Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς."

Transcript

1 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων τιµών x,x,,x που προέρχονται από έναν πληθυµό Στις περιότερες περιπτώεις, οι τιµές αυτές µπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχονται από τυχαία πειράµατα (πχ τυχαίες επιλογές ατόµων από τον πληθυµό Στα πλαίια της θεωρίας των πιθανοτήτων (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ,ΙΙΙ τέτοιες τιµές υµβολίζονται µε Χ,Χ,,Χ Ποια η χέη µεταξύ των τµ Χ,Χ,,Χ και των τιµών x,x,,x ; Η Χ µπορεί να θεωρηθεί ως µία τυχαία µεταβλητή που εκφράζει το αποτέλεµα του - τυχαίου πειράµατος, πριν από την εκτέλεή του (ή ιοδύναµα, πριν µας γίνει γνωτό το αποτέλεµά του ενώ αντίθετα, η τιµή x εκφράζει το ακριβές αποτέλεµα του πειράµατος µετά την εκτέλεή του Η τιµή x καλείται και «πραγµατοποίηη» του Χ Στην ουία, η x είναι ίη µε το Χ (ω όπου ω είναι το τοιχειώδες ενδεχόµενο του Ω που τελικά πραγµατοποιήθηκε (µην ξεχνάµε ότι µία τµ είναι µία απεικόνιη από το Ω το R Στο εξής, για απλότητα θα γράφουµε,,, εννοώντας τις τµ (όταν είµατε πριν την πραγµατοποίηη του πειράµατος καθώς και τις τιµές x,x,,x (όταν είµατε µετά την πραγµατοποίηη του πειράµατος Συνεπώς, η περιγραφική τατιτική µπορεί να θεωρηθεί ότι αφορά τη µελέτη των µεγεθών ενός «δείγµατος» που προέρχεται από έναν (θεωρητικά άπειρο πληθυµό Συνήθως όµως αυτό που µας ενδιαφέρει περιότερο είναι τα αντίτοιχα µεγέθη του πληθυµού από τον οποίο προέρχεται το δείγµα Μία από τις κύριες επιδιώξεις της Στατιτικής υµπεραµατολογίας (που αποτελεί και το µεγαλύτερο µέρος της Στατιτικής ΙΙΙ είναι η εκτίµηη των µεγεθών ενός πληθυµού (πχ µέη τιµή, διαπορά, κατανοµή µε βάη ένα δείγµα,,, από αυτόν Εκτιµητική Κύρια επιδίωξη της εκτιµητικής αποτελεί η εκτίµηη των παραµέτρων της κατανοµής κάποιου χαρακτηριτικού ενός πληθυµού Το πρόβληµα έχει ως εξής: υποθέτουµε ότι κάποιο υγκεκριµένο χαρακτηριτικό ενός πληθυµού (πχ το ύψος των ανδρών ε µία πόλη ακολουθεί κάποια γνωτή κατανοµή F(x;θ (πχ κανονική κατανοµή µε άγνωτες όµως παραµέτρους θ (θ,θ,,θ k (πχ θ (µ, Με ποιο τρόπο θα µπορέουµε να προδιορίουµε (εκτιµήουµε τις παραµέτρους αυτές; (πχ να δούµε ποίο είναι το µέο ύψος µ του πληθυµού και ποιά η διαπορά των υψών Είναι φανερό ότι, για την εκτίµηη των παραµέτρων θ της κατανοµής κάποιου χαρακτηριτικού, είναι αναγκαία η γνώη της τιµής του χαρακτηριτικού τουλάχιτον ε κάποιες µονάδες του πληθυµού ηλαδή, είναι απαραίτητη η εκλογή ενός «δείγµατος» του πληθυµού (ή ενός υνόλου παρατηρήεων Για να είναι όµως ωτή η εκτίµηη του χαρακτηριτικού θα πρέπει η εκλογή αυτή των µονάδων του δείγµατος να είναι «τυχαία» από όλον τον πληθυµό, δηλαδή κάθε µονάδα του πληθυµού να έχει την ίδια πιθανότητα να εκλεγεί το δείγµα Για παράδειγµα, για την εκτίµηη του µέου ύψους µ χρειαζόµατε τα ύψη ενός δείγµατος ανδρών που εκλέξαµε τυχαία από τον πληθυµό (πχ αν εκεµµένα πάρουµε αν δείγµα τους ψηλότερους άνδρες µίας περιοχής τότε προφανώς θα υπερεκτιµήουµε το µέο ύψος Στην περίπτωη µίας τυχαίας εκλογής ενός δείγµατος, οι τιµές του προς εξέταη χαρακτηριτικού το δείγµα (παρατηρήεις µπορούν να θεωρηθούν ότι είναι τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την κατανοµή του χαρακτηριτικού τον πληθυµό Φτάνουµε λοιπόν φυιολογικά τον επόµενο οριµό Οριµός 4 Τυχαίο δείγµα µεγέθους από την κατανοµή F(x;θ (ή τη π f(x;θ θα καλείται ένα ύνολο ανεξάρτητων και ιόνοµων τµ Χ,Χ,,Χ που ακολουθούν την κατανοµή F(x;θ (ή τη π f(x;θ Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 3

2 ειγµατοληπτικός χώρος θα καλείται το ύνολο των δυνατών τιµών του δείγµατος (πχ αν Χ R, τότε ο δειγµατοληπτικός χώρος θα είναι ο R Παραµετρικός χώρος θα καλείται το ύνολο των επιτρεπτών τιµών της παραµέτρου θ Έτω λοιπόν Χ,Χ,,Χ ένα τυχαίο δείγµα από την F(x;θ Η εκτίµηη των παραµέτρων θ (θ,,θ k γίνεται µέω κάποιων υναρτήεων των Χ,Χ,,Χ Πιο υγκεκριµένα θα έχουµε ότι: v Στατιτική (ή δειγµατική υνάρτηη θα λέγεται κάθε υνάρτηη T( T(Χ,Χ,, Χ των τµ του δείγµατος Χ,Χ,,Χ που δεν εξαρτάται από τις προς εκτίµηη παραµέτρους Προφανώς, κάθε τατιτική υνάρτηη είναι και αυτή µία τµ Για παράδειγµα, γνωτές τατιτικές υναρτήεις είναι: - (δειγµατικός µέος - m (δειγµατικές ροπές τάξεως - S ( (δειγµατική διαπορά - R max{,, } m{,, } ( ( (δειγµατικό εύρος Τέλος, v εκτιµήτρια υνάρτηη µίας παραµέτρου θ θα καλείται µία τατιτική υνάρτηη T(Χ,Χ,,Χ η οποία χρηιµοποιείται για την εκτίµηη της θ Ιδιότητες εκτιµητριών Έτω Χ,Χ,,Χ ένα τυχαίο δείγµα από την κατανοµή F(x;θ και έτω T(Χ, Χ,,Χ µία εκτιµήτρια υνάρτηη της παραµετρικής υνάρτηης g(θ (πχ θ(µ, και g(θµ ή µ ή µ+3 κοκ Όπως είναι φανερό, η εκτιµήτρια Τ είναι και αυτή µία τµ, δηλαδή κάθε φορά που παίρνουµε ένα διαφορετικό δείγµα Χ, Χ,,Χ, η Τ θα µας δίνει διαφορετική τιµή Για να µπορεί η T να θεωρηθεί ότι είναι «καλή» εκτιµήτρια της g(θ θα πρέπει να έχει κάποια υγκεκριµένα χαρακτηριτικά όπως πχ να παίρνει τιµές «πολύ κοντά» την g(θ µε «µεγάλη» πιθανότητα Αυτό µπορεί να γίνει απαιτώντας η τµ T να έχει µέη τιµή g(θ ή «χεδόν» g(θ και να έχει πολύ µικρή διαπορά (οι τιµές της τµ T να βρίκονται «µαζεµένες» γύρω από τη µέη της τιµή Πχ αν έχουµε τρεις διαφορετικές εκτιµήτριες T,T,T 3 για τη µέη τιµή µ ενός πληθυµού: Τ Τ 3 Τ µ τότε θα προτιµήουµε να χρηιµοποιήουµε την Τ γιατί (ανάλογα µε το δείγµα παίρνει τιµές πολύ κοντά το µ (Η T παίρνει και αυτή τιµές γύρω από το µ αλλά οι τιµές της µπορεί να διαφέρουν αρκετά από το µ γιατί έχει µεγάλη διαπορά Η Τ 3 παίρνει τιµές που καµία χέη δεν έχουν Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 3

3 µε την µ Ιδιότητες εκτιµητριών χετικές µε τη µέη τιµή και τη διαπορά τους εξετάζονται τις επόµενες δύο παραγράφους Αµερόληπτες εκτιµήτριες Οριµός 4 Μία εκτιµήτρια υνάρτηη T της g(θ θα καλείται αµερόληπτη εάν ET ( ET ( (,,, g( θ για κάθε θ Η T θα θεωρείται αυµπτωτικά αµερόληπτη εάν lm ET ( (,,, g( θ για κάθε θ Επίης, το µέγεθος bt ( ET ( g( θ καλείται µεροληψία της εκτιµήτριας T Προφανώς η µεροληψία µιας αµερόληπτης εκτιµήτριας είναι Είναι φανερό από τα παραπάνω ότι µας ενδιαφέρουν αµερόληπτες ή χεδόν αµερόληπτες εκτιµήτριες γιατί ε αντίθετες περιπτώεις είναι δυνατό να έχουµε υποεκτίµηη ή υπερεκτίµηη της ζητούµενης παραµέτρου Πρόταη 4 Έτω Χ,Χ,,Χ ένα τυχαίο δείγµα από µία οποιαδήποτε κατανοµή F(x;θ µε µέη τιµή µ (µ(θ και διαπορά ( (θ Η τατιτική υνάρτηη (δειγµατικός µέος είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της παραµέτρου µ E( (µέης τιµής της κατανοµής F(x;θ και έχει διαπορά Va( / Η τατιτική υνάρτηη S ( (δειγµατική διαπορά είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της παραµέτρου V( (διαποράς της κατανοµής F(x;θ Απόδειξη Ιχύει ότι E( E( E ( µ µ µ Επίης, V ( V ( V ( V ( Παρατηρούµε ότι ( (( ( (( µ + ( ( ( ( µ + ( ( ( Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 33

4 Συνεπώς, θα είναι ( µ + ( ( ( ( ( ES ( E( ( E ( ( µ µ Γνωρίζουµε όµως ότι E(( µ E(( µ και εποµένως, E (( µ V (, E(( µ V ( ES ( ( Άρα η S είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της διαποράς ενός οποιουδήποτε πληθυµού Άκηη 4 Έτω ότι θέλουµε να εκτιµήουµε το ποοτό p των κατοίκων µίας µεγάλης πόλης που υποτηρίζουν µία υγκεκριµένη άποψη Α είξτε ότι το ποοτό τυχαία επιλεγµένων ατό- µων που υποτηρίζουν την Α αποτελεί µία αµερόληπτη εκτιµήτρια του p Λύη Έτω,,, οι τµ που εκφράζουν τις απόψεις των τυχαία επιλεγµένων ατόµων (από την πόλη αυτή Συγκεκριµένα, θα θεωρούµε ότι Χ αν το -άτοµο υποτηρίζει την Α και διαφορετικά Εφόον πρόκειται για τυχαία επιλεγµένα άτοµα (κάθε άτοµο του πληθυµού έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί το δείγµα, θα ιχύει ότι P( P( p, και άρα µ E( P( + P( p (οι,,, αποτελούν ένα τυχαίο δείγµα από την Β(,p Το ποοτό των τυχαία επιλεγµένων ατόµων που υποτηρίζουν την Α θα είναι ίο µε Από την Πρόταη 4 είδαµε όµως ότι E( E( p και εποµένως το ποοτό των ατό- µων του δείγµατος που υποτηρίζουν την Α αποτελεί αµερόληπτη εκτιµήτρια του υνολικού ποοτού των κατοίκων που υποτηρίζουν την Α Άκηη 4 Έτω Χ, Χ,, Χ ένα τδ από µία κατανοµή µε µέη µ και διαπορά είξτε ότι, ενώ η τατιτική υνάρτηη είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µ, η τατιτική υνάρτηη δεν είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µ Πιο υγκεκριµένα δείξετε ότι b( / Λύη Θα υπολογίουµε τη µέη τιµή της Ιχύει ότι, Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 34

5 E ( V ( + E( + µ µ και άρα b ( E ( µ + µ µ Συνεπώς η τατιτική υνάρτηη δεν είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µ Παρατηρούµε όµως ότι αποτελεί αυµπτωτικά αµερόληπτη εκτιµήτρια του µ διότι E( + µ µ Άκηη 43 Έτω Χ, Χ,, Χ ένα τδ από την κανονική κατανοµή Ν(µ, Αν T και U at + b, τότε να βρεθούν τα α, b ώτε η U να είναι αε του µ Λύη Ιχύει ότι (οι τµ Χ, Χ,, Χ είναι ανεξάρτητες και εποµένως ET ( E( E( µ, V ( V ( T V ( E ( U E( at + b ae( T + b a( V ( T + E( T + b a + a µ + b Για να είναι η U αε του µ θα πρέπει E( U a + a µ + b µ για κάθε µ, και εποµένως θα πρέπει a, a + b a, b Άρα τελικά η είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µ, γεγονός που υµφωνεί και µε την Άκηη 4 Άκηη 44 Έτω Χ, Χ,, Χ ένα τδ από κατανοµή µε µέη τιµή µ και διαπορά Να βρεθεί το c ώτε η να είναι αε του Λύη Ζητάµε να ιχύει ότι U c ( k+ k k E( U c E( c E( + k k+ k k c ( E( + E( E( k k+ k k+ k k+ k k+ k Γνωρίζουµε όµως ότι E( k Va( k + E( k + µ για όλα τα k,,, Επίης είναι γνωτό ότι αν δύο τµ Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τότε Ε(ΧΥ Ε(ΧΕ(Υ Συνεπώς, Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 35

6 και άρα E( E( E( µ k+ k k+ k EU ( c ( + µ + + µ µ c c( k Για να είναι η U αε του αρκεί EU ( c(, ή ιοδύναµα, c ( Τελικά υµπεραίνουµε ότι η εκτιµήτρια U ( k+ k ( k είναι αε του Άκηη 45 Έτω Χ, Χ,, Χ ένα τδ από την B(, p (διωνυµική µε παραµέτρους και p και U c( Να βρεθεί το c ώτε η U να είναι αε του p( p (V( Λύη Ιχύει ότι και υνεπώς Από την Πρόταη 4( θα ιχύει τώρα ότι k j j j j P( j p ( p p ( p, j, j E( p p, V ( p ( p p( p p + ( p E( p, E( V ( + E( + p Η µέη τιµή της U θα είναι ίη µε p+ ( p ( EU ( ce( ce ( ( E( c p c p( p και άρα θα πρέπει ( c p( p p( p ή ιοδύναµα, c Τελικά, διαπιτώθηκε ότι η εκτιµήτρια U ( /( είναι αε του p( p Σύγκριη µεταξύ αµερόληπτων εκτιµητριών Όπως έχει αναφερθεί και παραπάνω, για να µπορεί η T να θεωρηθεί ότι είναι «καλή» εκτι- µήτρια της g(θ θα πρέπει να έχει µέη τιµή g(θ ή «χεδόν» g(θ και να έχει µικρή διαπορά Την πρώτη απαίτηη την εξετάαµε την προηγούµενη παράγραφο όπου ειαγάγαµε την έννοια της αµεροληψίας εν αρκεί όµως µόνο η αµεροληψία για να πούµε ότι µία εκτιµήτρια είναι βέλτιτη Το γεγονός αυτό φαίνεται και από το ότι για την ίδια παραµετρική υνάρτηη g(θ µπορούν να βρεθούν πάρα πολλές αµερόληπτες εκτιµήτριες (βλ πχ Ακήεις Ποια από αυτές είναι η καλύτερη; Σύµφωνα µε τα όα έχουµε πει καλύτερη θα είναι αυτή που θα παίρνει τιµές πολύ «κοντά» την g(θ ηλαδή µε άλλα λόγια αυτή που έχει τη µικρότερη διαπορά Σε αντιδιατολή µε την προηγούµενη παράγραφο όπου αχοληθήκαµε µε τη µέη τιµή µιας εκτιµή- Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 36

7 τριας, ε αυτή την παράγραφο θα µελετήουµε τις εκτιµήτριες ως προς τη διαπορά τους Σχετικά λοιπόν µε τη διαπορά δύο εκτιµητριών θα έχουµε τον επόµενο οριµό: Οριµός 43 Έτω T, Τ δύο αµερόληπτες εκτιµήτριες της g(θ Η T θα καλείται αποτελεµατικότερη της Τ εάν ιχύει ότι V T < V ( ( T Επίης, αν µία εκτιµήτρια Τ έχει τη µικρότερη διαπορά µεταξύ όλων των αµερόληπτων εκτιµητριών του g(θ, τότε θα καλείται άριτη εκτιµήτρια ή αµερόληπτη εκτιµήτρια ελαχίτης διαποράς (αεεδ του g(θ Συνεπώς, τη βέλτιτη επιλογή εκτιµήτριας, προκειµένου να εκτιµήουµε µία παραµετρική υνάρτηη g(θ, αποτελεί η επιλογή µίας άριτης εκτιµήτριας ή τουλάχιτον µίας εκτιµήτριας που αυµπτωτικά (για µεγάλο είναι άριτη Άκηη 46 Έτω Χ, Χ,, Χ και Υ, Υ,, Υ k δύο ανεξάρτητα µεταξύ τους τδ από µία κατανοµή F µε άγνωτη µέη τιµή µ και διαπορά Ποια από τις 3 εκτιµήτριες θα χρηιµοποιούατε για να εκτιµήετε το µ (, k: + Y, Y, Μπορεί να βρεθεί καλύτερη εκτιµήτρια που να γράφεται τη µορφή a + by ; Λύη Από την Πρόταη 4( γνωρίζουµε ότι E( µ, EY ( µ και εποµένως E( ( + Y ( E( + E( Y ( µ + µ µ, Άρα και οι 3 εκτιµήτριες είναι αµερόληπτες Προφανώς θα χρηιµοποιήουµε την εκτιµήτρια µε τη µικρότερη διαπορά Και πάλι από την Πρόταη 4( γνωρίουµε ότι και άρα V 4 V (,, V ( Y,, k 4 k + 4k 4 ( ( + Y ( V ( + V ( Y ( + k,75 Εποµένως για τις υγκεκριµένες τιµές των,k καλύτερη εκτιµήτρια είναι η Αυτό εκ πρώτης όψεως ίως να φαίνεται περίεργο διότι η τρίτη εκτιµήτρια βαίζεται ε δείγµα µεγέθους +k µεγαλύτερο από το και το k των άλλων δύο εκτιµητριών Αυτό όµως που τελικά υµβαίνει είναι ότι η είναι αρκετά καλή εκτιµήτρια (έχει διαπορά, ενώ η Y δεν είναι τόο καλή (έχει διαπορά αρκετά µεγαλύτερη, Τελικά λαµβάνοντας ως εκτιµήτρια του µ την ( + Y/ ναι µεν παίρνουµε πάλι µία αε του µ αλλά η ( + Y/ βαίζεται εξίου την εκτιµήτρια (που είναι αρκετά καλή και την Y (που δεν είναι τόο καλή οπότε τελικά παίρνουµε µία εκτι- µήτρια που είναι µέτρια Το βέλτιτο που θα µπορούαµε να κάνουµε θα ήταν να πάρουµε µία εκτιµήτρια που να βαίζεται περιότερο την και λιγότερο την Y Πράγµατι, θα αναζητήουµε µία αµερόληπτη εκτιµήτρια της µορφής a + by που να έχει τη µικρότερη δυνατή διαπορά Θα πρέπει Επίης, V ( a Ea ( + by µ ae( + bey ( µ aµ + bµ µ b a + by a V ( + b V ( Y a + b k a k + ( a k Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 37

8 Αρκεί να βρούµε το α που ελαχιτοποιεί την παράταη f ( a a k + ( a Ιχύει ότι f ( a ak ( a ak + a a ( f ( a k + > k + και εποµένως η εκτιµήτρια a by k k Y + k Y k + είναι αµερόληπτη και έχει τη µικρότερη διαπορά ανάµεα τις εκτιµήτριες της µορφής a + by (που έχουν και οι 3 πρώτες εκτιµήτριες Η διαπορά της είναι V ( + k V ( Y + k ( + k + k V ( ( + ky,9 Παρατηρούµε ότι η παραπάνω εκτιµήτρια είναι ο δειγµατικός µέος του µεικτού δείγµατος Χ, Χ,,Χ, Y,Y,,Y k Άκηη 47 Έτω Χ, Χ,, Χ ένα τυχαίο δείγµα (τδ από κατανοµή F(x;θ µε Ε( g(θ και U U(,, a Να βρεθούν οι τιµές των α Ñ ώτε η U να είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια (αε του g(θ και να έχει ελάχιτη διαπορά Λύη Για να είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια θα πρέπει να ιχύει, EU ( g( θ E( a ae( g( θ a g( θ a Επίης, δεδοµένου ότι οι τµ είναι ανεξάρτητες θα ιχύει ότι V ( U a V ( V ( a Για να είναι η διαπορά της εκτιµήτριας ελάχιτη θα πρέπει να ελαχιτοποιήουµε τη υνάρτηη a a + a a + a Λαµβάνοντας τις µερικές παραγώγους της ως προς α θα πρέπει για να έχουµε ελάχιτο να ιχύει a a aj a j a + j,,,, ή ιοδύναµα, a a a, j,,, j Άρα όλα τα α θα πρέπει να είναι ία Eπειδή όµως αθροίζουν τη µονάδα υνάγουµε τελικά ότι για να είναι η εκτιµήτρια αµερόληπτη και µε ελάχιτη διαπορά θα πρέπει α /,,,, (Αποδεικνύεται επίης ότι ο πίνακας Hesse είναι οριτικά θετικός Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 38

9 Αποτελεµατικότητα οποιωνδήποτε εκτιµητριών Στην προηγούµενη παράγραφο εξετάαµε την αποτελεµατικότητα εκτιµητριών που είναι αµερόληπτες Συγκεκριµένα, αναφέραµε ότι, αν έχουµε ένα ύνολο T,T,,T k από αµερόληπτες εκτιµήτριες µίας παραµέτρου g(θ (Ε(Τ g(θ τότε ως βέλτιτη για την εκτίµηη της g(θ θα είναι η εκτιµήτρια µε τη µικρότερη διαπορά Τι γίνεται όµως την περίπτωη που έχουµε ένα ύνολο από εκτιµήτριες του g(θ που δεν είναι όλες αµερόληπτες; Ποια θα είναι η βέλτιτη; Έχουµε ήδη αναφέρει ότι υνήθως προτιµούµε αµερόληπτες εκτιµήτριες Υπάρχουν όµως περιπτώεις όπου µία µη αµερόληπτη εκτιµήτρια είναι καλύτερη από µία αµερόληπτη Για παράδειγµα αν, για την εκτίµηη ενός g(θ, έχουµε τις εκτιµήτριες T, T µε ππ που δίνονται το παρακάτω γράφηµα τότε παρατηρούµε ότι η Τ δεν είναι αµερόληπτη (δεν έχει µέη τιµή g(θ αλλά παίρνει τι- µές «κοντά» το g(θ µε µεγάλη πιθανότητα ε αντίθεη µε την Τ που είναι αµερόληπτη αλλά µπορεί να πάρει τιµές πολύ µακριά από το g(θ (έχει µεγάλη διαπορά Τ Τ Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, g(θ Εποµένως, παρότι δεν είναι αµερόληπτη, καλύτερη εκτιµήτρια ε αυτή την περίπτωη είναι η T Αν όµως η Τ ήταν περιότερο µεροληπτική; Ποια θα ήταν καλύτερη; Για να βρούµε ένα κριτήριο αξιολόγηης εκτιµητριών ενός g(θ, ανεξάρτητα από το αν είναι αµερόληπτες ή όχι, παρατηρούµε ότι την περίπτωη αε του g(θ εξετάζαµε την V ( T E(( T E( T E(( T g( θ (Ε(T g(θ λόγω αµεροληψίας Η ποότητα αυτή είναι την ουία η µέη τιµή του τετραγώνου του φάλµατος της T από την εκτιµούµενη παράµετρο Παρατηρούµε όµως ότι την ίδια ακριβώς ποότητα µπορούµε να χρηιµοποιήουµε και γενικότερα για την αξιολόγηη οποιωνδήποτε ε- κτιµητριών ενός θ Ειδικότερα θα έχουµε τον επόµενο οριµό Οριµός 44 Έτω µία εκτιµήτρια T T(,,, µίας παραµέτρου g(θ Η ποότητα mse( T E(( T g( θ καλείται µέο τετραγωνικό φάλµα της T από την g(θ Εποµένως, θα θεωρούµε ότι µεταξύ δύο εκτιµητριών µίας παραµέτρου, βέλτιτη είναι αυτή που έχει το µικρότερο µέο τετραγωνικό φάλµα Παρατηρούµε ότι το µέο τετραγωνικό φάλµα γράφεται τη µορφή mse ( T E(( T g( θ E(( T E( T + ( E( T g( θ E(( T E( T + ( E( T g( θ E(( T E( T + ( E( T g( θ V ( T + b( T 39 + ( T E( T ( E( T g( θ + E( T E( T ( E( T g( θ Αν ένας εκτιµητής είναι αµερόληπτος τότε προφανώς το µέο τετραγωνικό του φάλµα είναι ίο µε τη διαπορά του Με τη χρήη τώρα του µτ µπορούµε να δώουµε ένα γενικότερο από τον 4 οριµό για την αποτελεµατικότητα δύο εκτιµητριών

10 Οριµός 45 Έτω T, Τ δύο εκτιµήτριες της g(θ Η T θα καλείται αποτελεµατικότερη της Τ εάν ιχύει ότι mse( T < mse( T Αν οι εκτιµήτριες T, Τ είναι αµερόληπτες τότε ο παραπάνω οριµός είναι ιοδύναµος µε τον Οριµό 4 που αφορούε αµερόληπτες εκτιµήτριες Τέλος, η χετική αποτελεµατικότητα µίας εκτιµήτριας Τ ε χέη µε την Τ ορίζεται από το πηλίκο: mse( T mse( T Συνέπεια Έτω Χ,Χ,,Χ ένα τδ από µία κατανοµή F(x;θ και έτω Τ T (,,, µία τατιτική υνάρτηη που χρηιµοποιείται για την εκτίµηη µίας παραµετρικής υνάρτηης g(θ Όπως έχουµε ήδη αναφέρει, η Τ θα αποτελεί ικανοποιητική εκτιµήτρια του g(θ αν παίρνει τιµές «κοντά» την g(θ µε µεγάλη πιθανότητα Επιπλέον, είναι φυικό να απαιτούµε η T να παίρνει τιµές «πολύ κοντά» την g(θ όο το µεγαλώνει Αν δηλαδή πάρουµε ένα πολύ µεγάλο δείγµα (θεωρητικά άπειρο είναι λογικό να απαιτήουµε η εκτιµήτρια να µας δίνει ακριβώς την g(θ Με άλλα λόγια, µία εκτιµήτρια Τ θα θεωρείται «καλή» και αν, αυξάνοντας το µέγεθος του δείγµατος, γίνεται ακριβέτερη ως προς την εκτίµηη του g(θ Οι εκτιµήτριες που έχουν αυτή την ιδιότητα θα καλούνται υνεπείς Για παράδειγµα η ππ µίας υνεπούς εκτιµήτριας T της g(θ θα έχει τη µορφή που δίνεται το επόµενο χήµα Τ Τ 5 Τ 3 Τ Τ Πιο αυτηρά δίνεται ο επόµενος οριµός g(θ Οριµός 46 Μία εκτιµήτρια Τ T (,,, µιας παραµέτρου g(θ θα καλείται υνεπής αν ιχύει ότι P( T g( θ < ε για κάθε ε > Σύµφωνα µε τον παραπάνω οριµό µία εκτιµήτρια Τ θα είναι υνεπής αν, λαµβάνοντας ένα πολύ µεγάλο δείγµα (αυµπτωτικά, παίρνει τιµές ε µία οοδήποτε µικρή περιοχή (g(θ ε, g(θ+ε γύρω από το g(θ µε πιθανότητα Επειδή όµως ο έλεγχος της παραπάνω υνθήκης δεν είναι εύκολος υνήθως χρηιµοποιούµε την επόµενη πρόταη Πρόταη 4 Μία εκτιµήτρια Τ T (,,, µιας παραµέτρου g(θ θα είναι υνεπής αν ιχύουν οι παρακάτω υνθήκες E( T g( θ (δηλαδή b( T V ( T, Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 4

11 ή ιοδύναµα αν mse ( T V ( T + b( T Απόδειξη Από την ανιότητα Makov για την τµ (Τ g(θ και για α ε θα ιχύει ότι E[( T g( θ ] P(( T ε ή ιοδύναµα, mse( T P( T g( θ ε για κάθε ε >, ε Επειδή όµως mse ( T V ( T + b( T, θα ιχύει ότι g( θ ε για κάθε ε >, P( T g( θ ε για κάθε ε >, ή ιοδύναµα P( T g( θ < ε για κάθε ε > και άρα η Τ είναι υνεπής εκτιµήτρια του g(θ Άκηη 48 είξτε ότι ο δειγµατικός µέος παρατηρήεων που προέρχονται από µία κατανοµή µε µέη τιµή µ και διαπορά < είναι υνεπής εκτιµήτρια του µ Λύη Έχουµε ήδη αποδείξει παραπάνω ότι E( µ, και εποµένως (αν ως Τ θεωρήουµε την V (, mse ( V ( + b( + ( E( µ Η κατανοµή χι-τετράγωνο (χ, ch-squae Είδαµε παραπάνω ότι η τατιτική υνάρτηη S ( αποτελεί αµερόληπτη εκτιµήτρια της διαποράς ενός πληθυµού Για να εξετάουµε όµως αν είναι αποτελεµατικότερη κάποιας άλλης εκτιµήτριας ή πχ αποτελεί υνεπή εκτιµήτρια του θα πρέπει να γνωρίζουµε τη διαπορά της Επειδή υνηθέτερη κατανοµή είναι η κανονική, τη υνέχεια θα εξετάουµε την κατανοµή της S όταν το δείγµα προέρχεται από µία N(µ, Αρχικά θα χρειατεί να ορίουµε την κατανοµή Γάµµα η οποία αποτελεί γενίκευη της εκθετικής κατανοµής Οριµός 47 Η υνεχής κατανοµή µε ππ a λ f x a x a e λ x (, ( x > όπου Γ a x Γ( a x e dx (f (x για x καλείται κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους λ>, α> (υµβολίζεται και µε G(α,λ Η υνάρτηη Γ:[, R καλείται υνάρτηη γάµµα Χρηιµοποιώντας ολοκλήρωη κατά παράγοντες αποδεικνύεται ότι Γ(α+ α Γ(α, α > Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 4

12 Επίης εύκολα βλέπουµε ότι Γ( Εποµένως, Γ( Γ(, Γ(3 Γ(, Γ(4 3Γ(3 3, κοκ, Γ(α(α! για α,, Η υνάρτηη γάµµα µπορεί να θεωρηθεί ως µία επέκταη της υνάρτηης παραγοντικό (που είναι οριµένη το {,,} ε όλο το [, Αν ~ G(α,λ τότε αποδεικνύεται ότι a a E (, V ( λ λ Είναι εύκολο να δούµε ότι η εκθετική κατανοµή είναι µία κατανοµή G(λ, Επίης, αποδεικνύεται ότι αν Χ,Χ,,Χ k είναι ανεξάρτητες τµ µε Χ ~ G(α,λ,,,,k τότε η τµ Χ + Χ + + k ~ G(α + α + + α k, λ Μία υποπερίπτωη της κατανοµής Γάµµα, η G(/,/ για,,, παρουιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον τη Στατιτική Aυτό προκύπτει από τις επόµενες προτάεις Πρόταη 43 Αν Χ ~ Ν(, τότε η κατανοµή της τµ Υ Χ ακολουθεί G(/,/ κατανοµή Απόδειξη Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της τµ Υ για x > θα είναι f Y ( x d dx F ( x Y d dx P( Y x d dx P( x d dx P( x x x d dx ( Φ( x Φ( d / (Φ( x φ( x x e, x > dx x π ενώ f Y ( x για x (διότι ε αυτή την περίπτωη P ( x Η ππ της Υ επαληθεύεται εύκολα ότι είναι η ππ της G(½, ½ (ιχύει ότι Γ(½ π Πρόταη 44 Αν Χ,Χ,,Χ ~Ν(, ανεξάρτητες τµ τότε η κατανοµή της τµ G(/,/ κατανοµή x ακολουθεί Απόδειξη Οι τµ, ύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταη, ακολουθούν κατανοµή G(/, / Εποµένως το άθροιµά τους, ύµφωνα µε την παραπάνω ιδιότητα της κατανοµής Γάµµα, θα ακολουθεί κατανοµή G(/,/ H κατανοµή G(/,/, δηλαδή η κατανοµή του αθροίµατος των τετραγώνων τυπικών κανονικών, έχει ιδιαίτερη ηµαία τη τατιτική και υναντάται ε αρκετές εφαρµογές Για το λόγο αυτό της έχει δοθεί µία ιδιαίτερη ονοµαία Ειδικότερα έχουµε τον επόµενο οριµό Οριµός 48 Η κατανοµή του αθροίµατος των τετραγώνων ανεξάρτητων τυπικών κανονικών η οποία είναι G(/,/, θα καλείται κατανοµή χι-τετράγωνο µε βαθµούς ελευθερίας (ch-squae ή χ, G(/,/ χ Όπως είναι φανερό, οι βαθµοί ελευθερίας (βε είναι η παράµετρος της κατανοµής χ Αποδεικνύεται την επόµενη πρόταη ότι οι βε µιας χ είναι και η µέη της τιµή Πρόταη 45 Αν Χ ~ χ τότε, E(, V ( Απόδειξη Γνωρίζουµε ότι η κατανοµή χ είναι την ουία µία G(α/, λ/ και εποµένως θα έχει µέη τιµή α/λ, και διαπορά α/λ Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 4

13 5 5 χ 5 υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της κατανοµής χι-τετράγωνο µε 5,,, 3 βαθµούς ελευθερίας χ 75 5 χ χ Ιδιαίτερα χρήιµη για την τατιτική είναι η επόµενη πρόταη ύµφωνα µε την οποία η κατανοµή της δειγµατικής διαποράς S από κανονικό πληθυµό ακολουθεί (κατάλληλα τροποποιηµένη κατανοµή χι-τετράγωνο Πρόταη 46 Αν Χ,Χ,,Χ τδ από την Ν(µ, και S ( η δειγµατική διαπορά, τότε ( S ~ χ Άκηη 49 Αν Χ,Χ,,Χ τδ από την Ν(µ,, εξετάετε ως προς την αµεροληψία, τη χετική αποτελεµατικότητα και τη υνέπεια, τις εκτιµήτριες του : S ( και S ( v Σε ποιά περίπτωη υτήνετε τη χρήη της S και ε ποια τη χρήη της S ; Λύη Από την Πρόταη 4β γνωρίζουµε ότι η S αποτελεί αµερόληπτη εκτιµήτρια του α- νεξάρτητα από την κατανοµή από την οποία προέρχονται οι παρατηρήεις Το ίδιο είναι εύκολο να δείξουµε και για την S Πράγµατι, E( S E(( µ V ( Εποµένως και οι δύο είναι αµερόληπτες εκτιµήτριες του Θα βρούµε τις διαπορές των εκτιµητριών S S / γράφεται τη µορφή και S Για την S παρατηρούµε ότι η τµ S Z, όπου Ζ,Ζ,,Ζ είναι ανεξάρτητες Ν(, τµ Εποµένως, από την Πρόταη 44 προκύπτει ότι η τµ S / ακολουθεί G(/,/ χ κατανοµή και άρα θα έχει διαπορά ηλαδή, ( S V ( S 4 S V V 4 Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 43

14 Για την S τώρα, από την Πρόταη 46 παρατηρούµε ότι η τµ ( S ακολουθεί κατανοµή χ και εποµένως από την Πρόταη 45 θα έχει διαπορά ( ηλαδή, ( S Va ( και εποµένως ( S 4 V Από τα παραπάνω βλέπουµε ότι η εκτιµήτρια S είναι αποτελεµατικότερη από την S µε χετική αποτελεµατικότητα V ( S, V ( S Στο ερώτηµα ( αποδείχθηκε ότι οι δύο εκτιµήτριες είναι αε του µε διαπορές ( 4 V S και ( 4 V S και εποµένως, από την Πρόταη 4 και οι δύο εκτιµήτριες είναι υνεπείς v Η εκτιµήτρια S είναι αποτελεµατικότερη από την S αν και η χετική αποτελεµατικότητα της S ε χέη µε την S είναι χεδόν για µεγάλα (οι δύο εκτιµήτριες έχουν πρακτικά την ίδια απόδοη για χετικά µεγάλα δείγµατα Από την άλλη όµως παρατηρούµε ότι η χρήη της εκτιµήτριας S είναι δυνατή µόνο όταν είναι γνωτό το µ, ενώ η S δεν βαίζεται την ακριβή τιµή του µ Εποµένως, για µικρά δείγµατα µε γνωτό µ, υνίταται η χρήη της S ενώ ε όλες τις άλλες περιπτώεις είναι προτιµότερο να χρηιµοποιούµε την S Μέθοδοι εκτιµήεως Στις προηγούµενες παραγράφους εξετάαµε τα χαρακτηριτικά (πχ αµεροληψία, αποτελεµατικότητα, υνέπεια, κτλ αρκετών εκτιµητριών παραµέτρων γνωτών κατανοµών Σε όλες αυτές τις περιπτώεις έπρεπε πρώτα να γνωρίζουµε τη µορφή της εκτιµήτριας και τη υνέχεια να εξετάουµε αν είναι πχ υνεπής Στις περιότερες περιπτώεις χρηιµοποιήαµε το δειγµατικό µέο και τη δειγµατική διαπορά µιας και αυτές είναι οι πιο γνωτές τατιτικές υναρτήεις Οι εκτιµήτριες αυτές αποδείχθηκαν αρκετά ικανοποιητικές τις περιπτώεις που επιθυµούµε να εκτιµήουµε µέες τιµές ή διαπορές κανονικών πληθυµών Τι γίνεται όµως τη γενική περίπτωη που δίνεται κάποια κατανοµή και θέλουµε να εκτιµήουµε κάποια υνάρτηη των παραµέτρων της; Στη υνέχεια θα παρουιάουµε δύο µεθόδους για την εύρεη εκτιµητριών για οποιαδήποτε υνάρτηη των παραµέτρων Η πρώτη είναι η (αρχαιότερη µέθοδος των ροπών ενώ η δεύτερη και ηµαντικότερη είναι η µέθοδος της µέγιτης πιθανοφάνειας α Μέθοδος των ροπών Έτω ένα τδ Χ,Χ,,Χ από µία κατανοµή µε υνάρτηη κ F(x;θ(θ,θ,,θ k για την οποία υποθέτουµε ότι υπάρχουν οι ροπές έως k τάξης ( E( : ροπή -τάξης της τµ Χ Έ- τω επίης ότι επιθυµούµε να εκτιµήουµε τα θ,θ,,θ k Οι k-πρώτες ροπές της κατανοµής θα είναι υναρτήεις των παραµέτρων θ,θ,,θ k, δηλαδή θα είναι E µ (θ,θ,,θ, για,,,k ( k Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 44

15 (όπου για ευκολία υµβολίζουµε µε E ( την κοινή ροπή τάξης των Χ,Χ,,Χ, δηλ E ( E (,,,, Σύµφωνα µε τη µέθοδο των ροπών, κατακευάζουµε το ακόλουθο ύτηµα που αποτελείται από k εξιώεις και k αγνώτους θ,θ,,θ k : m µ (θ,θ,,θ k,,,, k όπου m είναι η δειγµατική ροπή -τάξης ηλαδή την ουία κατακευάζουµε το ύτηµα E(, E( k k E( Εξιώνουµε δηλαδή τις k πρώτες δειγµατικές ροπές m µε τις k πρώτες πληθυµιακές ροπές E (,,,,k Οι λύεις αυτού του υτήµατος ως προς θ,θ,,θ k καλούνται εκτιµήτριες ροπών των θ,θ,,θ k και υµβολίζονται µε ~ θ, ~ θ,, ~ θk Σε αρκετές περιπτώεις η µέθοδος αυτή προφέρει εκτιµήτριες µε καλές ιδιότητες (πχ αεεδ αλλά υπάρχουν και αρκετές περιπτώεις όπου δεν µπορεί να εφαρµοτεί ή δεν οδηγεί ε καλές εκτιµήτριες Πριν περάουµε ε κάποιες εφαρµογές είναι χρήιµο να δούµε που βαίζεται η παραπάνω µέθοδος Συγκεκριµένα έχουµε την επόµενη πρόταη Πρόταη 47 Η δειγµατική ροπή m τάξεως είναι υνεπής εκτιµήτρια της ροπής µ E( τάξεως ενός πληθυµού (υποθ ότι k V ( < Απόδειξη Έτω Χ,Χ,,Χ ένα τδ από µία κατανοµή µε υνάρτηη κ F(x;θ Ιχύει ότι E ( m E( µ µ και V ( V ( m ( ( V V και άρα η m είναι υνεπής εκτιµήτρια του µ Από την παραπάνω πρόταη προκύπτει ότι, για πολύ µεγάλα δείγµατα, πρακτικά θα είναι m µ Εποµένως, για µεγάλο θα ιχύει ότι, m µ(θ θ θ k από όπου λύνοντας παίρνουµε τις εκτιµήτριες ροπών,,,,,,,,k, Άκηη 4 εδοµένου ενός τδ,,, να βρεθούν οι εκτιµήτριες ροπών των παραµέτρων: θ αν Χ ~ εκθετική µε παράµετρο θ, θ αν Χ ~ οµοιόµορφη το (,θ, λ αν Χ ~ Posso µε παράµετρο λ Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 45

16 Λύη Έχουµε µία άγνωτη παράµετρο θ θ και εποµένως θα πάρουµε µία εξίωη µε έναν άγνωτο (k: m µ(θ m E( θ και άρα ~ θ Άρα εάν θέλουµε να εκτιµήουµε την παράµετρο θ ενός πληθυµού που ακολουθεί εκθετική κατανοµή, τότε λαµβάνοντας ένα δείγµα,,, θα έχουµε ότι θ/ ~ Έχουµε και πάλι µία άγνωτη παράµετρο θ θ και εποµένως θα πάρουµε µία εξίωη µε έναν άγνωτο (k: m µ(θ m E( θ, από όπου προκύπτει ότι ~ θ Όµοια, εάν θέλουµε να εκτιµήουµε την παράµετρο θ ενός πληθυµού που ακολουθεί οµοιόµορφη κατανοµή το (,θ, τότε µπορούµε να πάρουµε ότι θ ~ Εδώ θ λ και εποµένως θα πάρουµε και πάλι µία εξίωη µε έναν άγνωτο (k: m µ(θ m E ( λ και τελικά ~ λ - Άκηη 4 εδοµένου ενός τδ,,, από Ν(µ, να βρεθούν οι εκτιµήτριες ροπών των παραµέτρων µ, Λύη Έχουµε δύο άγνωτες παραµέτρους θ µ, θ και εποµένως θα πάρουµε δύο εξιώεις µε δύο αγνώτους (k: m µ(θ,θ m µ(θ,θ m m E( E( µ + µ και άρα λύνοντας ως προς µ, προκύπτουν οι εκτιµήτριες ροπών µ ~, ~ ( S Εποµένως η εκτιµήτρια ροπών του µ ενός κανονικού πληθυµού είναι και πάλι ο δειγµατικός µέος ενώ η αντίτοιχη εκτιµήτρια του είναι η ( S / που είναι υνεπής αλλά δεν είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια (είναι όµως αυµπτωτικά αµερόληπτη Άκηη 4 Έτω ένα τδ,,, από την οµοιόµορφη το (α, b κατανοµή Να βρεθούν οι εκτιµήτριες ροπών των παραµέτρων α, b Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 46

17 Λύη Έχουµε δύο άγνωτες παραµέτρους θ α, θ b και εποµένως θα πάρουµε δύο εξιώεις µε δύο αγνώτους (k: m µ(θ,θ m µ(θ,θ και ιοδύναµα, a + b m E ( m E( Va( + E( ( b a a+ b + a + b a+ b b a ( ( b a Λύνοντας ως προς a, b προκύπτουν οι εκτιµήτριες ροπών ~ ~ a 3 (, b + 3 ( Άρα εάν θέλουµε να εκτιµήουµε τις παραµέτρους a, b ενός πληθυµού που ακολουθεί την ο- µοιόµορφη το (α, b κατανοµή, τότε λαµβάνοντας ένα δείγµα,,, µπορούµε να χρηιµοποιήουµε τις παραπάνω εκτιµήτριες a ~, b ~ β Μέθοδος µέγιτης πιθανοφάνειας Η µέθοδος αυτή είναι αρκετά ιχυρή διότι, µε µία χετικά εύκολη διαδικαία, προφέρει εκτιµήτριες µε πολύ καλές ιδιότητες Όπως και την προηγούµενη παράγραφο, θεωρούµε αρχικά ένα τδ Χ,Χ,,Χ από µία κατανοµή µε υνάρτηη π ή ππ f (x;θ Έτω ότι επιθυµούµε να εκτιµήουµε το θ ή οποιαδήποτε υνάρτηη του, g(θ Η από κοινού ππ ή π των,,, θεωρούµενη ως υνάρτηη του θ, δηλαδή η Lx ( θ f ( x, x,, x; θ f ( x; θ, θα καλείται υνάρτηη πιθανοφάνειας του δείγµατος Η εκτιµήτρια µέγιτης πιθανοφάνειας δίνεται τον επόµενο οριµό Οριµός 48 Μία εκτιµήτρια θ θα καλείται εκτιµήτρια µέγιτης πιθανοφάνειας (εµπ ή MLE της παραµέτρου (ή των παραµέτρων θ αν ιχύει ότι L ( θ θ Θ θ Θ θ sup L ( θ sup f (,,, ; Άρα η εµπ θ είναι την ουία η τιµή της παραµέτρου θ που µεγιτοποιεί τη υνάρτηη πιθανοφάνειας L(θ Συνήθως, αντί να αναζητούµε το ηµείο µεγίτου της L(θ, είναι πιο εύκολο να αναζητούµε το ηµείο µεγίτου του ll(θ (έχουν το ίδιο ηµείο µεγίτου διότι η υνάρτηη l είναι αύξουα Προφανώς, αν k (θ θ και η υνάρτηη ll(θ παραγωγίζεται ε ολόκληρο τον παραµετρικό χώρο Θ (και Θ ανοικτό διάτηµα µπορούµε να βρούµε το ηµείο µεγίτου µέα από τη λύη της εξίωης (ll(θ, ελέγχοντας παράλληλα ότι ( l L ( θ < Άκηη 43 Έτω Χ,Χ,,Χ τδ από κατανοµή Posso µε µέη τιµή λ Βρείτε την εµπ του λ Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 47

18 Λύη Είναι γνωτό ότι η π της κατανοµής Posso (λ είναι f ( x; λ λ e, x,,, λ> λ! x και άρα ο λογάριθµος της υνάρτηης πιθανοφάνειας του δείγµατος θα δίνεται από τον τύπο l L( λ l f ( x; λ l f ( x ; λ l e x λ x λ x! λ ( x ( λ λ le + lλ l x! + x lλ l x! + lλ x l x! Παρατηρούµε ότι η παραπάνω υνάρτηη του λ είναι παραγωγίιµη ε όλο τον παραµετρικό χώρο (, Εποµένως, τα πιθανά λ για τα οποία µεγιτοποιείται η ll(λ θα είναι ρίζες της εξίωης (ll(λ Ειδικότερα θα έχουµε ότι (l L( λ λ+ lλx lx! + x λ λ λ και εποµένως λ, η οποία υµπίπτει µε την εκτιµήτρια ροπών του λ Αποµένει φυικά να επαληθεύουµε ότι η παραπάνω τιµή αποτελεί µέγιτο Πράγµατι, ιχύει ότι λ (l L(λ x x (λ < Αξίζει να παρατηρήουµε ότι οι εµπ έχουν αυµπτωτικά πολύ καλές ιδιότητες Πιο υγκεκρι- µένα αν θ είναι εµπ του θ από δείγµα µεγέθους, αποδεικνύεται ότι, κάτω από κατάλληλες υνθήκες οµαλότητας, η θ ακολουθεί αυµπτωτικά κανονική κατανοµή Επίης, Ε( θ θ και V( θ και εποµένως η θ είναι υνεπής εκτιµήτρια του θ Αποδεικνύεται επίης ότι αυ- µπτωτικά (, η θ είναι άριτη εκτιµήτρια του θ Άρα, η βέλτιτη εκτιµήτρια µιάς παραµέτρου θ όταν έχουµε ένα χετικά µεγάλο δείγµα, θα είναι η εµπ του θ Άκηη 44 εδοµένου ενός τδ,,, από Ν(µ, να βρεθούν: η εµπ του µ αν γνωτό, η εµπ του αν µ γνωτό, οι εµπ των παραµέτρων µ, (και τα δύο είναι άγνωτα Λύη Είναι γνωτό ότι η π της Ν(µ, κατανοµής είναι ( x f ( x; µ e, x R π και άρα ο λογάριθµος της υνάρτηης πιθανοφάνειας του δείγµατος θα δίνεται από τον τύπο ( x l L( µl f ( x ; µ l f ( x; µ l e π l π ( x Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 48

19 Η παραπάνω υνάρτηη του µ είναι παραγωγίιµη ε όλο τον παραµετρικό χώρο (, Εποµένως, τα πιθανά µ για τα οποία µεγιτοποιείται η ll(µ θα είναι ρίζες της εξίωης (ll(µ Ειδικότερα, ( x ( x (l L( µ l π ( x µ µ µ και άρα µ, η οποία υµπίπτει µε την εκτιµήτρια ροπών του µ Η παραπάνω τιµή αποτελεί µέγιτο διότι µ (l L( µ µ x µ < O λογάριθµος της υνάρτηης πιθανοφάνειας του δείγµατος θα ιούται (θέτουµε θ ( x θ l L( θl f ( x ; θ l f ( x ; θ l e πθ ( x µ lπ lθ θ Η παραπάνω υνάρτηη του θ είναι παραγωγίιµη ε όλο τον παραµετρικό χώρο (, Εποµένως, όµοια µε παραπάνω, θα έχουµε ότι και άρα ( x ( x (l L( θ lπ lθ + θ θ θ θ θ θ ( µ, η οποία, όπως έχουµε υποθέει, προϋποθέτει τη γνώη του µ Η παραπάνω τιµή αποτελεί µέγιτο διότι ( x µ (l L(θ + ( x µ θ θ θ θ 3 θ θ (θ (θ θ < 3 (θ (θ (θ (θ (θ O λογάριθµος της υνάρτηης πιθανοφάνειας του δείγµατος θα ιούται (θέτουµε θ ( x θ l L( µ,θl f ( x ; µ,θ l f ( x ; µ,θ l e πθ ( x µ lπ lθ θ Η παραπάνω υνάρτηη των θ, µ είναι παραγωγίιµη ε όλο τον παραµετρικό χώρο (, (, Εποµένως, για να βρούµε το µέγιτο εξιώνουµε τις µερικές παραγώγους µε το Συγκεκρι- µένα θα έχουµε ότι Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 49

20 ( x ( x (l L( µ,θ lπ lθ µ θ θ θ ( x ( x (l L( µ,θ lπ lθ + θ θ θ θ θ και άρα λύνοντας ως προς µ, θ προκύπτει ότι µ θ ( µ µ Παρατηρούµε ότι υµπίπτουν µε τις εκτιµήτριες ροπών ( S Άκηη 45 εδοµένου ενός τδ,,, να βρεθούν οι εµπ των παραµέτρων: θ αν Χ ~ οµοιόµορφη το (,θ θ αν Χ ~ εκθετική µε παράµετρο θ Λύη H π της οµοιόµορφης το (,θ κατανοµής είναι, x (, θ f ( x; θ θ, x > θ και άρα η υνάρτηη πιθανοφάνειας του δείγµατος θα είναι, αν x, x,, x (, θ L( θ f ( x ; θ θ I ( θ θ αν x > θ x, όπου Ι x (θ αν x,,x <θ θ > max x και Ι x (θ αν θ max x Η παραπάνω υνάρτηη του θ δεν είναι παραγωγίιµη ε όλο τον παραµετρικό χώρο (, Πράγµατι, δεν είναι παραγωγίιµη το ηµείο θ max x Εποµένως δεν µπορούµε να ακολουθήουµε τη γνωτή διαδικαία παραγωγίζοντας και εξιώνοντας µε το Εναλλακτικά, θα βρούµε το θ για το οποίο µεγιτοποιείται η L(θ από το γράφηµά της Η γραφική παράταη της υνάρτηης πιθανοφάνειας L(θ θα είναι της µορφής: L(θ max x θ Πράγµατι, η υνάρτηη h( θ Ix ( θ είναι ίη µε αν θ max x ενώ για θ > max x είναι θ φθίνουα Εποµένως το supemum των τιµών της υνάρτηης λαµβάνεται το max x Από τον οριµό της εµπ υµπεραίνουµε τελικά ότι Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 5

21 θ max{,,, Η εκτιµήτρια αυτή είναι καλύτερη από την εκτιµήτρια ροπών ~ θ (αποδεικνύεται ότι έχει µικρότερο µέο τετραγωνικό φάλµα, ενώ είναι αυµπτωτικά αµερόληπτη H π της εκθετικής κατανοµής µε παράµετρο θ είναι } θ x f ( x; θ θ e, x> Ο λογάριθµος της υνάρτηης πιθανοφάνειας του δείγµατος θα δίνεται από τον τύπο x ( l L( θl f ( x ; θ l f ( x ; θ l θe θ ( lθ θ x lθ θ x Η παραπάνω υνάρτηη του θ είναι παραγωγίιµη ε όλο τον παραµετρικό χώρο (, Εποµένως, τα πιθανά θ για τα οποία µεγιτοποιείται η ll(θ θα είναι ρίζες της (ll(θ Ειδικότερα, και άρα (l L( θ lθ θ x x θ θ θ θ η οποία υµπίπτει µε την εκτιµήτρια ροπών του θ Η παραπάνω τιµή αποτελεί µέγιτο διότι θ (l L( θ x < θ θ θ Άκηη 46 Έτω ένα τδ,,, από τη διωνυµική (v, p κατανοµή Να βρεθεί η εµπ της παραµέτρου p Λύη H π της διωνυµικής (v, p κατανοµής είναι v f x p x p x p v x (, (, x,,, Ο λογάριθµος της υνάρτηης πιθανοφάνειας του δείγµατος δίνεται από τον τύπο v x v x l L( pl f ( x ; p l f ( x ; p l p ( p x v l + x l p+ ( v x l( p x Η παραπάνω υνάρτηη του p είναι παραγωγίιµη ε όλο τον παραµετρικό χώρο (, Εποµένως, θα έχουµε v (l L( p l + x l p+ ( v x l( p p p x x v x p p p x p v x ( ( και άρα, λύνοντας ως προς p θα έχουµε ότι Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 5

22 Η παραπάνω τιµή αποτελεί µέγιτο διότι p (l L( p p p p v x ( v x p v p( p p p < Πρόταη 48 (αναλλοίωτου της εµπ Αν g είναι µία - υνάρτηη τότε η εµπ της π g(θ είναι η g ( θ (δηλαδή, g ( θ g( θ Άκηη 47 εδοµένου ενός τδ,,, από Ν(µ, να βρεθεί η εµπ του Λύη Από την Άκηη 44 έχουµε βρει ότι οι εµπ των µ, από κανονική κατανοµή είναι µ, S ( Άρα, χρηιµοποιώντας και την Πρόταη 48(, θα έχουµε ότι η εµπ του g( θα είναι (η g( θ θ είναι - για θ > g( ( Άκηη 48 Έτω ότι η ηµερήια ζήτηη ενός προϊόντος από ένα πολυκατάτηµα ακολουθεί κατανοµή Posso (λ (και είναι ανεξάρτητη από τις άλλες ηµέρες Για λόγους υντήρηης, το πολυκατάτηµα δεν θα διαθέτει το προϊόν αυτό για k ηµέρες Χρηιµοποιώντας τοιχεία που υ- πάρχουν για τη ζήτηη του προϊόντος τις τελευταίες ηµέρες, να εκτιµήετε την πιθανότητα να ζητηθεί το προϊόν αυτό κατά τη διάρκεια της υντήρηης (χρηιµ εµπ Λύη Έτω Χ,Χ,,Χ η ζήτηη του προϊόντος τις τελευταίες ηµέρες Σύµφωνα µε την εκφώνηη οι τµ Χ,Χ,,Χ είναι ένα τδ από την Posso µε µέη τιµή λ Έτω Υ,Υ,,Υ k οι τµ που εκφράζουν τη ζήτηη τις k ηµέρες της υντήρηης Ζητείται η πιθανότητα PY ( > ήy> ή ήy> PY (, Y, Y PY ( PY ( PY ( k k k Επειδή η ηµερήια ζήτηη ακολουθεί κατανοµή Posso η παραπάνω πιθανότητα θα είναι ίη µε e λ e λ e λ e k λ Άρα, δεδοµένου ενός τδ Χ,Χ,,Χ από την Posso (λ, ζητείται η εµπ της g(λ e k λ Γνωρίζουµε από προηγούµενη άκηη ότι η εµπ του λ είναι το και εποµένως, ύµφωνα και µε την Πρόταη 48(, η εµπ της πιθανότητας να ζητηθεί το προϊόν αυτό κατά τη διάρκεια της υντήρηης είναι k g( λ e Boutskas MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, 5

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές

4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή. Εμφανίζεται τις περιπτώεις όπου η υπό εξέταη τ.μ. Χ παίρνει πεπεραμένο πήθος τιμών π.χ. Χ {,,...,} και όες οι πιθανότητες P

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής

Κεφάλαιο 2. Αξιοπιστία μονάδων - συστημάτων στο χρόνο. Κατανομές χρόνων ζωής Κεφάαιο Αξιοπιτία μονάδων - υτημάτων το χρόνο Κατανομές χρόνων ζωής Στο προηγούμενο κεφάαιο εξετάαμε την αξιοπιτία μονάδων ή υτημάτων τατικά δηαδή υποθέταμε ότι η μεέτη γίνονταν πάντα ε κάποια υγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών

(α) (β) (γ) Σχήμα Error! No text of specified style in document.-1: Ελικοειδή ελατήρια διαφόρων διατομών και μορφών 11.6 Ελικοειδή θλιπτικά ελατήρια Στα προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε αναλυτικά τα ελικοειδή κυλινδρικά ελατήρια υμπίεης, κυκλικής διατομής ύρματος. Στο Σχήμα 11-7 φαίνονται (α) κυλινδρικό ελατήριο υμπίεης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006 ΣΤΕΑΜΧ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΚΕΥΗΣ Φ.Ο. ΣΤΟ ΠΡΩΗΝ ΚΤΙΡΙΟ ΚΕΤΕΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: ΛΓΟΣ (ΜΧ) ΒΑΡΛΑΜΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΙΟΥΛΙΟΣ 006 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΣΠΥΡΑΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΛΗΟΥ ΧΡΥΣΑΝΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables) Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών

Υπενθυµίσεις Μηχανικής Παραµορφωσίµων Στερεών Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Διαστήματα εμπιστοσύνης Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Newton-Raphson

Μέθοδος Newton-Raphson Κεφάλαιο 14 Μέθοδος Newton-Raphson Θα συζητήσουµε υπολογισµό της εκτιµήτριας µεγίστης πιθανοφάνειας µε τη µέ- ϑοδο Newton-Raphson. Αν και υπάρχουν περιπτώσεις για τις οποίες η λύση µπορεί να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Εκτίμηση χαρακτηριστικών ελέγχων υποθέσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Εκτίμηση χαρακτηριστικών ελέγχων υποθέσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Εκτίμηση χαρακτηριστικών ελέγχων υποθέσεων Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε μία εφαρμογή της τεχνικής της προσομοίωσης στους στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων. Συγκεκριμένα θα δούμε πως μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ

Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ Κεφάλιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ ρ. Ν. Αλεξό ουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο : ΚΟΠΩΣΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έχει πρτηρηθεί ότι εάν έν µετλλικό εξάρτηµ ή δοκίµιο υποβληθεί ε ενλλόµενες περιοδικές

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodness of fit tests)

Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodness of fit tests) Ενότητα 3: Έλεγχοι καλής προσαρµογής (Goodess of ft tests) Ένα σηµαντικό πρόβληµα στην στατιστική είναι η εξεύρεση πληροφορίας σχετικά µε την µορφή της κατανοµής από την οποία προέρχεται ένα τυχαίο δείγµα.

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΙΡΟΥ ΚΑΙ ΑΕΡΙΑΣ ΡΥΠΑΝΣΗΣ Σπύρος Ανδρονόπουλος Εργατήριο Περιβαλλοντικών Ερευνών Ιντιτούτο Πυρηνικής Τεχνολογίας και Ακτινοπροταίας ΕΚΕΦΕ «ηµόκριτος» sandron@ipta.demokritos.gr

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Όπως έχει αποδειχθεί (βλέπε π.χ. Ε. Ξεκαλάκη και Ι. Πανάρετο 993) οι αναµενόµενες τιµές E( ) και E( m ) παρέχουν σηµαντικές πληροφορίες σχετικά µε την κατανοµή µιας πραγµατικής

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα