Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών."

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. Δηλαδή: Μέση τιμή άθροισμα παρατηρήσεων πλήθος παρατηρήσεων Διάμεσος Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθµός, παίρνουµε ως διάµεσο τη µεσαία παρατήρηση. Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο, παίρνουµε ως διάµεσο το µέσο όρο των δύο µεσαίων παρατηρήσεων. Μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής Eποµένως, για να βρούµε τη µέση τιµή οµαδοποιηµένης κατανοµής: Βρίσκουµε τα κέντρα των κλάσεων. Πολλαπλασιάζουµε το κέντρο κάθε κλάσης µε τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Προσθέτουµε όλα τα γινόµενα. ιαιρούµε το άθροισµα αυτό µε το άθροισµα των συχνοτήτων. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις: Το άθροισµα 5 παρατηρήσεων είναι. Η µέση τιµή είναι: 1 Α: 5 Β: 5 Γ: : ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η μέση τιμή είναι. Άρα είναι το Δ. 5. Η µέση τιµή παρατηρήσεων είναι 8,. Το άθροισµα των παρατηρήσεων είναι: Α:,8 Β: 8 Γ: 8 :,8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ A Αν Α είναι το άθροισμα των παρατηρήσεων τότε 8, A 8. Άρα είναι το Γ.

2 18 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ 3. Η µέση τιµή µιας κατανοµής είναι 3 και το άθροισµα των παρατηρήσεων είναι. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι: Α: 5 Β: Γ: 18 : 3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν Π είναι το πλήθος των παρατηρήσεων τότε 3 3Π Π. Άρα είναι το Β. Π 4. Από τις παρακάτω παρατηρήσεις, που είναι τοποθετηµένες σε αύξουσα σειρά µεγέθους, λείπει η 5η κατά σειρά παρατήρηση α) Αν η διάµεσος είναι 7, η παρατήρηση που λείπει είναι :Α:7 Β:8 Γ:9 : β) Αν η διάµεσος είναι 8, η παρατήρηση που λείπει είναι: Α:7 Β:8 Γ:9 : γ)αν η διάµεσος είναι 8,5, η παρατήρηση που λείπει είναι :Α:7 Β: 8Γ:9 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η παρατήρηση που λείπει είναι το 7,γιατί το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο και η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Δηλαδή 7. Άρα είναι το Α β) Η παρατήρηση που λείπει είναι το 9, γιατί το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο και η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Δηλαδή 8. Άρα είναι το Γ γ) Η παρατήρηση που λείπει είναι το, γιατί το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο και η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Δηλαδή 8, 5. Άρα είναι το Δ ίνεται η κατανοµή συχνοτήτων του διπλανού πίνακα. Η µέση τιµή είναι ίση µε: Τιμές Συχνότητα A : Β : Γ : Δ : 9 9 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η µέση τιµή είναι ίση µε Άρα είναι το Δ.

3 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 187. ίνεται η κατανοµή συχνοτήτων του διπλανού πίνακα. Η µέση τιµή είναι ίση µε: Τιμές Συχνότητα A : Β : Γ : Δ : ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η µέση τιµή είναι ίση µε,όπου 5, 15, είναι τα κέντρα των κλάσεων (-),(-), (-3) και, 1, 3 οι συχνότητες αντίστοιχα Άρα είναι το Γ. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογισθεί η µέση τιµή των αριθµών κάθε γραµµής. α) β) γ) δ) α ) β ) 5, γ ) δ) ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τη διάµεσο των αριθµών κάθε γραµµής: α) β)

4 188 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ γ) δ) α) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: -,-1,1,,3,4. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή 1+ 1,5. β) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 1,,,,3,3,4. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση,διαγράφοντας εναλλάξ από την αρχή και το τέλος από μία παρατήρηση, τελικά διαπιστώνουμε ότι η διάμεσος είναι ο αριθμός. γ) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 98,99,,1,1,,3. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση, διαγράφοντας εναλλάξ από την αρχή και το τέλος από μία παρατήρηση, τελικά διαπιστώνουμε ότι η διάμεσος είναι ο αριθμός 1. δ) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: -5,-4,-,,1,3. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή + 1. ΑΣΚΗΣΗ 3 Η βαθµολογία σε 14 µαθήµατα του πρώτου τετραµήνου δύο µαθητών της Β Γυµνασίου είναι: Α μαθητής Β μαθητής α) Nα βρείτε τον µέσο όρο της βαθµολογίας κάθε µαθητή. β) Να εκτιµήσετε ποιος µαθητής έχει καλύτερη επίδοση. γ) Να βρείτε τη διάµεσο της βαθµολογίας κάθε µαθητή. α) Ο Μ.Ο της βαθµολογίας του Α μαθητή είναι: , Ο Μ.Ο της βαθµολογίας του Β μαθητή είναι:

5 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ ,4 14 β) Ο μαθητής με την καλύτερη επίδοση είναι ο Β. γ) Για τον μαθητή Α τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 1,1,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,19,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή Για τον μαθητή Β τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 17,18,18,18,18,18,19,19,19,19,19,19,,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή ΑΣΚΗΣΗ 4 Το ύψος των 1 παικτών της οµάδας µπάσκετ της ΑΕΚ είναι σε cm: 19, 197, 197, 198, 198,,, 1, 1, 4, 5,. α) Να βρείτε το µέσο ύψος της οµάδας. β) Να βρείτε τη διάµεσο των υψών της οµάδας. γ) Αν ο παίκτης µε ύψος 19 cm αντικατασταθεί από άλλον ύψους cm, ποιο είναι το νέο µέσο ύψος της οµάδας; α) Το µέσο ύψος της οµάδας της ΑΕΚ είναι: ,9 cm 1 β) Για τους παίκτες της ομάδας της ΑΕΚ τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 19,197,197,198,198,,,1,1,4,5,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο + μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή cm. γ) Εάν αντικαταστήσουμε ένα παίκτη ύψους 19 cm με ένα παίκτη ύ- ψους cm τότε για να βρούμε το νέο άθροισμα υψών των παικτών Σ το οποίο ισούται με το προηγούμενο Σ αυξημένο κατά 8 cm O νέος μέσος όρος

6 19 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ Σ Σ + 8cm Σ 8cm x + x +,7cm 199,9cm +,7cm,59cm ΑΣΚΗΣΗ 5 1. Από τις Στατιστικές ενός µαιευτηρίου πήραµε τον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις Καπνίστριες Βάρος παιδιών σε κιλά Μη Καπνίστριες μητέρες μητέρες Να βρείτε το μέσο βάρος των παιδιών που η µητέρα τους κάπνιζε και των παιδιών που η µητέρα τους δεν κάπνιζε. Τι παρατηρείτε; Το μέσο βάρος των παιδιών που η μητέρα τους κάπνιζε ήταν:, ,5.15 +, , ,5.3 57,35 kg Το μέσο βάρος των παιδιών που η μητέρα τους δεν κάπνιζε ήταν:,5. + 1,5. +, , ,5.4 57,835 kg Παρατηρούμε ότι το μέσο βάρος των παιδιών που η μητέρα τους δεν κάπνιζε ήταν μεγαλύτερο κατά gr. ΑΣΚΗΣΗ Η θερµοκρασία το µεσηµέρι κάθε ηµέρας του Ιανουαρίου στον Άλιµο είναι: α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη µέση θερµοκρασία και τη διάµεσο των θερµοκρασιών. α) Κλάσεις Συχνότητα Σχετική συχνότητα , , , , ,7 Σύνολα 31

7 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 191 β) Κλάσεις Κέντρο κλάσης Συχνότητα (Συχνότητα).(κέντρο κλάσης) ΣΥΝΟΛΑ Οπότε η µέση θερµοκρασία είναι: 14, Αν οι θερμοκρασίες τοποθετηθούν κατά αύξουσα σειρά θα είναι 5 στην κλάση (-1) συν 5 στην κλάση (1-14) συν στην κλάση (14-1) άρα η 1 η παρατήρηση θα είναι στην κλάση (14-1) άρα η διάμεσος θα είναι το κέντρο της κλάσης δηλαδή το 15. ΑΣΚΗΣΗ 7 Σε µία πόλη παιδιά εµφανίζουν αλλεργική αντίδραση σ ένα φάρµακο, σύµφωνα µε τον παρακάτω πίνακα: Ηλικία παιδιών Συχνότητα α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων της κατανοµής. β) Να βρείτε τη µέση ηλικία των παιδιών. α) Ηλικία παιδιών Συχνότητα Σχετική συχνότητα% Σύνολα β)

8 19 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ Κλάσεις Κέντρο (Κέντρο κλάσης) Συχνότητα κλάσης.(συχνότητα) Σύνολα 88 Επομένως η μέση ηλικία των παιδιών είναι: 88 4, 4 έτη. ΑΣΚΗΣΗ 8 Το ποσοστό των αυτοκινήτων που παράγει µια αυτοκινητοβιοµηχανία σ ένα έτος, σε σχέση µε τον κυβισµό τους, παρουσιάζεται στο παρακάτω ιστόγραµµα αυτοκίνητα α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη µέση τιµή της κατανοµής. α) Κυβισμός Συχνότητα Σύνολα

9 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 193 β) Κλάσεις Κέντρο (Κέντρο κλάσης) Συχνότητα κλάσης (συχνότητα) Σύνολα Επομένως η µέση τιµή της κατανοµής είναι: 17 κυβικά. ΑΣΚΗΣΗ 9 Το παρακάτω ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων παριστάνει την κατανοµή των µαθητών ενός Γυµνασίου ανάλογα µε το βαθµό του απολυτηρίου τους. Με βάση το ιστόγραµµα να βρείτε: Σχετική συχνότητα (-) (-1) (1-14) (14-1) (1-18) (18-) Βαθμός απολυτηρίου α) Το ποσοστό των µαθητών µε απολυτήριο µεγαλύτερο ή ίσο του 1. β) Το πλήθος των µαθητών, αν η κλάση -1 έχει συχνότητα 1. α) Το ποσοστό των µαθητών µε απολυτήριο µεγαλύτερο ή ίσο του 1 είναι με βάση το ιστόγραμμα 5%+15%4% β) Επειδή στη κλάση -1 η συχνότητα είναι 1 και η σχετική συχνότητα % ή,1 έχουμε ότι: συχνότητα σχετική συχνότητα οπότε είναι πλήθος μαθητών

10 194 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ 1,1,1. Π 1 Π 1,όπου Π είναι το πλήθος των Π μαθητών. Άρα οι μαθητές είναι 1. ΑΣΚΗΣΗ Οι ηλικίες ενός δείγµατος φιλάθλων που παρακολουθούν έναν αγώνα τένις είναι: Ηλικία Συχνότητα ΣΥΝΟΛ Ο Να βρείτε τη µέση τιµή των ηλικιών των φιλάθλων. Κλάσεις Κέντρα (Κέντρο κλάσης) Συχνότητα κλάσεων (συχνότητα) ΣΥΝΟΛΟ 4944 Οπότε η µέση τιµή των ηλικιών των φιλάθλων είναι: ,7 χρόνια ΑΣΚΗΣΗ 11 Μια ένωση καταναλωτών κατέγραψε την τιµή πώλησης ενός προϊόντος (σε ) σε διαφορετικά σηµεία πώλησης: α) i) Nα παρασκευάσετε τα δεδοµένα αυτά σε πίνακα συχνοτήτων.

11 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 195 ii) Να βρείτε τη µέση τιµή πώλησης Μ του προϊόντος. β) i) Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε κλάσεις, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Κλάσεις Συχνότητες α) i) ii) Να βρείτε τη µέση τιµή πώλησης Μ' των οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων του πίνακα αυτού. iii) Ποια είναι η πραγµατική µέση τιµή (Μ ή Μ'); Τιμή πώλησης Συχνότητα ΣΥΝΟΛΟ ii) Οπότε η μέση τιμή πώλησης Μ του προιόντος είναι: Μ ,9

12 19 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ β) i) Κλάσεις Κέντρα κλάσεων Συχνότητες (Κέντρο κλάσης).(συχνότητα) ΣΥΝΟΛΟ 8 Οπότε η µέση τιµή πώλησης Μ' των οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων 8 είναι : Μ 5, 4. ii) Η πραγματική μέση τιμή είναι η Μ,γιατί η Μ έχει προέλθει από εκτίμηση(θεωρήσαμε ότι τιμές πώλησης του προιόντος σε κάθε κλάση αντιπροσωπεύονται από το κέντρο της κλάσης). ΑΣΚΗΣΗ 1 Ο µέσος όρος δεν είναι το παν! ίνονται οι βαθµοί των γραπτών εξετάσεων και τεστ, τεσσάρων µαθητών της ίδιας τάξης της Β Γυµνασίου στο µάθηµα των Μαθηµατικών στη διάρκεια µιας χρονιάς. Μαρία Νίκος Γιώργος Ελένη α) Να υπολογίσετε το µέσο όρο των βαθµών κάθε µαθητή. β) Να υπολογίσετε τη διάµεσο των βαθµών κάθε µαθητή. Είναι ισοδύναµοι αυτοί οι µαθητές; γ) Τα σχόλια του καθηγητή των Μαθηµατικών προς τους γονείς που αντιστοιχούν στους µαθητές αυτούς ήταν:

13 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 197 Σχόλια καθηγητή Α. Έκανε σοβαρή και επίµονη προσπάθεια σ όλη τη διάρκεια της χρονιάς και βελτιώθηκε θεαµατικά. Μαθητής Μαρία B. Έχει σταθερή αλλά µέτρια επίδοση. ιαβάζει λίγο και αποδίδει λίγο. Νίκος Γ. Πολύ καλό µυαλό, αλλά ασταθής. Πρέπει να σοβαρευτεί και να κάνει πιο επίµονη και σταθερή προσπάθεια Γιώργος. Μετά από ένα πολύ καλό ξεκίνηµα, έχει χαµηλή απόδοση εξαιτίας της έλλειψης, έστω και ελάχιστης, µελέτης. Ελένη Να αντιστοιχίσετε τα σχόλια του καθηγητή µε κάθε έναν από τους µαθητές ανάλογα µε τη βαθµολογία τους α ) Μ.Ο ΜΑΡΙΑΣ Μ.Ο ΝΙΚΟΥ Μ.Ο ΓΙΩΡΓΟΥ Μ.Ο ΕΛΕΝΗΣ 14 β) Τοποθετούμε τους βαθμούς της Μαρίας σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 1,1,13,14,14,14,14,15,1,1. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή Τοποθετούμε τους βαθμούς του Νίκου σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 7,8,11,1,14,14,1,19,19,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή 14.

14 198 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ Τοποθετούμε τους βαθμούς του Γιώργου σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 8,,1,1,14,14,1,17,18,19. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή 14. Τοποθετούμε τους βαθμούς της Ελένης σε αύξουσα σειρά και έχουμε: 7,8,11,1,14,14,1,19,19,. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή 14. Άρα όπως φαίνεται οι μαθητές αυτοί είναι ισοδύναμοι. γ) Το Α πάει στον Γιώργο, γιατί όπως φαίνεται από τους βαθμούς του από το 8 και το έφτασε σε βαθμούς 17,18,19 στο τέλος της χρονιάς. Το Β πάει στην Μαρία που σε όλη τη χρονιά οι βαθμοί της κυμάνθηκαν στο διάστημα από 1 έως 1. Το Γ πάει στον Νίκο ο οποίος όπως φαίνεται από τους βαθμούς του δεν έχει σταθερότητα. Το Δ πάει στην Ελένη η οποία ενώ ξεκίνησε εντυπωσιακά στο τέλος της χρονιάς έπεσε σε πολύ χαμηλά επίπεδα βαθμών.

15 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 199 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Μετρήσαμε το ύψος 3 μαθητών μιας τάξης Γυμνασίου και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Από τον πίνακα αυτό να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που έχουν ύψος i) Λιγότερο των 175 cm. ii) Τουλάχιστον 17 cm αλλά και το πολύ 18 cm. α) Πρώτα φτιάχνουμε κλάσεις πλάτους 5 cm. Κατόπιν κάνουμε διαλογή των παρατηρήσεων και βρίσκουμε τις συχνότητες. Οι σχετικές συχνότητες είναι:,7 ή,7%, 3 3 3,1 ή% 3 Κλάσεις Ύψη μαθητών σε cm, ή %, 4 3 9,133 ή13,3%, 3,3 ή 3% Διαλογή Συχνότητες Σχετικές συχνότητες % , , ΣΥΝΟΛΑ 3 β) i) Είναι %,γιατί όλες οι παρατηρήσεις είναι μικρότερες των 175cm. ii) Είναι %, γιατί τόσοι είναι οι ευρισκόμενοι στην κλάση Στο παρακάτω πίνακα συχνοτήτων δίνεται η κατανομή του αριθμού των παιδιών 5 οικογενειών. Να βρείτε τον αριθμό και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν: α) Τουλάχιστον παιδιά.

16 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ β) Λιγότερα από 3 παιδιά. γ) Ακριβώς 1 παιδί. δ) Από έως 3 παιδιά. Φτιάχνουμε τον πίνακα σχετικών συχνοτήτων Αριθμός παιδιών 5 οικογενειών Αριθμός παιδιών Συχνότητα Αριθμός παιδιών Συχνότητα ΣΥΝΟΛΟ 5 Σχετική συχνότητα % ΣΥΝΟΛΟ 3 5 α) Τουλάχιστον παιδιά έχει το 3%+14%+%5% των 5 οικογενειών. β) Λιγότερα από 3 παιδιά έχει το 4%+%+3%8% των 5 οικογενειών. γ) Ακριβώς 1 παιδί έχει το % των 5 οικογενειών. δ) Από έως 3 παιδιά. Έχει το 3%+14%5% των 5 οικογενειών. 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Τιμές Συχνότητες Σχετικές συχνότητες 1 ν 1 % ν 18 3% 3 ν % 4 ν % ΣΥΝΟΛΑ 5 % ν1 ν 3, ν1,.5,,3 ν3 5 5, Επομένως ν και 7,3 ή 3%,14 ή 14% 5 5 %+3%+3%+14%%

17 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 1 4. Στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα φαίνονται τα Δ Α αποτελέσματα των εκλογών, για την ανάδειξη φ του Προέδρου ενός συλλόγου. Έλαβαν μέρος φ μέλη του συλλόγου. Γ Β Από τους τέσσερις υποψήφιους Α, Β, Γ και Δ, ο υποψήφιος Α συγκέντρωσε 4 ψήφους. Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στον υποψήφιο Γ είναι 1. Πόσες ψήφους συγκέντρωσε ο κάθε υποψήφιος; Η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στον υποψήφιο Α είναι: 4 θ.3 7. Επομένως για να βρούμε την γωνία φ έχουμε: φ + φ φ + φ φ 1 φ 54 Οπότε οι επίκεντρες γωνίες για τους υποψηφίους Α, Β, Γ και Δ είναι αντίστοιχα 7, 8, 1 και 54. Τώρα μπορούμε να βρούμε πόσες ψήφους συγκέντρωσε ο κάθε υποψήφιος ως εξής: 8 3. ψήφους o B, ψήφους 54 o Γ, 3. 3 ο Δ 5. Οι αριθμοί x, x-1, 8, α-1, α-, x-1, 1, 7x+1, α-1 έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά μεγέθους και έχουν μέση τιμή και διάμεσο 14. Να βρείτε τους αριθμούς α και x. Εφόσον έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά μεγέθους η διάμεσος είναι ο 5 ος από τους 9 αριθμούς (το πλήθος των αριθμών είναι περιττό) άρα α-14 και α14+1. Επίσης επειδή η μέση τιμή είναι 14 έχουμε: x + x x x x + x + x + 7x x 38 x,375

18 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ. Η μέση βαθμολογία ενός μαθητή σε 4 διαγωνίσματα Φυσικής είναι 15 και σήμερα γράφει και ένα πέμπτο διαγώνισμα! α) Αν στο πέμπτο διαγώνισμα ο μαθητής γράψει 11 ποια θα είναι η νέα μέση βαθμολογία; β) Ποιος είναι ο μικρότερος και ποιος ο μεγαλύτερος δυνατός μέσος ό- ρος που μπορεί να έχει ο μαθητής αυτός και από τα πέντε διαγωνίσματα; γ) Τι βαθμό πρέπει να γράψει στο πέμπτο διαγώνισμα για να ανεβάσει τη βαθμολογία του κατά μία μονάδα; α) Ο νέος μέσος όρος θα προκύψει αν πάρουμε τα 4 διαγωνίσματα με βαθμό 15 και διαιρέσουμε με το νέο πλήθος των βαθμών που είναι το , 5 5 β) Ο μικρότερος μέσος όρος θα προκύψει αν ο μαθητής γράψει, οπότε και ο μεγαλύτερος αν γράψει, δηλαδή: γ) Αν υποθέσουμε ότι πρέπει να γράψει x θα έχουμε: x 1 + x 8 x 8 x Ο μέσος μηνιαίος μισθός ν εργαζομένων σε μια επιχείρηση είναι 1. Αν προσληφθούν άλλοι 5 εργαζόμενοι με μέσο μηνιαίο μισθό, τότε ο μέσος μισθός όλων των εργαζομένων γίνεται 115. Να βρείτε το ν. Η νέα μέση τιμή θα προκύψει αν πάρουμε τους ν με μισθό 1 και τους 5 με μισθό και διαιρέσουμε με το νέο πλήθος που θα είναι ν+5. ν ν ν ν + 5 1ν 115ν ν 75 ν Το μέσο ύψος καλαθοσφαιριστών μιας ομάδας είναι 4 cm. Ο προπονητής για να αυξήσει το μέσο ύψος της ομάδας παίρνει δύο ακόμη παίκτες με ύψη cm και cm. Ποιο είναι τώρα το μέσο ύψος της ομάδας; Το νέο ύψος των 1 καλαθοσφαιριστών θα είναι:

19 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ ,7 cm Η μέση τιμή 9 αριθμών είναι ίση με 4. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε σ αυτούς ώστε η νέα μέση τιμή να γίνει ίση με 5; Αν Σ ονομάσουμε το άθροισμα των 9 αριθμών τότε θα έχουμε: Σ 4 Σ 3 άρα το άθροισμα του είναι 3. 9 Αν ώρα ονομάσουμε x τον αριθμό που πρέπει να προσθέσουμε τότε: 3 + x x 5 x 5 3 x 14. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Σε μια έρευνα ρωτήθηκαν 3 κάτοικοι μιας μεγάλης πόλης: «Ποιο θεωρείται ποιο σημαντικό πρόβλημα για την πόλη μας;» Τα αποτελέσματα φαίνονται στο παρακάτω ραβδόγραμμα. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΠΟΛΗΣ Ποσοστά % Ύδρευση Αποχέτευση Εκληματικότητα Μόλυνση Κυκλοφοριακό Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Α Β Γ Δ 1 Η σχετική συχνότητα της τιμής «Ύδρευση» 35% % 3% 15% είναι: Η συχνότητα της τιμής «Εγκληματικότητα» είναι: 3 Η συχνότητα της τιμής «κυκλοφοριακό» είναι: Το ποσοστό των κατοίκων που δεν θεωρεί 15% 85% 3% % σημαντικό πρόβλημα την «αποχέτευση» είναι: 5 Αν κατασκευάσουμε κυκλικό διάγραµµα, η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στην τιμή «Μόλυνση» θα είναι:

20 4 ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ - ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΑΣΚΗΣΗ : α) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων: β) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο της κατανομής συχνοτήτων: Τιμές Συχνότητες ΑΣΚΗΣΗ 3: Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι ηλικίες των 5 εργαζομένων μιας επιχείρησης: α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Κλάσεις Κέντρο κλάσης Διαλογή Συχνότητες Σχετικές Συχνότητες β) Να εκτιμήσετε τη μέση ηλικία των εργαζομένων της επιχείρησης:

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου ΑΣΚΗΣΗ 1 Κεφάλαιο 4

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. º π 4 Ô. Περιγραφική Στατιστική

ΜΕΡΟΣ Α. º π 4 Ô. Περιγραφική Στατιστική ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Περιγραφική Στατιστική ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ù ÙÈÛÙÈÎ appleôùâïâ Ó applefiûapple ÛÙÔ ÎÔÌÌ ÙÈ ÙË ˆ Ì. Δ appleôùâï ÛÌ Ù ÙˆÓ ÂÎÏÔÁÒÓ, ÔÈ appleúôùèì ÛÂÈ ÙˆÓ Î Ù Ó ÏˆÙÒÓ, ÔÈ ÌÔÓ Â ÙËÏÂı ÛË appleôùâïô

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας 5 6 7 8 9 10 Υπάλληλοι 9 13 6 9 5 4 Α. Να βρεθεί πόσοι υπάλληλοι

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i.

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i. Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μεταβλητή της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα με την κατηγορία που βρίσκεται στη δεξιά στήλη: ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1. ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 2. ΜΙΣΘΟΣ 3.ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ Α. ΠΟΙΟΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα .. ΕΝΟΤΗΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα 9 3 1 7 5 3 6 5 7 5 7 3 6 1 5 1 3 5 α. Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα x i ν i f i f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. α. 3:8 β. 9:10 γ. 132:234 δ. 45:68. 2. Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα:

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. α. 3:8 β. 9:10 γ. 132:234 δ. 45:68. 2. Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κλάσματα Η έννοια του κλάσματος. Να γραφούν σαν κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων 0 δ.. Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα δ.. Ένα σχολείο

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μεταβλητές 1. Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές; Ποιες είναι ποσοτικές; Ποιες από τις ποσοτικές είναι διακριτές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1, αν κ το πλήθος των παρατηρήσεων ενός δείγματος. β)τι εκφράζουν η αθροιστική συχνότητα (

1, αν κ το πλήθος των παρατηρήσεων ενός δείγματος. β)τι εκφράζουν η αθροιστική συχνότητα ( ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 09-11-14 ΘΕΜΑ Α Α1. Να αναφέρετε ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές και σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται. μονάδες 4 Α2.Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

6. Αφού δημιουργήσετε ένα πίνακα 50 θέσεων με ονόματα μαθητών να τον ταξινομήσετε αλφαβητικά με την μέθοδο της φυσαλίδας

6. Αφού δημιουργήσετε ένα πίνακα 50 θέσεων με ονόματα μαθητών να τον ταξινομήσετε αλφαβητικά με την μέθοδο της φυσαλίδας Ανάπτυξη εφαρμογών Γ' Λυκείου Τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ 1. Να γράψετε πρόγραμμα το οποίο:3. Να γράψετε αλγόριθμο ή πρόγραμμα το οποίο: α. Θα δημιουργεί ένα πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού. γ) Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι. (Για τα σχήματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Θέματα: - Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων - Ερμηνεία πινάκων - Πιθανότητες 1 Ερμηνεία και κατασκευή γραφικών παραστάσεων 1. Η αγαπημένη γεύση παγωτού των παιδιών Γεύση

Διαβάστε περισσότερα

(ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΛΥΣΗ. Οι ποιοτικές µεταβλητές που µπορεί να µας ενδιαφέρουν είναι: Ο συνολικός αριθµός πόντων στην περίοδο που έληξε.

(ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ ΛΥΣΗ. Οι ποιοτικές µεταβλητές που µπορεί να µας ενδιαφέρουν είναι: Ο συνολικός αριθµός πόντων στην περίοδο που έληξε. (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Εξετάζουµε τους παίκτες µιας οµάδας µπάσκετ στο τέλος της αγωνιστικής περιόδου. Ποιες µπορεί να είναι οι µεταβλητές που µας ενδιαφέρουν; Να γίνει διάκριση σε ποιοτικές και ποσοτικές. Οι ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ THE G C SCHOOL OF CAREERS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣ: 1 ΩΡΑ 3 ΛΕΠΤΑ Το δοκίμιο αυτό αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος αποτελείται από 15 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά»

5 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 61652-617784 - Fax: 641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 1/5/01 8:00

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1. ο παρακάτω διάγραµµα παρουσιάζει την κατανοµή των οικογενειών ενός χωριού σε σχέση µε τον αριθµό των παιδιών τους. 40 35 Αριθµός οικογενειών 30 25 20 15 10 5 0 0 1

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης 1. Σε ένα ποδοσφαιρικό πρωτάθλημα μετέχουν 16 ομάδες. Κάθε ομάδα παίζει με όλες τις υπόλοιπες ως γηπεδούχος και ως φιλοξενούμενη. Νίκη μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Παράδειγμα 3 Παράδειγμα 5 Παράδειγμα 6 ΔΤ3 ΔΤ4 151

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Παράδειγμα 3 Παράδειγμα 5 Παράδειγμα 6  ΔΤ3 ΔΤ4  151 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Παράδειγμα 3 Σε ένα μετεωρολογικό κέντρο χρειάζεται να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη θερμοκρασία από τις μέσες ημερήσιες θερμοκρασίες ενός μήνα. Να γραφεί ένας αλγόριθμος που θα διαβάζει τη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή - Διάμεσος

Μέση τιμή - Διάμεσος Μέσ τιμή - Διάμεσος Ονομάζεται μέσ τιμή μιας μεταβλτής x και συμβολίζεται x το πλίκο του αθροίσματος όλων των τιμών τς μεταβλτής δια του πλήθους τους. Δλαδή: Όταν έχουμε ένα δείγμα μεγέθους ν με τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ. ΦΕΚ 193 Ημερομηνία ψήφισης 10/09/2013 Ισχύει για τους μαθητές της Α και Β τάξης Λυκείου Σχολικό Έτος 2014-2015

ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ. ΦΕΚ 193 Ημερομηνία ψήφισης 10/09/2013 Ισχύει για τους μαθητές της Α και Β τάξης Λυκείου Σχολικό Έτος 2014-2015 ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΦΕΚ 193 Ημερομηνία ψήφισης 10/09/2013 Ισχύει για τους μαθητές της Α και Β τάξης Λυκείου Σχολικό Έτος 2014-2015 ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΑΓΩΓΗ ΑΠΟΛΥΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ Η/Υ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Καθηγητής Παναγιώτης ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ένας μαθητής της Γ γυμνασίου, για να περάσει το μάθημα της Πληροφορικής θα πρέπει να βγάλει γενικό μέσο όρο (ΓΜΟ) 9.5 Το πρόγραμμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Α'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. ιάταξη φυσικών αριθµών 2. Στρογγυλοποίηση 3. Πρόσθεση-Αφαίρεση-Πολλαπλασιασµός 4. υνάµεις 5. Ευκλείδεια ιαίρεση 6. ιαιρετότητα-μκ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Να γραφεί ο τύπος της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το, πότε με το, το, και πότε με το 9. ( Δώστε παράδειγμα) Ποιοι αριθμοί καλούνται πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα