DIPLOMSKI RAD br VIZUALIZACIJA SIMULACIJE DINAMIKE PLINOVITIH FLUIDA. Kristina Štargel

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DIPLOMSKI RAD br VIZUALIZACIJA SIMULACIJE DINAMIKE PLINOVITIH FLUIDA. Kristina Štargel"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA DIPLOMSKI RAD br. 63 VIZUALIZACIJA SIMULACIJE DINAMIKE PLINOVITIH FLUIDA Krsta Štargel Zagreb lstopad 006.

2 SADRŽAJ:. UVOD POVIJEST MODELIRANJA FLUIDA FLUID OPĆENITO...8. MATEMATIČKI MODELI POJEDNOSTAVLJENI MATEMATIČKI MODELI NESTLAČIVI TOK NEVISKOZAN (EULER-OV) TOK METODE RJEŠAVANJA JEDNADŽBI ŠTO JE CFD? NUMERIČKE METODE RJEŠAVANJA KOMPONENTE NUMERIČKIH METODA DISKRETIZACIJA PROSTORA METODA KONAČNIH RAZLIKA METODA KONAČNIH VOLUMENA METODA KONAČNIH ELEMENATA RJEŠAVANJE SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI DIREKTNE METODE GAUSSOVA ELIMINACIJA LU DEKOMPOZICIJA ITERATIVNE METODE TEMELJNI KONCEPT KONVERGENCIJA NEKE OSNOVNE METODE METODE ZA NESTABILNE PROBLEME - DISKRETIZACIJA VREMENA METODE MARŠIRANJA KROZ VRIJEME DVORAZINSKE METODE PREDIKTOR-KOREKTOR METODE METODE KOJE KORISTE VIŠE TOČAKA RUNGE-KUTTA METODE SPECIJALNA METODA SEMI-LAGRANGE...48

3 3.7.. SEMI-LAGRANGEOVA METODA POSTAVLJANJE PROBLEMA OSNOVNE JEDNADŽBE OGRANIČAVANJE VRTLOŽNOSTI FORMULACIJA METODE RJEŠAVANJE ZADANOG SUSTAVA DISKRETIZACIJA PROSTORA GRANIČNI UVJETI METODA RJEŠAVANJA SUSTAVA ALGORITAM KORACI ALGORITMA OPIS PROGRAMA ZA NAVEDENI ALGORITAM REZULTATI DODATAK A - OBJAŠNJENJA KORIŠTENIH POJMOVA LITERATURA SAŽETAK ABSTRACT...9 3

4 . UVOD Modelrae prrodh feomea (ao što s dm vatra oblac td.) e eda od azahtevh apoplarh zazova račalo grafc. Prrod feome s poplar zbog svoeg zamlvog zgleda atoč tome što as svaodevo orž dale prvlače pozorost dvlee. Zahtevost hovog modelraa prozlaz z hove omplesost složee dame o e tešo matematč opsat. Ova rad se fosra a eda od th prrodh feomea a to e dm l općete a plovte flde. Žela l potreba za modelraem plovth flda a račal svod se a dva osova podrča prmee: zabava stražvaa. S podrčem zabave msl se a specale efete flmovma teratvm grama (Sla.). Daas e tešo zamslt flm o e orst barem eda smlator flda. Daas oršte smlator s došl do tole raze realost da e občom la tešo prmett da se rad o račalo smlac. Samo deseta goda azad se blež vel apreda podrčma amace flda što e vdlvo po flmovma z tog podrča. Isto tao se blež procvat amraog flma o se daaše vreme potpo svod a račal amac. Posto drga "orsa" prmea smlatora flda. U dstr s potrebe raze smlace stroeva o s terac s fldom. Za prmer se može avest dstra atomobla gde e aravo potrebo smlrat rad motora. U to laze raz fld od vode plova do gorva. Sva od th smlatora mora bt zrazto toča. U dealom slča dobar model dma a račal trebao b bt edostava za potreb davat vsoo realstče praze stvarom vreme. Međtm tave zahteve e tešo postć daašm račalm resrsma. Načešće e potrebo radt ompromse zmeđ točost brze smlace. Što e za oršte smlator važe prozlaz z podrča prmee. Ao e potreba vsoo realstč praz ao a prmer flmso dstr orstt će se spor smlator. Ao se rad o teratvm grama oe se mora odvat stvarom vreme (egl. real-tme) točost praza vše eće bt bta. Bto će bt samo da e smlator što brž t. da se vrš što mae zrača po edc vremea. Zad prmer e smlaca plova dstr. U tom slča avaža e točost. Međtm bto e da ta proces e trae predgo te će za to podrče bt potreba što bola verza smlatora. Zbog sve većeg zamaa za podrče račale smlace flda posto podrče oe se bav samo tm problemma - račala dama flda (egl. comptatoal fld dyamcs - CFD). To ovo podrče posvećeo e slčvo razvaem merčh metoda 4

5 za račae dame flda pomoć račala. Razvae tog podrča e te počelo. Zasad s postgt raz model međtm mog model pate l od presporh algortama l od prevele merče dspace što e zazov za dale razvae ovh pobolšah modela. U ovom rad opsaa e dama plovth flda zaedo s pozadsm matematčm modelma te osove merče metode orštee pr rešava th matematčh modela. Poseba aglasa e a model temele a radovma Stama [] Stama Fedwa Jesea [] o predstavla vsoo realstča model plovth flda o e stabla za sva vremes ora može se odvat stvarom vreme. Za ta model postavle e matematč model prložea metoda rešavaa mplemetaca algortma programsom ez C sa grafčm stadardom OpeGL. a. b. c. Sla.. Prmea smlatora flda a flm Da posle stra (a. b.) amraom flm Ledeo doba (c.) 5

6 .. POVIJEST MODELIRANJA FLUIDA Modelrae dma ostalh plovth feomea poprma vel paž račalo grafc teom protelh 0 goda. Ra s model se fosral a poedače feomee amac gstoće dma dreto bez modelraa egove brze. [ ]. Dodat detal s prdoda orsteć testre rth tela če b parametre meal teom vremea. Naado s orštea asmča pola brza temelea a Kolmogoroff-ovom spetr za modelrae omplesh gbaa araterstčh za dm [0]. Zaedča čeca za sve rae modele e bla da se s temell a damc flda. Krerae verlve smlace dame flda e vremes prezahteva zadata o e bo ostavle amator. Mogo prrod ač za modelrae retaa dma e dreto smlrae edadžb dame flda. Kaya Vo Herze s prv apravl ta ora račalo grafc [7]. Nažalost račala saga dostpa to vreme (984) e dopštala smlac edo a poprlčo grbm mrežama. Izzev eolo modela specfcrah dve dmeze [35] aav apreda e če a tom podrč do rada Fostera Metaasa [6] 996. gode. Nhova smlaca orst relatvo grbe mreže al da lepe vrtlože praze gbaa dma tr dmeze. Zbog toga što hov model orst esplct tegracs shem smlaca e stabla samo ao e vremes ora dovolo male. To č smlac relatvo sporom pogotovo ada e brza flda vela blo gde dome teresa. Za zbegavae ovog problema Stam e veo model o e bezveto stabla prema tome smlaca može bt zvedea pr blo om brzama []. To e postgto orsteć ombac sem-lagraga sheme za rešavae problema horzotalog straa edadžbama dame flda mplcth solvera. Zbog orštea tegracsh shema prvog reda smlaca pat zbog prevele merče dspace. Iao svepo gbae zgleda ao gbae flda vrtloz malh razmera tpč za gbae dma esta prebrzo. Pre par goda Ygve predlaže rešavae stlačvh verza edadžb toa flda prema model esploza [4]. Stlačve ačce edadžb toa flda s orse za rerae potresh valova ostalh stlačvh feomea međtm taav model vod vrlo strogo ogračee vremesog oraa povezaog s astčm valovma. U već CFD modela zbegava se orštee th strogh veta orsteć estlačve ačce edadžb za to flda gde god e to mogće. Iz tog razloga se ova rad e temel a stlačvm ačcama edadžb. Spaaem Stamove metode stablh flda vođeem ovh metoda za zbegavae merče dspace astae rad Fedwa Stama Jesea. Ta model orst smlator temele a Stamovom rad o orst sem-lagraga tegracs shem te solver 6

7 Possoove edadžbe. To garatra stablost roz blo aav vremes ora. Za zbegavae merče dspace oe ta model os sa sobom orst se metoda pozata ao "ogračavae vrtložost" (egl. votcty cofemet) [].Glava dea metode e vraćae eerge zgblee zbog merče dspace atrag fld orsteć zraz za sl. Sla e dzaraa specalo za povećae vrtložost toa. Vzalo ta metoda održava dm žvm roz vreme smlace. Koršte zraz za sl e potpo ozsteta sa Elerov-m edadžbama (oe smlator orst) smsl da estae ad se bro mrežh ćela povećava. U CFD- se avedea teha vod za merč zrač omplesh trbleth toova flda oolo heloptera gde e mogće dodat dovolo mrežh ćela da b pole toa blo točo rešeo. Izračavae sle dodae samo mal račs overhead a već avede Stam-ov verz smlatora bez metode ogračavaa vrtložost. Ovaav model ostae stabla dole god e magtda zraza za sl spod određee grace. Sem-Lagraga sheme s vrlo poplare zastvem staovama oe se bave atmosfersm promeama (poavama) za modelrae toova velh razmera oma domra ostato strae gde s požel vel vremes orac []. Taav prstp e specalo efetva za modele gde se gstoća temperatra pomč roz pole brze. Uz sva avedea obleža ova model može rešavat grače vete tar račale domee. Zbog toga e mogće smlrat dm ao oblaz oo razh obeata. 7

8 .. FLUID OPĆENITO Fld s do stvarost oa as orže form vode o pemo zraa oeg dšemo form tare ave dma sve do velh prrodh feomea ao što s ree mora oblac td. Sva od th feomea poaz fascate oble poašaa. Sv smo zgradl određeo ttvo razmevae poašaa flda međtm oš ve postoe poseb oblc poašaa oe veća ld e može pomt ao a prmer let avoa. Sv ld s sves toga da eda vel teš obet ao što e avo može letet međtm samo mal do ld razme ao. Pozavae dame flda e postao eda od avećh zazova fze prmeee matemate žeerstva roz zadh 00 goda. Dama flda e postala lč razmevaa eh od avažh feomea fzalom svet: oceash stra atmosfersh promea promea a vasm sloevma Sca esploza sperova vrtložea plova galasama mogh drgh feomea. Kao od mogh fascath poava razmevae poašaa flda e lao. Poblže damc flda postoe mog zraz matematče metode oe s već ld epozate. Fld s taođer fascat zbog toga er e poead hovo poašae epredvdvo što zač vel trd za hovo matematčo predstavlae. Fld s spstace če molelare strtre e prža otpor vasm pomčm slama: ča amaa sla zroe deformac čestca flda. Krte stvar mea svo obl deformra se do se e postge ravoteža zmeđ prmeee vase sle trašh sla (l ao dođe do pcaa materala). S drge strae fld će se deformrat otrao meat obl pod delovaem sle. To e fdametala defca flda. Iao postoe bte razle zmeđ teća plova oba tpa flda se poaša po stm zaoma gbaa. To flda e zroova delovaem vash sla. Uobčaee poretače sle lč razle tla gravtac smcae rotac apetost površe. Oe mog bt lasfcrae ao površse sle (smcae tla) sle oe del a celo telo ( gravtaca sle rotace). Do se sv fld poaša slčo pod delovaem sle hova marosopsa obleža s vele razlčta. Navaža svostva flda s gstoća vsozost. Ostala svostva ao Pradtl-ov bro (dodata A.3) specfča topla površsa apetost teč a to flda samo pod određem vetma t. ada dolaz do velh temperatrh razla. 8

9 Obleža flda s fce ostalh termodamčh varabl (pr. temperatra tlaa) oe se dobva laboratorsm merema. Brza toa flda teče a egova svostva a raze ače. Pr dovolo malm brzama erca flda može bt gorraa tada mamo "pzać to". Kao se brza povećava zos erce postae relevata ptaa toa e glata traetora za sva čestc flda. Za to se tada aže da e lamara. Dale povećae brze može vodt do establost oa dovod do sve vše epredvdvog obla toa o se azva trbletm. Proces prelažea flda zmeđ ta dva obla e posebo važo podrče samo za sebe. Posto oš eda parametar o teče a poašae flda. Omer brze toa brze zva sredstv (Mach bro-dodata A.) određe da l zmea etče eerge gbaa tar stpev slobode dolaze do zražaa. Za male vredost Mach broa Ma < 0.3 to se može smatrat estlačvm ače stlačvm. Ao e vredost Ma < brza toa flda e spod raze zva (egl. sbsocs) ao e vredost Ma> tada e brza flda zad zva (egl. spersoc) mogć s dar valov. I oačo ada e Ma>5 to može prozvest dovolo vele temperatre da prome ems prrod flda (egl. hypersoc flds). Ove razle teč a matematč prrod problema pa tao a metod rešavaa problema. Jedo od bth obleža flda e vsozost. Vsozost e poava tareg trea fldma. Nabol ač da se opše to svostvo e prmerom. Sl predstavla s rt predmet (pr. ož) o se pomče roz fld sto rav. Za razl od rth tela fld "propšta" predmet roz sebe al z određe olč otpora. Sva fld dae drgač zos otpora. Ta otpor flda azvamo vsozost. Za moge modele vsozost može bt zaemarea t. pretpostavla se da o e vredost edaa l. U tom slča fld se opse ao e vsoza. Pretpostava o e vsozm fldma račalo damc flda e česta. Treba aglast da s grač vet razlčt za vsoze e vsoze flde (er e teca vsozost bta samo blz preprea). Pročavae dame flda e tao edostavo er e fld rašre po prostor ada se gba (pr. zbog pomcaa graca oo flda) sle s povezae s trašost flda tecaem flda a samog sebe. Uatoč tome temel svh poašaa flda s emprč verfcra fzč zao: zao o očva mase zao o očva eerga learog mometa ombra za zaoma termodame. 9

10 . MATEMATIČKI MODELI S matematčog gledšta pročavae dame flda se svod a zraze o lč salara (masa gstoća tla flda) vetorsa pola (brza toa flda) defraa a Eldsom prostor 3 R hove međsobe veze. S obzrom da s veze međ ma pretežo dferecale prrode zadre se pole matemate oe se azva vetors rač (egl. vector calcls). Za bole razmevae edadžb toa flda prvo će se razast ee osove matematče operace term oršte za zrač. Prvo će se avest vetors aaltč dferecal operator deso oretraom Kartezsom oordatom sstav sa bazom vred 3 R ( ) sa oordatama ( y z) gde = = =. (.) Ao a dome 3 D R deframo Φ ao dferecabl salar fc pozce r = ( y z) T A=(A A y A z ) T ao dferecabl vetors fc od r tada deframo vetorso aaltč dferecal operator egovo delovae a salara vetorsa pola: HAMILTONOV OPERATOR = (.) y z Hamltoov operator se poaša ao vetor ao operator parcalog dervraa smer bazh vetora. Ta operator dele a fce oe se alaze za (deso) ega to a salara pola te a vetorsa pola a dva ača. GRADIJENT φ φ φ φ = (.3) y z 0

11 Gradet e prmea Hamltoovog operatora a salar ao rezltat se dobe vetor. DIVERGENCIJA z A y A A z y = A (.4) Dvergeca e salar moža Hamltoovog operatora vetorsog pola ao rezltat se dobe salara vredost. ROTOR y A A A z A z A y A y z y z = A (.5) Rotor e vetors moža Hamltoovog operatora vetorsog pola me se dobva vetorsa vredost. LAPLACEOV OPERATOR ) ( z y = φ φ φ φ (.6) Laplaceov operator e bt Hamltoov operator salaro pomože sa samm sobom. Sada s opsa sv operator o se orste matematčm modelma toa flda može se ret a postavlae matematčog modela.

12 .. POJEDNOSTAVLJENI MATEMATIČKI MODELI Naver-Stoesove edadžbe azvae po Clade-Ls Naver George Gabrel Stoes s sstav edadžb o ops gbae čestca flda ao što s teće plov. Te edadžbe se temele a pretpostavc da promee momet (acelerac) čestca flda s edostavo rezltat promea tla dspatvm vsozm slama (traše tree flda) oe se odva tar flda. Jedadžbe očvaa mase mometa s mogo omplese ego se če. Jedadžbe s eleare međsobo povezae tešo rešve. Tešo e doazat postoećm matematčm alatma da posto edstveo rešee za partlare grače vete. Isstvo govor da Naver-Stoesove edadžbe ops to Newtoovog flda (to flda o se poaša po Newtoovm zaoma očvaa mase mometa) spravo. Samo za mal bro slčaeva pretežo potpo razveh toova edostavm geometrama (pr. cevma zmeđ paralelh preprea) posto edstveo aaltčo rešee Naver- Stoesovh edadžb. T specal slčaev toova s bt za pročavae osova dame flda al hova pratča potreba (relevatost) e ogračea. U svm slčaevma ada e rešee mogće mog zraz edadžb s eda l. Za ostale toove e od zraza s ebt možemo h zaemart tao poedostavt avedee edadžbe. Treba mat a m da tavo poedostavlee doos pogreš. Osm toga poedostavlee doos mogo ma ce zrača ego što e slča za zračavae potph edadžb te ta čeca opravdava potreb za poedostavleem. U već slčaeva ča poedostavlee edadžbe se e mog rešt aaltč te se orste merče metode. Kada se govor o Naver-Stoesovm edadžbama občo se msl a spomete poedostavlee matematče verze oe se orste za specale slčaeve poašaa flda. Tao ovom test se eće lazt podrobe hov zvod aalz već će se orstt već poedostavlee verze. U astav će bt avedea dva bta poedostavlea a oma se temele merče metode za zrač toa flda: estlačv to evsoz Elerov to.

13 ... NESTLAČIVI TOK U mogm slčaevma gstoća flda se može pretpostavt ostatom. To e sprava zraz e samo za toove teća ča stlačvost zbla može bt zaemarva ego za plove č Mach bro ma vredost ma od 0.3. Za tave toove ažemo da s estlačv. Ao e to z to zotermča vsozost flda e taođer ostata. Za taav obl toa flda možemo orstt poedostavlee Naver-Stoesove edadžbe. Fld ča gstoća temperatra prblžo s ostate opse se vetorsm polem brze polem tlaova p. Navedee vredost općeto varra vreme prostor ovse o gracama oe orž fld. Ao se pretpostav da s brza tla pozat za sva toč flda eom calom vreme t=0 tada možemo to predstavt edadžbama: = 0 (.7) = ( ) ν t ρ p gde s: ν - ematča vsozost flda ρ - gstoća flda f - vase sle oe del a fld. f (.8) Kao što se može očt zraz za to flda se sasto od dve edadžbe. Jedadžba (.7) e zvedeca zaoa o očva mase za estlačve flde. Iz edadžbe e vdlvo da e dvergeca vetora brze toa edaa l t. olča flda (edca mase) o đe eo određeo podrče e edaa olč flda oa zađe z tog podrča. Drga edadžba (.8) e malo ompleseg obla al e sto tao samo zvedeca zaoa o očva mometa l eerge. Iz te edadžbe se može očtat da e promea brze gbaa e edaa sm četr zraza (redom s leva a deso): advec flda prome tlaa dfz vasm slama o del a promatra segmet flda.. Izraz za advec ( ) predstavla preos eog svostva flda ( ovom slča brze) samo gbaem mase. Poblže obašeo ta zraz osgrava da će se sva mal delć toa "bače" glav to gbat smer gradeta vetora brze. 3

14 . Idć zraz e zraz za razl tlaa o predstavla čec da se fld ve gba z podrča všeg tlaa podrče žeg. 3. Izraz za dfz v z ostat zos vsozost opse olo se brzo pošt razla brzama tar flda o orže zada toč. Uz već zos vsozost brze se brže pošte. 4. Zad zraz e zraz za vas sl. Ta sla može bt blo o vas teca. U braamo gravtacs sl sl zgoa te blo oe sle defrae od strae orsa. U ovom slča smlatora flda z te dve vrste sla orstt će se treć zraz o će predstavlat sl oa obavla vrtložee dma. Osm pretpostave o estlačvost flda mogće e čt oš edo poedostavlee: pretpostavt evsozost flda tao defrat edadžbe za evsoza l Elerov to.... NEVISKOZAN (EULER-OV) TOK U toovma o s daleo od rtog staa efet vsozost e občo vrlo male. Ao s vsoz efet svepo zaemarv Naver-Stoesove edadžbe se svode a Elerove. Jedadžba otteta e detča edadžb (.7) do se edadžba očvaa mometa svod a: = ( ) p f (.9) t ρ S obzrom da se fld smatra evsozm o se e može prlbt z prepree mogće će e da fld slze z rte grace. Elerove edadžbe se občo orste za pročavae stlačvh toova pr velom zos Mach broa. Na velm brzama zos Reyoldov broa e vrlo vso te efet vsozost trblece s vrlo bt samo malm podrčma blz preprea. Tav toov s ačešće ao dobro predvđe Elerovm edadžbama. Uatoč tome što Elerove edadžbe s edostave za račae čeca da e potrebo račat t eda grač slo z prepree omogćava orštee grblh mreža. To rezltra maom olčom račaa po vremesom ora. 4

15 3.METODE RJEŠAVANJA JEDNADŽBI 3.. ŠTO JE CFD? To slče poave se mog opsat parcalo dferecalm edadžbama oa se već slčaeva e mog rešt aaltč. Kao što e već avedeo CFD e pole zaost oe se bav pročavaem rešavaa th edadžb merčm metodama a račal. Da b orstl merče metode rešavaa potrebo e orstt dsretzacse metode oe aprosmra dferecale edadžbe ao sstav algebarsh edadžb oe se ao tave mog rešt a račal. Aprosmace s prmeve a malo dome prostor vreme tao da merča rešea da rezltate dsretm loacama vreme prostor. Uatoč tome što raza točost espermetalh podataa ovs o valtet oršteh alata točost merčh rešea ovse o valtet orštee dsretzace. Utar velog opsega račale dame flda s atvost oe porva od atomatzace dobro postavleh žeersh dzaersh metoda do orštea detalh rešea Naver-Stoesovh edadžb ao zame za espermetalo pročavae prrode omplesh toova. Zbog tao velog opsega zamaa CFD proalaz mesto mogm podrčma zaost rada. Međtm teres ovog rada lež malom del CFD-a a to s merče metode rešavaa postavleh edadžb. U dalem će test prvo bt avedee osove ompoete svostva merčh metoda zatm će bt obašea metoda oa e orštea za rešavae postavleog modela. 5

16 3.. NUMERIČKE METODE RJEŠAVANJA Jedadžbe oe predstavla dam toa flda s pozate vše od stoleća al s rešve samo za ograče bro specfčh slčaeva. T specal pozat slčaev s od vele pomoć pr razmeva problemate toa al s reto orse za dret potreb žeerso aalz dza. Zbog toga s žeer tradcoalo bl prsle orstt ee drge metode pr rešava tavh edadžb. Kao što e već spometo ačešće se orste poedostavlee edadžbe oe s občo temelee a ombac aprosmacse dmezse aalze međtm emprč podac ao laz sstav s sveedo bl preo potreb za dobvae rešea. Zbog složeost edadžb emogćost dobvaa emprčh podataa espermetma za već slčaeva počele s se razvat merče metode rešavaa. Trebalo e malo mašte da b se vdelo da oršteem račala mogće e pročavat to flda laše mogo čovte. Jedom ada e otrvea moć račala teres za merče metode aglo e porastao. Rešavae edadžb dame flda a račal e postalo tolo bto da treto e tme opraa treća stražvača o rade a tom podrč proporca oš ve raste. To podrče e pozato ao račala dama flda (egl. comptatoal fld dyamcs - CFD). 6

17 3.3. KOMPONENTE NUMERIČKIH METODA MATEMATIČKI MODEL Matematč model e postavlae edadžb z grače vete o dobro ops zada problem. Ta ora e već če poglavl... METODA DISKRETIZACIJE Nao određvaa matematčog modela potrebo e odabrat odgovarać metod dsretzace t. metod aprosmraa edadžb ao sstav algebarsh edadžb za varable a podrč dsreth vredost vreme prostor. Postoe mog prstp dsretzac avaž od h s: metoda oačh razla (egl. fte dfferece -FD) metoda oačh volmea (egl. fte volme -FV) metoda oačh elemeata (egl. fte elemet -FE). Sve metode da edaa rešea za dovolo "fe" mreže. Međtm poede metode s prlade za poede lase problema od ostalh. KOORDINATE I SUSTAV BAZIČNIH VEKTORA Ovso o oršteom oordatom sstav orštem bazčm vetorma prozlaz ao će se postavt edadžbe. Koordat sstav može bt Kartezs cldrča sfer td. Odabr ovs o cl obl toa teče a zbor metode dsretzace odabra tpa mreže. Načešće oršte sstav e Kartezs sstav. NUMERIČKA MREŽA Dsrete loace a oma se rača vredost varabl s defrae merčom mrežom oa e bt dsreta reprezetaca geometrse domee a oo se rešava problem. 7

18 OGRANIČENE (KONAČNE) APROKSIMACIJE Prateć odabr tpa merče mreže potrebo e odabrat aprosmac oa će se orstt dsretzacsom proces. U metodama oačh razla mora bt odabrae metode aprosmace dervaca točama mreže. Za metode oačh volmea potrebo e odabrat metod aprosmace površsh volmh tegrala. I a ra za metod oačh elemeata potrebo e odabrat obl fca (elemeata) hove težse fce. Postoe moge mogćost odabra th metoda. Pr odabr se mora mat a m omproms zmeđ edostavost lao mplemetac točost račarso efasost. METODA RJEŠAVANJA Dsretzaca povlač vel sstav elearh algebarsh edadžb. Metoda rešavaa ovs o postavleom problem. Za estable sstave orštee s metode temelee a oma oe se orste za probleme cale vredost za občaee dferecale edadžbe - metoda apredovaa roz vreme (egl. marchg tme). Stabl toov se občo rešava psedo-retaem roz vreme (egl. psedo-tme marchg) l evvaletom teracsom shemom. KRITERIJI KONVERGENCIJE Na ra potrebo e postavt vete overgece za teracse metode. Određvae zastavlaa teracsog procesa e vrlo važa ompoeta za točost postpa za efasost toče pogleda. 8

19 3.4. DISKRETIZACIJA PROSTORA Matematč model za rešavae toa flda predstavla sstav dferecalh edadžb. Nao što e model postavle potrebo ga e prlagodt rešava a račal t. potrebo e zabrat prlad metod za dsretzrae vremea prostora. Navaž prstp dsretzace prostora s metoda oačh razla (egl. fte dferece -FD) metoda oačh volmea (egl. fte volme -FV) metoda oačh elemeata (egl. fte elemet -FE). Bta obleža avedeh metoda bt će opsaa dalem test. Osm ovh metoda postoe drge metode oe se reto orste ačešće s ogračee a specale slčaeve problema. Nee od th metoda s sheme spetra metode gračh elemeata cellar atomat drge. Svaa od metoda dae sto rešee ao e mreža dovolo fo podelea. Uatoč to čec ee metode s prlade za ee lase problema od ostalh odabr ačešće ovs o preferra žeera o rešava problem METODA KONAČNIH RAZLIKA Sla 3.. Prmer podele prostora za metod oačh razla čvorov se alaze a secštma Metoda oačh razla astara e metoda za merčo rešavae dferecalh edadžb o e predstavo Eler 8. stoleć. To e edo aedostava metoda ao se orst edostava geometra. U prcp metoda oačh razla se može prmet a blo o tp mreža. Međtm ačešće se orste strtrale mreže oma s le poravate sa lama oordatog sstava. Načešće se reće od edadžb očvaa dferecalm oblcma oe e potrebo dsretzrat. Domea rešea se sasto od mreže (Sla 3..). Sva prese predstavla eda čvor oeg ato predstavla set datora za 9

20 0 D prostor ( ) za 3D prostor ( ). Na svaom čvor mreže aprosmra se polaza dferecala edadžba tao da se parcale dervace edadžb zamee sa aprosmacsm zrazma tećem čvorom mest. To rezltra edom algebarsom edadžbom po čvor mreže oo s epozace vredost varabl tog određeog broa ssedh čvorova. Naravo bro edadžb bro epozaca mora bt eda. Na gračm čvorovma gde s pođee vredost varabl (Drchletov vet) edadžbe s potrebe. Kada se orste grač vet o sadrže dervace (Nemaov vet) o se mora dsretzrat prdržt ostalm edadžbama sstav. Za račae edadžb čvorovma potrebe s am aprosmace dervaca. Načešće orštee metode za aprosmace dervaca s aprosmaca pomoć Taylorovog razvoa red aprosmaca polomom (egl. polomcal fttg). Kada e potrebo te metode se taođer orste za određvae vredost varabl a loacama oe s zva mrežh čvorova ( terpolaca). Načešća aprosmaca dervace metod oačh razla temel se a Taylorovom razvo red. Sve aprosmace bt će zvedee za ompoet brze smer os (). Za ompoet y smer (v) zvod e aaloga. Na prmer ao e ozačava ompoet brze toč ( ) tada brza toč ( ) se može predstavt Taylorovm razvoem red oo toče ( ):... 6 ) ( ) ( = (3.) Navedea edadžba e matematč egzata zraz za ao e bro člaova besoača overgra te t 0. Iz toga sled: () ()... 6 ) ( ) ( = (3.) U tom zraz () e aprosmaca prve dervace oačm razlama: (3.3)

21 Ostata zraza () (egl. trcato error) predstavla zraz o se zaemare pr aprosmac. U edadžb (3.) zraz ažeg reda edadžb za pogreš lče prv potec. Iz toga sled da e zraz za oače razle (3.3) prvog reda točost toč zaps e: ) ( O = (3.4) U gore avedeo edadžb O( ) e formala matematča otaca oa predstavla zraz reda. Zbog račaa dervace pomoć dćeg člaa z t. zmaa podataa o s postavle deso od toče ( ) ova metoda se azva prva dervaca prvog reda s oraom apred (egl. frst-order forward dfferece ). Nač dobvaa te aprosmace se može opsat grafč (Sla 3.). Sla 3.. Dobvae aprosmace dervace prvog reda s oraom apred Aalogo tome z razvoa Taylorovog reda za elemet - ( edadžba br. 3.5) može se zvest prva dervaca prvog reda s oraom azad (egl. frst-order bacward (rearward) dfferece):... 6 ) ) ( ) ( = (3.5) ) ( O = (3.6)

22 Sla 3.3. Dobvae aprosmace dervace prvog reda sa oraom azad U mogm aplacama podrč račale dame flda točost aprosmaca prvog reda e dovola. Za ostrrae voceta oačh razla drgog reda točost potrebo e samo odzet edadžbe (3.5) od (3.) : = O( ) (3.7) Sla 3.4. Dobvae aprosmace prve dervace drgog reda Iformaca orštea za dobvae voceta edadžb (3.7) dolaz sa obe strae od promatrae mreže toče ( ) ao što e vdlvo a slc t. orste se člaov -. Tao se dobva greša aprosmace drgog reda točost oa e fca od ( ). Zbog toga se edadžba (3.7.) azva prva cetrala dervaca drgog reda (egl. secod- order cetral dfferece). Sve do sad avedee edadžbe ovom poglavl predstavla vocete oačh razla prvog reda oe predstavla prve parcale dervace. Promatrać Elerove edadžbe prva parcala dervaca e sve što e potrebo za zrač. Međtm za vsoze toove o se poaša po Naver-Stoesovm edadžbama (vsoz toov) potrebo e

23 3 aprosmrat drg parcal dervac. Smraem Taylorovh razvoa (3.) (3.5) dobva se:... ) ( ) ( = (3.8) Iz toga se može zvest zraz za drg parcal dervac: ) ( ) ( O = (3.9) Sla 3.5. Dobvae aprosmace drge dervace drgog reda Iz formle e vdlvo da e ovo cetral dferecal drgog reda točost. Osm dervaca po zasebm ompoetama potreba am e mešovta drga dervaca. Oa se edostavo dobva dervraem Taylorovog reda (3.) (3.5) te hovm odzmaem. Iz dobveog zraza dalm sređvaem lao e dobt zraz o predstavla dervac po y ompoet: [ ] ) ( ) ( 4 y O y y = (3.0) To e zraz za drg mešovt cetral dervac drgog reda točost.

24 Sla 3.6. Dobvae aprosmace mešovte dervace Sla 3.7. Geometrsa terpretaca svh aprosmaca parcalh dervaca sporedba Usporedb svh tr aprosmaca prvh parcalh dervaca mogće e vdet a slc 3.7. Iz tavog geometrsog praza mogće e zalčt oe s aprosmace toče. Kao što e pozato dervaca toč predstavla agb tagete a rvl to toč (Na slc p pravac ozače sa Eact). Kao što e vdlvo aprosmace roz samo lev l des ssed toč s dovolo toče t. hova točost vele ovs o foć podele mreže ( što e raspored točaa gšć to će agb pravca aprosmace bt blž agb točog pravca). Cetrala aprosmaca dervace ma agb ablž točo dervac. Zbog toga e mogće zalčt da e za toč aprosmac bole orstt metode drgog reda. Međtm zbog zahtevaa većeg broa točaa za zračavae aprosmace metode všeg reda 4

25 točost zahteva vše vremea za zrač po vremesom ora t. taav algortam e spor. Kao što e spometo ao dsretzace prostora operatora dobva se algebarsa edadžba za sva čvor mreže. Tme dobvamo potp sstav edadžb. Ao e polaza edadžba eleara ( ao što s Naver-Stoesove Elerove edadžbe) aprosmace će sadržat ee eleare elemete. Nmerča metoda rešavaa će tada zahtevat dodat learzac. Predost metode oačh razla s edostavost efetvost a strtrm mrežama. Uz to e posebo lao postć sheme všeg reda tegrace. Nedostata metode e da se e pošt zao očvaa slča da se e vod o tome rača posebo. Osm toga bt edostata e ogračee a edostav geometr ao se rad o omplesm toovma. 5

26 3.4.. METODA KONAČNIH VOLUMENA Sla 3.8. Metoda oačh volmea del prostor a otrole volmee čm sredštma se alaze čvorov oma račamo vredost varabl Metoda oačh volmea ačešće reće od tegralog obla zaoa očvaa. Domea rešea e podelea oača bro otrolh volmea (egl. cotrol volmes - CV) l ćela (egl. cells l voels). Jedadžbe očvaa se prme a sva od ćela. U cetr svae ćele se alaz čvor oem se zračava vredost varabl ( em slčaevma ee od vredost se postavla a strace ćela). Ostale vredost se dobva terpolacom. Površs volm tegral se aprosmra prladm vadratm formlama. Kao rezltat dobva se algebarsa edadžba za sva ćel oma se poavl ee vredost ssedh ćela. Ova metoda podržava blo aav tp mreže te e prlada za omplese geometre. Za razl od prošle metode podržava zaoe očvaa. Načešć prstp e defrae ćela odgovaraćom mrežom određvaem račsog čvora cetr ćele. Kaogod mogće e defrat (za strtre mreže) čvore loace prvo oda ostrrat ćele oo h tao da strace ćela leže a edao daleost od ssedh čvorova. Predost prvog prstpa e ta da čvora vredost predstavla sred vredost ćele s većom točošć (drgog reda) od drgog prstpa s obzrom da e čvor postavle a cetr ćele. Predost drgog prstpa e tome da aprosmace dervaca a stracama ćela s toče ad s strace postavlee a polov zmeđ dva čvora. Prva varata e češće orštea pras. 6

27 . Sla 3.9. Dva razlčta prstpa podel prostora a otrole volmee Za rešavae sstava ovom metodom potrebe s aprosmace površsh volmh tegrala. U ovom rad će bt rato opsa ač aprosmaca samo D prostor. Na slc 3.0. e opsaa orštea otaca. Sla 3.0. Notaca orštea pr zvođe aprosmaca površsh tegrala Površa ćele sasto se od 4 ( D prostor) rave strace ozačee sa malm slovma oa odgovara hovm smerovma ( egles azv e w s) odos a čvor P o se alaz cetr ćele. To roz grace ćela se tada može zapsat ao sma tegrala roz sve četr strace: 7

28 = S fds fds (3.) S gde e f ompoeta ovetvog l dfzvog vetora toa smer ormale a strac ćele. Zbog održavaa zaoa o očva bto e da se ćele e prelapa t. da svaa straca ćele e ata za sva od dv ćela oe leže sa svae eze strae. Za račae površsog tegrala potrebo e pozavat tegrat f dž cele površe S. Ta formaca e dostpa osm čvorovma ( o se alaze cetrma ćela) te e potreba aprosmaca oa se odva dva oraa: tegral se aprosmra zrazma sastavlem od vredost varabl a edom l vše loaca a stracama ćela vredost a stracama ćela se aprosmra od vredost čvorovma ( cetrma ćela) Naedostava aprosmaca tegrala e pravlo sredše toče (egl. mdpot rle) : tegral e aprosmra ao prodt tegrata sredšt strace ćele ( što e samo po seb aprosmaca srede vredost površe) podrča strace ćele: F e = fds = f S f S (3.) S e e e e e Ovava aprosmaca tegrala e drgog reda točost zahteva vredost tegrata f a loac "e". S obzrom da vredost od f e pozata a loac "e" potrebo e dobt terpolacom. Da b se sačvala točost drgog reda oe doos pravlo sredše toče vredost f e treba se račat postpom o e sto tao barem drgog reda točost. Drg ač aprosmace površsog tegrala drgog reda točost D prostor e pravlo trapezoda oe vod do zraza: Se Fe = fds ( fe f se ) (3.3) Sss U tom slča potrebo e zrazt to tovma ćela. Za aprosmace všeg reda to mora bt račat a vše od dve loace. Aprosmaca četvrtog reda e Smpsoovo pravlo oe aprosmra tegral ao: 8

29 Se Fe = fds ( f e 4 fe f se ) (3.4) 6 Sss Kao što e očlvo z edadžbe za zrač s potrebe tr loace. Za dobvae vredost a tm loacama e potreba terpolaca všeg reda barem bča. Ovaav prstp e možda aedostav za shvaćae programrae. Sv zraz oe e potrebo aprosmrat ma fzalo začee zbog čega e ta metoda poplara međ žeerma. Nedostata metode e ta što metode tegrace većeg reda e teže razvt 3D prostor. 9

30 METODA KONAČNIH ELEMENATA Sla 3.. Dva ača praza metode oačh elemeata ao što e vdlvo a slama elemet e mora bt form Ova metoda e slča protelo po mogm začaama. Domea e razbea set dsreth volmea l oačh elemeata o s geeralo estrtrra ( D prostor ačešće s to trot l četverot do 3D s to tetraedr l hesaedr). Navaže obleže ove metode e da s edadžbe možee sa težsm fcama pre tegrace po celo dome. U aedostavm oblcma rešee e predstavleo learm oblom fca za sva elemet o garatra ottet rešea po gracama elemeta. Tava fca može se ostrrat od vredost a tovma elemeata. Težse fce s ačešće ste forme. Ovava metoda dsretzace prostora se vrlo reto orst te eće bt poblže razrađea ovom rad. 30

31 3.5. RJEŠAVANJE SUSTAVA LINEARNIH JEDNADŽBI U prethodom poglavl e poazao ao e mogće dsretzrat edadžbe orsteć razlčte metode. U svaom slča rezltat dsretzace e sstav algebarsh edadžb o e leara l eleara ovso o prrod prpadaće parcalo dferecale edadžbe od oe e sstav astao. Za eleare slčaeve edadžbe astale dsretzacom rešava se teratvm tehama oe lč pogađae rešea learzac edadžb oo tog rešea pobolšaa rešea sve do se e postge overgeca rezltata. Stoga ble edadžbe leare l eleare potrebe s metode za rešavae learh algebarsh edadžb. Matrce zvedee z parcalh dferecalh edadžb s ve slabo popee t. veća elemeata matrce e edaa l. Sv e-l elemet občo leže a malom bro dagoala što e mogće sorstt za brže rešavae zadaog sstava. Sstav se može zapsat matrčo otac ao: ΑΦ = Q (3.5) gde e A vadrata slabo popea matrca oefceata z epozace zapsae vetor Φ. Vetor Q sadrž zraze o s z varable sstava. Kada se rad o velm sstavma matrc A zbog malog broa e-l elemeata ema smsla spremat ao dvodmezoalo pole. Svaa dagoala sa e-l elemetma se sprema poseba red te se tao šted memors prostor. U astav bt će opsae ee od metoda za rešavae learh algebarsh sstava o asta dsretzacom parcalh dferecalh edadžb DIREKTNE METODE Prvo će bt da rata pregled metoda za rešavae općeth matrca s obzrom da s slabo popee matrce so vezae z h. Za rešavae tavh sstava orst se potpa matrča otaca ( asprot dagoalo oa se može orstt za slabo popee matrce). 3

32 GAUSSOVA ELIMINACIJA Temela metoda za rešavae learh sstava algebarsh edadžb e Gassova elmaca. Bt te metode e sstematčo redcrae velh sstava edadžb a mae. U tom postp elemet matrce se modfcra al mea ovsh varabl se e mea prlado e opsat metod samm matrčm zrazma: A A A3... A A A A3... A A = (3.6) M A A A 3... A Bt algortma e teha elmraa A t. zamea vredost tog elemeta sa lom. To se dobva možeem prve edadžbe (prv red matrce) sa A /A odzmaem od drge edadžbe (drg red matrce). Općeto za elmrae A prv red matrce se mož sa A /A odzma od -tog reta. Nao što se elmra sv elemet spod elemeta A t eda edadžba od 3... e sadrž varabl Φ tada te edadžbe če sstav od - edadžb za varable Φ Φ 3... Φ. Ista procedra se prmee a tom maem sstav edadžb za sve elemete spod A. Nao što e proces gotov zvora matrca se svod a gor trotast: A A A3... A 0 A A3... A A = (3.7) M A S obzrom da se zvore vredost matrce eće vše orstt efaso e spremt ovo dobve matrc a mesto zvore matrce. Ova do algortma se azva elmaca apred (egl. forward elmato). Elemet dese strae edadžbe Q taođer se modfcra teom postpa. Gor trotast sstav edadžb se edostavo rešava. Zada edadžba sadrž samo ed varabl Φ rešee e ttvo: Q φ =. (3.8) A 3

33 Jedadžba pre zade sadrž samo epozace Φ Φ - te s obzrom da e Φ sada pozat mogće e taođer ttvo rešt. Kao avede algortam aprede prema gorm edadžbama svaa edadžba ma samo po ed epozac rešee se općeto može zapsat ao: Q A φ φ. (3.9) = = A Desa straa edadžbe (3.9) e rešva er sve epozace oe se poavl sm s već pozate oracma spred. Ova do algortma o poče trotastom matrcom rača epozace se zove spsttca azad ( egl. bac sbsttto). Ne tešo poazat da za vele broeve epozaca bro operaca potreba za rešavae sstava Gassovom elmacom e proporcoala sa 3 /3. Zbog toga e Gassova elmaca spa za zrač al za potpe matrce e dobra ao blo oe drge metode. Međtm Gassova elmaca se e vetorzra l paralelzra efaso zato se reto orst bez modfaca CFD problemma LU DEKOMPOZICIJA Postoe broe varace metoda Gassove elmace. Veća e teresata ovm razmatrama. Jeda od varaca oa ma vredost CFD metodama e LU deompozca. Kao što e mogće vdet prethodom poglavl Gassovo elmac elmaca apred redcra potp matrc gor trotast. Ta proces može bt zvede po efase možeem matrce A sa doom trotastom matrcom. Samo po seb to e bto međtm s obzrom da e verza matrca doe trotaste matrce taođer doa trotasta rezltat toga e da blo oa matrca A sa em ogračema oa s ovde ebta može se rastavt a do (L) gor (U) trotast matrc: A = LU (3.0) 33

34 Da b rastavlae blo ato zahteva se da sv dagoal elemet od L L bd edstve (alteratvo može se vet prmet a matrc U). Oo što č to rastavlae orso e to što se rad o edostavom postp. Gora trotasta matrca U e edaa oo sto se dobva prvo faz Gassove elmace. Elemet matrce L s fator oma se mož elmacsom proces ( A /A ). Zbog toga e mogće da se rastavlae matrce postge maom modfacom Gassove elmace. Predost LU deompozce pred Gassovom elmacom e ta da rastavlae matrce se može zvest bez zaa vredost vetora Q ITERATIVNE METODE TEMELJNI KONCEPT Blo o vadrat sstav learh ezavsh edadžb se može rešt pomoć Gassove elmace l LU deompozce. Nažalost trotast fator slabo popeh matrca s slabo pope pa stoga s te metode ečovte spe za tave sstave. Nadale pogreša dsretzace e občo mogo veća od točost račalh artmetčh operaca tao da ema potrebe rešavat sstave do te točost. Zadovolavaće rešee e oo oe e ešto toče od dsretzacse sheme. To ostavla otvorea vrata teratvm metodama. Oe se orste za eleare probleme al s taođer orse za rešavae slabo popeh sstava. U teratvm metodama prvo se pogađa prlado rešee tada se orste edadžbe da b ga sstemats pobolšal. Ao e svaa teraca "efta" za zrač bro teraca e mal teratv solver e brž od drete metode. To e ačešć slča CFD problemma. Kreće se od matrčog zapsa problema avedeog edadžb (3.5). Nao teraca dobva se aprosmacso rešee Φ oe e zadovolava zada sstav edadžb potpo. Umesto toga posto ostata ρ : A φ = Q ρ (3.) Odzmać edadžb gore (3.) od edadžbe (3.5) dobva se relaca zmeđ teracsh pogrešaa defraa ao: 34

35 ε = φ φ (3.) Gde e Φ rešee oem se overgra a ostata: A ε = ρ (3.3) Bt teracse metode e svođee ostata a l; proces ε taođer se svede a l. Da b se poazalo ao se to rad zma se obzr teratv postpa za lear sstav. Tada se može zapsat: M φ = Nφ B (3.4) Očto pravlo oe se mora poštvat e da rezltat oem se overgra zadovolava edadžb (3.5). S obzrom da po defc pr overgec φ = φ = φ mora vredt: A = M N B = Q (3.5) l geeralo: PA = M N B = PQ (3.6) Gde e P esglara predveta ( egl. pre-codtog) matrca. Alteratva verza se dobva odzmaem Tme se dobva: M φ sa svae strae edadžbe (3.4). M( φ φ ) = B ( M N) φ l M δ = ρ (3.7) gde δ = φ φ se azva sprava alteratva e teracso pogrešc. Da b teratva metoda bla efetva rešavae sstava (3.4) e sme bt račs zahtevo metoda mora brzao overgrat. Jeda teraca mora sadržavat edostava zrač zraza N φ rešea sstava. Drg vet o se mora spt svao terac e edostavost zrača verze matrce M. 35

36 KONVERGENCIJA Kao e blo avedeo brza overgeca teratve metode e lč eze efetvost. U ovom odlom će bt daa rata aalza oa e orsa za razmevae što e merlo overgece ao e pobolšat. Za početa potrebo e zvest edadžb oa opse poašae teracse pogreše. Kreće se od početog veta za overgec overgra zadovolava edadžb: φ = φ = φ tao da rešee oem se M φ = Nφ B (3.8) Odzmaem te edadžbe od edadžbe (3.4) orsteć defc teracse pogreše (3.) dobva se: ε Nε M = l ε Nε = M (3.9) Iteratva metoda overgra ao lm ε = 0 (3.30) Kao edostav prmer zet će se sstav o orst samo ed edadžb. Pretpostav se da se žel rešt: a = b (3.3) da se orst teratva metoda ( prmett da e m= a p e broač teraca): m p = p b (3.3) Tada pogreša mora zadovolavat salar evvalet edadžbe (3.9) 36

37 ε p = ε p m (3.33) Iz toga e vdlvo da se greša redcra brzo ao /m e malo t. ao e mal što zač da m a. Pr ostrra teratvh metoda za sstave vred aalogo pravlo: što e matrca M bole aprosmra matrc A sstav overgra brže. U teratvm metodama e bto moć tvrdt teracs greš da b se odlčlo ada e potrebo stat NEKE OSNOVNE METODE U aedostavo Jacobevo metod M e dagoala matrca č elemet s dagoal elemet od matrce A. Za dsretzac Laplaceove edadžbe pet točaa svaa teraca e započeta doem levom (gozapadom) t domee orsteć geograds otac (ao poglavl o metod oačh volmea) metoda glas: φ P Q = P ASφ S A φ A W W P A φ A φ N N E E (3.34) Mogće e poazat da za overgec ova metoda zahteva bro teraca proporcoala vadrat broa mrežh čvorova edom smer. To zač da e ova metoda račs spla od drete metode pa posto malo razloga da b se e orstlo. U Gass-Sedelovo metod M e do trotast do matrce A. Ta metoda e specal slča SOR metode oa e opsaa spod. Ta metoda overgra dva pta brže od Jacobeve metode međtm postoe mogo efase metode. Pobolšaa verza Gass-Sedelove metode s scesve pre-relasacse metode (egl. sccessve over-relaato-sor). Svaa teraca započe doem levom (gozapadom) t domee poovo orsteć geografs otac SOR metoda se može zapsat: Q A φ A φ A φ A φ P S S W W N N E E φ P = ( ω) AP φ P (3.35) gde ω predstavla relasacs fator o mora bt već od za brzae e bro teraca. Postoe teore oe se bave odabrom relasacsog fatora za edostave 37

38 probleme popt orštee Laplaceove edadžbe a vadrato dome međtm to e tešo prmet a omplese probleme. Općeto što e veća mreža to e već optmm relasacsog fatora. Za vredost ω mae od optmma overgeca e motoa što e ω već to e raza overgece veća. Kada se premaš optmm raza overgece poče osclrat. Pomoć th čeca mogće e ać optmm relasacsog fatora. Kada se orst optmm relasacsog fatora bro teraca e proporcoala bro mrežh točaa edom smer za zos fatora eda ova metoda se svod a Gass-Sedelov metod. Osm ovh postoe moge merče metode oe se bave rešavaem learh elearh sstava algebarsh edadžb. Nee od h s metoda ograh gradeata (egl. cogate gradet method) vše mreže metode (egl. mltgrd methods) moge drge. Za poblže pozavae th metoda čtatel se pće a poglavla o rešava learh sstava gama [5 ] [ 6] 38

39 3.6. METODE ZA NESTABILNE PROBLEME - DISKRETIZACIJA VREMENA Pr rača establh toova moramo zmat obzr 4 dmez: vreme. Vreme e potrebo dsretzrat ao prostor. Možemo smatrat da e mreža po oo e podeleo vreme l tpa oačh razla ao dsrete toče vreme l tpa oačh volmea ada se promatra "vremes volme". Glava razla zmeđ vremesh prostorh oordata e smer tecaa: bdć da sla blo oo prostoro loac može tecat a to blo gde drgde prmea sle daom tret će tecat a to te bdćost e posto teca azad. To povlač da t eda vet e može bt amett a rešee (osm a grace) posle calzace rača što ma a teca a odabr stratege rešavaa. Nao dsretzace prostorh dervaca glavm edadžbama ( ao što s za prmer toa Naver-Stoesove l Elerove edadžbe) postže se poveza sstav elearh dferecalh edadžb obla: r d r r = F( t) (3.36) dt Tava edadžba se može tegrrat po vreme orsteć e od metoda za rešavae problema establh toova. Da b se ostalo vero prrod vremea sve metode račaa apred roz vreme ora po ora t. "maršraem" (egl. tme- marchg methods). Za rešavae stablh toova prostora dsretzaca vod do povezaog sstava elearh algebarsh edadžb obla: r F( r ) = 0 (3.37) Zbog elearost avedeh edadžb potreba e ea vrsta teratve metode za dobvae rešea. Na prmer mogće e odabrat pt do stablog staa orstt metod maršraa roz vreme za tegrrae establog obla edadžb do rešee e bde dovolo blz stablog rešea. Zbog toga metode maršraa roz vreme s relevate za stable za estable toove. Kada se avedee metode orste za rešavae stablh 39

40 toova cl e edostavo laae prelazog dela rešea što e brže mogće vremesa točost e bta METODE MARŠIRANJA KROZ VRIJEME DVORAZINSKE METODE Za probleme calh vredost dovolo e promatrat obč dferecal edadžb prvog reda sa calm vetom: dφ( t) = f ( t φ( t)) ; dt φ ( = φ t ) 0. (3.38) 0 Glav problem e ać rešee Φ za eo rato vreme t ao cale toče. To rešee vremesom tret t = t 0 t e calo stae za ov ora rešee se dale astavla za trete t = t t t 3 = t t... Naedostave metode se mog ostrrat tegrrać forml (3.38) od vremesog treta t do t = t t: t t dφ dt dt = φ φ = t t f ( t φ( t)) dt (3.39) gde se orst sraćea otaca φ φ t ). Ta edadžba e egzata. Kaogod desa = ( straa edadžbe se e može razvt bez pozavaa rešea te e potreba e obl aprosmace. Teorem srede vredost tvrd ao e tegrat razve spravo toč t=r zmeđ t t tegral e tada eda zraz f ( r φ ( r)) t al to e od male orst ao e r epozat. Zbog toga se orste ee od aprosmatvh merčh metoda za razvae tegrala. 40

41 4 Sla 3.. Aprosmaca vremesog tegrala f(t) a terval t s leva a deso: esplcta Elerova metoda mplcta Elerova metoda trapezo pravlo pravlo srede toče Ao se tegral a deso stra edadžbe (3.39) se rešava orsteć vredost tegrata calo toč dobva se: t t f = ) ( φ φ φ (3.40) što e pozato ao esplcta l apreda Elerova metoda. Ao se mesto toga orst oač toč rešava tegrala dobva se mplcta l azada Elerova metoda: t t f = ) ( φ φ φ (3.4) Mogće e razvt oš ed metod orsteć sredš toč tervala: t t f = ) ( φ φ φ (3.4) što e pozato ao pravlo sredše toče može se smatrat osovom bte metode za rešavae parcalh dferecalh edadžb -Leapfrogove metode. I ao zada solca mogće e orstt lear terpolac po pravc zmeđ cale rae toče ostrrać aprosmac: [ ] t t f t f = ) ( ) ( φ φ φ φ (3.43)

42 oa se azva trapezodo pravlo taođer e osova bte metode za rešavae parcalh dferecalh edadžb - Cra-Ncolsoove metode. Koletvo ove metode se azva dvorazse metode er lč vredost epozaca z dva vremesa treta (metode oe se temele a pravl sredše toče se mog al e mora svrstavat dvorazse metode). Iz avedeh edadžb može se prmett da sve metode osm prve zahteva vredost od Φ(t) eom vremesom tret razlčtom od t=t (što e cala toča tegracsog tervala oem e rešee pozato). Za tave metode e mogće zračat des stra zraza bez sledeće terace. Zbog toga prva metoda prpada las esplcth metoda do ostale prpada mplctm metodama. Sve metode da dobra rešea za mal t. Međtm poašae metoda za veće vremese orae e bto zbog toga što za probleme s varablm vremesm salama često e cl zračat sporo dgoročo poašae rešea rat vremes orac s samo smeta. Problem sa velm raspoom vremesh oraa se azva egl. stff o s aveća tešoća a o se alaz pr rešava reglarh dferecalh edadžb. Zbog toga e od vele važost sptat poašae određee metode pr velm vremesm oracma. To prerasta ptae stablost metode. Postoe moge defce stablost lteratr. Ovde će se orstt grba defca oa azva metod stablom ao oa dolaz do ogračeog rešea ada e rešee temelh dferecalh edadžb taođer ogračeo. Za esplct Elerov metod stablost zahteva zadovolee zraza: f ( t φ) t < (3.44) φ za o ao f ( t φ) dozvolava omplese vredost zahteva se da t f (t φ) / φ bde ogračeo a podrče tar ržce sa cetrom -. Metoda oa zadovolava avede vet azva se veto stablom. Za reale vredost od f vet (3.44) se redcra a: f ( t φ) t < (3.45) φ 4

43 Sve ostale metode defrae do sada s bezveto stable t. da ogračeo rešee za blo o vremes ora ao f ( t φ) / φ < 0. Uatoč to čec mplcta Elerova metoda tež glatm rešema ča ada e t ao vel do trapezodo pravlo dae rešee oe osclra sa lagam prgšeem. Koačo potrebo e razmotrt ptae točost poedh metoda. Globalo gledać tešo e reć ešto o tom problem zbog vele razle edadžb oma se može prstpt avedem metodama. Za eda mal ora mogće e orst Taylorov razvo da b se poazalo da esplcta Elerova metoda rećć od pozatog rešea za t dae rešee za t t sa grešom proporcoalom sa ( t).međtm s obzrom da bro oraa potreba za račae eog oačog vremea t = t 0 T e obrto proporcoala t greša se gomla pr svaom vremesom ora greša će a ra bt proporcoala sa samm t. Zbog toga e esplcta Elerova metoda prvog reda točost. Implcta Elerova metoda e taođer prvog reda točost do trapezodo pravlo pravlo sredše toče ma pogreše proporcoale sa ( t) zbog toga s drgog reda točost. Mogće e doazat da e drg red točost aveć red o se može doseć dvorazsm metodama PREDIKTOR-KOREKTOR METODE Svostva avedea za dvorazse metode s prlčo općeta. Esplcte metode s lagae za programrae te orste ao malo račale memore vreme za račae. Nhov glav edostata e establost za vele orae. U ed r mplcte metode zahteva teratvo rešee za dobvae vredost ovom vremesom ora. To h č težma za programrae zahteva mogo vše račale memore vremea po ora al s zato stable (Ovde avedee mplcte metode s bezveto stable međtm to e vred geeralo za sve mplcte metode al s oe svaom slča stable od esplcth metoda). Postavla se ptae da l se mog ombrat dobra svostva z obe vrste metoda. Predtor-oretor metode (egl. Predctor-Corrector Methods) s poša tavog prstpa. U ovo metod rešee ovom vremesom ora se predvđa orsteć esplct Elerov metod: * φ = φ f ( t φ ) t (3.46) 43

44 gde * dcra da to e fala vredost rešea za t. Umesto toga rešee se spravla * trapezodm pravlom orsteć φ za račae dervace: [ f ( t φ ) f ( t φ )] t = φ * φ (3.47) Može se doazat da e ova metoda drgog reda točost ( red točost trapezodog pravla) al sadrž grbo gledać stablost esplcte Elerove metode. Ova metoda taođer prpada faml dvorazsh metoda što zač da e drg red točost avš o se može postć METODE KOJE KORISTE VIŠE TOČAKA Za bol raz točost potrebo e orstt podate sa vše točaa. Te toče mog bt oe oma s podac već zračat l toče zmeđ t t oe se orste zrčto samo za račal verodostoost. Prve tave metode s ble metode oe orste vše točaa (egl. mltpot methods). Napozate tave metode Adamsove metode s zvedee pomoć metode zedačavaa poloma dervacama određem točama vreme. Ao se Lagrageov m m polom amest a f ( t φ ) f ( t φ )... f ( t φ ) rezltat se sorst za m m račae tegrala (3.38) dobva se metoda reda m. Metode ovog tpa se azva Adams- Bashforthove metode. Za rešavae parcalh dferecalh edadžb orste se edo metode žeg reda. Metoda prvog reda e esplcta Elerova metoda do metode drgog trećeg reda s: [ 3 f ( t φ ) f ( t φ )] t φ = φ (3.48) [ 3 f ( t φ ) 6 f ( t φ ) 5 f ( t φ )] t φ = φ (3.49) 44

45 Ao se terpolac poloma lče podata z vremesog treta t rad se o mplctm metodama pozatm ao Adams-Moltoove metode. Metoda prvog reda oa se dobva tm ačom e Elerova mplcta metoda drgog reda e trapezodo pravlo do e metoda trećeg reda: [ 5 f ( t φ ) 8 f ( t φ ) f ( t φ )] t φ = φ (3.50) Občo metode orste Adams-Bashforthove metode (m-)-og reda ao predtor Adams- Moltoov metod m-tog reda ao oretor. Tm ačom se može postć predtororetor metoda blo oeg reda točost. Pomoć prstpa metoda oe orste vše točaa mogće e edostavo ostrrat metode blo oeg reda točost. Osm toga te metode e relatvo lao programrat zahteva samo ed evalac dervace po vremesom ora što h č relatvo "eftm". Glav edostata metode e da zahteva podate z većeg broa točaa e mogće poret program s podacma samo z cale toče. Jeda od mogćh rešea tog problema e počet s malm vremesm oraom metodom žeg reda te oda polao sa dobvaem većeg broa točaa povećavat red metode. Navedee metode s temel za moge metode rešavaa dferecalh edadžb orštem razm programma. U tm programma orste se procevač pogrešaa za određvae točost rešea svaom ora. Ao rešee e dovolo blz točo vredost povećava se red metode sve do masmalog reda o dozvolava oršte program. U sprotom slča ada e rešee toče ego što e potrebo može se smat red metode pr tome štedet vreme potrebo za račae. Zbog otežaog meaa velče vremesog oraa tavm metodama red metode se smae samo ada se dosege masmal red metode. Zbog toga što avedee metode orste podate z vše vremesh oraa mog rezltrat e-fzčm rešema što vod do establost. Ta problem e mogće delomčo zaobć orsteć pomo odabra počet metod. 45

46 RUNGE-KUTTA METODE Potešoće pr starta metoda oe orste vše točaa mog se advladat orsteć toče zmeđ t t mesto rah točaa. Metode s ovavm ačom prstpa se azva Rge-Ktta metode. Slede dva prmera. Rge-Ktta metoda drgog reda se sasto od dva oraa. Prv ora se može promatrat ao pol-ora temele a esplcto Elerovo metod; ao toga sled oretor temele a pravl sredše toče zbog čega e metoda drgog reda: ) ( * t f t φ φ φ = (3.5) ) ( * = t t φ φ φ (3.5) Ova metoda e laa za potreb e potrebo mat dodate podate za startae samo cal vet oe zahteva same dferecale edadžbe. U mogm pogledma slča e već opsam predtor-oretor metodama. Rge-Ktta metode većeg reda točost s taođer ao razvee. Napoplare s metode četvrtog reda. Prva dva oraa te metode orste esplct Elerov metod ao predtor mplct Elerov metod ao oretor tret t/. Nao toga sled predtor temele a pravl sredše toče za cel ora Smpsoovo pravlo ao fal oretor zbog oeg e metoda četvrtog reda: ) ( * t f t φ φ φ = (3.53) = * ** t f t φ φ φ (3.54) = ** * t tf φ φ φ (3.55) ( ) ( ) = * ** * 6 t f t f t f t f t φ φ φ φ φ φ (3.56)

47 Postoe moge varace ove metode. Naveć problem e to što e prlčo tešo razvt metode većeg reda ao što e već vđeo gore avedem metodama -t red Rge-Ktta metoda zahteva razvo dervace pta po vremesom ora što č ov metod splom za zrač sporedb sa ostalm metodama. Međtm Rge-Ktta metode s toče ( oefcet z zraz pogreše s ma) stable od ostalh metoda stog reda. 47

48 3.7. SPECIJALNA METODA SEMI-LAGRANGE SEMI-LAGRANGEOVA METODA Odabr tegracse metode t. modela aprosmace retaa roz vreme e od vele važost za modele postavlee pomoć dferecalh edadžb. Naveć problem tegracsh shema e da odabrom masmalog vremesog oraa pravla omproms zmeđ stablost metode točost zrača. Za stabl tegrac potreba e mal vremes ora tao da e pogreša ogračavaa vremesog oraa mogo maa od pogreše ogračavaa prostora te e tada potrebo zvodt mogo vremesh oraa što ače e b bo slča. Zbog tavh ogračea do sada avedee metode e rešava edadžbe stvarom vreme te e potreba drgač prstp problem. Sem-Lagrageova metoda e zazvala vel teres zbog pržaa mogćost većh vremesh oraa (bez velh gbta točost) za razl od Elerovh metoda. Sem-Lagrageova metoda potreb e račalo grafc od 999. gode ada e prestavo Stam svom rad [] orst se za rešavae zraza advece edadžb očvaa mometa gbaa flda. Ta zraz vod edadžb elearost stoga e mogće dobt rešee občaem aaltčm metodama. Sem-Lagrageova metoda rešava edadžbe advece orsteć metod aratersta za sva toč tar reglare mreže. Za razl od celovte Lagrageove metode oa zma cal mrež vredost promee vrš a o sem-lagrageova metoda e efetvo praćee čestca zmeđ dve mreže od vremesog treta do dćeg vremesog treta. U Elerovm metodama za rešavae edadžbe advece promatrač promatra svet oo sebe z fse toče prostor. Tave sheme del dobro a reglarm Kartezevm mrežama al često vode do prestrogh ogračea vremesog oraa zbog zbegavaa establost. U Lagrageovm metodama promatrač promatra svet al prat pta čestca flda. Tave metode da mogo veće vremese orae međtm ma eda edostata: calo občae razmac prostor zmeđ seta čestca ( araterstčo za dm) s vremeom glavom posta epravl te se može dogodt da bta svostva toa bd zaemarea loše prezetraa. Idea sem-lagageove metode e obhvatt dobra svostva ob metoda sprav rezolc Elerove metode state stablost Lagrageove metode. To e postgto oršteem drgačeg seta čestca za sva vremes 48

49 ora. Te čestce s odabrae tao da hova ptaa završava točo točama reglare Kartezeve mreže a ra svaog vremesog oraa. Za rešavae postavlee advecse edadžbe orst se metoda aratersta oa e osova sem-lagrageove metode. Ta metoda se orst za rešavae edadžb obla: φ ( t) φ = 0 (3.57) t gde e Φ salaro pole ( t) e fca brze. Jedadžba (3.57) pasvo propagra svostvo Φ roz vetorso pole brze. Sem-Lagrageova metoda se temel a opaža da edadžba (3.57) propagra Φ po araterstčo rvl =p(t) defraom sa: d dt p ( t) = ( p( t) t) z p ( 0) = 0. (3.58) Iz toga sled mogćost proalažea vredost Φ za sva treta t tao da se proađe araterstča rvla oa prolaz roz ( t) prateć e atrag do ee praše toče ( 0 t 0 ) gde e vredost od Φ pozata postavlać Φ(t)= Φ ( 0 t 0 ). Za dae vredost Φ za vreme t ovaav ač rešavaa aprosmra vredost Φ(t ) za blo o toč vremesom tret t =t t razvać praš brz ( t ) aprosmrać araterst roz atrag po ravo l p t) ( t t) ( t ) (3.59) ( terpolrać Φ za vremes treta t do toče p ( t ) ( t) ( t ). (3.60) Tada se zraz φ ) postavla a terpolra vredost φ p( t ) t ). ( t ( Uz pomoć avedee metode rešava se advecs zraz edadžb očvaa mometa roz vremes terval [t t t] za sva elemet flda. Osm tog zraza ova metoda se orst za zrač zraza za prome tlaa temperatre flda. 49

50 Urato ova metoda doos ovost rešavae elearh dferecalh edadžb drgačm prstpom. Proces e stabla da se sv vet a velč vremesog oraa ovsost o foć podele prostora. Drga ovost e delee vodeće edadžbe a vše delova rešavae po oracma te se tme omogće orštee edostavh solvera. I treća ovost e vođee pola bez dvergece oe se rača zasebom ora. Te tr začae obležava ov metod omogćava reala praz flda stvarom vreme z stablost za blo o velč vremesog oraa. U astav će bt poblže opsao rešavae dferecalh edadžb toa plovth flda ovom metodom. 50

51 4. POSTAVLJANJE PROBLEMA Svrha ovog rada e postavlae algortma za zrad smlatora dma D l 3D podrč o se zasva a rad Fedwa Stama Jesea [] te rada Stama [] egovo teor stablh flda (egl. stable fld). U dalem test e opsaa problemata metode oe se orste pr rešava te ač rešavaa postavleog problema. 4.. OSNOVNE JEDNADŽBE U vod s avedee edadžbe oe vero ops to flda. Iteres ovog rada se svod a s do podrča flda - a smlac dma slčh plovth flda. Pretpostava e da avede fld e evsoza estlačv ma gstoć ostate vredost. Efet vsozost plovtom sta flda e zaemarv pogotovo a grblm mrežama gde merča dspaca domra ad fzalom vsozošć molelaro dfz. Kada e brza gbaa plova daleo spod brze zva efet stlačvost e taođer zaemarv (ao što e avedeo vod). Te dve pretpostave poprlčo poedostavl ač zrača edadžb. Zbog avedeh čeca za ops gbaa opsaog flda orste se estlačve Elerove edadžbe (ste s avedee vodom del): = 0 (4.) = ( ) p f (4.) t ρ gde e brza pla predstavlea ao vetor brza roz sve tr dmeze : = ( v w). (4.3) Postavlee edadžbe rešava se osova dva oraa (ovo e samo ač rešavaa avedeh edadžb ase će bt avede orac algortma ) : 5

52 Prvo se rešava "posredčo pole brza" (egl. termedate velocty feld) * rešavać edadžb (4.) roz vremes ora t bez zraza za tla: * = ( ) f t (4.4) Nao tog oraa prslavamo pole * da bde estlačvo orsteć proecs metod oa će bt obašea ase test. To e evvaleto rača tlaa z Possoove edadžbe (Possoova edadžba se rešava teratvm solverom): * p = (4.5) t sa čstm Nemmaovm gračm vetom: p = 0 (4.6) a gračo toč s ormalom. Nao toga se rača estlačvo pole brza tao da se z posredčog pola brza odzme gradet tlaa: = * t p. (4.7) Osm edadžb oma se dobva brza čestca flda trebamo edadžbe po oma se mea temperatra gstoća: T = ( ) T (4.8) t ρ = ( ) ρ. (4.9) t Obe vredost gstoća temperatra teč a brz flda. Teš plov ma tedec pada prema dole zbog tecaa gravtace do topl plov ma tedec rasta zbog tecaa zgoa. Za prmer ovog smlatora se orst edostava model 5

53 lčvaa ovh efeata tao da se defra vasa sla oa e dreto proporcoala gstoć temperatr pla: f boy αρ z β ( T T ) z (4.0) = amb gde e z=(0 0 ) vetor s oretacom "prema gore" T amb ambetala temperatra a α β dve poztve ostate s prladom edcom tao da gore avedea edadžba (4.0) ma fzalo začee. Dobro e prmett da ada e ρ=0 T= T amb defraa sla e edaa l. Kao se zma teca gravtace? Uz avede sl zgoa orstt ćemo dodat zraz za sl o će defrat poave malh vrloga te tao čt zgled dma žvlm. Vše o tome poglavl o metod ogračavaa vrtložost. Jedadžbe (4.8) (4.9) ao edadžba (4.4) sadrže operator dvergece ( ). Dvergeca e trasportrae očvae salare vredost vetorsom pol. U meteorolog fzalom pročava flda dvergeca predstavla strae (občo horzotalo) eh atmosfersh svostava flda ao što s ovom slča topla gstoća smer brze flda. Ta avede zraz se rešava sem-lagrageovom metodom oa e već opsaa poglavl metoda vremese dsretzace. Pre rešavaa postavleog problema potrebo e opsat oš ed bt metod oa se orst ovom solver. Ta metoda e ogračavae vrtložost oa slž za zbegavae merče dspace č praz dma realstčm. 53

54 4.. OGRANIČAVANJE VRTLOŽNOSTI Uobčaeo e da mešave zraa dma sadrže veće prostore devace držee sa začam olčama rotacoh trbleth strtra razlčth razmera (pr. dm cgarete). Nefzala merča dspaca o moge merče metode ma za posledc gš ta teresata svostva plova. Cl ovog prstpa e "vraćae" th feomea azad mrež praza. Jeda od ača vraćaa tavh poava azad to b blo rerae slčah l pseodo-slčah pretrbaca toa orsteć herstč l fzalo temele model. Ovaav ač stvara rotacoe trblete strtre međtm e postavla h a fzalo spravo mesto to gde b se oe ače poavlvale. Umesto toga detal se doda slčam odabrom pozce to te se tme osgrava "žvost" smlraog pla. Međtm lč realstče amace dma e da zgleda ao pasvo realstča prroda tvoreva asprot avedeo metod oa stvara "žvo" bće od dma. Zato se vode fzalo orete metode ao što e metoda ogračavaa vrtložost (egl. vortcty cofemet- VC) oa e opsaa dale test. Vrtlože poave toovma sa velm zosom Reyoldsovog broa (trbleta pola-dodata A.) s čestale. Nmerčo rešee Naver-Stoesovh edadžb za vrtlože poave malh razmera to e račalo prezahtevo. Stoga blo aav zrač poašaa tavh toova mora sadržavat zdvoe metod oa će mplemetrat tavo poašae flda. Postoe raze metode oe rešava avede problem. Međtm orštee eh metoda ao što e tradcoala metoda smlraa velh vrtloga (egl. Large Eddy Smlato - LES) će zroovat prevelo zagšee za amae vrtlože poave zbog merče dspace oa astae zbog dsretzace vodećh edadžb blo oeg oršteog modela za smlac vsozost vrtloga. Te male poave vrtložost mog bt bte za praz mogm toovma. Zbog hove važost za realstčost praza razva se ove metode ao što e metoda ogračavaa vrtložost. Ogračavae vrtložost (dale test VC) e metoda oa rešava poede poave malh razmera do raze otprle dve mreže ćele. Na prmer VC dozvolava zolram sm vrtlozma da propagra roz prozvolo dalee daleost bez merče dspace zadržavać ompata obl (do raze otprle dve ćele). Obetvo ačelo VC-a e proalažee th bth vrtloga malh razmera. 54

55 U smsl efeata propagraćh vrtloga a ostata pola avaže svostvo e da e crlaca očvaa a som podrč da e položa cetroda avedeog vrtloga točo zračat. VC metodom e mogće spešo zračat tave zahteve bez orštea specale loge l Lagrageovh marera. Metoda ogračavaa vrtložost lče sstav dferecalh edadžb oe mog bt zapsae ao dsretzaca edadžb otteta mometa z eda dodata: "ogračavać" zraz. Dsretzaca može bt sog stpa al sveedo mat se stable strtre oe mog eodređeo propagrat roz to flda. Može se doazat da prdoda zraz čva crlac može očvat momet esplcto. Zbog ogračavaćeg zraza dele samo a strtre malh razmera do strtre većh razmera porva dogovoree CFD metode. Glav cl metode ogračavaa vrtložost e detča metodama oe orste tehe proalažea soba otaata (egl. shoc ad cotact methods): tretrae bth gledšta a male poave a delotvora ač bez eophodog rešavaa detala oo traše strtre. Kao slča soba aglasa e a tome da s te male se strtre a vasom to točo zračate da osta sth razmera. Ova ač modelraa omogće toča zrač omplesh toova zbegava račars prezahteve detale vsozh rešea tar poava malh razmera s velm gradetom. D Kev-Helmholtzova establost (Dodata A.4) može se sorstt za poašee glave dee []. U tavom to metoda ogračavaa vrtložea predstavla edostava ač vraćaa eerge ( ezh poprath poava) azad fltrrao pole toa flda: D dsottetma otata fltrraog pola edostaat će eerga oa e prsta efltrram polma. Ta eerga oa edostae oa se azva lateta eerga e potreba za smlrae establost prsth pravm efltrram dsottetma otata. Ča ada b se zbegle sve merče dspace rešle preczo Elerove edadžbe rešee sveedo e b blo dobar poazatel establost asleđeog zasćea fzčog dela sloa do po aseg treta ao s cala pola vrtloga eprrodo raspoređea l fltrraa čme s establost prgšee. Ogračavae vrtložost dopšta mogo realstče rešee toa s mogo točom prezetacom establost. Nadale stvara taa ploha ao što postae establa poče se omotavat mesto da dvergra. VC modelra ova feome s atomatsm zasćeem oe e popraćeo calom establošć. Pr tome cale establost se pretvara male vrtlože tvoreve (egl."blobs") rašree roz eolo mrežh ćela. Tme se predstavla "omotavaće sprale" dma pravm 55

56 toovma o b trebal mat precze detale zahteva mogo f mrež stoga mora bt prezetra ao zdvoe (fltrra) obet FORMULACIJA METODE Glava dea ogračavaa vrtložost e zrač stablh vrtložh strtra malh razmera oe ( zolac) mog propagrat edefrao dgo. Uatoč tome što VC edadžbe mog bt apsae ao dsretzaca sstava parcalo dferecalh edadžb dobveo rešee a poavama malh razmera e točo (ča aprosmacs) rešee orgalh edadžb. Zbog toga VC metoda proalaz l modelra poave malh razmera roz samo par mrežh ćela te e dsretzacsa pogreša reda samo O(). Kao tava prateća poava e efetvo eleara zdvoe val o "žv" a mrežo rešet. Za veće razmere VC se redcra odabra CFD metod oo e dsretzaca avedeh parcalo dferecalh edadžb toča. Dve razlčte verze metode ogračavaa vrtložost s razvee al s male razle zmeđ hovh formlaca merčh rezltata. VC metoda e osmšlea prva sadrž efetvo vođee vrtložost tar toa dž egovog gradeta. Ta verza vrlo dobro porva očvae mometa al eće bt opsaa ovom rad ( za detale []). VC oa esplcto čva momet će bt poblže obašea za ee dodate detale pogledat [4] [5]. VC edadžbe s dsretzrae edadžbe otteta mometa s dodatm zrazom: = 0 = ( ) t [ µ εs] (4.) Tmačee edadžb e edao ao od N-S edadžb samo što: µ-oefcet dfze o ombra merč dspac fzč vsozost (oa e mogo maa pa se može zaemart) ε-merč oefcet o otrolra "vet otrace" - s (egl. cotracto term) Kombaca µ ε otrolra poave amah razmera. Uvet otrace oršte VC e harmoča sreda daa sa: 56

57 s w = (4.) gde e: ~ ( ) ωl ω l w = ~ (4.3) ω N ω ~ = ω δ (4.4) l l U ovom zraz ω e vetor vrtložost l e oršte za defrae (N točaa) matrce a oma e zračata sreda harmoča vredost δ e mala poztva ostata (0-8 ) oa se orst za prevec oačh račsh grešaa preczost. Harmoča sreda vredost e odabraa tao da amae vredost matrc ma veće teže. Može se orstt ogračavać zraz bazra a mmm fce međtm doazao e da e bole orstt glate fce ao što e avedea harmoča sreda. Ova metoda će bt orštea solver da b poštla merč dspac oa prat Lagrageov metod. Za razl od Stamovog solvera opsaog rad [] dm će zgledat žvl realstč. S obzrom da se edadžb dodae ao zos sle z samo par operaca vše eće začao sport cel algortam. 57

58 5. RJEŠAVANJE ZADANOG SUSTAVA 5.. DISKRETIZACIJA PROSTORA Uatoč omplesost sstava dferecalh edadžb mogće e rešt edadžbe a ttva ač. Prv ora pr rešava e dsretzaca edadžb prostora oem se razva model. Postoe bro ač ao to čt al bto e mat a m eolo stvar: U tpčm grafčm aplacama oe lč flde postoe moge grace zmeđ flda ostalh obeata zmeđ flda meda o ga orže (ačešće zraa). Cea zrača može bt mmzraa ao se tava sčela homogeo prdrže model mesto da bd tretraa zasebo ao specal slčaev. Općetost e sve. Korsc sstava mora bt mogćost da specfcra geometr orža brzo bez referecraa a edadžbe a oma se temele toč grač vet. Mora bt mogće vest vas otrol sstava tao da amator može točo defrat ao će se fld poašat. Opseg gbaa o može bt amra orsteć tehe trebao b lčvat set efeata dostph postoećm račalo-grafčm metodama prošre dodavać ove teresate orse metode. Sla 5.. Prmer volmog prostora podeleog ćele 58

59 Da b se avedee edadžbe (.7) (.8) l (.7) (.9) za evsoze flde ble rešve a račal potreba e dsretzaca celog podrča a oem rešavamo avedee edadžbe. Pr to dsretzac prepree sredstvo oe orže fld se tretra sto ao fld samo sa em specalm svostvma oa osta ostata teom celog zrača. Za rešavae postavleh edadžb orst se već avedea metoda oačh volmea (FV). Ta metoda del dome rešea oača bro ssedh otrolh volmea - ćela (egl. voel l cotrol volme - CV) raspoređee fs pravot mrež poravate sa Kartezsm oordatm sstavom (sla 5.). Kompoete vetora brze smer os v smer os y w smer os z defrae s cetrma svae strace ćele vezae s loalo do tla p ostale salare vredost deframo cetr svae od ćela ao što e prazao a slc 5.. Sla 5.. 3D ćela sa polovčom otacom Korsteć polovč des otac ompoete zapsemo ao: / = 0... N =... N v / = 0... N =... N w = 0... N =... N (5.) / Iz sle e vdlvo da e: 59

60 60 v v / ) ( / (5.) Korsteć tav otac možemo defrat ee dsrete operatore zraze o će se orstt metod rešavaa. Dvergeca se tada defra ao: h w w v v ) ( ) ( / / / / / / = (5.3) do se dsret gradet (prmett da e ) ( z y p p p p = ) defra ao: h p p p ) ( ) ( / = h p p p ) ( ) ( / = h p p p ) ( ) ( / = (5.4) Dsreta Laplaceov operator e ombaca operatora dvergece gradeta. Isto tao potrebo e defrat dsret verz vrtložost ω=( ω ω ω 3 ). Prvo se rača brze sred ćela pomoć artmetče srede: ) ( / / = ) ( / / v v v = ( ) / / = w w w. (5.5) Tada vred: h v v w w = ω

61 6 h w w = ω h v v 3 = ω (5.6) Sve sle s defrae cetrma ćela. Da b se doble vredost a stracama ćela potrebo e apravt artmetč sred ssede dve ćele. Ao e pole sla f=(f f f 3 ) tada svaom ora algortma brze se ažrra a ač: ) (. / f f t = ) (. / f f t v = ) ( 3 3. / = f f t w (5.7) Sada s defrae sve potrebe dsretzace ops rešavaa edadžb e avede dćem poglavl. 5.. GRANIČNI UVJETI Na počet smlace sadrža svae ćele e određe (pozat). S obzrom a to što ćela sadrž delmo h a: Opraa ćela - ćela oa sadrž rt prepre Ispea ćela - ćela oa sadrž čestce flda Površsa ćela - ćela oa e a grac zmeđ flda oolog meda ( bto za vsoze toove) Praza ćela - oa e sadrž t fld t prepre. U svm slčaevma ompoete brze tla s defra za sva od ćela. Za maplrae gracama obeata roeh fld obležavamo sva ćel oa seče obet ao opra. Sve oprae ćele ma postavlee ompoete brza a

62 brze obeta. Slčo temperatra cetr ćele se postavla a temperatr obeta. Zbog toga e mogće rerat mogo teresath efeata samo pomcaem l zagravaem obeta. Gstoća pla tar obeta se postavla a l. Al za zbegavae zeadog pada gstoće a grac s obetom a gračm ćelama postavla se gstoća pla edaa gstoć ablže ssede eoprae (spee) ćele. Postoe dva tpa gračh veta o s ors pratčm aplacama: perodč grač vet fs grač vet. U slča perodčh graca fld e defra a -dmezoalom tors (=3). U tom slča e postoe zdov samo fld o se rasprostre po prostor. Uatoč tome što tav fld s potreblv pras ors s za rerae mapa testra. Isto tao tav grač vet omogćava vrlo elegat mplemetac oa orst brz Frerov trasformac []. Drg tp gračh veta se zma obzr ada se fld alaz eo ogračeo dome D. U tom slča grač vet s zada fcom D defrao a grac D domee. Za bol dss avedeh gračh veta pogledat rad Fostera Metaasa [8]. U svaom slča grač vet b trebal bt tav da ompoeta ormale a pole brze e la a gračm podrčma METODA RJEŠAVANJA SUSTAVA Pr postavla edadžb odlom 4.. avedee s osove edadžbe dame flda. Nao toga pođeo e poedostavlee rešavaa sstava edadžb rastavlaem a dva oraa. To e osova dea ove merče metode. U ovom poglavl će se te edadžbe raščlat a vše oraa pr čem e prv ora (4.4) rastavle a oš dva (tr slča vsozh flda) oraa a drg ora (4.5) e bt četvrt proecs ora. Rešavae postavleh edadžb se orst metodom o e veo Stam svom rad []. Kreće se od calog staa za t=0: = ( 0) (5.8) 0 z oeg se dobva rešee oe e calo stae za dć ora. I tao za sva t do raa smlace. 6

63 Pretpostavla se da e vetor brze reše za vremes treta t potrebo e proać zos pola za dć vremes treta t t. Postpa reće od rešea w 0 ()=(t) prašeg oraa tada se odvoeo rešava sva zraz a deso stra edadžbe (4.4). Na slc e avede to postpa ada b se rešavale Naver-Stoesove edadžbe. Za edadžbe ovog problema (Elerove edadžbe) zbacemo treć ora zbog zaemarvaa efeta vsozost. Zbog mogćost prošrea algortma a Naver-Stoesove edadžbe bt će opsa ta ora. Sla 5.3. Korac algortma Kao što se a slc vd algortam rešavaa edadžb se rastavla a 4 oraa. Koačo rešee za vremes treta t t e eda rezltat zadeg oraa: ( t t) = w 4( ). (5.9) Smlaca se odva prolazeć ove orae svao terac. Sled detal ops svaog od oraa. Sla 5.4. Sva ora smlace e ompozca oraa. Prva tr oraa mog "odvest" pole brza zva podrča dvergece. Zad ora osgrava dvergec pola ao svaog oraa smlace. Postpa poče rešavaem alaše rešvog zraza z edadžbe očvaa mometa (4.4) a to e ora dodavaa vase sle f. Uz pretpostav da sla e varra teom vremesog oraa smlace vred: 63

64 w 0 () = w () tf(t) (5.0) Navede zraz (5.0) e dobra aprosmaca sle za teratve sstave roz vremes ora t er se sle postavla samo a počet svaog vremesog oraa. U tom ora zma se obzr sl zgoa opsaa edadžbom (4.0) sla defraa metodom ogračavaa vrtložost (4.6) te blo oa drga orsč defraa sla. S obzrom da s avedee sle defrae cetrma ćela brze se ovom ora ažrra ao što e avedeo prašem odlom edadžbama (5.7). Idć ora rešava efet advece flda a samog sebe. Ta poava se opse zrazom -( ). Ta zraz č Naver-Stoesove edadžbe elearma. Foster Metaas svom rad za rešavae tog zraza orste algortam oačh razla. Međtm taav prstp č hov metod establom potrebo e dodato ogračee ad velčom vremesog oraa. Zbog toga za male daleost vele brze e potreba vrlo mal vremes ora da b postpa bo stabla. Da b zbegl taav efet ovo metod se orst potpo drgač prstp o e veo Stam []. Ta metoda se azva sem-lagrageovom metodom a temel se a rešava parcalo dferecalh edadžb metodom aratersta. Detal ops metode e već avede poglavl 3.7. Ovde će se avest samo bte araterste oe vode do rešea. Za sva vremes ora čestce flda se reć roz prostor pod tecaem brze samog flda. Zbog toga da b se došlo do vredost brze toč ovom vremesom tret t t potrebo e pratt atrag toč roz pole brza w roz vreme t. To defra pta p(s) oa odgovara delomčo strc pola brze flda. Nova brza toč e tada postavlea a brz o e čestca treto a pozc mala a svoo prašo pozc pre t vremea: w () = w (p( )) (5.) t Sla 5.5. lstrra gore avede edadžb (5.). 64

65 Sla 5.5. Propagrae azad po rvl po oo se reće to flda Iz svega avedeog zalče se da sem-lagrageova metoda grad ov mrež praćeem sredšh toča svae od straca svh ćela roz pole toa brze. Nove ompoete brza s tada terpolrae tm točama hove vredost se ps a strace ćele odale e reo postpa praćea. Mogće e da toča praćea završ edom od oprah ćela tada se edostavo odbace ostata rvle o e zašao zva domee flda (ao što e prazao a slc 5.6). Sla 5.6. Nač rešavaa gračh veta: ao toča zlaz zva mreže zma se obzr toča a grac Ova metoda rešavaa elearog zraza za horzotalo strae -( ) ma par predost. Navaža predost e bezveta stablost. Osm toga z gore avedee edadžbe (5.) vdlvo e da masmala vredost ovog pola ad e veća od aveće vredost prašeg pola. Osm toga ova metoda e vrlo edostava za mplemetrae. Sve što zahteva pras e algortam sleđea čestca lear terpolator. Jedostava leara terpolaca oa e potreba za ova postpa lao se mplemetra ombac s metodom ogračavaa vrtložost dae zadovolavaće rezltate. Umesto edostave leare terpolace mogće e orstt terpolace všh raza ao pr. bča 65

66 terpolaca. Tave terpolace da bol rezltat međtm sa sobom doose određee edostate što dovod do establost algortma. Jedostavost stablost s dva važa svostva s požela za sva smlator flda račalo grafc. Na slča ač smlramo strae gstoće temperatre roz fld. Treć ora rešava efet vsozost. Ta efet e zaemarv za plovte flde al će sveedo zbog potpost bt opsa. Efet vsozost možemo predstavt dfzsom edadžbom: t w = ν w (5.) Navedea edadžba e stadarda edadžba za o s razvee broe merče metode. Naedostav ač rešavaa ove edadžbe e dsretzrat Laplaceov operator tada prmet esplct vremes ora ao rad Metaasa Fostera [3]. Međtm ta metoda e establa za vrlo vele vsozost. Zbog toga se preferra poraba mplcte metode: (Ι ν t ) () w () (5.3) w 3 = gde e Ι edča matrca l operator detteta. Kada se operator dfze dsretzra ova edadžba se svod a slabo pope lear sstav (egl. sparse lear sstem) za epozato pole w 3. Rešavae ovog sstava e edostavo. Četvrt ora lče ora proece o slž za dobvae rezltatog pola bez dvergece. Kao što e blo avedeo poglavl gde s postavlee edadžbe toa ova ora lče rešavae Possoove edadžbe oa glas: q = w 3 (5.4) w 4 = w 3 q (5.5) 66

67 Sla 5.7. Svao pole se sasto od pola bez dvergece dvergece da b se doblo pole bez dvergece edostavo e potrebo odzet dvergec Dale ora proece zahteva dobar Possoov solver. Zbog tecaa a preczost metode aratersta oom rešavamo zraz za advec bto e da pole bde što blže pol bez dvergece. Još važe z vzalog gledšta proecs ora prslava pole da sadrž vrtlože poave što rezltra realem praz plovth flda. Zbog th veta orst se što toč solver za ova ora. Possoova edadžba ada se dsretzra postae taođer slabo pope lear sstav edadžb o se može rešt blo oom metodom spometom poglavl 3.5. U ovom prmer se orst Gass-Sedelova relasacsa shema oa e taođer spometa tom poglavl. Ta metoda se orst za rešavae sstava od N dobveh algebarsh edadžb oe možemo zapsat matrčo: A = b (5.6) Ta sstav se rešava edapt po terac algortma orsteć rezltate prethodh oraa po forml: ( ) = b < a ( ) a a ( ) (5.7) 67

68 Opsao matrčm račom Gass-Sedelova metoda se može zrazt ao: ( ) ( ) = ( D L) ( U b) (5.8) gde D L U s dagoala doa trotasta gora trotasta matrca matrce A. 68

69 6. ALGORITAM Do sada e postavle problem opsa e ač rešavaa sa svm dodatm orštem metodama. Sada se može postavt algortam rešavaa problema toa plovth flda. Za rešavae svh fzalh velča potrebe s dve mreže ćela. Smlaca se odva ažrraem ede mreže z drge roz fsa vremes ora t. Pr svaom ora sadrža dv mreža se zamee. Na počet mreža sadrž calo stae zadao od orsa. 6..KORACI ALGORITMA Za sva t od početa do raa smlace: Za sva ćel:.ora: ažrrae brza o ažrra vredost vetora brze prbraaem ompoete sle pomožee sa t ora poov za sva od defrah sla (orsča zgo ogračavae vrtložost) o ažrra vredost vetora brze rešavaem zraza advece orsteć sem-lagrageov metod o ažrra vredost vetora brze proecsm oraom: rešavaem Possoove edadžbe (3) odzmaem rezltata od postoeće vredost brze.ora: ažrrae temperatre gstoće o ažrra vredost temperatre flda rešavać zraz () sem- Lagrageovom meotodom o ažrra vredost gstoće flda rešavać zraz () sem- Lagrageovom meotodom 69

70 6.. OPIS PROGRAMA ZA NAVEDENI ALGORITAM Program se temel a de algortma opsao rad Stama Jesea Fedwa [] oem se orste delov smlatora opsaog rad Stam []. U program se orste ee od fca prezete delomčo l potpost z tog rada. Smlaca e rađea D prostor a formo mrež. Prošree a 3D podrče se dobva dodavaem treće dmeze prošreem prostorh dervaca tom ompoetom. Fld se modelra a vadrato mrež ao e prazao a slc 6.. Vas slo ćela e grač slo e sadrž fld ao što e vdlvo a slc. Fld se alaz ćelama od desa do N lčć do se ćele s desma 0 N tretra ao grace te fld zgleda ao zatvore zmeđ četr zda. Sla 6.. Fld tar gračog sloa Svaa ćela se tretra ao da sadrž ostat zos gstoće temperatre ( cetr ćele) brze ( a rbovma ćele). Sve te velče se predstavla polma velče vel = (N)*(N): statc float * * v * _prev * v_prev; statc float * des * Temp * des_prev * Temp_prev; Uz aloac memore: = (float *) malloc ( vel*szeof(float) ); 70

71 za ostala pola vred aalogo. U tm defcama poazvač v predstavla pola ompoet brza za sva ćel a des Temp pola gstoće temperatre. Poazvač sa sfsom _prev predstavla pomoća pola oa slže za preos defrah vredost z glavog programa smlator dma. U smlator se ta pola tretra ao pomoća mreža pomoć oe se rača ovo calo stae oe će bt vraćeo glav program pomoć glavh poazvača. Tme e osgrao da polma a oe poaz v des Temp ve sto zapsao treto "orso" stae. Korste se edostr poazvač zbog veće čovtost do se elemet pola t. poede ćele dohvaća pomoć sledeće defrae maro fce: #defe IX() (()(N)*()). Na prmer vredost ompoete brze za ćel s desma ( ) dohvaćamo pomoć zraza [IX()]. Isto tao se pretpostavla da fzala dla svae strae mreže e eda tao da e oda velča svae strace ćele zadaa zrazom: h =.0f/N; Temela strtra smlatora dma e sledeća. Kreće se od calog staa pola brza gstoće temperatre. Pr svaom ora algortma se ažrra vredost mrež ao rezltat događaa zadaom orže. U ovom oretom prmer početo stae ma defra eda stal zvor. To zač da s ee ćele marrae stalm zosom sle gstoće to se roz vreme e mea. Osm toga defra e poor. U tom slča određe bro ćela ma lt zos gstoće egatv zos brze. Pr egatvom zos brze msl se a l ostat brz smere "prema va" što b tom slča začlo da e to atv poor ( ssava dm) l brza mora bt defraa sa sprotm predzaom brze o b ače ta ćela mala tom ora tom slča rad se o pasvom poor. Osm avedeog zvora poora mogće e teom smlace pomoć tp mša dodavat zvore gstoće brze oržee. Algortam se sasto od dva osova oraa. Koraa ažrraa gstoće temperatre te oraa ažrraa brze. Prvo se obrađe ora ažrraa brze međtm zbog edostaveg shvaćaa bt će prvo obaše ora ažrraa gstoće temperatre. 7

72 Kao što e spometo posto eda fs zvor mogće e svaom tret dodat oš o. To se glavom program sprema pomoćo pole oe se predae potprogram ao des0. U glavom program se pozva fca oa e defraa solver: vod des_step ( t N float * des float * des0 float * Temp float * Temp0 float * float * v float dt ). Ta fca predstavla ora ažrraa gstoće. Uz gstoć ovde se ažrra temperatra međtm oa e mae bta fator razva osovog smlatora. Temperatra slž samo za dodate efete ao što e sla zgoa do e gstoća oo što se scrtava a zaslo. Vredost gstoće zvora oe s predae z glavog programa alaze se pol des0. Te vredost se doda vredostma calog staa (t. staa oe e smlator mao prošlom ora) oa se alaze pol des tao da se pomože sa edcom vremea. for ( =0 ; <vel ; ) des[] = dt*des0[]; Sada cala mreža sadrž calo stae z prošlog oraa zose gstoća dodah s zvorma tom ora. Nao toga sled ora advece. Pre samog oraa zame se vredost polma des des0 er se tom ora orst calo stae za zračavae ovog staa ( ao što e opsao prašm poglavlma adveca e šree eog svostva smer vetora brze ovom slča gstoće ): zamea (des des0 N); Sada e dosadaše stae spremleo pol mogće e pomoć toga račat ovo stae za sva ćel. for ( = ; <=N ; ) { for ( = ; <=N ; ) { Gstoća se alaz sred ćele do s brze a stracama. Zbog toga potrebo e prvo za sva ćel zračat zos brze sredšt: sred=([ix()][ix(-)])*0.5f; vsred=(v[ix()]v[ix(-)])*0.5f; 7

73 Nao račaa srede brze traž se pozca sredše toče ćele prašem tret pomcaem trete pozce ( ) po sprotom smer brze ( azad): = -dt*n*sred; y = -dt*n*vsred; Sla 6.. Kora advece: (a) to flda se može opsat vetorma o prate strce (b) ora algortma apred (c) ora algortma azad - Lagrageova metoda Tme se dobva toča ( y) oa ozačava toč pozc sredše toče teće ćele prašem tret. Pr ovom ora bto e pazt da vredost y e b zašl zva domee mreže te se tom slča mora postavt a sam rb: f (<0.5f) =0.5f; f (>N0.5f) =N0.5f; f (y<0.5f) y=0.5f; f (y>n0.5f) y=n0.5f; Kad e sgro da toča ( y) lež tar domee račaa određ se četr ssede ćele oe će se orstt za terpolac gstoće a tražeo pozc: 0=(t); =0; 0=(t)y; =0; Kada s određe des ćela zmeđ oh će se vršt terpolaca gstoće potrebo e defrat parametre za lear terpolac: s = -0; s0 = -s; t = y-0; t0 = -t; 73

74 Nao toga dobva se ova vredost tao da o se prdrž vredost a pozc ( y) z prašeg oraa oa se dobva terpolacom četr ssedh vredost z prošlog treta oe s ablže dobveo pozc: des[ix()] = s0*(t0*des0[ix(00)]t*des0[ix(0)]) s*(t0*des0[ix(0)]t*des0[ix()]); Temp[IX()] = s0*(t0*temp0[ix(00)]t*temp0[ix(0)]) s*(t0*temp0[ix(0)]t*temp0[ix()]); Tme završava ora advece gstoće temperatre ao oega ovo stae se alaz polma des Temp oa se šal azad glav program gde se scrtava a zaslo te slže ao calo stae za dć ora. Drga fca oa obležava smlator e fca oraa ažrraa brze: vod vel_step ( t N float * float * v float * 0 float * v0 float * des float * Temp float Tamb float alfa float beta float dt ). Isto ao od fce za ažrrae gstoće pola v sadrže stae z prošlog oraa oe se orst ao calo stae tećem ora. Pola 0 v0 sadrže zose sla zvora oa se preose z glavog programa. Ostale varable s ostate pola oa sadrže podate potrebe za zrač poedh oraa. Fca za ažrrae brze se sasto od 3 glava oraa ao što e avedeo algortm poglavl pre. Prv ora e dodavae sla. U ovom prmer orste se tr razlčte vrste sla: sle defrae od orsa glavom program preesee polma 0 v0 sla zgoa sla ogračavaa vrtložost. Za sl ogračavaa vrtložost potrebo e prvo zračat ez zos položa a mrež što e zvedeo fc: vod vortcty_cofemet(t N float * float * v float *f float *fy float epslo float dt); Ta fca vraća zose sla polma f fy. Fca traž pozce mrež gde e potrebo "mett" vrtloge malh razmera ao što e opsao poglavl X. Nao što s pozate sve vredost svh defrah sla oe se doda pola brza a st ač ao što s se dodaval zvor pole gstoće z ed mal razl: sle se defra sredštma ćela te e zbog toga potrebo brze ažrrat s hovom sredom artmetčom vredost. 74

75 Pre drgog oraa vrš se eda međora. Name ora advece brze e toč ao e pole brze bez dvergece. Zbog toga se ora proece o laa dvergec prmee edapt pre advece. Kora proece se sasto od račaa dvergece za sva ćel pozvom fce: vod dvergeca (t N float * dv float * p float * float * v); U to fc se rača pole dvergeca dv po forml: dv[ix()] = -0.5f*([IX()]-[IX(-)] v[ix()]-v[ix(-)])/n; Kada s pozate sve dvergece pozva se fca za rešavae sstava learh edadžb oa e potpost prezeta z rada Stam [X]: vod l_solve ( t N t b float * float * 0 float a float c ) U to fc se orst Gass-Sedel relasacsa shema za rešavae sstava learh edadžb ao što e poašeo postavla problema. Implemetaca tog algortma e edostava sasto se od 3 petle. Varabla e bro teraca algortma. for ( =0 ; <0 ; ) { for ( = ; <=N ; ) { for ( = ; <=N ; ) { } } [IX()]=(0[IX()] a*([ix()][ix()] [IX(-)][IX()]))/c; Nao rešavaa sstava learog sstava pozvaem gore fce pol se alaze spremlea rešea sstava oa se ovom slča preda azad program ao pola tlaova. Tada se pomoć fce: vod odzm_gradet_tlaa(t N float * float * v float * p) 75

76 od dotadašeg staa polma brza v za sva ćel odzma gradet tlaa: [IX()] -= N*(p[IX()]-p[IX()]); v[ix()] -= N*(p[IX()]-p[IX()]); S tme e međora proece gotov pola brza s bez dvergece. Nao toga sled ora advece brze. O e prcp st ao ora advece gstoće sa malom preaom: s obzrom da se brze alaze a stracama ćela potrebo e račat ove pozce dv razlčth točaa (pozc vetora brze o se alaz a polov dese strace pozc vetora brze v o se alaz a polov gore strace ćele): = -dt*n*0[ix()]; y = /-dt*n*v0[ix()]; = /-dt*n*0[ix()]; y = -dt*n*v0[ix()]; Tme s dobvee dve ove pozce: ( y) ao pozca toče vetora brze prašem vremesom tret te toča ( y) ao pozca toče vetora brze v prašem vremesom tret. Dal postpa e aaloga advec gstoće. Paz se da ovo dobvee toče e zlaze zva mreže za obe toče se poavla postpa alažea se četr ssede ćele zmeđ oh se rad terpolaca po vredostma brza. Na ra postpa polma v se alaze treta staa brza. Dobvea pola opet sadrže dvergec te e potrebo poovt ora proece. advec: Nov ora proece o e zad ora ažrraa brze e detča predora za dvergeca( N dv p v ); l_solve ( N 0 p dv 4 ); odzm_gradet_tlaa( N v p); Na ra ovog postpa polma v se alaze brze oe se vraća glav program. U glavom program se pomoć th pola scrtava vredost a zaslo te se ao toga orste ao ovo calo stae za dć vremes ora. U glavom program pozva se smlator dma vrš scrtavae a st ač ao Stamovom smlator. Smlator se pozva posebo GLUT fc dle oa se zvršava do ema drgh atvost: 76

77 statc vod dle_fc ( vod ) { get_from_ui ( des_prev _prev v_prev ); vel_step ( N v _prev v_prev des Temp 4 alfa beta dt ); des_step ( N des des_prev Temp Temp_prev v dt ); } gltsetwdow ( w_d ); gltpostredsplay (); U to fc se prvo pozva rta za terac sa orsom gde se prpla ov podac o tretm zvorma promeama sstav. Nao toga se pozva opsae fce to prvo fca za ažrrae brze te oda fca ažrraa gstoće. Nao svaog tavog oraa vrš se scrtavae sle. Iscrtavae se vrš fcom: statc vod dsplay_fc ( vod ) { pre_dsplay (); f ( dvel ) draw_velocty (); else draw_desty (); } post_dsplay (); Iz fce e vdlvo da e mogće vršt dva ača scrtavaa oe ors može meat pomoć varable dvel o e mogće promet teom zvršavaa programa tpom "v". S obzrom a vredost varable pozva se fca za scrtavae gstoće l fca za scrtavae vetora brza. Pr scrtava gstoće orst se fca: statc vod draw_desty ( vod ) oo se pomoć desa ćela određe pozca cetra za sva ćel (gde e defraa gstoća): = (-0.5f)*h; y = (-0.5f)*h; Pomoć GLUT rte: glbeg ( GL_QUADS ); 77

78 a zaslo se scrtava pravotc zmeđ sredšta četr ssedh ćela s međsobom terpolacom po bo t. za sva sredš toč defra se evvalet boe prema vredost gstoće to toč: d00 = des[ix()]; d0 = des[ix()]; d0 = des[ix()]; d = des[ix()]; Nao čega se defra prpadaće toče zmeđ oh se vrš terpolaca glcolor3f ( d ); glvertef ( y ); glcolor3f ( d0 0 0 ); glvertef ( h y ); glcolor3f ( d 0 0 ); glvertef ( h yh ); glcolor3f ( d0 0 0 ); glvertef ( yh ); Velča oa predstavla gstoć e ogračea razlčvost boe. S obzrom da e defca GLUT fce: vod glcolor3f (GLfloat redglfloat gree GLfloat ble ); aveća mogća vredost e ogračea sa tpom GLfloat što e evvaleto float tp C- (3-bt real bro). Vredost se mapra a terval vredost [0 ] pre terpolace l psvaa sprem boe (egl. color bffer ). Fca za scrtavae vetora brza: statc vod draw_velocty ( vod ) scrtava vetore brza ao le z pomoć GLUT rte: glbeg ( GL_LINES ); Brz crtamo z doeg desog ta ćele ao l oa predstavla zbro vetora brze: glvertef ( y ); glvertef ( [IX()] yv[ix()] ); Program se zvršava besoačo gltmaloop () petl sve do ga ors e pree pomoć tpe "q". 78

79 7. REZULTATI Implemetra algortam dae lepe realstče praze dma realom vreme. Mogće e meat raze parametre te tao tecat a zgled fzale osobe dma. Pr poreta programa mogće e zadat ee od parametara l se orste predvđee vredost. Koršte parametr hove cale vredost avedee s tablc gde s N bro ćela edom smer dt vremes ora alfa beta ostate orštee za sl zgoa a force sorce ostate orštee za salrae lazh podataa pr terac s mšem. Osm avedeh parametara mogće e dodavat zvore poore te razlčte pretrbace. U astav poglavla da s praz eh od rezltata z razlčte parametre. PARAMETAR VRIJEDNOST N 8 dt 0 alfa 0 beta 0 force 0 sorce 00 Tablca. Icale vredost orštee program Sla 7. praze rezltat smlace za eda zvor z cale vredost svh parametar Sla 7.. Icale vredost z eda zvor 79

80 Dodavaem sla desom tpom mša te dodavaem dodath zvora gstoće levom tpom mša postž se raze pretrbace dma ao a slc 7.. Sla 7.. Jeda zvor z cale vredost parametra z dodavae sla zvora teracom orsa pomoć mša Osm zvora sce se mog defrat poor. Na slc 7.3 defra e tao eda atv poor a sred goreg rba a slc e vdlvo ao poor "zvlač" dm z zatvoreog prostora. Sla 7.3. Jeda zvor eda poor z cale vredost parametara 80

81 Osm tao defraog poora mogće e defrat poor ao "cr rp" oa vlač dm oo sebe ao a slc 7.4. Sla 7.4. Poor e defra ao cra rpa oa vlac ool dm sebe Ao se žel smlrat sl zgoa mogće e meat parametre alfa beta. Tao za dobvamo teca da e gšć dm tež ao a slc

82 Sla 7.5. Vredost parametra alfa 0. Implemetra algortam rad realom vreme zbog orštea malog broa ćela. Međtm atoč grblo mrež dm dale zgleda reala. Na slc 7.6 može se vdet ao zgleda dm a grblm fm mrežama. a) b) 7.6. Praz dma a grblm mrežama z N=80 (a) a fm mrežama z N=00 (b) 8

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina

Numeričko rešavanje sistema nelinearnih jednačina 77 8 Numerčo rešavae sstema elearh edača Zadata Čest problem u žeersm proračuma e alažee rešea eog sstema elearh edača:......... 8. odoso alažee vredost epozath... tao da bude zadovoleo uslova 8. l u vetorso

Διαβάστε περισσότερα

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi

T E S T 3 jun 2006 Ime prezime index : 1. Potrebno je fitovati eksperimentalne podatke: ( xi, yi T E S T 3 u 6 Ime prezme de :. Potrebo e tovat espermetale podate:.... a Rad grače provere adevatost edostave emprse ormule a potrebo e ucrtat orgale l trasormsae esp. podate u dagram. Pogoda zbor dagrama

Διαβάστε περισσότερα

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n

i b, onda postoje jedinstveni q (kvocijent) (ostatak) takvi da je a = bq + r. , broj 5 dijeli broj n 5 n 4 Cel broev Sup prrodh broeva { 3K } Sup prrodh broeva ule 0 { 0} { 03K } Sup celh broeva { K 3 03 K} 4 Delvost u supu celh broeva Defca Nea su tao da e b a Svostva: Za \ { 0} Za b \ { 0} 3 Za b \ { 0}

Διαβάστε περισσότερα

Modeliranje turbulencije u cilju primene numeričkih simulacija u hidrotehnici

Modeliranje turbulencije u cilju primene numeričkih simulacija u hidrotehnici Modelrane rblence cl prmene nmerčh smlaca hdroehnc nverze Beorad Građevns fale - Krs Mehane flda na doorsm sdama - Nenad Jaćmovć Ma, 03. CFD Compaonal Fld Mechancs Račnsa mehana flda Prmena meoda nmerče

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

Elementi energetske elektronike

Elementi energetske elektronike ELEKTRIČNE MAŠINE Elemen energeske elekronke Uvod Čme se bav energeska elekronka? Energeska elekronka se bav konverzjom (prevaranjem) razlčh oblka elekrčne energje. Uvod Gde se kors? Elemen energeske elekronke

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14. Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA

MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA MATEMATIČKO PROGRAMIRANJE I OPTIMIZACIJA Profesor: Zorca Stamrovć Asstet: Mara Ivaovć Izbor predmet: 5 goda, smerov: R I (master) Semestar: zmsk, 010 Lteratura: kga Kombatora optmzaca, autor Dragoš Cvetkovć,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2. Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP. Aleksandar Smiljanić

Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP. Aleksandar Smiljanić Juniorski četverac bez kormilara sezona 2014/2015 sa osvrtom na završne pripreme pred EP i SP Aleksandar Smiljanić Generacija 1996 / 1997 8 + SP Hamburg 2014 4 - SP Rio de Janeiro 1. Cvijetić Nikola (1997)

Διαβάστε περισσότερα

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :

( ) BROJNI PRIMER 4. Temeljni nosač na sloju peska. Slika 6.3. Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : BROJNI PRIMER 4 Armrano etonsk temeljn nosač (slka 63), fundran je na dun od D f =15m, u sloju poto-pljenog peska relatvne zjenost D r 75% Odredt sleganje w, nag θ, transverzalnu slu T, moment savjanja

Διαβάστε περισσότερα

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela. 14. dio

Dinamika krutog tijela. 14. dio Dnaka kutog tjela 14. do 1 Pojov: 1. Vekto sle F (tanslacja). Moent sle (otacja) 3. Moent toost asa 4. Rad kutog tjela A 5. Knetka enegja E k 6. Moent kolna gbanja 7. u oenta kolne gbanja oenta sle M (

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja

Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja odelovaje tema atomatkog pravljaja protor taja. ocepcja protora taja atematčk model tema protor taja e predtavlja vd kpa derecjalh l derech jedača prvog reda. Ove jedače opj prošlo adašje bdće poašaje

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni principi kompresije 2D i 3D signala. 2D transformacija kompakcija energije. Estimacija pokreta u 3D signalima

Osnovni principi kompresije 2D i 3D signala. 2D transformacija kompakcija energije. Estimacija pokreta u 3D signalima OADP: Kompreija lie i ideo igala Ooi priipi ompreije D i 3D igala D traformaija ompaija eergije Katoaje D igala Kodoaje D igala Etimaija poreta u 3D igalima oi ad 06 traa OADP: Kompreija lie i ideo igala

Διαβάστε περισσότερα

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.

Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải. Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH

Διαβάστε περισσότερα

II ANALIZA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

II ANALIZA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA II ANALIZA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA II 1. UVOD Analza projetovanje savremenh SAU, na današnjem stepen razvoja nae tehne, ao neophodnost spnjavanja veoma strogh zahteva oj se nameć valtet dnamčog

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRONSKI KURS NA PLATFORMI MOODLE O PREDSTAVNICIMA BROJEVNIH INTERVALA U ELEMENTARNOM I ALGEBARSKOM RAČUNU

ELEKTRONSKI KURS NA PLATFORMI MOODLE O PREDSTAVNICIMA BROJEVNIH INTERVALA U ELEMENTARNOM I ALGEBARSKOM RAČUNU UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD ELEKTRONSKI KURS NA PLATFORMI MOODLE O PREDSTAVNICIMA BROJEVNIH INTERVALA U ELEMENTARNOM I ALGEBARSKOM RAČUNU metor: Docet dr Mroslav Marć addat:

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA

Chương 1: VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯU BA PHA I. Vcto không gian Chương : VECTOR KHÔNG GIAN VÀ BỘ NGHỊCH LƯ BA PHA I.. Biể diễn vcto không gian cho các đại lượng ba pha Động cơ không đồng bộ (ĐCKĐB) ba pha có ba (hay bội ố của ba) cộn dây tato bố

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 I N Ž N S A M A T M A T I A 96 Pojam tegrala šestrkog emaoog tegrala Posmatrat ćemo podskpoe prostor reale fkcje defrae a om podskpoma Napomemo da shema kostrkcje šestrkog emaoog tegrala je slča jedodmeoalom

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Predavanja i vježbe 2

Predavanja i vježbe 2 Grupirane podataa: pristupi, metode i primene, letni semestar 2013./2014. 1 Predavana i vežbe 2 1.2 Particia supa. Definicia lastera-nastava Zadni puta smo definirali particiu supa A s m 2 elemenata na

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM. - master rad -

RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM. - master rad - UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATICKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU RAZLICITI PRISTUPI KREDITNOM SKORING SISTEMU - master rad - Profesor: dr. Zoraa Luža Autor: Jelea Burgjašev

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Couplage dans les applications interactives de grande taille

Couplage dans les applications interactives de grande taille Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσιαστές: ??ast?s??? Τσάκας. ?/?t?? t???/?s????p???af???? t??????? ?a??a Se???t?

Παρουσιαστές: ??ast?s??? Τσάκας. ?/?t?? t???/?s????p???af???? t??????? ?a??a Se???t? Παρουσιαστές:??ast?s??? Τσάκας?/?t?? t???/?s????p???af???? t????????a??a Se???t???p????f?????a???????? Master of Applied Science (M.App.Sci)? a?ep?s t?µ?? G?a s?? ί???/?s????p???af???? t??????? Τα κυριότερα

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

TRÌNH TỰ TÍNH TOÁN THIẾT KẾ BỘ TRUYỀN BÁNH RĂNG TRỤ (THẲNG, NGHIÊNG)

TRÌNH TỰ TÍNH TOÁN THIẾT KẾ BỘ TRUYỀN BÁNH RĂNG TRỤ (THẲNG, NGHIÊNG) TÌ TỰ TÍ TOÁ TIẾT Ế BỘ TUYỀ BÁ ĂG TỤ (TẲG, GIÊG Thôg số đầu à: côg suất P, kw (hặc môme xắ T, mm; số òg quy, g/ph; tỷ số truyề u Chọ ật lệu chế tạ báh răg, phươg pháp hệt luyệ, tr cơ tíh ật lệu hư: gớ

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)

ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja električnih strujnih krugova

Metode rješavanja električnih strujnih krugova Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje: Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa

Διαβάστε περισσότερα

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a

ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a Trần Thanh Phong 0908 456 ĐỀ THI HỌC KÌ MÔN TOÁN LỚP 9 ----0O0----- Bài :Thưc hiên phép tính (,5 đ) a) 75 08 b) 8 4 5 6 ĐỀ SỐ 5 c) 5 Bài : (,5 đ) a a a A = a a a : (a > 0 và a ) a a a a a) Rút gọn A b)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα