Διαλείψεις & Χαρακτηρισμός Ασύρματου Διαύλου 2

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διαλείψεις & Χαρακτηρισμός Ασύρματου Διαύλου 2 Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Τυχαία Χρονικά Μεταβαλλόμενος Δίαυλος 2 Το περιβάλλον σκέδασης είναι τυχαίο αφού τα χαρακτηριστικά των σκεδαστών (θέση, διάσταση, ηλεκτρικές ιδιότητες) είναι τυχαία. Η κίνηση του δέκτη είναι επίσης τυχαία. Συνεπώς η χρονική μεταβολή του ραδιοδιαύλου δεν είναι ντετερμινιστική και άρα οι συναρτήσεις που περιγράφηκαν προηγουμένως είναι στην πράξη στοχαστικές ανελίξεις. Ο Philip Bello ανέπτυξε το πλαίσιο χαρακτηρισμού του ραδιοδιαύλου ως ένα χρονικά μεταβαλλόμενο γραμμικό σύστημα.

2 WSS και OSM 3 Οι συναρτήσεις του ραδιοδιαύλου μοντελοποιούνται ως στοχαστικές ανελίξεις, όπου η επιλεκτικότητα περιγράφεται από διαδικασίες στατικές υπό την ευρεία έννοια (Wide Sense Stationary WSS), ενώ η έννοια της διασποράς με χρήση των λεγόμενων ορθογώνιων στοχαστικών μέτρων (Orthogonal Stochastic Measures OSM). Κάθε μοναδική OSM μπορεί να συσχετιστεί με μια WSS διαδικασία ως o μετασχηματισμός της Fourier αλλά και το αντίστροφο. Τυχαία Χρονικά Μεταβαλλόμενος Δίαυλος 4 Επειδή η από κοινού pdf δεν είναι πρακτικά ποτέ γνωστή, αρκεί ο προσδιορισμός των μέσων τιμών (ροπές πρώτης τάξης) και των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης των συναρτήσεων του συστήματος (ροπές δεύτερης τάξης). Ιδιαίτερα αν θεωρήσουμε Gaussian φαινόμενο, τότε οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης είναι αρκετές, αν υποθέσουμε μηδενικές μέσες τιμές των στοχαστικών ανελίξεων. Eh,, v EH x, f, t 0 2

3 Τυχαία Χρονικά Μεταβαλλόμενος Δίαυλος 5 Η υπόθεση αυτή δικαιολογείται από το γεγονός ότι οι φάσεις των προσπιπτόντων κυμάτων μπορούν κάλλιστα να θεωρηθούν ομοιόμορφα κατανεμημένες από 0 ως 2π στην συχνότητα ενδιαφέροντος. Οι συναρτήσεις συσχέτισης γράφονται R x, x2; f, f2; t, t2 EH x, f, t H x2, f2, t H 2, ;, ;,,,,, R v v E h v h v h Δίαυλος WSS 6 Ένας δίαυλος καλείται WSS (Wide Sense Stationary) όταν τα στατιστικά μεγέθη των διαλείψεων παραμένουν σταθερά για μικρές μεταβολές των μεταβλητών των βασικών πεδίων x, f, t Συνεπώς οι συναρτήσεις συσχέτισης εξαρτώνται από τις μεταβλητές x, x 2; f, f2; t, t2 μόνο μέσω της διαφοράς τους x x x, f f f, t t t H R x x f f t t E H x f t H x f t, 2;, 2;, 2,, 2, 2, 2 E H x, f, th x x, f f, t t R x; f; t H 3

4 Δίαυλος WSS για το Χρόνο 7 Ένας δίαυλος καλείται WSS στο χρόνο όταν τα στατιστικά μεγέθη των διαλείψεων παραμένουν σταθερά για μικρές χρονικές περιόδους. Συνεπώς οι συναρτήσεις συσχέτισης εξαρτώνται από τις χρονικές μεταβλητές t και t 2 μόνο μέσω της διαφοράς τους Δt = t t 2. Αποδεικνύεται ότι όταν ο δίαυλος είναι WSS τότε έχουμε σκεδάσεις με ασυσχέτιστες ολισθήσεις Doppler. Οι εξασθενίσεις και οι ολισθήσεις φάσης συνιστωσών που έχουν διαφορετικές ολισθήσεις Doppler είναι ασυσχέτιστες και ο δίαυλος καλείται US (Uncorrelated Scattering). Δίαυλος US για το Doppler 8 Αν προς στιγμή θεωρήσουμε ότι μας ενδιαφέρει μόνο ένα ζευγάρι μεταβλητών, αυτό του χρόνου και της ολίσθησης Doppler, τότε μπορούμε να πούμε ότι ο δίαυλος είναι Doppler US αν η συνάρτηση διασποράς Doppler,, h v h v dd είναι OSM, δηλαδή αν ικανοποιείται η, R v v E h v h v S v v v h

5 Δίαυλος US για το Doppler 9 S v είναι φασματική πυκνότητα ισχύος (φ.π.ι.) ως Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η j 2 vt S v e R t dt Να υπενθυμίσουμε ότι έχουμε υποθέσει ότι η H t είναι WSS με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που περιγράφει την επιλεκτική συμπεριφορά του διαύλου ως προς το χρόνο R t EH x, f, t H x, f, t H t R x; f; t H H xf 0 Δίαυλος US για το Doppler 0 Η φ.π.ι. Doppler υπολογίζεται και από τη συνάρτηση διασποράς Doppler ως εξής SvEh vhve hv 2 5

6 Δίαυλος WSS για τη Συχνότητα Ένας δίαυλος καλείται WSS στη συχνότητα όταν τα στατιστικά μεγέθη των διαλείψεων παραμένουν σταθερά για μικρές μεταβολές στη συχνότητα. Άρα οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης εξαρτώνται από τις μεταβλητές f και f 2 μόνο μέσω της διαφοράς Δf=f -f 2. Όταν ο δίαυλος είναι WSS στη συχνότητα τότε έχουμε σκεδάσεις με ασυσχέτιστες καθυστερήσεις, δηλ. οι εξασθενίσεις και οι ολισθήσεις φάσης συνιστωσών που έχουν διαφορετικές καθυστερήσεις, είναι ασυσχέτιστες και ο δίαυλος καλείται δίαυλος ασυσχέτιστων σκεδάσεων στο πεδίο της καθυστέρησης. Δίαυλος US για την Καθυστέρηση 2 Αν προς στιγμή θεωρήσουμε ότι μας ενδιαφέρει μόνο ένα ζευγάρι μεταβλητών, αυτό της συχνότητας και της καθυστέρησης, τότε μπορούμε να πούμε ότι ο δίαυλος είναι Delay US αν η συνάρτηση διασποράς καθυστέρησης,, h h v ddv είναι OSM, δηλαδή αν ικανοποιείται η, R E h h S h

7 Δίαυλος US για την Καθυστέρηση 3 S είναι φασματική πυκνότητα ισχύος (φ.π.ι.) ως Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η j 2f S e R f df Να υπενθυμίσουμε ότι έχουμε υποθέσει ότι η H f είναι WSS με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που περιγράφει την επιλεκτική συμπεριφορά του διαύλου ως προς τη συχνότητα R f EH x, f, t H x, f f, t H R x; f; t H H xt0 Δίαυλος US για την Καθυστέρηση 4 Η φ.π.ι. καθυστέρησης υπολογίζεται και από τη συνάρτηση διασποράς καθυστέρησης ως εξής SEh he h 2 Η συνάρτηση αυτή καλείται και προφίλ καθυστέρησης ισχύος (Power Delay Profile PDP). Το προφίλ PDP χρησιμοποιείται εκτεταμένα για το χαρακτηρισμό των ραδιοδιαύλων και περιγράφει την κατανομή της μέσης λαμβανόμενης ισχύος συναρτήσει της καθυστέρησης. 7

8 Δίαυλος WSS για το Χώρο 5 Ένας δίαυλος καλείται WSS στο χώρο όταν τα στατιστικά μεγέθη των διαλείψεων παραμένουν σταθερά για μικρές μετατοπίσεις στο χώρο. Συνεπώς οι συναρτήσεις συσχέτισης εξαρτώνται από τις μεταβλητές x και x 2 μόνο μέσω της διαφοράς τους Δx = x x 2. Αποδεικνύεται ότι όταν ο δίαυλος είναι WSS τότε έχουμε σκεδάσεις με ασυσχέτιστες κατευθύνσεις άφιξης, δηλ. οι εξασθενίσεις και οι ολισθήσεις φάσης συνιστωσών που έχουν διαφορετικές κατευθύνσεις άφιξης είναι ασυσχέτιστες και ο δίαυλος καλείται δίαυλος ασυσχέτιστων σκεδάσεων στο πεδίο της κατεύθυνσης. Δίαυλος US για την Κατεύθυνση 6 Αν προς στιγμή θεωρήσουμε ότι μας ενδιαφέρει μόνο ένα ζευγάρι μεταβλητών, αυτό του χώρου και της κατεύθυνσης, τότε μπορούμε να πούμε ότι ο δίαυλος είναι Direction US αν η συνάρτηση διασποράς κατεύθυνσης, που προκύπτει από την,, h h v d dv είναι OSM, δηλαδή αν ικανοποιείται η, R E h h S h

9 Δίαυλος US για την Κατεύθυνση 7 S είναι φασματική πυκνότητα ισχύος (φ.π.ι.) ως μετ/σμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η 2 j x S e R x dx c Να υπενθυμίσουμε ότι έχουμε υποθέσει ότι η είναι WSS με συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που περιγράφει την επιλεκτική συμπεριφορά του διαύλου ως προς το χώρο R x E H x f t H x x f t H,,,, R x; f; t H H f t0 H x Δίαυλος US για την Κατεύθυνση 8 Η φ.π.ι. κατεύθυνσης υπολογίζεται και από τη συνάρτηση διασποράς κατεύθυνσης ως εξής SEh he h 2 9

10 Δίαυλος από κοινού US 9 Ο δίαυλος είναι από κοινού ασυσχέτιστος (jointly US) σε όλα τα φασματικά πεδία,,v, αν η συνάρτηση διασποράς κατεύθυνσηςκαθυστέρησης ολίσθησης Doppler h,, v, είναι Orthogonal Stochastic Measure (OSM), δηλαδή αν ικανοποιείται η h, 2;, 2;, 2,, 2, 2, 2 S,, v v v R v v E h v h v Δίαυλος από κοινού US 20 Η συνάρτηση S,, v καλείται και φ.π.ι. κατεύθυνσης καθυστέρησης Doppler (directiondelay Doppler Power Spectrum) και περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο η μέση προσπίπτουσα ισχύς κατανέμεται ή διασπείρεται στα φασματικά πεδία της κατεύθυνσης, της καθυστέρησης και της ολίσθησης Doppler. Δίνεται από την S,, veh,, vh,, ve h,, v 2 0

11 Δίαυλος WSSUS 2 Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση μεταφοράς είναι WSS, ο δίαυλος καλείται και WSSUS και το θεώρημα των Wiener Khintchine οδηγεί στη σχέση Fourier H j2f c j2 vt ; ;,, 2 j x R x f t e e e S v dd dv j2 f xvt c e S,, v dddv 22 Παράμετροι Χαρακτηρισμού

12 Παράμετροι Χαρακτηρισμού 23 Οι βασικές παράμετροι χαρακτηρισμού είναι Η διασπορά στην κατεύθυνση, στην καθυστέρηση και στη συχνότητα Doppler Το εύρος συνοχής (συνάφειας) στην απόσταση, στη συχνότητα και στο χρόνο. Για την πρώτη ομάδα παραμέτρων απαιτείται μελέτη των συναρτήσεων φ.π.ι. ενώ για τη δεύτερη απαιτείται μελέτη των συναρτήσεων συσχέτισης. Επειδή οι 2 συναρτήσεις συνδέονται με Fourier το εύρος (διασπορά) της φ.π.ι. είναι αντιστρόφως ανάλογο του εύρους συνοχής. Άρα όσο αυξάνεται το εύρος της φ.π.ι. τόσο η συσχέτιση συρρικνώνεται ως συνάρτηση και μειώνεται το εύρος συνοχής. Παράμετροι Χαρακτηρισμού 24 Το εύρος μιας φ.π.ι. αντιστοιχεί στο διάστημα εκείνο της μεταβλητής κατεύθυνσης, καθυστέρησης ή συχνότητας Doppler, στο οποίο περιορίζεται το μεγαλύτερο ποσοστό, π.χ. 90% ή 95% της προσπίπτουσας μέσης ισχύος. Ένα μέτρο που περιγράφει ικανοποιητικά το εύρος αυτό είναι η τετραγωνική ρίζα της κεντρικής ροπής δεύτερης τάξης της αντίστοιχης φ.π.ι. 2

13 Power Delay Profile (PDP) 25 0 Ëåùöüñïò Óõããñïý - PDP S() db (sec) RMS Delay Spread 26 Ο πλέον χρήσιμος ορισμός του εύρους της φ.π.ι. Delay PS, είναι το RMS Delay Spread (η τετραγωνική ρίζα της κεντρικής ροπής δεύτερης τάξης του PDP) όπου n n S d S d d S n n S d 3

14 RMS Delay Spread 27 Mean Excess Delay ( ή Average Delay) (η ροπή πρώτης τάξης του PDP ή κέντρο βάρους) S d Ή αν χρησιμοποιήσουμε το κανονικοποιημένο PDP S d S d S d RMS Delay Spread 28 4

15 Τυπικές Τιμές RMS Delay Spread 29 Είδος Κυψέλης Διάσταση Κυψέλης / Ύψος Σταθμού Βάσης (συγκριτικά με το μέσο ύψος των γύρω κτιρίων) Delay Spread Pico cell 0 00 m (χαμηλό, indoor) 00 nsec Micro cell m (περίπου ίδιο) nsec Macro cell 35km(ψηλό) 0. 0 μsec RMS Delay Spread 30 Συνήθως η ισχύς των συνιστωσών αυξανομένης της καθυστέρησης μειώνεται εκθετικά. Στη μελέτη του GSM χρησιμοποιήθηκαν οι εξής μορφές PDP 9.2 Rural e 0s 0.7s S 0 αλλού Hilly Terrain 3.5 e 0s 2s 0 αλλού 5 S 0.e 5 s 20 s 5

16 RMS Delay Spread 3 Στη μελέτη του GSM χρησιμοποιήθηκαν οι εξής μορφές PDP Urban e 0s 7s S 0 αλλού Hilly Urban e 0s 5s 5 S0.5e 5s 0s 0 αλλού RMS Delay Spread 32 Άρα για Urban περιβάλλον 7 7 S d e d 7 e S d e d e * S d e d e d e d e d S d e d *0.9992*0.9936*0.992 e 2e 2e *0.9992*0.9936* e

17 RMS Delay Spread 33 Για διακριτές τιμές καθυστέρησης στο PDP μπορούμε να γράψουμε k k S( ) k k S( ) k 2 k k S( ) k S( ) 2 k 2 2 Οι καθυστερήσεις υπολογίζονται ως προς την πρώτη αφιχθείσα συνιστώσα (τ 0 =0) RMS Doppler Spread 34 Ο πλέον χρήσιμος ορισμός του εύρους της φ.π.ι. Doppler, είναι το RMS Doppler Spread v 2 v v v v όπου v n n vs vdv S v dv v n Svdv n v S v dv 7

18 RMS Doppler Spread 35 H ροπή πρώτης τάξης του Doppler PS ή κέντρο βάρους) Mean Excess Doppler v vs v dv S v dv Ή αν χρησιμοποιήσουμε την κανονικοποιημένη S v dv v v vs v dv RMS Direction Spread 36 Αντίστοιχα με τα προηγούμενα μπορεί κάποιος να ορίσει το RMS Direction Spread ως εξής n n S d S d Sd n n S d Υπενθυμίζεται ότι, 3 3 8

19 Azimuth Power Spectrum 37 Αν η APS είναι η ομοιόμορφη Su 2 d R x J H 0 2 Αν η APS είναι η Λαπλασιανή / e SL,, 0 / 2 e d 2 2 / R d J0 2 2 e H d J 2 2 2n 2 2n n Azimuth Power Spectrum 38 Αν η APS είναι η von Mises k cos S b k e k 0 vm k b k 0 2n 2n I0 n 2 I k d 2 d R d J 2 I kj 2 H Αν η APS είναι η two waves Stw 0 2 d R d cos 2sin H 0 9

20 Παράμετροι Χαρακτηρισμού 39 Αν η APS είναι η ομοιόμορφη 0 Αν η APS είναι η Λαπλασιανή 2 2 coth coth 2 και Παράμετροι Χαρακτηρισμού 40 Αν η APS είναι η von Mises I I 0 k k I I 0 k k 2 Αν η APS είναι η two waves cos sin 20

21 Εύρος Ζώνης Συνοχής 4 Coherence Bandwidth B c σε ένα επίπεδο συσχέτισης c Є [0,). Κανονικοποιούμε την συνάρτηση συσχέτισης συχνότητας RH f R H 0 c arg min 0 : c c f B f R f c H B c Δf Εύρος Ζώνης Συνοχής 42 Η R H (Δf) αναπαριστά τη συσχέτιση της απόκρισης του καναλιού σε δύο σήματα ως συνάρτηση της απόστασης στη συχνότητα που έχουν τα δύο σήματα. Το εύρος συσχέτισης ή εύρος ζώνης συνοχής (coherence bandwidth) είναι ένα στατιστικό μέτρο του εύρους συχνοτήτων για το οποίο το κανάλι περνά όλες τις φασματικές συνιστώσες με σχεδόν ίδιο κέρδος και γραμμική φάση. Στο εύρος αυτό οι φασματικές συνιστώσες του σήματος επηρεάζονται παρόμοια από το κανάλι. Πολλές φορές συγκρίνουμε το εύρος του συστήματος με το B c για να αποφανθούμε αν ο δίαυλος είναι wideband ή narrowband. 2

22 Εύρος Ζώνης Συνοχής 43 Παράμετροι Χαρακτηρισμού Διαύλου 44 Σύμφωνα με τον Fleury υπάρχει μια σχέση αβεβαιότητας που συνδέει το coherence BW με το RMS delay spread Bc arccosc 2 Μια εμπειρική σχέση που τα συνδέει δίνει και ο Rappaport. Για c=0.9, τότε Bc 50σ Ενώ για c=0.5 Bc 5σ τ τ 22

23 Διάκριση Διαύλων 45 Αν B S συμβολίζει το εύρος ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος και αντίστοιχα T S τη διάρκεια συμβόλου, Για να έχω επίπεδες διαλείψεις πρέπει BS Bc και TS Ενώ για διαλείψεις επιλεκτικές ως προς τη συχνότητα πρέπει BS Bc και TS Ένας εμπειρικός κανόνας μας λέει ότι όταν T S 0σ τ έχω επίπεδες διαλείψεις. Χρονικό Εύρος Συνοχής 46 Coherence Time T c σε ένα επίπεδο συσχέτισης c Є [0,). Κανονικοποιούμε την συνάρτηση συσχέτισης χρόνου RH t R 0 H arg min 0 : c t T t R t c c H 23

24 Χρονικό Εύρος Συνοχής 47 Η R H (Δt) περιγράφει τη χρονική έκταση για την οποία υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των αποκρίσεων του διαύλου σε ένα ημιτονοειδές που στάλθηκε τη χρονική στιγμή t και ενός την t 2, όπου Δt=t 2 -t. Ο χρόνος συσχέτισης ή χρονικό εύρος συνοχής Τ c είναι ένα μέτρο της αναμενόμενης χρονικής περιόδου για την οποία η απόκριση του διαύλου είναι αμετάβλητη. Είναι εξαιρετικά σημαντική παράμετρος για το δίαυλο γιατί χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση της επίδοσης των τεχνικών κωδικοποίησης και διεμπλοκής (interleaving). Χρονικό Εύρος Συνοχής 48 24

25 Παράμετροι Χαρακτηρισμού Διαύλου 49 Σύμφωνα με τον Fleury υπάρχει μια σχέση αβεβαιότητας που συνδέει το coherence time με το RMS Doppler spread vtc arccosc 2 Γενικά το T c είναι αντιστρόφως ανάλογο της μέγιστης ολίσθησης Doppler Tc f max D Μια εμπειρική σχέση για c=0.5 T c 9 6 f maxd Παράμετροι Χαρακτηρισμού Διαύλου 50 Πολλές φορές χρησιμοποιείται ο γεωμετρικός μέσος των δύο προηγούμενων, δηλαδή T c f f 2 maxd max D Συνήθως συγκρίνουμε το χρόνο συσχέτισης του διαύλου με τη διάρκεια συμβόλου του συστήματος για να αποφανθούμε αν το σύστημα υπόκειται σε γρήγορες ή αργές διαλείψεις. 25

26 Διάκριση Διαύλων 5 Αν B S συμβολίζει το εύρος ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος και αντίστοιχα T S τη διάρκεια συμβόλου, τότε Για να έχω γρήγορες διαλείψεις πρέπει B και T T S v S c Ενώ για αργές διαλείψεις πρέπει B και T T S v S c Απόσταση Συνοχής 52 Ακριβώς όπως και στα άλλα 2 βασικά πεδία έτσι και στο χώρο μπορούμε να ορίσουμε την απόσταση συνοχής (coherent distance) σε ένα επίπεδο συσχέτισης c Є [0,) Θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η συνάρτηση αυτή εξαρτάται από την κατεύθυνση x, στην οποία μετατοπίζεται η κεραία του δέκτη και υπολογίζεται η συνάρτηση συσχέτισης. Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζεται η συνάρτηση συσχέτισης για οριζόντια διάδοση και για μετατόπιση Δd σε προκαθορισμένη κατεύθυνση x 26

27 Απόσταση Συνοχής 53 x R x c : H R H x R d R x H H xd x d c, x 2 d arg min d 0 : R d c H c, Απόσταση Συνοχής 54 Για τιμές της συσχέτισης κοντά στη μονάδα (c= ) η απόσταση συσχέτισης δίνει τη μέγιστη απόσταση στην κατεύθυνση στην οποία οι μεταβολές τη συνάρτησης H d, f, t μπορούν να αμεληθούν. Για μικρές τιμές της συσχέτισης (c<0.5) η απόσταση συσχέτισης δίνει την ελάχιστη απόσταση στην κατεύθυνση στην οποία δύο δείγματα της συνάρτησης H d, f, t είναι ασυσχέτιστα. 27

28 Απόσταση Συνοχής 55 Η απόσταση συνοχής τώρα μπορεί να ορισθεί ως η ελάχιστη απόσταση συνοχής για όλες τις πιθανές κατευθύνσεις του διανύσματος x x : RH x c x x 2 d c, min c c, d d d arg min x : R x c H c Παράμετροι Χαρακτηρισμού Διαύλου 56 Σύμφωνα με τον Fleury υπάρχει μια σχέση αβεβαιότητας που συνδέει το coherence distance με το RMS Direction spread c 2 d arccos c 28

29 Διασπορά Επιλεκτικότητα 57 Μελέτη ιασποράς με χρήση της συνάρτησης φ.π.ι. S Μελέτη Επιλεκτικότητας με χρήση της συνάρτησης συσχέτισης,, v R x; f; t H S R H f Sv R H t S R H x f Bc c v t Tc c d c ιασπορά καθυστέρησης Εύρος Ζώνης Συνοχής ιασπορά Doppler Χρόνος Συνοχής ιασπορά κατεύθυνσης Απόσταση Συνοχής Σχέση Αβεβαιότητας Bc arccos c 2 Σχέση Αβεβαιότητας vtc arccos c 2 Σχέση Αβεβαιότητας c 2 d arccosc Σχέση Μετ/σμού Fourier 58 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: e mail: kanatas@unipi.gr 29