1. PROJICIRANJE Uvod

Transcript

1 1. PROJICIRANJE 1.1. Uvod Nacrtna geometrija je znanost o egzaktnim metodama koje omogućuju prikazivanje prostornih, trodimenzionalnih objekata na nekoj dvodimenzionalnoj ravnini i rješavanje prostornih problema u ravnini konstruktivno-geometrijskim putem. Dakle, metodama nacrtne geometrije prikazujemo trodimenzionalni objekt crtežom u ravnini (list papira) tako da taj crtež kod promatrača budi što točniju predodžbu o tom prostornom objektu. Radi se o dvosmjernom procesu: s jedne strane izgled prostornog predmeta prenosimo u dvodimenzionalni crtež, a s druge strane, iz promatranja dvodimenzionalnog crteža stvaramo si trodimenzionalnu predodžbu predmeta. Nastala je iz potpuno praktičnih potreba, prije svega tehnike (brodogradnja, gradevinarstvo, strojarstvo), astronomije (projiciranje prirodnih nebeskih tijela), geografije (kartografija), arhitekture i slikarstva (perspektiva). Kroz povijest, ljudi su pokušavali predmete iz okoline prikazivati u obliku crteža. Dio tih crteža nastao je kao izraz estetsko-umjetničke potrebe iz kojih se kasnije razvila likovna umjetnost, no s razvojem graditeljstva pojavljuju se crteži koji služe kao praktična pomoć. Prve ideje nacrtne geometrije mogu se naći već u Starom Egiptu. Prva pisana rasprava o idejama nacrtne geometrije je Vitruvijeva De architectura (oko 25 g. pr. Krista) (Marcus Vitruvius Pollio, graditelj Julija Cezara). Tlocrt samostana u St. Gallenu iz 9. st. je najstariji sačuvani tlocrt. Tehničke crteže možemo pratiti kroz stoljeća, ali nedostaju upute kako su izradivani. Ideje perspektive prvi je u svojoj knjižici opisao njemački slikar Albrecht Dürer ( ). Znanstveni temelj nacrtne geometrije dao je francuski matematičar i fizičar Gaspard Monge ( ) [čitamo: monž] u djelu Géométrie descriptive (1795.ili u izvorima različite godine). U tom je djelu Monge objedinio i

2 1 Projiciranje 4 prikazao postupke tehničkog crtanja sistematično, generalizirano i s jednoznačnim objašnjenima. Naime, i prije su se u gradevinarstvu i arhitekturi koristila znanja nacrtne geometrije, ali su bila specijalizirana, prilagodena svakoj struci i svakom problemu posebno i nije se uočavala ideja koja bi objedinila sve te metode. To je prvi put napravio G. Monge, a zbog izuzetnog značaja, njegove metode proglašene su vojnom tajnom, a predavanja koja je držao na pariškoj École Normale smjela su biti objavljena tek godinama kasnije. Nacrtna je geometrija pružila prirodne osnove i pomoć za razvoj nekih grana matematike kao što su afina i projektivna geometrija, fotogrametrija, kartografija, nomografija. Osim toga, ideja preslikavanja najprije je uzeta iz nacrtne geometrije i proširila se u sve grane matematike i drugih znanosti Projiciranje Opišimo prostor u kojemu ćemo rješavati probleme nacrtne geometrije. Radi se o trodimenzionalnom, intuitivno poimanom prostoru, tzv. euklidskom prostoru. Aksiomatsko zasnivanje tog prostora opisano je u knjigama Elementarna matematika I i II, ([6], [7]). U njemu postoje tri vrste osnovnih objekata koji se ne definiraju: točke, pravci i ravnine. Kao što je uobičajeno, točke ćemo označavati velikim latinskim slovima, pravce malim latinskim slovima, a ravnine malim grčkim slovima. Dogovorno ćemo pravce i ravnine smatrati skupovima točaka koje su incidentne s njima, iako bi točnije bilo govoriti o nizu točaka pravca ili o polju točaka ravnine. Svojstva osnovnih objekata prostora E dana su aksiomima. Aksiomi incidencije (pripadanja) A1. Za svake dvije različite točke prostora postoji jedinstveni pravac kojemu one pripadaju. A2. Svakom pravcu pripadaju barem tri različite točke. A3. U svakoj ravnini postoje tri točke koje ne pripadaju jednom pravcu. A4. Za svaku ravninu prostora postoje točke koje joj pripadaju i koje joj ne pripadaju. A5. Ako dvije različite ravnine imaju zajedničku točku, onda one imaju zajednički i čitav pravac koji nazivamo presječnica ravnina. A6. Ako dva različita pravca imaju zajedničku točku, onda postoji jedna i samo jedna ravnina koja sadrži te pravce.

3 1 Projiciranje 5 Aksiomi uredaja A7. Na svakom pravcu ravnine postoje točno dva medusobno suprotna linearna uredaja. A8. Paschov aksiom. Neka su pravac i trokut u jednoj ravnini. Ako pravac siječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom na toj stranici, onda on siječe bar još jednu stranicu. Aksiomi metrike A9. Postoji funkcija d : E E R takva da je a) d(a, B) 0, A, B E, d(a, B) = 0 akko A = B, b) d(a, B) =d(b,a), A, B E, c) d(a, B) d(a, C)+d(C, B), A, B, C E. Aksiomi simetrije A10. Za svaki pravac p jedne ravnine π postoji jedinstvena izometrija s p : π π različita od identitete, za koju je s p (T )=T za svaku točku T pravca p. A11. Za svaki par (Ox, Oy) polupravaca jedne ravnine π s vrhom u O postoji bar jedan pravac p π takav da je s p (Ox) =Oy. Aksiom o paralelama A12. Neka točka T i pravac p leže u jednoj ravnini, T / p. U toj ravnini postoji najviše jedan pravac q paralelan s p. Da bismo pojednostavnili neke formulacije uvodimo još i tzv. neprave elemente. Točkama jednog pravca dodajemo još jednu točku tzv. nepravu ili beskonačno daleku točku tog pravca, a koju definiramo kao točku u kojoj se sijeku svi pravci paralelni s njime. Sve neprave točke pravaca jedne ravnine i samo one, čine jedan pravac koji nazivamo nepravi ili beskonačno daleki pravac te ravnine. Nacrtna geometrija svodi konstruktivne probleme prostora na konstruktivne probleme ravnine. Da bi se to postiglo, potrebno je prostornu figuru preslikati u ravninsku figuru. Ovakva preslikavanja nazivamo projiciranja prostora na ravninu. Definicija 1.1. Neka je π ravnina prostora E, te neka je S neka čvrsta točka tog prostora koja ne pripada ravnini π. Centralno projiciranje na ravninu π sa središtem S je preslikavanje koje svakoj točki A, A S, prostora pridružuje probodište pravca AS i ravnine π.

4 1 Projiciranje 6. Ravninu π nazivamo ravninom projekcije, točku S nazivamo središtem projiciranja, pravce kroz središte S nazivamo zrakama projiciranja, a slika neke figure naziva se projekcija. Neka je π v ravnina točkom S paralelna s ravninom projekcije. Slika prave točke A koja ne leži u π v, po definiciji je jednaka točki u kojoj pravac AS probada ravninu π. Ako točka A leži u ravnini π v, tada je pravac AS paralelan s ravninom π i njihov presjek je neprava točka pravca AS. Osnovna svojstva projiciranja su sljedeća: 1. Projekcija pravca p koji ne prolazi točkom S je pravac p u ravnini π. Restrikcija projiciranja s pravca p na pravac p je bijekcija. Projekcija svake zrake projiciranja je probodište te zrake i ravnine π. 2. Projekcija ravnine τ koja ne sadrži središte S je ravnina π i ta je restrikcija bijektivna. Projekcija ravnine koja sadrži središte je presječnica te ravnine i ravnine π. Definicija 1.2. Neka je dana ravnina π prostora E, te neka je s neki čvrsti pravac

5 1 Projiciranje 7 tog prostora koji nije paralelan s ravninom π. Paralelno projiciranje na ravninu π u smjeru s je preslikavanje koje svakoj točki A, prostora E pridružuje probodište pravca kroz A paralelnog sa s i ravnine π. Svi pravci prostora paralelni s pravcem s nazivaju se zrake projiciranja ili smjer projiciranja. Kod paralelnog projiciranja razlikujemo koso ili ortogonalno projiciranje. Kod ortogonalnog projiciranja kut zraka projekcije jednak je pravom kutu, a kod kosog projiciranja kut je manji. Proučimo malo podrobnije paralelno projiciranje, budući da će se glavne metode prikazivanja prostornih objekata opisane u ovom kolegiju upravo sastojati od dvaju ili više ortogonalnih projiciranja. Bitna svojstva su ova: 1. Pravci koji nisu paralelni sa smjerom projiciranja preslikavaju se u pravce, ali pravci koji su paralelni sa smjerom projiciranja preslikavaju se u jednu točku, tj. u svoje probodište s ravninom π. 2. Paralelnost pravaca je invarijanta paralelnog projiciranja. 3. Dužine i kutovi, pa time i bilo koji ravninski likovi koji leže u ravnini paralelnoj s ravninom projekcije π, projiciraju se pri paralelnom projiciranju u sukladne likove.

6 1 Projiciranje 8 4. Djelišni omjer triju kolinearnih točaka je invarijanta paralelnog projiciranja. Polovište dužine preslikava se u polovište dužine.

7 2. PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA I AFINOST 2.1. Perspektivna kolineacija Definicija 2.1. Perspektivna kolineacija u ravnini je bijekcija skupa točaka i skupa pravaca na sebe koja zadovoljava ova svojstva: 1. Čuva incidenciju, tj. ako točka A pripada pravcu p tada slika A točke A pripada slici p pravca p; 2. Spojnice pridruženih točaka prolaze jednom točkom S ravnine. Točka S je fiksna točka i nazivamo je središtem kolineacije, a spojnice pridruženih točaka zrakama kolineacije. 3. Postoji točno jedan pravac o u ravnini kojega je svaka točka pridružena sama sebi, tj. pravac o je fiksan po točkama. Pravac o nazivamo os kolineacije. Moguće je definirati i perspektivnu kolineaciju u prostoru. Tada imamo zadane dvije ravnine koje se sijeku i točku S koja ne pripada objema ravninama, a sama perspektivna kolineacija opisana je gornjim svojstvima. Navedimo neka očita svojstva perspektivne kolineacije. 1) Svaki se par pridruženih pravaca siječe u nekoj točki na osi kolineacije ili su oba pravca paralelni s njom. Obrazložimo ovo svojstvo. Ako pravac p siječe os o, prema trećem definicijskom svojstvu kolineacije ta je točka fiksna, toj pridružena sama sebi, a zbog čuvanja incidencije njome prolazi i pravac pridružen pravcu p. Ako pravac p ne siječe os o, tada niti njegova slika ne siječe os o. Kad bi bilo suprotno točka u kojoj bi slika p sjekla os o bi bila fiksna i originalni pravac bi takoder prolazio njome, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da je pravac p paralelan s osi.

8 3. Perspektivna kolineacija i afinost 10 2) Svaka zraka kolineacije pridružena je sama sebi. Ona je fiksni pravac kolineacije, ali ne po točkama. Jedine fiksne točke na zraci kolineacije su središte S i presjek zrake i osi. Teorem 2.1. Perspektivna kolineacija je jednoznačno odredena, ako je zadana njezina os o, njezino središte S i jedan par pridruženih točaka A, A, s tim da ni jedna točka tog para ne leži na osi o, niti je njihova spojnica paralelna sa osi o. Dokaz. Za proizvoljnu točku X ravnine konstruirajmo njezinu sliku X. a) Razmotrit ćemo prvo slučaj kad je točka X van pravca AS i kad spojnica AX nije paralelna s osi o. Povucimo spojnicu SX. To je zraka kolineacije i točka X nalazi se na njoj. Nadalje povucimo spojnicu p = AX. Toj je spojnici pridružen pravac p koji prema prvom svojstvu kolineacije sadrži i točku A i točku X. Ujedno pravci p i p sijeku se na osi o u fiksnoj točki Q. Dakle, p = QA. Točka X je presjek pravca p i zrake SX. b) Ako je točka X na zraci AS, tada odaberimo točku Y koja ne pripada zraci AS i čija spojnica sa A nije paralelna s osi. Postupkom opisanom u prethodnom slučaju konstruiramo točku Y. Sad u toj kolineaciji imamo još jedan par pridruženih točaka Y,Y i točku X konstruiramo koristeći taj par, a ne par točaka A, A. c) I razmotrimo još i slučaj kad je spojnica AX paralelna s osi o.

9 3. Perspektivna kolineacija i afinost 11 Tada je i pravac pridružen toj spojnici paralelan s osi o. Točka X je presjek zrake SX i paralele sa osi o točkom A. U skladu s prethodnim teoremom, kolineaciju ćemo obično zadavati njezinim središtem, osi i parom pridruženih točaka i zapisivat ćemo ovako: (o, S : A, A). Primjer 2.1. Konstrirajmo jednakostranični trokut ABC, a =4cm. Neka je točka P polovište stranice AB, a točka Q dijeli stranicu AC u omjeru 1:2računajući od C. Točka B polovište je dužine AP. Točka S nalazi se na pravcu AB tako da je PB = SB i S P. U perspektivnoj kolineaciji (o = PQ,S : B,B) konstruirajmo slike točaka A,B,C,P i Q. Sljedeći nam teorem opisuje jednu invarijantu kolineacije. Teorem 2.2. Dvoomjer (XX; SK) što ga tvori bilo koji par pridruženih točaka X i X sa središtem S kolineacije i sjecištem K zrake kolineacije SX sa osi o je konstantan. Podsjetimo se da se dvoomjer četiriju kolinearnih točaka definira kao: (AB; CD)= CA : DA, gdje je AB oznaka za orjentiranu duljinu dužine AB. CB DB (vidi Palman: Trokut i kružnica). Ta se konstanta označava s k i naziva karakteristična konstanta perspektivne kolineacije. Dokaz. Neka je točka O bilo koja točka osi o različita od K. Dokazat ćemo da je dvoomjer (XX; SK) jednak dvoomjeru četvorke pravaca koji prolaze točkom O, tj. da je (XX; SK) = (OX, OX; OS, OK). Uvedimo oznake: SOX = α, KOX = β, KOX = γ. Izrazimo površinu trokuta SOX na dva načina:

10 3. Perspektivna kolineacija i afinost 12 P (SOX)= 1 2 OX SO sin α = 1 2 SX v, gdje je v duljina visine iz točke O na stranicu SX. Analogno je P (SOX) = 1 2 OX SO sin(α + β + γ) =1 2 SX v, P (KOX)= 1 2 OX KO sin β = 1 2 KX v, P (KOX) = 1 2 OX KO sin γ = 1 2 KX v. Iz prve dvije jednakosti dobivamo a iz druge dvije jednakosti tj. što je upravo SX SX = SX SX : KX KX = OX sin α OX sin(α + β + γ), KX OX sin β = KX OX sin(γ), sin α sin(α + β + γ) : sin β sin(γ) (XX; SK)=(OX, OX; OS, OK). Kod perspektivne je kolineacije zanimljivo promatrati sliku i prasliku beskonačno dalekog pravca n. Inače, beskonačno daleki pravac tvore sve beskonačno daleke točke i samo one. Sliku beskonačno dalekog pravca označavamo s n i nazivamo nedogledni ili ubježni pravac. On je paralelan s osi jer na njemu leži i beskonačno daleka točka osi. Praslika pravca n, tj. pravac m koji se preslikava u beskonačno daleki pravac n naziva se izbježni pravac.

11 3. Perspektivna kolineacija i afinost 13 Dakle, imamo ovakvo pridruživanje m n n. Primjer 2.2. U danoj perspektivnoj kolineaciji (o, S : A, A) konstruirajmo izbježni i ubježni pravac. a) Konstrukcija izbježnog pravca m. i) Neka je A A i X X. ii) Točkom X povucimo pravac d paralelan s pravcem SA = a = a. Budući da su a i d paralelni, sijeku se u nepravoj točki, a sve neprave točke pripadaju nepravom pravcu n. d o = F i znamo da je a = a. iii) Praslika d pravca d je XF. Naime, d = XF, pa je praslika d = XF. iv) Presjek pravca d i a je točka V koja leži na izbježnom pravcu m. Naime, d a n = m, stoga ta incidencija vrijedi i za njihove praslike, tj. d a m, auz oznaku d a = V imamo da V m. v) Paralela kroz V s osi o je izbježni pravac m. b) Konstrukcija ubježnog pravca n.

12 3. Perspektivna kolineacija i afinost 14 i) Neka je A A i X X. ii) Točkom A povucimo pravac c paralelan s pravcem SX = b. Budući da su c i b paralelni, sijeku se u nepravoj točki, a sve neprave točke pripadaju nepravom pravcu n. c o = F i znamo da je b = b. iii) Slika c pravca c je AF. iv) Presjek pravca c i b je točka R koja leži na ubježnom pravcu n. Naime, c b n, stoga ta incidencija vrijedi i za njihove slike, tj. c b n, a uz oznaku c b = R imamo da R n. v) Paralela kroz R s osi o je ubježni pravac n. Primjer 2.3. Dana je perspektivna kolineacija (o, S; A, A) i kvadrat ABCD. Konstruirajmo izbježni pravac m i perspektivno kolinearnu sliku kvadrata ABCD. Koristiti dva ponudena predloška 2.3.-A i 2.3.-B Perspektivna afinost Definicija 2.2. Perspektivna afinost u ravnini je bijekcija skupa točaka i skupa pravaca na sebe koja zadovoljava ova svojstva: 1. Čuva incidenciju, tj. ako točka A pripada pravcu p tada slika A točke A pripada slici p pravca p; 2. Spojnice pridruženih točaka su medusobno paralelne. Te spojnice pridruženih točaka nazivamo zrakama afinosti. 3. Postoji točno jedan pravac o u ravnini kojega je svaka točka pridružena sama sebi, tj. pravac o je fiksan po točkama. Pravac o nazivamo os perspektivne afinosti. Navedimo neka očita svojstva perspektivne afinosti. 1) Svaki se par pridruženih pravaca siječe u nekoj točki na osi afinosti ili su oba pravca paralelni s njom. Obrazložimo ovo svojstvo. Ako pravac p siječe os o, prema trećem definicijskom svojstvu afinosti ta je točka fiksna, toj pridružena sama sebi, a zbog čuvanja incidencije njome prolazi i pravac pridružen pravcu p. Ako pravac p ne siječe os o, tada niti njegova slika ne siječe os o. Kad bi bilo suprotno točka u kojoj bi slika p sjekla os o bi bila fiksna i originalni pravac

13 3. Perspektivna kolineacija i afinost 15 bi takoder prolazio njome, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da je pravac p paralelan s osi. 2) Svaka zraka afinosti pridružena je sama sebi. Ona je fiksni pravac afinosti, ali ne po točkama. Jedina fiksna točka na zraci afinosti je presjek zrake i osi. Teorem 2.3. Perspektivna afinosti je jednoznačno odredena, ako je zadana njezina os o i jedan par pridruženih točaka A, A, s tim da ni jedna točka tog para ne leži na osi o, niti je njihova spojnica paralelna sa osi o. Dokaz. Za proizvoljnu točku X ravnine konstruirajmo njezinu sliku X. a) Razmotrit ćemo prvo slučaj kad je točka X van pravca AA i kad spojnica AX nije paralelna s osi o. Povucimo paralelu kroz X s danom zrakom afinosti. To je zraka afinosti i točka X nalazi se na njoj. Nadalje povucimo spojnicu p = AX. Toj je spojnici pridružen pravac p koji prema prvom svojstvu afinosti sadrži i točku A i točku X. Ujedno pravci p i p sijeku se na osi o u fiksnoj točki Q. Dakle, p = QA. Točka X je presjek pravca p i zrake kroz X. b) Ako je točka X na zraci AA, tada odaberimo točku Y koja ne pripada zraci AA i čija spojnica sa A nije paralelna s osi. Postupkom opisanom u prethodnom slučaju konstruiramo točku Y. Sad u toj afinosti imamo još jedan par pridruženih točaka Y,Y i točku X konstruiramo koristeći taj par, a ne par točaka A, A.

14 3. Perspektivna kolineacija i afinost 16 c) I razmotrimo još i slučaj kad je spojnica AX paralelna s osi o. Tada je i pravac pridružen toj spojnici paralelan s osi o. Točka X je presjek zrake kroz X i paralele sa osi o točkom A. U skladu s prethodnim teoremom, afinost zadajemo njezinom osi i parom pridruženih točaka i zapisujemo ovako: (o : A, A). Sljedeći nam teorem opisuje jednu invarijantu afinosti. Teorem 2.4. Paru paralelnih pravaca a i b u perspektivnoj afinosti pridružen je par paralelnih pravaca. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da se pravci a i b sijeku u točki T. Zbog bijektivnosti ta točka ima svoju prasliku T koja zbog svojstva čuvanja incidencije pripada pravcima a i b. Time smo došli u kontradikciju s pretpostavkom da su pravci a i b paralelni. Teorem 2.5. Djelišni omjer (XX; K) što ga tvori bilo koji par pridruženih točaka X i X sa sjecištem K zrake afinosti XX s osi o je konstantan. Djelišni omjer (XX; K) je omjer XK, gdje su XK i XK orjentirane dužine. XK Ta se konstanta označava s k i naziva karakteristična konstanta perspektivne afinosti. Dokaz. Neka je Y,Y par pridruženih točaka različit od para X, X takav da pravac XY nije paralelan sa osi. Tada se pravci XY i X Y sijeku u točki F na osi.

15 3. Perspektivna kolineacija i afinost 17 Zbog paralelnosti zraka afinosti trokuti XKF i YLF su slični, gdje je L presjek pravca Y Y i osi. Iz te sličnosti slijedi XK YL = KF LF. I trokuti XKF i YLF su slični, pa vrijedi XK YL = KF LF. No sad je XK YL = XK YL, tj. XK XK = YL YL. Dakle, djelišni omjer ne ovisi o izboru točke Y, tj. stalan je. Prethodni je teorem analogon odgovarajućeg teorema za kolineaciju. No, za afinost vrijedi i nešto bolji teorem. Naime, u afinosti je djelišni omjer bilo koje tri kolinearne točke invarijanta afinosti. Teorem 2.6. Djelišni omjer triju kolinearnih točaka je invarijanta afinosti. Dokaz. Neka su A, B, C tri različite kolinearne točke. Trebamo pokazati da je AC BC = A C B C.

16 3. Perspektivna kolineacija i afinost 18 Označimo s p pravac AB, a s p njegovu sliku. Točkom B povucimo pravac q paralelan s pravcem p, a sjecišta pravca q sa zrakama afinosti AA i CC označimo redom s K i L. Zrake afinosti su medusobno paralelne pa iz sličnosti trokuta slijedi A C B C = KM MB = AC BC, što je i trebalo dokazati. Neposredna posljedica ovog teorema je sljedeći korolar. Korolar 2.1. Polovište dužine preslikava se u polovište slike te dužine. Dakle, perspektivna afinost čuva paralelnost i djelišni omjer, no ne čuva udaljenost točaka niti mjeru kutova. Teorem 2.7. U danom skupu pravih kutova s vrhom u točki P, P / o, postoji uvijek jedan pravi kut koji se danom perspektivnom afinošću preslikava u pravi kut. Dokaz. Neka je P slika točke P. Proanalizirajmo zadatak, tj. pretpostavimo da je zadatak riješen i da su a, b zrake pravog kuta koji se preslikava u pravi kut ap b. Tada se pravci a i a, te pravci b i b sijeku u točkama A i B na osi o. Prema obratu Talesovog teorema o obodnom kutu nad promjerom slijedi da su točke P, P, A i B točke jedne kružnice promjera AB. Središte S te kružnice je sjecište simetrale dužine P P i osi o. Time je analiza gotova. Konstrukcija teče ovako: konstruiramo afinu sliku točke P i simetralu dužine P P. Sjecište te simetrale i osi o je točka S. Opišemo kružnicu središta S i polumjera SP. Presjek te kružnice i osi o su točke A i B. Traženi pravi kut kojemu je slika takoder pravi kut je kut AP B.

17 3. Perspektivna kolineacija i afinost 19 Ova je konstrukcija izvediva uvijek osim kad su zrake afinosti okomite na os. No tada je jedan krak takvih pravih kutova paralelan s osi, dok je drugi okomit na os. Primjer 2.4. U danoj perspektivnoj afinosti (o : A, A) konstruirajmo sliku kvadrata ABCD, a =4cm. Točke A i A neka su s različitih strana osi. Slika kvadrata je četverokut A B C D dobiven preslikavanjem vrhova A,B,C,D. Taj je četverokut paralelogram, jer zbog čuvanja djelišnog omjera, dijagonale slike se raspolavljaju, jer se i dijagonale kvadrata raspolavljaju. Primjer 2.5. U danoj perspektivnoj afinosti (o : A, A) konstruirajmo sliku pravilnog peterokuta ABCDE. Točke A i A neka su s iste strane osi. Polumjer opisane kružnice peterokuta je r = 4.2 cm. Primjer 2.6. Afinost (o : A, A) dana je tako da su zrake okomite na os i os je simetrala dužine AA. Konstruirajmo afinu sliku danom trokutu ABC. Primjetimo da je ovako zadana afinost osna simetrija s obzirom na pravac o.

18 3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku jednadžbu drugog reda a 00 x a 11x a 22x a 01x 0 x 1 +2a 02 x 0 x 2 +2a 12 x 1 x 2 =0 nazivamo konikom ili krivuljom drugog reda. Gornji izraz možemo zapisati i u matričnom obliku: X T AX =0, gdje je A simetrična matrica trećeg reda. Ukoliko je matrica A regularna tada govorimo o nesingularnim (nedegeneriranim, neraspadnutim) konikama. S obzirom na presjek konike i nepravog pravca, nesingularne konike dijelimo u tri skupine: elipse (ne sadrže neprave točke), parabole (sadrže jednu nepravu točku) i hiperbole (sijeku nepravi pravac u dvije točke). Opširnije o konikama može se naći u knjigama Projektivna geometrija, [3], i Elementarna matematika 2, [7]. Budući da se radi o objektima koje su poznavali već i stari narodi, u upotrebi su različite definicije konika. Tako ih starogrčki matematičari definiraju kao presjeke stošca ravninom. Odatle potječe i hrvatski naziv čunjosječnice. Poznata nam je i Pappus-Boškovićeva definicija konika pomoću omjera udaljenosti od fokusa i od direktrise, [7]. A u našim srednjim školama uvriježile su se definicije kojima su konike opisane kao geometrijska mjesta točaka koje zadovoljavaju izvjesna svojstva. Ponovimo te definicije i neka svojstva konika.

19 4. Krivulje drugog reda Elipsa Definicija 3.2. Neka su F 1 i F 2 dvije čvrste točke ravnine π i neka je a pozitivan realni broj, a> 1 2 F 1F 2. Skup svih točaka ravnine π za koje je zbroj udaljenosti do točaka F 1 i F 2 jednak 2a nazivamo elipsa sa žarištima F 1 i F 2 i duljinom velike poluosi a. Opišimo neke simbole i termine koje ćemo koristiti uz elipsu. Kao što je već rečeno u definiciji, dane čvrste točke F 1 i F 2 nazivaju se žarišta ili fokusi elipse. Polovište O dužine F 1 F 2 zovemo središte elipse. Točke A 1 i A 2 elipse koje pripadaju pravcu F 1 F 2 zovemo tjemenima ili vrhovima elipse. Dužina A 1 A 2 naziva se velika os elipse, broj 2a zovemo duljina velike osi, a broj a duljina velike poluosi. Iz definicije elipse jasno je da je OA 1 = OA 2 = a. Simetrala dužine F 1 F 2 naziva se smjer male osi, a točke B 1 i B 2 elipse na tom pravcu zovu se tjemena ili vrhovi elipse. Dužina B 1 B 2 naziva se mala os, a broj b = OB 1 = OB 2 duljina male poluosi. Dužina koja spaja bilo koju točku T elipse s jednim njezinim žarištem zove se radij-vektor točke T. Spomenimo još dvije numeričke karakteristike elipse: linearni i numerički ekscentricitet. Linearni ekscentricitet, u oznaci e, jednak je 1 F 2 1F 2, dok je numerički ekscentricitet, s oznakom ε, jednak a. e Odaberemo li pravokutni koordinatni sustav u ravnini tako da se x i y osi podudaraju sa smjerovima velike i male osi elipse, tada jednadžba elipse ima oblik x 2 a 2 + y2 b 2 =1.

20 4. Krivulje drugog reda 22 Primjer 3.1. Konstruirajmo elipsu kojoj su zadana žarišta F 1 i F 2 (e = 1.6) i duljina velike poluosi a =2. Ovo je tzv. konstrukcija elipse po definiciji ili vrtlarska konstrukcija. Prvo odredimo središte elipse kao polovište dužine F 1 F 2, te vrhove A 1,A 2 na velikoj osi. Potom odredimo vrhove B 1,B 2 na maloj osi konstruirajući jednakokračne trokute F 1 B 1 F 2 i F 1 B 2 F 2 s krakovima duljine a. Za konstrukciju daljnjih točaka elipse odaberimo polumjer r 1 > 2e, te opišimo kružnice k 1 i k 2 oko F 1 i F 2 s tim polumjerom. Zatim oko F 1 i F 2 opišimo kružnice k 3 i k 4 s polumjerom 2a r 1. Točke presjeka kružnica k 1 i k 3, odnosno kružnica k 2 i k 4 su točke elipse. Na ovaj način dobivene su četiri točke elipse. Postupak ponavljamo. Istaknimo nekoliko svojstava elipse. Propozicija 3.1. Za duljine poluosi a i b, te za linearni ekscentricitet e elipse vrijedi a 2 b 2 = e 2. Dokaz. Vrh B 1 nalazi se na simetrali dužine F 1 F 2, pa je F 1 B 1 = F 2 B 1. Uz to, nalazi se i na elipsi pa je F 1 B 1 + F 2 B 1 =2a, tj. F 2 B 1 = a. Trokut OF 2 B 1 je pravokutni trokut, te je prema Pitagorinom teoremu F 2 B 1 2 = OF OB 1 2, tj. odakle slijedi tvrdnja. a 2 = e 2 + b 2

21 4. Krivulje drugog reda 23 Propozicija 3.2. Tangenta t u točki T elipse raspolavlja vanjski, a normala unutarnji kut što ga tvore dva radij-vektora točke T. Dokaz. Radij-vektor r 1 = F 1 T produljimo preko točke T za F 2 T. Tako dobivenu točku označimo sa S. Očito je trokut F 2 TS jednakokračan s osnovicom F 2 S. Uz to, vrijedi F 1 S = F 1 T + TS = F 1 T + F 2 T =2a. Neka je pravac t simetrala dužine F 2 S,a time i simetrala kuta F 2 TS. Dokažimo da je t ujedno i tangenta elipse. Neka je točka P proizvoljna točka na pravcu t koja je različita od T. U trokutu F 1 PS vrijedi nejednakost trokuta F 1 P + PS > F 1 S. Budući da točka P leži na simetrali dužine F 2 S, vrijedi PS = F 2 P. Sad gornja nejednakost prelazi u oblik F 1 P + F 2 P > F 1 S =2a, što znači da točka P ne leži na elipsi. Dakle, jedina točka koja je i na elipsi i na pravcu t je točka T, tj. pravac t je tangenta elipse, čime je tvrdnja dokazana. Propozicija 3.3. Točka koja je simetrična jednom žarištu elipse s obzirom na tangentu elipse naziva se suprotište tog žarišta s obzirom na tu tangentu. Sva suprotišta jednog žarišta leže na kružnici k 1 polumjera 2a sa središtem u drugom žarištu. Kružnica k 1 naziva se kružnica suprotišta prvog žarišta.

22 4. Krivulje drugog reda 24 Dokaz. Dokaz se zasniva na svojstvu tangente dokazanom u prethodnoj propoziciji. Tangenta t je os simetrije jednakokračnog trokuta F 2 TS. Stoga je točka S simetrična žarištu F 2 s obzirom na tangentu t, tj. S je suprotište žarišta F 2 s obzirom na tangentu t. Za svako suprotište S žarišta F 2 vrijedi F 1 S = 2a, pa suprotišta žarišta F 2 leže na kružnici središta F 1 i polumjera 2a. Propozicija 3.4. Nožišta okomica spuštenih iz oba žarišta elipse na tangentu elipse leže na kružnici k polumjera a sa središte u središtu elipse. Tu kružnicu nazivamo glavna kružnica elipse. Dokaz. Promotrimo opet sliku iz dokaza Propozicije 3.2. i dopunimo je nožištima L i K okomica iz žarišta F 1 i F 2 na tangentu t, te suprotištima S 1 i S 2 žarišta F 1 i F 2 s obzirom na tangentu t.

23 4. Krivulje drugog reda 25 Trokuti F 1 S 1 F 2 i OKF 2 su slični jer imaju zajednički kut F 1 F 2 S 1 i dva para proporcionalnih stranica: F 1 F 2 = 2 OF 2 i F 2 S 1 =2 F 2 K. Prema tome, slijedi da je i F 1 S 1 =2 OK, a budući da je F 1 S 1 =2a, dobivamo da je OK = a. Dakle, nožište K pripada glavnoj kružnici. Dokaz za točku L dobivamo analogno promatrajući slične trokute F 2 S 2 F 1 i OLF 1. Primjer 3.2. Iz točke T izvan elipse konstruirajmo tangente na elipsu i odredimo dirališta koristeći se svojstvom suprotišta. Elipsa je odredena poluosima a = 4, b =2.4. Analiza. Elipsa je dana svojim osima pa je lako odrediti položaj njezinih žarišta F 1 i F 2. Neka su t 1 i t 2 tangente na elipsu povučene iz točke T. Prema Propoziciji 3.3., suprotišta S 1,S 2 žarišta F 2 s obzirom na tangente t 1 i t 2 leže na kružnici suprotišta k 1 (F 1, 2a). Uz to, tangenta t 1 je simetrala dužine F 2 S 1,pa je TF 2 = TS 1, tj. S 1 leži na kružnici k(t, TF 2 ). Analogno, tangenta t 2 je simetrala dužine F 2 S 2, pa je TF 2 = TS 2, tj. S k(t, TF 2 ). Dakle, suprotišta S 1 i S 2 su točke presjeka kružnice k(t, TF 2 ) i kružnice suprotišta k 1 (F 1, 2a). Tangente t 1 i t 2 su simetrale dužina F 2 S 1 i F 2 S 2, a dirališta D 1 i D 2 su presjeci tih tangenata i dužina F 1 S 1 i F 1 S 2 redom. Primjer 3.3. Zadane su točke F 1 i F 2, te pravac t koji ne siječe dužinu F 1 F 2. Konstruirajmo osi elipse kojoj su točke F 1 i F 2 žarišta, a pravac t tangenta. Analiza. Prema Propoziciji 3.4., nožište K okomice na tangentu t elipse leži na glavnoj kružnici k(o, a) te elipse. Poznavajući središte glavne kružnice (to je polovište dužine F 1 F 2 ) i točku K znamo i odrediti duljinu velike poluosi. Duljinu male poluosi potom odredimo koristeći Propoziciju 3.1.

24 4. Krivulje drugog reda 26 Rezultat koji ćemo u velikoj mjeri koristiti u nacrtnoj geometriji pri projiciranju kružnica jest sljedeći teorem. Teorem 3.1. Perspektivno afina slika kružnice je elipsa. Dokaz. Dat ćemo jedan analitički dokaz ove tvrdnje. Neka je dana perspektivna afinost (o : O, O). Prema već dokazanom teoremu, postoji jedan par okomitih pravaca OA, OB sa sjecištem u O koji se afino preslikava u par okomitih pravaca OA, OB sa sjecištem u O. Uvedimo koordinatni sustav s osima OA, OB i ishodištem O, a jedinične točke na osima označimo s E i F. Pri afinom preslikavanju točke E i F preslikavaju se u točke E i F na pravcima OA, OB i neka vrijedi O E = a, O F = b. Izračunajmo koordinate slike točke T 1 s osi OA. Njezine koordinate su T 1 (x, 0), a budući da perspektivna afinost čuva omjer koordinate njezine slike su T 1 (x, 0) = (ax, 0). Analogno, koordinate slike točke T 2 (0,y) s druge koordinatne osi su T 2 (0,yb). Bilo koja točka T (x, y) ravnine se afino preslika u točku T (ax, by). Kružnica čije točke zadovoljavaju jednadžbu (x p) 2 +(y q) 2 = r 2 pri perspektivnoj afinosti preslikava se u krivulju čije točke (x, y) zadovoljavaju ( x a p a ) 2 ( y + b q ) 2 = r 2, b pri čemu je (p, q) =(ap, bq) slika središta kružnice. Sredivanjem dobivamo (x p) 2 (y q)2 + =1, (ar) 2 (br) 2 tj. dobivena je krivulja elipsa.

25 4. Krivulje drugog reda 27 Budući da su paralelnost i djelišni omjer invarijante perspektivne afinosti, ona svojstva kružnice koja su vezana uz paralelnost i omjere ostaju sačuvana, tj. vrijede i za elipsu. Označimo sa S središte kružnice. Prvo zbog očuvanja incidencije imamo da se svaki promjer kružnice (tetiva koja sadrži S) preslikava afinošću u promjer elipse, tangenta kružnice preslikava se u tangentu elipse, diralište tangente kružnice u diralište tangente elipse, a zbog svojstva da je S polovište svakog promjera kružnice, imamo da je i njegova afina slika S polovište svakog promjera elipse. Za svaki promjer AB kružnice postoji njemu okomiti promjer CD koji raspolavlja tetive paralelne sa AB i prolazi diralištima obiju tangenata kružnice paralelnih sa AB. Pri afinom preslikavanju, promjer AB preslika se u promjer A B, a promjer CD u promjer elipse C D koji ima svojstvo da raspolavlja svaku tetivu elipse paralelnu s A B i prolazi diralištima tangenata elipse paralelnih s A B. Promjere A B i C D nazivamo konjugiranim promjerima elipse. Točke C i D su dirališta tangenata elipse koje su paralelne s promjerom A B i obratno. Općenito, kut izmedu dva konjugirana promjera je bilo koji šiljasti kut, osim u slučaju kad su promatrani konjugirani promjeri velika i mala os elipse. U tom slučaju, kut izmedu njih je 90. Kod kružnice, svaki par konjugiranih promjera je medusobno okomit. Konstrukcija elipse pomoću jedne tjemene kružnice. Dana je perspektivna afinost (o : C 1,C) pri čemu je C 1 C okomito na os o i C 1 C o = O. Odredimo perspektivno afinu sliku kružnice k sa središtem u O koja prolazi točkom C 1. Uvedimo koordinatni sustav tako da su pravci o i C 1 C osi koordinatnog sustava. U njemu točke C 1 i C imaju koordinate C 1 (0,a), C(0,b), a>b. Neka je T (x, y) afina slika točke T (x, y) s kružnice k. Konstruktivno točku T dobivamo na dobro poznati način kao presjek zrake afinosti kroz T i pravca koji spaja fiksnu točku pravca C 1 T stočkom C.

26 4. Krivulje drugog reda 28 Budući da afinost čuva omjere, slijedi da je y : y = a : b, tj. y = b y. Uz to je i a x = x. Točka T (x, y) pripada kružnici, pa za njezine koordinate vrijedi x 2 +y 2 = a 2, što nakon uvrštavanja prelazi u ( ) a 2 x 2 + y 2 = a 2, tj. b x 2 a 2 + y2 b 2 =1, tj. točka T pripada elipsi čija je velika os upravo onaj promjer kružnice koji se nalazi na osi o, a mala poluos je dužina CO. Dakle, elipsa je dobivena kao afina slika velike tjemene kružnice, pri čemu se radilo o afinosti čije su zrake afinosti ortogonalne na os. Elipsa se može dobiti i kao afina slika male tjemene kružnice k(o, b = OC ). U ovoj ortogonalnoj afinosti os je pravac CD, a par pridruženih točaka je A 1 A, a = OA. Konstrukcija elipse pomoću dvije tjemene kružnice. Prethodno nam je razmatranje dalo mogućnost da elipsu dobijemo kao afinu sliku velike, odnosno male tjemene kružnice elipse. U sljedećem ćemo tekstu pokazati kako kombinacijom ova dva postupka dobivamo izuzetno jednostavnu konstrukciju elipse. Neka je k(o, OC 1 = a) velika tjemena kružnica koja se afinošću ( o = AO : C 1,C) preslikava u elipsu, a k(o, OA 2 = b) neka je mala tjemena kružnica koja se afinošću (o = CO : A 2,A) preslikava takoder u tu istu elipsu. Središtem O kružnice povucimo polupravac koji veliku kružnicu siječe u točki P, a malu u točki Q. Prva afinost točku P (x P,y P ) preslikava u P čije koordinate su P (x P, b y a P ). Druga afinost točku Q(x Q,y Q ) preslikava u Q čije koordinate su Q( ax b Q,y Q ).

27 4. Krivulje drugog reda 29 Pokažimo da su točke P i Q jednake. Naime, iz sličnosti trokuta OQQ 1 i OPP 1 slijedi da je OQ = OQ 1, tj. b = x Q OP OP 1 a x P, pa je x P = ax b Q. Dakle, promatrane točke imaju jednake prve koordinate. Iz iste sličnosti imamo OQ = QQ 1, tj. b = y Q OXP PP 1 a y P, pa je y Q = b y a P. Dakle, promatrane točke imaju jednake i druge koordinate, tj. P = Q = T. Zbog prve afinosti točka T pripada zraci afinosti kroz P, tj. pripada okomici na OA kroz P, a zbog druge afinosti točka T pripada zraci afinosti kroz Q, tj. pripada okomici na OC kroz Q. Time se točka T dobiva kao presjek okomica kroz točke P i Q. Ovime je analiza zadatka gotova. Konstrukcija točke elipse provodi se tako da povučemo bilo koju zraku kroz O. Ona siječe malu tjemenu kružnicu u točki Q, a veliku u P. Točkom P spustimo okomicu na os AB, a točkom Q okomicu na os CD. Te se okomice sijeku u točki T koja pripada elipsi. Primjer 3.4. Perspektivna afinost zadana je svojom osi o i parom pridruženih točaka T T. Dana je kružnica k(s, r). Konstruirajmo glavne osi elipse dobivene kao afina slika kružnice k. Rješenje ovog primjera temeljimo na primjeni teorema da u skupu pravih kutova s vrhom u točki T postoji jedan pravi kut koji se danom perspektivnom afinošću preslikava u pravi kut. Neka je k(s, r) dana kružnica. Prvo preslikamo njezino središte u točku S i nademo presjek M simetrale dužine SS i osi o. Opišemo kružnicu sa središtem u M kroz točke S i S. Ona siječe os o u točkama K i L. Povučemo pravce SL, SK, SL i SK. Prema Talesovom teoremu o obodnom kutu nad promjerom pravci SL i SK su okomiti, a isto tako i drugi par pravaca. Neka su k SK = {1, 2} i k SL = {3, 4}. Njihove afine slike su tjemena tražene elipse.

28 4. Krivulje drugog reda 30 Rytzova konstrukcija elipse. Ovo je konstrukcija koju koristimo pri odredivanju glavnih osi elipse u slučaju kad je dan jedan par konjugiranih promjera elipse. Analiza. Neka su dane kružnice k(o, a) ik(o, b) koje su tjemene kružnice elipse E s glavnim osima CA i BD. Neka su OP 1 i OQ 1 dva medusobno okomita polumjera kružnice k(o, a). Polumjer OP 1 siječe kružnicu k(o, b) u točki P 2,a polumjer OQ 1 siječe ju u točki Q 2. Kao što je opisano u konstrukciji elipse pomoću dvije tjemene kružnice, točke P 1 i P 2 odreduju točku elipse P, a točke Q 1 i Q 2 odreduju točku elipse Q. Dužine OP i OQ su par konjugiranih polumjera elipse E. Rotirajmo pravokutni trokut Q 1 QQ 2 za 90 tako da se Q 1 preslika u P 1. Slika tog trokuta je P 1 QP 2. Vrijede sukladnosti P 1 QP 2 = Q1 QQ 2 = P1 PP 2, pri čemu posljednja sukladnost vrijedi jer se radi o pravokutnim trokutima čiji šiljasti kutovi su kutovi s okomitim kracima i P 1 P 2 = Q 1 Q 2. Dakle, PP 1 QP 2 je pravokutnik čije stranice su paralelne s osima elipse. Presjek dijagonala tog pravokutnika označimo sa R. Neka pravac P Q siječe veliku os u točki M, a malu u točki N. Dokažimo da vrijedi MQ = a i NQ = b. Prvo zamijetimo da je trokut ORM jednakokračan s osnovicom OM, jer je sličan jednakokračnom trokutu P 2 RP. Osim toga je RQ = RP 1 jer je R središte pravokutnika. Dakle, vrijedi a = OP 1 = OR + RP 1 = MR + RQ = MQ. Analogno, promatrajući jednakokračan trokut NOR dobivamo da je b = OP 2 = OR RP 2 = NR QR = NQ.

29 4. Krivulje drugog reda 31 Osim toga iz jednakokračnosti trokuta ORM i NOR dobivamo da je OR = RM = RN, pa točke M,N i O leže na kružnici sa središtem u R i promjerom MN. Ovime je gotova analiza problema. Konstrukcija glavnih osi elipse ako su zadana dva medusobno konjugirana polumjera OP i OQ sada slijedi ovako: rotiramo polumjer OQ za 90 u položaj OQ. Nademo polovište R dužine P Q i opišemo kružnicu k(r, OR ). Ta kružnica siječe pravac P Q u točkama M i N. Na pravcima OM i ON leže glavne osi elipse, a njihove duljine su MQ i NQ. Primjer 3.5. Iz točke T izvan elipse konstruirajmo tangente na elipsu i odredimo dirališta primjenom perspektivne afinosti. Elipsa je odredena poluosima a i b, (a =4, b =2.4). Promotrimo afinost koja temeljnu kružnicu k(o, a = OC 1 ) preslikava u elipsu tako da točku C 1 preslikava u C, ( OC = b) i os afinosti je okomica na zraku afinosti kroz točku O. Pri toj afinosti točka T je slika neke točke T 1 koja se lako konstruira. Iz točke T 1 povucimo tangente t 1 i t 2 na kružnicu k(o, a). Njihova dirališta su D 1 i D 2. Budući da se tangente kružnice preslikavaju u tangente elipse, treba pomoću afinosti tangente t 1 i t 2 preslikati u pravce t 1 i t 2 koji su tangente elipse, a slike dirališta D 1 i D 2 će biti dirališta tangenata i elipse. Primjer 3.6. Zadana je elipsa svojim poluosima i pravac p. Konstruirajmo tangente elipse koje su paralelne s pravcem p.