Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Transcript

1 Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μθημτικά Γ Γυμνσίου

2 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αλγερικές Πρστάσεις Η θεωρί με Ερωτήσεις 7 Ασκήσεις & Προλήμτ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εξισώσεις Η θεωρί με Ερωτήσεις 7 Ασκήσεις & Προλήμτ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Συνρτήσεις Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων Η θεωρί με Ερωτήσεις 9 Ασκήσεις & Προλήμτ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Τριγωνομετρί Η θεωρί με Ερωτήσεις 7 Ασκήσεις & Προλήμτ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Συστήμτ Εξισώσεων Ανισώσεων Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ «Σκέφτομι άρ υπάρχω» Κρτέσιος

3

4 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Οι Πργμτικοί Αριθμοί Κεφάλιο Οι Πργμτικοί Αριθμοί Η Θεωρί με Ερωτήσεις. Τι ονομάζουμε σύνολο πργμτικών ριθμών; Πως συμολίζουμε το σύνολο των πργμτικών ριθμών; Τι πριστάνει το σύμολο R*;. Ποιες οι ιδιότητες πρόσθεσης κι πολλπλσισμού πργμτικών ριθμών;. Πώς ορίζετι η διφορά δύο ριθμών; Πώς ορίζετι το πηλίκο : δύο ριθμών, με 0;. Τι ονομάζουμε δύνμη ν, με άση ριθμό κι εκθέτη φυσικό ν > ; 5. Ποιες οι ιδιότητες των δυνάμεων; 6. Ποι η τυποποιημένη μορφή ενός ριθμού; 7. Τι ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού; Με τι ισούτι η τετργωνική ρίζ του μηδενός; 8. Ν ποδείξετε ότι γι, > 0, ισχύει 9. Ν ποδείξετε ότι γι, > 0, ισχύει 0. Πώς συγκρίνουμε δυο ριθμούς, ;. Πώς μετάλλετι η φορά μις νίσωσης, ν προσθέσουμε στ μέλη της: i) θετικό ριθμό ρνητικό ριθμό;. Πώς μετάλλετι η φορά μις νίσωσης, ν πολλπλσιάσουμε τ μέλη της με: i) θετικό ριθμό ρνητικό ριθμό;. Πότε μπορούμε ν προσθέσουμε νισώσεις κτά μέλη;

5 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Οι Πργμτικοί Αριθμοί Ασκήσεις & Προλήμτ Πράξεις. Ν κάνετε τις πράξεις: i) i 5: :. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις. : i) 8: 5: 5. Ν υπολογίσετε την τιμή κάθε πράστσης: i) 5 A B 6 : 5. Ν γίνουν οι πράξεις: 5: i) 8 8 : i 5 : Ν ποδείξετε τ πρκάτω: i) 6. Ν πλοποιήσετε την πράστση τιμή γι = / κι =. γ γ γ κι κτόπιν ν ρείτε την ριθμητική της 7. Αφού πλείψετε τις πρενθέσεις της πράστσης: + ( ) ( + + 8) ν υπολογίσετε την ριθμητική τιμή της γι = κι = 8. Ν ποδείξετε σε κάθε περίπτωση ότι οι ριθμοί κι είνι ντίστροφοι. 5 i) κι 6 κι i κι Ν ποδείξετε ότι ( + ) : z = ( : z) + ( : z). 0. Ν υπολογίσετε τον ντίστροφο της πράστσης Α = ( γ) + (γ ) + γ ( ). Δυνάμεις. Ν υπολογίσετε τις πρκάτω δυνάμεις: i) i iv) v) vi) v vi

6 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Οι Πργμτικοί Αριθμοί. Ν γίνουν οι πράξεις: i) 5 5 i iv). Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις: 5 5 : : B = i) Α = 6. Αν Α = ν ρεθεί ο ντίθετος του Α. 5. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις: i) Α = 0 Β = i Γ = 9 iv) Δ = : : : 8 6. Με τι ισούτι ο ριθμός ; 7. Αν = ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης: Α = 8. N υπολογιστεί η ριθμητική τιμή της πράστσης γι =. 9. Ν υπολογίσετε την πράστση: Α = Ν υπολογιστεί η τιμή της πράστσης: : Ν γίνουν οι πράξεις: i) : 8 i Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις. i) i iv). Ν ρεθεί ο σε κάθε περίπτωση. 5 i) i iv)

7 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Οι Πργμτικοί Αριθμοί. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) i :5 5 iv) Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) i iv) : 6. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: z z z i) 0 iv) : i v) 8 7 ν ν ν vi) 9 ν 8 ν 6 ν ν 7. Έν δοχείο σχήμτος ορθογωνίου πρλληλεπιπέδου έχει διστάσεις,50 mm, 8,50 5 mm κι,50 mm. Ν υπολογίσετε τον όγκο του κι ν τον γράψετε σε τυποποιημένη μορφή. : Ν υπολογιστεί η πράστση: A : 8 Ρίζες 9. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i) 5 i iv) Ν υπολογιστούν οι τιμές που μπορεί ν πάρει η μετλητή ώστε ν ορίζετι η πράστση: 56. Ν πλοποιηθεί η πράστση: Ν πλοποιηθεί η πράστση: Ν πλοποιηθεί η πράστση: A Ν υπολογίσετε τις ρίζες: i) 98 6 i Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i) i iv) 0 5 5

8 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Οι Πργμτικοί Αριθμοί 5 6. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i) i γ 56 6 iv) v) vi) 7 γ Ν γίνουν οι πράξεις: i) 5 5 i 5 iv) 8. Ν μεττρέψετε τ πρκάτω κλάσμτ σε ισοδύνμ με ρητό προνομστή: i) 5 i 7 9. Ν γίνουν οι πράξεις: i) Αν > 0, > 0 ν πλοποιηθεί η πράστση:. Βρείτε το εξγόμενο:. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A=90 ). Με πλευρά την υποτείνουσ του ΑΒΓ σχεδιάζουμε εξωτερικά του ορθογωνίου τριγώνου τετράγωνο ΒΓΔΕ. Αν ΑΒ = 6cm κι ΑΓ = 8cm ν υπολογίσετε το εμδόν του τετργώνου ΒΓΔΕ κι την πλευρά του. Διάτξη. Αν,, γ είνι πργμτικοί ριθμοί κι > ν συγκρίνετε τους ριθμούς + γ κι + γ.. i) Αν < ν δείξετε ότι: γ γ. Αν > > γ ν δείξετε ότι: γγ 0. i Αν γι τους ριθμούς, ισχύει: 0 < < <. Ν δείξετε ότι το γινόμενο είνι θετικό. Α = 5. Ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λνθσμένη) σε κθεμί πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν < τότε <. Γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει > 0 γ. Αν < τότε + γ < + γ δ. Αν > τότε > / με 0 ε. Αν > τότε γ > γ 6. Αν + < κι < 8 τότε ν ρεθεί η σωστή πάντηση:. >. <8 γ. >0 δ. < 7. Αν < 0, ν διτάξετε πό τον μικρότερο προς τον μεγλύτερο τους ριθμούς, κι. 8. Αν ισχύουν κι 5, ν ρεθεί μετξύ ποιων ριθμών περιέχετι η τιμή των πρστάσεων: i) Α = B = +00 i Γ = + iv) Δ = +

9 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Οι Πργμτικοί Αριθμοί 6 9. Ν λυθούν οι νισώσεις κι ν τοποθετήσετε τις λύσεις σε άξον ριθμών: 5 i) i 0,5 > iv) < Ν ρείτε τις τιμές του γι τις οποίες συνληθεύουν οι νισώσεις: Ποιες πό τις τιμές υτές είνι κέριοι; 0 κι 5. Ν ρείτε τις τιμές του γι τις οποίες συνληθεύουν οι νισώσεις: 6 κι Ν λυθούν οι νισώσεις: i) Ν λυθούν οι νισώσεις: i) 5 5. Ν λύσετε τις νισώσεις: 55. i) 5 7 i Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων: Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων: iv) κι 5 7 κι Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων: κι Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων: 0 κι 60. Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων: κι 6 6. Ν ρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων: κι Ν λυθεί η νίσωση: 5 0 6

10 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις 7 Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις Η Θεωρί με Ερωτήσεις. Τι ονομάζουμε λγερική πράστση κι τι ριθμητική τιμή υτής;. Ποι λγερική πράστση λέγετι μονώνυμο, κι πό τι ποτελείτι;. Πότε δύο μονώνυμ λέγοντι όμοι; Πως γίνετι η πρόσθεση κι η φίρεση μονωνύμων;. Τι είνι το πολυώνυμο; 5. Πως πολλπλσιάζουμε μετξύ τους μονώνυμ; 6. Τι ονομάζετι νγωγή ομοίων όρων ενός πολυωνύμου; 7. Πώς πολλπλσιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο; 8. Πώς πολλπλσιάζουμε μετξύ τους δύο πολυώνυμ; 9. Ποιες ισότητες λέγοντι τυτότητες; 0. Ν γράψετε κι ν ποδείξετε τις σικές τυτότητες. [σ.7 8]. Πότε λέμε ότι μί λγερική πράστση έχει γρφεί ως γινόμενο πργόντων; Τι ονομάζουμε πργοντοποίηση; Πρτήρηση: Οι ποιο συνηθισμένοι τρόποι ν πργμτοποιηθεί η πργοντοποίηση είνι οι κόλουθοι: i) Κοινός Πράγοντς πχ. ( -) - (- ) ( -) ( -) ( -)( )

11 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις 8 Ομδοποίηση πχ. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) i Διφορά Τετργώνων ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) πχ. ( )( ) ( )( ) iv) Τριώνυμο ( ) ( )( ) πχ. 6 8 ( )( ) (φού +=6 κι =8) v) Διφορά Κύων ( )( ) πχ. 8 ( )( ) vi) Άθροισμ Κύων ( )( ) πχ. 7 ( )( 9) v Τέλειο Τετράγωνο ( ) πχ ( 0 5) ( 5) vi Συνδυσμός Ομδοποίησης Διφορά Τετργώνων ω ( ω)( ω) πχ. ( )( ) ( ) ( ). Τι ονομάζετι κλσμτική λγερική πράστση; Ποιους περιορισμούς πρέπει ν θέτουμε γι ν ορίζετι μι κλσμτική πράστση;. Τι είνι η πλοποίηση κι ποι ήμτ κάνουμε γι ν πλοποιηθεί μι κλσμτική πράστση;

12 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις Ασκήσεις & Προλήμτ 9 Μονώνυμ Πολυώνυμ Ανγωγή Ομοίων Όρων. Ν ρείτε ποι πό τ πρκάτω είνι όμοι:,,,, 8,,,. i) Αν = ν ρείτε την ριθμητική τιμή της πράστσης + + Αν = 7 Ν ρείτε την ριθμητική τιμή της πράστσης + + i Αν =, = ν ρεθεί η ριθμητική τιμή των πρστάσεων: ) + ) ( + ) γ) + +. Ν κάνετε τις πράξεις: i) 6 i iv) v). Ν ρείτε τους κέριους κ, λ ώστε η πράστση κ 8 λ + ν είνι μονώνυμο. 5. Γι ποιες τιμές του κ η πράστση Α = κ κ είνι μονώνυμο; 6. Ν ρείτε τ γινόμεν: i) i v) ( ) vi) ( )( 6 ) v ( )( )( ) vi iv) z z 7. Ν κάνετε τις πράξεις: ):(-ω (8 ω - ω ω: ω ( γ i) ) iv) v 5 ( γ) : v) : 5 ω : 0 :5 ω vi 0 vi) γ i ):(- ) 5 6 : 5 8. Ν κάνετε τις νγωγές των ομοίων όρων: i) i iv) v) vi) 7 γ γ γ

13 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις 0 9. N γίνουν οι πράξεις: i) [ ( γ)] [(5 ) + ( + 6)] + ( 5) i ( ) + [ ( + )] iv) 8 ( 5) + ( ) ( 9) + ( ) v) + ( + 5) [ ( ) 8] vi) ( + 8) ( ) v + ( ) [ ( + ) ] ( + ) vi + ( ) (5 ) i) ( + ) [( + + ) ( + ) ( + ) + ] ( + 6) 0. Ν κάνετε τις πράξεις: i) 5 iv) i. N κάνετε τις πράξεις: i) i iv) v) vi) v vi 6 5 i) Ν γίνουν οι πράξεις: i) [( ) ( )] [( + ) + 7 ( )] ( )( + ) ( + )( ) i (+)(+z) (z+ω)(ω+) (+z)( ω) iv) ( ) ( ) + ( ) v) 5 ( + ) + ( )( ) ( ) vi) ( 5) ( + ) + ( ) v ( )( + ) + (5 7 )( ) vi [( ) ( )] + ( ) ) ( + ). Δίνοντι τ πολυώνυμ Α = +, B =, Γ = + 5 i) Ν ρείτε το πολυώνυμο Α + Β Γ. Ν ρείτε το πολυώνυμο Α Β. i Ν ρείτε την ριθμητική τιμή των Α, Β, Γ γι =.. Αν = τότε ν ρεθεί η ριθμητική τιμή της πράστσης ( + )( + ) ( )( + ). Αξιοσημείωτες Τυτότητες 5. Ν ρείτε τ νπτύγμτ: i) i v) vi) v i) ) i) 5 i iv) vi iv) v) 5 vi) 5

14 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις 6. Ν κάνετε τους πολλπλσισμούς: i) i iv) v) vi) v vi 7. N ρείτε τ νπτύγμτ: i) v) vi) i v iv) vi z 8. Ν κάνετε τις πράξεις: i) i iv) 6 v) ( -) - ( ) (5 )(5 - ) vi) v - ( -)( ) ( - ) 5 ( - ) vi ( ) - ( ) ( ) - i) ) ( + ) ( ) 9. Ν γίνουν οι πράξεις: i) ( + ) + ( + ) ( ) + ( + )( ) + ( ) ( + ) 5( + ) ( )( + ) i ( + + 5ω) ( + ω) ( + ω) 0. Ν ποδείξετε ότι: i) ( + ) ( ) = ( + ) + ( + )( ) + ( ) = i ( + ) ( ) = iv) ( ) ( ) = ( + )( ). Ν ποδείξετε ότι: i) ( + ) + ( ) = 5( + ) ( + )( + ) ( + ) = ( ) i iv) δ γ vi) v) γ δ γ δ v ( + ) = ( + ) vi. Αν = + κι =, ν υπολογίσετε την ριθμητική τιμή της πράστσης: + +. Aν 6 κι 8, ν ρείτε τις τιμές των πρστάσεων: i) i. 7 7 Ν ποδείξετε ότι: 7 iv)

15 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις 5. i) Αν ( + ) = ( + ), ν ποδείξετε ότι: = Αν + =, ν ποδείξετε ότι = 6. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες ώστε ν προκύψουν τυτότητες. i) = ( ) (....) = 5. + i = (......) iv) = (... + ) v) = ( +...) vi) = (0...) v (5 + )(5 ) =.. 6 vi (. ) = 6 +. i) ( +...) = ) ν + ν +... = ( ) 7. Ν ποδείξετε ότι: i) ( + ) ( + ) (+) i ( + )( + ) ( + ) 8. Αν τότε ν υπολογιστεί η πράστση A 9. Αν είνι κι ν υπολογιστεί η πράστση Α = Πργοντοποίηση Πολυωνύμων 0. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) δ 8 i + 6 iv) κλ 0κ λ + κλ v) κλ 0κ λ + κλ vi) v 5 γ 5 γ + 0 γδ vi + 7γ i) +. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) ( + ) + γ( + ) ( + ) ( + ) i (κ λ) + 6(κ λ) + (κ λ) iv) 5( ) ( ) ( ) v) ( )( + 5) + vi) ( ) + γ( ) v ( )( ) ( ) vi ( ) + i) ( 5) (5 ). Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) γ γ i γ γδ + γ δ iv) v) + vi) + v vi + + i) + 6. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) + + i + iv) + v) vi) + + γ γ v vi i) Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) i 5 iv) 9 v) 9 6 vi) 6 96 v 9 vi 6 i) 5 5 5

16 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις 5. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) ( + ) 6 9 ( ) i (5 + 6) 6 iv) 9ω 6 v) ( ) ( + 7) vi) 9( + ) 6( + 5) v ( + ) 9 ( ) vi 6 5 i) ( + + ) ( + ) 6. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) γ ( z) i + iv) 5 v) ( 5) 7 (5 ) vi) v vi ( )(κ λ) + ( ) i) 7. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) + + i iv) v) 9 + vi) + 6 v vi ω + ω i) Ν πργοντοποιηθούν τ τριώνυμ. i) i iv) 5 v) vi) Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) ( + ) ( + ) + ( + + γ ) i ( + + ) ( + ) iv) v) + vi) v + + vi i) + ω + ω 0. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) ω + ω i + γ + γ γ γ iv) + v) vi) (5 0)( ) (7 )( ) v + γ + γ vi 8 0 i) + ) + i) Κλσμτικές Αλγερικές Πρστάσεις. Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις. 7 i) v) vi) 9 i v iv) ( )( ) vi 5 6. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ i) γ v) 6 ( ) vi) 9 i v iv) vi 6 8

17 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ i) v) vi) 75 5 i v 6 9 iv) 8 5 vi. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ. i) 8 9( ) ( ) v) γ γ γ 9( ) ( ) vi) 8( 9) i v iv) vi z z 5. N κάνετε τις πράξεις. 5 7 i) 5z 5z 9 i iv) ( ) v) vi) 6 7 ν v vi ν N κάνετε τις πράξεις. i) : 9 ω 9 ω : ω ω i 6 : 7 9 iv) : 0 v : 0 6 v) vi 5z 6 : 5 : z 0 5 vi) : 7. N κάνετε τις πράξεις. i) i 5 5 iv) v) vi) v vi i) μν μ ν ) 8. N κάνετε τις πράξεις. i) iv) v) i 8 vi) 6-6

18 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις 5 v 8 vi 6 i) ) i) N κάνετε τις πράξεις. i) i iv) 6 v) vi) 50. N κάνετε τις πράξεις i) : i iv) v) v 6 v 8 v 5 v 6 vi) 6 5 v vi : i) : ) i)) : 5. N κάνετε τις πράξεις. i) 9 i iv) v) ) )(γ γ vi) (γ ) γ)( ( γ) )( ( v γ γ γ vi ) ( i) : : ) i) ) ( ) ( :

19 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Αλγερικές Πρστάσεις 6 : i iv)

20 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Εξισώσεις 7 Κεφάλιο Εξισώσεις Η Θεωρί με Ερωτήσεις. Τι ονομάζουμε εξίσωση ου θμού με έν άγνωστο; Ποι η γενική μορφή της;. Τι ονομάζουμε λύση ή ρίζ εξίσωσης ου θμού;. Ν νφέρετε τ ήμτ που κολουθούντι γι ν επιλυθεί μι εξίσωση ου θμού. ο ΒΗΜΑ: Απλείφουμε τους προνομστές (ν υπάρχουν). Πολλπλσιάζουμε τ δύο μέλη με το Ε.Κ.Π. των προνομστών, προσέχοντς μετά την πλοιφή ν άζουμε τους ριθμητές σε πρένθεση. ο ΒΗΜΑ: Απλείφουμε τις πρενθέσεις. Χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητ ν έχουμε πολλπλσισμό ριθμού με πρένθεση ή με το γνωστό κνόν πλοιφής πρενθέσεων νάλογ με το ν η πρένθεση έχει μπροστά της το (+) ή το ( ). ο ΒΗΜΑ: Χωρίζουμε τους γνωστούς πό τους άγνωστους όρους Μετφέρουμε τους άγνωστους όρους στο πρώτο μέλος κι τους γνωστούς στο δεύτερο μέλος, λλάζοντς πρόσημο στους όρους που μετφέροντι. ο ΒΗΜΑ: Κάνουμε νγωγή των ομοίων όρων Σε υτό το ήμ επίλυσης φέρνουμε την εξίσωση στην μορφή = 5 ο ΒΗΜΑ: Διιρούμε με το συντελεστή του γνώστου Αρκεί υτός ν μην είνι το μηδέν, γιτί διφορετικά είνι όριστη ή δύντη.. Πότε λέμε ότι μί εξίσωση ου θμού είνι δύντη κι πότε όριστη; 5. Τι ονομάζουμε γρμμική εξίσωση ή εξίσωση πρώτου θμού με δύο γνώστους; Πόσες λύσεις μπορεί ν έχει μί εξίσωση ου θμού με δύο γνώστους; 6. Αν ισχύει = 0, τι συμπερίνετε γι τ κι ; 7. Τι ονομάζουμε εξίσωση ου θμού με ένν άγνωστο; Ποί η γενική της μορφή; 8. Πως λύνουμε μι δευτεροάθμι εξίσωση της μορφής γ 0 ;

21 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Εξισώσεις 8 9. Ν γράψετε τον τύπο που δίνει την δικρίνουσ Δ σε μι εξίσωση δευτέρου θμού. Τι περιπτώσεις προκύπτουν γι τις λύσεις της εξίσωσης νάλογ με το ν η Δ > 0, Δ = 0 ή Δ < 0; Ν συμπληρώσετε τον πίνκ. + + γ = 0, 0 Δ = Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Λύσεις 0. Πως λύνουμε μι δευτεροάθμι εξίσωση, ότν έχει την ελλιπή μορφή 0 ή γ 0. Ποι εξίσωση λέγετι, κλσμτική; Ποιους περιορισμούς θέτουμε γι την επίλυση της;. Ποι ήμτ κολουθούμε γι ν λύσουμε μι κλσμτική εξίσωση; ο ΒΗΜΑ: Πίρνουμε περιορισμούς. Βρίσκουμε τις τιμές του γνώστου που μηδενίζουν τους προνομστές κι δεν επιτρέπετι ν πάρει ο άγνωστος ο ΒΗΜΑ: Πργοντοποιούμε τους προνομστές κι ρίσκουμε το Ε.Κ.Π υτών. ο ΒΗΜΑ: Πολλπλσιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. ο ΒΗΜΑ: Απλείφουμε τους προνομστές κάνοντς πλοποίηση. Προσέχουμε μετά την πλοιφή οι ριθμητές των κλσμάτων ν μπίνουν μέσ σε πρένθεση (ν είνι θροίσμτ ή διφορές). 5 ο ΒΗΜΑ: Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει μετά την πλοιφή των προνομστών. Συνήθως η εξίσωση που προκύπτει μετά την πλοιφή των προνομστών είνι ου θμού ή ου θμού μ' ένν άγνωστο. 6 ο ΒΗΜΑ: Έλεγχος λύσεων. Ελέγχουμε ν κάποι πό τις λύσεις που ρήκμε, μηδενίζει τους προνομστές στο ήμ. Αν τυχόν συμίνει υτό, τότε την πορρίπτουμε.

22 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Εξισώσεις Ασκήσεις & Προλήμτ 9 Εξισώσεις ου Βθμού. N λυθούν οι εξισώσεις. i) 5 ( ) ( ) ( ) i 5 5 iv). N λυθούν οι εξισώσεις. i) 5 7 i iv). N λυθούν οι εξισώσεις. i) 8 5 i 6 5 iv) 5 5. Ν χωριστεί ο ριθμός 756 σε δυο άλλους, ώστε ο ένς ν είνι διπλάσιος του άλλου. 5. Ν ρεθεί η τιμή του πργμτικού λ ώστε η εξίσωση λ 5 ν είνι δύντη. 6. Ν ρεθούν οι τιμές των πργμτικών ριθμών μ κι λ, ώστε η εξίσωση λ + μ = ν είνι όριστη. 7. Ν ρεθεί η τιμή του ριθμού μ, ώστε η εξίσωση μ + = μ + ν έχει ρίζ τον ριθμό. 8. Ν πρστήσετε σε ορθοκνονικό σύστημ την ευθεί που σχημτίζουν οι λύσεις της γρμμικής εξίσωσης = Δίνετι η γρμμική εξίσωση =. 0 i) Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ. Ν πρστήσετε τ ζεύγη του πίνκ στους άξονες. i Τι πρτηρείτε γι τ σημεί που πριστάνουν τ πρπάνω ζεύγη; 0 iv) Ν εξετάσετε ν τ ζεύγη (, ) κι (6, 8) ποτελούν λύσεις της εξίσωσης. v) Ν ρεθεί η μορφή λύσεων της εξίσωσης. 0. Σήμερ ο θείος του Νίκου είνι 7 χρόνων. Αν ο Νίκος είνι χρόνων ν ρεθεί μετά πό πόσ χρόνι η ηλικί του Νίκου θ είνι το της ηλικίς του θείου του.. Ν ρεθούν δύο διδοχικοί κέριοι έτσι ώστε το τριπλάσιο του μικρότερου ν είνι κτά 0 μονάδες μεγλύτερο πό το διπλάσιο του μεγλύτερου.. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είνι cm, εάν το μήκος του είνι cm μεγλύτερο πό το πλάτος του, τότε ποιες είνι οι διστάσεις του ορθογωνίου;

23 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Εξισώσεις 0. Εάν κ είνι η λύση της εξίσωσης κι λ η λύση της εξίσωσης 6 ν ρείτε τις τιμές των πρστάσεων A κ λ κι Β κ λ. 5, τότε Εξισώσεις ου Βθμού. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) i 0 iv) 7 0 v) 8 0 vi) 6 v 5 vi Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) 0 ( 5)( -)( ) 0 i ( )( - ) 0 iv) ( )( 6 ) 0 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις. 6 i) 6 0 i ( ) ( - 7) 0 iv) 9 7. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) 0 0 i iv) 5 Τύπος Λύσεων Εξίσωσης ου Βθμού 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) i 5 0 iv) v) 6 0 vi) 6 0 v 0 vi Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) ( - )( ) ( - )( ) i ( ) ( ) ( ) 6 iv) ( )( 6 8 ) 0 v) ( -) - 9 ( -) vi) ( - )( 6 9) 0 0. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) ( - ) ( ) ( 0) i iv) 0 5 v) vi) 0. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) 9 i iv)

24 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Εξισώσεις. Είνι οι ριθμοί κι ρίζες της εξίσωσης 6 5 ;. Ν ρεθούν οι τιμές του πργμτικού ριθμού λ ώστε η εξίσωση λ 0 : i) ν έχει δύο ρίζες άνισες. ν έχει διπλή ρίζ i ν είνι δύντη 5. Ν ρεθεί η τιμή του, ν η εξίσωση 5 0 κι η άλλη ρίζ της εξίσωσης. έχει ρίζ το. Στη συνέχει ν ρεθεί 6. Γι ποι τιμή του πργμτικού ριθμού λ η εξίσωση λ λ 7 έχει λύση τον ριθμό ; 7. Τρεις διδοχικοί ριθμοί έχουν άθροισμ, ν ρεθούν. 8. Ν ρείτε δύο ριθμούς που έχουν άθροισμ 7 κι γινόμενο. 9. Ν ρεθούν δύο ριθμοί με διφορά κι γινόμενο Το άθροισμ ενός κερίου ριθμού κι του τετργώνου του είνι ίσο με το εννιπλάσιο του επόμενου ριθμού. Ποιο είνι ο ριθμός υτός;. Σε έν ισοσκελές κι ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσ είνι μεγλύτερη πό την κάθετη πλευρά κτά. Ν ρεθούν η υποτείνουσ κι οι κάθετες πλευρές. Κλσμτικές Εξισώσεις. Ν λυθούν οι εξισώσεις. 5 i) 0 i iv) 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) 6 5 i 5 iv). Ν λυθούν οι εξισώσεις. 0 5 i) 8 i 0 5. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) 0 0 i Ν λυθούν οι εξισώσεις i) 0 i 9

25 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Εξισώσεις 7. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) i 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) 5 6 i 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις. 6 7 i) ω ω i 0 ω ω ω ω 0. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) i 6 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) 8 i 9. Ν εξετάσετε ν έχουν τις ίδιες λύσεις οι εξισώσεις κι Δίνοντι τ κλάσμτ Α = κι Β =. 9 i) Ν κθορίσετε τις τιμές του γι τις οποίες τ κλάσμτ Α κι Β δεν ορίζοντι. Ν τ πλοποιήσετε. i Ν λύσετε την εξίσωση Α =B.. Το άθροισμ ενός ριθμού κι του διπλσίου του ντιστρόφου του είνι. Ν ρείτε τον ριθμό. 5. Ένς ριθμός είνι κτά μι μονάδ μικρότερος του δωδεκπλάσιου του ντιστρόφου του. Ποιος είνι ο ριθμός υτός; 6. Δίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές +,,.ν υπολογίσετε τον ριθμό, το εμδόν κι την περίμετρο του τριγώνου. 7. Δύο ποδηλάτες ξεκίνησν τυτόχρον πό το Μρθών κι κτευθύνθηκν προς το Πνθηνϊκό Στάδιο, κλύπτοντς πόστση 0 Km. Ο ένς έφθσε στο Πνθηνϊκό Στάδιο έν τέτρτο νωρίτερ. Δεδομένου ότι ο πιο γρήγορος ποδηλάτης πήγινε με 0 Km/h γρηγορότερ, ν ρεθούν οι τχύτητες τους. (Θεωρούμε ότι οι τχύτητες είνι στθερές).

26 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Συνρτήσεις Κεφάλιο Συνρτήσεις Η Θεωρί με Ερωτήσεις. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Τι είνι τιμή της συνάρτησης;. Τι ονομάζουμε γρφική πράστση συνάρτησης;. Πώς ελέγχουμε ν έν σημείο Α( 0, 0 ) νήκει στην γρφική πράστση μις συνάρτησης f;. Πως ρίσκουμε τις τετγμένες σημείων της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης, ότν ξέρουμε τις τετμημένες τους; 5. Πώς ρίσκουμε τ σημεί που τέμνει η γρφική πράστση μις συνάρτησης τους άξονες; 6. Τι πριστάνει η γρφική πράστση της συνάρτησης = ; 7. Τι ονομάζετι κλίση ευθείς σε ορθογώνιο σύστημ συντετγμένων; 8. Με τι ισούτι ο ριθμός στη γρφική πράστση της συνάρτησης = ; 9. Τι πριστάνει η γρφική πράστση της συνάρτησης = + ; 0. Πως ρίσκουμε τ σημεί τομής της γρφικής πράστσης μις ευθείς με τους άξονες ' κι ';. Τι μορφή έχουν οι ευθείες που είνι πράλληλες με την ευθεί = + ; Πρτήρηση:. Στην ευθεί με εξίσωση = +. Ο ριθμός (συντελεστής του, που ονομάζετι κι συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς) κθορίζει την διεύθυνση της. Ισούτι με την εφπτομένη της γωνίς που σχημτίζει η ευθεί με τον '.. Δύο ευθείες της μορφής = + κι = γ + δ: είνι πράλληλες ν κι μόνο ν = γ. στην περίπτωση που εκτός πό = γ είνι κι = δ τότε οι τυτίζοντι.. Δύο ευθείες της μορφής =, = γ είνι πράλληλες.. Δύο ευθείες της μορφής = κ, = λ επίσης είνι πράλληλες.

27 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Συνρτήσεις. Τι πριστάνουν οι εξισώσεις = κ κι = κ; Ν δώσετε πό έν πράδειγμ κι ν κάνετε την γρφική πράστση τους; Η = κ είνι συνάρτηση;. Ποι είνι η γενική εξίσωση της ευθείς;. Τι πριστάνει κάθε εξίσωση με μορφή =. 5. Πότε μί προλή με εξίσωση = ρίσκετι πάνω πό τον άξον ', γι κάθε 0 κι πότε κάτω πό τον '; 6. Ποίος ο άξονς συμμετρίς της γρφικής πράστσης της συνάρτησης = ; 7. Ποιο σημείο της γρφικής πράστσης της συνάρτησης = λέγετι κορυφή υτής; Πότε είνι μέγιστο κι πότε ελάχιστο; 8. Τι μορφή έχει η γρφική πράστση μις συνάρτησης = + + γ, 0; 9. Πως ρίσκουμε τ σημεί τομής μις προλής = + + γ, 0 με τους άξονες ' κι '; 0. Πότε η προλή = + + γ, 0 έχει μέγιστο κι πότε ελάχιστο;. Τι γνωρίζετι γι τη συνάρτηση. Ποιες ευθείες είνι σύμπτωτες της υπερολής ; Τι μορφή έχει η γρφική πράστση της;. Ποι σχέση νλογίς έχουν τ ποσά, σε μι προλή της μορφής με, γ, 0;

28 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Συνρτήσεις Ασκήσεις & Προλήμτ 5 Η Έννοι της Συνάρτησης. Ν ρείτε τ f 0, f, f, f στις συνρτήσεις: i) f f i f. Αν i) iv) f 6 f κι g ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων: 5 A f g f g B g f. Δίνετι η συνάρτηση. Δίνετι η συνάρτηση f (). N ποδείξετε ότι f (0) f ( ) 6f () 0. f (). Ν ποδείξετε ότι f () f () f () f (0). 5. Ν ρείτε τις τιμές που μπορεί ν πάρει η συνάρτηση 5, ν δίνετι ότι. 6. Ν ρείτε τις τιμές που μπορεί ν πάρει η συνάρτηση ν δίνετι ότι Αν f h h 0 ν ρεθεί το f(5). 8. Η συνάρτηση f 5 πίρνει τιμή = 95; 9. Δίνετι η συνάρτηση f () 5. Υπολογίστε τους ριθμούς f (0), f (), f ( ), f ( ) κι την τιμή της πράστσης A f (0) f () f ( ) f ( ) 0. Θεωρούμε τη συνάρτηση f 6. Γι ποιες τιμές του είνι: i) f f f i f f f iv) 5. Ν ρεθεί γι ποιες τιμές του οι πρκάτω συνρτήσεις ορίζοντι (πεδίο ορισμού). i) f () f () i f () 6 iv) f () v) f () vi) f () v f () vi f () 6. Δίνετι η συνάρτηση = κι ο πρκάτω πίνκς μερικών τιμών της. Ν ρείτε την τιμή του κι ν συμπληρώσετε τον πίνκ. 7. i) Πως ρίσκουμε τ σημεί τομής των ξόνων με την γρφική πράστση μις συνάρτησης; Σε ποι σημεί η γρφική πράστση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες ' κι ';

29 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Συνρτήσεις 6. Η θερμοκρσί Θ στ διάφορ στρώμτ της τμόσφιρς μετάλλετι με το ύψος h όπως φίνετι με τη διπλνή γρφική πράστση. κνονικά ότν μετάλλετι το ύψος. Με την οήθει της πράστσης υτής ν πντήσετε στ πιο κάτω ερωτήμτ: i) Ποί είνι η θερμοκρσί σε ύψος 0km; Ποι είνι η ελάχιστη θερμοκρσί της τμόσφιρς κι σε ποιο ύψος πρτηρείτι; i Σε ποίο στρώμ της τμόσφιρς η θερμοκρσί υξάνετι συνεχώς; iv) Σε ποί σημεί της τμόσφιρς η θερμοκρσί είνι μηδέν; v) Ποι είνι η ελάχιστη θερμοκρσί που πρτηρείτι στην περιοχή της τροπόσφιρς; vi) Σε ποιες περιοχές της τμόσφιρς η θερμοκρσί είνι υπό του μηδενός; 5. Υπάρχει συνάρτηση που διέρχετι πό τ σημεί A(,8) κι B(,0); 6. Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης f 5 λ διέρχετι πό το σημείο A(,7) ν ρείτε το λ. 7. Αν η γρφική πράστση της f λ λ διέρχετι πό το σημείο A(, 0) ν ρείτε την τιμή του λ. 8. Δίνετι η συνάρτηση με τύπο f. i) Ν ρείτε που τέμνει τον '. Ν ρείτε που τέμνει τον '. i Ν δείξετε ότι f( ) = f(5). 9. Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η πλευρά του είνι i) Ν εκφράσετε το εμδόν του ως συνάρτηση του Ν ρείτε την πλευρά ισόπλευρου τριγώνου ν γνωρίζετε ότι έχει εμδόν E 5. Η Συνάρτηση = 0. Ν σχεδιάσετε τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων. i) = = 0,5 i = iv) =. Ν ρείτε την εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων κι πό το σημεί i) Α(, ) Β(, 5) i Γ(, ). Ν σχεδιάσετε την εξίσωση της ευθείς =, ν ξέρετε ότι: i) Διέρχετι πό το σημείο Α(, 9). Διέρχετι πό το σημείο Α(, 0,). i Κάθε σημείο της έχει τετμημένη ίση με την τετγμένη του.. Ν ρείτε το λ ν είνι γνωστό ότι το σημείο Α(λ, 0) νήκει στη γρφική πράστση της συνάρτησης,5.

30 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Συνρτήσεις Η Συνάρτηση = + 7. Ν γίνει η γρφική πράστση της συνάρτησης = +, ν ξέρουμε ότι η γρφική της πράστση διέρχετι πό το σημείο με συντετγμένες Μ (, ). 5. Ν γίνει η γρφική πράστση της συνάρτησης = +, ν ξέρουμε ότι η γρφική της πράστση διέρχετι πό το σημείο με συντετγμένες Μ (, ). 6. Δίνετι η συνάρτηση = λ κι ο πρκάτω πίνκς τιμών της. Ν ρείτε την τιμή του λ κι ν συμπληρώσετε τον πίνκ Σε ποιο σημείο οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων με εξισώσεις. i) + = 6 = + 5 τέμνουν τους άξονες; 8. Ν ρείτε ποιες πό τις πρκάτω ευθείες είνι πράλληλες χωρίς ν τις σχεδιάσετε,, 9,, 5, Γι ποι τιμή του λ οι ευθείες κι λ είνι πράλληλες; 0. Γι ποι τιμή του λ οι ευθείες λ λ κι 5 είνι πράλληλες;. Γι ποιες τιμές του λ οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων λ λ λ 5 είνι ευθείες πράλληλες;. Ν σχεδιάσετε τις ευθείες που έχουν εξισώσεις: i) κι 0 i 0 iv) 0 v) vi) 6. Ν ρείτε το κοινό σημείο Μ των ευθειών κι.. Ν ρεθεί εξίσωση ευθείς που είνι πράλληλη στην = -5 + κι διέρχετι πό το σημείο A(,8). 5. Ν ρεθεί εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό τ σημεί Α(, 5), Β(, ). 6. H ευθεί 6 τέμνει τους άξονες ' κι ' στ σημεί Α, Β ντίστοιχ. Αν Ο είνι η ρχή των ξόνων ν ρείτε το εμδόν του τριγώνου ΟΑΒ. 7. Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της συνάρτησης f κι τις ευθείες κι. Ν ρείτε το εμδόν του τρπεζίου που σχημτίζετι πό τις πρπάνω ευθείες κι τον άξον '. 8. Ν σχεδιάσετε τις ευθείες: 6, κι. Αν Α, Β, Γ είνι τ σημεί τομής των ευθειών υτών νά δυο, ν ρείτε το εμδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 9. Ένς πλσιέ ιλίων πίρνει ημερομίσθιο 0 κι γι κάθε ιλίο που πουλάει άλλο. Ν εκφράσετε το ημερομίσθιο του ως συνάρτηση του ριθμού των ιλίων που πουλάει.

31 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο Συνρτήσεις 8 Οι Συνρτήσεις = & = + + γ 0. i) Ν σχεδιάσετε την προλή Ν σχεδιάσετε την προλή i Ν σχεδιάσετε την προλή ν υτή διέρχετι πό το σημείο Α(, 8). ν υτή διέρχετι πό το σημείο Α(, 9). ν υτή διέρχετι πό το σημείο Α(,).. Ν κάνετε τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων σημεί τους. κι, κι ν ρείτε τ κοινά. i) Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της συνάρτησης = + γι. Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της συνάρτησης = +. i Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της συνάρτησης = Ν ρείτε τ σημεί στ οποί τέμνουν τους άξονες ' κι ' οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων: i) i iv) v) vi). Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της συνάρτησης κι ν ρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης κι τον άξον συμμετρίς της. 5. Ν ρεθούν οι τιμές του λ, ν το σημείο Α(λ, 6) νήκει στη γρφική πράστση της συνάρτησης = Ν γίνει η γρφική πράστση της συνάρτησης, ν γνωρίζετε ότι διέρχετι πό το σημείο (, ) κι πό την ρχή των ξόνων. 7. Ν γίνει η γρφική πράστση της συνάρτησης, ν είνι γνωστό ότι διέρχετι πό τ σημεί Α(0,) κι Β(,). 8. Έν ορθογώνιο πρλληλόγρμμο του οποίου οι πλευρές μετάλλοντι, έχει περίμετρο 0 cm. i) Αν ονομάσουμε το μήκος κι του πλάτος του, τι τιμές πίρνουν τ, ; Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της συνάρτησης E(), που δίνει το εμδόν του, ως προς το μήκος του. Γι ποι τιμή του γίνετι μέγιστο το εμδόν του ορθογωνίου; Πόσο είνι το μέγιστο εμδόν του; Η Συνάρτηση = / 9. Ν ρείτε τους ριθμούς κι ν οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι g( ) = διέρχοντι πό το σημείο (, ). 50. i) Η ευθεί με εξίσωση = + διέρχετι πό το σημείο (,0). Η υπερολή σημείο (, ). Βρείτε τ κι. Σχεδιάστε στο ίδιο σύστημ ξόνων την ευθεί κι την υπερολή. διέρχετι πό το

32 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 5 Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων 9 Κεφάλιο 5 Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων Η Θεωρί με Ερωτήσεις. Ποι είνι τ κύρι κι ποι τ δευτερεύοντ στοιχεί ενός τριγώνου;. Με τι ισούτι το άθροισμ των γωνιών ενός τριγώνου; Γιτί έν τρίγωνο δεν μπορεί ν έχει δυο μλείες γωνίες ή μί μλεί γωνί κι μί ορθή;. Διτυπώστε την τριγωνική νισότητ σε τρίγωνο με πλευρές,, γ.. Ποι τ κριτήρι ισότητς δύο τριγώνων; 5. Ποι τ κριτήρι ισότητς δύο ορθογωνίων τριγώνων; 6. Τι γνωρίζετε γι τ τμήμτ που ορίζοντι μετξύ πρλλήλων ευθειών; 7. Τι ιδιότητ έχει το ευθύγρμμο τμήμ που φέρουμε πό το μέσο πλευράς τριγώνου πράλληλο προς μί πλευρά του; 8. Με τι ισούτι το ευθύγρμμο τμήμ που διέρχετι πό τ μέσ πλευρών τριγώνου; 9. Διτυπώστε το θεώρημ Θλή εξηγώντς το με κτάλληλο σχήμ. 0. Τι ιδιότητ έχει κάθε ευθύγρμμο τμήμ που έχει τ άκρ του σε δυο πλευρές τριγώνου κι είνι πράλληλο προς την τρίτη πλευρά του;. Πότε δύο πολύγων είνι όμοι; Τι ονομάζουμε λόγο ομοιότητς;. Πότε δύο τρίγων λέγοντι όμοι; Ποι τ κριτήρι ομοιότητς δύο τριγώνων;. Με τι ισούτι ο λόγος των εμδών δύο όμοιων επίπεδων σχημάτων;. Με τι ισούτι ο λόγος των όγκων δύο όμοιων στερεών σχημάτων;

33 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 5 Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων 0 Ασκήσεις & Προλήμτ Τρίγων Ισότητ Τριγώνων. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είνι Â. Ν υπολογιστούν οι γωνίες του Bˆ κι Γˆ κθώς κι η γωνί που σχημτίζουν οι διχοτόμοι των γωνιών υτών.. Στο διπλνό σχήμ ν υπολογίσετε τις γωνίες, κι γ.. Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι φ ή εξωτερική γωνί του τριγώνου στην κορυφή Α. Ν ποδείξετε ότι φˆ Βˆ Γˆ.. Ν υπολογίσετε το άθροισμ των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου. 5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Â 90 η γωνί που σχημτίζει το ύψος του ΑΔ με την πλευρά ΑΓ είνι 0. Ν υπολογιστούν οι γωνίες του Bˆ κι Γˆ. 6. Έστω ΑΒΓ έν τρίγωνο με Â = + 0, Bˆ = Αν το τρίγωνο είνι ορθογώνιο με υποτείνουσ ΑΒ, τότε ν ρεθεί η γωνί σε μοίρες. 7. Στο διπλνό σχήμ ισχύει ΑΒ = ΑΓ = ΒΔ. Ν ρεθεί η γωνί. 8. Στο διπλνό σχήμ ισχύει ΑΒ = ΒΓ. Ν ρεθεί η γωνί. 9. Ν υπολογίσετε όλες τις γωνίες των τριγώνων στ διπλνά σχήμτ. 0. Αν οι πρκάτω είνι μήκη ευθύγρμμων τμημάτων ρείτε ποιες είνι μήκη πλευρών τριγώνου; i) (,, 7) (5,, ) i (,, ) iv) (8, 5, 7 ) ΑΒ ΑΓ ΒΓ. Αν Ο εσωτερικό σημείο σε τρίγωνο ΑΒΓ, ν δειχτεί ότι είνι: ΟΑ ΟΓ ΟΒ.. Πάνω στις πλευρές ΒΓ, ΑΓ κι ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ πίρνουμε σημεί Δ, Ε κι Ζ. Ν δείξετε ότι: i) ΖΕ ΖΔ ΔΕ ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΑΒ ΑΓ ΒΓ (ΑΔ ΒΕ ΓΖ)

34 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 5 Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων ΑΓ ΒΔ ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ. Ν δείξετε ότι σε κάθε τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύει: ΑΓ ΒΔ. Δίνετι ισοσκελές τρίγωνο ΑBΓ κι ΑΔ το ύψος του. Ν δείξετε ότι το Δ είνι μέσο της ΒΓ, κι η ΑΔ διχοτόμος της γωνίς A. ˆ 5. Ν δείξετε ότι ν δυο τρίγων έχουν δυο πλευρές ίσες κι τις διάμεσους που ντιστοιχούν στις πλευρές υτές ίσες, είνι ίσ. 6. Ν συγκριθούν τ στοιχεί των τριγώνων του διπλνού σχήμτος. Δίνετι ό τι οι ΒΓΕ, ΑΓΔ είνι ευθείες, ΑΓ = ΓΔ, Aˆ Δˆ. 7. Δίνετι τετράγωνο ΑΒ ΓΔ κι πάνω στην διγώνιο του ΒΔ πίρνουμε έν τυχίο σημείο Ε. Ν ποδείξετε ότι ΑΕ = ΕΓ. 8. Στο διπλνό σχήμ έχουμε έν τετράπλευρο ΒΓΔΕ, του οποίου οι διγώνιες ΒΔ κι ΓΕ τέμνοντι στο σημείο Α ώστε ΑΒ = ΑΕ κι ΑΓ = ΑΔ. i) Δείξτε ότι τ τρίγων ΑΕΔ, ΑΒΓ είνι ίσ κι ν ρείτε τ υπόλοιπ ίσ στοιχεί τους. Δείξτε ότι τ τρίγων ΒΔΓ κι ΓΔΕ είνι ίσ. 9. Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι ΑΜ διάμεσος. Προεκτείνουμε την ΑΜ κτά ΜΔ = ΑΜ. Ν δείξετε ότι: ΑΒ ΑΓ i) MÂB MΓˆ Δ AB = ΓΔ i ΑΜ 0. Ν ποδειχθεί ότι οι διγώνιοι ενός ορθογωνίου πρλληλογράμμου είνι ίσες.. Δυο τρίγων ΑΒΓ κι Α'Β'Γ' είνι ίσ. Ν συγκρίνετε τις διάμεσους ΑΜ κι Α'Μ' κι τις διχοτόμους ΑΔ κι Α'Δ' που ντιστοιχούν στις ίσες πλευρές ΒΓ κι Β'Γ'.. Δίνετι ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ κι τ σημεί Δ, Ε, Ζ στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ντίστοιχ ώστε ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είνι ισόπλευρο.. Ν δείξετε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη άση γωνίες είνι ίσες.. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) προεκτείνουμε την ΒΓ κτά τμήμτ ΒΔ = ΓΕ. Ν δείξετε ότι ΑΔ = ΑΕ. 5. Ν ποδείξετε στο διπλνό σχήμ ότι οι κορυφές Β κι Γ τριγώνου ΑΒΓ ισπέχουν πό τον φορέ της διμέσου ΑΜ του τριγώνου. 6. Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με  90 κι ΑΒ = ΑΓ. Φέρουμε ΚΘ ΒΓ πό το μέσο Κ του ΑΒ κι ΛΗ ΒΓ πό το μέσο Λ του ΑΓ. Ν δειχτεί ότι είνι ΚΘ = ΛΗ.

35 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 5 Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων 7. Δίνετι τυχίο τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ στη ΒΓ κι προεκτείνουμε κτά τμήμ ΔΕ = ΑΔ. Δείξτε ότι είνι: i) BE = AB ΑΓ = ΕΓ i ABΓ = BΓE 8. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ = ΟΒ) κι Γ έν σημείο της πλευράς ΟΑ. Προεκτείνουμε την ΟΒ κτά τμήμ ΒΔ = ΑΓ. Το τμήμ ΓΔ τέμνει την ΑΒ στο Μ. Προεκτείνουμε κι την ΒΑ κτά τμήμ ΑΕ = ΒΜ. Ν δείξετε ότι: i) ΓΕ = ΜΔ κι ΓΕˆ Α ΒΜˆ Δ το τρίγωνο ΓΜΕ είνι ισοσκελές i ΜΓ = ΜΔ 9. Από το μέσο Μ της άσης ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε τμήμτ ΜΔ κι ΜΕ κάθετ στις πλευρές ΑΒ κι ΑΓ ντίστοιχ. Ν δείξετε ότι: i) ΜΔ = ΜΕ το τρίγωνο ΑΔΕ είνι ισοσκελές. 0. Θεωρούμε τις διμέτρους ΑΒ κι ΓΔ δυο ομόκεντρων κύκλων (κέντρου Ο). Ν συγκρίνετε τ τρίγων ΑΟΓ κι ΒΟΔ κθώς κι τ ΑΟΔ κι ΒΟΓ. Ν συγκρίνετε τις πένντι πλευρές του τετρπλεύρου ΑΓΒΔ. Ίσ Τμήμτ μετξύ Πράλληλων. i) Δίνετι ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ. Ν χωριστεί σε 5 ίσ τμήμτ. Κτσκευάστε στη συνέχει τμήμτ ίσ με /5 του ΑΒ κι 7/5 του ΑΒ.. Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι Δ, Ε, Ζ μέσ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ντίστοιχ ν δείξετε ότι ΑΔΕΖ είνι πρλληλόγρμμο.. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â 90 ) είνι ΑΒ = 6 cm. κι ΑΓ = 8 cm. Αν Μ κι Ν τ ντίστοιχ μέσ των πλευρών ΑΒ κι ΑΓ, ν ρείτε το μήκος του τμήμτος ΜΝ.. Έστω Δ κι Ε τ μέσ των πλευρών ΑΒ κι ΑΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Αν ΒΓ = 7 +, ΔΕ = κι ΑΔˆ Ε 75, ν υπολογίσετε τ μήκη των πλευρών ΔΕ κι ΒΓ κι τη γωνί Α Βˆ Γ. 5. i) Ν ποδείξετε ότι τ μέσ των πλευρών ενός τυχίου τετρπλεύρου, σχημτίζουν πρλληλογράμμου. Ν ποδείξετε ότι τ μέσ των πλευρών ενός τετρπλεύρου με ίσες διγώνιες, σχημτίζουν ρόμο. i Ν ποδείξετε ότι τ μέσ των πλευρών ενός τετρπλεύρου με κάθετες διγώνιες, σχημτίζουν ορθογώνιο πρλληλόγρμμο. 6. Δίνετι τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Από το μέσο Μ της ΑΒ φέρνουμε πράλληλη στην ΑΓ η οποί τέμνει την ΒΓ στο Ν, πό το Ν φέρνουμε πράλληλη στην ΒΔ η οποί τέμνει την ΓΔ στο Λ κι πό το Λ φέρνουμε πράλληλη στην ΑΔ που τέμνει την ΑΓ στο Ο. Ν δείξετε ότι το Ο είνι μέσο της ΑΓ. 7. Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι ΒΔ, ΓΕ τ ύψη του. Αν Μ μέσο της ΒΓ ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είνι ισοσκελές. 8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Αν Ε, Ζ, Η είνι τ μέσ των πλευρών ΒΓ, ΑΓ κι ΑΒ ντίστοιχ ν δείξετε ότι. ΔΗ = ΕΖ.

36 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 5 Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων 9. Από το μέσο Μ της άσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε πράλληλες προς τις πλευρές ΑΓ κι ΑΒ που τέμνουν τις ΑΒ κι ΑΓ στ σημεί Δ κι Ε. Ν δείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ κι ότι το ΑΒΓΔ είνι ρόμος. 0. Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι Κ, Λ, Μ τ μέσ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ κι ΑΓ ντίστοιχ. Αν είνι ΑΒ = cm, ΒΓ = 6cm κι ΑΓ = 6,8cm ν υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΚΛΜ.. Ν ποδείξετε ότι τ μέσ των πλευρών ισοσκελούς τριγώνου σχημτίζουν ισοσκελές τρίγωνο.. Δίνετι γωνί O κι Οδ ημιευθεί εσωτερική της κυρτής γωνίς O. Έστω Μ έν τυχίο σημείο της Οδ, πό το σημείο Μ φέρνουμε τις ΜΑ κι ΜΒ κάθετες στις πλευρές Ο κι O της γωνίς. Αν Κ είνι το μέσο της ΟΜ ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΚΒ είνι ισοσκελές.. Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι ΒΔ, ΓΕ τ ύψη του. Αν Μ είνι το μέσο της πλευράς του ΒΓ ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είνι ισοσκελές. Θεώρημ του Θλή. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε μι ευθεί πράλληλη προς την πλευρά ΒΓ, η οποί τέμνει τις πλευρές ΑΒ κι ΑΓ στ σημεί Δ κι Ε ντίστοιχ. Αν ΑΔ = cm, ΔΒ = cm. κι ΑΓ = 0,5 cm, ν υπολογίσετε τ τμήμτ ΑΕ κι ΕΓ. 5. Τρεις πράλληλες ευθείες ε, ε, ε τέμνουν τις ευθείες κι στ σημεί Α, Β, Γ κι Α', Β', Γ' ντίστοιχ όπως φίνετι στο σχήμ. Ν υπολογιστούν τ Α'Β' κι Α'Γ'. 6. Στο διπλνό σχήμ η ΔΕ είνι πράλληλη προς τη ΒΓ. Ν υπολογίσετε τ μήκη των πλευρών ΑΒ κι ΑΓ. 7. Στο διπλνό σχήμ είνι ΕΔ // ΑΒ κι ΕΖ // ΑΔ. Ν υπολογιστούν τ,. 8. Στο διπλνό σχήμ ισχύει: ΚΛ i) ΛΜ ΑΓ ΒΓ AB ΒΓ ΑΒ i ΑΓ, ΑΚ // ΒΛ // ΜΓ. Ν υπολογιστούν οι λόγοι: ΚΜ iv) ΚΛ

37 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 5 Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων 9. Στο διπλνό σχήμ το ΑΒΓ είνι ορθογώνιο με υποτείνουσ τη ΒΓ. Η ΔΕ είνι πράλληλη προς τη ΒΓ. Ν υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΓΔ. 50. Στο διπλνό σχήμ η ΔΕ είνι πράλληλη προς τη ΒΓ. i) Τι τιμές επιτρέπετι ν πάρει το, το οποίο συμολίζει μήκος ευθυγράμμου τμήμτος; Ν υπολογίσετε τ μήκη των πλευρών ΑΒ κι ΑΓ. 5. Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι ΑΔ η διχοτόμος του. Από την κορυφή Β φέρνουμε ευθεί Β πράλληλη της ΑΔ που τέμνει την προέκτση της πλευράς ΑΓ στο σημείο Ε.Ν ποδείξετε ότι i) το τρίγωνο ΑΒΕ είνι ισοσκελές ΒΔ ΔΓ ΑΒ ΑΓ 5. Στο διπλνό σχήμ είνι ΔΕ // ΒΓ κι ΕΖ // ΑΒ. Ν ποδείξετε ότι ΒΔ ΔΕ. ΒΑ ΒΓ 5. Στο διπλνό τρπέζιο ΑΒΓΔ δίνετι ότι: ΣΜ//ΔΓ, ΒΡ//ΑΔ, ΜΤ//ΑΔ, ΑΔ = 8, ΑΒ = 0, ΔΓ = 0, ΒΜ = + κι ΜΓ = + 9. Ν ρεθούν τ τμήμτ: i) ΣΑ v) ΤΓ ΣΔ vi) TΡ i ΜΒ v ΣΜ iv) ΜΓ 5. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε την διάμεσο ΑΜ κι Κ έν σημείο της διμέσου. Από το Κ φέρνουμε πράλληλες προς τις ΑΒ, ΑΓ που τέμνουν την ΒΓ στ Δ, Ε. Ν δείξετε ότι το Μ είνι μέσο του τμήμτος ΔΕ. Όμοι Πολύγων Όμοι Τρίγων 55. Οι πλευρές ενός τετρπλεύρου είνι, 8, 0 κι 6cm. Η μεγλύτερη πλευρά ενός τετρπλεύρου όμοιου προς υτό είνι 5cm. Βρείτε τις υπόλοιπες πλευρές του. 56. Δυο κνονικά εξάγων έχουν λόγο ομοιότητς λ=. Αν η περίμετρος του πρώτου είνι 7 cm ν ρείτε την περίμετρο του άλλου. 57. Δύο τετράπλευρ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ είνι όμοι με λόγο ομοιότητς /5. Αν η περίμετρος του ΕΖΗΘ είνι 0cm ν ρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ.

38 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 5 Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων Αν Δ, Ε, Ζ είνι τ μέσ των πλευρών ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ ενός τριγώνου ΑΒΓ, ν δείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ κι ΔΕΖ είνι όμοι. 59. Δύο κνονικά 8-γων είνι εγγεγρμμέν σε κύκλους με κτίνες 8cm, cm ντίστοιχ. Ν δείξετε ότι είνι όμοι κι ν ρείτε το λόγο ομοιότητς τους. 60. Δίνοντι τ πρλληλόγρμμ ΑΒΓΔ κι ΚΛΜΝ γι τ οποί ισχύουν: Ν εξετάσετε ν είνι όμοι. AB ΚΛ κι Αˆ Λˆ 80. AΔ ΚΝ 6. Στο διπλνό σχήμ ν ποδείξετε την ισότητ: ΑΔ ΔΕ ΑΓ ΒΓ 6. Στο διπλνό σχήμ είνι ΑΒ // ΓΔ. i) Ν δείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΟ, ΓΔΟ είνι όμοι. Αν είνι ΔΟ = 0cm, ΒΟ = 5cm, ΓΟ = 0cm, ν ρείτε την ΑΟ. 6. Δίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι ΒΔ, ΓΕ τ ύψη του. Ν δείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΔ, ΑΓΕ είνι όμοι κι ν γράψετε τις νλογίες των πλευρών 6. Στο διπλνό σχήμ η ΒΔ είνι διχοτόμος της Α Δˆ Γ. Τ τρίγων ΑΔΒ κι ΒΔΓ είνι όμοι. Αν είνι Αˆ Βˆ, ΑΔ = κι ΔΓ = 9 ν ρεθεί η ΒΔ. 65. Δίνετι πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ κι ΑΜ, ΑΝ κάθετες στις πλευρές ΓΔ, ΒΓ ντίστοιχ. Ν δείξετε ότι ΑΜΑΒ = ANΑΔ. 66. Δίνετι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 0 ) κι ΑΔ το ύψος του. i) Ν ποδείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ, ΑΒΔ, ΑΔΓ είνι όμοι. Ν ποδείξετε ότι ΑΒ = ΒΓ ΒΔ, ΑΓ = ΒΓ ΔΓ, ΑΔ = ΒΔ ΔΓ. i Ν ποδείξετε ότι ΒΓ = ΑΓ + ΑΒ (Πυθγόρειο Θεώρημ) iv) Ν ποδείξετε ότι ΑΒ ΑΓ = ΑΔ. ΒΓ 67. Σε κύκλο εγγράφουμε τρίγωνο ΑΒΓ κι φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ, που τέμνει τον κύκλο στο Ε. Ν δείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΕ κι ΒΕΔ είνι όμοι κθώς κι ότι ΕΒ = ΕΑ ΕΔ. Εμδά Όγκοι Ομοίων Σχημάτων 68. Έν πολύγωνο έχει εμδόν 00 cm. Αν διπλσιστούν οι πλευρές του, τι εμδόν θ έχει το νέο πολύγωνο; 69. Έν κνονικό οκτάγωνο έχει περίμετρο 8 cm κι εμδόν 80 cm. Ν ρείτε το εμδόν ενός άλλου κνονικού οκτγώνου, που έχει περίμετρο 7 cm.

39 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 5 Ισότητ Ομοιότητ Σχημάτων Δυο ορθογώνι πρλληλόγρμμ είνι όμοι. Το πρώτο έχει διστάσεις 6 κι 8 cm κι το δεύτερο διγώνιο 5 cm. Ν ρείτε το εμδόν του δεύτερου ορθογωνίου. 7. Έν τρπέζιο ΑΒΓΔ έχει άσεις ΑΒ=5 cm, ΓΔ= cm κι ύψος ΔΕ= cm. Ν ρείτε το εμδόν τρπεζίου όμοιου με το πρώτο με ύψος ίσο με τ ¾ του ύψους του πρώτου τρπεζίου. 7. Η πλευρά ενός κνονικού πεντγώνου είνι 8 εκ. Ν ρείτε την πλευρά ενός δεύτερου κνονικού πεντγώνου με εμδόν: i) πλάσιο πό το εμδόν του πρώτου πεντγώνου. πλάσιο πό το εμδόν του πρώτου πεντγώνου. 7. Ο λόγος των υψών δυο όμοιων κυλίνδρων είνι ½. Ν ρείτε τον όγκο του μεγλύτερου κυλίνδρου ν ο όγκος του μικρότερου είνι 0 cm. 7. Δυο ομόλογες πλευρές δυο όμοιων στερεών έχουν μήκη cm κι 6 cm ντίστοιχ. i) N ρείτε το λόγο των εμδών κι το λόγο των όγκων τους. Αν ο όγκος του μεγλύτερου είνι 50 cm, ποιος είνι ο ογκος του άλλου; 75. Δυο όμοιοι κύλινδροι έχουν όγκους V = 5 cm κι V = 5 cm. Ν ρείτε το λόγο των κτινών τους κι το λόγο των υψών τους. 76. Δύο όμοιοι κύλινδροι έχουν λόγο εμδών επιφνειών E 6. Ν ρεθεί ο λόγος των όγκων τους. E Δυο κώνοι πράγοντι πό τ ορθογώνι τρίγων ΟΚΑ κι ΟΛΒ. Αν είνι ΚΑ=6 cm, ΟΚ=8 cm κι OΛ. ΟΚ i) N δείξετε ότι: OΒ ΟΑ Ν ρεθεί το ΒΛ. i Ν ρεθούν τ πηλίκ επιφνειών κι όγκων των κώνων.

40 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 6 Τριγωνομετρί 7 Κεφάλιο 6 Τριγωνομετρί Η Θεωρί με Ερωτήσεις. Πως ορίζοντι οι. τριγωνομετρικοί ριθμοί ημίτονο, συνημίτονο κι εφπτομένη οξείς γωνίς σε ορθογώνιο τρίγωνο;. Ποιες γωνίες ονομάζοντι συμπληρωμτικές; Με τι ισούτι το ημ90 ω κι με τι το συν90 ω. Σε σύστημ ορθογωνίων ξόνων Ô θεωρούμε τυχίο σημείο Μ(, ); Πώς ορίζοντι οι τριγωνομετρικοί ριθμοί ημίτονο, συνημίτονο κι εφπτομένη της γωνίς ÔM ;. Τι τιμές επιτρέπετι ν πάρουν οι τριγωνομετρικοί ριθμοί ημίτονο, συνημίτονο τυχίς γωνίς;; 5. Τι γνωρίζετε γι το πρόσημο των τριγωνομετρικών ριθμών; [Πίνκς σ.00] 6. Ν ποδείξετε με τη οήθει ορθοκνονικού συστήμτος συντετγμένων τις ισότητες: ημ 80 ω ημω συν80 ω συνω εφ80 ω εφω.. Ποιες γωνίες ονομάζοντι πρπληρωμτικές; 7. Πώς μπορούμε ν ρούμε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς μις μλείς γωνίς, ότν ξέρουμε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς της πρπληρωμτικής της; 8. Ν ποδείξετε ότι γι τυχί γωνί ω στο επίπεδο ισχύει: ημω εφω με συνω 0. συνω 9. Ν ποδείξετε ότι γι τυχί γωνί ω στο επίπεδο ισχύει: ημ ω συν ω. 0. Διτυπώστε το νόμο των ημίτονων σε τρίγωνο ΑΒΓ.. Διτυπώστε το νόμο των συνημίτονων, ως προς την πλευρά σε τρίγωνο ΑΒΓ. Αν είνι Â = 90, πως θ γρφτεί ο νόμος των συνημίτονων ο' υτό το τρίγωνο; Ποιο θεώρημ προκύπτει;

41 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 6 Τριγωνομετρί 8 Ασκήσεις & Προλήμτ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείς Γωνίς. Ν υπολογιστούν οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με Â 90, ν είνι: ΑΓ = 9 cm κι ημβ = 5.. Δίνετι ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 5 κι ΒΓ =. Ν υπολογίσετε το ύψος του ΑΔ. Κι τις γωνίες του.. Ν υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί ριθμοί γωνίς 5 με την οήθει ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου με ΑΒ = ΑΓ =.. Ν υπολογιστεί η πλευρά ΓΔ στο διπλνό σχήμ: 5. Στο διπλνό ισοσκελές τρίγωνο η γωνί της κορυφής είνι 0 κι το ύψος στη άση του είνι 8 cm. Υπολογίστε το μήκος των πλευρών του. Δίνετι, Σε έν ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ με υποτείνουσ ΜΛ, ν ποδείξετε τις ισότητες: ημλ i) ημλ συνμ συνλ ημμ i εφλ iv) συνλ εφμ ημμ συνμ 7. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: ημω συν(90 ω) εφ60 εφ0 i) Α B i συνω ημ(90 ω) εφ5 εφ0 εφ60 iv) Δ ημ ημ... ημ5 συν6 συν7... συν89 ημ5 συν0 ημ60 Γ συν5 v) Ε συν συν67 ημ ημ66 vi) συν5 συν0 Z ημ5 ημ0 8. Αν ημ5 0 = 0,087 κι συν55 0 = 0,57 ν υπολογίσετε η: Α = ημ5 0 ημ5 0 + συν55 0 συν Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ: i) Α = 0. Δίνετι τρίγωνο με 60 ημφ συν 90 φ συν 90 φ B = ημφ ημ συνφ συν 90 φ συν90 φ 90 φ ημ90 φ Bˆ, ύψος ΑΔ =, ΔΓ =. Ν ελέγξετε ν το τρίγωνο είνι σκληνό, ισοσκελές ή ισόπλευρο δικιολογώντς την πάντηση σς... Ένς πρτηρητής πέχει m πό έν δέντρο κι λέπει την κορυφή του δέντρου υπό γωνί. Ν ρείτε το ύψος του δέντρου ν ξέρετε ότι τ μάτι του πρτηρητή πέχουν πό το έδφος,5 m.. Μι ομάδ ορειτών πρτήρησε την κορυφή Κ ενός κτκόρυφου ράχου πό το σημείο Α της οριζόντις επιφάνεις του εδάφους με γωνί ύψους 0 0. Στη συνέχει προχώρησε 0 μέτρ προς το 0 ράχο στο σημείο Β κι πρτήρησε την κορυφή με γωνί ύψους 0. Ν υπολογίσετε την ΚΒ κι το ύψος του ράχου.

42 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 6 Τριγωνομετρί Τριγωνομετρικοί Αριθμοί οποισδήποτε Γωνίς 9. Ν τοποθετηθούν σε ορθοκνονικό σύστημ συντετγμένων τ σημεί Α(, ), Β(, ), Γ(, 0), Δ(0, ). Υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς ριθμούς των γωνιών ÔA, Oˆ B, Oˆ Γ, Oˆ Δ.. Ν υπολογίσετε τ γινόμεν: i) A συν80 ημ90 εφ60 B συν60 ημ70 ( εφ60) 5. Ν ρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών ριθμών (χωρίς ν τους υπολογίσετε) των γωνιών 0, 8 0, 9 0, 75 0, 80 0, 8 0, 9 0, Ν 7. υπολογίσετε το πρόσημο των πρκάτω γινομένων κι πηλίκων: i) A συν9 ημ εφ6 ημ0 ημ0 συν εφ89 Β συν56 εφ99 ημ90 Ν ρείτε τη μέγιστη κι την ελάχιστη τιμή των πρστάσεων: i) A ημ 6 B συν i Γ ημ 5συν Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Πρπληρωμτικ ών Γωνιών 8. Με την οήθει των πινάκων ν υπολογίσετε τ πρκάτω: i) ημ99 συν05 i ημ70 iv) εφ0 9. Ν υπολογίσετε την πράστση: Α = ημ50 0 συν5 0 + η 0. Αν 80 π μ5 0 ημ5 0 + εφ ν υπολογίσετε τη τιμή της ράστσης: A ημ συν80 συν ημ80. Ν πλοποιήσετε το κλάσμ: ημ 80 συν εφ ημ φ εφ80 φ ημ. Ν υπολογίσετε την πράστση: Π = ημ5 συν60 ημ8 συν5 ημ0 ησυν5. i) Αν κι ημ = 0, ν υπολογίσετε το. Αν κι συν + = 0, ν υπολογίσετε το. i Αν κι συν + συν5 = 0, ν υπολογίσετε το. iv) Αν κι συν + = 0, ν υπολογίσετε το.. i) Αν κι εφ + = 0, ν υπολογίσετε το. Αν 0 80 κι ημω = 0, ν υπολογίσετε το. i Αν 0 80 κι συνω = 0, 866 = 0, ν υπολογίσετε το. iv) Αν 0 80 κι ημ ω 0,0 = 0, ν υπολογίσετε το.. Ν λυθ εί η εξίσωση ημ ημ + = 0. (Υπόδειξή: ν χρησιμοποιήσετε οηθητικό άγνωστο = ημ)

43 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 6 Τριγωνομετρί 0 6. Ν λυθο ύν οι πρκάτω εξισώσεις με το ν πίρνει τιμές ημ συν i ημ συν 0 i) ημ 0 Σχέσεις μετξύ Τριγωνομετρικών Αριθμών Γωνίς 7. N ποδειχθούν οι πρκάτω σχέσεις: i) συν εφ + ημ = ημ συν (ημ συν) + (συν ημ) + (ημ) = i (συν5 + ημ5 ) + (ημ5 συν5 ) = iv) + ημ συν = (ημ + συν) 8. Ν ποδείξετε ότι: i) ημ 7 συν 5 ημ 5 συν 8 συν 6 συν 7 9. Αν είνι 0. Αν είνι συνω κι 70 ω 60, ν ρεθούν οι τριγωνομετρικοί ριθμοί ημω κι εφω. 5 5 ημω κι 90 ω 80, ν ρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί ριθμοί της γωνίς ω.. Αν είνι 0 90 κι ημ = 0, ν υπολογίσετε το συν κι το ημ.. Αν είνι. Αν είνι κι 6ημ συν = 0, ν υπολογίσετε τη γωνί.. Αν είνι κι 7ημ = + συν, ν υπολογίσετε τη γωνί. κι 5. Αν είνι εφ, ν ρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί ριθμοί της γωνίς κι 69ημ = 0, ν ρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί ριθμοί της γωνίς. 6. Αν = ημ κι = συν ν ποδείξετε ότι: 9 ημ συν 7. Ν ποδει χθούν οι πρκάτω σχέσεις: i) συν ημ συν ημ ημ συν ημ συν ημσυν iv) ημ συν ημ συν 5 i συν ημ συν 8. Ν ποδειχθούν οι πρκάτω σχέσεις: i) ημ συν συν ημ 6ημ 8συν 8ημ 6συν 00 i ημ συν συν ημ iv) ημ συν ημ 9. Ν ποδειχθούν οι πρκάτω σχέσεις: i) συν εφ i ημφ συνφσυνφ ημφ συν φ iv) εφ εφσυν συν ημ συν

44 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 6 Τριγωνομετρί 0. Ν ποδειχθούν οι πρκάτω σχέσεις: ημ εφ i) συνθημθ συν θ ημ θ ημωσυνφ ημω ημφ συ εφ ημ εφ ημ νω iv) i. Ν ποδειχθούν οι πρκάτω σχέσεις: i) ημθ συνθ εφθ συν ημ συν εφ i iv) ημ συν συν ημ ημ εφ ημ εφ. Ν ποδειχθούν οι πρκάτω σχέσεις: ημ συν ημ συν i) συν ημ συν ημ συν i ημ iv) ημ συν συν ημ εφ. Ν ποδειχθούν οι πρκάτω σχέσεις: ημ ημ συν συν ημ συν εφ i) 0 συν συν ημ ημ ημ συν εφ i iv) εφω ημω ημω συν ω ημωσυνω εφω. Ν ποδειχθούν οι πρκάτω σχέσεις: συν ω ημ ω εφ ω i) ημ ω συν ω ημω συνω ημωσυνω ημω συνω εφω ημ ω ημωσυν ω συν συν i εφω iv) συνω ημ ημ 5. Αν = συνω με >0 κι 0 < ω < 90 0 ν συν πλοποιήσετε τις πρστάσεις Α = κι Β = A 6. Ν πλοποιηθούν οι πρκάτω σχέσεις: i) Α = ( ημ + συν) + (συν ημ) A = συν ( + εφ ) ημ i ημ συν ημ συν iv) A συν εφθσυν 90 θημ80 θ ημ συν v) A= vi) Α ημθ συν 90 θ εφ 80 θ ημ συν Νόμος Ημιτόνων 7. Δίνε τι ορθογώνιο κι ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 0 cm. Εφρμόζοντς το νόμο των ημιτόνων ν υπολογίσετε την υποτείνουσ του τριγώνου. Επληθεύστε το ποτέλεσμ με τη οήθει του Πυθγορείου Θεωρήμτος. 8. Ν επιλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ ότν: i) Bˆ 86, i Bˆ 8, Γˆ 8, Γˆ 9, 7,cm cm  0, iv) Αˆ 8, 7cm, 7,cm, γ cm,cm

45 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 6 Τριγωνομετρί 9. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει, ν δείξετε ότι είνι ισοσκελές. ημβ ημα 50. Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι Â 0, = 8 cm κι = cm. Υπολογίστε την γωνί Bˆ. 5. Α ν ΑΔ είνι η διχοτόμος της γωνίς Aεν ˆ ός τριγώνου ΑΒΓ, ν ποδείξετε ότι είνι: ΒΔ ΑΒ. ΔΓ ΑΓ 5. Ν ρείτε την περίμετρο κι το εμδόν τριγώνου ΑΒΓ στο οποίο: Â 0, 5cm, Bˆ Γˆ Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ όπου ΑΜ η διάμεσος του, ν ποδείξετε ότι είνι: ημβ ημμαˆ Β. ημγ ημμαˆ Γ γ Νόμος Συνημιτόνων 5. Ν επιλύσετε το τρίγωνο ΑΒΓ ότν: i) Â 7, cm, γ 5cm cm, 0cm, γ 8cm 55. Ν εφρμόσετε το νόμο των συνημιτόνων σε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 0 cm. Υπολογίστε με υτό τον τρόπο το συνημίτονο της γωνίς Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι A ˆ 60, = 0 cm κι γ = 6 cm. Υπολογίστε την πλευρά. 57. Οι δείκτες ενός ρολογιού έχουν μήκη cm κι 5 cm ντίστοιχ. Ν ρείτε την πόστση των κορυφών τους στις μ.μ 58. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ν ποδείξετε ότι ισχύει: = συνγ + γσυνβ. 59. Στο διπλνό τρπέζιο ν υπολογιστεί η πλευρά ΑΔ. 60. Δίνετι τρπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) με ΔΓ=6cm, ΑΒ= cm, ΒΓ= cm κι Bˆ 0 πλευρά ΑΔ κι τις υπόλοιπες γωνίες του. 6. Ν υπολογίσετε τις γωνίες ρόμου με περίμετρο 0 cm κι μι διγώνιο 5 cm 6. Ν υπολογίσετε τις διγώνιους ρόμου με περίμετρο cm κι μι γωνί 58. Ν υπολογίσετε την

46 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 7 Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων Ανισώσεων Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων Ανισώσεων Κεφάλιο 7 Η Θεωρί με Ερωτήσεις. Τι ονομάζουμε γρμμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο άγνωστους; Ποι είνι η μορφή του;. Τι ονομάζουμε επίλυση ενός συστήμτος; Τι ονομάζουμε λύση του συστήμτος;. Τι πριστάνει στο επίπεδο κάθε μι πό τις εξισώσεις ενός γρμμικού συστήμτος με δύο γνώστους;. Πώς επιλύουμε γρφικά έν σύστημ; Ν δοθούν πρδείγμτ. 5. Πότε έν γρμμικό σύστημ είνι δύντο; Ποι η γεωμετρική ερμηνεί γι τις ευθείες που πριστάνουν οι εξισώσεις του; 6. Πότε έν γρμμικό σύστημ είνι όριστο; Ποι η γεωμετρική ερμηνεί γι τις ευθείες που πριστάνουν οι εξισώσεις του; 7. Ποιες είνι οι λγερικές μέθοδοι επίλυσης ενός συστήμτος δύο γρμμικών εξισώσεων δύο γνώστων; 8. Πώς επιλύουμε έν σύστημ με τη μέθοδο της ντικτάστσης; 9. Πώς επιλύουμε έν σύστημ με τη μέθοδο των ντίθετων συντελεστών; 0. Έν σύστημ γρμμικών εξισώσεων, με δύο γνώστους είνι δυντό ν έχει δύο μόνο λύσεις;. Πώς λύνετι έν σύστημ δύο εξισώσεων, όπου η μί εξίσωση είνι ου θμού κι η άλλη ου ;. Ποι είνι η μορφή μις γρμμικής νίσωσης με δύο γνώστους;. Πότε λέμε ότι έν ζεύγος ριθμών (, ) ποτελεί λύση μις γρμμικής νίσωσης;. Πώς επιλύουμε έν σύστημ γρμμικών νισώσεων; 5. Ποι προλήμτ λέγοντι "προλήμτ γρμμικού προγρμμτισμού";

47 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 7 Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων Ανισώσεων Ασκήσεις & Προλήμτ Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων. Ν επιλυθούν γρφικά τ πρκάτω συστήμτ. i) i iv) γ. i) Πως ελέγχουμε λγερικά ν δυο ευθείες ε κι ε με εξισώσεις: τέμνοντι, γ τυτίζοντι ή είνι πράλληλες; 5 Οι ευθείες με εξισώσεις τέμνοντι, τυτίζοντι ή είνι πράλληλες; Δικιολογήστε 6 7 την πάντηση σς.. i) Πως διπιστώνουμε λγερικά ν μι ευθεί με εξίσωση: γ διέρχετι πό έν σημείο με συντετγμένες ( 0, 0 ); Η ευθεί με εξίσωση διέρχετι πό το σημείο με συντετγμένες (, ); i Σχεδιάστε σε ορθοκνονικό σύστημ ξόνων την ευθεί με εξίσωση κι επληθεύστε γρφικά την πάντηση σς στο πρπάνω ερώτημ. 0. Ν λυθεί το σύστημ: με τη μέθοδο της ντικτάστσης κι στη συνέχει με τη μέθοδο 6 0 των ντιθέτων συντελεστών. 5. Ν λυθούν τ συστήμτ. 5 6 i) i iv) Ν λυθούν τ συστήμτ. 7 κ λ i) i iv) 6 0 6κ λ 8 7. Ν λυθούν τ συστήμτ. 5 5 i) i iv) Ν λυθούν τ συστήμτ. κ λ 0 i) i iv) λ κ Ν λυθούν τ συστήμτ. μ 5ν 6 i) i iv) μ 0ν ω φ 8 5ω 7φ 5

48 Μθημτικά Γ Γυμνσίου Κεφάλιο 7 Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων Ανισώσεων 5 0. Ν λυθούν τ συστήμτ. i) i Ν λυθούν τ συστήμτ. i) 6 5,6 0, i. Ν λυθούν τ συστήμτ. i) ) ( i. Ν λυθούν τ συστήμτ. i) 5 i. Ν λυθούν τ συστήμτ. i) i Ν λυθούν τ συστήμτ. i) i Ν λυθούν τ συστήμτ. i) i 0 7. i) Ποι η τιμή των, ώστε η εξίσωση + + = 0 ν ληθεύει γι = κι =. Ν ρεθούν τ, ώστε η εξίσωση + + = 0 ν ληθεύει γι = κι =. 8. Ν ρείτε δυο ριθμούς που έχουν άθροισμ 6 κι διφορά. 9. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είνι 6 cm, ενώ το εμδόν του είνι 0 cm. Ν υπολογιστούν το μήκος κι το ύψος του. 0. Σ' έν ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμ των δύο κάθετων πλευρών του είνι 7cm ενώ το εμδόν του είνι 6cm. Ν ρεθούν οι κάθετες πλευρές.