Opisna geometrija II. DVO^RTNI POSTOPEK

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Opisna geometrija II. DVO^RTNI POSTOPEK"

Transcript

1 Opisna geometrija II. DVO^RTNI POSTOPEK 1 Dvo~rtni postopek Pridru`ni ortogonalni projekciji na: - tlorisno ravnino π 1, - narisno ravnino π 2, - prese~na os x 12. Imena: - Monge-ov postopek (Gaspard Monge, ); - dvo~rtni postopek; - postopek pridru`enih normalnih projekcij; Literatura: - Strubecker, K., Nacrtna geometrija, Tehni~ka knjiga, Zagreb, Prebil, I., Opisna geometrija, Tehni{ka zalo`ba Slovenije, Ljubljana, Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/1

2 Oznake A,B,C... to~ke a,b,c... premice A',B',C'... tlorisi A,B,C... narisi gr{ke ~rke - ravnine 3 Kvadranti prostora druga (narisna) projekcijska ravnina <- projekcijski `arek ravnina risanja <- prirednica prva (tlorisna) projekcijska ravnina Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/2

3 Projekcija to~ke P = P P Teorem: tloris P' in naris P to~ke P le`ita na isti pravokotnici na x 12, ki se imenuje ordinala ali prirednica to~ke P. Razli~ne projekcije in polo`aj to~ke 5 Koinciden~na na ravnina Teorem: To~ke P, katerih tloris in naris sovpadajo, le`ijo v simetralni ravnini II. in IV. kvadranta. Ta ravnina se imenuje ravnina koincidence χ Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/3

4 Ravnina simetrije Teorem: To~ke P, katerih P' in P sta simetri~ni na x 12 le`ijo v simetralni ravnini I. in III. kvadranta. Ta ravnina se imenuje ravnina simetrije σ. 7 Projekcija premice g = g g Tloris g' nastane v prese~i{~u ravnine π z 1 ravnino, ki gre skozi g in je pravokotna na π 1 Naris g'' nastane v prese~i{~u ravnine π z 2 ravnino, ki gre skozi g in je pravokotna na π 2 g prebada π v H, π 1 2 v V (prvo in drugo prebodi{~e) Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/4

5 Konstrukcija prebodi{~ premice π, π 1 2, χ, σ: H,V,K,S 9 Poseben primer: prva soslednica vzporedna s π 1 prva slednica (glej nadaljevanje) je premica, ki le`i v prese~i{~u neke ravnine in π 1; prva soslednica je vzporednica tej premici (h 1 ). ohranjanje kota - invarianta. to~ka H je neprava (nebistvena) to~ka Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/5

6 Poseben primer: druga soslednica vzporedna s π 2 11 Poseben primer: vzporednica z x 12 V in H sta nepravi to~ki Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/6

7 Posebena primera: prvo- - in drugo- proicirna premica 13 Poseben primer: premica le`i v ravnini, ki je pravokotna na π 1 in π 2 invarianta: ohranjanje razmerij! kako na podlagi V, H in P dolo~imo P? Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/7

8 Dve premici Mimobe`nici Se~nici - v pravi to~ki - v nepravi to`ki (vzporednici) vzporednost je invarianta! 15 Dolo~anje vidnosti dveh premic pomagamo si s pridru`eno projekciji Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/8

9 Projekcija ravnine ε v splo{nem ε seka π 1 in π 2 v premicah e 1 in e 2 premica e 1 je prva ali tlorisna slednica, njene vzporednice so prve soslednice (izohipse!) premica e 1 je druga (narisna) slednica, njene vzporednice so druge soslednice to~ka E je vozli{~na to~ka ravnine e 1,? 17 Soslednice Naris prve soslednice je vzporeden z x12, tloris je vzporeden prvi slednici. Tloris druge soslednice je vzporeden z x12, naris je vzporeden drugi slednici. NALOGA: podan tloris prve soslednice podane ravnine; kako konstruiramo naris - poi{~emo njen V, ki le`i na x12! Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/9

10 To~ka na ravnini kako na podlagi tlorisa poi{~emo naris to~ke: - s pomo~jo soslednice to~ka v ravnini podana z eno projekcijo 19 Premica na ravnini kako na podlagi tlorisa poi{~emo naris premice: - H le`i na e 1 - V le`i na x 12 - H le`i na x 12 - V le`i na e 2 premica v ravnini podana z eno projekcijo Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/10

11 Padnice prve padnice f 1 - pravokotnice na e 1 - smer najve~je strmine in najkraj{a razdalja med soslednicama 21 Druge padnice druge padnice f 2 - pravokotnice na e 2 Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/11

12 Pravokotnica skozi P na ravnino ε pravokotnica (normala) na ravnino je pravokotna na vsako premico v tej ravnini pravokotna je na vsako (so)slednico pravokotnost je invariantna Zato sledi: Teorem: tloris normale na ravnino je pravokotnen na prvo, naris pa na drugo slednico 23 Pravokotnica skozi P (ki( je v ravnini) na ravnino ε Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/12

13 Posebne lega: vzporednost z x 12 E je neprava to~ka; e 1 in e 2 sta vzporedni 25 Posebna lega: frontalna ravnina e 2 je neprava premica Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/13

14 Posebna lega: zgornja ravnina e 1 je neprava premica 27 Projicirne ravnine projekcijski sta π 1 in π 2 prva projicirna je pravokotna na π 1 druga projicirna je pravokotna na π 2 dvojna projicirna je pravokotna na π 1 in π 2 Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/14

15 Prva projicirna ravnina 29 Druga projicirna ravnina Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/15

16 Dvojna projicirna ravnina 31 Ravnina stranskega risa π 3 Z Z π 3 P P P P π 1 π 2 Y π 3 X X, Y,X,Z Z Z Y,Y π 2 Y x π 1 X tretjeprojicirna ravnina, stranski ris Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/16

17 Premica koincidence prese~i{~e ravnine in koinciden~ ne ravnine poteka skozi E in {e eno to~ko, ki jo dobimo tako, da v ravnino polo`imo neko poljubno premico 33 Premica simetije prese~i{e ravnine in simetrijske ravnine poteka skozi E in {e eno to~ko, ki jo dobimo tako, da v ravnino polo`imo neko poljubno premico in poi{~emo, kje le-ta seka simetrijsko ravnino Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/17

18 Kolineacija in afiniteta Geometrijsko SORODSTVO med ravninama: to~ke ene in druge ravnine so si med seboj paroma prirejene KOLINEACIJA: ~e to~ke premice prve ravnine pripadajo to~kam premice druge ravnine prirejeni to~ki le`ita na kolineacijskem `arku, ki izhaja iz kolineacijskega sredi{~a mesto, kjer se vsaka to~ka priredi sama sebi je kolineacijska os 35 Afiniteta nepravi to~ki ene ravnine pripada neprava to~ka druge ravnine, sledi: afiniteta je kolineacija, kjer je kolinacijsko sredi{~e v nepravi to~ki -> kolineacijski `arki so vzporedni = afinitetni `arki vzporednicam ene ravnine pripadajo vzporednice druge ravnine Perspektivna afiniteta med dvemi liki: preme spojnice prirejenih to~k so med seboj vzporedne se~i{~a med seboj prirejenih premic so na isti pravi premici Definicija: perspektivna afiniteta je dvosmerna enozna~no dolo~ena preslikava med to~kami dveh ravnin. Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/18

19 Afiniteta tlorisa in narisa Teorem: tloris in naris ravninskega lika sta perspektivno afina afinitetni `arki so prirednice afinitena os je premica koincidence ravnine, v kateri lik le`i 37 Posledice: ravnina je podana s to~ko in koinciden~no premico ~e podano to dvoje, za vsako drugo to~ko lahko nari{emo iz npr. podanega tlorisa {e naris tako, da upo{tevmo, da: - afinitetni `arek je prirednica, ki je pravokotna na x12 - premica PQ seka afiniteno os (koinciden~no premico) - obe projkeciji jo sekata v isti to~ki (ker je pa~ afinitetna os) velja: P D :P D = Q F :Q F = zna~ilno delilno razmerje ravnine Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/19

20 Premik osi x 12 pomeni: ^e se x 12 premakne za h navzgor, lega projekcij objekta pa se ne spremeni - premik tlorisne ravnine za za h navzgor - premik narisne ravnine za h nazaj 39 Dvo~rtni postopek - konstruktivne naloge Polo`ajne - medsebojna lega elementov Metri~ne - prava velikost elementov Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/20

21 Princip dualnosti Dve razli~ni to~ki dolo~ata premico. Dve razli~ni ravnini dolo~ata premico. Tri to~ke, ki ne le`ijo na isti pemici, dolo~ajo ravnino. Tri ravnine, ki ne gredo skozi isto premico, dolo~ajo to~ko. Premica in ravnina imata eno skupno to~ko. Premica in to~ka imata eno skupno ravnino. ^e imamo mimobe`ni premici a in b ter to~ko P, tedaj obstaja natanko ena premica t, ki ne seka a in b ter gre skozi P. ^e imam mimobe`ni premici a in b ter ravnino Pi, ki ne poteha skozi ti dve premici, tedaj obstaja natanko enena premica t, ki seka a,b. Le`i v ravnini Pi. 41 Ilustracija zadnjega pravila Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/21

22 Princip dualnosti Polo`ajni teorem, v katerem zamenjamo pojme to~ka in ravnina ter spajanje in sekanje, drugih pojmov pa ne menjamo, je spet pravilen polo`ajni teorem. 43 Ravnina, ki jo dolo~ajo tri to~ke Naloga: Podan je trikotnik ABC, ki le`i v ravnini Pi in en ris ene to~ke v tej ravnini. Treba je poiskati drugi ris te to~ke - re{itev 1: Nari{emo premico skozi P in neko oglji{~e trikotnika - re{itev 2: Nari{emo koinciden~no premico ravnine in skozi P polo`imo polo`imo premico skozi {e neko znano to~ko Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/22

23 Prese~nica dveh ravnin Podani sta slednici dveh ravnin; i{~emo v kateri premici se sekata premica poteka skozi to~ki V in H 45 Poseben primer Ena od ravnin (ϕ) je projicirna ravnina: Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/23

24 Prebodi{~e premice in ravnine Podana je ravnina E s slednicami in premica g ; poiskati je treba to~ko S, kjer premica prebada ravnino. Re{itev: skozi premico polo`imo poljubno ravnino F; poi{~emo premico s, kjer se sekata ravnini; iskana to~ke je tam, kjer se sekata s in g. Naloga je la`ja, ~e je F projicirna ravnina. 47 Prebodi{~e premice g in ravnine ~e je ravnina podana s premicama u in v skozi g polo`imo poljubno ravnino; ta ravnina seka premici u in v to~kah 1 in 2, premica g pa jo prebada na zveznici teh dveh to~k Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/24

25 Presek dveh trikotnikov Podana sta dva trikotnika; zanima nas daljica, v kateri se trikotnika prebadata. Re{itev: prevedemo na problem iskanja prebodi{~ ravnine (ki je podana z dvema premicama) in premice t.j. stranice enega trikotnika z ravnino drugega trikotnika. ^e to naredimo za dve premici lahko dolo~imo prese~no premico ravnin, v katerih le`ita trikotnika Postopek: 49 Presek dveh trikotnikov skozi DE polo`imo prvoprojicirno ravnino, ki seka AB in AC v to~kah 1 in 2. dolo~imo lego 1 in 2 dolo~imo lego S in S, to je to~ka v kateri stranica DE seka ravnino ABC podobno ukrepamo {e v zvezi s stranico DF in dobimo to~ko T. premica skozi ST je prese~nica ravnin ABC in DEF prebod se zares zgodi samo v odseku, ki je znotraj obeh trikotnikov v obeh risih vidnost robov dolo~amo glede na podatek v drugem risu. katera stran trikotnika se vidi? Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/25

26 Stranski ris in bo~ni ris kam zvrnemo novo ravnino Pravili: P' in P''' le`ita na prirednici; vi{ina Z se ohranja 51 Prebodi{~e premice in ravnine s pomo~jo stranskega risa izberemo ravnino Π 3, ki je pravokotna na Π 1 in na ε... zatoje x 13 pravokotna na e 1 dolo~imo W''', da dobimo slednico e 3 (e''' = e 3, ker smo tako izbrali Π 3 ). dolo~imo H'' -> H' -> H''' dolo~imo P'' -> P' - > P''' dobimo S''' dolo~imo {e S' in S'' Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/26

27 Dvo~rtni postopek - konstruktivne naloge - metri~ne 53 Prava dol`ina daljice Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/27

28 Spretnej{a izbira polo`aja osi x Prava dol`ina z zvrnitvijo daljice Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/28

29 Oddaljenost to~ke P od ravnine e 1 e 2 POSTOPEK: normala na ravnino skozi P prebodi{~e normale in ravnine s pomo~jo prvoproicirne ravnine prava dol`ina daljice 57 Oddaljenost to~ke od ravnine s pomo~jo stranskega risa ravnino stranskega risa Π 3 polo`imo skozi normalo, pravokotno na Π 1 slednica e 3 gre skozi H' in V''', ker je e 3 == ε''', saj je Π 3 pravokotna na ε l je pravokotna na ε oz. e 3 ; kje le`i dolo~imo npr s pomo~jo to~ke P dobimo F'''; -> F' -> F'' Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/29

30 Oddaljenost to~ke P od premice g: z drugoprojicirno ravnino 1. skozi P polo`imo ravnino e, ki je pravokotna na g 2. dolo~imo prebodi{~e P in e 3. dolo~imo pravo dol`ino h2 h Oddaljenost med P in g 1. h 1 ' je prva soslednica, h1'' h 2 '' je druga soslednica... h2' 3. h 1 in h 2 dolo~ata ravnino 4. skozi g'' polo`imo drugoprojicirno ravnino, ki seka h 1 in h 2 v to~kah 1 in 2 5. premica s seka premico g v to~ki F 6. dolo~imo pravo razdaljo PF Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/30

31 Oddaljenost to~ke P od premice g: dva stranska risa pogledamo tako, da se premica poka`e kot to~ka potrebna sta dva stranska risa 61 Najkraj{a razdalja mimobe`nic a in b METODA 1: dva stranska risa postavimo tako, da ena od premic v to~ko DIREKTNA METODA (na sliki): - skozi b postavimo ravnino, ki je vzporedna z a t.j. tako, da jo dolo~ata premici b in vzporednica a-ju, ki seka b - glej Strubecker str. 79 Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/31

32 Prava velikost kota Enakost rotacije in paralelne projekcije; ravnini sta perspektivno afini; os afinosti je slednica; smer afinosti so tetive lokov 63 Konstrukcija z rotacijo ravnine kota v π 1 ravnino, v kateri le`i kot, zavrtimo v tlorisno ravnino Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/32

33 Konstrukcija prave velikosti kota med a in b os rotacije je e 1 varianta: zvrnjeni trikotnik dolo~imo z dolo~itvijo prave dol`ine AP na sliki: s pomo~jo stranskega risa je dolo~ena prava vi{ina v svoji ravninito~ke P od Π 1 65 Prava velikost ravninskega lika okoli slednice e 1 ga zvrnemo ga v Π 1 : s pomo~jo stranskega risa je dolo~ena prava razdalja PM Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/33

34 Kot med ravninama to je kot med premicama a in b, ki le`ita v ravnini a oz. b, se sekata v isti to~ki prese~nice in sta nanjo pravokotni konstrukcija: poiskati je treba kot med dvema normalama na ravnino iz neke to~ke P spustimo obe normali (n α in n β ) in dobimo tloris in naris iskanega kota pravo velikost z zvrnitvijo kota okrog e 1 v Π 1, tako da dolo~imo pravo razdaljo med P' in M' 67 Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/34

35 DVO^RTNI POSTOPEK VAJE Naloge ozna~ene z "VAJA" so obvezne in morajo biti vpete v mapi. 69 Koordinatni sistem π Z Z Z π X X, Y,X,Z Y Y,Y X 6 π Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/35

36 Projekcije in kvadranti Nari{i vse tri projekcije to~k in ugotovi, v katerih kvadrantih se nahajajo. - A(-3,-6,-5), - B(-4,-7,1), - C(3,2,7), - D(3,4,-2), - E(1,-2,-3), - F(-1,0,-1). VAJA: Model projekcija to~ke - izdelaj 3D model za projekcijo to~ke T(2,3,4) 71 Polo`aj to~k glede na ravnine V kak{nem polo`aju na ravnine π1,π2,π3, σ, κ so to~ke - A(0,-5,1), - B(3,1,0), - C(3,0,1), - D(-2,0,5), - E(0,-4,-3), - F(-2,-3,0), - G(3,0,-1), - H(0,2,-2), - I(-4,0,-5), - J(3,1,0), - K(5,-2,0), - L(0,4,4), - M(4,2,-4), - N(0,0,-5), - O(0,-3,0), - P(-2,0,0), - R(-2,-1,2), - Q(3,-3,3), - S(0,6,0), - T(-5,1,-5). Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/36

37 Simetri~no le`e~e to~ke Podana je to~ka T(3,1,5); poi{~i to~ke, ki le`ijo simetri~no: - A na π 1 - B na π 2 - C na π 3 - D na x 12 - E na x 23 - F na izhodi{~e O - G na ravnino σ - F na ravnino κ 73 VAJA: Simetri~no le`e~e to~ke Podana je to~ka T(2,-3,-5); poi{~i to~ke, ki le`ijo simetri~no: - A na π 1 - B na π 2 - C na π 3 - D na x 12 - E na x 23 - F na izhodi{~e O - G na ravnino σ - F na ravnino κ Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/37

38 Projekcije premic Nari{i tlorise, narise in prebodi{~a V x,h x,s x,k x (x: a..c) z π 1,π 2,σ, κ naslednjih premic. Del premice v prvem kvadrantu izri{i debeleje. Upo{tevaj vidnost. - a((1,3,2),(5,1,1)) - b((-1,1,-3),(2,2,2)) - c((-2,2,-2),(3,4,-4)) 75 Dve vaji... VAJA: Model projekcije premice - izdelaj 3D model za projekcijo premice VAJA: Projekcije premic - Nari{i tlorise, narise in prebodi{~a V x,h x,s x,k x (x=a..c) z π,π 1 2,σ,κ naslednjih premic. Del premice v prvem kvadrantu izri{i debeleje. b in c nari{i posebej in upo{tevaj vidnost med njima. - a((-2,2,1),(1,-3,-1)) - b((4,2,-5),(7,2,1)) - c((2,-3,-4),(2,-1,2)) Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/38

39 Daljica, lega premic Podana je daljica AB((1,2,3)(5,6,0)). Poi{~i to~ki P in Q na tej premici za kateri velja: - P je od π 1 oddaljena za 2 - Q je od π 2 oddaljena za 3 V kak{nem polo`aju so podane premice glede na π,π 1 2, x 12? - a((1,7,2),(5,2,2)) - b((0,3,5),(6,3,1)) - c((4,4,1),(4,1,5)) - d((-3,5,1),(-3,5,4)) - e((-1,-2,-3),(-1,3,3)) - f((0,4,6),(5,4,6)) 77 Projekcije premic Konstruiraj projekcije premic, ki so podane s svojimi prebodi{~i: - Ha(4,4,0),Va(7,0,6) - Hb(7,3,0),Vb(9,0,-1) - Hc(1,-2,0),Vc(6,0,5) - Hd(3,-3,0),Vd(-1,0,-4) Premica v κ in σ - Podan je tloris premice, ki poteka skozi to~ki AB (A'(4,3,- ),B'(1,5,-)). Konstruiraj naris za primer, ~e le`i premica v ravnini koincidence in ~e le`i v ravnini simetrije. Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/39

40 VAJA: Lega premice ZGORAJ: Podan je naris premice, ki poteka skozi to~ki AB (A''(-,2,1),B''(-,6,4)). Konstruiraj tloris za primer, ~e le`i premica (k) v ravnini koincidence in ~e le`i premica (s) v ravnini simetrije. SPODAJ: Podan je naris premice, ki poteka skozi to~ki AB (A''(-,2,1),B''(-,6,4) in skozi to~ko P(2,3,1). Konstruiraj tloris s', ki je vzporeden ravnini simetrije in k, ki je vzporedna ravnini koincidence. 79 VAJA: Premica seka premico ZGORAJ: Skozi to~ko T(3,4,1) konstruiraj premico, ki seka premico a(-3,-2,-4),(5,2,-4) in je vzporedna s koiciden~no ravnino. SPODAJ: Skozi to~ko T(1,2,5) konstruiraj premico, ki seka premico a(3,-3,-5),(-1,4,4) in je vzporedna s simetrijsko ravnino. Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/40

41 Vzporednice Dolo~i prebodi{~a premic a,b,c in d s tlorisno in narisno ravnino, ~e premice potekajo skozi to~ko T in so vzporedne s premico p=ab: - a. T(2,7,3), A(-1,-2,-2), B(4,6,0). - b. T(2,2,3.5), A(1,-3,-4), B(-3,6,-1). - c. T(2.5,2,3),A(1,1,2), B(-4,3,2). - d. T(2,4,2), A(1,3,2), B(1,1,4). 81 Se~nice Podana je premica p=ab(1,-2,5)(4.5,4.5,1) in tloris premice q=cd(4,-1,-)(2,4,3). Dolo~i naris premice q, ~e se p in q sekata. Podana je premica p=ab(1,0,3.5)(6,3,2.5) in naris premice q=cd(3,1,1.5)(7,-,4.5). Dolo~i tloris premice q, ~e se p in q sekata. Skozi to~ko T(2,-,-) konstruiraj premico, ki seka premico p=ab(1,-3,5)(2,4,1) in je pravokotna na ravnino: π1 π2 π3 Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/41

42 Definicija ravnine Ravnina je podana s slednicama, te pa s odseki, ki jih odre`ejo od osi koordinatnega sistema: Z E(Dy,Dx,Dz) E Dz Dy Y Dx X 83 VAJA: : Model projekcije ravnine Izdelaj 3D model projekcije ravnine Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/42

43 Osnovne naloge z ravninami Podana je ravnina S(-6,4,3). Nari{i: - prvo soslednico a, ki je od π 1 oddaljena za d=2 - drugo soslednico, ki je od π 2 oddaljena za d=5 V podani ravnini P le`i premica p, za katero poznamo eno projekcijo. Nari{i manjkajo~o projekcijo premice - P(-3,3,2), p(2,-2,-)(1,1,-). - P(-3,3,3), p(-,-2,1)(-,1,-4). - P(,4,5),p(2,1,-)(-1,4,-). - P(-6,4, ),p(-,-2,1)(-,0,4). V podani ravnini P le`i to~ka T v zvezi s katero je podana ena prjekcija; dolo~i druge projekcije te to~ke. - P(-3,2,3), T(2,1,-). - P(2,1,-4), T(4,-,2). - P(1,-1, ), T(-,2,2). - P(3,,3),Τ( 1,, 2).,3),Τ( 1,, 2). 85 VAJA: Trikotnik v ravnini Podana je ravnina P(-1,-2,1). Nari{i tloris in naris trikotnika, ki le`i v P ~e so oglji{~a: - A(3,-1,-), B(2,3,-), C(-2,2,-). - A(-,1,1), B(-,5,1), C(-,3,6). Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/43

44 Projicirne ravnine, ravnina skozi to~ke Skozi premico p(.5,-.5,2.5)(1.5,1.5,1) polo`i: - prvoprojicirno ravnino - drugoprojicirno ravnino Ravnina je podana s to~kami A,B,C. Konstruiraj slednice. - A(1,-3,1), B(4,3,4), C(5,0,6). - A(2,4,1), B(5,4,3), C(8,3.5,5). Dolo~i naris premice p. Ravnina S je podana s premicama a in b, ki se sekata. a=ab(3,0,2)(1,5,5), b=ac;c=1,5,1). Brez uporabe slednic konstruiraj naris premice p, ki le`i v tej ravnini in ima tloris p (1,-1,0)(4,2,0). 87 VAJA: Konstruiraj slednice ravnine ZGORAJ: Ravnina je podana s premicama a=as in b=bs; konstruiraj slednice te ravnine - S(4,-1,5), A(1,-4,4), B(2,0,3). - S(2,0,3), A(1,3,6), B(7,2,1). SPODAJ: Ravnina je podana z odseki S poteka skozi to~ko T: - T(3,1,3), S(2,2,-). - T(-2,0,-2), S( ). Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/44

45 Vaji z ravninami VAJA: Ravnina podana s padnico - Zgoraj: konstruiraj slednice ravnine, ki ji je premica p(4,-4,-2)(- 1,3,6) prva padnica. - Spodaj: konstruiraj slednice ravnine, ki ji je premica p(2,-2,2)(- 5,5,-1) druga padnica. VAJA: Stranski ris paralelograma - Dolo~i stranski ris paralelograma ABCD - A(4,1,3), B(1,2,2.5), C(3,2,4.5) - na ravnini Π 3 (2,,4).,4). VAJA: Rotacija - To~ko A(3,2,4) zavrti okrog osi x12 za 30 stopinj v tisto smer, da se ~im bolj pribli`a ravnini Π 1 89 Premica in ravnina VAJA: Prebodi{~e premice in ravnine - Dolo~i prebodi{~e P premice p=pq, P(1, -1.5, 1), Q(4.5,2,3) z ravnino v kateri le`i trikotnik ABC - A(3, -3.5, 2), B(4, 3.5, 1), C(1,1,5). - Na sliki upo{tevaj vidnost. VAJA: Ravnina vzporedna ravnini - Skozi to~ko P (3,1,1) polo`i ravnino, ki je vzporedna ravnini, ki jo dolo~ata to~ka T(2,1,5) in premica a=ab A(-3.5, -4, -1), B(-1, 2, -7). - nari{i slednici ravnine Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/45

46 VAJA: Premica vzporedna ravnini Nari{i projekcijo premice, ki le`i v ravnini P(-2,-6,2), gre skozi njeno to~ko A(2,1,-) in je vzporedna z ravnino Σ (9,6,7). Navodilo: skozi A polo`i ravnino, ki je vzporedna z Σ (premisli o prebadanju ravnine Σ s premico, ki gre skozi A in je vzporedna z x 12 Iskana premica je prese~nica teh dveh ravnin 91 VAJA: Pravokotne projekcije Konstruiraj pravokotne projekcije premice p=ab A(5,4,5), B(4,5,8) in sicer: s na ravnino simetrije k na ravnino koincidence (ZGORAJ) l na ravnino Σ (3,4,-2) (SPODAJ) NAVODILO: - s in k» ena to~ka je prebodi{~e, drugo si oglej v stranskem risu - l:» ena to~ka je prebodi{~e, skozi drugo povleci normalo na ravnino Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/46

47 Metri~ne vaje VAJA: Prava dol`ina daljice - Poi{~i pravo dol`ino daljice AB A(1,1,-1), B(-2,4,2) z rotacijo okrog osi x 12, dokler AB ne pade v Π 2 - GLEJ DP3-6 VAJA: Razdalja to~ka - premica - Dolo~i razdaljo l med to~ko T (3,1,2) in prvo slednico ravnine P(-2,-1,4)... - ZGORAJ z uporabo stranskega risa, - SPODAJ s pravokotnico na slednico skozi P 93 VAJA: Razdalja med ravninama Podana je ravnina P (-1,-1, 3). Dolo~i slednice ravnine R, ki za 5 nad P. NAVODILO: - pravokotnico na P v iz neke to~ke M - prebodi{~e je N - odmeri razdaljo med PN - dolo~i lego to~ke R na tej pravokotnici, ki bo oddaljena za DRUGA MO@NOST: - stranski ris, da se P pokrije s slednico Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/47

48 Velikost kota VAJA: Prava velikost kota - Dolo~i pravo velikost kota α, ki ga oklepata ravnina P(2,5,-2) in os x12. - NAVODILO: zvrni normalo v Π 1 ali Π 2 VAJA: Kot med ravninama - Dolo~i kot α med ravnina S (-3,3,2) in P(2,2,-5). - NAVODILO: DP3-8 zgoraj 95 VAJA: Daljica v ravnini Podani sta vzporednici p=ab in q=cd ter to~ka T, ki le`i v ravnini, ki jo dolo~ata. Skozi T povleci daljici a in b, ki sekata p in q in sta med p in q dolgi 7 enot. A(5,-3,1) B(7,4,3) C(1,-3,4) D(-,-,-) T(4,1,-) NAVODILO: - zvrni ravnino okrog njene slednice v npr. Π 1 (glej DP3-6) in re{i nalogo v zvrnjeni legi - prenesi re{itev v tloris in naris Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/48

49 VAJA: Razdalja med premicama Poi{~i najkraj{o razdaljo med premicama a=ab in c=cd A(2,1.5,3) B(2,5,3) C(1,3,1) D(4,7,-2.5) NAVODILO: - DP VAJA: Presek dveh krogel in ravnine Poi{~i to~ki, ki so od to~k A in B oddaljene za 6 in le`ijo v ravnini P1 A(2,2,3) B(3,5,2) NAVODILO: - to~ke le`ijo v preseku dveh krogel, ki je kro`nica, ki le`i v ravnini, ki ji je AB normala in ki gre skozi to~ko C, ki je razpolavlja daljico A in B. - iskana to~ka le`i na prvi slednici te ravnine - zvrni A okrog te slednice v P1 in nari{i krog... Turk Opisna geometrija - kopije prosojnic II/49

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

1 3D-prostor; ravnina in premica

1 3D-prostor; ravnina in premica 1 3D-prostor; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru, ki nimata skupne

Διαβάστε περισσότερα

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica 1. Razmisli, v kakšnih legah so lahko v prostoru: (a) premica in ravnina (b) dve ravnini (c) dve premici.ugotovitve zapiši.. 2. Ali sta premici v prostoru,

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK 2 1 Geometrija v ravnini 1.1 Osnove geometrije Točka je tisto, kar nima delov. Črta je dolžina brez širine. Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino. Osnovni zakoni,

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z. 3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA NPZ

PONOVITEV SNOVI ZA NPZ PONOVITEV SNOVI ZA NPZ ENAČBE 1. naloga : Ugotovi ali sta dani enačbi ekvivalentni! 5x 5 = 2x 2 in 5 ( x - 1 ) = 2 ( x 1 ) da ne 2. naloga : Reši linearni enačbi in napravi preizkusa! a) 5 4x = 2 3x PR:

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sistemi v geodeziji

Koordinatni sistemi v geodeziji Koordinatni sistemi v geodeziji 14-1 Koordinatni sistemi v geodeziji Koordinatni sistemi v geodeziji 2 Vrste koordinatnih sistemov Vzpostavitev koordinatnega sistema je potrebna zaradi pridobitve primernega

Διαβάστε περισσότερα

Toke. Sence. Konstrukcija in enote. Posebnosti. Pri drugem programu je rist orientiran horizontalno!

Toke. Sence. Konstrukcija in enote. Posebnosti. Pri drugem programu je rist orientiran horizontalno! asist. dr. Domen Kušar OPISNA GEOMETRIJA - NAVODILA ZA IZDELAVO PROGRAMOV 2007/2008 Splošno 12 programov, ki se jih izdeluje v drugem semestru prvega letnika, predstavlja pogoj za pristop k pisnemu delu

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA

AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek. DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost naravnih števil

Deljivost naravnih števil Deljivost naravnih števil. D = {,,, 4, 6, }, V = {, 4, 6, 48, 60 }. (A) in (E). a) S številom so deljiva števila:, 0, 0 in 060. S številom so deljiva števila: 0, 460, 000 in 46. c) S številom 4 so deljiva

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

INŽENIRSKA MATEMATIKA I INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne

Διαβάστε περισσότερα

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk ) VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji)

7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) 7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Pomik deformabilnega telesa je glede na kartezijski koordinatni sistem

Διαβάστε περισσότερα

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva Martin Raič OSNUTEK Kazalo 1. Ponovitev 2 2. Ravninska in prostorska geometrija 5 3. Linearna algebra 7 4. Ponavljanje pred kolokvijem 8 M. RAIČ: VAJE IZ MATEMATIKE(GOZDARSTVO)

Διαβάστε περισσότερα

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant. Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,

Διαβάστε περισσότερα

2. VAJA IZ TRDNOSTI. Napetostno stanje valja je določeno s tenzorjem napetosti, ki ga v kartezijskem koordinatnem. 3xy 5y 2

2. VAJA IZ TRDNOSTI. Napetostno stanje valja je določeno s tenzorjem napetosti, ki ga v kartezijskem koordinatnem. 3xy 5y 2 . VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor napetosti) (napetostni vektor, transformacija koordinatnega sistema, glavne normalne napetosti, strižne napetosti, ravninsko napetostno stanje, Mohrovi krogi, ravnotežne enačbe)

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Način dostopa (URL): cabello/gradiva/vajeracgeom.pdf

Način dostopa (URL):   cabello/gradiva/vajeracgeom.pdf Vaje iz računske geometrije Sergio Cabello 9. november 2010 naslov: Vaje iz računske geometrije avtorske pravice: Sergio Cabello izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba avtor: Sergio Cabello leto izida:

Διαβάστε περισσότερα

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva

Διαβάστε περισσότερα

Vaje: Električni tokovi

Vaje: Električni tokovi Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem

Διαβάστε περισσότερα

Emilija Krempuš. Osnovne planimetrijske konstrukcije. Priročnik

Emilija Krempuš. Osnovne planimetrijske konstrukcije. Priročnik Emilija Krempuš Osnovne planimetrijske konstrukcije Priročnik 2 OSNOVNE PLANIMETRIJSKE KONSTRUKCIJE Osnovne planimetrijske konstrukcije Priročnik Priročnik Osnovne planimetrijske konstrukcije je nastal

Διαβάστε περισσότερα

slika: 2D pravokotni k.s. v ravnini

slika: 2D pravokotni k.s. v ravnini Koordinatni sistemi Dejstvo je, da živimo v tridimenzionalnem Evklidskem prostoru. To je aksiom, ki ga ni potrebno dokazovati. Da bi podali geometrijski položaj točke v prostoru je primerno sredstvo za

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ

POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Smer (Matematika UN-BO) - 1. stopnja Belma Delić POLINOMI ČETRTE STOPNJE IN ZLATI REZ Delo seminarja 1 Mentor: prof. dr. Milan Hladnik Ljubljana,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Navadne diferencialne enačbe

Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.

Διαβάστε περισσότερα

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici. 4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: matematika

Διαβάστε περισσότερα

Afina in projektivna geometrija

Afina in projektivna geometrija fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih

Διαβάστε περισσότερα

Skripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO

Skripta za matematiko v 2. letniku srednjega poklicnega, srednjega strokovnega in poklicno tehniškega izobraževanja INTERNO GRADIVO Srednja poklicna in strokovna šola Bežigrad - Ljubljana Ptujska ulica 6 1000 Ljubljana Slovenija Nikolaj Lipič in Mojca Rožič 1. naloga: Poimenujte geometrijske like in telesa: pravokotnik romb trikotnik

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα