Τρίγωνα. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και απέναντι από τη Γ γωνία είναι η γ πλευρά.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τρίγωνα. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και απέναντι από τη Γ γωνία είναι η γ πλευρά."

Transcript

1 Τρίγωνα Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι 3 πλευρές του και οι 3 γωνίες του. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και απέναντι από τη Γ γωνία είναι η γ πλευρά. Το άθροισμα των πλευρών του τριγώνου λέγεται περίμετρος Π και συμβολίζεται με τ. Είναι δηλαδή Ταξινόμηση τριγώνων Ως προς τις γωνίες α) Οξυγώνια όπου όλες οι γωνίες είναι οξείες β) Ορθογώνια όπου μια γωνία είναι ορθή γ) Αμβλυγώνια όπου μια γωνία είναι αμβλεία Ως προς τις πλευρές α) Σκαληνά όπου οι πλευρές του είναι άνισες β) Ισοσκελή όπου δύο πλευρές είναι ίσες γ) Ισόπλευρα όπου όλες οι πλευρές είναι ίσες Δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι τα 3 ύψη, οι 3 διάμεσοι και οι 3 διχοτόμοι. Διάμεσος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Ανάλογα με το σε ποια πλευρά καταλήγει έχουμε και το παρακάτω σύμβολο,,. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

2 Διχοτόμος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. Ανάλογα με το σε ποια πλευρά καταλήγει έχουμε και το παρακάτω σύμβολο,,. Ύψος ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από την κορυφή προς την απέναντι πλευρά. Ανάλογα με το σε ποια πλευρά καταλήγει έχουμε και το παρακάτω σύμβολο,,. Στο ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές είναι και ύψη του τριγώνου και μόνο το ύψος που καταλήγει στην υποτείνουσα διαφοροποιείται. Έτσι στο παραπάνω σχήμα είναι,,. Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο μόνο το ύψος που άγεται από την κορυφή της αμβλείας γωνίας είναι εντός του τριγώνου, ενώ τα άλλα δύο ύψη του είναι εκτός αυτού. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

3 Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο οι δύο πλευρές είναι ίσες. Η τρίτη πλευρά λέγεται βάση και η απέναντι κορυφή λέγεται κορυφή του ισοσκελούς. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ισχύουν τα παρακάτω : Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση είναι ίσες. Το ύψος, η διάμεσος και η διχοτόμος από την κορυφή του, ταυτίζονται. Τα ύψη, οι διχοτόμοι και οι διάμεσοι που άγονται από τις ίσες γωνίες είναι ίσα. Παρατήρηση ) Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει κάποιο από τα παραπάνω τότε το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές )Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο τα παραπάνω ισχύουν για κάθε κορυφή. Ορισμός Ισότητα τριγώνων Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν με κατάλληλη μετατόπιση ταυτίζονται. Δύο τρίγωνα λοιπόν είναι ίσα όταν έχουν όλες τους τις πλευρές και όλες τους τις γωνίες μία προς μία. Όταν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε και τα δευτερεύοντα στοιχεία τους είναι αντίστοιχα ίσα. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Για να αποδείξουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα δεν είναι ανάγκη να αποδείξουμε ότι έχουν 3 πλευρές και 3 γωνίες ίσες αλλά κάποια από αυτά όπως φαίνεται παρακάτω. ο κριτήριο ( Π-Π-Π) : Όταν δύο τρίγωνα έχουν τις 3 πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

4 ο κριτήριο ( Π-Γ-Π) : Όταν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες των πλευρών αυτών ίσες τότε είναι ίσα. 3 ο κριτήριο ( Γ-Π-Γ) : Όταν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά τους ίση και τις προσκείμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα. Παρατήρηση Αν βγάλουμε δύο τρίγωνα ίσα τότε και τα υπόλοιπα στοιχεία τους θα είναι ίσα και μάλιστα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές και αντίστροφα. Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν εξ ορισμού μια γωνία ίση, την ορθή. Συνεπώς τα στοιχεία τα οποία πρέπει να ελέγξουμε σε σχέση με τα τυχαία τρίγωνα είναι λιγότερα. ο κριτήριο : Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν δύο (οποιεσδήποτε) αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία. ο κριτήριο : Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μια (οποιαδήποτε ) αντίστοιχη πλευρά και την προσκείμενη οξεία γωνία ίσες μία προς μία. Σημαντική παρατήρηση Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι δύο τμήματα ή δυο γωνίες είναι ίσα, συνήθως βρίσκουμε δύο τρίγωνα που να έχουν για πλευρές ή γωνίες αυτά που θέλουμε να βγάλουμε ίσα (το καθένα από μία ) και προσπαθούμε να τα βγάλουμε ίσα. Αν τα τρίγωνα στα οποία ανήκουν δεν μπορούμε να τα βγάλουμε ίσα, τότε βρίσκουμε κάποια άλλα τρίγωνα που να μπορούμε να τα βγάλουμε ίσα και από τα οποία θα προκύψουν ισότητες πλευρών ή γωνιών που μας ενδιαφέρουν για να βγάλουμε τα αρχικά τρίγωνα που θέλαμε ίσα. Συμπληρωματικά στοιχεία Μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι μια ευθεία κάθετη στο μέσο του. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

5 Κάθε σημείο που ανήκει στη μεσοκάθετο ισαπέχει από τα άκρα του ΑΒ και αντίστροφα, κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του ΑΒ βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Η μεσοκάθετος λοιπόν του ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του ΑΒ. Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας και αντίστροφα, αν ένα σημείο ισαπέχει από τις πλευρές μιας γωνίας τότε ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας. Η διχοτόμος λοιπόν μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Από σημείο εκτός ευθείας ε μπορούμε να φέρουμε μοναδική ευθεία ζ παράλληλη στην ε και γράφουμε ε//ζ. Από σημείο Α εκτός ευθείας ε μπορούμε να φέρουμε μοναδική ευθεία ζ κάθετη στην ε και γράφουμε ε ζ. Το σημείο Β που τέμνει η ζ την ε λέγεται ίχνος της καθέτου ή ορθή προβολή του Α στην ε ή προβολή του Α στην ε. Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση του Α από την ε. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

6 Αν οι αποστάσεις δύο σημείων Α και Γ από ευθεία ε είναι ίσες λέμε ότι τα σημεία Α και Γ ισαπέχουν από την ε. Ισότητα τόξων, χορδών και αποστημάτων Το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινάει από το κέντρο ενός κύκλου και καταλήγει κάθετα σε μια χορδή του κύκλου λέγεται απόστημα. Το ίχνος του αποστήματος είναι και το μέσο της χορδής. Αν προεκτείνουμε το απόστημα τότε το σημείο που θα τμήσει το κύκλο είναι το μέσο του τόξου που αντιστοιχεί στη χορδή αυτή. Το απόστημα διχοτομεί την επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στη χορδή αυτή. Έτσι στο παραπάνω σχήμα για τη χορδή ΑΒ και το απόστημά της ΟΗ ισχύει :,, ˆ ˆ Σε ίσα τόξα ενός κύκλου ή ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντιστρόφως. Σε ίσες χορδές ενός κύκλου ή ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσα αποστήματα και αντιστρόφως. Έτσι στο παραπάνω σχήμα ισχύουν οι ισοδυναμίες : Αν σε μια άσκηση δοθεί σαν δεδομένο ότι δύο χορδές είναι ίσες τότε πολλές φορές είναι χρήσιμο να φέρνουμε τα αποστήματα, για τα οποία θα ξέρουμε ότι είναι ίσα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

7 ) Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ να συγκρίνετε α) τις διαμέσους ΒΖ, ΓΕ, β) τα ύψη ΒΚ, ΓΛ, γ) τις διχοτόμους ΒΜ, ΓΝ α) Αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές είναι ΑΒ=ΑΓ και επειδή Ε, Ζ μέσα είναι και ΒΕ =ΓΖ. Επίσης οι γωνίες της βάσης Β,Γ είναι ίσες Τα τρίγωνα ΒΕΓ, ΒΖΓ είναι ίσα ( Π-Γ-Π) αφού ΒΕ=ΓΖ, ΒΓ κοινή και ˆ ˆ. Επομένως και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΒΖ=ΓΕ. β) Τα τρίγωνα ΒΚΓ, ΒΛΓ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια με ΒΓ κοινή και ˆ ˆ.Επομένως και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΒΚ=ΓΛ. γ) Τα τρίγωνα ΒΜΓ, ΒΝΓ είναι ίσα ( Γ-Π-Γ) αφού ΒΓ κοινή, ˆ ˆ και ˆ ˆ ως μισές των ίσων Β,Γ.Επομένως και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΒΜ=ΓΝ. ) Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και προς τα δύο άκρα κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ. Να δείξετε ότι το ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Οι γωνίες ˆ ˆ, είναι προσκείμενες στη βάση ΒΓ και άρα ˆ ˆ. Άρα και για τις παραπληρωματικές τους ˆ ˆ, είναι ˆ ˆ.Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα (Π-Γ-Π) αφού ΑΒ=ΑΓ, ΒΔ=ΓΕ και ˆ ˆ Επομένως και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΑΔ=ΑΕ. Η τελευταία σχέση σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

8 3) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. α) Να δείξετε ότι το μέσο Μ της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχει από τις ίσες πλευρές. β)να δείξετε ότι η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές. α) Αρκεί να δείξουμε ότι ΜΔ = ΜΕ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΕΓ. Είναι ορθογώνια με ΜΒ = ΜΓ ( αφού Μ μέσο της πλευράς ΒΓ ) και ˆ ˆ ( γωνίες προσκείμενες στη βάση ισοσκελόυς τριγώνου). Επομένως είναι ίσα και συνεπώς είναι και ΜΔ = ΜΕ. β) Αρκεί να δείξουμε ότι ˆ ˆ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΜΕ. Είναι ορθογώνια με ΑΜ κοινή και ΜΔ = ΜΕ από το προηγούμενο ερώτημα. Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα και άρα ˆ ˆ. 4) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν α) από τη βάση β) από τις ίσες πλευρές Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

9 Έστω λοιπόν ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Μ, Ν τα μέσα των ίσων πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Θα δείξουμε ότι ΜΔ = ΝΕ (Σχήμα ) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΝΕΓ. Είναι ορθογώνια με ΜΒ = ΝΓ ( ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ = ΑΓ ) και ˆ ˆ ( γωνίες προσκείμενες στη βάση ισοσκελόυς τριγώνου). Επομένως είναι ίσα και συνεπώς είναι και ΜΔ = ΝΕ. β) Θα δείξουμε ότι ΜΛ = ΝΚ ( Σχήμα ) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΑΝΚ. Είναι ορθογώνια με ΜΑ = ΝΑ ( ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ = ΑΓ ) και έχουν τη γωνία ˆ κοινή. Επομένως είναι ίσα και συνεπώς είναι και ΜΛ = ΝΚ. 5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και Μ, Ν τα μέσα των ίσων πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Έστω Δ και Ε σημεία της βάσης του τριγώνου, τέτοια ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι : α) ΜΔ = ΝΕ β) ˆ ˆ γ ) το ΑΔΕ ισοσκελές α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΕΓ. Έχουν ΜΒ = ΝΓ ( ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ = ΑΓ ), ˆ ˆ ( γωνίες προσκείμενες στη βάση ισοσκελόυς τριγώνου) και ΒΔ = ΕΓ ( από την υπόθεση ). Επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα ( ΠΓΠ) και συνεπώς ΜΔ = ΝΕ β) Τα τρίγωνα ΜΔΑ και ΝΕΑ είναι ίσα (ΠΓΠ) αφού έχουν ΑΜ = ΑΝ ( ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ = ΑΓ ), ΜΔ = ΜΕ ( από το προηγούμενο ερώτημα ) και ˆ ˆ (ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ˆ ˆ οι οποίες είναι ίσες αφού στο προηγούμενο ερώτημα δείξαμε ότι τα τρίγωνα ΒΜΔ και ΝΕΓ είναι ίσα ). Άρα είναι και ˆ ˆ. γ) Από την προηγούμενη ισότητα των τριγώνων ΜΔΑ και ΝΕΓ προκύπτει ότι ΑΔ = ΑΕ πράγμα που σημαίνει ότι ΑΔΕ ισοσκελές. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

10 6) Οι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών των γωνιών της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου τέμνονται στο Ο. Έστω Δ και Ε οι προβολές του Ο στις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου αντίστοιχα και Κ η προβολή του Ο στη βάση ΒΓ. α) Να δείξετε ότι ˆ ˆ ˆ ˆ β) Να δείξετε ότι ΟΔ = ΟΚ= ΟΕ. α)έστω λοιπόν ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Δ, Κ, Ε οι προβολές του Ο στις ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα. Θυμίζουμε ότι εξωτερική γωνία ενός τριγώνου λέμε την παραπληρωματική της αντίστοιχης εσωτερικής γωνίας του τριγώνου.αφού λοιπόν οι γωνίες Β και Γ είναι ίσες ( ως προσκείμενες στη βάση ) και οι παραπληρωματικές τους θα είναι ίσες, δηλαδή οι εξωτερικές γωνίες Β και Γ είναι ίσες. Και επειδή έχουμε φέρει τις εξωτερικές διχοτόμους έχουμε ότι Β = Β 3 =Γ = Γ 3 δηλ. ˆ ˆ ˆ ˆ. β) Είναι γνωστό ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Έτσι αφού το Ο ανήκει στη διχοτόμο της Β εξ θα ισαπέχει από τις πλευρές της ΒΔ και ΒΓ δηλαδή είναι ΟΔ = ΟΚ. Όμοια αφού το Ο ανήκει στη διχοτόμο της Γ εξ θα ισαπέχει από τις πλευρές της ΓΕ και ΒΓ δηλαδή είναι ΟΕ = ΟΚ.Τελικά είναι ΟΔ = ΟΚ = ΟΕ. 7) Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και προς τα δύο της άκρα, κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ. α) Να δείξετε ότι τα Δ και Ε ισαπέχουν από τις ίσες πλευρές του τριγώνου.β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές το Α και τις προβολές των Δ και Ε στις ίσες πλευρές, είναι ισοσκελές. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 0

11 Έστω λοιπόν Κ και Λ οι προβολές των Δ και Ε στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Αφού ΑΒΓ ισοσκελές Β = Γ ( ως προσκείμενες στη βάση ). Όμως Β = Β ( ως κατακορυφήν ) και Γ = Γ ( ως κατακορυφήν ). Συνεπώς είναι και Β = Γ. α) Θα δείξουμε ότι ΚΔ = ΛΕ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΒΔΚ και ΓΕΔ. Είναι ορθογώνια με ΒΔ = ΓΕ ( από υπόθεση ) και Β = Γ ( το έχουμε αιτιολογήσει παραπάνω ).Επομένως είναι ίσα και συνεπώς ΚΔ = ΛΕ. β) Από την προηγούμενη ισότητα των τριγώνων προκύπτει επίσης ότι ΒΚ = ΓΛ. Επίσης ΑΒ =ΑΓ αφού ΑΒΓ ισοσκελές. Επομένως είναι και ΑΚ = ΑΛ ( ως άθροισμα των ίσων τμημάτων ΑΒ = ΑΓ και ΒΚ = ΓΛ ), πράγμα που αποδεικνύει ότι ΑΚΛ ισοσκελές. 8) Δίνεται κύκλος (Ο, ρ ) και μια χορδή του ΑΒ. Πάνω στη χορδή παίρνουμε δύο σημεία Γ και Δ έτσι ώστε ΑΓ = ΒΔ.α) Να δείξετε ότι ΟΓ = ΟΔ. β) Να δείξετε ότι το απόστημα της χορδής ΑΒ διχοτομεί το ΓΔ και τη γωνία ΓΟΔ. α) Θέλουμε να βγάλουμε τα ΟΓ και ΟΔ. Δημιουργούμε λοιπόν δύο τρίγωνα που στο ένα ανήκει το ΟΓ και στο άλλο το ΟΔ, με σκοπό να τα βγάλουμε ίσα. Τα δημιουργούμε λοιπόν με τις κατάλληλες προϋποθέσεις για μας φέρνοντας τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ.Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟΒΔ. Έχουν ΟΑ = ΟΒ (ως ακτίνες του κύκλου ) ΑΓ = ΒΔ ( από την υπόθεση ) Α = Β ( ως προσκείμενες στη βάση του ισοσκελόυς ΟΑΒ ) Τα τρίγωνα λοιπόν είναι ίσα ( ΠΓΠ) και συνεπώς είναι και ΟΓ = ΟΔ β) Αφού δείξαμε ότι ΟΓ = ΟΔ, συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές. Έτσι το απόστημα ΟΚ που για το ισοσκελές τρίγωνο ΟΓΔ είναι ύψος, θα είναι και διάμεσος και διχοτόμος του.το ότι είναι διχοτόμος σημαίνει ότι το ΟΚ διχοτομεί τη γωνία ΔΟΓ.Το ότι είναι διάμεσος σημαίνει ότι το Κ είναι το μέσο της ΓΔ και άρα το ΟΚ διχοτομεί το ΓΔ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

12 9) Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι (Ο, Ρ ) και (Ο, ρ) με Ρ > ρ. Μια ευθεία ε τέμνει τους δύο κύκλους κατά σειρά στα σημεία Α, Β, Γ, Δ. Να δείξετε ότι ΑΒ = ΓΔ. Αυτό που θα σκεφτόταν να κάνει κάποιος για να δείξει ότι ΑΒ = ΓΔ, είναι να φέρει τις ακτίνες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ και να προσπαθήσει να βγάλει τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ ίσα. Αν όμως προσπαθήσει να το κάνει θα δει ότι δεν θα τα καταφέρει διότι δεν θα έχει επαρκή στοιχεία. Για αυτό λοιπόν σκεφτόμαστε να φέρουμε το απόστημα ΟΚ κάτι που το κάνουμε συχνά σε τέτοιες ασκήσεις. Τα τρίγωνα ΟΑΚ και ΟΔΚ είναι ίσα, αφού είναι ορθογώνια με ΟΚ κοινή και ΟΑ = ΟΔ ως ακτίνες του μεγάλου κύκλου. Από την ισότητα των τριγώνων αυτών προκύπτει ότι ΑΚ = ΚΔ.Όμως είναι και ΒΚ = ΚΓ γιατί γνωρίζουμε ότι το απόστημα ΟΚ καταλήγει στο μέσο της χορδής ΒΓ στο μικρό κύκλο. Τελικά είναι ΑΒ = ΓΔ ως διαφορά των ίσων τμημάτων ΑΚ = ΚΔ και ΒΚ = ΚΓ. 0) Δίνεται κύκλος ( Ο, ρ ) και δύο ίσες χορδές του ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται εντός του κύκλου στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι η διχοτόμος μιας από τις δύο γωνίες με κορυφή το Μ διέρχεται από το Ο. Φέρνουμε το ΟΜ και θα δείξουμε ότι διχοτομεί τη γωνία ΑΜΔ. Αρκεί να δείξουμε ότι ˆ ˆ. Η ισότητα των χορδών ΑΒ και ΓΔ μας οδηγεί στη σκέψη να φέρουμε τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ για τα οποία ξέρουμε ότι είναι ίσα, αφού σε ίσες χορδές αντιστοιχούν ίσα αποστήματα.συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΟΜΚ και ΟΜΛ. Είναι ορθογώνια με ΟΜ κοινή και ΟΚ = ΟΛ ( ως αποστήματα που αντιστοιχούν σε ίσε χορδές ). Επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα και συνεπώς είναι και ˆ ˆ. Παρατήρηση : Όταν δίνεται ως υπόθεση ισότητα χορδών φέρνουμε τα αντίστοιχα αποστήματα για τα οποία ξέρουμε ότι είναι ίσα.είναι κάτι που το κάνουμε συχνά και που πρέπει να το έχετε υπ όψη σας. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

13 ) Δίνεται κύκλος (Ο,ρ ) και δύο ίσες χορδές του ΑΒ και ΓΔ που αν προεκταθούν τέμνονται στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι ΜΑ = ΜΓ, ΜΒ = ΜΔ και ότι η ΟΜ διχοτομεί τη γωνία ΑΜΓ. Η ισότητα των χορδών ΑΒ και ΓΔ μας οδηγεί στη σκέψη να φέρουμε τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ για τα οποία ξέρουμε ότι είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΟΚΜ και ΟΛΜ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια με ΟΜ κοινή και ΟΚ = ΟΛ ( ως αποστήματα που αντιστοιχούν σε ίσες χορδές ). Έτσι ΜΚ = ΜΛ και οι γωνίες ˆ ˆ. Αφού ˆ ˆ συμπεραίνουμε ότι η ΟΜ διχοτομεί τη γωνία ΑΜΓ. Επίσης τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ καταλήγουν στα μέσα των χορδών ΑΒ και ΓΔ πράγμα που σημαίνει ότι ΑΚ = ΚΒ, ΓΛ = ΔΛ. Τελικά ΜΑ = ΜΓ ως διαφορά των ίσων τμημάτων ΜΚ = ΜΛ και ΑΚ = ΓΛ.Επίσης ΜΒ = ΜΔ ως άθροισμα των ίσων τμημάτων ΜΚ = ΜΛ και ΒΚ = ΔΛ. ) Να αποδείξετε ότι αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε και τα δευτερεύοντα στοιχεία τους θα είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ τα οποία είναι ίσα και συνεπώς θα έχουν όλα τα κύρια στοιχεία τους ίσα ένα προς ένα. Θα δείξουμε ότι το ίδιο ισχύει και για τα δευτερεύοντα στοιχεία τους και συγκεκριμένα θα το δείξουμε για αυτά που άγονται από την κορυφή Α και έτσι ομοίως θα ισχύει και για τις άλλες κορυφές. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

14 Θα δείξουμε ότι τα ύψη ΑΔ και Α Δ είναι ίσα. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α Β Δ. Είναι ορθογώνια με ΑΒ = Α Β (υποθ) και ˆ ˆ ( υποθ) και συνεπώς είναι ίσα, πράγμα που σημαίνει ότι και ΑΔ=Α Δ. Θα δείξουμε ότι οι διχοτόμοι ΑΕ και Α Ε είναι ίσες. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΕ και Α Β Ε. Έχουν ΑΒ = Α Β (υποθ), ˆ ˆ ( υποθ) και ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Συνεπώς είναι ίσα ( Γ Π Γ ), πράγμα που σημαίνει ότι ΑΕ = ΑΈ. Θα δείξουμε ότι οι διάμεσοι ΑΜ και Α Μ είναι ίσες. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α Β Μ. Έχουν ΑΒ = Α Β (υποθ), ˆ ˆ ( υποθ) και ΒΜ = Β Μ ( ως μισά των ίσων τμημάτων ΒΓ = Β Γ ). Συνεπώς είναι ίσα ( Π Γ Π ), πράγμα που σημαίνει ότι ΑΜ = Α Μ. Παρατήρηση : Αν προσπαθήσετε να φέρετε στο ίδιο σκαληνό τρίγωνο το ύψος, τη διχοτόμο και τη διάμεσο από την ίδια κορυφή, θα έχετε πρόβλημα γιατί δεν θα ξέρετε ποια θα είναι στη μέση. Όπως όμως θα μάθουμε παρακάτω η σειρά είναι όπως παραπάνω, δηλαδή η διχοτόμος βρίσκεται πάντα ανάμεσα στο ύψος και τη διάμεσο. 3) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι β = β, γ = γ και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι σημαίνει ότι οι διάμεσοι που άγονται από τις κορυφές Β και Β είναι ίσες. Δεδομένου ότι β = β, γ = γ, αυτό που μας λείπει για να βγάλουμε τα ΑΒΓ και Α Β Γ ίσα είναι η περιεχόμενη γωνία ή η τρίτη πλευρά Θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. Συγκρίνουμε τα ΑΒΜ και Α Β Μ. Έχουν ΑΒ = Α Β ( υποθ γ = γ ), ΒΜ = Β Μ ( υποθ ) και ΑΜ = Α Μ ( ως μισά των ίσων τμημάτων β = β ). Επομένως είναι ίσα ( Π Π Π ) πράγμα που σημαίνει ότι και ˆ ˆ.Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα ( Π Γ Π ), αφού β = β, γ = γ και ˆ ˆ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

15 4) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι β = β, ˆ ˆ και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι σημαίνει ότι οι διχοτόμοι που άγονται από τις κορυφές Α και Α είναι ίσες. Δεδομένου ότι β = β, ˆ ˆ, αυτό που μας λείπει για να βγάλουμε τα ΑΒΓ και Α Β Γ ίσα είναι ή ότι γ = γ ή ότι ˆ ˆ. Θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΔΓ και Α Δ Γ. Έχουν ΑΓ = Α Γ ( υποθ β = β ), ΑΔ = Α Δ ( υποθ ) και ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Συνεπώς τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα ( Π Γ Π ), πράγμα που σημαίνει ότι ˆ ˆ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα ( Γ Π Γ ), αφού β = β, ˆ ˆ και ˆ ˆ. 5) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι α = α, και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

16 Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι και σημαίνει ότι οι διάμεσοι και τα ύψη που άγονται από τις κορυφές Α και Α είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΔΜ και Α Δ Μ είναι ίσα, αφού είναι ορθογώνια με ΑΔ = Α Δ ( υποθ ) και ΑΜ = Α Μ (υποθ ).Επομένως είναι και ˆ ˆ. Τα τρίγωνα ΑΓΜ και Α Γ Μ είναι ίσα ( Π Γ Π ), αφού έχουν ΑΜ = Α Μ (υποθ ), ΜΓ = Μ Γ ( ως μισά των ίσων πλευρών α = α ) και ˆ ˆ ( ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Επομένως είναι και ΑΓ = Α Γ και ˆ ˆ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα ( Π Γ Π ) αφού έχουν ΒΓ = Β Γ, ΑΓ = Α Γ και ˆ ˆ. 6) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι ˆ ˆ, και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι και σημαίνει ότι οι διχοτόμοι και τα ύψη που άγονται από τις κορυφές Α και Α είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΔΕ και Α Δ Ε είναι ίσα, αφού είναι ορθογώνια με ΑΔ = Α Δ ( υποθ ) και ΑΕ = Α Ε (υποθ ).Επομένως είναι και ˆ ˆ. Τα τρίγωνα ΑΓΕ και Α Γ Ε είναι ίσα ( Γ Π Γ ), αφού έχουν ΑΕ = Α Ε (υποθ ), ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ) και ˆ ˆ ( ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Επομένως είναι και ΑΓ = Α Γ και ˆ ˆ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα ( Π Γ Π ) αφού έχουν ˆ ˆ, ΑΓ = Α Γ και ˆ ˆ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

17 7) Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ για τα οποία ισχύει ότι β = β, γ = γ και. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με τα στοιχεία που περιγράφει η άσκηση. Θυμίζουμε ότι σημαίνει ότι οι διάμεσοι που άγονται από τις κορυφές Α και Α είναι ίσες. Δεδομένου ότι β = β, γ = γ, αυτό που μας λείπει για να βγάλουμε τα ΑΒΓ και Α Β Γ ίσα είναι η περιεχόμενη γωνία ή η τρίτη πλευρά Θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. Επειδή από διαμορφωμένα τρίγωνα, δεν μπορούμε να βγάλουμε κάποια ίσα προεκτείνουμε τις διαμέσους ΑΜ και Α Μ κατά ίσα τμήματα ΜΔ και Μ Δ αντίστοιχα. Είναι μια τεχνική που κάνουμε συχνά όταν έχουμε ισότητα διαμέσων και πρέπει να την έχετε υπ όψη σας. Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΔΜΓ είναι ίσα ( Π Γ Π ) αφού ΒΜ = ΜΓ ( Μ μέσο), ΑΜ = ΜΔ ( από κατασκευή ) και ˆ ˆ ( ως κατακορυφήν ). Αυτό σημαίνει ότι ΑΒ = ΓΔ και ˆ ˆ (). Όμοια Α Μ Β = Δ Μ Γ και άρα Α Β = Γ Δ και ˆ ˆ (). Τα τρίγωνα ΑΓΔ και Α Γ Δ είναι ίσα ( Π Γ Π ), αφού ΑΓ = Α Γ ( υποθ β = β ), ΑΔ = Α Δ ( ως διπλάσια των ίσων τμημάτων ) και ΓΔ = Γ Δ ( αφού ΓΔ = ΑΒ = Α Β = Γ Δ ) Αυτό σημαίνει ότι ˆ ˆ (3) και ˆ ˆ (4). Από (), (), (3) συμπεραίνουμε ότι ˆ ˆ (5). Με πρόσθεση κατά μέλη των (3) και (5) έχουμε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ( Π Γ Π ), αφού β = β, γ = γ και ˆ ˆ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

18 8) Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και μια ευθεία ε που διέρχεται από το μέσο του ΑΒ. Να δείξετε ότι τα Α, Β ισαπέχουν από την ε. Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΒΜΔ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια με ΑΜ=ΜΒ ( Μ μέσο ) και ˆ ˆ ως κατά κορυφήν. Άρα και τα υπόλοιπα στοιχεί είναι ίσα και επειδή απέναντι από ίσες πλευρές ίσες γωνίες και αντίστροφα, έχουμε ότι ΑΓ=ΒΔ δηλαδή τα Α, Β ισαπέχουν από την ε. 9) Δίνονται δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ, Θ το σημείο τομής της διαμέσου ΑΜ και της διχοτόμου ΒΔ και Θ το σημείο τομής της διαμέσου Α Μ και της διχοτόμου Β Δ. Να δείξετε ότι ΑΘ = Α Θ και ΘΔ = Θ Δ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α Β Δ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ˆ ˆ ( υποθ) και ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Άρα ΒΔ = Β Δ (). Τα τρίγωνα ΑΒΜ και Α Β Μ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ΒΜ = Β Μ ( ως μισά των ίσων ΒΓ = Β Γ ) και ˆ ˆ. Άρα ˆ ˆ Τα τρίγωνα ΑΒΘ και Α Β Θ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ) και ˆ ˆ ( από πριν ). Άρα ΑΘ = Α Θ και ΒΘ = Β Θ (). Τέλος με αφαίρεση κατά μέλη των () και () έχουμε ότι ΒΔ ΒΘ = Β Δ - Β Θ δηλαδή ΘΔ = Θ Δ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

19 0) Δίνονται δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ, Θ το σημείο τομής του ύψους ΑΕ και της διχοτόμου ΒΔ και Θ το σημείο τομής του ύψους Α Ε και της διχοτόμου Β Δ. Να δείξετε ότι ΑΘ = Α Θ και ΘΔ = Θ Δ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και Α Β Δ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ˆ ˆ ( υποθ) και ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Άρα ΒΔ = Β Δ (). Τα τρίγωνα ΑΒΕ και Α Β Ε είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια με ΑΒ = Α Β ( υποθ) και ˆ ˆ. Άρα ˆ ˆ Τα τρίγωνα ΑΒΘ και Α Β Θ είναι ίσα αφού ΑΒ = Α Β ( υποθ), ˆ ˆ ( ως μισά των ίσων γωνιών ˆ ˆ ) και ˆ ˆ ( από πριν ).Άρα ΑΘ = Α Θ και ΒΘ = Β Θ (). Τέλος με αφαίρεση κατά μέλη των () και () έχουμε ότι ΒΔ ΒΘ = Β Δ - Β Θ δηλαδή ΘΔ = Θ Δ. ) Δίνεται γωνία ˆ και σημεία Α, Β στην πλευρά Οχ και Γ, Δ στην πλευρά Οψ έτσι ώστε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. Αν Μ το σημείο τομής των ΑΔ και ΒΓ, να δείξετε ότι η διχοτόμος της ˆ θα περάσει από το Μ. Ενώνουμε το Ο με το Μ και θα δείξουμε ότι ΟΜ διχοτόμος της γωνίας δηλαδή θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. ˆ, Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

20 Αυτό θα προκύψει από την ισότητα των ΑΟΜ και ΟΓΜ που όμως δεν μπορώ να τα βγάλω ίσα γιατί δεν ξέρω ότι ΑΜ = ΓΜ. Θα δείξω λοιπόν πρώτα ότι ΑΜ = ΓΜ. Αυτό θα συμβεί από την ισότητα των ΑΜΒ και ΑΜΓ, που όμως δεν μπορώ να τα βγάλω ίσα γιατί δεν έχω επαρκή στοιχεία.ξεκινάω λοιπό από τα μόνα τρίγωνα που μπορώ να βγάλω ίσα και είναι τα ΟΑΔ και ΟΒΓ. Είναι ΟΑΔ = ΟΒΓ αφού ΟΑ = ΟΓ, ΟΒ = ΟΔ και ˆ κοινή. Άρα είναι και ˆ ˆ ˆ ˆ. Είναι ΑΜΒ = ΓΜΔ αφού ΑΒ = ΓΔ (ως διαφορά των ίσων ΟΒ = ΟΔ και ΟΑ = ΟΓ ), ˆ ˆ ˆ ˆ ( ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ˆ ˆ ). Άρα είναι και ΑΜ = ΓΜ Τελικά είναι ΟΑΜ = ΟΓΜ αφού ΟΑ = ΟΓ, ΑΜ = ΓΜ και ΟΜ κοινή. Άρα είναι και ˆ ˆ, πράγμα που σημαίνει ότι ΟΜ διχοτόμος της ˆ. Παρατήρηση : Η άσκηση αυτή δίνει ένα τρόπο κατασκευής της διχοτόμου μιας γωνίας ) Δίνονται δύο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ με κοινή βάση τη ΒΓ. Να δείξετε ότι η ΑΔ είναι η μεσοκάθετη της ΒΓ. Αφού ΑΒΓ ισοσκελές έχουμε ότι ΑΒ = ΑΓ πράγμα που σημαίνει ότι το Α ισαπέχει από τα άκρα του ΒΓ και συνεπώς ανήκει στη μεσοκάθετη της ΒΓ. Όμοια αφού ΔΒΓ ισοσκελές έχουμε ότι ΔΒ = ΔΓ πράγμα που σημαίνει ότι το Δ ισαπέχει από τα άκρα του ΒΓ και συνεπώς ανήκει στη μεσοκάθετη της ΒΓ. Όμως τα σημεία Α και Δ ορίζουν μοναδική ευθεία και αφού και τα δύο ανήκουν στη μεσοκάθετο του ΒΓ συμπεραίνουμε ότι η μεσοκάθετος του ΒΓ είναι η ΑΔ. Παρατήρηση : Όταν έχουμε σαν δεδομένο ότι ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ενός ευθυγράμμου τμήματος, τότε το μυαλό μας πηγαίνει κατευθείαν στην ιδιότητα που έχουν τα σημεία της, αλλά και αντίστροφα αν θέλουμε να δείξουμε ότι ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ενός ευθυγράμμου τμήματος δείχνουμε ότι το σημείο αυτό ισαπέχει από τα άκρα του. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 0

21 3) Σε τρίγωνο ΑΒΓ η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓ και η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνονται σε σημείο Δ εκτός του τριγώνου. Αν Ε και Ζ οι προβολές του Δ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα να δείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ. Αφού το Δ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΒΓ, θα ισαπέχει από τα άκρα του, δηλαδή ΔΒ = ΔΓ. Αφού το Δ ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας Α θα ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας, δηλαδή ΔΕ = ΔΖ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΔΒΕ, ΔΓΖ. Είναι ορθογώνια με ΔΒ = ΔΓ και ΔΕ = ΔΖ. Συνεπώς είναι ίσα και άρα είναι και ΒΕ = ΓΖ. Παρατήρηση :Όταν έχουμε σαν δεδομένο ότι ένα σημείο ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας, τότε το μυαλό μας πηγαίνει κατευθείαν στην ιδιότητα που έχουν τα σημεία της, αλλά και αντίστροφα αν θέλουμε να δείξουμε ότι ένα σημείο ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας δείχνουμε ότι το σημείο αυτό ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Ασκήσεις για λύση ) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ). Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ και προς τις δύο πλευρές κατά ίσα τμήματα ΒΕ και ΓΖ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΖΕ είναι ισοσκελές. ) Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ, Α Β Γ έχουν β = β, ˆ ˆ,, να δείξετε ότι είναι και ˆ ˆ. 3) Να δείξετε ότι το τρίγωνο που ορίζουν τα μέσα πλευρών ισοσκελούς τριγώνου, είναι ισοσκελές. ( Υπόδειξη : Θεωρείστε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, πάρτε τα μέσα των πλευρών του, Δ του ΑΒ, Ε του ΑΓ, Μ του ΒΓ και προσπαθήστε με κατάλληλη σύγκριση τριγώνων να δείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ ) 4) Σε κύκλο ( Ο, ρ ) θεωρούμε χορδή ΑΒ και δύο σημεία της Γ και Δ ώστε ΑΓ = ΒΔ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές. 5) Να δείξετε ότι οι διάμεσοι που καταλήγουν στις ίσες πλευρές ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. ( Υπόδειξη : Θεωρείστε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, πάρτε τα μέσα των πλευρών του, Δ του ΑΒ, Ε του ΑΓ και προσπαθήστε με κατάλληλη σύγκριση τριγώνων να δείξετε ότι ΓΔ = ΒΕ ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

22 Θεώρημα Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών τριγώνου Σε κάθε τρίγωνο η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμιά από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. Έτσι λοιπόν στο παραπάνω σχήμα ισχύει ότι : Α εξ = Α > Β και Α εξ = Α > Γ Β εξ = Β > Α και Β εξ = Β > Γ Γ εξ = Γ > Β και Γ εξ = Γ > Α Συνέπειες του θεωρήματος. Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια ορθή ή μια αμβλεία γωνία. Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο από 80 ο. Παρατηρήσεις. Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι η γωνία που σχηματίζεται από τη μια πλευρά της αντίστοιχης εσωτερικής και την προέκταση της άλλης. Για να σχηματιστεί προεκτείνουμε μία από τις δύο πλευρές της αντίστοιχης εσωτερικής.. Η εξωτερική γωνία με την αντίστοιχη εσωτερική είναι παραπληρωματικές. 3. Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη εσωτερική ( αν η εσωτερική είναι οξεία ), μικρότερη ( αν η εσωτερική είναι αμβλεία ) και ίση ( αν η εσωτερική είναι ορθή ). Θεώρημα Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται ομοίως άνισες γωνίες και αντίστροφα. Έτσι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε τις εξής ισοδυναμίες : ΑΒ < ΑΓ Γ < Β, ΑΓ < ΒΓ Β < Α, ΑΒ < ΒΓ Γ <Α Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

23 Συνέπειες του θεωρήματος. Σε ένα ορθογώνιο μεγαλύτερη πλευρά είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία δηλαδή η υποτείνουσα.. Σε ένα αμβλυγώνιο μεγαλύτερη πλευρά είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την αμβλεία γωνία. 3. Αν ένα τρίγωνο έχει δύο ίσες γωνίες είναι ισοσκελές. 4. Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες ίσες είναι ισόπλευρο. Θεώρημα 3 Κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. Έτσι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις : β-γ< α < β+γ, α-γ< β < α+γ, β-α< γ < β+α Συνέπειες του θεωρήματος. Κάθε χορδή ενός κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου.. Ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Παρατήρηση Το θεώρημα 3 και όπως αυτό μεταφράζεται με τις αντίστοιχες σχέσεις, λέγεται τριγωνική ανισότητα. Η τριγωνική ανισότητα αποτελεί το κριτήριο για το αν 3 αριθμοί και γενικά 3 ποσότητες μπορούν να αποτελέσουν πλευρές τριγώνου. Συγκεκριμένα συγκρίνουμε τη μεγαλύτερη από τις 3 με το άθροισμα των δύο άλλων και αν τη βγάλουμε μικρότερη μπορούν να αποτελέσουν πλευρές τριγώνου, διαφορετικά όχι. Βασική εφαρμογή Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές είναι ομοίως άνισες. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις τρίτες πλευρές άνισες, τότε και οι περιεχόμενες στις ίσες πλευρές γωνίες είναι ομοίως άνισες. Έτσι αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ ισχύει ότι : ΑΒ = Α Β, ΑΓ = Α Γ και Α < Α τότε είναι και ΒΓ < Β Γ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

24 Μεθοδολογία ασκήσεων. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να συγκρίνουμε πλευρές ή γωνίες του ίδιου τριγώνου χρησιμοποιούμε τα θεωρήματα και.. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να συγκρίνουμε πλευρές ή γωνίες που ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα, τότε κοιτάμε αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής και προσπαθούμε να τη λύσουμε με βάση αυτή. 3. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να συγκρίνουμε πλευρές ή γωνίες που ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα και δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής, τότε προσπαθούμε να μεταφέρουμε τα υπό σύγκριση στοιχεία στο ίδιο τρίγωνο και να τη λύσουμε με τη βοήθεια των θεωρημάτων και. 4. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να αποδείξουμε μια ανισοτική σχέση που συνδέει πλευρές ενός τριγώνου τότε κάνουμε χρήση της τριγωνικής ανισότητας. 5. Αν σε μία άσκηση μας ζητούν να αποδείξουμε μια ανισοτική σχέση που συνδέει πλευρές από διαφορετικά τρίγωνα, τότε εφαρμόζουμε διαδοχικά την τριγωνική ανισότητα στα τρίγωνα αυτά και συνδυάζοντας κατάλληλα τις ανισότητες που προκύπτουν έχουμε το ζητούμενο. Λυμένες ασκήσεις ) Αν Μ σημείο της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου να δείξετε ότι ΑΜ < ΑΒ. Η γωνία Μ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΜΓ και άρα είναι Μ > Γ (). Όμως το ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ και άρα Β = Γ (). Από () και () έχουμε ότι Μ > Β. Στο τρίγωνο ΑΒΜ είναι Μ > Β και επειδή απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοίως άνισες πλευρές έχουμε ότι ΑΜ < ΑΒ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

25 ) Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ο ), η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει τη ΑΒ στο Δ. Να δείξετε ότι ΑΔ < ΔΒ. Οι πλευρές ΑΔ και ΔΒ που θέλουμε να συγκρίνουμε ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα και οι προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής δεν ικανοποιούνται. Θα προσπαθήσουμε να μεταφέρουμε τα τμήματα ΑΔ και ΔΒ στο ίδιο τρίγωνο. Φυσικά η έννοια μεταφέρουμε είναι μεταφορική. Στην ουσία θα προσπαθήσουμε να βρούμε ένα τρίγωνο στο οποίο να ανήκει η μια από τις δύο και να ανήκει και μια πλευρά ίση με την άλλη. Φέρνουμε λοιπόν από το Δ κάθετη στη ΒΓ στο Ε. Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΓΔΕ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια μα ΓΔ κοινή και Γ = Γ ( αφού ΓΔ διχοτόμος ). Άρα ΑΔ = ΑΕ (). Αντί λοιπόν να συγκρίνουμε την ΔΒ με την ΑΔ θα συγκρίνουμε την ΔΒ με την ίση της ΔΕ. Το τρίγωνο ΔΕΒ είναι ορθογώνιο και η ΔΒ υποτείνουσα. Επειδή σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά είναι η υποτείνουσα έχουμε ότι ΔΒ > ΔΕ (). Από (), () έχουμε ότι ΔΒ > ΑΔ. 3) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι μ α < α/ να δείξετε ότι Α > Β +Γ. Τι ισχύει αν μ α = α/ ή μ α > α/. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

26 Στο τρίγωνο ΑΒΜ η σχέση μ α < α/ μεταφράζεται σε ΑΜ < ΒΜ, από όπου συμπεραίνουμε ότι Β < Α (). Στο τρίγωνο ΑΓΜ η σχέση μ α < α/ μεταφράζεται σε ΑΜ < ΓΜ, από όπου συμπεραίνουμε ότι Γ < Α (). Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε ότι : Β + Γ < Α + Α Β + Γ < Α. Προφανώς αν μ α = α/ τότε Β + Γ = Α και αν μ α > α/ τότε Β + Γ > Α. 4) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Να δείξετε ότι ΜΑΒ > ΜΑΓ. Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ έχουν δύο πλευρές ίσες ( ΑΜ κοινή και ΜΒ = ΜΓ αφού Μ μέσο ) και τις τρίτες πλευρές άνισες (αφού ΑΒ < ΑΓ από υπόθεση ). Σύμφωνα με τη βασική εφαρμογή έχουμε ότι Μ < Μ ΑΜΒ < ΑΜΓ. 5) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και η διάμεσος ΑΜ. ΝΑ δείξετε ότι : α) ΜΑΒ > ΜΑΓ β) β γ < μ α < β + γ γ) μ α + μ β + μ γ < τ Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

27 α) Οι γωνίες ΜΑΒ και ΜΑΓ που θέλουμε να συγκρίνουμε ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα και οι προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής δεν ικανοποιούνται. Θα προσπαθήσουμε να μεταφέρουμε τις γωνίες αυτές στο ίδιο τρίγωνο. Φυσικά η έννοια μεταφέρουμε είναι μεταφορική.στην ουσία θα προσπαθήσουμε να βρούμε ένα τρίγωνο στο οποίο να ανήκει η μια από τις δύο και να ανήκει και μια γωνία ίση με την άλλη. Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΔ.Είναι ένα τέχνασμα που κάνουμε συχνά για τη διάμεσο και πρέπει να το έχετε στο νου σας. Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΜΓΔ είναι ίσα, αφού ΜΒ = ΜΓ ( Μ μέσο ), ΑΜ = ΜΔ και Μ = Μ ( κατά κορυφήν ). Άρα είναι και ΑΒ = ΓΔ και Α = Δ (). Στο τρίγωνο ΑΓΔ είναι ΑΓ > ΓΔ ( αφού ΑΓ > ΑΒ και ΑΒ = ΓΔ ), οπότε το ίδιο θα ισχύει και για τις απέναντι γωνίες, δηλαδή Α < Δ (). Από (), () έχουμε ότι Α < Α δηλαδή ΜΑΒ > ΜΑΓ. β) Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΓΔ δίνει : ΑΓ ΓΔ < ΑΔ < ΑΓ +ΓΔ ΑΓ ΑΒ < ΑΜ < ΑΓ +ΑΒ β γ < μ α < β + γ. γ) Αντίστοιχα και για τις άλλες διάμεσους έχουμε ότι : μ α < β + γ, μ β < α + γ, μ γ < β + α Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω σχέσεων έχουμε : μ α + μ β + μ γ < β + γ + α +γ + β + α ( μ α + μ β + μ γ ) < ( α + β + γ ) μ α + μ β + μ γ < α + β + γ μ α + μ β + μ γ < τ Θυμίζουμε ότι με τ συμβολίζουμε την περίμετρο ενός τριγώνου, δηλαδή α + β + γ = τ. 6) Έστω κύκλος (Ο, ρ ) και δύο τόξα ΑΒ, ΓΔ. Αν να δείξετε ότι ΑΒ < ΓΔ. Αν Μ το μέσο του τόξου ΑΒ τότε όποτε και για τις αντίστοιχες χορδές ισχύει ότι ΑΜ = ΜΒ = ΓΔ. Με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΑΜΒ έχουμε ότι : ΑΒ < ΑΜ + ΜΒ ΑΒ < ΓΔ + ΓΔ ΑΒ < ΓΔ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

28 7) Να δείξετε ότι σε άνισα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν ομοίως άνισες χορδές και αντίστροφα. Έστω λοιπόν ένας κύκλος ( Ο, ρ ) και δύο τόξα του ΑΒ και ΓΔ με. Θα δείξουμε ότι το ίδιο ισχύει και για τις αντίστοιχες χορδές τους, δηλαδή ΑΒ < ΓΔ Φέρνουμε τις ακτίνες ΟΑ,ΟΒ,ΟΓ, ΟΔ. Τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΓΔ έχουν δύο πλευρές ίσες ( ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = ΟΔ = ρ ) και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες ( Ο < Ο ως επίκεντρες που βαίνουν σε ομοίως άνισα τόξα ). Σύμφωνα με τη βασική εφαρμογή το ίδιο θα ισχύει και για τις τρίτες πλευρές, δηλαδή ΑΒ < ΓΔ. Το αντίστροφο αποδεικνύεται με το αντίστροφο της βασικής εφαρμογής. 8) Έστω κύκλος (Ο, ρ ) διαμέτρου ΑΒ και σημείο Σ της ημιευθείας ΟΑ. Για κάθε σημείο Μ του κύκλου να δείξετε ότι Για κάθε σημείο Μ του κύκλου διαφορετικό από τα Α, Β η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΣΜΟ δίνει : ΣΟ ΟΜ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΜ ΣΟ ΟΑ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΒ ΣΑ < ΣΜ < ΣΒ. Αν τα σημεία Α,Μ ταυτίζονται τότε προφανώς ΣΑ = Σ Μ. Αν τα σημεία Β,Μ ταυτίζονται τότε προφανώς ΣΒ = Σ Μ. Τελικά σε κάθε περίπτωση έχουμε ότι :. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

29 9) Σε κύκλο ( Ο, ρ ) φέρουμε μια διάμετρο ΑΒ και παίρνουμε σημείο Γ της ακτίνας ΟΑ. Για οποιοδήποτε σημείο Μ του κύκλου να δείξετε ότι. Για κάθε σημείο Μ του κύκλου διαφορετικό από τα Α, Β η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΣΜΟ δίνει : ΟΜ ΟΓ < ΜΓ < ΟΜ + ΟΓ ΟΑ ΟΓ < ΣΜ < ΟΒ + ΟΓ ΑΓ < ΜΓ < ΒΓ. Αν τα σημεία Α,Μ ταυτίζονται τότε προφανώς ΓΑ = ΓΜ. Αν τα σημεία Β,Μ ταυτίζονται τότε προφανώς ΓΒ = ΓΜ. Τελικά σε κάθε περίπτωση έχουμε ότι. 0) α) Να δείξετε ότι μεταξύ δύο χορδών κύκλου μεγαλύτερη είναι αυτή που έχει το μικρότερο απόστημα και αντιστρόφως. β) Δίνεται κύκλος ( Ο, ρ ) και έστω ένα σημείο Α στο εσωτερικό του. Από όλες τις χορδές που διέρχονται από το Α να προσδιορίσετε αυτή που έχει το μεγαλύτερο και το μικρότερο μήκος. α) Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι οι δύο χορδές έχουν κοινό άκρο. Έστω λοιπόν δύο χορδές του κύκλου ΑΒ, ΑΓ με ΑΓ < ΑΒ. Θα δείξουμε ότι ΟΚ < ΟΛ. Ξέρουμε ότι τα ίχνη των αποστημάτων είναι και μέσα των χορδών. Έτσι είναι και ΑΛ < ΑΚ. Στο τρίγωνο ΑΚΛ είναι ΑΛ < ΑΚ οπότε είναι και ˆ ˆ. Επειδή οι γωνίες ˆ ˆ, και ˆ ˆ, είναι συμπληρωματικές και ισχύει ότι ˆ ˆ, έχουμε ότι ˆ ˆ. Στο τρίγωνο ΟΚΛ είναι ˆ ˆ, οπότε είναι και ΟΚ < ΟΛ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

30 Το αντίστροφο προκύπτει εύκολα με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή έστω ΟΚ < ΟΛ. Θα δείξουμε ότι ΑΒ > ΑΓ. Αν ΑΒ < ΑΓ τότε με βάση όσα είπαμε θα έπρεπε να είναι ΟΚ > ΟΛ, άτοπο. Αν ΑΒ = ΑΓ θα έπρεπε και ΟΚ = ΟΛ, άτοπο Άρα δεν μπορεί παρά να είναι ΑΒ > ΑΓ. β) Προφανώς η μεγαλύτερη είναι η διάμετρος που διέρχεται από το Α. Με βάση τα όσα είπαμε στο προηγούμενο ερώτημα, η μικρότερη χορδή που διέρχεται από το Α, θα είναι αυτή με το μεγαλύτερο απόστημα. Αυτή είναι η χορδή που είναι κάθετη στην ΟΑ γιατί για οποιαδήποτε άλλη χορδή που διέρχεται από το Α το απόστημα ΟΜ είναι μικρότερο από το ΟΑ αφού η ΟΑ είναι υποτείνουσα στο ορθογώνιο ΟΑΜ που σχηματίζεται. ) Σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να δείξετε ότι α) β) γ) δ) α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ η ΑΒ είναι υποτείνουσα και άρα ΑΔ < ΑΒ δηλαδή () Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ η ΑΓ είναι υποτείνουσα και άρα ΑΔ < ΑΓ δηλαδή (). Από () + () έχουμε ότι : β) Αντίστοιχα με το προηγούμενο έχουμε ότι Με πρόσθεση των 3 αυτών σχέσεων κατά μέλη έχουμε ότι : ( ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 30

31 γ) Στα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι :. Με πρόσθεση κατά μέλη των αυτών σχέσεων έχουμε ότι : ( ) δ) Όμοια με πριν έχουμε ότι :. Με πρόσθεση των 3 αυτών σχέσεων κατά μέλη έχουμε ότι : ) Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τυχαία σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τ < ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ < 3τ. Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΒΕ δίνει : ΑΒ ΒΕ < ΑΕ < ΑΒ + ΒΕ () Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΓΕ δίνει : ΑΓ ΓΕ < ΑΕ < ΑΓ + ΓΕ () Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε : ΑΒ + ΑΓ ( ΒΕ + ΓΕ ) < ΑΕ < ΑΒ + ΑΓ + ΒΕ +ΓΕ ΑΒ + ΑΓ ΒΓ < ΑΕ < ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ γ + β α < ΑΕ < γ + β + α. Όμοια έχουμε ότι : και Με πρόσθεση κατά μέλη των 3 αυτών σχέσεων έχουμε ότι : 3( ) 3 3 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

32 3) Από σημείο Δ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τις κάθετες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΕΖ < ΒΓ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΔ η ΒΔ είναι υποτείνουσα και άρα ΒΔ > ΕΔ (). Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΖΓ η ΓΔ είναι υποτείνουσα και άρα ΓΔ > ΖΔ (). Από () + () έχουμε ότι ΒΔ + ΓΔ > ΕΔ + ΖΔ ΒΓ > ΕΔ + ΖΔ (3). Η τριγωνικά ανισότητα στο τρίγωνο ΔΕΖ δίνει : ΕΖ < ΔΕ + ΔΖ (4). Από (3), (4) έχουμε ότι : ΒΓ > ΕΖ. 4) Έστω ε η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και σημείο Μ που δεν ανήκει στην ε. Να συγκρίνεται τις αποστάσεις ΜΑ και ΜΒ. Αν το Μ ανήκει στο ημιεπίπεδο που ορίζουν η ε και το Α τότε θα δείξουμε ότι ΜΑ < ΜΒ. Είναι ΑΓ = ΓΒ, αφού το Γ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΜΓ δίνει : ΜΑ < ΜΓ + ΑΓ ΜΑ < ΜΓ + ΓΒ ΜΑ < ΜΒ. Αν το Μ ανήκει στο άλλο ημιεπίπεδο θα είναι όμοια ΜΒ<ΜΑ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

33 5) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ. Να δείξετε ότι ΔΒ < ΔΓ. Τα τμήματα που θέλουμε να συγκρίνουμε ανήκουν σε διαφορετικά τρίγωνα, τα οποία δεν ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της βασικής εφαρμογής. Για να μπορέσουμε λοιπόν να τα συγκρίνουμε πρέπει να τα μεταφέρουμε στο ίδιο τρίγωνο.παίρνουμε λοιπόν πάνω στην ΑΓ σημείο Ε έτσι ώστε ΑΒ = ΑΕ ( υπάρχει τέτοιο σημείο αφού ΑΓ > ΑΒ ) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ είναι ίσα αφού ΑΒ = ΑΕ, ΑΔ κοινή και ˆ ˆ. Συνεπώς ΒΔ = ΔΕ () και ˆ ˆ. Είναι ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Συνεπώς στο τρίγωνο ΔΕΓ είναι ˆ ˆ, πράγμα που σημαίνει ότι :ΔΓ > ΔΕ (). Από () και () έχουμε ότι : ΔΓ > ΔΒ. 6) Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Αν τ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου, να δείξετε ότι : α) ΑΓ > τ β) ΑΓ + ΒΔ > ΑΒ + ΓΔ και ΑΓ + ΒΔ > ΑΔ + ΒΓ γ) τ < ΑΓ + ΒΔ < τ α) Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΓΔ δίνει ότι : ΑΓ < ΑΔ + ΔΓ () Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΒΓ δίνει ότι : ΑΓ < ΑΒ + ΒΓ () Με πρόσθεση κατά μέλη των (), () έχουμε ότι : ΑΓ < ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ ΑΓ < τ ΑΓ < τ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 33

34 β) Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΟΒ δίνει ότι : ΑΒ < ΑΟ + ΟΒ (3) Η τριγωνική ανισότητα στο ΟΓΔ δίνει ότι : ΓΔ < ΟΓ + ΟΔ (4) Με πρόσθεση κατά μέλη των (3), (4) έχουμε ότι : ΑΒ + ΓΔ < ΑΟ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ ΑΒ + ΓΔ < ΑΓ + ΒΔ. Η τριγωνική ανισότητα στο ΑΟΔ δίνει ότι : ΑΔ < ΑΟ + ΟΔ (5) Η τριγωνική ανισότητα στο ΟΒΓ δίνει ότι : ΒΓ < ΟΒ + ΟΓ (6) Με πρόσθεση κατά μέλη των (5), (6) έχουμε ότι : ΑΔ + ΒΓ < ΑΟ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ ΑΔ + ΒΓ < ΑΓ + ΒΔ. γ) Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισώσεων που δείξαμε στο β) έχουμε ότι : ΑΓ + ΒΔ > ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ (ΑΓ + ΒΔ ) > τ ΑΓ + ΒΔ > τ. Τέλος με πρόσθεση κατά μέλη των ΑΓ < ΑΒ + ΒΓ, ΑΓ < ΑΔ + ΔΓ, ΒΔ < ΑΒ + ΑΔ, ΒΔ < ΓΒ + ΓΔ έχουμε ότι : ΑΓ + ΒΔ < ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ (ΑΓ + ΒΔ ) < (ΑΒ +ΒΓ +ΓΔ + ΔΑ ) ΑΓ + ΒΔ < τ. Πορίσματα των ανισοτικών σχέσεων που αφορούν στα ισοσκελή τρίγωνα Με βάση τα όσα έχουμε πει για τις ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου τριγώνων, προκύπτουν τα παρακάτω χρήσιμα συμπεράσματα που αποτελούν τα αντίστροφα γνωστών προτάσεων. Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, είναι ισοσκελές. Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες ίσες, είναι ισόπλευρο. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ σημείο της πλευράς ΒΓ. Αν ισχύουν δύο από τις επόμενες προτάσεις. το τμήμα ΑΔ είναι διάμεσος. το τμήμα ΑΔ είναι διχοτόμος 3. το τμήμα ΑΔ είναι ύψος τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ. Συνοψίζοντας λοιπόν όσα έχουμε μάθει για τα ισοσκελή τρίγωνα έχουμε : Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες του ίσες. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, Δ σημείο της πλευράς ΒΓ και τις επόμενες προτάσεις. το τμήμα ΑΔ είναι διάμεσος. το τμήμα ΑΔ είναι διχοτόμος 3. το τμήμα ΑΔ είναι ύψος α) Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ και ισχύει μία από τις παραπάνω προτάσεις τότε θα ισχύουν και οι άλλες δύο β) Αν ισχύουν ταυτόχρονα δύο από τις παραπάνω προτάσεις τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 34

35 Λυμένες ασκήσεις ) Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ ισχύουν ότι ΑΒ = ΒΓ και ˆ ˆ να δείξετε ότι ΑΔ = ΔΓ. Τι συμπεραίνετε για τη ΒΔ ; Αφού ΑΒ = ΒΓ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και επομένως ˆ ˆ. Όμως είναι και ˆ ˆ, οπότε θα είναι και ˆ ˆ. Αυτό σημαίνει ότι και το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές, δηλαδή ΑΔ = ΔΓ. Αφού ΑΔ = ΔΓ και ΑΒ = ΒΓ, δηλαδή τα Β, Δ ισαπέχουν από τα σημεία Α και Γ, θα πρέπει να ανήκουν και τα δύο στην μεσοκάθετο του ΑΓ. Συνεπώς η ΒΔ είναι η μεσοκάθετος του ΑΓ. ) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΒ = ΑΓ ) και Κ, Λ τα μέσα των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Δ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΚΛ είναι ισοσκελές. Τι συμπεραίνετε για την ΑΜ ; Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 35

36 Θα δείξουμε ότι ΔΚ = ΔΛ.Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές πράγμα που σημαίνει ότι ˆ ˆ.Επομένως και οι παραπληρωματικές γωνίες τους θα είναι ˆ ˆ ίσες δηλαδή ˆ ˆ ˆ ˆ, αφού ΒΔ, ΓΔ εξωτερικές διχοτόμοι. Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές και επομένως ΒΔ = ΔΓ. Τα τρίγωνα ΚΒΔ και ΛΔΓ είναι ίσα ( Π Γ Π ) αφού ΚΒ = ΛΓ (ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒΓ =ΑΓ ), ΒΔ = ΔΓ ( το δείξαμε παραπάνω ) και ˆ ˆ ( ως άθροισμα των ίσων γωνιών ˆ ˆ και ˆ ˆ ). Επομένως θα είναι και ΚΔ = ΛΔ πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΔΚΛ είναι ισοσκελές. Αφού ΑΒ = ΑΓ και ΔΒ = ΔΓ τα Α,Δ ισαπέχουν από τα Β, Γ και άρα ΑΔ μεσοκάθετος της ΒΓ και άρα και διχοτόμος της ˆ Αφού ΑΚ = ΑΛ και ΔΚ = ΔΛ τα Α,Δ ισαπέχουν από τα Κ, Λ και άρα ΑΔ μεσοκάθετος της ΚΛ και άρα και διχοτόμος της ˆ. 3) Έστω Κ, Λ τα μέσα των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και Δ, Ε σημεία της βάσης ΒΓ ώστε ΒΔ = ΓΕ <. Οι ΚΔ και ΛΕ τέμνονται στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. Θα δείξουμε ότι ˆ ˆ. Τα τρίγωνα ΒΚΔ και ΓΛΕ είναι ίσα αφού ΒΚ = ΓΛ (ως μισά των ίσων ΑΒ = ΑΓ ), ΒΔ = ΓΕ ( υπόθεση) και ˆ ˆ ( προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς ). Άρα είναι και ΚΔ = ΕΛ, ˆ ˆ και ˆ ˆ. Επομένως είναι και ˆ ˆ ως παραπληρωματικές των ˆ ˆ και ˆ ˆ ως κατακορυφήν των ˆ ˆ. Αφού ˆ ˆ το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές και άρα ΜΔ = ΜΕ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΜΚ και ΑΜΛ είναι ίσα αφού ΑΚ = ΑΛ ( ως μισά των ίσων ΑΒ = ΑΓ ), ΜΚ = ΜΛ ( ως άθροισμα των ίσων ΜΔ = ΜΕ και ΔΚ = ΔΕ ) και ˆ ˆ. Άρα πράγματι ˆ ˆ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 36

37 4) Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Β και Γ. Να δείξετε ότι : α) το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές β) η ΑΙ είναι διχοτόμος της γωνίας Α. α) Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ, έχουμε ότι Β = Γ. Και αφού έχουμε φέρει τις διχοτόμους των γωνιών αυτών είναι και Β =Β =Γ = Γ, ως μισά των ίσων γωνιών Β=Γ.Συνεπώς στο τρίγωνο ΒΙΓ είναι Β = Γ, πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές. β) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΙ και ΑΓΙ.Έχουν ΑΒ = ΑΓ ( υπόθεση ), ΒΙ = ΓΙ (αφού δείξαμε ότι ΒΙΓ ισοσκελές ) και Β = Γ ( ως μισά των ίσων γωνιών Β = Γ ). Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα (Π Γ Π ) και επομένως είναι και Α =Α, πράγμα που σημαίνει ότι ΑΙ διχοτόμος της γωνίας Α. 5) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν η διχοτόμος ΑΔ τέμνει κάθετα τη διάμεσο ΒΜ στο σημείο Ι, να δείξετε ότι ΑΓ = ΑΒ και ΒΜ=ΒΙ. Στο τρίγωνο ΑΒΜ η διχοτόμος ΑΙ είναι και ύψος. Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΜ είναι ισοσκελές. Συνεπώς ΑΒ = ΑΜ (). Όμως ΑΓ = ΑΜ () αφού Μ μέσο της ΑΓ. Από (), () έχουμε ότι ΑΓ = ΑΒ. Επίσης στο ισοσκελές ΑΒΜ η ΑΙ θα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΒΙ = ΙΜ. Άρα πράγματι ΒΜ = ΒΙ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 37

38 6) Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι ΒΓ = ΑΒ και ˆ ˆ. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι ορθή. Η ισότητα ΒΓ = ΑΒ μας λέει ότι η πλευρά ΑΒ είναι ίση με το μισό της ΒΓ. Φέρνουμε λοιπόν τη διάμεσο ΑΜ για να δημιουργήσουμε το μισό της ΒΓ και να έχουμε μια απευθείας ισότητα. Είναι λοιπόν ΑΒ = ΒΜ = ΜΓ. Η ισότητα ˆ ˆ μας λέει ότι η γωνία Γ είναι ίση με το μισό της γωνίας Β. Φέρνουμε λοιπόν τη διχοτόμο ΒΔ ώστε να δημιουργήσουμε το μισό της γωνίας Β και να έχουμε μια απευθείας ισότητα. Είναι λοιπόν ˆ ˆ ˆ. Έτσι το τρίγωνο ΒΔΜ είναι ισοσκελές αφού έχει δύο γωνίες ίσες τις Β = Γ. Στο ισοσκελές αυτό τρίγωνο η ΔΜ είναι διάμεσος οπότε θα είναι και ύψος, δηλαδή η γωνία ΒΜΔ είναι ορθή. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΜ είναι ίσα αφού ΑΒ = ΒΜ, ΒΔ κοινή και ˆ ˆ. Συνεπώς θα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα και έτσι η γωνία Α θα είναι ίση με τη ˆ που είναι ορθή και άρα και η γωνία Α είναι ορθή. 7) Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ <ΑΓ) προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ προς το μέρος του Α κατά τμήματα ΑΔ = ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ αντίστοιχα. Η ευθεία ΔΕ τέμνει την ΒΓ στο Μ. Να δείξετε ότι : α) το τρίγωνο ΜΒΕ είναι ισοσκελές, β) η διχοτόμος της ΒΜΕ διέρχεται από το Α. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 38

39 α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα αφού ΑΒ = ΑΔ (υπόθεση ), ΑΔ = ΑΓ (υπόθεση ) και ΕΑΔ = ΒΑΔ (ως κατά κορυφήν ). Άρα είναι και ΑΕΔ = ΑΒΓ (). Επίσης το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές πράγμα που σημαίνει ότι ΑΕΒ = ΑΒΕ (). Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε ότι ΒΕΔ =ΕΒΓ. Τέλος είναι και ΜΒΕ = ΜΕΒ (ως παραπληρωματικές των ΒΕΔ =ΕΒΓ) πράγμα που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΜΒΕ είναι ισοσκελές. β) Ενώνουμε το Μ με το Α και θα δείξουμε ότι η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΜΕ.Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΕ είναι ίσα αφού ΜΒ = ΜΕ ( δείξαμε ότι ΜΒΕ ισοσκελές ), ΑΜ κοινή και ΑΕ = ΑΒ ( υπόθεση ). Συνεπώς θα είναι και ΑΜΕ = ΑΜΒ και επομένως πράγματι η ΑΜ διχοτομεί τη γωνία ΒΜΕ. 8) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και με πλευρές τις ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά του ΑΒΓ τρία ισόπλευρα τρίγωνα Α ΒΓ,ΑΒ Γ, ΑΒΓ. Να δείξετε ότι και το τρίγωνο Α Β Γ είναι ισόπλευρο και ότι ΑΑ = ΒΒ = ΓΓ. Αφού τα τρίγωνα ΑΒΓ, Α ΒΓ, ΑΒ Γ, ΑΒΓ είναι ισόπλευρα έχουμε ότι ΑΒ = ΒΓ = ΑΓ = Α Γ =Α Β = Β Α =Β Γ = ΓΆ = Γ Β και ότι και τα 4 τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους. Επομένως είναι και Α Β = Β Γ = Α Γ ως διπλάσια αντίστοιχων ίσων πλευρών, πράγμα που σημαίνει ότι Α Β Γ είναι ισόπλευρο. Για το ο ερώτημα θα δείξουμε ότι ΒΒ =ΓΓ και όμοια θα είναι και για το ΑΑ. Τα τρίγωνα ΒΑΒ και ΓΑΓ είναι ίσα αφού ΑΓ = ΑΒ, ΑΒ = ΑΓ και ΒΑΒ = ΓΑΓ (αφού ΒΑΒ = ΒΑΓ + ΓΑΒ = ΒΑΓ + ΒΑΓ = ΓΑΓ και ΓΑΒ = ΒΑΓ από την ισότητα των τριγώνων ΓΑΒ = ΒΑΓ ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 39

40 Κάθετες και πλάγιες Δίνεται ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Είναι γνωστό ότι από το Α διέρχεται μοναδική ευθεία κάθετη στην ε. Διέρχονται όμως άπειρες άλλες ευθείες από το Α που τέμνουν την ε. Όλες αυτές οι ευθείες λέγονται πλάγιες ευθείες και τα σημεία στα οποία τέμνουν την ε, λέγονται ίχνοι των πλάγιων ευθειών. Κάθε πλάγιο ευθύγραμμο τμήμα είναι μεγαλύτερο από το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα. Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου ( σχήμα ). Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοίως άνισες (σχήμα,3). Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 40

41 Λυμένες ασκήσεις ) Στις κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τα σημεία Δ, Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι : α) ΔΕ < ΕΒ β) ΔΕ < ΒΓ α) Τα τμήματα ΔΕ, ΒΕ είναι πλάγια προς την ΑΒ και ΑΕ κάθετο στην ΑΒ Το ίχνος Β του πλάγιου τμήματος ΕΒ απέχει περισσότερο από το ίχνος Α της καθέτου, από όσο απέχει το ίχνος Δ του πλάγιου τμήματος ΕΔ. Αυτό σημαίνει ότι ΕΔ < ΕΒ (). β) Τα τμήματα ΒΓ, ΒΕ είναι πλάγια προς την ΑΓ και ΑΒ κάθετο στην ΑΓ Το ίχνος Γ του πλάγιου τμήματος ΒΓ απέχει περισσότερο από το ίχνος Α της καθέτου, από όσο απέχει το ίχνος Ε του πλάγιου τμήματος ΒΕ. Αυτό σημαίνει ότι ΒΕ < ΒΓ (). Από () και () έχουμε ότι : ΕΔ < ΒΓ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

42 ) Στο παρακάτω σχήμα το ΑΗ είναι ύψος και διχοτόμος στο τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι ΑΒ < ΑΔ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές αφού το τμήμα ΑΗ είναι διάμεσος και διχοτόμος. Συνεπώς είναι ΑΒ = ΑΓ () και ΑΗ ύψος στο ΑΒΓ δηλαδή ΑΗ κάθετο στη ΒΔ. Τα τμήματα ΑΓ και ΑΔ είναι πλάγια προς το ΒΔ και επειδή ΔΗ > ΓΗ έχουμε ότι ΑΓ < ΑΔ (). Από () και () έχουμε ότι ΑΒ < ΑΔ. 3) Δίνεται γωνία ˆ και Μ σημείο της διχοτόμου της Οδ. Η κάθετη από το Μ προς τη πλευρά Οχ τέμνει την Οχ στο Α και την Οψ στο Β. Να δείξετε ότι ΜΑ < ΜΒ. Φέρουμε από το Μ κάθετη στην Οψ. Τα τμήματα ΜΓ και ΜΑ είναι ίσα αφού κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Είναι δηλαδή ΜΑ = ΜΓ ( ). Επίσης ΜΓ < ΜΒ () αφού το ΜΓ είναι κάθετο στην Οψ και το ΜΒ πλάγιο. Από () και () έχουμε ότι ΜΑ < ΜΒ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση.

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση. 1 Τρίγωνα 11 Στοιχεία και είδη τριγώνων 111 Κύρια στοιχεία τριγώνου Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου Συγκρίνοντας τις πλευρές του τριγώνου μεταξύ τους προκύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Σε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ ΔΕΖ να δείξετε ότι: α) Οι διχοτόμοι ΑΚ ΔΛ είναι ίσες β) Οι διάμεσοι ΒΜ ΕΘ είναι ίσες 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A τα ύψη του ΒΔ ΓΕ Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα Πλευρές ΑΒ ή ΒΑ ή γ ΑΓ ή ΓΑ ή β ΒΓ ή ΓΒ ή α Γωνίες ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ μ α δ α υ α Διάμεσος ΑΜ ή μ α Διχοτόμος ΑΔ ή δ α Ύψος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Α και Β Γενικού Λυκείου. ε 3. ε 2. Γ ε 1

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Α και Β Γενικού Λυκείου. ε 3. ε 2. Γ ε 1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Κ Ε Γ ε 1 ε 2 Ι Ο Ζ μ α Ψ Θ Η Α ε 4 Β Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕ = ΑΓ από τα δεδομένα ΒΑΕ=Α+ΓΑΕ=Α+ΒΑ = ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version )

ΑΕ = ΑΓ από τα δεδομένα ΒΑΕ=Α+ΓΑΕ=Α+ΒΑ = ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version ) 3.-3. ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version -0-06) Ε.Στο εξωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ, ώστε ΒΑ = ΓΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΔ. Λύση Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΓ έχουν: ΑΒ = Α από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB 2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05-6 (version 3--06) Σημειώστε με μονές, διπλές ή και τριπλές γραμμούλες τα κατάλληλα ίσα κύρια στοιχεία ώστε τα τρίγωνα αυτά να είναι ίσα σύμφωνα με καθένα από τα 3 κριτήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 41. Ύλη: Τρίγωνα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 41. Ύλη: Τρίγωνα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 41 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Τρίγωνα 01-11-15 Θέμα 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε γεωμετρικό τόπο; Να αναφέρετε τρεις βασικούς γεωμετρικούς τόπους τους οποίους γνωρίζετε. (7 μον.) Β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε διχοτόµο ΑΔ Σύγκριση Τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ: -ΑΒ=ΑΓ (δεδοµένο) -ΒΑΔ=ΓΑΔ (αφού ΑΔ διχοτόµος) -ΑΔ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05-6 (version 6--05) Σημειώστε με μονές, διπλές ή και τριπλές γραμμούλες τα κατάλληλα ίσα κύρια στοιχεία ώστε τα τρίγωνα αυτά να είναι ίσα σύμφωνα με καθένα από τα 3 κριτήρια

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

Κόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Κόλλιας Σταύρος  1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου

Διαβάστε περισσότερα

14ο Λύκειο Περιστερίου Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α. Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία:

14ο Λύκειο Περιστερίου Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α. Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: ΘΕΜΑ Α μ 4χ3 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ αν είναι σωστές ή με το Λ αν τις θεωρείται λανθασμένες.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0

Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0 ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο και δοθείσα ακτίνα. Κ 3 : Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου Κ 4 : Κατασκευή ευθυγράμμου

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα

Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.

Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15)

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15) Αναλογίες 2_20863. Στο παρακάτω σχήμα είναι 12 και 8. α) Να υπολογίσετε τους λόγους και. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το ΑΓ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) γ) Να υπολογίσετε τον λόγο. Σε τι λόγο λ διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Για να είναι όμοια δυο τρίγωνα αρκεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω: ΐ) Να έχουν 2 γωνίες ίσες μία προς μία. (Ασκήσεις: Εμπέδωσης 1). ϊϊ) Να έχουν δυο πλευρές ανάλογες και

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα