Uvod u neparametarske testove

Transcript

1 Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste χ testa: test značajnosti proporcije, test prilagođenosti (aproksimacije) empirijskog rasporeda teorijskom rasporedu, test nezavisnosti obeležja (homogenosti skupa). 1

2 Izračunava se vrednost: χ Tablična vrednost: χ α ( ;r ) χ χ ( α ;r ). Nulta hipoteza H se prihvata. Ne postoje statistički značajne razlike između teorijskih i empirijskih frekvencija. χ > χ ( α ;r ). Nulta hipoteza H se odbacuje. Postoje statistički značajne razlike između teorijskih i empirijskih frekvencija. Grafički prikaz: f ( χ ) χ α ; ( r ) χ χ ( α ) < ; r χ χ ( α ;r )

3 χ Test značajnosti proporcije Str. 648;;15 Ocena značajnosti razlike originalnih frekvencija i teorijskih frekvencija ( ) f f t i i Broj grupa u empirijskom rasporedu mora biti m>. ( ) f t i > 5 Sve teorijske frekvencije moraju biti veće od 5! Ako nisu, spajaju se sa susednom! Primer 4 (strana 648) Hi kvadrat test Test značajnosti proporcije Primer 43 (strana 649) Hi kvadrat test Test značajnosti proporcije SOT- K:4-15 Hi kvadrat test značajnosti proporcije χ Test prilagođenosti (aproksimacije) empirijskog rasporeda teorijskom rasporedu Str. 651;4;15 Testiranje prilagođenosti nekom teorijskom rasporedu. Broj stepeni slobode: za normalni raspored r=m 3 za binomni i Puasonov raspored r=m. Primer 44 (strana 651) Hi kvadrat test Test prilagođenosti normalnom rasporedu 3

4 χ Test homogenosti skupa (nezavisnosti obeležja) Str. 656;8;153 Proverava se razlika između više različitih skupova. Formulišu se sledeće hipoteze: H : Svi uzorci pripadaju istom osnovnom skupu. H 1 : Bar jedan uzorak ne pripada osnovnom skupu. Broj stepeni slobode: r=(m 1) (k 1) m broj redova; k broj kolona u tabeli kontingencije Koeficijent kontingencije: C = m k + χ i= 1 j = 1 χ f ij Vrednost koeficijenta u interalu C 1 4

5 Primer 45 (strana 654) Hi kvadrat test Test nezavisnosti obeležja SOT-79 K:4-18 Hi kvadrat test nezavisnosti obeležja Primer 46 (strana 656) Hi kvadrat test Test homogenosti skupa SOT-8 K:4-17 Hi kvadrat test homogenosti skupa Str. 658;3; nema u knjizi Test na osnovu homogenog niza (Run-test, Wald-Wolfowitz, redosledni test) Ispituje da li dva nezavisna uzorka pripadaju istom osnovnom skupu. 5

6 Ako n 1 ili n : Tablična vrednost: K ( α; ) Izračunava se K n1; n Tablica: Granične vrednosti broja nizova za test homogenog niza K. H se prihvata ako je: K > K ( ) α ; n1; n (uzorci pripadaju istom osnovnom skupu) H se odbacuje ako je: K K ( ) α ; n1; n (uzorci ne pripadaju istom osnovnom skupu) Ako n 1 > i n >: Izračunava se vrednost: H se prihvata ako je: u u ( ) u u ( ) n 1; n n 1; n > (uzorci pripadaju istom osnovnom skupu) H se odbacuje ako je: α ( ) u n 1; n (uzorci ne pripadaju istom osnovnom skupu) α 6

7 SOT-89 Test na osnovu homogenog niza, mali uzorci SOT-91 Test na osnovu homogenog niza, veliki uzorci Str. 66;3;158 Test na osnovu medijane Kada se podaci iz dva uzorka ne mogu grupisati po parovima i kada uzorci nemaju isti broj jedinica (n 1 n ). Izračunava se vrednost: χ Tablična vrednost: χ α ( ;r ) Primer 49 (strana 665) Test na osnovu medijane SOT-81 K:4-19 Test na osnovu medijane 7

8 Str. 698;45;161 Prošireni test na osnovu medijane Tri ili više nezavisnih promenljivih. Izračunava se vrednost: χ Tablična vrednost: χ α ( ;r ) Primer 6 (strana 699) Prošireni test na osnovu medijane SOT-84 K:4- Prošireni test na osnovu medijane Str. 667;35;164 Test na osnovu sume rangova (Wilcoxon-ov T-test ili Mann-Whitney U-test) Provera da li dva nezavisna uzorka pripadaju istom osnovnom skupu na osnovu toga što imaju istu medijanu. Hipoteze se formulišu na jedan od sledećih načina: 1. Dvosmerni test:. Jednosmerni test: 3. Jednosmerni test: H : Me 1 = Me, H 1 : Me 1 Me. H : Me 1 Me, H 1 : Me 1 > Me. H : Me 1 Me, H 1 : Me 1 < Me. W D W A W G. W A W G. W D W A. 8

9 Prvi način izrade: Zan 1 1 i n 1: W A ili W B Uvek se uzima suma rangova manjeg uzorka Tablične vrednosti W D ;W G Zan 1 >1 i n >1: Normalizovana slučajna promenljiva u. Upoređuje se sa u α. Napomena: U-test se ne radi! Drugi način izrade: Uz pomoć broja inverzija MW MW se upoređuje sa tabličnom vrednošću MW. Primer 51 (strana 676) Test na osnovu sume rangova SOT-117 Z(6)16-1 Test na osnovu sume rangova, mali uzorci SOT-118 Z(6)16- Test na osnovu sume rangova, veliki uzorci 9

10 Siegel-Tukey-ev test Str. 679;38; Kada se posmatraju dva nezavisna uzorka formirana iz dva osnovna skupa. Testiranje značajnosti razlika u varijabilitetu obeležja. Ako je n 1 <1 ili n <1: Izračunava se W A i upoređuje sa W D i W G (tablica: Donja i gornja kritična vrednost W testa sume rangova) Za dvosmerni test (H :M e1 =M e ) : W D W A W G H se prihvata W A W D ili W A >W G H se odbacuje 1

11 Za jednosmerni test: H :M e1 M e (rizik greške α ide na levu stranu): W A W D H se prihvata W A <W D H se odbacuje H :M e1 M e (rizik greške α ide na desnu stranu): W A W G H se prihvata W A >W G H se odbacuje SOT-18 Siegel-Tukey-ev test SOT-93; Z(6)17-1 Siegel-Tukey-ev test Ako je n 1 >1 i n >1: Izračunava se u i upoređuje sa tabličnom vrednošću u α (za jednosmerni ili dvosmerni test) u = W A n 1 n n 1 ( N + 1) ( N + 1) 1 11

12 Ako ima zajedničkih rangova za elemente iz oba uzorka: u = n 1 n W A n1 ( N + 1) ( N + 1) 4 1 ( 1 ) n n S S 3 N( N 1) S 1 -zbir kvadrata rangova koji su stvorili zajedničke rangove S -zbir kvadrata zajedničkih rangova Test na osnovu predznaka (Sign-test) Str. 683;4;165 Analiza promena vrednosti obeležja na istim uzorcima u ponovljenim posmatranjima. Nulta hipoteza može da se formuliše na jedan od sledećih načina: H : S(+) = S( )=,5, 1. Dvosmerni test: H 1 : S(+) S( ),. Jednosmerni test: H 1 : S(+) S( ), 3. Jednosmerni test: H 1 : S(+) S( ), 1

13 Postoji više načina izračunavanja! Koristićemo sledeće: S χ Primer 54 (strana 686) Test na osnovu predznaka Primer 55 (strana 688) Test na osnovu predznaka SOT-1 Test na osnovu predznaka Wilcoxon-ov test ranga sa znakom Str. 69;43;166 1.Provera nulte hipoteze H o nepoznatoj vrednosti parametra osnovnog skupa na osnovu jednog uzorka..testiranje razlike između dva osnovna skupa, gde je ta razlika jednaka određenoj vrednosti medijane. Moguće je formulisanje hipoteza na sledeće načine: H : Me = M e, 1. Dvosmerni test: H 1 : Me M e. H : Me M e,. Jednosmerni test: H 1 : Me< M e. H : Me M e, 3. Jednosmerni test: H 1 : Me > M e. 13

14 Dvosmerni test: H se prihvata pod uslovom:w D <W + <W G, Jednosmerni test: Ako je H : M e M e H se prihvata pod uslovom: W D <W +. Ako je H : M e M e H se prihvata pod uslovom: W + <W G. Za n 3: Može se koristiti i standardizovana promenljiva u. Primer 57 (strana 695) Wilcoxon-ov test ranga sa znakom Primer 59 (strana 697) Wilcoxon-ov test ranga sa znakom SOT-139 Z(6)19-1 Wilcoxon-ov test ranga sa znakom 14

15 Kruskal-Wallis-ov test Str. 71;48; nema u knjizi Neparametarska zamena za analizu varijanse jednog faktora varijabiliteta Testira se sledeća hipoteza: H : Me 1 =Me =...=Me k, k> H 1 : Bar dve medijane se razlikuju Izračunava se statistika testa: H k = N 1 ( N + 1) k T i= 1 n i i 3 ( N + 1) k broj uzoraka n i broj jedinica u i-tom uzorku N ukupan broj jedinica u svim uzorcima T i zbir rangova u i-tom uzorku 15

16 Ukoliko postoje zajednički rangovi: Korektivni faktor: d T i= 1 c = 1 N N T ( 1) = d( d 1) d broj podataka koji čine zajednički rang H k se deli sa korektivnim faktorom! Ako se testiraju samo tri uzorka i n i 5, i=1,,3: Tablica: Kritične vrednosti H Kruskal-Wallis-ovog testa u slučaju 3 nezavisna uzorka H k < H ( ; ; α ) n1; n n3 H se prihvata H k H ( ; ; α ) n1; n n3 H se odbacuje 16

17 U ostalim slučajevima se koristi tablica χ rasporeda: H k < H k χ ( α ;r ) χ α ( ;r ) H se prihvata H se odbacuje r=k 1 Obavezno nacrtati grafikon! SOT-96 Kruskal-Wallis-ov test Friedman-ov test Str. 75;5;168 Više zavisnih uzoraka u cilju ispitivanja da li svi uzorci pripadaju istom osnovnom skupu. Neparametarska varijanta analize varijanse sa dva faktora varijabiliteta. 17

18 Postavljanje hipoteza: H : Ne postoje statistički značajne razlike između redova (blokova, posmatranja); H 1 : Postoje statistički značajne razlike između redova (blokova, posmatranja). Rangiranje se vrši posebno za svaki red. H se prihvata pod uslovom: Q F <Q (k;n;α), ili Q F < χ ( α ;r ). Primer 63 (strana 76) Friedman-ov test SOT-175 Z(6)1-1 Friedman-ov test 18

19 Fergusonov test monotonije trenda Postupak za testiranje postojanja trenda. Str. 79;51; nema u knjizi Koristi se ako su u pitanju zavisni uzroci. Uvek je jednosmerni test. SOT-11 Fergusonov test monotonije trenda Kohranov test Str. 713;54;169 Za više od dva zavisna uzorka, gde svaka jedinica u uzorku ima ili nema određenu karakteristiku. H se prihvata pod uslovom: Rk <χ α ( ; r ) Primer 66 (strana 714) Kohranov test SOT-134 Z(6)3-1 Kohranov test 19

20 Kolmogorov-Smirnov test Koristi se za dve vrste problema: Str. 715;56; nema u knjizi 1.za upoređivanje neprekidnog empirijskog sa neprekidnim teorijskim rasporedom,.za testiranje da li dva uzorka čiji je raspored nepoznat pripadaju istom osnovnom skupu SOT-19 Z(6)4- Kolm.-Smirnov test, jedan uzorak SOT- Kolmogorov-Smirnov test, dva uzorka SOT-78; K(5)z 4-15 Hi-kvadrat test homogenosti SOT-75; K(5)z 4-16 Hi-kvadrat test proporcije SOT-8; K(5)z 4-17 Test medijane SOT-85; K(5)z 4-18 Test medijane - prošireni