9 o ìüèçìá. Êýêëïò. 6 ÊåöÜëáéï. 10 o ìüèçìá. ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá à Ã

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "9 o ìüèçìá. Êýêëïò. 6 ÊåöÜëáéï. 10 o ìüèçìá. ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá à Ã"

Transcript

1 x 9 o ìüèçìá Êýêëïò Ê Ì ø o 6 ÊåöÜëáéï 0 o ìüèçìá ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá Ê

2

3 9 Κύκλς Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Ορισµί i) Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλ, όταν η κρυφή της είναι πάνω στν κύκλ και ι πλευρές της χρδές τυ. π.χ. η Α. ii) Τ τόξ πυ περιέχεται µεταξύ των πλευρών της εγγεγραµµένης λέγεται αντίστιχ τόξ αυτής. π.χ. τ ΒΛΓ. iii) Η επίκεντρη γωνία πυ βαίνει στ ίδι τόξ µε την εγγεγραµµένη λέγεται αντίστιχη επίκεντρη της εγγεγραµµένης. π.χ. η ΒΚΓ είναι η αντίστιχη επίκεντρη της Α. Β Κ Λ Γ Θεώρηµα Κάθε εγγεγραµµένη γωνία σε κύκλ είναι ίση µε τ µισό της αντίστιχης επίκεντρης. Απόδειξη Από τ ισσκελές τριγ. ΚΑΒ έχυµε: Κ = x+ x = x Όµια από τ ισσκελές Γ έχυµε: () () Κ = ψ + ψ Κ = ψ Πρσθέτυµε τις (), () και έχυµε: ( ) Κ + Κ = x + ψ ΒΚΓ = x + ψ ΒΚΓ = ΒΑΓ ΒΚΓ ΒΑΓ =. Πόρισµα Ι. Στν ίδι κύκλ ή σε ίσυς κύκλυς ίσες εγγεγραµµένες βαίνυν σε ίσα τόξα και αντίστρφα. Β x Κ x y Λ Γ

4 40. Κύκλς Πόρισµα ΙΙ. Κάθε εγγεγραµµένη σε ηµικύκλι είναι ρθή. Πόρισµα ΙΙΙ. Κάθε εγγεγραµµένη πυ βαίνει σε τόξ µικρότερ από ηµικύκλι είναι ξεία, ενώ κάθε εγγεγραµµένη πυ βαίνει σε τόξ µεγαλύτερ από ηµικύκλι είναι αµβλεία. Παρατήρηση Έστω ένα τόξ ΑΤΒ και ΑΒ η χρδή τυ. Παρατηρύµε ότι όλα τα σηµεία τυ τόξυ ΑΤΒ (και τυ συµµετρικύ τυ ως πρς ΑΒ) έχυν την ιδιότητα να βλέπυν τ ΑΒ υπό την ίδια γωνία ω. Τα σηµεία Λ πυ είναι εσωτερικά τυ κυκλικύ τµήµατς βλέπυν τ ΑΒ υπό γωνία ρ µεγαλύτερη της ω ( ρ > ω ως εξωτερική τυ τριγ. ΒΛM). Τα σηµεία Σ πυ είναι εξωτερικά τυ κυκλικύ τµήµατς, βλέπυν τ ΑΒ υπό γωνία ν < ω (γιατί ω εξωτερική τυ τριγ. ΒΜΣ). Επειδή τα σηµεία τυ τόξυ ΑΤ Β ) έχυν µια κινή ιδιότητα πυ ανήκει σ αυτά και µόν αυτά απτελύν ένα γεωµετρικό τόπ. M T ù ñ T Ó Θεώρηµα Η γωνία πυ σχηµατίζεται από µια χρδή κύκλυ και την εφαπτµένη τυ κύκλυ πυ φέρνυµε στ ένα άκρ της χρδής, είναι ίση µε την εγγεγραµµένη γωνία πυ βαίνει στ τόξ πυ περιέχεται µέσα σ αυτή. Απόδειξη ΑΚΒ Γνωρίζυµε ότι Γ Γ = Γ = ΚΒ (). Επειδή Κ ΑΒ (διχτόµς τυ ισσκ. ΑΚΒ) και ΚΒ Βx (εφαπτµένη και Κ ακτίνα) έπεται ΑΒx = (). Από τις (), () έπεται Α Β ΑΓΒ = ΑΒx. Δ x Θεώρηµα Αν µια γωνία έχει την κρυφή της µέσα στν κύκλ, είναι ίση µε τ άθρισµα δύ εγγεγραµµένων γωνιών πυ βαίνυν στα τόξα, πυ ρίζνται από τις πλευρές της και τις πρεκτάσεις τυς. Απόδειξη Z Έστω η γωνία Γ πυ έχει την κρυφή της µέσα στν κύκλ. Β Φέρνυµε την Γ, τότε ΒΑΓ Α = φ + ρ ως εξωτερική τυ τριγ. ΑΓ. Γ φ ρ Δ

5 Κύκλς 4. Θεώρηµα Αν µια γωνία έχει την κρυφή της έξω από τν κύκλ και ι πλευρές της τν τέµνυν είναι ίση µε τη διαφρά δύ εγγεγραµµένων γωνιών πυ βαίνυν στα τόξα πυ περιέχνται µεταξύ των πλευρών της. Απόδειξη Έστω γωνία Γ πυ έχει την κρυφή της έξω από τν κύκλ, Å φέρνυµε την ΒΕ, τότε φ = Α + ν (ως εξωτερική τυ τριγώνυ ΒΑΕ), ö άρα Α = φ ν. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Εφαρµγή Οι ευθείες πυ ενώνυν τ κέντρ ενός κύκλυ µε τις τµές δύ παραλλήλων εφαπτµένων από τρίτη εφαπτµένη είναι κάθετες µεταξύ τυς. Φέρνυµε την ΚΖ και τα τρίγωνα ΑΚ και ΚΖ είναι ίσα, από την ισότητα έχυµε Δ Ζ Κ = Κ δηλαδή η Κ διχτόµς της γωνίας Γ ΑΚΖ. Όµια τα τρίγ. ΚΖΓ και ΚΒΓ είναι ίσα και άρα Κ 3 = Κ4 επµένως η ΚΓ διχτόµς της ΖΚΒ, ι διχτόµι όµως των εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών τέµννται κάθετα. Εφαρµγή ύ ίσες χρδές τέµννται µέσα στ κύκλ (Κ,Α) στ σηµεί Α. Να απδείξετε ότι σχηµατίζυν ίσες γωνίες µε την ΚΑ και ότι τµήµατα αυτών είναι ανά δύ ίσα. Έστω ΘΒ, Γ δύ ίσες χρδές πυ τέµννται στ Α, θα δείξυµε ότι Α = Α και ΑΘ = ΑΓ. Από τ Κ φέρνυµε τις ΚΖ, ΚΕ κάθετες πρς τις ΘΒ, Γ τότε ΚΖ = ΚΕ () γιατί τ κέντρ απέχει ίσα από τις ίσες χρδές. Τα τρίγωνα ΚΑΖ και ΚΑΕ είναι ίσα ( ΚΑ = ΚΑ, Ζ = Ε Æ Å =, ρθ. και È ΚΖ = ΚΕ ) από την ισότητα των τριγώνων έπεται Α = Α και Ê ΖΑ = ΑΕ (). Επειδή ΖΘ = ΕΓ () 3 σαν µισά των ΑΒ, Γ έπεται από τις (), (3) ΘΑ = ΑΓ. Εφαρµγή 3 Να απδείξετε ότι η κινή εφαπτµένη δύ άνισων κύκλων είναι µικρότερη από τη διάκεντρ τυς. Α í 3 4 Κ Β

6 4. Κύκλς Έστω ΒΓ η κινή εφαπτµένη δύ άνισων κύκλων και ΚΛ η διάκεντρς, θα δείξυµε ότι: ΒΓ < ΚΛ. Φέρνυµε τις ακτίνες ΚΒ, ΛΓ τότε ΚΒ ΛΓ γιατί είναι κάθετες στη ΒΓ. Από τ Λ φέρνυµε παράλληλ πρς την ΒΓ.Τότε ΒΓ = ΛS, αλλά ΛS < Λ από τ ρθγώνι ΚΛS, άρα ΒΓ < ΚΛ. S Γ Λ Εφαρµγή 4 ύ κύκλι τέµννται στα Α, Β.Αν Γ, τα διαµετρικά σηµεία τυ Α, να απδείξετε ότι ΓΒ είναι ευθεία. Α Φέρνυµε την κινή χρδή ΑΒ πότε: ΑΒΓ = 90 γιατί είναι εγγεγραµµένη πυ βαίνει σε ηµικύκλι. Όµια ΑΒ = 90 Λ άρα ΓΒ ευθεία. Δ Γ Β Εφαρµγή 5 ύ κύκλι εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Από τ Α φέρνυµε µια τυχαία τέµνυσα. Να απδείξετε ότι ι ακτίνες πυ καταλήγυν στα άκρα της τέµνυσας είναι παράλληλες. Για να δείξυµε ότι ΚΒ ΛΓ αρκεί να δείξυµε ότι Β = Γ. Φέρνυµε την ΚΛ. Αυτή θα περάσει από τ Α. Τα τρίγωνα ΚΒΑ και ΛΑΓ είναι ισσκελή και επµένως θα είναι: Β= Α () και Γ= Α (). Επειδή όµως Α = Α () 3. Από τις (), () έχυµε Β = Γ και επµένως ΚΒ ΛΓ. Β Γ Α Λ Εφαρµγή 6 ύ κύκλι εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Αν ΒΓ η κινή εξωτερική εφαπτµένη αυτών, να απδείξετε ότι ΓΑΒ = 90. Φέρνυµε την κινή εσωτερική εφαπτµένη των κύκλων στ Α και έστω Μ τ σηµεί της τµής αυτής µε την ΒΓ. Τότε ΜΒ = ΜΑ και ΜΑ = ΜΓ (εφαπτόµενα τµήµατα από σηµεί Β M Γ πρς κύκλ). Άρα ΜΑ = ΜΒ = ΜΓ και επµένως κύκλς διαµέτρυ ΒΓ θα περάσει από τ Α πότε η Α ως εγγεγραµµένη Α πυ βαίνει σε ηµικύκλι θα είναι ρθή.

7 Κύκλς 43. Εφαρµγή 7 Να απδείξετε ότι ι κινές εφαπτµένες δύ κύκλων είναι ανά δύ ίσες. Θα απδείξυµε ότι ΑΒ = Γ και ΕΖ = ΗΘ. Έχυµε Σ ΣΓ () = και Σ = Σ () (εφαπτµένα τµήµατα από σηµεί σε κύκλ). Από τις (), () µε αφαίρεση κατά µέλη έχυµε ΑΒ = Γ. Όµια ΜΘ ΜΖ () 3 = και ΜΗ = ΜΕ () 4 Ì È Ó H Æ πρσθέτυµε τις (3), (4) και έχυµε: ΗΘ Εφαρµγή 8 = ΕΖ. ύ κύκλι εφάπτνται εξωτερικά στ Β. Αν από τ Β φέρυµε τυχαία τέµνυσα, να απδείξετε ότι ι εφαπτµένες στα άκρα της τέµνυσας είναι παράλληλες. Έστω Γ µια τέµνυσα και ψ, Γx ι εφαπτµένες στα άκρα της, θα δείξυµε ότι Γx ψ. Φέρνυµε τις ακτίνες ΚΓ, Γ τότε Γx ΚΓ και ψ Λ, Κ Β Δ Λ y επειδή ΚΓ Λ, έπεται ότι Γx ψ. Γ x

8 44. Κύκλς Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Η Αναλυτική Μέθδς (Πλάτωνας π. Χ.) Οι απδεικτικές µέθδι - συνθετική µέθδς, η µέθδς της απαγωγής σε άτπ και η µέθδς της αντιθεταντιστρφής και της τέλειας επαγωγής - είναι γνωστές από την Άλγεβρα και χρησιµπιύνται και στη λύση γεωµετρικών πρβληµάτων. Οι παραπάνω µέθδι δεν µας δίνυν ικανπιητικά στιχεία για τ πως βρέθηκε η απόδειξη µιας πρότασης. Γι αυτό ακλυθύµε την επόµενη σειρά συλλγισµών πυ λέγεται ανάλυση. εχόµαστε ότι τ πρόβληµα ή η ζητύµενη πρόταση αληθεύει και τη µετασχηµατίζυµε διαδχικά µε τη βήθεια γνωστών πρτάσεων και θεωρηµάτων µέχρι να καταλήξυµε σε µία αληθινή πρόταση ή σε µία πρόταση πυ δίνεται στην υπόθεση τυ πρβλήµατς. ηλαδή: Έστω ότι η ζητύµενη πρόταση είναι η Π. εχόµαστε ότι η Π είναι αληθινή και τη µετασχηµατίζυµε διαδχικά στις πρτάσεις Π, Π,..., Π ν, όπυ η τελευταία πρόταση Π ν είναι αληθινή ή δσµένη στην υπόθεση τυ πρβλήµατς. Οι παραπάνω πρτάσεις είναι ι πρτάσεις της ανάλυσης και διατυπωµένες µε αντίστρφη σειρά απτελύν τη σύνθεση. Η λύση ενός πρβλήµατς παρυσιάζεται (διατυπώνεται) σχεδόν πάνττε µε τη σύνθεση. Παράδειγµα Στν κύκλ (Ο, ρ) παίρνυµε τις χρδές ΑΒ = ΑΓ και φέρνυµε από τ Α ευθεία, πυ τέµνει τν κύκλ στ Ε και τη ΒΓ στ. Να δειχθεί ότι η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ κύκλυ, πυ διέρχεται από τα σηµεία Β,, Ε. ιατυπώνυµε τις πρτάσεις της ανάλυσης: Π : εχόµαστε ότι η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ κύκλυ. Π : Α Β = ΕΒΑ (γωνία υπό χρδής και εφαπτµένης) Π : ΕΒΑ = ΕΓΑ (βαίνυν στ ίδι τόξ ΑΕ) Π : 3 ΕΓΑ = ω x (βλ. σχήµα) Π : 4 Α Β = ω x (διότι η γωνία ω είναι εξωτερική γωνία στ τρίγων Α Β) Οι παραπάνω πρτάσεις µας δηγύν στη διατύπωση της λύσης η πία είναι: Α Β = ω x, διότι η γωνία ω είναι εξωτερική γωνία στ τρίγων Α Β και ΕΓΑ = ω x πότε Α Β = ΕΓΑ και Α Β = ΕΒΑ, πυ σηµαίνει ότι η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ κύκλυ στ σηµεί Β. ù x ù x

9 Κύκλς 45. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Στα άκρα Α, Β διαµέτρυ ΑΒ κύκλυ (Ο,ρ) φέρνυµε τις ηµιεφαπτµένες Αx και Βψ πρς τ ίδι ηµιεπίπεδ της ΑΒ. Σε σηµεί Μ τυ κύκλυ φέρνυµε τρίτη εφαπτµένη, πυ τέµνει τις Αx, Βψ στα Γ και. Να δειχθεί ότι: α. Γ = ΑΓ + Β, β. ΓΟ = 90, γ. Ο κύκλς διαµέτρυ Γ εφάπτεται της ΑΒ στ κέντρ Ο. x ø α. Είναι ΓΜ = ΓΑ και Μ = Β. Άρα ΓΜ + Μ = Γ = ΑΓ + Β. Ê Ì β. Είναι Γ = Γ και =. Επειδή Αx//Βψ έχυµε: Γ Γ+ = 80 Γ + = + = 90 Επµένως ΓΟ = 90. γ. Φέρνυµε την ΟΚ//ΑΓ//Β, πότε ΟΚ ΑΒ. Επειδή τ Ο είναι µέσ της ΑΒ θα είναι τ Κ µέσ της Γ. Η διάµεσς τυ τραπεζίυ ΑΒ Γ δηλ. ΑΓ + Β Γ Γ η ΚΟ είναι ίση µε =, άρα κύκλς Κ, περνά από τ Ο. Επειδή Γ ΑΒ ΚΟ, η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ Κ,. Άσκηση Στ ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓ ( Α= =90 ) είναι ΒΓ = ΑΒ + Γ. Να δειχθεί ότι κύκλς µε διάµετρ τη ΒΓ εφάπτεται της Α. Η διάµεσς ΟΕ τυ τραπεζίυ είναι κάθετη στην Α - ΑΒ + Γ ΒΓ (ΟΕ//ΑΒ//Γ ). Επειδή ΟΕ = =, κύκλς ΒΓ Ο, εφάπτεται στην Α,αφύ η Α είναι κάθετη στην ΟΕ. Å Ï

10 46. Κύκλς Άσκηση 3 Σε κύκλ µε κέντρ Κ φέρνυµε τη διάµετρ ΑΒ. Με κέντρ σηµεί Γ της ΚΒ, τέτι ώστε ΚΓ > ΓΒ και ακτίνα ΓΚ γράφυµε κύκλ, πυ τέµνει τν (Κ, ΚΑ) στα και Ε. Αν η ευθεία Γτέµνει τν κύκλ (Κ,ΚΒ) στ σηµεί Ζ, να δείξετε ότι η γωνία ΑΚΖ είναι τριπλάσια της γωνίας ΒΚ. Επειδή Κ = ΚΖ είναι : = Ζ = ω. Επειδή ΓΚ = Γ είναι : = ΚΓ = ω. Η γωνία ΑΚΖ ως εξωτερική γωνία στ τρίγων ΚΓΖ ισύται µε τ άθρισµα των δύ απέναντι γωνιών, δηλ. είναι: ΑΚΖ = Γ + Ζ = + ΚΓ + Ζ = ω + ω + ω = 3ω. Άσκηση 4 ύ κύκλι (Κ, R) και (Λ, ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Ε. Μία ευθεία ε περνάει από τ Ε και τέµνει τυς κύκλυς στα σηµεία Α και Β αντίστιχα. Να δειχθεί ότι ι εφαπτόµενες ε και ε των κύκλων στα σηµεία Α και Β είναι παράλληλες. Από τα ισσκελή τρίγωνα ΚΑΕ και ΛΕΒ παίρνυµε: å Α = Ε = Ε = Β Επµένως Α Ê R Å = Β, ως συµπληρώµατα ίσων γωνιών. ñ Άρα ε //ε. å Άσκηση 5 ύ κύκλι µε κέντρα Κ και Λ εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Φέρνυµε δύ χρδές ΑΒ και ΑΓ των κύκλων κάθετες µεταξύ τυς στ Α. Να δειχθεί ότι: ΚΒ//ΛΓ. Επειδή ΒΑΓ = 90 είναι Α + Α = 90. Άρα Β Γ 90 ( Α Β, Α Γ) + = = =. å Επειδή Κ + Β + Α + Λ + Γ + Α = 360 έχυµε: Κ + Λ = 360 Κ + Λ = 80 ΚΒ // ΓΛ (αφύ είναι παραπληρωµατικές ι εντός και επί τα αυτά γωνίες των ΚΒ και ΛΓ). Άσκηση 6 ύ κύκλι µε κέντρα Κ και Λ εφάπτνται εξωτερικά σε σηµεί Α και στις πλευρές της ρθής γωνίας xψ, στα σηµεία Β και Γ. Να δειχθεί ότι Γ =35.

11 Κύκλς 47. Φέρνυµε την κινή εσωτερική εφαπτόµενη ε, πυ τέµνει την Οψ στ και την Οx στ Ε. Είναι Β = Α, Γ = Α (διότι ΕΒ = ΕΑ και Α = Γ ως ίσα εφαπτόµενα τµήµατα). Είναι Ε = 80 Α, = = 80 Α. Ε+ = 360 Α + Α Άρα ( ) ( ) ( ) Α + Α = 360 Ε + = = 70. Επµένως Α Α + = 35 ή ΒΑΓ = 35. Άσκηση 7 Οξυγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Β > Γ) είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ (Ο,R). Φέρνυµε τ ύψς Α, τη διάµετρ ΑΕ και τη διχτόµ ΑΗ. Να δειχθεί ότι: α. Α = ΕΑΓ β. ΑΗ = ΗΑΕ γ. ΑΕ = Β - Γ ( Β > Γ ). α. Τα ρθγώνια τρίγωνα Α Β και ΑΓΕ έχυν Β = Ε (ως εγγεγραµµένες στ τόξ ΑΓ). Επµένως ΒΑ = ΕΑΓ. β. Είναι ΑΗ = ΗΑΕ, διότι Α Α ΑΗ = ΒΑ = ΕΑΓ = ΗΑΕ Α ΑΕ = ΑΗ = 90 ΑΗ = 80 Γ + = = Α + Β + Γ Α Γ = Β Γ γ. ( ) Άσκηση 8 Σε κύκλ (Ο,R) παίρνυµε διαδχικά τα σηµεία Α,Β,Γ,. Οι διχτόµι των εγγεγραµµένων γωνιών Α,Γ τέµνυν τ κύκλ στα Ε, Ζ. Να δειχθεί ότι η ΕΖ είναι διάµετρς τυ κύκλυ. Οι εγγεγραµµένες γωνίες ΒΑ και ΒΓ αντιστιχύν στα τόξα ΒΕ και ΖΒ. Είναι ΒΕ ΒΕ = και ΒΖ ΖΒ =. ö ö Άρα ΒΕ + ΖΒ 360 ΒΕ + ΒΖ = = = 80. Επµένως η ΕΖ είναι διάµετρς τυ κύκλυ. å ù ù ö ö H ù ù Z Ø

12 48. Κύκλς Άσκηση 9 Τρίγων ΑΒΓ είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ (Ο,R). Φέρνυµε την εφαπτµένη στ Α πυ τέµνει την πρέκταση της ΓΒ στ σηµεί Ε. Φέρνυµε την διχτόµ Α τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Να δειχθεί ότι τ τρίγων Α Ε είναι ισσκελές. Α = Γ,ως γωνία χρδής και εφαπτµένης, πότε είναι ΕΑ = Α + ω = Γ + ω. Όµως Α Ε = ω + Γ,ως εξωτερική στ τρίγων Α Γ Άρα ΕΑ = Α Ε και τ τρίγων Α Ε είναι ισσκελές. Άσκηση 0 Έστω κύκλς (Ο,ρ) και ΑΒ διάµετρς. Στ Α φέρνυµε την εφαπτµένη ε και ενώνυµε τυχαί σηµεί Γ της εφαπτµένης µε τ Β. Η ΒΓ τέµνει τν κύκλ στ σηµεί. Να απδειχθεί ότι η εφαπτµένη στ περνάει από τ µέσ Ε τυ ΑΓ. Τ τρίγων Α Γ είναι ρθγώνι γιατί Α Β = 90 (εγγεγραµµένη σε ηµικύκλι). å = Α, ως ίσες µε την αντίστιχη εγγεγραµµένη γωνία Β. Άρα ΑΕ = Ε. Επειδή = Γ, ως συµπληρωµατικές των = Α θα είναι ΑΓ ñ Ε = ΓΕ. Επµένως ΑΕ = ΕΓ =. Άσκηση Σε κύκλ (Ο,ρ) θεωρύµε διάµετρ ΑΒ και Γ µία χρδή τυ. Να απδειχθεί ότι ι χρδές ΑΓ και Β έχυν ίσες πρβλές στην ευθεία Γ. Φέρνυµε Γ, ΒΒ Γ και ΟΟ Γ. Τ Ο είναι τ µέσ τυ Α Β,άρα η ΟΟ είναι διάµεσς τυ τραπεζίυ ΑΑ Β Β.Είναι Α Γ = Α Ο Ο Γ και Β = Β Ο Ο. Επµένως Α Γ = Β. Άσκηση ύ κύκλι (Κ, ρ) και (Λ, ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Φέρνυµε µια χρδή ΑΒ τυ κύκλυ (Κ, ρ) και την χρδή Να δειχθεί ότι ΒΓ//=ΚΛ. Ï ΑΓ ΑΒ τυ κύκλυ (Λ, ρ).

13 Κύκλς 49. Τα τρίγωνα ΚΒΑ και ΑΛΓ είναι ισσκελή. Επειδή ΒΑΓ = 90 ω + φ = 90 + = + =. ω φ 80 Κ Λ 80 ΚΒ// ΓΛ Επίσης είναι ΚΒ = ΛΓ = ρ. Επµένως τ ΚΒΓΛ είναι παραλληλόγραµµ. Ετσι πρκύπτει ΒΓ//=ΚΛ. Άσκηση 3 Ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι εγγεγραµµέν στν κύκλ (Ο,ρ). Στ τόξ ΒΓ, πυ δεν ανήκει τ Α, θεωρύµε σηµεί Ε και φέρνυµε την ΒΚ ΑΕ, πυ τέµνει την πρέκταση της ΕΓ στ. Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΒΕ είναι ισσκελές. Επειδή ΑΒ = ΑΓ = Γ,θα είναι Ε = Ε (),ως εγγεγραµµένες σε ίσα τόξα. Άρα η ΕΚ είναι ύψς και διχτόµς στ τρίγων ΒΕ. Αυτό σηµαίνει ότι τ τρίγων ΒΕ είναι ισσκελές. Άσκηση 4 Θεωύµε δύ κάθετες χρδές ΑΒ και Γ κύκλυ (Ο,ρ), πυ τέµννται στ Ι. Έστω Μ και Ρ τα µέσα των χρδών Α και ΒΓ. Να απδείξετε ότι: α. ΙΜ ΒΓ και ΙΡ Α β. ΟΜ = ΓΒ/ και ΟΡ = Α /. α. Η ΙΜ είναι διάµεσς τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΙ, πότε ΙΜ = ΜΑ και Α = ΑΙΜ = ΕΙΒ. Επειδή Α = Γ (ως εγγεγραµµένες στ ) και Γ+ Β= 90, παίρνυµε ΕΙΒ + Β = 90. Άρα ΙΜ ΒΓ. Όµια πρκύπτει ότι ΙΡ Α. β. Επειδή ΟΜ Α, είναι ΟΜ//ΙΡ. Επειδή ΟΡ ΒΓ, είναι ΟΡ//ΙΕ. Άρα τ ΜΟΡΙ είναι παραλληλόγραµµ και συνεπώς έχυµε: ΒΓ Α ΟΜ = ΙΡ = και ΟΡ = ΙΜ =. ñ ù ñ ù ñ ö ö ñ Άσκηση 5 Σε κύκλ µε κέντρ Ο, θεωρύµε διάµετρ ΑΒ και ακτίνα ΟΓ ΑΒ. Στις πρεκτάσεις της διαµέτρυ ΑΒ παίρνυµε τα τµήµατα Α = ΒΕ. Οι Γ και ΓΕ, τέµνυν τ κύκλ στα σηµεία Ζ και Η αντίστιχα. Να δειχθεί ότι: α. Ζ = ΗΕ β. ΖΗ// Ε.

14 50. Κύκλς Επειδή Ο = ΟΕ και ΟΓ Ε,τ τρίγων Γ Ε είναι ισσκελές. Οπότε Γ = Γ και Γ = ΓΕ. Φέρνυµε τις ΟΚ Γ και ΟΛ ΓΕ, τότε ρθγώνια τρίγωνα ΟΚΓ και ΟΛΓ είναι ίσα, (διότι έχυν ΟΓ κινή υπτείνυσα και Γ = Γ). Επµένως ΟΚ = ΟΛ, πότε είναι ΓΖ = ΓΗ, ως χρδές των απστηµάτων ΟΚ,ΟΛ. Άρα Z H α. Ζ = ΗΕ (ως διαφρές ίσων τµηµάτων). β. Από τα παραπάνω τ τρίγων ΓΖΗ είναι ισσκελές, πότε η διχτόµς ΓΟ της γωνίας Γ, είναι κάθετη στη ΖΗ. Επειδή ΓΟ ΖΗ και ΓΟ Ε πρκύπτει ότι ΖΗ// Ε. Άσκηση 6 Έστω Γ τ µέσ ηµικυκλίυ διαµέτρυ ΑΒ. Αν σηµεί τυ τόξυ ΑΓ και Ε η πρβλή τυ Γ στην ευθεία Α, να δειχθεί ότι: ΓΕ = Ε. Είναι ΑΟΓ = 90. Από τ τρίγων ΑΓ έχυµε: ω= Α + Γ,(ως εξωτερική γωνία). Επειδή Α = Ο και Γ = Ο (Η εγγεγραµµένη είναι ίση µε τ µισό της αντίστιχης επίκεντρης), έχυµε: ( ) 0 ω = Ο + Ο = Ο+ Ο = ΑΟΓ = 90 = 45 Άρα τ ρθγώνι τρίγων ΓΕ είναι και ισσκελές δηλ. ΓΕ = Ε. ù

15 Κύκλς 5.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρύµε σηµεί Α στην πρέκταση της διαµέτρυ ΒΓ κύκλυ (Ο,ρ). Από τ Α φέρνυµε την Α Ε, πυ τέµνει τν κύκλ, έτσι ώστε τ Α να είναι ίσ µε την ακτίνα. Να απδείξετε ότι = 3Γ. Å Ï ñ. ίνεται ηµικύκλι διαµέτρυ ΑΒ.Φέρνυµε χρδή ΑΓ έτσι ώστε ΓΑΒ = 30. Στ σηµεί Γ φέρνυµε την εφαπτόµενη, πυ τέµνει την ευθεία ΑΒ στ. Να δειχθεί ότι ΑΓ = Γ. 3. Γράφυµε δύ κύκλυς (Κ, R) και (Λ, ρ) πυ τέµννται στα Α και Β. Αν Γ, τα αντιδιαµετρικά σηµεία τυ Α πρς τυς δύ κύκλυς και Ζ, Ε τα αντιδιαµετρικά ση- µεία τυ Β, να δείξετε ότι τ τετράπλευρ Γ ΕΖ είναι ρθγώνι παραληλόγραµµ. Z Ê 4. Θεωρύµε δύ ίσυς κύκλυς µε κέντρα Κ και Λ πυ τέµννται στα Α και Β. Γράφυµε τυχαία ευθεία ε πυ διέρχεται από τ µέσν Ο της ΑΒ και τέµνει τν κύκλ Κ στα σηµεία, Ε και τν κύκλ Λ στα Ζ και Η (τ Ζ ανήκει στην Ε και τ Ε στην ΖΗ). είξτε ότι ΟΕ = ΟΖ. å Ê Ð Z Ï Ñ Ç 5. Γράφυµε δύ κύκλυς µε κέντρα Κ και Λ πυ τέµννται στα Α και Β. Από τ Α φέρνυµε παράλληλη στη διάκεντρ ΚΛ, πυ τέµνει τυς κύκλυς στα σηµεία Γ, αντίστιχα. Να δείξετε ότι η Γ έχει διπλάσι µήκς απ την ΚΛ. Ð Ê Ó 6. Από τ ένα κινό σηµεί Α δύ τεµνόµενων κύκλων Κ και Λ φέρνυµε τυχαία ευθεία, πυ τυς τέµνει στα σηµεία Β και Γ. Να δειχθεί ότι ι εφαπτόµενες στα Β, Γ ρίζυν γωνία ίση µε 80 - ΚΑΛ. Ê

16 5. Κύκλς 7. Γράφυµε δύ κύκλυς (Κ, R) και (Λ, ρ) µε R > ρ,πυ εφάπτνται εσωτερικά στ Ε. Η ευθεία ΚΛ τέµνει τν (Κ, R) στ Α και τν (Λ, ρ) στ Β. Από τ µέσν Ο τυ τµήµατς ΑΒ φέρνυµε την ΟΓ κάθετη στην ΑΒ. Αν η ευθεία ΕΓ τέµνει τν κύκλ (Λ, ρ) στ, να δείξετε ότι η ευθεία Ο είναι εφάπτεται στν κύκλ (Λ, ρ). 8. Οι κύκλι (Κ, R) και (Λ, ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Α. Από τ Α φέρνυµε ευθεία, πυ τέµνει τν (Λ, ρ) στ σηµεί Γ και τν (Κ, R) στ σηµεί Β. Να δείξετε ότι η εφαπτµένη ε τυ κύκλυ (Κ, R), στ Β είναι κάθετη στην ευθεία ΓΛ. ñ R å 9. ύ κύκλι µε κέντρα Κ και Λ εφάπτνται σε κύκλ µε κέντρ Ο στα σηµεία Α και Β. Αν η ευθεία ΑΒ τέµνει τν κύκλ µε κέντρ Λ στ Γ, να δείξετε ότι ι ΚΑ και ΛΓ είναι παράλληλες. 0. Γράφυµε δύ κύκλυς (Κ, R) και (Λ,ρ) πυ εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Ε. Φέρνυµε και την κινή εξωτερική εφαπτόµενη τυς πυ εφάπτεται στα σηµεία Α και Β αντίστιχα. Να δείξετε ότι: α.τ τίγων ΑΕΒ είναι ρθγώνι β. Ο κύκλς µε διάµετρ την ΑΒ εφάπτεται στην διάκεντρ των κύκλων στ σηµεί Ε. γ. Η ευθεία ΑΒ εφάπτεται στν κύκλ µε διάµετρ την ευθεία ΚΛ.. Γράφυµε κύκλ (Ο,R) και παίρνυµε δύ ίσα τόξα µε κινή αρχή και µέτρ 0 τ καθένα. Έστω και Ε τα µέσα των ίσων τόξων. Να δείξετε ότι η Ε χωρίζεται σε τρία ίσα µέρη από τις αντίστιχες χρδές των ίσων τόξων πυ θεωρήσα- µε.

17 Κύκλς 53.. Θεωρύµε σηµεία Α, Β, Γ κύκλυ (Ο, R). Από τ µέσ Μ τυ τόξυ ΒΓ φέρνυµε τη χρδή ΜΝ παράλληλη στην ευθεία ΑΓ. Να δείξετε ότι τα τόξα ΑΒ και ΜΝ είναι ίσα. Í M 3. Θεωρύµε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ εγγεγραµµέν σε κύκλ-.αν ι διχτόµι των ίσων γωνιών Β και Γ τυ ισσκελύς τριγώνυ τέµνυν τ κύκλ στα σηµεία, Ε και Ο είναι τ σηµεί τµής των διχτόµων, να δειχθεί ότι τ τετράπλευρ Α ΟΕ είναι ρόµβς. 4. Γράφυµε δύ κύκλυς πυ τέµννται στα σηµεία Α και Β. Φέρνυµε την κινή εφαπτµένη τυς Γ.Να δειχθεί ότι ι γωνίες ΓΑ και ΓΒ είναι παραπληρωµατικές. 5. Θεωρύµε τρίγων ΑΒΓ εγγεγραµµέν σε κύκλ και τέτι ώστε να είναι Β-Γ = 90. Να δειχθεί ότι η ευθεία ΒΓ είναι κάθετη στην εφαπτµένη στ Α. 6. ίνεται κύκλς µε κέντρ Ο.Γράφυµε τη διάµετρ ΑΒ και σηµειώνυµε τυχαί σηµεί Γ τυ κύκλυ. Φέρνυµε την εφαπτµένη Βx και τη διχτόµ της γωνίας ΒΑΓ, πυ τέµνει τη ΒΓ στ, τν κύκλ στ Μ και τη x στ Ζ. Να δειχθεί ότι Β = ΒΖ. M Z x

18 54. Κύκλς 7. Χωρίζυµε τη χρδή ΑΒ κύκλυ (Ο,ρ) σε τρία ίσα ευθ.τµήµατα ΑΓ = Γ = Β. Να δειχθεί ότι: α. ΑΟΓ = ΟΒ β. ΑΟΓ < ΓΟ 8. Γράφυµε δύ κύκλυς πυ τέµννται στα σηµεία Α και Β. Αν Γ και είναι τα αντιδιαµετρικά σηµεία τυ Α ως πρός τυς δύ κύκλυς, να δείξετε ότι τα σηµεία Γ,, Β είναι συνευθειακά. å 9. Γράφυµε κύκλ (Ο,ρ) και στην πρέκταση της ακτίνας ΟΑ, παίρνυµε ευθ.τµήµα ΑΒ ίσ µε την ακτίνα.φέρνυµε τη ΒΓ κάθετη σε τυχαία εφαπτόµενη ε τυ κύκλυ. Να δείξετε ότι η γωνία ΟΑΓ είναι τριπλάσια της ΑΓΒ. ñ ñ 0. Θεωρύµε κύκλ (Ο,ρ) και γράφυµε τις ίσες χρδές ΑΒ, ΑΓ. Φέρνυµε από τ Α ευθεία, πυ τέµνει τν κύκλ στ Ε και τη ΒΓ στ. Να δείξετε ότι κύκλς πυ διέρχεται από τα σηµεία Β,, Ε εφάπτεται στην ΑΒ.. Γράφυµε δύ κύκλυς πυ τέµννται στα σηµεία Α και Β. Φέρνυµε τις διαµέτρυς ΑΚΓ και ΑΛ και τις παράλληλες χρδές ΓΖ και Ε. Να δειχθεί ότι τα σηµεία Ζ, Α, Ε βρίσκνται στην ίδια ευθεία. Z

19 Κύκλς 55.. Θεωρύµε ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ εγγεγραµµέν στν κύκλ (Κ,R) τυχαί σηµεί Μ τυ τόξυ ΒΓ. Να δείξετε ότι: ΜΑ = ΜΒ + ΜΓ. M Z 3. Τραπέζι ΑΒΓ (ΑΒ// Γ) είναι εγγεγραµµέν στν κύκλ (Κ,ρ). Να δείξετε ότι, η γωνία των εφαπτόµενων τυ κύκλυ αυτύ, στα σηµεία Α και Γ, είναι ίση µε τη γωνία πυ σχηµατίζυν ι πρεκτάσεις των πλευρών Α και ΒΓ.. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Α. Σε κύκλ παίρνυµε σηµεί Γ της διαµέτρυ ΑΒ. Γράφυµε τυς κύκλυς µε διαµέτρυς τα ευθ,τµήµατα ΑΓ και ΓΒ. Φέρνυµε ευθεία πυ διέρχεται από τ Γ και τέµνει τυς τρεις κύκλυς κατά σειρά στα σηµεία, Ε, Ζ και Η. Να δείξετε ότι: Ε = ΖΗ. Β. Γράφυµε κύκλ (Ο,R) και παίρνυµε δύ τόξα µικρότερα των 80 0 µε κινή αρχή Α. Έστω και Ε τα µέσα των τόξων. Αν η Ε τέµνει τις χρδές πυ θεωρήσαµε στα Ζ,Η να δείξετε ότι ΑΖ = ΑΗ.

20

αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1

αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου  1 απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου.

Α = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου. Γεωμετρία της Α Λυκείυ 34. Δίνεται ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓΔ Α = Δ = 90 με Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί τ μήκς της διαμέσυ τυ τραπεζίυ. Φέρνυμε τ ύψς ΓΕ τυ τραπεζίυ. Στ ρθγώνι τρίγων ΓΕΒ είναι Άρα

Διαβάστε περισσότερα

άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του.

άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του. 1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες

Διαβάστε περισσότερα

2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΜ κατά Μ = ΑΜ. λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείου 1. ΒΜ = ΓΜ (υπόθεση)

2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΜ κατά Μ = ΑΜ. λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείου  1. ΒΜ = ΓΜ (υπόθεση) λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr. Στις πρεκτάσεις των ίσων πλευρών ΒΑ και ΓΑ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε ίσα τµήµατα Α, ΑΕ αντιστίχως. Αν Μ είναι τ µέσ της ΒΓ, να απδείξεις ότι τ τρίγων

Διαβάστε περισσότερα

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι

Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι 4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 6 ï. ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 6 ï. ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï 6 ï ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας εγγεγραµµένης γωνίας και της αντίστιχης επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò

ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 4 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύ ευθειών. Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών πυ σχηµατίζνται από δύ παράλληλες

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα

Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα 0 Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΣΕ ΚΥΚΛΟ i) Ένα πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν λέγεται εγγεγραµµέν σε κύκλ όταν ι κρυφές τυ είναι σηµεία ενός κύκλυ. ii)

Διαβάστε περισσότερα

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).

(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο). 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ   web: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο ΘΑΛΗΣ»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης y y A y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις : 4 4 A 6αβ 49α

Διαβάστε περισσότερα

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.

1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου. Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου

1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου 6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών.

ιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών. Μαθηµατικά B υµνασίυ Eρωτήσεις θεωρίας 1. Τι νµάζυµε µεταβλητή;. Τι νµάζυµε αριθµητική παράσταση; 3. Τι νµάζυµε αλγεβρική παράσταση; 4. Πια είναι η επιµεριστική ιδιότητα; 5. Τι συµβαίνει αν και στα δύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης A y y y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις :

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1 2 Η γωνία - Ο κύκλος Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1, Π 2 τα οποία ονοµάζονται ηµιεπίπεδα

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Ανισοτικές σχέσεις Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Γεωµετρικός τόπος είναι ένα σύνολο σηµείων του επιπέδου τα οποία έχουν µια κοινή ιδιότητα.τρείς από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μπάμπης Στεργίου. Ασκήσεις στη Γεωμετρία. Διαγωνισμός. Αρχιμήδης. Juniors-Μικροί. *** Αφιερωμένο στους μαθητές και τους συναδέλφους

Μπάμπης Στεργίου. Ασκήσεις στη Γεωμετρία. Διαγωνισμός. Αρχιμήδης. Juniors-Μικροί. *** Αφιερωμένο στους μαθητές και τους συναδέλφους Μπάμπης Στεργίυ ιαγωνισμός Αρχιμήδης Juniors-Μικρί Ασκήσεις στη Γεωμετρία *** Αφιερωμέν στυς μαθητές και τυς συναδέλφυς 017 Σελίδα 1 από 5 Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες

Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Σελίδα 1 από 19 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 01 11 ίννται στη σειρά

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο

Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο 5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου

Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειυ Γιάννης Κυριαζής Κωστά Βακαλόπυλς Άσκηση Θεωρύμε τρίγωνα και για τα πία ισχύει ότι: α) B ˆ B ˆ β) Γ ˆ Γ ˆ γ) r=r, όπυ r,r ι περίμετρι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Στο παρόν αρχείο περιέχονται προτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία.

ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Στο παρόν αρχείο περιέχονται προτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία. Σελίδα 1 από 36 ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μπάμπης Στεργίυ - εκέμβρις 016 Στ παρόν αρχεί περιέχνται πρτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία. Πρρίζνται για μαθητές Λυκείυ πυ συμμετέχυν στν διαγωνισμό Ευκλείδης

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Πρόλογος... 7 Περιεχόµενα... 9 Κεφάλαιο ο (του σχολικού βιβλίου) Μάθηµα 1 ο : Βασικά γεωµετρικά σχήµατα... 11 Μάθηµα ο : Γωνίες - κύκλος... 3 Κεφάλαιο 3 ο Μάθηµα 3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

απεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα

απεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα ΜΑΘΗΜΑ 7 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.: Τριγωνµετρικί αριθµί γωνίας ω µε 0 ω 80 Θεµατικές Ενότητες:. Επανάληψη από Β Γυµνασίυ.. Τριγωνµετρικί αριθµί πιασδήπτε γωνίας ω. Α. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. ** Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Pi $2. Αν για δύο τμήματα α, β ισχύει = 1 ή =, όπου x κατάλληλο τμήμα (ή β χ χ

Pi $2. Αν για δύο τμήματα α, β ισχύει = 1 ή =, όπου x κατάλληλο τμήμα (ή β χ χ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑ PATHPHΣΕΙΣ ΥΠΟΑΕΙΞΕΙΣ Όταν έχουμε αναλογίες της μορφής = = θέτουμε Pi $2 = = λ, όπου λ > 0. β. 32 (Ασκήσεις: 7.6 Εμπέδωσης 1, 3, Αποδεικτικές 1) Αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

µ =. µονάδες 12+13=25

µ =. µονάδες 12+13=25 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή

Διαβάστε περισσότερα

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ. 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α. α) Πιι αριθμί λέγνται μόσημι. Να γράψετε δύ παραδείγματα μόσημων αριθμών. β) Πιι αριθμί λέγνται ετερόσημι. Δώστε ένα παράδειγμα. Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα

Διαβάστε περισσότερα

B Θέματα (Έκδοση: )

B Θέματα (Έκδοση: ) B Θέματα (Έκδση: 26 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 26 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

4 o ìüèçìá. Ôñßãùíá Ï B. 3 ÊåöÜëáéï. Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò

4 o ìüèçìá. Ôñßãùíá Ï B. 3 ÊåöÜëáéï. Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò 3 o ìüèçìá Ôñßãùíá Â Ï Á o 3 ÊåöÜëáéï 4 o ìüèçìá Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò O 3 Τρίγωνα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός - Κύρια στοιχεία τριγώνου Τρίγωνο ονοµάζεται ένα πολύγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,

Διαβάστε περισσότερα