(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
|
|
- Σωφρονία Βενιζέλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση 1. Εκατό ϕοιτητές, συµπεριλαµβανοµένου του Κώστα και της Ελένης, πρόκειται να χωριστούν σε τέσσερις τάξεις ίδιου µεγέθους και αυτό ϑα γίνει µε τυχαίο τρόπο. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο Κώστας και η Ελένη ϑα καταλήξουν στην ίδια τάξη ; Εφόσον δε µας ενδιαφέρει η σειρά ϑα πρέπει κατευθείαν να σκεφτούµε ότι πρέπει να χρησιµοποιήσουµε συνδυασµούς για να ϐρούµε το Ϲητούµενο. Εστω ότι έχουµε τέσσερις τάξεις των 5 ϕοιτητών, τις Α, Β, Γ,. Η πιθανότητα να ϐρίσκονται ο Κώστας και η Ελένη µαζί σε µια συγκεκριµένη τάξη αναλύεται λοιπόν ως : πλήθος συνδυασµών που περιέχουν τον Κώστα και την Ελένη π.χ. στην τάξη Α (1 συνολικό πλήθος συνδυασµών 100 ϕοιτητών σε τάξεις των 5 ϕοιτητών Tip: Σε τέτοιου είδους ασκήσεις αρχικά σκεφτόµαστε τις περιπτώσεις για να πραγµατοποιηθεί το Ϲητούµενο ενδεχόµενο και στη συνέχεια χωρίζουµε το αρχικό σύνολο σε υποσύνολα, στα οποία τέλος µετράµε το πλήθος των συνδυασµών. Στην προκειµένη χωρίζουµε το αρχικό σύνολο σε ένα υποσύνολο που περιέχει τον Κώστα και την Ελένη και σε ένα άλλο που περιέχει τους υπόλοιπους 98 ϕοιτητές. Από το πρώτο σύνολο διαλέγουµε και τους, ενώ από το δεύτερο τους υπόλοιπους 3 για να συµπληρωθεί η τάξη των 5. ( 98 ( (1 3 ( Καθώς υπάρχουν 4 συνολικά τάξεις, η πιθανότητα να ϐρίσκονται ο Κώστας και η Ελένη µαζί σε κάποια από αυτές ϑα είναι τελικά ( ( ( = ! (98 3! 3! 100! (100 5! 5! = 4 98! 75! 3! 100! 75! 5! 98! 5! = 4 100! 3! 4 5 = = 4 99 Εναλλακτικά και πιο εύκολα : Τοποθετούµε τον Κώστα σε µια συγκεκριµένη τάξη µε πιθανότητα 1 4. Για την Ελένη υπάρχουν 99 πιθανές τοποθετήσεις από τις οποίες µόνον οι 4 τη ϐάζουν στην ίδια τάξη µε τον Κώστα. Συνεπώς, η Ϲητούµενη πιθανότητα (να µπουν µαζί σε οποιαδήποτε τάξη είναι = 4 99.
2 Πιθανότητες - 016/Φροντιστήριο 5 Ασκηση. Η Αλίκη και ο Βασίλης παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Πρώτα η Αλίκη επιλέγει τυχαία 4 από τα 5 ϕύλλα µίας τράπουλας, τα αποµνηµονεύει και τα επανατοποθετεί πίσω στην τράπουλα. Υστερα, ο Βασίλης επιλέγει τυχαία 8 ϕύλλα από την ίδια τράπουλα. Η Αλίκη κερδίζει εάν στα ϕύλλα που τράβηξε ο Βασίλης περιέχονται τα 4 δικά της. Με ποια πιθανότητα κερδίζει η Αλίκη ; Χωρίζουµε το αρχικό σύνολο σε ένα υποσύνολο που περιέχει τα 4 ϕύλλα της Αλίκης και σε ένα άλλο που περιέχει τα υπόλοιπα 48 ϕύλλα της τράπουλας. Για να κερδίσει η Αλικη, ϑα πρέπει ο Βασίλης να επιλέξει και τα 4 ϕύλλα από το πρώτο σύνολο. Εφόσον τα 4 ϕύλλα της Αλίκης είναι συγκεκριµένα, ο Βασίλης πρέπει να διαλέξει επιπλέον 4 οποιαδήποτε ϕύλλα από το δεύτερο σύνολο. Συνεπώς, το συνολικό πλήθος των δυνατών ( συνδυασµών ϕύλλων του Βασίλη στους οποίους περιλαµβάνονται τα 4 4 ϕύλλα της Αλίκης είναι 48 4( 4. Το συνολικό πλήθος των τρόπων µε ( τους οποίους ο Βασίλης 5 µπορεί να διαλέξει οποιαδήποτε 8 ϕύλλα από τα 5 της τράπουλας είναι 8. Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι ( 4 ( ( 5 = 0.059%. 8 Ασκηση 3. Υπάρχουν τρεις τάξεις, καθεµία µε n µαθητές. Από το σύνολο των 3n µαθητών πρέπει να επιλέξουµε τρεις. (αʹ Πόσες επιλογές είναι δυνατές ; (ϐʹ Πόσες επιλογές είναι δυνατές αν και οι τρεις µαθητές ανήκουν στην ίδια τάξη ; (γʹ Πόσες επιλογές είναι δυνατές αν δύο από τους τρεις µαθητές ανήκουν στην ίδια τάξη και ο τρίτος σε διαφορετική τάξη ; (δʹ Πόσες επιλογές είναι δυνατές αν και οι τρεις µαθητές ανήκουν σε διαφορετικές τάξεις ; (αʹ Οι δυνατές επιλογές ισούνται µε το συνδυασµό των 3n ανά 3, δηλαδή ( 3n 3 (ϐʹ Θα πρέπει να διαλέξουµε µια από τις τρεις τάξεις και τρεις από τους n µαθητές που ϑα ϐρίσκονται στην επιλεγµένη τάξη.οπότε οι δυνατές επιλογές ϑα ισούνται µε ( ( ( 3 n n = (γʹ Θα πρέπει να διαλέξουµε µια από τις τρεις τάξεις και δύο από τους n µαθητές αυτής της τάξης. Επειτα, ϑα πρέπει να διαλέξουµε µια από τις εναποµείνασες δύο τάξεις και έναν από τους n µαθητές της. Οπότε οι δυνατές επιλογές ϑα ισούνται µε
3 Πιθανότητες - 016/Φροντιστήριο 5 3 ( 3 1 ( n ( 1 ( n 1 = 3! n!! n!! 1! (n!! 1! 1! (n 1! 1! =! 3 (n! (n 1n (n 1! n! (n!! (n 1! n(n 1 = 3 n = 3n (n 1 (δʹ Από κάθε τάξη διαλέγουµε έναν από τους n µαθητές. Οπότε οι δυνατές επιλογές ϑα ισούνται µε ( ( ( n n n = n n n = n Ασκηση 4. (αʹ Με πόσους τρόπους µπορούν 3 αγόρια και 3 κορίτσια να καθίσουν σε µια σειρά ; (ϐʹ Με πόσους τρόπους µπορούν 3 αγόρια και 3 κορίτσια να καθίσουν σε µια σειρά αν τα αγόρια πρέπει να κάθονται όλα µαζί και τα κορίτσια πρέπει να κάθονται όλα µαζί ; (γʹ Με πόσους τρόπους µπορούν να καθίσουν αν µόνο τα αγόρια πρέπει να κάθονται όλα µαζί ; (δʹ Με πόσους τρόπους µπορούν να καθίσουν αν δεν επιτρέπεται να κάθονται µαζί παιδιά του ίδιου ϕύλλου ; Μας ενδιαφέρει η σειρά, άρα χρησιµοποιούµε διατάξεις/µεταθέσεις n στοιχείων ανά k (αʹ ιατάξεις/μεταθέσεις των 6 ανά 6, άρα P (n, k = P (6, 6 = n! (n k! 6! (6 6! = 6! 0! = 70 (ϐʹ Αν δούµε τα αγόρια ως µία οµάδα και τα κορίτσια ως µια άλλη οµάδα, αυτές οι δύο οµάδες {A, K} µπορούν να µπουν σε µια σειρά µε διαφορετικούς τρόπους : AK, KA (! τρόποι. Ακόµα, τα αγόρια µπορούν να κάθονται όλα µαζί µε µεταθέσεις των 3: P (3, 3 = 3! τρόπους. Οµοίως και τα κορίτσια. Ετσι συνολικά έχουµε 3! 3! = 7 τρόπους για να γίνει το Ϲητούµενο. (γʹ Αν δούµε τα αγόρια ως µια οµάδα Α και τα κορίτσια µεµονωµένα, τότε έχουµε P (4, 4 = 4! µεταθέσεις (ως προς το που ϑα καθίσουν όλα µαζί τα αγόρια σε σχέση µε τα κορίτσια, αλλά και το πώς ϑα καθίσουν τα κορίτσια µεταξύ τους. Επίσης, στην οµάδα των αγοριών έχουµε P (3, 3 = 3! µεταθέσεις για να κάθονται όλα µαζί. Ετσι συνολικά έχουµε 3! 4! = 144 τρόπους για να κάτσουν τα αγόρια µόνο µαζί. (δʹ Για την πρώτη ϑέση υπάρχουν 6 επιλογές (έστω π.χ. ότι ξεκινάµε µε αγόρι, για τη δεύτερη υπάρχουν 3 επιλογές από το άλλο ϕύλλο/σύνολο (κορίτσια, για την τρίτη ϑέση επιλογές από το εναλλάξ σύνολο (αγόρια, για την τέταρτη επιλογές από το εναλλάξ ϕύλλο (κορίτσια, για την πέµπτη 1 επιλογή όπως και για την έκτη ϑέση. Άρα συνολικά υπάρχουν = 7 τρόποι να κάτσουν άτοµα διαφορετικού ϕύλλου δίπλα δίπλα.
4 Πιθανότητες - 016/Φροντιστήριο 5 4 Ασκηση 5. Πόσες διαφορετικές πινακίδες κυκλοφορίας οχηµάτων επτά χαρακτήρων υπάρχουν αν στις δύο πρώτες ϑέσεις τοποθετηθούν γράµµατα και στις υπόλοιπες πέντε ϑέσεις τοποθετηθούν αριθµοί ; Επαναλάβετε για την περίπτωση που δεν επιτρέπεται η επανάληψη γράµµατος ή αριθµού στην πινακίδα. Με επανάληψη γραµµάτων ή αριθµών Χρησιµοποιούµε τη ϐασική αρχή της απαρίθµησης Γ : #14 - Α, Β, Ε, Ζ, Η, Ι, Κ, Μ, Ν, Ο, Ρ, Τ, Υ, Χ (Μόνο τα 14 γράµµατα της Ελληνικής που ανήκουν και στο Λατινικό αλφάβητο Α : #10-0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Ετσι, οι διαφορετικές πινακίδες είναι = Χωρίς επανάληψη γραµµάτων ή αριθµών Στη ϑέση του πρώτου γράµµατος µπορούν να µπουν όλα τα πιθανά γράµµατα, 14 στο πλή- ϑος. Στη ϑέση του ου γράµµατος µόνο τα 13 εναποµείναντα για να µην έχουµε επανάληψη. Αντίστοιχα, στην πρώτη ϑέση για αριθµό έχουµε 10 επιλογές, στη δεύτερη 9 κτλ. Ετσι, οι διαφορετικές πινακίδες σε αυτήν την περίπτωση είναι = Εδώ ϑα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε και τον τύπο για διατάξεις/µεταθέσεις : P (14, P (10, 5 = 14!! 10! 5! = 1! ! 5! ! = = Ασκηση 6. Τραβάµε 7 χαρτιά από µια καλά ανακατεµένη τράπουλα 5 χαρτιών. Βρείτε την πιθανότητα : (α Τα 7 χαρτιά περιέχουν ακριβώς 3 άσσους. (ϐ Τα 7 χαρτιά περιέχουν ακριβώς ϐαλέδες. (γ Τα 7 χαρτιά περιέχουν ακριβώς 3 άσσους ή ϐαλέδες. Ορίζουµε τα γεγονότα : A = {Τα 7 χαρτιά περιέχουν ακριβώς 3 άσσους} B = {Τα 7 χαρτιά περιέχουν ακριβώς ϐαλέδες} (α Υπάρχουν ( 5 7 διαφορετικοί τρόποι να επιλέξουµε 7 χαρτιά από µία τράπουλα, µε 5 χαρτιά. Πρέπει να επιλέξουµε 3 από τους 4 άσσους, και οποιαδήποτε 4 από τα υπόλοιπα 48 χαρτιά. Συνολικά αυτό γίνεται µε ( 4 3 ( 48 4 διαφορετικούς τρόπους. Εποµένως, η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P (A = (4 3 ( 48 4 ( 5 7 = 4! 3!(4 3! 48! 3!(48 3! 5! 7!(5 7!
5 Πιθανότητες - 016/Φροντιστήριο 5 5 (ϐ Οµοίως, η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P (B = (4 ( 48 5 = ( 5 7 4!!(4! 48! 5!(48 5! 5! 7!(5 7! (γ Υπολογίζουµε την πιθανότητα : P ( Ακριβώς 3 άσσους ή ϐαλέδες = (4 3 ( 48 4 ( (4 ( 48 5 ( 5 7 (4 3 ( 4 ( 44 ( 5 7 Θεωρία. Μια τ.µ. λέγεται διακριτή αν το πεδίο τιµών της είναι πεπερασµένο ή άπειρα αριθµήσιµο. Π.χ. Εστω το πείραµα όπου διαλέγουµε τυχαία σηµείο a [ 1, 1]. Τότε η τ.µ. a δεν είναι διακριτή, ενώ η τ.µ. 1, a > 0 sgn(α = 0, a = 0 είναι διακριτή. 1, a < 0 Θέλουµε να χαρακτηρίσουµε µία τ.µ. µέσω των πιθανοτήτων των τιµών που µπορεί να λάβει : Αν x είναι µία τιµή της τ.µ X, η πιθανότητα µάζας probability mass PMF του x ορίζεται ως : p X (x = P({X = x} όπου το γεγονός {X = x} αποτελείται από όλα τα απλά ενδεχόµενα που συντελούν στο να πάρει η τ.µ. X την τιµή x. Η PMF αναφέρεται ως κατανοµή. Σύµβαση: Με X, Y, Z κ.τ.λ. συµβολίζουµε τ.µ. ενώ µε x, y, z κ.τ.λ. συµβολίζουµε αριθµητικές τιµές τις οποίες παίρνουν οι τ.µ. Επίσης, πολλές ϕορές γράφουµε P (X = x αντί P ({X = x} Υπολογισµός της PMF µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής X. Για κάθε δυνατή τιµή x της τ.µ. X: 1. Συγκεντρώνουµε όλα τα δυνατά απλά αποτελέσµατα που συντελούν στο γεγονός {X = x}.. Προσθέτουµε τις πιθανότητές τους για να πάρουµε την τιµή p X (x. Ασκηση 7. Το πείραµά µας συνίσταται στη ϱίψη 3 τίµιων κερµάτων. Συµβολίζουµε µε Y τον αριθµό που µας λέει πόσες ϕορές εµφανίστηκε κορώνα. Να ϐρεθούν οι τιµές που παίρνει η τυχαία µεταβλητή Y και να υπολογισθεί η συνάρτηση πιθανότητάς της. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα : Κ={ Ερχεται Κορώνα}, µε αντίστοιχη πιθανότητα P (K = 1/ Γ={ Ερχεται Γράµµατα}, µε αντίστοιχη πιθανότητα P (G = 1/
6 Πιθανότητες - 016/Φροντιστήριο 5 6 Η τ.µ Y παίρνει τιµές {0, 1,, 3}, καθώς µπορεί να εµφανισθεί κορώνα από 0 3 ϕορές συνολικά. P Y (0 = P {Y = 0} = P ({Γ, Γ, Γ} = = 1 8, P Y (1 = P {Y = 1} = P ({K, Γ, Γ} + P ({Γ, K, Γ} + P ({Γ, Γ, K} = = 3 8, P Y ( = P {Y = } = P ({K, K, Γ} + P ({K, Γ, K} + P ({Γ, K, Γ} = 3 8, P Y (3 = P {Y = 3} = P ({K, K, K} = 1 8 Εποµένως, η συνάρτηση πιθανότητας γίνεται : 1 / 8, y = 0 ή y = 3 PMF: p X (x = 3 / 8, y = 1 ή y = 0, αλλιώς
(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση ΙΙ και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2017 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( Ι ) Επιµέλεια : Στιβακτάκης Ραδάµανθυς Ασκηση.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /10/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : /11/01
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 08-09 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Ασκηση Το πείραµά µας συνίσταται στη ϱίψη 3 τίµιων κερµάτων. Συµβολίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να χρησιµοποιήσουµε
Διαβάστε περισσότερα8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 4/10/014 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 5/11/014
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (i Υποθέτοντας ότι επιτρέπονται επαναλήψεις
Διαβάστε περισσότερα(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :
Διαβάστε περισσότεραp(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
Διαβάστε περισσότεραP (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /11/011 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/11/011
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (A) + P (B) P (A B)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 1 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Ο εκφωνητής του δελτίου καιρού δίνει
Διαβάστε περισσότερα200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία
Διαβάστε περισσότεραxp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
Διαβάστε περισσότεραP = 0 1/2 1/ /2 1/
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 206 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 7ο Φροντιστήριο Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Μια Μαρκοβιανή
Διαβάστε περισσότεραP (Ηρ) = 0.4 P (Αρ) = 0.32 P (Απ) = 0.2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 25/09/2014 Ηµεροµηνία Παράδοσης
Διαβάστε περισσότερα/ / 38
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 205-6 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 0 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Ο Κώστας πηγαίνει
Διαβάστε περισσότερα0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 7 Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. (αʹ) Αν συµβολίσουµε µε Λ τη λάθος απάντηση
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,
Διαβάστε περισσότεραP( X < 8) = P( 8 < X < 8) = Φ(0.6) Φ( 1) = Φ(0.6) (1 Φ(1)) = Φ(0.6)+Φ(1) 1
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης 9ο Φροντιστήριο Επιµέλεια: Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Η τ.µ. X ακολουθεί την κανονική κατανοµή
Διαβάστε περισσότεραP( n, k) P(5,5) 5! 5! 10 q! q!... q! = 3! 2! = 0! 3! 2! = 3! 2!
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Φροντιστήριο στη Συνδυαστική (#8) Άσκηση 1 Με πόσους τρόπους µπορούµε να δηµιουργήσουµε συµβολοσειρές που αποτελούνται από τρεις παύλες και δύο τελείες; Άσκηση 1, 1 η προσέγγιση
Διαβάστε περισσότερα1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
Διαβάστε περισσότεραcov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Ορισµός Πιθανότητας Στοιχεία Συνδυαστικής Κλασικός Ορισµός της Πιθανότητας Εστω Ω ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος
Διαβάστε περισσότερα, x > a F X (x) = x 3 0, αλλιώς.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 11ο Φροντιστήριο - Θέµατα Εξετάσεων από προηγούµενα έτη Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Βρίσκεστε
Διαβάστε περισσότεραΓιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1 Μία Μαρκοβιανή
Διαβάστε περισσότερα3ο Φροντιστηριο ΗΥ217
3ο Φροντιστηριο ΗΥ217 Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 30 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση 0.1 Εχουµε 3 κέρµατα. Το ένα από αυτά έχει κορώνα και στις δύο πλευρές, το άλλο έχει γράµµατα και στις δύο πλευρές, και το τελευταίο
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π.
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες -Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Χρησιµοποιούµε µια αλυσίδα
Διαβάστε περισσότεραP (B) = P (B/A) P (A) + P (B/Γ) P (Γ) =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Θεωρούµε τα παρακάτω : A: Το ένδεχοµενο να
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά
Διαβάστε περισσότερα#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,
Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 10/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/11/2016 1 1 Θεωρία πιθανοτήτων 5/11/2016 2 2 Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηµατικό λογισµό µιλήσαµε
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική
Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 2012 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις : Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 212 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 5/11/212 Ηµεροµηνία Παράδοσης :
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότεραc(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τελικής Εξέτασης - 9 Ιανουαρίου 05 Θέµα. α Η γραφική παράσταση της σ.π.π. f X x ϕαίνεται στο σχήµα :
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης. Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 204 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /0/206 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 20/0/206
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη Ασκηση. Η τυχαία µεταβλητή X έχει αθροιστική
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου, Θ. Λιανέας Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων.
Μάθηµα 1 ο Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. http://compus.uom.gr/inf267/index.php 1 Εισαγωγικά Βασικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραP(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου
ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (A) + P (B) P (A B).
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πρώτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 08/10/2007 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 18/10/2007
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης
Διαβάστε περισσότερα17/10/2016. Στατιστική Ι. 3 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 3 η Διάλεξη 1 2 Τυχαία μεταβλητή X στο δειγματικό χώρο Ω Μια πραγματική συνάρτηση που αντιστοιχίζει τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 3 η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότερα11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.5 + 0.4 0.3 = 0.6.
1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Θεωρούµε δύο ενδεχόµενα A, B. Με πιθανότητα 0.5 ϑα συµβεί το A, µε πιθανότητα 0.4 ϑα συµβεί το B και µε πιθανότητα 0.3 ϑα συµβούν και τα δυο. Ποια είναι η πιθανότητα να µη συµβεί
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραX:S X(S) Έστω ότι στρίβουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα δύο φορές και ενδιαφερόµαστε για τον αριθµό των Κ που θα εµφανιστούν.
Στατιστική Ι: Ακαδηµαϊκό Έτος 6-7 Τυχαίες Μεταβλητές Έστω ότι εκτελούµε ένα πείραµα τύχης και ότι είµαστε σε θέση να µετρήσουµε όλα τα δυνατά αποτελέσµατα και να αντιστοιχούµε ένα πραγµατικό αριθµό σε
Διαβάστε περισσότεραP (D) = P ((H 1 H 2 H 3 ) c ) = 1 P (H 1 H 2 H 3 ) = 1 P (H 1 )P (H 2 )P (H 3 )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 2 Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη Ασκηση. Μία κότα ϑέλει να διασχίσει το
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις
1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
Διαβάστε περισσότεραB A B A A 1 A 2 A N = A i, i=1. i=1
Κεφάλαιο 2 Χώρος πιθανότητας και ενδεχόμενα 2.1 Προκαταρκτικά Εστω ότι κάποιος μας προτείνει να του δώσουμε δυόμισι ευρώ για να παίξουμε το εξής παιχνίδι: Θα στρίβουμε ένα νόμισμα μέχρι την πρώτη φορά
Διαβάστε περισσότεραp B p I = = = 5
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 17/3/2011
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότερα8. Τεχνικές απαϱίϑµησης
8. Τεχνικές απαϱίϑµησης Rosen Κεϕ. 8 Ιωάννης Εµίϱης Τµήµα Πληϱοϕοϱικής & Τηλεπικοινωνιών Εγκλεισµός-Αποκλεισµός Εϕαϱµογές του Εγκλεισµού-Αποκλεισµού ιαταϱάξεις Εισαγωγή Πολλά πϱοϐλήµατα απαϱίϑµησης δεν
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.
Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.
Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα
Διαβάστε περισσότεραy = u i t 1 2 gt2 y = m y = 0.2 m
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2018 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πρώτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ) Το χαρτονόµισµα ξεκινά από ηρεµία, u i = 0, και
Διαβάστε περισσότεραP(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28
Διαβάστε περισσότερα+ cos(45 ) i + sin(45 ) j + cos(45 ) i sin(45 ) j +
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2018 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Τέταρτο Φροντιστήριο Επιµέλεια : Αναστασία Πεντάρη Υποψήφια ιδάκτωρ Ασκηση 1. Πόση είναι η
Διαβάστε περισσότεραsin(30 o ) 4 cos(60o ) = 3200 Nm 2 /C (7)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. (αʹ Η ηλεκτρική ϱοή διαµέσου µιας επιφάνειας A είναι
Διαβάστε περισσότερα400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πρώτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. Θεωρούµε ως χρονικό σηµείο αναφοράς τη στιγµή που
Διαβάστε περισσότεραΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα
ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι
Διαβάστε περισσότερα[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΜέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)=
Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3x 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= i-2 22, xi=1,2,3,4. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών
Διαβάστε περισσότεραα n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην
Διαβάστε περισσότεραΒασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότερα0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 9 Επιµέλεια : Γιαννόπουλος Μιχάλης Ασκηση Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερα