Διαχείριση της διδακτέας-εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ για το σχολικό έτος

Transcript

1 . Διχείριση της διδκτές-εξετστές ύλης των Μθημτικών Προσντολισμού της Γ' τάξης Ημερησίου ΓΕΛ γι το σχολικό έτος 7-8 Σύμφων με την ρ. πρωτ /Δ/--7 εγκύκλιο του ΥΠ.Π.Ε.Θ. Δημήτριος Σπθάρς Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών

2 Δημήτριος Σπθάρς Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών Φθιώτιδς κι Ευρυτνίς

3 Κεφάλιο ο Διφορικός Λογισμός Κεφάλιο ο Όριο Συνέχει Συνάρτησης Μθημτικά Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς κι Πληροφορικής Γ τάξης Ημερήσιου ΓΕΛ Διδκτέ-Εξετστέ ύλη κι προτεινόμενες ώρες διδσκλίς νά πράγρφο γι το σχολικό έτος 7-8 Από το βιβλίο «Μθημτικά» Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής της Γ τάξης Γενικού Λυκείου των Ανδρεδάκη Στ., κ.ά. Μέρος Β ΚΕΦ. ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΩΡΕΣ. Πργμτικοί ριθμοί. Συνρτήσεις 3.3 Μονότονες συνρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση 4.4 Όριο συνάρτησης στο 3.5 Ιδιότητες των ορίων, χωρίς τις ποδείξεις της υποπργράφου «Τριγωνομετρικά όρι» 6.6 Μη πεπερσμένο όριο στο 4.7 Όρι συνάρτησης στο άπειρο 4.8 Συνέχει συνάρτησης. Η έννοι της πργώγου, χωρίς την υποπράγρφο «Κτκόρυφη εφπτομένη». Πργωγίσιμες συνρτήσεις Πράγωγος συνάρτηση χωρίς τις ποδείξεις των τύπων (ημ) συν στη σελίδ 6 κι (συν ) ημ στη σελίδ 7.3 Κνόνες πργώγισης, χωρίς την πόδειξη του θεωρήμτος που νφέρετι στην πράγωγο γινομένου συνρτήσεων Ρυθμός μετβολής 4.5 Θεώρημ μέσης τιμής διφορικού λογισμού 4.6 Συνέπειες του θεωρήμτος μέσης τιμής 6.7 Τοπικά κρόττ συνάρτησης χωρίς το θεώρημ της σελίδς 46 (κριτήριο ης πργώγου) 5

4 Κεφάλιο 3 ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών.8 Κυρτότητ Σημεί κμπής συνάρτησης. Θ μελετηθούν μόνο οι συνρτήσεις που είνι δυο τουλάχιστον φορές πργωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους. 4.9 Ασύμπτωτες Κνόνες De l Hospital 4. Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης Επνληπτικές σκήσεις 4 3. Αόριστο ολοκλήρωμ. Μόνο η υποπράγρφος «Αρχική συνάρτηση» που θ συνοδεύετι πό πίνκ πργουσών συνρτήσεων ο οποίος θ περιλμβάνετι στις διδκτικές οδηγίες. 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμ Η συνάρτηση F() f(t)dt. Υπόδειξη οδηγί: Η εισγωγή της συνάρτησης F() f(t)dt γίνετι γι ν ποδειχθεί το Θεμελιώδες Θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού κι ν νδειχθεί η σύνδεση του Διφορικού με τον Ολοκληρωτικό λογισμό. Γι το λόγο υτό δεν θ διδχθούν εφρμογές κι σκήσεις που νφέροντι στην συνάρτησηf() f(t)dt κι γενικότερ g() στη συνάρτηση F() f(t)dt Εμβδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφρμογή 3 της σελίδς 3 4 Επνληπτικές σκήσεις 4 Πρτηρήσεις Η διδκτέ-εξετστέ ύλη θ διδχτεί σύμφων με τις οδηγίες του Υπουργείου Πιδείς Έρευνς κι Θρησκευμάτων. Τ θεωρήμτ, οι προτάσεις, οι ποδείξεις κι οι σκήσεις που φέρουν στερίσκο δε διδάσκοντι κι δεν εξετάζοντι. Οι εφρμογές κι τ πρδείγμτ των βιβλίων δεν εξετάζοντι ούτε ως θεωρί ούτε ως σκήσεις, μπορούν, όμως, ν χρησιμοποιηθούν ως προτάσεις γι τη λύση - σκήσεων ή την πόδειξη άλλων προτάσεων. Εξιρούντι πό την εξετστέ-διδκτέ ύλη οι εφρμογές κι οι σκήσεις που - νφέροντι σε λογρίθμους με βάση διφορετική του e κι του.

5 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών Διχείριση της Διδκτές-Εξετστές ύλης γι το σχολικό έτος 7-8 Κεφάλιο ο Όριο - Συνέχει Συνάρτησης. - Πργμτικοί ριθμοί. ώρ Το περιεχόμενο της πργράφου υτής είνι σημείο νφοράς γι τ επόμεν. Οι περισσότερες πό τις έννοιες που περιέχοντι είνι ήδη γνωστές στους μθητές. Γι' υτό η διδσκλί δεν πρέπει ν στοχεύει στην εξ' υπρχής νλυτική προυσίση γνωστών εννοιών, λλά στο ν δίνει "φορμές" στους μθητές ν ντρέχουν στ βιβλί των προηγούμενων τάξεων κι ν επνφέρουν στη μνήμη τους γνωστές έννοιες κι προτάσεις που θ τις χρειστούν στ επόμεν.. - Συνρτήσεις. 3 ώρες Ν δοθεί έμφση στις έννοιες της ισότητς κι της σύνθεσης συνρτήσεων κι στη χρήση κι ερμηνεί των γρφικών πρστάσεων. Ν τονιστεί ότι μπορεί το γινόμενο δύο συνρτήσεων ν είνι η στθερή συνάρτηση μηδέν χωρίς κμί πό τις δύο ν είνι ίση με τη συνάρτηση μηδέν. Έν κτάλληλο πράδειγμ ποτελούν οι συνρτήσεις f() κι g() των οποίων συνιστάτι ν γίνει κι η γρφική πράστση..3 - Μονότονες συνρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτηση. 4 ώρες Α) Ν γίνουν σκήσεις ελέγχου της ιδιότητς - μέσ πό γρφήμτ. Β) Στην άσκηση 3 (σελ. 38) ν μελετηθεί η μονοτονί των συνρτήσεων που δίδοντι οι γρφικές τους πρστάσεις. Ν γίνουν κι άλλες τέτοιου τύπου σκήσεις. Γ) Ν τονιστεί στους μθητές ότι γι την επίλυση σκήσεων μπορούν ν χρησιμοποιούντι, νπόδεικτ, οι προτάσεις: i) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ, τότε γι οποιδήποτε, Δ ισχύει η συνεπγωγή: f( ) f( ) ii) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ, τότε γι οποιδήπο-, Δ ισχύει η συνεπγωγή: f( ) f( ) τε 3

6 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών Γι λόγους διδκτικούς μπορεί ν προυσιστεί στην τάξη η πόδειξη των προτάσεων. Απόδειξη : i) Έστω ότι υπάρχουν, Δ, γι τ οποί ισχύει η υπόθεση κι δεν ισχύει το συμπέρσμ της συνεπγωγής. Τότε θ ισχύει: f( ) f( ) κι Αν ήτν, επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, θ ίσχυε: f( ) f( ), που ντίκειτι στην υπόθεση. Αν ήτν, πό τον ορισμό της συνάρτησης, θ ίσχυε: f( ) f( ), που ντίκειτι κι υτό στην υπόθεση. Επομένως, ισχύει το ζητούμενο. ii) Αντίστοιχη με την i..4 - Όριο συνάρτησης στο. 3 ώρες Με δεδομένο ότι ο τυπικός ορισμός του ορίου (σελ. 43) δεν συμπεριλμβάνετι στην ύλη, ν δοθεί βάρος στη διισθητική προσέγγιση της έννοις του ορίου. Δηλδή, ν γίνει προσπάθει, μέσ πό γρφικές πρστάσεις κτάλληλων συνρτήσεων, ν ποκτήσουν οι μθητές μι κλή εικόν κι ν ποφευχθούν πρνοήσεις, που πό τη βιβλιογρφί έχει προκύψει ότι δημιουργούντι συχνά στους μθητές, γι την έννοι του ορίου. Ν τονιστεί ιδιίτερ, μέσ πό κτάλληλες γρφικές πρστάσεις, ότι η συμπεριφορά της συνάρτησης στο σημείο δεν επηρεάζει το όριο της ότν το τείνει στο, κθώς κι ότι η τιμή του lim f() κθορίζετι, πό τις τιμές που πίρνει η συνάρτηση κοντά στο. Δηλδή, δύο συνρτήσεις που έχουν τις ίδιες τιμές σε έν διάστημ γύρω πό το λλά μπορεί ν διφέρουν στο (πίρνουν διφορετικές τιμές ή η μι ορίζετι κι η άλλη δεν ορίζετι ή κμί δεν ο- ρίζετι) έχουν το ίδιο όριο ότν το τείνει στο (σχολικό βιβλίο σελ. 4-4). Ν τονιστεί, επίσης, ότι η ύπρξη του ορίου δεν συνεπάγετι μονοτονί, κάτι που όπως προκύπτει πό τη βιβλιογρφί είνι συνηθισμένη πρνόηση των μθητών, ούτε όμως κι τοπική μονοτονί δεξιά κι ριστερά του, δηλδή μονοτονί σε έν διάστημ ριστερά του κι σε έν διάστημ δεξιά του. Σχήμ Γι το σκοπό υτό μπορεί ν χρησιμοποιηθούν γρφικές πρστάσεις κτάλληλων συνρτήσεων, που θ σχεδιστούν με τη βοήθει λογισμικού, όπως είνι γι πράδειγμ η f() ημ (Σχήμ ). 4

7 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών Επίσης, επειδή πολλοί μθητές θεωρούν ότι ότν έν όριο δεν υπάρχει τ πλευρικά όρι υ- πάρχουν κι είνι διφορετικά, ν δοθούν γρφικά κι ν συζητηθούν πρδείγμτ που δεν υπάρχουν τ πλευρικά όρι, όπως γι πράδειγμ η f() ημ (Σχήμ ). Σχήμ.5 - Ιδιότητες των ορίων. Χωρίς τις ποδείξεις της υποπργράφου «Τριγωνομετρικά όρι» 6 ώρες Στην ενότητ υτή δεν έχει νόημ μι άσκοπη σκησιολογί που οι μθητές υπολογίζουν όρι, κάνοντς χρήση λγεβρικών δεξιοτήτων. Στη λύση των σκήσεων ν ζητείτι πό τους μθητές ν τονίζουν τις ιδιότητες των ορίων που χρησιμοποιούν, ώστε οι σκήσεις υτές ν ποκτούν ουσιστικό περιεχόμενο πό πλευράς Ανάλυσης, κάτι που θ βοηθήσει στην νάπτυξη της κτνόησης πό τους μθητές της έννοις του ορίου. Γι πράδειγμ σε ερωτήσεις όπως «ν βρεθεί το 6 lim 3 8» (άσκηση 3i) θ πρέπει ν ζητείτι πό τους μθητές ν ιτιολογήσουν ποιες ιδιότητες των ορίων χρησιμοποιούντι στ ενδιάμεσ στάδι μέχρι τον τελικό υπολογισμό, ν προβλημτιστούν ν οι f() κι g() ( 4)( ) 4 είνι ίσες κι, φού διπιστώσουν ότι δεν είνι ίσες, ν δικιολογήσουν γιτί έχουν ίσ όρι. Επίσης σε σκήσεις όπου η συνάρτηση ο- ρίζετι με διφορετικό τύπο σε δύο συνεχόμεν διστήμτ, όπως π.χ. η άσκηση 5 (σελ. 57) ν ζητείτι ιτιολόγηση γιτί στο σημείο λλγής του τύπου είμστε υποχρεωμένοι ν ελέγχουμε τ πλευρικά όρι, ενώ στ άλλ σημεί του πεδίου ορισμού μπορούμε ν βρούμε το όριο χρησιμοποιώντς τον ντίστοιχο τύπο. Δηλδή, ν φίνετι ότι οι μθητές κτνοούν ότι το όριο κθορίζετι πό τις τιμές της συνάρτησης κοντά στο κι ε- κτέρωθεν υτού. Αυτό μς επιτρέπει στ σημεί τ διφορετικά πό το ν χρησιμοποιούμε τον έν τύπο, ενώ στο πρέπει ν πάρουμε πλευρικά όρι..6 - Μη πεπερσμένο όριο στο. 4 ώρες Ν δοθεί βάρος στη διισθητική προσέγγιση της έννοις με τη χρήση γρφικών πρστάσεων. Εκτός πό τ πρδείγμτ του βιβλίου ν δοθούν, μέσ πό κτάλληλες γρφικές πρστάσεις, που θ σχεδιστούν με τη βοήθει λογισμικού, πρδείγμτ όπου το όριο δεν είνι πεπερσμένο λλά δεν υπάρχει μονοτονί, όπως π.χ. lim ημ (Σχήμ 3), ώστε ν ποφευχθεί η πρνόηση που συνδέει την ύπρξη μη πεπερσμένου ορίου στο με τη μονοτονί. 5

8 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών Σχήμ Όρι συνάρτησης στο άπειρο. 4 ώρες Ν δοθεί βάρος στη διισθητική προσέγγιση της έννοις. Ν δοθούν, μέσ πό κτάλληλες γρφικές πρστάσεις, πρδείγμτ συνρτήσεων των οποίων το όριο, ότν το τείνει στο, υπάρχει λλά οι συνρτήσεις υτές δεν είνι μονότονες, όπως είνι γι πράδειγμ η f() (Σχήμ 4), ημ κθώς κι συνρτήσεων των ο- ποίων το όριο δεν υπάρχει, ότν το τείνει στο, όπως είνι γι πράδειγμ η f() ημ Σχήμ 4 n Τ όρι: lim, lim n, lim, lim, ν συζητηθούν με τη χρήση γρφικών πρστάσεων, που θ σχεδιστούν με τη βοήθει λογισμικού, κι πινάκων τιμών, με στόχο n n ν ντιληφθούν διισθητικά οι μθητές ποι είνι τ όρι υτά. Η τελευτί πράγρφος, πεπερσμένο όριο κολουθίς, ν συζητηθεί γιτί θ χρειστεί γι το ορισμένο ολοκλήρωμ. Ν δοθεί στους μθητές η δυντότητ ν χρησιμοποιούν, νπόδεικτ, τις πρκάτω προτάσεις οι οποίες δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο: Έστω f, g δύο συνρτήσεις που είνι ορισμένες κοντά στο {, } i) Αν ισχύουν: ) f() g() κοντά στο β) lim f() τότε θ ισχύει κι lim g() 6

9 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών ii) Αν ισχύουν: ) f() g() κοντά στο β) lim g() τότε θ ισχύει κι lim f() Η προυσίση των πρπάνω προτάσεων μπορεί ν γίνει διισθητικά με την βοήθει κτάλληλων γρφικών πρστάσεων..8 - Συνέχει συνάρτησης. ώρες Στην πρώτη ενότητ (ορισμός της συνέχεις) ν συζητηθούν κι γρφικά πρδείγμτ συνεχών συνρτήσεων με πεδίο ορισμού ένωση ξένων διστημάτων, όπως είνι γι πράδειγμ οι συνρτήσεις f() (Σχήμ 5) κι g() (Σχήμ 6) κι ν συζητηθεί γιτί το γράφημ των συνρτήσεων υτών δικόπτετι, πρόλο που είνι συνε- χείς. Ν δοθούν στους μθητές κι σχετικές σκήσεις. Σχήμ 5 Σχήμ 6 Επίσης, κτά τη διδσκλί των θεωρημάτων Bolzano, ενδιάμεσων τιμών κι μέγιστης κι ελάχιστης τιμής, κθώς κι της πρότσης ότι η συνεχής εικόν διστήμτος είνι διάστημ, ν δοθεί έμφση κι ν συζητηθούν οι γρφικές πρστάσεις που κολουθούν τις τυπικές διτυπώσεις υτών, ώστε οι μθητές ν βοηθηθούν στην ουσιστική κτνόηση τους. Το θεώρημ Bolzano είνι το πρώτο ουσιστικά θεώρημ που συνντάνε οι μθητές στην Ανάλυση. Γι υτό είνι κλό ν γίνει μι συζήτηση που ν φορά την νγκιότητ των υποθέσεων του θεωρήμτος νάλογη με το σχόλιο του θεωρήμτος των ενδιάμεσων τιμών (σελ. 76). Επίσης θ πρέπει ν τονισθεί ότι δεν ισχύει το ντίστροφο. Δηλδή ενδέχετι οι τιμές μις συνάρτησης στ άκρ ενός κλειστού διστήμτος [, β] του πεδίου ορισμού της ν έχουν το ίδιο πρόσημο, η συνάρτηση ν μην είνι συνεχής στο [, β] κι όμως ν πίρνει την τιμή σε έν εσωτερικό σημείο του [, β]. Διευκρινίζετι ότι στο θεώρημ της σελίδς 78, τ, β μπορεί ν είνι κι μη πεπερσμέν. 7

10 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών Κεφάλιο ο Διφορικός Λογισμός. - Η έννοι της πργώγου. Χωρίς την υποπράγρφο «Κτκόρυφη εφπτομένη». 7 ώρες Ν δοθεί έμφση στην εισγωγή της έννοις μέσω του προβλήμτος της στιγμιίς τχύτητς κι της εφπτομένης. Μετά τον ορισμό της πργώγου κι της εφπτομένης γρφικής πράστσης συνάρτησης (σελ. 96) ν συζητηθεί νλυτικότερ η έννοι της εφπτομένης. Επίσης, ν δοθούν πρδείγμτ που θ βοηθήσουν τον μθητή ν νκτσκευάσει την εικόν της εφπτομένης που έχει πό τον κύκλο (η εφπτομένη έχει έν κοινό σημείο κι δεν κόβει την κμπύλη) κι ν σχημτίσει μι γενικότερη εικόν γι την ε- φπτομένη ευθεί. Γι πράδειγμ, προτείνετι ν συζητηθούν κι ν δοθούν στους μθητές γρφικά: 3 i) Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f() στο σημείο Ο, ώστε ν κτλάβουν ότι η εφπτομένη μις κμπύλης μπορεί ν διπερνά την κμπύλη κι, ν ii) Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g() στο σημείο O, ώστε ν κτλάβουν ότι μι ημιευθεί της εφπτομένης μις κμπύλης μπορεί, ν ν συμπίπτει με έν τμήμ της κμπύλης κι επιπλέον ότι η εφπτομένη μις ευθείς σε κάθε σημείο της συμπίπτει με την ευθεί.. - Πργωγίσιμες συνρτήσεις. Πράγωγος συνάρτηση χωρίς τις ποδείξεις των τύπων (ημ) συν στη σελίδ 6 κι (συν ) ημ στη σελίδ 7. ώρες Ν προσεχθεί ιδιίτερ το θέμ της κτνόησης πό τους μθητές των ρόλων του h f( h) f() κι του στην έκφρση f'() lim που χρησιμοποιείτι στο βιβλίο γι τον h h υπολογισμό της πργώγου των τριγωνομετρικών συνρτήσεων (σελ. 7). Ν τονιστεί η διφορά πργώγου σε σημείο κι πργώγου συνάρτησης..3 - Κνόνες πργώγισης, χωρίς την πόδειξη του θεωρήμτος που νφέρετι στην πράγωγο γινομένου συνρτήσεων. 5 ώρες Ν δοθεί βάρος στην πργώγιση σύνθετης συνάρτησης κθώς κι στην πρτήρηση της σελίδς 6 σχετικά με το ότι το σύμβολο dy δεν είνι πηλίκο. d Στην εφρμογή (σελ. 8) που φορά στην εφπτομένη του κύκλου ν τονιστεί ότι η εξίσωση της ευθείς που βρέθηκε με βάση τον νλυτικό ορισμό της εφπτομένης είνι ίδι με υτή που γνωρίζουμε πό την νλυτική γεωμετρί. Αυτό γι ν στθεροποιηθεί στους μθητές η ντίληψη ότι η έννοι της εφπτομένης που πργμτεύοντι στην νάλυση συνδέετι κι επεκτείνει την έννοι της εφπτομένης που γνωρίσνε στη γεωμετρί. 8

11 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών.4 - Ρυθμός μετβολής. 4 ώρες Η έννοι του ρυθμού μετβολής είνι σημντική κι δείχνει τη σημσί της έννοις της πργώγου στις εφρμογές. Γι το λόγο υτό κλό είνι ν γίνει προσπάθει οι μθητές ν κτνοήσουν την έννοι κι ν δουν ορισμένες χρήσιμες εφρμογές..5 - Θεώρημ Μέσης Τιμής διφορικού λογισμού. 4 ώρες Ν δοθεί έμφση στη γεωμετρική ερμηνεί των Θεωρημάτων Rolle κι Μέσης Τιμής που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο μετά τη διτύπωση των θεωρημάτων υτών. Επειδή οι μθητές έχουν χρησιμοποιήσει το Θεώρημ του Bolzano, σε σκήσεις όπως η εφρμογή ii) μπορεί ν συζητηθεί πρώτ η δυντότητ πόδειξης με χρήση του Θεωρήμτος Bolzano κι ν φνεί ότι δεν μπορούμε ν εφρμόσουμε υτό το θεώρημ στο [,] γι όλες τις τιμές του λ. Έτσι φίνετι ότι το Θεώρημ Rolle ποτελεί ουσιστικό εργλείο κι γι τέτοιες περιπτώσεις. Στην εφρμογή 3 ν γίνει συζήτηση τι εκφράζει το πηλίκο S(,5) S() (μέση τχύτητ της κίνησης) με στόχο ν κτνοήσουν οι μθητές ότι υτό,5 που ποδεικνύετι είνι ότι κτά τη διάρκει της κίνησης υπάρχει τουλάχιστον μι χρονική στιγμή κτά την οποί η στιγμιί τχύτητ θ είνι ίση με τη μέση τχύτητ που είχε το υτοκίνητο σε όλη την κίνηση. Ενλλκτικά, θ μπορούσε ν συζητηθεί στην ρχή του κεφλίου το γεγονός, ότι κτά τη διάρκει της κίνησης ενός υτοκινήτου κάποι στιγμή της διδρομής η στιγμιί τχύτητά του θ είνι ίση με τη μέση τχύτητά του (κάτι που οι μθητές το ντιλμβάνοντι διισθητικά). Στη συνέχει, ν διτυπωθεί η μθημτική σχέση που εκφράζει το γεγονός υτό, κι ν τεθεί το ερώτημ ν το συμπέρσμ μπορεί ν γενικευθεί κι γι άλλες συνρτήσεις. Η πάντηση στην ερώτηση υτή είνι το Θεώρημ Μέσης Τιμής..6 - Συνέπειες του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής. 6 ώρες Στην ρχή της διδσκλίς υτού του κεφλίου μπορεί ν συνδεθεί η μονοτονί μις συνάρτησης f σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της με την διτήρηση του πρόσημου του λόγου μετβολής στο διάστημ υτό. Συγκεκριμέν, ν ποδει- f( ) f( ) χτεί ότι η συνάρτηση f είνι: f( ) f( ) i) γνησίως ύξουσ στο Δ, ν κι μόνο ν, δηλδή, ν κι μόνο ν όλες 9 οι χορδές της γρφικής πράστσης της f στο διάστημ Δ έχουν θετική κλίση. f( ) f( ) ii) γνησίως φθίνουσ στο Δ, ν κι μόνο ν, δηλδή, ν κι μόνο ν όλες οι χορδές της γρφικής πράστσης της f στο διάστημ Δ έχουν ρνητική κλίση. Με τον τρόπο υτό θ συνδεθεί η μονοτονί με την πράγωγο κι θ δικιολογηθεί το γιτί στην πόδειξη του θεωρήμτος της σελίδς 35 χρησιμοποιούμε το λόγο μετβολής f( ) f( ).

12 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών.7 - Τοπικά κρόττ συνάρτησης. Χωρίς το θεώρημ της σελίδς 46 (κριτήριο ης πργώγου). 5 ώρες Μετά την εφρμογή σελίδ 48 ν διδχθεί ως εφρμογή η άσκηση 3 ) i) της Β Ομάδς σελίδ 5. Ως πόδειξη, εκτός πό εκείνη που περιέχετι στο βιβλίο λύσεων, μπορεί ν δοθεί κι η κόλουθη που είνι έμμεση συνέπει της εφρμογής. Ζητούμενο: Γι κάθε είνι e κι το «=» ισχύει μόνο γι. Απόδειξη: Γι όλους τους θετικούς ριθμούς ισχύει ln κι το «=» ισχύει ν κι μόνο ν. Επομένως κι γι τον θετικό e ισχύει lne e κι το το «=» ισχύει μόνο γι e δηλδή. Επομένως e κι το «=» μόνο γι. Άρ e κι το «=» μόνο γι..8 - Κυρτότητ - Σημεί κμπής συνάρτησης. Θ μελετηθούν μόνο οι συνρτήσεις που είνι δυο τουλάχιστον φορές πργωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού τους. 4 ώρες Ν διτεθούν τέσσερις (4) διδκτικές ώρες.9 - Ασύμπτωτες - Κνόνες De l Hopital. 4 ώρες Γι μι διισθητική κτνόηση του κνόν De l' Hospital προτείνετι, πριν τη διτύπωση του, ν δοθεί στους μθητές ν υπολογίσουν το lim, το οποίο είνι της ln μορφής. Οι μθητές θ διπιστώσουν ότι δυσκολεύοντι ν υπολογίσουν το όριο υτό με τις μεθόδους που γνωρίζουν μέχρι τώρ. Γι ν τους βοηθήσουμε ν υπολογίσουν το πρπάνω όριο προτείνουμε ν δοθεί σε υτούς η κόλουθη δρστηριότητ. Ν τονιστεί ότι οι κνόνες De l Hospital δεν είνι πάντ πρόσφοροι γι τον υπολογισμό ορίων προσδιόριστων μορφών. Έτσι, ν έχουμε το όριο lim κι επιχειρήσουμε ν εφρμόσουμε τον κνόν βρίσκουμε: κι () () δηλδή επιστρέφουμε εκεί που ρχίσμε χωρίς ν βρούμε το όριο. Χωρίς τον κνόν βρίσκουμε: lim lim lim Δρστηριότητ i) Ν πρστήσετε γρφικά στο ίδιο σύστημ συντετγμένων τις συνρτήσεις f() ln κι g(). ii) Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόμενες των γρφικών πρστάσεων των f κι g στο κοινό τους σημείο Α(,) είνι οι ευθείες ε: y κι ζ: y ντιστοίχως κι ν τις χράξετε.

13 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών iii) Ν κάνετε χρήση του γεγονότος ότι «κοντά» στο οι τιμές των συνρτήσεων f() ln κι g() προσεγγίζοντι πό τις τιμές των εφπτόμενων τους y κι y γι ν κτλήξετε στο συμπέρσμ ότι «κοντά» στο η ln τιμή του πηλίκου είνι κτά προσέγγιση ίση με την τιμή του πηλίκου, ln δηλδή ότι «κοντά» στο ισχύει: ( ) που είνι το πηλίκο των κλίσεων των πρπάνω ευθειών. Επομένως, «κοντά» στο ισχύει f() f'() g() g'() το οποίο υπό μορφή ορίου γράφετι: f() f'() lim g() g'() Σχόλιο Η διπίστωση του γεγονότος ότι «κοντά» στο οι τιμές των συνρτήσεων f() ln κι g() προσεγγίζοντι πό τις τιμές των εφπτόμενων τους y κι y μπορεί ν γίνει κι με τη βοήθει ενός δυνμικού λογισμικού (πχ. Geogebra), ως εξής: Πριστάνουμε γρφικά τις συνρτήσεις y ln κι y κι στη συνέχει χράσσουμε τις εφπτόμενες τους y κι y ντιστοίχως (σχήμ 7). Έπειτ, κάνουμε λλεπάλληλ ZOOM κοντά στο σημείο Α(,). Θ πρτηρήσουμε ότι η y ln θ συμπέσει με την ευθεί y, ενώ η y θ συμπέσει με την ευθεί y (σχήμ 8). Σχήμ 7 Σχήμ 8 Ν τονιστεί ότι ενδέχετι μι συνάρτηση ν τέμνει μι πλάγι ή οριζόντι σύμπτωτη της. Ως πράδειγμ μπορεί ν δοθεί (ευκτίο ν δοθεί κι το γράφημ) η συνάρτηση f() ημ που έχει σύμπτωτη την y η οποί τέμνει την γρφική πράστση σε άπειρ σημεί.. - Μελέτη κι χάρξη της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης. ώρ Ν διτεθεί μι () διδκτική ώρ. Οι τέσσερις (4) διδκτικές ώρες που πομένουν πό τον συνολικό ριθμό των προτεινομένων ωρών ν διτεθούν γι επίλυση επνληπτικών σκήσεων.

14 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών Κεφάλιο 3 ο Ολοκληρωτικός Λογισμός 3. - Αόριστο ολοκλήρωμ. Μόνο η υποπράγρφος «Αρχική συνάρτηση» που συνοδεύετι πό πίνκ πργουσών συνρτήσεων. ώρες Α) Ν δοθεί έμφση στ προβλήμτ που διτυπώνοντι στο σχολικό βιβλίο στην ρχή της ενότητς κι ν τονιστεί η σημσί της ντίστροφης διδικσίς της πργώγισης. Θ ήτν κλό ν συζητηθούν διεξοδικά ορισμέν πό υτά ή άλλ νάλογ, ώ- στε ν προκύψει η σημσί της ρχικής συνάρτησης. Β) Ν συζητηθεί μόνο η πρώτη πράγρφος που φορά στην πράγουσ συνάρτηση. Το όριστο ολοκλήρωμ πρλείπετι κι ντί του πίνκ όριστων ολοκληρωμάτων (σελ. 87) ν δοθεί ο πρκάτω πίνκς των πργουσών μερικών βσικών συνρτήσεων. A/A Συνάρτηση Πράγουσ f() G() c, c f() G() c, c 3 4 f() G() ln c, c f() G() c, c 5 f() συν G() ημ c, c 6 f() ημ G() συν c, c 7 8 f() G() εφ c, c συν f() G() σφ c, c ημ 9 f() e f() G() e c, c G() c, c ln Σημείωση: Οι τύποι του πίνκ υτού ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οποίο οι πρστάσεις του που εμφνίζοντι έχουν νόημ. Οι δύο ιδιότητες των όριστων ολοκληρωμάτων στο τέλος της σελίδς 87 μπορούν ν νδιτυπωθούν ως εξής:

15 Μθημτικά Προσντολισμού Γ Λυκείου Δημ. Σπθάρς - Σχολικός Σύμβουλος Μθημτικών Αν οι συνρτήσεις F κι G είνι πράγουσες των f κι g ντιστοίχως κι ο λ είνι ένς πργμτικός ριθμός, τότε: i) Η συνάρτηση F + G είνι μι πράγουσ της συνάρτησης f + g κι ii) Η συνάρτηση λf είνι μι πράγουσ της συνάρτησης λf. Οι εφρμογές των σελίδων 88 κι 89 ν γίνουν με τη χρήση των ρχικών συνρτήσεων. Ν λυθούν μόνο οι σκήσεις, 4, 5 κι 7 της Α' Ομάδς. Τυπογρφικό λάθος: Στη διτύπωση του Θεωρήμτος ντί c ν γρφεί G Ορισμένο ολοκλήρωμ. 5 ώρες Το πρώτο μέρος που φορά τον υπολογισμό του εμβδού πρβολικού χωρίου ν γίνει με τρόπο που ν νδεικνύει την ξιοποίηση των θροισμάτων κι της ορικής διδικσίς γι τη εύρεση-υπολογισμού του εμβδού. Στη συνέχει ν γίνει διισθητική προσέγγιση της έννοις του ορισμένου ολοκληρώμτος κι ν συνδεθεί με το εμβδόν ότν η συνάρτηση δεν πίρνει ρνητικές τιμές κι με τον υπολογισμό του πρβολικού χωρίου που προηγήθηκε. Ν γίνει η εφρμογή του βιβλίου γι το ολοκλήρωμ στθερής συνάρτησης κι οι ιδιότητες που κολουθούν. Ν δοθεί στους μθητές η δυντότητ ν χρησιμοποιούν, νπόδεικτ, τις πρκάτω προτάσεις φού προυσιστούν σύντομ οι, προφνείς, ποδείξεις τους: «Έστω f κι g δυο συνεχείς συνρτήσεις σε έν διάστημ [, β]. Αν f() g() γι κάθε [,β], τότε θ ισχύει: β f()d g()d Αν, επιπλέον, οι συνρτήσεις f κι g δεν είνι ίσες στο [, β] (δηλδή, ν υπάρχει ξ [,β] με f(ξ) g(ξ) ), τότε θ ισχύει: β f()d g()d Τυπογρφική διόρθωση: Στην ισότητ του πρώτου πλισίου τ άκρ ολοκλήρωσης ν ντιστρφούν Η συνάρτηση F() f(t)dt. 5 ώρες Η εισγωγή της συνάρτησης f(t)dt γίνετι γι ν ποδειχθεί το Θεμελιώδες Θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού κι ν νδειχθεί η σύνδεση του Διφορικού με τον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Γι το λόγο υτό δε θ διδχθούν εφρμογές κι σκήσεις που νφέροντι στη συνάρτηση f(t)dt κι γενικότερ στη συνάρτηση β β g() f(t)dt Εμβδόν επιπέδου χωρίου, χωρίς την εφρμογή 3 της σελίδς 3. 4 ώρες Ν διτεθεί μι () διδκτική ώρ. Οι τέσσερις (4) διδκτικές ώρες που πομένουν πό τον συνολικό ριθμό των προτεινομένων ωρών ν διτεθούν γι επίλυση επνληπτικών σκήσεων. Επισήμνση Από τη διδκτέ-εξετστέ ύλη εξιρούντι οι σκήσεις του σχολικού βιβλίου που - νφέροντι σε τύπους τριγωνομετρικών ριθμών θροίσμτος γωνιών, διφοράς γωνιών κι διπλάσις γωνίς. 3