ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή τους ή συνδυασμοί αν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής. Τέτοιοι σχηματισμοί αποτελούν ένα από τα βασικότερα αντικείμενα μελέτης της Συνδυαστικής.. Διατάξεις και Μεταθέσεις Έστω X { x x K x} ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία x x K x και θετικός ακέραιος μικρότερος ή ίσος του. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός Διάταξη). Διάταξη των στοιχείων ή απλά διάταξη των ανά καλείται κάθε διατεταγμένη - αδα a a K a ) που αποτελείται από διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία του X δηλαδή a X a X a K X και a a j για j. Στην περίπτωση αντί του όρου διάταξη των ανά χρησιμοποιούμε τον όρο μετάθεση των στοιχείων. Το πλήθος των διατάξεων των στοιχείων ανά συμβολίζεται με ). Παράδειγμα. α) Οι διατάξεις των 4 γραμμάτων { α β γ δ} ανά είναι οι ακόλουθες: β α). Σε μία οποιαδήποτε διάταξη a a ) των 4 γραμμάτων ανά το πρώτο στοιχείο a μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A { α β γ δ } των A 4 γραμμάτων ενώ το στοιχείο a μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A A { } των A 3 γραμμάτων εξαιρουμένου του στοιχείου που επιλέγεται ως πρώτο στοιχείο. a Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή ο αριθμός των διατάξεων των 4 ανά είναι ίσος με 4 3. β) Οι μεταθέσεις των 3 γραμμάτων { α β γ } είναι οι ακόλουθες που σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή είναι πλήθους 3. 7

2 Παρατήρηση. Αν τα στοιχεία του Ω επιτρέπεται να επαναλαμβάνονται στη διάταξη χρησιμοποιούμε την ονομασία διάταξη των ανά με επανάληψη. Η ειδική περίπτωση διάταξης των ανά με με επανάληψη όπου το στοιχείο ω εμφανίζεται φορές K με K καλείται μετάθεση ειδών στοιχείων. Παράδειγμα. α) Οι διατάξεις των 3γραμμάτων { α β γ } ανά 3 με περιορισμένη επανάληψη και συγκεκριμένα όταν το α μπορεί να εμφανίζεται μέχρι και 3 φορές το β μόνο μέχρι φορά και το γ μέχρι και φορές είναι οι εξής: 3 που είναι 9 το πλήθος. β) Οι μεταθέσεις των 3 ειδών στοιχείων όταν το α εμφανίζεται φορές το β εμφανίζεται φορά και το γ εμφανίζεται φορά είναι οι ακόλουθες: 3 Ισχύει η ακόλουθη πρόταση. που είναι το πλήθος. Πρόταση.. Ο αριθμός ) ) L ). ) των διατάξεων των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο: Απόδειξη. Σε μία οποιαδήποτε διάταξη a a K a ) των στοιχείων του Ω ω ω K ω } ανά το { πρώτο στοιχείο μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A Ω των A στοιχείων ενώ μετά την επιλογή του πρώτου στοιχείου το δεύτερο στοιχείο a επειδή πρέπει να είναι διαφορετικό από το a ) μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A Ω } των A υπόλοιπων στοιχείων. Τελικά μετά την επιλογή των { a a a K a το τελευταίο στοιχείο a επειδή πρέπει να είναι διαφορετικό από τα προηγούμενα στοιχεία) μπορεί να επιλεγεί από το σύνολο A Ω a a K a } των ) στοιχείων. Επομένως A A A πολλαπλασιαστική αρχή ο αριθμός τους είναι { L είναι το σύνολο των διατάξεων των ανά και σύμφωνα με την A A L A A A L A ) L ). A 8

3 Για την ειδική περίπτωση των μεταθέσεων των στοιχείων προκύπτει το επόμενο πόρισμα. Πόρισμα.. Ο αριθμός των μεταθέσεων στοιχείων δίνεται από τον τύπο: 3L ). Η τελευταία παράταση περιλαμβάνει το γινόμενο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με και διαβάζεται ως «παραγοντικό». Παρατήρηση. Ο αριθμός ) των διατάξεων των στοιχείων ανά μπορεί να γραφεί και με χρήση των παραγοντικών. Πράγματι αν πολλαπλασιάσουμε το ) με ) θα έχουμε: ) ) [ ) L )][ ) ) L ] ) L οπότε ) ) ή ισοδύναμα ). ) Μπορούμε να διατυπώσουμε την επόμενη πρόταση. Πρόταση.. Ο αριθμός των διατάξεων των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο ). ) Το σύμβολο επεκτείνεται και για 0 θέτοντας συμβατικά 0. Επίσης το σύμβολο ) επεκτείνεται για 0 θέτοντας ) 0. Παράδειγμα.3 Έστω ότι κάποιος διαθέτει διαφορετικά κλειδιά από τα οποία ένα ταιριάζει στην εξώπορτα του σπιτιού του που όμως δεν αναγνωρίζει από πριν και δοκιμάζει το ένα μετά το άλλο τα κλειδιά μέχρι να ανοίξει την πόρτα. Ποιος είναι ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να επιτύχει να την ανοίξει α) στην οστή δοκιμή β) μέχρι την οστή δοκιμή γ) στην τελευταία οστή δοκιμή. Λύση. α) Ας αριθμήσουμε τα κλειδιά που είναι από το 0 μέχρι το θέτοντας τον αριθμό 0 στο κλειδί που ταιριάζει στην πόρτα. Σε μία σειρά δοκιμών όπου στην οστή δοκιμή ανοίγει η πόρτα αντιστοιχεί μία διατεταγμένη άδα a a K a a ) με a 0 και { K } j K. Επειδή το 9 a j

4 τελευταίο στοιχείο για κάθε μία από τις σειρές δοκιμών που μας ενδιαφέρουν είναι a 0 το πλήθος των σειρών των δοκιμών είναι ίσο με τον αριθμό ) των διατάξεων a K a ) των αριθμών κλειδιών) { K } ανά. β) Ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να το επιτύχει μέχρι την οστή δοκιμή είναι σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος ίσος με το άθροισμα των αριθμών των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να το επιτύχει στην οστή δοκιμή για K. Συνεπώς χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του α) ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με: ) ) K ). γ) Ο αριθμός των τρόπων που μπορεί να επιχειρήσει να ανοίξει την πόρτα ώστε να το επιτύχει στην τελευταία οστή δοκιμή είναι σύμφωνα με το α) ίσος με τον αριθμό ) των μεταθέσεων των ) αριθμών κλειδιών) { K }. Παράδειγμα.4 Τέσσερα παντρεμένα ζευγάρια έχουν αγοράσει οκτώ εισιτήρια θεάτρου που αντιστοιχούν σε οκτώ συνεχόμενες θέσεις της ίδιας σειράς. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν τα οκτώ άτομα στις θέσεις ώστε: α) να μην υπάρχει κανένας περιορισμός για τη θέση που καταλαμβάνει το κάθε άτομο; β) άντρες και γυναίκες να κάθονται εναλλάξ; Λύση. Έστω X A K } το σύνολο των 4 ανδρών και X Γ K } το σύνολο των 4 γυναικών. { A4 Υποθέτουμε ότι τα 4 ζευγάρια είναι A Γ ) K4. { Γ4 α) Κάθε τοποθέτηση των 8 ατόμων στις 8 θέσεις αντιστοιχεί σε μία μετάθεση των 8 στοιχείων του συνόλου X X X. Άρα υπάρχουν 8 διαφορετικοί τρόποι κατάληψης των 8 θέσεων. β) Οι τοποθετήσεις που μας ενδιαφέρουν μπορούν να χωριστούν σε δύο ξένες μεταξύ τους ομάδες: αυτές που έχουν τη μορφή A ΓAΓAΓAΓ και αυτές που έχουν τη μορφή Γ AΓAΓAΓA. Και στις δύο περιπτώσεις υπάρχουν 4 τρόποι τοποθέτησης των ανδρών στις συγκεκριμένες θέσεις μεταθέσεις των 4 στοιχείων του συνόλου X A A A }) 4 τρόποι τοποθέτησης των γυναικών στις συγκεκριμένες θέσεις μεταθέσεις { 3 A4 των 4 στοιχείων του συνόλου X Γ Γ Γ }). { 3 Γ4 Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή κάθε μία από τις δύο ομάδες έχει 4 4 στοιχεία και με βάση την αρχή του αθροίσματος θα υπάρχουν 4 4 ώστε άνδρες και γυναίκες να κάθονται εναλλάξ ) διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησης των 8 ατόμων Παράδειγμα.5 Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί με διαφορετικά ψηφία σχηματίζονται με τα ψηφία { 0345}; 0

5 Λύση. Το ζητούμενο προκύπτει με την επιλογή 4 από τα 7 ψηφία που πρέπει να είναι τέτοια ώστε το 0 να μην είναι το πρώτο ψηφίο. Έτσι αρκεί από τις διατάξεις των 7 ανά 4 που είναι όλοι οι αριθμοί με 4 ψηφία από τα δοθέντα 7) να αφαιρέσουμε τις διατάξεις των ανά 3 που είναι εκείνοι οι αριθμοί με πρώτο ψηφίο το 0 και επομένως με 3 ψηφία από τα υπόλοιπα ). Άρα θα είναι: 7 7) 4 ) 7 4) 3) Συνδυασμοί Έστω X x K x } ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία και ένας θετικός { ακέραιος μικρότερος ή ίσος του. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός Συνδυασμός). Συνδυασμός των στοιχείων ανά ή απλούστερα συνδυασμός των ανά καλείται κάθε μη-διατεταγμένη συλλογή αποτελούμενη από διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία a a του συνόλου X x K x }. { K Παράδειγμα Αν X { a b c d} 4. Τότε οι συνδυασμοί των στοιχείων ανά είναι τα υποσύνολα { a b}{ a c}{ a d}{ b c}{ b d}{ c d}. Σε μία διάταξη μας ενδιαφέρει η ακριβής σειρά με την οποία καταγράφονται τα στοιχεία που περιέχει ενώ σε ένα συνδυασμό η σειρά καταγραφής των στοιχείων δεν παίζει κανένα ρόλο. Η διαδικασία δημιουργίας των διατάξεων των στοιχείων ανά γίνεται σε δύο βήματα. Βήμα. Επιλογή στοιχείων από τα που περιέχει το σύνολο X δημιουργία ενός συνδυασμού των στοιχείων ανά ). Βήμα. Τοποθέτηση των στοιχείων που επιλέχτηκαν στο Βήμα με όλες τις δυνατές διαφορετικές σειρές καταγραφή όλων των δυνατών μεταθέσεων των στοιχείων που διαλέξαμε). Το Βήμα της γενικής διαδικασίας δημιουργίας των διατάξεων των στοιχείων ανά μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους. Για κάθε αποτέλεσμα του Βήματος υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι πραγματοποίησης του Βήματος. Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή η

6 ολοκλήρωση των δύο βημάτων μπορεί να γίνει με: διαφορετικούς τρόπους. Όμως η ολοκλήρωση των βημάτων και οδηγεί στην καταγραφή όλων των δυνατών διατάξεων των στοιχείων ) ανά. Άρα ). Συνεπώς ). Αποδείξαμε την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.. Ο αριθμός των συνδυασμών των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο: ) ) L ). ) ) θέτουμε συμβατικά: Για 0 > 0. Για Για ). ) ) Παράδειγμα. Πόσες διαφορετικές επιτροπές που θα αποτελούνται από γυναίκες και 3 άνδρες μπορούν να δημιουργηθούν από μία ομάδα 5 γυναικών και 7 ανδρών; Τι θα αλλάξει στην περίπτωση που δύο συγκεκριμένοι άνδρες αρνηθούν να συμμετάσχουν στην ίδια επιτροπή; Λύση. Υπάρχουν 5 7 ομάδες γυναικών και ομάδες 3 ανδρών. Άρα από την πολλαπλασιαστική αρχή υπάρχουν 350 δυνατές επιτροπές που αποτελούνται από γυναίκες και 3 άνδρες. 3 Ας υποθέσουμε ότι άντρες αρνούνται να συμμετάσχουν στην ίδια επιτροπή. Επειδή υπάρχουν συνολικά από τα 35 σύνολα 3 ανδρών που περιλαμβάνουν και τους δύο συγκεκριμένους άντρες 3 5 προκύπτει ότι ομάδες δεν τους περιλαμβάνουν. Εφόσον υπάρχουν 0 τρόποι να επιλεγούν οι γυναίκες έπεται ότι υπάρχουν δυνατές επιτροπές σε αυτή την περίπτωση.

7 Παράδειγμα.7 Μία εταιρεία θέλει να προσλάβει 5 νέους υπαλλήλους. Μετά την προκήρυξη των νέων θέσεων υπέβαλαν αίτηση 7 γυναίκες και 8 άνδρες. Να υπολογιστούν οι διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να γίνει η επιλογή των 5 νέων υπαλλήλων: α) αν δεν υπάρχει κανένας περιορισμός β) αν πρέπει να προσληφθούν ακριβώς γυναίκες γ) αν πρέπει να προσληφθούν τουλάχιστον 3 άνδρες. Λύση. Έστω X Γ K } το σύνολο των 7 γυναικών και X A K } το σύνολο των 8 ανδρών που { Γ7 υπέβαλλαν αίτηση πρόσληψης. { A8 α) Ζητάμε τους συνδυασμούς των 5 στοιχείων του συνόλου X X X ανά 5. Το πλήθος των 5 5) διαφορετικών επιλογών είναι ίσο με: β) Η επιλογή των γυναικών μπορεί να γίνει κατά 7 7) 7 τρόπους όσοι και οι συνδυασμοί των 7 στοιχείων του συνόλου X ανά. Ομοίως η επιλογή των 5-3 ανδρών που απαιτούνται για να 8 8) συμπληρωθούν οι 5 θέσεις μπορεί να γίνει με 5 τρόπους όσοι και οι συνδυασμοί των στοιχείων του συνόλου X ανά Σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή ο ζητούμενος αριθμός είναι ίσος με γ) Υπάρχουν τρεις ξένες μεταξύ τους περιπτώσεις με τις οποίες μπορεί να πραγματοποιηθεί το ζητούμενο: να προσληφθούν 3 άνδρες και γυναίκες να προσληφθούν 4 άνδρες και γυναίκα να προσληφθούν 5 άνδρες και καμία γυναίκα. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων που αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση είναι αντίστοιχα: ) ) Σύμφωνα με την αρχή του αθροίσματος το ζητούμενο πλήθος θα είναι: Η επόμενη πρόταση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τις αριθμητικές τιμές των ποσοτήτων για. 5. 3

8 4 Πρόταση.. Για τους αριθμούς των συνδυασμών των στοιχείων ανά ισχύουν οι επόμενες ισότητες: α). β). Απόδειξη. Για το α) έχουμε:. ) )) ) Για το β) έχουμε για < <. ) ) ) ) )] )[ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Η σχέση β) ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο και για διότι σε αυτές τις περιπτώσεις προκύπτει 0 ή ισοδύναμα ) και ή ισοδύναμα 0 αντίστοιχα. Η ταυτότητα β) είναι γνωστή ως τρίγωνο του Pascal και οφείλει την ονομασία της στο γεγονός ότι σε έναν πίνακα τιμών για τους αριθμούς οι ποσότητες εμφανίζονται ως κορυφές ενός τριγώνου που σχηματίζεται από μία οριζόντια μια κατακόρυφη και μια διαγώνια πλευρά βλέπε σελ. 79 βιβλίο Κούτρα)..3 Επαναληπτικές Διατάξεις Έστω } { x x X K ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία x x K και ένας θετικός ακέραιος. Δίνουμε την ακόλουθο ορισμό.

9 Ορισμός Διάταξη με επανάληψη). Διάταξη των στοιχείων ανά ή απλά επαναληπτική διάταξη των ανά καλείται κάθε διατεταγμένη άδα a K a ) η οποία αποτελείται από στοιχεία του X δηλαδή a X K a X. Δηλαδή οι επαναληπτικές διατάξεις των στοιχείων ανά είναι όλα τα στοιχεία του καρτεσιανού γινομένου A L A με A K A X. Με εφαρμογή της πολλαπλασιαστικής αρχής για το καρτεσιανό γινόμενο συνόλων καταλήγουμε στην ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.3. Ο αριθμός των επαναληπτικών διατάξεων των στοιχείων ανά είναι ίσος με. Απόδειξη. Έστω ότι η διαδικασία δημιουργίας της διάταξης a K a ) προκύπτει ως αποτελούμενη από διαφορετικά βήματα. Στο πρώτο βήμα επιλέγεται ένα στοιχείο από το σύνολο X και τοποθετείται στην πρώτη θέση a της διάταξης. Η επιλογή αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικούς τρόπους όσα δηλαδή είναι τα στοιχεία του X. Στη συνέχεια επιλέγεται το στοιχείο a που θα τοποθετηθεί στη δεύτερη θέση. Αφού είναι επιτρεπτή η επανεκλογή του ίδιου στοιχείου παραπάνω από μία φορά η επιλογή του a X μπορεί να γίνει και πάλι με τρόπους. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο τη διαδικασία συμπλήρωσης των υπόλοιπων θέσεων μέχρι να φτάσουμε στο οστό βήμα πάλι οι δυνατές επιλογές του a X είναι το πλήθος. Άρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να ολοκληρώσουμε όλες τις φάσεις είναι L L. Παράδειγμα.8 α) Τα δυνατά αποτελέσματα μίας σειράς ρίψεων ενός νομίσματος είναι πλήθους όσες δηλαδή είναι οι διατάξεις των συμβόλων Κ Γ) ανά με επανάληψη. Για 3 τα δυνατά αποτελέσματα είναι τα εξής 8: Κ Κ Κ) Κ Κ Γ) Κ Γ Κ) Γ Κ Κ) Κ Γ Γ) Γ Κ Γ) Γ Γ Κ) Γ Γ Γ). β) Σε μία σειρά ρίψεων ενός κύβου τα δυνατά αποτελέσματα είναι πλήθους όσες είναι δηλαδή οι διατάξεις των θετικών ακεραίων { 345 } ανά με επανάληψη. Τα δυνατά αποτελέσματα μίας ρίψης διακεκριμένων κύβων είναι πλήθους επίσης. Έστω X { x x K x} ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά στοιχεία x K x και ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε: το στοιχείο x συνολικά φορές το στοιχείο x συνολικά φορές K το στοιχείο x συνολικά φορές και να δημιουργήσουμε όλες τις δυνατές διατεταγμένες αδες a K a ) με a X a X K a όπου K. Ένας τέτοιος σχηματισμός καλείται μετάθεση των X 5 ειδών στοιχείων τύπου K ) ενώ το συνολικό πλήθος τους θα

10 συμβολίζεται ως. Συχνά χρησιμοποιούμε την έκφραση «μετάθεση των ειδών στοιχείων εκ των K οποίων τα είναι τύπου τα είναι τύπου K τα είναι τύπου». Ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.3. Ο αριθμός των μεταθέσεων των ειδών στοιχείων εκ των οποίων τα είναι τύπου τα είναι τύπου K τα είναι τύπου δίνεται από την έκφραση: K L όπου K. Απόδειξη. Έστω X x x K x } το σύνολο των διαφορετικών στοιχείων που διαθέτουμε και a K a ) { με a X K a X η γενική μορφή μίας μετάθεσης με τις προδιαγραφές που τέθηκαν. Η διαδικασία συμπλήρωσης της διατεταγμένης άδας μπορεί να γίνει σε διαδοχικές φάσεις ως εξής: Στην πρώτη φάση επιλέγουμε από τις διαθέσιμες θέσεις a K a και τοποθετούμε σε αυτές όλα τα στοιχεία τύπου δηλαδή τα όμοια σύμβολα x ). Η επιλογή των θέσεων μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους. Στη δεύτερη φάση επιλέγουμε από τις θέσεις που απέμειναν ελεύθερες και εκεί τοποθετούμε όλα τα διαθέσιμα στοιχεία τύπου δηλαδή τα όμοια σύμβολα x ). Η επιλογή των θέσεων μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους. Με ανάλογη διαδικασία προχωρούμε μέχρι το τελικό βήμα όπου θα πρέπει να διαλέξουμε θέσεις για να τοποθετήσουμε τα διαθέσιμα στοιχεία τύπου δηλαδή τα x ). O αριθμός των ελεύθερων θέσεων που απέμειναν μετά την ολοκλήρωση των προηγούμενων φάσεων είναι ίσος με: ) L και το πλήθος των διαφορετικών επιλογών είναι: L ). Άρα με βάση την πολλαπλασιαστική αρχή ο ζητούμενος αριθμός των μεταθέσεων των ειδών στοιχείων θα είναι ίσος με: L L ) ) L L ) ) L )) ) ) το οποίο με απλοποιήσεις δίνει:. L

11 Παράδειγμα.9 α) Δέκα παιδιά πρόκειται να χωριστούν στις ομάδες Α και Β με 5 μέλη η καθεμία. Η ομάδα Α θα παίξει σε έναν όμιλο και η ομάδα Β σε κάποιον άλλον. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό; 0 Λύση. α) Υπάρχουν δυνατοί τρόποι. β) Σε ένα αστυνομικό τμήμα μίας μικρής πόλης υπηρετούν 0 αστυνομικοί. 5 αστυνομικοί περιπολούν στους δρόμους δουλεύουν μέσα στο τμήμα 3 αναπληρώνουν αυτούς που δουλεύουν στο τμήμα. Πόσες είναι οι διαφορετικές διαιρέσεις των 0 αστυνομικών στις 3 ομάδες; 0 Λύση. β) Υπάρχουν 50 δυνατές διαιρέσεις. 5 3 Παράδειγμα.0 Διαθέτουμε 5 αντίτυπα ενός βιβλίου Α 3 αντίτυπα ενός βιβλίου Β και 4 αντίτυπα ενός βιβλίου Γ. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν τα βιβλία αυτά να τοποθετηθούν με τυχαίο τρόπο σε ένα ράφι μίας βιβλιοθήκης; Λύση. Υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι. Παράδειγμα. α) Με πόσους τρόπους μπορεί να μοιράσει ένας πατέρας 7 δώρα στα 3 παιδιά του αν το μεγαλύτερο πρέπει να πάρει 3 δώρα και τα άλλα από δύο το καθένα; 7 Λύση. α) Υπάρχουν 0 3 τρόποι. β) Έστω διακεκριμένα σφαιρίδια τα οποία τοποθετούνται μέσα σε διακεκριμένα κελιά απεριόριστης χωρητικότητας. Κατά την τοποθέτηση των σφαιριδίων μέσα στα κελιά το οστό σφαιρίδιο μπορεί να τοποθετηθεί σε ένα από τα κελιά K. Άρα σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή τα σφαιρίδια μπορούν να τοποθετηθούν στα κελιά κατά τρόπους..4 Επαναληπτικοί Συνδυασμοί Έστω X { x K x } ένα πεπερασμένο σύνολο με διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία x K x και ένας θετικός ακέραιος. Δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός Επαναληπτικός Συνδυασμός). Επαναληπτικός συνδυασμός των στοιχείων του X ανά ή συνδυασμός των στοιχείων του X ανά ή συνδυασμός των στοιχείων του X ανά με επανάληψη ή 7

12 8 απλώς επαναληπτικός συνδυασμός των ανά καλείται κάθε επιλογή στοιχείων a a K από τα στοιχεία του συνόλου X όπου είναι επιτρεπτό κάποιο ή κάποια στοιχεία του συνόλου X να χρησιμοποιηθούν περισσότερες από μία φορές. Ο αριθμός των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά θα συμβολίζεται με. Ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Πρόταση.4. Ο αριθμός των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά δίνεται από τον τύπο:. ) ) ) ) L Απόδειξη. Έστω } { x x X K το σύνολο των διαφορετικών στοιχείων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Ένας τυπικός επαναληπτικός συνδυασμός θα έχει τη μορφή του σχήματος: ή ισοδύναμα αν αντικαταστήσουμε τις κάθετες γραμμές με τον αριθμό και τα σύμβολα με τον αριθμό 0 θα έχουμε την ακόλουθη μορφή: Έτσι το πρόβλημα μεταφέρεται στον υπολογισμό του πλήθους των μεταθέσεων δύο ειδών στοιχείων και 0) εκ των οποίων τα στοιχεία είναι τύπου και τα είναι τύπου. Τα τύπου είναι οι μονάδες που αντιστοιχούν στα χωρίσματα του σχήματος και τα τύπου είναι τα μηδενικά που αντιστοιχούν στα σύμβολα του σχήματος. Άρα. ) Σύμφωνα με την Πρόταση.3. το ζητούμενο πλήθος είναι ίσο με. ) ) Για για. Για. Για. ) ) Για. Παράδειγμα. Πόσα είναι τα διαφορετικά αποτελέσματα που μπορούμε να πάρουμε αν ρίξουμε ένα ζάρι δύο φορές και δε μας ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης των ενδείξεων;

13 Λύση. Ενδιαφερόμαστε για μη διατεταγμένα ζεύγη αποτελεσμάτων της μορφής a a X {345 } και τα a a μπορούν να είναι και ίσα μεταξύ τους. Ζητούμε τους επαναληπτικούς συνδυασμούς των στοιχείων του συνόλου X ανά. Ο αριθμός των διαφορετικών αποτελεσμάτων θα είναι: 7 7. Ισχύει η πρόταση. Πρόταση.4. Για τον αριθμό των επαναληπτικών συνδυασμών των στοιχείων ανά όπου είναι ακέραιοι ισχύουν οι επόμενες ισότητες: α) β). Απόδειξη. Για το α) έχουμε: ) ). Για το β) έχουμε: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )[ ) ] ) ) ). ) ) ) ) ) Παράδειγμα.3 Ένα ζάρι ρίπτεται φορές και καταγράφονται τα αποτελέσματα των ρίψεων. α) Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί μπορούν να σχηματιστούν αν γράψουμε στη σειρά ενδείξεις; β) Πόσοι από αυτούς τους αριθμούς έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά; γ) Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε να πάρουμε αν η σειρά με την οποία εμφανίζονται οι ενδείξεις δε μας ενδιαφέρει; δ) Σε πόσα από αυτά τα αποτελέσματα δεν υπάρχουν ούτε δύο ίδιες ενδείξεις; Λύση. α) Είναι X {345 }. Οι ρίψεις αντιστοιχούν στην επιλογή αριθμών a K a. Μας X ενδιαφέρει η διάταξη των ενδείξεων ζητάμε το πλήθος των επαναληπτικών διατάξεων των στοιχείων του X ανά. Το πλήθος αυτό είναι. 9

14 β) Αν στη διατεταγμένη άδα δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίου το πλήθος είναι ίσο με το πλήθος των απλών διατάξεων των στοιχείων του συνόλου X ανά δηλαδή ) 5 ). ) L γ) Θέλουμε τους συνδυασμούς των στοιχείων του X ανά. Αφού δεν υπάρχει κανένας περιορισμός για εμφάνιση μίας ένδειξης περισσότερες από μία φορές έχουμε επαναληπτικούς συνδυασμούς των στοιχείων ανά και το συνολικό τους πλήθος είναι όπου 5 5 5) 5) 4) 3) ) ) δ) Όταν δεν επιτρέπεται η εμφάνιση ίδιων ενδείξεων οι συνδυασμοί είναι μη επαναληπτικοί οπότε το πλήθος τους θα είναι:. ) Σύνοψη Υπάρχουν δύο ανεξάρτητα κριτήρια ταξινόμησης για την επιλογή των σχηματισμών. Κριτήριο : Μας ενδιαφέρει ή όχι η σειρά καταγραφής των στοιχείων του συνόλου X ; Κριτήριο : Επιτρέπεται η χρήση ενός στοιχείου περισσότερες από μία φορές ή όχι; Κριτήριο Μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής των στοιχείων του X διατάξεις ή μεταθέσεις). Δεν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής των στοιχείων του X συνδυασμούς. a a K διατεταγμένες άδες). Έχουμε a K a απλή επιλογή στοιχείων). Έχουμε Κριτήριο Δεν επιτρέπεται η χρήση ενός στοιχείου του X περισσότερες από μία φορές. Έχουμε απλούς μηεπαναληπτικούς) σχηματισμούς. Επιτρέπεται η χρήση ενός στοιχείου του X περισσότερες από μία φορές. Έχουμε επαναληπτικούς σχηματισμούς..5 Πιθανοθεωρητικές Εφαρμογές Εφαρμογή. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού 4 φορές ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε: α) 4 ίδια αποτελέσματα; β) τουλάχιστον δύο διαφορετικά αποτελέσματα; 30

15 Λύση. Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από όλες τις διατεταγμένες τετράδες a a a ) με 3 a4 a X {345} όπου το a 3 4 συμβολίζει την οστή ένδειξη του ζαριού. Αφού το Ω περιέχει όλες τις επαναληπτικές διατάξεις στοιχείων του συνόλου X ανά 4 θα έχουμε: Ω 4 9. α) Αν ορίσουμε το ενδεχόμενο A : εμφανίζονται τέσσερα ίδια αποτελέσματα είναι A { a a a a) : a X} {) K )} οπότε P A) A Ω %. ' 5 β) Η πιθανότητα που ζητάμε είναι ίση με: P A ) P A) 99.54%. Εφαρμογή Πρόβλημα του Chevale de Mee). Ποιο από τα επόμενα ενδεχόμενα έχει μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης; α) Ότι θα φέρουμε ένα τουλάχιστον ρίχνοντας ένα ζάρι 4 φορές; β) Ότι θα φέρουμε μία τουλάχιστον φορά «εξάρες» ρίχνοντας δύο ζάρια 4 φορές; Λύση. α) Αν θέσουμε X {345 } ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος τύχης που εκτελούμε ρίψη 4 ζαριού 4 φορές) είναι ο Ω { a a a a ) : a X 34} X X X X όπου το στοιχείο a 3 4 X συμβολίζει την ένδειξη της οστής ρίψης. Άρα Ω X X 9. Ορίζουμε το ενδεχόμενο A : καμία από τις 4 ενδείξεις δεν είναι και είναι φανερό ότι η πιθανότητα που μας ενδιαφέρει είναι η ' P A ) P A ). Όμως για το ενδεχόμενο A έχουμε A { a a a3 a4) a {345 }} δηλαδή το A αποτελείται από όλες τις επαναληπτικές διατάξεις 5 στοιχείων του συνόλου { 345} X {} ανά 4. Επομένως A και για τη ζητούμενη πιθανότητα έχουμε: 4 5 ' A 5 P A ) P A ) Ω 4 4 5%. β) Στην περίπτωση αυτή ο δειγματικός χώρος Ω θα περιέχει 4-άδες τα αποτελέσματα των 4 ρίψεων) που το κάθε στοιχείο τους θα είναι ένα ζεύγος j) με j {345 } το αποτέλεσμα της ρίψης δύο ζαριών). 4 Μπορούμε να γράψουμε: Ω { a K a ) a X K4} X L X 4 X όπου X {)) 5))} οπότε Ω X X 3. K 3

16 Για το ενδεχόμενο A : σε καμιά από τις 4 ρίψεις των δύο ζαριών δεν εμφανίστηκε το αποτέλεσμα ) 4 έχουμε: A { a K a4 ) a X {)} K4} οπότε A 35 και η ζητούμενη πιθανότητα είναι: ' A P A ) P A ) Ω %. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα των α) και β) μεγαλύτερη πιθανότητα εμφάνισης έχει το ενδεχόμενο A. Εφαρμογή 3 Το πρόβλημα των γενεθλίων). Ποια είναι η πιθανότητα σε μία τάξη φοιτητών δύο τουλάχιστον να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; Θεωρήστε ότι το έτος έχει 35 ημέρες. Λύση. Έστω X { K35} το σύνολο όλων των ημερών του έτους όταν αυτές αντιστοιχηθούν σε διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς έτσι ο αριθμός 5 αναπαριστά την 5/ ο αριθμός 35 την 4/ κτλ.). Το σύνολο Ω των δυνατών αποτελεσμάτων είναι: Ω { a K a ) : a X K } X X L X X. Το αποτέλεσμα a K a ) αντιστοιχεί στην περίπτωση που ο πρώτος από τους φοιτητές έχει γενέθλια την a ημέρα του χρόνου ο δεύτερος από τους φοιτητές έχει γενέθλια την a ημέρα του χρόνου κ.ο.κ. Προφανώς η διάταξη των a K a ) που μας ενδιαφέρει ενώ τα στοιχεία a δεν είναι απαραίτητα διαφορετικά μεταξύ τους δηλαδή το Ω αποτελείται από όλες τις διατάξεις των 35 στοιχείων του X ανά με επανάληψη. Άρα Ω 35. Εναλλακτικά μπορούμε να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα και ως εξής. Η επιλογή της ημέρας γενεθλίων του πρώτου φοιτητή μπορεί να γίνει κατά 35 τρόπους και για κάθε τέτοια επιλογή η ημέρα γενεθλίων του δεύτερου φοιτητή μπορεί να επιλεγεί κατά 35 τρόπους κ.ο.κ. Το συμπέρασμα έπεται άμεσα από την πολλαπλασιαστική αρχή. Αν ορίσουμε το ενδεχόμενο: A : κανένας φοιτητής δεν έχει γενέθλια την ίδια ημέρα με άλλο φοιτητή τότε το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων μπορεί να περιγραφεί ως εξής: A { a K a ) : a X K a a j}. Δηλαδή πρόκειται για μη επαναληπτικές διατάξεις των στοιχείων του Ω ανά 35. Άρα A 35) και η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου Α θα είναι ίση με: 35) 35 34L35 ) P A) L35 Η ζητούμενη πιθανότητα δίνεται από τον τύπο: 35) P A' ) P A) j 3

17 Εφαρμογή 4. Σε ένα ράφι βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά βιβλία Μαθηματικών 4 βιβλία Φυσικής 3 βιβλία Ιστορίας 7 βιβλία ξένων γλωσσών και 0 λεξικά. Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα βιβλία του ίδιου είδους να τοποθετηθούν μαζί; Λύση. Έστω M µ K µ } Φ { φ K φ } I { ι ι ι } Ξ { ξ K ξ } Λ { λ K } τα σύνολα των { λ0 βιβλίων κάθε είδους. Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αποτελείται από όλες τις μεταθέσεις του συνόλου M Φ I Ξ Λ οπότε Ω 30. Τα ευνοϊκά αποτελέσματα του ενδεχομένου A { όλα τα βιβλία του ίδιου είδους τοποθετούνται μαζί} μπορούν να απαριθμηθούν αν όλη η διαδικασία εκτελείται με τα εξής βήματα: - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα βιβλία Μαθηματικών - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 4 βιβλία της Φυσικής - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 3 βιβλία της Ιστορίας - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 7 βιβλία ξένων γλωσσών - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τα 0 λεξικά και - μεταθέτουμε με όλους τους δυνατούς τρόπους τις ομάδες όμοιων βιβλίων που προέκυψαν στα προηγούμενα βήματα. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούν να ολοκληρωθούν τα παρακάτω βήματα είναι: και 5 αντίστοιχα οπότε A και η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με P A) A. Ω 30 Εφαρμογή 5. Σε ένα δοχείο υπάρχουν 9 σφαιρίδια αριθμημένα από το έως το 9. Εξάγουμε χωρίς επανάθεση σφαιρίδια το ένα μετά το άλλο και καταγράφουμε των εξαψήφιο αριθμό που προκύπτει. Να υπολογιστεί η πιθανότητα: α) να προκύψει αριθμός ο οποίος δεν περιέχει καθόλου το ψηφίο β) να προκύψει αριθμός ο οποίος περιέχει μία τουλάχιστον φορά το ψηφίο ή μία τουλάχιστον φορά το ψηφίο 5. Ποια θα είναι η πιθανότητα για τα ερωτήματα αυτά αν μετά από κάθε εξαγωγή γίνεται καταγραφή του αριθμού που φέρει το σφαιρίδιο και επιστρέφεται στην κάλπη πριν προχωρήσουμε στην επόμενη εξαγωγή; 33

18 Λύση. Ο αριθμός που θα προκύψει μπορεί να παρασταθεί ως a aa3a4a5a όπου a { K9} και a a j. Άρα ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι: j Ω { a K a) a X { K9} K a a j j} δηλαδή περιέχει όλες τις μη επαναληπτικές διατάξεις των 9 στοιχείων ανά. στοιχείων του Ω είναι ίσο με Ω 9) α) Μας ενδιαφέρει το ενδεχόμενο: A { a K a) a X { K9} K a a j j a {}} και αφού A 8) θα έχουμε: P A) 33.3% β) Αν ορίσουμε το ενδεχόμενο: B : ο αριθμός που προκύπτει δεν περιέχει ούτε το ψηφίο ούτε το ψηφίο 5 Το πλήθος των θα έχουμε B { a K a) a X { K9} K a a j a j {5}} οπότε B 7) και η ζητούμενη πιθανότητα είναι: B P B' ) P B) 9.7%. Ω Στην περίπτωση που κάθε σφαιρίδιο το οποίο εξάγεται επιστρέφεται στην κάλπη πριν προχωρήσουμε στην επόμενη εξαγωγή τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω και των ενδεχομένων A B αντιστοιχούν σε 8 7 επαναληπτικές διατάξεις οπότε βρίσκουμε: P A) 49% P B' ) 77.9% αντίστοιχα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations .7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»).

Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). Συνδυασμοί Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). ιαφορετικές 6άδες Lotto (από 1-49): #υποσυνόλων με k στοιχεία από σύνολο n στοιχείων: #τρόπων στελέχωσης

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)!

(n + r 1)! (n 1)! (n 1)! Στοιχειώδης συνδυαστική Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές Διανομή Αντικειμένων σε Υποδοχές Με πόσους τρόπους μπορούμε να διανείμουμε r αντικείμενα (διακεκριμένα ή όχι) σε n υποδοχές. Διακρίνουμε περιπτώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ

Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 6 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 6.1 [1 μονάδα] Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται από τα ψηφία 2,3,5,6,7 και 9, τέτοιοι που να διαιρούνται με το 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ Θεοδόσης ηµητράκος e-mail: dimitheo@aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2016-2017 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13

Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/2016 1 / 13 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = (

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008 ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 8. Να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι συντελεστές a και b της εξίσωσης y = be a, ώστε να περιγράφει τα πειραματικά σημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Gutenberg

Gutenberg Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016 Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/206 Ο κανόνας του Pascal + = +,0 ή ισοδύναμα, = +,0 + Απόδειξη + =!!! +!!! = =!!! + =!!!! =!!!! = =!!!! = +!!! =!! = Το τρίγωνο του Pascal = + Για

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Διακριτά Μαθηματικά Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕ μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα