O matematike, fyzike a vôbec (fyzika v kocke)
|
|
|
- Θάλεια Ἀπολλωνία Ελευθερίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 O matematike, fyzike a vôbec (fyzika v kocke) Samuel Kováčik Commenius University samuel.kovacik@gmail.com 20. septembra 2013 Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
2 Úvod O čom sa buďeme baviť? Základná otázka : Je matematika jazykom fyziky? (Alebo je pre ňu niečo viac?) Prečo len fyziky? Matematika je predsa všade... v biológií, ekonómií,... Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
3 Úvod Matematika sa nájde všade Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
4 Úvod C t = F (C) + D 2 C 1 1 Alan Turing, Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
5 Úvod Zhodneme sa? Matematika sa naozaj nachádza všelikde ALE veľká časť matematiky vznikla práve vďaka fyzike a fyzika by bez matematiky nedala ani ranu (iné odbory áno) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
6 Úvod Zhodneme sa? Matematika sa naozaj nachádza všelikde ALE veľká časť matematiky vznikla práve vďaka fyzike a fyzika by bez matematiky nedala ani ranu (iné odbory áno) Plán prednášky Pokúsime sa zojtrojiť (a preskúmať) mapu fyziky a pozrieme sa, že akú úlohu zohrávala matematika pri jej objavovaní. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
7 Éra Newtona, Keplera,... Začneme na začiatku Pri zrode modernej vedy stál hlavne Newton, ale aj kopa ďalších velikánov. Aký bol ich prínos a akú úlohu v tom zohrávala matematika? Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
8 Ako nájsť fyzikálny zákon? - spájanie čiarok Radí Johannes Kepler Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
9 Ako nájsť fyzikálny zákon? - spájanie čiarok Radí Johannes Kepler Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
10 Ako nájsť fyzikálny zákon? - spájanie čiarok Radí Johannes Kepler elipsa : ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = R 2 Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
11 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687) V dobe nie dávno po tom, čo sa v Európe upalovali čarodejnice, publikoval Isaac Newton Principiu. Knihu, ktorá odštartovala modernú fyziku. Obsah (približne) Pohybové zákony Zákon univerzálnej gravitácie Odvodenie Keplerových zákonov... Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
12 Gravitačný zákon F = G m 1m 2 r 2 n Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
13 Gravitačný zákon F = G m 1m 2 r 2 n Dokážeme to bez matematiky? 1 Skúsme to isté povedať bez matematiky. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
14 Gravitačný zákon F = G m 1m 2 r 2 n Dokážeme to bez matematiky? 1 Skúsme to isté povedať bez matematiky. 2 Skúsme pomocou toho, čo sme práve slovne naformulovali odvodiť Keplerove zákony (alebo hocičo iné). Matematika nie je užitočná len na zápis fyzikálnych zákonov, ale aj na manipuláciu s nimi. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
15 Naša orientačná tabuľa Bronsteinova kocka Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
16 Naša orientačná tabuľa My sme tu dole a dá sa vykročiť tromi smermi Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
17 Naša orientačná tabuľa a prvým smerom sme už vykročili Newtonova gravitácia Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
18 Žiarenie čierneho telesa Ako fyzika vykročila druhým smerom? Niekto si položil otázku : Prečo je horúci kameň oranžový? Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
19 Žiarenie čierneho telesa A prečo je aj rovnako horúce železo tiež oranžové? asi to nesúvisí s druhom materiálu ale s teplotou (teplejšie idú až do modrej farby, asi C) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
20 Žiarenie čierneho telesa Prvý nápad bol takýto : V telese sa nachádzajú elektromagnetické vlny všetkých vlnových dĺžok Každá ma istú (priemernú) energiu Pomocou toho už vieme zistiť celkovú energiu a ako by pri danej teplote malo teleso vyžarovať Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
21 Žiarenie čierneho telesa Prvý nápad bol takýto : V telese sa nachádzajú elektromagnetické vlny všetkých vlnových dĺžok Každá ma istú (priemernú) energiu Pomocou toho už vieme zistiť celkovú energiu a ako by pri danej teplote malo teleso vyžarovať Má to ale malý háčik : Ultrafialová katastrofa - energia je nekonečná Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
22 Žiarenie čierneho telesa Prvý nápad bol takýto : V telese sa nachádzajú elektromagnetické vlny všetkých vlnových dĺžok Každá ma istú (priemernú) energiu Pomocou toho už vieme zistiť celkovú energiu a ako by pri danej teplote malo teleso vyžarovať Má to ale malý háčik : Ultrafialová katastrofa - energia je nekonečná Kde je chyba? V elektromagnetizme? V štatistickej fyzike? Vo výpočte energie? Víde to ak priemernú energiu spočítame trošku inak. Malá zmena, ale zrazu to sedí! Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
23 Žiarenie čierneho telesa Podstata finty Správny výsledok Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
24 Žiarenie čierneho telesa Podstata finty Správny výsledok Fyzikálna interpretácia matematickej finty : Energia sa nemôže líšiť o ľuboľne malé hodnoty, ale existuje (pri danej vlnovej dĺžke) najmenšie kvantum energie E = ω Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
25 Žiarenie čierneho telesa Svet kvantovej mechaniky Fyzikálna interpretácia matematickej finty : Energia sa nemôže líšiť o ľuboľne malé hodnoty, ale existuje (pri danej vlnovej dĺžke) najmenšie kvantum energie E = ω. 2 2 btw Planck - objaviteľ tejto finty ju naozaj považoval len za čisto matematickú. Fyzikálnu interpretáciu, sposu s ďalším využitím priniesol až Albert Einstein. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
26 Éterické obdobie fyziky James Clerk Maxwell v roku 1861 publikoval tzv. Maxwellove rovnice spojil v nich elektrinu a magnetizmus a ešte oveľa viac... Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
27 Éterické obdobie fyziky James Clerk Maxwell v roku 1861 publikoval tzv. Maxwellove rovnice spojil v nich elektrinu a magnetizmus a ešte oveľa viac... E = ρ ε 0 B = 0 E = t B B = µ 0 (j + ε 0 t E) Trošku ich premiešal (netrepal) a dostal z nich... Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
28 Éterické obdobie fyziky James Clerk Maxwell v roku 1861 publikoval tzv. Maxwellove rovnice spojil v nich elektrinu a magnetizmus a ešte oveľa viac... E = ρ ε 0 B = 0 E = t B B = µ 0 (j + ε 0 t E) Trošku ich premiešal (netrepal) a dostal z nich... svetlo! Ukázalo sa, že poskladaním týchto rovníc získamo rovnicu novú - vlnovú. Ľahko z nej zistíme rýchlosť daných vĺn - cca kms 1. Bolo teda prirodzené povedať, že svetlo je elektromagnetické vlnenie. 3 3 btw jeden z členov v týchto rovniciach nepochádza z fyzikálnych meraní. Maxwell ho tam pridal až po tom, ako ich takto šikovne zapísal a niečo mu tam chýbalo. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
29 Éterické obdobie fyziky Stručná história éteru Po tomto zásadnom objave padla zásadná otázka : čo je to za prostredie, ktoré sa tu vlastne vlní? Logická predstava je taká, že vesmír je vyplnený éterom (aether). Tesne na to (26 r) prišla zaujímavá otázka :? Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
30 Éterické obdobie fyziky Stručná história éteru Po tomto zásadnom objave padla zásadná otázka : čo je to za prostredie, ktoré sa tu vlastne vlní? Logická predstava je taká, že vesmír je vyplnený éterom (aether). Tesne na to (26 r) prišla zaujímavá otázka : Akým smerom sa hýbe naša Zem vzhľadom na éter? Experiment, ktorý mal zodpovedať na túto otázku spravil Albert Michelson a Edward Morley. Ich výsledok : Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
31 Éterické obdobie fyziky Stručná história éteru Po tomto zásadnom objave padla zásadná otázka : čo je to za prostredie, ktoré sa tu vlastne vlní? Logická predstava je taká, že vesmír je vyplnený éterom (aether). Tesne na to (26 r) prišla zaujímavá otázka : Akým smerom sa hýbe naša Zem vzhľadom na éter? Experiment, ktorý mal zodpovedať na túto otázku spravil Albert Michelson a Edward Morley. Ich výsledok : vzhľadom na éter sa nehýbeme. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
32 Éterické obdobie fyziky Matematici a fyzici hľadali vysvetlenie tohoto problému. Lorentz navrhol, že treba robiť zámenu súradníc, ktorá nekazí Maxwellove rovnice a zároveň vysvetlí MM experiment. Transformačné veličiny považoval iba za matematické pomôcky. x = γ(x vt) y = y z = z t = γ(t vx c 2 ) γ = 1 1 v 2 c 2 Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
33 Éterické obdobie fyziky Matematici a fyzici hľadali vysvetlenie tohoto problému. Lorentz navrhol, že treba robiť zámenu súradníc, ktorá nekazí Maxwellove rovnice a zároveň vysvetlí MM experiment. Transformačné veličiny považoval iba za matematické pomôcky. x = γ(x vt) y = y z = z t = γ(t vx c 2 ) γ = 1 1 v 2 c 2 A. Einsteina napadlo, že : Rýchlosť svetla je rovnaká pre všetkých Éter neexistuje Rôzny pozorovatelia naozaj vnímajú čas inak. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
34 Éterické obdobie fyziky Matematici a fyzici hľadali vysvetlenie tohoto problému. Lorentz navrhol, že treba robiť zámenu súradníc, ktorá nekazí Maxwellove rovnice a zároveň vysvetlí MM experiment. Transformačné veličiny považoval iba za matematické pomôcky. x = γ(x vt) y = y z = z t = γ(t vx c 2 ) 1 A. Einsteina napadlo, že : Rýchlosť svetla je rovnaká pre všetkých Éter neexistuje Rôzny pozorovatelia naozaj vnímajú čas inak. γ = 1 v 2 c 2 A tým vznikla v roku 1905 jeho teória relativity, ktorá okrem toho, že spôsobila revolúciu v tom, ako vnímame svet, priniesla vzorec E = mc 2, ešte aj definitívne pochovala myšlienku éteru. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
35 Éterické obdobie fyziky Svet špeciálnej relativity Podobne ako v prípade kvantovej mechaniky, ak sa dostaneme do oblasti pôsobnosti ŠTR (vysoké rýchlosti, energie) tak sa náš svet začne vyzerať úplne inak, ako ho poznáme. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
36 Stručná rekapitulácia Ukázalo sa, že pri odhalovaní týchto rohov kocky zohralo významú úlohu to, že sme našli fyzikálnu interpretáciu matematickej finty (ktorú sme zaviedli, aby teória súhlasila s experimentom). Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
37 Stručná rekapitulácia Ukázalo sa, že pri odhalovaní týchto rohov kocky zohralo významú úlohu to, že sme našli fyzikálnu interpretáciu matematickej finty (ktorú sme zaviedli, aby teória súhlasila s experimentom). Veľmi zaujímavý nápad : čo tak urobiť krok najprv jedným smerom (napriklad ku kvantovému svetu) a potom krok ďalším smerom (napríklad k svetu ŠTR). Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
38 Stručná rekapitulácia Ukázalo sa, že pri odhalovaní týchto rohov kocky zohralo významú úlohu to, že sme našli fyzikálnu interpretáciu matematickej finty (ktorú sme zaviedli, aby teória súhlasila s experimentom). Veľmi zaujímavý nápad : čo tak urobiť krok najprv jedným smerom (napriklad ku kvantovému svetu) a potom krok ďalším smerom (napríklad k svetu ŠTR). Ukáže sa, že tam má matematika ešte silnejšie slovo. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
39 Ako vykročiť smerom k relativistickej gravitácií Radí Albert Einstein : Ako napísať rovnice pre všeobecnú teóriu relativity? Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
40 Ako vykročiť smerom k relativistickej gravitácií Radí Albert Einstein : Ako napísať rovnice pre všeobecnú teóriu relativity? 1 Zober všetko čo máš k dispozícií a má tam byť G, g µν, R, R µν, T µν. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
41 Ako vykročiť smerom k relativistickej gravitácií Radí Albert Einstein : Ako napísať rovnice pre všeobecnú teóriu relativity? 1 Zober všetko čo máš k dispozícií a má tam byť G, g µν, R, R µν, T µν. 2 Spoj to správne dokopy s voľnými parametrami ar µν + bg µν R + cg µν = kt µν Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
42 Ako vykročiť smerom k relativistickej gravitácií Radí Albert Einstein : Ako napísať rovnice pre všeobecnú teóriu relativity? 1 Zober všetko čo máš k dispozícií a má tam byť G, g µν, R, R µν, T µν. 2 Spoj to správne dokopy s voľnými parametrami ar µν + bg µν R + cg µν = kt µν 3 Zafixuj ich a = 1, b = 1 2, c = 0 R µν 1 2 g µνr = kt µν Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
43 Ako vykročiť smerom k relativistickej gravitácií Radí Albert Einstein : Ako napísať rovnice pre všeobecnú teóriu relativity? 1 Zober všetko čo máš k dispozícií a má tam byť G, g µν, R, R µν, T µν. 2 Spoj to správne dokopy s voľnými parametrami ar µν + bg µν R + cg µν = kt µν 3 Zafixuj ich a = 1, b = 1 2, c = 0 R µν 1 2 g µνr = kt µν Hotovo. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
44 By the way V Einsteinovej dobe považovali ľudia vesmír za statický a tak do rovníc vrátil jeden člen. Potom sa ukázalo, že sa vesmír rozpína a tak ho vyhodil. Označil ho za najväčšiu chybu v živote. Prečo? Lebo mu matematika naznačovala, že to je blbosť. (By the way 2 : Nakoniec sa ukázalo, že tam má byť, ale s opačným znamienkom.) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
45 Svet VTR Tým A. Einstein dal za vznik VTR, teórií, ktorá vysvetluje gravitáciu Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
46 Svet VTR Tým A. Einstein dal za vznik VTR, teórií, ktorá vysvetluje gravitáciu (hmota ohýba časopriestor a pohyb v ohnutom časopriestore sa javí ako zakrivený pohyb trojrozmernom priestore) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
47 Svet VTR Tým A. Einstein dal za vznik VTR, teórií, ktorá vysvetluje gravitáciu (hmota ohýba časopriestor a pohyb v ohnutom časopriestore sa javí ako zakrivený pohyb trojrozmernom priestore) Trvalo istú dobu, kým bola táto myšlienka prijatá (potvrdená vďaka precesii perihélia Merkúru a ohybu lúčov okolo slnka). Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
48 Svet VTR Tým A. Einstein dal za vznik VTR, teórií, ktorá vysvetluje gravitáciu (hmota ohýba časopriestor a pohyb v ohnutom časopriestore sa javí ako zakrivený pohyb trojrozmernom priestore) Trvalo istú dobu, kým bola táto myšlienka prijatá (potvrdená vďaka precesii perihélia Merkúru a ohybu lúčov okolo slnka). V momentu keď už existoval matematický aparát, napísať rovnice nebolo (až také) ťažké. Ťažké bolo znovu nájsť ich riešenia. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
49 Svet fyziky z LHC QFT QFT = kvantová teória poľa Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
50 Svet fyziky z LHC QFT QFT = kvantová teória poľa Opisuje svet na mikroskopickej škále, ale s vysokými energiami/rýchlosťami Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
51 Svet fyziky z LHC QFT QFT = kvantová teória poľa Opisuje svet na mikroskopickej škále, ale s vysokými energiami/rýchlosťami Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
52 Svet fyziky z LHC QFT QFT = kvantová teória poľa Opisuje svet na mikroskopickej škále, ale s vysokými energiami/rýchlosťami QFT obsahuje nesmierne veľa ukážok zaujímavej matematiky. Bohužiaľ nevysvetlitelných bez cca 5 rokov štúdia :( Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
53 Aspoň jedna ukážka z QFT Prvá časť príbehu : Kde bolo tam bolo, žili si dva bozóny W + a W Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
54 Aspoň jedna ukážka z QFT Prvá časť príbehu : Kde bolo tam bolo, žili si dva bozóny W + a W Boli súčasťou časticovej fyziky. Tá je opisovaná pomocou veľmi špeciálnej funkcie, Lagranžiánu, ktorá kóduje informáciu o tom ako sa častice hýbu a ako medzi sebou interagujú. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
55 Aspoň jedna ukážka z QFT Prvá časť príbehu : Kde bolo tam bolo, žili si dva bozóny W + a W Boli súčasťou časticovej fyziky. Tá je opisovaná pomocou veľmi špeciálnej funkcie, Lagranžiánu, ktorá kóduje informáciu o tom ako sa častice hýbu a ako medzi sebou interagujú. Keď v Lagranžiáne vyhladáme členy odpovedajúce W bozónom, vyzerajú takto ( ) ( ) bla bla bla bla Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
56 Aspoň jedna ukážka z QFT Prvá časť príbehu : Kde bolo tam bolo, žili si dva bozóny W + a W Boli súčasťou časticovej fyziky. Tá je opisovaná pomocou veľmi špeciálnej funkcie, Lagranžiánu, ktorá kóduje informáciu o tom ako sa častice hýbu a ako medzi sebou interagujú. Keď v Lagranžiáne vyhladáme členy odpovedajúce W bozónom, vyzerajú takto ( ) ( ) bla bla bla bla Takto sa nám to javilo z experimentov Druhá časť príbehu : Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
57 Aspoň jedna ukážka z QFT Kde bolo tam bolo, žili traja kamaráti σ 1, σ 2, σ 3 Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
58 Aspoň jedna ukážka z QFT Kde bolo tam bolo, žili traja kamaráti σ 1, σ 2, σ 3 V skutočnosti ale vyzerajú takto ( ) ( i σ 1 =, σ = i 0 ) ( 1 0, σ 3 = 0 1 ) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
59 Aspoň jedna ukážka z QFT Kde bolo tam bolo, žili traja kamaráti σ 1, σ 2, σ 3 V skutočnosti ale vyzerajú takto ( ) ( i σ 1 =, σ = i 0 ) ( 1 0, σ 3 = 0 1 ) Ich kamarátstvo spočívalo v tom, že ak pomiešame hociktorých dvoch z nich, dostaneme toho tretieho. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
60 Aspoň jedna ukážka z QFT Kde bolo tam bolo, žili traja kamaráti σ 1, σ 2, σ 3 V skutočnosti ale vyzerajú takto ( ) ( i σ 1 =, σ = i 0 ) ( 1 0, σ 3 = 0 1 ) Ich kamarátstvo spočívalo v tom, že ak pomiešame hociktorých dvoch z nich, dostaneme toho tretieho. Existuje ešte jeden ekvivalentný zápis ( ) ( σ + =, σ 0 0 = 1 0 ) ( 1 0, σ 3 = 0 1 ) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
61 Aspoň jedna ukážka z QFT Nájdi dve podobnosti. 1. toto opisuje častice mikrosveta ( bla 0 0 ) bla bla ( toto sú traja kamaráti (matematické objekty, matice) σ + = ( ) ( 0 0, σ = 1 0 ) bla +... ) ( 1 0, σ 3 = 0 1 ) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
62 Aspoň jedna ukážka z QFT Nájdi dve podobnosti. 1. toto opisuje častice mikrosveta ( bla 0 0 ) bla bla ( toto sú traja kamaráti (matematické objekty, matice) σ + = ( ) ( 0 0, σ = 1 0 Q : A nemá byť ten tretí kamarát aj v prvom riadku? A : Nič také sme nepozorovali, prečo by mal? A2 :??? ) bla +... ) ( 1 0, σ 3 = 0 1 ) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
63 Aspoň jedna ukážka z QFT Nájdi dve podobnosti. 1. toto opisuje častice mikrosveta ( bla 0 0 ) bla bla ( toto sú traja kamaráti (matematické objekty, matice) σ + = ( ) ( 0 0, σ = 1 0 Q : A nemá byť ten tretí kamarát aj v prvom riadku? A : Nič také sme nepozorovali, prečo by mal? A2 :??? ) bla +... ) ( 1 0, σ 3 = 0 1 Ale však za pokus nič nedáme (povedali si experimentátori). A na prekvapenie, naozaj objavili časticu odpovedajúcu σ 3, volá sa Z-bozón. ) Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
64 Svet QFT Toto bola len jedna z ukážok toho, ako je matematika pretkaná fyzikou sveta QFT. Ostáva už len jeden smer, ktorým sa dá vydať. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
65 Svet QFT Toto bola len jedna z ukážok toho, ako je matematika pretkaná fyzikou sveta QFT. Ostáva už len jeden smer, ktorým sa dá vydať. Tým smerom sa ale nechodí 4 4 Silná gravitácia v mikrosvete bez veľkej energie. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
66 Svet QFT Zatial sme si ukázali tri základné smery, ktorými sa dá vydať : gravitácia, mikrosvet a relativita. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
67 Svet QFT Zatial sme si ukázali tri základné smery, ktorými sa dá vydať : gravitácia, mikrosvet a relativita. Skúsili sme sa ísť dvomi z nich naraz, ukázali sa tam zaujímavé teórie : VTR a QFT. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
68 Svet QFT Zatial sme si ukázali tri základné smery, ktorými sa dá vydať : gravitácia, mikrosvet a relativita. Skúsili sme sa ísť dvomi z nich naraz, ukázali sa tam zaujímavé teórie : VTR a QFT. Prirodzená myšlienka : Ako vyzerá posledný bod kocky - relativistická teória mikrosveta s gravitáciou? Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
69 ToE Q : Aká fyzika odpovedá tomuto poslednému rohu kocky??? Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
70 ToE Volá sa Theory of everything... Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
71 ToE Volá sa Theory of everything... a bohužial ju nepoznáme :( Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
72 ToE Prečo ju nepoznáme Výhovorky Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
73 ToE Prečo ju nepoznáme Výhovorky 1 Naivné spojenie gravitácie a kvantovej teórie poľa vybuchuje. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
74 ToE Prečo ju nepoznáme Výhovorky 1 Naivné spojenie gravitácie a kvantovej teórie poľa vybuchuje. 2 Menej naivné teórie sú a)veľmi komplikované Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
75 ToE Prečo ju nepoznáme Výhovorky 1 Naivné spojenie gravitácie a kvantovej teórie poľa vybuchuje. 2 Menej naivné teórie sú a)veľmi komplikované 3 b)neschopné robiť merateľné predpovede Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
76 ToE Prečo ju nepoznáme Výhovorky 1 Naivné spojenie gravitácie a kvantovej teórie poľa vybuchuje. 2 Menej naivné teórie sú a)veľmi komplikované 3 b)neschopné robiť merateľné predpovede 4 Oblasť relativistickej kvantovej gravitácie je ďaleko mimo hranice našich experimentálnych schopností, takže nás nedokáže naviesť ani experiment Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
77 ToE Q: Čo robiť keď nám chýbajú hocijaké experimenty, ktoré by nás viedli? A: Necháme sa viesť matematikou. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
78 ToE Q: Čo robiť keď nám chýbajú hocijaké experimenty, ktoré by nás viedli? A: Necháme sa viesť matematikou. Chceme aby ToE obsahovala naše doterajšie teórie (optimálne bez ich chýb) Požadujeme aby bola matematicky korektná Mala by reflektovať symetrie a ďalšie vlastnosti našeho sveta Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
79 ToE Q: Čo robiť keď nám chýbajú hocijaké experimenty, ktoré by nás viedli? A: Necháme sa viesť matematikou. Chceme aby ToE obsahovala naše doterajšie teórie (optimálne bez ich chýb) Požadujeme aby bola matematicky korektná Mala by reflektovať symetrie a ďalšie vlastnosti našeho sveta Môj osobný názor : Ak sa podarí nájsť teóriu, ktorá zahŕňa kvantovú teóriu poľa aj gravitáciu, odstráni ich problémy, ale nebude schopná (zatiaľ) merateľných experimentálnych predpovedí - tak budeme aspoň na chvíľku spokojný. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
80 Na záver Takto vyzerá fyzika v kocke Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
81 Na záver Takto vyzerá fyzika v kocke myšlienka na záver. Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 20. septembra / 42
Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Zrýchľovanie vesmíru. Zrýchľovanie vesmíru. o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili
Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru a čo tam astronómovia objavili Zrýchľovanie vesmíru o výprave na kraj vesmíru
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Gramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Analýza údajov. W bozóny.
Analýza údajov W bozóny http://www.physicsmasterclasses.org/index.php 1 Identifikácia častíc https://kjende.web.cern.ch/kjende/sl/wpath_teilchenid1.htm 2 Identifikácia častíc Cvičenie 1 Na web stránke
KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Motivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
FYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ
Trnavská univerzita v Trnave Pedagogická fakulta FYZIKA A SÚČASNÁ SPOLOČNOSŤ Július Krempaský Žaneta Gerhátová Trnava 014 Trnavská univerzita v Trnave Pedagogická fakulta Recenzenti: doc. RNDr. Anna. Danihelová,
Čo sme vedeli pred 100 rokmi a čo vieme dnes z hľadiska časticovej fyziky
Čo sme vedeli pred 100 rokmi a čo vieme dnes z hľadiska časticovej fyziky Stanislav Tokár Univerzita Komenského Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra jadrovej fyziky a biofyziky Bratislava R.
Elektromagnetické pole
Elektromagnetické pole Elektromagnetická vlna. Maxwellove rovnice v integrálnom tvare a diferenciálnom tvare. Vlnové rovnice pre E a. Vjadrenie rýchlosti elektromagnetickej vln. Vlastnosti a znázornenie
Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
1 Aké veľké sú atómy a z čoho sa skladajú (I. časť)
1 Aké veľké sú atómy a z čoho sa skladajú (I.časť) 1 1 Aké veľké sú atómy a z čoho sa skladajú (I. časť) 1.1 Avogadrova konštanta a veľkosť atómov Najprv sa vrátime trocha podrobnejšie k zákonu o stálych
Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
História použitia matematického aparátu vo fyzike. Niekoľko príkladov
História použitia matematického aparátu vo fyzike. Niekoľko príkladov Matematika má skoro vždy pripravený vhodný aparát pre fyziku, ale nie vždy a nie vždy o ňom fyzici vedia. Úvod E. Wigner, 1959, O nepochopiteľnej
Pevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
ČLOVEK A PRÍRODA. (neúplný) experimentálny učebný text
ČLOVEK A PRÍRODA Zem náš domov (neúplný) experimentálny učebný text V Z D E L Á V A C I A O B L A S Ť Č L O V E K A P R Í R O D A tematický celok Zem náš domov Martin Mojžiš, František Kundracik, Alexandra
Analytická geometria pre tých, ktorí jej potrebujú rozumieť
Škola pre Mimoriadne Nadané Deti a Gymnázium, Teplická 7, 831 02 Bratislava Anino BELAN Analytická geometria pre tých, ktorí jej potrebujú rozumieť učebný text pre septimu osemročného gymnázia BRATISLAVA
Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Špeciálna teória relativity
Dôkazy v prospech Einsteina Špeciálna teória relativity nedávno oslavovala storočnicu svojho vzniku (1905). Všeobecná teória relativity je o niečo mladšia. Tieto teórie sú matematicky konzistentné, postavené
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Diferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
AerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Zadání úloh. Úloha 4.1 Sirky. Úloha 4.2 Zvuk. (4b) (4b) Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4. Termín odeslání 24. 3.
Studentský matematicko-fyzikální časopis ročník IX číslo 4 Termín odeslání 24. 3. 2003 Milí kamarádi, jetunovéčíslonašehočasopisuasnímiprvníinformaceojarnímsoustředění.budesekonat3. 11.května2003vCelnémuTěchonínavokreseÚstí
Ako sa hravo naučiť počtu derivačnému
Škola pre Mimoriadne Nadané Deti a Gymnázium, Teplická 7, 8 0 Bratislava Anino BELAN Ako sa hravo naučiť počtu derivačnému učebný text pre septimu osemročného gymnázia BRATISLAVA 06 Obsah Ako zachytiť
Z čoho sa svet skladá? Čo ho drží pokope?
4 ŠTANDARDNÝ MODEL 4.1 História Počiatkom všetkých vied je úžas nad tým, čím veci sú a čo sú. Aristoteles Z čoho sa svet skladá? Čo ho drží pokope? Odpovede na tieto otázky, na dnešnej úrovni nášho poznania,
u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.
Pasívne prvky, L, C v obvode stredavého prúdu Čnný odpor u u prebeh prúdu a napäta fázorový dagram prúdu a napäta u u /2 /2 t Napäte zdroja sa rovná úbytku napäta na čnnom odpore. Prúd je vo fáze s napätím.
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
4. JEDNODUCHÉ KVANTOVO-MECHANICKÉ SYSTÉMY - FYZIKÁLNY PRÍSTUP
4. JEDNODUCHÉ KVANTOVO-MECHANICKÉ SYSTÉMY - FYZIKÁLNY PRÍSTUP Samozdružený operátor  sa dá napísať pomocou jeho vlastných čísiel a j a jeho vlastných stavov a j ako  = a j a j a j, (4.1) j kde súčet
ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE
bulletin občianskeho združenia 2 /6.11.2006/ ŠNEKÁČI mýty o přidávání CO2 založenie akvária Poecilia reticulata REPORTÁŽE akvá ri um pr pree kre vet y, raky a krab y akva foto gr afi e Ji Jiřříí Plí š
Vzorové riešenia 3. kola zimnej série 2014/2015
riesky@riesky.sk Riešky matematický korešpondenčný seminár Vzorové riešenia. kola zimnej série 04/05 Príklad č. (opravovali Tete, Zuzka): Riešenie: Keďže číslo má byť deliteľné piatimi, musí končiť cifrou
Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Fyzika atómu. 1. Kvantové vlastnosti častíc
Fyzika atómu 1. Kvantové vlastnosti častíc Veličiny a jednotky Energiu budeme často merať v elektrónvoltoch (ev, kev, MeV...) 1 ev = 1,602 176.10-19 C. 1 V = 1,602 176.10-19 J Hmotnosť sa dá premeniť na
7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY
7 ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITY Podľa platných učebných osnov (z roku 1997) sú základy špeciálnej teórie relativity (ďalej len ŠTR) len rozširujúcim učivom. Preto si dovolíme výklad len fundamentálnych myšlienok
Spriahnute oscilatory
Spriahnute oscilatory Juraj Tekel 1 Tema spriahnutych oscilatorov je na strednej skole vacsinou vynechana. Je vsak velmi zaujimava a velmi dolezita. Ide o situaciu, ked sa sustava sklada z viacerych telies,
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ. Δυναμική
ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ Δυναμική Περιεχόμενα. Δυνάμεισ... 3.1. Η ζννοια τθσ δφναμθσ... 3.. Δυνάμεισ με τισ οποίεσ κα αςχολθκοφμε αρχικά... 5..1. Βάροσ ςϊματοσ... 5... Δφναμθ επαφισ από λείο ακλόνθτο δάπεδο... 7..3.
Riadenie elektrizačných sústav
Riaenie elektrizačných sústav Paralelné spínanie (fázovanie a kruhovanie) Pomienky paralelného spínania 1. Rovnaký sle fáz. 2. Rovnaká veľkosť efektívnych honôt napätí. 3. Rovnaká frekvencia. 4. Rovnaký
Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Numerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Tomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Domáce úlohy k predmetu MATEMATICKÉ METÓDY TEORETICKEJ FYZIKY. Marián Fecko Letný semester 2016/2017
Domáce úlohy k predmetu MATEMATICKÉ METÓDY TEORETICKEJ FYZIKY Doktorandská prednáška Marián Fecko Letný semester 2016/2017 Úloha č.1 Priamym riešením (stacionárnej) Navierovej-Stokesovej rovnice (v jazyku
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Matematický zápis Maxwellových rovníc ( história zápisu v matematike )
Slovenská Akadémia Vied Fyzikálny ústav SAV Matematický zápis Maxwellových rovníc ( história zápisu v matematike ) RNDr. Robert Turanský Bratislava 8.6.2009 Maxwellove publikácie ( Maxwellove rovnice )
Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Informácie o letnej škole Prehľad dní Prehľad voľnočasového programu Prehľad nadväznosti mat. prednášok...
Informácie o letnej škole... 4 10 Prehľad dní... 11-15 Prehľad voľnočasového programu... 16-17 Prehľad nadväznosti mat. prednášok... 18 Abstrakty k odborným prednáškam... 19-32 Abstrakty k poobedným prednáškam...
Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003
Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium
ΚΟΤΛΟΤΡΗ ΑΝΓΡΔΑ ΙΣΟΡΙΚΗ ΔΙΑΓΩΓΗ ΣΗΝ ΔΠΙΣΗΜΗ ΣΟΤ ΥΑΟΤ
ΚΟΤΛΟΤΡΗ ΑΝΓΡΔΑ ΙΣΟΡΙΚΗ ΔΙΑΓΩΓΗ ΣΗΝ ΔΠΙΣΗΜΗ ΣΟΤ ΥΑΟΤ Σίπνηε ζηε θχζε δελ είλαη ηπραίν. Έλα πξάγκα κπνξεί λα θαίλεηαη ηπραίν κφλν εμαηηίαο ηεο ειιηπνχο καο γλψζεο. Μ. πηλφδα Πεπίλητη: Η Δπηζηήκε ησλ Γπλακηθψλ
HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
O čo sa snažia fyzici
1 O čo sa snažia fyzici Nasledujúci text je malým pohľadom do dejín fyziky a zároveň ukážkou toho, ako vlastne fyzici rozmýšľajú a o čo sa pri skúmaní sveta okolo nás snažia. Aby to neboli iba také abstraktné
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Zložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín
Verzia zo dňa 6. 9. 008. Kontrolné otázky z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej odpovede sa môže v kontrolnom teste meniť. Takisto aj znenie nesprávnych odpovedí. Uvedomte si
Maturitné otázky z fyziky
Maturitné otázky z fyziky 1. Fyzikálne veličiny a ich jednotky Fyzikálne veličiny a ich jednotky, Medzinárodná sústava jednotiek SI, skalárne a vektorové veličiny, meranie fyzikálnych veličín, chyby merania.
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KVANTUM. Aba Teleki Boris Lacsny ¼ubomir Zelenicky N I T R A
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KVANTUM Aba Teleki Boris Lacsny ¼ubomir Zelenicky N I T R A 2010 Aba Teleki Boris Lacsný Ľubomír Zelenický KVANTUM KEGA 03/6472/08 Nitra,
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Metódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Spojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Planárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium
Řečtina I průvodce prosincem a začátkem ledna prezenční studium Dobson číst si Dobsona 9. až 12. lekci od 13. lekce už nečíst (minulý čas probírán na stažených slovesech velmi matoucí) Bartoň pořídit si
Integrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Volny pad s odoporom vzduchu (ako uvod do poruchovych vypoctov)
Volny pad s odoporom vzduchu (ako uvod do poruchovych vypoctov) Juro Tekel juraj(dot)tekel(at)gmail(dot)com Text o tom, ako sa da priblizne poratat volny pad s odporom vzduchu a o tom, ze sa to rovnako