Odredivanje odziva u električnim kolima

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Odredivanje odziva u električnim kolima"

Transcript

1 Odredivanje odziva u električnim kolima 28. oktobar 2015 Kada se u električno kolo uključe naponski ili strujni generatori dolazi do promjene stanja kola. Na elementima kola se javljaju naponi, a kroz njihove priključne krajeve teku struje. Naponski ili strujni generatori koji djeluju u kolu se zajedničkim imenom nazivaju pobuda (eksitacija), a naponi i struje u kolu se nazivaju odziv kola. Uspostavljanje električne struje u kolu praćeno je i drugim fizičkim pojavama kao što su emitovanje toplote, svjetlosti, mehanički rad, itd. Medutim, sa stanovišta Teorije električnih kola, odzivom kola ćemo smatrati isključivo napone i struje u kolu. Kako bi se odredio odziv kola potrebno je formirati matematički model kola. Pored karakteristika elemenata u model kola se uključuju i modeli veza elemenata. Modeli veza elemenata su Kirhofovi zakoni za struje i napone. 1 Kirhofovi zakoni Neka je c ukupan broj čvorova u kolu, a n broj grana u kolu. Kirhofovim zakonima izražena je veza izmedu vrijednosti struja i napona u svakom čvoru, odnosno, svakoj grani kola, respektivno. 1.1 Kirhofov zakon za struje (KZS) Za svaki čvor u kolu je algebarski zbir struja grana koje se stiču u tom čvoru jednak nuli u svakom trenutku n a kl i l = 0, k = 1, 2,..., c, (1) l=1 pri čemu su vrijednosti koeficijenata 1, grana l je orijentisana od čvora k a kl = 1, grana l je orijentisana ka čvoru k 0, grana l nije vezana za čvor k. (2) 1

2 1.2 Kirhofov zakon za napone (KZN) Za svaku konturu u kolu je algebarski zbir napona grana koje čine konturu jednak nuli u svakom trenutku. n b kl u l = 0, k = 1, 2,..., m, (3) l=1 pri čemu je m broj kontura u kolu, a vrijednosti koeficijenata su 1, grana l pripada konturi k i orijentacije im se podudaraju b kl = 1, grana l pripada konturi k i orijentacije im se ne podudaraju. 0, grana l ne pripada konturi k (4) 1.3 Telegenova teorema U svakom kolu sa koncentrisanim parametrima zbir ulaznih snaga svih grana je jednak nuli u svakom trenutku n p l = l=1 n u l i l = 0. (5) l=1 Telegenova teorema je posljedica Kirhofovih zakona i odražava zakon o održanju energije. 2 Odredivanje odziva u kolima prvog reda Kola prvog reda sadrže jedan dinamički element kondenzator ili kalem. Da bi se pronašao odziv kola potrebno je postaviti jednačine prema Kirhofovim zakonima i jednačine kojima su opisane karakteristike elemenata. Pošto su karakteristie dinamičkih elemenata opisane diferencijalnim operatorima, onda će i jednačine kojima je opisano ponašanje kola biti diferencijalne. Odredivanje odziva u kolima prvog reda razmotrićemo na nekim karakterističnim primjerima. Ukoliko ne naglasimo drugačije smatraćemo da su pasivni elementi kola linearni i vremenski nepromjenljivi. 2.1 Odziv rednog RC kola na uključenje konstantne pobude Dato je redno RC kolo na Slici 1. U kolu se nalazi samo jedan dinamički (reaktivni) element pa se radi o kolu prvog reda. Ovo kolo može biti rezultat 2

3 Slika 1: Redno RC kolo. primjene Tevenenove teoreme na složenije kolo koje sadrži proizvoljan broj naponskih i strujnih generatora, kao i otpornika, ali samo jedan kondenzator, kao npr. na Slici 2. Slika 2: Složeno kolo koje je moguće transformisati u redno RC kolo. U trenutku t = 0, zatvaranjem prekidača P u kolo se uključuje generator konstantnog napona u g (t) = U g. Zbog vremenske nepromjenljivosti kola, trenutak t = 0 može biti proizvoljno izabran. U trenutku zatvaranja prekidača kondenzator je bio opterećen količinom naelektrisanja Q 0 = CU 0. Drugim riječima, u kondenzatoru je bila akumulisana energija koju je odredena naponom U 0 na kondenzatoru u trenutku uključenja pobude. Ovo se može napisati u obliku u C ( 0 ) = U 0. (6) Nakon zatvaranja prekidača kolo je prikazano na Slici 3. Za ovo kolo je moguće napisati jednačinu prema KZN u R + u C = u g, t > 0. (7) 3

4 Slika 3: Redno RC kolo nakon zatvaranja prekidača. Karakteristike elemenata su date sa u R = Ri (8) Smjenom u (7) dobija se i = C du C dt. (9) RC du C dt + u C = u g, t > 0. (10) Uobičajeno je da koeficijent uz izvod najvišeg reda bude jednak jedinici du C dt + 1 RC u C = 1 RC u g, t > 0. (11) Diferencijalna jednačina (11) povezuje ulaznu u g i izlaznu u C veličinu u RC kolu i naziva se relacija ulaz-izlaz (RUI). Dobijena diferencijalna jednačina je nehomogena linearna diferencijalna jednačina prvog reda sa konstantim koeficijentima. Red jednačine odgovara redu kola. Jednačina je diferencijalna zato što je njome opisana linearna mreža. Vremenska nepromjenljivost mreže rezultuje jednačinom sa konstantnim koeficijentima. Ako u (7) izrazimo u C u C = u g u R, i zamijenimo u (11), nakon sredivanja dobijamo du R dt + 1 RC u R = du g, t > 0. (12) dt 4

5 Analogno, ako diferenciramo (11) i imajući u vidu karakteristiku kondenzatora dobijamo di dt + 1 RC i = 1 du g, t > 0. (13) R dt Sve tri diferencijalne jednačine imaju slične osobine. Riješićemo jednačinu (11). Rješenje linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima je oblika u C (t) = u Ch (t) + u Cp (t), t > 0, (14) gdje je u Ch (t) rješenje homogene diferencijalne jednačine, a u Cp (t) partikularno rješenje diferencijalne jednačine. Homogena diferencijalna jednačina je oblika du C dt + 1 RC u C = 0. (15) To je diferencijalna jednačina kojom je opisano ponašanje kola u kojem je ne djeluje pobudni generator. Rješenje homogene diferencijalne jednačine je oblika u Ch (t) = Ke st, (16) gdje su K i s konstante koje treba odrediti. Pošto je (16) rješenje (15) imamo d (Ke st ) dt + 1 RC Kest = 0 Kse st + K 1 RC est = 0. Trivijalno rješenje koje se dobija za K = 0 nije od interesa pa slijedi da mora biti zadovoljena jednačina s + 1 = 0. (17) RC Jednačina (17) se naziva karakteristična jednačina diferencijalne jednačine (15). Ona je ujedno i karakteristična jednačina nehomogene diferencijalne jednačine (11). Veličina τ = RC ima prirodu vremena i naziva se vremenska konstanta kola. Interesantno je uočiti da se ista karakteristična jednačina dobija polazeći od bilo koje od jednačina koje opisuju ovo kolo. Rješenje karakteristične jednačine je karakteristična učestanost kola s = σ 1 = 1 RC. (18) Pošto je karakteristična učestanost kompleksna veličina uobičajeno je da se njihov položaj predstavlja u kompleksnoj ravni. Na Slici 4 je prikazan položaj 5

6 Slika 4: Položaj sopstvene učestanosti RC kola za R > 0 i C > 0. karakteristične učestanosti u kompleksnoj ravni za slučaj pasivnih elemenata, tj. R > 0 i C > 0. Sada je rješenje homogene jednačine u Ch (t) = Ke t RC. Rješenje homogene jednačine se naziva i sopstveni odziv kola pošto ne zavisi od pobude već samo od osobina kola i akumulisane energije. Vrijednost konstante K ćemo odrediti kasnije. Partikularno rješenje diferencijalne jednačine (11) se naziva i prinudni odziv kola jer je posljedica djelovanja pobudnog generatora. Partikularno rješenje ćemo pretpostaviti u istom obliku koji ima i pobuda za t > 0 u Cp U p = const. Partikularno rješenje mora da zadovolji jednačinu (11) pa imamo Odavde je partikularno rješenje Opšti oblik odziva kola je du p dt + 1 RC U p = U g. U p = U g. u C (t) = Ke t RC + Ug, t > 0. (19) Da bismo odredili vrijednost konstante K iskoristićemo početni uslov za napon na kondenzatoru u C ( 0 ) = U 0. (20) 6

7 Pošto je, zbog postojanja otpornika R, struja u kolu ograničena, zadovoljen je uslov teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru pa je početni uslov Iz (19) imamo pa je u C ( 0 + ) = u C (0) = u C ( 0 ). (21) u C (0) = K + U g, K = U 0 U g. Konačno, kompletan odziv RC kola na uključenje konstantne naponske pobude je u C (t) = (U 0 U g ) e t RC + Ug, t 0. (22) Ostale veličine u kolu se mogu odrediti rješavanjem odgovarajućih diferencijalnih jednačina, ali jednostavnije je da se iskoristi dobijeni izraz za u C i jednačine (7) i (8). Iz (7) imamo Struja u kolu je jednaka u R (t) = (U g U 0 ) e t RC, t > 0. i (t) = (U g U 0 ) e t RC, t > 0. R Dobijeni izrazi su opšti, tj. važe i za pasivna i za aktivna kola. U nastavku ćemo više pažnje posvetiti slučaju kada su elementi u kolu pasivni, tj. kada je R > 0 i C > 0. Na Slici 5 su prikazani grafici ovih veličina za slučaj kada je U g > U 0 > 0, a na Slici 6 za slučaj kada je U 0 > U g > 0. Vidimo da u pasivnom kolu, kada t, napon u C (t) teži U g, tj. odzivom kola dominira prinudni odziv. Tada je u kolu završen prelazni režim i uspostavljeno je ustaljeno stanje. Teorijski, ovo se dešava nakon beskonačno mnogov vremena, ali, sa praktičnog stanovišta, može se smatrati da je ustaljeno stanje dostignuto kada sopstveni odziv kola postane mali u odnosu na prinudni odziv. U inženjerskoj praksi uobičajeno je da se smatra da je ustaljeno stanje u kolu dostignuto kada je od uključenja pobude proteklo vrijeme jednako 3 do 5 vremenskih konstanti kola Odziv kola bez akumulisane energije Pretpostavimo sada da u kolu nije bilo akumulisane energije i da je u trenutku t = 0, zatvaranjem prekidača P, u kolo uključen naponski generator. 7

