at the University of Cyprus and the University of Cambridge: a Symposium (pp ). Lefkosia: University of Cyprus. 74 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

89 Μελϋτη των Προςεγγύςεων των Μαθητών Α και Β Λυκεύου Moschkovich, J., Schoenfeld, A. H., & Arcavi, A. (1993). Aspects of understanding: On multiple perspectives and representations of linear relations and connections among them. In T. A. Romberg, E. Fennema, & T. P. Carpenter (Eds.), Integrating research on the graphical representation of functions (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Mousoulides, N., & Gagatsis, A. (2004). Algebraic and geometric approach in function problem solving. In M. Johnsen Hoines & A. Berit Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp ). Bergen, Norway: Bergen University College. Sfard, A. (1992). Operational origins of mathematical objects and the quandary of reification - The case of function. In E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (pp ). United States: The Mathematical Association of America. Sierpinska, A. (1992). On understanding the notion of function. In E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (pp ). United States: The Mathematical Association of America. Smith, J.P., DiSessa, A.A., & Rocchelle, J. (1993). Misconceptions reconceived: A constructivist analysis of knowledge in transition, Journal of the Learning Sciences, 3, ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 75

90 76 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

91 ΜΕΘΟΔΟ ΣΗ ΕΞΑΝΣΛΗΗ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΚΑΙ Η ΕΥΑΡΜΟΓΗ ΣΗ ΜΕΘΟΔΟΤ ΣΟ ΔΙΔΑΚΣΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΗ Α ΚΑΙ Β ΕΝΙΑΙΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ Κωνςταντίνοσ Δημητριάδησ Μαθηματικόσ, καθηγητήσ Μέςησ Εκπαίδευςησ ΠΕΡΙΛΗΨΗ την παρούςα εργαςύα παρουςιϊζεται η «Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ» όπωσ αυτό εφαρμόςτηκε από τουσ Αρχαύουσ Έλληνεσ Μαθηματικούσ. Αναφϋρονται αρκετϋσ από τισ προτϊςεισ και θεωρόματα που αποδεύχτηκαν με αυτό τη μϋθοδο. τη ςυνϋχεια ςυγκρύναμε τον τρόπο απόδειξησ των ύδιων προτϊςεων και θεωρημϊτων, όπωσ αυτϊ παρουςιϊζονται ςτο διδακτικό βιβλύο τησ Α και Β Λυκεύου. υμπϋραςμα τησ εργαςύασ αυτόσ εύναι ότι η «Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ», με εργαλεύο την εισ ϊτοπο απαγωγό, ϋδωςε ςτουσ Αρχαύουσ Έλληνεσ Μαθηματικούσ τα εφόδια για να ξεπερϊςουν τα αποδεικτικϊ προβλόματα που τουσ δημιουργούςε η ϋννοια του απεύρου και του ορύου. ε πολλϋσ από τισ αποδεύξεισ των θεωρημϊτων, όπου χρειϊζεται η «Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ», το διδακτικό βιβλύο χρηςιμοποιεύ την ϋννοια των ακολουθιών και του ορύου. Ειδικότερα η «Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ» όπου εμφανύζεται, δύνεται με όρουσ και ςυμβολιςμό ςύγχρονο και ςε καμύα περύπτωςη δεν αγγύζει το γεωμετρικό τρόπο απόδειξησ που υπϊρχει εύτε ςτα τοιχεύα του Ευκλεύδη εύτε ςτα Άπαντα του Αρχιμόδη. Παρουςίαςη τησ «Μεθόδου τησ Εξάντληςησ», πρόδρομου του Ολοκληρωτικού Λογιςμού, με ςύγχρονη ορολογία. Οι Αρχαύοι Έλληνεσ όταν που επινόηςαν και τελειοπούηςαν την Μϋθοδο τησ Εξϊντληςησ, η οπούα εύναι ο πρόδρομοσ του ςημερινού Ολοκληρωτικού Λογιςμού. Η Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ εμφανύζεται «ςτο βιβλύο ΧΙ των ςτοιχεύων του Ευκλεύδη ςτισ ςυγκρύςεισ παραλληλεπιπϋδων και πριςμϊτων οι οπούεσ γύνονται με ςυμπλόρωςη ό με την διαμϋριςη των ςχημϊτων αυτών» 1. Στο βιβλύο ΧΙΙ παρουςιϊζεται η ανϊγκη να οριςθεύ το εμβαδόν του κύκλου με βϊςη το εμβαδόν πολυγώνου ό ο όγκοσ κυλύνδρου (και κώνου) με βϊςη τον όγκο πρύςματοσ (πυραμύδασ) καθώσ και να ςυγκριθούν πυραμύδα και πρύςμα, που ϋχουν ύςεσ βϊςεισ και ύςα ύψη. «ε όλεσ αυτϋσ τισ περιπτώςεισ καταφεύγουμε ςτην 1 Δπθιείδε Σηνηρεία ηόκνο ΙΙΙ ζει ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 77

92 Κ. Δημητριϊδησ αξιοθαύμαςτη μϋθοδο του Εύδοξου, τη μϋθοδο τησ εξϊντληςησ» 2. Την ϋννοια του απεύρου και του ορύου οι Αρχαύοι Έλληνεσ ςυνειδητϊ δεν την χρηςιμοποιούςαν ςτισ αποδεύξεισ τουσ, καταφεύγοντασ ςε αξιοθαύμαςτεσ αλλϊ αρκετϊ δύςκαμπτεσ αποδεικτικϋσ και υπολογιςτικϋσ μεθόδουσ. Πϋραν τησ εντυπωςιακόσ πρϊγματι διαδικαςύασ που ακολουθούςαν για να υποψιαςτούν εκ των προτϋρων την τιμό Β 3 κϊποιασ, κατϊ κανόνα γεωμετρικόσ, ποςότητασ Α, την οπούα προςπαθούςαν να υπολογύςουν, κατϋφυγαν και ςτη Μϋθοδο τησ Εξϊντληςη: «βϊςη αυτόσ τησ προςπϊθειασ προσ την τελικό απόδειξη τησ ιςότητασ αποτελεύ η μϋθοδοσ τησ εξϊντληςησ, που ειςόγαγε ο Εύδοξοσ, και εφϊρμοςε με εξαιρετικό επιτυχύα ο Αρχιμόδησ, αν και ενύοτε με κϊποιεσ παραλλαγϋσ. Η μϋθοδοσ με ςημερινό προςϋγγιςη ϋχει κατϊ βϊςη ωσ εξόσ: βρύςκουμε μύα αύξουςα ακολουθύα (αν) και μύα φθύνουςα ακολουθύα (βν), ώςτε να ιςχύουν οι ςχϋςεισ» 4,,, και ( ) 2, (1). Στο βιβλύο Χ των τοιχεύων αποδεικνύεται, με ςημερινούσ όρουσ διατυπωμϋνη, η εξόσ πρόταςη: «Αν για δύο ακολουθύεσ (tν), (ων) θετικών όρων ιςχύει με t 1,, (δηλαδό t 1 t, ), τότε τϋτοιο, ώςτε να 2 2 ιςχύει t. Με βϊςη αυτό την πρόταςη, προφανώσ γνωςτό ςτον Εύδοξο η ςχϋςη (1) μασ οδηγεύ ςτη διαπύςτωςη ότι:,. Αλλϊ, και., t t 1, τϋτοιο ώςτε να ιςχύει, Αν λοιπόν δεχθούμε ότι τότε για 0 θα υπϊρχει τϋτοιο 2 ώςτε, οπότε, δηλαδό 0 που εύναι 2 2 ϊτοπο. Άρα θα ϋχουμε Α=Β». 5 Αρχαίοι Έλληνεσ μαθηματικοί και η «Μέθοδοσ τησ Εξάντληςησ». Στον Ιπποκρϊτη τον Χύο αποδύδεται το θεώρημα «Ο λόγοσ των εμβαδών ομούων κυκλικών τμημϊτων εύναι ύςοσ με το λόγο των τετραγώνων των βϊςεων τουσ», το οπούο απϋδειξε δεύχνοντασ ότι ο λόγοσ των εμβαδών δύο κύκλων εύναι ύςοσ προσ το λόγο των τετραγώνων των διαμϋτρων τουσ. Μελετητϋσ αναφϋρουν ότι μϊλλον 2 Δπθιείδε Σηνηρεία ηόκνο ΙΙΙ ζει «Γηα λα απνδεηρηεί έλα απνηέιεζκα, πξέπεη λα είλαη από πξηλ γλωζηό. Γη απηό νη καζεκαηηθνί ην αλαδεηνύζαλ πξώηα κε άιιε κέζνδν, πεξηζζόηεξν δνθηκαζηηθή θαη ιηγόηεξν απζηεξή» Struik D., 1982 ζει.83 4 Δπθιείδε Σηνηρεία ηόκνο ΙΙΙ ζει Δπθιείδε Σηνηρεία ηόκνο ΙΙΙ ζει Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

93 Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ εύναι απύθανο να αποδεύχτηκε το θεώρημα αυτό από τον Ιπποκρϊτη και υποςτηρύζουν ότι η απόδειξη του οφεύλεται ςτον Εύδοξο 6, ο οπούοσ ϋζηςε μετϊ τον Ιπποκρϊτη και πριν τον Ευκλεύδη. Πϊντωσ, ο Ιπποκρϊτησ όταν ο πρώτοσ που ϋκανε τετραγωνιςμό μιασ καμπυλόγραμμησ επιφϊνειασ, δηλαδό τετραγωνιςμό των μηνύςκων 7. Γνωςτότατη εύναι η πρόταςη ότι το εμβαδόν του μηνύςκου που περικλεύεται από τεταρτοκύκλιο ΚΑΒ (Κ κϋντρο του κύκλου) και του ημικυκλύου με διϊμετρο τη χορδό ΑΒ ιςούται με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΚ. Στην προςπϊθειϊ του «να λύςη τον τετραγωνιςμό του κύκλου, ο Ιπποκρϊτησ ο Χύοσ αςχολόθηκε με τον τετραγωνιςμό των μηνύςκων, βρύςκοντασ τρύα εύδη τϋτοιων μηνύςκων» 8. Ιςτορικϊ επιβεβαιωμϋνο εύναι ότι ο πατϋρασ τησ «Μεθόδου τησ Εξϊντληςησ» εύναι ο Εύδοξοσ ο Κνύδιοσ ( π.χ.) 9, ο οπούοσ, εκτόσ από τουσ υπολογιςμούσ του όγκου τησ πυραμύδασ και του όγκου του κόλουρου κώνου, απϋδειξε ότι 10 : ο λόγοσ των εμβαδών δύο κύκλων με διαμϋτρουσ δ, Δ εύναι ύςοσ με το λόγο 2 2 Δύο πυραμύδεσ τριγωνικϋσ και μετϊ πολυγωνικϋσ, με ύςα ύψη, εύναι ανϊλογεσ των βϊςεών τουσ Κϊθε τριγωνικό πρύςμα διαιρεύται ςε τρεισ ιςοδύναμεσ τριγωνικϋσ πυραμύδεσ Ο λόγοσ δύο ομούων τριγωνικών πυραμύδων ανϊγεται ςε λόγο παραλληλεπιπϋδων, για να αποδειχθεύ ότι ιςούται με τον κύβο του λόγου δύο ομόλογων ακμών τουσ. Αν δύο κώνοι ό κύλινδροι ϋχουν ύςα ύψη τότε εύναι ανϊλογοι των βϊςεων τουσ. Ο λόγοσ των όγκων δύο ςφαιρών με ακτύνεσ 1, 2 εύναι ύςοσ με το λόγο Σημαντικό προςφορϊ του Εύδοξου εύναι και το αξύωμα «Από ϊνιςα μεγϋθη το μεγαλύτερο υπερϋχει του μικρότερου κατϊ τϋτοιο μϋγεθοσ όπωσ αυτό που, όταν 6 «ηα επηηεύγκαηα ηνπ Δύδνμνπ έγηλαλ γλσζηά κόλν κέζα από ζπγγξάκκαηα ηνπ Δπθιείδε θαη ηνπ Αξρηκήδε» Struik D., 1982 ζει.86 7 Struik D., 1982 ζει.72 8 Επθιείδεηα Γεωκεηξία Α θαη Β Γεληθνύ Λπθείνπ, ζει Η ηζηνξία ησλ κελίζθσλ είλαη αξθεηά κεγάιε, ην 1840 ν Κιάνπρδελ βξήθε άιινπο δύν κελίζθνπο, αιιά ην νη Ρώζνη καζεκαηηθνί Τζεκπνηαξηόθ θαη Νηνξνληλόθ, ρξεζηκνπνηώληαο κεζόδνπο ηεο ζεσξίαο Γθαινπά, απέδεημαλ όηη ππάξρνπλ πέληε είδε κελίζθσλ αιιά θαλέλαο δελ ηεηξαγσλίδεη ηνλ θύθιν. 9 Struik D., 1982 ζει Loria G.,(...), Ιζηνξία ηωλ Μαζεκαηηθώλ, Τνκ. 1, Μεηάθξαζε Κσβαίνπ Μ.Κ., Δ.Μ.Δ. ζει.60. Οη πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ βξίζθνληαη ζην Γσδέθαην Βηβιίν ησλ Σηνηρείωλ ηνπ Δπθιείδε. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 79

94 Κ. Δημητριϊδησ προςτεθεύ ςτον εαυτό του, να μπορεύ να υπερϋχει οποιουδόποτε προκαθοριςμϋνου μεγϋθουσ του ύδιου εύδουσ». Από το αξύωμα αυτό, γνωςτό και ωσ Αξύωμα των Αρχιμόδη Εύδοξου, προκύπτει η πρόταςη: «Αν από ϋνα μϋγεθοσ αφαιρϋςουμε ϋνα τμόμα μεγαλύτερο ό ύςο από το μιςό του, και από το υπόλοιπο αφαιρϋςουμε τμόμα πϊλι μεγαλύτερο ό ύςο του μιςού του και αν η διαδικαςύα αυτό των αφαιρϋςεων ςυνεχιςτεύ, θα καταλόξουμε ςε μϋγεθοσ μικρότερο από οποιοδόποτε προκαθοριςμϋνο μϋγεθοσ του ιδύου εύδουσ» 11, η οπούα αποτελεύ τη βϊςη τησ Μεθόδου τησ Εξϊντληςησ. Επόμενοσ Αρχαύοσ Έλληνασ Μαθηματικόσ του οπούου το ϋργο όταν προδρομικό του ολοκληρωτικού Λογιςμού, εύναι ο Αρχιμόδησ ( π.χ.). Μερικϋσ από τισ ανακαλύψεισ του / αποδεύξεισ ςτο πιο πϊνω πνεύμα, εμφανύζονται ςτο «περύ φαύρασ και Κυλύνδρου α και β» 12 όπωσ: «Παντόσ κυλύνδρου η επιφϊνεια χωρύσ τη βϊςη εύναι ύςη με κύκλο, του οπούου η ακτύνα εύναι μϋςη ανϊλογοσ τησ πλευρϊσ του κυλύνδρου (του ύψουσ) και τησ διαμϋτρου τησ βϊςησ του κυλύνδρου» «Η επιφϊνεια κϊθε ςφαύρασ εύναι τετραπλϊςια του μεγύςτου κύκλου αυτόσ» και «Κϊθε ςφαύρα εύναι τετραπλϊςια του κώνου που ϋχει βϊςη ύςη με το μϋγιςτο κύκλο τησ ςφαύρασ, και ύψοσ ύςο με την ακτύνα τησ». Στα ϋργα του «Περύ Κύκλου Μϋτρηςησ», «Περύ Κωνοειδϋων και φαιροειδϋων», «Περύ Ελύκων», «Επιπϋδων ιςορροπιών ό κϋντρα βϊρουσ επιπϋδων (Μηχανικϊ) α και β», «Σετραγωνιςμόσ ορθογωνύου κώνου τομόσ (παραβολό)» και ςτο «Περύ των Μηχανικών Θεωρημϊτων, προσ τον Ερατοςθϋνη Μϋθοδοσ», παρουςιϊζονται αρκετϋσ αποδεύξεισ με τη χρόςη τησ μεθόδου τησ εξϊντληςησ που όπωσ αναφϋραμε προηγουμϋνωσ εύναι ο πρόδρομοσ του ολοκληρωτικού Λογιςμού. Θα αναφϋρουμε ϋνα χαρακτηριςτικό παρϊδειγμα, από το ϋργο του «Σετραγωνιςμόσ ορθογωνύου κώνου τομόσ (παραβολό)». Στο ϋργο αυτό η πρόταςη 24 εύναι: «Παν τμόμα περιεχόμενο υπό ευθεύασ και παραβολόσ εύναι τα τϋςςερα τρύτα του τριγώνου που ϋχει την ύδια βϊςη προσ αυτό και ύςο ύψοσ» Δπθιείδε Σηνηρεία, (Χ.1), ζει Σηακάηε Δ.Σ., (1970),Αξρηκήδνπο Άπαληα, Τόκνο Α, Μέξνο Β, ζει. 48, 114, Σηακάηε Δ.Σ., (1970),Αξρηκήδνπο Άπαληα, Τόκνο Α, Μέξνο Β, ζει Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

95 Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ Απόδειξη: M μϋςο του ΑΒ, από το Μ φϋρουμε παρϊλληλο προσ τον ϊξονα τησ παραβολόσ που την τϋμνει ςτο ςημεύο Γ, υποθϋτουμε Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Από τα μϋςα Μ1, Μ2 των πλευρών ΑΓ και ΒΓ φϋρουμε παρϊλληλεσ προσ την ΜΓ, που τϋμνουν την παραβολό ςτα ςημεύα Γ1, Γ2. Αποδεικνύεται ότι E + A 1 E 1 = B 2 4. Διχοτομώντασ τα νϋα ευθύγραμμα τμόματα και φϋρνοντασ παρϊλληλεσ προσ τον ϊξονα τησ παραβολόσ, θα προκύψει τελικϊ ότι ή ή Το δεύτερο μϋλοσ εύναι ϋνα 2 n ϊθροιςμα απεύρων όρων γεωμετρικόσ προόδου με λόγο 1, ϊρα 4 4 ή ή. Ο Αρχιμόδησ ςτηρύχθηκε ςτην πρόταςη «εϊν υπϊρχωςι 3 μεγϋθη εισ ςυνεχό φθύνουςα γεωμετρικόν προόδον με λόγον εν τϋταρτον και όλα τα μεγϋθη προςτεθώςι και εισ το ϊθροιςμα προςτεθό το ϋν τρύτον του μικρότερου όρου, το ςυνολικό ϊθροιςμα θα εύναι τα τϋςςαρα τρύτα του μεγύςτου όρου», εφόςον την εποχό του δεν όταν γνωςτϊ τα αθρούςματα ϊπειρων όρων 14. Η απόδειξό του τελειώνει όπωσ ςυνόθωσ, με διπλό ϊτοπο απαγωγό. δηλαδό ότι το εμβαδόν που ψϊχνει δεν μπορεύ να εύναι ούτε μικρότερο ούτε μεγαλύτερο από το 4 3. Σόμερα με τη χρόςη του ολοκληρωτικού λογιςμού, ϋςτω 2 η παραβολό και η ευθεύα ψ=1, το εμβαδόν του χωρύου που περικλεύεται από την παραβολό και την ευθεύα αυτό 14 Σηακάηε Δ.Σ., (1970),Αξρηκήδνπο Άπαληα, Τόκνο Α, Μέξνο Β, ζει ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 81

96 Κ. Δημητριϊδησ υπολογύζεται από το ολοκλόρωμα d 3 0 το οπούο ςυμφωνεύ με τον τρόπο υπολογιςμού του Αρχιμόδη, αφού το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ εύναι 1 τ.μ.. ύγκριςη θεωρημάτων και προτάςεων, που ςτηρίζονται ςτη «Μέθοδο τησ Εξάντληςησ», από το διδακτικό βιβλίο Ευκλείδειασ Γεωμετρία Α και Β Γενικού Λυκείου, ςε ςχέςη με τισ αντίςτοιχεσ των τοιχείων του Ευκλείδη. Στο διδακτικό βιβλύο τησ Ευκλεύδειασ Γεωμετρύασ Α και Β Γενικού Λυκεύου θα προςπαθόςουμε να βρούμε τισ προτϊςεισ και τα θεωρόματα τα οπούα αποδεικνύονται με μεθόδουσ οι οπούεσ εύναι πρόδρομοι του γνωςτού μασ ςόμερα ολοκληρωτικού λογιςμού και να ςυγκρύνουμε τισ αποδεύξεισ που παρατύθενται ςτα τοιχεύα του Ευκλεύδη 15 και των Απϊντων του Αρχιμόδη. Προτού προχωρόςουμε ςτη ςύγκριςη των θεωρημϊτων και προτϊςεων που ςτηρύζονται ςτη «Μϋθοδο τησ Εξϊντληςησ», θα εξετϊςουμε τον οριςμό του κύκλου και των ςτερεών μεταξύ του διδακτικού βιβλύου και των τοιχεύων του Ευκλεύδη. Στο διδακτικό βιβλύο, ςελύδα 21, «κύκλοσ με κϋντρο Ο και ακτύνα ρ λϋγεται το επύπεδο ςχόμα του οπούου όλα τα ςημεύα απϋχουν από το Ο απόςταςη ύςη με ρ», ο οπούοσ εύναι ακριβώσ όπωσ και των Στοιχεύων 16. Στη ςελύδα 291 του ύδιου διδακτικού βιβλύου δύνεται ο οριςμόσ του πρύςματοσ «Σο ςτερεό που περικλεύεται μεταξύ δύο παραλλόλων επιπϋδων και μύασ πριςματικόσ επιφϊνειασ, ςυμπεριλαμβανομϋνων των επύπεδων τομών», ενώ ςτα τοιχεύα «Πρύςμα εύναι το ςτερεό ςχόμα που περιϋχεται από δύο επύπεδα ςχόματα, εκ των οπούων τα μεν δύο απϋναντι εύναι ύςα, όμοια και παρϊλληλα, ενώ τα υπόλοιπα εύναι παραλληλόγραμμα» 17. Η διαφορϊ του οριςμού ςτο διδακτικό βιβλύο ϋγκειται ςτη χρόςη τησ πριςματικόσ επιφϊνειασ, από όπου προκύπτει η ςυνϋχεια του χώρου και το ϊπειρο του χώρου, ςτοιχεύα που δεν παρουςιϊζονται ςτον οριςμό του πρύςματοσ ςτα τοιχεύα 18. Στη ςελύδα 299 του διδακτικού βιβλύου δύνεται ο οριςμόσ τησ πυραμύδασ με τη βοόθεια κυρτού επύπεδου πολυγώνου και ςημεύου Κ εκτόσ αυτού, ςτα τοιχεύα «Πυραμύδα εύναι το ςχόμα που περιϋχεται από επύπεδα, τα οπούα ξεκινούν από ϋνα επύπεδο και καταλόγουν ςε ϋνα ςημεύο» 19. Ο οριςμόσ ςτο διδακτικό βιβλύο εύναι ςυνακόλουθοσ - με τον οριςμό του πρύςματοσ - και αυτό ύςωσ γύνεται για διδακτικούσ ςκοπούσ, 15 «Σην ηξίην βηβιίν πεξηέρνληαη 11 νξηζκνί θαη 37 πξνηάζεηο πνπ αθνξνύλ ζηνλ θύθιν, ζηελ ηνκή θύθιωλ θαη ζηελ ηνκή θύθινπ θαη επζείαο. Να ζεκεηώζνπκε όηη ν θύθινο είλαη ε κνλαδηθή θακπύιε γξακκή πνπ απαληάηαη ζηα Σηνηρεία» Σην ηέηαξην βηβιίν έρνπκε ηνπο νξηζκνύο θαη ηηο πξνηάζεηο πνπ αλαθέξνληαη ζε εγγξαθή θαη πεξηγξαθή θαλνληθώλ πνιπγώλσλ ζε θύθιν, θαη ζηα ηξία ηειεπηαία βηβιία 11 ν, 12 ν, 13 ν, βξίζθεηαη όιε ε ζηεξενκεηξία. Ιζηνξία θαη Φηινζνθία ηωλ Επηζηεκώλ ζηνλ Ειιεληθό Χώξν (17 νο 19 νο αί.) ζει Δπθιείδε Σηνηρεία,Τόκνο ΙΙΙ, ζει Δπθιείδε Σηνηρεία,Τόκνο ΙΙΙ, ζει Η ζπλέρεηα ηνπ ρώξνπ θαη ην άπεηξν ηνπ ρώξνπ ππάξρνπλ ζηα Σηνηρεία ηνπ Δπθιείδε, ζην ηξίην αίηεκα, «κε θάζε θέληξν θαη θάζε αθηίλα κπνξεί λα γξαθεί θύθινο», πνπ δειώλεη όηη ε αθηίλα κπνξεί λα είλαη απείξσο κηθξή ή απείξσο κεγάιε, ζπλέρεηα απείξσο κηθξή, ζπλέρεηα - απείξσο κεγάιε. Δπθιείδε Σηνηρεία,Τόκνο Ι, ζει Σηνηρεία,Τόκνο ΙΙΙ, ζει Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

97 Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ καλύτερησ, δηλαδό, κατανόηςησ των αποδεύξεων και των προτϊςεων που ακολουθούν. Τα εκ περιςτροφόσ ςτερεϊ ορύζονται ακριβώσ με τον ύδιο τρόπο και ςτο διδακτικό βιβλύο και ςτα τοιχεύα. Υπϊρχει μύα μικρό διαφορϊ όςον αφορϊ ςτη ςφαύρα ςτο διδακτικό βιβλύο, η οπούα αναφϋρεται ότι, περιςτρϋφεται πλόρωσ κύκλοσ γύρω από τη διϊμετρο του 20 ενώ ςτα τοιχεύα περιςτρϋφεται πλόρωσ ημικύκλιο 21, γύρω από την διϊμετρο του. Αφού εξετϊςαμε τουσ οριςμούσ μερικών εννοιών που εμπλϋκεται η αποδεικτικό μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ θα προχωρόςουμε ςτη ςύγκριςη αυτόσ καθ αυτόσ τησ μεθόδου. Για πρώτη φορϊ η Μϋθοδοσ τησ Εξϊντλόςησ εμφανύζεται ςτη ςελύδα 54 παρϊγραφοσ 3.11 ςτο θεώρημα «ε κϊθε τρύγωνο απϋναντι από ϊνιςεσ πλευρϋσ βρύςκονται ϊνιςεσ γωνύεσ και αντύςτροφα», ςτα τοιχεύα το θεώρημα αυτό δύνεται ςε δύο προτϊςεισ, Πρόταςη 18 (Ι.18) και το αντύςτροφο του ςτην Πρόταςη 19 (Ι.19). Η μϋθοδοσ απόδειξησ ςυνύςταται ςτο διαχωριςμό τησ προσ απόδειξη πρόταςησ ςε διακριτϋσ περιπτώςεισ και με την αντιμετώπιςη τησ κϊθε περύπτωςησ ςυνόθωσ με την μϋθοδο τησ απαγωγόσ ςε ϊτοπο 22. Στη ςελύδα 243 του διδακτικού βιβλύου, παρϊγραφο 11.4, παρουςιϊζεται η προςϋγγιςη του μόκουσ του κύκλου με κανονικϊ πολύγωνα. «ασ εγγρϊψουμε ςε αυτόν διαδοχικϊ ϋνα ιςόπλευρο τρύγωνο, ϋνα κανονικό 6-γωνο, ϋνα κανονικό 12- γωνο και γενικϊ ϋνα πολύγωνο με διπλϊςιο κϊθε φορϊ πλόθοσ πλευρών από το προηγούμενο. Καθώσ ο αριθμόσ των πλευρών των κανονικών πολυγώνων διπλαςιϊζεται φαύνεται ότι το κανονικό πολύγωνο τεύνει να ταυτιςτεύ με τον κύκλο. το ύδιο ςυμπϋραςμα καταλόγουμε και αν, αντύ εγγεγραμμϋνων, θεωρόςουμε κανονικϊ πολύγωνα περιγεγραμμϋνα ςτον κύκλο» και ςυνεχύζει «καθώσ το ν διπλαςιϊζεται, οι όροι των ακολουθιών (Ρν) και (Ρ ν) προςεγγύζουν όλο και περιςςότερο τον αριθμό L. Ο αριθμόσ L (που εύναι το κοινό όριο των ακολουθιών και ανεξαρτότωσ από την επιλογό κανονικών πολυγώνων) λϋγεται μόκοσ κύκλου». Στη ςελύδα 246, παρϊγραφοσ 11.6, ςτην προςϋγγιςη του εμβαδού κύκλου με κανονικϊ πολύγωνα, βρύςκουμε «τα εγγεγραμμϋνα ό τα περιγεγραμμϋνα ςε κύκλο κανονικϊ πολύγωνα τεύνουν να ταυτιςτούν με τον κύκλο, καθώσ το πλόθοσ των πλευρών τουσ διπλαςιϊζεται. Ο μοναδικόσ θετικόσ αριθμόσ Ε προσ τον οπούο πληςιϊζουν ολοϋνα και περιςςότερο, τα εμβαδϊ των εγγεγραμμϋνων και των περιγεγραμμϋνων κανονικών πολυγώνων, λϋγεται εμβαδόν του κυκλικού δύςκου». Στα πιο πϊνω βρύςκουμε μϋροσ τησ Μεθόδου τησ Εξϊντληςησ, δοςμϋνησ με ςύγχρονη ορολογύα, γιατύ δεν ολοκληρώνεται με την μϋθοδο τησ απαγωγόσ ςε ϊτοπο. Στη ςελύδα 247 η εφαρμογό ϋνα (Μηνύςκοι του Ιπποκρϊτη) «Δύνεται ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ ( ˆ 90 ). Με διαμϋτρουσ ΒΓ, ΑΒ και ΑΓ, γρϊφουμε ημικύκλια ςτο επύπεδο (ΒΓ,Α). Να αποδειχθεύ ότι το ϊθροιςμα των 20 Επθιείδεηα Γεωκεηξία Α θαη Β Γεληθνύ Λπθείνπ, ζει Σηνηρεία,Τόκνο ΙΙΙ, ζει «Ο Πξόθινο αθνύ επηζεκάλεη όηη ε πξόηαζε 19 είλαη αληίζηξνθε ηεο 18, παξαηεξεί όηη γηα ηελ απόδεημε ηεο 19 ρξεζηκνπνηείηαη γηα πξώηε θνξά ζηα Σηνηρεία ε Μέζνδνο ηεο Εμάληιεζεο» Δπθιείδε Σηνηρεία,Τόκνο Ι, ζει ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 83

98 Κ. Δημητριϊδησ εμβαδών των ςχηματιζόμενων μηνύςκων εύναι ύςο με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ». Στη ςτερεομετρύα βιβλύο ΧΙΙ των τοιχεύων του Ευκλεύδη, η Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ χρηςιμοποιεύται ςτην απόδειξη των προτϊςεων 23 : 1. «Δύο κύκλοι εύναι ανϊλογοι των διαμϋτρων τουσ», 2. «Πυραμύδεσ με τριγωνικϋσ βϊςεισ και το ύδιο ύψοσ εύναι ανϊλογεσ των βϊςεων τουσ», 3. «Ο όγκοσ του κώνου εύναι το ϋνα τρύτο του όγκου του κυλύνδρου με τον οπούον ϋχει την ύδια βϊςη και ύςα ύψη», 4. «Κώνοσ και κύλινδροσ που ϋχουν ύςα ύψη ϋχουν λόγο ύςο με το τριπλϊςιο λόγο των βϊςεών τουσ». Από τισ πιο πϊνω προτϊςεισ μόνο η δεύτερη υπϊρχει ςτο διδακτικό βιβλύο ςτη ςελύδα 302, θεώρημα ΙΙ και δύνεται χωρύσ απόδειξη. Αναφϋρεται μόνο το εξόσ: «Δεχόμαςτε χωρύσ απόδειξη ότι...». Στην υπόλοιπη ςτερεομετρύα του διδακτικού βιβλύου εντοπύςαμε τα παρακϊτω θεωρόματα τα οπούα ςχετύζονται με την Μϋθοδο τησ Εξϊντληςησ, τα οπούα δεν εμφανύζονται ςτα τοιχεύα αλλϊ βρύςκονται ςτα Άπαντα του Αρχιμόδη. Στη ςελύδα 302 θεώρημα ΙΙΙ «Ο όγκοσ πυραμύδασ ιςούται με το ϋνα τρύτο του όγκου πρύςματοσ που ϋχει την ύδια βϊςη και το ύδιο ύψοσ». Η απόδειξη του πιο πϊνω παρουςιϊζεται πρώτα για τριγωνικό πυραμύδα και μετϊ για ν-γωνικό πυραμύδα και ςτηρύζεται ςτη διαύρεςη τησ αρχικόσ ν-γωνικόσ πυραμύδασ ςε (ν-2) τριγωνικϋσ πυραμύδεσ φϋροντασ τισ διαγώνιουσ τησ βϊςησ από μύα κορυφό τησ. Για κϊθε μύα από τισ τριγωνικϋσ πυραμύδεσ αποδεύχτηκε ότι ιςχύει το θεώρημα. Επομϋνωσ, ο ςυνολικόσ όγκοσ των τριγωνικών πυραμύδων ιςούται με το ϊθροιςμα των όγκων 1. των τριγωνικών πυραμύδων, δηλαδό: v (E1 E 2... E 2)., όπου Ε1, 3 3 Ε2,... εύναι τα εμβαδϊ των (ν-2) τριγώνων ςτα οπούα χωρύζεται η βϊςη, όπου Ε το εμβαδόν τησ βϊςησ και υ το ύψοσ τησ πυραμύδασ. Στη ςελύδα 308 και 309 παρϊγραφοσ ςτο θεώρημα Ι και ΙΙ δύνονται οι τύποι του εμβαδού κυρτόσ και ολικόσ επιφϊνειασ κυλύνδρου καθώσ και ο όγκοσ του. Αυτό γύνεται με τον διπλαςιαςμό των πλευρών των εγγεγραμμϋνων ςτον κύλινδρο και περιγεγραμμϋνων ςε αυτόν πριςμϊτων. Στη ςελύδα 311, παρϊγραφοσ 13.14, ςτη μϋτρηςη του κώνου το εμβαδόν τησ κυρτόσ επιφϊνειασ του αποδεικνύεται με το διπλαςιαςμό των ν κορυφών τησ εγγεγραμμϋνησ πυραμύδασ ςε αυτόν. Πανομοιότυποσ τρόποσ απόδειξησ χρηςιμοποιεύται και για την εύρεςη του όγκου του κώνου 24. Για την απόδειξη του εμβαδού τησ επιφϊνεια ςφαύρασ και του όγκου τησ, προτϊςςεται το θεώρημα του Πϊππου, για τον υπολογιςμό εμβαδού και 23 Σηνηρεία Τόκνο 1, ζει Σην βηβιίν ΧΙΙ ησλ Σηνηρείωλ «Ο όγθνο ηνπ θώλνπ είλαη ην έλα ηξίην ηνπ όγθνπ ηνπ θπιίλδξνπ κε ηνλ νπνίν έρεη ηελ ίδηα βάζε θαη ίζα ύςε» ζει Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

99 Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ όγκου που παρϊγεται από την περιςτροφό επύπεδησ πολυγωνικόσ γραμμόσ. Για την απόδειξη του εμβαδού επιφϊνειασ ςφαύρασ «ςτο μϋγιςτο κύκλο τησ εγγρϊφει κανονικό πολύγωνο με ϊρτιο πλόθοσ κορυφών. Διπλαςιϊζοντασ ςυνεχώσ τισ πλευρϋσ του εγγεγραμμϋνου πολυγώνου, ςτο όριο, η πλευρϊ του εγγεγραμμϋνου πολυγώνου ςυνεχώσ μειώνεται, το πολύγωνο τεύνει ςτο μϋγιςτο κύκλο και το απόςτημα τεύνει ςτην ακτύνα του κύκλου. το όριο λοιπόν ϋχουμε Ε=4πρ.ρ=4πρ 2» 25. Με τον ύδιο τρόπο αποδεικνύεται και ο τύποσ του όγκου τησ ςφαύρασ. υμπεράςματα Η Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ, με εργαλεύο την εισ ϊτοπο απαγωγό, ϋδωςε ςτουσ Αρχαύουσ Έλληνεσ Μαθηματικούσ τα εφόδια για να ξεπερϊςουν τα αποδεικτικϊ προβλόματα που τουσ δημιουργούςε η ϋννοια του απεύρου και του ορύου. Το διδακτικό βιβλύο τησ Ευκλεύδειασ Γεωμετρύασ Α και Β Γενικού Λυκεύου δεν ακολουθεύ την κλαςικό Ευκλεύδεια Γεωμετρύα, δηλαδό τα «τοιχεύα» του Ευκλεύδη. Σε πολλϋσ από τισ αποδεύξεισ θεωρημϊτων το διδακτικό βιβλύο, χρηςιμοποιεύ την ϋννοια ακολουθιών και του ορύου. Ειδικότερα η Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ, όπου εμφανύζεται, δύνεται με όρουσ και ςυμβολιςμό ςύγχρονο και ςε καμύα περύπτωςη δεν αγγύζει το γεωμετρικό τρόπο απόδειξησ που υπϊρχει εύτε ςτα τοιχεύα του Ευκλεύδη εύτε ςτα Άπαντα του Αρχιμόδη. Από διδακτικόσ πλευρϊσ δεν υπϊρχει πουθενϊ η ςύνδεςη ότι η Μϋθοδοσ τησ Εξϊντληςησ εύναι ο πρόδρομοσ του Ολοκληρωτικού Λογιςμού. Γενικό ςυμπϋραςμα, ακόμη και ςόμερα, ςτην Ελλϊδα και ςτην Κύπρο, προςπαθούμε να ιςορροπόςουμε ανϊμεςα ςτην βαριϊ ιςτορικό κληρονομιϊ του Αρχαύων Ελλόνων Γεωμετρών ειδικότερα του Ευκλεύδη και ςτισ νϋεσ μαθηματικϋσ ιδϋεσ. Η μελϋτη τησ ιςτορύασ τησ διδακτικόσ τησ Γεωμετρύασ, καθώσ και των διαφόρων αντιλόψεων όπωσ καταγρϊφηκαν ςτα διδακτικϊ εγχειρύδια, εύναι ύςωσ ο καλύτεροσ τρόποσ εμπλουτιςμού των γνώςεών μασ, όχι τόςο για το ύδιο το αντικεύμενο τησ Γεωμετρύασ, αλλϊ για τη διδακτικό του μεταφορϊ. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΥΙΑ Βλαχϊκησ Γ., κ.α. (2003). Ιςτορύα και Φιλοςοφύα των επιςτημών ςτον Ελλαδικό Χώρο, (17οσ 19οσ αύ.). Αθόνα: Μεταύχμιο και Κϋντρο Νεοελληνικών Ερευνών/ ΕΙΕ. Loria, G., (.). Ιςτορύα των Μαθηματικών. Ελληνικό Μαθηματικό Εταιρεύα. Αθόνα: Παπαζόςη. Mankiewicz, R., (2002). Η ιςτορύα των μαθηματικών. Αθόνα: Εκδόςεισ 25 «Η επηθάλεηα θάζε ζθαίξαο είλαη ηεηξαπιάζηα ηνπ κεγίζηνπ θύθινπ απηήο» Αξρηκήδνπο Άπαληα, ζει Η απόδεημε ζηεξίδεηαη ζην εκβαδόλ παξάπιεπξεο επηθάλεηαο θόινπξνπ θώλνπ εγγεγξακκέλνπ ζηε ζθαίξα θαη ζηνλ ππνινγηζκό ζθαηξηθνύ ηκήκαηνο, ην νπνίν πξνζεγγίδεηαη από ην άζξνηζκα ησλ εκβαδώλ ησλ εζσηεξηθώλ θόινπξσλ θώλσλ. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 85

100 Κ. Δημητριϊδησ Αλεξϊνδρεια. Salmon, M., κ.α., (1999). Ειςαγωγό ςτη Φιλοςοφύα τησ Επιςτόμησ. Ηρϊκλειο: Πανεπιςτημιακϋσ Εκδόςεισ Κρότησ. Schubring, G., (Bielefeld), (1993). Η Ιςτορύα τησ Μαθηματικόσ Εκπαύδευςησ ωσ Θϋμα Έρευνασ ςτη Διδακτικό των Μαθηματικών. Στο τοιχεύα Ιςτορύασ τησ Μαθηματικόσ Εκπαύδευςησ ς Θεςςαλονύκη: Πανεπιςτόμιο Θεςςαλονύκησ. Struik, D., (1982). υνοπτικό Ιςτορύα των Μαθηματικών. Αθόνα: Ι. Ζαχαρόπουλοσ Zorbala, K., (2002). A Greek Geometry Textbook of the 19 th Century: Influences of Mathematical Science on Axiomatic in School. In Sudfhoffs Archiv, Band 86, Heft 2, p Frantz Steiner Verlag Wiesbaden GmbH, Sitz Stuttgart. Αργυρόπουλοσ, Η., κ.α., (2007). Ευκλεύδεια γεωμετρύα, Α και Β Γενικού Λυκεύου. Αθόνα: Οργανιςμόσ εκδόςεων Διδακτικών Βιβλύων. Βλαχϊκησ, Γ., κ.α., (2003). Ιςτορύα και Φιλοςοφύα των επιςτημών ςτον Ελλαδικό Χώρο, (17οσ 19οσ αύ.). Αθόνα: Μεταύχμιο και Κϋντρο Νεοελληνικών Ερευνών/ ΕΙΕ. Γαγϊτςησ, Α. (1993). τοιχεύα Ιςτορύασ τησ Μαθηματικόσ Εκπαύδευςησ. Θεςςαλονύκη: Αριςτοτϋλειο Πανεπιςτόμιο Θεςςαλονύκησ. Θωμαώδη, Γ., Πούλου Α., (2000). Διδακτικό τησ Ευκλεύδεια γεωμετρύασ. Θεςαλλονύκη:Ζότη. Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ., (2001). Ευκλεύδη «τοιχεύα». Αθόνα: Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ. Καςτϊνησ, Ν., (1986). «Να Φύγει ο Ευκλεύδησ»- «Δεν θα Γύνουμε Εθνικού Μειοδότεσ». Μια Ιςτορικο διδακτικό Εξϋταςη τησ Αντύφαςησ ςτη Σχολικό μασ Γεωμετρύα. Στο Ζητόματα Ιςτορύασ των Μαθηματικών, Νο2. Σταμϊτη Ε., (1970). Αρχιμόδουσ Άπαντα. Αθόνα: Τεχνικό Επιμελητόριο Ελλϊδοσ. Τςιμπουρϊκησ, Δ., (1985). Η Γεωμετρύα και οι εργϊτεσ τησ ςτην Αρχαύα Ελλϊδα. Αθόνα 86 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

101 ΣΑΕΙ ΚΑΙ ΠΕΠΟΙΘΗΕΙ ΣΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΩΝ ΓΙΑ ΣΑ ΝΕΑ ΑΝΑΛΤΣΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΣΗΝ ΚΤΠΡΟ οφία άββα*, Μαρία ολωμού**, Κωνςταντίνοσ Παπαγιάννησ** *Γυμνάςιο Ειρήνησ και Ελευθερίασ, **Λύκειο Υώτη Πίττα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργαςύα αυτό αποςκοπεύ ςτη μελϋτη των ςτϊςεων και των πεποιθόςεων των εκπαιδευτικών όςον αφορϊ τα νϋα αναλυτικϊ προγρϊμματα των μαθηματικών τησ Κύπρου και την εφαρμογό τουσ ςτην Α Γυμναςύου κατϊ το Α τετρϊμηνο τησ ςχολικόσ χρονιϊσ Γύνεται δηλαδό μια πρώτη καταγραφό αυτών των απόψεων μϋςα από μια τετρϊμηνη εφαρμογό των νϋων αναλυτικών προγραμμϊτων ςτα Γυμνϊςια τησ Κύπρου. Για τουσ ςκοπούσ τησ ϋρευνασ ρωτόθηκαν εκπαιδευτικού που διδϊςκουν ςτην Α Γυμναςύου με βϊςη το νϋο Α.Π. ςε διϊφορα Γυμνϊςια τησ Κύπρου καθώσ και εκπαιδευτικού που διδϊςκουν ςε Λύκεια και που δεν εύχαν ϊμεςη επαφό με το νϋο Αναλυτικό πρόγραμμα. Οι εκπαιδευτικού απϊντηςαν ςε ςυγκεκριμϋνεσ ερωτόςεισ που τουσ υποβϊλλονταν και αφορούςαν τισ πεποιθόςεισ και τισ ςτϊςεισ τουσ για το νϋο Α.Π. Τα αποτελϋςματα τησ παρούςασ ϋρευνασ δύνουν μια πρώτη εικόνα του κλύματοσ που επικρατεύ ςτα ςχολεύα τησ Κύπρου την μεταβατικό αυτό περύοδο. ΕΙΑΓΩΓΗ Τα τελευταύα χρόνια παρατηρούμε ότι ϊρχιςε να δύνεται τερϊςτια ςημαςύα ςτα Αναλυτικϊ προγρϊμματα Σπουδών των διαφόρων χωρών. Πολλϋσ χώρεσ μπαύνουν ςε ϋνα αγώνα δρόμου αλλαγόσ των αναλυτικών τουσ προγραμμϊτων μετϊ από ςυνεχεύσ αποτυχύεσ των μαθητών τουσ ςε διεθνεύσ διαγωνιςμούσ ό ακόμα και από μια παρακμό ό ςταςιμότητα του κρϊτουσ ςε ςχϋςη με ϊλλεσ χώρεσ(παρϊδειγμα ΗΠΑ). Αυτϋσ οι αποτυχύεσ μεταφρϊζονται ςε αποτυχύα του ύδιου του εκπαιδευτικού ςυςτόματοσ και κατ επϋκταςη του υφιςτϊμενου Α.Π. ςπουδών. Η ευημερύα και η πρόοδοσ μιασ χώρασ ςχετύζεται ϊμεςα με την μόρφωςη των πολιτών τησ και ϊρα με το επύπεδο εκπαύδευςόσ τουσ που με τη ςειρϊ του καθορύζεται από το Α.Π. Σε αυτϋσ τισ αλλαγϋσ που ςυντελούνται ςτα Α.Π. των διαφόρων κρατών δεν θα μπορούςε η Κύπροσ να μεύνει απαθόσ, αφού υπϊρχει ϋντονη η ανϊγκη για αλλαγό τουσ. Τα παλιϊ και αναχρονιςτικϊ, θα μπορούςαμε να πούμε, Α.Π. τησ Κύπρου ϋχριζαν ϊμεςησ αλλαγόσ και εναρμόνιςησ του με το ςύγχρονο κοινωνικό πλαύςιο. Τα νϋα Α.Π. ςτο μϊθημα των μαθηματικών εφαρμόζονται για πρώτη φορϊ ςτην Κύπρο την ςχολικό χρονιϊ και εύναι το αποτϋλεςμα μιασ ςυλλογικόσ προςπϊθειασ από μϊχιμουσ εκπαιδευτικούσ 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 87

102 Σ. Σϊββα, Μ. Σολωμού, Κ. Παπαγιϊννησ όλων των βαθμύδων και ακαδημαώκούσ καθώσ και ςυνεργαςύα με εκπαιδευτικούσ ϊλλων ειδικοτότων για επύτευξη τησ διαθεματικότητασ. Τϋθηκαν πρώτα οι ςτόχοι από την πολιτεύα για τον πολύτη του αύριο, για τον πολύτη που θϋλει το κρϊτοσ να ϋχει και με βϊςη αυτούσ τουσ ςτόχουσ διαμορφώθηκαν τα νϋα ΑΠ. Οι γενικού ςκοπού τησ μαθηματικόσ παιδεύασ, όπωσ αναπτύςςονται ςτο νϋο Α.Π., μπορούν να ςυνοψιςτούν ωσ εξόσ: Οι μαθητϋσ μϋςω τησ διδαςκαλύασ των μαθηματικών: Εκτιμούν την αξύα των μαθηματικών και τη χρηςιμότητϊ τουσ ςε όλουσ τουσ τομεύσ τησ ανθρώπινησ δραςτηριότητασ. Αναπτύςςουν την αυτοπεπούθηςό τουσ ότι μπορούν να «κϊνουν» μαθηματικϊ και να αντιλαμβϊνονται τα μαθηματικϊ ωσ μια δημιουργικό απαςχόληςη. Αναπτύςςουν τισ ςτϊςεισ, γνώςεισ και δεξιότητεσ και κατανοούν ϋννοιεσ που θα τουσ βοηθόςουν να χρηςιμοποιούν τα μαθηματικϊ ςτην καθημερινό τουσ ζωό και απαςχόληςη και ςτην ερμηνεύα προβλημϊτων από διϊφορα γνωςτικϊ αντικεύμενα. Αναπτύςςουν την ικανότητα να επιλύουν προβλόματα με πολλαπλούσ τρόπουσ και την ικανότητα να ςκϋφτονται και να αποφαςύζουν με δημιουργικό και λογικό τρόπο. Αναπτύςςουν τισ απαραύτητεσ γνώςεισ που απαιτούνται ςτην ςύγχρονη κοινωνύα τησ πληροφορύασ. Αναπτύςςουν τισ γνώςεισ και δεξιότητεσ που εύναι απαραύτητεσ ςτο χώρο τησ εργαςύασ. Αναπτύςςουν τισ γνώςεισ και τισ δεξιότητεσ, για να ςυνεχύςουν ςπουδϋσ ςε αντικεύμενα ςτα οπούα η χρόςη των μαθηματικών εύναι απαραύτητη. ΘΕΩΡΗΣΙΚΟ ΠΛΑΙΙΟ Ο όροσ «Αναλυτικϊ Προγρϊμματα» ϋχει μια μακρϊ ιςτορύα, αφού χρηςιμοποιόθηκε από τον Πλϊτωνα(4 οσ αιώνασ π.χ.), τον Κομϋνιο (7 οσ αιώνασ μ.χ.) και το Froebel (19 οσ αιώνασ μ.χ) και τα τελευταύα εύκοςι περύπου χρόνια χρηςιμοποιεύται ευρϋωσ από τουσ εκπαιδευτικούσ, τουσ γονεύσ και τουσ πολιτικούσ. Υπϊρχουν πολλού τρόποι ερμηνεύασ των Αναλυτικών Προγραμμϊτων και αυτό οφεύλεται ςτισ διαφορετικϋσ αντιλόψεισ που ϋχουμε για το τι θα ϋπρεπε να περιλαμβϊνει ο όροσ και ςτισ διαφορετικϋσ προςεγγύςεισ μελϋτησ τησ ϋννοιασ του Αναλυτικού Προγρϊμματοσ. Για παρϊδειγμα κϊποιοι αντιλαμβϊνονται το αναλυτικό ωσ ϋνα πρόγραμμα μαθηματικών ό ωσ ϋνα κατϊλογο θεμϊτων που πρϋπει να διδαχθούν οι μαθητϋσ και ϊλλοι ωσ ϋνα ςύνολο προγραμματιςμϋνων δραςτηριοτότων που προςφϋρουν οι δϊςκαλοι ςτουσ μαθητϋσ τουσ ό ωσ το ςύνολο των εμπειριών που 88 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

103 Στϊςεισ και Πεποιθόςεισ των Εκπαιδευτικών για τα Νϋα Αναλυτικϊ Προγρϊμματα αποκτούν οι μαθητϋσ ςτο ςχολεύο. Υπϊρχουν όμωσ και αυτού που ορύζουν το αναλυτικό ωσ το γραπτό κεύμενο που καθορύζει τισ ενϋργειεσ των δαςκϊλων ςτην τϊξη, ακριβώσ για να αντιδιαςτεύλουν την ϋννοια αυτό με όλεσ τισ ϊλλεσ εμπειρύεσ που αποκτούν οι μαθητϋσ εκτόσ τϊξησ(kelly, 1999). Οι αντιλόψεισ για την ϋννοια των Α.Π και οι ςτόχοι που πρϋπει να επιτυγχϊνει αλληλοςχετύζονται ςε μεγϊλο βαθμό. Βαςικόσ ςκοπόσ των Α.Π των μαθηματικών εύναι να επιφϋρουν επιθυμητϋσ αλλαγϋσ ςτον τρόπο με τον οπούο ςκϋφτονται οι μαθητϋσ. Ο Goodlad (1975) διακρύνει τα Α.Π ςτα πιο κϊτω εύδη Α.Π. Ιδανικό αναλυτικό πρόγραμμα (αυτό που προτεύνεται από διϊφορουσ φορεύσ, όπωσ η πνευματικό ελύτ μιασ κοινωνύασ). Επύςημο αναλυτικό πρόγραμμα (αυτό που εγκρύνεται ό παρϋχεται από το Υπουργεύο Παιδεύασ). Αντιληπτό αναλυτικό πρόγραμμα (αυτό που αντιλαμβϊνονται οι εκπαιδευτικού ςτα ςχολεύα). Λειτουργικό αναλυτικό πρόγραμμα (αυτό που πραγματικϊ ςυμβαύνει ςτη τϊξη όπωσ μπορεύ να το παρατηρόςει κϊποιοσ εξωτερικόσ ερευνητόσ). Βιωματικό αναλυτικό πρόγραμμα (αυτό που βιώνει ο μαθητόσ ςτο ςχολεύο και που μπορεύ να διαπιςτωθεύ από μεθόδουσ αξιολόγηςησ). Η διϊκριςη των Α.Π ςε επιδιωκόμενο, εφαρμοςμένο και πραγματικό ϋχει ειςαχθεύ από τουσ οργανωτϋσ τησ Δεύτερησ Διεθνούσ Έρευνασ για τα Μαθηματικϊ (SIMS, Travers & Westbury,1989) και ϋχει υιοθετηθεύ πλόρωσ ςτην Τρύτη Διεθνό Έρευνα για τα Μαθηματικϊ( TIMSS, Robitaille,1993). Το επιδιωκόμενο αναλυτικό πρόγραμμα εύναι αυτό που ορύζεται από το εκπαιδευτικό ςύςτημα και ταυτύζεται με το επύςημο αναλυτικό πρόγραμμα όπωσ το εύχε προτεύνει ο Goodlad(1975). Το εφαρμοςμϋνο αναλυτικό πρόγραμμα εύναι αυτό που διδϊςκει ο καθηγητόσ ςτην τϊξη Το πραγματικό αναλυτικό πρόγραμμα εύναι ςυνυφαςμϋνο με τα επιτεύγματα των μαθητών και αποτελεύται από τισ γνώςεισ, δεξιότητεσ και ςτϊςεισ που ϋχουν αποκτόςει οι μαθητϋσ ωσ αποτϋλεςμα τησ εναςχόληςόσ τουσ με τα μαθηματικϊ. Όπωσ φαύνεται ςτο πιο κϊτω διϊγραμμα το πραγματικό αναλυτικό πρόγραμμα εύναι υποςύνολο του επιδιωκόμενου και εφαρμοςμϋνου Α.Π. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 89

104 Σ. Σϊββα, Μ. Σολωμού, Κ. Παπαγιϊννησ Επιδιωκόμενο αναλυτικό- Πολιτεία Εφαρμοςμζνο αναλυτικό-δάςκαλοσ Πραγματικό αναλυτικό- Μαθητήσ Στην περύπτωςη των μαθηματικών όμωσ υπϊρχει μεγϊλη αντύθεςη μεταξύ επιδιωκόμενου και πραγματικού αναλυτικού προγρϊμματοσ. Αυτό η διϊςταςη που υπϊρχει γύνεται εντονότερη αν ανατρϋξει κϊποιοσ ςτα ςχολικϊ εγχειρύδια που υποτύθεται ότι υλοποιούν τουσ ςτόχουσ που ϋχουν υιοθετηθεύ από το αναλυτικό πρόγραμμα. Σε πολλϊ εγχειρύδια των μαθηματικών αυτό που υπερτονύζεται εύναι οι αςκόςεισ εξϊςκηςησ και τα λεκτικϊ προβλόματα που λύνονται με πανομοιότυπο τρόπο. Ένασ ϊλλοσ λόγοσ που παρατηρεύται η διϊςταςη αυτό εύναι το γεγονόσ ότι οι δϊςκαλοι μεταςχηματύζουν δραςτηριότητεσ όπωσ τισ αντιλαμβϊνονται οι ύδιοι με αποτϋλεςμα να ξεφεύγουν από τουσ ςτόχουσ που ϋχουν τεθεύ. Αξύζει να ςημειωθεύ και το χϊςμα που υπϊρχει μεταξύ αυτών που διδϊςκονται οι μαθητϋσ και αυτών που μαθαύνουν.. Κϊποιοι κϊνουν επιφανειακό χρόςη του εγχειριδύου των μαθηματικών, ϊλλοι βλϋπουν τον εαυτό τουσ ωσ υπεύθυνο για την επιτυχύα των μαθητών ςτισ εξετϊςεισ και υπϊρχουν εκεύνοι που διδϊςκουν τα μαθηματικϊ ςε βϊθοσ,τα ςυζητούν, τα ςκϋφτονται και τα «ανακαλύπτουν» με τουσ μαθητϋσ τουσ. Τα τελευταύα χρόνια ϋχουν αναπτυχθεύ Α.Π. που χρηςιμοποιούν το μαθηματικό πρόβλημα ωσ το μϋςο διδαςκαλύασ των μαθηματικών εννοιών. Ο Schoenfeld(1994), εφϊρμοςε αναλυτικϊ προγρϊμματα τα οπούα ςτηρύζονταν ςτη λύςη προβλόματοσ, γιατύ θεωρεύ ότι η ϋμφαςη τησ διδαςκαλύασ των μαθηματικών ςτο ςχολεύο εύναι η ανϊπτυξη τησ μαθηματικόσ ςκϋψησ κϊτι που μπορεύ να γύνει μϋςω τησ λύςησ προβλημϊτων. Για να αντιληφθούμε τα πλαύςια των προτεινόμενων ςόμερα αλλαγών ςτα αναλυτικϊ προγρϊμματα και ςτη διδαςκαλύα των μαθηματικών, θα πρϋπει να απαντόςουμε ςε τϋςςερισ ερωτόςεισ: 1. Τι εύναι τα μαθηματικϊ; 2. Γιατύ πρϋπει να διδϊςκονται μαθηματικϊ; 3. Ποια εύναι η δομό των αναλυτικών προγραμμϊτων των μαθηματικών και γιατύ ϋχουν οργανωθεύ με τϋτοιο τρόπο; 90 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

105 Στϊςεισ και Πεποιθόςεισ των Εκπαιδευτικών για τα Νϋα Αναλυτικϊ Προγρϊμματα 4. Ποια πρϋπει να εύναι τα αναλυτικϊ προγρϊμματα των μαθηματικών; Οι απόψεισ μασ για το αναλυτικό πρόγραμμα πηγϊζουν από τισ αντιλόψεισ μασ για τη φιλοςοφύα και την επιςτημολογύα των μαθηματικών, από την κοινωνύα, την ευρύτερη κουλτούρα και από τισ γνώςεισ τισ οπούεσ ϋχουμε για τη θεωρύα τησ μϊθηςησ. Επομϋνωσ ο κϊθε εκπαιδευτικόσ θα δώςει τη δικό του προςωπικό απϊντηςη ςτο 1 ο ερώτημα και αυτϊ που θα πει αντανακλούν ύςωσ τον τρόπο με τον οπούο διδϊςκονται τα μαθηματικϊ ςτο ςχολεύο. Όλα αυτϊ επηρεϊζουν αποφϊςεισ ςχετικϋσ με τη δομό του αναλυτικού προγρϊμματοσ, ειδικϊ αν οι εκπαιδευτικού εύναι ςε θϋςη να παύρνουν πρωτοβουλύεσ και να καταθϋτουν μϋςα από τη δικό τουσ οπτικό γωνύα απόψεισ και θϋςεισ για το Α.Π. Αυτό η διαφορετικότητα των αντιλόψεων και η παρουςύαςη τεκμηρύων βαςιςμϋνων ςτον τρόπο με τον οπούο αντιμετωπύζουν τα μαθηματικϊ, διαφϊνηκε και μϋςα από τισ ςυνεντεύξεισ τησ ϋρευνϊσ μασ. Ο καθϋνασ εύχε τισ δικϋσ του απόψεισ όςον αφορϊ το περιεχόμενο και τη δομό του νϋου αναλυτικού προγρϊμματοσ, τισ οπούεσ ςτόριζε με βϊςη τισ φιλοςοφικϋσ και μαθηματικϋσ του αντιλόψεισ. ΚΟΠΟ ΣΗ ΕΡΕΤΝΑ-ΕΡΕΤΝΗΣΙΚΑ ΕΡΩΣΗΜΑΣΑ Η ϋρευνα ϋχει ςαν ςκοπό να καταγρϊψει τισ ςτϊςεισ και τισ πεποιθόςεισ των εκπαιδευτικών όςον αφορϊ τα νϋα αναλυτικϊ προγρϊμματα των μαθηματικών τησ Κύπρου και την εφαρμογό τουσ ςτην Α Γυμναςύου από την ςχολικό χρονιϊ Συγκεκριμϋνα, τα ερευνητικϊ ερωτόματα τησ ϋρευνασ όταν τα εξόσ: Αν οι εκπαιδευτικού ϋχουν μελετόςει το νϋο αναλυτικό πρόγραμμα ςπουδών των μαθηματικών. Να εντοπύςει ποια ςτοιχεύα του νϋου Α.Π. θεωρούν οι εκπαιδευτικού θετικϊ ό ποια τουσ προκαλούν ανηςυχύα. Ποιεσ εύναι οι προςδοκύεσ και οι ανηςυχύεσ των εκπαιδευτικών για τα νϋα αναλυτικϊ προγρϊμματα. Ποια η ϊποψη των διδαςκόντων για το υποςτηρικτικό υλικό που παρϋχεται από το Υ.Π.Π. Αν θεωρούν την εφαρμογό τησ τεχνολογύασ ουςιώδη ςτην εφαρμογό των νϋων αναλυτικών. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΗ ΕΡΕΤΝΑ Όςον αφορϊ την μεθοδολογύα τησ ϋρευνασ, η ϋρευνα ϋγινε με μαγνητοφωνημϋνεσ ςυνεντεύξεισ. Οι ερωτηθϋντεσ εύναι εκπαιδευτικού μϋςησ εκπαύδευςησ και χωρύζονται ςε δύο υποομϊδεσ. Η πρώτη ομϊδα που θα την ονομϊζουμε Γ αφορϊ 20 εκπαιδευτικούσ από 8 διαφορετικϊ Γυμνϊςια οι οπούοι εφαρμόζουν τα νϋα αναλυτικϊ προγρϊμματα των μαθηματικών ςτην Α Γυμναςύου την ςχολικό 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 91

106 Σ. Σϊββα, Μ. Σολωμού, Κ. Παπαγιϊννησ χρονιϊ Η Δεύτερη υποομϊδα που θα ονομϊζεται Λ αφορϊ 15 εκπαιδευτικούσ που διδϊςκουν ςε 5 διαφορετικϊ Λύκεια και δεν εύχαν καμύα διδακτικό επαφό με το νϋο Α.Π. Οι εκπαιδευτικού όταν ηλικύασ από 30 μϋχρι 60 χρονών. Τουσ χωρύζουμε ςε ϋξι υποομϊδεσ για καλύτερη ερμηνεύα των αποτελεςμϊτων μασ( Πύνακασ 1): Πύνακασ 1 Υποομϊδα Πλόθοσ εκπαιδευτικών Ηλικύα εκπαιδευτικών Γ1 Γυμνϊςιο Γ2 Γυμνϊςιο Γ3 Γυμνϊςιο >20 Λ1 Λύκειο Λ2 Λύκειο Λ3 Λύκειο >20 Χρόνια εκπαιδευτικόσ υπηρεςύασ Αξύζει να αναφϋρουμε ότι για τα Κυπριακϊ δεδομϋνα το κατώτερο όριο ηλικύασ διοριςμού ενόσ καθηγητό Μαθηματικών εύναι περύπου τα 30 χρόνια και αυτό καθορύζεται από τουσ παρϊγοντεσ «κατϊλογοσ διοριςτϋων» και «ζότηςη ανϊλογα με τισ αφυπηρετόςεισ». ΕΡΩΣΗΜΑΣΟΛΟΓΙΟ Συντϊχτηκε ϋνα ερωτηματολόγιο το οπούο αποτελεύτο από 11 ερωτόςεισ ςτισ οπούεσ κλόθηκαν οι εκπαιδευτικού να απαντόςουν. Ακολούθωσ καταγρϊφηκαν οι απαντόςεισ τουσ και μελετόθηκαν ατομικϊ και ςυλλογικϊ. Η διϊρκεια κϊθε ςυνϋντευξησ κυμαύνεται από 5-8 λεπτϊ. Το ερωτηματολόγιο (παρϊρτημα) αποτελεύται από δυο μϋρη: Το πρώτο μέροσ εξετϊζει τα τρύα πρώτα ερευνητικϊ ερωτόματα, δηλαδό εξετϊζει αν οι εκπαιδευτικού ϋχουν μελετόςει το νϋο αναλυτικό πρόγραμμα ςπουδών των μαθηματικών για να εντοπύςει ποια ςτοιχεύα του εύναι θετικϊ ό ποια προκαλούν ανηςυχύα καθώσ και ποιεσ εύναι οι προςδοκύεσ τουσ για τα νϋα Α.Π. Οι ερωτόςεισ που αφορούν το πρώτοσ μϋροσ εύναι οι ερωτόςεισ 1-7 και 11. Το δεύτερο μέροσ εξετϊζει τα δύο τελευταύα ερευνητικϊ ερωτόματα, δηλαδό την ϊποψη τουσ για το υποςτηρικτικό υλικό που παρϋχεται από το Υ.Π.Π. καθώσ επύςησ αν θεωρούν την εφαρμογό τησ τεχνολογύασ ουςιώδη ςτην εφαρμογό των νϋων αναλυτικών. Οι ερωτόςεισ που αφορούν το δεύτερο μϋροσ εύναι οι ερωτόςεισ Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

107 Στϊςεισ και Πεποιθόςεισ των Εκπαιδευτικών για τα Νϋα Αναλυτικϊ Προγρϊμματα ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΑ Τα αποτελϋςματα πούκιλαν ανϊλογα με την ερώτηςη και παρουςύαςαν αρκετό ενδιαφϋρον. Πιο αναλυτικϊ ςτην 1 η ερώτηςη «Σε πούο βαθμό εύςαςτε ενόμεροι για τα νϋα αναλυτικϊ προγρϊμματα;» Στην ομϊδα Γ οι περιςςότεροι δηλώνουν αρκετϊ ενημερωμϋνοι, εύτε από δικό τουσ μϋριμνα, εύτε από τουσ επιθεωρητϋσ, εύτε από τα ςεμινϊρια. Λύγοι όταν οι εκπαιδευτικού που δόλωςαν ενημερωμϋνοι ςε μικρό βαθμό ό και ςχεδόν καθόλου. Στισ απαντόςεισ τουσ ϋδειξαν ότι υπόρχε η ανϊγκη για γρηγορότερη ενημϋρωςό τουσ, παρόλο που δεν όταν αυτό που τουσ ρωτόθηκε. Στην υποομϊδα Λ τα αποτελϋςματα όταν αντύθετα αφού οι περιςςότεροι δηλώνουν μη ενημερωμϋνοι και ελϊχιςτοι δηλώνουν αρκετϊ ενημερωμϋνοι Στην 2 η ερώτηςη αν δηλαδό «Πιςτεύουν ότι τα προηγούμενα Αναλυτικϊ ϋπρεπε να αλλϊξουν και γιατύ;», ςχεδόν όλοι θεωρούν ότι ϋπρεπε να αλλϊξουν. Μερικού από τουσ λόγουσ που δόθηκαν για αυτό την ϊποψη όταν, υςτερούμε ςε ςχϋςη με ϊλλεσ χώρεσ, οι μαθητϋσ ϋχαςαν το ενδιαφϋρον τουσ για τα μαθηματικϊ, το Α.Π. όταν απαρχαιωμϋνο. Πιςτεύουν ότι τα προηγούμενα αναλυτικϊ όταν επικεντρωμϋνα ςε διαδικαςύεσ οι οπούεσ δεν ςτόχευαν ςτην εννοιολογικό κατανόηςη. Αν κϊποιοσ μαθητόσ χανόταν ςε κϊποια ςτιγμό, όπωσ μασ εύπαν, δεν θα εύχε την ευκαιρύα να αναπληρώςει με τα παλιϊ αναλυτικϊ κϊτι που δεν φαύνεται να ςυμβαύνει με το νϋο αναλυτικό. Μια χαρακτηριςτικό απϊντηςη όταν η εξόσ: «Έπρεπε να αλλϊξουν γιατύ η κοινωνύα αλλϊζει, οι μαθητϋσ αλλϊζουν, οι καθηγητϋσ αλλϊζουν, η τεχνολογύα μπόκε ςτη ζωό μασ και δεν μπορεύ η εκπαύδευςη να μϋνει αμϋτοχη ςε όλεσ αυτϋσ τισ αλλαγϋσ». Υπϊρχει επύςησ η ϊποψη ότι με τα νϋα αναλυτικϊ προγρϊμματα θα γεφυρωθεύ των χϊςμα ανϊμεςα ςτισ διϊφορεσ βαθμύδεσ τησ εκπαύδευςησ (Προδημοτικό Δημοτικό Γυμνϊςιο Λύκειο Πανεπιςτόμιο). Θϋλουν να απαγκιςτρωθεύ η μαθηματικό παιδεύα από το τυπικό-διαδικαςτικό τησ μϋροσ και ςυμφωνούν με την ειςαγωγό πιο δημιουργικών αςκόςεων. Τϋθηκε επύςησ η ανϊγκη ενςωμϊτωςησ τησ τεχνολογύασ ςτην εκπαύδευςη. Υπόρχε και η ϊποψη που προερχόταν από την υποομϊδα 2 ότι τα αναλυτικϊ ϋπρεπε να αλλϊξουν αλλϊ όχι ςε τόςο ςύντομο χρονικό διϊςτημα γιατύ δεν υπϊρχει καλό οργϊνωςη. Εξαύρεςη όταν η απϊντηςη μιασ καθηγότριασ που δόλωςε: «Δεν με ενοχλούςε να ϋμεναν όπωσ όταν. Δεν ϋβριςκα μεγϊλεσ ελλεύψεισ». Στην ερώτηςη 3 «Τι θεωρεύτε ότι αλλϊζει με το νϋο Αναλυτικό πρόγραμμα», Οι εκπαιδευτικού τησ ομϊδασ Γ αναφϋρουν ότι δεν βλϋπουν αλλαγϋσ τόςο ςτην ύλη, όςο ςτην όλη κατανομό τησ ύλησ. Βλϋπουν αλλαγϋσ ςτην όλη φιλοςοφύα των Α.Π. καθώσ και αλλαγϋσ ςτην αξιολόγηςη των μαθητών. Οι μαθητϋσ ϋχουν περιςςότερεσ ευκαιρύεσ ςυμμετοχόσ, εμπλϋκονται περιςςότερο ςτην διαδικαςύα τησ μϊθηςησ και ειςϊγεται η χρόςη τησ τεχνολογύασ. Όςον αφορϊ την ύλη αυτόν καθαυτό ςπϊζει τώρα ςε πιο μικρϊ κομμϊτια τα οπούα ενιςχύονται ςε επόμενεσ τϊξεισ. Οι εκπαιδευτικού του Λυκεύου δεν ϋχουν ςαφό ϊποψη για το τι αλλϊζει αλλϊ μερικού αναφϋρουν, ότι ελπύζουν να αλλϊξει ο τρόποσ ςκϋψησ των μαθητών και όχι μπακαλύςτικό μαθηματικό παιδεύα. 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 93

108 Σ. Σϊββα, Μ. Σολωμού, Κ. Παπαγιϊννησ Όλοι οι εκπαιδευτικού προςδοκούν καλύτερη και πιο ολοκληρωμϋνη μόρφωςη για τα παιδιϊ. Οι περιςςότεροι προςδοκούν ςτο να αγαπόςουν οι μαθητϋσ τα μαθηματικϊ, να αποκτόςουν περιςςότερεσ γνώςεισ να αποβϊλουν τισ φοβύεσ τουσ αφού για τουσ περιςςότερουσ μαθητϋσ εύναι ϋνα δύςκολο και αφηρημϋνο μϊθημα που δεν τουσ αρϋςει (ερώτηςη 4). Υπϊρχει η πεπούθηςη ότι οι μαθητϋσ θα αναπτύξουν κριτικό και αναλυτικό ςκϋψη, θα εύναι ενεργητικού και όχι παθητικού δϋκτεσ και θα μϊθουν να εκφρϊζουν τισ ςκϋψεισ τουσ. «Οι μαθητϋσ πρϋπει να νιώςουν ότι χρειϊζονται τα μαθηματικϊ και ότι πρϋπει να τα γνωρύζουν». Πιςτεύουν ότι τελικϊ θα κερδύςουμε τουσ μαθητϋσ και ωσ εκ τούτου θα ϋχουμε καλύτερα αποτελϋςματα και ψηλότερεσ αποδόςεισ. Κϊποιοι εκπαιδευτικού εκφρϊζουν ϋντονα τισ ανηςυχύεσ τουσ ότι, τελικϊ θα χϊςουμε τουσ μαθητϋσ αντύ να τουσ κερδύςουμε με την εφαρμογό των νϋων αναλυτικών ενώ ϊλλοι αναφϋρουν ότι δεν μπορούν να κϊνουν ϋναν τελικό απολογιςμό αν δεν τελειώςει η πρώτα η ςχολικό χρονιϊ. Ενώ ϋνασ καθηγητόσ του λυκεύου αναφϋρει «Ελπύζω οι μαθητϋσ να ϋχουν περιςςότερο χρόνο για κϊθε ϋννοια, ο βαθμόσ δυςκολύασ του παλιού Α.Π. όταν πϊνω από τισ ικανότητεσ των περιςςοτϋρων μαθητών που επϋλεγαν μαθηματικϊ κατεύθυνςησ και ελπύζω τώρα να ϋρθουν πιο κοντϊ ςτον μαθητό» Όταν τουσ ρωτόςαμε αν ϋχουν μελετόςει το νϋο Αναλυτικό Πρόγραμμα(ερώτηςη 5), προσ ϋκπληξό μασ εύδαμε ότι πολύ λύγοι το ϋχουν μελετόςει ολόκληρο, οι περιςςότεροι ϋχουν μελετόςει μόνο το κομμϊτι που απευθύνεται ςτην Α Γυμναςύου και πιο ςυγκεκριμϋνα αυτό που ϋχει διδαχτεύ ϋωσ τώρα ενώ οι περιςςότεροι καθηγητϋσ του Λυκεύου δεν το ϋχουν μελετόςει ςχεδόν καθόλου. Θετικϋσ ςτϊςεισ για την εμπλοκό τησ τεχνολογύασ ςτη διδαςκαλύα και ιδιαύτερα ςτην Γεωμετρύα ϋχουν οι περιςςότεροι καθηγητϋσ ςτην 6 η ερώτηςη για το ποια ςτοιχεύα του αναλυτικού προγρϊμματοσ θεωρούν θετικϊ. Η χρόςη τησ τεχνολογύασ θα κεντρύςει το ενδιαφϋρον των μαθητών και ταυτόχρονα θα εξοικονομηθεύ χρόνοσ γιατύ θα μπορούν να δώςουν πληθώρα παραδειγμϊτων ςε ςύντομο χρονικό διϊςτημα κϊτι που εύναι αδύνατον με την χρόςη και μόνο του πύνακα. Θετικϊ βλϋπουν και την ειςαγωγό νϋων εννοιών και κεφαλαύων ςτο Γυμνϊςιο όπωσ π.χ. την ϋννοια τησ ςυμμετρύασ, τα ςυςτόματα αρύθμηςησ, τισ Πιθανότητεσ και την Στατιςτικό τα οπούα θεωρούν πολύ ςημαντικϊ. Οι περιςςότερο απαιςιόδοξοι δόλωςαν ότι δεν βρύςκουν θετικϊ ςτοιχεύα ςτα νϋα αναλυτικϊ προγρϊμματα, εκτόσ ύςωσ από την ειςαγωγό τησ τεχνολογύασ που μπορεύ να κϊνει τουσ μαθητϋσ να προςϋχουν περιςςότερο. Οι τελευταύοι βλϋπουν αρνητικϊ και την ανϊπτυξη τησ ύλησ ςε κλύμακεσ. Οι εκπαιδευτικού του Λυκεύου θεωρούν ςαν θετικϊ ςτοιχεύα του Α.Π. το ότι οι διαθεματικϋσ ϋννοιεσ εγεύρονται πριν χρηςιμοποιηθούν ςε ϊλλα μαθόματα π.χ. φυςικό και διανύςματα, την ςπειροειδό μϊθηςη αλλϊ το ότι κεφϊλαια που παλαιότερα όταν ςτην ύλη και ϋφυγαν τώρα επανϋρχονται, και θα βοηθόςουν ςτην ομαλό ϋνταξη του μαθητό ςτο πανεπιςτόμιο. Όςον αφορϊ τισ ανηςυχύεσ των εκπαιδευτικών (ερώτηςη 7) Όλοι ςχεδόν οι εκπαιδευτικού του Γυμναςύου ανηςυχούν για το αν οι διδακτικϋσ περύοδοι θα εύναι 94 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

109 Στϊςεισ και Πεποιθόςεισ των Εκπαιδευτικών για τα Νϋα Αναλυτικϊ Προγρϊμματα αρκετϋσ για να καλύψουν την ύλη τουσ. Επύςησ κϊποιουσ ανηςυχεύ η γρόγορη μετϊβαςη από μια ϋννοια ςε ϊλλη με κύνδυνο να μην προλαβαύνουν οι μαθητϋσ να αφομοιώνουν τισ ϋννοιεσ αυτϋσ. Αρνητικϋσ ςτϊςεισ εκφρϊζονται και για κϊποιεσ δύςκολεσ αποδεύξεισ που παρατύθενται ςτα εγχειρύδια. Αρνητικϋσ πεποιθόςεισ υπϊρχουν για την επύτευξη του ςτόχου τησ ϋνταξησ τησ τεχνολογύασ αφού δεν υπϊρχουν αύθουςεσ Μαθηματικών και δεν μπορούν να κϊνουν όςη χρόςη των Η/Υ όςο θϋλουν ό θα ϋπρεπε να κϊνουν. Άλλοι δηλώνουν ότι δεν ανηςυχούν εκ των προτϋρων, περιμϋνουν να ϋρθουν ςε διεξοδικό τριβό με το νϋο αναλυτικό για να μπορϋςουν να εκφρϊςουν μια ςωςτό και ολοκληρωμϋνη ϊποψη. Για τουσ καθηγητϋσ των Λυκεύων οι ανηςυχύεσ τουσ ποικύλουν. Μερικϋσ ενδεικτικϋσ απαντόςεισ όταν «οι απότομϋσ αλλαγϋσ ςε ςυντηρητικϋσ κοινωνύεσ δημιουργούν τριγμούσ που μπορεύ να επηρεϊςουν την εφαρμογό τουλϊχιςτον για τα πρώτα χρόνια» επύςησ «Με ανηςυχεύ ο αυξημϋνοσ όγκοσ τησ ύλησ, εύχα την εντύπωςη ότι η ύλη θα μειωνόταν κατϊ 30% αλλϊ αντιλαμβϊνομαι ότι μϊλλον αυξϊνεται» ενώ κϊποιοσ ϊλλοσ αναφϋρει «με ανηςυχεύ το ότι κϊποια κεφϊλαια διδϊςκονται ςε δύο ό περιςςότερεσ τϊξεισ, επύςησ θεωρώ απαρϊδεκτο το ότι ο μαθητόσ υπολογύζει ςτο περύπου μια απϊντηςη μαθηματικών» Όςον αφορϊ το διδακτικό εγχειρύδιο, ςτην πρώτη ενότητα δόθηκαν κϊποιεσ ςημειώςεισ, ενώ για την 2 η ενότητα Γεωμετρύα, χρηςιμοποιόθηκε το βιβλύο του ΟΕΔΒ καθώσ επύςησ και ϋτοιμα εφαρμογύδια για οπτικοπούηςη εννοιών. Μεταξύ των καθηγητών του Γυμναςύου υπϊρχουν διαφωνύεσ για την χρόςη του βιβλύου του ΟΕΔΒ αφού κϊποιοι το θεωρούν πολύ δύςκολο για το επύπεδο των Κυπρύων μαθητών και κϊποιοι ϊλλοι το θεωρούν ικανοποιητικό και το χαρακτηρύζουν ωσ μια καλό προςπϊθεια. Καταγρϊφηκϊν απόψεισ όπωσ «Η ταυτόχρονη χρόςη δύο εγχειριδύων και επιπλϋον ςυμπληρωματικών ςημειώςεων ϋχει μπερδϋψει τουσ μαθητϋσ τησ Α τϊξησ και προκαλεύ δυςφορύα ςτουσ καθηγητϋσ». «Υπϊρχει ϋλλειψη διαβϊθμιςησ των αςκόςεων ςτο Ελληνικό Βιβλύο και μπαύνει απευθεύασ ςε δύςκολεσ αςκόςεισ». «Τα παιδιϊ τησ Α Τϊξησ που δεν ξϋρουν καλϊ-καλϊ να διαβϊζουν από ϋνα βιβλύο μπαύνουν τώρα ςτη διαδικαςύα να διαβϊζουν από τρύα βιβλύα»..άλλοι δηλώνουν ότι δεν χρηςιμοποιούν αυτούςιο το υλικό που παρϋχεται αλλϊ ςυμπληρώνουν με δικϋσ τουσ ςημειώςεισ και ϊλλοι πϊλι ότι το Ελληνικό βιβλύο εύναι αρκετϊ κατατοπιςτικό και οι μαθητϋσ το ϋχουν αγαπόςει γιατύ ϋχει χρώματα και εικόνεσ. Υπϊρχουν και αντύθετεσ απόψεισ όπωσ «πρϋπει οι εκπαιδευτικού να ϋχουν την ευχϋρεια να ψϊχνουν και να φτιϊχνουν οι ύδιοι το πρόγραμμϊ τουσ και να μην εύναι προςκολλημϋνοι ςε ϋνα και μόνο βιβλύο». Όςον αφορϊ την «αναγκαιότητα τησ χρόςησ τησ τεχνολογύασ ςτην εφαρμογό των νϋων αναλυτικών» ςτην 9 η ερώτηςη, οι περιςςότεροι την θεωρούν απαραύτητη και ειδικϊ ςτη διδαςκαλύα τησ Γεωμετρύασ γιατύ μπορούν να χρηςιμοποιόςουν πληθώρα παραδειγμϊτων ςε ςύντομο χρονικό διϊςτημα, εξοικονομώντασ πολύτιμο διδακτικό χρόνο. Οι εκπαιδευτικού με πιο αρνητικϋσ ςτϊςεισ δεν θεωρούν την χρόςησ τησ τεχνολογύασ απαραύτητη, τουλϊχιςτον όχι πϊντα ό μϋχρι 13ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης 95

110 Σ. Σϊββα, Μ. Σολωμού, Κ. Παπαγιϊννησ ϋνα βαθμό. «Μπορεύ να γύνει το μϊθημα και χωρύσ την χρόςη τησ τεχνολογύασ. Απλώσ με την τεχνολογύα ϋχουμε μια ϊλλη όμορφη παρϊςταςη». Οι απαντόςεισ ποικύλουν για το αν το υλικό για χρόςη τεχνολογύασ που προςφϋρεται από την ομϊδα υποςτόριξησ 1 εύναι ικανοποιητικϊ (ερώτηςη 10). Οι καθηγητϋσ του λυκεύου δεν μπορούςαν να απαντόςουν γιατύ δεν το εύχαν μελετόςει ενώ οι περιςςότεροι καθηγητϋσ του Γυμναςύου το βρύςκουν αρκετϊ ικανοποιητικό και πολύ βοηθητικό και τϋλοσ υπόρχαν τϋςςερισ καθηγητϋσ που ϋβλεπαν με ςκεπτικιςμό το υλικό αυτό και κυρύωσ τα εφαρμογύδια. Η τελευταύα ομϊδα υποςτηρύζει ότι τα εφαρμογύδια εύναι μόνο παρουςιϊςεισ ςτισ οπούεσ δεν ςυμμετϋχει ο μαθητόσ και ϊρα δεν βρύςκουν ιδιαύτερεσ διαφορϋσ, εύτε το γρϊψουν ςτον πύνακα, εύτε το δεύξουν ςτον Η/Υ. Εςτιϊςτηκαν και ςτον αυξημϋνο αριθμό μαθητών ςτισ τϊξεισ που τουσ προκαλεύ ανηςυχύεσ. Ποικύλεσ όταν και οι απαντόςεισ ςτην ερώτηςη 11 που αφορούςε την γνώμη τουσ για την εφαρμογό τουσ από την φετινό ςχολικό χρονιϊ. Πολλού καθηγητϋσ θεωρούν την εφαρμογό τουσ βεβιαςμϋνη. Κϊποιοι θεωρούν απαρϊδεκτη την εφαρμογό τουσ αφού δεν υπϊρχει τελικό εγχειρύδιο για να ξϋρει ο καθηγητόσ μϋχρι που πρϋπει να φτϊςει «το βιβλύο εύναι οδηγόσ». Κϊποιοι ϊλλοι πιςτεύουν ότι ϋπρεπε να γύνει περιςςότερη ενημϋρωςη ςτην αρχό τησ ςχολικόσ χρονιϊσ ό ακόμα και από την προηγούμενη ςχολικό χρονιϊ. Υπόρξαν και ϊτομα που δόλωςαν ψυχολογικϊ και ςυναιςθηματικϊ ανϋτοιμοι για μια τϋτοια καινοτομύα και πωσ δεν όταν ϋτοιμοι να διδϊξουν τα νϋα αναλυτικϊ. «Αν όμουν υπουργόσ, θα ξεκινούςα την επιμόρφωςη των καθηγητών νωρύτερα. Νιώθουμε ότι πιαςτόκαμε εξ απροόπτου. Ίςωσ εύναι και ο φόβοσ του καινούριου. Αν ξεκινούςαμε πιο νωρύσ θα ξεπερνούςαμε τουσ φόβουσ μασ». Υπόρξαν και καθηγητϋσ που όταν θετικού ςτην εφαρμογό των Α.Π. «Αφού θα εφαρμοςτούν ςε κϊποια φϊςη γιατύ όχι από την φετινό χρονιϊ και μακϊρι να προχωρούςαν όλεσ οι ειδικότητεσ ςε αυτό την αλλαγό». Υπόρχε, τϋλοσ και η ϊποψη τησ πειραματικόσ εφαρμογόσ τουσ ςε μερικϊ μόνο ςχολεύα αντύ του εμβολιαςμού τουσ ςε όλα τα ςχολεύα ταυτόχρονα. ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΩΝ Μελετώντασ ηλικιακϊ τισ απαντόςεισ των εκπαιδευτικών παρατηρόθηκε ότι οι εκπαιδευτικού τησ υποομϊδασ 1 (ηλικύασ χρονών) εύναι πιο δεκτικού ςτισ αλλαγϋσ, βλϋπουν πιο αιςιόδοξα το νϋο αναλυτικό πρόγραμμα και γενικϊ αναπτύςςουν αρκετϊ θετικϋσ ςτϊςεισ και πεποιθόςεισ για την εφαρμογό του ςτα ςχολεύα. Εκφρϊζουν και αυτού κϊποιεσ ανηςυχύεσ, χωρύσ όμωσ να εύναι αντιδραςτικού. Μια ερμηνεύα των πιο «ευνοώκών» πεποιθόςεων αυτόσ τησ ομϊδασ εύναι ύςωσ το γεγονόσ ότι εύναι νεότεροι, τώρα ξεκινούν την καριϋρα τουσ και μπορούν εύκολα να αποδεχτούν τισ μεταρρυθμύςεισ. Ένασ ϊλλοσ λόγοσ ύςωσ να εύναι ότι η προώπηρεςιακό κατϊρτιςη που εύχαν πρόςφατα εύναι πιο κοντϊ ςτη 1 Η ομάδα υποςτήριξησ, είναι μια ομάδα από καταρτιςμζνουσ εκπαιδευτικοφσ ςε θζματα τεχνολογίασ και διδακτικήσ των μαθηματικών, ςτουσ οποίουσ ζχει ανατεθεί το ζργο τησ ςτήριξησ των εκπαιδευτικών ςτισ ςχολικζσ τουσ μονάδεσ και τησ παροχήσ υλικοφ. 96 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

111 Στϊςεισ και Πεποιθόςεισ των Εκπαιδευτικών για τα Νϋα Αναλυτικϊ Προγρϊμματα φιλοςοφύα του νϋου αναλυτικού προγρϊμματοσ. Στην πλϊςτιγγα τησ υπόληψόσ τουσ υπερτερούν οι θετικϋσ από τισ αρνητικϋσ απόψεισ για τα Α.Π. και δύνουν ϋμφαςη ςτην χρόςη τησ τεχνολογύασ. Εύναι κοινϊ αποδεκτό ότι οι νϋοι καθηγητϋσ εύναι πιο εξοικειωμϋνοι με την τεχνολογύα και αποδϋχονται ευκολότερα την ειςαγωγό τησ ςτην ςχολικό τϊξη. Οι ςτϊςεισ και πεποιθόςεισ των εκπαιδευτικών τησ υποομϊδασ 3 (ηλικύασ χρονών) ϋχουν ςτενό ςχϋςη με τισ ςτϊςεισ και πεποιθόςεισ τισ των εκπαιδευτικών τησ υποομϊδασ 1, δηλαδό εύναι δεκτικού ςτην εφαρμογό του νϋου αναλυτικού προγρϊμματοσ και ςτην όλη φιλοςοφύα του. Δύνουν ϋμφαςη ςτην ανθρωπιςτικό προςϋγγιςη του Α.Π.,δηλαδό να εύναι χειροπιαςτϊ και προςβϊςιμα προσ τουσ μαθητϋσ ϋτςι ώςτε να τα αγαπόςουν, να νιώςουν την αξύα των μαθηματικών και να μπορούν όλα τα παιδιϊ να «κϊνουν» μαθηματικϊ. Θετικϊ βλϋπουν και την χρόςη τησ τεχνολογύασ. Μια εξόγηςη για την θετικό ςτϊςη των εκπαιδευτικών αυτόσ τησ υποομϊδασ εύναι ότι οι εκπαιδευτικού αυτόσ τησ γενιϊσ ξανϊζηςαν ςε παλιότερα αναλυτικϊ ϋννοιεσ ύδιεσ με αυτϋσ που ειςϊγονται τώρα, όπωσ η ςυμμετρύα, οι ςυναρτόςεισ, οι ρητού αριθμού και πρϊξεισ με απόλυτεσ τιμϋσ ςτην Α τϊξη Γυμναςύου. Περιμϋναμε να υπϊρχει αναλογύα ςτην αντύδραςη των εκπαιδευτικών με την ηλικύα τουσ, δηλαδό η αύξηςη των αρνητικών ςτϊςεων και πεποιθόςεων να ςυνδϋεται με την αύξηςη τησ ηλικύασ, αφού υπϊρχει γενικϊ η αντύληψη ότι οι μεγαλύτεροι ςε ηλικύα ϊνθρωποι εύναι πιο δύςκολο να υιοθετόςουν ριζοςπαςτικϋσ αλλαγϋσ. Από τη ϊλλη, η υποομϊδα 2 (ηλικύασ χρονών) δεν ϋχει θετικϋσ ςτϊςεισ και πεποιθόςεισ όςον αφορϊ τα νϋα αναλυτικϊ και την εφαρμογό τουσ ςτα ςχολεύα. Εύναι ϋντονα αντιδραςτικού, πολύ επιφυλακτικού, εκφρϊζουν τισ κϊθετα τισ ανηςυχύεσ τουσ για την ενδεχόμενη αποτυχύα μιασ βεβιαςμϋνησ εφ&alp