Feynman-Kac OPTIONS) PUT OPTIONS) CRANK-NICOLSON... 42

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Feynman-Kac OPTIONS) PUT OPTIONS) CRANK-NICOLSON... 42"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διπλωματική Εργασία με θέμα : Αποτίμηση της αξίας των Αμερικανικών options με Αριθμητικές μεθόδους. του φοιτητή Βακερούδη Σταύρου Τριμελής επιτροπή: 1. Κοκολάκης Γεώργιος 2. Παπανικολάου Βασίλης 3. Σπηλιώτης Ιωάννης (Επιβλέπων) Αθήνα 24 1

2 2 Στους παππούδες και στις γιαγιάδες μου...

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αυτό το κείμενο συντάχθηκε στα πλαίσια της εκπόνησης της Διπλωματικής Εργασίας με θέμα την Αποτίμηση της αξίας των Αμερικανικών options κατά τη διάρκεια του δέκατου εξαμήνου των σπουδών μου στη Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. Εγινε προσπάθεια όλα όσα αναφέρονται στο κείμενο να είναι κατανοητά, αλλά συγχρόνως να μη ζημειώνεται η πληρότητα του τόσο στο Μαθηματικό όσο και στο Χρηματοοικονομικό μέρος. Το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει κάποιες βασικές Μαθηματικές έννοιες για την κατανόηση του υπόλοιπου κειμένου. Είναι ουσιαστικά κάποιες προαπαιτούμενες γνώσεις οι οποίες παρουσιάζονται με τη μορφή αναφοράς. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μία εκτενής εισαγωγή στο χώρο των Χρηματιστηριακών Παραγώγων και κυρίως στα Δικαιώματα Προαίρεσης (options) με έμφαση στα Αμερικάνικα. Επίσης, παρουσιάζεται το μοντέλο Black-Scholes και επεξηγείται η αποτίμησή των Δικαιωμάτων Προαίρεσης. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται δύο μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την Αποτίμηση της αξίας των Αμερικανικών options. Ετσι, παρουσιάζεται η μέθοδος Crank-Nicolson με τη χρήση της SOR projected καθώς και η Διωνυμική μέθοδος. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρατίθενται αναλυτικοί πίνακες με τα αποτελέσματα όπως προέκυψαν από την εφαρμογή της Αριθμητικής μεθόδου σε διάφορα παραδείγματα (τα οποία προσεγγίζουν πραγματικά δεδομένα) καθώς και κάποιες παρατηρήσεις πάνω σ αυτά. Στο Παράρτημα, μπορεί να βρει ο αναγνώστης τον κώδικα της μεθόδου Crank-Nicolson με τη χρήση της SOR projected σε περιβάλλον C++. Τέλος, στη βιβλιογραφία αναφέρονται όλα τα βιβλία στα οποία μπορεί να ανατρέξει ο αναγνώστης για περαιτέρω εμβάθυνση. 3

4 Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή, κύριο Ιωάννη Σπηλιώτη για τη διακριτική, πλην όμως ουσιαστική και αποφασιστικής σημασίας βοήθεια που μου παρείχε για να ολοκληρωθεί επιτυχώς αυτή η εργασία. Επίσης, οφείλω να ευχαριστήσω τους κυρίους καθηγητές Κοκολάκη Γεώργιο και Παπανικολάου Βασίλη για τον πολύτιμο χρόνο τους που αφιέρωσαν για να μελετήσουν και να αξιολογήσουν αυτήν την εργασία. Παράλληλα, νιώθω την υποχρέωση να ευχαριστήσω τον Προϊστάμενο του τομέα Διαχείρισης Κινδύνου της Εταιρίας Εκκαθάρισης Συναλλαγων Επί Παραγώγων (ΕΤΕΣΕΠ) του Χρηματιστηρίου Παραγώγων Αθηνών (ΧΠΑ), κύριο Ιάκωβο Ηλιάδη, για τις συμβουλές που μου έδωσε. Επιπλέον, το συνάδελφο και φίλο Κωνσταντίνο Σπηλιόπουλο για τις σημαντικές του παρατηρήσεις. Τέλος, οφείλω ένα μεγάλο ευχαριστώ στους γονείς μου, την αδελφή μου, την οικογένεια μου, τους φίλους και τους συναδέλφους μου για την αμέριστη ηθική και ψυχολογική τους συμπαράσταση. Αθήνα, Ιούνιος 24 4

5 Περιεχόμενα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ - ΚΙΝΗΣΗ Brown ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ Itô - FORMULA ΤΟΥ Itô ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ martingales - ΘΕΩΡΗΜΑ GIRSANOV - ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ FORMULA Feynman-Kac ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ martingales - ΘΕΩ- ΡΗΜΑ GIRSANOV ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ FORMULA Feynman-Kac ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΛΥΣΗΣ ΣΔΕ - ΕΠΙΛΥ- ΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΔΕ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΛΥΣΗΣ ΣΔΕ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΔΕ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΑΡΑΓΩΓΑ, ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ (OPTIONS) ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟ BLACK-SCHOLES ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ (OPTIONS) ΜΟΝΤΕΛΟ BLACK-SCHOLES MARTINGALE ΜΕΤΡΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗ- ΣΗ ΤΟΥΣ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΑΓΟΡΑΣ (AMERICAN CALL OPTIONS) ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΩΛΗΣΗΣ (AMERICAN PUT OPTIONS) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ - CRANK-NICOLSON

6 3.1.1 ΜΕΘΟΔΟΣ SOR ΜΕΘΟΔΟΣ SOR projected ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟΤΕΛΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ CRANK-NICOLSON ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ AMERICAN PUT ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΩΔΙΚΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ CRANK-NICOLSON ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΞΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

7 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ 1.1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ - ΚΙΝΗΣΗ Brown Ορισμός 1: Εστω T ένα σύνολο δεικτών. Στοχαστική Ανέλιξη στο Τ με τιμές στο R m ονομάζεται μία οικογένεια τ.μ. {X t, t T } ορισμένων σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P ) και τιμές στο R m. Οταν Τ = N = {1, 2,...} ή Τ = Z = {..., 2, 1,, 1, 2,...} μιλάμε για στοχαστική ανέλιξη διακριτού χρόνου ενώ εάν Τ είναι διάστημα του Ρ λέγεται στοχαστική ανέλιξη συνεχούς χρόνου. Ορισμός 2: Ενας χώρος πιθανότητας (Ω, F, P ) λέγεται ότι είναι εφοδιασμένος με μία διύλιση (filtration) {F t, t T } όταν για έκαστο t T η F t είναι σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Ω με F t F και επιπλέον t 1 < t 2 F t1 F t2. Ορισμός 3: Εστω Στοχαστική Ανέλιξη (σ.α.) X = {X t, t T } ορισμένη στο χώρο πιθανότητας (χ.π.)(ω, F, P ) που είναι εφοδιασμένος με μία διύλιση {F t, t T }. Η Στοχαστική Ανέλιξη Χ λέγεται προσαρμοσμένη (adapted) στη διύλιση {F t, t T } όταν για κάθε t T η τ.μ. X t είναι F t - μετρήσιμη. Ορισμός 4: Εστω ο μετρήσιμος χώρος (Ω, F) εφοδιασμένος με τη διύλιση {F t, t T }.Μία 7

8 τ.μ. τ:ω [, ] λέγεται χρόνος διακοπής (stopping time) της {F t, t T } όταν ισχύει: {τ t} F t, t. Ορισμός 5: Τυπική μονοδιάστατη κίνηση Brown (ή απλά F t -κίνηση Brown)ονομάζεται μία σ.α. {B t, t [, ]} με τιμές στο R,ορισμένη σε ένα χ.π. (Ω, F, P ) εφοδιασμένο με μία διύλιση {F t, t } εις τρόπον ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω απαιτήσεις: Για κάθε t η B t είναι F t - μετρήσιμη (F t -προσαρμοσμένη). Η σ.α. {B t, t } έχει συνεχείς τροχιές. B = P σ.β. Οταν s < t τότε η τ.μ. B t B s είναι ανεξάρτητη της σ-άλγεβρας F s. Οταν s < t τότε η τ.μ. Ν(,t s). B t B s ακολουθεί κανονική κατανομή ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ανάλογα ορίζεται και η Τυπική n-διάστατη κίνηση Brown B t = {(B 1 t,..., B n t ), t } με τιμές στο R n με μόνη διαφορά στην 5η απαίτηση όπου όταν s < t η τ.μ. B t B s ακολουθεί κανονική κατανομή Ν(,(t s)i n ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Από τώρα και στο εξής θα θεωρείται πάντα (εκτός κι αν απαιτηθεί διαφορετικά) (Ω, F, P ) χώρος πιθανότητας εφοδιασμένος με μία διύλιση {F t, t } για την οποία υποθέτουμε ότι N F t για κάθε t με N = {Λ Ω : N F με Λ N και P (N) = }. Επίσης, B = {B t, t } είναι F t -κίνηση Brown ορισμένη στον (Ω, F, P ) με n-διαστάσεις (n N). 8

9 1.2 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ Itô - FORMU- LA ΤΟΥ Itô Ορισμός 6: Για αριθμούς a < b στο [, ) λέγεται ότι η σ.α. f:[a, b] Ω R ανήκει στην κλάση L(a, b) όταν ικανοποιούνται οι παρακάτω απαιτήσεις: Η f είναι B [a,b] F-μετρήσιμη. Για έκαστο t [a, b] η τ.μ. f(t, ) είναι F t -μετρήσιμη. b a E[f 2 (t, )]dt <. Ορισμός 7: Για T > λέγεται ότι η σ.α. f:[, T ] Ω R ανήκει στην κλάση P(, T ) όταν ικανοποιούνται οι παρακάτω απαιτήσεις: Η f είναι B [,T ] F-μετρήσιμη. Για έκαστο t [, T ] η τ.μ. f(t, ) είναι F t -μετρήσιμη. P ( T f 2 (t)dt < ) = 1. Ορισμός 8: Λέγεται ότι η σ.α. f:[, ] Ω R ανήκει στην κλάση L (αντ. P) όταν και μόνον όταν f L(, T ) (αντ. f P(, T )) για κάθε T >, δηλαδή όταν b E[f 2 (t, )]dt < (αντ. P ( T f 2 (t)dt < ) = 1) για κάθε T >. a Ορισμός 9: Στοχαστική Ανέλιξη Itô στο [, ] (αντ. [, T ]) με τιμές στο R m, ονομάζεται μία συνεχής σ.α. {X t, t } (αντ. t [, T ]) για την οποία ισχύει: t (αντ. t [, T ]) X t = ξ + α(s)ds + 9 β(s)db s, P σ.β.

10 όπου ξ = (ξ 1,..., ξ m ) τυχαίο διάνυσμα F -μετρήσιμο, β P m n (αντ.β P m n (, T )) και η σ.α. α(s) = (α 1 (s),..., α m (s)), s είναι B [, ) F (αντ. B [,T ] F)-μετρήσιμη, (F s -προσαρμοσμένη) και ικανοποιεί την απαίτηση: m r P ( α j (s) ds < ) = 1, r (αντ.r = T ) j=1 Η FORMULA του Itô (m = n = 1) Εστω X t = ξ+ α(s)ds+ β(s)db s, t ανέλιξη Itô και f C 1,2 ([, ) R).Τότε, για όλα τα t ισχύει: f(t, X t ) f(, ξ) = [ f t (s, X s) + α(s) f x (s, X s) β2 (s) 2 f x (s, X s)]ds+ 2 + β(s) f x (s, X s)db s. Η FORMULA του Itô (m N, n N) Εστω f = f(t, x) = f(t, x 1,..., x m ) με f C 1,2 ([, ) R ) και η ανέλιξη Itô {X t = (Xt 1,..., Xt m ), t }.Τότε ισχύει: f(t, X t ) = f(t, X 1 t,..., X m t ) = f(, ξ)+ όπου και i=1 L s f = f m x + α i (s) f + 1 x i 2 L s f(s, X s )ds+ m (β(s)β T 2 f (s)) ik x i x k i,k=1 f = ( f f,..., ). x 1 x m Πόρισμα της FORMULA του Itô [ f(s, X s ) β(s)]db s Εστω οι σ.α. X 1 t = ξ 1 + α 1 (s)ds + β 1 (s)db s, t 1

11 X 2 t = ξ 2 + α 2 (s)ds + β 2 (s)db s, t όπου {B t, t } είναι 1-διάστατη Κίνηση Brown και β 1, β 2 P τότε: X 1 t X 2 t = ξ 1 ξ [α 1 (s)x 2 s + α 2 (s)x 1 s + β 1 (s)β 2 (s)]ds+ [β 1 (s)x 2 s + β 2 (s)x 1 s ]db s. (1) 11

12 1.3 ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ martingales - ΘΕΩΡΗΜΑ GIRSANOV - ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ FORMULA Feynman-Kac ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ martingales - ΘΕΩ- ΡΗΜΑ GIRSANOV Θεώρημα αναπαράστασης Brownian martingales (n = 1) Εστω χ.π. (Ω, F, P ) στον οποίο ορίζεται μία 1-διάστατη κίνηση Brown {B t, t } και η αντίστοιχη τυπική διύλιση {F t, t },δηλαδή F t = σ(ft B N ), t όπου Ft B = σ(b s, s t) και N = {Λ Ω : N F με Λ N και P (N) = }. Εστω ακόμα ένα F t -martingale M = {M t, t } με Ε(Mt 2 < ) για κάθε t. Τότε υπάρχει μία μοναδική (με την έννοια του μέτρου dt dp ) στοχαστική ανέλιξη f L εις τρόπον ώστε να ισχύει: M t = E(M ) + f(s)db s, P σ.β., t. Θεώρημα GIRSANOV (n = 1) Εστω χ.π. (Ω, F, P ) στον οποίο ορίζεται μία 1-διάστατη κίνηση Brown {B t, t } και η αντίστοιχη τυπική διύλιση {F t, t },δηλαδή F t = σ(ft B N ), t όπου Ft B = σ(b s, s t) και N = {Λ Ω : N F με Λ N και P (N) = }. Εστω ακόμα T > και σ.α. α P(, T ) τέτοια ώστε η σ.α. Z t = e α(s)dbs 1 2 α2 (s)ds, t [, T ]. να είναι F t -martingale. Ορίζουμε στον (Ω, F T ) το μέτρο πιθανότητας Q από τη σχέση: Q(A) = Z T dp, A F T. A 12

13 Τότε, η σ.α. W t = B t είναι F t -Κίνηση Brown για το μέτρο Q. α(s)ds, t [, T ] ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τα δύο αυτά θεωρήματα επεκτείνονται ανάλογα για n ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ FORMULA Feynman-Kac Εστω το πρόβλημα αρχικών τιμών (Cauchy): Δίνονται T > και συναρτήσεις f C([, T ] R n ), ϕ C(R n ), q C([, T ] R n ) με q, b i C([, T ] R n ), α i,j C([, T ] R n ), i, j = 1,..., n. Ζητείται συνάρτηση v(t, x), (t, x) [, T ] R n τέτοια ώστε: v C([, T ] R n ) C 1,2 ([, T ] R n ) όπου. v t + L tv qv = f, στo : [, T ) R n L t v = v(t, x) = ϕ(x), x R n n i=1 b i v x i n i,j=1 α ij 2 v x i x j Θεώρημα 1: Θεώρημα και formula F eynman Kac Για το παραπάνω πρόβλημα Cauchy, υποθέτουμε επιπλέον ότι: 1. Για τα b i και α i,j,με i, j = 1,..., n ισχύουν: Ο πίνακας [α i,j (t, x)] είναι θετικά ορισμένος, (t, x) [, T ] R n. Οι συναρτήσεις α i,j είναι Lipschitz στα συμπαγή του [, T ] R n, i, j = 1,..., n. 13

14 Για κάθε m N, υπάρχει K m > τέτοιο ώστε: n b i (t, x) b i (t, y) K m x y i=1 για όλα τα t [, T ], x m, y m. n b i (t, x) 2 + i=1 n α i,j (t, x) 2 L(1 + x 2 ) i,j=1 για όλα τα t [, T ], x R n. 2. f(t, x) M(1 + x 2λ ) ή f(x), x R n με M >, λ ϕ(x) M(1 + x 2λ ) ή ϕ(x), x R n με M >, λ 1. Αν v C([, T ] R n ) C 1,2 ([, T ] R n ) είναι μία λύση του παραπάνω προβλήματος που ικανοποιεί την απαίτηση: max v(t, x) N(1 + t T x 2µ ), x R n µεn >, µ 1 τότε για κάθε (s, x) [, T ] R n ισχύει η formula F eynman Kac: T v(s, x) = E[ f(u, X u )e u s q(r,xr)dr du + ϕ(x T )e T s q(r,xr)dr ] (2) s όπου X t = X s (x, t), t s η μοναδική ισχυρή λύση της ΣΔΕ: με σ : σσ T = [α ij ]. X t = x + s b(u, X u )du + s σ(u, X u )db u 14

15 1.4 ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΛΥΣΗΣ ΣΔΕ - ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΔΕ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΛΥΣΗΣ ΣΔΕ Ορισμός 1: Εστω συναρτήσεις b, σ με: b = (b 1,..., b m ), µε : b j : [, T ] R m R, j = 1,..., m σ = [σ ij ], 1 i m, 1 j n, µε : σ ij : [, T ] R m R Δοθείσης μίας n-διάστατης Κίνησης Brown (Ω, F, P, F t, B t ) και τ.μ. ξ = (ξ 1,..., ξ m ) που είναι F -μετρήσιμη, ονομάζεται ισχυρή λύση της ΣΔΕ X t = X + b(s, X s )ds + σ(s, X s )db s, t T (3) με αρχική συνθήκη ξ μία σ.α. X = {X t, t [, T ]} που ικανοποιεί τις απαιτήσεις: Η Χ είναι συνεχής. Η Χ είναι F t -προσαρμοσμένη. P (X = ξ) = 1. (P ( b i(s, X s ) + σ 2 ij(s, X s ))ds < ) = 1, t [, T ] για όλα τα i = 1,..., m και j = 1,..., n. Ισχύει P σ.β. η ΣΔΕ (3), t [, T ]. Ορισμός 11: Για τις παραπάνω συναρτήσεις b, σ λέγεται ότι ισχύει ισχυρή μοναδικότητα 15

16 όταν δύο ισχυρές λύσεις Χ και Χ με αρχική συνθήκη ξ της ΣΔΕ (3) είναι μηδιακρινόμενες (δηλαδή υπάρχει Ν F με P (N) = τέτοιο ώστε X t (ω) = Y t (ω) για κάθε ω Ω\N και για κάθε t ) για οποιαδήποτε Κίνηση Brown (Ω, F, P, F t, B t ) και οποιαδήποτε F -μετρήσιμη τ.μ. ξ. Θεώρημα 2: Εστω οι παραπάνω συναρτήσεις b, σ όπως παραπάνω, οι οποίες ικανοποιούν την απαίτηση: Για κάθε n N υπάρχει K n > τέτοια ώστε: b(t, x) b(t, y) + σ(t, x) σ(t, y) K n x y για όλα τα t, x n, y n. Τότε,ισχύει ισχυρή μοναδικότητα για τις b, σ. Θεώρημα 3: (Θεώρημα Itô ) Εστω οι συναρτήσεις b, σ όπως παραπάνω, οι οποίες ικανοποιούν τις απαιτήσεις: b(t, x) b(t, y) + σ(t, x) σ(t, y) K x y b(t, x) 2 + σ(t, x) 2 L(1 + x 2 ) για όλα τα t, x R m, y R m με K, L >. Αν (Ω, F, P, F t, B t ) Κίνηση Brown και ξ μία F -μετρήσιμη τ.μ. με E ξ 2 <, τότε υπάρχει μοναδική ισχυρή λύση της (3) και για τυχόν T > ισχύει: όπου N > και N = f(l, T ). E X t 2 N(1 + E ξ 2 )e Nt, t T Θεώρημα 4: Εστω οι παραπάνω συναρτήσεις b, σ όπως παραπάνω, οι οποίες ικανοποιούν τις απαιτήσεις: Για κάθε n N υπάρχει K n > τέτοια ώστε: b(t, x) b(t, y) + σ(t, x) σ(t, y) K n x y 16

17 b(t, x) 2 + σ(t, x) 2 L(1 + x 2 ) για όλα τα t, x n, y n με K, L >. Αν (Ω, F, P, F t, B t ) Κίνηση Brown και ξ μία F -μετρήσιμη τ.μ. με E ξ 2 <, τότε υπάρχει μοναδική ισχυρή λύση της (3) και για τυχόν T > ισχύει: E X t 2 N(1 + E ξ 2 )e Nt, t T όπου N > και N = f(l, T ). Αν επιπλέον E ξ 2r < για κάποιο r 1 τότε για κάθε T > υπάρχει N > με N = f(l, T, r) ώστε να ισχύει: E[ sup X s 2r ] N(1 + E ξ 2r )e Nt, t T. s t 17

18 1.4.2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΔΕ Θα αναφερθούμε στην επίλυση μόνο των 1-διάστατων γραμμικών ΣΔΕ καθώς στα πλαίσια των αναγκών του κειμένου μας αρκεί αυτό. Ορισμός 12: 1-διάστατη γραμμική ΣΔΕ εννοούμε τη ΣΔΕ της μορφής: X t = X + [b 1 (s)x s + b 2 (s)]ds + με b 1, b 2, σ 1, σ 2 να είναι συναρτήσεις του s. [σ 1 (s)x s + σ 2 (s)]db s Είναι b(s, x) = b 1 (s)x + b 2 (s) και σ(s, x) = σ 1 (s)x + σ 2 (s). Άρα: b(s, x) b(s, y) + σ(s, x) σ(s, y) ( b 1 (s) + σ 1 (s) ) x y b 2 (s, x) + σ 2 (s, x) 2(b 2 1(s) + σ 2 1(s))x 2 + 2(b 2 2(s) + σ 2 2(s)). Άρα, αν T > υπάρχει M T > ώστε: sup ( b 1 (s) + σ 1 (s) ) M T s [,T ] sup ( b 2 (s) + σ 2 (s) ) M T s [,T ] τότε σύμφωνα με το Θεώρημα Itô η παραπάνω ΣΔΕ έχει μοναδική ισχυρή λύση στο [, T ], T >. Εστω ότι ικανοποιείται η παραπάνω απαίτηση. Τότε, έχουμε μοναδική λύση που υπολογίζεται ως εξής: Θέτουμε F t = e Yt, t oπoυ Y t = [b 1 (s) 1 2 σ2 1(s)]ds + σ 1 (s)db s. Εφαρμόζοντας τη formula του Itô για τη σ.α. {Y t, t } τη συνάρτηση f(x) = e x,έχουμε: F t = 1 + [ b 1 (s) + σ 2 1(s)]F s ds + 18 ( σ 1 (s))f s db s.

19 και χρησιμοποιόντας τη σχέση (1) του πορίσματος της formula του Itô για τις σ.α. X, F,είναι: F t X t = X + (σ 1 (s)x s + σ 2 (s))σ 1 (s)f s ]ds + Άρα: = X + X t = e Yt (X + [( b 1 (s) + σ 2 1(s))F s X s + (b 1 (s)x s + b 2 (s))f s [(σ 1 (s)x s + σ 2 (s))f s σ 1 (s)f s X s ]db s = [b 2 (s) σ 1 (s)σ 2 (s)]f s ds + [b 2 (s) σ 1 (s)σ 2 (s)]e Ys ds + σ 2 (s)f s db s. σ 2 (s)e Ys db s ) (4) όπου Y t = [b 1 (s) 1 2 σ2 1(s)]ds + σ 1 (s)db s. 19

20 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΑΡΑΓΩΓΑ, ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ (OPTIONS) ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟ BLACK-SCHOLES 2.1 ΠΑΡΑΓΩΓΑ Σε αντίθεση με τις τρέχουσες αγορές, όπως η αγορά του Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (ΧΑΑ),οι αγορές παραγώγων είναι αγορές στις οποίες διαπραγματεύονται συμβόλαια, των οποίων η συμπεριφορά προσδιορίζεται από τη συμπεριφορά ενός άλλου αγαθού. Οπως όλα τα συμβόλαια, τα παράγωγα προϊόντα είναι συμφωνίες μεταξύ δύο αντισυμβαλλομένων, ενός αγοραστή και ενός πωλητή, στις οποίες καθένας κάνει κάτι για τον άλλο. Τα συμβόλαια αυτά έχουν τιμή και επομένως οι αγοραστές προσπαθούν να αγοράσουν κατά το δυνατό φθηνότερα και οι πωλητές προσπαθούν να πουλήσουν κατά το δυνατό ακριβότερα. Ετσι, τα παράγωγα προϊόντα είναι συμφωνίες μεταξύ δύο αντισυμβαλλομένων, ενός αγοραστή και ενός πωλητή, στα οποία τα προβλεπόμενα για τους κατόχους τους δικαιώματα εξαρτώνται με συγκεκριμένο τρόπο από τη μελλοντική εξέλιξη της αξίας κάποιων υποκείμενων τίτλων (π.χ. μετοχές, ομόλογα κτλ.) Υπάρχουν πολλά είδη παράγωγων προϊόντων, όπως τα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης (ΣΜΕ-futures) και τα δικαιώματα προαίρεσης (options). Στα πλαίσια αυτής της Διπλωματικής εργασίας θα ασχοληθούμε με τα δικαιώματα προαίρεσης και μάλιστα με ένα συγκεκριμένο τύπο, τα American options. 2

21 2.2 ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ (OPTIONS) Τα δικαιώματα προαίρεσης (options) είναι προθεσμιακές συναλλαγές με την έννοια ότι γίνεται μία συμφωνία μεταξύ δύο αντισυμβαλλομένων, ενός αγοραστή ή εκδότη της option και ενός πωλητή ή κατόχου της option, σύμφωνα με την οποία, ο πωλητής αναλαμβάνει να παραδώσει στον αγοραστή συγκεκριμένη ποσότητα ενός αγαθού μία μελλοντική χρονική στιγμή και ο αγοραστής αναλαμβάνει να πληρώσει για την παραλαβή του αγαθού αυτού ένα συγκεκριμένο ποσό. Η διαφορά τους με τα προθεσμιακά συμβόλαια έγκειται στο ότι η διαδικασία της παράδοσης - παραλαβής και πληρωμής δεν είναι υποχρεωτικό να λάβει χώρα όπως γίνεται στα προθεσμιακά συμβόλαια, αλλά πραγματοποιείται μόνο εφόσον το ζητήσει ένας (συγκεκριμένος) από τους δύο αντισυμβαλλόμενους. Επειδή η απόφαση του κατά πόσο θα πραγματοποιηθεί η αγοραπωλησία μπορεί να επαφίεται είτε στον αγοραστή είτε στον πωλητή, έχουμε δύο διαφορετικά είδη δικαιωμάτων. Αν η απόφαση επαφίεται στον αγοραστή του αγαθού μιλάμε για ένα δικαίωμα αγοράς (call) γιατί το συμβόλαιο δίνει το δικαίωμα (αλλά όχι την υποχρέωση) σε έναν επενδυτή να υποχρεώσει τον αντισυμβαλλόμενο επενδυτή να παραδώσει το υποκείμενο αγαθό και να πληρωθεί ένα εκ των προτέρων συμφωνημένο ποσό. Αντίστοιχα, αν η απόφαση επαφίεται στον πωλητή του αγαθού μιλάμε για ένα δικαίωμα πώλησης (put) γιατί το συμβόλαιο δίνει το δικαίωμα (αλλά όχι την υποχρέωση) σε έναν επενδυτή να υποχρεώσει τον αντισυμβαλλόμενο επενδυτή να παραλάβει το υποκείμενο αγαθό και να πληρώσει ένα εκ των προτέρων συμφωνημένο ποσό. Ετσι, οι δύο αντισυμβαλλόμενοι: Προσδιορίζουν έναν υποκείμενο τίτλο (π.χ. μετοχή) του οποίου η τιμή αγοράς εξελίσσεται χρονικά ως X t,t. Προσδιορίζουν έναν χρόνο εξάσκησης (expiry date) T > της option κατά τον οποίο ασκούνται τα δικαιώματα που απορρέουν από την option. Κατά τη χρονική στιγμή t = συνάπτουν τη συμφωνία που θα εξασκηθεί τη χρονική στιγμή t = T (αυτό το δικαίωμα και όχι την υποχρέωση θα το έχει ο ένας εκ των δύο) έναντι τιμής K > που ονομάζεται τιμή εξάσκησης (strike price). Συνεπώς, έχουμε για τις call options ότι: τη χρονική στιγμή t = η τιμή της υποκείμενης μετοχής είναι γνωστή X = x αλλά άγνωστή η τιμή της X T 21

22 κατά τη (μελλοντική) χρονική στιγμή t = T κατά την οποία ο αγοραστής θα ασκήσει τα δικαιώματά του. Ετσι, αν X T > K, ο αγοραστής θα απαιτήσει τη διαφορά X T K την οποία πωλητής οφείλει να είναι σε θέση να καλύψει. Αν όμως X T < K, τότε ο αγοραστής (όπως έχει δικαίωμα) δεν απαιτεί την προμήθεια της μετοχής (μπορεί να την προμηθευτεί από την αγορά έναντι τιμής X T < K) και ο πωλητής δε βρίσκεται υποχρεωμένος να καλύψει οποιαδήποτε αξίωση. Η αξίωση του αγοραστή όσο και η υποχρέωση του πωλητή είναι λοιπόν: Y = max{x T K, } (X T K) + που είναι και η αξία της option κατά τη χρονική στιγμή t = T. Εναντι όλων αυτών καταβάλλει στον πωλητή, κατά τη χρονική στιγμή t =, ένα αντίτιμο y (ονομάζεται premium) για να αποκτήσει το Y. Τα αντίστοιχα ισχύουν για τις put options. Τέλος, υπάρχουν δύο βασικά είδη options. Είναι τα: χρηματιστηριακά δικαιώματα ευρωπαϊκού τύπου που μπορούν να α- σκηθούν μόνο κατά τη μέρα της λήξης τους, δηλαδή κατά τη χρονική στιγμή t = T. χρηματιστηριακά δικαιώματα αμερικάνικου τύπου που μπορούν να ασκηθούν οποιαδήποτε μέρα μέχρι και τη λήξη τους (early exercise). Για τον υπολογισμό του premium (δηλαδή του τι είναι δίκαιο να πληρώσει ο δικαιούχος κατά τη χρονική στιγμή σύνταξης του συμβολαίου) για να αποκτήσει το δικαίωμα. Εδώ βρίσκεται και το πρόβλημα που πρέπει να επιλύσουμε, δηλαδή τι οφείλει να είναι το premium. Για να είναι δυνατή η μαθηματική επεξεργασία ενός τέτοιου προβλήματος, είναι απαραίτητη η εύρεση ενός μαθηματικού μοντέλου για την εξέλιξη της αξίας του υποκείμενου τίτλου. Στην περίπτωση των ευρωπαϊκών options υπάρχει κλειστός τύπος. Το ίδιο ισχύει, όπως θα δούμε και παρακάτω, και για την περίπτωση των αμερικάνικων call. Στα αμερικάνικα put όμως δε συμβαίνει κάτι τέτοιο και έτσι καταφεύγουμε σε άλλες μεθόδους (Αριθμητικές, Διωνυμικές, Αναλυτικές, με Προσομοίωση (simulation) ). Αυτό ακριβώς είναι και το αντικείμενο αυτής της Διπλωματικής εργασίας, δηλαδή η αποτίμηση των Αμερικάνικων put με Αριθμητικές μεθόδους. 22

23 2.3 ΜΟΝΤΕΛΟ BLACK-SCHOLES Το 1973, ο F isher Black και ο Myron Scholes ανέπτυξαν το διάσημο μοντέλο Black Scholes, το οποίο αποτέλεσε την απαρχή για μία αρκετά εκτενή θεωρία που έχει άμεση εφαρμογή στα χρηματιστηριακά παράγωγα, αλλά και σε πολλούς άλλους τομείς. Αυτό το μοντέλο είναι το πρώτο που επινοήθηκε για την αποτίμηση των ευρωπαϊκών options. Κατ αρχάς, η χρονική συμπεριφορά μίας επένδυσης στην αγορά χρήματος, όταν το αρχικό κεφάλαιο είναι μία χρηματική μονάδα, δίνεται από τον τύπο: β(t) = e rt, t όπου r το επιτόκιο. Αυτό που μας ενδιαφέρει σε μία μετοχή είναι η απόδοσή της: dx t X t = bdt, b R όπου X t είναι η τιμή της μετοχής τη χρονική στιγμή t και dx t είναι η μεταβολή της τιμής της μετοχής σε χρόνο dt. Για να γίνει το μοντέλο ρεαλιστικότερο, προσθέτουμε και την τυχαιοποίηση {σξ t }, όπου ξ t είναι ένας λευκός θόρυβος και σ > είναι η αβεβαιότητα volatility και έχουμε: dx t = bdt + σξ t dt X t dx t = bx t dt + σx t ξ t dt. Ερμηνεύοντας τώρα με όρους στοχαστικής ολοκλήρωσης Itô, είναι: dx t = bx t dt + σx t db t. Ετσι, έχουμε ότι σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) στον οποίο ορίζεται η κίνηση Brown B = {B t, t } και είναι εφοδιασμένος με τη διύλιση F t = σ(ft B N P ),με N P = {Λ Ω : N F με Λ N και P(N) = }, η χρονική 23

24 εξέλιξη της τιμής υποκείμενων τίτλων (π.χ.μετοχών) δίνεται από το στοχαστικό μοντέλο: X t = x + bx s ds + σx s db s, t (5) όπου b R,σ > και x >. X t είναι η χρονική εξέλιξη της τιμής υποκείμενων τίτλων, x είναι η τιμή τη χρονική στιγμή t =, b είναι ο συντελεστής του μέσου όρου της ανάπτυξης των τιμών (σε απλά μοντέλα θεωρείται σταθερός), και σ είναι η μεταβλητότητα (volatility) δηλαδή ένα μέτρο της αβεβαιότητας για τη μελλοντική πορεία των τιμών του υποκείμενου τίτλου. Η μεταβλητότητα εκτιμάται από τις παρατηρήσεις X t = x, X t1 = x 1,...,X tn = x n τις χρονικές στιγμές t,t 1,...,t n με t i t i 1 = τ και η εκτιμήτριά της είναι: ˆσ 2 = 1 1 n (u i ū) 2 (6) τ n 1 όπου u i = ln x i x i 1, i = 1, 2,..., n. Αυτή η Στοχαστική Διαφορική Εξίσωση (ΣΔΕ (5) ) είναι γραμμική και συνεπώς η λύση της δίνεται από τον τύπο: i=1 X t = xe (b 1 2 σ2 )t+σb t, t (7) Από εδώ και πέρα, όταν αναφερόμαστε στο μοντέλο αγοράς (β,χ) είναι το μοντέλο Black Scholes : X t = x + β(t) = 1 + bx s ds + rβ(s)ds, t T (8) σx s db s, t T (9) όπου r το επιτόκιο συνεχούς ανατοκισμού, b R,σ >,x > και T >. Ορισμός 1: Ονομάζεται χαρτοφυλάκιο για την αγορά (β,χ) ένα ζεύγος ϕ = (ϕ, ϕ 1 ) ό- που ϕ, ϕ 1 στοχαστικές ανελίξεις με τιμές στο R, μετρήσιμες και F t -προσαρμοσμένες. Ορισμός 2: Ονομάζεται ανέλιξη αξίας του χαρτοφυλακίου ϕ = (ϕ, ϕ 1 ) η στοχαστική 24

25 ανέλιξη: Y ϕ t = ϕ (t)β(t) + ϕ 1 (t)x t, t T (1) Ορισμός 3: Σε ένα μοντέλο αγοράς (β,χ), ένα χαρτοφυλάκιο ϕ = (ϕ, ϕ 1 ) ονομάζεται αυτοχρηματοδοτούμενο (self financing) για την (β,χ) όταν ικανοποιείται η: T ϕ (s) ds + T ϕ 1 (s)x s 2 ds <, P σ.β. (11) και επιπλέον η ανέλιξη αξίας του Y ϕ = ϕ β + ϕ 1 X ικανοποιεί την: Y ϕ t = Y ϕ + ή ισοδύναμα: [rϕ (s)β(s)+bϕ 1 (s)x s ]ds+ σϕ 1 (s)x s db s, t T (12) dy ϕ t = ϕ (t)dβ(t) + ϕ 1 (t)dx t (13) Το σύνολο των αυτοχρηματοδοτούμενων χαρτοφυλακίων θα γράφεται X. Οταν y R ορίζουμε: X y = {ϕ X : Y ϕ = y, P σ.β.} (14) και όταν ϕ X y θα γράφουμε Y y,ϕ αντί για Y ϕ. Ορισμός 4: Ενα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο ϕ X ονομάζεται αποδεκτό (admissible) όταν υπάρχει Λ R τέτοια ώστε Y ϕ Λ, dt dp - σ.β. Το σύνολο των αποδεκτών χαρτοφυλακίων θα σημειώνεται X. Αν y R θα είναι Xy = {ϕ X : Y ϕ = y, P σ.β.}. 25

26 2.4 MARTINGALE ΜΕΤΡΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Εστω το μοντέλο αγοράς (β,χ) όπως στις (8), (9). Θέτουμε: θ = b r σ (15) Z t = e θbt 1 2 θ2t, t. (16) Ως γνωστόν, η σ.α. {Z t, t } είναι F t -martingale (αφού το θ είναι μία σταθερά). Άρα, η σχέση Q(A) = Z T dp, A F T (17) A ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον (Ω, F T ) και είναι ισοδύναμο του μέτρου P που σημαίνει ότι: P (A) = Q(A) =, A F T. (18) Από το Θεώρημα Girsanov έχουμε ότι η σ.α. W t = B t + θt, t T (19) είναι μία F t -κίνηση Brown για το μέτρο Q. Χρησιμοποιώντας το πόρισμα της Itô formula (σχέση (1) ) για τις βt 1,X t και θέτοντας X t = βt 1 X t, t T παίρνουμε ότι: X t = X + (b r) X s ds + σ X s db s. (2) Το μέτρο πιθανότητας Q αγνοεί το συντελεστή (b r) X s ds, είναι δηλαδή ουδέτερο κινδύνου (risk neutral measure) αφού καθιστά martingale την ανέλιξη αξίας του υποκείμενου τίτλου { X t, t T }. Ετσι, ισοδύναμο martingale μέτρο πιθανότητας ονομάζουμε ένα μέτρο πιθανότητας όπως το Q που είναι ισοδύναμο με το μέτρο P και υπό το οποίο η σ.α. { X t, t T } είναι F t martingale. 26

27 2.5 ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ορισμός 5: Εστω T > και (β,χ) μοντέλο αγοράς όπως στις (8),(9). Δικαίωμα Ευρωπαϊκού τύπου χρόνου άσκησης Τ ονομάζεται μία μη αρνητική τ.μ. Y : Ω [, ) που είναι F T -μετρήσιμη. Ετσι, αν h : (, ) [, ) είναι μη αρνητική Borel συνάρτηση, τότε η Y = h(x T ) είναι ένα δικαίωμα ευρωπαϊκού τύπου χρόνου άσκησης Τ. Παραδείγματα: 1. Στην περίπτωση ενός European call option έχουμε h(x) = (x K) + και το δικαίωμα αντίστοιχα είναι: Y = (X T K) Στην περίπτωση ενός European put option έχουμε h(x) = (K x) + και το δικαίωμα αντίστοιχα είναι: Y = (K X T ) +. Ορισμός 6: Στο μοντέλο αγοράς (β,χ) όπως στις (8),(9), έστω ένα δικαίωμα Ευρωπαϊκού τύπου Y χρόνου άσκησης T >. Στρατηγική αντιστάθμισης κινδύνου (hedging strategy) για το Y με αρχική αξία y λέγεται ένα 27

28 χαρτοφυλάκιο ϕ = (ϕ, ϕ 1 ) X y με Y y,ϕ T = Y, P σ.β.. Δίκαιη τιμή για το δικαίωμα Y λέγεται το ρ(y ) = inf{y : ϕ X y, µε : Y y,ϕ T = Y, P σ.β.} Αυτή η σχέση μας δίνει τη δίκαιη τιμή από τη μεριά του αγοραστή. Αποδεικνύεται όμως ότι το ίδιο ισχύει και από τη μεριά του πωλητή. Πράγματι, γνωρίζουμε ότι ισχύει inf = sup. Άρα, για το ρ(y ) έχουμε: ρ(y ) = inf{y : ϕ X y, µε : Y y,ϕ T = Y, P σ.β.} = = sup{y : ϕ X y, µε : Y y,ϕ T = Y, P σ.β.} = = sup{y : ϕ X y, µε : Y y,ϕ T = Y, P σ.β.} που αντικατοπτρίζει την πλευρά του πωλητή. ŷ, ˆϕ Θέτουμε Ŷt = Yt, t T. Η στοχαστική ανέλιξη Ŷt, t T ονομάζεται ανέλιξη αξίας του δικαιώματος Y. Πρόταση: Για ένα Ευρωπαϊκό δικαίωμα Y = h(x T ), όπου h : (, ) [, ) συνεχής με E Q [h(x T )] <. Τότε, η ανέλιξη αξίας Ŷ και η δίκαιη τιμή ρ(y ) δίνονται από τις σχέσεις: Ŷ = g(t, X t ), t < T (21) όπου ρ(y ) = g(, x) (22) e r(t t) 2π g(t, ξ) = h(ξeλ(t t)+σy T t )e y2 2 dy, t T h(ξ), t = T (23) με λ = r 1 2 σ2. Επίσης, αν η h ικανοποιεί την απαίτηση: Για c >, m 1 ισχύει h(x) c(1 + x m ), x (, ), τότε το μοναδικό χαρτοφυλάκιο αντιστάθμισης κινδύνου ˆϕ = ( ˆϕ, ˆϕ 1 ) δίνεται από τις σχέσεις: ˆϕ 1 (t) = g ξ (t, X t) (24) 28

29 όπου t [, T ). ˆϕ (t) = e rt rt g g(t, X t ) e ξ (t, X t)x t (25) Εστω το πρόβλημα Cauchy (γνωστό και ως εξίσωση Black Scholes ): V t σ2 x 2 2 V x 2 + rx V x και έστω ότι έχει μοναδική λύση rv =, στo [, T ) (, ) (26) V (T, x) = h(x), x (, ) (27) V C([, T ] (, )) C 1,2 ([, T ] (, )) η οποία ικανοποιεί τις απαιτήσεις του Θεωρήματος F eynman Kac (αυτό επιτυγχάνεται με κατάλληλες υποθέσεις). Εφαρμόζοντας το Θεώρημα F eynman Kac έχουμε V = g και άρα: Ŷ t = g(t, X t ) = V (t, X t ), t T και δίκαιη τιμή: ρ(y ) = g(, x) = V (, x). Παραδείγματα: 1. European call option h 1 (x) = (x K) +, x, K >. Εχουμε για t < T (γράφουμε g c αντί για g): όπου: g c (t, ξ) = e r(t t) h 1 (ξe λ(t t)+σy T t 1 ) e y2 2 dy = 2π = e r(t t) (ξe λ(t t)+σy T t 1 K) e y2 2 dy 2π µ µ = ln( K ) λ(t t) ξ σ = µ(ξ, T t) T t 29

30 και άρα: g c (t, ξ) = e r(t t) Εφόσον λ = r 1 2 σ2, έχουμε ξ µ µ ξe λ(t t)+σy T t 1 2π e y2 2 dy e r(t t) K(1 Φ(µ)) 1 2π e 1 2 (y σ T t) 2 dy = ξ µ σ T t 1 2π e 1 2 y2 dy = Οπότε, έχουμε: = ξ(1 Φ(µ σ T t)) ή όπου g c (t, ξ) = ξφ(σ T t µ) Ke r(t t) Φ( µ) g c (t, ξ) = ξφ(d + ) Ke r(t t) Φ(d ) (28) d ± = ln( ξ σ2 ) + (r ± )(T t) K 2 σ. (29) T t Για τη δίκαιη τιμή έχουμε (Black Scholes f ormula): όπου: και ρ(y ) = g c (, x) = xφ(d 1 ) Ke rt Φ(d 1 ) (3) d 1 = ln( x σ2 ) + (r + )T K 2 σ T (31) d 2 = ln( x σ2 ) + (r )T K 2 σ = d 1 σ T. (32) T Επίσης, για το χαρτοφυλάκιο ˆϕ έχουμε ( t T ): ˆϕ 1 (t) = Φ( ln( Xt K ˆϕ (t) = Ke rt Φ( σ2 ) + (r + 2 σ T t ln( Xt K σ2 ) + (r 2 σ T t )(T t) ) (33) )(T t) ). (34) 3

31 2. European put option h 2 (x) = (K x) +, x, K >. Εχουμε για t < T (γράφουμε g p αντί για g): h 2 (x) = K x + (x K) + = K x + h 2 (x). Άρα: g p (t, ξ) = Ke r(t t) ξ + g c (t, ξ) ή αλλιώς: g p (t, ξ) = Ke r(t t) Φ( d ) ξφ( d + ) (35) με d ± όπως στην (29). Για τη δίκαιη τιμή έχουμε: Αν Y 1 = h 1 (X T ) = (X T K) + είναι το δικαίωμα της call option και Y 2 = h 2 (X T ) = (K X T ) + είναι το δικαίωμα της put option, τότε είναι: δηλαδή: ρ(y 2 ) = g p (, x) = Ke rt x + g c (, x) που αποτελεί τη σχέση put call parity. ρ(y 2 ) = ρ(y 1 ) x + Ke rt (36) 31

32 2.6 ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥΣ Εχουμε κατ αρχάς ότι X t είναι η ανέλιξη αξίας του δικαιώματος η οποία δίνεται απο το στοχαστικό μοντέλο: X t = x + bx s ds + όπου b R,σ >,x > και T >. σx s db s, t T Ορισμός 7: Ενα αμερικάνικο δικαίωμα προαίρεσης (American option) ορίζεται από μία προσαρμοσμένη μη-αρνητική στοχαστική ανέλιξη (Y t ) t T. Για λόγους απλότητας, θα ασχοληθούμε μόνο με ανελίξεις της μορφής Y = h(x t ), όπου h : (, ) (, ) είναι μη αρνητική Borel συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τη σχέση: h(x) A + Bx, x R + (37) όπου Α,Β είναι μη-αρνητικές σταθερές. Παραδείγματα: 1. Στην περίπτωση ενός American call option έχουμε h(x) = (x K) + και το δικαίωμα αντίστοιχα είναι: Y = (X t K) Στην περίπτωση ενός American put option έχουμε h(x) = (K x) + και το δικαίωμα αντίστοιχα είναι: Y = (K X t ) +. 32

33 Ορισμός 8: που αντι- Ορίζουμε με Φ h το σύνολο των χαρτοφυλακίων ϕ = (ϕ, ϕ 1 ) t T σταθμίζουν τον κίνδυνο για το American option, δηλαδή: Φ h = {ϕ = (ϕ, ϕ 1 ) : t [, T ] Y ϕ t h(x t ), P σ.β.} (38) Θεώρημα 1: Εστω u : [, T ] R + R που ορίζεται ως εξής: u(t, x) = sup τ T t,t E [e r(τ t) h(x exp((r σ2 2 )(τ t) + σ(w τ W t )))] (39) όπου T t,t είναι το σύνολο των χρόνων διακοπής με τιμές στο [t, T ] και {W t, t [, T ]} η στοχαστική ανέλιξη η οποία είναι κίνηση Brown για το μέτρο πιθανότητας Q (Q είναι το ισοδύναμο martingale μέτρο πιθανότητας). Υπάρχει χαρτοφυλάκιο ϕ Φ h τέτοια ώστε: Y ϕ t = u(t, X t ), t [, T ]. Επίσης, για οποιαδήποτε χαρτοφυλάκιο ϕ Φ h, έχουμε: Y ϕ t u(t, X t ), t [, T ]. 33

34 2.7 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΑΓΟΡΑΣ (AMERICAN CALL OPTIONS) Στην περίπτωση των Αμερικάνικων Δικαιωμάτων αγοράς, υπάρχει κλειστή λύση για τη δίκαιη τιμή που μάλιστα συμπίπτει με αυτή των Ευρωπαϊκών Δικαιωμάτων αγοράς. Σχετικό με αυτό είναι το παρακάτω Θεώρημα. Θεώρημα 1: Αν στο Θεώρημα 1 της προηγούμενης παραγράφου δίνεται ότι h(x) = (x K) +, x R, δηλαδή αν έχουμε American call (Αμερικάνικο Δικαίωμα αγοράς) τότε είναι u(t, x) = g c (t, ξ) (4) όπου g c (t, ξ) όπως στην (28). Αυτό, σημαίνει ότι στην περίπτωση της αποτίμησης δικαιωμάτων αγοράς, είτε έχουμε Αμερικάνικο είτε Ευρωπαϊκό δικαίωμα, η λύση δίνεται από την ίδια κλειστή μορφή. Απόδειξη: Κατ αρχάς, θεωρούμε ότι t = (η απόδειξη είναι η ίδια για t > ). Τότε, για οποιονδήποτε χρόνο διακοπής, έχουμε: E (e rτ (X τ K) + ) E (e rt (X T K) + ) = E ( X T e rt K) +. (41) Επίσης, είναι: E (( X T e rt K) + F τ ) E (( X T e rt K) F τ ) = X τ e rt K αφού ( X t ) είναι martingale για το μέτρο πιθανότητας Q. Άρα, αφού r : E (( X T e rt K) + F τ ) X τ e rτ K και επειδή ο αριστερός όρος είναι μη-αρνητικός, λαμβάνουμε: E (( X T e rt K) + F τ ) ( X τ e rτ K) +. 34

35 Παίρνοντας τις μέσες τιμές και των δύο μελών (ως προς το μέτρο πιθανότητας Q) προκύπτει και η αντίστροφη ανισότητα: E [( X T e rt K) + F τ ] E [( X τ e rτ K) + ]. (42) Ετσι, προκύπτει το ζητούμενο. Q.E.D. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην περίπτωση της αποτίμησης Αμερικάνικων δικαιωμάτων πώλησης (American put), η λύση δε δίνεται σε κλειστή μορφή. Ετσι, καταφεύγουμε σε αριθμητικές μεθόδους, ορισμένες από τις οποίες θα παρουσιαστούν στο επόμενο κεφάλαιο. 35

36 2.8 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΩΛΗΣΗΣ (AMERICAN PUT OPTIONS) Οπως είδαμε, είναι: u(t, x) = sup E [Ke r(τ t) x exp( σ2 (τ t) + σ(w τ W t ))] + τ T t,t 2 όπου {W t, t [, T ]} η στοχαστική ανέλιξη η οποία είναι κίνηση Brown για το μέτρο πιθανότητας Q. Για να μελετήσουμε καλύτερα τη συνάρτηση u, θεωρούμε t = (κάτι που μπορεί να επιτευχθεί αντικαθιστώντς το T με T t). Ετσι, είναι: Εχουμε ότι: u(, x) = sup τ T,T E [Ke rτ x exp(σw τ ( σ2 τ 2 ))]+ (43) u(, x) = sup τ T,T E [Ke rτ x exp(σw τ ( σ2 τ 2 ))]+ sup τ T, E [Ke rτ x exp(σw τ ( σ2 τ 2 ))+ I {τ< } ] (44) όπου T, είναι το σύνολο των χρόνων διακοπής της διύλισης (W t ) t και T,T το σύνολο των στοιχείων του T, με τιμές στο [, T ]. Εχουμε λοιπόν για το άνω όριο της (44) ότι: Πρόταση : Αν τότε: u (x) = sup τ T, E [Ke rτ x exp(σw τ ( σ2 τ 2 ))+ I {τ< } ] (45) K x, για x x u (x) = (46) (K x )( x ) γ, για x > x x 36

37 όπου x = K γ 1+γ και γ = 2r σ 2. Απόδειξη: Από τη μορφή της u (x), έχουμε ότι είναι κυρτή, φθίνουσα στο [, ) και ικανοποιεί: u (x) (K x) + και για κάθε T > είναι: u (x) E (Ke rt x exp(σw T ( σ2 T 2 )))+ (47) κάτι που σημαίναι ότι u (x) >, x. Είναι: x = sup{x u (x) = K x}. Ετσι, από τις ιδιότητες της u, έχουμε : u (x) = K x, x x (48) Επίσης, είναι: u (x) > K x, x > x (49) u (x) = E [(Ke rτx x exp(σ τx ( σ2 τ x 2 )))+ I {τx< }] (5) όπου τ x είναι ο χρόνος διακοπής που ορίζεται ως εξής: τ x = inf{t e rt u (X x t ) = e rt (K X x t ) + } (51) και η ανέλιξη (X x t ) ορίζεται από τον τύπο: X x t και έτσι ο τ x είναι ο βέλτιστος χρόνος διακοπής. Από τις σχέσεις (48) και (49), έχουμε ότι: τ x = inf{t X x t = x exp((r σ2 2 )t + σw t) (52) x } = inf{t (r σ2 2 )t + σw t log x }. (53) x Θεωρούμε επίσης για κάθε z R + το χρόνο διακοπής τ x,z που ορίζεται ως εξής: τ x,z = inf{t Xt x z}. 37

38 Ετσι, ο βέλτιστος χρόνος διακοπής είναι ο τ x = τ x,x. Θεωρούμε σταθερό το x και σημειώνουμε με φ την εξής συνάρτηση του z: ( φ(z) = E e rτx,z I {τx,z< }(K Xτ x x,z ) + ). Εφόσον ο τ x,x είναι ο βέλτιστος χρόνος διακοπής, η συνάρτηση φ πετυχαίνει το μέγιστο στο z = x. Εχουμε λοιπόν: Αν z > x, προφανώς είναι: τ x,z = και φ(z) = (K x) +. Αν z x, τότε έχουμε από τη συνέχεια των τροχιών (Xt x ) t ότι: τ x,z = inf{t X x t = z}. και συνεπώς: φ(z) = (K z) + E (e rτx,z I {τx,z< }) = = (K z) + E (e rτx,z ). Χρησιμοποιώντας τώρα την έκφραση των X x t, βλέπουμε ότι για z x είναι: τ x,z = inf{t (r σ2 2 )t + σw t = log( z x )} = με µ = r/σ σ/2. Ετσι, αν θέσουμε για κάθε b R = inf{t µt + W t = 1 σ log( z x )} T b = inf{t µt + W t = b} τότε έχουμε: (K x) +, αν z > x φ(z) = (K z)e (exp( rt log(z/x)/σ )), αν z [, x] [, K], αν z [, x] [K, + ) Το μέγιστο της φ επιτυγχάνεται στο διάστημα [, x] [, K]. Χρησιμοποιώντας τώρα τη f ormula: ( E (e αt b ) = exp µb b ) µ 2 + 2α 38

39 έχουμε: ( z ) γ, φ(z) = (K z) z [, x] [, K] x όπου γ = 2r/σ 2. Η παράγωγος της φ δίνεται από τον τύπο: φ (z) = zγ 1 (Kγ (γ + 1)z). x γ Αν x Kγ/(γ + 1), τότε max z φ(z) = φ(x) = K x. Αν x > Kγ/(γ + 1), τότε max z φ(z) = φ(kγ/(γ + 1)). Q.E.D. Στην περίπτωση δικαιώματος πώλησης Αμερικάνικου τύπου με χρόνο εξάσκησης T, έχουμε ότι για κάθε t [, T ) υπάρχει ένα s(t) R, τέτοιο ώστε: και Από την ανισότητα (44) έχουμε ότι: u(t, x) = K x, x s(t) (54) u(t, x) > (K x) +, x > s(t). (55) s(t) x, t [, T ). Ο αριθμός s(t) ονομάζεται κρίσιμη τιμή (critical price) τη χρονική στιγμή t, δηλαδή αν η τιμή του υποκείμενου αγαθού τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή t είναι μικρότερη από το s(t), τότε ο αγοραστής της option θα πρέπει να εξασκήσει αμέσως το δικαίωμά του. Σε αντίθετη περίπτωση, θα πρέπει να το κρατήσει. Εφόσον μιλάμε για American option, ο κάτοχος της option μπορεί να ε- ξασκήσει πρόωρα το δικαίωμα (εφόσον βέβαια κάτι τέτοιο είναι προς όφελός του). Αυτό το γεγονός, δυσκολεύει την όλη θεώρηση του προβλήματος. Αυτό, γιατί για κάθε χρονική στιγμή t, πρέπει να δούμε αν το συμφέρει να εξασκήσει το δικαίωμά του (διαφορετικά δε θα προβεί σ αυτήν την ενέργεια). Ετσι, 39

40 υπάρχει μία συγκεκριμένη τιμή s(t), η οποία μεταβάλλεται με το χρόνο (είναι διαφορετική για κάθε χρονική στιγμή t) και καθορίζει αν το δικαίωμα θα πρέπει να εξασκηθεί πρόωρα ή όχι. Αν πάρουμε όλες αυτές τις τιμές, θα δούμε ότι σχηματίζουν μία καμπύλη. Μάλιστα, (εφόσον μιλάμε για American put), όσο βρισκόμαστε πάνω από αυτήν την καμπύλη, ο κάτοχος δεν εξασκεί το δικαίωμά του. Αυτό, γίνεται τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ανέλιξή μας X t συναντά την καμπύλη s(t). Πράγματι, αν θεωρήσουμε το σύνολο καθώς και το σύνολο C = {(x, t) R + [, T ) : u(x, t) > (K x) + } C t = {x : (x, t) C} δηλαδή την προβολή των σημείων του C για μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή t στον άξονα των x, τότε φαίνεται ότι: C t = (s(t), ) και αποδεικνύεται επίσης ότι η s(t) είναι αύξουσα και συνεχής. Ετσι, αν (t, X t ) C, τότε u(x, t) > (K X t ) + αν (t, X t ) C c, τότε u(x, t) = (K X t ) +. Αν θεωρήσουμε φ(x) = (K e x ) +, τότε η δίκαιη τιμή του Αμερικάνικου 4

41 Δικαιώματος πώλησης δίνεται από το σύστημα: ( ) u (t, x) + 1 t 2 σ2 x 2 2 u(t, x) + r σ2 u(t, x) x 2 2 x ru(t, x), σ.π. στo [, T ) R u(t, x) φ(x), σ.π. στo [, T ) R ( ( u (u(t, x) φ(x)) (t, x) + 1 t 2 σ2 x 2 2 u(t, x) + r σ2 x 2 2 ) ru(t, x) =, σ.π. στo [, T ) R u(t, x) = φ(x). ) u x (t, x) (56) Θεώρημα : Το σύστημα (56) έχει μοναδική συνεχή φραγμένη λύση u(t, x), τέτοια ώστε οι μερικές της παράγωγοι να ικανοποιούν την απαίτηση: u t, u x, 2 u x 2 L loc(r) (57) με την έννοια των κατανομών, όπου L loc (R) το σύνολο των τοπικά φραγμένων συναρτήσεων. Επιπλέον, αυτή η λύση ικανοποιεί την: ( ) u(t, log(x)) = sup E e r(τ t) σ2 (r h(xe 2 )(τ t)+σ(wτ Wt) ). (58) τ T t,t όπου h(x) = (K x) +. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Επειδή δεν υπάρχει κλειστή μορφή για τη u(t, x), καταφεύγουμε σε αριθμητικές μεθόδους, δύο από τις οποίες παρουσιάζονται στο επόμενο κεφάλαιο. 41

42 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3.1 ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ - CRANK-NICOLSON Εχουμε να λύσουμε αριθμητικά το πρόβλημα: Αν θεωρήσουμε φ(x) = (K e x ) +, να βρεθεί η δίκαιη τιμή του Αμερικάνικου Δικαιώματος πώλησης η οποία δίνεται από το σύστημα (ως η μοναδική φραγμένη λύση u(t, x)): ( ) u (t, x) + 1 t 2 σ2 x 2 2 u(t, x) + r σ2 x 2 2 ru(t, x), σ.π. στo [, T ) R u x (t, x) u(t, x) φ(x), σ.π. στo [, T ) R ( ( u (u(t, x) φ(x)) (t, x) + 1 t 2 σ2 x 2 2 u(t, x) + r σ2 x 2 2 ) ru(t, x) =, σ.π. στo [, T ) R ) u x (t, x) (59) u(t, x) = φ(x) u, u, 2 u t x x 2 L loc (R), µε την ὲννoια των κατανoµὼν. Αυτό που ουσιαστικά πετυχαίνουμε με τη μέθοδο Crank N icolson είναι μία προσέγγιση για την u(t, x). Αυτή η προσέγγιση προκύπτει ως ο μέσος όρος της προς τα μπρος και της προς τα πίσω διακριτοποίησης (ανάπτυξη των μερικών παραγώγων σε σειρές T aylor). Ετσι, έχουμε (παντού είναι m και N < n < N +, με N, N + αρκετά μεγάλους αριθμούς): 42

43 Προς τα μπρος διακριτοποίηση: u m+1 n u m n δτ + O(δτ) = um n+1 2u m n + u m n 1 (δx) 2 + O((δx) 2 ). (6) Προς τα πίσω διακριτοποίηση: u m+1 n u m n δτ + O(δτ) = um+1 n+1 2u m+1 n + u m+1 n 1 + O((δx) 2 ). (61) (δx) 2 Ο μέσος όρος των (6) και (61) μας δίνει: = 1 2 (um n+1 2u m n + u m n 1 (δx) 2 u m+1 n u m n δτ + O(δτ) = + um+1 n+1 2u m+1 n + u m+1 n 1 ) + O((δx) 2 ). (62) (δx) 2 Αγνοώντας τους όρους του σφάλματος O(δτ) και O((δx) 2 ), προκύπτει: u m+1 n 1 2 α(um+1 n+1 2u m+1 n + u m+1 n 1 ) = όπου α = δτ/(δx) 2. = u m n α(um n+1 2u m n + u m n 1) (63) Αυτό που απομένει είναι να επιλυθεί το σύστημα των εξισώσεων (63). Θα υπολογίσουμε πρώτα τα: Z m n = (1 α)u m n α(um n+1 + u m n 1) (64) και στη συνέχεια θα επιλύσουμε το σύστημα: (1 + α)u m+1 n 1 2 α(um+1 n+1 + u m+1 n 1 ) = Zn m (65) 43

44 ή αλλιώς όπου: και Cu m+1 = b m (66) 1 + α 1α 2 1α 1 + α 1α. 2 2 C = 1 2 α α 2 1α 1 + α 2 b m = u m+1 = h m+1 = Z m N +1. Z m. Z m N + 1 u m+1 N +1. u m+1. u m+1 N + 1 h m+1 N +1. h m+1. h m+1 N α u m+1 N. u m+1 N + (67) (68) (69). (7) όπου h m+1 ο πίνακας των συνοριακών συνθηκών τη χρονική στιγμή t. Για να λυθεί το σύστημα (66), πρώτα σχηματίζουμε τον πίνακα b m και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε μία μέθοδο SOR (Successive Over Relaxation), την SOR projected. Το όλο πρόβλημα σε μορφή πινάκων γράφεται: Cu m+1 b m (71) 44

45 u m+1 h m+1 (72) (u m+1 h m+1 ) (Cu m+1 b m ) = (73) 45

46 3.1.1 ΜΕΘΟΔΟΣ SOR Κατ αρχάς έχουμε: u m+1,k+1 n = u m+1,k n + (u m+1,k+1 n u m+1,k n ) (74) Καθώς η ακολουθία u m+1,k n συγκλίνει στο u m+1 n όσο k, ο όρος (un m+1,k+1 un m+1,k ) μπορεί να θεωρηθεί σα μία διόρθωση που προστίθεται στο u m+1,k n για να προσεγγίσει στο u m+1 n. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι μία επιπλέον μικρή διόρθωση ώστε η ακολουθία να συγκλίνει πιο γρήγορα. Ετσι, θεωρούμε: και y m+1,k+1 n = u m+1,k+1 n α (bm n + α(u m+1,k+1 n 1 u m+1,k n+1 )) (75) = u m+1,k n + ω(y m+1,k+1 n u m+1,k n ) (76) όπου yn m+1,k+1 η τιμή για την un m+1,k+1 που μας δίνει η μέθοδος Gauss Seidel και ω > 1 είναι η επιπλέον διόρθωση. Αποδεικνύεται ότι ο αλγόριθμος SOR συγκλίνει στη σωστή λύση αν α > και < ω < 2. Μάλιστα, μπορεί επίσης να δειχθεί ότι υπάρχει βέλτιστη τιμή για το ω, στο διάστημα (1,2) η οποία οδηγεί σε πολύ γρηγορότερη σύγκλιση της μεθόδου. Υπάρχει τρόπος υπολογισμού αυτής της βέλτιστης τιμής, αλλά είναι αρκετά επίπονος. Ετσι, είναι πιο πρακτικό να αλλάζουμε το ω σε κάθε χρονικό βήμα μέχρις ότου βρεθεί μία τιμή η οποία θα ελαχιστοποιεί τον αριθμό των επαναλήψεων του SOR loop. 46

47 3.1.2 ΜΕΘΟΔΟΣ SOR projected Στον αλγόριθμο της SOR μεθόδου εφαρμόζουμε την Crank N icolson και προκύπτει: και yn m+1,k+1 = α (bm n + α(u m+1,k+1 n 1 u m+1,k n+1 )) (77) u m+1,k+1 n = u m+1,k n + ω(y m+1,k+1 n u m+1,k n ). (78) Αν επαναλάβουμε αυτές τις εξισώσεις έως ότου υπάρξει ικανοποιητική σύγκλιση του u m+1,k n στο u m+1 n, τότε καταλήγουμε στη λύση του συστήματος (66). Για να ικανοποιείται η (72), αρκεί να μορφοποιήσουμε την (78) ως εξής: u m+1,k+1 n = max(u m+1,k n + ω(y m+1,k+1 n Δηλαδή, συνολικά έχουμε να υπολογίσουμε τα: u m+1,k+1 n u m+1,k n ), h m+1 n ). (79) yn m+1,k+1 = α (bm n + α(u m+1,k+1 n 1 u m+1,k n+1 )) (8) = max(u m+1,k n + ω(y m+1,k+1 n u m+1,k n ), h m+1 n ). (81) μέχρι η διαφορά u m+1,k+1 u m+1,k να γίνει τόσο μικρή, ώστε να αμελητέα. Τότε, θα βάλουμε u m+1 = u m+1,k+1. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αναλυτικά ο κώδικας της μεθόδου Crank Nicolson με τη χρήση της SOR projected, παρατίθεται στο παράρτημα. 47

48 3.2 ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ Οι διωνυμικές μέθοδοι βασίζονται σε κάποιες βασικές ιδέες. Πρώτον, θεωρούμε ότι ένας συνεχής τυχαίος περίπατος μπορεί να μοντελοποιηθεί από ένα διακριτό τυχαίο περίπατο με τις εξής ιδιότητες: Η τιμή του υποκειμένου αλλάζει μόνο σε διακριτές χρονικές στιγμές δt, 2δt, 3δt,..., Mδt = T, όπου Τ ο χρόνος εξάσκησης. Αν σε μία χρονική στιγμή mδt η τιμή του υποκειμένου είναι X m, τότε τη χρονική στιγμή (m + 1)δt η καινούρια τιμή θα είναι είτε gx m > X m, είτε dx m < X m (g 1 >, d 1 < ). Η πιθανότητα p είναι γνωστή (άρα και η 1 p). Εμείς, θα θεωρήσουμε p = 1/2. Ξεκινάμε με μία δοθείσα αρχική τιμή του υποκειμένου και χωρίζουμε την υ- πολοιπόμενη διάρκεια μέχρι το χρόνο εξάσκησης του δικαιώματος σε Μ βήματα μεγέθους δt = (T t)/m. Σημειώνουμε ότι η τιμή του υποκειμένου μεταβάλλεται μόνο τις χρονικές στιγμές mδt, m = 1, 2,..., M. Ετσι, ξεκινώντας από την τιμή Χ του υποκειμένου, δημιουργείται ένα δέντρο όλων των πιθανών του τιμών. Στο πρώτο χρονικό βήμα δημιουργούνται δύο πιθανές τιμές, η gx και η dx, στο δεύτερο χρονικό βήμα δημιουργούνται τρεις πιθανές τιμές, η g 2 X, η gdx και η d 2 X κ.ο.κ. μέχρι και το χρόνο εξάσκησης. Σημειώνουμε επίσης ότι, η τιμή του υποκειμένου που προκύπτει από ένα βήμα προς τα πάνω ακολουθούμενο από ένα βήμα προς τα κάτω,είναι η ίδια με αυτήν που προκύπτει από ένα βήμα προς τα κάτω ακολουθούμενο από ένα βήμα προς τα πάνω. Ετσι, μετά από m βήματα, οι πιθανές τιμές είναι m + 1. Δεύτερον, σ αυτές τις μεθόδους θεωρούμε ότι υπάρχει ουδετερότητα κινδύνου. Ετσι, μπορούμε σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή να αντισταθμίσουμε τον κίνδυνο για το χαρτοφυλάκιο που διαθέτουμε. Γνωρίζουμε ότι ισχύει: dx = σxdu + µxdt (82) όπου dy είναι τ.μ. με dy (, dt), σ είναι η μεταβλητότητα και µ είναι ένα μέτρο του αναμενόμενου ρυθμού αύξησης της τιμής του χαρτοφυλακίου. Μπο- 48

49 ρούμε να αντικαταστήσουμε το µ από το ετήσιο επιτόκιο r. Ετσι, προκύπτει: dx X = σdu + rdt. (83) Ετσι, η τιμή του συμβολαίου στο χρονικό βήμα mδt δίνεται από τον τύπο: u m = E[e rδt u m+1 ]. (84) Αυτό που κάνουμε στις διωνυμικές μεθόδους είναι κατ αρχάς να κατασκευάζουμε το δέντρο των πιθανών τιμών του χαρτοφυλακίου. Στη συνέχεια, με τη χρήση του δέντρου, υπολογίζουμε τις πιθανές τιμές κατά το χρόνο εξάσκησης καθώς και τις τιμές του συμβολαίου κατά τις χρονικές στιγμές m (σχέση (84) ). Τέλος, μας δίνεται η δυνατότητα να ελέγξουμε αν είναι συμφέρουσα πιθανή πρόωρη εξάσκηση του δικαιώματός μας (για την περίπτωση των Αμερικάνικων options). Ο διακριτός τυχαίος περίπατος: Τα p, g, d επιλέγονται έτσι ώστε ο διακριτός τυχαίος περίπατος που απεικονίζεται στο δέντρο και ο συνεχής τυχαίος περίπατος (83) να έχουν την ίδια μέση τιμή και την ίδια διασπορά. Στην περίπτωση του συνεχούς τ.π., δοθείσης της τιμής του συμβολαίου X m τη χρονική στιγμή mδt, έχουμε για την αναμενόμενη τιμή X m+1 : ( ) E c [X m+1 X m ] = X p X m, mδt; X, (m + 1)δt dx = e rδt X m όπου p(x, t; X, t ) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: ( p(x, t; X, t 1 ) = σx 2π(t t) e log(x /X) (r 1 2 σ2 )(t t) Στην περίπτωση του διακριτού τ.π., δοθείσης της τιμής του συμβολαίου X m τη χρονική στιγμή mδt, έχουμε για την αναμενόμενη τιμή X m+1 : ( ) E b [X m+1 X m ] = pg + (1 p)d X m. Εξισώνοντας τις δύο αυτές σχέσεις, προκύπτει: pg + (1 p)d = e rδt. (85) 49 ).

50 και και Η διασπορά της X m+1, δοθείσης της X m, είναι: var[x m+1 X m ] = E[(X m+1 ) 2 X m ] E[X m+1 X m ] 2. Για το συνεχή τ.π. είναι: E c [(X m+1 ) 2 X m ] = Για το διακριτό τ.π. είναι: ( ) (X ) 2 p X m, mδt; X, (m + 1)δt dx = = e (2r+σ2 )δt (X m ) 2 var c [X m+1 X m ] = e 2rδt (e σ2 δt 1)(X m ) 2. E b [(X m+1 ) 2 X m ] = (pg 2 + (1 p)d 2 ) (X m ) 2 var b [X m+1 X m ] = e 2rδt (e σ2 δt 1)(X m ) 2. και χρησιμοποιώντας την (85) έχουμε: ) var b [X m+1 X m ] = (pu 2 + (1 p)d 2 e 2rδt (X m ) 2. Εξισώνοντας τώρα τις διασπορές var c, var b προκύπτει: pg 2 + (1 p)d 2 = e (2r+σ2 )δt. (86) Οι σχέσεις (85) και (86) αποτελούν δύο από τις τρεις απαιτούμενες για τους αγνώστους p, g, d. Η τρίτη σχέση προκύπτει από τις σχέση g >, d >, p 1 και είναι μία από τις εξής: g = 1 d p = 1 2 Εμείς επιλέγουμε την p = 1/2. Ετσι, βρίσκουμε ότι: g + d = 2e rδt 5

51 από όπου προκύπτει: g 2 + d 2 = 2e (2r+σ2 )δt ) d = e (1 rδt e σ2 δt 1 ) g = e (1 rδt + e σ2 δt 1 (87) (88) p = 1 2. (89) Αν θεωρηθεί πολύ μεγάλο το βήμα (μεγάλο δt), η μέθοδος ενδέχεται να αποτύχει. Με χρήση των παραπάνω σχέσεων κατασκευάζουμε το διωνυνικό δέντρο ξεκινώντας από τη χρονική στιγμή t = όπου η τιμή του υποκειμένου είναι X. Στο επόμενο χρονικό βήμα δt, υπάρχουν δύο πιθανές τιμές, X1 1 = gx, X 1 = dx. Στο χρονικό βήμα 2δt, οι πιθανές τιμές είναι τρεις, X2 2 = g 2 X, X1 2 = gdx, X 2 = d 2 X. Στο τρίτο χρονικό βήμα, οι πιθανές τιμές είναι 4 κ.ο.κ. Ετσι, στο m χρονικό βήμα mδt, οι πιθανές τιμές είναι m + 1Χ X m n = g n d m n X, n =, 1,..., m. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εφόσον οι κλάδοι του δέντρου επανεννώνονται, η ιστορία του κάθε συμβολαίου χάνεται αφού υπάρχουν περισσότερες από μία διαδρομές για να καταλήξουμε σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Στην περίπτωση των Αμερικάνικων options, χωρίζουμε το χρόνο εξάσκησης σε Μ διαστήματα μήκους δt = T/M και φτιάχνουμε το δέντρο με τις τιμές X m n, n =, 1,..., m. Κατά τη χρονική στιγμή M δt,μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανές τιμές από την payof f συνάρτηση. 51

52 Για τα Αμερικάνικα δικαιώματα πώλησης (American puts), έχουμε την payof f συνάρτηση : u m n = max(e X m n, ), n =, 1,..., M. (9) Για τα Αμερικάνικα δικαιώματα αγοράς (American calls), έχουμε την payof f συνάρτηση : u m n = max(x m n E, ), n =, 1,..., M. (91) Εφόσον μιλάμε για Αμερικάνικα δικαιώματα, υπάρχει η δυνατότητα για πρόωρη εξάσκηση. Στην περίπτωση που το δικαίωμα διατηρείται, η αξία του u m n είναι, όπως στην περίπτωση των Ευρωπαϊκών δικαιωμάτων : u m n = e rδt (pu m+1 n+1 + (1 p)u m+1 n ). Τελικά, η αξία των δικαιωμάτων είναι το μέγιστο των δύο πιθανοτήτων: ( ) u m n = max payoff(xn m ), e rδt (pu m+1 n+1 + (1 p)u m+1 n ). (92) Ετσι,για τα Αμερικάνικα δικαιώματα πώλησης έχουμε: ( ) u m n = max max(e Xn m, ), e rδt (pu m+1 n+1 + (1 p)u m+1 n ) (93) και για τα Αμερικάνικα δικαιώματα αγοράς έχουμε: ( ) u m n = max max(xn m E, ), e rδt (pu m+1 n+1 + (1 p)u m+1 n ). (94) Το δέντρο των τιμών Xn m κατασκευάζεται και αποθηκεύεται. Τότε, υπολογίζουμε την τιμή της payof f συνάρτησης και ανατρέχοντας στο δέντρο, βρίσκουμε την αξία του δικαιώματος. Αυτό που γίνεται επιπλέον είναι ένας έ- λεγχος σε κάθε βήμα για να αποφανθούμε τι μας συμφέρει, η πρόωρη εξάσκηση του δικαιώματος ή η διατήρησή του. 52

53 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ 4.1 ΑΠΟΤΕΛΑΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ CRANK-NICOLSON ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ AMERICAN PUT Ολα τα παρακατω αποτελάσματα προέκυψαν από το πρόγραμμα (σε περιβάλλον C + +) που παρατίθεται στο παράρτημα. Στα παραδείγματα αυτά έχουμε παντού ότι η τιμή εξάσκησης Κ είναι 1, η αρχική τιμή του προϊόντος S είναι 9, n [, 19], δηλαδή N = και N + = 19. Τέλος, ο μέγιστος αριθμός βημάτων Μ είναι 16. Αυτό που αλλάζει ανάλογα με το παράδειγμα είναι η τιμή του επιτοκίου r καθώς και η μεταβλητότητα (volatility) s. Τέλος, Τ είναι ο μέγιστος χρόνος εξάσκησης του συμβολαίου. Οι δυνατές τιμές του Τ είναι 1 έτος (365 ημέρες),.75 του έτους (273 ημέρες),.5 του έτους (182 ημέρες),.25 του έτους (91 ημέρες). 1. s =.1 r =.5 Χρόνος εξάσκησης Τ Τιμή συμβολαίου τη χρονική (σε έτη) στιγμή t = (premium)

54 r =.1 Χρόνος εξάσκησης Τ Τιμή συμβολαίου τη χρονική (σε έτη) στιγμή t = (premium) s =.2 r =.5 Χρόνος εξάσκησης Τ Τιμή συμβολαίου τη χρονική (σε έτη) στιγμή t = (premium) r =.1 Χρόνος εξάσκησης Τ Τιμή συμβολαίου τη χρονική (σε έτη) στιγμή t = (premium)

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: x Απόγευμα: Θεματική ενότητα: 1. Το βήτα (beta) της μετοχής Α είναι 1,62 ενώ το βήτα (beta) της μετοχής Β είναι -1,62. Αν το ακίνδυνο επιτόκιο είναι 0,6%, η απόδοση της

Διαβάστε περισσότερα

(1) P(Ω) = 1. i=1 A i) = i=1 P(A i)

(1) P(Ω) = 1. i=1 A i) = i=1 P(A i) Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Το συνεχές μοντέλο συνεχούς χρόνου Σ. Ξανθόπουλος Παν. Αιγαίου Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 Χειμερινό Εξάμηνο 2015-2016 1 / Σύνοψη 1 Προκαταρκτικά 2 Διαδικασία Wiener ή Κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: x Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Χρηματοοικονομικά πρότυπα. Στις χρονικές στιγμές και 2 θα πληρωθεί από αντίστοιχα. Ποιο επιτόκιο εξασφαλίζει ότι η διασπορά της μέσης διάρκειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.kouras@fm.aga.gr Τηλ: 7035468 Κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 (1) Γνωρίζουμε ότι η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου δίνεται από

Θέμα 1 (1) Γνωρίζουμε ότι η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου δίνεται από 1 ΔΕΟ31 - Λύση 3ης γραπτής εργασίας 2013-14 Θέμα 1 (1) Γνωρίζουμε ότι η αξία του προθεσμιακού συμβολαίου δίνεται από f ( S I ) Ke t t t r( T t) Aρχικά βρίσκουμε τη παρούσα αξία των μερισμάτων που πληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!!

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!! Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: x Απόγευμα: Θεματική ενότητα:χρηματοοικονομικά πρότυπα, ΚΩΔ Αε Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!! 1/10 1. Ο κίνδυνος της αγοράς είναι σ Μ = 28%. Τέσσερις μετοχές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!!

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!! Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: Απόγευμα: x Θεματική ενότητα:χρηματοοικονομικά πρότυπα, ΚΩΔ Αε Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!! 1/6 1. Η μετοχή Sέχει σημερινή τιμή S 0 και οι μελλοντικές της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 13/7/2016 Πρωί: x Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Χρηματοοικονομικά Πρότυπα, Κωδ. Αε 1. Στις χρονικές στιγμές 1 και 2 θα πληρωθεί από 1 αντίστοιχα. Ποιο επιτόκιο εξασφαλίζει ότι

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 7: ΠΡΟΘΕΣΜΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 7: ΠΡΟΘΕΣΜΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 7: ΠΡΟΘΕΣΜΙΑΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑΙΑ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΑ. Στέλιος Ξανθόπουλος

ΠΑΡΑΓΩΓΑ. Στέλιος Ξανθόπουλος ΠΑΡΑΓΩΓΑ Στέλιος Ξανθόπουλος Εισαγωγικά Ένα παράγωγο συµβόλαιο είναι ένα αξιόγραφο η αξία του οποίου εξαρτάται από τις αξίες άλλων «πιο βασικών» υποκείµενων µεταβλητών. Τα παράγωγα συµβόλαια είναι επίσης

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

2. Η μέθοδος του Euler

2. Η μέθοδος του Euler 2. Η μέθοδος του Euler Ασκήσεις 2.5 Έστω a = t 0 < t 1 < < t N = b ένας διαμερισμός του [a, b]. Υποθέστε ότι ο διαμερισμός είναι ημιομοιόμορφος, ότι υπάρχει δηλαδή θετική σταθερά µ, ανεξάρτητη του N, τέτοια

Διαβάστε περισσότερα

{F W t } 0 t T = σ(w k (s), s t, 1 k) L 2 ([0, T ])

{F W t } 0 t T = σ(w k (s), s t, 1 k) L 2 ([0, T ]) Αναλυτικές και Αριθμητικές Λύσεις Υπερβολικών Στοχαστικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos Ε. Α. Καλπινέλλη Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σεπτέμβριος 2011 Εισαγωγή Μέσω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: Πρωί: Απόγευμα: x Θεματική ενότητα: 1. (α) (3 βαθμοί) Οι τιμές δύο παράγωγων προϊόντων Χ και Υ σε κάθε χρονική στιγμή είναι X και Y με X = e s2 dw s και Y = X 2 e 2s2 ds, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή. Κοκολάκης Γεώργιος

Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή. Κοκολάκης Γεώργιος Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγα προϊόντα ονομάζονται εκείνα τα οποία παράγονται από πρωτογενείς στοιχειώδους τίτλους όπως μετοχές, δείκτες μετοχών, πετρέλαιο, χρυσός, πατάτες, καλαμπόκι, κλπ. Τα είδη των παραγώγων προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 4: Υποδείγματα πιστωτικού κινδύνου. The Merton's Structural Model

ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου. Πιστωτικός Κίνδυνος. Διάλεξη 4: Υποδείγματα πιστωτικού κινδύνου. The Merton's Structural Model ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πιστωτικός Κίνδυνος Διάλεξη 4: Υποδείγματα πιστωτικού κινδύνου The Merton's Structural Model Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipigr http://webxrhunipigr/faculty/anthropelos

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Αντιστάθμιση του Κινδύνου ενός Χαρτοφυλακίου μέσω των Χρηματοοικονομικών Παραγώγων

Αντιστάθμιση του Κινδύνου ενός Χαρτοφυλακίου μέσω των Χρηματοοικονομικών Παραγώγων Αντιστάθμιση του Κινδύνου ενός Χαρτοφυλακίου μέσω των Χρηματοοικονομικών Παραγώγων Αντιστάθμιση του Κινδύνου ενός Χαρτοφυλακίου μέσω των Χρηματοοικονομικών Παραγώγων Συστηματικός Κίνδυνος Συνολικός Κίνδυνος

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 9. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα 9. Περιεχόμενα Περιεχόμενα 9 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 15 1. Οικονομικές και Χρηματοπιστωτικές Κρίσεις... 21 2. Χρηματοπιστωτικό Σύστημα... 31 2.1. Ο Ρόλος και οι λειτουργίες των κεντρικών τραπεζών... 31 2.2. Το Ελληνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Απόστολος Γ. Χριστόπουλος

Απόστολος Γ. Χριστόπουλος axristop@econ.uoa.gr Προπαρασκευαστικό μάθημα στο ΤΕΙ Πειραιά Θέμα: Παράγωγα Προϊόντα Παράγωγα προϊόντα Προθεσμιακές Συμφωνίες Συμφωνίες Ανταλλαγών Συμβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωσης Δικαιώματα Προαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ 31 Χρηματοοικονομική ιοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΔΕΟ 31 Χρηµατοοικονοµική Διοίκηση Ακαδηµαϊκό Έτος: 2013-2014 Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Χρηματοοικονομικά Παράγωγα

Εισαγωγή στα Χρηματοοικονομικά Παράγωγα Εισαγωγή στα Χρηματοοικονομικά Παράγωγα Αχιλλέας Ζαπράνης Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Θέματα Ορισμοί Προθεσμιακές Συμβάσεις (forwards) Συμβόλαια Μελλοντικής Εκπλήρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b

pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να εξετάσει και να παρουσιάσει τις

Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να εξετάσει και να παρουσιάσει τις Κεφάλαιο 9 Στρατηγικές τοποθέτησης σε δικαιώματα προαίρεσης Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να εξετάσει και να παρουσιάσει τις βασικότερες στρατηγικές που μπορούν να σχηματιστούν με χρήση δικαιωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

H τιμολόγηση των δικαιωμάτων με το υπόδειγμα Black Scholes

H τιμολόγηση των δικαιωμάτων με το υπόδειγμα Black Scholes TΟΜΟΣ Γ - ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ Μάθημα 19 H τιμολόγηση των δικαιωμάτων με το υπόδειγμα Black Scholes Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε ορισμένα από τα χαρακτηριστικά των δικαιωμάτων χρησιμοποιώντας τις τιμές των δικαιωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ 31 Χρηματοοικονομική ιοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2011-2012 Γραπτή Εργασία 3 Παράγωγα Αξιόγραφα Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Αα) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ 5 Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΓΩΓ Παράγωγο ονομάζεται ένας τίτλος ο οποίος βασίζεται στην ύπαρξη ενός στοιχειώδους αγαθού, δηλαδή σε ένα υλικό αγαθό ή και σε έναν άυλο τίτλο. Για παράδειγμα μπορεί να υπάρξει παράγωγο πάνω στο χρυσό,

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t

S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014

Διαβάστε περισσότερα

2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2 dx = 1. (13.1) e x2 dx. e y2 dy, I = 2. e (y2 +z 2) dy dz.

2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2 dx = 1. (13.1) e x2 dx. e y2 dy, I = 2. e (y2 +z 2) dy dz. Κεφάλαιο 3 Κ.Ο.Θ.: Λίγη θεωρία και αποδείξεις Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε τέσσερις αποδείξεις αποτελεσμάτων που σχετίζονται με την κανονική κατανομή και το Κ.Ο.Θ., οι οποίες είναι αρκετά πιο απαιτητικές,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 14 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 14 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (9 π.μ. π.μ.) . Μια

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΟΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Άσκηση 1 (τελικές 2011 θέμα 3)

Γ ΤΟΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Άσκηση 1 (τελικές 2011 θέμα 3) Γ ΤΟΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 (τελικές 2011 θέμα 3) Ένας επενδυτής έχει αγοράσει μία μετοχή. Για να προστατευτεί από πιθανή μικρή πτώση της τιμής της μετοχής λαμβάνει θέση αγοράς σε ένα δικαίωμα

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης Π.Μ.Σ. στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου «Τιμολόγηση Δικαιωμάτων Προαίρεσης μέσω Monte Carlo» άι015 Κατσένιου Ευτυχία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέματα Διαχείρισης Κινδύνου. Μεταβλητότητα (Volatility)

Ειδικά Θέματα Διαχείρισης Κινδύνου. Μεταβλητότητα (Volatility) Ειδικά Θέματα Διαχείρισης Κινδύνου Μεταβλητότητα (Volatility) Σημασία της μέτρησης της μεταβλητότητας Σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή ένα χρημ/κό ίδρυμα είναι εκτεθειμένο σε έναν μεγάλο αριθμό μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 3ης Άσκησης

Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παράλληλος προγραμματισμός για αρχιτεκτονικές κατανεμημένης μνήμης με MPI Συστήματα Παράλληλης Επεξεργασίας 9ο Εξάμηνο, ΣΗΜΜΥ Εργ. Υπολογιστικών Συστημάτων Σχολή ΗΜΜΥ, Ε.Μ.Π. Νοέμβριος

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { } Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1.

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1. Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, (4.1.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη : Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων Χειμερινό εξάμηνο 008 Προηγούμενη παρουσίαση... Γράψαμε τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN

Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΛΑΝΔΡΑΚΗ ΓΑΡΥΦΑΛΙΑ Επιβλέπων καθηγητής : Μακριδάκης Χαράλαμπος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1. Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN 1.1 Προκαταρκτικά 1.2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2004 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 28 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2004

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2004 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 28 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2004 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 004 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 004 ΠΡΩΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (9 π.μ.) . Αν δ t,

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΘΕΜΑ 4 Υποθέστε ότι είστε ο διαχειριστής του αµοιβαίου κεφαλαίου ΑΠΟΛΛΩΝ το οποίο εξειδικεύεται σε µετοχές µεγάλης κεφαλαιοποίησης εσωτερικού. Έπειτα από την πρόσφατη ανοδική πορεία του Χρηματιστηρίου

Διαβάστε περισσότερα