Αντίδωρο στον σ. Ευτύχη Μπιτσάκη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αντίδωρο στον σ. Ευτύχη Μπιτσάκη"

Transcript

1 Αντίδωρο στον σ. Ευτύχη Μπιτσάκη Θεόδωρος Μαριόλης Μηχανολόγος Μηχανικός ΕΜΠ Καθηγητής Πολιτικής Οικονομίας, Πάντειο Πανεπιστήμιο Ινστιτούτο Κοινωνικών Ερευνών Δημήτρης Μπάτσης 1. Εισαγωγή Άλλη μία φορά, πριν από εκλογική διαδικασία, και συστηματικότατα, ιδίως από τότε που ξέσπασε η λεγόμενη «ελληνική κρίση»,[1] ο σ. Ευτύχης Μπιτσάκης πραγματοποιεί συμβουλευτικές δηλώσεις προς το σύνολο της «ελληνικής Αριστεράς» (τελευταίο, χρονικά, δείγμα: Εφημερίδα Δρόμος της Αριστεράς, ). Δεν γνωρίζω εάν συνεδρίασαν τα κόμματα και οι οργανώσεις της «ελληνικής Αριστεράς», και αποφάσισαν να δώσουν στον Μπιτσάκη τη θέση του γενικού συμβούλου τους ή αυτή είναι μία θέση την οποία έδωσε ο Μπιτσάκης στον εαυτό του. Ωστόσο, η κατά σειρά δεύτερη περίπτωση δεν αποκλείεται a priori. Διότι ακόμα και για επιστημονικά ζητήματα ή/και αντίστοιχες ποσοτικές εκτιμήσεις, για τις οποίες δηλώνει, δημοσίως, ότι δεν έχει την προαπαιτούμενη γνώση (όπως, για παράδειγμα, η εκτίμηση του δημοσιονομικού πολλαπλασιαστή της ελληνικής οικονομίας και η επακόλουθη εκτίμηση της αθροιστικής ύφεσής της στο 29%, συνεπεία μηδενισμού του πρωτογενούς ελλείμματος εκτίμηση η οποία δημοσιοποιήθηκε εδώ και πάνω τρία χρόνια, και επαληθεύτηκε), ο Μπιτσάκης συνηθίζει, πάλι δημοσίως, να αποφαίνεται λακωνικά: «Δεν έχω πειστεί». Ομολογώ, επίσης, ότι ποτέ δεν κατάλαβα τη λέξη: «Αριστερά (Δεξιά)/Αριστερός (Δεξιός)», καίτοι καταλαβαίνω πολύ καλά τις λέξεις, για παράδειγμα, «κομμουνισμός/κομμουνιστής» ή «(νεο-) φιλελευθερισμός» και «λεττρισμός» ή, έστω, «σοσιαλδημοκρατία» και «αναρχισμός». Ό,τι και να ισχύει, για το πώς κατέλαβε ο Μπιτσάκης εκείνη τη θέση και ό,τι και να υπονοείται με τη λέξη «Αριστερά», διακρίνω αγνωμοσύνη: Πλην ενός τμήματος της «ελληνικής Αριστεράς», εκείνου στο οποίο ηγεμονεύει η ιδεολογία(;) του ευρωπαϊσμού, τα άλλα τμήματά της, στα οποία ταυτοχρόνως απευθύνεται ο Μπιτσάκης, και μάλλον κυριαρχεί η ιδεολογία του κομμουνισμού, δεν δείχνουν ενθουσιασμό για τις συμβουλές του. Ως εκ τούτου, αισθάνομαι την ανάγκη να προσφέρω μία, σύντομη συμβουλήαντίδωρο, αφού πρώτα, όμως, κάνω ένα σχεδόν εξίσου σύντομο, αλλά αντιπροσωπευτικό και σχολιασμένο, εράνισμα από αναφερόμενα στις φυσικομαθηματικές επιστήμες γραπτά του Μπιτσάκη.[2] 1

2 2. Εράνισμα Δείγμα 1: «Ο χώρος και ο χρόνος είναι συνεχείς ή κβαντωμένοι; [ ] Ο χώρος πρέπει να είναι συνεχής. Αλλιώτικα θα ήταν δύσκολο να κατανοήσουμε τις αλληλεπιδράσεις, τη μετατόπιση, ακόμα και τη διαφόριση και την ολοκλήρωση στα μαθηματικά.» (Μπιτσάκης, Ε., 1981, Διαλεκτική και Νεώτερη Φυσική, 3 η έκδοση, Αθήνα, Ι. Ζαχαρόπουλος, σελ. 206 και 208, αντιστοίχως). Σχολιασμός: Το ζήτημα της κατανόησης της (μαθηματικής) διαφόρισης και της ολοκλήρωσης είναι απολύτως άσχετο με το ζήτημα του εάν ο (φυσικός) χώρος είναι συνεχής ή κβαντωμένος (χάριν συντομίας, αντιπαρέρχομαι «τις αλληλεπιδράσεις και τη μετατόπιση», κατά Μπιτσάκη, καθώς και το τελικό συμπέρασμά του ότι «δε βλέπει κανείς πώς θα μπορούσε υπάρξει [μία τέτοια] απάντηση», ό.π., σελ. 209, στο ερώτημα που τέθηκε στην αρχή). Θα μπορούσαμε, εδώ, να ανακαλέσουμε ένα πολύ γνωστό, στους φυσικομαθηματικούς, ιστορικό και, ταυτοχρόνως, διδακτικό παράδειγμα. Το statement, λοιπόν, του Μπιτσάκη είναι ισοδύναμo, από λογική άποψη, με τo statement: «Σε τι χρησιμεύει ο λεγόμενος Υγρός Αέρας; Τον χρησιμοποιούμε για να γρασάρουμε την τετραγωνική ρίζα του μείον 1.» (βλέπε Heyl, P. R., 1938, The skeptical physicist, Scientific Monthly, March, pp ). Σε χεγκελιανούς όρους, για αυτές/ούς που προτιμούν την φιλοσοφική ορολογία, θα λέγαμε ότι, στo statement Μπιτσάκη, ενέχεται μία «απέραντη (ή, αλλιώς, άπειρη) κρίση» (unendliche Urteil), όπως, για παράδειγμα, στις προτάσεις: «Ένα λιοντάρι δεν είναι τραπέζι» (Επιστήμη της Λογικής) ή «Ο λογάριθμος είναι κίτρινος» (βλέπε Μαρξ, Κ., 1978, Το Κεφάλαιο, τ. 3, Αθήνα, Σύγχρονη Εποχή, σελ. 1005). Δείγμα 2: «Η αλήθεια της κβαντικής μηχανικής δεν καταργεί την αλήθεια της κλασικής μηχανικής, της οποίας έδειξε τα όρια: αν πάρουμε το h = 0, η κβαντική μηχανική μετατρέπεται σε κλασική. Έτσι, κατανοείται ο βαθύτερος λόγος για τον οποίο η κλασική μηχανική είναι πάντοτε έγκυρη για τη μακροσκοπική πρακτική, όπου η σταθερά του Πλανκ είναι αμελητέα. [ ] Η νεώτερη φυσική, γενικότερα, αντιπροσωπεύει μία αλήθεια βαθύτερη από την κλασική φυσική, αλλά που συνδέεται μαζί της. Αν πάρουμε το h = 0, περνούμε από την κβαντική, στη κλασική μηχανική.» (Μπιτσάκης, Ε., 1981, ό.π., σελ. 323 και 324, αντιστοίχως). Σχολιασμός: Προαπαιτούνται δύο διευκρινήσεις (αντιπαρέρχομαι, χάριν συντομίας, το ζήτημα των κατά Μπιτσάκη δύο αληθειών, αυτό καθαυτό, αν και μου θυμίζει ένα τραγούδι του Άκη Πάνου): (i). Με το σύμβολο h o Μπιτσάκης παριστά τη «Σταθερά του Plank» (ό.π., σελ. 323, παράγραφος 1, όπου ορίζει αυτό το σύμβολο). Η εν λόγω σταθερά, (όπως 2

3 δύναται να προσδιοριστεί βάσει, για παράδειγμα, μίας πειραματικής διάταξης αναπαραγωγής του φωτοηλεκτρικού φαινομένου) ισούται, κατά προσέγγιση τρίτου δεκαδικού, με επί 10 εις την μείον 34 Joule επί sec. Άρα, έχει μία (προσδι-)ορισμένη, μη μηδενική τιμή. Και αυτή η τιμή είναι αυτή που είναι, πάντοτε: ούτε «αμελητέα» ούτε μη αμελητέα, ούτε για τη «μακροσκοπική πρακτική» ούτε για τη μη μακροσκοπική πρακτική, ούτε για την «πρακτική» ούτε για τη μη πρακτική. (ii). Το σύνολο statement του Μπιτσάκη αναφέρεται στην ή μάλλον υπονοεί την περίφημη «Αρχή της Αντιστοιχίας» («Principle of Correspondence») του Niels Bohr (διατυπώθηκε το 1920, εάν όχι το 1913), η οποία προσδιορίζει πότε (υπό ποια συνθήκη(-ες), δηλαδή) η περιγραφή ενός φυσικού φαινομένου βάσει των αρχών-νόμων-σχέσεων της Κβαντικής Φυσικής καταλήγει στα ίδια, κατά προσέγγιση, ποσοτικά αποτελέσματα με την περιγραφή του ιδίου φαινομένου βάσει των συγκριτικά απλούστερων αρχών-νόμων-σχέσεων της Νευτώνειας/Κλασικής Φυσικής. Όταν, λοιπόν, πληρούται αυτή η συνθήκη, δύναται να αρκεστεί κανείς στην περιγραφή βάσει της Κλασικής Φυσικής: Καταβάλλει, από τη μία πλευρά, το κόστος ενός, ορισμένου, ποσοτικού σφάλματος, αλλά απαλλάσσεται, από την άλλη πλευρά, από το υψηλότερο κόστος χρήσης των περιπλοκότερων σχέσεων της Κβαντικής Φυσικής. Πώς διατυπώνεται, όμως, η «Αρχή της Αντιστοιχίας» του Bohr; Ως εξής: Όσο μικρότερος είναι ο λόγος της «Σταθεράς του Plank» προς τη «Δράση» (Ενέργεια επί Χρόνος) του υπό περιγραφή φαινομένου-συστήματος (ή, ισοδυνάμως, όσο μεγαλύτερος είναι ο «κβαντικός αριθμός» του συστήματος), τόσο περισσότερο οι νόμοι-σχέσεις της Κβαντικής Φυσικής τείνουν, από ποσοτική άποψη, προς τους νόμους-σχέσεις της Κλασικής Φυσικής. Η λογική της εν λόγω «Αρχής» εφαρμόζεται και, ας σημειωθεί, στην περίπτωση της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας (η οποία αναφέρεται, ως γνωστόν, σε μη επιταχυνόμενα συστήματα): Δεν χρειάζεται να καταφύγουμε σε αυτήν (μας αρκεί η Κλασική Φυσική) όταν ζητούμενο είναι η περιγραφή φαινομένων, τα οποία ενέχουν ταχύτητες σημαντικά χαμηλότερες ως προς την ταχύτητα του φωτός στο κενό (χάριν συντομίας, αντιπαρέρχομαι αυτά που γράφει, σχετικά, ο Μπιτσάκης, ό.π., σελ. 324). Δύναται, τέλος, να προστεθεί ότι ο «κβαντικός αριθμός», στην πρώτη περιοχή, και η σχετική ως προς το φως ταχύτητα, στη δεύτερη περιοχή, έχουν αξιοσημείωτα ανάλογο ρόλο με αυτόν του «τυποποιημένου ή σχετικού ποσοστού κέρδους» στην οικονομική επιστήμη. Το ισχύον «σχετικό ποσοστό κέρδους» ενός κεφαλαιοκρατικού συστήματος «απλής παραγωγής» (single production) ορίζεται ως το ισχύον ενιαίο ποσοστό κέρδους του προς τη μέγιστη δυνατή τιμή του ενιαίου ποσοστού κέρδους του, όπου η τελευταία τιμή 3

4 καθορίζεται μόνον από την Perron-Frobenius ιδιοτιμή της μήτρας των τεχνικών συντελεστών του συστήματος. Όσο, λοιπόν, το ισχύον «σχετικό ποσοστό κέρδους» είναι μικρότερο, τόσο περισσότερο η περιγραφή του κεφαλαιοκρατικού συστήματος σε όρους της Κλασικής Πολιτικής Οικονομίας (δηλαδή, σε όρους εργασιακών αξιών των παραγομένων εμπορευμάτων) καθίσταται ποσοτικά ακριβής (βλέπε Μαριόλης, Θ., 2010, Δοκίμια στη Λογική Ιστορία της Πολιτικής Οικονομίας, Αθήνα, Matura, Δοκίμιο 9). Και όταν το σχετικό ποσοστό κέρδους ισούται με το μηδέν, τότε η Κλασική περιγραφή καθίσταται απολύτως ακριβής. Το μικρό πρόβλημα που απομένει είναι ότι, σε αυτήν την περίπτωση, δεν υπάρχει καπιταλισμός! Δείγμα 3: «Τέλος, ο Ε. Ν. Λόρεντζ (Lorenz) απέδειξε, το 1963, ότι ακόμα και ένα απλό σύνολο τριών συνεζευγμένων μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς χαοτικά φαινόμενα.» (Μπιτσάκης, Ε., 1999, Χάος, καταστροφές και fractals: προς μία διεύρυνση της αιτιοκρατικής σχέσης, Ουτοπία, Τεύχος 33, σελ. 63. Το τεύχος περιέχει Αφιέρωμα στις Θεωρίες του Χάους). Σχολιασμός: Ο Μπιτσάκης αναφέρεται στο ή μάλλον υπονοεί το περιβόητο, αλλά σήμερα τετριμμένο (μεταξύ ειδημόνων), μετεωρολογικό υπόδειγμα του Edward N. Lorenz, το οποίο δεν συνιστά, όμως, σύστημα τριών μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Επιπλέον, αλλά ακόμα πιο σημαντικό, ο Μπιτσάκης έχει έρθει αντιμέτωπος με το κρίσιμο ζήτημα: Ποιες είναι οι ελάχιστες συνθήκες εμφάνισης «χαοτικών λύσεων» (ή «φαινομένων», κατά Μπιτσάκη), όταν (i) οι ανεξάρτητες μεταβλητές του συστήματος είναι είτε συνεχείς είτε διακριτές, και (ii) ο χώρος κατάστασης του συστήματος είναι είτε πεπερασμένης είτε άπειρης διάστασης; Παρατήρηση 1: Το άρθρο του E. N. Lorenz, με τίτλο: Deterministic nonperiodic flow, Journal of the Atmospheric Sciences, 20, pp , όπου πρωτοπαρουσιάστηκε και μελετήθηκε το εν λόγω υπόδειγμα, είναι διαθέσιμο στη διεύθυνση: Βλέπε τις εξισώσεις (25) έως και (27), στη σελίδα 135 αυτού του άρθρου. Είναι σαφές ότι δεν πρόκειται για «τρεις μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις». Παρατήρηση 2: Ο όρος: «απλό σύνολο [ ] διαφορικών εξισώσεων», τον οποίο χρησιμοποιεί ο Μπιτσάκης, δεν έχει ούτε περιεχόμενο ούτε νόημα (δεν είναι επιστημονικός όρος). Μήπως θα ήθελε να γράψει: «σύστημα συνήθων (ordinary) [ ] διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως»; Παρατήρηση 3: Για μία περίπου σύγχρονη, με το γραπτό του Μπιτσάκη, απάντηση στο ζήτημα που άφησα ανοικτό (για τον μη ειδικό), βλέπε το σε 4

5 δύο συνέχειες άρθρο των Z. Fu and J. Heidel στο περιοδικό Nonlinearity (vol. 10 (1997) και vol. 12 (1999)). Στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν, βεβαίως, και πολύ πιο χρονικά απομακρυσμένες, αρκετά ικανοποιητικές, απαντήσεις (όσον αφορά στα συστήματα συνεχών μεταβλητών και χώρου πεπερασμένης διάστασης, βασίζονταν στο περίφημο Θεώρημα Poincaré- Bendixson). Δείγμα 4: «Λόγω μικρών διακυμάνσεων στις αρχικές συνθήκες, ένα σύστημα μπορεί να παρουσιάσει χαοτική συμπεριφορά.» (Μπιτσάκης, Ε., 1999, ό.π., σελ. 64). Σχολιασμός: Ένα σύστημα καλείται «χαοτικό» όταν (μεταξύ άλλων) οι λύσεις του παρουσιάζουν ισχυρή εξάρτηση-ευαισθησία από τις-στις αρχικές συνθήκες του. Ας δώσουμε λίγα, μόνον, στοιχεία για ένα τετριμμένο (μεταξύ ειδημόνων) παράδειγμα, το οποίο είναι τόσο απλό όσο και ενδιαφέρον. Έστω σύστημα περιγραφόμενο από την ακόλουθη εξίσωση διαφορών («Logistic Map»): Χτ + 1 = Α Χτ (1 Χτ), τ = 0, 1, 2, όπου Α είναι μία θετική πραγματική παράμετρος, η οποία λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 4. Αυτό το σύστημα συμπεριφέρεται «χαοτικά», όπως αποδεικνύεται στη βιβλιογραφία, για τιμές του Α μεγαλύτερες του (κατά προσέγγιση), αν και ακόμα και σε αυτό το πεδίο τιμών υπάρχουν διακριτά υποσύνολα τιμών του Α, μεταξύ και , για τις οποίες το σύστημα εμφανίζει ευσταθείς λύσεις (ή, αλλιώς, ευσταθείς κύκλους) διαφόρων περιττών περιόδων, ήτοι 7, 5 και 3 («παράθυρα ευστάθειας»). Η τιμή, λοιπόν, της παραμέτρου Α καθορίζει εάν το σύστημα συμπεριφέρεται «χαοτικά». Όχι οι αρχικές συνθήκες (ή «οι διακυμάνσεις αυτών», κατά Μπιτσάκη). Έτσι, για παράδειγμα, η διαχρονική εξέλιξη του συστήματος για Α = 3.94 και Χ0 = 0.99 είναι εντυπωσιακά διαφορετική από την διαχρονική εξέλιξή του για Α = 3.94 (ίδια, με προηγουμένως, τιμή της παραμέτρου) και Χ0 = («ελάχιστα» διαφορετικά αρχική συνθήκη), ενώ και οι δύο εξελίξεις χαρακτηρίζονται «χαοτικές». Τα δύο πρώτα από τα γραφήματα του Σχήματος 1 αντιστοιχούν, κατά σειρά, στις δύο προαναφερθείσες περιπτώσεις, και δείχνουν την εξέλιξη του συστήματος από τ = 0 έως και τ = 200 (Παρατήρησε, ιδίως, την οιονεί-ακινησία, περί την (μέση) τιμή Χ = 0.746, την οποία εμφανίζει η πρώτη περίπτωση στις χρονικές περιόδους τ = και τ = Στα γραφήματα διακρίνονται ως σχεδόν οριζόντιες γραμμές). Αντιθέτως, τα επόμενα δύο γραφήματα αντιστοιχούν στην τιμή Α = 3.55 και Χ0 = 0.99 ή Χ0 = 0.10 («πολύ» διαφορετικές αρχικές συνθήκες). Όπως διαπιστώνεται, το σύστημα συγκλίνει, αργά ή γρήγορα, σε έναν και τον αυτό κύκλο περιόδου 8, ανεξαρτήτως της τιμής του Χ0 (αυτός ο κύκλος υφίσταται για κάθε τιμή του Α 5

6 μεταξύ και 3.564, σε προσέγγιση τρίτου δεκαδικού, και καλείται «ολκός του συστήματος»). Αυτή η συμπεριφορά δεν μπορεί να χαρακτηριστεί, και όντως δεν χαρακτηρίζεται στη βιβλιογραφία, «χαοτική» Α = 3.94, Χ0 = Α = 3.94, Χ0 =

7 Α = 3.55, Χ0 = Α = 3.55, Χ0 = 0.10 Σχήμα 1. Η εξέλιξη του συστήματος για δύο τιμές της παραμέτρου του και διαφορετικές αρχικές συνθήκες Παρατήρηση 1: Επομένως, στην περίπτωση των διακριτών μεταβλητών, αρκεί μία, και μόνον, μη γραμμική εξίσωση (διαφοράς) πρώτης τάξεως για την ύπαρξη «χαοτικών λύσεων». Παρατήρηση 2: Για μία μη τεχνικά περίπλοκη, αλλά λαμπρή, εισαγωγή στο ζήτημα της «χαοτικής δυναμικής», βλέπε May, R. M. (1976) Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature, 261, pp , άρθρο διαθέσιμο στη διεύθυνση: 7

8 Παρατήρηση 3: Τις τελευταίες τέσσερις δεκαετίες η «χαοτική δυναμική» εφαρμόζεται (και) στη μελέτη των κεφαλαιοκρατικών διακυμάνσεων-κρίσεων, και μάλλον αποτελεί το πιο προχωρημένο, έως σήμερα, πεδίο τεχνικής πραγμάτευσης αυτών των φαινομένων. Όσοι δεν έχουν πειστεί για το ότι η «ελληνική κρίση» δεν είναι «κρίση», δηλαδή ότι δεν πρόκειται για «κυκλική κεφαλαιοκρατική κρίση», θα μπορούσαν να ανατρέξουν σε αναλυτικές διερευνήσεις σχετικών οικονομικών υποδειγμάτων (και) «χαοτικής συμπεριφοράς».[3] 3. Αντίδωρο Οι déclarations πολύ σπάνια προσφέρουν κάτι. Και όταν ισχύσει η εξαίρεση, δεν διαρκεί πολύ. Σημειώσεις [1]. Πρόκειται, απλώς, για διαδικασία επαναπροσαρμογής της παραγωγικοτεχνικά υστερούσας ελληνικής οικονομίας στις ορίζουσες της Ευρωζώνης, δηλαδή μίας κεφαλαιοκρατικής, ανισόμετρα ανεπτυγμένης, περιοχής ενιαίου νομίσματος. [2]. Ένα από τα διαρκώς επανερχόμενα συνθήματα του Μπιτσάκη, σε άλλου είδους γραπτά και ομιλίες του (μετά, ιδίως, το ξέσπασμα της «ελληνικής κρίσης»), είναι αυτό περί: «Ενωμένων Σοσιαλιστικών Πολιτειών/Δημοκρατιών της Ευρώπης», το οποίο διανθίζεται, μάλιστα, με διάφορες ετερογενείς ως προς αυτό αλλά επίσης διαρκώς επανερχόμενες αναφορές στον Β. Ι. Λένιν. Ο «νόμος της ανισόμετρης οικονομικής και πολιτικής ανάπτυξης» των επιμέρους εθνικών χωρών στην εποχή του μονοπωλιακού καπιταλισμού κατέχει κεντρική θέση στις από το 1915 και μετά αναλύσεις και πολιτικές παρεμβάσεις του Λένιν. Κατά την μαρξιστική-λενινιστική βιβλιογραφία, αυτός ο νόμος συνεπάγεται την ακύρωση της προγενέστερης, ισχύουσας για τον προ-μονοπωλιακό καπιταλισμό, μαρξιστικής θεώρησης περί αδυναμίας επικράτησης του σοσιαλισμού σε μία, μόνο, χώρα (ή, έστω, σε πολύ λίγες). Συγκεκριμένα, επιβάλλει αυτήν τη μορφή επικράτησης και καθιστά αδύνατη την ταυτόχρονη, διεθνικώς εκτεταμένη επικράτηση. Υποστηρίζεται, επίσης, ότι, καίτοι δεν είχε εξαχθεί ρητώς, η διατύπωση του νόμου ανιχνεύεται, εν σπέρματι ή δυνάμει, στην ανάλυση του Λένιν (1905) για την ρωσική δημοκρατική επανάσταση ενάντια στον τσαρισμό, και ότι, σε κάθε περίπτωση, η ρητή διατύπωσή του στα μεταγενέστερα, έπειτα από μία δεκαετία, κείμενα του Λένιν (1915, 1916) σηματοδοτεί την περαιτέρω ανάπτυξη της λενινιστικής θεωρίας περί σοσιαλιστικής επανάστασης στην εποχή του ιμπεριαλισμού. Βλέπε: Λένιν, Β. Ι. (1905) Δύο Τακτικές της Σοσιαλδημοκρατίας στη Δημοκρατική Επανάσταση, στο: Β. Ι. Λένιν (1986) Άπαντα, τ. 11, Αθήνα, Σύγχρονη Εποχή. Λένιν, Β. Ι. (1915) Για το σύνθημα των Ενωμένων Πολιτειών της Ευρώπης, στο: Β. Ι. Λένιν (1986) Άπαντα, τ. 26, Αθήνα, Σύγχρονη Εποχή. 8

9 Λένιν, Β. Ι. (1916) Το στρατιωτικό πρόγραμμα της προλεταριακής επανάστασης, στο: Β. Ι. Λένιν (1986) Άπαντα, τ. 30, Αθήνα, Σύγχρονη Εποχή. [3]. Για ελληνόγλωσσες, βλέπε: Μαριόλης, Θ. (2006) Εισαγωγή στη Θεωρία των Ενδογενών Οικονομικών Διακυμάνσεων. Γραμμικοί και Μη Γραμμικοί Οικονομικοί Ταλαντωτές, Αθήνα, Τυπωθήτω-Γιώργος Δαρδανός. Ροδουσάκης, Ν. (2012) Ενδογενείς Οικονομικές Διακυμάνσεις σε Μονοτομεακά και Πολυτομεακά Υποδείγματα τύπου Goodwin, Διδακτορική Διατριβή, Πάντειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Δημόσιας Διοίκησης, Τομέας Οικονομίας, Αθήνα, Οκτώβριος Ροδουσάκης, Ν. (2014) Χαοτική δυναμική και οικονομική πολιτική, στο: Πρακτικά του Συνεδρίου: Η Ευρωπαϊκή Ένωση Απέναντι στην Ελλάδα. Επιστημονικές και Πολιτικές Προβληματικές, σσ , Αθήνα Πάντειο Πανεπιστήμιο, Ιανουαρίου

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε

Διαβάστε περισσότερα

Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης

Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης Ηθικά Νικομάχεια, Βιβλίο Ε Δύο Προτάσεις του Αριστοτέλη Δύο Προβλήματα Πρόταση 1 «Αμοιβαιότητα/Ανταπόδοση θα υπάρξει [η ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Τιμές Παραγωγής και Εργασιακές Αξίες στο Απλό Διτομεακό Υπόδειγμα

Τιμές Παραγωγής και Εργασιακές Αξίες στο Απλό Διτομεακό Υπόδειγμα Τιμές Παραγωγής και Εργασιακές Αξίες στο Απλό Διτομεακό Υπόδειγμα Θεόδωρος Μαριόλης Τμήμα Δημόσιας Διοίκησης Πάντειο Πανεπιστήμιο Παράδοση: Ιστορία Οικονομικών Θεωριών, 3 ο Εξάμηνο. Υποθέσεις Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέσεις - τριμηνιαία επιθεώρηση Η θέση της «κυκλοφορίας» στην αναπαραγωγή του οικονομικού συστήματος... Γιώργος Σταμάτης

Θέσεις - τριμηνιαία επιθεώρηση Η θέση της «κυκλοφορίας» στην αναπαραγωγή του οικονομικού συστήματος... Γιώργος Σταμάτης Η θέση της "κυκλοφορίας" στην αναπαραγωγή του οικονομικού συστήματος και στην παραγωγή υπεραξίας και κέρδουςτου Γιώργου Σταμάτη Είναι ευρέως δεδομένη η άποψη, ότι, κατά τον Μαρξ, ο τομέας της «κυκλοφορίας»,

Διαβάστε περισσότερα

Η Δυναμική του Ελληνικού Δημοσίου Χρέους και η Ιδεολογία της

Η Δυναμική του Ελληνικού Δημοσίου Χρέους και η Ιδεολογία της Η Δυναμική του Ελληνικού Δημοσίου Χρέους και η Ιδεολογία της Θεόδωρος Μαριόλης και Κώστας Παπουλής * Στο παρόν άρθρο διερευνούμε τη μακροχρόνια μεταβολή ή, αλλιώς, «δυναμική» του ελληνικού δημοσίου χρέους

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία

Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Ποσοτική Εκτίμηση του Μέγιστου Εφικτού Λόγου Μη Εργαζομένων προς Εργαζόμενους στην Ελληνική Οικονομία Θεόδωρος Μαριόλης * 1. Εισαγωγή Ο λεγόμενος Λόγος Οικονομικής Εξάρτησης (Economic Dependency Ratio),

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Πολιτικές Αντιµετώπισης της Ανεργίας στην Ελλάδα

Πολιτικές Αντιµετώπισης της Ανεργίας στην Ελλάδα Πολιτικές Αντιµετώπισης της Ανεργίας στην Ελλάδα ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΜΑΡΙΟΛΗΣ & ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΩΚΛΗΣ Σειρά Δηµοσιεύσεων Οικονοµικού Τµήµατος Αρ. 31 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 Πολιτικές Αντιμετώπισης της Ανεργίας στην Ελλάδα ΤΜΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Ενότητα 11: Δημοσιονομική και Νομισματική Πολιτική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Ενότητα 11: Δημοσιονομική και Νομισματική Πολιτική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ενότητα 11: Δημοσιονομική και Νομισματική Πολιτική Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέσεις - τριμηνιαία επιθεώρηση Οικιακή εργασία και πραγματικό ωρομίσθιο των εργαζομένων Γιώργος Σταμάτης

Θέσεις - τριμηνιαία επιθεώρηση Οικιακή εργασία και πραγματικό ωρομίσθιο των εργαζομένων Γιώργος Σταμάτης του Γιώργου Σταμάτη Θα ασχοληθούμε στα ακόλουθα με τη σχέση μεταξύ οικιακής εργασίας και πραγματικού ωρομισθίου των μισθωτών εργαζομένων και θα δείξουμε ότι, όσο αυξάνεται το ποσοστό της οικιακής εργασίας,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΡΙΣΗ ΞΕΠΕΡΑΣΤΗΚΕ ΚΑΘΩΣ ΛΕΝΕ;

Η ΚΡΙΣΗ ΞΕΠΕΡΑΣΤΗΚΕ ΚΑΘΩΣ ΛΕΝΕ; Η ΚΡΙΣΗ ΞΕΠΕΡΑΣΤΗΚΕ ΚΑΘΩΣ ΛΕΝΕ; Καθώς έχουν περάσει, από το 2008 οπότε και ξέσπασε η μεγαλύτερη καπιταλιστική κρίση μετά την κρίση του 1929, οι πάντες σχεδόν συμπεριφέρονται σαν να έχει ξεπεραστεί η κρίση

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας)

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.1-1 3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) 3.1.1 Γενική διατύπωση 3.1. Εύρος ισχύος της αρχής της υπέρθεσης 3.1.3 Μαθηματικές συνέπειες της αρχής της υπέρθεσης

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Ο ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ο ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Οι κλασικές προσεγγίσεις αντιμετωπίζουν τη διαδικασία της επιλογής του τόπου εγκατάστασης των επιχειρήσεων ως αποτέλεσμα επίδρασης ορισμένων μεμονωμένων παραγόντων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Διατύπωσε την αρχή της διατήρησης της ορμής σε ένα (κλειστό) σύστημα N-σωμάτων. Στη συνέχεια διατύπωσε τους νόμους των κρούσεων μεταξύ σωμάτων. Υπολόγισε

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θέσεις - τριμηνιαία επιθεώρηση Mea culpa (?) Γιώργος Η. Οικονομάκης

Θέσεις - τριμηνιαία επιθεώρηση Mea culpa (?) Γιώργος Η. Οικονομάκης MEA CULPA (?) του Γιώργου Η. Οικονομάκη Κύριε Διευθυντή. Μέχρι τη στιγμή που γράφω το σημείωμα τούτο γνωρίζω ότι για μια, τουλάχιστο, διατύπωση - θέση του τελευταίου άρθρου μου στο περιοδικό έγινα αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου ΣΥΣΗΜΑΑ ΙΑΚΡΙΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως σαν σύστηµα διακριτού χρόνου ορίζεται ένας οποιοσδήποτε µετασχηµατισµός ή τελεστής (operator) ο οποίος δρα σε µία ακολουθία x [ που συνήθως θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κλειδί στην παραπέρα διερεύνηση της δομής του ατόμου είναι η ερμηνεία της φύσης του φωτός και ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Ενδιάμεση εξέταση 1 Φεβρουάριος 2014 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05

1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05 1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05 Μέτρηση Ορισμός: η συστηματική διαδικασία με την οποία καταχωρίζουμε αριθμητικές

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θέσεις - τριμηνιαία επιθεώρηση Αξίες και τιμές παραγωγής. Η σχέση μεταξύ του 1ου και του 3ου τόμου του «Κεφαλαίου» Γιώργος Σταμάτης

Θέσεις - τριμηνιαία επιθεώρηση Αξίες και τιμές παραγωγής. Η σχέση μεταξύ του 1ου και του 3ου τόμου του «Κεφαλαίου» Γιώργος Σταμάτης Άξιες και τιμές παραγωγής: Η σχέση μεταξύ του 1ου και του 3ου τόμου του «Κεφαλαίου» του Γιώργου Σταμάτη 1. Εισαγωγή Σκοπός μας δεν είναι να δείξουμε απλώς, ότι μεταξύ του 1ου και του 3ου τόμου του «Κεφαλαίου»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα: «Βιβλία Γλώσσας Α, Β, Γ ηµοτικού», «Μαθηµατικά Α, Β ηµοτικού»

Θέµατα: «Βιβλία Γλώσσας Α, Β, Γ ηµοτικού», «Μαθηµατικά Α, Β ηµοτικού» 1 ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Για την ενηµέρωση των υποψηφίων συγγραφέων εγχειριδίων Γλώσσας και Μαθηµατικών, κοινοποιούµε απάντηση σε σχετικό ερωτηµατολόγιο που µας είχαν υποβάλει

Διαβάστε περισσότερα

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α.

Θέμα 1 ο. Λύση θέματος 1 ο Α. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θέματα δόθηκαν στις εξετάσεις Ιουνίου 013 στο 17 ο ΓΕΛ από τους καθηγητές Ν.Κ, Κ.Μ, Δ.Α. Παρακάτω παρατίθενται τα θέματα και οι λύσεις ανεπτυγμένες σε κάποια σημεία, με σχόλια καθώς

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρώντας κβαντικά φαινόμενα δια γυμνού οφθαλμού

Παρατηρώντας κβαντικά φαινόμενα δια γυμνού οφθαλμού Παρατηρώντας κβαντικά φαινόμενα δια γυμνού οφθαλμού του Δρ. Γεωργίου Καβουλάκη Όπως αναφέρεται στην ειδησεογραφία του παρόντος τεύχους, το ΤΕΙ Κρήτης μετέχει σε ένα δίκτυο έρευνας του Ευρωπαϊκού Ιδρύματος

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Ενότητα 3: Κλασικό Στατικό Υπόδειγμα: Θεωρητικό Πλαίσιο. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων

ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ. Ενότητα 3: Κλασικό Στατικό Υπόδειγμα: Θεωρητικό Πλαίσιο. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ενότητα 3: Κλασικό Στατικό Υπόδειγμα: Θεωρητικό Πλαίσιο Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται Απόδειξη Θεωρήµατος Poincare-Bendixson Το δυναµικό σύστηµα είναι στο επίπεδο, προσδιορίζεται από το διάνυσµατικό πεδίο ταχυτήτων v(x), και οι τροχιές ικανοποιούν την δυνα- µική: ẋ = v(x). Η τροχιά του

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Το αδιέξοδο στην διδασκαλία της επιταχυνόμενης κίνησης φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε Ο.Η.Π.

Το αδιέξοδο στην διδασκαλία της επιταχυνόμενης κίνησης φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε Ο.Η.Π. Το αδιέξοδο στην διδασκαλία της επιταχυνόμενης κίνησης φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε Ο.Η.Π. Προβληματισμός για το αδιέξοδο ή ένας αδιέξοδος προβληματισμός ; Όταν διδάσκω στην Β Λυκείου την επιταχυνόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x).

Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Κεφάλαιο 2, άσκηση 1: Δίνονται οι συναρτήσεις: α) 2, β), Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Λύση : Για να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ

Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ Γενικές αρχές ακτινοφυσικής Π. ΓΚΡΙΤΖΑΛΗΣ Μέρος πρώτο ΣΚΟΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να εξηγηθούν βασικές έννοιες της φυσικής, που θα βοηθήσουν τον φοιτητή να μάθει: Τι είναι οι ακτίνες Χ Πως παράγονται Ποιες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο και Δευτεροβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας, Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα