Numerické metódy Zbierka úloh

Transcript

1 Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37

2 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia metódou najmenších štvorcov 18 6 Približný výpočet určitých integrálov 2 7 Numerické riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc a ich sústav 25 8 Výsledky Nelineárne rovnice Sústavy lineárnych rovníc Sústavy nelineárnych rovníc Interpolačné polynómy Aproximácia metódou najmenších štvorcov Približný výpočet určitých integrálov Strana 2 z 37

3 8.7 Numerické riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc a ich sústav 35 Strana 3 z 37

4 Predhovor Táto zbierka úloh obsahuje príklady na precvičenie k učivu preberanému v predmete Numerická matematika v 2. ročníku FEI TU. V jednotlivých kapitolách zbierky sú uvádzané úlohy z oblasti približného riešenia lineárnych a nelineárnych rovníc a ich sústav, interpolácie a aproximácie funkcií, numerického integrovania a riešenia obyčajných diferenciálnych rovníc 1. rádu a ich sústav. Ku všetkým úlohám sú v prílohe uvedené aj výsledky. Zbierka zďaleka nemá za cieľ vyčerpávajúco prebrať celú oblasť numerických metód. Je úzko viazaná na témy jednotlivých cvičení daného predmetu. Predpokladáme, že v blízkej budúcnosti bude doplnená krátkymi výťahmi z preberanej teórie a tiež aj riešeniami vzorových príkladov. Zbierka je pripravená v dvoch formátoch. Formát vhodný na prezeranie na monitore počítača (v ktorom je vytvorený súbor, ktorý máte práve otvorený) nie je vhodný na tlač. Ak si chcete zbierku vytlačiť, stiahnite si zo stránky súbor numerikat.pdf. Po obojstrannom vytlačení získate tenkú brožúrku. Ďakujeme touto cestou RNDr. Jánovi Bušovi, CSc. za cenné rady a pomoc pri finálnej úprave tejto učebnej pomôcky. Ďakujeme recenzentom RNDr. Jánovi Bušovi, CSc. a Doc. RNDr. Mironovi Pavlušovi, CSc. za pozorné prečítanie a za napísanie recenzie. Strana 4 z 37 Košice, 15. októbra 23 Autori

5 1. Nelineárne rovnice Graficky separujte korene rovnice. Určený koreň vypočítajte Newtonovou metódou s danou presnosťou. 1. 3xe x = 1 (najmenší koreň), ε =.1 2. sin x = x2 (najväčší koreň), ε =.1 3. (x 1) 2 ex 2 = (najmenší koreň), ε =.1 4. x 3 + 3x 2 + 6x + 5 =, ε =.1 5. x 2 x = 1, ε =.1 6. x 3 3x 2 3 =, ε =.1 7. x 2 cos (πx) = (kladný koreň), ε =.1 8. x 2 4 sin x 1 = (kladný koreň) ε =.1 9. sin x + 2x 2 =, ε =.1 1. x 5 3x = (najväčší koreň), ε = x log x 7 (najväčší koreň), ε =.1 Strana 5 z 37

6 12. x 3 3x 2 x 15 =, ε = arctan x x 2 + 6x 7 = (najmenší koreň), ε = x ln x ln x x = (kladný koreň), ε =.1 Graficky separujte korene rovnice. Určený koreň vypočítajte metódou prostej iterácie s danou presnosťou x = ln x, ε = x 3 12x + 1 = (najväčší koreň), ε = e x 3 + x 2 = (najmenší koreň), ε = x 2 x = (najväčší koreň), ε = x x + 1 = 1, ε =.1 2. x 3 7x 7 = (kladný koreň), ε = x 4 x 1 = (kladný koreň), ε = x 3 8x + 15 =, ε = x 5 x 1 = (kladný koreň), ε = x log x 7 = (najväčší koreň), ε =.1 Strana 6 z 37

7 25. 2 ln x 1 x =, ε =.1 Graficky separujte korene rovnice. Overte splnenie postačujúcich podmienok konvergencie iteračnej metódy, z daného štartovacieho bodu urobte 5 krokov a odhadnite chybu. 26. e x + e 3x = 4 (x > ), x = e x + x 2 2 = (x < ), x = x sin x =.25, x = tan x + 5x 1 =, x = 3. 2x 4 + 3x 2 + 4x 5 = (x < ), x = 1 Strana 7 z 37

8 2. Sústavy lineárnych rovníc Iteračnou metódou riešte sústavu lineárnych rovníc s presnosťou ε = x + 1y z = 9 x + y + 8z = 2 1x + y z = 9 2. x + 8y z = 2 x y + 8z = 9 1x + y + z = x 4y + 2z = 1x + y + z = 8 4x + y 1z = x + y + z = 3 12x + 4y + 21z = x 2y + 2z = x 4y + 8z = x + 12y + 2z = x + 2y + z = x + 5y 4z = 2 18x + 13y 6z = 3 2x + 2y 1z = 19 Strana 8 z 37

9 7. 3x + y z = 3 2x + 5y + z = 14 4x + 4y + 5z = x + 2y + 5z = 5 x + 7y 3z = 9 6x + 9y 5z = x + 9y = 11 1x + y + z = 9 9x + 9z = 1. x + y + 1z = 33 9x 11z = 24 x + 2y + z = x 5y + z = 1 x + 7y + 3z = 6 x + 8y + 8z = x 7y + 2z = 7.3 x + 2y + 11z = 8 18x 11y 8z = 21.3 Strana 9 z 37

10 Riešte sústavu iteračnou metódou. Overte splnenie postačujúcich podmienok konvergencie metódy, urobte 5 krokov z daného štartovacieho bodu a odhadnite chybu x y + 7z = 23 8x + y 1.2z = 8 2.3x + 8y +.5z = 12 (x, y, z ) = (.8, 1.2, 2.3) x.8y + z = x + 9y.6z = 18 x +.5y + 9.8z = 34 (x, y, z ) = (2.5, 1.8, 3.4) x +.2y + 5.8z = x +.5y + 2.4z = x + 9.1y + 4.4z = 9.7 (x, y, z ) = (.19,.97,.14) 16. 2x 3y + z 12u = 24 x + 1y 2z + 3u = 8 13x y + 3z 4u = 5 2x 2y + 1z + u = x 2y + 3z + 2u = 1 x + 12y z + 2u = 13 2x y + 17z 3u = 12 3x + y + 2z 13u = 14 (x, y, z, u ) = (,,, ) (x, y, z, u ) = (,,, ) Strana 1 z 37

11 3. Sústavy nelineárnych rovníc Vypočítajte iteračnou metódou určený koreň sústavy s presnosťou ε = x 2 + y 2 = 1 x 3 y = (x >, y > ) 2. x 2 + y 2 4y + 3 = 5x.5y + 1 = (x >, y > ) 3. x 2 + y 2 4x = x + 1y + 2 = (x >, y > ) 4. x 2 + y 2 8x + 15 = x + 4y + 4 = (x >, y > ) 5. x 2 y 2 = 1.1 x + 4y = 8 (x >, y > ) Strana 11 z x 2 + y 2 4y = 1x y + 2 = 7. x 2 + y 2 8x + 12 = 1 x + 4y = 4 8. tan(2x) = y y 2 = x + 1 (x >, y > ) (x >, y > ) (x <, y < )

12 9. sin(y + 1) x = 1.2 2y + cos x = 2 1. x 3 y 2 1 = xy 3 y 4 = 11. xy x + 1 = 2x 2 + y 3 = 12. xy = 1 y (x 1) 3 = 13. sin x y = 1.32 cos y x =.85 (x >, y > ) 14. (x 1.2) 2 + (y.6) 2 = 1 4.2x y 2 = 1.42 (x >, y > ) Strana 12 z 37 Riešte sústavu iteračnou metódou. Overte splnenie postačujúcich podmienok konvergencie metódy, urobte 5 krokov z daného štartovacieho bodu a odhadnite chybu. 15. y.5x 2 =.5 2x y3 6 = 1.6 (x >, y > ), x =.8, y =

13 16. cos (x 1) + y =.8 x cos y = 1 x = 2, y = x 2 ln y 4 = 6y + 5 ln x + 4 = x = 2, y = xy = 1 3y (x 1) 6 = 19. x 2 + 2x + y 2 = x 3 + y = x = 2, y =.5 (x <,y < ), x =, y =.3 Newtonovou metódou vypočítajte určený koreň sústavy s presnosťou ε = y x sin(x) = (x 3) 2 + y 2 = 1 (x >, y > ) Strana 13 z xy 1 = y (x 1) 3 = 22. x 2 + y 2 = 2x x y = xy x + 1 = 2x 2 + y 3 = (x <, y < ) (x >, y < )

14 24. x.5x 2 + y =.5 x + y 2 = 25. x 2 y 2 = 1.1 x + y = 2 (x >, y > ) 26. exp(xy) x 2 + y = x 2 + y 2 = x 2 + y 2 = 1 4y + 2xy = x 3 + 5y 3 15 = y 2x = (x >, y > ) Strana 14 z 37

15 4. Interpolačné polynómy Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm pre funkciu f(x), ktorá je zadaná tabuľkou x i 1 5 y i x i y i x i y i x i y i Strana 15 z x i y i x i y i x i y i 6 1 1

16 Funkcia f(x) je zadaná tabuľkou. Pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu určte hodnotu funkcie f(x) v bode z x i y i x i y i x i y i z = 2 z = 2.5 x i y i z = z = x i y i z =.8 Strana 16 z x i y i z = S akou presnosťou môžeme vypočítať pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu ln 1.5, ak poznáme hodnoty ln 1, ln 11, ln 12 a ln 13?

17 15. S akou presnosťou môžeme vypočítať hodnotu 115 pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu pre funkciu y = x, ak zvolíme za uzlové body x = 1, x 1 = 121 a x 2 = 144? Pomocou inverzného Lagrangeovho interpolačného polynómu vypočítajte hodnotu x, pre ktorú nadobúda funkcia f(x) zadaná tabuľkou funkčnú hodnotu v x i y i x i y i v = 1.55 v = x i y i v = 2.49 Strana 17 z x i y i v = 1. Pomocou Newtonovho interpolačného polynómu vypočítajte funkčné hodnoty v bode z, ak je funkcia f(x) zadaná tabuľkou. 2. x i y i z =.53

18 21. x i y i z = x i y i z = x i y i x i y i z = 1.33 z =.85 Strana 18 z 37

19 5. Aproximácia metódou najmenších štvorcov Funkcia f(x) je zadaná tabuľkou. Pomocou MNŠ aproximujte funkciu f(x) funkciou g(x) x i y i g(x) = a x + b x i y i g(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d x i y i g(x) = a x 2 + b x + c x i y i g(x) = 1 a x + b x i y i g(x) = a ebx Strana 19 z 37

20 6. x i y i g(x) = a b x 7. x i y i g(x) = ln (a x 2 + b x + c) 8. x i y i g(x) = a + b sin x 9. x i y i g(x) = a + b sin x + c cos x Strana 2 z 37

21 6. Približný výpočet určitých integrálov Vypočítajte integrál b f(x) dx lichobežníkovou metódou pre zadaný počet a delení n a odhadnite chybu výpočtu dx x, n = 1 dx 1 + x, n = 4 dx 1 + x 2, n = 1 dx 1 + x 3, n = 12 6x 5 dx, n = 8 dx 2x2 +.3, n = 17 ln x dx, n = 6 Strana 21 z 37

22 π ln (1 + x 2 ) dx, n = 6 ln (x ) dx, n = 8 e x2 dx, n = 1 sin x dx, n = 4 sin x x dx, n = 1 cos x 2 dx, n = 1 arctg x dx, n = 4 Strana 22 z 37 Vypočítajte integrál b f(x) dx Simpsonovou metódou pre zadaný počet a delení n a urobte odhad chyby výpočtu. 15. dx 1 + x, n = 1

23 e x2 dx, n = 1 ln (1 + x 2 ) dx, n = 6 sin x x dx, n = 1 sin x 2 dx, n = 1 cos x 2 dx, n = 1 e 1/x dx, n = 4 dx 3 x, n = 8 Strana 23 z 37 Vypočítajte integrál b f(x) dx lichobežníkovou metódou tak, aby ste dosiahli zadanú a presnosť. 23. dx 1 + x, ε =.5

24 dx 1 + x 3, ε =.5 x dx, ε =.5 e x2 dx, ε =.5 e x2 dx, ε =.1 e 1/x dx, ε =.1 sin x x dx, ε =.5 cos x 2 dx, ε =.5 Strana 24 z 37 Vypočítajte integrál b f(x) dx Simpsonovou metódou tak, aby ste dosiahli a zadanú presnosť. 31. dx 1 + x, ε =.5

25 dx 1 + x 3, ε =.5 x dx, ε =.5 e x2 dx, ε =.5 e x2 dx, ε =.1 e 1/x dx, ε =.1 sin x x dx, ε =.5 cos x 2 dx, ε =.5 Strana 25 z 37

26 7. Numerické riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc a ich sústav Jednokrokové metódy Cauchyho úlohu riešte Eulerovou metódou s krokom h =.1 1. y = x y, y() = 1 na intervale,.5 2. y = x, y() = 1 na intervale,.5 y 3. y = x 1, y(1) = 1 na intervale 1, 1.4 y2 4. y = cos y x +.1 y2, y() = na intervale,.3 5. y = y 2 e x 2 y, y() = 1 na intervale,.3 Strana 26 z 37 Caychyho úlohu riešte modifikovanou Eulerovou metódou (y i+1 = y i + +(k 1 + k 2 )/2, k 1 = h f(x i, y i ), k 2 = h f(x i + h, y i + k 1 )) s krokom h = y = x y, y() = 1 na intervale,.3 7. y = y 2 e x 2 y, y() = na intervale,.3

27 8. y = x 2 y + x 2, y() = 1 na intervale,.3 9. y = cos y x +.1 y2, y() = na intervale,.3 Štandardnou metódou Runge-Kutta 4.rádu riešte Caychyho úlohu. 1. y = x 2 y + x 2, y() = 1 na intervale,.3, h = y = y 2 3 x y, y() = 1 na intervale,.3, h = y = 13. y = x(y 1), y(1) = na intervale 1, 1.4, h =.1 y + x2 1, y(1) = na intervale 1, 1.5, h =.1 2 y 2 x 14. y = y x + y2 x ln x, y(1) = 1 na intervale 1, 1.4, h = y = y cos x cos x, y() = 1 na intervale,.2, h = y = y 2 4 y + 5 sin(3 x), y() = 1 na intervale,.2, h = y = 2 y x + xe 1/x, y(.5) = 1 na intervale.5,.7, h =.5 Strana 27 z 37

28 Viackrokové metódy Nasledujúce úlohy riešte Adamsovou metódou 4. rádu (y i+1 = y i + h 24 (55 y i 59 y i y i 2 9 y i 3); y i = f(x i, y i )). Začiatočné hodnoty y 1, y 2 a y 3 určte štandardnou metódou Runge-Kutta. 18. y = 1 + y, y(1) = 1.8 na intervale 1, 2 s krokom h =.2 x 19. y = x 1, y(1) = 1 na intervale 1, 1.8 s krokom h =.2 y2 2. y = y tg x + 2 x, y() = na intervale,.8 s krokom h =.2 cos x 21. y = y(2 x 2 1) 2 x + 1, y() = na intervale,.4 s krokom h =.1 Strana 28 z 37 Nasledujúce úlohy riešte Milneho metódou 4. rádu (y i+1 = y i 3 + 4h 3 (2 y i y i y i 2); y i = f(x i, y i )). Začiatočné hodnoty y 1, y 2 a y 3 určte štandardnou metódou Runge-Kutta. 22. y = 3 y2 x + x, y( 2) = na intervale 2, 1.6 s krokom h =.1

29 23. y = y2 1 + x + x2, y(2) = 1 na intervale 2, 2.4 s krokom h = y = y tg x + 2 sin x, y(.5) = 1 na intervale.5,.1 s krokom h = y = y tg x + 3(cos x) 2, y(.5) = 1 na intervale.5,.1 s krokom h =.1 Metódy prediktor-korektor Určte Adamsovou metódou prediktor-korektor približné riešenie začiatočnej úlohy. Ako prediktor použite vzorec Adamsovej-Bashfortovej metódy 4.rádu (y () i+1 = y i + h (55 24 y i 59 y i y i 2 9 y i 3)). Ako korektor použite vzorec Adamsovej-Multonovej metódy 4. rádu (y (j+1) i+1 = y i + h (9 f(x 24 i+1, y (j) i+1 )+19 y i 5 y i 1 + y i 2); y i = f(x i, y i )). 26. y = 1 + y, y(1) = 1.8 na intervale 1, 1.8 s krokom h =.2 a x s toleranciou výpočtu ε = y = y tg x + 2 x, y() = na intervale,.8 s krokom h =.2 a cos x s toleranciou výpočtu ε = y = y(2 x 2 1) 2 x + 1, y() = na intervale,.4 s krokom h =.1 a s toleranciou výpočtu ε = 1 8 Strana 29 z 37

30 29. y = 3 y2 + x, y( 2) = na intervale 2, 1.6 s krokom h =.1 a x s toleranciou výpočtu ε = 1 8 Riešenie sústav obyčajných diferenciálnych rovníc Štandardnou metódou Runge-Kutta 4.rádu riešte Cauchyho úlohy pre systémy diferenciálnych rovníc. 3. dy dx = z + 2 y, y() = 3, dz dx = 2 z + y, z() = na intervale,.3, h =.1 dy dx = 3 y z, y() = 1, Strana 3 z 37 dz dx = y z, z() = 1 na intervale,.3, h =.1

31 dy dx dz dx = 5 y + 2 z, y() = 1, = y 7 z, z() = 1, na intervale,.6, h =.2 dy dx dz dx = 4 y 5 z + 5 x 1, y() =, = y 2 z + x, z() =, na intervale,.4, h =.2 Riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc druhého rádu Štandardnou metódou Runge-Kutta 4.rádu riešte Cauchyho úlohy pre diferenciálne rovnice druhého rádu. 34. y + 3 y =, y() = 1, y () = 2 na intervale,.5, h = y + y = 2 cos x, y() = 1, y () = na intervale,.5, h =.1 Strana 31 z 37

32 36. y + 4 y + 5 y = 5 x 2 32 x + 5, y() = 1, y () =.5 na intervale,.5, h = y 2 y = ex x 2 + 1, y() = 1, y () = na intervale,.5, h = y y = ex 1 + e x, y() = 1, y () =.5 na intervale,.5, h = y + 2 y y = e x sin x, y(.5) =, y (.5) = 1 na intervale.5, 1, h =.1 Strana 32 z 37

33 8. Výsledky 8.1. Nelineárne rovnice 1. {.61961} 2. {1.2673} 3. {.21339} 4. { } 5. { } 6. { } 7. { } 8. { } 9. {.68437} 1. { } 11. { } 12. { } 13. { } 14. { } 15. { } 16. { } 17. { } 18. { } 19. { } 2. { } 21. { } 22. { } 23. { } 24. { } 25. { } 26. {x n+1 = ln(4 e 3xn ), x 5 = , 1 7 } 27. {x n+1 = 2 e xn, x 5 = , } 28. {x n+1 =.25 + sin x n, x 5 = , } 29. {x n+1 =.2.2 tan x n, x 5 = , } 3. {x n+1 = x 2 n 2x n, x 5 = , } 8.2. Sústavy lineárnych rovníc 1. {(1,1,)} 2. {( 1,, 1)} 3. {(.61194, ,.29851)} 4. {(.91119, ,1.132)} 5. {( , , )} 6. {(.5,,2)} 7. {(1,2,2)} 8. {(1, 1, 1)} 9. {( 1,, 1)} 1. {(1,2,3)} 11. {(2, 1, 1)} 12. {( , ,.49492)} 13. {x 5 = , y 5 = , z 5 = , } 14. {x 5 = , y 5 = , z 5 = , 1 4 } 15. {x 5 =.2467, y 5 = , z 5 =.2237, } 16. {x 5 = 1.562, y 5 = , z 5 =.8281, u 5 = , } 17. {x 5 =.63769, y 5 =.95, Strana 33 z 37

34 z 5 =.3663, u 5 = , } 8.3. Sústavy nelineárnych rovníc 1. {(.82631, )} 2. {(.9954, )} 3. {(3.9974,.199)} 4. {( , )} 5. {( , )} 6. {(.1997,3.9974)} 7. {( ,.48571)} 8. {(.343,.8127)} 9. {(.21838,.5115)} 1. {(1.5239, )} 11. {( ,.16713)} 12. {( ,.5497)} 13. {( , )} 14. {(.22639,.3737)} 15. {x n+1 =.8 + y3 n 12, y n+1 =.5.5x 2 n, x 5 =.8483, y 5 = , } 16. {x n+1 = 1 + cos y n, y n+1 =.8 cos(x n 1), x 5 = , y 5 =.23739,.5} 17. {x n+1 = ln y n + 2, y n+1 = 5 ln x 6 n + 4, x 6 5 = , y 5 = ,.2} 18. {x n+1 = y n, y n+1 = 1 x n, x 5 = , y 5 = , } 19. {x n+1 = yn, 2 y n+1 = xn 1, x =.51251, y 5 = , } 2. {( ,.97622)} 21. {(.38278, )} 22. {( ,.7717)} 23. {( ,.16713)} 24. {(.13817,.37157)} 25. {(1.275,.725)} 26. {(1.9126, )} 27. {( , )} 28. {( ,.54824)} 8.4. Interpolačné polynómy 1. {7x 2 6x+2]} 2. { 1.3 x x+8.4} 3. {x 3 +x} 4. {x 2 1 x+1} 5. {(23 x 3 6 x x + 324)/162} 6. {2 3 x} 7. {2 x 2 3 x + 1} Strana 34 z 37

35 8. {2.5966} 9. { 1.1} 1. { } 11. { } 12. { } 13. { } 14. { } 15. { } 16. { } 17. { } 18. { } 19. { } 2. {1.7186} 21. { } 22. { } 23. { } 24. { } 8.5. Aproximácia metódou najmenších štvorcov 1. {g(x) = 1.5 x+2.6} 2. {g(x) = x x x } 3. {g(x) = x x } 4. {g(x) = 1/( x.16859)} 5. {g(x) = e x } 6. {g(x) = ( ) x } 7. {g(x) = ln ( x x )} 8. {g(x) = sin x} 9. {g(x) = sin x cos x} 8.6. Približný výpočet určitých integrálov 1. { } 2. { } 3. { } 4. { } 5. { } 6. { } 7. { } 8. { } 9. { } 1. { } 11. { } 12. { } 13. { } 14. { } 15. { } 16. { } 17. { } 18. { } 19. { } 2. { } 21. { } 22. { } 23. { , n = 13} 24. { , n = 12} 25. {2.4893, n = 18} 26. { , n = 6} 27. { , n = 41} 28. { , n = 7} 29. { , n = 6} 3. { , Strana 35 z 37

36 n = 9} 31. { , n = 8} 32. { , n = 4} 33. { , n = 1} 34. { , n = 4} 35. { , n = 6} 36. { , n = 8} 37. { , n = 14} 38. { , n = 4} 8.7. Numerické riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc a ich sústav 1. {y = 1, y 1 = 1, y 2 = 1.1, y 3 = 1.32, y 4 = , y 5 = } 2. {y = 1, y 1 = , y 2 = , y 3 = 1.443, y 4 = , y 5 = } 3. {y = 1, y 1 = 1, y 2 = 1.1, y 3 = , y 4 = } 4. {y =, y 1 =.66667, y 2 =.12972, y 3 = } 5. {y = 1, y 1 =.92438, y 2 = , y 3 = } 6. {y = 1, y 1 = 1.5, y 2 = , y 3 = } 7. {y = 1, y 1 =.94759, y 2 = , y 3 =.7466} 8. {y = 1, y 1 = 1.1, y 2 = 1.67, y 3 = } 9. {y =, y 1 =.64514, y 2 = , y 3 =.18137} 1. {y = 1, y 1 = 1.667, y 2 = 1.534, y 3 = } 11. {y = 1, y 1 = , y 2 = , y 3 = } 12. {y =, y 1 =.14999, y 2 = , y 3 = , y 4 = } 13. {y =, y 1 =.95857, y 2 =.18667, y 3 = , y 4 =.36692, y 5 = } 14. {y = 1, y 1 = , y 2 = } 15. {y = 1, y 1 =.89976, y 2 = } 16. {y = 1, y 1 = , y 2 =.79941,, y 3 = , y 4 =.76741} 17. {y = 1, y 1 =.69284, y 2 =.73593, y 3 = , y 4 = } 18. {y = 1.8, y 1 = , y 2 = , y 3 = , y 4 = , y 5 = } 19. {y = 1, y 1 = , Strana 36 z 37

37 y 2 = 1.8, y 3 = 1.18, y 4 = 1.32} 2. {y =, y 1 =.4814, y 2 = , y 3 = , y 4 =.94599} 21. {y =, y 1 =.85531, y 2 =.14442, y 3 =.1815, y 4 = } 22. {y =, y 1 =.19724, y 2 = , y 3 = , y 4 =.8884} 23. {y = 1, y 1 = , y 2 = , y 3 = , y 4 = } 24. {y = 1, y 1 = , y 2 = , y 3 =.71179, y 4 =.66114} 25. {y = 1, y 1 = , y 2 = , y 3 = , y 4 = } 26. {y = 1.8, y 1 = , y 2 = , y 3 = , y 4 = } 27. {y =, y 1 =.4814, y 2 = , y 3 = , y 4 = } 28. {y =, y 1 =.85531, y 2 =.14442, y 3 =.1815, y 4 = } 29. {y =, y 1 =.19724, y 2 = , y 3 = , y 4 = } 3. {y = 3, y 1 = , y 2 = , y 3 = , z = 1, z 1 = , z 2 = , z 3 = } 31. {y = 1, y 1 =.655, y 2 =.42216, y 3 = , z = 1, z 1 = , z 2 = , z 3 =.8788} 32. {y = 1, y 1 =.487, y 2 = , y 3 =.1687, z = 1, z 1 =.352, z 2 = , z 3 =.4952} 33. {y =, y 1 = , y 2 = , z =, z 1 =.1467, z 2 =.13461} 34. {y = 1, y 1 = , y 2 = , y 3 = , y 4 = , y 5 = } 35. {y = 1, y 1 = , y 2 = 1.198, y 3 = , y 4 = , y 5 = } 36. {y = 1, y 1 = , y 2 = , y 3 = , y 4 = , y 5 = } 37. {y = 1, y 1 = 1.17, y 2 = , y 3 = , y 4 = , y 5 = } 38. {y = 1, y 1 = , y 2 = , y 3 = , y 4 = , y 5 = } 39. {y =, y 1 =.95737, y 2 = , y 3 =.25497, y 4 =.31636, y 5 = } Strana 37 z 37

38 Strana 38 z 37