ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή τους ή συνδυασμοί αν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής. Τέτοιοι σχηματισμοί αποτελούν ένα από τα βασικότερα αντικείμενα μελέτης της Συνδυαστικής.. Διατάξεις και Μεταθέσεις Έστω X { x x K x} ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία x x K x και θετικός ακέραιος μικρότερος ή ίσος του. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός Διάταξη). Διάταξη των στοιχείων ή απλά διάταξη των ανά καλείται κάθε διατεταγμένη - αδα a a K a ) που αποτελείται από διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία του X δηλαδή a X a X a K X και a a j για j. Στην περίπτωση αντί του όρου διάταξη των ανά χρησιμοποιούμε τον όρο μετάθεση των στοιχείων. Το πλήθος των διατάξεων των στοιχείων ανά συμβολίζεται με ). Παράδειγμα. α) Οι διατάξεις των 4 γραμμάτων { α β γ δ} ανά είναι οι ακόλουθες: β α). Σε μία οποιαδήποτε διάταξη a a ) των 4 γραμμάτων ανά το πρώτο στοιχείο a μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A { α β γ δ } των A 4 γραμμάτων ενώ το στοιχείο a μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A A { } των A 3 γραμμάτων εξαιρουμένου του στοιχείου που επιλέγεται ως πρώτο στοιχείο. a Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή ο αριθμός των διατάξεων των 4 ανά είναι ίσος με 4 3. β) Οι μεταθέσεις των 3 γραμμάτων { α β γ } είναι οι ακόλουθες που σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή είναι πλήθους 3. 7

2 Παρατήρηση. Αν τα στοιχεία του Ω επιτρέπεται να επαναλαμβάνονται στη διάταξη χρησιμοποιούμε την ονομασία διάταξη των ανά με επανάληψη. Η ειδική περίπτωση διάταξης των ανά με με επανάληψη όπου το στοιχείο ω εμφανίζεται φορές K με K καλείται μετάθεση ειδών στοιχείων. Παράδειγμα. α) Οι διατάξεις των 3γραμμάτων { α β γ } ανά 3 με περιορισμένη επανάληψη και συγκεκριμένα όταν το α μπορεί να εμφανίζεται μέχρι και 3 φορές το β μόνο μέχρι φορά και το γ μέχρι και φορές είναι οι εξής: 3 που είναι 9 το πλήθος. β) Οι μεταθέσεις των 3 ειδών στοιχείων όταν το α εμφανίζεται φορές το β εμφανίζεται φορά και το γ εμφανίζεται φορά είναι οι ακόλουθες: 3 Ισχύει η ακόλουθη πρόταση. που είναι το πλήθος. Πρόταση.. Ο αριθμός ) ) L ). ) των διατάξεων των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο: Απόδειξη. Σε μία οποιαδήποτε διάταξη a a K a ) των στοιχείων του Ω ω ω K ω } ανά το { πρώτο στοιχείο μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A Ω των A στοιχείων ενώ μετά την επιλογή του πρώτου στοιχείου το δεύτερο στοιχείο a επειδή πρέπει να είναι διαφορετικό από το a ) μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A Ω } των A υπόλοιπων στοιχείων. Τελικά μετά την επιλογή των { a a a K a το τελευταίο στοιχείο a επειδή πρέπει να είναι διαφορετικό από τα προηγούμενα στοιχεία) μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A Ω a a K a } των ) στοιχείων. Επομένως A A A πολλαπλασιαστική αρχή ο αριθμός τους είναι { L είναι το σύνολο των διατάξεων των ανά και σύμφωνα με την A A L A A A L A ) L ). A 8

3 Για την ειδική περίπτωση των μεταθέσεων των στοιχείων προκύπτει το επόμενο πόρισμα. Πόρισμα.. Ο αριθμός των μεταθέσεων στοιχείων δίνεται από τον τύπο: 3L ). Η τελευταία παράταση περιλαμβάνει το γινόμενο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με και διαβάζεται ως «παραγοντικό». Παρατήρηση. Ο αριθμός ) των διατάξεων των στοιχείων ανά μπορεί να γραφεί και με χρήση των παραγοντικών. Πράγματι αν πολλαπλασιάσουμε το ) με ) θα έχουμε: ) ) [ ) L )][ ) ) L ] ) L οπότε ) ) ή ισοδύναμα ). ) Μπορούμε να διατυπώσουμε την επόμενη πρόταση. Πρόταση.. Ο αριθμός των διατάξεων των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο ). ) Το σύμβολο επεκτείνεται και για 0 θέτοντας συμβατικά 0. Επίσης το σύμβολο ) επεκτείνεται για 0 θέτοντας ) 0. Παράδειγμα.3 Έστω ότι κάποιος διαθέτει διαφορετικά κλειδιά από τα οποία ένα ταιριάζει στην εξώπορτα του σπιτιού του που όμως δεν αναγνωρίζει από πριν και δοκιμάζει το ένα μετά το άλλο τα κλειδιά μέχρι να ανοίξει την πόρτα. Ποιος είναι ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να επιτύχει να την ανοίξει α) στην οστή δοκιμή β) μέχρι την οστή δοκιμή γ) στην τελευταία οστή δοκιμή. Λύση. α) Ας αριθμήσουμε τα κλειδιά που είναι από το 0 μέχρι το θέτοντας τον αριθμό 0 στο κλειδί που ταιριάζει στην πόρτα. Σε μία σειρά δοκιμών όπου στην οστή δοκιμή ανοίγει η πόρτα αντιστοιχεί μία διατεταγμένη άδα a a K a a ) με a 0 και { K } j K. Επειδή το 9 a j

4 τελευταίο στοιχείο για κάθε μία από τις σειρές δοκιμών που μας ενδιαφέρουν είναι a 0 το πλήθος των σειρών των δοκιμών είναι ίσο με τον αριθμό ) των διατάξεων a K a ) των αριθμών κλειδιών) { K } ανά. β) Ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να το επιτύχει μέχρι την οστή δοκιμή είναι σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος ίσος με το άθροισμα των αριθμών των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να το επιτύχει στην οστή δοκιμή για K. Συνεπώς χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του α) ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με: ) ) K ). γ) Ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να το επιτύχει στην τελευταία οστή δοκιμή είναι σύμφωνα με το α) ίσος με τον αριθμό ) των μεταθέσεων των ) αριθμών κλειδιών) { K }. Παράδειγμα.4 Τέσσερα παντρεμένα ζευγάρια έχουν αγοράσει οκτώ εισιτήρια θεάτρου που αντιστοιχούν σε οκτώ συνεχόμενες θέσεις της ίδιας σειράς. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν τα οκτώ άτομα στις θέσεις ώστε: α) να μην υπάρχει κανένας περιορισμός για τη θέση που καταλαμβάνει το κάθε άτομο; β) άντρες και γυναίκες να κάθονται εναλλάξ; Λύση. Έστω X A K } το σύνολο των 4 ανδρών και X Γ K } το σύνολο των 4 γυναικών. { A4 Υποθέτουμε ότι τα 4 ζευγάρια είναι A Γ ) K4. { Γ4 α) Κάθε τοποθέτηση των 8 ατόμων στις 8 θέσεις αντιστοιχεί σε μία μετάθεση των 8 στοιχείων του συνόλου X X X. Άρα υπάρχουν 8 διαφορετικοί τρόποι κατάληψης των 8 θέσεων. β) Οι τοποθετήσεις που μας ενδιαφέρουν μπορούν να χωριστούν σε δύο ξένες μεταξύ τους ομάδες: αυτές που έχουν τη μορφή A ΓAΓAΓAΓ και αυτές που έχουν τη μορφή Γ AΓAΓAΓA. Και στις δύο περιπτώσεις υπάρχουν 4 τρόποι τοποθέτησης των ανδρών στις συγκεκριμένες θέσεις μεταθέσεις των 4 στοιχείων του συνόλου X A A A }) 4 τρόποι τοποθέτησης των γυναικών στις συγκεκριμένες θέσεις μεταθέσεις { 3 A4 των 4 στοιχείων του συνόλου X Γ Γ Γ }). { 3 Γ4 Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή κάθε μία από τις δύο ομάδες έχει 4 4 στοιχεία και με βάση την αρχή του αθροίσματος θα υπάρχουν 4 4 ώστε άνδρες και γυναίκες να κάθονται εναλλάξ ) διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησης των 8 ατόμων Παράδειγμα.5 Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία σχηματίζονται με τα ψηφία { 0345}; 0

5 Λύση. Το ζητούμενο προκύπτει με την επιλογή 4 από τα 7 ψηφία που πρέπει να είναι τέτοια ώστε το 0 να μην είναι το πρώτο ψηφίο. Έτσι αρκεί από τις διατάξεις των 7 ανά 4 που είναι όλοι οι αριθμοί με 4 ψηφία από τα δοθέντα 7) να αφαιρέσουμε τις διατάξεις των ανά 3 που είναι εκείνοι οι αριθμοί με πρώτο ψηφίο το 0 και επομένως με 3 ψηφία από τα υπόλοιπα ). Άρα θα είναι: 7 7) 4 ) 7 4) 3) Συνδυασμοί Έστω X x K x } ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία και ένας θετικός { ακέραιος μικρότερος ή ίσος του. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός Συνδυασμός). Συνδυασμός των στοιχείων ανά ή απλούστερα συνδυασμός των ανά καλείται κάθε μη-διατεταγμένη συλλογή αποτελούμενη από διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία a a του συνόλου X x K x }. { K Παράδειγμα Αν X { a b c d} 4. Τότε οι συνδυασμοί των στοιχείων ανά είναι τα υποσύνολα { a b}{ a c}{ a d}{ b c}{ b d}{ c d}. Σε μία διάταξη μας ενδιαφέρει η ακριβής σειρά με την οποία καταγράφονται τα στοιχεία που περιέχει ενώ σε ένα συνδυασμό η σειρά καταγραφής των στοιχείων δεν παίζει κανένα ρόλο. Η διαδικασία δημιουργίας των διατάξεων των στοιχείων ανά γίνεται σε δύο βήματα. Βήμα. Επιλογή στοιχείων από τα που περιέχει το σύνολο X δημιουργία ενός συνδυασμού των στοιχείων ανά ). Βήμα. Τοποθέτηση των στοιχείων που επιλέχτηκαν στο Βήμα με όλες τις δυνατές διαφορετικές σειρές καταγραφή όλων των δυνατών μεταθέσεων των στοιχείων που διαλέξαμε). Το Βήμα της γενικής διαδικασίας δημιουργίας των διατάξεων των στοιχείων ανά μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους. Για κάθε αποτέλεσμα του Βήματος υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι πραγματοποίησης του Βήματος. Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή η

6 ολοκλήρωση των δύο βημάτων μπορεί να γίνει με: διαφορετικούς τρόπους. Όμως η ολοκλήρωση των βημάτων και οδηγεί στην καταγραφή όλων των δυνατών διατάξεων των στοιχείων ) ανά. Άρα ). Συνεπώς ). Αποδείξαμε την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.. Ο αριθμός των συνδυασμών των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο: ) ) L ). ) ) θέτουμε συμβατικά: Για 0 > 0. Για Για ). ) ) Παράδειγμα. Πόσες διαφορετικές επιτροπές που θα αποτελούνται από γυναίκες και 3 άνδρες μπορούν να δημιουργηθούν από μία ομάδα 5 γυναικών και 7 ανδρών; Τι θα αλλάξει στην περίπτωση που δύο συγκεκριμένοι άνδρες αρνηθούν να συμμετάσχουν στην ίδια επιτροπή; Λύση. Υπάρχουν 5 7 ομάδες γυναικών και ομάδες 3 ανδρών. Άρα από την πολλαπλασιαστική αρχή υπάρχουν 350 δυνατές επιτροπές που αποτελούνται από γυναίκες και 3 άνδρες. 3 Ας υποθέσουμε ότι άντρες αρνούνται να συμμετάσχουν στην ίδια επιτροπή. Επειδή υπάρχουν συνολικά από τα 35 σύνολα 3 ανδρών που περιλαμβάνουν και τους δύο συγκεκριμένους άντρες 3 5 προκύπτει ότι ομάδες δεν τους περιλαμβάνουν. Εφόσον υπάρχουν 0 τρόποι να επιλεγούν οι γυναίκες έπεται ότι υπάρχουν δυνατές επιτροπές σε αυτή την περίπτωση.

7 Παράδειγμα.7 Μία εταιρεία θέλει να προσλάβει 5 νέους υπαλλήλους. Μετά την προκήρυξη των νέων θέσεων υπέβαλαν αίτηση 7 γυναίκες και 8 άνδρες. Να υπολογιστούν οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να γίνει η επιλογή των 5 νέων υπαλλήλων: α) αν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός β) αν πρέπει να προσληφθούν ακριβώς γυναίκες γ) αν πρέπει να προσληφθούν τουλάχιστον 3 άνδρες. Λύση. Έστω X Γ K } το σύνολο των 7 γυναικών και X A K } το σύνολο των 8 ανδρών που { Γ7 υπέβαλλαν αίτηση πρόσληψης. { A8 α) Ζητάμε τους συνδυασμούς των 5 στοιχείων του συνόλου X X X ανά 5. Το πλήθος των 5 5) διαφορετικών επιλογών είναι ίσο με: β) Η επιλογή των γυναικών μπορεί να γίνει κατά 7 7) 7 τρόπους όσοι και οι συνδυασμοί των 7 στοιχείων του συνόλου X ανά. Ομοίως η επιλογή των 5-3 ανδρών που απαιτούνται για να 8 8) συμπληρωθούν οι 5 θέσεις μπορεί να γίνει με 5 τρόπους όσοι και οι συνδυασμοί των στοιχείων του συνόλου X ανά Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με γ) Υπάρχουν τρεις ξένες μεταξύ τους περιπτώσεις με τις οποίες μπορεί να πραγματοποιηθεί το ζητούμενο: να προσληφθούν 3 άνδρες και γυναίκες να προσληφθούν 4 άνδρες και γυναίκα να προσληφθούν 5 άνδρες και καμία γυναίκα. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων που αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση είναι αντίστοιχα: ) ) Σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος το ζητούμενο πλήθος θα είναι: Η επόμενη πρόταση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τις αριθμητικές τιμές των ποσοτήτων για. 5. 3

8 4 Πρόταση.. Για τους αριθμούς των συνδυασμών των στοιχείων ανά ισχύουν οι επόμενες ισότητες: α). β). Απόδειξη. Για το α) έχουμε:. ) )) ) Για το β) έχουμε για < <. ) ) ) ) )] )[ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Η σχέση β) ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο και για διότι σε αυτές τις περιπτώσεις προκύπτει 0 ή ισοδύναμα ) και ή ισοδύναμα 0 αντίστοιχα. Η ταυτότητα β) είναι γνωστή ως τρίγωνο του Pascal και οφείλει την ονομασία της στο γεγονός ότι σε έναν πίνακα τιμών για τους αριθμούς οι ποσότητες εμφανίζονται ως κορυφές ενός τριγώνου που σχηματίζεται από μία οριζόντια μια κατακόρυφη και μια διαγώνια πλευρά βλέπε σελ. 79 βιβλίο Κούτρα)..3 Επαναληπτικές Διατάξεις Έστω } { x x X K ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία x x K και ένας θετικός ακέραιος. Δίνουμε την ακόλουθο ορισμό.

9 Ορισμός Διάταξη με επανάληψη). Διάταξη των στοιχείων ανά ή απλά επαναληπτική διάταξη των ανά καλείται κάθε διατεταγμένη άδα a K a ) η οποία αποτελείται από στοιχεία του X δηλαδή a X K a X. Δηλαδή οι επαναληπτικές διατάξεις των στοιχείων ανά είναι όλα τα στοιχεία του καρτεσιανού γινομένου A L A με A K A X. Με εφαρμογή της πολλαπλασιαστικής αρχής για το καρτεσιανό γινόμενο συνόλων καταλήγουμε στην ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.3. Ο αριθμός των επαναληπτικών διατάξεων των στοιχείων ανά είναι ίσος με. Απόδειξη. Έστω ότι η διαδικασία δημιουργίας της διάταξης a K a ) προκύπτει ως αποτελούμενη από διαφορετικά βήματα. Στο πρώτο βήμα επιλέγεται ένα στοιχείο από το σύνολο X και τοποθετείται στην πρώτη θέση a της διάταξης. Η επιλογή αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους όσα δηλαδή είναι τα στοιχεία του X. Στη συνέχεια επιλέγεται το στοιχείο a που θα τοποθετηθεί στη δεύτερη θέση. Αφού είναι επιτρεπτή η επανεκλογή του ίδιου στοιχείου παραπάνω από μία φορά η επιλογή του a X μπορεί να γίνει και πάλι με τρόπους. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο τη διαδικασία συμπλήρωσης των υπόλοιπων θέσεων μέχρι να φτάσουμε στο οστό βήμα πάλι οι δυνατές επιλογές του a X είναι το πλήθος. Άρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να ολοκληρώσουμε όλες τις φάσεις είναι L L. Παράδειγμα.8 α) Τα δυνατά αποτελέσματα μίας σειράς ρίψεων ενός νομίσματος είναι πλήθους όσες δηλαδή είναι οι διατάξεις των συμβόλων Κ Γ) ανά με επανάληψη. Για 3 τα δυνατά αποτελέσματα είναι τα εξής 8: Κ Κ Κ) Κ Κ Γ) Κ Γ Κ) Γ Κ Κ) Κ Γ Γ) Γ Κ Γ) Γ Γ Κ) Γ Γ Γ). β) Σε μία σειρά ρίψεων ενός κύβου τα δυνατά αποτελέσματα είναι πλήθους όσες είναι δηλαδή οι διατάξεις των θετικών ακεραίων { 345 } ανά με επανάληψη. Τα δυνατά αποτελέσματα μίας ρίψης διακεκριμένων κύβων είναι πλήθους επίσης. Έστω X { x x K x} ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά στοιχεία x K x και ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε: το στοιχείο x συνολικά φορές το στοιχείο x συνολικά φορές K το στοιχείο x συνολικά φορές και να δημιουργήσουμε όλες τις δυνατές διατεταγμένες αδες a K a ) με a X a X K a όπου K. Ένας τέτοιος σχηματισμός καλείται μετάθεση των X 5 ειδών στοιχείων τύπου K ) ενώ το συνολικό πλήθος τους θα

10 συμβολίζεται ως. Συχνά χρησιμοποιούμε την έκφραση «μετάθεση των ειδών στοιχείων εκ των K οποίων τα είναι τύπου τα είναι τύπου K τα είναι τύπου». Ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.3. Ο αριθμός των μεταθέσεων των ειδών στοιχείων εκ των οποίων τα είναι τύπου τα είναι τύπου K τα είναι τύπου δίνεται από την έκφραση: K L όπου K. Απόδειξη. Έστω X x x K x } το σύνολο των διαφορετικών στοιχείων που διαθέτουμε και a K a ) { με a X K a X η γενική μορφή μίας μετάθεσης με τις προδιαγραφές που τέθηκαν. Η διαδικασία συμπλήρωσης της διατεταγμένης άδας μπορεί να γίνει σε διαδοχικές φάσεις ως εξής: Στην πρώτη φάση επιλέγουμε από τις διαθέσιμες θέσεις a K a και τοποθετούμε σε αυτές όλα τα στοιχεία τύπου δηλαδή τα όμοια σύμβολα x ). Η επιλογή των θέσεων μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους. Στη δεύτερη φάση επιλέγουμε από τις θέσεις που απέμειναν ελεύθερες και εκεί τοποθετούμε όλα τα διαθέσιμα στοιχεία τύπου δηλαδή τα όμοια σύμβολα x ). Η επιλογή των θέσεων μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους. Με ανάλογη διαδικασία προχωρούμε μέχρι το τελικό βήμα όπου θα πρέπει να διαλέξουμε θέσεις για να τοποθετήσουμε τα διαθέσιμα στοιχεία τύπου δηλαδή τα x ). O αριθμός των ελεύθερων θέσεων που απέμειναν μετά την ολοκλήρωση των προηγούμενων φάσεων είναι ίσος με: ) L και το πλήθος των διαφορετικών επιλογών είναι: L ). Άρα με βάση την πολλαπλασιαστική αρχή ο ζητούμενος αριθμός των μεταθέσεων των ειδών στοιχείων θα είναι ίσος με: L L ) ) L L ) ) L )) ) ) το οποίο με απλοποιήσεις δίνει:. L

11 Παράδειγμα.9 α) Δέκα παιδιά πρόκειται να χωριστούν στις ομάδες Α και Β με 5 μέλη η καθεμία. Η ομάδα Α θα παίξει σε έναν όμιλο και η ομάδα Β σε κάποιον άλλον. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό; 0 Λύση. α) Υπάρχουν δυνατοί τρόποι. β) Σε ένα αστυνομικό τμήμα μίας μικρής πόλης υπηρετούν 0 αστυνομικοί. 5 αστυνομικοί περιπολούν στους δρόμους δουλεύουν μέσα στο τμήμα 3 αναπληρώνουν αυτούς που δουλεύουν στο τμήμα. Πόσες είναι οι διαφορετικές διαιρέσεις των 0 αστυνομικών στις 3 ομάδες; 0 Λύση. β) Υπάρχουν 50 δυνατές διαιρέσεις. 5 3 Παράδειγμα.0 Διαθέτουμε 5 αντίτυπα ενός βιβλίου Α 3 αντίτυπα ενός βιβλίου Β και 4 αντίτυπα ενός βιβλίου Γ. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν τα βιβλία αυτά να τοποθετηθούν με τυχαίο τρόπο σε ένα ράφι μίας βιβλιοθήκης; Λύση. Υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι. Παράδειγμα. α) Με πόσους τρόπους μπορεί να μοιράσει ένας πατέρας 7 δώρα στα 3 παιδιά του αν το μεγαλύτερο πρέπει να πάρει 3 δώρα και τα άλλα από δύο το καθένα; 7 Λύση. α) Υπάρχουν 0 3 τρόποι. β) Έστω διακεκριμένα σφαιρίδια τα οποία τοποθετούνται μέσα σε διακεκριμένα κελιά απεριόριστης χωρητικότητας. Κατά την τοποθέτηση των σφαιριδίων μέσα στα κελιά το οστό σφαιρίδιο μπορεί να τοποθετηθεί σε ένα από τα κελιά K. Άρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή τα σφαιρίδια μπορούν να τοποθετηθούν στα κελιά κατά τρόπους..4 Επαναληπτικοί Συνδυασμοί Έστω X { x K x } ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία x K x και ένας θετικός ακέραιος. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός Επαναληπτικός Συνδυασμός). Επαναληπτικός συνδυασμός των στοιχείων του X ανά ή συνδυασμός των στοιχείων του X ανά ή συνδυασμός των στοιχείων του X ανά με επανάληψη ή 7

12 8 απλώς επαναληπτικός συνδυασμός των ανά καλείται κάθε επιλογή στοιχείων a a K από τα στοιχεία του συνόλου X όπου είναι επιτρεπτό κάποιο ή κάποια στοιχεία του συνόλου X να χρησιμοποιηθούν περισσότερες από μία φορές. Ο αριθμός των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά θα συμβολίζεται με. Ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.4. Ο αριθμός των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο:. ) ) ) ) L Απόδειξη. Έστω } { x x X K το σύνολο των διαφορετικών στοιχείων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Ένας τυπικός επαναληπτικός συνδυασμός θα έχει τη μορφή του σχήματος: ή ισοδύναμα αν αντικαταστήσουμε τις κάθετες γραμμές με τον αριθμό και τα σύμβολα με τον αριθμό 0 θα έχουμε την ακόλουθη μορφή: Έτσι το πρόβλημα μεταφέρεται στον υπολογισμό του πλήθους των μεταθέσεων δύο ειδών στοιχείων και 0) εκ των οποίων τα στοιχεία είναι τύπου και τα είναι τύπου. Τα τύπου είναι οι μονάδες που αντιστοιχούν στα χωρίσματα του σχήματος και τα τύπου είναι τα μηδενικά που αντιστοιχούν στα σύμβολα του σχήματος. Άρα. ) Σύμφωνα με την Πρόταση.3. το ζητούμενο πλήθος είναι ίσο με. ) ) Για για. Για. Για. ) ) Για. Παράδειγμα. Πόσα είναι τα διαφορετικά αποτελέσματα που μπορούμε να πάρουμε αν ρίξουμε ένα ζάρι δύο φορές και δε μας ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης των ενδείξεων;

13 Λύση. Ενδιαφερόμαστε για μη διατεταγμένα ζεύγη αποτελεσμάτων της μορφής a a X {345 } και τα a a μπορούν να είναι και ίσα μεταξύ τους. Ζητούμε τους επαναληπτικούς συνδυασμούς των στοιχείων του συνόλου X ανά. Ο αριθμός των διαφορετικών αποτελεσμάτων θα είναι: 7 7. Ισχύει η πρόταση. Πρόταση.4. Για τον αριθμό των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά όπου είναι ακέραιοι ισχύουν οι επόμενες ισότητες: α) β). Απόδειξη. Για το α) έχουμε: ) ). Για το β) έχουμε: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )[ ) ] ) ) ). ) ) ) ) ) Παράδειγμα.3 Ένα ζάρι ρίπτεται φορές και καταγράφονται τα αποτελέσματα των ρίψεων. α) Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν αν γράψουμε στη σειρά ενδείξεις; β) Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά; γ) Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε να πάρουμε αν η σειρά με την οποία εμφανίζονται οι ενδείξεις δε μας ενδιαφέρει; δ) Σε πόσα από αυτά τα αποτελέσματα δεν υπάρχουν ούτε δύο ίδιες ενδείξεις; Λύση. α) Είναι X {345 }. Οι ρίψεις αντιστοιχούν στην επιλογή αριθμών a K a. Μας X ενδιαφέρει η διάταξη των ενδείξεων ζητάμε το πλήθος των επαναληπτικών διατάξεων των στοιχείων του X ανά. Το πλήθος αυτό είναι. 9

14 β) Αν στη διατεταγμένη άδα δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίου το πλήθος είναι ίσο με το πλήθος των απλών διατάξεων των στοιχείων του συνόλου X ανά δηλαδή ) 5 ). ) L γ) Θέλουμε τους συνδυασμούς των στοιχείων του X ανά. Αφού δεν υπάρχει κανένας περιορισμός για εμφάνιση μίας ένδειξης περισσότερες από μία φορές έχουμε επαναληπτικούς συνδυασμούς των στοιχείων ανά και το συνολικό τους πλήθος είναι όπου 5 5 5) 5) 4) 3) ) ) δ) Όταν δεν επιτρέπεται η εμφάνιση ίδιων ενδείξεων οι συνδυασμοί είναι μη επαναληπτικοί οπότε το πλήθος τους θα είναι:. ) Σύνοψη Υπάρχουν δύο ανεξάρτητα κριτήρια ταξινόμησης για την επιλογή των σχηματισμών. Κριτήριο : Μας ενδιαφέρει ή όχι η σειρά καταγραφής των στοιχείων του συνόλου X ; Κριτήριο : Επιτρέπεται η χρήση ενός στοιχείου περισσότερες από μία φορές ή όχι; Κριτήριο Μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής των στοιχείων του X διατάξεις ή μεταθέσεις). Δεν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής των στοιχείων του X συνδυασμούς. a a K διατεταγμένες άδες). Έχουμε a K a απλή επιλογή στοιχείων). Έχουμε Κριτήριο Δεν επιτρέπεται η χρήση ενός στοιχείου του X περισσότερες από μία φορές. Έχουμε απλούς μηεπαναληπτικούς) σχηματισμούς. Επιτρέπεται η χρήση ενός στοιχείου του X περισσότερες από μία φορές. Έχουμε επαναληπτικούς σχηματισμούς..5 Πιθανοθεωρητικές Εφαρμογές Εφαρμογή. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού 4 φορές ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε: α) 4 ίδια αποτελέσματα; β) τουλάχιστον δύο διαφορετικά αποτελέσματα; 30

15 Λύση. Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από όλες τις διατεταγμένες τετράδες a a a ) με 3 a4 a X {345} όπου το a 3 4 συμβολίζει την οστή ένδειξη του ζαριού. Αφού το Ω περιέχει όλες τις επαναληπτικές διατάξεις στοιχείων του συνόλου X ανά 4 θα έχουμε: Ω 4 9. α) Αν ορίσουμε το ενδεχόμενο A : εμφανίζονται τέσσερα ίδια αποτελέσματα είναι A { a a a a) : a X} {) K )} οπότε P A) A Ω %. ' 5 β) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι ίση με: P A ) P A) 99.54%. Εφαρμογή Πρόβλημα του Chevale de Mee). Ποιο από τα επόμενα ενδεχόμενα έχει μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης; α) Ότι θα φέρουμε ένα τουλάχιστον ρίχνοντας ένα ζάρι 4 φορές; β) Ότι θα φέρουμε μία τουλάχιστον φορά «εξάρες» ρίχνοντας δύο ζάρια 4 φορές; Λύση. α) Αν θέσουμε X {345 } ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος τύχης που εκτελούμε ρίψη 4 ζαριού 4 φορές) είναι ο Ω { a a a a ) : a X 34} X X X X όπου το στοιχείο a 3 4 X συμβολίζει την ένδειξη της οστής ρίψης. Άρα Ω X X 9. Ορίζουμε το ενδεχόμενο A : καμία από τις 4 ενδείξεις δεν είναι και είναι φανερό ότι η πιθανότητα που μας ενδιαφέρει είναι η ' P A ) P A ). Όμως για το ενδεχόμενο A έχουμε A { a a a3 a4) a {345 }} δηλαδή το A αποτελείται από όλες τις επαναληπτικές διατάξεις 5 στοιχείων του συνόλου { 345} X {} ανά 4. Επομένως A και για τη ζητούμενη πιθανότητα έχουμε: 4 5 ' A 5 P A ) P A ) Ω 4 4 5%. β) Στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος Ω θα περιέχει 4-άδες τα αποτελέσματα των 4 ρίψεων) που το κάθε στοιχείο τους θα είναι ένα ζεύγος j) με j {345 } το αποτέλεσμα της ρίψης δύο ζαριών). 4 Μπορούμε να γράψουμε: Ω { a K a ) a X K4} X L X 4 X όπου X {)) 5))} οπότε Ω X X 3. K 3

16 Για το ενδεχόμενο A : σε καμιά από τις 4 ρίψεις των δύο ζαριών δεν εμφανίστηκε το αποτέλεσμα ) 4 έχουμε: A { a K a4 ) a X {)} K4} οπότε A 35 και η ζητούμενη πιθανότητα είναι: ' A P A ) P A ) Ω %. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα των α) και β) μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης έχει το ενδεχόμενο A. Εφαρμογή 3 Το πρόβλημα των γενεθλίων). Ποια είναι η πιθανότητα σε μία τάξη φοιτητών δύο τουλάχιστον να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; Θεωρήστε ότι το έτος έχει 35 ημέρες. Λύση. Έστω X { K35} το σύνολο όλων των ημερών του έτους όταν αυτές αντιστοιχηθούν σε διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς έτσι ο αριθμός 5 αναπαριστά την 5/ ο αριθμός 35 την 4/ κτλ.). Το σύνολο Ω των δυνατών αποτελεσμάτων είναι: Ω { a K a ) : a X K } X X L X X. Το αποτέλεσμα a K a ) αντιστοιχεί στην περίπτωση που ο πρώτος από τους φοιτητές έχει γενέθλια την a ημέρα του χρόνου ο δεύτερος από τους φοιτητές έχει γενέθλια την a ημέρα του χρόνου κ.ο.κ. Προφανώς η διάταξη των a K a ) που μας ενδιαφέρει ενώ τα στοιχεία a δεν είναι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους δηλαδή το Ω αποτελείται από όλες τις διατάξεις των 35 στοιχείων του X ανά με επανάληψη. Άρα Ω 35. Εναλλακτικά μπορούμε να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα και ως εξής. Η επιλογή της ημέρας γενεθλίων του πρώτου φοιτητή μπορεί να γίνει κατά 35 τρόπους και για κάθε τέτοια επιλογή η ημέρα γενεθλίων του δεύτερου φοιτητή μπορεί να επιλεγεί κατά 35 τρόπους κ.ο.κ. Το συμπέρασμα έπεται άμεσα από την πολλαπλασιαστική αρχή. Αν ορίσουμε το ενδεχόμενο: A : κανένας φοιτητής δεν έχει γενέθλια την ίδια ημέρα με άλλο φοιτητή τότε το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων μπορεί να περιγραφεί ως εξής: A { a K a ) : a X K a a j}. Δηλαδή πρόκειται για μη επαναληπτικές διατάξεις των στοιχείων του Ω ανά 35. Άρα A 35) και η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου Α θα είναι ίση με: 35) 35 34L35 ) P A) L35 Η ζητούμενη πιθανότητα δίνεται από τον τύπο: 35) P A' ) P A) j 3

17 Εφαρμογή 4. Σε ένα ράφι βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά βιβλία Μαθηματικών 4 βιβλία Φυσικής 3 βιβλία Ιστορίας 7 βιβλία ξένων γλωσσών και 0 λεξικά. Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα βιβλία του ίδιου είδους να τοποθετηθούν μαζί; Λύση. Έστω M µ K µ } Φ { φ K φ } I { ι ι ι } Ξ { ξ K ξ } Λ { λ K } τα σύνολα των { λ0 βιβλίων κάθε είδους. Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αποτελείται από όλες τις μεταθέσεις του συνόλου M Φ I Ξ Λ οπότε Ω 30. Τα ευνοϊκά αποτελέσματα του ενδεχομένου A { όλα τα βιβλία του ίδιου είδους τοποθετούνται μαζί} μπορούν να απαριθμηθούν αν όλη η διαδικασία εκτελείται με τα εξής βήματα: - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα βιβλία Μαθηματικών - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 4 βιβλία της Φυσικής - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 3 βιβλία της Ιστορίας - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 7 βιβλία ξένων γλωσσών - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 0 λεξικά και - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τις ομάδες όμοιων βιβλίων που προέκυψαν στα προηγούμενα βήματα. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούν να ολοκληρωθούν τα παρακάτω βήματα είναι: και 5 αντίστοιχα οπότε A και η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με P A) A. Ω 30 Εφαρμογή 5. Σε ένα δοχείο υπάρχουν 9 σφαιρίδια αριθμημένα από το έως το 9. Εξάγουμε χωρίς επανάθεση σφαιρίδια το ένα μετά το άλλο και καταγράφουμε των εξαψήφιο αριθμό που προκύπτει. Να υπολογιστεί η πιθανότητα: α) να προκύψει αριθμός ο οποίος δεν περιέχει καθόλου το ψηφίο β) να προκύψει αριθμός ο οποίος περιέχει μία τουλάχιστον φορά το ψηφίο ή μία τουλάχιστον φορά το ψηφίο 5. Ποια θα είναι η πιθανότητα για τα ερωτήματα αυτά αν μετά από κάθε εξαγωγή γίνεται καταγραφή του αριθμού που φέρει το σφαιρίδιο και επιστρέφεται στην κάλπη πριν προχωρήσουμε στην επόμενη εξαγωγή; 33

18 Λύση. Ο αριθμός που θα προκύψει μπορεί να παρασταθεί ως a aa3a4a5a όπου a { K9} και a a j. Άρα ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι: j Ω { a K a) a X { K9} K a a j j} δηλαδή περιέχει όλες τις μη επαναληπτικές διατάξεις των 9 στοιχείων ανά. στοιχείων του Ω είναι ίσο με Ω 9) α) Μας ενδιαφέρει το ενδεχόμενο: A { a K a) a X { K9} K a a j j a {}} και αφού A 8) θα έχουμε: P A) 33.3% β) Αν ορίσουμε το ενδεχόμενο: B : ο αριθμός που προκύπτει δεν περιέχει ούτε το ψηφίο ούτε το ψηφίο 5 Το πλήθος των θα έχουμε B { a K a) a X { K9} K a a j a j {5}} οπότε B 7) και η ζητούμενη πιθανότητα είναι: B P B' ) P B) 9.7%. Ω Στην περίπτωση που κάθε σφαιρίδιο το οποίο εξάγεται επιστρέφεται στην κάλπη πριν προχωρήσουμε στην επόμενη εξαγωγή τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω και των ενδεχομένων A B αντιστοιχούν σε 8 7 επαναληπτικές διατάξεις οπότε βρίσκουμε: P A) 49% P B' ) 77.9% αντίστοιχα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1.1 Απαρίθμηση και καταγραφή 1.2 Η αρχή του αθροίσματος 1.3 Η πολλαπλασιαστική αρχή 1.4 Άλλοι κανόνες απαρίθμησης 1.5 Πιθανότητες σε πεπερασμένους δειγματικούς χώρους 1.6 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη:Ε Ονοματεπώνυμο:.. Σχολείο: Το ημερολόγιο Ο Πέτρος ζήτησε από το φίλο του Χρήστο να διαλέξει 4 αριθμούς από το διπλανό ημερολόγιο που να σχηματίζουν τετράγωνο (για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού

Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Διδακτική των Μαθηματικών Χειμερινό εξάμηνο ακαδ. έτους 2012-2013 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Σοφία Άιζενμπαχ Α.Μ. 5898 Πάτρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι καλείται ψευδοκώδικας; 2. Τι καλείται λογικό διάγραμμα; 3. Για ποιο λόγο είναι απαραίτητη η τυποποίηση του αλγόριθμου; 4. Ποιες είναι οι βασικές αλγοριθμικές δομές; 5. Να περιγράψετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης 1. Σε ένα ποδοσφαιρικό πρωτάθλημα μετέχουν 16 ομάδες. Κάθε ομάδα παίζει με όλες τις υπόλοιπες ως γηπεδούχος και ως φιλοξενούμενη. Νίκη μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357-22378101 Φαξ: 357-22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα