ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 2

Transcript

1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 2 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και Τεχνολογία Μια Εισαγωγή Έλεγχος συνθηκών - if Ας μελετήσουμε το πρόβλημα του υπολογισμού του ελάχιστου της συνάρτησης στο διάστημα [ L, R ]. Έτσι, θα πάρουμε μια ιδέα για τους ελέγχους συνθηκών. Γνωρίζουμε πως το ελάχιστο βρίσκεται στο κρίσιμο σημείο x c = b 2. 2 f ( x) x bx c Αν το x c [L,R ], τότε το ελάχιστο είναι το f ( x c ). Αν το x c [L,R ], τότε το ελάχιστο είναι είτε το f ( L ), είτε το f (R). Να γραφεί πρόγραμμα, το οποίο να ζητάει τους πραγματικούς αριθμούς L, R, b και c και να εμφανίζει το ελάχιστο της f ( x ) στο [ L, R ], καθώς και την τιμή του x στην οποία εμφανίζεται. Υπάρχουν 3 περιπτώσεις: (1) (2) (3) x c > R L x c R x c < L min = f(r) min = f(x c ) min = f(l) Ο ψευδο του αλγορίθμου: if x c < L εμφάνισε f(l) και L if L x c R εμφάνισε f(x c ) και x c εμφάνισε f(r) και R Για να μετατρέψουμε τον ψευδοκώδικα σε πρόγραμμα MATLAB χρειαζόμαστε: i. μια δομή γλώσσας που να επιτρέπει τη σύγκριση τιμών, ii. μια δομή γλώσσας που να εκτελεί το κατάλληλο τμήμα κώδικα, ανάλογα με το αποτέλεσμα της σύγκρισης. ver Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ 1

2 Άρα, υπάρχει η ανάγκη, ένα πρόγραμμα να μην εκτελείται πάντα σειριακά: αλλά έτσι: ή έτσι: κτλ. Δηλαδή, διάφορα τμήματα κώδικα εκτελούνται υπό συνθήκη. Στο MATLAB, αυτό γίνεται με την εντολή if. Η πιο βασική της μορφή είναι η δομή if-: Σύνταξη της if-: if λογική_έκφραση τμήμα κώδικα που εκτελείται αν η λογική έκφραση είναι αληθής τμήμα κώδικα που εκτελείται αν η λογική έκφραση είναι ψευδής ver Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ 2

3 Λογικές ( Boolean) εκφράσεις: Όπως οι αριθμητικές εκφράσεις (πράξεις) όταν υπολογίζονται παράγουν αριθμητικές τιμές, οι λογικές εκφράσεις παράγουν την τιμή true (Αληθές) ή false (Ψευδές). Το false αντιστοιχεί στο 0 (και το 0 στο false). Το true αντιστοιχεί στο 1 (και οποιαδήποτε μη μηδενική τιμή αντιστοιχεί στο true). Οι λογικές εκφράσεις υλοποιούνται με σχεσιακούς τελεστές (έναντι των αριθμητικών τελεστών των αριθμητικών εκφράσεων). Μαθηματικά MATLAB < < <= > > >= = == ~= Παράδειγμα της εντολής if: Εκτελείται αν η συνθήκη είναι αληθής. Εκτελείται αν η συνθήκη είναι ψευδής. x=5; y=2; if (x>y) disp( Το x είναι μεγαλύτερο του y. ); disp( Το x είναι μικρότερο ή ίσο του y. ); Λογικές Πράξεις: Οι λογικές πράξεις υλοποιούνται με τους λογικούς τελεστές: Σύζευξη (ΚΑΙ AND): && Διάζευξη (Ή OR): Άρνηση (ΔΕΝ NOT): ~ διμελείς τελεστές Στο αρχικό παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εμφανίσουμε τα f( x c ) και x c αν είμαστε στην περίπτωση (2), (δηλαδή αν το x c [L,R ] ) ή ένα πληροφοριακό μήνυμα σε αντίθετη περίπτωση. Για να ελέγξουμε εάν το x R. c x c [L,R ], απαιτούνται δύο συγκρίσεις: πρέπει το xc L ΚΑΙ το ver Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ 3

4 xc = -b/2; if xc>=l && xc<=r fxc = c-(b/2)^2; fprintf('f(xc) = %6.3f xc = %6.3f\n', fxc,xc) disp('είτε xc < L, είτε xc > R') Πίνακας αληθείας: p q p&&q p q true true true true true false false true false true false true false false false false Αν το p είναι true, τότε το ~p είναι false. Αν το p είναι false, τότε το ~p είναι true. Προτεραιότητα τελεστών: πρώτα οι αριθμητικοί τελεστές μετά οι σχεσιακοί τελεστές και η άρνηση μετά οι διμελείς λογικοί τελεστές Άλλες δομές του if: Σκέτο if : if λογική έκφραση π.χ. if L>R temp = L; L = R; R = temp; if if : if λογική έκφραση 1 if λογική έκφραση 2 if λογική έκφραση 3... Εκτελείται, αν η λογική έκφραση 1 είναι true. Εκτελείται, αν η λογική έκφραση 1 είναι false και η λογική έκφραση 2 είναι true. Εκτελείται, αν η λογική έκφραση 1 είναι false και η λογική έκφραση 2 είναι false, αλλά η λογική έκφραση 3 είναι true. Εκτελείται, αν όλες οι παραπάνω λογικές εκφράσεις είναι false. ver Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ 4

5 Ας δούμε τώρα το πρόγραμμα για το αρχικό μας πρόβλημα, δηλαδή της εύρεσης του ελάχιστου 2 της συνάρτησης f ( x) x bx c στο διάστημα [ L, R ]. % Script Eg1_2 % % min της x^2+bx+c στο [L,R] % Είσοδος δεδομένων b=input('δώσε το b: '); c=input('δώσε το c: '); L=input('Δώσε το L: '); R=input('Δώσε το R, με L<R: '); fprintf('δευτεροβάθμια: x^2+bx+c, b = %5.2f, c = %5.2f \n', b, c); fprintf('διάστημα: [L,R], L = %5.2f, R = %5.2f \n \n', L, R); %Υπολογισμός κρίσιμου σημείου xc= - b/2; if xc < L % Το min είναι στο αριστερό όριο fl = L^2+b*L+c; fprintf('x ελαχιστοποίησης = %5.2f \n', L) fprintf('ελάχιστη τιμή της f = %5.2f \n', fl) if L <= xc && xc <=R % Το min στο κρίσιμο σημείο fxc = c (b/2)^2; fprintf('x ελαχιστοποίησης = %5.2f \n', xc) fprintf('ελάχιστη τιμή της f = %5.2f \n', fxc) % Το min στο δεξί όριο fr = R^2 + b*r +c fprintf('x ελαχιστοποίησης = %5.2f \n', R) fprintf('ελάχιστη τιμή της f = %5.2f \n', fr) Μια βελτίωση της δομής του προγράμματος: Διαχωρισμός της εξόδου από τους υπολογισμούς + : Λιγότερη πληκτρολόγηση (των εντολών εξόδου) : Ίσως ανάγκη δημιουργίας επιπλέον μεταβλητών... xc= - b/2; if xc < L xmin = L; if L <= xc && xc <=R xmin = xc; xmin = R; fmin = xmin^2 + b*xmin +c; fprintf('x ελαχιστοποίησης = %5.2f \n', xmin) fprintf('ελάχιστη τιμή της f = %5.2f \n', fmin) 1 φορά! ver Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ 5

6 Παρατηρούμε εδώ, πως χρησιμοποιήσαμε ως επιπλέον μεταβλητή το xmin, αλλά επειδή κάναμε τον υπολογισμό του min της f έξω από το if, αντικαταστήσαμε τις τρεις μεταβλητές fl, fxc και fr με μία (fmin). Κάποια επιπλέον στοιχεία: min και max: Εύρεση ελάχιστου / μέγιστου μεταξύ δύο τιμών (μεταβλητών ή αριθμητικών εκφράσεων) Σύνταξη: min(αριθμητική έκφραση 1, αριθμητική έκφραση 2) Αν x πραγματικός αριθμός: floor(x) στρογγυλοποίηση προς το -. ceil(x) στρογγυλοποίηση προς το +. round(x) στρογγυλοποίηση προς το πλησιέστερο fix(x) στρογγυλοποίηση προς το 0 Αν x, y θετικοί ακέραιοι: rem(x,y) υπόλοιπο της διαίρεσης του x με το y. [Μπορεί να εφαρμοστεί και σε πραγματικές τιμές] Άλλες χρήσιμες συναρτήσεις: sqrt(x) x abs(x) x exp(x) e x log(x) ln( x) log10(x) log(x) sin(x) ημ(x) cos(x) συν(x) tan(x) εφ(x) rand( ) τυχαίος αριθμός στο (0,1) Shortcircuiting Σε μια σύνθετη λογική έκφραση, το 2 ο μέρος υπολογίζεται μόνο όταν δε μπορεί να βγει συμπέρασμα (να υπολογιστεί το αποτέλεσμα) μόνο από το 1 ο. ver Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ 6

7 Άρα στη λογική έκφραση ( ΛΕ ): ΛΕ1 && ΛΕ2 η ΛΕ2 υπολογίζεται μόνο εάν η ΛΕ1 είναι true. Αυτό συμβαίνει διότι αν η ΛΕ1 ήταν false, το αποτέλεσμα θα ήταν ούτως ή άλλως false. Ομοίως, στη λογική έκφραση: ΛΕ1 ΛΕ2 η ΛΕ2 υπολογίζεται μόνο εάν η ΛΕ1 είναι false. Καταλήγουμε επομένως στο συμπέρασμα πως είναι προτιμότερο να συντάσσεται πρώτα η έκφραση που δε δημιουργεί προβλήματα, π.χ., (x~=0) && (y/x==0) και η απλούστερη από τις δύο εκφράσεις, για παράδειγμα: (x>1) (3*x^2-2*x < y/(x^2 + 2)). Π.χ., η έκφραση (3==7) && (2==(3/0)) θα επέστρεφε ως αποτέλεσμα false (0) και όχι σφάλμα, που κάποιος θα περίμενε. Ένα παράδειγμα σύνθετης λογικής έκφρασης είναι ο έλεγχος για το εάν ένα έτος είναι δίσεκτο. Ένα έτος θεωρείται δίσεκτο εάν διαιρείται με το 4 αλλά όχι με το 100 ή αν διαιρείται με το 400. Ο τρόπος που θα εκφράζαμε τη λογική αυτή έκφραση είναι: (rem(year,4) == 0 && rem(year,100) ~= 0) rem(year,400) == 0 ή καλύτερα: rem(year,400) == 0 (rem(year,4) == 0 && rem(year,100) ~= 0) Σύγκριση λογικών μεταβλητών με τις τιμές true / false: Παρακάτω, βλέπουμε δύο παραδείγματα, στα οποία χρησιμοποιούνται δύο λογικές μεταβλητές (isleapyear και iseven) και μία ακέραια μεταβλητή (n). Παράδειγμα 1: Αντί της: if isleapyear == true προτιμάται η: if isleapyear. Παράδειγμα 2: Αντί της : if rem(n,2) == 0 iseven = true; iseven = false; προτιμάται η: iseven = (rem(n,2) == 0);. ver Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ 7