8 Slika 5: Grafici odziva u pasivnom RC kolu za U g > U 0 > 0. 8

9 Slika 6: Grafici odziva u pasivnom RC kolu U 0 > U g > 0. 9

10 Slika 7: Odziv rednog RC kola bez akumulisane energije. Diferencijalna jednačina kojom je opisano kolo je i u ovom slučaju (11). Jedina razlika je u tome što je sada početni uslov jednak nuli u C ( 0 ) = 0. Postupak rješavanja diferencijalne jednačine je identičan prethodno izloženom. Iz (22) odzivi kola su ( ) u C (t) = U g 1 e t RC, t 0, (23) u R (t) = U g e t RC, t > 0, (24) i (t) = U g R e t RC, t > 0. (25) Grafici ovih veličina su prikazani na Slici 7. Razmotrimo razmjenu energije u ovom kolu. Izlazna snaga generatora je p g (t) = u g (t) i (t) = U 2 g 10 R e t RC, t > 0. (26)

11 Energija koju generator predaje kolu u intervalu [0, t] je w g (0, t) = t Ug 2 0 R e t RC dt = U 2 g Ulazna snaga otpornika je R RC ( ) 1 e t RC p R (t) = u R (t) i (t) = Ri 2 (t) = U 2 g Energija koja se gubi u otporniku u intervalu [0, t] je w R (0, t) = t Ug 2 0 R e 2t RC dt = U g 2 R Ulazna snaga kondenzatora je p C (t) = u C (t) i (t) = U 2 g R e RC 2 ( t RC = CU 2 g 2t R e ( ) 1 e 2t RC = CU g e t RC ) = U 2 g R ( ) 1 e t RC. (27) RC. (28) ( e t RC ( ) 1 e 2t RC. (29) ) e 2t RC. (30) Pošto je kondenzator u t = 0 bio neopterećen, energija koja se akumuliše u kondenzatoru je w C (0, t) = Vidimo da vrijedi t Ug 2 0 = CU 2 g = CU 2 g 2 R ) (e t RC e 2t RC dt = (31) ( 1 e t RC ) ( 1 2e t RC CU 2 g 2 + e 2t RC ( ) 1 e 2t RC = (32) ) = (33) = Cu2 C (t). (34) 2 w g (0, t) = w R (0, t) + w C (0, t), t > 0, (35) tj. energija koju generator predaje kolu se troši na rad na uspostavljanju električnog kola u kondenzatoru i energiju koja se gubi u otporniku. Kada t, odnosno kada se završi prelazni režim, ukupna energija koja je akumulisana u kondenzatoru je jednaka W C = CU 2 g 2. (36) 11

12 Slika 8: RC kolo sa akumulisanom energijom Odziv na akumulisanu energiju Ako u kolu ne djeluje generator, ali u trenutku formiranja kola postoji akumulisana energija u kondenzatoru, pojaviće se odziv kola na akumulisanu energiju. Ovaj slučaj odgovara kolu na Slici 8. Diferencijalna jednačina kojom je opisano ovo kolo može se dobiti iz (11) za u g (t) = 0 du C dt + 1 RC u C = 0, t > 0. (37) Ova jednačina je ekvivalentna homogenoj jednačini (15). Postupak njenog rješavanja je identičan postupku rješavanja jednačine (15) s tom razlikom što se vrijednost konstante odreduje odmah jer je partikularno rješenje jednako nuli. U ovom primjeru nećemo ponovo rješavati diferencijalnu jednačinu već ćemo odzive u kolu odrediti na osnovu odziva u opštem slučaju u Ca (t) = U 0 e t RC, t 0, (38) u Ra (t) = U 0 e t RC, t > 0, (39) i a (t) = U 0 R e t RC, t > 0, (40) gdje je indeksom a naznačeno da se radi o odzivu na akumulisanu energiju. Grafici ovih veličina prikazani su na Slici 9. Na Slici su prikazani grafici napona u C (t) za različite vrijednosti vremenske konstante τ = RC. Vidimo da brzina promjene napona na kondenzatoru 12

13 Slika 9: Odziv RC kola na akumulisanu energiju. 13

14 Slika 10: Grafici napona na kondenzatoru za različite vrijednosti vremenske konstante. zavisi od vrijednosti vremenske konstante. Vrijednost vremenske konstante jednaka je dužini intervala u kojem napon na kondenzatoru padne na 1 od e svoje početne vrijednosti. To je mjesto na kojem tangenta na eksponencijalnu krivu u tački t = 0 siječe vremensku osu. Pošto je e 3 = 0, 05, nakon tri vremenske konstante napon na kondenzatoru iznosi 5% početne vrijednosti, a nakon pet vremenskih konstanti napona na kondenzatoru je manji od 1% od početne vrijednosti, jer je e 5 = 0, 007. U većini praktičnih primjena može se smatrati da je nakon pet vremenskih konstanti prelazni proces završen i da je napon na kondenzatoru dosegao svoju konačnu vrijednost. Razmotrimo bilans energija u ovom slučaju. Energija akumulisana u kondenzatoru (energija električnog polja) iznosi Ulazna snaga otpornika za t > 0 je W C = CU (41) p R (t) = u Ra (t) i a (t) = Ri 2 a (t) = RU 2 0 e 2t RC. (42) Energija koja se gubi na otporniku u intervalu [0, t] je w R (0, t) = t 0 RU 2 0 e 2t RC dt = CU ( ) 1 e 2t RC. (43)

15 Kada t energija koja je izgubljena na otporniku iznosi W R = CU = W C (44) i jednaka je energiji koja je bila akumulisana u kondenzatoru Ukupan odziv kola Vidjeli smo da je kompletan odziv RC kola u opštem slučaju odreden jednačinom (22) Preuredivanjem ove jednačine u C (t) = (U 0 U g ) e t RC + Ug, t 0. (45) u C (t) = U 0 e t RC + Ug ( 1 e t RC ), t 0. (46) Vidimo da prvi dio kompletnog odziva odgovara odzivu na akumulisanu energiju, a drugi dio odzivu na uključenje pobude pri čemu je akumulisana energija u kolu jednaka nuli u C (t) = u Ca (t) + u Ce (t). (47) Ova osobina odziva ukazuje na to da je moguće kompletan odziv linearnog kola odrediti metodom superpozicije. U tom slučaju je potrebno posebno odrediti odziv kola na akumulisanu energiju, pri isključenom generatoru, a zatim i odziv kola na uključenje pobude pri čemu je akumulisana energija u kolu jednaka nuli Intuitivna analiza Prethodna analiza daje model za jednostavno odredivanje odziva u rednom RC kolu. Posmatrajmo kolo na Slici 11. Pretpostavimo da je U g > U 0. Na osnovu prethodne analize podijelićemo odziv na tri dijela: (i) početni dio, za t 0 +, (ii) prelazni režim, za t 0 + i (iii) ustaljeno stanje, za t 0 +. U početnom dijelu odziva, za t < 0, prekidač P 1 je otvoren, a P 2 zatvoren. Napon na kondenzatoru iznosi U 0, a struja kroz otpornik i kondenzator je jednaka nuli. Zatim se, još uvijek u početnom dijelu odziva, u trenutku t = 0 otvara prekidač P 2. U slučaju idealnog kondenzatora napon na njemu je i dalje U 0. Kada se u trenutku t = 0 zatvori prekidač P 1 u kolo se uključuje generator U g. Pošto je napon generatora konačan i u kolu postoji otpornik R, ispunjen je uslov teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru tako da je početni uslov u kolu u c (0 + ) = U 0. 15

16 Slika 11: Odredivanje odziva u rednom RC kolu. 16

17 U ustaljenom stanju, za t 0, u kolu je završen prelazni proces. Pošto u kolu djeluje generator konstantnog napona, kondenzator je u potpunosti napunjen i struja u kolu je jednaka nuli. U tom slučaju napon na kondenzatoru je, prema KZN, jednak U g. U praksi možemo smatrati da je ustaljeno stanje nastalo za t > 5RC. U prelaznom režimu napon na kondenzatoru se mijenja od U 0 do U g. Zbog teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru ova promjena ne može biti skokovita. Iz prethodnog odjeljka, znamo da se napon na kondenzatoru mijenja eksponencijalno sa ( vremenskom ) konstantom τ = RC. Veličina može eksponencijalno da raste 1 e t RC ili opada e t RC. U ovom slučaju vrijednost napona eksponencijalno raste od U 0 do U g pa je, za t 0, oblika ( ) u C (t) = U g + (U 0 U g ) 1 e t RC. U opštem slučaju, odziv (napon ili struja) y (t), u kolu prvog reda se može odrediti kao y (t) = y ( ) + [ y ( 0 +) y ( ) ] e t τ = (48) = y ( 0 +) ) e t τ + y ( ) (1 e t τ, (49) gdje su y (0 + ) i y ( ) početna i konačna vrijednost veličine y, respektivno, a τ je vremenska konstanta kola. 2.2 Opšti slučaj odredivanja odziva u kolu prvog reda Linearno vremenski nepromjenljivo kolo prvog reda se može opisati linearnom diferencijalnom jednačinom prvog reda sa konstantnim koeficijentima. Postupak rješavanja proizvoljne linearne diferencijalne jednačine prvog reda sa konstantnim koeficijentima prati korake opisane u slučaju odredivanja odziva rednog RC kola. Dakle, opšte rješenje se traži kao zbir homogenog i partikularnog rješenja jednačine. Pretpostavljajući da homogeno rješenje ima oblik eksponencijalne funkcije i uvrštavajući u homogenu diferencijalnu jednačinu dobijamo karakterističnu jednačinu iz koje odredujemo sopstvenu učestanost kola. Pretpostavljamo da je partikularno rješenje jednačine istog oblika kao pobuda i rješavamo jednačinu pod pretpostavkom da je od uključenja pobude prošlo dovoljno vremena da se u mreži uspostavi ustaljeno stanje. Konačno, konstanta integracije se odreduje iz zadatih početnih uslova. 17

18 2.3 Hevisajdova pobuda Slika 12: Niz odskočnih funkcija. U prethodnom odjeljku smatrali smo da se zatvaranjem prekidača u trenutku t = 0 u kolo uključuje naponski generator konstantnog napona. Realni element koji može trenutno prekinuti ili uspostaviti vezu u kolu ne postoji pa Hevisajdova funkcija predstavlja idealizovani model koji se može posmatrati kao granična vrijednost realnih odskočnih funkcija kao na Slici 12, niza funkcija za koje vrijedi h (t) = lim T 0 h T (t), (50) h T (t) = { 0, t < 0 1, t > T, (51) a u intervalu 0 < t < T funkcija je neprekidna i ima vrijednosti izmedu 0 i 1. Medutim, ako je vrijeme uključenja T mnogo kraće od vremenske konstante kola ono se može zanemariti i smatramo da je uključenje pobude trenutno. Dakle, za Hevisajdovu funkciju h (t) vrijedi { 0, t < 0 h (t) = 1, t > 0. (52) Za t = 0 Hevisajdova funkcija uzima sve vrijednosti izmedu 0 i 1, čime formalno prestaje biti funkcija. Iz ovog razloga često se koristi termin generalizovana funkcija ili distribucija. Grafik Hevisajdove funkcije prikazan je na Slici 13. U literaturi se sreću i varijante Hevisajdove funkcije koje su definisane za t = 0. 18

19 Slika 13: Hevisajdova funkcija. Slika 14: Hevisajdov naponski i strujni generator. Hevisajdova funkcija je bezdimenzionalna veličina. Uključivanje naponskog generatora kao na Slici 14 se može modelovati Hevisajdovom (odskočnom) pobudom u g (t) = U g h (t), (53) a uključivanje strujnog generatora i g (t) = I g h (t). (54) Uključivanje generatora u trenutku t = t 0 se može modelovati pomjerenom Hevisajdovom funkcijom { 0, t < t0 h (t t 0 ) =. (55) 1, t > t 0 Korisno je pomenuti Hevisajdovu funkciju okrenutu u vremenu { 1, t < 0 h ( t) = 0, t > 0. (56) 19

20 Odziv kola bez akumulisane energije na Hevisajdovu pobudu podijeljen vrijednošću skoka pobude naziva se indiciona funkcija kola. Koristi se još i termin odskočni odziv kola. Kolo je u potpunosti karakterisano svojom indicionom funkcijom. Kasnije ćemo vidjeti da je, ukoliko je poznata indiciona funkcija, moguće odrediti odziv kola na proizvoljnu pobudu. Indiciona funkcija zavisi od veličine koja je izabrana za odziv kola. Za redno RC kolo indiciona funkcija u odnosu na napon u C je f uc (t) = u C (t) ( ) = 1 e t RC h (t). (57) U g U gornjoj jednačini Hevisajdova funkcija ukazuje na činjenicu da je vrijednost indicione funkcije za t < 0 jednaka nuli. Pošto se odziv u kolu javlja tek kada se uključi pobuda radi se o kauzalnom kolu. Ako se odziv u kolu javlja prije uključenja pobude, radi se o nekauzalnom kolu. Pravougaoni impuls je funkcija koja ima nenultu vrijednost samo u intervalu (t 1, t 2 ) konačnog trajanja u (t) = 0, t < t 1 1, t 1 < t < t 2. (58) 0, t > t 2 Ako napon naponskog generatora ima oblik pravougaonog impulsa kao na Slici 15 on se može predstaviti pomoću Hevisajdovih funkcija u (t) = U g h (t t 1 ) U g h (t t 2 ), što je ilustrovano na Slici 16. U tom slučaju možemo smatrati da se kolo pobuduje rednom vezom naponskih generatora napona u g1 (t) = U g h (t t 1 ) i u g2 (t) = U g h (t t 2 ) povezanih kao na Slici. Posmatrajmo odziv rednog RC kola bez akumulisane energije na pravougaoni impuls prikazan na Slici. Ekvivalentna šema je prikazana na Slici. Pošto je kolo linearno, odziv u kolu možemo naći korištenjem teoreme superpozicije. Pretpostavimo da u kolu djeluje samo generator u g1 = U g h (t). Odziv je sada jednak odzivu na konstatnu pobudu koja je uključena u trenutku t = 0 i dat je jednačinom (23) ( ) u C1 (t) = U g 1 e t RC, t 0. Kada u kolu djeluje samo generator u g2 = U g h (t t 1 ), na osnovu osobine vremenske nepromjenljivosti, odziv je jednak ( ) u C2 (t) = U g 1 e t t 1 RC, t t 1. 20

21 Slika 15: Pravougaoni impuls. Slika 16: Reprezentacija pravougaonog impulsa pomoću Hevisajdovih pobuda. 21

22 Slika 17: Generisanje pravougaonog impulsa pomoću dva odskočna generatora. Kompletan odziv je jednak superpoziciji ova dva odziva u C (t) = u C1 (t) + u C2 (t) = ( ) U g 1 e t RC, 0 t < t 1 = ( ) ( ) U g 1 e t RC U g 1 e t t 1 RC, t t 1 ( ) U g 1 e t RC, 0 t < t 1 = ( ). U g e t 1 RC 1 e t RC, t t 1 Ovo se može napisati i u obliku ( ) ( u C (t) = U g 1 e t RC h (t) U g = U g f (t) U g f (t t 1 ), 1 e t t 1 RC ) h (t t 1 ) = gdje je f (t) indiciona funkcija kola. Za dovoljno dugačak impuls t 1 > 5RC možemo smatrati da se prelazni režim u kolu završio u toku trajanja impulsa pa odziv ima oblik kao na Slici 18. Za kraći impuls prelazni režim u kolu se ne završi već se u kolu javlja odziv na energiju akumulisanu tokom trajanja impulsa kao na Slici 19. Zanimljiv je poseban slučaj kada je t 1 RC. Tada se drugi član u jednačini (11) može zanemariti pa imamo du C = 1 dt RC u g, t > 0. Rješenje ove diferencijalne jednačine je u C (t) = u C ( 0 + ) + 1 RC 22 t 0 u g (t ) dt.

23 Slika 18: Odziv rednog RC kola na pravougaoni impuls dužine t 1 > 5RC. Slika 19: Odziv rednog RC kola na pravougaoni impuls dužine t 1 < 3RC. Dakle, kolo se ponaša kao integrator i odziv je prikazan na Slici Impulsna pobuda Kada se trajanje impulsa smanjuje, uz jednovremeno povećavanje njegove amplitude, pri čemu se površina ispod funkcije održava konstantnom, kao na Slici 21, u graničnoj vrijednosti dobija se Dirakova (jedinična impulsna, delta) funkcija δ (t). U ovom graničnom procesu, tačan oblik impulsa nije bitan. Dirakova funkcija je definisana izrazom 0, t 0 δ (t) =, t = 0. (59) δ (t) dt = 1 Grafički se Dirakova funkcija predstavlja kao na Slici 21. Dirakova funkcija formalno nije funkcija pa se u matematici često koriste i termini generalisana funkcija i distribucija. Površina ispod Dirakove funkcije je jednaka jedinici jačina udara Dirakove funkcije je jednaka jedinici. Pošto je vrijednost 23

24 Slika 20: Odziv rednog RC kola na pravougaoni impuls dužine t 1 RC. Slika 21: Dirakova funkcija Dirakove funkcije nula za t 0 onda vrijedi δ (t) dt = 0 + Neka je f (t) neprekidna funkcija. Tada vrijedi 0 δ (t) dt = 1. (60) f (t) δ (t) = f (0). (61) Ova osobina se naziva osobina odabiranja Dirakove funkcije i u teoriji distribucija predstavlja definiciju Dirakove funkcije. Na osnovu osobine odabiranja Dirakove funkcije slijedi da je za funkciju f (t) neprekidnu u t = 0 f (t) δ (t) = f (0) δ (t). (62) Posmatrajmo sada kratak pravougaoni impuls trajanja T i amplitude 1/T. Ovaj impuls se može napisati u obliku δ T (t) = 1 T h (t) 1 h (t T ). (63) T 24

25 Granična vrijednost niza pravougaonih impulsa kada T 0 je Dirakova funkcija δ (t) = lim δ T (t) = (64) T 0 [ 1 = lim T 0 T h (t) 1 ] T h (t T ) = (65) h (t) h (t T ) = lim = (66) T 0 T dh (t) =. (67) dt Dakle, Dirakova funkcija je jednaka izvodu Hevisajdove funkcije. Vrijedi i invezna relacija h (t) = t δ (t ) dt. (68) Pošto je Hevisajdova funkcija bezdimenziona veličina, Dirakova funkcija ima dimenziju frekvencije, odnosno, recipročna je vremenu. Neka je dato kolo na Slici 22. Pretpostavimo da u kolu nema akumulisane energije i da pobudni generator ima oblik Hevisajdove funkcije u g (t) = Uh (t). Prema KZN diferencijalna jednačina kojom je opisano ovo kolo za t > 0 je u C = u g. U ovom slučaju napon na kondenzatoru je u C = Uh (t) i skokovito se mijenja u trenutku t = 0. Struja u kolu je jednaka i = C du C dt = = C du g dt = = CUδ (t). Dakle, u trenutku t = 0 struja je beskonačnog intenziteta pa se i napon na kondenzatoru mogao promijeniti skokovito. Količina naelektrisanja koju generator prenese kondenzatoru za t > 0 je jednaka Q = CU. Neka se sada kolo sa kondnezatorom pobuduje idealnim strujnim generatorom čija struja ima oblik Dirakove funkcije i g (t) = Qδ (t), kao što je prikazano na Slici 23. Pretpostavimo da u kolu nema akumulisane energije. Jačina udara pobude jednaka je integralu pobude, odnosno, i g (t ) dt = Q 25 δ (t ) dt = Q. (69)

26 Slika 22: Kondenzator priključen na odskočni naponski generator. Slika 23: Kondenzator priključen na impulsni strujni generator. Jačina udara pobude u ovom slučaju je jednaka Q. Pošto u kolu nema akumulisane energije, napon na kondenzatoru za t > 0 je u C (t) = 1 C i g (t ) dt = 1 C Q δ (t ) dt = 1 Qh (t). C Dakle, impulsni strujni generator jačine udara Q će prenijeti količinu naelektrisanja Q kulona kondenzatoru, uzrokujući skok napona na Q. Dakle, kao C što slijedi iz teoreme kontinuiteta, da bi se napon na kondenzatoru skokovito promijenio, struja u kolu mora biti beskonačnog intenziteta. Analogno vrijedi za promjenu struje kalema. Impulsni naponski generator jačine udara Φ će izazvati fluks od Φ vebera u kalemu, uzrokujući skok struje na Φ. L Pobudni generator čiji je napon, odnosno, struja oblika Dirakovog impulsa nije moguće realizovati. Medutim, u slučajevima kada je pobudni impuls vrlo kratkog trajanja u odnosu na vremensku konstantu kola, Dirakov impuls predstavlja koristan matematički model koji značajno pojednostavljuje analizu kola. 26

27 2.5 Odredivanje odziva na impulsnu pobudu Neka je pobuda u linearnom vremenski nepromjenljivom kolu, bez akumulisane energije, oblika u gt (t) = U g T δ T (t) = U g T Već je pokazano da je u tom slučaju odziv jednak u T (t) = U g T δ T (t) = U g T h (t) h (t T ). (70) T f (t) f (t T ). (71) T Kada T 0 uz U g T = Φ = const, pobuda teži impulsnoj funkciji u g (t) = U g T δ (t) = Φδ (t). Zanimljivo je primjetiti da jačina udara pobude ima dimenziju proizvoda napona i vremena, odnosno fluksa. Razlog za ovo je, kao što je pomenuto u prethodnom odjeljku, što bi impulsni naponski generator izazvao fluks od Φ vebera u kalemu, odnosno, skok struje od Φ. U tom L slučaju odziv je f (t) f (t T ) u (t) = lim u T (t) = lim U g δ T (t) = U g T T 0 T 0 T = U g T df (t), (72) dt odnosno, df (t) u (t) = Φ. (73) dt Količnik odziva na impulsnu pobudu (pri nultim početnim uslovima) i jačine udara impulsne pobude naziva se Grinova funkcija mreže g (t) = u (t) Φ, (74) Iz (72) vidimo da je Grinova funkcija mreže jednaka izvodu njene indicione funkcije df (t) g (t) =. (75) dt Posmatrajmo redno RC kolo prikazano na Slici 24 u kojem djeluje impulsni naponski generator napona u g (t) = Φδ (t). Odredimo Grinovu funkciju ovog kola za napon na kondenzatoru. Zadatak je moguće riješiti na više načina. Prvi način je posredno odredivanje Grinove funkcije, korišćenjem indicione funkcije kola. Da bismo odredili indicionu kola, pretpostavimo da je napon naponskog generatora oblika u g (t) = U g h (t), kao na Slici 25 i da u kolu nema akumulisane energije u C (0 ) = 0. Diferencijalna jednačina za napon na kondenzatoru je du C dt + 1 RC u C = 1 RC u g, t > 0. 27

28 Slika 24: Redno RC kolo pobudeno impulsnim generatorom. Slika 25: Redno RC kolo pobudeno Hevisajdovim generatorom. 28

29 Rješenje ove jednačine je oblika u C (t) = u C h (t) + u C p (t). Već je pokazano da je homogeno rješenje u Ch (t) = Ke t RC. Partikularno rješenje dobijamo posmatrajući diferencijalnu jednačinu za t > 0. Tada je pobuda konstantna pa i rješenje dobijamo u istom obliku Dakle, opšte rješenje je u Cp (t) U p = U g. u C (t) = U g + Ke t RC, t > 0. Vrijednost konstante K dobijamo iz početnog uslova za napon u C (0 + ). Pošto je, zbog konačnog skoka napona generatora i konačne vrijednosti otpornosti, struja u kolu ograničena, zadovoljen je uslov teoreme kontinuiteta i u C (0 + ) = u C (0 ) = 0. U ovom slučaju kažemo da je komutacija u kolu regularna. Odavde se dobija K = U g, pa je Indiciona funkcija kola je ( ) u C (t) = U g 1 e t RC h (t). f (t) = u C (t) ( ) = 1 e t RC h (t). U g Sada se Grinova funkcija može izračunati kao g (t) = df (t) dt ( t RC e RC h (t) + = 1 1 e t RC ) δ (t). Na osnovu osobine odabiranja Dirakove funkcije drugi član sume je jednak nuli pa imamo konačno g (t) = 1 RC e t RC h (t). Zadatak je moguće riješiti i direktno, rješavanjem diferencijalne jednačine du C dt + 1 RC u C = 29 Φ RC δ (t),

30 uz početni uslov u C (0 ) = 0. Homogeno rješenje je ponovo u Ch (t) = Ke t RC. Pošto je pobuda jednaka nuli za t > 0 onda je partikularno rješenje takode jednako nuli u Cp (t) = 0. Dakle, opšte rješenje je u C (t) = Ke t RC h (t). Vrijednost konstante K se pronalazi iz početnih uslova. Medutim, pošto u kolu djeluje impulsni generator, vrijednost napona, a time i struje u kolu u trenutku t = 0 je beskonačna pa ne vrijedi teorema kontinuiteta i u C (0 + ) u C (0 ). Komutacija u kolu je neregularna. Uvrštavanjem opšteg rješenja u diferencijalnu jednačinu dobija se odakle slijedi K RC e t RC h (t) + Ke t RC δ (t) + K pa je Grinova funkcija K = Φ RC g (t) = u C (t) Φ = 1 RC e RC e t t RC h (t) = RC h (t). Φ RC δ (t), 30

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

MAGNETNO SPREGNUTA KOLA

MAGNETNO SPREGNUTA KOLA MAGNETNO SPEGNTA KOA Zadatak broj. Parametri mreže predstavljene na slici su otpornost otpornika, induktivitet zavojnica, te koeficijent manetne spree zavojnica k. Ako je na krajeve mreže -' priključen

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu 13. januar 016 Posmatrajmo kolo koje se sastoji od dvije podmreže M i N, kao na Slici 1. U kolu je uspostavljen ustaljeni prostoperiodični režim i ulazni napon

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Analiza mreža u frekvencijskom domenu

Analiza mreža u frekvencijskom domenu Analiza mreža u frekvencijskom domenu 23. decembar 205 U ovom poglavlju ćemo se okrenuti analizi prinudnog odziva mreža na prostoperiodičnu pobudu, odnosno, analizi linearnih, vremenski nepromjenljivih,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Mreže sa dva pristupa

Mreže sa dva pristupa Mreže sa dva pristupa 18. novembar 2015 Mreža sa dva pristupa je električna mreža sa dva para priključaka kojima se povezuje sa drugim mrežama (kolima), Slika 1. Dva priključka čine pristup ako je struja

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Kola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

Kola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu Kola u ustalenom prostoperiodičnom režimu svi naponi i sve strue u kolu su prostoperiodične (sinusoidalne ili kosinusoidalne funkcie vremena sa istom kružnom učestanošću i u opštem slučau različitim fazama

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k.

Funkcija prenosa. Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k. OT3OS1 7.11.217. Definicije Funkcija prenosa Funkcija prenosa se definiše kao količnik z transformacija odziva i pobude. Za LTI sistem: y n h k x n k Y z X z k Z y n Z h n Z x n Y z H z X z H z H z n h

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

1 Obične diferencijalne jednadžbe

1 Obične diferencijalne jednadžbe 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f

Διαβάστε περισσότερα

Topologija električnih mreža

Topologija električnih mreža Topologija električnih mreža 16. decembar 215 Već je pomenuto da se električna mreža može matematički opisati korištenjem modela (karakteristika) elemenata i modela njihovih veza. Modeli elemenata i načina

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

> 0 svakako zadovoljen.

> 0 svakako zadovoljen. Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b)

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα