מבני נתונים (234218) 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "מבני נתונים (234218) 1"

Transcript

1 מבני נתונים (234218) 1 חומר עזר לבחינה 13 בספטמבר 2016 שימו לב: מותר לצטט טענות המופיעות בדף זה ללא הוכחה. כל טענה אחרת, שאינה מופיעה באופן מפורש, יש לנמק באופן מלא. נימוקים מהצורה "בדומה לטענה שבחומר העזר" לא יתקבלו. 1 קומבינטוריקה ואלגברה בסיסית. n i=1 a i = (a1+an) n 2 משפט 1.1 [סכום סדרה חשבונית] תהא a 1,..., a n סדרה חשבונית עם הפרש.d אזי. n i=1 a i = a 1 qn 1 q 1 משפט 1.2 [סכום סדרה הנדסית] תהא a,1..., a n סדרה הנדסית עם מנה q. אזי. ( ) n k n! k!(n k)! הגדרה 1.3 בהנתן n N ו { n,k {0,..., נגדיר. n ( n ) k=0 k k = n2 n 1, n ( n k=0 k) משפט 1.4 לכל n N מתקיים: = 2 n. ( ) ( n k = n n k) משפט 1.5 לכל n N ולכל n} k {0,..., מתקיים:. ( ) ( n k + n ) ( k+1 = n+1 k+1) משפט 1.6 [זהות פסקל] לכל n N ולכל 1} n k {0,..., מתקיים:.(x + y) n = n k=0 ( n k) משפט 1.7 [הבינום של ניוטון] לכל x, y ולכל n N מתקיים x k y n k 2 חסמי סיבוכיות אסימפטוטיים תהיינה + R f, g : N פונקציות חיוביות ממש, ונניח / N.0 סימון אינטואיציה הגדרה הגדרה שקולה f (n) c g (n) מתקיים n כך שלכל n 0 n 0 וקיים > 0 c קיים > 0 f (n) = O (g (n)) f (n) c g (n) מתקיים n כך שלכל n 0 n 0 וקיים > 0 c קיים > 0 f (n) = Ω (g (n)) f (n) = Ω (g (n)) וגם f (n) = O (g (n)) f (n) = Θ (g (n)) f(n) lim n g(n) = 0 f (n) c g (n) מתקיים n כך שלכל n 0 n 0 קיים > 0 c לכל > 0 < f (n) = o (g (n)) g(n) lim n f(n) = 0 f (n) c g (n) מתקיים n כך שלכל n 0 n 0 קיים > 0 c לכל > 0 > f (n) = ω (g (n)) משפט n) 2.1.log (n!) = Θ (n log משפט 2.2 לכל > 0 ε קבוע מתקיים: ) ε.log n = o (n.h n = Θ (log n) ובפרט,ln (n + 1) H n ln n הסכום ההרמוני. אזי מתקיים + 1 H n n i=1 1 i משפט 2.3 יהא 2.1 חסמים אסימפטוטיים עבור פונקציות רקורסיביות משפט 2.4 [משפט המאסטר] יהיו 1 a b > 1, קבועים, ותהא.f : N R נגדיר את הפונקציה הרקורסיבית הבאה: (n).t (n) = at ( n /b) + f אזי מתקיים:.1 אם a ε) f (n) = O ( n log b עבור > 0 ε קבוע כלשהו, אז a).t (n) = Θ ( n log b.2 אם a),f (n) = Θ ( n log b אז ) n.t (n) = Θ ( n log b a log.3 אם a+ε) f (n) = Ω ( n log b עבור > 0 ε קבוע כלשהו, וגם קיימים < 1 c ו 0 > 0 n כל שלכל n n 0 מתקיים (n),af ( n /b) cf אז (n)).t (n) = Θ (f 1

2 2.2 סיבוכיות משוערכת הגדרה 2.5 תהא F קבוצת פעולות על מבנה נתונים. נאמר שהקבוצה F רצה בסיבוכיות משוערכת ((n) O g) אם כל סדרה בת m פעולות מ F רצה בזמן ((n) O m) g במקרה הגרוע שיטות למציאת חסמים משוערכים עבור סדרה של m פעולות, נסמן את זמן הריצה של הפעולה i m 1 ב t. i הצגנו שלוש שיטות למציאת חסמי זמן ריצה של הסדרה,. m כלומר למציאת חסמים על 1=i t i. m.1 שיטת הצבירה: נוכיח באופן ישיר (על פי ההגדרה) שמתקיים (n)) i=1 t i = O (m g 2. שיטת החיובים: סך זמן הריצה יחסם על ידי כמות כסף שתוענק למבנה הנתונים. בעת ביצוע הפעולה i, המבנה יחזיק "בנק" אשר יתעדכן בעת ביצוע הפעולה ה i ב ( a), i t i כלומר נפקיד בבנק a i שקלים ונמשוך ממנו t i שקלים. נבחין כי אם בסיום סדרת m, ולכן סך הכסף שהוענק למבנה מהווה חסם על זמן הריצה של סדרת הפעולות. i=1 t i m הפעולות הבנק חיובי, אז 1=i a i 3. שיטת הפוטנציאל: נגדיר פונקצית פוטנציאל על מבנה הנתונים, שתסומן באות φ. נגדיר φ i להיות הפוטנציאל של המבנה לאחר i. m i=1 a i m פעולות ) 0 φ הוא הפוטנציאל ההתחלתי). כעת, נגדיר i 1.a i t i + φ i φ נקבל כי אם,φ m φ 0 אז i=1 t i 3 מבני נתונים בסיסיים הגדרה 3.1 שמורה (אינווריאנטה/ Invariant ) של מבנה נתונים היא תכונה המקיימת: לכל פעולה P שניתן לבצע על המבנה, אם השמורה התקיימה לפני ביצוע הפעולה P, אז השמורה תתקיים לאחר ביצוע הפעולה P. 3.1 מערכים משפט 3.2 ניתן לאתחל את כל התאים של מערך לערך קבוע בזמן (1) O במקרה הגרוע מערכים דינמיים נסמן ב m את גודל המערך וב n את מספר האיברים בו. נדרוש שיתקיים (n) m. = Θ כלל שינוי הגודל. 1. כאשר המערך מלא (m n), = נקצה מערך חדש בגודל 2m ונעתיק אליו את איברי המערך המקורי. 2. כאשר המערך רבע מלא (m ), n = 1 4 נקצה מערך חדש בגודל 1 2 m ונעתיק אליו את איברי המערך המקורי. טענה. סיבוכיות הזמן המשוערכת של פעולות על מערכים דינמיים היא (1) O. איור 3.1: מערכים דינמיים 3.2 מילון מילון הוא מבנה נתונים התומך בפעולות.Init, Find, Insert, Delete ניתן לממש מילון באמצעות שלל מבני נתונים, ביניהם: עצי חיפוש, עצי,AVL עצי +B, טבלאות ערבול ועוד. 4 עצים בינאריים 4.1 הגדרות כלליות 1. עלה הוא צומת בעל דרגה 0. צומת בעץ יקרא פנימי אם אינו עלה. 2. מרחק בין זוג צמתים בעץ בינארי הוא מספר הקשתות במסלול (הפשוט היחיד) שמחבר בין הצמתים. 3. עומק של צומת הוא מרחקו מהשורש. גובה העץ הוא העומק המקסימלי של צומת בעץ. 4. תת עץ של צומת v הוא אוסף כל הצמתים x כך שהמסלול מ x לשורש עובר דרך v. 5. גובה של צומת v הוא גובה תת העץ שלו. 6. עץ בינארי יקרא מאוזן אם הוא מקיים (n h, = Θ (log כאשר h הוא גובה העץ ו n הוא מספר האיברים בעץ. 2

3 גובה עץ בינארי. עבור כל עץ בינארי בן n צמתים מתקיים: 1 n,log n h כאשר h הוא גובה העץ. נוסף על כך, גובהו הממוצע של עץ בינארי, כאשר הממוצע מחושב על פני כל העצים בני n צמתים, הוא (n O. (log שמורת החיפוש. עץ בינארי מקיים את שמורת החיפוש אם לכל צומת עם מפתח x, כל הצמתים בתת העץ הימני של x הם בעלי מפתחות גדולים יותר, וכל הצמתים בתת העץ השמאלי של x הם בעלי מפתחות קטנים יותר עצים מלאים, שלמים וכמעט שלמים 1. עץ בינארי מלא הוא עץ בו לכל צומת פנימי דרגה עץ בינארי שלם הוא עץ בינארי מלא שבו כל העלים באותו העומק. 3. עץ בינארי כמעט שלם הוא עץ שלם ש(אולי) הוסרו ממנו עלים מהרמה התחתונה, החל מהעלה הימני ביותר. (א) נמספר את צמתי העץ השלם לפי סדר השורות, משמאל לימין, כמתואר בציור. נקרא למספרים האלה אינדקסים. (ב) עץ כמעט שלם בעל n צמתים וגובה h מקיים h h n 2 (ג) לכל צומת i בעץ, אינדקס בנו השמאלי (אם קיים) הוא 2i ואינדקס בנו הימני הוא + 1 2i. בפרט, צומת הוא עלה אמ"מ 2i. > n (ד) מספר העלים הוא 2/ n ומספר הצמתים הפנימיים הוא 2/ n. איור 4.1: עץ כמעט שלם עם 12 צמתים משפט 4.1 קיים אלגוריתם לבנית עץ כמעט שלם ריק בן n צמתים בזמן (n) O. 4.2 עצי AVL לכל צומת v בעץ בינארי נגדיר: v. הוא גובה תת העץ השמאלי של h L (v) 1. v. הוא גובה תת העץ הימני של h R (v) 2..BF (v) h L (v) h R (v) כאשר,(Balance Factor) הוא מקדם האיזון BF (v).3 שמורת האיזון של.AVL נאמר שעץ בינארי מקיים את שמורת האיזון של AV L אם לכל צומת v בעץ מתקיים 1 (v). BF הגדרה 4.2 נאמר על עץ בינארי שהוא עץ AV L אם הוא מקיים את שמורת החיפוש ואת שמורת האיזון של.AVL גובה של עצי AVL ועצי פיבונאצ'י F} i } i N המוגדרת באופן הרקורסיבי הבא: הגדרה 4.3 עצי פיבונאצ'י הם סדרת עצים בינאריים F 0 1. הוא עץ המורכב מצומת יחיד. F 1 2. הוא עץ המורכב מזוג צמתים, אחד מהם הוא שורש העץ והשני הוא בנו השמאלי. 3. לכל 2 i, העץ F i הוא העץ המתקבל מחיבור זוג העצים 1 i F ו 2 i F לשורש משותף. 3

4 משפט 4.4 לעץ פיבונאצ'י F i גובה i. משפט 4.5 יהא T עץ AVL בעל גובה h. אזי מספר הצמתים ב T הוא לפחות כמספר הצמתים בעץ הפיבונאצ'י F. h משפט 4.6 מספר הצמתים בעץ F i הוא 3+i 1 n, כאשר n k הוא מספר פיבונאצ'י ה k. משפט 4.7 מספר הפיבונאצ'י ה k נתון על ידי הנוסחה.n k = Θ ( φ i) ובפרט מתקיים,φ = , φ = 1 5 2,n k = φi φ i כאשר 5 מסקנה 4.8 עצי AVL הם עצים מאוזנים, כלומר לכל עץ AVL בן n צמתים גובה (n O. (log גלגולים בעת הכנסה של איברים לעץ,AVL או הוצאה של איברים ממנו, מקדם האיזון של חלק מהצמתים בעץ עלול לחרוג מהתחום [1,1 ]. הצמתים היחידים ש(אולי) הופר בהם מקדם האיזון, והפך להיות 2 או 2, הם הצמתים לאורך מסלול ההכנסה/הוצאה. במקרה זה, נבצע גלגולים על מנת לתקן את גורמי האיזון. הגדרנו גלגולי בסיס (גלגול לימין וגלגול לשמאל), ומהם בנינו ארבעה סוגי גלגולים RL).(LL, RR, LR, איור 4.2: גלגולי בסיס 4.3 עצי B+ הגדרה 4.9 עץ +B מדרגה m הוא עץ המקיים את התכונות הבאות: 1. כל הערכים נמצאים בעלים, וכל העלים באותה רמה.. מספר הבנים של השורש מקיים c m.2 m 2. לכל צומת פנימי, פרט (אולי) לשורש, יש c בנים, כאשר c m 2.3 לצומת פנימי בעל c בנים יש 1 c אינדקסים, c 1,k 1,..., k כך שמתקיים: (א) כל הערכים שנמצאים בתת העץ השמאלי ביותר של הצומת קטנים (ממש) מ k. 1 (ב) לכל 1 c i 2, כל הערכים שנמצאים בתת העץ ה i של הצומת קטנים (ממש) מ k i וגדולים או שווים 1 i k. (ג) כל הערכים שנמצאים בתת העץ הימני ביותר של הצומת גדולים או שווים ל 1 c k תיקונים לאחר הכנסה לאחר הכנסת איבר לעץ, יתכן שדרגתו של צומת מסוים היא + 1 m. במקרה זה, נבצע תיקוני "פיצול" באופן רקורסיבי. 4

5 4.3.2 תיקונים לאחר הוצאה. m לאחר הוצאת איבר מהעץ, יתכן שדרגתו של צומת מסוים היא 2 1 רקורסיבי. במקרה זה, נבצע תיקוני "הלוואה מאח" או "איחוד" באופן איור :4.3 עץ B+ מדרגה = 5 m 4.4 עצי דרגות הגדרה 4.10 אינדקס (rank) של איבר בקבוצת איברים הוא מיקומו בסדרה הממוינת הפעולה Rank(x) נתון עץ חיפוש בינארי, בו כל צומת מחזיק (בנוסף למפתח) שדה נוסף w השומר את מספר הצמתים בתת העץ שלו. נניח ש 0 = (null) w. הפעולה מחזירה את אינדקס האיבר x בקבוצת המפתחות השמורה בעץ..1 אתחל משתנה עזר 0.r 2. חפש את x בעץ, כאשר במהלך החיפוש: (א) בכל פעם שפונים ימינה מצומת,v בצע + 1 (v.left).r r + w (ב) בכל פעם שפונים שמאלה מצומת v, לא משנים את ערך r..3 כשמגיעים לצומת,x נבצע + 1 (x.left),r r + w ונחזיר את.r הפעולה Select(k) נתון עץ חיפוש בינארי, בו כל צומת מחזיק (בנוסף למפתח) שדה נוסף w השומר את מספר הצמתים בתת העץ שלו. נניח ש 0 = (null) w. הפעולה מחזירה את האיבר x בעל האינדקס k בקבוצת המפתחות השמורה בעץ. 1. נסמן ב v את הצומת הנוכחי בחיפוש, כאשר v מאותחל להיות שורש העץ..2 אם 1 k,w (v.left) = החזר את.v 3. אם 1 k w, (v.left) > חפש רקורסיבית בתת העץ השמאלי של v את האיבר בעל אינדקס k..4 אם 1 k,w (v.left) < חפש רקורסיבית בתת העץ הימני של v את האיבר בעל אינדקס 1 (v.left).k w מידע נוסף בצמתי העץ כאשר מגדירים עץ דרגות בעל מידע נוסף שאינו מספר האיברים בתת העץ או סכום האיברים בתת העץ, יש להגדיר במפורש: 1. מהו המידע הנוסף שנשמר בכל צומת. 2. כיצד משתמשים במידע הנוסף בצמתים כדי לפתור את הבעיה הנתונה. 3. כיצד מתחזקים את המידע הנוסף (לאחר הכנסה/הוצאה). 4.5 סיכום מימוש מילון כעץ מבנה עץ חיפוש בינארי עץ AVL עצי B+ ובפרט עצי 2 3 כאשר h הוא גובה העץ, ו n הוא מספר האיברים בעץ. סיבוכיות זמן עבור Find, Insert, Delete (h) O במקרה הגרוע, (n O(log בממוצע על הקלט n) O (log במקרה הגרוע n) O (log במקרה הגרוע 5

6 5 רשימות דילוגים (רנדומיות) הגדרה 5.1 רשימת דילוגים (רנדומית) היא מבנה שמוגדר שכבה על גבי שכבה באופן הבא: 1. כל הערכים נמצאים בשכבה התחתונה ביותר. 2. כל שכבה מיוצגת על ידי רשימה ממוינת, כאשר האיבר הראשון בה הוא צומת דמה (dummy) בעל מפתח והאיבר האחרון בה הוא צומת דמה בעל מפתח השכבות ממוספרות מלמטה למעלה, כלומר: שכבה 0 היא השכבה התחתונה ביותר, שכבה 1 היא השכבה הבאה מעליה, וכן הלאה. 4. כל האיברים בשכבה ה 1 + i מופיעים בשכבה ה i. 5. כל איבר מהשכבה ה i מופיע בשכבה ה 1 + i בהסתברות. 1 2/ 6. אם איבר מופיע בשכבה + 1 i, אז יש לו מצביע לאותו איבר בשכבה ה i. 7. גובה רשימת הדילוגים הוא האינדקס של השכבה העליונה במבנה. איור 5.1: רשימת דילוגים 5.1 מימוש מילון על ידי רשימת דילוגים רנדומית חיפוש איבר x 1. התחל מהשכבה הגבוהה ביותר, i = h (כאשר h הוא גובה רשימת הדילוגים). 2. כל עוד לא הגעת לאיבר (בשכבה התחתונה ביותר), (א) התקדם בשכבה ה i עד הצומת y הראשון המקיים: x y וגם x, < z כאשר z הוא האיבר העוקב ל y בשכבה ה i. (ב) אם הגעת לרמה התחתונה ביותר, בדוק אם y. = x i. אם כן, החזר אותו..ii אחרת, החזר ש x אינו במבנה. (ג) אחרת, קיים ל y מצביע לצומת ברמה 1 i, ובצע: i. ברמה 1 y רד לצומת המוצבע על ידי i..i i 1.ii הכנסת איבר x 1. חפש את x. אם x נמצא, סיים. 2. שמור מצביע לצומת הימני ביותר בכל שכבה במסלול החיפוש. 3. הוסף צומת חדש בשכבה התחתונה ביותר וקבע את המפתח שלו להיות x. 4. לפי סדר הרמות מלמטה למעלה, בצע: (א) הטל מטבע (הוגן, בעל הסתברות 1 2/ לכל תוצאה). (ב) אם תוצאת הטלת המטבע היא 0, x. הוסף צומת חדש מעל השכבה הנוכחית, וקבע את המפתח בו להיות i..ii אם בשכבה העליונה ביותר הוגרל 0, הוסף שכבה חדשה. בשכבה זו, הוסף את הצומת x וסיים. (ג) אם תוצאת הטלת המטבע היא 1, סיים. 6

7 5.1.3 הוצאת איבר 1. מצא את האיבר בעל המפתח x. 2. הוצא איבר זה מכל הרמות בהן הוא מופיע סיבוכיות זמן ומקום של מימוש מילון על ידי רשימת דילוגים רנדומית 1. סיבוכיות הזמן של כל אחת מהפעולות היא כגובה רשימת הדילוגים, כלומר (h) O. 2. סיבוכיות המקום הממוצעת (כאשר הממוצע מחושב על פני הטלות המטבע האפשריות של האלגוריתם) של רשימת הדילוגים הוא (n) O וגובהה הממוצע n).o (log 6 טבלאות ערבול נתון עולם של איברים U. טבלת ערבול היא מבנה נתונים שמתחזק קבוצה K של ערכים מתוך U, כאשר ידוע U K. נסמן ב n את מספר האיברים בטבלה.α n m וב m את גודל הטבלה, ונגדיר הגדרה. פונקצית ערבול היא פונקציה 1} m.h : U {0,..., נדרוש כי h תהיה פונקציה על המפזרת באופן אחיד וניתנת לחישוב ב ( 1 ) O. בחירת פונקצית ערבול 6.1 ערבול באמצעות פונקציה קבועה מראש נבחר את פונקצית הערבול מראש. אופן השימוש. איור 6.1: טבלת ערבול,O ( n כלומר (α),o ולכן m) ניתוח סיבוכיות. משום ש h מפזרת באופן אחיד, נקבל כי בממוצע על הקלט מספר האיברים בכל תא הוא סיבוכיות הזמן של הפעולות היא (α) O בממוצע על הקלט ערבול אוניברסלי. H m הגדרה 6.1 קבוצה H של פונקציות ערבול תקרא קבוצה אוניברסלית אם לכל,x y U שונים, מספר הפונקציות h H המקיימות (y) h (x) = h הוא (בדיוק) אופן השימוש. בעת אתחול המבנה, נגריל באופן אקראי h H ונשתמש בה לכל אורך הריצה. ניתוח סיבוכיות. כאשר נשתמש בערבול אוניברסלי, נקבל כי כל שני איברים מתנגשים בהסתברות ) ( O בממוצע הסתברותי, כלומר (α) O בממוצע הסתברותי. n m, 1 m ולכן סיבוכיות הזמן של הפעולות היא 6.2 פתרונות להתנגשויות שרשור Chain Hashing כל תא בטבלה ישמור רשימה מקושרת (או לחלופין עץ מאוזן) של כל האיברים שהוכנסו לתא זה. במקרה זה כל תא יכול לשמור יותר מאיבר אחד פונקצית צעד Double Hashing במקרה זה כל תא שומר בדיוק איבר אחד, ובפרט נדרוש n. m נגדיר שתי פונקציות ערבול:,h. r זוג הפונקציות הנ"ל מגדירות סדרה אינסופית של פונקציות ערבול: k 0 h k (x) = (h (x) + k r (x)) mod m הרעיון הכללי. ננסה את התא ה ( x ) h. k אם לא הצלחנו, ננסה את התא (x) h. 1+k 7

8 מחיקה. נצטרך להגדיר סימון "פנוי להכנסה אך תפוס לצורך חיפוש/מחיקה". כדי למנוע הצטברות של סימונים כנ"ל, שתשפיע על סיבוכיות זמן הריצה של הפעולות, נבצע פעולות Rehash אחת ל ( m ) Ω פעולות. פעולה זו כוללת העתקת כל האיברים לטבלה זמנית בצד, ניקוי הטבלה המקורית והכנסת כל האיברים לטבלה מחדש. ביצוע פעולה זו אחת ל ( m ) Ω פעולות מבטיח סיבוכיות זמן (α) O באופן משוערך. בחירת,h. r יש לבחור את הזוג,h r כך שהפונקציות h k יהיו על ויפזרו באופן אחיד. משום כך, יש לבחור את r כך שלכל x U יתקיים:.gcd (r (x), m) וגם = 1 r (x) קביעת גודל הטבלה על מנת לקבל (1) Θ α, = נדרוש (n) m. = Θ משום כך, אם ידוע חסם (הדוק) על מספר האיברים, נקצה טבלה (סטטית) בגודל המתאים, ואחרת נשתמש בטבלה הממומשת על ידי מערך דינמי. 6.4 סיכום מימוש מילון כטבלת ערבול סיבוכיות של הכנסה או הסרה מטבלת ערבול תוך שימוש ב Hashing Chain ערבול "רגיל" ערבול אוניברסלי (α) O בממוצע על הקלט באופן משוערך (α) O בממוצע הסתברותי באופן משוערך דינמית (α) O בממוצע על הקלט (α) O בממוצע הסתברותי סטטית סיבוכיות של חיפוש בטבלת ערבול תוך שימוש ב Hashing Chain ערבול "רגיל" ערבול אוניברסלי (α) O בממוצע על הקלט (α) O בממוצע הסתברותי דינמית (α) O בממוצע על הקלט (α) O בממוצע הסתברותי סטטית סיבוכיות של הכנסה, הסרה או חיפוש מטבלת ערבול תוך שימוש ב Hashing Double דינמית סטטית ערבול עם Double Hashing (1) O בממוצע על הקלט באופן משוערך (1) O בממוצע על הקלט באופן משוערך 7 קבוצות זרות (Union-Find) מטרת המבנה היא לתחזק חלוקה של עולם נתון {n,...,1} לקבוצות זרות. לאיברים ניתן מזהים...,j,i ולקבוצות ניתן מזהים...,q,p. הגדרה 7.1 מבנה הנתונים UF הוא מבנה התומך בפעולות הבאות: 1. (n) Init אתחל את המבנה עם העולם {n,...,1} כאשר כל איבר נמצא בקבוצה בגודל 1 (סינגלטון). i. החזר את שם הקבוצה לה שייך האיבר Find (i) (q Union,p) אחד את שתי הקבוצות המזוהות על ידי p ו q והחזר את שם הקבוצה החדשה. לאחר פעולה זו, הקבוצות,p q נהרסות ובמקומן נבנית הקבוצה p. q 7.1 מימוש UF לכל קבוצה ניצור עץ הפוך מכל איברי הקבוצה. שורש כל עץ הפוך יצביע לרשומה שתכיל את מזהה הקבוצה. בנוסף נחזיק שני מערכים, מערך איברים ומערך קבוצות. איור 7.1: המבנה UF 8

9 הערה. סיבוכיות הזמן של מימוש זה (בלי איחוד לפי גודל ובלי כיווץ מסלולים) היא (1) O עבור איחוד ו ( n ) O עבור חיפוש. משפט 7.2 אם מבצעים איחוד לפי גודל, בו תמיד מפנים את שורש הקבוצה הקטנה לשורש הקבוצה הגדולה, נקבל שגובה כל עץ הפוך הוא log n במקרה הגרוע. מסקנה 7.3 סיבוכיות הזמן של מימוש זה (עם איחוד לפי גודל ובלי כיווץ מסלולים) היא (1) O עבור איחוד ו ( n O (log עבור חיפוש. נוסף על כך, על מנת לממש איחוד לפי גודל, יש לשמור במזהה הקבוצה את מספר האיברים בה. משפט 7.4 אם מבצעים גם כיווץ מסלולים, בנוסף על איחוד לפי גודל, נקבל שסיבוכיות הזמן המשוערכת של הפעולות Find, Union היא.O (log n) מסקנה 7.5 סיבוכיות הזמן של מימוש זה (עם איחוד לפי גודל ועם כיווץ מסלולים) היא (n O (log עבור שתי הפעולות באופן משוערך. נבחין כי במקרה הגרוע סיבוכיות הזמן של Find היא (n O. (log 7.2 המבנה Master-Close נתון אילו יוחסין (קבוע מראש) המיוצג כעץ הפוך מכוון. בתחילת הריצה, כל הצמתים מסומנים כ"פעילים". מבנה הנתונים תומך בשתי הפעולות הבאות בסיבוכיות זמן (n O (log משוערך: 1. (x) Close בהנתן מצביע לצומת x באילן היוחסין, יש לסמן אותו כ"כבוי", אלא אם הוא שורש אילן היוחסין. 2. (x) Master בהנתן מצביע לצומת x באילן היוחסין, מחזיר את האב הקדמון הקרוב ביותר של x באילן היוחסין שמסומן כ"פעיל". אם x פעיל, אז.Master (x) = x 7.3 סיבוכיות מימוש UF אופן המימוש סיבוכיות Find סיבוכיות Union O (n) (1) O מערכים O (1) (n) O רשימות O (log (n משוערך (1) O רשימות + מערכים עם איחוד לפי גודל O (1) (h) O עצים הפוכים O (1) (n O (log עצים הפוכים עם איחוד לפי גודל (n O (log משוערך עצים הפוכים עם איחוד לפי גודל וכיווץ מסלולים 8 ערימות הגדרה 8.1 ערימת מינימום היא מבנה נתונים התומך בפעולות הבאות:.arr איברי הקלט שניתנים במערך n בנה ערימה מתוך MakeHeap (arr) (x) Insert הכנס איבר x לערימה. 3. (x DecKey,p) בהנתן מצביע לצומת בערימה p, הקטן את המפתח שלו לערך x. אם ערכו הנוכחי של המפתח קטן מ x, אל תבצע דבר. 4. () FindMin החזר את האיבר המינימלי בערימה. 5. () DelMin מחק את האיבר המינימלי בערימה. 8.1 מימוש ערימה כעץ כמעט שלם נשמור את האיברים בעץ כמעט שלם (שיכול להיות ממומש על ידי מערך או על ידי עץ דינמי), כאשר נדאג שתתקיים השמורה הבאה: 9

10 שמורת הערימה. כל בן גדול מאביו. איור 8.1: ערימה כעץ כמעט שלם על מנת לתחזק את שמורת הערימה על עץ כמעט שלם תוך ביצוע פעולות עליה, נגדיר שתי פעולות עזר, SiftUp ו SiftDown הפעולות SiftUp ו SiftDown הפעולה.SiftDown בנו המינימלי. האלגוריתם מקבל כקלט מצביע לאיבר עם מפתח x, ומבצע: כל עוד x אינו עלה וגדול מאחד מבניו, החלף בינו לבין הפעולה.SiftUp האלגוריתם מקבל כקלט מצביע לאיבר עם מפתח x, ומבצע: כל עוד x קטן מאביו, החלף בין x לאביו. איור 8.2: הפעולות SiftUp ו SiftDown סיבוכיות זמן O (n) O (log n) O (log n) O (1) O (log n) 8.2 סיבוכיות מימוש ערימה כעץ כמעט שלם פעולה MakeHeap Insert DecKey FindMin DelMin הערה. ניתן להגדיר ולממש באופן סימטרי ערימת מקסימום. 9 מיונים משפט 9.1 כל אלגוריתם מבוסס השוואות המקבל n איברים כלליים וממיינם רץ בסיבוכיות זמן (n Ω n) log במקרה הגרוע ובמקרה הממוצע. 10

11 הערה 9.2 ראינו מספר אלגוריתמים שממיינים מערך בן n מספרים בזמן (n O n) log במקרה הגרוע, ביניהם merge sort, heap sort ועוד אלגוריתם Sort).Counting Sort (Bucket האלגוריתם מקבל סדרה של n איברים מהתחום [k,1] וממיין אותם באופן יציב בסיבוכיות זמן (k O n) + ובסיבוכיות זכרון נוסף (k) O אלגוריתם.Radix Sort האלגוריתם מקבל סדרה של n מספרים בעלי d ספרות (כל אחד) המיוצגים בבסיס b וממיין אותם בסיבוכיות זמן ((b O d) n) + ובסיבוכיות זכרון נוסף (b) O. תזכורת. אם x מיוצג בבסיס b על ידי d ספרות, אז x נתון על ידי וקטור ) 0 x = x) 1 d,..., x באורך d שכל אחת מכניסותיו מכילה מספר 1 d x. = לדוגמה, אם x הוא המספר 3425 ביצוג עשרוני, אז הוא מיוצג על ידי הוקטור מהתחום 1} b,...,{0, כך מתקיים: i=0 x ib i.x = 3 i=0 x i10 i = כאשר מתקיים 10 0 x = (3, 4, 2, 5) הערה. מספר הספרות של x ביצוג בבסיס b הוא x. log b 10 מציאת האיבר ה i בגודלו במערך הפעולה Partition מקבלת מערך A באורך n ומספר x כלשהו, ומפרידה בסיבוכיות זמן (n) O את המערך A לשני מערכים: מערך המכיל את קבוצת האיברים במערך שגדולים או שווים ל x. A x 1. מערך המכיל את קבוצת האיברים במערך שקטנים מ x. A x> 2. הפעולה Select מערך A באורך,n אינדקס i המקיים i n.1 קלט. פלט. האיבר ה i בגודלו מבין האיברים ב A, בסיבוכיות זמן (n) O במקרה הגרוע. האלגוריתם. 1. חלק את A לחמישיות. 2. מצא חציון של כל חמישיה, והכנס את כל החציונים למערך B. נסמן את גודל המערך B ב k. למציאת החציון של החציונים. נסמן את הערך המוחזר ב x. Select (,B k 2 ) 3. הפעל את.4 בצע x),partition (A, וקבל את שני המערכים:.A <x,a x 5. נסמן ב s את גודל המערך A. x>.6 אם 1 i,s = החזר את.x.7 אם 1 i,s > החזר את הערך המתקבל מביצוע i).select (A <x,.8 אם 1 i,s < החזר את הערך המתקבל מביצוע s).select (A x, i 11 מחרוזות 11.1 מילון המחרוזות Trie הגדרה 11.1 נתון א"ב סופי וקבוע Σ, ונתון תו / Σ $. מחרוזת מעל Σ היא סדרה סופית של תוים מ Σ שנגמרת ב $ ($ משמש בתפקיד.(null terminator נניח שמוגדר יחס סדר לקסיקוגרפי על האותיות, למשל עבור הא"ב האנגלי מתקיים a. < b < c < < z נוסף על כך, נניח ש $ קטן לקסיקוגרפית מכל אות ב Σ. הגדרה Trie 11.2 הוא מילון מחרוזות, כלומר מבנה נתונים התומך בפעולות: 11

12 1. () Init אתחל מבנה ריק. 2. (s) Insert הכנס מחרוזת s למילון. 3. (s) Remove הוצא את המחרוזת s מהמילון. 4. (s) Find החזר "כן" אם ורק אם המחרוזת s נמצאת במילון מימוש Trie על ידי עץ נחזיק עץ בו לכל צומת פנימי יש לכל היותר + 1 Σ בנים. כל צומת ישמור את הקשתות לבניו במערך בגודל + 1 Σ. כל קשת תסומן בתו המתאים לה (לפי הכניסה במערך). משפט 11.3 כל מחרוזת שהוכנסה לעץ מובילה לעלה אחר ב Trie, ולהיפך, כלומר כל עלה מתאים למחרוזת אחרת שהוכנסה למבנה. משפט 11.4 סיור Preorder ב Trie, בו עוברים על הקשתות של כל צומת לפי סדר לקסיקורגפי, מגיע לעלה שמתאים למחרוזת s 1 לפני שהוא מגיע לעלה שמתאים למחרוזת s 2 אם"ם s 1 < s 2 בסדר לקסיקוגרפי. איור :11.1 Trie שמכיל את המחרוזות coca, cola, t, tea 11.2 סיבוכיות מימוש מילון מחרוזות כ Trie פעולה סיבוכיות זמן O (1) O ( s ) Init Find, Insert, Remove 11.3 עצי סיומות Trees) (Sux הגדרה 11.5 עץ סיומות של מחרוזת s הוא Trie שאליו הוכנסו כל הסיומות של המחרוזת s (עם תו הסיום $). ניתן לבצע שני שלבי דחיסה על עץ סיומות, שבהם מבצעים: 1. נסלק מהעץ צמתים בעלי בן יחיד ונחליף שרשרת קשתות בקשת בודדת שתכיל את תת המחרוזת המתאימה. 2. במקום לכתוב על כל קשת את תת המחרוזת שאמורה להיות כתובה עליה, נשמור שני מצביעים לתחילת תת המחרוזת הנ"ל ולסופה. לאחר שני שלבי הדחיסה האלה, סיבוכיות המקום של עץ הסיומות הדחוס היא ( s ) O. משפט [ [Ukkonen, קיים אלגוריתם לבנית עץ סיומות דחוס של מחרוזת s בסיבוכיות זמן ( s ) O. משפט 11.7 מחרוזת r היא תת מחרוזת של מחרוזת s אם"ם r היא רישא של סיפא של s. 12

13 עץ סיומות לא דחוס עץ סיומות דחוס איור 11.2: עצי סיומות של banana עץ סיומות מוכלל עץ סיומות מוכלל של קבוצת מחרוזות } k S = s} 1,..., s הוא Trie המכיל את כל הסיומות של כל המחרוזות מ S. באופן דומה להגדרת עץ סיומות דחוס (עבור מחרוזת אחת), ניתן להגדיר עץ סיומות מוכלל דחוס. משפט 11.8 ניתן לבנות עץ סיומות ( דחוס מוכלל של קבוצת מחרוזות } k S = s} 1,..., s מעל א"ב בגודל קבוע על ידי אלגוריתם הקופסה k ).O השחורה בסיבוכיות זמן i 1=i s איור :11.3 עצי סיומות מוכלל של המחרוזות } 2 {xabxa$ 1, ba$ 12 גרפים 12.1 דרכי יצוג של גרפים תזכורת הגדרות ומשפטים בתורת הגרפים הגדרה גרף (לא) מכוון (E G =,V) הוא מבנה המורכב מקבוצת צמתים V וקבוצת קשתות (לא) מכוונות E. 2. בהנתן גרף מכוון G, גרף התשתית של G הוא הגרף הלא מכוון המתקבל מ G על ידי "מחיקת" כיווני הקשתות. 3. בהנתן גרף לא מכוון (E G =,V) וצומת v, V הדרגה של v מוגדרת להיות מספר הקשתות שנוגעות ב v, ומסומנת (v) d. 4. בהנתן גרף מכוון (E G =,V) וצומת v, V דרגת הכניסה של v מוגדרת להיות מספר הקשתות הנכנסות ל v, ומסומנת (v) d. in באופן דומה, דרגת היציאה של v מוגדרת להיות מספר הקשתות היוצאות מ v, ומסומנת (v) d. out נוסף על כך, נגדיר את הדרגה של d. (v) d in (v) + d out (v) נכנסות אליו או יוצאות ממנו, ונסמנה כלומר להיות מספר הקשתות שנוגעות ב v, v 13

14 5. גרף פשוט הינו גרף ללא לולאות עצמיות וללא קשתות מקבילות. 6. גרף ממושקל צמתים הוא גרף בו מוגדרת פונקצית משקל על הצמתים w. : V R 7. גרף ממושקל קשתות הוא גרף בו מוגדרת פונקצית משקל על הקשתות w. : E R 8. גרף לא מכוון יקרא קשיר אם קיים מסלול בין כל זוג צמתים בגרף. הגדרה שקולה: גרף לא מכוון יקרא קשיר אם קיים צומת ממנו יש מסלול לכל צומת אחר בגרף. 9. גרף מכוון יקרא קשיר היטב אם קיים מסלול (מכוון) בין כל זוג צמתים בגרף..10 גרף ) E G = (V, הוא תת גרף של E) G = (V, אם V V וגם.E E.11 בהנתן גרף E) G = (V, וקבוצת צמתים,V V תת הגרף המושרה על ידי V הוא תת הגרף ) E G = (V, בו E E היא קבוצת כל הקשתות ששני קצותיהן ב V. 12. בהנתן גרף (E G, =,V) רכיב קשירות הוא קבוצה מקסימלית של צמתים V V המשרה גרף קשיר. 13. גרף לא מכוון הוא יער אם הוא חסר מעגלים. 14. גרף לא מכוון הוא עץ אם הוא יער קשיר..15 עץ ) E T = (V, הוא עץ פורש של גרף E) G = (V, אם הוא תת גרף של G וגם.V = V 16. בהנתן גרף מכוון (E G, =,V) צומת v V הוא שורש אם קיים מסלול מ v לכל צומת בגרף. 17. בהנתן גרף מכוון (E G, =,V) צומת v V הוא מקור אם דרגת הכניסה שלו היא בהנתן גרף מכוון (E G, =,V) צומת v V הוא בור אם דרגת היציאה שלו היא 0. סימון. בהנתן גרף E),G = (V, נסמן V.m E,n.0 m ( n 2) משפט 12.2 גרף מכוון שאין בו קשתות מקבילות מקיים m n 2 0. גרף לא מכוון שאין בו קשתות מקבילות מקיים + n. v V משפט 12.3 לכל גרף E),G = (V, מכוון או לא מכוון, מתקיים E d (v) = 2 משפט G 12.4 הוא עץ G חסר מעגלים וכל הוספה של קשת תיצור מעגל ב G G קשיר וכל הסרה של קשת תפגע בקשירות G לכל זוג צמתים ב G קיים מסלול פשוט יחיד המחבר ביניהם רשימת סמיכויות באמצעות רשימת סמיכויות נוכל לייצג גרף שצמתיו ממוספרים {n,...,1}. המבנה מוגדר על ידי מערך A בגודל n של רשימות. בגרף מכוון, הרשימה [i] A שומרת את כל הקשתות היוצאות מצומת i. בגרף לא מכוון, הרשימה [i] A שומרת את כל הקשתות הנוגעות בצומת i מטריצת סמיכויות באמצעות מטריצת סמיכויות נוכל לייצג גרף שצמתיו ממוספרים {n,...,1}. המבנה מוגדר על ידי מטריצה A בגודל n n כך שבכניסה ה ( j,i) מופיע 1 אם הקשת (j,i) בגרף, ואחרת 0. נבחין כי בגרף לא מכוון, המטריצה A היא סימטרית סיבוכיות מימוש גרף מטריצת סמיכויות רשימת סמיכויות O (d (i)) O (1) Find (i, j) בדיקת קיום הקשת (j,i) O (d (i)) O (1) Insert (i, j), Delete (i, j) הוספת/הסרת הקשת (j,i) Neighbors (i) O (d (i)) O (n) מעבר על כל שכני הצומת i סיבוכיות מקום 2) O (n + m) O ( n 14

15 12.3 מימוש אלגוריתמים בסיסיים בגרפים אלגוריתם למיון טופולוגי הגדרה 12.5 בהנתן גרף מכוון E),G = (V, מיון טופולוגי של G הוא פונקציה חח"ע ועל n} N : V {1,..., המקיימת את התכונה הבאה: אם (u, v) E אז (v).n (u) < N משפט 12.6 בהנתן גרף G, קיים ל G מיון טופולוגי אם ורק אם G חסר מעגלים (מכוונים). רעיון האלגוריתם. 1. כל עוד קיים מקור בגרף, (א) מצא מקור v. (ב) הגדר ל v את המספור הקטן ביותר בתחום {n,...,1} שעוד לא ניתן לאף צומת. (ג) מחק את v מהגרף, וכן את כל הקשתות היוצאות ממנו. הערה 12.7 בהרצאה הצגתם מימוש של האלגוריתם בסיבוכיות זמן (m O n) + כאשר G נתון ברשימת סמיכויות אלגוריתם Prim למציאת עץ פורש מינימום הגדרה 12.8 בהנתן גרף (E G =,V) עם פונקציה משקל על הקשתות + R w, : E עץ פורש מינימום של G הוא עץ פורש של G שסכום משקלי קשתותיו מינימלי. הערה 12.9 בהרצאה הצגתם אלגוריתם למציאת עץ פורש בגרף G שרץ בסיבוכיות זמן (n O, m) log כאשר G נתון ברשימת סמיכויות. נוסף על כך, קיים מימוש של האלגוריתם בסיבוכיות זמן (n O. m) + n log אלגוריתם BFS המטרה. בהנתן גרף לא מכוון (E G =,V) וצומת i, V מצא את רכיב הקשירות של i. האלגוריתם. עבור G הנתון כרשימת סמיכויות, 1. אתחל מצביע p לתחילת רשימת השכנים של הצומת i. 2. סמן את הצומת i..3 כל עוד,p null (א) אם הצומת u המוצבע על ידי p עוד לא סומן, i. לסוף הרשימה של צומת u שרשר את רשימת השכנים של i. u. סמן את.ii (ב) קדם את p צעד אחד קדימה ברשימה. 4. בסיום האלגוריתם, כל הצמתים שסומנו נמצאים ברכיב הקשירות של i. סיבוכיות הזמן של האלגוריתם הנ"ל היא (m) O. הערה על ידי שינוי קטן של האלגוריתם המוצג לעיל, ניתן לקבל את כל רכיבי הקשירות בגרף בזמן (m O. n) אלגוריתם למציאת המסלול הארוך ביותר בגרף המטרה. בהנתן גרף מכוון (E G, =,V) יש לחשב את אורך המסלול הארוך ביותר בגרף, אם קיים כזה. טענה אם קיים מעגל ב G, אז אורך המסלול הארוך ביותר ב G אינו חסום. 15

16 האלגוריתם. 1. מצא מיון טופולוגי N על G. (א) אם לא קיים מיון טופולוגי, החזר "אורך המסלול לא חסום"..2 עבור i = n עד = 1,i (א) נסמן ב v את הצומת שעבורו N. (v) = i (ב) אם v הוא בור, הגדר = 0 (v) L. (ג) אחרת, נסמן ב { {u 1,..., u k את בניו של,v ונגדיר (u).l (v) = 1 + max u {u1,...,u k } L.3 החזר את (v).max v V L סיבוכיות הזמן של האלגוריתם לעיל הוא (m O n) + כאשר G מיוצג ברשימת סמיכויות. 16

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים חידה לחימום בסל מקש יש צמר. כדורי 00 שני שחקנים משחקים בתורות: כל שחקן, בתורו, צריך להוציא כמות כלשהי של כדורי צמר מהסל לפחות כדור אחד, אך לא יותר ממחצית מכמות כדורי הצמר שבסל. מי שלא יכול לעשות מהלך (מתי

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

עץץץץ AVL. עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1, 0, או 1-. הגדרה: במילים אחרות: לכל צומת x בעץ,

עץץץץ AVL. עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1, 0, או 1-. הגדרה: במילים אחרות: לכל צומת x בעץ, עץץץץ AVL הגדרה: עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1,, או 1-. h(t left(x) ) - h(t right(x) ) 1 במילים אחרות: לכל צומת x בעץ, בעץ AVL שומרים עבור כל צומת

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב.

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב. אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 אתר הקורס.clickit3 מרצה : בני מוניץ הציון: מבחן סופי: 80% שיעורי בית 20% ואפשרות לבוחן אמצע 20% מגן גרפים הגדרה: תהי V קבוצה סופית לא ריקה. ותהי E קבוצה

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:

מבני נתונים אדמיניסטרציה דר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: מבני נתונים בס"ד, ט' אדר א' תשע"א: שעור 1 אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: בחינת מגן 20%. תרגילים: 14 13, מורידים את האחד הכי גרוע. 10% מהציון. אתר: www.cs.huji.ac.il/~dast

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2 סריקה לעומק רכיבים אי-פריקים רכיבים קשירים היטב מיון טופולוגי פרק 3 ב- Kleinberg/Tardos פרק 3.3-5 ב- al Cormen et קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות: ל- t? האם יש מסלול מ- s קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות:

Διαβάστε περισσότερα

מבנה נתונים סיכומי הרצאות

מבנה נתונים סיכומי הרצאות מבנה נתונים סיכומי הרצאות 22 ביוני 2010 הערה לקראת המבחנים מרצה: דורית אהרונוב סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com כרגע חסרים מספר דברים בסיכום, כמו פונקציות גיבוב, וכמובן שתמיד

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים קומבינטוריים סיכומים של תרגילי כיתה מסמסטרים קודמים בנושא מיון ובעיית הבחירה

אלגוריתמים קומבינטוריים סיכומים של תרגילי כיתה מסמסטרים קודמים בנושא מיון ובעיית הבחירה אלגוריתמים קומבינטוריים סיכומים של תרגילי כיתה מסמסטרים קודמים בנושא מיון ובעיית הבחירה 1. סיכום אלגוריתמי המיון שנלמד: הנחות והערות זכרון נוסף זמן (טוב) זמן (ממוצע) זמן (גרוע) האלגוריתם מיון במקום O(1)

Διαβάστε περισσότερα

םינותנ ינבמ (הנכות ידימלתל)

םינותנ ינבמ (הנכות ידימלתל) מבני נתונים (לתלמידי תוכנה) 0368.2158 מועד ב', גירסה 1 2 מתוך 2 שיטת האב Method Master n Tn ( ) = at( ) + fn ( ) b logba logba ε Θ ( n ) if : ε > 0, f( n) = O( n ) logba logba Tn ( ) = Θ ( n lg n) if:

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תש"ע

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תשע אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים 89-120 תרגולים (חלקי) מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין נכתב ונערך ע"י: גלעד אשרוב סמסטר ב', תש"ע הערות כלליות. המסמך מכיל סיכומי תרגולים שניתנו במהלך הסמסטר (סמסטר ב', תש"ע).

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

םימתירוגלאל אוב מו םינותנ ינבמ ןייטשניבור רימא

םימתירוגלאל אוב מו םינותנ ינבמ ןייטשניבור רימא מבני נתונים ומבוא לאלגוריתמים אמיר רובינשטיין תוכן העניינים הקדמה מבוא, סיבוכיות של אלגוריתמים מבני נתוני בסיסיים... רקורסיה. וטכניקת הפרדמשולצרף מיוןמהיר. ונכונות של אלגוריתמים ערימהותורקדימויות חסםתחתוןלבעייתהמיון,

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- כתב ופתר גיא סלומון

אלגברה לינארית גיא סלומון. α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π. σ ς τ υ ω ξ ψ ζ. לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל-  כתב ופתר גיא סלומון 0 אלגברה לינארית α β χ δ ε φ ϕ γ η ι κ λ µ ν ο π ϖ θ ϑ ρ σ ς τ υ ω ξ ψ ζ גיא סלומון לפתרון מלא בסרטון פלאש היכנסו ל- wwwgoolcoil סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

בשחמה יעדמב תומסרופמ תויעב ןד גוא רתויב רצקה לולסמה תאיצמ קלופ הרש הבתכ היעבה רואית

בשחמה יעדמב תומסרופמ תויעב ןד גוא רתויב רצקה לולסמה תאיצמ קלופ הרש הבתכ היעבה רואית אוגדן בעיות מפורסמות במדעי המחשב מציאת המסלול הקצר ביותר כתבה שרה פולק תיאור הבעיה הבעיה המתוארת בפרק זה עוסקת במציאת המסלול הקצר ביותר בין שני צמתים בגרף משוקלל. את הבעיה הגדיר דייקסטרה בשנת 1956, כשעבד

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ

םיאלמ תונורתפ 20,19,18,17,16 םינחבמל 1 להי רחש ןולאש הקיטמתמב סוקופ פתרונות מלאים למבחנים 0,9,8,7,6 פוקוס במתמטיקה שאלון 3580 שחר יהל העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית. פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה א. נקודות A ו- B נמצאות על הפונקציה

Διαβάστε περισσότερα

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, א"ב (.

חלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, אב (. תוכן עניינים תקציר מודלים חישוביים ערך יגאל הינדי 2 2 2 3 4 6 6 6 7 7 8 8 9 11 13 14 14 15 16 17 17 18 19 20 20 20 20 - האוטומט הסופי - אוטומט סופי דטרמניסטי 2 פרק - מושגים ומילות מפתח 2.1 - הגדרת אוטומט

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 רשימות בקורס לוגיקה למדעי המחשב, סמסטר אביב תשע"ה, אוניברסיטת תל אביב. טעויות קורות אשמח שתעדכנו אותי עליהן ושאתקנן. אמיר שפילקה shpilka@post.tau.ac.il שרייבר

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

מכניקה אנליטית תרגול 6

מכניקה אנליטית תרגול 6 מכניקה אנליטית תרגול 6 1 אלימינציה של קואורדינטות ציקליות כאשר יש בבעיה קואורדינטה ציקלית אחת או יותר, לעתים נרצה לכתוב פעולה חדשה (או, באופן שקול, לגראנז'יאן חדש) אשר לא כולל את הקואורדינטות הללו, וממנו

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים מ( מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים M / M / תאור המערכת: תור שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. קצב

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

דיאגמת פאזת ברזל פחמן

דיאגמת פאזת ברזל פחמן דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב

אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב אי שלמות ואי כריעות בשפות פורמליות ד ר אסף חסון, אוניברסיטת בן גוריון בנגב יובל אדם Young man, in mathematics you don t understand things. You just get used to them. - John von Neumann תוכן עניינים 2 פרולוג....................................

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים. אחרי שלב זה המשיכו והריצו את מיון מהיר על המערך. תארו את כל שלבי הרקורסיה, אך עתה אין צורך להיכנס לתיאור הריצה של.

מבני נתונים. אחרי שלב זה המשיכו והריצו את מיון מהיר על המערך. תארו את כל שלבי הרקורסיה, אך עתה אין צורך להיכנס לתיאור הריצה של. מבני נתונים תרגיל 2 פתרונות מיון מהיר 1. הריצו את השיטה partition על המערך הבא. הראו את שלבי הריצה השונים. 6, 10, 20, 4, 2, 15, 5, 99, 12, 1 אחרי שלב זה המשיכו והריצו את מיון מהיר על המערך. תארו את כל

Διαβάστε περισσότερα

תכנות מתקדם בשפת C חוברת תרגילים - 1 -

תכנות מתקדם בשפת C חוברת תרגילים - 1 - תכנות מתקדם בשפת C חוברת תרגילים - 1 - קלט פלט. MaxMult MaxMult שאלה 1. 10 א. כתבו תוכנית המדפיסה לוח כפל בגודל 10 ב. כתבו תוכנית המקבלת מספר,,MaxMult ומדפיסה לוח כפל בגודל לדוגמא עבור: MaxMult=4 יודפס:

Διαβάστε περισσότερα

יחידה - 7 זוויות חיצוניות

יחידה - 7 זוויות חיצוניות יחידה 7: זוויות חיצוניות שיעור 1. זווית חיצונית למצולע מה המשותף לכל הזוויות המסומנות ב-? נכיר זווית חיצונית למצולע, ונמצא תכונה של זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית למצולע 1 כל 1. הזוויות המסומנות במשימת

Διαβάστε περισσότερα

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.

קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל לוח יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא

Διαβάστε περισσότερα

דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים

מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים תאור המערכת: תור / M M / ( ) שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. זמן

Διαβάστε περισσότερα

C תפשב םדקתמ תונכת םיליגרת תרבוח - - 1

C תפשב םדקתמ תונכת םיליגרת תרבוח - - 1 תכנות מתקדם בשפת C חוברת תרגילים - 1 - קלט פלט. MaxMult MaxMult שאלה 1. 10 א. כתבו תוכנית המדפיסה לוח כפל בגודל 10 ב. כתבו תוכנית המקבלת מספר,,MaxMult ומדפיסה לוח כפל בגודל לדוגמא עבור: MaxMult=4 יודפס:

Διαβάστε περισσότερα

למידה חישובית אלי דיין 1.

למידה חישובית אלי דיין 1. למידה חישובית אלי דיין תקציר מסמך זה יביא את סיכומי השיעורים מהקורס למידה חישובית, שהועבר על ידי פרופ ישי מנצור בסמסטר א בשנה ל תשע ג. תוכן עניינים 5 מה זה למידה חישובית? 5 סוגי

Διαβάστε περισσότερα

C.C Ωשרשרת. Eחסומה. E אם לכל x Rb x E

C.C Ωשרשרת. Eחסומה. E אם לכל x Rb x E של הלמה של צורן י י י י שומים של צורן הל מה תזכרת יהי R יחס טרנזיטיבי מעל קבוצה Ω 1 הג הג a< Rb ( arb bra), a Rb ( arb a= א לכל, ab Ωנגדיר (b R >סדר R קדם-סדר קהה מעל Ω (=טרנזיטיבי ורפלקסיבי מעל Ω) ו לא

Διαβάστε περισσότερα

בפיסיקה 1 למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח. F dl = 0. U = u B u A =

בפיסיקה 1 למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח. F dl = 0. U = u B u A = פוטנציאל חשמלי אנרגיה פוטנציאלית חשמלית בפיסיקה למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח שהעבודה שהוא מבצע על גוף לאורך דרך אינה תלויה במסלול שנבחר בין נקודת ההתחלה לבין נקודת הסיום,

Διαβάστε περισσότερα

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם בס"ד יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם עבודת מסכמת זו הוגשה כחלק מהדרישות לקבלת תואר "מוסמך למדעים" M.Sc. במדעי המחשב באוניברסיטה הפתוחה החטיבה למדעי המחשב

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה

מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה מבוא לתורת החבורות עוזי וישנה 12 בפברואר 2017 מבוא לתורת החבורות מהדורה 3.931 הקדמה. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס "אלגברה מופשטת 1" לתלמידי מתמטיקה, 88-211, באוניברסיטת בר אילן. הקורס

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N

הרצאה 5 הגדרה D5.1 בין 1 N . כלומר, t N ROBABILITY A STATISTIS הסתברות וסטטיסטיקה יוג'ין מאת קנציפר ugee Kazieer All rights reserved 005/06 כל הזכויות שמורות 005/06 הרצאה 5 התפלגויות בדידות מיוחדות התפלגות אחידה ניסוי והתפלגות ברנולי התפלגות

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 5 1 במאי 1 1. נוכיח כי מרחב הפולינומים R[t] אינו נפרש סופית: נניח שהוא כן נפרש סופית. אם כך, ניקח קבוצה סופית פורשת שלו:.R[t] קבוצה סופית של פולינומים, שפורשת את כל המרחב p}

Διαβάστε περισσότερα

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 0 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי I גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

29 תרגיל 2) העבר את המספרים המוצגים בבסיס להצגה בינארית 25() 24 () 243 () תרגיל ( 3 דוגמא העבר את המספר המבוטא בבסיס בינארי לצורה עשרונית (2) פתרון :

29 תרגיל 2) העבר את המספרים המוצגים בבסיס להצגה בינארית 25() 24 () 243 () תרגיל ( 3 דוגמא העבר את המספר המבוטא בבסיס בינארי לצורה עשרונית (2) פתרון : 29 תרגילי חזרה: העברת בסיסים נתון המספר ()43 מצא את ערכו של המספר בבסיס 2 הראה את הדרך לפתרון ( פתרון התרגיל : נגדיר תבניות שערכן גדל פי 2 החל מהמספר עד תבנית הגדולה וסמוכה למספר 256 28 64 32 6 8 4 2 ממלאים

Διαβάστε περισσότερα

אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן

אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה עש איבי ואלדר פליישמן אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן מספר סידורי: מספר סטודנט: בחינה בקורס: פיזיקה משך הבחינה: שלוש שעות 1 יש לענות על כל השאלות 1 לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי, ולכל סעיף אותו משקל

Διαβάστε περισσότερα

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5.

דוגמאות. W = mg. = N mg f sinθ = 0 N = sin20 = 59.26N. F y. m * = N 9.8 = = 6.04kg. m * = ma x. F x. = 30cos20 = 5. דוגמאות 1. ארגז שמסתו 5kg נמצא על משטח אופקי. על הארגז פועל כוח שגודלו 30 וכיוונו! 20 מתחת לציר האופקי. y x א. שרטטו דיאגרמת כוחות על הארגז. f W = mg ב. מהו גודלו וכיוונו של הכוח הנורמלי הפועל על הארגז?

Διαβάστε περισσότερα

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/

ב ה צ ל ח ה! /המשך מעבר לדף/ בגרות לבתי ספר על יסודיים סוג הבחינה: מדינת ישראל קיץ תשע"א, מועד ב מועד הבחינה: משרד החינוך 035804 מספר השאלון: דפי נוסחאות ל 4 יחידות לימוד נספח: מתמטיקה 4 יחידות לימוד שאלון ראשון תכנית ניסוי )שאלון

Διαβάστε περισσότερα

אילנה, אייל, רועי, רותם, רותם, רותם, נאור, יוני, תמיר

אילנה, אייל, רועי, רותם, רותם, רותם, נאור, יוני, תמיר 9 המושגים הבסיסיים ב (חזרה) משתנה אקראי הגדרות גודל שמאפיין איבר מסוים בקבוצת איברים מאותו סוג, מאיבר לאיבר באקראי. ושעשוי להשתנות משתנה אקראי מאופיין על ידי שם, מספר האיבר שאותו הוא מאפיין, וגודל (ערך).

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 חיים שחור סיכומי שיעורים של ד"ר גיא קינדלר 21 ביוני 2012 תוכן עניינים 2.................................................. אוטומטים ושפות רגולריות 1 3........................................................

Διαβάστε περισσότερα

Electric Potential and Energy

Electric Potential and Energy Electric Potential and Energy Submitted by: I.D. 039033345 The problem: How much energy is needed to create the following configuration? The solution: Let φ i be the potential at the position of the charge

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס:

פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס: פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס: w = f (z) = U (x, y) + iv (x, y), U = V = 0 הפונקציה f מעתיקה ממישור y) zלמישור = (x,

Διαβάστε περισσότερα

r. כלומר התחיל במצב ההתחלתי, סיים במצב מקבל, ובדרך עבר בצורה חוקית. ניתן להגדיר

r. כלומר התחיל במצב ההתחלתי, סיים במצב מקבל, ובדרך עבר בצורה חוקית. ניתן להגדיר מודלים חישוביים סיכום למבחן אוטומטים: שפות / מחרוזות / הגדרות בסיסיות: א"ב: Σ הוא אוסף סופי של תווים, סימנים. מחרוזת / מילה: רצף סופי של אותיות מא"ב מסוים, כאשר מספר האותיות הוא אורכה המחרוזת הריקה: ε

Διαβάστε περισσότερα

תשס"ז שאלות מהחוברת: שאלה 1: 3 ס"מ פתרון: = = F r 03.0 שאלה 2: R פתרון: F 2 = 1 10

תשסז שאלות מהחוברת: שאלה 1: 3 סמ פתרון: = = F r 03.0 שאלה 2: R פתרון: F 2 = 1 10 Q 0 חוק קולון: שאלות מהחוברת: שאלה : פיזיקה למדעי החיים פתרון תרגיל 5 חוק קולון,שדה חשמלי ופוטנציאל חשמלי ו- Q 5 0 Q Q 3 ס"מ חשב את הכוח החשמלי הפועל בין שני מטענים נקודתיים הנמצאים במרחק 3 ס"מ זה מזה.

Διαβάστε περισσότερα

דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה ( ) ( ) ( ) הגבר סטטי: ערך התחלתי וסופי של אות המוצא ע"פ פונקצית תמסורת (נכון עבור שורשים ממשיים בלבד!!!

דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה ( ) ( ) ( ) הגבר סטטי: ערך התחלתי וסופי של אות המוצא עפ פונקצית תמסורת (נכון עבור שורשים ממשיים בלבד!!! דף נוסחאות מבוא לבקרה לביוטכנולוגיה פונקצית תמסורת : Y( s) G X ( s) הגדרות בסיסיות : סדר של פונקצית תמסורת סדר הפולינום במכנה (החזקה הכי גבוהה של פולינום המכנה). אפסים- שורשים של פולינום המונה. קטבים שורשים

Διαβάστε περισσότερα

מבוא מיפוי (Mapping) תכונה : 3 אוטוקורלציה הסתברות שגיאה במיפויM-QAM ביבליוגרפיה... 32

מבוא מיפוי (Mapping) תכונה : 3 אוטוקורלציה הסתברות שגיאה במיפויM-QAM ביבליוגרפיה... 32 פרק : אפנון על ידי צורת גל אחת מרצה: אריה רייכמן כתבו וערכו: ענבי תמיר זלמה טל תוכן עניינים מבוא.... הגדרת אפנון עם צורת גל אחת.... מיפוי (Mapping)... 3.. סוגי מיפויים עבור אפנון בצורת גל אחת... 4.. 7...

Διαβάστε περισσότερα

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת Query Optimization מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? נתונה שאילתה בגודל m, מהו גודל התוצאה? לדוגמה: יחס n R(A) ומסד נ ת ונים בגודל עם 2 שורות, שבא חת מהן יש את הע רך 0 ובשניה יש א ת

Διαβάστε περισσότερα

חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית

חשמל ומגנטיות תשעה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 3 פוטנציאל חשמלי ואנרגיה אלקטרוסטטית הפונציאל החשמלי בעבור כל שדה וקטורי משמר ישנו פוטנציאל סקלרי המקיים A = φ הדבר נכון גם כן בעבור השדה החשמלי וניתן לרשום E = φ (1) סימן המינוס

Διαβάστε περισσότερα

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311

שיעור.1 חופפים במשולש שווה שוקיים יחידה - 31 חופפים משולשים 311 יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

Διαβάστε περισσότερα

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple Â Ó ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple Â Ó תוכן העניינים 7 9 6 0 8 6 9 55 59 6 מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם...

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות 1-3 (לכל שאלה

פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות 1-3 (לכל שאלה שאלון - 806 מבחן פרק ראשון - אלגברה והסתברות ) ענה על שתיים מהשאלות - (לכל שאלה נק') 6 נק') A n יואב ודניאל עובדים בהעמסת ארגזים למשאיות במפעל. יואב מסוגל להעמיס לבדו 0 ארגזים בשעה. דניאל מסוגל להעמיס

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

הקדמה קצרה: מהות הקורס ומטרתו

הקדמה קצרה: מהות הקורס ומטרתו הקדמה קצרה: מהות הקורס ומטרתו עד כה, רוב הקורסים שנתקלתם בהם במדעי המחשב עסקו בעיקר בשאלות כמו "איך אפשר לפתור בעיות בעזרת מחשב?", "איך אפשר להעריך 'איכות' של אלגוריתם לפתרון בעיה", או "באילו שיטות ניתן

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3

מתמטיקה )שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי, 5 יחידות לימוד( 1 מספרים מרוכבים 3#2 3 3 סוג הבחינה: בגרות לבתי ספר על יסודיים מדינת ישראל מועד הבחינה: חורף תשע"ב, 202 משרד החינוך מספר השאלון: 035807 דפי נוסחאות ל 5 יחידות לימוד נספח: א. משך הבחינה: שעתיים. מתמטיקה 5 יחידות לימוד שאלון שני

Διαβάστε περισσότερα

ןמנירג ןואל \ הקיטסיטטס הקיטסיטטסב הרזח ה יפד ךותמ 14 דו 1 מע

ןמנירג ןואל \ הקיטסיטטס הקיטסיטטסב הרזח ה יפד ךותמ 14 דו 1 מע עמוד מתוך 4 סטטיסטיקה תיאורית X- תצפית -f( שכיחות מספר פעמים שהתצפית חזרה על עצמה - גודל מדגם -F( שכיחות מצטברת ישנם שני סוגי מיון תצפיות משתנה בדיד סוג תצפית ספציפי.משתנה שכל ערכיו מספרים בודדים. משתנה

Διαβάστε περισσότερα

משוואות מקסוול משוואות מקסוול בתחום הזמן: B t H dl= J da+ D da t ρ Η= J+ B da= t בחומר טכני פשוט: משוואות מקסוול בתחום התדר:

משוואות מקסוול משוואות מקסוול בתחום הזמן: B t H dl= J da+ D da t ρ Η= J+ B da= t בחומר טכני פשוט: משוואות מקסוול בתחום התדר: 4414 שדות אלקטרומגנטים, סיכום הקורס, עמוד 1 מתוך 6 משוואות מקסוול l= B a l= J a+ D a D a= v B a= S a+ ( wev+ wmv) = J v J a+ v= S = 1 we = D 1 wm = B l= jω B a l= J a+ jω D a D a= v B a= 1 * S a+ jω( wm

Διαβάστε περισσότερα

69163) C [M] nm 50, 268 M cm

69163) C [M] nm 50, 268 M cm א ב ג סמסטר אביב, תשע"א 11) פיתרון מס' 4: תרגיל 69163 69163) פיסיקלית א' כימיה בליעה והעברה של אור חוק בר-למבר) כללי.1 נתון כי הסטודנט מדד את ההעברה דרך דוגמת החלבון בתוך תא של 1 ס"מ. גרף של העברה T) כתלות

Διαβάστε περισσότερα

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך:

שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא כמות השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: חוק גאוס שטף חשמלי שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: Φ E = E d כאשר הסימון מסמל אינטגרל משטחי כלשהו (אינטגרל כפול) והביטוי בתוך האינטגרל הוא מכפלה

Διαβάστε περισσότερα

א הקיטסי ' טטסל אובמ רלדנ הינור בג ' 1

א הקיטסי ' טטסל אובמ רלדנ הינור בג ' 1 מבוא לסטטיסטיקה א' נדלר רוניה גב' סכימת המחקר שאלת המחקר כלל האוכלוסיה מדגם - תת אוכלוסיה דרך מדידה איסוף נתונים קיבוץ נתונים סטטיסטיקה תיאורית סיכום נתונים האם הנתונים הינם לגבי כלל האוכלוסייה? מדגם -

Διαβάστε περισσότερα

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013 מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות 80711 אור דגמי, or@digmi.org 23 בינואר 2013 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ מתניה בן ארצי בשנת לימודים 2013. ספר לימוד של פינצ ובר רובינשטיין מבוא למד

Διαβάστε περισσότερα

דודיחל הבישח ירגתא - תיטמתמ היצקודניא

דודיחל הבישח ירגתא - תיטמתמ היצקודניא המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט אוניברסיטת ירושלים הנושא: אינדוקציה מתמטית - אתגרי חשיבה לחידוד ההבנה הוכן ע"י: נצה מובשוביץ-הדר, המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים, הטכניון, חיפה. תקציר: במאמר מוצגות

Διαβάστε περισσότερα

תשובות לשאלות בפרק ד

תשובות לשאלות בפרק ד תשובות לשאלות בפרק ד עמוד 91: ( היבט מיקרוסקופי ) בהתחלה היו בכלי מולקולות של מגיבים בלבד, אשר התנגשו וכך נוצרו מולקולות מסוג חדש, מולקולות תוצר. קיום של מולקולות תוצר מאפשר התרחשות של תגובה הפוכה, בה

Διαβάστε περισσότερα

פיזיקה 2 שדה מגנטי- 1

פיזיקה 2 שדה מגנטי- 1 Ariel University אוניברסיטת אריאל פיזיקה שדה מגנטי- 1. 1 MeV 1.חשב את זמן המחזור של פרוטון בתוך השדה המגנטי של כדור הארץ שהוא בערך B. 5Gauss ואת רדיוס הסיבוב של המסלול, בהנחה שהאנרגיה של הפרוטון הוא M

Διαβάστε περισσότερα