Ε Ι Κ Α Σ Τ Ι Κ Α. Στάθης Ψύλλος. η τέχνη του αδύνατου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ε Ι Κ Α Σ Τ Ι Κ Α. Στάθης Ψύλλος. η τέχνη του αδύνατου"

Transcript

1 Ε Ι Κ Α Σ Τ Ι Κ Α Στάθης Ψύλλος η τέχνη του αδύνατου

2 Κατά τη γνώµη µου µια αδύνατη κατάσταση διακρίνεται µόνο όταν η αδυνατότητα δεν είναι προφανής. Εάν θέλεις να τραβήξεις την προσοχή σε κάτι αδύνατο, πρέπει πρώτα να εξαπατήσεις τον εαυτό σου και µετά το ακροατήριό σου, µε το να παρουσιάσεις το έργο σου µε τέτοιον τρόπο ώστε το αδύνατο στοιχείο να αποκρύβεται και ένας περιστασιακός παρατηρητής να µην το προσέξει καν. Πρέπει να υπάρχει κάτι το µυστηριακό το οποίο να µην χτυπάει άµεσα στο µάτι. M. C. Escher Είχα την τύχη να δω την έκθεση των έργων του Maurits Cornellis Escher ( ) που φιλοξενείται στο Ιδιωτικό Μουσείο Εικαστικών Τεχνών Herakleidon, Experience in Visual Arts, στο Θησείο. Το Μουσείο εγκαινίασε τη λειτουργία του µε την έκθεση Beyond Infinity Η Τέχνη του M. C. Escher. εν είµαι ειδικός στην τέχνη. Θεωρώ τον εαυτό µου ως έναν απλό θεατή που απολαµβάνει και µάχεται για να κατανοήσει τα προϊόντα των τεχνών. Αποφάσισα, παρά ταύτα, να θέσω στο χαρτί µερικές από τις σκέψεις µου για την απαράµιλλη ικανότητα του Escher να αποτυπώνει αδύνατες καταστάσεις. Το αδύνατο είναι µια κεντρική φιλοσοφική κατηγορία, που, µαζί µε τις λοιπές τροπικές κατηγορίες (αναγκαίο, ενδεχοµενικό), συγκροτούν µέρος των θεµελίων της µεταφυσικής, δηλ. αυτού που οι φιλόσοφοι ονοµάζουν µελέτη του όντος ως ον (πιο απλά, τη µελέτη του τι υπάρχει). Το αδύνατο στη φιλοσοφία Το αδύνατο, δηλ. αυτό που δεν δύναται να υπάρχει ή να συµβεί, περιορίζει (περιχαρακώνει) το τι υπάρχει. Ό,τι υπάρχει δύναται, προφανώς, να υπάρχει. Το αντίστροφο, επίσης προφανώς, δεν ισχύει: κάτι µπορεί να δύναται να υπάρχει, αλλά να µην όντως υπάρχει. Το χρυσό βουνό δύναται να υπάρχει, αλλά απλώς δεν υπάρχει. Ό,τι δεν δύναται να υπάρχει, απλώς δεν υπάρχει. Ένας τετράγωνος κύκλος δεν δύναται να υπάρχει. Αποκλείοντας αδύνατα όντα ή αδύνατες καταστάσεις, περιορίζουµε το περιεχόµενο του κόσµου σε τρεις κατηγορίες: σε ό,τι είναι δυνατόν να υπάρχει αλλά δεν υπάρχει όντως, σε ό,τι όντως υπάρχει, και σε ό,τι υπάρχει κατ ανάγκην. Η τρίτη κατηγορία (της αναγκαίας ύπαρξης) σχετίζεται µε την κατηγορία του αδύνατου ως εξής: εάν κάτι υπάρχει κατ ανάγκην, τότε είναι αδύνατο να µην υπάρχει. Η δυνατότητα και η αναγκαιότητα είναι διακριτές κατηγορίες αλλά σχετίζονται µεταξύ τους µέσω της κατηγορίας της αδυνατότητας: το αναγκαίο δεν είναι απλώς δυνατό να υπάρχει, είναι αδύνατο να µην υπάρχει. Για πολλούς η ανωτέρω τριχοτόµηση των κατηγοριών είναι πολύ χαλαρή. Κάποιοι υποστηρίζουν ότι υπάρχουν µόνο τα ενεργεία όντα ή καταστάσεις (δηλ. τα όντα ή οι καταστάσεις που πράγµατι υπάρχουν στον κόσµο) και τα αναγκαία όντα ή καταστάσεις (δηλ. αυτά που υπάρχουν κατ ανάγκη). (Σηµειώστε ότι ό,τι υπάρχει κατ ανάγκη, υπάρχει και ενεργεία). Συνεπώς, υποστηρίζουν ότι η κατηγορία των δυνατών αλλά όχι ενεργεία όντων είναι κενή: ό,τι υπάρχει, υπάρχει ενεργεία. Το επιχείρηµα υπέρ αυτής της περιοριστικής θέσης είναι prima facie εύλογο. Εάν υπάρχουν, τα δυνατά αλλά όχι ενεργεία όντα πρέπει να έχουν µια µορφή ύπαρξης διαφορετική από αυτή των ενεργεία όντων. Για παράδειγµα, ένα ενεργεία τραπέζι είναι κάπου στον χώρο και στον χρόνο. Ένα δυνατό (δυνάµει) τραπέζι πού είναι; Από τη στιγµή, υποστηρίζεται, που δεν υπάρχει σαφής εικόνα του διαφορετικού τρόπου ύπαρξης των δυνάµει όντων, πρέπει να δεχθούµε ότι δεν υπάρχουν. Αλλά αυτό το επιχείρηµα είναι προβληµατικό. Ύπαρξη δεν σηµαίνει, κατ ανάγκην, χωρο-χρονική ύπαρξη. Οι αριθµοί ή οι γεωµετρικές οντότητες είναι αφηρηµένες οντότητες εκτός χώρου και χρόνου. Παρά ταύτα, αποδεχόµαστε την ύπαρξή τους. Παράλληλα, τα αναγκαία όντα (π.χ., ο Θεός, εάν υπάρχει) υπάρχουν εκτός χώρου και χρόνου. Εάν δεχθούµε όλα αυτά, γιατί να µη δεχθούµε και ότι τα δυνατά αλλά όχι ενεργεία όντα υπάρχουν; Μπορεί να µην υπάρχουν στον χώρο και στον χρόνο όπως τα τραπέζια και τα ηλεκτρόνια, αλλά υπάρχουν. Η εν λόγω απάντηση οδηγεί τους αρνητές της ύπαρξης δυνάµει αλλά όχι ενεργεία όντων να περιορίσουν το οπλοστάσιό τους περαιτέρω. Ταυτίζουν το υπαρκτό µε το εντός του χώρου και του χρόνου. Κατά συνέπεια, αρνούνται την ύπαρξη ακόµα και των (άχρονων) αφηρη- µένων ή αναγκαίων όντων. Ας αποκαλέσουµε αυτούς τους φιλοσόφους νοµιναλιστές. Πώς κατανοούν τις τροπικές κατηγορίες του δυνατού και του αναγκαίου; Μεταφέρουν την επικράτειά τους από τον κόσµο στη γλώσσα. Η ενεργεία ύπαρξη, είδαµε ήδη, συνεπάγεται τη δυνατή ύπαρξη. Άρα, η µετάβαση από το ενεργεία στο δυνατό δεν είναι προβληµατική. Όσον αφορά την αναγκαιότητα, οι νοµιναλιστές υποστηρίζουν ότι συλλαµβάνεται πλήρως από ένα συγκεκριµένο είδος αληθών προτάσεων: τις προτάσεις που διατυπώνουν εννοιολογικές αλήθειες, όπως π.χ. ένα τρίγωνο είναι ένα σχήµα µε τρεις πλευρές. Η αδυνατότητα προσδιορίζεται ως λογική αντίφαση και τελικά ως άρνηση µιας εννοιολογικής ή λογικής αλήθειας. Η δυνατότητα εν γένει συλλαµβάνεται ως ενδεχοµενικότητα: µια κατάσταση είναι δυνατή εάν µπορούµε να τη συλλάβουµε χωρίς να υποπέσουµε σε λογική αντίφαση. Το χιόνι είναι όντως λευκό. Τι σηµαίνει για τον νοµιναλιστή ότι θα µπορούσε να είναι ροζ; Απλώς, ότι µπορούµε να συλλάβουµε την κατάσταση πραγ- µάτων στην οποία το χιόνι είναι ροζ χωρίς να υποπέσουµε σε λογική αντίφαση. υνατοί κόσµοι Ακολουθώντας τον Leibniz, οι φιλόσοφοι έχουν προσπαθήσει να διαλευκάνουν τις έννοιες της δυνατότητας και αδυνατότητας µέσω των δυνατών κόσµων. υνατές είναι οι καταστάσεις οι οποίες ισχύουν σε κάποιο δυνατό κόσµο. Αδύνατες είναι οι καταστάσεις που δεν ισχύουν σε κανένα δυνατό κόσµο. Αναγκαίες είναι οι καταστάσεις που ισχύουν σε όλους τους δυνατούς κόσµους. Αλλά τι είναι οι δυνατοί κόσµοι; Μπορούµε να τους χαρακτηρίσουµε ως τρόπους κατά τους οποίους τα πράγµατα θα µπορούσαν να είναι. Σήµερα το πρωί έφαγα µια µπανάνα για πρωινό. Θα µπορούσα να µην είχα φάει τίποτα ή να είχα φάει πόριτζ. Αυτές τις µη πραγµατοποιηµένες δυνατότητες µπορούµε να τις δούµε ως δυνατούς κόσµους. Σε έναν δυνατό κόσµο, σήµερα το πρωί δεν έφαγα τίποτα, ενώ σε έναν άλλο έφαγα πόριτζ κ.ο.κ. Αυστηρότερα, ένας δυνατός κόσµος είναι µια πλήρης περιγραφή ενός τρόπου κατά τον οποίο τα πράγµατα θα µπορούσαν να είναι. Είναι προφανές ότι το ότι σήµερα έφαγα µια µπανάνα για πρωινό είναι ένα ενδεχοµενικό γεγονός. Θα µπορούσε να µην είχε συµβεί και άρα δεν ισχύει σε όλους τους δυνατούς κόσµους. Όµως, δεν υπάρχει δυνατός κόσµος στον οποίο υπάρχουν τετράγωνοι κύκλοι ή δύο και δύο δεν κάνει τέσσερα, ή κάποιο σώµα είναι ταυτόχρονα και εξολοκλήρου κόκκινο και πράσινο. Άρα, αυτές οι καταστάσεις είναι αδύνατες. Άρα, για παράδειγµα, 2+2=4 είναι µια αναγκαία αλήθεια: ισχύει σε όλους τους δυνατούς κόσµους. Τι γίνεται µε τους νόµους της φύσης; Προφανώς, προσδιορίζουν µια περιορισµένη έννοια φυσικής αναγκαιότητας: ότι συµβαίνει στη φύση είναι συµβατό µε τους νόµους που την διέπουν. Είναι όµως οι ενεργεία νόµοι (οι νόµοι που διέπουν τον κόσµο) αναγκαίοι; Οι γνώµες εδώ διίστανται, αλλά η παραδοσιακή απάντηση είναι αρνητική, αφού µπορούµε να συλλάβουµε δυνατούς κόσµους στους οποίους ισχύουν άλλοι νόµοι (π.χ., κόσµους στους οποίους ισχύει το αεικίνητο). Προσδιορίζοντας το ποιες καταστάσεις είναι αδύνατες, µπορούµε να µιλήσουµε για διάφορους τύπους αδυνατότητας: λογική αδυνατότητα, µεταφυσική αδυνατότητα, φυσική αδυνατότητα, κτλ. Οι δυνατοί κόσµοι είναι ένας εξαιρετικός τρόπος για να κατανοήσουµε τις βασικές τροπικές κατηγορίες, αλλά τι στάση πρέπει να κρατήσουµε απέναντί τους; Πολλοί φιλόσοφοι τους θεωρούν απλώς χρήσιµα εννοιολογικά εργαλεία. Τους θεωρούν είτε ως χρήσιµα αποκυήµατα της φαντασίας µας ή ως πλήρεις γλωσσικές περιγραφές. Άλλοι φιλόσοφοι θεωρούν ότι είναι υπαρκτοί, όπως ακριβώς και ο ενεργεία κόσµος (ο οποίος, εν τέλει, είναι ένας από τους δυνατούς κόσµους που προσδιορίζεται µέσω κατάδειξης: είναι αυτός εδώ ο κόσµος που µας συµπεριλαµβάνει). Για παράδειγµα, εάν είναι δυνατόν σήµερα το πρωί να είχα φάει πόριτζ αντί για µπανάνα, σε έναν δυνατό κόσµο όντως έφαγα πόριτζ. Εάν άλλοι δυνατοί κόσµοι υπάρχουν, δεν υπάρχουν ως άλλα παράλληλα σύµπαντα. εν µπορούµε να έχουµε χωρο-χρονική επαφή µαζί τους. Αλλά έχουµε ήδη δει ότι η ύπαρξη δεν είναι κατ ανάγκη χωρο-χρονική. Οι δυνατοί κόσµοι µπορούν να ταξινοµηθούν µε βάση την οµοιότητά τους µε τον ενεργεία κόσµο. Έτσι µπορεί να ορισθεί µια έννοια προσβασιµότητας (που δεν πρέπει να συγχέεται µε µια έννοια µετάβασης κάποιοι κόσµοι µπορεί να είναι πιο προσβάσιµοι σε σχέση µε κάποιους άλλους, αλλά δεν µπορούµε να µεταβούµε σε κανέναν από αυτούς). Ένας δυνατός κόσµος είναι εγγύτερα στον ενεργεία (είναι προσβάσιµος σε σχέση µε αυτόν) όσο πιο όµοιος είναι µε τον ενεργεία κόσµο. Ένας δυνατός κόσµος ο οποίος διαφέρει από τον ενεργεία µόνο στο ότι σήµερα το πρωί έφαγα πόριτζ είναι εγγύτερα στον ενεργεία κόσµο από έναν άλλο κόσµο στον οποίο παραβιάζονται οι νόµοι της θερµοδυναµικής κ.ο.κ. Μπορεί να ισχυρισθεί κάποιος ότι η έννοια του αδύνατου είναι εύπλαστη. Πράγµατι, κάποιες καταστάσεις οι οποίες θεωρούνταν αδύνατες έχουν αποδειχθεί όχι µόνο δυνατές αλλά και ενεργεία. Για παράδειγµα, οι µη-ευκλείδειες γεωµετρίες θεωρούνταν αδύνατες µέχρι τον δέκατο ένατο αιώνα αλλά δυνατές µετά τα συνεπή αξιωµατικά συστήµατα τα οποία αναπτύχθηκαν από τους Nikolai Ivanovich Lobachevsky ( ), János Bolyai ( ) και Bernhard Riemann ( ). Εδώ όµως χρειάζεται προσοχή. Το τι είναι δυνατό µε µια σχετική έννοια ασφαλώς εξαρτάται από το πλαίσιο µέσα στο οποίο τίθεται το πρόβληµα. Για παράδειγµα, µέσα στο πλαίσιο της θερµοδυναµικής (δηλ. µε βάση τους θερµοδυναµικούς νόµους) είναι φυσικώς αδύνατο να υπάρχει το αεικίνητο. Ή, µέσα στο πλαίσιο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, είναι αδύνατο να υπάρχουν περισσότερες ή λιγότερες της µιας παράλληλες από σηµείο εκτός µιας ευθείας. Η µετατροπή κάποιας κατάστασης από αδύνατη σε δυνατή σχετίζεται µε την αµφισβήτηση µέρους ή όλου του πλαισίου που καθορίζει το τι είναι δυνατό ή αδύνατο. Η αµφισβήτηση του πέµπτου αξιώµατος του Ευκλείδη οδηγεί στη δυνατότητα γεωµετρικών συστηµάτων τέτοιων ώστε από σηµείο εκτός ευθείας να άγονται καµία ή άπειρες παράλληλες. Αλλά υπάρχει και µια έννοια απολύτου αδύνατου, η οποία εκφράζει την αδυνατότητα να παραβιασθούν οι βασικοί νόµοι της λογικής, και συγκεκριµένα ο νόµος της µη-αντίφασης: δεν µπορεί να ισχύει α και όχι-α για οποιοδήποτε α. Ή µήπως και αυτό µπορεί να είναι δυνατό; Η σύντοµη απάντηση είναι όχι. Αλλά είναι αληθές ότι κάποιοι λογικοί νόµοι (π.χ., ο νόµος του αποκλειόµενου τρίτου) είναι δυνατόν να αµφισβητηθούν (µέσα στο κατάλληλο ιντουισιονιστικό πλαίσιο). Το δίδαγµα είναι ότι το δυνατό και το αδύνατο µπορούν να επαναπροσδιορισθούν, αλλά µόνο εάν αµφισβητηθεί ή αλλάξει το πλαίσιο µέσα στο οποίο προσδιορίζονται. Αλλά και τότε ακόµα, κάποιες καταστάσεις είναι απολύτως αδύνατες. Η απεικόνιση του αδύνατου Πώς µπορεί το αδύνατο να απεικονισθεί; εν νοµίζω ότι υπάρχει ξεκάθαρη απάντηση σε αυτή την ερώτηση. Η φιλοσοφική διάσταση της τέχνης του Escher, εικάζω, συνίσταται ακριβώς στο να θέσει το θέµα του πλαισίου και της δοµής της αναπαράστασης του αδύνατου. Το πρόβληµα είναι διπλό, νοµίζω. Από τη µια, συνίσταται στη διερεύνηση τεχνικών που διευκολύνουν την απεικόνιση αδύνατων καταστάσεων. Οι τεχνικές του Escher µας επιτρέπουν να δούµε αδύνατους κόσµους ξεγελώντας την αντιληπτική µας ικανότητα και παίζοντας µαζί της. Η µετάβαση από την δισδιάστατη εικόνα στον τρισδιάστατο αναπαραστασιακό χώρο υποθάλπει τη δυνατότητα απεικόνισης του αδύνατου. Από την άλλη πλευρά, το πρόβληµα της αναπαράστασης αδύνατων καταστάσεων συνίσταται σε µια νέα χάραξη της σχέσης όλου και µέρους. Μια ολότητα είναι αντιληπτή ως δυνατή εάν διαθέτει µια εσωτερική συνοχή. Εάν τα µέρη της είναι αντιφατικά µεταξύ τους ή εάν δεν ταιριάζουν καλά, τότε η σύνθεσή τους (δηλ. η ολότητα) είναι αδύνατη, αν και τα µέρη της, εξατοµικευµένα, είναι δυνατά. Ο Escher δοκιµάζει το ταίριασµα σε µια ολότητα δυνατών καταστάσεων, που όµως συνθέτουν µια αδύνατη ολότητα. Παρατηρώντας ένα τµήµα ενός έργου σε αποµόνωση από τα άλλα τµήµατά του δεν οδηγεί σε καµία αντίφαση (η κατάσταση που απεικονίζεται στο τµήµα είναι απολύτως δυνατή), αλλά παρατηρώντας την ολότητα του έργου (δηλ. όλα τα τµήµατά του µαζί), γινόµαστε µάρτυρες µιας αδύνατης κατάστασης. Με άλλα λόγια, οι αρχές που διέπουν τα διάφορα τµήµατα του έργου συγκρούονται µεταξύ τους, µε αποτέλεσµα η προσπάθεια σύνθεσης αρχών που διέπουν την ολότητα του έργου να οδηγεί σε παράδοξο. Η παραδοξότητα αυτή εξηγείται, νοµίζω, µέσω της διάκρισης παρατηρητή (θεατή) και συµ- µετέχοντα. Ο παρατηρητής (αυτός που βλέπει τη λιθογραφία) δεν είναι µέτοχος του απεικονιζόµενου αδύνατου κόσµου. Ο παρατηρητής προσπαθεί να συνθέσει τις συγκρουόµενες αρχές ή νόµους που διέπουν την ολότητα του έργου και το βρίσκει αδύνατο. Εάν αποκόψει ένα τµήµα του έργου, το βρίσκει δυνατό. Η εν λόγω σύγκρουση όµως δεν αφορά τους συµµετέχοντες στον κόσµο που απεικονίζεται. Αυτοί που είναι µέσα στον κόσµο αυτό (αυτοί που απεικονίζονται στο έργο) έχουν, κατά κανόνα, µόνο τµηµατική αντίληψη του κόσµου στον οποίο ζουν. Εφαρµόζουν τους νόµους ή τις αρχές τοπικά και δεν παρατηρούν τίποτα το αδύνατο. Εάν µπορούσαν να βγουν έξω από το έργο (δηλ. τον κόσµο τους) θα γίνονταν και αυτοί µάρτυρες µιας αδύνατης κατάστασης. Ως ολότητα, ο κόσµος του συµµετέχοντα (ο απεικονιζόµενος κόσµος) δεν είναι προσβάσιµος από τον κόσµο του παρατηρητή. Αλλά συντίθεται από τµήµατα, και διέπεται από τοπικές αρχές, που είναι προσβάσιµα από τον κόσµο του παρατηρητή. Το κλειδί για την κατανόηση της απεικόνισης αδύνατων καταστάσεων είναι η κατανόηση αυτής της σχέσης προσβασιµότητας. Οι παρούσες σκέψεις χρειάζονται κάποιες διευκρινήσεις, αλλά θα τις διατυπώσω κατά την εξέταση κάποιων συγκεκριµένων έργων του Escher. Ο Mauk Escher, όπως τον αποκαλούσαν οι γονείς του, δεν είχε τυπική µαθηµατική εκπαίδευση. Αλλά από τότε (1937) που διάβασε το άρθρο του Polya για τις οµάδες συµµετρίας του επιπέδου ερωτεύθηκε τα Μαθηµατικά και επιδόθηκε στη µελέτη τους. Τα σηµειωµατάριά του δείχνουν ότι απέκτησε υψηλού επιπέδου Ε Ι Κ Α Σ Τ Ι Κ Α

3 κατανόηση των Μαθηµατικών. Όπως χαρακτηριστικά δήλωσε: «...συχνά νιώθω ότι είµαι κοντύτερα στους ανθρώπους που εργάζονται επιστηµονικά (αν και βέβαια δεν το κάνω ο ίδιος) παρά στους οµότεχνούς µου». Αλλά o Mauk ήταν πάνω απ όλα ένας µαέστρος της απεικόνισης. Η ψυχολογία της αντίληψης Η ψυχολογία της αντίληψης είναι κεντρική στην κατανόηση των αδυνάτων κόσµων ή καταστάσεων του Escher. Κοιτάξτε το παρακάτω σχήµα. Πρόκειται για ένα δισδιάστατο σχήµα, το οποίο το αντιληπτικό µας όργανο δεν µπορεί παρά να δει ως τρισδιάστατο. Έτσι ειδωµένο, το σχήµα αλλάζει τις ιδιότητές του ανάλογα µε τον τρόπο που θεωρείται. Καλύψτε µε το χέρι σας το πάνω δεξιά τµήµα του και θα δείτε τρεις τρισδιάστατες κολώνες. Καλύψτε το κάτω αριστερά τµήµα του και θα δείτε δύο τρισδιάστατα δοκάρια. Αποµακρύνετε το χέρι σας και θα δείτε κάτι που είναι αδύνατο. Υπό µία έννοια, έχετε δει κάτι αδύνατο. Υπό µια άλλη έννοια, οι γεωµετρικές ιδιότητες του σχήµατος έχουν εξαπατήσει το αντιληπτικό σας σύστηµα δηµιουργώντας την αισθητηριακή εντύπωση κάτι αδύνατου. Ως ένα δισδιάστατο σχήµα δεν αντιµετωπίζει κανένα πρόβληµα. Ερµηνευµένο στον χώρο, είναι αλλόκοτο. Ο παρατηρητής προσπαθεί να συνθέσει το αντικείµενο το οποίο είναι σχεδιασµένο έτσι ώστε να υπόκειται σε αντικρουόµενους κανόνες απεικόνισης. Τοπικά (θυµηθείτε τι συνέβη όταν καλύψατε τµήµατα της εικόνας µε το χέρι σας) οι κανόνες απεικόνισης λειτουργούν καλά. Όταν όµως συνδυάζονται καθολικά, δηµιουργούν απεικονιστικό χάος. Θεωρείστε το διπλανό σχήµα, το οποίο παίζει κεντρικό ρόλο στην τεχνική του Escher. Είναι το λεγό- µενο αδύνατο τρίγωνο του Roger Penrose. Και εδώ, ο εγκέφαλός µας βλέπει ένα τρισδιάστατο σχήµα στον χώρο. Αυτό όµως που βλέπει είναι αδύνατο. Τέτοιο τρισδιάστατο τρίγωνο (µε στερεές πλευρές) δεν µπορεί να υπάρχει. (Εάν προσπαθήσετε να το κατασκευάσετε, θα φτιάξετε κάτι που το προσεγγίζει, αλλά µια πλευρά του θα είναι καµπυλωµένη). Το αντιληπτικό µας σύστηµα µας εξαπατά. Καλύψτε οποιαδήποτε εκ των τριών πλευρών και θα δείτε κάτι απολύτως δυνατό. Εάν όµως ήσαστε πάνω στο σχήµα και κινιόσαστε στην εξωτερική του επιφάνεια, δεν θα διαπιστώνατε τίποτα αδύνατο: θα φτάνατε ακριβώς στο σηµείο που ξεκινήσατε. Το ενδιαφέρον εδώ είναι ότι η εµπέδωση αυτού του τριγώνου σε ένα ευρύτερο σχήµα µπορεί να απεικονίσει έναν αδύνατο κόσµο. Ο Καταρράκτης Ο Καταρράκτης (λιθογραφία, 1961) είναι µια από τις πιο γνωστές λιθογραφίες του Escher. Εξετάστε την για λίγο και θα δείτε ότι αυτό που βλέπετε είναι αδύνατο. Αλλά το βλέπετε. Θα µπορούσε να υπάρχει ο δυνατός κόσµος που απεικονίζει ο Καταρράκτης; Ο κόσµος αυτός διαθέτει το αεικίνητο. Το νερό κατεβαίνει από την υδρορροή και πέφτει από κάποιο ύψος στη βάση του καταρράκτη, κινεί ένα µύλο, ενώ στη συνέχεια συνεχίζει να κατεβαίνει στην υδρορροή και καταλήγει στο ανωτέρω σηµείο από το οποίο πέφτει και ούτω καθεξής. Αλλά αυτό είναι αδύνατο! Το πιο αποµακρυσµένο και χαµηλότερο σηµείο είναι ταυτόχρονα το εγγύτερο και το υψηλότερο. Για τον παρατηρητή που το βλέπει φυσικά, αλλά όχι και για έναν συµµετέχοντα που θα ήταν µέρος αυτού του δυνατού κόσµου. Ένας συµµετέχων θα µπορούσε να ακολουθήσει την πορεία του νερού (ή να βάλει ένα καραβάκι σε αυτό) χωρίς να αντιληφθεί τίποτα το παράξενο. Ο Καταρράκτης έχει τρία αδύνατα τρίγωνα ως τη σπονδυλική του στήλη, τα οποία σχηµατίζουν την υδρορροή. Και αυτή ακριβώς η τεχνική παίζει το παιχνίδι του αδύνατου/ δυνατού. Οι δύο πύργοι έχουν ίδιο ύψος, αλλά η κορυφή ενός αδύνατου τριγώνου, στον αριστερό πύργο, έχει µια πλευρά που καταλήγει στη βάση του δεξιού πύργου και µια άλλη που καταλήγει σε ένα διαφορετικό επίπεδο. (Θα ήταν λάθος, θεωρώ, να αποκαλέσουµε το εν λόγω διαφορετικό επίπεδο υψηλότερο επίπεδο, αφού η λιθογραφία αντιστρέφει αυτή τη σχέση). Η άριστη χρήση της προοπτικής (δείτε το µειούµενο ύψος και πάχος των τοιχίων της υδρορροής) υποδηλώνει την κατωφερή πορεία του νερού και ενισχύει την αίσθησή της. Ως παρατηρητές δεν µπορούµε φυσικά να προβάλουµε τη δισδιάστατη εικόνα του καταρράκτη στον τρισδιάστατο χώρο στον οποίο ζούµε µε τρόπο συνεπή. Η εικόνα είναι αλλόκοτη. Για κάποιον κάτοικο του κόσµου του καταρράκτη όµως, τα πράγµατα είναι διαφορετικά. Ο ίδιος ο Escher σχολίασε για τον Καταρράκτη: «Εάν παρακολουθήσουµε τα διάφορα τµήµατά αυτής της κατασκευής ένα προς ένα δεν µπορούµε να ανακαλύψουµε κανένα λάθος σε αυτήν. Και όµως πρόκειται για µια αδύνατη ολότητα επειδή αλλαγές συµβαίνουν ξαφνικά κατά την ερµηνεία της απόστασης µεταξύ του µατιού και του αντικειµένου». Belvedere To Belvedere (λιθογραφία, 1958) είναι ακόµα πιο εξωτικό από τον Καταρράκτη. Εδώ το εξωτερικό και το εσωτερικό ενός χώρου περιπλέκονται. Καλύψτε µε το χέρι σας το πάνω ή το κάτω µισό της λιθογραφίας και όλα είναι φυσιολογικά. Προσπαθήστε να δείτε τα δύο µισά ταυτόχρονα και κάτι αλλόκοτο προκύπτει. Η σκάλα είναι στο εσωτερικό του ισογείου αλλά εκβάλλει στο εξωτερικό του πρώτου ορόφου. Ο άνθρωπος που βρίσκεται στην κορυφή της σκάλας ξεκίνησε την ανάβαση µέσα στο οίκηµα, αλλά τώρα βρίσκεται έξω από αυτό και πρέπει να ξαναµπεί στο εσωτερικό του. Εδώ πρόκειται για έναν αδύνατο κύβο. Η τρίτη από τα αριστερά κολόνα του ισογείου έχει τη βάση της µπροστά από την βάση της τέταρτης αλλά την κορυφή της πίσω από την κορυφή της τέταρτης. Μόνο η έξω αριστερά και έξω δεξιά κολόνα συµπεριφέρονται κανονικά. Έτσι το οίκηµα φαίνεται παραµορφωµένο. Η τρισδιάστατη σύλληψη του οικήµατος ενισχύεται από τη σκίαση του εσωτερικού του. Η ετυµηγορία των αισθήσεων είναι ότι πρόκειται για ένα αδύνατο τρισδιάστατο κτίριο. Αλλά είναι ο κόσµος που περιγράφεται δυνατός για τους συµµετέχοντες σε αυτόν; Το πρόβληµα προκύπτει για τον απεικονιζόµενο πλούσιο έµπορο που ατενίζει τη θέα. Ο κύριος αυτός είναι τοποθετηµένος εκεί αλλά τη στιγµή που θα απλώσει το αριστερό του χέρι για να αγγίξει την κολόνα στα αριστερά του, θα διαπιστώσει ότι βρίσκεται στη µέση ενός µυστηρίου. Θα µπορούσε να µεταβεί στον επάνω όροφο ανεβαίνοντας τη σκάλα; Και πού θα βρίσκεται εάν ανέβει τη σκάλα; Πού είναι ο άνθρωπος που βρίσκεται στο πάνω µέρος της σκάλας; Μέσα ή έξω από το κτίριο; Εάν δούµε την εικόνα από πάνω προς τα κάτω, τότε είναι έξω από το κτίριο. Εάν τη δούµε από κάτω προς τα πάνω είναι µέσα στο κτίριο. Ευτυχώς, ούτε εµείς ούτε και οι συµµετέχοντες µπορούµε να δούµε την εικόνα ταυτόχρονα και από πάνω προς τα κάτω και από κάτω προς τα πάνω, αλλιώς θα βλέπαµε µια λογική αντίφαση! Η ειρωνεία του Belvedere είναι ότι φαίνεται να είναι αντιληπτό στον συµµετέχοντα του κόσµου αυτού πως κάτι παράξενο συµβαίνει στον εν λόγω δυνατό κόσµο. Ο νεαρός που κάθεται συλλογισµένος στο παγκάκι επεξεργάζεται µε περιέργεια έναν αδύνατο κύβο. Έχει άραγε διαπιστώσει ότι κρατάει στα χέρια του µια µακέτα του οικήµατος; Το σίγουρο είναι ότι το χαρτί που βρίσκεται στα πόδια του κρατά το κλειδί του αινίγµατος. Ο φυλακισµένος που απελπισµένα ζητάει βοήθεια ίσως να τρελάθηκε προσπαθώντας να κατανοήσει τον κόσµο στον οποίο ζει. Όριο Κύκλου ΙΙΙ Η παραµόρφωση του χώρου στο Belvedere µας οδηγεί σε µια άλλη υπέροχη ξυλογραφία του Escher, το Όριο Κύκλου ΙΙΙ. Ο Escher εµπνεύσθηκε το έργο αυτό από ένα σχήµα του µαθηµατικού H.S.M. Coxeter. Αποτελεί µια από τις πολλές και όµορφες αναπαραστάσεις τις υπερβολικής (Λοµπατσέφσκιας) γεωµετρίας. Η µη-ευκλείδεια αυτή γεωµετρία αρνείται το πέµπτο αξίωµα του Ευκλείδη και αξιώνει ότι άπειρες παράλληλες µπορούν να αχθούν από σηµείο εκτός ευθείας. Το γεωµετρικό σύστηµα αυτό είναι µαθηµατικά συνεπές. Καλύτερα, στο βαθµό που η Ευκλείδεια γεωµετρία είναι συνεπής, είναι και η υπερβολική γεωµετρία. Στον υπερβολικό χώρο, το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι µικρότερο από δύο ορθές γωνίες. Ο χώρος είναι καµπύλος, µε σταθερή αρνητική καµπυλότητα. Αλλά µπορούµε να συλλάβουµε έναν τέτοιο χώρο; Ακόµα και εάν είναι µαθηµατικά δυνατός, είναι φυσικά δυνατός; Η ιστορία είναι µακρά και δεν µπορεί να ειπωθεί τώρα. Ας σηµειώσουµε µόνο ότι σύµφωνα µε τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein, ο χώρος δεν είναι ευκλείδειος. εν είναι καν χώρος σταθερής καµπυλότητας. Η καµπυλότητά του είναι µεταβλητή και εξαρτάται από την κατανοµή της µάζας. Αυτό που κάποτε θεωρούνταν αδύνατο (δηλ, ο χώρος να µην είναι ευκλείδειος) δεν είναι απλά δυνατό αλλά και ενεργεία (πραγµατικό). Όταν το πρόβληµα της γεωµετρίας του χώρου συζητήθηκε έντονα, στα τέλη του 19ου αιώνα, ο µαθηµατικός και φιλόσοφος Henri Poincaré πρότεινε το ακόλουθο νοητικό πείραµα. Φαντασθείτε έναν επίπεδο δισδιάστατο δίσκο στον οποίο κατοικούν επίπεδα όντα. Τα όντα αυτά δεν έχουν την τρίτη διάσταση αλλά µπορούν να κινούνται ελεύθερα πάνω στον δίσκο. Τα όντα αυτά είναι νοήµονα, έχουν Ε Ι Κ Α Σ Τ Ι Κ Α

4 αναπτύξει αρκετά την επιστήµη και διαθέτουν µετρητικές συσκευές. Αποφασίζουν να προσδιορίσουν τη γεωµετρία του χώρου τους. Πώς θα προχωρήσουν; Ασφαλώς εµπειρικά. Θα χαράξουν µικρά τρίγωνα για να διαπιστώσουν ποιο είναι το άθροισµα των γωνιών τους. Θα πάρουν σηµείο εκτός ευθείας και θα επιδιώξουν να βρουν πόσες παράλληλες προς µια ευθεία εκτός αυτού του σηµείου µπορούν να αχθούν. Πράγµατι, ξεκινούν την περιπέτειά τους. Μια σκηνοθετική παρένθεση. Εµείς που παρατηρούµε απ έξω αυτές τους τις προσπάθειες γνωρίζουµε ήδη ποια είναι η γεωµετρία του χώρου τους. Πρόκειται για έναν φραγµένο επίπεδο (δηλ. ευκλείδειο) χώρο. Τελικά, τα όντα αυτά ζουν πάνω σε έναν επίπεδο δίσκο. Αυτά τα όντα όµως, οι συµµετέχοντες στο δρά- µα, δεν γνωρίζουν τίποτα σχετικό. Ξεκινούν εµπειρικά, σχεδόν από το µηδέν. Τα όντα αυτά έχουν µια ατυχία. Ο κόσµος τους υπόκειται σε ένα θερµικό πεδίο που θερµαίνει τα πάντα. Υποθέτουµε πλήρη και οµοιόµορφη θερµική αγωγιµότητα και αυτόµατη προσαρµοστικότητα, έτσι ώστε το θερµικό πεδίο να µην είναι καθόλου αντιληπτό. Καµία συσκευή δεν µπορεί να το ανιχνεύσει. Μέρος του σεναρίου είναι η εξής υπόθεση. Η θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του χώρου τους είναι µεταβλητή και καθορίζεται από την συνάρτηση R 2 -r 2, όπου R είναι η ακτίνα του δίσκου και r είναι η απόσταση ενός σηµείου από το κέντρο του δίσκου. Άρα, η θερµοκρασία στο κέντρο είναι µέγιστη ενώ στην περιφέρεια του δίσκου είναι µηδέν. Ευτυχώς για τους ντόπιους, οι νόµοι της φύσης στον κόσµο τους δεν τους επιτρέπουν να αισθανθούν αυτές τις διαφορές θερµοκρασίας κατά την κίνησή τους από το κέντρο στην περιφέρεια. υστυχώς για αυτούς, ως αποτέλεσµα αυτού του θερµικού πεδίου, τα πάντα (αυτοί οι ίδιοι, οι χάρακες που χρησι- µοποιούν, κτλ.) συρρικνώνονται οµοιόµορφα καθώς µετακινούνται από το κέντρο στην περιφέρεια. Τέλος σκηνοθετικής παρένθεσης. Τι θα διαπιστώσουν οι ντόπιοι όσον αφορά τη γεωµετρία του χώρου τους; Για προφανείς λόγους δεν θα µπορέσουν να φθάσουν ποτέ στην περιφέρεια του δίσκου. Μπορεί να την πλησιάζουν οριακά, αλλά λόγω της συνεχούς σµίκρυνσής τους, δεν θα τη φθάσουν ποτέ. Εύλογα, λοιπόν, συµπεραίνουν ότι ο χώρος στον οποίο ζουν είναι άπειρος. Ορίζουν σηµείο εκτός ευθείας και φέρουν παράλληλες προς αυτήν. (Ας υποθέσουµε ότι η εν λόγω ευθεία είναι η διάµετρος του δίσκου). Παράλληλες, γνωρίζουν, είναι οι ευθείες που δεν τέµνονται όσο και να επεκταθούν. Στέλνουν, λοιπόν, πολλούς επιστήµονες (εξοπλισµένους µε συστήµατα ενδο-επικοινωνίας) στο εν λόγω ση- µείο και άγουν ευθείες. Για προφανείς λόγους (δείτε παραπάνω) ένας απεριόριστος αριθµός αυτών των ευθειών δεν θα συναντήσουν τη διάµετρο, όσο και να επεκταθούν. Εύλογα, συµπεραίνουν ότι ο χώρος τους είναι λοµπατσέφσκιος και όχι ευκλείδειος. Όταν επιστρέφουν οργανώνουν µια επιστηµονική σύνοδο στην οποία ανακοινώνουν τα πορίσµατά τους. Σε αυτή συµµετέχει και ένας νεαρός επιστήµων (που δεν πήρε µέρος στην αποστολή) ονόµατι Λοπέρκινος. «Ανοησίες», κραυγάζει. Και συνεχίζει: «Ο χώρος µας είναι πεπερασµένος και ευκλείδειος. Απλώς υπάρχει ένα θερµικό πεδίο σε λειτουργία το οποίο συρρικνώνει οµοιόµορφα τα πάντα κτλ., κτλ.» Η κοινότητα εισέρχεται σε κρίση. Ποιος έχει δίκιο; Το ότι εµείς ως εξωτερικοί παρατηρητές γνωρίζου- µε πως ο Λοπέρνικος έχει το δίκιο µε το µέρος του είναι άσχετο. Το πρόβληµα είναι πώς οι συµµετέχοντες θα επιλύσουν τη διαφορά. Η απάντηση του Poincaré ήταν ότι η γεωµετρία του χώρου δεν είναι κάτι που ανακαλύπτεται εµπειρικά. Υποστήριξε ότι είναι θέµα σύµβασης ποια γεωµετρία θα επιλεγεί, όπου το κριτήριο για τη σύµβαση είναι η απλότητα του συνολικού µας θεωρητικού συστήµατος. Το Όριο Κύκλου ΙΙΙ είναι µια εξαιρετική απεικόνιση του φανταστικού κόσµου που περιγράψαµε. (Πράγµατι, η ξυλογραφία στηρίζεται σε ένα ελαφρώς παραλλαγµένο µοντέλο της υπερβολικής γεωµετρίας το οποίο κατασκευάστηκε από τον Poincaré). Φανταστείτε ότι είστε εντός του κόσµου αυτού όπως τα ψάρια του Escher. Καθώς µετακινείστε προς την περιφέρεια θα συρρικνώνεστε ακριβώς όπως τα ψάρια της ξυλογραφίας. Για να φτάσετε στην περιφέρεια θα διανύσετε µια άπειρη απόσταση. Τα τρίγωνα που θα χαράξετε θα έχουν άθροισµα γωνιών µικρότερο από δύο ορθές, όπως ακριβώς στην ξυλογραφία, κτλ. Απλώς, εάν ήσαστε µέσα στην εικόνα, δεν θα διαπιστώνατε τίποτα παράξενο. Το Όριο Κύκλου ΙΙΙ αναδεικνύει τη σχετικότητα της αδυνατότητας. Σχετικότητα Η Σχετικότητα (λιθογραφία, 1953) αναδεικνύει µια άλλη διάσταση του αδύνατου. Οι δύο άνθρωποι στο κέντρο της κορυφής της εικόνας κινούνται δίπλα-δίπλα και προς την ίδια κατεύθυνση. Και όµως ο ένας ανεβαίνει τη σκάλα ενώ ο άλλος την κατεβαίνει! Σε σχέση µε αυτόν που την κατεβαίνει, ο άνθρωπος που κάθεται στο παγκάκι θα έπρεπε να βρισκόταν σε ελεύθερη πτώση προς τα κάτω. Σε σχέση µε αυτόν που ανεβαίνει τη σκάλα στο κάτω µέρος της εικόνας, ο καθήµενος στο παγκάκι κρέµεται από τον τοίχο! Σε σχέση µε αυτόν που ανεβαίνει τη σκάλα στο κάτω µέρος της εικόνας, ο σερβιτόρος στα δεξιά του, θα έπρεπε να είχε σωριαστεί στο έδαφος. Μελετήστε τη λιθογραφία προσεκτικά και θα δείτε ότι απεικονίζει κάτι το αδύνατο. Το πάνω και το κάτω αλλάζουν συνεχώς, η βαρύτητα συµπεριφέρεται ακατανόητα, κτλ. Τι συµβαίνει εδώ; Είναι µάλλον αδύνατο να αποκόψουµε αυτή τη λιθογραφία σε χωρικά διακριτά τµήµατα και να προσπαθήσουµε να κατανοήσουµε το κάθε τµήµα ξεχωριστά. Όµως, µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι στη Σχετικότητα τρεις διακριτοί δυνατοί κόσµοι βρίσκονται ο ένας πάνω και µέσα στον άλλο. Τρεις βαρυτικές δυνάµεις λειτουργούν και καθορίζουν τρεις διευθύνσεις. Περιστρέψτε την εικόνα επικεντρώνοντας κάθε φορά την προσοχή σας σε έναν κάτοικο αυτού του τριπλού κόσµου. Αφαιρέστε νοητικά ό,τι αντίκειται στην εκάστοτε διεύθυνση της βαρύτητας. Θα βγάλετε άκρη! Εναλλακτικά, περιστρέψτε το έργο έτσι ώστε να εστιάστε την προσοχή σας σε τρία σταθερά σηµεία διαδοχικά: στο µπαλκόνι πάνω δεξιά, στη βεράντα πάνω αριστερά και στην αυλή κάτω δεξιά. ιαθέτετε τώρα τρεις διαφορετικούς άξονες κ υ κ λ ο φ ο ρ ε ι η σ ε ι ρ ά : Τ Ε Σ Σ Ε Ρ Ι Σ Α Κ Α Η Μ Α Ϊ Κ Ο Ι Φ Ο Ν Ο Ι Κ Α Τ Α Σ Υ Ρ Ρ Ο Η Ν Σ Ε ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Π Υ Ρ Κ Α Ϊ Α Σ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ Μ Ν Η Μ Η Σ Ε Υ Τ Ε Ρ Η Φ Ο Ρ Α Ν Ε Κ Ρ Ο Σ Η Ε Λ Π Ι Α Π Ε Θ Α Ι Ν Ε Ι Τ Ε Λ Ε Υ Τ Α Ι Α Σε µια Θεσσαλονίκη µε µακρά παράδοση προοδευτικού Πανεπιστηµίου και παραθρησκευτικών οργανώσεων, µεγάλων ποιητών και διαβόητων τραµπούκων, αναπτύσσεται ένα θρίλερ που παρακολουθεί κατά πόδας ένα άλλο: το πασίγνωστο θρίλερ των αγώνων της Εθνικής στο ευρωπαϊκό πρωτάθληµα ποδοσφαίρου από τις αρχές Ιουνίου µέχρι τις 4 Ιουλίου Ώσπου η λύση του ενός να δοθεί από την κορύφωση του άλλου, µε τον πιο απλό µα και τον πιο απροσδόκητο τρόπο. Μια συνέχεια του τελευταίου µυθιστορήµατος του Πέτρου ΜΑΡΤΙΝΙ Η 096 Μ Ο Ι Ρ Α Ι Ο Ι Α Ν Τ Ι Κ Α Τ Ο Π ΤΡ Ι Σ Μ Ο Ι

5 που καθορίζουν το πάνω και το κάτω. Θα βγάλετε άκρη. Οι τοπικοί νόµοι ή αρχές που ισχύουν σε καθένα από τους τρεις κόσµους είναι συνεπείς. Ο άνθρωπος που ανεβαίνει τη σκάλα στο κάτω µέρος της εικόνας ζει σε έναν κόσµο όπου η κατεύθυνση της βαρύτητας είναι από πάνω προς τα κάτω. Μπορεί να βγει στον κήπο στα αριστερά του και να αντικρίσει τον λαµπερό ήλιο. Μπορεί να συναντήσει τους συνανθρώπους του που ανεβαίνουν τη σκάλα στα αριστερά του. Οι άνθρωποι στη βεράντα στο πάνω αριστερά τµήµα ζουν σε ένα κόσµο όπου η κατεύθυνση της βαρύτητας είναι από τα αριστερά προς τα δεξιά. (Το δικό τους πάνω είναι το αριστερά του παρατηρητή.) Μπορούν να µπουν στο οίκηµα και να συναντήσουν τον φίλο τους που µόλις µπήκε στο οίκηµα και κατεβαίνει τη σκάλα προς τα κάτω. Στον κόσµο που ζει ο σερβιτόρος, η κατεύθυνση της βαρύτητας είναι από τα δεξιά προς τα αριστερά. Ο σερβιτόρος έχει µόλις επιστρέψει από τον κήπο στα δεξιά της εικόνας, έχοντας σερβίρει τους ανθρώπους που απολαµβάνουν το γεύµα τους. Με λίγη προσπάθεια, ο σερβιτόρος µπορεί να ετοιµάζεται να σερβίρει και τον άνθρωπο που διαβάζει στο παγκάκι. Όταν όµως οι βαρυτικές κατευθύνσεις που χαρακτηρίζουν αυτούς τους τρεις δυνατούς κόσµους συµπλέκονται σε µια ολότητα, προκύπτει µια αδύνατη ολότητα (το έργο). Οι τρεις αυτοί δυνατοί κόσµοι είναι προσβάσιµοι από τον κόσµο του παρατηρητή, αλλά η σύνθεσή τους σε µια ολότητα είναι απρόσβατη, ακριβώς γιατί είναι ένας αδύνατος κόσµος. Είναι φανερό ότι οι κάτοικοι αυτών των τριών δυνατών κόσµων δεν µπορούν να έχουν µεταξύ τους επικοινωνία, ούτε αιτιακή αλληλεπίδραση. Είναι εγκλωβισµένοι στους κόσµους τους. Η οροφή ενός κόσµου είναι ο τοίχος ενός άλλου κόσµου. Οι κόσµοι στους οποίους ζουν δεν είναι προσβάσιµοι από τους άλλους δυνατούς κόσµους. Και όµως, αν και οι κάτοικοι της Σχετικότητας δεν ζουν στον ίδιο κόσµο, µπορούν να χρησιµοποιούν τις ίδιες σκάλες. Οι σκάλες αγκιστρώνουν τους τρεις κόσµους µεταξύ τους. Για να επιτευχθεί αυτό η Σχετικότητα χρησιµοποιεί τη σκάλα Schroeder, µια αµφίσηµη φιγούρα που, ειδωµένη στον χώρο, αναπαριστά δύο σκάλες ταυτόχρονα: η µία (από τα δεξιά προς τα αριστερά) ανεβαίνει, ενώ η άλλη είναι αναποδογυρισµένη. (Εστιάστε την προσοχή σας στον κάτω τοίχο και στον πάνω τοίχο αντίστοιχα). Οι σκάλες είναι αυτό που ο Hofstadter απεκάλεσε νησιά βεβαιότητας στη Σχετικότητα. Χωρίς αυτές, τα πάντα καταρρέουν. Είναι οι µεντεσέδες που κρατούν τους τρεις αυτούς δυνατούς κόσµους µαζί αλλά ταυτόχρονα τους κάνουν σαφώς διακριτούς. Κατακλείδα: χέρια που σχεδιάζουν Μπορεί τελικά το αδύνατο να αποτυπωθεί; εν είµαι σίγουρος ποια είναι η απάντηση. Αυτό που βλέπουµε παρατηρώντας µια από τις σχετικές λιθογραφίες του Escher είναι µια συνεπή δισδιάστατη αναπαράσταση που ανθίσταται στο να εκληφθεί από το νου ως αποτύπωση ενός δυνατού τρισδιάστατου κόσµου. Είναι η ανασυγκρότηση της δισδιάστατης εικόνας ως αναπαράσταση ενός τρισδιάστατου χώρου που είναι αδύνατη. Κόσµοι σαν κι αυτούς που απεικονίζουν τα έργα του Escher είναι αδύνατοι σε σχέση µε τη δική µας τρισδιάστατη εποπτεία του χώρου. Το εάν είναι δυνατοί σε σχέση µε την τρισδιάστατη εποπτεία των συµ- µετεχόντων σε αυτούς είναι ένα σύνθετο πρόβληµα, η απάντηση στο οποίο ποικίλλει από έργο σε έργο. Το σίγουρο είναι ότι το δυνατό και το αδύνατο στα έργα του Escher εξαρτώνται από τη διάκριση µεταξύ του παρατηρητή που βλέπει το αδύνατο όλον και του συµµετέχοντα που βλέπει το δυνατό µέρος. Το πλαίσιο αυτό καθορίζει το πώς δυνατά µέρη µπορούν να συντεθούν σε ένα αδύνατο όλον. Εµείς οι φιλόσοφοι θα βλέπαµε στα έργα του Escher τη δικαίωση της θέσης περί θεωρητικής φόρτισης της παρατήρησης. Αλλά το ενδιαφέρον είναι ότι η παρατήρηση ανθίσταται στην θεωρητική ερµηνεία. Ακόµα και όταν ανασυγκροτήσουµε αυτό που βλέπουµε ώστε να αρθεί η αίσθηση της παρατήρησης µιας αδύνατης κατάστασης, η αδύνατη αυτή κατάσταση µας κοιτάει κατάµατα. Ίσως τελικά, η λεγόµενη θεωρητική φόρτιση της παρατήρησης να είναι ένας ακόµα φιλοσοφικός µύθος. Η αποτύπωση µιας αδύνατης κατάστασης δεν την κάνει δυνατή. Αναδεικνύει όµως τη σχετικότητα της αδυνατότητας. Με λίγες ίσως εξαιρέσεις που τελικά αποτελούν τα όρια της ίδιας µας της δυνατότητας να κατανοούµε οτιδήποτε. Η πιο αγαπηµένη µου λιθογραφία του Escher είναι το Χέρια που Σχεδιάζουν (λιθογραφία, 1948). Αναδεικνύει µια από τις παραπάνω εξαιρέσεις στη σχετικότητα της αδυνατότητας. εν µπορώ παρά να την θαυµάζω απεριόριστα, αλλά δεν µπορώ επίσης παρά να πιστεύω ότι απεικονίζει κάτι το απολύτως αδύνατο. εν είναι παρά µια εξαίσια εικόνα που είναι αδύνατο να απεικονίζει κάτι δυνατό να συµβεί. Τη στιγ- µή που την κατανοώ, κατανοώ ότι εξαπατώ τον εαυτό µου. Και ευχαριστώ απεριόριστα τον Escher γι αυτό. Όλα τα έργα του M.C. Escher The M.C. Escher Company B.V. - Baarn - Τhe NETHERLANDS 098

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά

Ερευνητική Εργασία µε. Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ερευνητική Εργασία - Ζωγραφική και Μαθηµατικά Ηλίας Νίνος Ερευνητική Εργασία µε θέµα: Μαθηµατικά και Τέχνη Υποθέµα: Μαθηµατικά και Ζωγραφική Οµάδα: Μαρία Βαζαίου- Ηρώ Μπρούφα- Μαθηµατικά εννοούµε την επιστήµη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

Οπτική αντίληψη. Μετά?..

Οπτική αντίληψη. Μετά?.. Οπτική αντίληψη Πρωτογενής ερεθισµός (φυσικό φαινόµενο) Μεταφορά µηνύµατος στον εγκέφαλο (ψυχολογική αντίδραση) Μετατροπή ερεθίσµατος σε έννοια Μετά?.. ΓΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΟΥΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα, συμπεριφορές, γεγονότα

Αντικείμενα, συμπεριφορές, γεγονότα Αντικείμενα, συμπεριφορές, γεγονότα O προγραμματισμός αποτελεί ένα τρόπο επίλυσης προβλημάτων κατά τον οποίο συνθέτουμε μια ακολουθία εντολών με σκοπό την επίτευξη συγκεκριμένων στόχων. Ας ξεκινήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

TRIDIO 190016 TRIDIO 1

TRIDIO 190016 TRIDIO 1 TRIDIO 190016 1 Τι είναι το Tridio; Το Tridio είναι μια ανεξάρτητη μέθοδος εργασίας με σκοπό να υποστηρίξει τις τρέχουσες μεθόδους διδασκαλίας μαθηματικών στους τομείς της ανάπτυξης της χωρικής ικανότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Γενικός τίτλος «Ένας μαγικός αλλά άγνωστος κόσμος» Ένας μαγικός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Α ΡΙΑΝΟΥ 114 10558 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο: 2103231788 - Fax: 2103223296

1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Α ΡΙΑΝΟΥ 114 10558 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο: 2103231788 - Fax: 2103223296 1 ο ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Α ΡΙΑΝΟΥ 114 10558 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο: 2103231788 - Fax: 2103223296 Πολιτιστικό πρόγραµµα: Επίσκεψη στο Μουσείο Ηρακλειδών 21/2/2012 Σ.Πατσιοµίτου Η επίσκεψη στο Μουσείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Πόσες µαύρες τελείες βλέπετε ; Οι οριζόντιες γραµµές δείχνουν να είναι παράλληλες ;

Πόσες µαύρες τελείες βλέπετε ; Οι οριζόντιες γραµµές δείχνουν να είναι παράλληλες ; Πόσες µαύρες τελείες βλέπετε ; Οι οριζόντιες γραµµές δείχνουν να είναι παράλληλες ; και όµως είναι! 1 Το παρακάτω σχήµα δείχνει για ελικοειδές ; και όµως δεν είναι! Οι κύκλοι είναι ανεξάρτητοι. Πόσα χρώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. Copyright: 2013 Michalis Makri

Μιχάλης Μακρή EFIAP. Copyright: 2013 Michalis Makri Μιχάλης Μακρή EFIAP Copyright: 2013 Michalis Makri Copyright: 2013 Michalis Makri Less is more Less but better Copyright: 2013 Michalis Makri Ο μινιμαλισμός ορίζεται ως η εξάλειψη όλων των στοιχείων που

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Λύκειο Καρπενησίου. «Τα Πολύγωνα και οι Πλακοστρώσεις του M. C. Escher»

Γενικό Λύκειο Καρπενησίου. «Τα Πολύγωνα και οι Πλακοστρώσεις του M. C. Escher» Γενικό Λύκειο Καρπενησίου «Τα Πολύγωνα και οι Πλακοστρώσεις του M. C. Escher» Βασίλης Μαυρογόνατος Τμήμα : Β2 Καρπενήσι 2010-2011 Ο Maurits Cornelius Esche γεννηθηκε στις 17 Ιουνιου 1898, Γεννηθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Clements & Sarama, 2009; Sarama & Clements, 2009 Χωρική αντίληψη και σκέψη Προσανατολισμός στο χώρο Οπτικοποίηση (visualization) Νοερή εικονική αναπαράσταση Νοερή

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΜΕΡΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΜΕΡΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΜΕΡΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο μέρος αυτό της εργασίας παρουσιάζονται ο συχνότητες και τα ποσοστά στις απαντήσεις των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού

Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Çëßáò Ã. ÊáñêáíéÜò - Έφη Ι. Σουλιώτου Τετράδιο Πρώτης Αρίθµησης Α ηµοτικού Α Τεύχος 1 Απαγορεύεται η αναπαραγωγή µέρους ή του συνόλου του παρόντος έργου µε οποιοδήποτε τρόπο ή µορφή, στο πρωτότυπο ή σε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΦΩΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ. Το άρθρο αυτό έχει ως σκοπό την παράθεση των αποτελεσμάτων πάνω σε μια έρευνα με τίτλο, οι ιδέες των παιδιών σχετικά με το

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών

Διδακτική των Μαθηματικών Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο : Μαμτζέλλη Χρυσούλα Τάξη : Γ Δημοτικού Κεφάλαιο 43 : Η συμμετρία Πρόκειται για ένα εισαγωγικό μάθημα στην αξονική συμμετρία. Οι μαθητές θα μάθουν πότε δύο σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η )

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) 1 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΟΥ JACKSON POLLOCK ΣΤΟΝ ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟ WILLIAM WRIGHT ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΤΟΥ 1950. Το καλοκαίρι του 1950 o δημοσιογράφος William Wright πήρε μια πολύ ενδιαφέρουσα ηχογραφημένη

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Πώς να λύσετε τον κύβο του Rubik

Πώς να λύσετε τον κύβο του Rubik Πώς να λύσετε τον κύβο του Rubik από τον Έλτον 1 Σκόντι, Β Λυκείου 1 ο ΓΕ.Λ. Ελευσίνας σχολικό έτος 2008-9 ΒΗΜΑ 1 Ο : Φτιάχνουμε έναν σταυρό σε όποιο χρώμα θέλουμε. Δηλαδή: Αν π.χ. θέλουμε να φτιάξουμε

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα