Odredivanje odziva u električnim kolima

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Odredivanje odziva u električnim kolima"

Transcript

1 Odredivanje odziva u električnim kolima 28. oktobar 2015 Kada se u električno kolo uključe naponski ili strujni generatori dolazi do promjene stanja kola. Na elementima kola se javljaju naponi, a kroz njihove priključne krajeve teku struje. Naponski ili strujni generatori koji djeluju u kolu se zajedničkim imenom nazivaju pobuda (eksitacija), a naponi i struje u kolu se nazivaju odziv kola. Uspostavljanje električne struje u kolu praćeno je i drugim fizičkim pojavama kao što su emitovanje toplote, svjetlosti, mehanički rad, itd. Medutim, sa stanovišta Teorije električnih kola, odzivom kola ćemo smatrati isključivo napone i struje u kolu. Kako bi se odredio odziv kola potrebno je formirati matematički model kola. Pored karakteristika elemenata u model kola se uključuju i modeli veza elemenata. Modeli veza elemenata su Kirhofovi zakoni za struje i napone. 1 Kirhofovi zakoni Neka je c ukupan broj čvorova u kolu, a n broj grana u kolu. Kirhofovim zakonima izražena je veza izmedu vrijednosti struja i napona u svakom čvoru, odnosno, svakoj grani kola, respektivno. 1.1 Kirhofov zakon za struje (KZS) Za svaki čvor u kolu je algebarski zbir struja grana koje se stiču u tom čvoru jednak nuli u svakom trenutku n a kl i l = 0, k = 1, 2,..., c, (1) l=1 pri čemu su vrijednosti koeficijenata 1, grana l je orijentisana od čvora k a kl = 1, grana l je orijentisana ka čvoru k 0, grana l nije vezana za čvor k. (2) 1

2 1.2 Kirhofov zakon za napone (KZN) Za svaku konturu u kolu je algebarski zbir napona grana koje čine konturu jednak nuli u svakom trenutku. n b kl u l = 0, k = 1, 2,..., m, (3) l=1 pri čemu je m broj kontura u kolu, a vrijednosti koeficijenata su 1, grana l pripada konturi k i orijentacije im se podudaraju b kl = 1, grana l pripada konturi k i orijentacije im se ne podudaraju. 0, grana l ne pripada konturi k (4) 1.3 Telegenova teorema U svakom kolu sa koncentrisanim parametrima zbir ulaznih snaga svih grana je jednak nuli u svakom trenutku n p l = l=1 n u l i l = 0. (5) l=1 Telegenova teorema je posljedica Kirhofovih zakona i odražava zakon o održanju energije. 2 Odredivanje odziva u kolima prvog reda Kola prvog reda sadrže jedan dinamički element kondenzator ili kalem. Da bi se pronašao odziv kola potrebno je postaviti jednačine prema Kirhofovim zakonima i jednačine kojima su opisane karakteristike elemenata. Pošto su karakteristie dinamičkih elemenata opisane diferencijalnim operatorima, onda će i jednačine kojima je opisano ponašanje kola biti diferencijalne. Odredivanje odziva u kolima prvog reda razmotrićemo na nekim karakterističnim primjerima. Ukoliko ne naglasimo drugačije smatraćemo da su pasivni elementi kola linearni i vremenski nepromjenljivi. 2.1 Odziv rednog RC kola na uključenje konstantne pobude Dato je redno RC kolo na Slici 1. U kolu se nalazi samo jedan dinamički (reaktivni) element pa se radi o kolu prvog reda. Ovo kolo može biti rezultat 2

3 Slika 1: Redno RC kolo. primjene Tevenenove teoreme na složenije kolo koje sadrži proizvoljan broj naponskih i strujnih generatora, kao i otpornika, ali samo jedan kondenzator, kao npr. na Slici 2. Slika 2: Složeno kolo koje je moguće transformisati u redno RC kolo. U trenutku t = 0, zatvaranjem prekidača P u kolo se uključuje generator konstantnog napona u g (t) = U g. Zbog vremenske nepromjenljivosti kola, trenutak t = 0 može biti proizvoljno izabran. U trenutku zatvaranja prekidača kondenzator je bio opterećen količinom naelektrisanja Q 0 = CU 0. Drugim riječima, u kondenzatoru je bila akumulisana energija koju je odredena naponom U 0 na kondenzatoru u trenutku uključenja pobude. Ovo se može napisati u obliku u C ( 0 ) = U 0. (6) Nakon zatvaranja prekidača kolo je prikazano na Slici 3. Za ovo kolo je moguće napisati jednačinu prema KZN u R + u C = u g, t > 0. (7) 3

4 Slika 3: Redno RC kolo nakon zatvaranja prekidača. Karakteristike elemenata su date sa u R = Ri (8) Smjenom u (7) dobija se i = C du C dt. (9) RC du C dt + u C = u g, t > 0. (10) Uobičajeno je da koeficijent uz izvod najvišeg reda bude jednak jedinici du C dt + 1 RC u C = 1 RC u g, t > 0. (11) Diferencijalna jednačina (11) povezuje ulaznu u g i izlaznu u C veličinu u RC kolu i naziva se relacija ulaz-izlaz (RUI). Dobijena diferencijalna jednačina je nehomogena linearna diferencijalna jednačina prvog reda sa konstantim koeficijentima. Red jednačine odgovara redu kola. Jednačina je diferencijalna zato što je njome opisana linearna mreža. Vremenska nepromjenljivost mreže rezultuje jednačinom sa konstantnim koeficijentima. Ako u (7) izrazimo u C u C = u g u R, i zamijenimo u (11), nakon sredivanja dobijamo du R dt + 1 RC u R = du g, t > 0. (12) dt 4

5 Analogno, ako diferenciramo (11) i imajući u vidu karakteristiku kondenzatora dobijamo di dt + 1 RC i = 1 du g, t > 0. (13) R dt Sve tri diferencijalne jednačine imaju slične osobine. Riješićemo jednačinu (11). Rješenje linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima je oblika u C (t) = u Ch (t) + u Cp (t), t > 0, (14) gdje je u Ch (t) rješenje homogene diferencijalne jednačine, a u Cp (t) partikularno rješenje diferencijalne jednačine. Homogena diferencijalna jednačina je oblika du C dt + 1 RC u C = 0. (15) To je diferencijalna jednačina kojom je opisano ponašanje kola u kojem je ne djeluje pobudni generator. Rješenje homogene diferencijalne jednačine je oblika u Ch (t) = Ke st, (16) gdje su K i s konstante koje treba odrediti. Pošto je (16) rješenje (15) imamo d (Ke st ) dt + 1 RC Kest = 0 Kse st + K 1 RC est = 0. Trivijalno rješenje koje se dobija za K = 0 nije od interesa pa slijedi da mora biti zadovoljena jednačina s + 1 = 0. (17) RC Jednačina (17) se naziva karakteristična jednačina diferencijalne jednačine (15). Ona je ujedno i karakteristična jednačina nehomogene diferencijalne jednačine (11). Veličina τ = RC ima prirodu vremena i naziva se vremenska konstanta kola. Interesantno je uočiti da se ista karakteristična jednačina dobija polazeći od bilo koje od jednačina koje opisuju ovo kolo. Rješenje karakteristične jednačine je karakteristična učestanost kola s = σ 1 = 1 RC. (18) Pošto je karakteristična učestanost kompleksna veličina uobičajeno je da se njihov položaj predstavlja u kompleksnoj ravni. Na Slici 4 je prikazan položaj 5

6 Slika 4: Položaj sopstvene učestanosti RC kola za R > 0 i C > 0. karakteristične učestanosti u kompleksnoj ravni za slučaj pasivnih elemenata, tj. R > 0 i C > 0. Sada je rješenje homogene jednačine u Ch (t) = Ke t RC. Rješenje homogene jednačine se naziva i sopstveni odziv kola pošto ne zavisi od pobude već samo od osobina kola i akumulisane energije. Vrijednost konstante K ćemo odrediti kasnije. Partikularno rješenje diferencijalne jednačine (11) se naziva i prinudni odziv kola jer je posljedica djelovanja pobudnog generatora. Partikularno rješenje ćemo pretpostaviti u istom obliku koji ima i pobuda za t > 0 u Cp U p = const. Partikularno rješenje mora da zadovolji jednačinu (11) pa imamo Odavde je partikularno rješenje Opšti oblik odziva kola je du p dt + 1 RC U p = U g. U p = U g. u C (t) = Ke t RC + Ug, t > 0. (19) Da bismo odredili vrijednost konstante K iskoristićemo početni uslov za napon na kondenzatoru u C ( 0 ) = U 0. (20) 6

7 Pošto je, zbog postojanja otpornika R, struja u kolu ograničena, zadovoljen je uslov teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru pa je početni uslov Iz (19) imamo pa je u C ( 0 + ) = u C (0) = u C ( 0 ). (21) u C (0) = K + U g, K = U 0 U g. Konačno, kompletan odziv RC kola na uključenje konstantne naponske pobude je u C (t) = (U 0 U g ) e t RC + Ug, t 0. (22) Ostale veličine u kolu se mogu odrediti rješavanjem odgovarajućih diferencijalnih jednačina, ali jednostavnije je da se iskoristi dobijeni izraz za u C i jednačine (7) i (8). Iz (7) imamo Struja u kolu je jednaka u R (t) = (U g U 0 ) e t RC, t > 0. i (t) = (U g U 0 ) e t RC, t > 0. R Dobijeni izrazi su opšti, tj. važe i za pasivna i za aktivna kola. U nastavku ćemo više pažnje posvetiti slučaju kada su elementi u kolu pasivni, tj. kada je R > 0 i C > 0. Na Slici 5 su prikazani grafici ovih veličina za slučaj kada je U g > U 0 > 0, a na Slici 6 za slučaj kada je U 0 > U g > 0. Vidimo da u pasivnom kolu, kada t, napon u C (t) teži U g, tj. odzivom kola dominira prinudni odziv. Tada je u kolu završen prelazni režim i uspostavljeno je ustaljeno stanje. Teorijski, ovo se dešava nakon beskonačno mnogov vremena, ali, sa praktičnog stanovišta, može se smatrati da je ustaljeno stanje dostignuto kada sopstveni odziv kola postane mali u odnosu na prinudni odziv. U inženjerskoj praksi uobičajeno je da se smatra da je ustaljeno stanje u kolu dostignuto kada je od uključenja pobude proteklo vrijeme jednako 3 do 5 vremenskih konstanti kola Odziv kola bez akumulisane energije Pretpostavimo sada da u kolu nije bilo akumulisane energije i da je u trenutku t = 0, zatvaranjem prekidača P, u kolo uključen naponski generator. 7

8 Slika 5: Grafici odziva u pasivnom RC kolu za U g > U 0 > 0. 8

9 Slika 6: Grafici odziva u pasivnom RC kolu U 0 > U g > 0. 9

10 Slika 7: Odziv rednog RC kola bez akumulisane energije. Diferencijalna jednačina kojom je opisano kolo je i u ovom slučaju (11). Jedina razlika je u tome što je sada početni uslov jednak nuli u C ( 0 ) = 0. Postupak rješavanja diferencijalne jednačine je identičan prethodno izloženom. Iz (22) odzivi kola su ( ) u C (t) = U g 1 e t RC, t 0, (23) u R (t) = U g e t RC, t > 0, (24) i (t) = U g R e t RC, t > 0. (25) Grafici ovih veličina su prikazani na Slici 7. Razmotrimo razmjenu energije u ovom kolu. Izlazna snaga generatora je p g (t) = u g (t) i (t) = U 2 g 10 R e t RC, t > 0. (26)

11 Energija koju generator predaje kolu u intervalu [0, t] je w g (0, t) = t Ug 2 0 R e t RC dt = U 2 g Ulazna snaga otpornika je R RC ( ) 1 e t RC p R (t) = u R (t) i (t) = Ri 2 (t) = U 2 g Energija koja se gubi u otporniku u intervalu [0, t] je w R (0, t) = t Ug 2 0 R e 2t RC dt = U g 2 R Ulazna snaga kondenzatora je p C (t) = u C (t) i (t) = U 2 g R e RC 2 ( t RC = CU 2 g 2t R e ( ) 1 e 2t RC = CU g e t RC ) = U 2 g R ( ) 1 e t RC. (27) RC. (28) ( e t RC ( ) 1 e 2t RC. (29) ) e 2t RC. (30) Pošto je kondenzator u t = 0 bio neopterećen, energija koja se akumuliše u kondenzatoru je w C (0, t) = Vidimo da vrijedi t Ug 2 0 = CU 2 g = CU 2 g 2 R ) (e t RC e 2t RC dt = (31) ( 1 e t RC ) ( 1 2e t RC CU 2 g 2 + e 2t RC ( ) 1 e 2t RC = (32) ) = (33) = Cu2 C (t). (34) 2 w g (0, t) = w R (0, t) + w C (0, t), t > 0, (35) tj. energija koju generator predaje kolu se troši na rad na uspostavljanju električnog kola u kondenzatoru i energiju koja se gubi u otporniku. Kada t, odnosno kada se završi prelazni režim, ukupna energija koja je akumulisana u kondenzatoru je jednaka W C = CU 2 g 2. (36) 11

12 Slika 8: RC kolo sa akumulisanom energijom Odziv na akumulisanu energiju Ako u kolu ne djeluje generator, ali u trenutku formiranja kola postoji akumulisana energija u kondenzatoru, pojaviće se odziv kola na akumulisanu energiju. Ovaj slučaj odgovara kolu na Slici 8. Diferencijalna jednačina kojom je opisano ovo kolo može se dobiti iz (11) za u g (t) = 0 du C dt + 1 RC u C = 0, t > 0. (37) Ova jednačina je ekvivalentna homogenoj jednačini (15). Postupak njenog rješavanja je identičan postupku rješavanja jednačine (15) s tom razlikom što se vrijednost konstante odreduje odmah jer je partikularno rješenje jednako nuli. U ovom primjeru nećemo ponovo rješavati diferencijalnu jednačinu već ćemo odzive u kolu odrediti na osnovu odziva u opštem slučaju u Ca (t) = U 0 e t RC, t 0, (38) u Ra (t) = U 0 e t RC, t > 0, (39) i a (t) = U 0 R e t RC, t > 0, (40) gdje je indeksom a naznačeno da se radi o odzivu na akumulisanu energiju. Grafici ovih veličina prikazani su na Slici 9. Na Slici su prikazani grafici napona u C (t) za različite vrijednosti vremenske konstante τ = RC. Vidimo da brzina promjene napona na kondenzatoru 12

13 Slika 9: Odziv RC kola na akumulisanu energiju. 13

14 Slika 10: Grafici napona na kondenzatoru za različite vrijednosti vremenske konstante. zavisi od vrijednosti vremenske konstante. Vrijednost vremenske konstante jednaka je dužini intervala u kojem napon na kondenzatoru padne na 1 od e svoje početne vrijednosti. To je mjesto na kojem tangenta na eksponencijalnu krivu u tački t = 0 siječe vremensku osu. Pošto je e 3 = 0, 05, nakon tri vremenske konstante napon na kondenzatoru iznosi 5% početne vrijednosti, a nakon pet vremenskih konstanti napona na kondenzatoru je manji od 1% od početne vrijednosti, jer je e 5 = 0, 007. U većini praktičnih primjena može se smatrati da je nakon pet vremenskih konstanti prelazni proces završen i da je napon na kondenzatoru dosegao svoju konačnu vrijednost. Razmotrimo bilans energija u ovom slučaju. Energija akumulisana u kondenzatoru (energija električnog polja) iznosi Ulazna snaga otpornika za t > 0 je W C = CU (41) p R (t) = u Ra (t) i a (t) = Ri 2 a (t) = RU 2 0 e 2t RC. (42) Energija koja se gubi na otporniku u intervalu [0, t] je w R (0, t) = t 0 RU 2 0 e 2t RC dt = CU ( ) 1 e 2t RC. (43)

15 Kada t energija koja je izgubljena na otporniku iznosi W R = CU = W C (44) i jednaka je energiji koja je bila akumulisana u kondenzatoru Ukupan odziv kola Vidjeli smo da je kompletan odziv RC kola u opštem slučaju odreden jednačinom (22) Preuredivanjem ove jednačine u C (t) = (U 0 U g ) e t RC + Ug, t 0. (45) u C (t) = U 0 e t RC + Ug ( 1 e t RC ), t 0. (46) Vidimo da prvi dio kompletnog odziva odgovara odzivu na akumulisanu energiju, a drugi dio odzivu na uključenje pobude pri čemu je akumulisana energija u kolu jednaka nuli u C (t) = u Ca (t) + u Ce (t). (47) Ova osobina odziva ukazuje na to da je moguće kompletan odziv linearnog kola odrediti metodom superpozicije. U tom slučaju je potrebno posebno odrediti odziv kola na akumulisanu energiju, pri isključenom generatoru, a zatim i odziv kola na uključenje pobude pri čemu je akumulisana energija u kolu jednaka nuli Intuitivna analiza Prethodna analiza daje model za jednostavno odredivanje odziva u rednom RC kolu. Posmatrajmo kolo na Slici 11. Pretpostavimo da je U g > U 0. Na osnovu prethodne analize podijelićemo odziv na tri dijela: (i) početni dio, za t 0 +, (ii) prelazni režim, za t 0 + i (iii) ustaljeno stanje, za t 0 +. U početnom dijelu odziva, za t < 0, prekidač P 1 je otvoren, a P 2 zatvoren. Napon na kondenzatoru iznosi U 0, a struja kroz otpornik i kondenzator je jednaka nuli. Zatim se, još uvijek u početnom dijelu odziva, u trenutku t = 0 otvara prekidač P 2. U slučaju idealnog kondenzatora napon na njemu je i dalje U 0. Kada se u trenutku t = 0 zatvori prekidač P 1 u kolo se uključuje generator U g. Pošto je napon generatora konačan i u kolu postoji otpornik R, ispunjen je uslov teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru tako da je početni uslov u kolu u c (0 + ) = U 0. 15

16 Slika 11: Odredivanje odziva u rednom RC kolu. 16

17 U ustaljenom stanju, za t 0, u kolu je završen prelazni proces. Pošto u kolu djeluje generator konstantnog napona, kondenzator je u potpunosti napunjen i struja u kolu je jednaka nuli. U tom slučaju napon na kondenzatoru je, prema KZN, jednak U g. U praksi možemo smatrati da je ustaljeno stanje nastalo za t > 5RC. U prelaznom režimu napon na kondenzatoru se mijenja od U 0 do U g. Zbog teoreme o neprekidnosti napona na kondenzatoru ova promjena ne može biti skokovita. Iz prethodnog odjeljka, znamo da se napon na kondenzatoru mijenja eksponencijalno sa ( vremenskom ) konstantom τ = RC. Veličina može eksponencijalno da raste 1 e t RC ili opada e t RC. U ovom slučaju vrijednost napona eksponencijalno raste od U 0 do U g pa je, za t 0, oblika ( ) u C (t) = U g + (U 0 U g ) 1 e t RC. U opštem slučaju, odziv (napon ili struja) y (t), u kolu prvog reda se može odrediti kao y (t) = y ( ) + [ y ( 0 +) y ( ) ] e t τ = (48) = y ( 0 +) ) e t τ + y ( ) (1 e t τ, (49) gdje su y (0 + ) i y ( ) početna i konačna vrijednost veličine y, respektivno, a τ je vremenska konstanta kola. 2.2 Opšti slučaj odredivanja odziva u kolu prvog reda Linearno vremenski nepromjenljivo kolo prvog reda se može opisati linearnom diferencijalnom jednačinom prvog reda sa konstantnim koeficijentima. Postupak rješavanja proizvoljne linearne diferencijalne jednačine prvog reda sa konstantnim koeficijentima prati korake opisane u slučaju odredivanja odziva rednog RC kola. Dakle, opšte rješenje se traži kao zbir homogenog i partikularnog rješenja jednačine. Pretpostavljajući da homogeno rješenje ima oblik eksponencijalne funkcije i uvrštavajući u homogenu diferencijalnu jednačinu dobijamo karakterističnu jednačinu iz koje odredujemo sopstvenu učestanost kola. Pretpostavljamo da je partikularno rješenje jednačine istog oblika kao pobuda i rješavamo jednačinu pod pretpostavkom da je od uključenja pobude prošlo dovoljno vremena da se u mreži uspostavi ustaljeno stanje. Konačno, konstanta integracije se odreduje iz zadatih početnih uslova. 17

18 2.3 Hevisajdova pobuda Slika 12: Niz odskočnih funkcija. U prethodnom odjeljku smatrali smo da se zatvaranjem prekidača u trenutku t = 0 u kolo uključuje naponski generator konstantnog napona. Realni element koji može trenutno prekinuti ili uspostaviti vezu u kolu ne postoji pa Hevisajdova funkcija predstavlja idealizovani model koji se može posmatrati kao granična vrijednost realnih odskočnih funkcija kao na Slici 12, niza funkcija za koje vrijedi h (t) = lim T 0 h T (t), (50) h T (t) = { 0, t < 0 1, t > T, (51) a u intervalu 0 < t < T funkcija je neprekidna i ima vrijednosti izmedu 0 i 1. Medutim, ako je vrijeme uključenja T mnogo kraće od vremenske konstante kola ono se može zanemariti i smatramo da je uključenje pobude trenutno. Dakle, za Hevisajdovu funkciju h (t) vrijedi { 0, t < 0 h (t) = 1, t > 0. (52) Za t = 0 Hevisajdova funkcija uzima sve vrijednosti izmedu 0 i 1, čime formalno prestaje biti funkcija. Iz ovog razloga često se koristi termin generalizovana funkcija ili distribucija. Grafik Hevisajdove funkcije prikazan je na Slici 13. U literaturi se sreću i varijante Hevisajdove funkcije koje su definisane za t = 0. 18

19 Slika 13: Hevisajdova funkcija. Slika 14: Hevisajdov naponski i strujni generator. Hevisajdova funkcija je bezdimenzionalna veličina. Uključivanje naponskog generatora kao na Slici 14 se može modelovati Hevisajdovom (odskočnom) pobudom u g (t) = U g h (t), (53) a uključivanje strujnog generatora i g (t) = I g h (t). (54) Uključivanje generatora u trenutku t = t 0 se može modelovati pomjerenom Hevisajdovom funkcijom { 0, t < t0 h (t t 0 ) =. (55) 1, t > t 0 Korisno je pomenuti Hevisajdovu funkciju okrenutu u vremenu { 1, t < 0 h ( t) = 0, t > 0. (56) 19

20 Odziv kola bez akumulisane energije na Hevisajdovu pobudu podijeljen vrijednošću skoka pobude naziva se indiciona funkcija kola. Koristi se još i termin odskočni odziv kola. Kolo je u potpunosti karakterisano svojom indicionom funkcijom. Kasnije ćemo vidjeti da je, ukoliko je poznata indiciona funkcija, moguće odrediti odziv kola na proizvoljnu pobudu. Indiciona funkcija zavisi od veličine koja je izabrana za odziv kola. Za redno RC kolo indiciona funkcija u odnosu na napon u C je f uc (t) = u C (t) ( ) = 1 e t RC h (t). (57) U g U gornjoj jednačini Hevisajdova funkcija ukazuje na činjenicu da je vrijednost indicione funkcije za t < 0 jednaka nuli. Pošto se odziv u kolu javlja tek kada se uključi pobuda radi se o kauzalnom kolu. Ako se odziv u kolu javlja prije uključenja pobude, radi se o nekauzalnom kolu. Pravougaoni impuls je funkcija koja ima nenultu vrijednost samo u intervalu (t 1, t 2 ) konačnog trajanja u (t) = 0, t < t 1 1, t 1 < t < t 2. (58) 0, t > t 2 Ako napon naponskog generatora ima oblik pravougaonog impulsa kao na Slici 15 on se može predstaviti pomoću Hevisajdovih funkcija u (t) = U g h (t t 1 ) U g h (t t 2 ), što je ilustrovano na Slici 16. U tom slučaju možemo smatrati da se kolo pobuduje rednom vezom naponskih generatora napona u g1 (t) = U g h (t t 1 ) i u g2 (t) = U g h (t t 2 ) povezanih kao na Slici. Posmatrajmo odziv rednog RC kola bez akumulisane energije na pravougaoni impuls prikazan na Slici. Ekvivalentna šema je prikazana na Slici. Pošto je kolo linearno, odziv u kolu možemo naći korištenjem teoreme superpozicije. Pretpostavimo da u kolu djeluje samo generator u g1 = U g h (t). Odziv je sada jednak odzivu na konstatnu pobudu koja je uključena u trenutku t = 0 i dat je jednačinom (23) ( ) u C1 (t) = U g 1 e t RC, t 0. Kada u kolu djeluje samo generator u g2 = U g h (t t 1 ), na osnovu osobine vremenske nepromjenljivosti, odziv je jednak ( ) u C2 (t) = U g 1 e t t 1 RC, t t 1. 20

21 Slika 15: Pravougaoni impuls. Slika 16: Reprezentacija pravougaonog impulsa pomoću Hevisajdovih pobuda. 21

22 Slika 17: Generisanje pravougaonog impulsa pomoću dva odskočna generatora. Kompletan odziv je jednak superpoziciji ova dva odziva u C (t) = u C1 (t) + u C2 (t) = ( ) U g 1 e t RC, 0 t < t 1 = ( ) ( ) U g 1 e t RC U g 1 e t t 1 RC, t t 1 ( ) U g 1 e t RC, 0 t < t 1 = ( ). U g e t 1 RC 1 e t RC, t t 1 Ovo se može napisati i u obliku ( ) ( u C (t) = U g 1 e t RC h (t) U g = U g f (t) U g f (t t 1 ), 1 e t t 1 RC ) h (t t 1 ) = gdje je f (t) indiciona funkcija kola. Za dovoljno dugačak impuls t 1 > 5RC možemo smatrati da se prelazni režim u kolu završio u toku trajanja impulsa pa odziv ima oblik kao na Slici 18. Za kraći impuls prelazni režim u kolu se ne završi već se u kolu javlja odziv na energiju akumulisanu tokom trajanja impulsa kao na Slici 19. Zanimljiv je poseban slučaj kada je t 1 RC. Tada se drugi član u jednačini (11) može zanemariti pa imamo du C = 1 dt RC u g, t > 0. Rješenje ove diferencijalne jednačine je u C (t) = u C ( 0 + ) + 1 RC 22 t 0 u g (t ) dt.

23 Slika 18: Odziv rednog RC kola na pravougaoni impuls dužine t 1 > 5RC. Slika 19: Odziv rednog RC kola na pravougaoni impuls dužine t 1 < 3RC. Dakle, kolo se ponaša kao integrator i odziv je prikazan na Slici Impulsna pobuda Kada se trajanje impulsa smanjuje, uz jednovremeno povećavanje njegove amplitude, pri čemu se površina ispod funkcije održava konstantnom, kao na Slici 21, u graničnoj vrijednosti dobija se Dirakova (jedinična impulsna, delta) funkcija δ (t). U ovom graničnom procesu, tačan oblik impulsa nije bitan. Dirakova funkcija je definisana izrazom 0, t 0 δ (t) =, t = 0. (59) δ (t) dt = 1 Grafički se Dirakova funkcija predstavlja kao na Slici 21. Dirakova funkcija formalno nije funkcija pa se u matematici često koriste i termini generalisana funkcija i distribucija. Površina ispod Dirakove funkcije je jednaka jedinici jačina udara Dirakove funkcije je jednaka jedinici. Pošto je vrijednost 23

24 Slika 20: Odziv rednog RC kola na pravougaoni impuls dužine t 1 RC. Slika 21: Dirakova funkcija Dirakove funkcije nula za t 0 onda vrijedi δ (t) dt = 0 + Neka je f (t) neprekidna funkcija. Tada vrijedi 0 δ (t) dt = 1. (60) f (t) δ (t) = f (0). (61) Ova osobina se naziva osobina odabiranja Dirakove funkcije i u teoriji distribucija predstavlja definiciju Dirakove funkcije. Na osnovu osobine odabiranja Dirakove funkcije slijedi da je za funkciju f (t) neprekidnu u t = 0 f (t) δ (t) = f (0) δ (t). (62) Posmatrajmo sada kratak pravougaoni impuls trajanja T i amplitude 1/T. Ovaj impuls se može napisati u obliku δ T (t) = 1 T h (t) 1 h (t T ). (63) T 24

25 Granična vrijednost niza pravougaonih impulsa kada T 0 je Dirakova funkcija δ (t) = lim δ T (t) = (64) T 0 [ 1 = lim T 0 T h (t) 1 ] T h (t T ) = (65) h (t) h (t T ) = lim = (66) T 0 T dh (t) =. (67) dt Dakle, Dirakova funkcija je jednaka izvodu Hevisajdove funkcije. Vrijedi i invezna relacija h (t) = t δ (t ) dt. (68) Pošto je Hevisajdova funkcija bezdimenziona veličina, Dirakova funkcija ima dimenziju frekvencije, odnosno, recipročna je vremenu. Neka je dato kolo na Slici 22. Pretpostavimo da u kolu nema akumulisane energije i da pobudni generator ima oblik Hevisajdove funkcije u g (t) = Uh (t). Prema KZN diferencijalna jednačina kojom je opisano ovo kolo za t > 0 je u C = u g. U ovom slučaju napon na kondenzatoru je u C = Uh (t) i skokovito se mijenja u trenutku t = 0. Struja u kolu je jednaka i = C du C dt = = C du g dt = = CUδ (t). Dakle, u trenutku t = 0 struja je beskonačnog intenziteta pa se i napon na kondenzatoru mogao promijeniti skokovito. Količina naelektrisanja koju generator prenese kondenzatoru za t > 0 je jednaka Q = CU. Neka se sada kolo sa kondnezatorom pobuduje idealnim strujnim generatorom čija struja ima oblik Dirakove funkcije i g (t) = Qδ (t), kao što je prikazano na Slici 23. Pretpostavimo da u kolu nema akumulisane energije. Jačina udara pobude jednaka je integralu pobude, odnosno, i g (t ) dt = Q 25 δ (t ) dt = Q. (69)

26 Slika 22: Kondenzator priključen na odskočni naponski generator. Slika 23: Kondenzator priključen na impulsni strujni generator. Jačina udara pobude u ovom slučaju je jednaka Q. Pošto u kolu nema akumulisane energije, napon na kondenzatoru za t > 0 je u C (t) = 1 C i g (t ) dt = 1 C Q δ (t ) dt = 1 Qh (t). C Dakle, impulsni strujni generator jačine udara Q će prenijeti količinu naelektrisanja Q kulona kondenzatoru, uzrokujući skok napona na Q. Dakle, kao C što slijedi iz teoreme kontinuiteta, da bi se napon na kondenzatoru skokovito promijenio, struja u kolu mora biti beskonačnog intenziteta. Analogno vrijedi za promjenu struje kalema. Impulsni naponski generator jačine udara Φ će izazvati fluks od Φ vebera u kalemu, uzrokujući skok struje na Φ. L Pobudni generator čiji je napon, odnosno, struja oblika Dirakovog impulsa nije moguće realizovati. Medutim, u slučajevima kada je pobudni impuls vrlo kratkog trajanja u odnosu na vremensku konstantu kola, Dirakov impuls predstavlja koristan matematički model koji značajno pojednostavljuje analizu kola. 26

27 2.5 Odredivanje odziva na impulsnu pobudu Neka je pobuda u linearnom vremenski nepromjenljivom kolu, bez akumulisane energije, oblika u gt (t) = U g T δ T (t) = U g T Već je pokazano da je u tom slučaju odziv jednak u T (t) = U g T δ T (t) = U g T h (t) h (t T ). (70) T f (t) f (t T ). (71) T Kada T 0 uz U g T = Φ = const, pobuda teži impulsnoj funkciji u g (t) = U g T δ (t) = Φδ (t). Zanimljivo je primjetiti da jačina udara pobude ima dimenziju proizvoda napona i vremena, odnosno fluksa. Razlog za ovo je, kao što je pomenuto u prethodnom odjeljku, što bi impulsni naponski generator izazvao fluks od Φ vebera u kalemu, odnosno, skok struje od Φ. U tom L slučaju odziv je f (t) f (t T ) u (t) = lim u T (t) = lim U g δ T (t) = U g T T 0 T 0 T = U g T df (t), (72) dt odnosno, df (t) u (t) = Φ. (73) dt Količnik odziva na impulsnu pobudu (pri nultim početnim uslovima) i jačine udara impulsne pobude naziva se Grinova funkcija mreže g (t) = u (t) Φ, (74) Iz (72) vidimo da je Grinova funkcija mreže jednaka izvodu njene indicione funkcije df (t) g (t) =. (75) dt Posmatrajmo redno RC kolo prikazano na Slici 24 u kojem djeluje impulsni naponski generator napona u g (t) = Φδ (t). Odredimo Grinovu funkciju ovog kola za napon na kondenzatoru. Zadatak je moguće riješiti na više načina. Prvi način je posredno odredivanje Grinove funkcije, korišćenjem indicione funkcije kola. Da bismo odredili indicionu kola, pretpostavimo da je napon naponskog generatora oblika u g (t) = U g h (t), kao na Slici 25 i da u kolu nema akumulisane energije u C (0 ) = 0. Diferencijalna jednačina za napon na kondenzatoru je du C dt + 1 RC u C = 1 RC u g, t > 0. 27

28 Slika 24: Redno RC kolo pobudeno impulsnim generatorom. Slika 25: Redno RC kolo pobudeno Hevisajdovim generatorom. 28

29 Rješenje ove jednačine je oblika u C (t) = u C h (t) + u C p (t). Već je pokazano da je homogeno rješenje u Ch (t) = Ke t RC. Partikularno rješenje dobijamo posmatrajući diferencijalnu jednačinu za t > 0. Tada je pobuda konstantna pa i rješenje dobijamo u istom obliku Dakle, opšte rješenje je u Cp (t) U p = U g. u C (t) = U g + Ke t RC, t > 0. Vrijednost konstante K dobijamo iz početnog uslova za napon u C (0 + ). Pošto je, zbog konačnog skoka napona generatora i konačne vrijednosti otpornosti, struja u kolu ograničena, zadovoljen je uslov teoreme kontinuiteta i u C (0 + ) = u C (0 ) = 0. U ovom slučaju kažemo da je komutacija u kolu regularna. Odavde se dobija K = U g, pa je Indiciona funkcija kola je ( ) u C (t) = U g 1 e t RC h (t). f (t) = u C (t) ( ) = 1 e t RC h (t). U g Sada se Grinova funkcija može izračunati kao g (t) = df (t) dt ( t RC e RC h (t) + = 1 1 e t RC ) δ (t). Na osnovu osobine odabiranja Dirakove funkcije drugi član sume je jednak nuli pa imamo konačno g (t) = 1 RC e t RC h (t). Zadatak je moguće riješiti i direktno, rješavanjem diferencijalne jednačine du C dt + 1 RC u C = 29 Φ RC δ (t),

30 uz početni uslov u C (0 ) = 0. Homogeno rješenje je ponovo u Ch (t) = Ke t RC. Pošto je pobuda jednaka nuli za t > 0 onda je partikularno rješenje takode jednako nuli u Cp (t) = 0. Dakle, opšte rješenje je u C (t) = Ke t RC h (t). Vrijednost konstante K se pronalazi iz početnih uslova. Medutim, pošto u kolu djeluje impulsni generator, vrijednost napona, a time i struje u kolu u trenutku t = 0 je beskonačna pa ne vrijedi teorema kontinuiteta i u C (0 + ) u C (0 ). Komutacija u kolu je neregularna. Uvrštavanjem opšteg rješenja u diferencijalnu jednačinu dobija se odakle slijedi K RC e t RC h (t) + Ke t RC δ (t) + K pa je Grinova funkcija K = Φ RC g (t) = u C (t) Φ = 1 RC e RC e t t RC h (t) = RC h (t). Φ RC δ (t), 30

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Topologija električnih mreža

Topologija električnih mreža Topologija električnih mreža 16. decembar 215 Već je pomenuto da se električna mreža može matematički opisati korištenjem modela (karakteristika) elemenata i modela njihovih veza. Modeli elemenata i načina

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE ELEKTRONSKI FAKULTET NIŠ KATEDRA ZA ELEKTRONIKU predmet: OSNOVI ELEKTRONIKE studijske grupe: EMT, EKM Godina 2014/2015 RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA OSNOVI ELEKTRONIKE 1 1. ZADATAK Na slici je prikazano električno

Διαβάστε περισσότερα

Snaga naizmenicne i struje

Snaga naizmenicne i struje Snaga naizmenicne i struje Zadatak električne mreže u okviru elektroenergetskog sistema (EES) je prenos i distribucija električne energije od izvora do potrošača, uz zadovoljenje kriterijuma koji se tiču

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Elektronske komponente

Elektronske komponente Elektronske komponente Z. Prijić Elektronski fakultet Niš Katedra za mikroelektroniku Predavanja 2014. Sadržaj 1 Kalem Sadržaj Kalem 1 Kalem - definicije Kalem Kalem je pasivna elektronska komponenta koja

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi

Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva 1. U kolu stalne struje sa slike 1 poznato je R1 = 2R = 200 Ω, Rp> R1, E1 =-E2 = 10 V i E3 = E4 = 10 V. izračunati Ig (Ig 0) tako da snage koje razvijaju idealni naponski generator E3 i idealni strujni

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Glava 2 Odzivi u kolima prvog i drugog reda

Glava 2 Odzivi u kolima prvog i drugog reda Glava 2 Odzivi u kolima prvog i drugog reda Prilikom modelovanja elekričnih kola najčešeće se korise diferencijalne jednačine da opišu elemene sa memorijoom, j. elemene koji mogu da skladiše energiju.

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ)

NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmeničnog napona: u(t) = U max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmenične struje:

Διαβάστε περισσότερα

SIMULACIJA MREŽA U FREKVENCIJSKOM DOMENU

SIMULACIJA MREŽA U FREKVENCIJSKOM DOMENU Univerzitet u Banjaluci Teorija električnih kola Elektrotehnički fakultet Laboratorijske vježbe Katedra za opštu elektrotehniku Student: Datum: Broj indeksa: Ocjena: Vježba broj. SIMULACIJA MEŽA U FEKVENCIJSKOM

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje Hijavata 1 Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.

Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto zapne odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute. 1 OE 11/12 Zadaci za pripremu III. ciklusa laboratorijskih vjezbi PTA ZA RJESAVANJE Zadatke trebate rjesiti potpuno samostalno. Tek ako nesto "zapne" odnosno za kontrolu rezultata koristite ove upute.

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα