Αντίδωρο στον σ. Ευτύχη Μπιτσάκη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αντίδωρο στον σ. Ευτύχη Μπιτσάκη"

Transcript

1 Αντίδωρο στον σ. Ευτύχη Μπιτσάκη Θεόδωρος Μαριόλης Μηχανολόγος Μηχανικός ΕΜΠ Καθηγητής Πολιτικής Οικονομίας, Πάντειο Πανεπιστήμιο Ινστιτούτο Κοινωνικών Ερευνών Δημήτρης Μπάτσης 1. Εισαγωγή Άλλη μία φορά, πριν από εκλογική διαδικασία, και συστηματικότατα, ιδίως από τότε που ξέσπασε η λεγόμενη «ελληνική κρίση»,[1] ο σ. Ευτύχης Μπιτσάκης πραγματοποιεί συμβουλευτικές δηλώσεις προς το σύνολο της «ελληνικής Αριστεράς» (τελευταίο, χρονικά, δείγμα: Εφημερίδα Δρόμος της Αριστεράς, ). Δεν γνωρίζω εάν συνεδρίασαν τα κόμματα και οι οργανώσεις της «ελληνικής Αριστεράς», και αποφάσισαν να δώσουν στον Μπιτσάκη τη θέση του γενικού συμβούλου τους ή αυτή είναι μία θέση την οποία έδωσε ο Μπιτσάκης στον εαυτό του. Ωστόσο, η κατά σειρά δεύτερη περίπτωση δεν αποκλείεται a priori. Διότι ακόμα και για επιστημονικά ζητήματα ή/και αντίστοιχες ποσοτικές εκτιμήσεις, για τις οποίες δηλώνει, δημοσίως, ότι δεν έχει την προαπαιτούμενη γνώση (όπως, για παράδειγμα, η εκτίμηση του δημοσιονομικού πολλαπλασιαστή της ελληνικής οικονομίας και η επακόλουθη εκτίμηση της αθροιστικής ύφεσής της στο 29%, συνεπεία μηδενισμού του πρωτογενούς ελλείμματος εκτίμηση η οποία δημοσιοποιήθηκε εδώ και πάνω τρία χρόνια, και επαληθεύτηκε), ο Μπιτσάκης συνηθίζει, πάλι δημοσίως, να αποφαίνεται λακωνικά: «Δεν έχω πειστεί». Ομολογώ, επίσης, ότι ποτέ δεν κατάλαβα τη λέξη: «Αριστερά (Δεξιά)/Αριστερός (Δεξιός)», καίτοι καταλαβαίνω πολύ καλά τις λέξεις, για παράδειγμα, «κομμουνισμός/κομμουνιστής» ή «(νεο-) φιλελευθερισμός» και «λεττρισμός» ή, έστω, «σοσιαλδημοκρατία» και «αναρχισμός». Ό,τι και να ισχύει, για το πώς κατέλαβε ο Μπιτσάκης εκείνη τη θέση και ό,τι και να υπονοείται με τη λέξη «Αριστερά», διακρίνω αγνωμοσύνη: Πλην ενός τμήματος της «ελληνικής Αριστεράς», εκείνου στο οποίο ηγεμονεύει η ιδεολογία(;) του ευρωπαϊσμού, τα άλλα τμήματά της, στα οποία ταυτοχρόνως απευθύνεται ο Μπιτσάκης, και μάλλον κυριαρχεί η ιδεολογία του κομμουνισμού, δεν δείχνουν ενθουσιασμό για τις συμβουλές του. Ως εκ τούτου, αισθάνομαι την ανάγκη να προσφέρω μία, σύντομη συμβουλήαντίδωρο, αφού πρώτα, όμως, κάνω ένα σχεδόν εξίσου σύντομο, αλλά αντιπροσωπευτικό και σχολιασμένο, εράνισμα από αναφερόμενα στις φυσικομαθηματικές επιστήμες γραπτά του Μπιτσάκη.[2] 1

2 2. Εράνισμα Δείγμα 1: «Ο χώρος και ο χρόνος είναι συνεχείς ή κβαντωμένοι; [ ] Ο χώρος πρέπει να είναι συνεχής. Αλλιώτικα θα ήταν δύσκολο να κατανοήσουμε τις αλληλεπιδράσεις, τη μετατόπιση, ακόμα και τη διαφόριση και την ολοκλήρωση στα μαθηματικά.» (Μπιτσάκης, Ε., 1981, Διαλεκτική και Νεώτερη Φυσική, 3 η έκδοση, Αθήνα, Ι. Ζαχαρόπουλος, σελ. 206 και 208, αντιστοίχως). Σχολιασμός: Το ζήτημα της κατανόησης της (μαθηματικής) διαφόρισης και της ολοκλήρωσης είναι απολύτως άσχετο με το ζήτημα του εάν ο (φυσικός) χώρος είναι συνεχής ή κβαντωμένος (χάριν συντομίας, αντιπαρέρχομαι «τις αλληλεπιδράσεις και τη μετατόπιση», κατά Μπιτσάκη, καθώς και το τελικό συμπέρασμά του ότι «δε βλέπει κανείς πώς θα μπορούσε υπάρξει [μία τέτοια] απάντηση», ό.π., σελ. 209, στο ερώτημα που τέθηκε στην αρχή). Θα μπορούσαμε, εδώ, να ανακαλέσουμε ένα πολύ γνωστό, στους φυσικομαθηματικούς, ιστορικό και, ταυτοχρόνως, διδακτικό παράδειγμα. Το statement, λοιπόν, του Μπιτσάκη είναι ισοδύναμo, από λογική άποψη, με τo statement: «Σε τι χρησιμεύει ο λεγόμενος Υγρός Αέρας; Τον χρησιμοποιούμε για να γρασάρουμε την τετραγωνική ρίζα του μείον 1.» (βλέπε Heyl, P. R., 1938, The skeptical physicist, Scientific Monthly, March, pp ). Σε χεγκελιανούς όρους, για αυτές/ούς που προτιμούν την φιλοσοφική ορολογία, θα λέγαμε ότι, στo statement Μπιτσάκη, ενέχεται μία «απέραντη (ή, αλλιώς, άπειρη) κρίση» (unendliche Urteil), όπως, για παράδειγμα, στις προτάσεις: «Ένα λιοντάρι δεν είναι τραπέζι» (Επιστήμη της Λογικής) ή «Ο λογάριθμος είναι κίτρινος» (βλέπε Μαρξ, Κ., 1978, Το Κεφάλαιο, τ. 3, Αθήνα, Σύγχρονη Εποχή, σελ. 1005). Δείγμα 2: «Η αλήθεια της κβαντικής μηχανικής δεν καταργεί την αλήθεια της κλασικής μηχανικής, της οποίας έδειξε τα όρια: αν πάρουμε το h = 0, η κβαντική μηχανική μετατρέπεται σε κλασική. Έτσι, κατανοείται ο βαθύτερος λόγος για τον οποίο η κλασική μηχανική είναι πάντοτε έγκυρη για τη μακροσκοπική πρακτική, όπου η σταθερά του Πλανκ είναι αμελητέα. [ ] Η νεώτερη φυσική, γενικότερα, αντιπροσωπεύει μία αλήθεια βαθύτερη από την κλασική φυσική, αλλά που συνδέεται μαζί της. Αν πάρουμε το h = 0, περνούμε από την κβαντική, στη κλασική μηχανική.» (Μπιτσάκης, Ε., 1981, ό.π., σελ. 323 και 324, αντιστοίχως). Σχολιασμός: Προαπαιτούνται δύο διευκρινήσεις (αντιπαρέρχομαι, χάριν συντομίας, το ζήτημα των κατά Μπιτσάκη δύο αληθειών, αυτό καθαυτό, αν και μου θυμίζει ένα τραγούδι του Άκη Πάνου): (i). Με το σύμβολο h o Μπιτσάκης παριστά τη «Σταθερά του Plank» (ό.π., σελ. 323, παράγραφος 1, όπου ορίζει αυτό το σύμβολο). Η εν λόγω σταθερά, (όπως 2

3 δύναται να προσδιοριστεί βάσει, για παράδειγμα, μίας πειραματικής διάταξης αναπαραγωγής του φωτοηλεκτρικού φαινομένου) ισούται, κατά προσέγγιση τρίτου δεκαδικού, με επί 10 εις την μείον 34 Joule επί sec. Άρα, έχει μία (προσδι-)ορισμένη, μη μηδενική τιμή. Και αυτή η τιμή είναι αυτή που είναι, πάντοτε: ούτε «αμελητέα» ούτε μη αμελητέα, ούτε για τη «μακροσκοπική πρακτική» ούτε για τη μη μακροσκοπική πρακτική, ούτε για την «πρακτική» ούτε για τη μη πρακτική. (ii). Το σύνολο statement του Μπιτσάκη αναφέρεται στην ή μάλλον υπονοεί την περίφημη «Αρχή της Αντιστοιχίας» («Principle of Correspondence») του Niels Bohr (διατυπώθηκε το 1920, εάν όχι το 1913), η οποία προσδιορίζει πότε (υπό ποια συνθήκη(-ες), δηλαδή) η περιγραφή ενός φυσικού φαινομένου βάσει των αρχών-νόμων-σχέσεων της Κβαντικής Φυσικής καταλήγει στα ίδια, κατά προσέγγιση, ποσοτικά αποτελέσματα με την περιγραφή του ιδίου φαινομένου βάσει των συγκριτικά απλούστερων αρχών-νόμων-σχέσεων της Νευτώνειας/Κλασικής Φυσικής. Όταν, λοιπόν, πληρούται αυτή η συνθήκη, δύναται να αρκεστεί κανείς στην περιγραφή βάσει της Κλασικής Φυσικής: Καταβάλλει, από τη μία πλευρά, το κόστος ενός, ορισμένου, ποσοτικού σφάλματος, αλλά απαλλάσσεται, από την άλλη πλευρά, από το υψηλότερο κόστος χρήσης των περιπλοκότερων σχέσεων της Κβαντικής Φυσικής. Πώς διατυπώνεται, όμως, η «Αρχή της Αντιστοιχίας» του Bohr; Ως εξής: Όσο μικρότερος είναι ο λόγος της «Σταθεράς του Plank» προς τη «Δράση» (Ενέργεια επί Χρόνος) του υπό περιγραφή φαινομένου-συστήματος (ή, ισοδυνάμως, όσο μεγαλύτερος είναι ο «κβαντικός αριθμός» του συστήματος), τόσο περισσότερο οι νόμοι-σχέσεις της Κβαντικής Φυσικής τείνουν, από ποσοτική άποψη, προς τους νόμους-σχέσεις της Κλασικής Φυσικής. Η λογική της εν λόγω «Αρχής» εφαρμόζεται και, ας σημειωθεί, στην περίπτωση της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας (η οποία αναφέρεται, ως γνωστόν, σε μη επιταχυνόμενα συστήματα): Δεν χρειάζεται να καταφύγουμε σε αυτήν (μας αρκεί η Κλασική Φυσική) όταν ζητούμενο είναι η περιγραφή φαινομένων, τα οποία ενέχουν ταχύτητες σημαντικά χαμηλότερες ως προς την ταχύτητα του φωτός στο κενό (χάριν συντομίας, αντιπαρέρχομαι αυτά που γράφει, σχετικά, ο Μπιτσάκης, ό.π., σελ. 324). Δύναται, τέλος, να προστεθεί ότι ο «κβαντικός αριθμός», στην πρώτη περιοχή, και η σχετική ως προς το φως ταχύτητα, στη δεύτερη περιοχή, έχουν αξιοσημείωτα ανάλογο ρόλο με αυτόν του «τυποποιημένου ή σχετικού ποσοστού κέρδους» στην οικονομική επιστήμη. Το ισχύον «σχετικό ποσοστό κέρδους» ενός κεφαλαιοκρατικού συστήματος «απλής παραγωγής» (single production) ορίζεται ως το ισχύον ενιαίο ποσοστό κέρδους του προς τη μέγιστη δυνατή τιμή του ενιαίου ποσοστού κέρδους του, όπου η τελευταία τιμή 3

4 καθορίζεται μόνον από την Perron-Frobenius ιδιοτιμή της μήτρας των τεχνικών συντελεστών του συστήματος. Όσο, λοιπόν, το ισχύον «σχετικό ποσοστό κέρδους» είναι μικρότερο, τόσο περισσότερο η περιγραφή του κεφαλαιοκρατικού συστήματος σε όρους της Κλασικής Πολιτικής Οικονομίας (δηλαδή, σε όρους εργασιακών αξιών των παραγομένων εμπορευμάτων) καθίσταται ποσοτικά ακριβής (βλέπε Μαριόλης, Θ., 2010, Δοκίμια στη Λογική Ιστορία της Πολιτικής Οικονομίας, Αθήνα, Matura, Δοκίμιο 9). Και όταν το σχετικό ποσοστό κέρδους ισούται με το μηδέν, τότε η Κλασική περιγραφή καθίσταται απολύτως ακριβής. Το μικρό πρόβλημα που απομένει είναι ότι, σε αυτήν την περίπτωση, δεν υπάρχει καπιταλισμός! Δείγμα 3: «Τέλος, ο Ε. Ν. Λόρεντζ (Lorenz) απέδειξε, το 1963, ότι ακόμα και ένα απλό σύνολο τριών συνεζευγμένων μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς χαοτικά φαινόμενα.» (Μπιτσάκης, Ε., 1999, Χάος, καταστροφές και fractals: προς μία διεύρυνση της αιτιοκρατικής σχέσης, Ουτοπία, Τεύχος 33, σελ. 63. Το τεύχος περιέχει Αφιέρωμα στις Θεωρίες του Χάους). Σχολιασμός: Ο Μπιτσάκης αναφέρεται στο ή μάλλον υπονοεί το περιβόητο, αλλά σήμερα τετριμμένο (μεταξύ ειδημόνων), μετεωρολογικό υπόδειγμα του Edward N. Lorenz, το οποίο δεν συνιστά, όμως, σύστημα τριών μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Επιπλέον, αλλά ακόμα πιο σημαντικό, ο Μπιτσάκης έχει έρθει αντιμέτωπος με το κρίσιμο ζήτημα: Ποιες είναι οι ελάχιστες συνθήκες εμφάνισης «χαοτικών λύσεων» (ή «φαινομένων», κατά Μπιτσάκη), όταν (i) οι ανεξάρτητες μεταβλητές του συστήματος είναι είτε συνεχείς είτε διακριτές, και (ii) ο χώρος κατάστασης του συστήματος είναι είτε πεπερασμένης είτε άπειρης διάστασης; Παρατήρηση 1: Το άρθρο του E. N. Lorenz, με τίτλο: Deterministic nonperiodic flow, Journal of the Atmospheric Sciences, 20, pp , όπου πρωτοπαρουσιάστηκε και μελετήθηκε το εν λόγω υπόδειγμα, είναι διαθέσιμο στη διεύθυνση: Βλέπε τις εξισώσεις (25) έως και (27), στη σελίδα 135 αυτού του άρθρου. Είναι σαφές ότι δεν πρόκειται για «τρεις μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις». Παρατήρηση 2: Ο όρος: «απλό σύνολο [ ] διαφορικών εξισώσεων», τον οποίο χρησιμοποιεί ο Μπιτσάκης, δεν έχει ούτε περιεχόμενο ούτε νόημα (δεν είναι επιστημονικός όρος). Μήπως θα ήθελε να γράψει: «σύστημα συνήθων (ordinary) [ ] διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως»; Παρατήρηση 3: Για μία περίπου σύγχρονη, με το γραπτό του Μπιτσάκη, απάντηση στο ζήτημα που άφησα ανοικτό (για τον μη ειδικό), βλέπε το σε 4

5 δύο συνέχειες άρθρο των Z. Fu and J. Heidel στο περιοδικό Nonlinearity (vol. 10 (1997) και vol. 12 (1999)). Στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν, βεβαίως, και πολύ πιο χρονικά απομακρυσμένες, αρκετά ικανοποιητικές, απαντήσεις (όσον αφορά στα συστήματα συνεχών μεταβλητών και χώρου πεπερασμένης διάστασης, βασίζονταν στο περίφημο Θεώρημα Poincaré- Bendixson). Δείγμα 4: «Λόγω μικρών διακυμάνσεων στις αρχικές συνθήκες, ένα σύστημα μπορεί να παρουσιάσει χαοτική συμπεριφορά.» (Μπιτσάκης, Ε., 1999, ό.π., σελ. 64). Σχολιασμός: Ένα σύστημα καλείται «χαοτικό» όταν (μεταξύ άλλων) οι λύσεις του παρουσιάζουν ισχυρή εξάρτηση-ευαισθησία από τις-στις αρχικές συνθήκες του. Ας δώσουμε λίγα, μόνον, στοιχεία για ένα τετριμμένο (μεταξύ ειδημόνων) παράδειγμα, το οποίο είναι τόσο απλό όσο και ενδιαφέρον. Έστω σύστημα περιγραφόμενο από την ακόλουθη εξίσωση διαφορών («Logistic Map»): Χτ + 1 = Α Χτ (1 Χτ), τ = 0, 1, 2, όπου Α είναι μία θετική πραγματική παράμετρος, η οποία λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 4. Αυτό το σύστημα συμπεριφέρεται «χαοτικά», όπως αποδεικνύεται στη βιβλιογραφία, για τιμές του Α μεγαλύτερες του (κατά προσέγγιση), αν και ακόμα και σε αυτό το πεδίο τιμών υπάρχουν διακριτά υποσύνολα τιμών του Α, μεταξύ και , για τις οποίες το σύστημα εμφανίζει ευσταθείς λύσεις (ή, αλλιώς, ευσταθείς κύκλους) διαφόρων περιττών περιόδων, ήτοι 7, 5 και 3 («παράθυρα ευστάθειας»). Η τιμή, λοιπόν, της παραμέτρου Α καθορίζει εάν το σύστημα συμπεριφέρεται «χαοτικά». Όχι οι αρχικές συνθήκες (ή «οι διακυμάνσεις αυτών», κατά Μπιτσάκη). Έτσι, για παράδειγμα, η διαχρονική εξέλιξη του συστήματος για Α = 3.94 και Χ0 = 0.99 είναι εντυπωσιακά διαφορετική από την διαχρονική εξέλιξή του για Α = 3.94 (ίδια, με προηγουμένως, τιμή της παραμέτρου) και Χ0 = («ελάχιστα» διαφορετικά αρχική συνθήκη), ενώ και οι δύο εξελίξεις χαρακτηρίζονται «χαοτικές». Τα δύο πρώτα από τα γραφήματα του Σχήματος 1 αντιστοιχούν, κατά σειρά, στις δύο προαναφερθείσες περιπτώσεις, και δείχνουν την εξέλιξη του συστήματος από τ = 0 έως και τ = 200 (Παρατήρησε, ιδίως, την οιονεί-ακινησία, περί την (μέση) τιμή Χ = 0.746, την οποία εμφανίζει η πρώτη περίπτωση στις χρονικές περιόδους τ = και τ = Στα γραφήματα διακρίνονται ως σχεδόν οριζόντιες γραμμές). Αντιθέτως, τα επόμενα δύο γραφήματα αντιστοιχούν στην τιμή Α = 3.55 και Χ0 = 0.99 ή Χ0 = 0.10 («πολύ» διαφορετικές αρχικές συνθήκες). Όπως διαπιστώνεται, το σύστημα συγκλίνει, αργά ή γρήγορα, σε έναν και τον αυτό κύκλο περιόδου 8, ανεξαρτήτως της τιμής του Χ0 (αυτός ο κύκλος υφίσταται για κάθε τιμή του Α 5

6 μεταξύ και 3.564, σε προσέγγιση τρίτου δεκαδικού, και καλείται «ολκός του συστήματος»). Αυτή η συμπεριφορά δεν μπορεί να χαρακτηριστεί, και όντως δεν χαρακτηρίζεται στη βιβλιογραφία, «χαοτική» Α = 3.94, Χ0 = Α = 3.94, Χ0 =

7 Α = 3.55, Χ0 = Α = 3.55, Χ0 = 0.10 Σχήμα 1. Η εξέλιξη του συστήματος για δύο τιμές της παραμέτρου του και διαφορετικές αρχικές συνθήκες Παρατήρηση 1: Επομένως, στην περίπτωση των διακριτών μεταβλητών, αρκεί μία, και μόνον, μη γραμμική εξίσωση (διαφοράς) πρώτης τάξεως για την ύπαρξη «χαοτικών λύσεων». Παρατήρηση 2: Για μία μη τεχνικά περίπλοκη, αλλά λαμπρή, εισαγωγή στο ζήτημα της «χαοτικής δυναμικής», βλέπε May, R. M. (1976) Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature, 261, pp , άρθρο διαθέσιμο στη διεύθυνση: 7

8 Παρατήρηση 3: Τις τελευταίες τέσσερις δεκαετίες η «χαοτική δυναμική» εφαρμόζεται (και) στη μελέτη των κεφαλαιοκρατικών διακυμάνσεων-κρίσεων, και μάλλον αποτελεί το πιο προχωρημένο, έως σήμερα, πεδίο τεχνικής πραγμάτευσης αυτών των φαινομένων. Όσοι δεν έχουν πειστεί για το ότι η «ελληνική κρίση» δεν είναι «κρίση», δηλαδή ότι δεν πρόκειται για «κυκλική κεφαλαιοκρατική κρίση», θα μπορούσαν να ανατρέξουν σε αναλυτικές διερευνήσεις σχετικών οικονομικών υποδειγμάτων (και) «χαοτικής συμπεριφοράς».[3] 3. Αντίδωρο Οι déclarations πολύ σπάνια προσφέρουν κάτι. Και όταν ισχύσει η εξαίρεση, δεν διαρκεί πολύ. Σημειώσεις [1]. Πρόκειται, απλώς, για διαδικασία επαναπροσαρμογής της παραγωγικοτεχνικά υστερούσας ελληνικής οικονομίας στις ορίζουσες της Ευρωζώνης, δηλαδή μίας κεφαλαιοκρατικής, ανισόμετρα ανεπτυγμένης, περιοχής ενιαίου νομίσματος. [2]. Ένα από τα διαρκώς επανερχόμενα συνθήματα του Μπιτσάκη, σε άλλου είδους γραπτά και ομιλίες του (μετά, ιδίως, το ξέσπασμα της «ελληνικής κρίσης»), είναι αυτό περί: «Ενωμένων Σοσιαλιστικών Πολιτειών/Δημοκρατιών της Ευρώπης», το οποίο διανθίζεται, μάλιστα, με διάφορες ετερογενείς ως προς αυτό αλλά επίσης διαρκώς επανερχόμενες αναφορές στον Β. Ι. Λένιν. Ο «νόμος της ανισόμετρης οικονομικής και πολιτικής ανάπτυξης» των επιμέρους εθνικών χωρών στην εποχή του μονοπωλιακού καπιταλισμού κατέχει κεντρική θέση στις από το 1915 και μετά αναλύσεις και πολιτικές παρεμβάσεις του Λένιν. Κατά την μαρξιστική-λενινιστική βιβλιογραφία, αυτός ο νόμος συνεπάγεται την ακύρωση της προγενέστερης, ισχύουσας για τον προ-μονοπωλιακό καπιταλισμό, μαρξιστικής θεώρησης περί αδυναμίας επικράτησης του σοσιαλισμού σε μία, μόνο, χώρα (ή, έστω, σε πολύ λίγες). Συγκεκριμένα, επιβάλλει αυτήν τη μορφή επικράτησης και καθιστά αδύνατη την ταυτόχρονη, διεθνικώς εκτεταμένη επικράτηση. Υποστηρίζεται, επίσης, ότι, καίτοι δεν είχε εξαχθεί ρητώς, η διατύπωση του νόμου ανιχνεύεται, εν σπέρματι ή δυνάμει, στην ανάλυση του Λένιν (1905) για την ρωσική δημοκρατική επανάσταση ενάντια στον τσαρισμό, και ότι, σε κάθε περίπτωση, η ρητή διατύπωσή του στα μεταγενέστερα, έπειτα από μία δεκαετία, κείμενα του Λένιν (1915, 1916) σηματοδοτεί την περαιτέρω ανάπτυξη της λενινιστικής θεωρίας περί σοσιαλιστικής επανάστασης στην εποχή του ιμπεριαλισμού. Βλέπε: Λένιν, Β. Ι. (1905) Δύο Τακτικές της Σοσιαλδημοκρατίας στη Δημοκρατική Επανάσταση, στο: Β. Ι. Λένιν (1986) Άπαντα, τ. 11, Αθήνα, Σύγχρονη Εποχή. Λένιν, Β. Ι. (1915) Για το σύνθημα των Ενωμένων Πολιτειών της Ευρώπης, στο: Β. Ι. Λένιν (1986) Άπαντα, τ. 26, Αθήνα, Σύγχρονη Εποχή. 8

9 Λένιν, Β. Ι. (1916) Το στρατιωτικό πρόγραμμα της προλεταριακής επανάστασης, στο: Β. Ι. Λένιν (1986) Άπαντα, τ. 30, Αθήνα, Σύγχρονη Εποχή. [3]. Για ελληνόγλωσσες, βλέπε: Μαριόλης, Θ. (2006) Εισαγωγή στη Θεωρία των Ενδογενών Οικονομικών Διακυμάνσεων. Γραμμικοί και Μη Γραμμικοί Οικονομικοί Ταλαντωτές, Αθήνα, Τυπωθήτω-Γιώργος Δαρδανός. Ροδουσάκης, Ν. (2012) Ενδογενείς Οικονομικές Διακυμάνσεις σε Μονοτομεακά και Πολυτομεακά Υποδείγματα τύπου Goodwin, Διδακτορική Διατριβή, Πάντειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Δημόσιας Διοίκησης, Τομέας Οικονομίας, Αθήνα, Οκτώβριος Ροδουσάκης, Ν. (2014) Χαοτική δυναμική και οικονομική πολιτική, στο: Πρακτικά του Συνεδρίου: Η Ευρωπαϊκή Ένωση Απέναντι στην Ελλάδα. Επιστημονικές και Πολιτικές Προβληματικές, σσ , Αθήνα Πάντειο Πανεπιστήμιο, Ιανουαρίου

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε

Διαβάστε περισσότερα

Η Δυναμική του Ελληνικού Δημοσίου Χρέους και η Ιδεολογία της

Η Δυναμική του Ελληνικού Δημοσίου Χρέους και η Ιδεολογία της Η Δυναμική του Ελληνικού Δημοσίου Χρέους και η Ιδεολογία της Θεόδωρος Μαριόλης και Κώστας Παπουλής * Στο παρόν άρθρο διερευνούμε τη μακροχρόνια μεταβολή ή, αλλιώς, «δυναμική» του ελληνικού δημοσίου χρέους

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Θεόδωρος Μαριόλης * 1. Εισαγωγή Ο λεγόμενος Λόγος Οικονομικής Εξάρτησης (Economic Dependency Ratio),

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΡΙΣΗ ΞΕΠΕΡΑΣΤΗΚΕ ΚΑΘΩΣ ΛΕΝΕ;

Η ΚΡΙΣΗ ΞΕΠΕΡΑΣΤΗΚΕ ΚΑΘΩΣ ΛΕΝΕ; Η ΚΡΙΣΗ ΞΕΠΕΡΑΣΤΗΚΕ ΚΑΘΩΣ ΛΕΝΕ; Καθώς έχουν περάσει, από το 2008 οπότε και ξέσπασε η μεγαλύτερη καπιταλιστική κρίση μετά την κρίση του 1929, οι πάντες σχεδόν συμπεριφέρονται σαν να έχει ξεπεραστεί η κρίση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

«Τα Βήματα του Εστερναχ»

«Τα Βήματα του Εστερναχ» «Τα Βήματα του Εστερναχ» Τοποθέτηση του ΔΗΜ.ΓΚΟΥΝΤΟΠΟΥΛΟΥ στη παρουσίαση του βιβλίου ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ. ΧΑΤΖΗΓΙΑΝΝΕΙΟ-Λάρισα 16/1/2009 Κυρίες και κύριοι. Σε κάθε βιβλίο, μελέτη,διήγημα η ποίημα ο συγγραφέας

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ο Θεμελιώδης Οικονομικός Νόμος της Ζώνης του Ευρώ και ο Αριστερός Καιροσκοπισμός *

Ο Θεμελιώδης Οικονομικός Νόμος της Ζώνης του Ευρώ και ο Αριστερός Καιροσκοπισμός * Ο Θεμελιώδης Οικονομικός Νόμος της Ζώνης του Ευρώ και ο Αριστερός Καιροσκοπισμός * Θεόδωρος Μαριόλης Καθηγητής Πολιτικής Οικονομίας, Πάντειο Πανεπιστήμιο, και πρόεδρος του Ινστιτούτου Κοινωνικών Ερευνών

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Το αδιέξοδο στην διδασκαλία της επιταχυνόμενης κίνησης φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε Ο.Η.Π.

Το αδιέξοδο στην διδασκαλία της επιταχυνόμενης κίνησης φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε Ο.Η.Π. Το αδιέξοδο στην διδασκαλία της επιταχυνόμενης κίνησης φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε Ο.Η.Π. Προβληματισμός για το αδιέξοδο ή ένας αδιέξοδος προβληματισμός ; Όταν διδάσκω στην Β Λυκείου την επιταχυνόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων

Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Στις μέρες μας, η ελεύθερη πληροφόρηση και διακίνηση της πληροφορίας

Πρόλογος. Στις μέρες μας, η ελεύθερη πληροφόρηση και διακίνηση της πληροφορίας Πρόλογος Στις μέρες μας, η ελεύθερη πληροφόρηση και διακίνηση της πληροφορίας αποτελεί δημόσιο αγαθό, το οποίο πρέπει να παρέχεται χωρίς περιορισμούς και εμπόδια στα μέλη της κοινωνίας. Οι πολύπλευρα πληροφορημένοι

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα: «Βιβλία Γλώσσας Α, Β, Γ ηµοτικού», «Μαθηµατικά Α, Β ηµοτικού»

Θέµατα: «Βιβλία Γλώσσας Α, Β, Γ ηµοτικού», «Μαθηµατικά Α, Β ηµοτικού» 1 ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Για την ενηµέρωση των υποψηφίων συγγραφέων εγχειριδίων Γλώσσας και Μαθηµατικών, κοινοποιούµε απάντηση σε σχετικό ερωτηµατολόγιο που µας είχαν υποβάλει

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διαπλανητικά Χρέη και οι Αριστεροί του Σειρίου

Τα Διαπλανητικά Χρέη και οι Αριστεροί του Σειρίου Τα Διαπλανητικά Χρέη και οι Αριστεροί του Σειρίου Θεόδωρος Μαριόλης και Κώστας Παπουλής * Όλο και πιο συστηματικά, το τελευταίο διάστημα, διάφοροι έγκριτοι δημοσιογράφοι και πολιτικοί αναλυτές, η πλειοψηφία

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ομιλία της υπουργού Εξωτερικών, κυρίας Ντόρας Μπακογιάννη, στην παρουσίαση του βιβλίου

Ομιλία της υπουργού Εξωτερικών, κυρίας Ντόρας Μπακογιάννη, στην παρουσίαση του βιβλίου Ομιλία της υπουργού Εξωτερικών, κυρίας Ντόρας Μπακογιάννη, στην παρουσίαση του βιβλίου «Παγκόσμια Ευρώπη: οι Διεθνείς Διαστάσεις της Ευρωπαϊκής Ένωσης» Αθήνα 30 Ιανουαρίου 2007 1 Προσφωνήσεις. Αυτή την

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Σ' ένα πρόβλημα, παρατηρώ αλλαγή στη κατάσταση ενός στερεού (ή συστήματος στερεών), καθώς αυτό δέχεται εξωτερικές ροπές.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Μακροοικονομική. Μακροοικονομική Θεωρία και Πολιτική. Αναπτύχθηκε ως ξεχωριστός κλάδος: Γιατί μελετάμε ακόμη την. Μακροοικονομική Θεωρία και

Μακροοικονομική. Μακροοικονομική Θεωρία και Πολιτική. Αναπτύχθηκε ως ξεχωριστός κλάδος: Γιατί μελετάμε ακόμη την. Μακροοικονομική Θεωρία και Μακροοικονομική Θεωρία και Πολιτική Εισαγωγή: με τι ασχολείται Ποια είναι η θέση της μακροοικονομικής σήμερα; Χρησιμότητα - γιατί μελετάμε την μακροοικονομική θεωρία; Εξέλιξη θεωρίας και σχέση με την πολιτική

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ Εργαστηριακή Άσκηση 1 Προσδιορισμός Τεχνικών Παραμέτρων Ταλαντωτή Ενός Βαθμού Ελευθερίας Ονοματεπώνυμο: Παριανού Θεοδώρα Όνομα Πατρός: Απόστολος Αριθμός μητρώου: 1000107 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y)

Συμπεριφορά συναρτήσεως σε κλειστές φραγμένες περιοχές. (x 0, y 0, f(x 0, y 0 ) z = L(x, y) 11.7. Aκρότατα και σαγματικά σημεία 903 39. Εκτίμηση μέγιστου σφάλματος Έστω ότι u e sin και ότι τα,, και μπορούν να μετρηθούν με μέγιστα δυνατά σφάλματα 0,, 0,6, και / 180, αντίστοιχα. Εκτιμήστε το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι. Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 7: Μετοχικοί τίτλοι Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ: ΣΥΝΤΟΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΚΑΙ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΔΑΓΜΑΤΑ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ: ΣΥΝΤΟΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΚΑΙ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΔΑΓΜΑΤΑ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ: ΣΥΝΤΟΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ ΚΑΙ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΑ ΔΙΔΑΓΜΑΤΑ Του Έραστου Φίλου 1 Εισαγωγή Πετάμε με το αεροπλάνο, η πτήση κυλάει ομαλά, οι αεροσυνοδοί σερβίρουν ποτά στους επιβάτες, όταν ξαφνικά το αεροπλάνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ MM505 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΙ Εργαστήριο ο - Θεωρητικό Μέρος Βασικές ηλεκτρικές μετρήσεις σε συνεχές και εναλλασσόμενο

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης

Υπολογισµοί του Χρόνου Ξήρανσης Η πραγµατική επιφάνεια ξήρανσης είναι διασπαρµένη και ασυνεχής και ο µηχανισµός από τον οποίο ελέγχεται ο ρυθµός ξήρανσης συνίσταται στην διάχυση της θερµότητας και της µάζας µέσα από το πορώδες στερεό.

Διαβάστε περισσότερα

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θεωρητικό Μέρος A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις A1, A2, A3, A4 και Β μία μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΕΙΣ. 1.Στόχοι της εργασίας. 2. Λέξεις-κλειδιά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΠΟ42

ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΕΙΣ. 1.Στόχοι της εργασίας. 2. Λέξεις-κλειδιά ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΠΟ42 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΕΠΟ42 2 Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 2012-2013 ΘΕΜΑ: «Να συγκρίνετε τις απόψεις του Βέμπερ με αυτές του Μάρξ σχετικά με την ηθική της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία 8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f : 2 Ø που έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο 2 και τύπο f Hx, yl = 2 xy. Επειδή τα στοιχεία του ονομάζονται και βαθμωτά, η παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 0-0 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ MAΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΙΩΝ ΠΟΛΕΜΟΥ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΟΙΤΗΤΗΣ: Σκορδούλης Μιχαήλ Αριθμός Μητρώου: 7756 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Χαλικιάς Μιλτιάδης, Επίκουρος Καθηγητής ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΟΥ ΑΡΓΟΤΕΡΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΤΑΡΓΗΘΕΙ. Θα μελετήσουμε τώρα συστήματα που διεγείρονται σε ταλάντωση μέσω εξωτερικής ς που μπορεί να είναι (όπως θα δούμε παρακάτω) σταθερή, μεταβλητού

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

LUDWIK FLECK (1896-1961) (Λούντβικ Φλεκ) Ο Ludwik Fleck και η κατασκευή των επιστημονικών γεγονότων.

LUDWIK FLECK (1896-1961) (Λούντβικ Φλεκ) Ο Ludwik Fleck και η κατασκευή των επιστημονικών γεγονότων. 9 LUDWIK FLECK (1896-1961) (Λούντβικ Φλεκ) Ο Ludwik Fleck και η κατασκευή των επιστημονικών γεγονότων. «Βλέπουμε με τα μάτια μας, αλλά κατανοούμε με τα μάτια της συλλογικότητας». 6 Ένα από τα κυριότερα

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά.

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. 1 Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. Ψάχνοντας από το εσωτερικό κάποιων εφημερίδων μέχρι σε πιο εξειδικευμένα περιοδικά και βιβλία σίγουρα θα έχουμε διαβάσει ή θα έχουμε τέλος πάντων πληροφορηθεί,

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα