ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL
|
|
|
- Θεόκριτος Μακρής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL Συγγρφή Επιέλι: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 1 Ξκινώντς πό τη διφρική ρφή των ξισώσων Maxwell, ν κτλήξτ στην λκληρωτική τυς ρφή. ) 1 η ξίσωση Maxwell (νός Gauss γι τν ηλκτρισό): ρ / Ολκληρώνντς την πρπάνω ντός όγκυ πρκύπτι: Ε d 1 ρd Κι σύφων τ θώρη Gauss ισχύι: Ε d d Άρ: d 1 ρd (λκληρωτική ρφή νόυ Gauss). β) η ξίσωση Maxwell (νός Gauss γι τ γνητισό): 0 Όπως κι στην πρπάνω πρίπτωση, λκληρώνντς ντός όγκυ κι φρόζντς τ θώρη Gauss πρκύπτι: d d γ) 3 η ξίσωση Maxwell (νός Faraday): t Ολκληρώνντς την πρπάνω σ πιφάνι πρκύπτι: Κι σύφων τ θώρη tokes ισχύι: ( Ε) d t 0 d ( Ε) d d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ t Άρ: d d δ) 4 η ξίσωση Maxwell (νός Ampere Maxwell): J t Ολκληρώνντς την πρπάνω σ πιφάνι πρκύπτι: t ( B) d J d d Κι πιδή σύφων τ θώρη tokes ισχύι : ( ) d Β d Τλικά : d J d d ( d ) t όπυ Ιd τ ρύ ττόπισης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ Στ χώρ υπάρχι τ χρνικά τβλλόν γνητικό πδί στθρά. Ν πδιχθί ότι τ ηλκτρικό πδί στη θέση ίνι : r ( t) tˆ z, όπυ 1 ẑ r Αρκί ν διχθί ότι τ δθέντ πδί πληθύυν την 3 η ξίσωση Maxwell. Δηλδή : Είνι : t t ẑ (1) () 1 1 ẑ r - ẑ (xxˆ yŷ zẑ) (xŷ yxˆ) Άρ : xˆ ŷ ẑ x y z x ( y) 0xˆ 0ˆ y - ẑ x y y x 0 [1 ( 1)]ẑ E zˆ (3) Συνπώς συπρίντι ότι λόγω των () κι (3) πληθύτι η (1), δηλδή τ γνητικό πδί 1 ( t) tˆ z δηιυργί στη θέση τ ηλκτρικό πδί ẑ r. r ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 3 Έστω τ ηλκτρικό πδί συνιστώσς : x x κι (x y) z z ) Ν υπλγιστί η συνιστώσ Εy, υπθέτντς ότι ρ = 0 κι ότι η Εy ίνι συνάρτηση όν τυ y. β) Ν υπλγιστί τ γνητικό πδί (t), πυ δηιυργί υτό τ ηλκτρικό πδί. γ) Ν υπλγιστί η πυκνότητ ρύτς J, πυ δηιυργί τ γνητικό πδί. (t) δ) Ν λγχθί ν ισχύι ότι 0. ) Σύφων τη διφρική ρφή της 1 ης ξίσωσης Maxwell κι πιδή ρ = 0 πρκύπτι : ρ x y z 0 0 x y z y x (x y) 0 y y y y 0 y y y Επιδή η Εy ίνι συνάρτηση όν τυ y, λκληρώνντς την πρπάνω πρκύπτι : 0 y de y y ydy y 0 β) Επιδή 0 τ ηλκτρικό πδί υτό δν ίνι ηλκτρσττικό κι πένως ίνι πγόν ηλκτρικό πδί, δηλδή δηιυργίτι πό τη χρνική τβλή κάπιυ γνητικύ πδίυ (t). Σύφων την 3 η ξίσωση Maxwell (νό Faraday) ίνι : t y (1) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αλλά : xˆ x x ŷ y y ẑ z (x y)z zxˆ zŷ (xˆ ŷ) z Άρ η (1) δίνι : z (xˆ ŷ) t t z (xˆ ŷ) Κι λκληρώνντς την πρπάνω ως πρς t πρκύπτι : db z (xˆ ŷ) dt (t) zt (xˆ ŷ) () γ) Σύφων τη διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης Maxwell πρκύπτι : J t Αλλά : 0 t πότ : J J t xˆ x z ŷ y z ẑ z 0 t J (xˆ ŷ) δ) Σύφων τη σχέση () ύκλ πρκύπτι ότι : x x y y z z 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 4 Μέσ πό ι κυκλική πιφάνι κτίνς R διέρχτι τ ηλκτρικό πδί sin ωtzˆ. Ν υπλγιστί η λάχιστη κυκλική συχνότητ ω τυ ώστ τ πλάτς της τλάντωσης τυ γνητικύ πδίυ, πυ δηιυργίτι ν ίνι Β. Σύφων την 4 η ξίσωση Maxwell ισχύι : J (1) t Επιδή όως τ γνητικό πδί πρέρχτι πκλιστικά πό τη χρνική τβλή τυ ηλκτρικύ πδίυ, δηλδή J 0, η (1) γράφτι : t () Ολκληρώνντς την () πί της κυκλικής πιφάνις κι ν συνχί φρόζντς τ θώρη tokes πρκύπτι : ( ) d d d t t d ωr πr ωos ωtπr (t) os ωt (3) Συνπώς γι ν ίνι τ πλάτς τυ γνητικύ πδίυ Β, σύφων την (3) θ πρέπι ν ισχύι : ωr ω R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 5 Ένς πίπδς πυκνωτής έχι κυκλικύς πλισύς κτίνς R, πυ βρίσκντι σ πόστση τξύ τυς. Ο πυκνωτής υτός φρτίζτι ρύ έντσης Ι. ) Ν υπλγιστί τ γνητικό πδί στ χώρ τξύ των πλισών τυ πυκνωτή. β) Ν υπλγιστί τ διάνυσ Poynting. γ) Απδίξτ ότι ρυθός τν πί τβάλλτι η ηλκτρσττική νέργι ίνι : ( R) d d πr dt q(t) P -q(t) I r z R ) Τ ρύ πυ διρρέι τ κύκλω φρτίζι τυς πλισύς τυ πυκνωτή ίσ κι ντίθτ φρτί. Έστω ότι τη χρνική στιγή t θτικός πλισός φέρι φρτί q(t) ή πιφνική πυκνότητ φρτίυ σ ( t) q(t) / q(t) / πr. Τ ηλκτρικό πδί ίνι ηδνικό στ χώρ έξω πό τυς πλισύς κι γνές στ χώρ τξύ των πλισών κι ισύτι : σ(t) q(t) ẑ ẑ (1) πr Σύφων τη διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης Maxwell, σ τυχί σηί P τυ χώρυ τξύ των πλισών, πυ πέχι πόστση r πό τν άξν τυ πυκνωτή, η πυκνότητ ρύτς ίνι J 0 κι πρκύπτι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ (1) q(t) t πr t ẑ q(t) ẑ πr πr q(t) ẑ t πr t ẑ () όπυ q(t) t η έντση τυ ρύτς. Ολκληρώνντς την () πί της κυκλικής πιφάνις κτίνς r κι φρόζντς τ θώρη tokes πρκύπτι : ( ) d ẑ d Β d ẑ dẑ πr πr πr πr r ή δινυστικά φ r ˆ (3) πr πr πr Δηλδή τ γνητικό πδί ίνι φπτνικό πί της κπύλης κι κάθτ στη διύθυνση z, όπως πρκύπτι πό τη (). β) Σύφων τν ρισό κι λόγω των (1), (3) τ διάνυσ Poynting ίνι : 1 1 q(t) πr ẑ πr rˆ φ q(t)ir π R 4 rˆ (4) Δηλδή τ άνυσ Poynting έχι κτινική διύθυνση κι φρά πρς τ ξωτρικό τυ πυκνωτή. γ) Επιδή ρή νέργις υφίσττι όν πό την πράπλυρη πιφάνι τυ κυλίνδρυ, πυ ρίζυν ι πλισί τυ πυκνωτή, ρυθός τβλής της ηλκτρσττικής νέργις πρκύπτι πό την λκλήρωση τυ δινύστς Poynting πί της πράπλυρης πιφάνις κυλίνδρυ κτίνς R κι ήκυς. Δηλδή : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ πρπλ. (4) d πρπλ. q(t)ir π R 4 rˆ drˆ q(t)i π R 3 d q(t)i π R 3 q(t)i dq(t) d q (t) πr q(t) πr πr dt πr dt (5) Αλλά πό την (1) ίνι : q(t) πr, πότ η (5) γίντι : d d πr dt πρπλ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 6 Ν πδιχθί κι ν δθί η φυσική σησί της ξίσωσης της συνέχις, κθώς πίσης ν πδιχτί υτή έσω των ξισώσων Maxwell. Τ ρύ πυ διπρνά ι κλιστή πιφάνι ίνι : J d Συγκκριέν τ λικό φρτί νά νάδ χρόνυ πυ ξέρχτι πό τν όγκ πυ ρίζι η πιφάνι, σύφων τ θώρη Gauss ίνι : J d J d Αλλά πιδή τ φρτί διτηρίτι, η κρή φρτίυ πό ι κλιστή πιφάνι συντλίτι ις βάρς τυ νπίνντς έσ της φρτίυ. Δηλδή : dq J d dt d dt ρd J d ρ d t (1) Τ ρνητικό πρόση ντνκλά τ γγνός ότι ι πρς τ έξω ρή ιώνι τ φρτί πυ πρένι στν όγκ. Επιδή η σχέση (1) ισχύι γι πινδήπτ όγκ, συπρίντι ότι : ρ J t ρ J t 0 Η πρπάνω σχέση πτλί την ξίσωση της συνέχις κι ίνι η θητική διτύπωση της ρχής διτήρησης τυ φρτίυ. Σύφων τη διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης Maxwell ίνι : J () t Αλλά πό την δινυστική τυτότητ : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ t J 0 ) ( () 0 ) ( t J (3) Κι πό την 1 η ξίσωση Maxwell ισχύι : ρ/ πότ η (3) γίντι : 0 t J 0 t J ρ ρ (ξίσωση συνέχις)
13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 7 Χρησιπιώντς την ξίσωση της συνέχις στην πρίπτωση νός πίπδυ πυκνωτή πιφάνις πλισών πυ φρτίζτι ρύ Ι, ν πδίξτ ότι τ ρύ Ι ισύτι τ ρύ ττόπισης Ιd τυ Maxwell. ρ Σύφων την ξίσωση συνέχις ίνι : J 0 t Ολκληρώνντς την πρπάνω στν όγκ τξύ των πλισών τυ πυκνωτή πρκύπτι : Jd Αλλά σύφων τ θώρη Gauss ισχύι : ρ d 0 t Jd J d (1) Οπότ η (1) δίνι : J d ρ d 0 t J d ρ d t () Όως πό την 1 η ξίσωση Maxwell ίνι : κι η () δίνι : ρ/ ρ J d ( t ) d d t Όως ίνι : J d t Άρ : J d J d d J d d d ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 8 Ν πδιχτί ότι στ σωτρικό γωγών η πυκνότητ φρτίων ρ την πάρδ τυ χρόνυ t τίνι στ ηδέν. Λβάνντς υπόψη ότι ι σχέσις τυ ρύτς, της τάσης κι της ντίστσης νός γωγύ ίνι Ι = J, = E τυ Ohm πίρνι τη ρφή : κι R = ρ ντίστιχ, τότ η γνωστή σχέση τυ νόυ R 1 J J σ ρ ρ ή δινυστικά J σε (1) όπυ ρ ίνι η ιδική ντίστση κι σ = 1/ρ η ιδική γωγιότητ. Η σχέση (1) πτλί τη γνικυένη έκφρση τυ νόυ τυ Ohm κι ντικθιστώντς την στην ξίσωση της συνέχις πρκύπτι : ρ J t (1) ρ 0σ t ρ 0 t σ () Αλλά σύφων τη διφρική ρφή της 1 ης ξίσωσης Maxwell ίνι : Οπότ η () γίντι : ρ / ρ t σ ρ ρ(t) ρ dρ ρ σ t 0 ρ(t) dt n ρ σ ρ(t) t ρ e σ t ρ t) e σ t ( ρ Από την πρπάνω σχέση πρτηρίτι ότι ότν t τότ e 0 δηλδή η πυκνότητ φρτίυ τίνι στ ηδέν ρ ( t) 0. Επίσης όπως φίντι η στθρά της πόσβσης ίνι τ / σ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 9 Ν πδιχθί ότι στ κνό χωρίς πηγές ισχύυν ι σχέσις : κι t t Η διφρική ρφή των ξισώσων Maxwell στ κνό (δηλδή γι ρ = 0 κι κι t t (1) 0,, 0 Λβάνντς τ στρβιλισό της τρίτης σχέσης των ξισώσων (1) πρκύπτι : J 0 ) ίνι : ( ) ( ) t t () Αλλά σύφων τη γνωστή δινυστική τυτότητ ισχύι : ( ) ( ) κι πιδή 0 ίνι τλικά : ( ) (3) Συνπώς πό τις (), (3) κι λβάνντς υπόψη την τέτρτη σχέση των ξισώσων (1) πρκύπτι : ( ) t t t t Οίως τ πρπάνω λβάνντς τ στρβιλισό της τέτρτης σχέσης των ξισώσων (1) πρκύπτι : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ( ) t ( ) t Αλλά : ( ) ( ) (φύ 0 ) Άρ : ( ) t t t t t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 10 Σ γώγι υλικό ιδικής γωγιότητς σ πιβάλλτι γνητικό πδί Υπθέτντς ότι η πυκνότητ φρτίυ ρ κι η πυκνότητ τυ ρύτς ττόπισης ίνι ηδέν ν πδιχθί ότι : σ t Σύφων τη διφρική ρφή της 3 ης ξίσωσης Maxwell ίνι : t (t) J d. Λβάνντς τ στρβιλισό της πρπάνω πρκύπτι : ( ) ( ) t ( ) t (1) Αλλά λόγω της 1 ης ξίσωσης Maxwell κι πιδή ίνι ρ = 0 ισχύι 0, νώ σύφων την 4 η ξίσωση Maxwell κι πιδή J d 0 ισχύι : J σ φύ σύφων τη γνικυένη έκφρση τυ νόυ τυ Ohm ίνι : J σ. Συνπώς η (1) δίνι : ( σ) t σ t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 11 ) Ν πδιχθί ότι η ξίσωση διάδσης της έντσης τυ ηλκτρικύ πδίυ των ηλκτργνητικών κυάτων έσ σ γωγό, όπυ ρ = 0 δίντι πό τη σχέση : z σ t β) Αν ι λύση της πρπάνω ξίσωσης ίνι η : t ν πδιχθί ότι ίνι : ( z,t) sin( ωt - kz)e 1 -z k ( σω/ ) κι ν ξηγηθί η φυσική σησί της πσότητς 1 (/ σω). 1 ) Από την διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης τυ Maxwell ίνι : J t Πργωγίζντς την πρηγύνη ως πρς τ χρόν πρκύπτι : Αλλά : J J ( ) (1) t t t t t t t κι J σε, πότ η (1) γίντι : ( ) σ t t ( ) σ () t t ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Επιδή όως ρ/ 0 (φύ ρ = 0), η () τλικά γίντι : σ t t Θωρώντς ότι η έντση τβάλλτι νδιάσττ νάγτι στην πλύστρη έκφρση : (ως πρς z) η πρπάνω z σ (3) t t β) Μι λύση της ξίσωσης (3) ίνι η : E(z,t) E sin( ωt - kz)e -z e -z όπυ όρς πόσβσης δηλώνι την ξσθένηση πυ θ υπστί τ ηλκτργνητικό κύ τ πί πρσπίπτι πί γωγύ. Η λύση υτή πρί ν γρφί σ ιγδική ρφή ως : i( ωt-kz) z i( ωt-kziz) ( z,t) E e e (z,t) E e (όπυ 1) i Αντικθιστώντς την πρπάνω λύση στη διφρική ξίσωση (3) πρκύπτι : i ( k i) σiω i ω ( k i) σiω- ω (k i ik) σiω ω k ik ω σiω (4) Εξισώνντς τ πργτικά κι φντστικά έρη των δυ λών της ξίσωσης (4) πρκύπτι : k ω k ω (πιδή = 1/ ) Κι φύ ω ίνι ω / 0 πότ 0 k (5) k ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
20 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Κι : k σω 1 ( 5) σω σω 1 Η πσότητ 1/ νάζτι πιδρικό βάθς κι πριγράφι την τχύτητ πόσβσης τυ ηλκτρικύ πδίυ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 1 (xt) e Δίντι τ ηλκτρικό πδί (x, t) ŷ κι τ γνητικό πδί ( xt) (x, t) Ae ẑ. Εξτάστ ν ι συνρτήσις υτές πριγράφυν ηλκτργνητικό κύ. Γι ν πτλύν ι συνρτήσις υτές ηλκτργνητικό κύ θ πρέπι τ κύ ν διδίδτι κτά ήκς τυ άξν x, νώ τ ν τλντώντι στ πίπδ xy κι τ στ πίπδ xz, δηλδή ν ίνι γκάρσι κύ (όπως πράγτι ισχύι). Επίσης λόγς των έτρων των πδίων ίνι : 1 1 Από την κυτική ξίσωση τυ γνητικύ πδίυ x υ t κι πιδή: e x (xt) x e (xt) κι t e (xt) t e (xt) τλικά πρκύπτι : e (xt) 1 e υ (xt) υ 1 υ Δηλδή τ κύ διδίδτι την τχύτητ τυ φωτός. Τέλς πιδή ι δθίσς συνρτήσις ικνπιύν κι τις κυτικές ξισώσις πριγράφυν έν ηλκτργνητικό κύ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
22 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 13 Δίντι τ ηλκτρικό πδί ( x,t) B os(x t) ŷ κι τ γνητικό πδί ( x,t) B os(x t)ẑ. Εξτάστ ν πτλύν ηλκτργνητικό κύ. Τ ηλκτρικό πδί, όπως φίντι κι πό την ντίστιχη ξίσωση τλντώντι στ πίπδ xy κι τ γνητικό πδί στ πίπδ xz, νώ τ κύ θ διδίδτι κτά ήκς τυ άξν x. Ο λόγς των έτρων των πδίων ίνι : B os(x t) os(x t) Επίσης : sin( x t) os(x t) x x κι sin( x t) os(x t) t t Άρ πό την κυτική ξίσωση τυ γνητικύ πδίυ πρκύπτι : x 1 υ t os(x t) υ os(x t) υ 1 υ Δηλδή τ κύ διδίδτι την τχύτητ τυ φωτός. Επένως ι δθίσς συνρτήσις πριγράφυν ηλκτργνητικό κύ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
23 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 14 ) Απδίξτ ότι έν πίπδ ηλκτργνητικό κύ διδιδόν στ κνό κτά τν άξν z πριγράφτι πό τη σχέση : y ( z, t) x z 1 (z, t) t β) Θωρώντς τ ηλκτρικό πδί x (z,t) Aoskzos ωt κι χρησιπιώντς την πρπάνω ξίσωση ν δίξτ ότι τ ντίστιχ γνητικό πδί Βy ικνπιί τη σχέση : B y (z, t) Asin kzsin ωt γ) Ν υπλγιστί τ διάνυσ Poynting γι τ ηλκτργνητικό κύ πυ ρίζυν τ ηλκτρικό πδί Εx κι τ γνητικό πδί Βy τυ ρωτήτς β. Ν υπλγιστί η έση τιή τυ κι ν ξηγηθί πιτικά τ πτέλσ. ) Έστω x (z, t) xˆ κι y (z, t) ŷ, τ ηλκτρικό κι γνητικό πδί ντίστιχ τυ ηλκτργνητικύ κύτς. Σύφων τη διφρική ρφή της 4 ης ξίσωσης Maxwell στ κνό, όπυ J 0, ίνι : t (1) Αλλά : xˆ ŷ ẑ x y z y xˆ z κι x t t xˆ 0 (z, t) 0 y Οπότ η (1) γίντι : y xˆ z t x xˆ y z t x Κι πιδή 1/ η πρπάνω γράφτι τλικά : ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
24 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ y z 1 t x () β) Πργωγίζντς την Εx(z,t) ως πρς τ χρόν δίνι : t x ωoskzsin ωt Άρ η () δίνι : ω os kzsin ωt y z κι λκληρώνντς ως πρς z πρκύπτι : ω ω y sin ωt oskz dz By sin ωtsinkz (3) k Λόγω της σχέσης δισπράς (7 5) ω = k η (3) τλικά δίνι : B y (z, t) sin kzsin ωt γ) Σύφων την (7 7) τ διάνυσ Poynting ίνι : 1 Α os kz os ωt sin kzsin ωt(xˆ yˆ ) (sin kz os kz)(sin ωt os ωt)zˆ (4) Αλλά : sin kz sin kz os kz κι sin ωt sin ωt os ωt ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
25 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Άρ η (4) γίντι : 4 sin kz sin ωtzˆ Η έση τιή τυ δινύστς Poynting τόσ ως πρς z, όσ κι ως πρς t ίνι ηδέν, φύ γνικά η έση τιή τυ ηιτόνυ ίνι <sinφ> = 0 γι 0 φ π. Τ πτέλσ υτό ίνι συβιβστό τ γγνός ότι τ πδί κι έχυν τη ρφή στάσιων κυάτων, δηλδή κυάτων τ πί πρένυν ντπισέν σ ι πριχή τυ χώρυ κι πένως δν τφέρυν νέργι. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
26 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέ 15 Μτλλικός γωγός κυλινδρικύ σχήτς ήκυς, κτίνς R κι ιδικής ντίστσης ρ, διρρέτι πό ιόρφ κτνηέν ρύ έντσης Ι. Ν υπλγιστύν : ) Η έντση τυ ηλκτρικύ πδίυ κι τυ γνητικύ πδίυ στην πιφάνι τυ γωγύ. β) Ο ρυθός ξόδυ ηλκτργνητικής νέργις, πό τ σωτρικό τυ γωγύ. ) Σύφων τη γνικυένη διτύπωση τυ νόυ τυ Ohm ίνι : J J σε Ε (1) σ όπυ σ = 1/ρ η ιδική γωγιότητ κι λόγω της ιόρφης κτνής τυ ρύτς ίνι : J ẑ πr ẑ, όπυ τ νδιί διάνυσ τυ άξν τυ κυλινδρικύ γωγύ. Συνπώς η (1) δίνι : ẑ ρj ρ πr ẑ () Εφρόζντς τ νό τυ Ampere πί κύκλυ κτίνς r = R υπλγίζτι η έντση τυ γνητικύ πδίυ στην πιφάνι τυ γωγύ. d en πr πr ή δινυστικά φ ˆ (3) πr όπυ φˆ τ νδιί διάνυσ της φπτνικής διύθυνσης στην πιφάνι τυ κυλίνδρυ. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
27 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ β) Σύφων την (7 7) τ διάνυσ Poynting ίνι : 1 (),(3) ρ πr (ẑ φ) ˆ πr π ρι R 3 rˆ (4) Ο ρυθός ξόδυ ηλκτργνητικής νέργις πό τν γωγό, δηλδή η ισχύς τυ δίντι πό τ πιφνικό λκλήρω τυ δινύστς Poynting πί της πράπλυρης κυλινδρικής πιφάνις (δηλδή ίνι η ρή τυ ). Επένως : P (4) ρ ρι d d πr P (5) 3 ά ά π R πr πιφ πρ ά πλυρης νις πιφ πρ ά πλυρης νις Αλλά η ντίστση τυ γωγύ συνρτήσι των γωτρικών χρκτηριστικών τυ δίντι πό τη σχέση : R ρ πr Άρ η (5) νάγτι στ γνωστό νό τυ Joule : P I R ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ 6932 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ Συγγφή Επιμέλι: Πνγιώτης Φ. Μίς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693
ΜΑΘΗΜΑ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ στο ΚΕΦ. 4
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ κι ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ στο ΚΕΦ. 4 ρ. Α. Μγουλάς Νοέµριος 5 ) Ν υπολογιστί το ηλκτρικό πδίο που δηµιουργί µι τέλι γώγιµη κοίλη σφίρ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας Θέμα Ένα σημιακό φρτί Q τπθτίται στ κέντρ νός υδέτρυ σφαιρικύ αγώγιμυ κλύφυς ακτινών R και R. Να υπλγιστί τ παγόμν φρτί
ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ)
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778.
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Σώμ τλί θύγρμμη πιβρδνόμνη ίνηση μ πιβράδνση k, όπ k θτιή στθρά ι τ μέτρ της τχύτητς. Αν γι = ίνι = ι =,ν πλγιστύν: ) η τχύτητ ως σνάρτηση τ χρόν.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Φαίνεται αµέσως ότι η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου ισούται µε την πυκνότητα ενέργειας του µαγνητικού πεδίου.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 9 I believe that we shuld adhee t the stict validity f the enegy pinciple until we shall have fund imptant easns f enuncing this guiding sta A.instein 9 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΟΡΜΗ ΣΤΑ Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ-
ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Λωφ. Κηφισίας 56, Απλόκηποι, Αθήνα Τηλ.: 69 97 985, E-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Σγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmias.weebly.m ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Σγγρφή Επιμέει: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pira.wly. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids)
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Plarids) Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 4. Πόλωση
Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:
Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss
Πρόχειρες σημειώσεις στα επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα
Πρόχειρες σηειώσεις στ είεδ ηλεκτρογνητικά κύτ ΠΡΙΧΟΜΝΑ Διάδοση είεδων ΗΜΚ σε η γώγι έσ Ανάκλση κι διάδοση γι ρόστωση κάετη στην ειφάνει Ο νόος του Sell στην λάγι ρόστωση Πόλωση κάετη στο είεδο ρόστωσης
ΠΥΚΝΩΤΕΣ Μία διάταξη για την αποθήκευση φορτίου.
Πυνωτής : ΠΥΚΝΩΤΕΣ Μί διάτξη γι την ποθήυση φορτίου. Κτνλώντι νέργι γι την συνάθροιση του φορτίου άρ ποθυύτι ηλτριή δυνμιή νέργι Δυνμιό μτλλιής σφίρς V 4π o V νάλογο του C V ισχύι γνιότρ γι οποιοδήποτ
Θεώρηµα ( ) x x. f (x)
Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί
Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R
Κυκλική κίνηση Ονμάζετι η κίνηση η πί πρμτπιείτι σε κυκλική τρχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης S Ως νστόν πό τη εμετρί ισχύσει : S S Η τχύτητ η πί εκφράζει τ πόσ ρήρ διράφει η επιβτική κτίν τη νί νμάζετι
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ Σγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poiras.weebly.o ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 02/02/2010 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ // ΘΕΜΑ (3 μνάδες) Στ πρκάτω διάγρμμ πρυσιάζετι η μετλή της ντίστσης σε σχέση με τη θερμκρσί, ενός θερμμέτρυ ηλεκτρικής ντίστσης (TD) κι ενός θερμίστρ. Η ευθεί τυ
ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) Στο σχήμα 1, έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (1) και παρατηρούμε ότι όσο το x πλησιάζει στο xο = 2 από τα μικρά ( x
Πγόσμι χωριό γνώσης ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 ΜΑΘΗΜΑ 2.9. ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 2.9.. Έννι τυ ρίυ Θεωρύμε τη συνάρτηση: x+, x 2 f ( x ) = x 2, x > 2 / [,4] () Έστω x 2. Η τιμή υτή πυ περιέχετι στ πεδί ρισμύ της συνάρτησης,
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚBANTOMHXANIKH
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚBANTOMHXANIKH Συγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.moiras.wly.om ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.
Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι
3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α
3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )
10 ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΜΕΣΩΝ
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΟ ΜΕΣΩΝ ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ. Η φατονική συνιστώσα του ηλκτρικού δίου δύο έσα t t. Η κάθτη συνιστώσα του ανύσατος της ηλκτρικής τατόισης σταθρή
ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Προτείνονται προς επίλυση δέκα ασκήσεις εκ των οποίων επιλύονται υποχρεωτικά έξι (όποιες επιθυμείτε) και οι υπόλοιπες τέσσερεις προαιρετικά.
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Δ. Βλουγώργης, Ερινό ξάμηνο 08-09 ΕΡΓΑΣΙΑ #: Μτάδοση θρμότητς μ κτινοβολί Ημρομηνί νάρτησης ργσίς στην ιστοσλίδ του μθήμτος: 05-03-06 Ημρομηνί πράδοσης ργσίς: 9-03-09
[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]
![[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]](/thumbs/26/9169893.jpg "[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]")
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος
Εάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt
Μία ιστρία στην ΕΞΝΓΚΣΜΕΝΗ ΤΛΝΤΩΣΗ Κατά την περσινή σχλική χρνιά, στα πλαίσια της Π.Δ.Σ. πρσπάησα, αντί να λύσ ασκήσεις πυ μπρεί να υπάρχυν σε πλλά ιαφρετικά εξσχλικά βιβλία, να εάν ι μαητές μυ έχυν πραγματικά
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.2. (Η/Ν Υπερεντάσεως Κατευθύνσεως)
ΕΦΑΡΜΟΓΗ.. (Η/Ν Υπερεντάσεως Κτευθύνσεως) Γι τν Υ/Σ ζεύξεως (Β) της εφρµγής.1 πυ τρφδτείτι πό τν Υ/Σ 15/k (Α) µέσω δύ όµιων ενέριων γρµµών ώστε σε περίπτωση σφάλµτς σε µί πό τις δύ ν µην δικόπτετι η τρφδότηση
ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Συγγραφή Επιµέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Σρφή Επιµέλει: Πνιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoias.weebl.om ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693
Β ΒΕ=ΒΑ Β ( Β + Ε ) =ΒΑ. Β + α Β = = = x 2. x α x. α α + x
ξισώσις ου θµού ωµτρική ϖίλυση ξισώσων ου θµού Οι ρχίοι Έλληνς µθηµτικοί κθιέρωσν την κτσκυή γωµτρικών σχηµάτων µ κνόν κι ιήτη. Τρις τέτοις κτσκυές θ µλτήσουµ στη συνέχι. Κάθ µι ϖό υτές τις κτσκυές ίνι
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Συγγρφή Επιµέλει: Πνγιώτης Φ Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 wwwpmoiasweelcom ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΦ ΜΟΙΡΑ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΡΓΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΡΓΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑ Συγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pias.weebl.c ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα
Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.
Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των Θεωρηµάτων οµής. Έστω F ένα σώµα, V ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης επί του
Κφάιο 5 Εφρµογές των Θωρηµάτων οµής 5 Μέτη µις γρµµιής πιόνισης :V V µέσω των Θωρηµάτων οµής Έστω έν σώµ, V ένς δινυσµτιός χώρος ππρσµένης διάστσης πί του ι : V V µι γρµµιή πιόνιση Όπως ξέρουµ το V φοδιάζτι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ
ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ /6/ ΘΕΜΑ (3 μνάδες) (α) Η αντίσταση ενός D λευκόχρυσυ μετρήθηκε στη θερμκρασία πήξης τυ νερύ και βρέθηκε 8 Ω, ενώ στη συνέχεια μετρήθηκε σε θερμκρασία θ και βρέθηκε 448 Ω Να
Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2012:
ΑΡΙΘΜΗΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ: Ι. ΑΝΑΓΝΩΣΟΠΟΥΛΟΣ - Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ ΕΞΕΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξτάσων Φβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδς Κμπύλη ezier δημιουργίτι πό σημί
ΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι,
Kεφ. 16 (Part III, pages 6-34) ΣΤΤΙΚ ΗΜΜ ΠΕΔΙ Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Τ έργ πυ παράγεται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω σ ένα ελεύθερ φρτί τυ αγωγύ είναι, dw = f dr = qe υdt άρα Ρ = dw dt = qυ
Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο
0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε
Ο νόμος του Ampère. Διαφορική μορφή του ν.ampère. B r. Παρ : To πεδίο Β δακτυλιοειδούς πηνίου. Εντός του πηνίου
Ο νόμος του Apèr Ο νόμος του Apèr Bis μ μ Ji Επιφάνια Bi μ π r ( π s B s r μ Η κυκλοφορία του μαγνητικού πδίου κατά μηκός μιάς κλιστής διαδρομής ισούται μ μ Ι, όπου Ι ίναι το ολικό σταθρό (χρονικά αμτάβλητο
Ονοματεπώνυμο. Τμήμα
Ηλεκτρομγνητισμός (6-7-9) Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 A. Έν σωμάτιο με φορτίο -6. n τοποθετείτι στο κέντρο ενός μη γώγιμου σφιρικού φλοιού εσωτερικής κτίνς c κι εξωτερικής 5 c. Ο σφιρικός φλοιός περιέχει
ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
3η εξετστική περίδς 0- - Σελίδ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τμήμ: Βθμός: Ημερμηνί: 0-04-0 Διάρκει: 3 ώρες Ύλη: Επνληπτικό σε όλη την ύλη. Κθηγητής: ΑΤΡΕΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Ονμτεπώνυμ:
( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2
1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν
ΘΕΜΑΤΑ. συνα ημ2α = ημα Μονάδες συν2α Β. Να λυθεί η εξίσωση: 2ημx = συν2x 1
ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α 1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 55 Α. Αν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ν δείξετε ότι εφ( + β) = εφ + εφβ 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε ως Σ(σωστό) ή ως Λ(Λάθς) τις πρκάτω πρτάσεις:. Ισχύει: συν( + β) = ημ ημβ
Γενικές εξετάσεις Φυσική Γ λυκείου θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης
Γενικές εξετάσεις 009 Φσική Γ κεί θετικής - τεχνγικής κτεύθνσης Θέμ Ν γράψετε στ τετράδιό σς τν ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτ ερτήσεις - 4 κι δίπ τ γράμμ π ντιστιχεί στη σστή πάντηση.. Σε μι φθίνσ τάντση
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 2 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 22/12/09 ( )
19/11/9 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 9-1 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθσµία παράδοσης /1/9 Άσκηση 1 Η γνική µορφή νός ΗΜ κύµατος δίνται από E E sin k r ωt (1) ( ) Α) Το µέτρο του πλάτους πλάτος
C V C = 1. Πυκνωτές. Οι πυκνωτές έχουν πολλές χρήσεις λόγω του ότι αποτελούν αποθήκες ηλεκτρικού φορτίου και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας.
. Πυκνωτές Δύο αγωγοί που διαχωρίζονται από ένα μονωτή αποτλούν ένα πυκνωτή. Στην πράξη οι αγωγοί φέρουν ία και αντίθτα φορτία. Ορίζουμ αν χωρητικότητα νός πυκνωτή το ταθρό πηλίκο: ab F Οι πυκνωτές έχουν
ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων Ενότητα : Κυματική Εξίσωση & Επίπεδο ΗΜ Κύμα Σαββαΐδης Στυλιανός Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες
Π Α Ν Ο Ρ Α Μ Α Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σελίδα 1 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ C 1
Π Ν Ο Ρ Μ Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σλίδ 1 ΚΥΚΛΟ ΟΡΙΜΟ : Ονομάζτι ο ωμτικός τόπος (.τ.) των σημίων του πιπέδου που πέχουν στθή πόστση, ( > ), πό έν συκκιμένο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα
( ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας
3.3 Ασκήσις σχολικού ιλίου σλίδς 3 A Oµάδς. Ν ρίτ τη ξίσωση της έλλιψης σ κθµιά πό τις πρκάτω πριπτώσις : (i Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (, 0 κι Ε(, 0 κι µγάλο άξο 0 (ii Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (0, 5 κι Ε(0, 5 κι
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. q e = C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1. Ηλεκτρικό Πεδίο 2.1. Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού Φορτίου Q Ηλεκτρικό Πεδίο Σημειακού
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ q e = 1.6 10 19 C Φορτίο Ηλεκτρονίου 1.1 F = k Q 1 Q 2 r 2 = 9 10 9 Q 1 Q 2 r 2 Νόμος Coulomb 1.2 E = F q E = k Q r 2 E = k Q r 2 e r E = 2kλ ρ E = 2kλ ρ e ρ ε 0 = 1/4πk = 8.85 10 12 S. I. Ε
Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα
ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Ν. ΠΕΡΑΜΟΥ ΣΧ. ΕΤ Επαναληπτικές ασκήσεις
1. Ν ρίτ το ΕΚΠ των ριθμών: ) 2, 3, 4 ) 2, 4, 8 ) 3, 5, 6 )4, 7, 9 Επνλπτικές σκήσις 2. Ο ριθμός των σλίων νός ιλίου ίνι μτξύ των ριθμών 100 κι 150. Ότν μτράμ τις σλίς νά 5 ή νά 6, ν πρισσύι κμί. Ν ρίτ
Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια
35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα.
γραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε
Η ΒΡΑΧΥΣΤΟΧΡΟΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER LAGRANGE
Η ΒΡΑΧΥΣΤΟΧΡΟΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER LAGRANGE Η δημοσίευση του Γιάννη Φιορεντίνου γι το πρόβλημ της βρχυστόχρονου ήτν μι πρό(σ)κληση. Διβάζοντς την εκφώνηση του προβλήμτος ποφάσισ ν δώσω μι πλήρη
ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α
4. ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α Έστω συνάρτηση f συνεχής στ R κι ( ) είξτε ότι 3 g() ( 3 ) f (t)dt i Υπάρχει έν τυλάχιστν ξ (3, ) ώστε Θέτυµε h() f (t)dt Η g() γράφετι g() g() f (t)dt (t )dt, R
Α ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ
A ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΚΙΝΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΙ ΙΟΥ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Α. Γνική ξίσωση κίνησης για µη ρλατιβιστικές πριπτώσις q( ) + B Α. Αρχή διατήρησης της νέργιας
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
α α α α α α α α ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙ ΟΙΝΩΝΙΟ ΗΧΟΣ Λ. ΗΧΟΣ ΛΓΙΟΣ ΘΕΟΩΡΟΥ ΦΩΕΩΣ Ἦχς Ο τ Ν Χ ρυ υ υ υ υ υ υ χ ρυ υ β µ µυ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ µυ υ υ στ κω ω ως κ ν 1 ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙ ΟΙΝΩΝΙΟ ΗΧΟΣ Λ. Γ κ ν ζ
1.4. ε ε. E 1 ε E 2. ε ε γ. β ε. Λύση α) Έχουμε ότι: ε = β γ 2. γ E 1 γ. β γ. γ β ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
1.4. Πυθόριο θώρημ ΡΣΤΗΡΙΟΤΗΤ 1 ίνοντι οκτώ ίσ ορθοώνι τρίων μ κάθτς πλυρές, κι υποτίνουσ κι τρί ττράων μ πλυρές,, ντίστοιχ. ) Ν υπολοίστ τ μδά, Ε, Ε 1, Ε 2 των διπλνών τριώνων κι ττρώνων. ) Ν τοποθτήστ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.piras.weebly.c ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς
Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο
5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί
2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Ηλεκτρική και Μαγνητική Πόλωση
Ηλκτρική και Μαγνητική Πόλωση Μαγνητικά και Ηλκτρικά πδία στα υλικά Μαγνήτιση και Ηλκτρική Πόλωση Οµοιότητς και ιαφορές Συµµτρία αντιστροφής ώρου και ρόνου Μαγνητική και Σιδηροηλκτρική Υστέρηση Εξισώσις
η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ
Μθημτικά Β Λυκίου Θτική & Τν/κή Κτύθυνση ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ Κύκλος Πολή Έλλιψη Υπολή Επιμέλι: Γηγόης Μπξνίδης Μθημτικός.1. Κ Υ Κ Λ Ο Σ Οισμός: Ο γωμτικός τόπος των σημίων Μ του πιπέδου, γι τ
ΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς.
ΑΑΝΤΉΣΕΙΣ ΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 009 Επιμέλεια: Νεκτάρις ρωτπαπάς 1. Σωστή απάντηση είναι η γ. ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η α. Σχόλι: Σε μια απλή αρμνική
Exουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ
Kεφ. (part, pages - Σχέση διασπράς Exυμε βρεί την εξίσωση κύματς: λν = υ, όπυ υ = Τ /μ στη περίπτωση της χρδς. Οπότε υ ν = = λ ω = Τ /μ Τ /μ λ k H σχέση αυτ πυ συνδέει την γωνιακ συχνότητα ω με τν κυματαριθμό
1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Παπαθεοδώρου Γιώργος
. Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος. Σύστη νφοράς Σύστη νφοράς είνι έν σύστη συντετγένων που χρησιοποιείτι γι τον προσδιορισό της θέσης των ντικειένων, δηλδή είνι έν σύστη πρκολούθησης της κίνησης..
1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:
* ' 4. Σώµ εκτελεί γ..τ µε συχνότητ f. H συχνότητ µε την οποί µεγιστοποιείτι η δυνµική ενέργει τλάντωσης είνι. f =2f β. f =f/2 γ. f =f δ. f =4f Β. Στη
* '! " # $ # # " % $ " ' " % $ ' " ( # " ' ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 ' " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Κύκλωµ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 1 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Σωστό το γ. Σωστό το γ. Σωστό το γ 4. Σωστό το δ
Κατοίκον Εργασία 2. (γ) το ολικό φορτίο που βρίσκεται στον κύβο. (sd p.e 4.9 p146)
Κατοίκον Εργασία. Ένα σημιακό φορτίο (point charge) 5 mc και ένα - mc βρίσκονται στα σημία (,0,4) και (-3,0,5) αντίστοιχα. (α) Υπολογίστ την δύναμη πάνω σ ένα φορτίο (point charge) nc που βρίσκται στο
2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Θετικών Σπουδών. Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ Α 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' νικού Λυκίου Θτικών Σπουδών Παρασκυή 5 Ιανουαρίου 018 ιάρκια Εξέτασης: ώρς Α1. Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ ΘΕΜΑΤΑ. Να δίξτ ότι ισχύι α β + γ
E.E., Παρ. I, 729 Ν. 17/91 Αρ. 2576,
E.E., Πρ. I, 729 Ν. 17/91 Αρ. 2576, 8.2.91 περί Πρϋπλγισμύ τυ Τμείυ Θήρ*; Νόμς τυ 1990 εκδίδετι με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδ της Κυπρικής Δημκρτίς σύμφν με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγμτς. Αριθμός 17 τυ 1991
ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ
ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ Για ευθύγραμμ αγωγό μήκυς l σε μγενές μαγνητικό πεδί πυ σχηματίζει γωνία φ με αυτόν: dl d Ι l φ φ sin ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ
Oδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης.
Kεφ. 4 OΔEYONTA KYMATA (pges -7 (Trveling Wves Eξετάσυμε ανικτά συστήματα, δηλ. συστήματα χωρίς σύνρα. Oδεύντα κύματα είναι διαταραχές (πυ μεταφέρυν ενέργεια και ρμή πυ διαδίδνται στν ανικτό χώρ με ρισμένη
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 21ης ΜΑΙΟΥ 2004 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ II
Ν. 19(ΙΙ)/004 ΠΑΑΤΗΜΑ ΠΩΤ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΑΤΙΑΣ Αρ. 861 της 1ης ΜΑΙΥ 004 ΝΜΘΕΣΙΑ ΜΕΣ II περί Πρϋπλγισμύ τυ Τμείυ γι τ Σύνδρμ Επίκτητης Ανσπιητικής Ανεπάρκεις γι τ έτς 004 Νόμς τυ 004 εκδίδετι
Φροντιστήριο 2 ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό
Φροντιστήριο ο : Εισαγωγή στον διανυσµατικό λογισµό Βαθµωτά ή µονόµτρα µγέθη scls: Για να οριστούν τα µγέθη αυτά απαιτίται να δοθί µόνο το µέτρο τους πριλαµβανοµένης της µονάδας µέτρησης ιανυσµατικά µγέθη
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0--07 ΘΕΜΑ Α Α. Σχλικό Βιβλί σελ.
Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.
Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:
39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση
39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 11 Υπολογισμός της πόστσης TG Λύση 3 3 3 Ο όγκος του νερού στην κοιλότητ είνι V = 1cm = 1 m Το μήκος του πυθμέν της κοιλότητς είνι d = L atan 6
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ Σγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ 005 . Ένας εθύγραµµς αγωγός, απείρ θεωρητικά µήκς, παρσιάζει ανά µνάδα µήκς ωµική αντίσταση ρ και διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύµα σταθερής έντασης I. Να απδείξετε ότι η ηλεκτρµαγνητική
Ν. 31(ΙΙ)/ (2) Μέσα σε ένα μήνα από την έγκριση του Υπουργού Υγείας, σύμφωνα με το εδάφιο (1) του άρθρου αυτού, θα κατατίθεται ενώπιον της
E.E. Πρ. () 1489 Ν. 1()/2 Αρ. 41,16.6.2 περί Πρϋπλγισμύ τυ Τμείυ γι τ Σύνδρμ Επίκτητης Ανσπιητικής Ανεπάρκεις γι τ έτς 2 Νόμς τυ 2 εκδίδετι με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδ της Κυπρικής Δημκρτίς σύμφν
ΦΒ σύστημα. Ενεργειακοί υπολογισμοί ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΠΕ. Υπολογισμοί. Στιγμιαία ισχύς, P m και ημερήσια ενέργεια, H t P ΦΒ STC
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΠΕ σύστμ Ενργικοί υπολογισμοί Γ. ΒΙΣΚΑΔΟΥΡΟΣ Ι. Φργκιδάκς Φ. Μυρομτάκς κι S οπου R d,, m m S S S 24h 0 m, ο λόγος πίδοσς. Στιγμιί ισχύς, m κι μρήσι νέργι, R m S R Ανφρόμνοι σ χρονικές πριόδους
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ της 14ης ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2000 ΑΙΟΙΚΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ. ΜΕΡΟΣ Ι Κανονιστικές Διοικητικές Πράξεις
ΚΛ.Ϊ. 97/000 ΠΑΑΤΗΜΑ ΤΤ ΤΗΣ ΕΠΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΑΤΑΣ Αρ. 40 της 4ης ΑΠΛΥ 000 ΑΚΗΤΚΕΣ ΠΑΞΕΣ ΜΕΣ Κννστκές Δκητκές Πράξς Αρθμός 97 ΠΕ ΕΛΕΓΧΥ ΤΗΣ ΥΠΑΝΣΗΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΝΜΣ (ΝΜ 69 ΤΥ 99 ΚΑ 76() ΤΥ 99) Δάτγμ
Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.
1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι
Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ
Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι
Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών
Προτεινόµενες Ασκήσεις στ Στοιχεί δύο Ακροδεκτών πό το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργρη Πρόβληµ. Σ' έν πηνίο µε υτεπγωγή =5H το ρεύµ έχει τη µορφή του Σχ.. Σχεδιάστε την τάση στ άκρ του
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θτική Τχνολογική Κατύθυνση ασκήσις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ)