Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος.
|
|
- Ανδρόνικα Κουβέλης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος. Εναλλακτικά η τιμή της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα αριθμητικό γεγονός. Αντί να λέμε για το αποτέλεσμα στο πέταγμα ενός νομίσματος (κεφάλι, γράμματα) λέμε το πλήθος των κεφαλών όταν πετάμε το νόμισμα {1, 0} (αριθμητικά γεγονότα)
2 ΔΥΟ ΕΙΔΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Διακριτή τυχαία μεταβλητή το πλήθος των διαφορετικών τιμών της είναι αριθμήσιμο π.χ. όταν ρίξουμε δύο ζάρια έχουμε {2, 3, 4,, 12} Συνεχής τυχαία μεταβλητή το πλήθος των διαφορετικών τιμών της δεν είναι αριθμήσιμο αλλά συνεχές π.χ. η επίδοση ενός αθλητή στα 1500 μέτρα είναι 3 λεπτά, 41 δευτερόλεπτα και 6 δέκατα Αναλογικά: Οι ακέραιοι είναι διακριτοί, ενώ οι πραγματικοί αριθμοί είναι συνεχείς
3 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Μία κατανομή πιθανοτήτων είναι ένας πίνακας, μία συνάρτηση ή ένα διάγραμμα που περιγράφει τις τιμές τυχαίας μεταβλητής και τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές. Αφού υπάρχουν δύο ειδών τυχαίες μεταβλητές (διακριτές ή συνεχείς) υπάρχουν και δύο ειδών κατανομές πιθανοτήτων: Διακριτές κατανομές πιθανοτήτων και Συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων
4 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Με κεφαλαίο γράμμα συμβολίζουμε το όνομα της τυχαίας μεταβλητής X. Με μικρό γράμμα συμβολίζουμε την αντίστοιχη τιμή της τυχαίας μεταβλητής. Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X ισούται με x είναι: P(X = x) ή πιο απλά P(x)
5 ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι πιθανότητες των τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής υπολογίζονται με διάφορους τρόπους όπως τα δενδροδιαγράμματα ή με τη χρήση του ορισμού των πιθανοτήτων και ικανοποιούν τις δύο συνθήκες:
6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Δίνεται παρακάτω η κατανομή πιθανοτήτων του πλήθους των εγχρώμων τηλεοράσεων που υπάρχουν στα σπίτια μιας περιοχής Πλήθος εγχρώμων τηλεοράσεων Πλήθος νοικοκυριών 0 1, , , , , ,842 Σύνολο 101,501
7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Οι κατανομές πιθανοτήτων μπορούν να εκτιμηθούν από τις σχετικές συχνότητες. 1, ,501 = π.χ. P(X=4) = P(4) = = 7.6%
8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον μία και όχι περισσότερες από 3 τηλεοράσεις σε κάποιο σπίτι; τουλάχιστον μία και όχι περισσότερες από 3 τηλεοράσεις P(1 X 3) = P(1) + P(2) + P(3) = = 0.884
9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Ένας χρηματιστής που διαχειρίζεται αμοιβαία κεφάλαια έχει ραντεβού με τρεις υποψήφιους πελάτες. Με βάση την προηγούμενη εμπειρία του ο χρηματιστής γνωρίζει ότι η πιθανότητα ένας πελάτης να αγοράσει αμοιβαία κεφάλαια είναι 20%. Να υπολογιστεί η κατανομή πιθανοτήτων των πωλήσεων που θα κάνει ο χρηματιστής. Συμβολίζουμε με S το γεγονός πώληση (Sale) και με S C το γεγονός μη πώληση. Τότε P(S)=0.20 και P(S C )=0.80
10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (συνέχεια) Υπολογισμός της πιθανοτικής κατανομής Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 (0.2)(0.2)(0.8)=0.032 P(S)=0.2 S S S P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S C )=0.8 P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S)=.2 S S S C S S C S S S C S C S C S S S C S S C S C S C S X P(x) = (0.032)= (0.128)= = P(S C )=0.8 S C S C S C P(X=2) =
11 ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Μια διακριτή κατανομή πιθανοτήτων αντιπροσωπεύει ένα πληθυσμό Παράδειγμα 1: Ο πληθυσμός είναι το πλήθος των τηλεοράσεων σε κάθε σπίτι Παράδειγμα 2: Ο πληθυσμός είναι οι πωλήσεις που κάνει ο χρηματιστής Μπορούμε να περιγράψουμε ένα πληθυσμό από τις παραμέτρους του. π.χ. η πληθυσμιακή μέση τιμή και διακύμανση.
12 ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Ο πληθυσμιακός μέσος είναι ο σταθμισμένος μέσος όλων των τιμών του πληθυσμού. Τα βάρη είναι οι πιθανότητες. Η παράμετρος αυτή καλείται επίσης η αναμενόμενη τιμή (expected value) της Χ και συμβολίζεται με E(X).
13 ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Η πληθυσμιακή διακύμανση υπολογίζεται παρόμοια. Είναι ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος των τετραγωνισμένων αποκλίσεων από την αναμενόμενη τιμή. Μία άλλη μορφή του παραπάνω τύπου είναι Η τυπική απόκλιση είναι:
14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Να βρεθούν η αναμενόμενη τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση του πληθυσμού των τηλεοράσεων = 0(0.012) + 1(0.319) + 2(0.374) + 3(0.191) + 4(0.076) + 5(0.028) = 2.084
15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Να βρεθούν η αναμενόμενη τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση του πληθυσμού των τηλεοράσεων = ( ) 2 (0.012) + ( ) 2 (0.319)+ +( ) 2 (0.028) = 1.107
16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Να βρεθούν η αναμενόμενη τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση του πληθυσμού των τηλεοράσεων
17 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗΣ ΤΙΜΗΣ 1. E(c) = c Η αναμενόμενη τιμή μιας σταθεράς (c) είναι η ίδια η σταθερά. 2. E(X + c) = E(X) + c 3. E(cX) = ce(x) Μπορούμε να βγάλουμε μία σταθερά έξω από την έκφραση της αναμενόμενης τιμής.
18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Ο όγκος των μηνιαίων πωλήσεων έχουν αναμενόμενη τιμή 25,000 και τυπική απόκλιση 4,000. Το κέρδος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας τα σταθερά κόστη 6,000. Να βρεθεί το μέσο μηνιαίο κέρδος 1) Έχουμε: μέσες πωλήσεις 25,000 E(Πωλήσεις) = 25,000 μέσο κέρδος Ε(Κέρδος) = 0.30Ε(Πωλήσεις) 6,000
19 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (συνέχεια) Ο όγκος των μηνιαίων πωλήσεων έχουν αναμενόμενη τιμή 25,000 και τυπική απόκλιση 4,000. Το κέρδος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας τα σταθερά κόστη 6,000. Να βρεθεί το μέσο μηνιαίο κέρδος. 2) E(Κέρδος) =E[0.30(Πωλήσεις) 6,000] =E[0.30(Πωλήσεις)] 6,000 [κανόνας #2] =0.30E(Πωλήσεις) 6,000 [κανόνας #3] =0.30Ε(Πωλήσεις) 6,000 = 1,500 Οι μέσες μηνιαίες πωλήσεις είναι 1,500
20 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. V(c) = 0 Η διακύμανση μιας σταθεράς (c) είναι μηδέν. 2. V(X + c) = V(X) Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και μιας σταθεράς είναι η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής. 3. V(cX) = c 2 V(X) Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και ενός σταθερού συντελεστή είναι το τετράγωνο του σταθερού συντελεστή πολλαπλασιασμένο με τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.
21 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (συνέχεια) Ο όγκος των μηνιαίων πωλήσεων έχουν αναμενόμενη τιμή 25,000 και τυπική απόκλιση 4,000. Το κέρδος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας τα σταθερά κόστη 6,000. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση του μηνιαίου κέρδους 1) Έχουμε: Οι πωλήσεις έχουν τυπική απόκλιση 4,000 V(Πωλήσεις) = 4,000 2 = 16,000,000 Κέρδος = 0.30(Πωλήσεις) 6,000
22 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (συνέχεια) Ο όγκος των μηνιαίων πωλήσεων έχουν αναμενόμενη τιμή 25,000 και τυπική απόκλιση 4,000. Το κέρδος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας τα σταθερά κόστη 6,000. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση του μηνιαίου κέρδους 2) Διακύμανση του κέρδους = V(Κέρδος) =V[0.30(Πωλήσεις) 6,000] =V[0.30(Πωλήσεις)] [κανόνας #2] =(0.30) 2 V(Πωλήσεις) [κανόνας #3] =(0.30) 2 (16,000,000) = 1,440,000 Τυπική απόκλιση Κέρδους = (1,440,000) 1/2 = 1,200
23 ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Μέχρι τώρα μελετήσαμε τη μονοδιάστατη κατανομή, δηλαδή κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής. Η διμεταβλητή κατανομή πιθανοτήτων (bivariate probability distribution) είναι κατανομή δύο τυχαίων μεταβλητών. Η διμεταβλητή κατανομή πιθανοτήτων καλείται επίσης από κοινού κατανομή (joint probability distribution). Η από κοινού κατανομή των X και Y είναι ένας πίνακας ή μία συνάρτηση που προσδιορίζει τις από κοινού πιθανότητες για όλα τα ζευγάρια τιμών x και y, και συμβολίζεται με P(x,y). P(x,y) = P(X=x and Y=y)
24 ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Όπως αναμένεται, οι πιθανότητες μιας διμεταβλητής κατανομής θα πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις: για όλα τα ζευγάρια (x,y).
25 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Δύο χρηματιστές Α και Β ασχολούνται με την πώληση μετοχών. Συμβολίζουμε με Χ το πλήθος των ημερήσιων πωλήσεων του Α και με Y τις αντίστοιχες πωλήσεις του Β. Από την ανάλυση των πωλήσεων των προηγούμενων ημερών προέκυψε ο παρακάτω πίνακας των από κοινού πιθανοτήτων.
26 ΠΕΡΙΘΩΡΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Μπορούμε να υπολογίσουμε τις περιθώριες πιθανότητες (marginal probabilities) αθροίζοντας κατά μήκος των γραμμών και των στηλών του πίνακα. Έτσι προκύπτουν οι πιθανότητες των Χ και Υ ξεχωριστά: π.χ. πιθανότητα ότι ο Α θα κάνει μία πώληση = P(X=1) = 0.50
27 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΠΕΡΙΘΩΡΙΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση για κάθε μεταβλητή της διμεταβλητής κατανομής από τις περιθώριες πιθανότητες Ίδιοι τύποι με τις μονοδιάστατες κατανομές
28 ΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Η συνδιακύμανση δύο διακριτών κατανομών ορίζεται από: ή ισοδύναμα:
29 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Ο συντελεστής συσχέτισης δίνεται από
30 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (συνέχεια) Να υπολογιστεί η συνδιακύμανση και ο συντελεστής συσχέτισης του πλήθους των πωλήσεων για τους χρηματιστές Α και Β. COV(X,Y) = (0 0.7)(0 0.5)(0.12) + (1 0.7)(0 0.5)(0.42) + + (2 0.7)(2 0.5)(0.01) = 0.15 = 0.15 [(0.64)(0.67)] = 0.35 Υπάρχει μία ασθενής αρνητική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών
31 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (συνέχεια) X Y Probability X - µ(x) Y - µ(y) [X - µ(x)][y-µ(y)]
32 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η διμεταβλητή κατανομή μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την κατανομή για οποιοδήποτε συνδυασμό δύο τυχαίων μεταβλητών και ειδικότερα του αθροίσματος δύο μεταβλητών. Για παράδειγμα την κατανομή πιθανοτήτων του αθροίσματος των πωλήσεων για τους χρηματιστές Α και Β και να απαντήσουμε στην ερώτηση ποια είναι η πιθανότητα να γίνουν δύο πωλήσεις σε μία μέρα ; P(X+Y=2) = P(0,2) + P(1,1) + P(2,0) = = 0.19
33 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Επίσης μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση του X+Y σαν E(X+Y) = 0(0.12) + 1(0.63) + 2(0.19) + 3(0.05) + 4(0.01) = 1.2 V(X + Y) = (0 1.2) 2 (0.12) + + (4 1.2) 2 (0.01) = 0.56 x y Var( X Y )
34 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Η αναμενόμενη τιμή και η διακύμανση του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών έχουν τις ιδιότητες E(X + Y) = E(X) + E(Y) V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y) Όταν X και Y είναι ανεξάρτητα τότε COV(X, Y) = 0 και V(X + Y) = V(X) + V(Y)
35 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) E(X + Y) = E(X) + E(Y) = = 1.2 V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y) = (-0.15) = 0.56
36 ΑΠΟΔΟΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Ένας επενδυτής έχει ένα χαρτοφυλάκιο με μόνο δύο μετοχές. Η επένδυση αποτελείται από 4,000 για τη μία μετοχή και 6,000 για τη δεύτερη. Υποθέτουμε ότι μετά από ένα χρόνο προέκυψαν τα εξής: Ετήσιες αποδόσεις Αρχική Αξία της επένδυσης Ρυθμός απόδοσης Μετοχή επένδυση μετά από ένα έτος της επένδυσης 1 4,000 5,000 R 1 = 0.25 (25%) 2 6,000 5,400 R 2 =-0.10 (-10%) Σύνολο 10,000 10,400 R p = 0.04 ( 4%) ή R p = w 1 R 1 + w 2 R 2 = (0.4)(0.25) + (0.6)(-0.10) =0.04
37 ΑΠΟΔΟΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ (συνέχεια) Αναμενόμενη τιμή και διακύμανση χαρτοφυλακίου δύο μετοχών E(R p ) = w 1 E(R 1 ) + w 2 E(R 2 ) V(R p ) = w 12 V(R 1 ) + w 22 V(R 2 ) + 2w 1 w 2 COV(R 1, R 2 ) = w 12 σ 12 + w 22 σ w 1 w 2 ρσ 1 σ 2 Όπου w 1 and w 2 είναι τα ποσοστά των επενδύσεων 1 and 2, E(R 1 ) και E(R 2 ) είναι οι αναμενόμενες τιμές, σ 1 και σ 2 είναι οι τυπικές αποκλίσεις και ρ είναι ο συντελεστής συσχέτισης
38 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Ένας επενδυτής έχει ένα χαρτοφυλάκιο με 25% της επένδυσης σε μετοχές McDonald s και 75% σε μετοχές της Cisco Systems. Ο επενδυτής ελπίζει ότι οι αναμενόμενες αποδώσεις θα είναι 8% και 15%, με τυπικές αποκλίσεις 12% και 22% αντίστοιχα. (α) Να βρεθεί η αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου. (β) Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου κάτω από τις υποθέσεις ότι: (i) Οι αποδόσεις των μετοχών είναι τέλεια θετικά συσχετισμένες (ii) Ο συντελεστής συσχέτιση των αποδόσεων είναι 0.5 (iii) Οι αποδόσεις των μετοχών είναι ασυσχέτιστες
39 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (συνέχεια) (α) Οι αναμενόμενες αποδόσεις των μετοχών είναι E(R 1 ) = 0.08 and E(R 2 ) = 0.15 Τα βάρη είναι w 1 = 0.25 και w 2 = Έτσι E(R 2 ) = w 1 E(R 1 ) + w 2 E(R 2 ) = 0.25(0.08) (0.15) =
40 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (συνέχεια) Οι τυπικές αποκλίσεις είναι σ 1 = 0.12 and σ 2 = Έτσι, V(R p ) = w 12 σ 12 + w 22 σ w 1 w 2 ρσ 1 σ 2 = ( )( ) + ( )( ) + 2(0.25)(0.75)ρ (0.12)(0.22) = ρ Όταν ρ = 1 V(R p ) = (1) = Όταν ρ =.5 V(R p ) = (0.5) = Όταν ρ = 0 V(R p ) = (0) =
41 ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΑ ΜΕ k ΜΕΤΟΧΕΣ Οι τύποι για τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής και της διακύμανσης των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου με k μετοχές δίνονται από E(R p ) = V(R p ) = k i 1 k i 1 w E( w i R i ) k k 2 2 i i 2 w iw jcov(r i, R j ) i 1 j i 1 όπου R i είναι η απόδοση της i-οστής μετοχής, w i είναι το ποσοστό στην επένδυση της i-οστής μετοχής και k είναι το πλήθος των μετοχών του χαρτοφυλακίου.
42 Η ψηφιοποίηση του εκπαιδευτικού υλικού έγινε στο πλαίσιο υλοποίησης της πράξης με τίτλο «ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ στο ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ», του Μέτρου 2.2 «Αναμόρφωση Προγραμμάτων Σπουδών - Διεύρυνση Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης» του ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ, που συγχρηματοδοτείται από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο (Ε.Κ.Τ.) κατά 80% και Εθνικούς πόρους κατά 20%.
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Πιθανότητες. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Πιθανότητες Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Τυχαίες Μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή (random variable) είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας ο οποίος αναθέτει έναν αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
Κεφάλαιο 7 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων Τυχαίες Μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι μια συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει έναν αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΔιμεταβλητές κατανομές πιθανοτήτων
Διμεταβλητές κατανομές πιθανοτήτων Για να περιγράψουμε την σχέση ανάμεσα σε δύο τυχαίες μεταβλητές χρειαζόμαστε την κοινή κατανομή πιθανοτήτων τους. Η κοινή συνάρτηση πιθανότητ ικανοποιε ί τις συνθ ήκες
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 011-01
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ
ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
Διαβάστε περισσότεραΑναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)
Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης
Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί
Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραKEΦΑΛΑΙΟ 2 Θεωρία Χαρτοφυλακίου
KEΦΑΛΑΙΟ Θεωρία Χαρτοφυλακίου.1 Απόδοση και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοση και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίσουμε τον υπολογισμό ανάλογα με το
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Value at Risk (VaR) και Expected Shortfall
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Value at Risk (VaR) και Expected Shortfall Ορισμός του VaR VaR, Value at Risk, Αξία σε Κίνδυνο. Η JP Morgan εισήγαγε την χρήση του. Μας δίνει σε ένα μόνο νούμερο, την
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΠινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες
Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραwww.oleclassroom.gr ΘΕΜΑ 4 Στον πίνακα που ακολουθεί παρατίθενται οι κατανομές των αποδόσεων δύο μετοχών. Πιθανότητα (π ) 0,5 0,5 0,5 0,5 r Α 10% 6% 13% 3% r Β 0% 5% -1% 16% Α. Να υπολογιστεί η εκτιμώμενη
Διαβάστε περισσότερα4. ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ
36 4. ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Στα προηγούμενα εξετάστηκαν απλές μονομεταβλητές στατιστικές σειρές, δηλ. ενός στατιστικού πληθυσμού που εξετάζεται ως προς μια μεταβλητή. Όπως ήδη έχει αναφερθεί
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5
5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)
Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1 γ Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)
Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΜΙΑΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ
9-1 ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΜΙΑΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ Χρονοσειρά (Time Series) είναι η καταγραφή δεδομένων κατά τη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου. Η καταγραφή αυτή μπορεί να είναι ημερήσια, εβδομαδιαία, μηνιαία, τριμηνιαία,
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5.4: Στατιστικοί Μέσοι Όροι 5.5 Στοχαστικές Ανελίξεις (Stochastic Processes)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Κατανομές. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Κεφάλαιο Κατανομές Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς - - Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Έστω οι διαφορετικές διατάξεις ενός αγοριού (B) και ενός κοριτσιού (G) σε τέσσερις
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραx P (x) c P (x) = c P (x), x S : x c
Κεφάλαιο 9 Ανισότητες, από κοινού κατανομή, Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 9.1 Ανισότητες Markov και Chebychev Ξεκινάμε αυτό το κεφάλαιο με δύο σημαντικά αποτελέσματα τα οποία, πέραν της μεγάλης χρησιμότητάς
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 3 Επομένως τα μερίσματα για τα έτη 2015 και 2016 είναι 0, 08 0,104
ΘΕΜΑ 3 ΙΑ) Η οικονομική αξία της μετοχής BC θα υπολογιστεί από το συνδυασμό των υποδειγμάτων α) D D προεξόφλησης IV για τα πρώτα έτη 05 και 06 και β) σταθερής k k αύξησης μερισμάτων D IV (τυπολόγιο σελ.
Διαβάστε περισσότεραΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; Στατιστική είναι η διαδικασία εξαγωγής πληροφορίας από τα δεδομένα. Διαχείριση Πληροφοριών 1.1
ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; Στατιστική είναι η διαδικασία εξαγωγής πληροφορίας από τα δεδομένα Διαχείριση Πληροφοριών 1.1 ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; Στατιστική είναι η διαδικασία εξαγωγής πληροφορίας από τα δεδομένα
Διαβάστε περισσότεραΜέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις
Διαβάστε περισσότεραΚανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.
Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας
Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,
Διαβάστε περισσότεραΓ. Πειραματισμός Βιομετρία
Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης
Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ & ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ & ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ Η διαίσθησή μας (ικανότητα να αναγνωρίζουμε πρότυπα σχήματα) μόνο δεν επαρκεί αν δεν υπάρχει επιπλέον πληροφορία για τα δεδομένα. Επιπλέον πληροφορία: Τα δεδομένα που ακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 3 ο b. Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών
Μάθηµα 3 ο b Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών Έχουµε δύο, ή περισσότερες, τυχαίες µεταβλητές έστω Χ και Υ. Η σκπ των ζευγών ( x, y ) λέγεται από κοινού κατανοµή του ζεύγους ή του διανύσµατος ( X,Y
Διαβάστε περισσότεραΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση της γραμμής αγοράς χρεογράφων (SML) είναι η εξίσωση του υποδείγματος κεφαλαιακών και περιουσιακών στοιχείων (CAPM)
ΠΔΕ353 Λύση 2 ης γραπτής εργασίας 2015 Άσκηση 1 Η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής Α σύμφωνα με το συστηματικό της κίνδυνο θα βρεθεί από το υπόδειγμα CPM E(r $ ) = r ' + β * (Ε r, r ' ) E(r $ ) = 0,05 +
Διαβάστε περισσότερα1.Μια εταιρία αναμένεται να αποδώσει μέρισμα στο τέλος του έτους ίσο με D 1=2
ΔΕΟ31 - Επαναληπτικές Ερωτήσεις τόμου Δ 1.Μια εταιρία αναμένεται να αποδώσει μέρισμα στο τέλος του έτους ίσο με D 1= Καθώς η ζήτηση για τα προϊόντα της επιχείρησης αναμένεται να αυξηθεί στο μέλλον, το
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )
Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.
ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)
Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή
Διαβάστε περισσότερα07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)
07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΜέτρα θέσης και διασποράς
Μέτρα θέσης και διασποράς Η επικρατούσα τιμή ως μέτρο κεντρικής τάσης Εύκολο στον υπολογισμό Επικρατούσα τιμή Η πιο συχνή ή η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή σε ένα σύνολο τιμών 11, 3, 8, 2, 1, 5, 3, 7 Επικρατούσα
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)
Τυχαία Μεταβλητή (Random varable-varable aléatore) Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΚ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!!
Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: Απόγευμα: x Θεματική ενότητα:χρηματοοικονομικά πρότυπα, ΚΩΔ Αε Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!! 1/6 1. Η μετοχή Sέχει σημερινή τιμή S 0 και οι μελλοντικές της
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότερα03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.
6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.
Διαβάστε περισσότερα10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης
10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.1: Ο επόμενος πίνακας τιμών δείχνει την αύξηση σε ώρες ύπνου που είχαν
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Στατιστική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Αριθμητικός Μέσος Εξομάλυνση Μοντελοποίηση. Συνδυασμός κάποιου μοντέλου και εξομάλυνσης. Διαχείριση Πληροφοριών 10.
ΣΥΝΘΕΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Αριθμητικός Μέσος Εξομάλυνση Μοντελοποίηση Συνδυασμός κάποιου μοντέλου και εξομάλυνσης 10.1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Βασική έννοια στη Στατιστική Σημαντική για την κατανόηση προβλέψεων που βασίζονται
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤEΣ ΚΑΤΑΝΟΜEΣ Σε πολλά προβλήματα, ενδιαφερόμαστε για περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι πιθανό να αλληλοεξαρτώνται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής
Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος
Διαβάστε περισσότεραxp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)
ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΕΛΕΔΑΚΗΣ Άσκηση : ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΜΕΤΟΧΗ Α ΜΕΤΟΧΗ Β Απόδοση Πιθανότητα Απόδοση Πιθανότητα -0,0 0,50-0,0 0,50 0,50
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Ιδιότητες του cov(x, Y) Ιδιότητες των εκτιμητών Παράδειγμα. 1 Συσχέτιση Μεταβλητών. 2 Εκτιμητές και κατάλοιπα
Περιεχόμενα 1 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y 2 Ιδιότητες των εκτιμητών BEΠ (UPatras Γραμμικά Μοντέλα 4η, 5η Διάλεξη, 2018-19 1 / 12 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y Ένα μέτρο της
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση
Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες
Διαβάστε περισσότερα