TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:

Transcript

1 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor diferenţiale Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite Aplicaţii economice ale ecuaţiilor diferenţiale Conținut: 71 Proprietăţile integralelor nedefinite 6 7 Ecuaţii diferenţiale Aplicaţii economice ale integralelor nedefinite Costul total şi profitul total Consumul şi venitul naţional Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale Concepte cheie 67

2 6 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL 71 Proprietățile integralelor nedefinite În multe situaţii practice, dispunem de informaţii asupra ratei de schimbare a unei funcţii pe care a denumit-o funcţia marginală şi ne interesează să determinăm funcţia iniţială Acest tip de probleme aplicative ne conduce din punct de vedere matematic la determinarea unei funcţii atunci când se cunoaşte derivata acelei funcţii Definiţia 71: Funcţia F se numeşte primitiva (funcţia primitivă sau antiderivata) funcţiei f pe intervalul ( a, b) dacă în orice punct x ( a, b) funcţia F este derivabilă şi F = f Dacă F este primitiva funcţiei f pe intervalul ( a, b), atunci, în mod evident, funcţia F + K (unde K este o constantă) este, de asemenea, o primitivă a funcţiei f pe intervalul ( a, b) În general, două primitive ale aceleiaşi funcţii diferă între ele printr-o constantă Definiţia 7: Mulţimea tuturor primitivelor unei funcţii f pe intervalul ( a b) numeşte integrala nedefinită a funcţiei f şi se notează: În această notaţie, semnul numeşte elementul de integrare x, se f (71) se numeşte semnul de integrală, iar expresia ( Dacă F ( ) este una din primitivele funcţiei f pe intervalul ( a b) f = F + K,, atunci f x) se (7) unde K este o constantă arbitrară, respectiv o nedeterminată ce poate să parcurgă toate numerele reale Operaţia de determinare a primitivei sau a integralei nedefinite a funcţiei f se numeşte integrarea funcţiei f Vom discuta în continuare proprietăţile de bază ale integralei nedefinite Aceste proprietăţi ale operaţiilor cu integrale sunt: (1) [ f ± g ] = f ± g + K () [ α f ] = α f + K, = ; (73) α constant (74) Vom enumera în cele ce urmează primitivele principalelor funcţii ce apar în modelele economice, care formează tabloul integralelor nedefinite de bază: 0 = K ; (75) 1 = x + K ; (76) α + 1 α x x = + K α + 1, ( α 1); (77)

3 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 63 1 = ln x + K, ( x 0 ); x (78) x x a a = + K, ( 0 < a 1); ln a (79) x x e = e + K ; (710) 1 x = arctan + K, a 0 ; x + a a a (711) 1 x a = ln + K, a 0, x a ; (71) x a a x + a x a = arcsin x a + K, 0 a, x ( a, a) ( x + x + a ) + K ; (713) = ln (714) x + a Să analizăm şi două proprietăţi care sunt consecinţe imediate ale definiţiei date pentru integrala nedefinită, care implică faptul că simbolurile d (de diferenţiere) şi (de integrare) se anulează reciproc Au loc proprietăţile: ; df x = F x + K (a) d f = f (b) ( ) ( ) Să investigăm acum principalele metode de integrare Prima metodă este metoda directă, care constă în aplicarea directă, acolo unde este posibil, a proprietăţilor operaţiilor cu integrale (73) şi (74), precum şi formulele de integrare (75) (714) Una din cele mai uzuale metode de integrare este integrarea prin schimbare de variabilă (sau prin substituţie) Metoda se bazează pe proprietatea că dacă t ϕ primitiva F () t, adică: ( t) dt = F( t) + K atunci există primitiva funcţiei f [ ϕ ] ϕ, adică: f [ ] ϕ = F[ ϕ ] + K =, iar f () t are f, (715) ϕ (716) Integrarea prin părţi este una din cele mai eficace metode de integrare şi se bazează pe proprietatea următoare Să presupunem că funcţiile u şi v sunt derivabile Atunci are loc relaţia: v = u v v u u (717) Ţinând cont de proprietăţile diferenţialei, relaţia (717) se mai poate scrie: u dv = u v v du (718)

4 64 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL Să detaliem acum metodele de integrare a funcţiilor raţionale, de forma: P şi Q sunt polinoame Să analizăm mai întâi integralele de tipul: P Q, unde mx + n Metoda generală de rezolvare a acestui tip de integrală constă în aducerea trinomului de gradul al doilea la forma unei sume sau diferenţe de pătrate: ( x + p) q = a + unde p şi q sunt constante În plus, dacă m = 0, metoda conduce la una din formulele de integrare (711) sau (71) Dacă m 0, dăm factor comun la numărător derivata ax + b a trinomului de gradul al doilea şi avem: m mb ( ax + b) + n mx + n a = a I = = m ( ax + b) mb 1 = + n + + a ax bx c a În prima integrală facem schimbarea de variabilă = t, de unde ( ax + b) = dt, iar a doua integrală este de tipul discutat mai sus Obţinem: m mb 1 I = ln + n a a În general, pentru rezolvarea integralelor raţionale se aduce expresia la forma P ireductibilă, unde gradp < gradq Mai întâi descompunem polinomul Q sub Q forma: Q ( x a) α ( x l) λ = K, unde a, l Q x, cu ordinele de multiplicitate respectiv α,k, λ Metoda constă în descompunerea în fracţii simple, scriind:,k sunt rădăcinile reale diferite ale polinomului ( ) P Q A1 A Aα x a ( x a) ( x a) = α Pentru determinarea coeficienţilor identificarea cu P K +K L x l, L 1 λ + + K+ 1, A,, Aα, K, L1, L, K, fie prin atribuirea de valori convenabile Pentru integrarea expresiilor iraţionale de forma: L ( x l) ( x a) λ A K, L procedăm fie prin mx + n, procedăm la descompunerea în sumă sau diferenţă de pătrate a trinomului de la numitor şi apoi aplicăm o metodă analogă metodei analizate pentru expresiile raţionale, aplicând formulele de calcul (713) sau (714) λ

5 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 65 Pentru integralele iraţionale de tipul:, facem schimbarea de ( mx + n ) 1 variabilă = t şi explicitându-l pe x în funcţie de t şi diferenţiind se obţine o integrală mx + n de tipul celei de mai sus 7 Ecuații diferențiale Să ne reamintim că am introdus noţiunea de derivată ca fiind rata de schimbare instantanee a unei funcţii y = f () t şi am notat această rată de schimbare în timp cu dy dt În foarte multe procese de creştere, din domeniul economic, dar şi alte domenii cum sunt fizica, biologia sau ştiinţele sociale, rata de schimbare în timp a cantităţii unui element este proporţională cu cantitatea actuală a acelui element Această proprietate se poate scrie sub forma: dy = ky, ( k = constant ) (719) dt O ecuaţie de tipul de mai sus se numeşte o ecuaţie diferenţială, deoarece ea conţine diferenţiale sau derivate Alte exemple de ecuaţii diferenţiale sunt: 1 dy (a) f =, (b) = t, (c) xdy = ( y + 1) x + 1 dt Soluţia unei ecuaţii diferenţiale este o funcţie ce satisface ecuaţia diferenţială iniţială De exemplu, o funcţie care satisface ecuaţia (a) este o primitivă a lui f De asemenea, se dy observă că o soluţie a ecuaţiei (b) este funcţia y = t, pentru care avem = t Dar şi dt funcţiile de forma y = t + 1 sau y = t sunt şi ele soluţii ale lui (b) Atunci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (b) se obţine integrând în ambii membri: dy dt dt = tdt y = t + K Astfel, y = t + K este o soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (b) Dacă determinăm o anumită valoare specifică a lui K, atunci soluţia rezultată se numeşte soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale O ecuaţie diferenţială ce conţine diferenţiale sau derivate de ordinul întâi se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul întâi Dar nu toate ecuaţiile diferenţiale se rezolvă direct, prin integrare în ambii membri De exemplu, ecuaţia (719) de mai sus nu poate fi rezolvată direct prin integrarea ambilor membri ai ecuaţiei în raport cu variabila t Totuşi, putem să rescriem ecuaţia, astfel încât termenii care îl conţin pe y să fie într-un membru, iar termenii care îl conţin pe t să fie în celălalt membru În cazul nostru rezultă: dy = k dt (70) y

6 66 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL În general, atunci când o ecuaţie diferenţială poate fi rescrisă sub forma: A ( y) dy = B( t)dt sau ( y) dy f g =, spunem că ecuaţia este separabilă Soluţia unei ecuaţii diferenţiale separabile se obţine integrând ambii membri ai ecuaţiei în raport cu variabilele care au fost separate Astfel, pentru a rezolva ecuaţia (719), care a fost scrisă după separarea variabilelor y şi t sub forma (70), integrăm în ambii membri şi obţinem: dy y = k dt ln y + K1 = kt + K Notând K3 = K K1, rezultă ln y = kt + K3 Presupunând y > 0 şi scriind ecuaţia sub formă exponenţială, obţinem succesiv: y = e = e e = e K kt + K 3 kt K3 kt, K 3 unde K = e Soluţia y = e kt K este soluţia generală a ecuaţiei (719) 73 Aplicații economice ale integralelor nedefinite 731 Costul total şi profitul total Revenim cu analiza noastră asupra modelelor economice de şi aplicaţiilor care implică funcţiile de cost, de venit şi de consum După cum s-a observat, am reluat aceste concepte în contexte şi cu abordări diferite, deoarece ale sunt fundamentale în studiul modelelor economice Vom utiliza în continuare metodele de integrare pentru a obţine funcţiile de cost total şi profit total, pe baza funcţiilor marginale corespunzătoare Unul din motivele utilizării funcţiilor marginale este acela că în practică pot fi observate schimbările marginale din activitatea curentă, pe baza cărora pot fi dezvoltate metodele privind costul total Să remarcăm că, în mod natural, în aplicaţiile în care am utilizat derivatele, abordarea a fost de la costul total către costul marginal Prin metodele de integrare, parcurgem calea inversă, care este uneori mai aproape de situaţiile practice Să presupunem că funcţia de cost marginal pentru un anumit produs este CM = C, unde C este funcţia de cost total Ştiind expresia funcţiei de cost marginal, atunci vom determina prin integrare funcţia de cost total, adică: C = CM (71) 73 Consumul şi venitul național Am analizat anterior funcţia de consum naţional f C N =, unde x este venitul naţional disponibil Tendinţa marginală naţională de consum este derivata funcţiei de consum, respectiv: dc N = f (7)

7 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 67 Invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum, prin integrare obţinem funcţia de consum naţional: = f K C N = f + (73) De o manieră similară, dacă V N reprezintă funcţia venitului net naţional, atunci x = C N + V N sau VN = x CN Atunci tendinţa marginală a venitului net naţional este: dvn dcn = 1 (74) dc N =, prin Procedând invers, dacă cunoaştem tendinţa de consum marginală f integrare obţinem funcţia de venit naţional net: V N 733 Aplicații ale ecuațiilor diferențiale = x f = x f (75) Dacă p este preţul unui anumit produs la momentul t, putem să considerăm preţul ca o funcţie de timp Similar, numărul de unităţi de produs cerut de consumatori q C şi numărul de unităţi oferite de producători q O, în orice moment de timp, pot fi considerate, de asemenea, funcţii de timp Atât cantitatea cerută, cât şi cantitatea oferită depind însă nu numai de preţul la un moment dat, dar şi de direcţia şi de rata de schimbare cu care consumatorii şi producătorii estimează că va evolua preţul De exemplu, cu toate că preţul este ridicat, dacă consumatorii estimează că preţul va creşte, cererea ar putea să crească Analog, dacă preţurile sunt scăzute, dar producătorii estimează că preţurile vor mai scădea, atunci oferta ar putea să crească Dacă presupunem că preţurile sunt stabilite pe o piaţă cu competiţie de cerere şi ofertă, atunci vom căuta să determinăm echilibrul de piaţă Egalând oferta cu cererea, obţinem o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi 74 Concepte cheie Funcţie primitivă Integrală nedefinită Integrare directă Integrare prin schimbare de variabilă Integrare prin părţi Ecuaţie diferenţială Ecuaţie diferenţială de ordinul întâi Ecuaţie diferenţială separabilă Tendinţă marginală de consum Tendinţă marginală a venitului net

8 68 MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL