Δείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη"

Transcript

1 Δείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

2 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που γεννιούνται κατά την σύγκριση δύο ή περισσοτέρων στατιστικών κατανομών, κάνουν φανερή την ανάγκη υπολογισμού ορισμένων συγκεντρωτικών τιμών ή παραμέτρων οι οποίες: α) θα χαρακτηρίζουν τη θέση στην οποία τείνουν να συγκεντρωθούν οι τιμές μιας μεταβλητής, β) τον τρόπο που αυτές είναι διεσπαρμένες γύρω από τη θέση αυτή, καθώς και γ) τη μορφή που παρουσιάζει γραφικά η κατανομή των δεδομένων τιμών της. 1

3 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Με τις στατιστικές παραμέτρους των εμπειρικών κατανομών παρέχεται η δυνατότητα: Να καθοριστεί η κεντρική θέση της κατανομής ή, καλύτερα, να προσδιοριστεί το σημείο που αντιστοιχεί στην τιμή της μεταβλητής γύρω από την οποία τείνουν να συγκεντρωθούν οι μονάδες του πληθυσμού. Να καθοριστεί η διασπορά, που προσδιορίζει κατά πόσο οι τιμές μιας μεταβλητής είναι συγκεντρωμένες ή όχι γύρω από μία παράμετρο θέσης. 2

4 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Με τις στατιστικές παραμέτρους των εμπειρικών κατανομών παρέχεται η δυνατότητα (συνέχεια): Ø Να καθοριστεί η ασυμμετρία της κατανομής, δηλαδή η απόκλιση που παρουσιάζει η καμπύλη συχνοτήτων από μια συγκεκριμένη συμμετρική καμπύλη, και η κυρτότητά της, δηλαδή κατά πόσο αιχμηρή ή πεπλατισμένη είναι η καμπύλη συχνοτήτων. Ø Να καθοριστεί η απόκλιση της κατανομής από την κατάσταση ισότητας, πόσο δηλαδή αποκλίνει η καμπύλη συγκέντρωσης της κατανομής από αυτή της ισοκατανομής των ατόμων του πληθυσμού με την κατανομή της συγκεκριμένης μεταβλητής. 3

5 Δείκτες Κεντρικής Τάσης q Η Επικρατούσα ή Δεσπόζουσα Τιμή [Mode] q Ο Αριθμητικός Μέσος [Μean] q Η Διάμεσος [Μedian] q Τα Τεταρτημόρια [Quartiles] Καθορίζουν την τιμή της μεταβλητής γύρω από την οποία τείνουν να συγκεντρωθούν οι μονάδες του πληθυσμού. 4

6 Τιμές Η Επικρατούσα Τιμή (Mode) Παράδειγμα 1 (απλή κατανομή): Τεστ γλωσσικής ικανότητας 50 μαθητών της ΣΤ δημοτικού (αξιολόγηση σε κλίμακα από το 1 έως το 10). Συχνότητες (ni) Σύνολο Ν=50 Ποιος βαθμός συναντάται τις περισσότερες φορές; Η επικρατούσα τιμή αυτής της κατανομής 5 είναι το 6.

7 Η Επικρατούσα Τιμή (Mode) Παράδειγμα 2 (ομαδοποιημένη κατανομή): Ηλικίες 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητες (ni) Σύνολο Ν=124 Ποιά είναι η επικρατέστερη ηλικία; 6

8 Η Επικρατούσα Τιμή (Mode) Παράδειγμα 2 (συνέχεια) (ομαδοποιημένη κατανομή): Ηλικίες 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Διαστήματα Κλίμακας Μέσο Διαστήματος Συχνότητες (ni) Δημιουργούμε τη στήλη «μέσο διαστήματος» Σύνολο Ν=124 Η επικρατούσα τιμή αυτής της κατανομής είναι 7 το 36, η μέση τιμή του διαστήματος 34-38

9 Η Επικρατούσα Τιμή (Mode) q Είναι η τιμή που συναντάται τις περισσότερες φορές σε μια κατανομή. Είναι δηλαδή, η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα q Χρησιμοποιείται συνήθως για την περιγραφή κατηγορικών (ποιοτικών) μεταβλητών q Μπορεί να υπάρχουν δύο ή και περισσότερες δεσπόζουσες τιμές σε μια κατανομή (δίκορφη, ή πολύκορφη κατανομή) 8

10 Η Επικρατούσα Τιμή (Mode) Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Δείχνει την πιο συχνή τιμή της κατανομής Μένει ανεπηρέαστη από ακραίες τιμές Μπορεί να υπολογιστεί όταν οι ακραίες τιμές είναι άγνωστες Δεν λαμβάνει υπόψη την ακριβή τιμή του κάθε στοιχείου Δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστούν παράμετροι του πληθυσμού Δεν είναι πολύ χρήσιμη για μικρό αριθμό δεδομένων 9

11 Μέσος Όρος (Mean) Παράδειγμα 1 (απλή κατανομή): Τιμές: X = =

12 Μέσος Όρος (Mean) Παράδειγμα 2 (ομαδοποιημένη κατανομή, διακριτή μεταβλητή): Μάθημα Βαθμολογία Βαρύτητα Νέα Ελληνικά 12 4 Αρχαία 16 4 Μαθηματικά 18 2 Φυσική 14 1 Ποιά είναι η μέση αξιολόγηση του μαθητή; X" = 12 4(16 4(18 2( = = 14, 72 11

13 Μέσος Όρος (Mean) Παράδειγμα 3 (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή): Ώρες απουσίας Συχνότητες (ni) Σύνολο Ν=124 Δίνονται τα διαστήματα των ωρών απουσίας 124 μαθητών κατά τη διάρκεια μιας σχολικής χρονιάς. Πόσες απουσίες έκαναν οι μαθητές κατά μέσο όρο; 12

14 Μέσος Όρος (Mean) Παράδειγμα 3 (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή): Ώρες Μέσο Συχνότητες απουσίας Διαστήματος (ni) Σύνολο Ν= Δημιουργούμε τη στήλη «μέσο διαστήματος»

15 Μέσος Όρος (Mean) Παράδειγμα 3 (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή): Ώρες απουσίας Μέσο Διαστήματος Συχνότητες (ni) Σύνολο Ν=124 X" = ( = = 38, 61

16 Μέσος Όρος (Mean) q Η μέση τιμή της κατανομής, που ορίζεται ως το πηλίκο του συνόλου των τιμών μιας κατανομής με τον αριθμό των ατόμων που συμμετέχουν σε αυτή. q Είναι η πιο αντιπροσωπευτική τιμή της κατανομής. 15

17 Μέσος Όρος (Mean) Και ο τύποι υπολογισμού. Απλή Κατανομή X = X = å X i å Αριθμητής = άθροισμα των γινομένων των μέσων τιμών κάθε διαστήματος επί τη συχνότητά τους N Ν= μέγεθος δείγματος (ή άθροισμα συχνοτήτων) N Ομαδοποιημένη Κατανομή n i X i 16

18 Μέσος Όρος (Mean) Πλεονεκτήματα Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των παραμέτρων του πληθυσμού (παραμετρικά τεστ) Μειονεκτήματα Είναι ευαίσθητος στις ακραίες τιμές των δεδομένων της κατανομής Επειδή υπολογίζεται αλγεβρικά, η τιμή του είναι πιθανό να μην ανήκει στις τιμές της κατανομής 17

19 Η Διάμεσος ή Διχοτόμος (Median) Παράδειγμα 1. Ποια τιμή διχοτομεί τις υπόλοιπες; (απλή κατανομή, περιττό πλήθος παρατηρήσεων) Διάμεσος Τιμές: Ιεραρχημένες Τιμές: Θέση: Μεσαία Θέση N Θέση : = = 2 2 5

20 Η Διάμεσος ή Διχοτόμος (Median) Παράδειγμα 2. Ποια τιμή διχοτομεί τις υπόλοιπες; (απλή κατανομή, άρτιο πλήθος παρατηρήσεων) Ιεραρχημένες Τιμές: Διάμεσος 17,5 Θέση Ταξινόμησης: N Θέση : = = 2 2 4,5 Μεσαία Θέση 4,5 19

21 Η Διάμεσος ή Διχοτόμος (Median) Παράδειγμα 3. Δίνεται ο αριθμός των μαθημάτων στα οποία διαγωνίστηκαν με επιτυχία 120 τριτοετείς φοιτητές ενός τμήματος την περίοδο του Ιουνίου. Αριθμός μαθημάτων Συχνότητα (ni) Σύνολο Ν=120 Ποια τιμή διχοτομεί τις υπόλοιπες; (ομαδοποιημένη κατανομή, διακριτή μεταβλητή) ή Κάτω (ή πάνω) από πόσα μαθήματα πέρασαν οι μισοί φοιτητές; 20

22 Η Διάμεσος ή Διχοτόμος (Median) Παράδειγμα 3 (συνέχεια). Δίνεται ο αριθμός των μαθημάτων στα οποία διαγωνίστηκαν με επιτυχία 120 τριτοετείς φοιτητές ενός τμήματος την περίοδο του Ιουνίου. Αριθμός Συχνότητα (ni) Αθροιστική μαθημάτων Συχνότητα Φi Σύνολο Ν=120 Δημιουργούμε τη στήλη της αθροιστικής συχνότητας N 2 Άρα Μ = 4 21 (60)

23 Η Διάμεσος ή Διχοτόμος (Median) Παράδειγμα 4. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Ποιά είναι η διάμεση ηλικία αυτών; (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητα (ni) Σύνολο Ν=124 22

24 Η Διάμεσος ή Διχοτόμος (Median) Παράδειγμα 4. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Ποιά είναι η διάμεση ηλικία αυτών; (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητα (ni) Σύνολο Ν=124 Δημιουργούμε τη στήλη της αθροιστικής συχνότητας 23

25 Η Διάμεσος ή Διχοτόμος (Median) Παράδειγμα 4. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Ποιά είναι η διάμεση ηλικία αυτών; (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητα (ni) Αθροιστική Συχνότητα Φi (21) (26) (31) (36) (41) (46) (51) Σύνολο Ν=124 Παίρνουμε «μέσο διαστήματος» N 2 24 το (62) Άρα Μ = 36

26 Η Διάμεσος ή Διχοτόμος (Median) q Είναι η τιμή που χωρίζει την κατανομή σε δύο ίσα τμήματα q Για να υπολογίσουμε τη διάμεσο μιας απλής κατανομής θα πρέπει πρώτα να ιεραρχήσουμε τις τιμές της (αρχίζοντας από τη μικρότερη) q Στη συνέχεια επιλέγουμε την τιμή που βρίσκεται στη μεσαία θέση της κατανομής 25

27 Η Διάμεσος ή Διχοτόμος (Median) Πλεονεκτήματα Δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές, οπότε είναι ο καλύτερος δείκτης κεντρικής τάσης σε ασύμμετρη κατανομή Μπορεί να υπολογιστεί ακόμη και όταν δεν γνωρίζουμε τις ακραίες τιμές Μειονεκτήματα Δεν λαμβάνει υπόψη την ακριβή τιμή του κάθε στοιχείου Δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστούν παράμετροι του πληθυσμού Εάν οι τιμές της κατανομής είναι λίγες τότε η διάμεσος δεν τις αντιπροσωπεύει με ακρίβεια 26

28 Σχέση μέσης, διάμεσης και επικρατέστερης Θετικά Ασύμμετρη Αρνητικά Ασύμμετρη Συμμετρική

29 Σχέση μέσης, διάμεσης και επικρατέστερης Βαθμολογία 12,

30 Σχέση μέσης, διάμεσης και επικρατέστερης 29

31 Σχέση μέσης, διάμεσης και επικρατέστερης 30

32 Ποιος δείκτης είναι ο καταλληλότερος; q Όταν η κατανομή των δεδομένων μας είναι συμμετρική, τότε οι τιμές και των τριών δεικτών είναι ίδιες, αλλά προτιμάμε τον μέσο όρο. q Όταν η κατανομή των δεδομένων μας είναι ασύμμετρη τότε καταλληλότερος δείκτης είναι η διάμεσος. q Όταν υπάρχει ανάγκη για μια γρήγορη και κατά προσέγγιση εκτίμηση της κεντρικής τάσης, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη επικρατούσα τιμή. 31

33 Τεταρτημόρια (Quartiles) Τεταρτηµόρια: Τα σηµεία που χωρίζουν την κατανοµή σε τέσσερα ίσα µέρη: q1ο τεταρτηµόριο ή Q1 ή Q25 q2ο τεταρτηµόριο ή Q1 ή Q25 ή διάµεσος q3ο τεταρτηµόριο ή Q3 ή Q75 Τα τεταρτηµόρια υπολογίζονται µε παρόµοιο τρόπο όπως η διάµεσος.

34 Τεταρτημόρια (Quartiles) Q25 Παράδειγμα 1. Κάτω από ποιά τιμή βρίσκεται το 25% των τιμών (απλή κατανομή) Τιμές: Ιεραρχημένες Τιμές: Q25 14 Θέση: N 1 10 Θέση : = = Θέση 2,5 2,5 33

35 Τεταρτημόρια (Quartiles) Q75 Παράδειγμα 2. Πάνω από ποιά τιμή βρίσκεται το 25% των τιμών (απλή κατανομή) Ιεραρχημένες Τιμές: Q75 21,75 Θέση Ταξινόμησης: (N+ 1) 27 Θέση : 3 = = 4 4 6,75 Θέση 6,75 34

36 Παράδειγμα 3. Δίνεται ο αριθμός των μαθημάτων στα οποία διαγωνίστηκαν με επιτυχία 120 τριτοετείς φοιτητές ενός τμήματος την περίοδο του Ιουνίου. Αριθμός μαθημάτων Συχνότητα (ni) Σύνολο Ν=120 Τεταρτημόρια (Quartiles) Να υπολογιστούν το 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο. (ομαδοποιημένη κατανομή, διακριτή μεταβλητή) ή Κάτω (πάνω) από πόσα μαθήματα πέρασαν το 25% των φοιτητών; 35

37 Τεταρτημόρια (Quartiles) Q25 Παράδειγμα 3 (συνέχεια). Δίνεται ο αριθμός των μαθημάτων στα οποία διαγωνίστηκαν με επιτυχία 120 τριτοετείς φοιτητές ενός τμήματος την περίοδο του Ιουνίου. Αριθμός Συχνότητα (ni) Αθροιστική μαθημάτων Συχνότητα Φi Σύνολο Ν=120 Δημιουργούμε τη στήλη της αθροιστικής συχνότητας N 4 36 (30) Άρα Q25 = 3

38 Τεταρτημόρια (Quartiles) Q75 Παράδειγμα 3 (συνέχεια). Δίνεται ο αριθμός των μαθημάτων στα οποία διαγωνίστηκαν με επιτυχία 120 τριτοετείς φοιτητές ενός τμήματος την περίοδο του Ιουνίου. Αριθμός Συχνότητα (ni) Αθροιστική μαθημάτων Συχνότητα Φi Σύνολο Ν=120 Δημιουργούμε τη στήλη της αθροιστικής συχνότητας 3N 4 37 (90) Άρα Q75 = 5

39 Τεταρτημόρια (Quartiles) Παράδειγμα 4. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Να υπολογιστούν τα Q25 και Q75 (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητα (ni) Σύνολο Ν=124 38

40 Διαστήματα Κλίμακας Τεταρτημόρια (Quartiles) Παράδειγμα 4. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Να υπολογιστούν τα Q25 και Q75 (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Δημιουργούμε Συχνότητα (ni) Αθροιστική Συχνότητα Φi Σύνολο Ν=124 τη στήλη της αθροιστικής συχνότητας 39

41 Τεταρτημόρια (Quartiles) Q25 Παράδειγμα 4. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Να υπολογιστούν τα Q25 και Q75 (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητα (ni) Αθροιστική Συχνότητα Φi (21) (26) (31) (36) (41) (46) (51) Σύνολο Ν=124 Παίρνουμε «μέσο διαστήματος» N 4 Άρα Q25 = (31) το

42 Τεταρτημόρια (Quartiles) Q75 Παράδειγμα 4. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Να υπολογιστούν τα Q25 και Q75 (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητα (ni) Αθροιστική Συχνότητα Φi (21) (26) (31) (36) (41) (46) (51) Σύνολο Ν=124 Παίρνουμε «μέσο διαστήματος» 3N 4 Άρα Q75 = 41 (93) το

43 Εύκολο ή Δύσκολο Παράδειγμα Μερικά Στατιστικά από τις εξετάσεις ενός μαθήματος (κλίμακα αξιολόγησης 0-10): qν = 113 qμέσος όρος, μ = 3,75 qδιάμεσος, Μ = 3 qεπικρατούσα τιμή, Τ = 0 qq25 = 1 qq75 = 7 Σε ποια συμπεράσματα καταλήγετε; 42

44 Δείκτες Διασποράς qεύρος (range), qενδοτεταρτημοριακό εύρος (interquartile range), qμέση αριθμητική απόκλιση (mean deviation) qδιακύμανση (variance) qτυπική απόκλιση (standard deviation), και q Συντελεστής Μεταβλητότητας (Coefficient of Variation) Καθορίζουν τον τρόπο που αυτές είναι διεσπαρμένες γύρω από τις παραμέτρους κεντρικής θέσης.

45 Χρησιμότητα - Ένα παράδειγμα Ένας καθηγητής Ιστορίας έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται στον Πίνακα: Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση;

46 q Οι επιδόσεις των µαθητών των δύο τµηµάτων δεν είναι οι ίδιες q Ωστόσο, οι τιµές και των τριών δεικτών κεντρικής τάσης είναι ακριβώς οι ίδιες µεταξύ των δύο οµάδων! q Η επικρατούσα τιµή και για τα δύο τµήµατα είναι η τιµή 17 (η συχνότητά της είναι 6 και στα δύο τµήµατα) q Η διάµεσος και στις δύο οµάδες είναι 16,75 q Τέλος, ο αριθµητικός µέσος όρος και των δύο οµάδων είναι επίσης ο ίδιος: 16,24 q Άρα; Χρησιμότητα - Ένα παράδειγμα

47 Χρησιμότητα - Ένα παράδειγμα X1 = X2 = 16,24 Μ1 = Μ2 = 16,75 T1 = T2 = 17 Σε τι διαφέρουν τα δύο ιστογράµµατα; 46

48 Εύρος Η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής της κατανομής Πλεονεκτήματα: q Είναι πολύ εύκολο στον υπολογισμό του q Περιλαμβάνει και τις ακραίες τιμές της κατανομής Μειονεκτήματα: q Αλλοιώνεται από τις ακραίες τιμές με αποτέλεσμα, σε πολλές περιπτώσεις, να μην παρουσιάζει μια αντιπροσωπευτική εικόνα της διασποράς της κατανομής q Δεν παρέχει καμιά πληροφορία σχετικά με τη διασπορά των τιμών μεταξύ των άκρων της κατανομής. Για παράδειγμα, δεν μας λέει τίποτα για τη διασπορά των τιμών της κατανομής γύρω από το μέσο όρο

49 Ενδοτεταρτημοριακό εύρος Ενδοτεταρτηµοριακό εύρος: Το εύρος του κεντρικού 50% των τιµών µιας κατανοµής q Το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος ισούται µε τη διαφορά µεταξύ του 1ου και του 3ου τεταρτηµορίου. q Υπολογίζουµε την τιµή των δύο τεταρτηµορίων: q1ο τεταρτηµόριο = 14,26 q3ο τεταρτηµόριο = 17,75 Εποµένως: 3ο τεταρτηµόριο- 1ο τεταρτηµόριο = 17,75 14,26 = 3,49

50 Ενδοτεταρτημοριακό εύρος Πλεονεκτήματα: q Δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές q Είναι σχετικά εύκολο στον υπολογισμό του q Είναι αντιπροσωπευτικό των κεντρικών τιμών της κατανομής Μειονεκτήματα: q Δεν λαμβάνει υπόψη τις ακραίες τιμές της κατανομής q Όπως και το εύρος, δεν επιτρέπει την ακριβή ερμηνεία μιας συγκεκριμένης τιμής της κατανομής q Δεν είναι ακριβές όταν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα κατά μεγάλα διαστήματα τιμών q Όπως και η διάμεσος, δεν περιγράφει καμιά από τις παραμέτρους, οι οποίες είναι βασικές για την επαγωγική στατιστική

51 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Διακύµανση ή διασπορά (Variance) της κατανοµής της µεταβλητής Χ είναι ο αριθµητικός µέσος των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιµών της µεταβλητής από τη µέση τιµή της. Ο τύπος υπολογισµού της διακύµανσης Απλή Κατανομή 1 n 2 σ = å Xi -X n i= 1 ( ) 2 Ομαδοποιημένη Κατανομή n 2 1 σ = å n ( X ) 2 i i -X n i= 1 50

52 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Τυπική απόκλιση (Standard Deviation): Δείκτης διασποράς αντιπροσωπευτικός των αποκλίσεων µιας οµάδας τιµών από τον µέσο όρο τους, πόσο απέχουν οι τιµές από τον µ.ο. Χαμηλή τυπική απόκλιση σημαίνει ότι οι τιμές έχουν την τάση να βρίσκονται κοντά στον μ.ο., ενώ υψηλή τυπική απόκλιση σημαίνει ότι οι τιμές είναι διεσπαρμένες (υπάρχει μεγάλο εύρος τιμών). Η τυπική απόκλιση ισούται µε την τετραγωνική ρίζα της διασποράς. 2 σ= σ

53 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Δίνονται οι τιµές 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Ο µέσος όρος τους είναι Υπολογίζουµε τη διαφορά κάθε τιµής από τη µέση τιµή και στη συνέχεια υψώνουµε στο τετράγωνο: = 5 8 ( ) ( ) =(-3) =9 5-5 =(0) =0 ( ) ( ) =(-1) =1 5-5 =(0) =0 ( ) ( ) =(-1) =1 7-5 =(2) =4 ( ) ( ) =(-1) =1 9-5 =(4) =16 Έπειτα διαιρούµε το άθροισµά τους µε το πλήθος των τιµών: = 4 Η διακύµανση είναι ίση µε 4 και η 52 τυπική απόκλιση ρίζα(4) = 2

54 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Παράδειγμα. Επιδόσεις 21 μαθητών Γυμνασίου σε ένα διαγώνισμα. Υπολογισμός διακύμανσης και τυπικής απόκλισης. Βαθμοί d = X - X ni n ( X X i i i - ) = = = = = = = = = Σύνολο Ν= n 2 σ = å ni Xi -X n i= 1 99 = = 21 4,71 σ = 4,71=2,17 ( ) 2

55 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Παράδειγμα. Επιδόσεις 21 μαθητών Γυμνασίου σε ένα διαγώνισμα. Υπολογισμός διακύμανσης και τυπικής απόκλισης. α. Να υπολογιστεί η διακύμανση της βαθμολογίας. (ομαδοποιημένη κατανομή, διακριτή μεταβλητή) β. Πόσο απέχουν οι βαθμολογίες κατά μ.ο. από τον μέσο βαθμό; 1 n 2 σ = å ni Xi -X n i= 1 ( ) 2 99 = = 4,71 21 s = 4,71=2,17 βαθµοί 54

56 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Παράδειγμα. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Ποιά είναι η διάμεση ηλικία αυτών; (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητα (ni) Σύνολο Ν=124 55

57 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Παράδειγμα. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Ποιά είναι η διάμεση ηλικία αυτών; (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητα (ni) (21) (26) (31) (36) (41) (46) (51) 10 Σύνολο Ν=124 Παίρνουμε το μέσο του διαστήματος 56

58 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Παράδειγμα. Ηλικία 124 επιβατών ενός αεροπλάνου. Ποιά είναι η διάμεση ηλικία αυτών; (ομαδοποιημένη κατανομή, συνεχής μεταβλητή) Διαστήματα Κλίμακας Συχνότητα (ni) (21) (26) (31) (36) (41) (46) (51) 10 Σύνολο Ν=124 και εφαρμόζουμε τους τύπους της διακύμανσης, τυπικής απόκλισης, όπως προηγούμενα 1 n 2 σ = å ni Xi -X n i= 1 s = s 2 ( ) 2 57

59 Τυπική απόκλιση Πλεονεκτήµατα: q Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό των παραµέτρων του πληθυσµού q Λαµβάνει υπόψη όλες τις τιµές της κατανοµής q Είναι ο πιο ευαίσθητος από τους δείκτες διασποράς Μειονεκτήµατα: q Ο υπολογισµός της είναι σχετικά πιο περίπλοκος σε σχέση µε τους υπόλοιπους δείκτες διασποράς q Είναι πολύ ευαίσθητη στις ακραίες τιµές της κατανοµής

60 Συντελεστής Μεταβλητότητας (CV) Παράδειγμα. Το μέσο ημερομίσθιο 250 εργαζομένων είναι 30ευρώ με τυπική απόκλιση 10ευρώ, ενώ ο μέσος αριθμός των ημερομισθίων που πραγματοποίησαν αυτοί τον Μάρτιο είναι 16 μέρες με τυπική απόκλιση 4,8 μέρες. Ποια από τις δύο κατανομές είναι πιο διεσπαρμένη; Αν θελήσουμε να συγκρίνουμε τις διασπορές των δύο μεταβλητών, θα διαπιστώσουμε ότι αυτό δεν είναι δυνατό να συμβεί συγκρίνοντας τις δύο τυπικές αποκλίσεις που εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες. σ 10 s 1 = 10ευρώ 1 CV 1= = =0,3 ή 30% Χ s 2 = 4,8µέρες Καταλήγουμε έτσι στις σχετικές τυπικές αποκλίσεις CV. σ 4,8 2 CV 2= = =0,3 ή 30% Χ2 16 από όπου διαπιστώνουμε ότι δεν διαφέρουν οι διασπορές των δύο κατανομών.

61 Συντελεστής Μεταβλητότητας (CV) -Ο συντελεστής µεταβλητότητας (σχετική τυπικη απόκλιση) χρησιµοποιείται για να συγκρίνουµε τη µεταβλητότητα δύο κατανοµών. -Εκφράζει τη µεταβλητότητα των µετρήσεων απαλλαγµένη από τη µέση τιµή. Διαφορετικά µπορούµε να πούµε ότι ο συντελεστής µεταβλητότητας εκφράζει τη µεταβλητότητα των µετρήσεων ως ποσοστό της µέσης τιµής τους. σ σ CV= ή CV= 100% Χ Χ -Χαμηλές τιμές του CV φανερώνουν ομοιογένεια, μικρή μεταβλητότητα των δεδομένων. Χάνει την αξιοπιστία του όταν υπάρχουν αρνητικές τιμές στα δεδομένα. 60

62 Άσκηση Κατανόησης Οι βαθμολογίες των φοιτητών ενός μαθήματος τον Ιούνιο του 2011 είχαν μέση τιμή = 7,5 και τυπική απόκλιση = 0,6 και τον Ιούνιο του 2012 είχαν μέση τιμή = 5,5 και τυπική απόκλιση = 1,1. Ένας φοιτητής βαθμολογήθηκε στις εξετάσεις του Ιουνίου 2007 με 8 και ένας άλλος φοιτητής βαθμολογήθηκε στις εξετάσεις του Ιουνίου 2008 με 7. Ποιος από τους δύο φοιτητές πήγε καλύτερα στο μάθημα, αν ληφθεί υπόψη η εξεταστική περίοδος στην οποία συμμετείχε; 61

63 Επιλέγοντας τον κατάλληλο δείκτη διασποράς q Μεγάλη σηµασία έχουν οι ακραίες τιµές στην επιλογή του κατάλληλου δείκτη. q Έτσι, στην ιεραρχική κλίµακα µέτρησης, µεγαλύτεροι αριθµοί δείχνουν µεγαλύτερη ποσότητα από οτιδήποτε µετριέται, αλλά µεγαλύτερες και µικρότερες διαφορές µεταξύ των αριθµών µπορεί να µη δείχνουν µεγαλύτερες και µικρότερες διαφορές ανάµεσα στα πράγµατα που µετρώνται. Σε µια τέτοια περίπτωση αρκεί ο υπολογισµός του εύρους. q Σε κλίµακα ίσων διαστηµάτων ή αναλογική κλίµακα, µεγάλες διαφορές στις µετρήσεις αντιστοιχούν πράγµατι σε µεγάλες διαφορές στα πράγµατα που µετρώνται. Σε αυτή την περίπτωση, και εφόσον δεν αναµένεται να υπάρχουν ακραίες τιµές, επιλέγουµε το µέσο όρο και την τυπική απόκλιση.

64 Επιλέγοντας τον κατάλληλο δείκτη διασποράς q Αν είναι πιθανό να υπάρχουν ακραίες τιµές τότε πρέπει να χρησιµοποιούνται η διάµεσος και το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος. q Ο συνηθέστερος τρόπος περιγραφής της διασποράς των τιµών µιας µεταβλητής είναι µέσω της τυπικής απόκλισης. Ο σηµαντικότερος λόγος για τον οποίο προτιµάται η τυπική απόκλιση από τους υπόλοιπους δείκτες διασποράς είναι η δυνατότητα που προσφέρει να υπολογίσουµε παραµέτρους του πληθυσµού.

65 Θηκόγραμμα - Boxplot (1) Το Boxplot είναι ένας βολικός τρόπος γραφικής αναπαράστασης μιας μεταβλητής, ως προς πέντε βασικές παραμέτρους που συνοψίζουν την κατανομή της: - την ελάχιστη τιμή (min) - το 1 ο τεταρτημόριο (Q25 ή Q1) - τη διάμεσο (Q50 ή Q2) - το τρίτο τεταρτημόριο (Q75 ή Q3) - και τη μέγιστη τιμή (max). Με το boxplot, μπορούμε επιπλέον να εντοπίσουμε τυχόν ακραίες τιμές (outliers) μιας μεταβλητής. 64

66 Θηκόγραμμα - Boxplot (2) Ø Κάθε πλαίσιο-κουτί απεικονίζει το Q 1, τη διάμεσο (Μ) και το Q 3. Ø Οι απολήξεις (μουστάκια) υποδεικνύουν τα όρια των τιμών min και max όταν το μήκος τους είναι μικρότερο από (1.5*(Q 3 Q 1 )) Ø Τιμές που βρίσκονται πάνω από (1.5*(Q 3 Q 1 )) ονομάζονται ύποπτα ακραίες (outlier). Ø Ø Τιμές που βρίσκονται πάνω από (3*(Q 3 Q 1 )) ονομάζονται ακραίες (extreme). Κατανομές με συμμετρικά θηκογράμματα 65 πλησιάζουν την κανονική.

67 Θηκόγραμμα - Boxplot (3) Ø Κάθε πλαίσιο-κουτί απεικονίζει το Q 1, τη διάμεσο (Μ) και το Q 3. Ø Οι απολήξεις (μουστάκια) υποδεικνύουν τα όρια των τιμών min και max όταν το μήκος τους είναι μικρότερο από (1.5*(Q 3 Q 1 )) Ø Τιμές που βρίσκονται πάνω από (1.5*(Q 3 Q 1 )) ονομάζονται ύποπτα ακραίες (outlier). Ø Ø Τιμές που βρίσκονται πάνω από (3*(Q 3 Q 1 )) ονομάζονται ακραίες (extreme). Κατανομές με συμμετρικά θηκογράμματα 66 πλησιάζουν την κανονική.

68 Θηκόγραμμα - Boxplot (4) Το boxplot, όπως και το ιστόγραμμα, μας επιτρέπει να κρίνουμε αν η κατανομή μιας συνεχούς μεταβλητής είναι κανονική. Για να κάνουμε αυτήν την παραδοχή ϑα πρέπει: η διάμεσος να μην αποκλίνει σημαντικά προς το πρώτο ή το τρίτο τεταρτομόριο, δηλαδή η γραμμή που αντιστοιχεί στη διάμεσο να μην πλησιάζει σε κάποιο από τα δύο άκρα του κουτιού (γιατί αλλιώς αυτό ϑα σήμαινε πως η κατανομή δεν πλησιάζει τη συμμετρική), το εύρος των τιμών στα δύο ακραία τεταρτημόρια να μη διαφέρει σημαντικά, δηλαδή τα μήκη των δύο απολήξεων να είναι συγκρίσιμα (για τη διατήρηση της συμμετρίας). να μην υπάρχουν ακραίες τιμές, δηλαδή να μην υπάρχουν σημεία μακριά από τις δύο απολήξεις. 67

69 Θηκόγραμμα - Boxplot (5) Ø Οι παρατηρήσεις 260, 249, 118 και 182 (ο) είναι πιθανές ακραίες τιμές (μεγάλες ηλικίες) γιατί βρίσκονται πάνω από 1.5(Q3 - Q1). Ø Η παρατήρηση 162 (ο) πιθανόν να είναι ακραία ηλικία (μικρή ηλικία) γιατί βρίσκονται κάτω από 1.5(Q3-Q1). 68

70 Θηκόγραμμα - Boxplot (6) Ø Αλλάζουμε την ηλικία του πατέρα του 1 ου μαθητή σε μια πολύ υψηλή τιμή. Ø Η παρατήρηση 1 (*) αποτελεί ακραία παρατήρηση της κατανομής (πολύ μεγάλη ηλικία) γιατί βρίσκεται πάνω από 3(Q3-Q1). Ø Αυτή η παρατήρηση θα ξεχωρίζει επίσης και στο Ιστόγραμμα και το QQ-Plot. 69

71 Θηκόγραμμα - Boxplot (7) 70

72 #end 71

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Οι δείκτες διασποράς

Κεφάλαιο 5. Οι δείκτες διασποράς Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Σύνολα Δεδομένων - Είδη Ποσοτικής Έρευνας: Παράλογες Ιδέες Γονέων (Δειγματοληπτική)

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα)

Ενότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα) ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα) Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Οι είκτες Κεντρικής Τάσης. Είναι αριθµητικές τιµές που δείχνουν το ΚΕΝΤΡΟ της κατανοµής. Η εσπόζουσατιµή ( σπ) ΟΜέσοςΌρος(Μ.

Κεφάλαιο 4. Οι είκτες Κεντρικής Τάσης. Είναι αριθµητικές τιµές που δείχνουν το ΚΕΝΤΡΟ της κατανοµής. Η εσπόζουσατιµή ( σπ) ΟΜέσοςΌρος(Μ. Κεφάλαιο 4 είκτες Κεντρικής Τάσης 1 Οι είκτες Κεντρικής Τάσης Είναι αριθµητικές τιµές που δείχνουν το ΚΕΝΤΡΟ της κατανοµής Η εσπόζουσατιµή ( σπ) Η ιάµεσος( µ) ΟΜέσοςΌρος(Μ.Ο) 1 Η εσπόζουσα Τιµή (Mode)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές. Διάλεξη

Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές. Διάλεξη Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές Διάλεξη 13-3-2015 Υπολογισμός Σταθμικού Μέσου Αριθμητικού X weighted n 1 n 1 w i w X i i Παράδειγμα Υποψήφιος της Δ' Δέσμης πήρε στις εξετάσεις τους εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Mέτρα (παράμετροι) θέσεως

Mέτρα (παράμετροι) θέσεως Mέτρα (παράμετροι) θέσεως Είδη παραμέτρων Σκοπός μέτρων θέσεως Μέτρα θέσεως Αριθμητικός μέσος Επικρατούσα τιμή Διάμεσος Τεταρτημόρια Σύντομη περιγραφή Το πρώτο βήμα της ανάλυσης των δεδομένων, είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής Τάση συγκέντρωσης Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης Τάση διασποράς Μέτρα Διασποράς Σχήμα Σχήμα της κατανομής Αριθμητικός Μέσος Γεωμετρικός Μέσος Μέτρα Κεντρικής Τάσης Αρμονικός Μέσος Διάμεσος ή Κεντρική

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 015-016 1 . Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΩΝ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2011-2012 Κατά τη διάρκεια παρακολούθησης των μαθημάτων του χειμερινού εξαμήνου του ακαδημαϊκού

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

f , Σύνολο 40 4) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα f , , Σύνολο 5) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

f , Σύνολο 40 4) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα f , , Σύνολο 5) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα 1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1) Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζουν τα ύψη σε cm, των φυτών ενός θερμοκηπίου 4 3 6 5 3 1 4 5 4 6 6 3 3 1 4 3 α) Να κάνετε τον πίνακα όλων των συχνοτήτων β) Από τον προηγούμενο πίνακα να βρείτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΧΑΝΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΧΑΝΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΧΑΝΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 21-22 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Το τμήμα αυτό της έρευνας αναφέρεται στην Γ τάξη όλων των Δημοσίων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΘΕΜΑ: ΤΟ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝ ΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΟΥΣ ΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα I. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (cetral tedecy) Χρήσιμα για την περιγραφή της θέσης της κατανομής από την οποία προέρχονται. Δημοφιλέστερα: Μέση τιμή, κορυφή και διάμεσος.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2000-2001 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Το τµήµα αυτό της έρευνας αναφέρεται στην Γ τάξη όλων των Ενιαίων Λυκείων του

Διαβάστε περισσότερα

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 2 3 1 2 2 0 3 3 4 6 5 10 6 11 7 7 8 6 9 3 10 2 4 Εάν έχουµε οµαδοποιηµένη µεταβλητή τότε είναι το σηµείο τοµής των ευθυγράµµων τµηµάτων τα οποία ορίζονται από α) ΑΒ, όπου Α το άνω δεξί άκρο της κλάσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Φεβρουάριος 2010 Περιγραφική Στατιστική 1. εδοµένα Θεωρούµε το ακόλουθο σύνολο δεδοµένων (data set): NUM1

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Δεδομένα Συχνότητα Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς Στοχαστικά μαθηματικά διαφέρουν από τα κλασσικά μαθηματικά διότι τα φαινόμενα δεν είναι αιτιοκρατικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 05 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 1 . Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων ) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα - Boxplot. Παράδειγμα 1: Δίνονται οι παρακάτω 20 παρατηρήσεις μιας μεταβλητής x:

Θηκόγραμμα - Boxplot. Παράδειγμα 1: Δίνονται οι παρακάτω 20 παρατηρήσεις μιας μεταβλητής x: 1 Θηκόγραμμα - Boxplot Στην περιγραφική στατιστική, το θηκόγραμμα (boxplot) είναι ένας βολικός τρόπος γραφικής απεικόνισης πέντε αριθμητικών δεδομένων μιας σειράς παρατηρήσεων: της μικρότερης παρατήρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στατιστική ανάλυση του γεωχηµικού δείγµατος µας δίνει πληροφορίες για τον γεωχηµικό πληθυσµό που µελετάµε. Συνυπολογισµός σφαλµάτων Πειραµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟ ΓΕΩΧΗΜΙΚΗΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑΣ Στατιστική ανάλυση του γεωχημικού δείγματος μας δίνει πληροφορίες για τον

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο 3.1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ Μαθήµατα γενικής παιδείας Ιστορία. Α. Σύνολο νοµού Αργολίδας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο 3.1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ Μαθήµατα γενικής παιδείας Ιστορία. Α. Σύνολο νοµού Αργολίδας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο 3.1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑΣ 3.1.1 Μαθήµατα γενικής παιδείας. 3.1.1.1 Ιστορία Α. Σύνολο νοµού Αργολίδας Στο µάθηµα της ιστορίας εξετάσθηκαν 862 µαθητές. Από τα αποτελέσµατα για το σύνολο του νοµού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. 40. Ακόμα είναι. και F1 f και ακόμα Τέλος έχουμε F3 f1 f2 f3 F2 f. N i

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. 40. Ακόμα είναι. και F1 f και ακόμα Τέλος έχουμε F3 f1 f2 f3 F2 f. N i ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 0-06 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Θερινά ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/06 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Κατσαρός Δημήτρης - Συμεώνογλου Βασίλης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΜΑΜΜΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΑΜ:331/2003032 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν να δημιουργήσω την παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Περιγραφική Στατιστική

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Περιγραφική Στατιστική ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Περιγραφική Στατιστική Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας Μετά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αριάδνη Αργυράκη ΣΤΑΔΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΓΕΩΧΗΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ 1.ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ: - Καθορισμός στόχων έρευνας - Ιστορικό περιοχής 2 4.

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων.

Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Στατιστική Ι Ενότητα: MέθοδοιΠεριγραφικής Στατιστικής Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr Θεματολογία Παρουσίαση δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Υπολογισμοί Παραμέτρων Πληθυσμού και Στατιστικών Δείγματος

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Υπολογισμοί Παραμέτρων Πληθυσμού και Στατιστικών Δείγματος ΟΔΕ 2116 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Ονοματεπώνυμα Σπουδαστριών: Μποτονάκη Ειρήνη (5422), Καραλή Μαρία (5601) Μάθημα: Β06Σ03 Στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα θέσης και διασποράς

Μέτρα θέσης και διασποράς Μέτρα θέσης και διασποράς Η επικρατούσα τιμή ως μέτρο κεντρικής τάσης Εύκολο στον υπολογισμό Επικρατούσα τιμή Η πιο συχνή ή η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή σε ένα σύνολο τιμών 11, 3, 8, 2, 1, 5, 3, 7 Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα