Trigonometrijske funkcije

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Trigonometrijske funkcije"

Transcript

1 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β) Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg log a tg Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala Bez uporabe tablica ili račuala, izračuaj kut α ako je tg α Dokaži da je tg π 7 tg π 7 tg 3π Bez uporabe tablica i kalkulatora izračuaj tg Izračuaj kut α ako je ctg α + a + b + c, 1) ctg α + a, ) gdje su a, b, c prirodi brojevi koji isu djeljivi s 4, a a, bc su iracioali brojevi Izračuaj arc tg 1 + arc tg Dokaži da je za prirodi broj broj π iracioala Dokaži da je si 1 iracioala broj Ako je 0 < α < 90 mjera ekog kuta u stupjevima i racioala broj, α 45, oda dokaži da je broj tg α iracioala.

2 10 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 1.1. Dokaži da je za svaki x R bar jeda od brojeva si x, six+1) veći od Odredi ekstreme vrijedosti fukcije y 5six + 1 x Odredi ekstreme fukcije f x) a x + b si x x + c si x Odredi ekstreme vrijedosti fukcije f x, y) x + y x + y) Odredi: a) ajmaju vrijedost fukcije f x) si 100 x x, b) ajveću vrijedost fukcije f x) si x x Dokaži da je 1.. Dokaži jedakost Dokaži da je 1.0. Dokaži da je broj racioala. si π 8 + 3π 8 + si 5π 8 + 7π 8. π 7 4π 7 5π π 7 π 7 + 3π 7 1. si π si 3π 1.1. Odredi vrijedost produkta 1.. Dokaži relaciju si 5π 7π 9π si si π korijea)

3 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE Dokaži da je za svaki prirodi > 1 si π si π si 1)π Ako je si α + si β a iα + β b, a + b 0, odredi: a) siα + β) iα + β), b) tg α + tg β, α, β 0, π Na - di vezu izme - du parametara a, b, c, d ako je: a x si y si z, b si x y si z, c si x si y z, d x y z Ako je si x si y z) a, si y si z x) b, si z si x z) c, izračuaj six + y + z) Odredi vrijedosti izraza tg x + ctg x,akoje 0< x < π, m R ). si x + x si x x m, 1.8. a) Odredi temelji period fukcije f x) x [x]) si 3πx. b) Je li fukcija f x) x x 1 periodiča? 1.9. Odredi temelji period fukcije x si x Ako je fukcija f x) x + a 1 x + a x a x periodiča, dokaži da su tada brojevi a 1, a,...,a racioali Neka su a 1,...,a reali brojevi, f x) a 1 + x)+ a + x) a + x) 1. Dokaži da iz f x 1 )fx )0 slijedi x 1 x mπ, m Z.

4 1 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 1.3. Dokaži da si α si α si 3α 1 e vrijedi i za jeda α R Neka je si x 1 + si x + si x 3 0 x 1 + x + x 3 1. Dokaži da za eki x k {x 1, x, x 3 } vrijedi si x k 0ix k Dokaži da se za svaki prirodi broj tg 15 + ctg 15 može apisati u obliku sume kvadrata tri uzastopa priroda broja Dokažite da ako je α + α 0, tada za svaki eegativi cijeli broj postoje epari cijeli brojevi a i b za koje vrijedi α) 1 4 a + b 17) Dokaži da je za bilo koji N i α R, > 1, siα 0 ) poliom Px) x si α x si α + si 1)α, djeljiv poliomom Qx) x x α Neka su α, β, γ, δ [ π, π ] takvi da je si α + si β + si γ + si δ 1, i α + β + γ + δ Dokaži da je α, β, γ, δ [0, π 6 ] Neka su a, b, A, B dai reali brojevi. Promotrimo fukciju f x) 1 a x b si x A x B si x. Ako je f x) 0zasvakix, dokaži da je a +b ia +B 1. i Rješeja zadataka 1.1. Primjeom adicijskog teorema za fukciju tages, dobivamo 1 + tg α)1 + tg β) 1 +tg α + tg β)+tg α tg β 1 + tgα + β) tg α tg β tgα + β)+tg α tg β tg α tg β + tg α tg β jer iz α + β π 4 slijedi tgα + β) tg π 4 1.

5 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 13 Aalogo 1.. Vrijedi tg 1 tg 89 tg 1 ctg 1 1. tg tg 88 tg ctg 1, Kako je još tg45 1, to je cijeli izraz jedak log a tg 1 + log a tg log a tg 89 itd. log a tg 1 tg tg 89 )log a Trasformirajmo brojik: ) 40 si30 si si 10 si 50 si si 0 Zato je tražei izraz jedak Račuajmo a ovaj ači: tg α 3 + 1) + 1) 3 ) + 1) 1) te je α si 15 si 15 si 60 si 45 si 45 si 30 si tg Dokažimo prvo lemu pri kojoj za svaki cijeli > 1 vrijedi si π si π 1... si π 1. 1) Nultočke polioma Px) x 1 x 1)x A)x A )... x A 1 ), gdje je A π + i si π. Imamo lim x 1 x 1 x 1 lim x 1 x x + 1) 1 A)1 A )... 1 A 1 ),

6 14 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE odakle slijedi 1 A 1 A... 1 A 1.Zak 1,,..., 1 vrijedi tj. 1 A k 1 si kπ k1 1 kπ ) + si kπ sikπ, 1 si kπ 1. k1 Sada je prema lemi 1) tg π 7 tg π 7 tg 3π π 7 π 7 3π 7, odakle je koristeći formule si x six x isiα siπ α) tg π 7 tg π 7 tg 3π si π si 7 4π si 7 π 7 si π si 6π 7 si 3π Iz tg3 36 )tg108 tg0 7 ) tg 7 tg 36 ), primjeom formula tg α tgα 1 tg itg3α tgα + α) α 3tgα tg 3 α 1 3tg α dobivamo 3tg36 tg tg 36 tg36 1 tg 60. Supstitucijom t tg 36 0, 1 slijedi: 3t t 3 1 3t t 1 t t 5 10t + 5t 0 t ) 10t t 5 5.

7 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 15 Zbog t 0, 1 slijedi t 5 5, pa je tg tg α tg β Sada, primjeom formule tgα β) 1 + tg α tg β izlazi tg 9 tg45 36 ) tg45 tg tg 45 tg Koristeći 1) i ) u formuli ctgα ctg α 1 ctgα, dobivamo 4 a bc b + c a 5. 3) Budući su a, b, c N, to je razlika 4 a bc Z. Pretpostavimo da je ta razlika različita od ule, tj. 4 a bc + R, R 0. Kvadrirajem dobivamo 16a 4bc + R + 4R bc, odakle slijedi da je bc racioala broj za R 0,što je kotradikcija s uvjetom zadatka. Sada je R 0, pa iz 3) dobivamo 4 a } } bc bc 4a c4 b) 45 b). b + c a 5 b + c a 5 Kako je b 0 i ije djeljivo s 4 dobivamo c 4 4 b b 4 b. Na temelju posljedje jedakosti aslućujemo sljedeće mogućosti 1 4 b 1, tj. b 3; 4 b 1, tj. b 5; 3 4 b, tj. b ; 4 4 b, tj. b 6; Mogućosti 1 i otpadaju, jer a ije elemet N.Zab dobivamo c 6ia 3,teza b 6 dobivamo c ia 3. Dobivee vrijedosti za a, b i c zadovoljavaju sve uvjete zadatka, pa je ctg α i ctgα + 3 odakle je α arc tg + 3), te koačo α Neka je α arc tg 1, β arc tg 1 3. Tražimo γ α + β. Vrijedi tg α 1,tgβ 1 tg α + tg β 3,tgγ tgα + β) 1 tg α tg β 1paje γ π 4 + kπ, k Z.

8 16 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 1.9. Dokazujemo idukcijom. Za je π 4, iracioala broj. Pretpostavimo da je za > broj π iracioala. Tada je zbog relacije π π +1 1 i broj π +1 tako der - iracioala Pretpostavimo da je si 1 m, racioala broj. Tada su 1 1 si 1 i 1 si 1 racioali brojevi. Aalogo se dobiva da su brojevi 4,8, 16, 3 racioali. Medutim, - tada bi vrijedilo: ) 3 + si 3 si si 1. S lijeve strae je iracioala, a s dese strae racioala broj. Proturječje! Pretpostavimo suproto, tj. da je tg α p, p, q N, Mp, q) 1, p q. 1) q Po pretpostavci je α racioala pa postoje m, N takvi da je α m 0 i Mm, ) 1. ) Koristeći Moivreove formule za -tu poteciju kompleksih brojeva α + i si α) α + i si α, α i si α) α i si α, te iz ) čijeicu da je si α 0 slijedi α + i si α) α i si α). Podijelivši ovu jedakost s α 0 dobivamo što zbog 1) dalje daje 1 + i tg α) 1 i tg α) q + ip) q ip) što zbog Biome formule možemo zapisati kao ) q ip) [q ip)+ip] q ip) + q ip) 1 ip ) + q ip)ip) 1 +ip). 1 3)

9 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 17 Odavde je [ ) ip) 1 q ip) q ip) + 1 ) q ip) 3 ip +... ) + ip) ]. 1 Kompleksi broj a lijevoj strai ove jedakosti mora biti jedak kompleksom broju a desoj, pa moraju biti jedaki i kvadrati jihovih formula, odakle mora vrijediti p) p + q ) z 4) gdje je z kompleksi broj u uglatim zagradama. Očito je z priroda broj, pa zbog 4) zaključujemo da p) mora biti djeljiv s p + q ). S druge strae je Mp, q) 1,pajei Mp, p + q )1 što avodi a to da mora biti djeljiv s p + q. Pokažimo da je to emoguće! Najprije, p i q e mogu biti istovremeo pari jer je to u kotradikciji s 1), pa razlikujemo dva slučaja: i) Ako je p para i q epara ili obruto) oda je p + q epara, pa očito ije djeljiv s p + q ). ii) Ako su p i q epari oda su oi oblika p k ± 1 i q l ± 1; k, l N, pa je p + q k + l + k + l + 1). Odavde zaključujemo da p + q ) sadrži epara faktor. vidjeti da je o različit od 1. Zaista, kada bi bilo k + l + k + l + 1 1, k + l + k + l 0, tj. Treba slijedilo bi k l 0,atojeemoguće jer po pretpostavci je p q. Dobivea kotradikcija pretpostavci 1) dokazuje tvrdju zadatka Neka su A i B točkeajediičoj kružici za koje je si <)COB 1 3,si<)COA 1 3 sl.??). Obilježimo sa X i X točke te kružice takvedaje <)COX x i <)COX x mjereo u radijaima). Moramo pokazati da se barem jeda od točaka X ili X e alazi a luku ACB. U tu je svrhu dovoljo pokazati da je <)AOB maji od jedog radijaa.

10 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE Imamo si <)AOB si<)cob) si arcsi 1 ) 3 si arc si 1 ) arc si 1 ) ) 4 1 < y X 1_ 3-1_ 3 0 B X A x Sl S druge strae je si 1 > si π 4 > 0.7. Dobili smo si <)AOB < si 1 i stoga je <)AOB < 1,što je trebalo pokazati Napišimo fukciju u obliku y si x + 13 x).ka- ) + 1 ) 13 1, to postoji kut α takav da je α 5 13 i, pa se fukcija dade apisati u obliku ko je 5 13 si α 1 13 y 13 α si x + si α x) 13 six + α). Najveća vrijedost y max 13 poprima se za x π α +kπ, a ajmaja y mi 13 za x π α + kπ f x) a x + b si x x + c si x 1 + x a + b si x + c a + c a + c + a c x + b si x + A six + ϕ), 1 x

11 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 19 ) gdje je A a c + b, ϕ arc tg a c pa f x) ima ekstreme b istovremeo kad i six + ϕ). Stoga je f x) mi a + c ) a c + b f x) max a + c ) + a c + b Očito je zbog α 1, f x, y) 3. Kako je za x y π, f x, y) π + π π 3, to je miimum fukcije 3. Trasformiramo li fukciju f x, y) x+ y x y x+ y + 1 x+ y x y ) + 1 x y + 1 Budući je za x y π x+ y 3 1 x y π ,a x y 0 1, to je f π3, 3 π ) 3, maksimum fukcije a) Usporedimo li srediu reda 50 s aritmetičkom srediom za brojeve si x i x, dobivamo: 50 si x) 50 + x) 50 si x + x 1. Stoga je f x) 1 49,kodčega f postiže tu doju graicu za sve x za koje je si x x, pr. x π 4. b) Očito je dovoljo gledati f samo a itervalu 0, π,akojemu su si x ixpozitivi. Nejedakost izmedu - geometrijske i kvadrate sredie za +1) -torku brojeva si x,...,si x, x) daje +1 si x x si x si x + x iz čega slijedi f x),pričemu se taj ekstrem postiže za + 1) +1 si x x, tj. tg x.

12 0 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE Vrijedi si π 8 + 3π 8 + 5π si 8 + 7π 8 si π 8 + π 5π ) + si 5π π π ) 8 si π 8 + 5π 8 + si 5π 8 + π Ozačimo A π 7 4π 7 5π Tadaje A si π 7 si π 7 π 7 4π 7 5π 7 Odavde je A si π 7 4π 7 5π 7 1 si 5π 7 4π 7 5π π si 4 7 4π si 4π 7 4π si 8π si π 7 π 7 π 7 + 3π 7 1 π 14 π 14 π 7 π 14 π 7 + π 14 3π 7 1 π 1 3π 14 + π 5π 3π π ) π π 7π ) π π Koristili smo formulu trasformacije produkta u sumu: x y 1 [x + y)+x y)]. ) + 7π 14

13 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE Budući je si 3π si π 6 1,si9π si π 1, izraz 1) postaje 1 si π 5π 7π si si. Koristeći formule si x six x isix π x), izraz 1) dalje možemo trasformirati 1 si π π 4π π π 1 4 si 4π 4π 1 8 π 16 1 si 8π π što je očigledo racioala broj. si π π π 1 16 π π 1.1. Ozačimo li zadai produkt s A, imamo redom: A π 1 16, si si 10 si 5 A si 5 5 ) 10 si 10 ) si 40 ) 8 A si 10 si 0... si 80 8 A si )... si ) 1 A 3 si 0 si 40 si 80 ) 3 si 0 si 40 si 80 ) 3 si 0 si 60 si 0 ) 3 34 si 0 si 3 0 ) 3 8 3si0 4si 3 0 ) 3 8 si , odakle sada jedostavo dobivamo A Za 1je π 4 te je relacija istiita. Pretpostavimo da tvrdja vrijedi za broj : π A,

14 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE u zapisu je korijea). Tada za broj + 1 imamo π π A + A 1 + A. 4 Dobili smo idetiča izraz, s + 1 korijea. Time je tvrdja dokazaa Jedadžba z 1 ima za rješeja sljedećih kompleksih brojeva: 1 kπ Ozačimo ih redom kπ + i si, z 0 0π + i si 0π 1, z 1 π + i si π,. z 1 1)π k 0, 1,..., 1. + i si 1)π. Ti su brojevi ul-točke polioma z 1. Stoga se taj poliom dade prikazati u obliku z 1 z z 0 )z z 1 ) z z 1 ) Dijeljejem s faktorom z 1) slijedi z 1)z z 1 ) z z 1 ) z 1 z 1 z 1 + z z + 1 z z 1 ) z z 1 ). Ova relacija vrijedi za svaki kompleksi broj z. Izaberimo z 1: 1 z 1 )1 z ) 1 z 1 ) i uzmimo apsolutu vrijedost obiju straa: 1 z 1 1 z 1 z 1.

15 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 3 Umošci a desoj strai sreduju - se ovako: 1 z k 1 kπ kπ ) + i si kπ kπ 1 i si sikπ si kπ i kπ ) si kπ si kπ + kπ ) Odavde što dokazuje tvrdju. si kπ. si π siπ si 1)π. tj a) Imamo redom si α + si β α + β a b, tg α + β si α+β α β α+β α β a b 1 α + β) 1 + α + β), a b, odakle kvadrirajem slijedi α + β) b a b + a, tj. siα + β) 1 α + β) b) Kreimo od idetiteta ab a + b. tg α + tg β si α β + si β α α+ β si α β α β. Iz jedadžbi a si α + si β + siα si β i b α + β + α β zbrajajem dobivamo α β) a + b. Nadalje, α β α β)+1 a + b. Kako vrijedi b

16 4 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE α + β α+ β odakle dobivamo α β, to imamo α+ β si α + β 1 b a + b a a + b, α β 1 α β + α + β ) 1 a + b + Napoko se dobiva tg α + tg β b ) a + b + b a + b 4 a + b. 4a a + b + b. b a + b, 1.5. Redom je ac 1 4 si x si z si y i bd 1 4 si x si z y, odakle zbog y 1 si y slijedi si y ac bd + ac. 1) Dalje je bc 1 4 si y si z si x i ad 1 4 si y si z x odakle slijedi si x bc ad + bc. ) Nadalje je ab 1 4 si x si y si z i cd 1 4 si x si y z, tj. si z ab cd + ab. 3) Jedostavo dobivamo abc d si x si y si z odakle uz 1), ) i 3) koačo slijedi 1.6. Imamo redom: ab + cd) ac + bd) ad + bc) abcd. si x si y z) a [si x siy z)][si x + siy z)] a x + y z si x y + z si x + y z si x y + z x y + z si x + y z x y + z x + y z a a six y + z) six + y z) a. 1)

17 1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE 5 Sličo dobivamo si x + y + z) six + y z) b ) si x + y + z) six y + z) c. 3) Pomožimo li 1), ) i 3), te izvadimo li drugi korije, dobivamo: si x + y + z) six y + z) six + y z) abc. 4) bc Podijelimo li 4) redom s 1), ) i 3) dobivamo si x+y+z) a, ac ab six y+z) b isix+y z), odakle slijedi x+y+z c bc ac ab arc si, x y + z arc si, x + y z arc si a b c.zbrajajem ovih jedadžbi dobivamo bc ac ab x + y + z arc si + arc si + arc si a b c. Upotrebom idetiteta siα + β + γ )si α β γ + α si β γ + α β si γ si α si β si γ, te uz siarc si x) x iarc si x) 1 x, dobivamo bc six + y + z) 1 ac ) 1 ab ) ac + 1 bc ) 1 ab a b c b a c ab + 1 bc ) 1 ac ) abc. c a b 1.7. Vrijedi tg x + ctg x si x x + x si x si x + x 1 si x x si x x. Ozačimo t si x x. Kvadrirajem i sredivajem - izraza si x + x si x x m dobivamo m t t 1 0. Odavde t 1 ± 1 + m m. Zbog t > 0 imamo t m m.zato,tgx + ctg x m 1 + m + 1. )

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA STATISTIKA

MATEMATIČKA STATISTIKA MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b.

b = k a. Govorimo jošda a dijeli b ipišemo a b. 1 DJELJIVOST 1.1. Djeljivost. Prosti brojevi Količnik dvaju prirodnih brojeva nije uvijek prirodni broj. Tako na primjer, broj 54 8 nije prirodan, jer 54 nije djeljiv s 8. Broj 221 jest prirodan, jer 221

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA II

MATEMATIČKA ANALIZA II MATEMATIČKA ANALIZA II primjeri i zadaci Ilja Gogić, Ate Mimica 6. siječja. Sadržaj Derivacija 5. Tehika deriviraja............................... 5. Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija..............

Διαβάστε περισσότερα

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2. 4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE

Διαβάστε περισσότερα

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehi ki fakultet Rje²eje doma e zada e Iºejerska matematika Haru iljak Decembar 009. Zad. U sljede em izrazu izvr²ite sve aza ee operacije u skupu kompleksih brojeva: cis π

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

1. Skup kompleksnih brojeva

1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

12. PRIMJENE DERIVACIJA

12. PRIMJENE DERIVACIJA Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike. PRIMJENE DERIVACIJA INTERVALI MONOTONOSTI Podsjetimo se što zači da je ukija mootoa a ekom itervalu I ( ab : Neka je : I R I ( ab R. Ako

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini)

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) INŽENJERSKA MATEMATIKA Tko je a poziciji vlasti o e treba praviti smisla. (Čarska poslovica.) P r e d a v a j a z a d v a a e s t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 009/00. godii) 5.9. Primjee diferecijalog

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα