ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Ένα σώμα μάζας τ πί κινείται στν άξνα x με ταχύτητα σγκρύεται με ακίνητ σώμα τ πί η μάζα δεν είναι γνωστή. Μετά την κρύση, τ σώμα π έχει μάζα παρεκκλίνει από την πρεία τ και κινείται κατά τν άξνα y, ενώ τ δεύτερ σώμα κινείται πό γωνία 0 κάτω από τν άξνα x. Η κρύση είναι ελαστική. α) Να βρείτε τη μάζα ως σνάρτηση της μάζας, καθώς και τις τελικές ταχύτητες ως σναρτήσεις της. β) Να βρείτε τις ταχύτητες των δύ σωματιδίων πριν (, ) και μετά την κρύση, στ σύστημα αναφράς τ κέντρ μάζας. (Τμήμα Μηχανλόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Λύση ΠΡΙΝ y 0 sin 0 ΜΕΤΑ x os0 α) Εφαρμόζντας την αρχή διατήρησης της ρμής πρκύπτει: p πριν p μετά x : y : 0 os0 sin 0 o o () () Διαιρώντας τις () και () κατά μέλη πρκύπτει: () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ Λόγω ελαστικής κρύσης ισχύει επίσης η αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας. Οπότε: μετά πριν K () 4 () (4) Τέλς αντικαθιστώντας την (4) στην () πρκύπτει: Σε διανσματική γραφή είναι: και β) Η ταχύτητα τ κέντρ μάζας είναι σταθερή, αφύ 0 d 0 Mα 0 F ex δηλαδή σταθ. και ισύται με: i i i 0 (4) Θεωρώντας ως κινύμεν τ σύστημα τ κέντρ μάζας με σταθερή ταχύτητα, σύμφωνα με τς μετασχηματισμύς Γαλιλαί ι ταχύτητες των σωματιδίων πριν και μετά την κρύση στ κινύμεν σύστημα αναφράς τ κέντρ μάζας θα είναι: Πριν την κρύση: 0 Μετά την κρύση: 6

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Ένα βλήμα μάζας π κινείται με ταχύτητα διαπερνά τη σφαίρα ενός εκκρεμύς μάζας Μ και διαφεύγει με ταχύτητα /. Η σφαίρα τ εκκρεμύς κρέμεται από αβαρές νήμα μήκς. Πια η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας, ώστε η σφαίρα τ εκκρεμύς να διαγράψει πλήρη κύκλ; (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) Λύση Γ (Γ) Β Τ Ο Μ Α / (Α) Μετά την κρύση η σφαίρα τ εκκρεμύς απκτά ταχύτητα Α και κινείται στην κκλική τρχιά τ σχήματς πό την επίδραση τ βάρς της Β και της τάσης τ νήματς Τ. Στην ανώτατη θέση Γ η σνισταμένη των δνάμεων ατών απτελεί την κεντρμόλ δύναμη, πότε: F κ Μα κ Γ Β Τ Μ Γ Τ Μ Μg Αλλά για να κάνει η σφαίρα τ εκκρεμύς ανακύκλωση πρέπει στην ανώτατη θέση να ισχύει: 0 () Οπότε η () δίνει: Μ Γ Μg 0 Γ g ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Δηλαδή Γ in g () είναι η ελάχιστη ταχύτητα της μάζας Μ στ σημεί Γ έτσι ώστε να διαγράψει πλήρη κύκλ. Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας για τη σφαίρα τ εκκρεμύς μεταξύ των θέσεων Α και Γ πρκύπτει: Κ A V A Κ Γ V Γ Μ Α in 0 Μ Γ in Μg Γ 4g g 4g 5g 5g () in in () in Έτσι από την αρχή διατήρησης της ρμής για τη κρύση ισχύει: p αρχ p τελ in 0 in in in in () in 5g ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα Δύ ελαστικές σφαίρες ακτίνας R εφάπτνται και βρίσκνται σε ριζόντι επίπεδ ελεύθερ τριβών. Μια τρίτη ελαστική σφαίρα ακτίνας R κινείται στ ριζόντι επίπεδ με ταχύτητα και πρσκρύει ελαστικά τατόχρνα στις άλλες δύ. Να πλγιστεί η ταχύτητα της μεγάλης σφαίρας μετά την πρόσκρση. (Τμήμα Φσικής Ε.Κ.Π.Α.) Λύση R R x θ R R x R R Η μάζα κάθε μικρής σφαίρας είναι: ρv 4 ρ πr ενώ της μεγάλης είναι: 4 ρv ρ π(r) 8ρ 4 πr Δηλαδή: Μ = 8 () Μετά την πρόσκρση έστω η ταχύτητα της μεγάλης σφαίρας και κάθε μικρής, η πία σχηματίζει γωνία θ με τν άξνα x. Από τ σχήμα φαίνεται εύκλα ότι: R sin και έτσι R 8 os - sin os () 9 9 Από την αρχή διατήρησης της ρμής στν άξνα x πρκύπτει: p xαρχ p xτελ Μ () Μ osθ 8 8 osθ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ () osθ 4( ) ( ) () Λόγω ελαστικής κρύσης διατηρείται η κινητική ενέργεια, πότε: K αρχ K τελ Μ Μ () 8 8 () ( ) Η παραπάνω δετερβάθμια εξίσωση έχει λύσεις: 7 και. Η πρώτη λύση απρρίπτεται γιατί αν = δεν πρκύπτει κρύση μεταξύ των σφαιρών. Άρα η ζητύμενη ταχύτητα είναι: 7 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 4 Δύ σωματίδια με ίσες μάζες κινύνται έτσι ώστε τα διανύσματα θέσης τς να είναι: r () (5 ) (6 ) ( 5 50)ẑ r () ( 5) ( 4) ( 5 55)ẑ α) Να δείξετε ότι τα σωματίδια θα σγκρσθύν και να βρείτε π και πότε θα σμβεί η σύγκρση. β) Πια δύναμη ασκείται σε κάθε σωματίδι; γ) Διατηρείται η ρμή τ σστήματς των δύ σωματιδίων κατά τη διάρκεια της κίνησης; Αιτιλγήστε την απάντησή σας. Να πλγίσετε την ταχύτητα τ κέντρ μάζας τ σστήματς. δ) Κατά την κρύση τα δύ σωματίδια κλλύν. Να βρείτε τη θέση και την ταχύτητα τ σσσωματώματς όταν έχει παρέλθει χρνικό διάστημα se μετά την κρύση. (Τμήμα Μηχανλόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Τμήμα Αγρνόμων Τπγράφων Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Λύση α) Για να σγκρστύν τα δύ σωματίδια θα πρέπει τη χρνική στιγμή της σύγκρσης Σ να είναι r () r (). Δηλαδή θα πρέπει ι αντίστιχες χωρικές σντεταγμένες να είναι ίσες: x () x () se y () y () se z( ) z ( ) se Άρα τα σωματίδια θα σγκρστύν μετά από χρόν Σ = 5se και η θέση στην πία θα σμβεί ατό είναι : ( ) r ( ) 5 70ẑ r β) Οι ταχύτητες των δύ σωματιδίων είναι: dr () ( 0 )ẑ dr () ( 0 )ẑ Άρα ι δνάμεις π δρν πάνω στα σωματίδια είναι: d F α 0ẑ d F α 0ẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ γ) Η λική δύναμη π ασκείται στ σύστημα των δ σωματιδίων είναι: dpλ Fλ F F 0ẑ 0 κι επειδή Fλ 0 η ρμή τ σστήματς δεν είναι σταθερή και δε διατηρείται. Άλλς τρόπς: Η λική ρμή τ σστήματς είναι: pλ p p ( 0)ẑ δηλαδή δεν είναι σταθερή αφύ εξαρτάται από τ χρόν. Η ταχύτητα τ κέντρ μάζας τ σστήματς είναι: ( 0)ẑ 0ẑ δ) Τα δύ σώματα σγκρύνται σε χρόν Σ=5se στη θέση r ( ) r ( ) 5 70ẑ ro Η ρμή τ σστήματς τη στιγμή Σ=5se είναι: ( 5se) ( 0 5)ẑ 97ẑ p λ Άρα η αρχική ταχύτητα τ σσσωματώματς είναι: pλ( 5se) o o ẑ o ẑ Μετά την κρύση τ σσσωμάτωμα κινείται πό την επίδραση της F λ με επιτάχνση Fλ α 0ẑ. Άρα τ διάνσμα θέσης τ σσσωματώματς δίνεται από τη σχέση: 97 r() ro o α 5 70ẑ ẑ 5 ẑ r() ẑ Και η ταχύτητα τ σσσωματώματς είναι: dr 97 () 0 ẑ Επμένως για χρόν =se μετά την κρύση είναι: r( se) 5 87ẑ και 7 ( se) ẑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 5 Δύ σωματίδια με ίσες μάζες κινύνται έτσι ώστε τα διανύσματα θέσης τς να είναι: r () ( 5) ( ) r () (5 ) ( ) α) Πια δύναμη ασκείται σε κάθε σωματίδι; β) Διατηρείται η ρμή τ σστήματς; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. γ) Να βρείτε τη στρφρμή L και τη ρπή δύναμης τ τ σστήματς ως πρς την αρχή των αξόνων. δ) Να βρείτε τ διάνσμα θέσης r και την ταχύτητα τ κέντρ μάζας τ σστήματς. ε) Να βρείτε τη στρφρμή L και τη ρπή δύναμης τ τ σστήματς ως πρς τ κέντρ μάζας τ. (Τμήμα Ναπηγών Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Λύση α) Οι ταχύτητες των δύ σωματιδίων είναι: dr ( ) dr ( ) ( ) Άρα ι δνάμεις π δρν πάνω στα σωματίδια είναι: d F α ( d F α ( β) Η λική δύναμη π ασκείται στ σύστημα των δύ σωματιδίων είναι: dp Fλ F F 0 κι επειδή F λ 0 p σταθ. δηλαδή η ρμή τ σστήματς διατηρείται σταθερή. γ) Η στρφρμή τ σστήματς ως πρς την αρχή των αξόνων είναι: L L r r [( 4) o i 4) 5) ( )] [( ) ] ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ [ ( [(5 ) ( )] [( ) ( )] 5) ( )( ) (5 ( )( ) ] [( 0)ẑ ( 6 )( ẑ) (00 75 )ẑ ( L ( 8 78)ẑ o 6 )( ) )( ẑ)] Η ρπή δύναμης τ σστήματς είναι: dl τo o ( 8)ẑ δ) Τ διάνσμα θέσης τ κέντρ μάζας είναι: r r r [( 0)ˆ x ( )ˆ] y r Ενώ η ταχύτητα τ κέντρ μάζας είναι: dr ( 0)ˆ x yˆ () () ε) Σύμφωνα με τς μετασχηματισμύς Γαλιλαί τα διανύσματα θέσης r, r και ι ταχύτητες, των σωματιδίων ως πρς τ σύστημα τ κέντρ μάζας είναι: () r r r r ( 5) () r r r r (5 ) () ( ) () ( ) Άρα η στρφρμή τ σστήματς ως πρς τ κέντρ μάζας είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ r r L ) ( 5) ( ) ( ) (5 ) ( 5) ( ) ( ) (5 ẑ) )( ( ẑ ẑ) )( ( ẑ )ẑ 8 ( L Κι επμένως η ρπή δύναμης ως πρς τ κέντρ μάζας είναι: 8)ẑ ( dl τ

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Θέμα 6 Κατά την κρύση δύ σωματιδίων ι μάζες τς διατηρύνται σταθερές. Αν η κρύση είναι ελαστική σ ένα σύστημα σντεταγμένων S καθώς και σε όλα τα σστήματα π σνδένται με τ S με μετασχηματισμύς Γαλιλαί, να δείξετε ότι η ρμή στ S διατηρείται. (Τμήμα Ηλεκτρλόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π.) Λύση Έστω, ι αρχικές ταχύτητες των σωματιδίων (πριν την κρύση) και, ι τελικές ταχύτητες (μετά την κρύση). Επειδή η κρύση είναι ελαστική ισχύει η αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας. Δηλαδή: K αρχ τελ () όπ, ι μάζες των σωματιδίων, ι πίες παραμένν αμετάβλητες κατά την κρύση. Οι ταχύτητες των σωματιδίων (πριν και μετά την κρύση) ως πρς ένα σύστημα S, π κινείται με σταθερή ταχύτητα v ως πρς τ αδρανειακό σύστημα S, σύμφωνα με τς μετασχηματισμύς Γαλιλαί είναι: v, v, v, v () Η αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας στ σύστημα S δίνει: K αρχ τελ () ( v) ( v) ( v) ( v ) ( v v ) ( v v ) ( v v ) ( v v ) ( v) ( v) ( v) ( v) () ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Λόγω της αναλλιώτητας της αρχής διατήρησης της κινητικής ενέργειας, θα πρέπει ατή να ισχύει ισδύναμα σε πιδήπτε αδρανειακό σύστημα αναφράς κι επμένως ι εκφράσεις () και () θα πρέπει να είναι τατόσημες. Εύκλα παρατηρείται ότι ατό σμβαίνει με την πρϋπόθεση ότι στην εξίσωση () τα εσωτερικά γινόμενα στα δύ μέλη είναι ίσα. Δηλαδή όταν: v v v v Άρα ισχύει η αρχή διατήρησης της ρμής στ σύστημα S. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