Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis"

Transcript

1 Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής στον πληθυσμό. Μας βοηθά στον εντοπισμό «προβληματικών» τιμών, δηλαδή των τιμών της μεταβλητής που είναι απομακρυσμένες από το σώμα των υπόλοιπων τιμών και να τις χαρακτηρίσουμε ως ακραίες ή έκτροπες ή, ακόμα και λανθασμένες και να αποφασίσουμε για τον τρόπο που θα τις διαχειριστούμε. Επίσης, μας βοηθά να διαγνώσουμε την Κανονικότητα του πληθυσμού, δηλαδή ελέγξουμε εάν τα δεδομένα μας προέρχονται από έναν πληθυσμό που ακολουθεί την Κανονική Κατανομή. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό, καθώς πολλές από τις μεθόδους της Στατιστικής που χρησιμοποιούμε για την περαιτέρω ανάλυση των δεδομένων προϋποθέτουν την Κανονικότητα του πληθυσμού. 1. Αριθμητικές Μέθοδοι 1.1 Μέρα Κεντρικής Τάσης Ο Αριθμητικός Μέσος (Arithmetic Mean) X Εκτιμά τη μέση τιμή στον πληθυσμό Για συμμετρικές (ή σχεδόν συμμετρικές) κατανομές, ο μέσος είναι σημείο του άξονα συμμετρίας (ή πολύ κοντά σε αυτόν). Η Δειγματική Διάμεσος (Sample Median) Εκτιμά τη διάμεσο τιμή στον πληθυσμό. M d ή M e ή Q 2 Είναι η μεσαία από τις τιμές του δείγματος όταν αυτές διαταχθούν σε αύξουσα, συνήθως, σειρά. Όταν μας δίνεται η διάμεσος, γνωρίζουμε ότι στο 50% του δείγματος (αντίστοιχα του πληθυσμού) οι τιμές της μεταβλητής που μελετούμε είναι μικρότερες από την διάμεσο τιμή. Σε συμμετρικές (ή σχεδόν συμμετρικές) κατανομές, ο αριθμητικός μέσος και η διάμεσος συμπίπτουν (ή βρίσκονται πολύ κοντά). Σε μονοκόρυφες κατανομές με ασυμμετρία, ο μέσος απομακρύνεται από τη διάμεσο προς την κατεύθυνση που εμφανίζεται η «ουρά» της κατανομής. Σε περιπτώσεις έντονης ασυμμετρίας, η διάμεσος είναι προτιμότερη ως μέτρο κεντρικής τάσης (θεωρείται, δηλαδή, καλύτερος εκπρόσωπος του πληθυσμού)

2 2 Η Δειγματική Επικρατούσα Τιμή (Sample Mode) Εκτιμά την επικρατούσα τιμή στον πληθυσμό. M o Είναι η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης. Χρησιμοποιείται λιγότερο από τον μέσο και τη διάμεσο. 1.2 Μέτρα Σχετικής Θέσης Τα τεταρτημόρια (quartiles) ενός δείγματος ή ενός πληθυσμού είναι εκείνες οι τιμές που χωρίζουν το δείγμα (αντίστοιχα τον πληθυσμό) σε τέσσερα ισοπληθή μέρη. 1 ο τεταρτημόριο ή Q 1 Στο 25% του δείγματος (αντίστοιχα) του πληθυσμού οι τιμές της μεταβλητής είναι μικρότερες από το Q 1, ενώ στο υπόλοιπο 75% μεγαλύτερες από το Q 1. 2 ο τεταρτημόριο ή Q 2 Στο 50% του δείγματος (αντίστοιχα) του πληθυσμού οι τιμές της μεταβλητής είναι μικρότερες από το Q 2, ενώ στο υπόλοιπο 50% είναι μεγαλύτερες. ο τεταρτημόριο ή Q Στο 75% του δείγματος (αντίστοιχα) του πληθυσμού οι τιμές της μεταβλητής είναι μικρότερες από το Q, ενώ στο υπόλοιπο 25% είναι μεγαλύτερες. 1. Μέτρα μεταβλητότητας Η δειγματική διασπορά (sample variance) standard deviation) s 2 s και η δειγματική τυπική απόκλιση (sample Εκτιμούν τη διασπορά 2 και την τυπική απόκλιση στον πληθυσμό. Όταν η διασπορά (αντίστοιχα η τυπική απόκλιση) είναι αυξημένη γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τιμές τις μεταβλητής αρκετά απομακρυσμένες από το μέσο. Σε μία Κανονική Κατανομή, το 95% των τιμών της μεταβλητής βρίσκεται εντός των ορίων 2. Ο συντελεστής μεταβλητότητας (coefficient of variation) cv % Σύνολα δεδομένων για τα οποία cv% 10% θεωρούνται ομοιογενή (μικρής μεταβλητότητας) Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος IQR (Interquartile Range) IQR Q Q1 : Περιέχει το 50% των κεντρικών παρατηρήσεων. Μικρό ενδοτεταρτημοριακό εύρος, σημαίνει μικρή μεταβλητότητα των δεδομένων. Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος είναι περισσότερο ανθεκτικό ως μέτρο της διασποράς από Μαρίνα Σύρπη

3 ότι η διασπορά και η τυπική απόκλιση, δηλαδή δεν επηρεάζεται από την παρουσία ακραίων τιμών. Επίσης, στην Κανονική Κατανομή το ενδοτεραρτημοριακό εύρος είναι περίπου ίσο με 4 τα 4/ της τυπικής απόκλισης. Δηλαδή IQR. 1.4 Μέτρα Ασυμμετρίας και Κύρτωσης Ο δείκτης ασυμμετρίας (Skewness) είναι μέτρο της ασυμμετρίας μιας κατανομής. Για μια συμμετρική κατανομή 0. Για κατανομή με θετική ασυμμετρία 0 και M o M e X Για κατανομή με αρνητική ασυμμετρία 0 και X M e M o Επιπλέον, εάν γνωρίζουμε το τυπικό σφάλμα (standard error) του συντελεστή ασυμμετρίας τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παρακάτω βοηθητικό πίνακα: Σχέση και se.. 2 se.. Συμπέρασμα κατανομή συμμετρική 2 se.. και >0 κατανομή με θετική ασυμμετρία 2 se.. και <0 κατανομή με αρνητική ασυμμετρία Ο δείκτης κύρτωσης (kurtosis) μιας κατανομής συγκρίνει «οξύτητα» της κατανομής με αυτήν της Κανονικής Κατανομής. Για μια μεσόκυρτη κατανομή 0 Για μια λεπτόκυρτη κατανομή 0 Για μια πλατύκυρτη κατανομή 0 Επιπλέον, εάν γνωρίζουμε το τυπικό σφάλμα (standard error) του συντελεστή ασυμμετρίας τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παρακάτω βοηθητικό πίνακα: Σχέση και se.. μεσόκυρτη 2 se.. 2 se.. και >0 λεπτόκυρτη 2 se.. και <0 πλατύκυρτη Συμπέρασμα Σημειώσεις Στατιστικής

4 4 2. Διερεύνηση Κανονικότητας ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1 ο Μια κατανομή που είναι συμμετρική και μεσόκυρτη μπορεί να χαρακτηριστεί ως Κανονική. Επομένως, για να θεωρήσουμε κανονικότητα, θα πρέπει: 2 se.. και 2 se.. 2 ο 4 Μια κατανομή για την οποία IQR s,μπορεί να χαρακτηριστεί ως Κανονική ο Μια κατανομή για την οποία R 6s,μπορεί να χαρακτηριστεί ως Κανονική 4 ο Έλεγχος Κανονικότητας 0 1 : Τα δεδομένα προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό : Τα δεδομένα ΔΕΝ προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό Για, n 50 χρησιμοποιούμε το στατιστικό Shapiro Wilk Για, n 50 χρησιμοποιούμε το στατιστικό Kolmogorov Smirnov Όταν sig. 0.05, δεχόμαστε την 0, δηλαδή ότι τα δεδομένα προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό. Εάν ικανοποιείται κάποιο από τα παραπάνω κριτήρια, θα θεωρούμε ότι τα δεδομένα μας προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό. Γραφικές Μέθοδοι.1 Ιστογράμματα Το ιστόγραμμα είναι το κύριο γράφημα που χρησιμοποιούμε για τη διερευνητική ανάλυση των δεδομένων. Αποτελείται από ορθογώνια, κατά κανόνα ίσου πλάτους, με το ύψος κάθε ορθογωνίου να ισούται είτε με το πλήθος είτε με την αναλογία είτε με το ποσοστό των τιμών της μεταβλητής που ανήκουν στην κλάση. Ένα ζήτημα που αντιμετωπίζουμε με τα ιστογράμματα είναι η επιλογή του πλήθους των κλάσεων, καθώς ο αριθμός του πλήθους των κλάσεων μπορεί να επηρεάσει τη μορφή του ιστογράμματος. Παρόλο που τα στατιστικά προγράμματα που χρησιμοποιούμε για την επεξεργασία των δεδομένων προσδιορίζουν αυτόματα των αριθμό των κλάσεων, τα περισσότερα από αυτά μας επιτρέπουν να αλλάζουμε αυτό τον αριθμό και να πειραματιζόμαστε. Σε πολλές περιπτώσεις για την επιλογή του πλήθους των κλάσεων χρησιμοποιούμε τον εμπειρικό τύπο πλήθος κλάσεων ln( n), n το μέγεθος του δείγματος Μαρίνα Σύρπη

5 5.2 Θηκογράμματα και απομακρυσμένα σημεία Μία ιδιαίτερα χρήσιμη γραφική τεχνική για μονοδιάστατα δεδομένα είναι τα θηκογράμματα. Τα θηκογράμματα μας πληροφορούν για το κέντρο των δεδομένων, τη συμμετρία ή για το είδος της ασυμμετρίας αλλά και για ακραίες τιμές. Επίσης, τα θηκογράμματα είναι πολύ χρήσιμα όταν θέλουμε να συγκρίνουμε διαφορετικά σύνολα δεδομένων. Για την κατασκευή ενός θηκογράμματος χρησιμοποιούνται 5 στατιστικά: Η ελάχιστη τιμή (min), το 1 ο τεταρτημόριο Q 1, το 2 ο τεταρτημόριο Q 2 που είναι η διάμεσος, το ο τεταρτημόριο Q και η μέγιστη τιμή (max). Επίσης, για την κατασκευή του θηκογράμματος, αλλά και για το χαρακτηρισμό των «απομακρυσμένων σημείων» χρησιμοποιούμε τους παρακάτω κανόνες: Σημεία που βρίσκονται σε απόσταση μεγαλύτερη από 1.5Q Q είτε από το Q χαρακτηρίζονται ως ακραία σημεία. μονάδες, είτε από το Q 1 1 Σημεία που βρίσκονται σε απόσταση μεγαλύτερη από Q Q από το Q χαρακτηρίζονται ως έκτροπα σημεία. μονάδες, είτε από το Q 1 είτε 1 Για να κατασκευάσουμε ένα θηκόγραμμα σχεδιάζουμε αρχικά ένα ορθογώνιο, με την κάτω βάση του να βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο και την επάνω βάση του στο ο τεταρτημόριο. Μέσα σε αυτό το ορθογώνιο σχεδιάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, εκεί όπου βρίσκεται η διάμεσος. Στη συνέχεια, ξεκινώντας από τα μέσα των βάσεων σχεδιάζουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα, τους μύστακες. Σημειώσεις Στατιστικής

6 6 Έκτροπο σημείο Ακραίο σημείο Άκρο άνω μύστακα: Εδώ, σε απόσταση το πολύ 1.5 Q Q μονάδων από το Q 1 άνω μύστακας IQR Q Q1 Διάμεσος κάτω μύστακας Άκρο κάτω μύστακα: Εδώ, στο ελάχιστο (min) σημείο Θηκόγραμμα με κατακόρυφο προσανατολισμό Το μήκος των μυστάκων καθορίζεται ως εξής: Εάν δεν υπάρχουν ακραία (και κατά συνέπεια έκτροπα σημεία) οι μύστακες φέρονται μέχρι το μέγιστο σημείο, ο άνω μύστακας και μέχρι το ελάχιστο σημείο, ο κάτω μύστακας. Εάν υπάρχουν ακραία σημεία, οι μύστακες φέρονται μέχρι τα σημεία που δεν απέχουν απόσταση μεγαλύτερη από 1.5( Q Q1). Στην περίπτωση αυτή, σημειώνουμε τα ακραία σημεία, συνήθως με μία κουκίδα. Εάν, επιπλέον, υπάρχουν και έκτροπα σημεία, τα σημειώνουμε χρησιμοποιώντας διαφορετικό σύμβολο. Μαρίνα Σύρπη

7 7 Απομακρυσμένα σημεία Να σημειώσουμε εδώ ότι ο όρος «ακραίο σημείο» δεν καλά ορισμένος στη στατιστική και πολλές φορές ο χαρακτηρισμός ενός σημείου ως ακραίο ή ως έκτροπο εξαρτάται από τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Ωστόσο, αυτό δεν μας δημιουργεί κάποιο πρόβλημα. Το θηκόγραμμα είναι μία τεχνική της διερευνητικής ανάλυσης των δεδομένων από την οποία αντλούμε πληροφορίες και όχι μια διαδικασία εξαγωγής οριστικών συμπερασμάτων. Τιμές οι οποίες, κατά την κατασκευή ενός θηκογράμματος, χαρακτηρίζονται ως ακραίες ή ως έκτροπες είναι απλώς «ύποπτες» τιμές, δηλαδή τιμές οι οποίες μπορεί να είναι λανθασμένες ή να είναι ασυνήθιστες. Επιπλέον, το πλήθος των σημείων που χαρακτηρίζονται ως ακραία εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος και από το σχήμα της κατανομής. Για παράδειγμα, σε δεδομένα που προέρχονται από Κανονικό πληθυσμό το 0,7% των τιμών χαρακτηρίζονται ως ακραία, και μοιράζονται πάνω και κάτω από το θηκόγραμμα. Το θηκόγραμμα μας δίνει πολύτιμες πληροφορίες για την ασυμμετρία και την κύρτωση της κατανομής. Ασυμμετρία Σε μία συμμετρική κατανομή, η διάμεσος εμφανίζεται στο μέσο του θηκογράμματος και οι μύστακες έχουν το ίδιο μήκος. Στις κατανομές που εμφανίζουν θετική ασυμμετρία η διάμεσος απομακρύνεται από την επάνω βάση του ορθογωνίου και μετακινείται προς τα κάτω. Προφανώς όσο ποιο έντονη γίνεται η θετική ασυμμετρία τόσο περισσότερο μετακινείται η διάμεσος προς τα κάτω. Επιπλέον, ο πάνω μύστακας είναι μεγαλύτερος από τον κάτω. Καθώς αυξάνεται η θετική ασυμμετρία, ο πάνω μύστακας γίνεται ολοένα μεγαλύτερος. Αντίστροφα, που εμφανίζουν αρνητική ασυμμετρία η διάμεσος μετακινείται προς την επάνω βάση του θηκογράμματος και μεγαλώνει το μήκος του κάτω μύστακα. Κύρτωση Στις λεπτόκυρτες κατανομές οι μύστακες έχουν μεγάλο μήκος, ενώ στις πλατύκυρτες κατανομές το μήκος των μυστάκων είναι μικρό. Μεταβλητότητα Σε σύνολα δεδομένων με μικρή μεταβλητότητα, ενδοτεταρτημοριακό εύρος IQR Q Q1 είναι μικρό. Αυτό σημαίνει ότι το ύψος του ορθογωνίου δεν θα είναι μεγάλο. Ορθογώνια με μεγάλο ύψος, αποτελούν ένδειξη ότι στα δεδομένα μας αυξημένη μεταβλητότητα. Σημειώσεις Στατιστικής

8 8 Παράδειγμα 1 ΔΕΙΚΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΗΛΙΚΩΝ ΑΝΔΡΩΝ (n=120) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ SPSS Ιστόγραμμα Συχνοτήτων και Έλεγχος Κανονικότητας Ιστόγραμμα Συχνοτήτων και Καμπύλη την Κανονικής Κατανομής Παρατηρούμε ένα μονοκόρυφο ιστόγραμμα με θετική ασυμμετρία, και μια σχετικά ικανοποιητική προσαρμογή στην Κανονική Κατανομή. Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. BMI, ,055,96 120,002 a. Lilliefors Significance Correction 0 1 : Τα δεδομένα προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό : Τα δεδομένα ΔΕΝ προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό Επειδή το δείγμα μας είναι μεγαλύτερο των 50 παρατηρήσεων, η Κανονικότητα ελέγχεται από το Kolmogorov Smirnov. Καθώς Sig. = > 0.05, και μπορούμε να ισχυριστούμε ότι τα δεδομένα μας προέρχονται από Κανονικό πληθυσμό. Μαρίνα Σύρπη

9 9 Πίνακας Στατιστικών Statistics BMI N Valid 120 Missing 0 Mean (Αριθμητικός Μέσος) 27,1008 Median (Διάμεσος) 26,5500 Mode (Επικρατούσα Τιμή) 26,2700 Std. Deviation (Τυπική Απόκλιση) 4,60574 Variance (Διασπορά) 21,21 Coefficient of variation ( %) (Συντελεστής μεταβλητότητας %) 16,99 Skewness (Ασυμμετρία),606 Std. Error of Skewness (τυπικό σφάλμα του συντελεστή ασυμμετρίας),221 Kurtosis (Κύρτωση) -,149 Std. Error of Kurtosis (τυπικό σφάλμα του συντελεστή κύρτωσης),48 Range (Εύρος) 20,50 Minimum (Ελάχιστη Τιμή) 18,0 Maximum (Μέγιστη Τιμή) 8,80 Sum 252,10 Percentiles (τεταρτημόρια) 25 (1 ο τεταρτημόριο - Q 1 ) 2, (2 ο τεταρτημόριο - Q 2 ) 26, ( ο τεταρτημόριο - Q ) 29,9500 IQR (Ενδοτεταρτημοριακό εύρος) 6,250 Παρατηρούμε: 1. Τη σχετική θέση των μέτρων κεντρικής τάσης Εδώ M o = < M e = <X = Έχουμε ένδειξη θετικής ασυμμετρίας, χωρίς όμως ο αριθμητικός μέσος να είναι ιδιαίτερα απομακρυσμένος από τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. 2. Ο συντελεστής ασυμμετρίας είναι γ = 0.61 > 0 και 2 s. e. (γ) = = Επομένως, γ = 0.61 > 0.44 = 2 s. e. (γ), και η κατανομή εμφανίζει θετική ασυμμετρία.. Ο συντελεστής κύρτωσης είναι α = 0.15 < 0 και 2 s. e. (α) = = 0.88 Επομένως, α = 0.15 < 0.88= 2 s. e. (α) και η κατανομή είναι μεσόκυρτη. 4. R = και 6s = = Επομένως, R = = 6s και δεν προκύπτει κανονικότητα. Σημειώσεις Στατιστικής

10 10 5. IQR = 6. και s Επομένως, IQR = = 4 s και δεν προκύπτει κανονικότητα. 6. Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι % > 10% και σχετικά αυξημένος. Θηκόγραμμα Εμφανίζεται θετική ασυμμετρία ο πάνω μύστακας είναι μεγαλύτερος από τον κάτω. Δεν παρατηρούνται ακραίες ή έκτροπες τιμές. Διαπιστώσεις για την Κατανομή του Δείκτη Μάζας Σώματος Κανονικότητα Η Κατανομή του Δείκτη Μάζας Σώματος, των ενηλίκων ανδρών, μπορεί να θεωρηθεί Κανονική, καθώς: Από τον Έλεγχο Kolmogorov Smirnov, έχουμε sig και, συνεπώς, η υπόθεση της Κανονικότητας δεν μπορεί να απορριφθεί. Ασυμμετρία και Κύρτωση Η κατανομή εμφανίζει θετική ασυμμετρία, αφού 0 και se... Η θετική ασυμμετρία οφείλεται στην παρουσία κάποιων μεγάλων τιμών της μεταβλητής. Αποτέλεσμα είναι ο αριθμητικός μέσος να είναι ελαφρώς απομακρυσμένος από τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. Η κατανομή είναι μεσόκυρτη, αφού se... Μαρίνα Σύρπη

11 11 Μέτρα Κεντρικής Τάσης Ο μέσος δείκτης μάζας σώματος των ενηλίκων ανδρών εκτιμάται σε Kgr/m 2 Οι μισοί από τους ενήλικους άνδρες έχουν δείκτη μάζας σώματος μεγαλύτερο από, περίπου, Kgr/m 2. Το μεγαλύτερο ποσοστό των ενηλίκων ανδρών ( 22,5%) έχουν δείκτη μάζας σώματος, περίπου Kgr/m 2 Τεταρτημόρια Το 25% των ενηλίκων ανδρών έχουν δείκτη μάζας σώματος μικρότερο από, περίπου, 2.6 Kgr/m 2. Το 25% των ενηλίκων, έχουν δείκτη μάζας σώματος μεγαλύτερο από, περίπου, Kgr/m 2. Επομένως το 25% περίπου των ενηλίκων ανδρών είναι υπέρβαροι. Το 50% των ενηλίκων ανδρών έχουν δείκτη μάζας σώματος από 2.6 Kgr/m 2 έως Kgr/m 2, περίπου. Μεταβλητότητα Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι σχετικά αυξημένος (cv% = % > 10%). Σημειώσεις Στατιστικής

12 12 Εφαρμογή 2 ΤΙΜΕΣ ΓΛΥΚΟΖΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΣΜΑ ΤΟΥ ΑΙΜΑΤΟΣ ΕΝΗΛΙΚΩΝ ΕΤΩΝ (n=100) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ SPSS Ιστόγραμμα Συχνοτήτων και Έλεγχος Κανονικότητας Ιστόγραμμα Συχνοτήτων και Καμπύλη την Κανονικής Κατανομής Παρατηρούμε ένα μονοκόρυφο ιστόγραμμα με έντονη θετική ασυμμετρία και μικρή προσαρμογή στην Κανονική Κατανομή. Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Glucose, ,000, ,000 a. Lilliefors Significance Correction Επειδή το δείγμα μας είναι μεγαλύτερο των 50 παρατηρήσεων, η Κανονικότητα ελέγχεται από το Kolmogorov Smirnov. Επειδή Sig. = < 0.05, συμπεραίνουμε ότι τα δεδομένα μας δεν προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό. Μαρίνα Σύρπη

13 1 Πίνακας Στατιστικών Statistics Glucose N Valid 100 Missing 0 Mean (Αριθμητικός Μέσος) 97,2000 Median (Διάμεσος) 91,5000 Mode (Επικρατούσα Τιμή) 90,00 Std. Deviation (Τυπική Απόκλιση) 17,96911 Variance (Διασπορά) 22,889 Coefficient of variation ( % ) (Συντελεστής μεταβλητότητας %) 18,49 Skewness (Ασυμμετρία) 1,806 Std. Error of Skewness (τυπικό σφάλμα του συντελεστή ασυμμετρίας) 0,241 Kurtosis (Κύρτωση),271 Std. Error of Kurtosis (τυπικό σφάλμα του συντελεστή κύρτωσης),478 Range (Εύρος) 90,00 Minimum (Ελάχιστη Τιμή) 74,00 Maximum (Μέγιστη Τιμή) 164,00 Sum 9720,00 Percentiles (τεταρτημόρια) 25 (1 ο τεταρτημόριο - Q 1 ) 87, (2 ο τεταρτημόριο - Q 2 ) 91, ( ο τεταρτημόριο - Q ) 99,0000 IQR (Ενδοτεταρτημοριακό εύρος) 11, 75 Παρατηρούμε: 1. Τη σχετική θέση των μέτρων κεντρικής τάσης Εδώ M o = 90 < M e = 91.5 <X = 97.2 Έχουμε ένδειξη θετικής ασυμμετρίας, με τον αριθμητικό μέσο να είναι ιδιαίτερα απομακρυσμένος από τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. 2. Ο συντελεστής ασυμμετρίας είναι γ = 1.81 > 0 και 2 s. e. (γ) = = Επομένως, γ = 1.81 > 0.48 = 2 s. e. (γ), και η κατανομή εμφανίζει θετική ασυμμετρία. Σημειώσεις Στατιστικής

14 14. Ο συντελεστής κύρτωσης είναι α =.27 > 0 και 2 s. e. (α) = = 0.96 Επομένως, α =.27 > 0.96 = 2 s. e. (α) και η κατανομή είναι λεπτόκυρτη. 4. R = 90 και 6s = = Επομένως, R = = 6s και δεν προκύπτει κανονικότητα. 5. IQR = και s Επομένως, IQR = = 4 s και δεν προκύπτει κανονικότητα. 6. Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι 18.49% > 10% και σχετικά αυξημένος. Θηκόγραμμα Παρατηρούνται αρκετές ακραίες και έκτροπες τιμές προς τα επάνω. Παρατηρείται μικρό ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Παρατηρείται θετική ασυμμετρία η διάμεσος είναι αρκετά κοντά στην κάτω βάση. Μαρίνα Σύρπη

15 15 Διαπιστώσεις για την Κατανομή της τιμής της γλυκόζης στο πλάσμα του αίματος Κανονικότητα Η κατανομή της τιμής της γλυκόζης στο πλάσμα του αίματος των ενηλίκων (20 74 ετών) δεν φαίνεται να ακολουθεί την Κανονική Κατανομή, καθώς: Από τον Έλεγχο Kolmogorov Smirnov, έχουμε sig και συνεπώς η υπόθεση της Κανονικότητας απορρίπτεται. γ = 1.81 > 0.48 = 2 s. e. (γ), και η κατανομή εμφανίζει θετική ασυμμετρία. R 6s IQR 4 s Ασυμμετρία και Κύρτωση Η κατανομή εμφανίζει θετική ασυμμετρία, αφού 0 και γ = 1.81 > 0.48 = 2 s. e. (γ) Η θετική ασυμμετρία οφείλεται στην παρουσία μεγάλων τιμών της μεταβλητής. Αποτέλεσμα είναι ο αριθμητικός μέσος να είναι ιδιαίτερα απομακρυσμένος από τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. Η κατανομή είναι έντονα λεπτόκυρτη, αφού α > 0 και α =.27 >> 0.96 = 2 s. e. (α) Πράγματι, παρατηρούμε τη μεγάλη συσσώρευση των τιμών γύρω από την κορυφή της κατανομής. Στο 70% των ενηλίκων (20 74 ετών), η τιμή της γλυκόζης στον ορό του αίματος κυμαίνεται από 80 mg/dl έως 100 mg /dl. Μέτρα Κεντρικής Τάσης Η μέση τιμή της γλυκόζης στο πλάσμα του αίματος των ενηλίκων (20 74 ετών) είναι περίπου 97.6 mg/dl Στους μισούς από τους ενήλικες ετών η τιμή της γλυκόζης στο πλάσμα του αίματος είναι χαμηλότερη από, περίπου mg/dl. Στο μεγαλύτερο ποσοστό των ενηλίκων ετών ( 7 %) η τιμή της γλυκόζης στο πλάσμα του αίματος είναι περίπου 97.6 mg/dl. Τεταρτημόρια Το 25% των ενηλίκων ετών, έχουν τιμή γλυκόζης στο πλάσμα του αίματος χαμηλότερη από, περίπου, mg/dl και το υπόλοιπο 75 % υψηλότερη. Το 75% των ενηλίκων ετών, έχουν τιμή γλυκόζης στο πλάσμα του αίματος χαμηλότερη από, περίπου, 99 mg/dl, και το υπόλοιπο 25% μεγαλύτερη. Το 50% των ενηλίκων ετών, έχουν τιμή γλυκόζης από mg/dl έως mg/dl, περίπου Μεταβλητότητα Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι αρκετά αυξημένος (cv% = % > 10%). Σημειώσεις Στατιστικής

16 Σχετική Αθροιστική Συχνότητα (%) Σχετική Συχνότητα (%) 16 Εφαρμογή ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΝΟΙΟΚΥΡΙΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Ιστόγραμμα και Πολύγωνο Σχετικών Συχνοτήτων Παρακάτω βλέπουμε την κατανομή του ποσοστού των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο, για τους 8 Δήμους της Περιφέρειας Κεντρικής Μακεδονίας (Π.Κ.Μ.), 0,00 25,00 2,68 26,2 20,00 18,42 18,42 15,00 10,00 10,5 5,00 2,6 0, Ποσοστό νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο (%) ΠΗΓΗ: ΕΛΣΤΑΤ 2011 Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) ,7 100, ,42 78, , , Ποσοστό νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο (%) ΠΗΓΗ: ΕΛΣΤΑΤ 2011 Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( % ) Μαρίνα Σύρπη

17 17 ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ: Ποσοστό νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο (%) ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ: Οι Δήμοι της Περιφέρειας Κεντρικής Μακεδονίας ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ SPSS Ιστόγραμμα Συχνοτήτων και Έλεγχος Κανονικότητας Ιστόγραμμα Συχνοτήτων και Καμπύλη την Κανονικής Κατανομής Παρατηρούμε μια σχετικά ικανοποιητική προσαρμογή στην Κανονική Κατανομή. Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Πρόσβαση_ΠΚΜ,090 8,200 *,964 8,26 a. Lilliefors Significance Correction *. This is a lower bound of the true significance. Επειδή το δείγμα μας είναι μικρότερο των 50 παρατηρήσεων, η Κανονικότητα ελέγχεται από το Shapiro - Wilk. Επειδή Sig. = 0,26 > 0.05, συμπεραίνουμε ότι τα δεδομένα μας προέρχονται από Κανονικό Πληθυσμό. Σημειώσεις Στατιστικής

18 18 Πίνακας Στατιστικών Statistics Πρόσβαση_ΠΚΜ N Valid 8 Missing 0 Mean 4,7526 Std. Error of Mean 2,225 Median 2,4000 Mode 2, Std. Deviation 14,1706 Variance 204,978 Coefficient of Variation (%) 41,197 Skewness,64 Std. Error of Skewness,8 Kurtosis -,605 Std. Error of Kurtosis,750 Range 54,10 Minimum 12,90 Maximum 67,00 Percentiles 25 24, , ,0750 IQR 19,975 Παρατηρούμε: 1. Τη σχετική θέση των μέτρων κεντρικής τάσης Εδώ M o = 2. < M e = 2.40 < X = 4.75 Έχουμε ένδειξη θετικής ασυμμετρίας, αλλά ο αριθμητικός μέσος δεν είναι ιδιαίτερα απομακρυσμένος από τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. 2. Ο συντελεστής ασυμμετρίας είναι γ = 0.6 > 0 και 2 s. e. (γ) = = Επομένως, γ = 0.6 < 0.76 = 2 s. e. (γ), και η κατανομή είναι συμμετρική.. Ο συντελεστής κύρτωσης είναι α = 0.61 < 0 και 2 s. e. (α) = = 1.5 Επομένως, α = 0.61 < 1.5 = 2 s. e. (α) και η κατανομή είναι μεσόκυρτη. 4. R = και 6s = = Επομένως, R = = 6s και δεν προκύπτει κανονικότητα. 5. IQR = και s Επομένως, IQR = = 4 s και προκύπτει κανονικότητα. 6. Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι % > 10% και είναι πολύ αυξημένος. Μαρίνα Σύρπη

19 19 Διαπιστώσεις για την Κατανομή του ποσοστού των νοικοκυριών των Δήμων της ΠΚΜ με πρόσβαση στο διαδίκτυο. Κανονικότητα Η κατανομή του ποσοστού των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο, για τους Δήμους της ΠΚΜ φαίνεται να ακολουθεί την Κανονική Κατανομή, καθώς: Από τον Έλεγχο Shapiro Wilk, έχουμε sig και, συνεπώς, η υπόθεση της Κανονικότητας δεν απορρίπτεται. γ = 0.6 < 0.76 = 2 s. e. (γ), και η κατανομή είναι συμμετρική. α = 0.61 < 1.5 = 2 s. e. (α) και η κατανομή είναι μεσόκυρτη. IQR 4 s Ασυμμετρία και Κύρτωση Η κατανομή είναι συμμετρική, καθώς γ = 0.6 < 0.76 = 2 s. e. (γ) Η κατανομή είναι μεσόκυρτη, καθώς α = 0.61 < 1.5 = 2 s. e. (α) Μέτρα Κεντρικής Τάσης Στους Δήμους της Π.Κ.Μ., το μέσο ποσοστό των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο, εκτιμάται σε 4.75%. ΣΧΟΛΙΟ: Αυτό σημαίνει ότι, κατά κανόνα, στους παραπάνω Δήμους το ποσοστό των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο είναι περίπου 4,75% (δηλαδή 1 στα νοικοκυριά). Επομένως, εάν επιλέξουμε τυχαία έναν από τους παραπάνω Δήμους για να μετρήσουμε το ποσοστό των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο περιμένουμε αυτό το ποσοστό να είναι κοντά στο 4.75%. Στους μισούς από τους Δήμους της Π.Κ.Μ. το ποσοστό των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο δεν υπερβαίνει το 2,40%, περίπου Στους περισσότερους από τους Δήμους της ΠΚΜ ( 26.2% ), το ποσοστό των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο είναι περίπου 2. %. Τεταρτημόρια Στον 1 από τους 4 της Π.Κ.Μ., το ποσοστό των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο εκτιμάται ότι δεν υπερβαίνει το 24.1%. Στους από τους 4 Δήμους της Π.Κ.Μ., το ποσοστό των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο εκτιμάται ότι δεν υπερβαίνει το %. Στους μισούς από τους Δήμους της Π.Κ.Μ. τα ποσοστά των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο κυμαίνονται από 24.1% έως 44.08%, περίπου. Μεταβλητότητα Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι πολύ αυξημένος (cv% = % >> 10%). Σημειώσεις Στατιστικής

20 20 Επομένως, στην ΠΚΜ υπάρχουν νομοί στους οποίους το ποσοστό των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο είναι πολύ μεγαλύτερο του μέσου ποσοστού και νομοί στους οποίους είναι πολύ μικρότερο. Θηκόγραμμα Εμφανίζεται θετική ασυμμετρία, καθώς ο πάνω μύστακας είναι μεγαλύτερος από τον κάτω και η διάμεσος είναι ποιο κοντά στην κάτω βάση του ορθογωνίου. Δεν παρατηρούνται ακραίες ή έκτροπες τιμές. Μαρίνα Σύρπη

21 21 Εφαρμογή 4 ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΝΟΙΟΚΥΡΙΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ Ιστόγραμμα και Πολύγωνο Σχετικών Συχνοτήτων Παρακάτω βλέπουμε την κατανομή του ποσοστού των νοικοκυριών με πρόσβαση στο διαδίκτυο, για τους 66 Δήμους της Περιφέρειας Αττικής (Π.Α.) 5,00 1,82 0,00 25,00 20,00 21,21 19,70 15,00 15,15 10,00 7,58 5,00 1,52,0 0, ΠΗΓΗ ΕΛΣΤΑΤ, 2011 Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) ,42 100, , , ,70 0 1,52 4, ΠΗΓΗ: ΕΛΣΤΑΤ 2011 Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( % ) Σημειώσεις Στατιστικής

22 22 ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ: ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ SPSS Ιστόγραμμα Συχνοτήτων και Έλεγχος Κανονικότητας Ιστόγραμμα Συχνοτήτων και Καμπύλη την Κανονικής Κατανομής Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. ΠΡΟΣΒΑΣΗ_ΠΑ,118 66,02,972 66,140 a. Lilliefors Significance Correction Μαρίνα Σύρπη

23 2 Πίνακας Στατιστικών Statistics ΠΡΟΣΒΑΣΗ_ΠΑ N Valid 66 Missing 0 Mean 52,0879 Std. Error of Mean 1,54505 Median 52,7500 Mode 55,22000 Std. Deviation 12,55208 Variance 157,555 Coefficient of Variation (%) 24,0977 Skewness -,490 Std. Error of Skewness,295 Kurtosis,057 Std. Error of Kurtosis,582 Range 57,50 Minimum 16,80 Maximum 74,0 Percentiles 25 47, ,7500 IQR 75 60,250 12,85 Παρατηρούμε: Σημειώσεις Στατιστικής

24 24 Διαπιστώσεις για την Κατανομή του ποσοστού των νοικοκυριών των Δήμων της ΠΚΜ με πρόσβαση στο διαδίκτυο. Κανονικότητα Ασυμμετρία και Κύρτωση Μέτρα Κεντρικής Τάσης Τεταρτημόρια Μεταβλητότητα Μαρίνα Σύρπη

25 25 Θηκόγραμμα Σημειώσεις Στατιστικής

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 4ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δείγμα από κανονική κατανομή Έστω Χ= Χ Χ Χ τ.δ. από Ν µσ τότε ( 1,,..., n) (, ) Τ Χ Χ Ν Τ Χ σ σ Χ Τ Χ n Χ S µ S µ 1( ) = (0,1), ( ) = ( n 1)

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος ότι η παράμετρος θέσης ενός πληθυσμού είναι ίση με δοθείσα γνωστή τιμή. μεγέθους n από έναν πληθυσμό με μέση τιμή μ

Έλεγχος ότι η παράμετρος θέσης ενός πληθυσμού είναι ίση με δοθείσα γνωστή τιμή. μεγέθους n από έναν πληθυσμό με μέση τιμή μ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ Έλεγχος ότι η παράμετρος θέσης ενός πληθυσμού είναι ίση με δοθείσα γνωστή τιμή Έστω ένα τυχαίο δείγμα X,, 1 X n μεγέθους n από έναν πληθυσμό με μέση τιμή μ 2 και διακύμανση σ, άγνωστη.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4Β: Έλεγχοι Κανονικότητας Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα Θέλοντας να εξετάσουμε τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών πρέπει να διακρίνουμε κατά τα γνωστά από τη θεωρία δύο περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο της υπόθεσης της ισότητα δύο μέσων τιμών με εξαρτημένα δείγματα. Εξαρτημένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΧΑΝΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΧΑΝΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΧΑΝΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 21-22 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Το τμήμα αυτό της έρευνας αναφέρεται στην Γ τάξη όλων των Δημοσίων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος ότι η παράμετρος θέσης ενός πληθυσμού είναι ίση με δοθείσα γνωστή τιμή Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής Τάση συγκέντρωσης Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης Τάση διασποράς Μέτρα Διασποράς Σχήμα Σχήμα της κατανομής Αριθμητικός Μέσος Γεωμετρικός Μέσος Μέτρα Κεντρικής Τάσης Αρμονικός Μέσος Διάμεσος ή Κεντρική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧ Οικονομετρικά Πρότυπα Διαφάνεια 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα I. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (cetral tedecy) Χρήσιμα για την περιγραφή της θέσης της κατανομής από την οποία προέρχονται. Δημοφιλέστερα: Μέση τιμή, κορυφή και διάμεσος.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΑ. Πρακτική Άσκηση 4- Θεωρητικό Υπόβαθρο ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ & ΚΛΙΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ & ΓΕΩΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΑ. Πρακτική Άσκηση 4- Θεωρητικό Υπόβαθρο ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ & ΚΛΙΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ & ΓΕΩΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ & ΚΛΙΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ & ΓΕΩΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΩΚΕΑΝΟΓΡΑΦΙΑ Πρακτική Άσκηση 4- Θεωρητικό Υπόβαθρο Κοκκομετρική ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική

Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική Το πρώτο βήμα στην ανάλυση ενός συνόλου δεδομένων, που αποτελούν μετρήσεις ενός δείγματος είναι η παρουσίαση και σύνοψη των πληροφοριών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Ανάλυση μιας μεταβλητής

Κεφάλαιο 3: Ανάλυση μιας μεταβλητής Κεφάλαιο 3: Ανάλυση μιας μεταβλητής Γενικά Στο Κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε κάποιες μεθόδους της Περιγραφικής Στατιστικής και της Στατιστικής Συμπερασματολογίας που αφορούν στην ανάλυση μιας μεταβλητής.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Σύνολα Δεδομένων - Είδη Ποσοτικής Έρευνας: Παράλογες Ιδέες Γονέων (Δειγματοληπτική)

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"

Περιγραφική Στατιστική. Π.Μ.Σ. Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Περιγραφική Στατιστική Παράδειγμα Γίνεται μια μελέτη για τους τραυματισμούς στο μάτι (σοβαροί ή όχι τόσο σοβαροί) κατά τη διάρκεια αγώνων τέννις, squash, badminton και ρακέτας. Σοβαρός Τραυματισμός Επιπόλαιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Ασκηση Περιγραφικής Στατιστικής Κουτσουμανής Κ. Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων Σχολή Γεωπονίας, Α.Π.Θ Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Στέλνουμε την άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 015-016 1 . Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΜΑΜΜΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΑΜ:331/2003032 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν να δημιουργήσω την παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ Εξερευνώντας τα

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,..., Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ )

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,...,Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ ) S σ Τ ( Χ,Y)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ Εισαγωγή Όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1 υπάρχουν 154 υποψήφιοι που έχουν συµµετάσχει στις εξετάσεις των ετών 01 και 02. Για αυτούς γίνεται στο Κεφάλαιο 6 ξεχωριστή συγκριτική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012 Κατά τη διάρκεια παρακολούθησης των μαθημάτων του χειμερινού εξαμήνου του ακαδημαϊκού

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3 η : Περιγραφική Στατιστική Ι. Πίνακες και Γραφικές παραστάσεις. Δημήτριος Σταμοβλάσης Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής

Ενότητα 3 η : Περιγραφική Στατιστική Ι. Πίνακες και Γραφικές παραστάσεις. Δημήτριος Σταμοβλάσης Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην Ανάλυση Ερευνητικών Δεδομένων στις Κοινωνικές Επιστήμες Με χρήση των λογισμικών IBM/SPSS και LISREL Ενότητα 3 η : Περιγραφική

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ www.frotstra-eap.gr e-mal: frotstra_eap@yahoo.gr Τηλ:10.93..50 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ () ΑΘΗΝΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 1 www.frotstra-eap.gr e-mal: frotstra_eap@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

www.oleclassroom.gr Α. Τα δεδομένα της άσκησης είναι αταξινόμητα δηλαδή δεν είναι τοποθετημένα σε τάξεις εύρους δ όπως θα δούμε στο υποερώτημα (β). www.oleclassroom.gr Πριν τους υπολογισμούς κατασκευάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων.

Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Στατιστική Ι Ενότητα: MέθοδοιΠεριγραφικής Στατιστικής Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr Θεματολογία Παρουσίαση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1 Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Περιγραφική Στατιστική 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΖΗΜΑΤΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3: Κοκκομετρική ανάλυση. Δρ. Αβραμίδης Παύλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας

ΙΖΗΜΑΤΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3: Κοκκομετρική ανάλυση. Δρ. Αβραμίδης Παύλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας ΙΖΗΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3: Κοκκομετρική ανάλυση Δρ. Αβραμίδης Παύλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας Σκοποί ενότητας Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται οι μέθοδοι κατασκευής κοκκομετρικών κατανομών,

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι Ασκήσεις 3

Στατιστική Ι Ασκήσεις 3 Διάλεξη 3: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω το δείγμα μεγέθους n = 5 με παρατηρήσεις 10, 0, 1, 17 και 16. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο και τη διάμεσο. Υπολογίστε το εύρος και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟ ΓΕΩΧΗΜΙΚΗΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑΣ Στατιστική ανάλυση του γεωχημικού δείγματος μας δίνει πληροφορίες για τον

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε αναφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είναι, «η ανάπτυξη μεθόδων για τη συνοπτική και την αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων» Για το σκοπό αυτό, έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέτρα Περιγραφικής Στατιστικής Πληθυσμιακοί παράμετροι: τα αριθμητικά μεγέθη που εκφράζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού (που προσδιορίζουν / περιγράφουν τη φυσιογνωμία και τη δομή του) Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2000-2001 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Το τµήµα αυτό της έρευνας αναφέρεται στην Γ τάξη όλων των Ενιαίων Λυκείων του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Περιγραφική Στατιστική

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Περιγραφική Στατιστική ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Περιγραφική Στατιστική Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας Μετά

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική στατιστική μεθοδολογία.

Περιγραφική στατιστική μεθοδολογία. Περιγραφική στατιστική μεθοδολογία. Κυργίδης Αθανάσιος MD, DDS, BΟpt, PhD MSc Medical Research, Μετεκπαίδευση ΕΠΙ ΕΚΑΒ Γναθοπροσωπικός Χειρουργός Ass. Editor, Hippokratia 2 κεφάλαια: Περιγραφική Αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα II. Μέτρα κεντρικής θέσης

Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα II. Μέτρα κεντρικής θέσης Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα II Μέτρα κεντρικής θέσης Τεταρτημόρια Τα τεταρτημόρια μιας κατανομής είναι τρία και χωρίζουν την κατανομή με τέτοιο τρόπο ώστε: Μεταξύ ελάχιστης παρατήρησης και 1 ου τεταρτημορίου

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Πίνακας-1 Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε αναφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είναι, «η ανάπτυξη μεθόδων για τη συνοπτική και την αποτελεσματική παρουσίαση των δεδομένων» Για το σκοπό αυτό, έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Φεβρουάριος 2010 Περιγραφική Στατιστική 1. εδοµένα Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο δεδοµένων (data set): NUM1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ. 4.1 Κατανοµή γραπτού µέσου όρου ετήσιων πληθυσµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ & ΟΜΑ ΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4 υπολογίζονται τα κυριότερα στατιστικά µέτρα θέσης και µεταβλητότητας, κατασκευάζονται ιστογράµµατα συχνοτήτων και θηκογράµµατα για

Διαβάστε περισσότερα