ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Συνέδριο για την επιστημονική έρευνα στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5-8 Ιουλίου 2007, Πλωμάρι Λέσβου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Συνέδριο για την επιστημονική έρευνα στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5-8 Ιουλίου 2007, Πλωμάρι Λέσβου"

Transcript

1 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Συνέδριο για την επιστημονική έρευνα στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5-8 Ιουλίου 007, Πλωμάρι Λέσβου Νέες μέθοδοι για την εύρεση θεμελιωδών χαρακτηριστικών της αλληλεπίδρασης ατόμων και μορίων με ηλεκτρομαγνητικά πεδία Κ. Δημητρίου 1,, Β. Κωνσταντούδης, Θ. Μερκούρης, Γ. Κομνηνός, Ι. Φαμέλης 4, Ζ. Αναστάση 5, Ν. Πιάγκος, Χ. Τσίτουρας 6, Θ. Σίμος 5, Γ. Παπαγεωργίου 1 και Κλ. Α. Νικολαΐδης 1,,* 1 Τμήμα Φυσικής, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Τμήμα Φυσικής, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα Ινστιτούτο Θεωρητικής και Φυσικής Χημείας, Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών, Αθήνα Ινστιτούτο Μικροηλεκτρονικής, ΕΚΕΦΕ Δημόκριτος, Αθήνα 4 Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών, ΤΕΙ Αθηνών, Αθήνα 5 Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών, Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας, Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου, Τρίπολη 6 Γενικό Τμήμα Θετικών Επιστημών, ΤΕΙ Χαλκίδας, Ψαχνά * Τηλέφωνο: , Φαξ: , ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στόχος του προγράμματος είναι η λύση μετωπικών προβλημάτων Φυσικής και Υπολογιστικών Μαθηματικών που προκύπτουν όταν μελετάται θεωρητικά η λύση εξισώσεων τύπου Schrödinger. Στη περίπτωση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrödinger, οι εφαρμογές περιλαμβάνουν την ποσοτική κατανόηση των αποτελεσμάτων της αλληλεπίδρασης ισχυρών παλμών λέιζερ με άτομα και μόρια. Εδόθη έμφαση σε προβλήματα για πολλά σώματα και για πολυκαναλικά συνεχή φάσματα. Επί πλέον, για την μελέτη της πολυφωτονικής διάσπασης διατομικών μορίων, εφαρμόσαμε προηγμένες μεθόδους της Κλασσικής Μηχανικής όπου προκύπτουν πολύπλοκα θέματα μη γραμμικής και χαοτικής μηχανικής, που πλέον διαφαίνεται ότι σχετίζονται με ορισμένα κβαντικά χαρακτηριστικά. Όσον αφορά την μελέτη θεμάτων μαθηματικών και αριθμητικής ανάλυσης, η προσπάθεια εστιάσθηκε στην ανάπτυξη μεθόδων μεγάλης ακρίβειας στα πλαίσια των μεθοδολογιών μονοβηματικών τύπου Runge-Kutta-Nyström και διβηματικών τύπου υβριδικών- Numerov. Λέξεις Κλειδιά: Eξίσωση Schrödinger, κβαντική μηχανική, κλασσική μηχανική, πολυφωτονικός ιονισμός/διάσπαση. ABSTRACT: The aim of the present project is to solve problems encountered in Physics and Computational Mathematics, which arise when we solve Schrödinger type equations. In the case of the time-dependent Schrödinger equation, we are interested in the quantitative understanding of phenomena resulting from the interaction of strong laser pulses with atoms and molecules. We focused on problems involving systems with many electrons and many open channels. In addition, for the study of molecular dissociation, we applied recent methods of classical nonlinear and chaotic dynamics. The obtained results showed that some quantum features are also predicted by Classical Mechanics. Regarding the mathematical and numerical analysis of the Schrödinger equation, we developed methods of Runge-Kutta-Nyström and Numerov type that aim at high accuracy. Keywords: Schrödinger equation, Quantum Mechanics, Classical Mechanics, multiphoton ionization/dissociation. I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια, η κατανόηση της αλληλεπίδρασης ισχυρών πεδίων λέιζερ με άτομα και μόρια αποτελεί πεδίο έρευνας πολύ έντονου επιστημονικού ενδιαφέροντος, ιδιαίτερα με την κατασκευή εξαιρετικά βραχύχρονων και ισχυρών παλμών λέιζερ [1]. Επιδίωξη είναι όχι μόνον να γίνουν κατανοητά ποσοτικά τα φαινόμενα που εμφανίζονται αλλά και να ελέγχεται η συμπεριφορά των ατόμων και μορίων συναρτήσει των παραμέτρων των παλμών λέιζερ, με προφανείς τεχνολογικές προεκτάσεις. Η προϋπόθεση για την λύση των σχετικών προβλημάτων είναι η θεωρία και η υπολογιστική μεθοδολογία να είναι μη διαταρακτική και να λαμβάνονται υπ όψιν τα χαρακτηριστικά των παλμών αυτών. Για τον σκοπό αυτό εφαρμόσαμε προηγμένες μεθόδους της Κβαντικής (QM και της Κλασσικής (CM μηχανικής, κι επί πλέον νέες υπολογιστικές μεθόδους για την λύση εξισώσεων που συνδέονται με τέτοια προβλήματα. Ως προς την QM, χρησιμοποιήσαμε δύο τρόπους για να υπολογισθούν και να εξηγηθούν η προβλεφθούν νέα φαινόμενα. Ο ένας απαιτεί την λύση της timedependent Schrödinger equation (TDSE Ψ( t i = ( H t o + H L ( t Ψ( t όπου Η ο η Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου ατόμου/μορίου και Η L (t η Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης του ατόμου/μορίου με έναν η περισσότερους παλμούς λείζερ. Η επίλυση της TDSE πραγματοποιήθηκε με βάση την State-Specific Expansion Approach (SSEA [], αναπτύσσοντας την κυματοσυνάρτηση του συστήματος Ψ(t στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του δέσμιου και του συνεχούς φάσματος του αδιατάρακτου ατόμου/μορίου (Η ο με συντελεστές εξαρτωμένων απo τον χρόνο. Η αριθμητική επίλυση της TDSE απαιτείται όταν οι ισχυροί παλμοί λέιζερ έιναι βραχύχρονοι. Ο άλλος τρόπος αφορά μακρύχρονους παλμούς λέιζερ και βασίζεται στην λύση της complex eigenvalue Schrödinger equation [], όπου τα προβλήματα μετατρέπονται σε μη Ερμιτιανά και οι (1

2 μιγαδικές λύσεις περιέχουν την πληροφορία για την ενέργεια και την δυναμική. Ως προς την CM, επιλύσαμε αριθμητικά τις εξισώσεις κίνησης του Χάμιλτον για την περίπτωση όπου ένα διατομικό μόριο αλληλεπιδρά μ έναν παλμό λέιζερ. Εφαρμόσαμε σύγχρονες μεθόδους από τον χώρο της μη γραμμικής-χαοτικής δυναμικής [4,5] για να εξηγήσουμε το φαινόμενο φωτοδιάσπασης διατομικού μορίου και πως αυτό εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του παλμού. Σε συνδυασμό με τους νέους κβαντικούς υπολογισμούς που πραγματοποιήσαμε, επιτύχαμε μία βαθύτερη κατανόηση όσον αφορά την θεωρητική πρόβλεψη δυνατότητας ελέγχου της φωτοδιάσπασης καθώς και την πολύπτυχη σχέση μεταξύ QM και CM σε πραγματικά συστήματα. Φαινόμενα που διερευνήσαμε με την βοήθεια των μεθόδων που αναπτύξαμε παρουσιάζονται στο δεύτερο μέρος του άρθρου και αφορούν: α τον συμφωνο ελεγχο (coherent control του πολυφωτονικού ιονισμού, β τον χρονοεξαρτώμενο σχηματισμό της κατατομής υψηλά διηγερμένων καταστάσεων από ολιγόχρονους παλμούς λέιζερ και γ την πολυφωτονική διάσπαση διατομικών μορίων. Το ενδιαφέρον δεδομένο είναι ότι, λόγω της δομής των σχετικών εξισώσεων και των μεγάλων υπολογιστικών απαιτήσεων, υπάρχουν ανοικτά προβλήματα υπολογιστικής-αριθμητικής φύσης και ότι τέτοια προβλήματα προκαλούν ενδιαφέρον σε μαθηματικούς εφαρμογών οι οποίοι μελετούν εξισώσεις τέτοιας ή παρόμοιας μορφής. Οι μέθοδοι που βελτιώθηκαν και εφαρμόσθηκαν παρουσιάζονται στο τρίτο μέρος του άρθρου και είναι μονοβηματικές τύπου Runge-Kutta-Nyström και διβηματικές τύπου υβριδικές- Numerov II. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Α. Σύμφωνος έλεγχος (coherent control του πολυφωτονικού ιονισμού Ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα του συμφώνου ελέγχου (coherent control του πολυφωτονικού ιονισμού του αρνητικού ιόντος του υδρογόνου (H - εντός πεδίου τριών μακρόχρονων παλμών λέιζερ. Αυτή η περίπτωση επιτρέπει την διατύπωση του προβλήματος σε μορφή που είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Οι σχετικές βασικές εξισώσεις που λύθηκαν σε μορφή ιδιοτιμών πινάκων, είναι εξισώσεις του Schrödinger με μιγαδικές ιδιοτιμές, ζ = ε iγ/, οι οποίες είναι προϊόντα μη Ερμιτιανών κατασκευών, καταλλήλων για την περιγραφή καταστάσεων συντονισμού στο συνεχές φάσμα που προκύπτουν από τη θεωρία των μιγαδικών συντεταγμένων, γνωστή ως MEMPT (Many-Electron Many-Photon Theory, []. Οι ιδιοτιμές είναι συναρτήσεις των εντάσεων και των συχνοτήτων της ακτινοβολίας. Το Γ αντιστοιχεί στον ρυθμό πολυφωτονικού ιονισμού του H - και το ε περιέχει την πληροφορία για την επαγόμενη πόλωσή του. Αποδείξαμε ότι ο πολυφωτονικός ρυθμός ιονισμού υπακούει σε απλούς κανόνες σαν συνάρτηση των φάσεων των τριών πεδίων των μακρόχρονων παλμών λέιζερ. Παραδείγματος χάριν, ο πολυφωτονικού ρυθμού ιονισμού (Γ κυριαρχείται από τρεις όρους: Γ( ω1 = ω, F1 ; ω = ω, F, φ; ω = 4ω, F, φ ~ D + Ecos(φ + F cos( φ φ Προς επιβεβαίωση τούτου, στο Σχήμα 1 παραθέτουμε τα αποτελέσματα της MEMPT όπου δείχνεται η εξάρτηση του πολυφωτονικού ρυθμού ιονισμού του H - από απλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις των φάσεων φ 1, φ, φ των τριών πεδίων λέιζερ (θεμελιώδης συχνότητα ω 1 = ω = 0.7 ev, ω = ω, ω = ω. Σχήμα 1 Πολυφωτονικός ρυθμός ιονισμού Γ (σε ατομικές μονάδες του Η - 1 S που αλληλεπιδρά με τρεις παλμούς λέιζερ εντάσεων I 1 =1.4x10 7 W/cm, I =.15x10 7 W/cm, I =5.6x10 7 W/cm (βλ. Κείμενο. Β. Χρονοεξαρτώμενος σχηματισμός της κατατομής (profile υψηλά διηγερμένων καταστάσεων από ολιγόχρονους παλμούς λέιζερ Σ αυτήν την ερευνητική δραστηριότητα δίνουμε ακριβή αποτελέσματα για την ενέργεια και τον χρονοεξαρτώμενο σχηματισμό της κατατομής (profile της διαφορικής πιθανότητας ιονισμού P(ε,t της βασικής κατάστασης του He 1s 1 S από την σύμφωνη διέγερση και διάσπαση της διπλά διηγερμένης κατάστασης He sp 1 P o που επάγεται από ένα ολιγόχρονο παλμό λέιζερ. Οι φυσικές διαδικασίες που εμπλέκονται στο πρόβλημα είναι: 1 παλμός λέιζερ + HeΨ (1 s S He (1 s g 1 0 ( ε p στην περιοχή της ο (s p P 1 0 αυτοϊονισμός + Ψο + + Ψ He (s p P He (1 s ( ε p Τα αποτελέσματά μας, είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν σε μελλοντικά πειράματα

3 φασματοσκοπίας σε πραγματικό χρόνο, που τα τελευταία χρόνια, με την δημιουργία παλμών λέιζερ διαρκείας μερικών εκατοντάδων attosecond βρίσκεται στο διεθνές επιστημονικό προσκήνιο [6]. Εφαρμόσαμε δύο γενικές μεθόδους. Η μία είναι αναλυτική, που χρησιμοποιεί την αλληλεπίδραση ηλεκτρονιακών διατάξεων στο συνεχές φάσμα, στο πλαίσιο της θεωρίας διαταραχών 1 ης τάξεως. Η άλλη είναι αριθμητική πέρα από την θεωρία διαταραχών, που χρησιμοποιεί την θεωρία μας της καθορισμένης κατάστασης για την λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης του Schrödinger []. Η πολυηλεκτρονιακή δομή και συσχέτιση λαμβάνονται υπ όψη δια της θεωρίας της καθορισμένης κατάστασης τόσο για την αρχική κατάσταση όσο και την κατάσταση συντονισμού και τις καταστάσεις του συνεχούς φάσματος. Τα αποτελέσματα των δύο μεθόδων είναι σε πολύ καλή συμφωνία, με μία μικρή ποσοτική διαφωνία για μεγάλες εντάσεις του πεδίου του laser. Οι αναλυτικοί τύποι (βλ. εξίσωση του άρθρου [6], για μικρές εντάσεις πεδίου, δείχνουν με σαφήνεια και απλότητα την εξάρτηση της κατατομής από τα χαρακτηριστικά του παλμού του λέιζερ. Στο παρακάτω τρισδιάστατο διάγραμμα δείχνεται η διαφορική πιθανότητα ιονισμού P(ε,t για την διέγερση της κατάστασης συντονισμού 1 o He sp P όπου ε είναι η ενέργεια πάνω από το κατώφλι ιονισμού, όπως υπολογίσθηκε από την αριθμητική επίλυση της χρονο-εξαρτώμενης εξίσωσης του Schrödinger. Όπως παρατηρούμε, προϊόντος του χρόνου σχηματίζεται το ασυμμετρικό προφίλ του Fano [7]. Σε αυτή την κατεύθυνση του προγράμματος μελετήσαμε κβαντικά και κλασσικά την διάσπαση του διατομικού μορίου του υδροφθορίου (HF όταν αυτό αλληλεπιδρά με ισχυρούς παλμούς λέιζερ. Όσον αφορά την QM, επιλύσαμε την TDSE με βάση τη μέθοδο της SSEA για μοριακά συστήματα. Η κλασσική μελέτη της φωτοδιάσπασης πραγματοποιήθηκε με βάση την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης του Χάμιλτον. Επί πλέον, χρησιμοποιήσαμε αναπαραστάσεις στον κλασσικό χώρο των φάσεων [4,5] προκειμένου να κατανοήσουμε βαθύτερα το φαινόμενο της φωτοδιάσπασης καθώς και πως αυτό εξαρτάται από τις παραμέτρους του λέιζερ. Στο σχήμα παρουσιάζουμε την κβαντική και κλασσική πιθανότητα διάσπασης συναρτήσει της συχνότητας του λέιζερ (ω, διαιρουμένης της συχνότητας ω 01 = (Ε 1 -Ε 0 που αντιστοιχεί στη διαφορά ενέργειας μεταξύ της βασικής και πρώτης διεγερμένης δονητικής κατάστασης του μορίου, για τρεις διαφορετικές εντάσεις (Ι του λέιζερ Ι=10 TW/cm, Ι=0 TW/cm και Ι=0 TW/cm. Παρατηρούμε ότι η κβαντική και η κλασσική πιθανότητα φωτοδιάσπασης εμφανίζουν μέγιστο σε μία περιοχή συχνοτήτων μικρότερης της συχνότητας ω 01 (ω~( x ω 01. Ο κλασσικός υπολογισμός προβλέπει αυτό το μέγιστο ακόμα και για την μικρότερη ένταση των 10 TW/cm σε καλή συμφωνία με τον αντίστοιχο κβαντικό υπολογισμό. Σημειώνουμε ότι το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό και από προηγούμενους κβαντικούς και κλασσικούς υπολογισμούς [4, 8], για υψηλές εντάσεις λέιζερ, χωρίς ωστόσο να έχει δοθεί μία πλήρης, ικανοποιητική εξήγηση. Σχήμα Διαφορική πιθανότητα ιονισμού P(ε,t για την διέγερση της κατάστασης συντονισμού He sp 1 P o όπου ε είναι η ενέργεια πάνω από το κατώφλι ιονισμού. Ο παλμός λέιζερ έχει διάρκεια 11 fs και συχνότητα που αντιστοιχεί σε ενέργεια φωτονίου ίση με 60.1 ev. Γ. Κβαντική και Κλασσική μελέτη φωτοδιάσπασης διατομικού μορίου Photodissociation probability (P D , 0,1 0,4 0, (a I = 10 TW/cm (b I = 0 TW/cm (c I = 0 TW/cm 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 Scaled frequency (ω / ω 01 Σχήμα Κβαντική (μαύρη γραμμή και κλασσική (γκρι γραμμή

4 πιθανότητα φωτοδιάσπασης HF για τρεις διαφορετικές εντάσεις λέιζερ (α Ι=10 TW/cm, (β Ι=0 TW/cm και (γ Ι=0 TW/cm. Οι κάθετες γραμμές αντιστοιχούν στις συχνότητες ω/ω0ν όπου ω0ν=(εν-ε0/ν (βλ και Σχήμα 4. άπειρο, και επομένως η πιθανότητα διάσπασης είναι μηδέν, όπως επιβεβαιώνεται και στο σχήμα (α. Καθώς η ένταση μεγαλώνει (σχήμα 5(c οι ΚΑΜ τόροι συρρικνώνονται και ένα μέρος της αρχικής κατάστασης βρίσκεται μέσα στη θάλασσα των χαοτικών τροχιών, που σημαίνει ότι οι τροχιές αυτές οδηγούν στη διάσπαση του μορίου. Σε υψηλότερες συχνότητες, για παράδειγμα ω/ω01=0.9, η εξήγηση είναι διαφορετική. Σε μικρές εντάσεις (σχήμα 5(b, το μεγαλύτερο μέρος της αρχικής κατάστασης εμφανίζεται μέσα στην περιοχή νησίδας συντονισμού (resonance island. Ωστόσο, εμφανίζεται ένας ακόμα μηχανισμός σταθεροποίησης του μορίου στις υψηλές συχνότητες. Ένα μέρος της αρχικής κατάστασης, αν και εμφανίζεται μέσα στην θάλασσα χαοτικών τροχιών, δεν θα καταλήξει σε διάσπαση του μορίου, λόγω της ύπαρξης τόρων ΚΑΜ που επιβιώνουν σε υψηλότερες ενέργειες. Σε μεγαλύτερες εντάσεις (σχήμα 5(d οι τόροι αυτοί έχουν καταστραφεί με αποτέλεσμα το μόριο να μπορεί να διασπαστεί. Η παραπάνω επιχειρηματολογία εξηγεί την διαπλάτυνση της καμπύλης της κλασσικής φωτοδιάσπασης συναρτήσει ης συχνότητας λέιζερ, καθώς η ένταση του λέιζερ αυξάνει (βλ. Σχήμα. Ολοκληρώνοντας, συμπεραίνουμε ότι το κλασσικό μοντέλο είναι ικανό να προβλέψει τα γενικά χαρακτηριστικά της καμπύλης της κβαντικής φωτοδιάσπασης του HF συναρτήσει της συχνότητας λέιζερ, αφού και οι δύο μέθοδοι προβλέπουν ότι η φωτοδιάσπαση του HF μεγιστοποιείται σε μία περιοχή συχνοτήτων λέιζερ μικρότερης της ω01. Τα αποτελέσματα αυτής της έρευνας έχουν σταλεί προς δημοσίευση [9]. Η κβαντική εξήγηση δίνεται στο σχήμα 4, όπου παρουσιάζουμε τις ενέργειες των δέσμιων δονητικών καταστάσεων του HF καθώς και τις πολυφωτονικές μεταβάσεις με ενδιάμεσους συντονισμούς. Το μέγιστο στην συχνότητα ω/ω01 ~ 0.88 οφείλεται στο γεγονός ότι το μόριο απορροφώντας έξι φωτόνια μεταφέρεται στην διεγερμένη δονητική κατάσταση ν=6, και μπορεί να διασπαστεί, αφού απορροφήσει άλλα επτά φωτόνια που ενδιαμέσως βηματίζουν πολύ κοντά στις υψηλά διεγερμένες δονητικές καταστάσεις. Με παρόμοιο συλλογισμό εξηγείται και το μέγιστο που εμφανίζεται στη συχνότητα ω/ω01 ~ 0.8 για ένταση του λέιζερ Ι=0 TW/cm. Ωστόσο, το μέγιστο αυτό είναι εμφανές μόνο σε μεγάλες εντάσεις λόγο του γεγονότος ότι απαιτούνται οκτώ φωτόνια για να μεταφερθεί το σύστημα από την βασική στην ν=8 δονητική κατάσταση του μορίου, δηλαδή είναι μια πολυφωτονική διαδικασία υψηλής τάξης. CONTINUUM Bound state energies (a.u ν=1 ν=0 ν=19 ν=18 ν=17 ν=16 ν=15 ν=14 ν=1 ν=1 ν=11 ν=10 ν=9 ν=8 ν=7-0,10 ν=6 ν=5-0,1 ν=4-0,14 1,0 (a ν= -0,16 ν= -0,18 ω/ω01 = 0.9, I=10 TW/cm ω/ω01 = 0.8, I=10 TW/cm (b resonance island 0,8 ν=1 - ω01 ω05 ω06 KAM 0,6 ν=0 ω07 ω08 ω09 KAM 0,4 Scaled energy (H0/D Σχήμα 4 Ενέργειες δέσμιων καταστάσεων του αδιατάρακτου μορίου του HF και πολυφωτονικές με ενδιάμεσους συντονισμούς. Προκειμένου να εμβαθύνουμε στην εξήγηση της κλασσικής φωτοδιάσπασης μελετήσαμε τις τροχιές στον χώρο των φάσεων, στην αναπαράσταση ενέργειας Η0/D (Ηο η Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου μορίου HF και D η ενέργεια διάσπασής του και γωνίας (θ, όπου θ ορίζεται αναλυτικώς από την ενέργεια, τη θέση και την ορμή του μορίου [4]. Στο σχήμα 5 παρουσιάζουμε στροβοσκοπικά γραφήματα για εντάσεις Ι=10, 0 TW/cm και για δύο διαφορετικές συχνότητες ω/ω01=0.8, 0.9. Η αρχική ενέργεια του μορίου παριστάνεται στο σχήμα με γκρι γραμμή. Για συχνότητα ω/ω01=0.8 και ένταση Ι=10 TW/cm παρατηρούμε ότι όλη η αρχική κλασσική κατάσταση βρίσκεται παγιδευμένη στους τόρους ΚΑΜ (Κolmogorof-ArnoldMoser, περιοδικές τροχιές που δεν διαφεύγουν στο 0, 1,0 (c I=0 TW/cm (d I=0 TW/cm 0,8 0,6 0,4 0, Angle (rad

5 Σχήμα 5 Στροβοσκοπικά γραφήματα για τέσσερις διαφορετικές τιμές των παραμέτρων λέιζερ (a Ι=10 TW/cm, ω/ω 01 =0.8, (b Ι=10 TW/cm, ω/ω 01 =0.9, (c Ι=0 TW/cm, ω/ω 01 =0.8, (d Ι=0 TW/cm, ω/ω 01 =0.9. ΙΙΙ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ SCHRODINGER Στην ενότητα ΙΙ παρουσιάσαμε αποτελέσματα για ατομικά και μοριακά συστήματα που αλληλεπιδρούν με ισχυρούς παλμούς λέιζερ. Στην περίπτωση που τα πεδία είναι πολύ ισχυρά ο αριθμός των εξισώσεων φθάνει την τάξη των εκατοντάδων χιλιάδων, γεγονός που καθιστά την μέθοδο λύσης (ανάπτυξη σε σειρά Taylor [] ασταθή λόγω συσσωρευμένου σφάλματος και επομένως, υπάρχει η ανάγκη για μαθηματική διερεύνηση του θέματος. Οι μέθοδοι που βελτιώθηκαν και εφαρμόσθηκαν είναι Α μονοβηματικές τύπου Runge-Kutta-Nyström και Β διβηματικές τύπου υβριδικές-numerov. Α. Μονοβηματική μέθοδος τύπου Runge-Kutta- Nyström Η εξίσωση ιδιοτιμών του Schrödinger για την Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου συστήματος (Η ο που προκύπτει από την TDSE (1 όταν ο όρος αλληλεπίδρασης λέιζερ-ατόμου/μορίου είναι μηδέν (Η L (t=0 και όταν το πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε πρόβλημα ενός σώματος μέσα σε δυναμικό, δίνεται από την σχέση l( l+ 1 y ( x = + V ( x E y( x ( x Παραγάγαμε μια οικογένεια τεσσάρων συμμετρικών μεθόδων έξι βημάτων με έκτη αλγεβρική τάξη και εκθετική τάξη από ένα έως τέσσερα. Οι τέσσερις μέθοδοι ολοκληρώνουν ακριβώς τις συναρτήσεις 7 Iωx p 1 Iωx 1, x,..., x, e,..., x e, p= 1 1 4, όπου το p { } ( εκφράζει την εκθετική τάξη της μεθόδου [10]. Οι παραγόμενες μέθοδοι διατηρούν την έκτη αλγεβρική τάξη, αυξάνουν όμως την εκθετική, που με χρήση φανταστικής συχνότητας μετατρέπουν τη μέθοδο σε τριγωνομετρικά προσαρμοσμένη μέθοδο. Οι μέθοδοι αυτού του τύπου είναι ιδιαίτερα αποδοτικές σε διαφορικές εξισώσεις με λύση ταλαντωτικής μορφής, όπως η εξίσωση Schrödinger, επιπλέον όμως παρουσιάζουν ένα επιπλέον πλεονέκτημα που σχετίζεται με την ενέργεια Ε. Αν κάνουμε την ανάλυση του τοπικού σφάλματος αποκοπής, τότε παρατηρούμε ότι η μέγιστη 8 4 δύναμη της ενέργειας στο συντελεστή του h είναι E για την αντίστοιχη κλασική μέθοδο, E (1 ης εκθετικής τάξης, E ( ης και ης και E (4 ης. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό συμπέρασμα, γιατί όταν χρησιμοποιούμε μεγάλη τιμή για την ενέργεια, η χαμηλή δύναμή της στον κυρίαρχο όρο του σφάλματος συνεπάγεται μικρότερο σφάλμα. Προβλέπουμε δηλαδή ότι αύξηση της εκθετικής τάξης της μεθόδου συντελεί στην αύξηση της αποδοτικότητάς της. Πράγματι κατά την ολοκλήρωση της εξίσωσης στο πρόβλημα του συντονισμού με χρήση του δυναμικού Woods-Saxon η προηγούμενη πρόβλεψη επιβεβαιώνεται. Ολοκληρώνουμε την εξίσωση Schrödinger για συγκεκριμένες τιμές ενέργειας (ιδιοτιμές για τις οποίες γνωρίζουμε την αναλυτική τους λύση (ίση με π/ και τις συγκρίνουμε με την αντίστοιχη αριθμητική λύση. Συμπεραίνουμε την αύξηση της αποδοτικότητας της μεθόδου καθώς η εκθετική τάξη αυξάνει, ιδίως για μεγάλες τιμές ενέργειας. Στο Σχήμα 6 συγκρίνουμε τα αποτελέσματα των νέων μεθόδων με τα αντίστοιχα των κλασσικών συμμετρικών μεθόδων έξι βημάτων [11], καθώς και μια ομάδα πρόσφατα κατασκευασμένων συμμετρικών μεθόδων τριγωνομετρικά προσαρμοσμένων [1]-[17]. Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι η νέα μέθοδος τέταρτης εκθετικής τάξης παρουσιάζει την υψηλότερη αποδοτικότητα από όλες τις εξεταζόμενες μεθόδους, κάτι που αναδεικνύει τη σημασία της εκθετικής προσαρμογής υψηλής τάξης για την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger. Accuracy Efficiency (E = New 4th exp order (6 New rd exp order (6 New nd exp order (6 4 New 1st exp order (6 Jenkins 6-step (6 Simos PSEF (6 Raptis (6 Henrici (6 Raptis-Allison (4 KS -Stage PSEF (4 Chawla -Stage PS ( Log 10 (Function Evaluations Σχήμα 6 Ακρίβεια μεθόδου προς συναρτησιακούς υπολογισμούς. B. Διβηματικές μέθοδοι τύπου Numerov. Στα πλαίσια της έρευνας μας ασχοληθήκαμε με την κατασκευή υβριδικών διβηματικών μεθόδων τύπου Numerov που συχνά χρησιμοποιούνται στην αριθμητική επίλυση της TDSE. Με βάση τις νέες μεθοδολογίες κατασκευής τους που έχουν αναπτυχθεί στη βιβλιογραφία [18, 19] και αναπτύχθηκε συμβολικό λογισμικό για την παραγωγή των εξισώσεων τάξης και των όρων του τοπικού σφάλματος αποκοπής για διβηματικές μεθόδους τύπου Numerov. Μία τέτοια s βημάτων μέθοδος σε διανυσματική μορφή μπορεί να γραφεί με την ακόλουθη μορφή: [ k+ 1] [ k] [ k 1] T U = U U + λ ( b Is f( Y [ k] [ k 1] λ s Y = ( e+ c U c U + ( A I f( Y ( 5

6 όπου λ είναι το βήμα στο χρόνο, [111 1] T S s s e = και I s μοναδιαίος. Οι συντελεστές της μεθόδου καθορίζεται από τον πίνακα s s S A και τα διανύσματα bc,. Στην περίπτωση που = 0, i jη μέθοδος είναι άμεση. a ij Για μία έξι σταδίων μέθοδο έχουμε πίνακες της μορφής: A , b= [ b1, b, b, b4, b5, b6], (4 a a c= [ 1,0, c, c, c, c ]. 1 = a41 a4 a a51 a5 a5 a a61 a6 a6 a64 a Για τον καθορισμό των συντελεστών της μεθόδου αναπτύσσουμε τα αντίστοιχα αναπτύγματα Taylor της θεωρητικής και της αριθμητικής λύσης και τα αφαιρούμε. Αυτό οδηγεί σε εκφράσεις της μορφής q F q F q F q F q F 7 1,1 1,1λ +,1,1λ +,1,1λ + + ( 7,1 7, ,10 7,10 λ ( ( q8,1f8,1 q8,1f8,0 λ O( λ Τα διάφορα F ij είναι εκφράσεις στοιχειωδών διαφορικών και τα q ij εκφράσεις που εμπλέκουν τους συντελεστές της μεθόδου της μορφής q = be 1, q = bc,..., q = bac,... ( Για να είναι μία μέθοδος έβδομης τάξης πρέπει να μηδενίζονται όλοι οι όροι στην έκφραση (5 μέχρι το λ 8. Έτσι μηδενίζοντας τα αντίστοιχα 4 συνολικά q ij έχουμε να λύσουμε τις εξισώσεις τάξης ως προς τους συντελεστές της μεθόδου. Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να μειωθούν εάν ικανοποιήσουμε απλοποιητικές παραδοχές της μορφής Ae = 1 ( c + c. (7 Η μεθοδολογία κατασκευής του συμβολικού λογισμικού που βασίζεται σε θεωρία γράφων, την συνδυαστική ανάλυση και τις τεχνικές συμβολικού προγραμματισμού. Το έργο στις διάφορες φάσεις του παρουσιάστηκε σε ένα συνέδριο [0] και η ερευνητική εργασία που προέκυψε έχει σταλεί σε διεθνές περιοδικό [1]. Ο κώδικας μπορεί να βρεθεί στην ιστοσελίδα μαζί με πρακτικά παραδείγματα χρήσης του. IV. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Το έργο αυτό συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο (75% και από Εθνικούς πόρους (5% Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευσης και Αρχικής Επαγγελματικής Κατάρτισης (ΕΠΕΑΕΚ και ειδικότερα από το πρόγραμμα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ.. V. ΑΝΑΦΟΡΕΣ [1] Time-resolved atomic inner-shell spectroscopy, M. Drescher, M. Hentschel, R. Kienberger, M. Uiberacker, V. Yaklovlev, A.Scrinzi, Th. Westerwalbesloh, U. Kleineberg, U. Heinzmannn and F. Krausz, Nature, Vol. 419, October 00, pp [] Computation of strong-field multiphoton processes in polyelectronic atoms: State-specific method and applications to H and Li -, T. Mercouris, Y. Komninos, S. Dionissopoulou and C. A. Nicolaides, Phys. Rev. A, Vol. 50, November 1994, pp [] Controllable surfaces of path interference in the multiphoton ionization of atoms by a weak trichromatic field -, T. Mercouris and C. A. Nicolaides, J. Opt. B, Vol. 7, September 005, pp. S40-S407. [4] Nonhyperbolic escape and changes in phase-space stability structures in laser-induced multiphoton dissociation of a diatomic molecule -, V. Constantoudis and C. A. Nicolaides, Phys. Rev. A., Vol 64, October 001, pp [5] Stabilization and relative phase effects in bichromatically driven diatomic Morse molecule: Interpretation based on nonlinear classical dynamics -, V. Constantoudis and C. A. Nicolaides,, J. Chem. Phys, Vol 1, February 005, pp [6] Time-dependent formation of the profile of the He sp 1 P 0 state excited by short laser pulse, T. Mercouris, Y. Komni0nos and C. A. Nicolaides, Phys. Rev. A., Vol 75, January 007, pp [7] Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts, U. Fano, Phys. Rev., Vol 14, July 1961, pp [8] Laser-induced dissociation of hydrogen floride, A.Guldberg and G. D. Billing,, Chem. Phys. Lett., Vol 186, November 1991, pp [9] Quantum and classical dynamics of a diatomic molecule in laser fields with frequency In the region producing maximum dissociation, K.I. Dimitriou, V. Constantoudis, Th. Mercouris, Y. Komninos and C. A. Nicolaides, submitted. [10] Chebyshevian multistep methods for Ordinary Differential Equations, T. Lyche, Num. Math., Vol. 19, 197, pp [11] [1] A Numerov-type method with minimal phase-lag for the integration of second order periodic initial-value problems. II. Explicit method, M.M. Chawla and P.S. Rao, J.Comput. Appl. Math., Vol 15, 1986, pp. 9 [1] Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations P. Henrici,, John Wiley and Sons, New York, USA, 196. [14] Exponentially-fitted solutions of the eigenvalue Schrödinger equation with automatic error control A.D. Raptis, Computer Physics Communications, Vol. 8, 198, pp. 47. [15] Exponential-fitting methods for the numerical solution of the Schrödinger equation D. Raptis and A.C. Allison, Computer Physics Communications, Vol. 14, 1978, pp. 1. [16] A P-stable exponentially-fitted method for the numerical integration of the Schrodinger equation, T.E. Simos, Molecular Simulation, 1, 14-15, (005. [17] A P-stable exponentially-fitted method for the numerical integration of the Schrodinger equation, Z. Kalogiratou and T.E. Simos, Applied Mathematics and Computation, Vol. 11, 000, pp [18] Explicit Numerov type methods for second order IVPs with oscillating solutions, G. Papageorgiou, Ch. Tsitouras and I. Th. Famelis, Int. J. Mod. Phys. C, Vol , [19] Explicit Numerov type methods with reduced number of stages, Ch. Tsitouras, Comput. Math. Appl., Vol. 4 00, pp [0] Famelis Th., Tsitouras Ch., Symbolic Derivation of Order Conditions for ODE solvers, N. A. Biennial Conference Dundee, Great Britain, 9 June - 1 July

7 [1] Symbolic Derivation of Order Conditions for Hubrid- Numerov-type methods solving, Th.Famelis, Ch Tsitouras., submitted. 7

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ ΟΥ 3 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ ΟΥ 3 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ ΟΥ 3 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Σήμερα 7-02-2013, ημέρα Πέμπτη και ώρα 10.00 συνήλθε σε συνεδρίαση το Συμβούλιο της Σχολής Τεχνολογικών Εφαρμογών του ΤΕΙ Αθήνας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΛΕΙΖΕΡ ΜΕ ΑΤΟΜΑ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΚΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΛΕΙΖΕΡ ΜΕ ΑΤΟΜΑ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΚΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΛΕΙΖΕΡ ΜΕ ΑΤΟΜΑ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΚΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Εμμανουήλ

Διαβάστε περισσότερα

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοµατεπώνυµο : ιεύθυνση : Email: Web: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΧΑΤΖΗΠΑΝΤΕΛΙ ΗΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Λεωφ. Κνωσσού, Ηράκλειο, 71409. chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa Προσωπικά

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Σ. ΠΟΛΙΤΗΣ Διπλ. Φυσικός Πανεπιστημίου Πατρών Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Σ. ΠΟΛΙΤΗΣ Διπλ. Φυσικός Πανεπιστημίου Πατρών Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Σ. ΠΟΛΙΤΗΣ Διπλ. Φυσικός Πανεπιστημίου Πατρών Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 1.1 ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Επώνυμο ΠΟΛΙΤΗΣ Όνομα Όνομα πατρός Διεύθυνση Ηλ. διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΡΟΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Γεωργίου Π. Νίνη «Η Θεωρία Ομάδων και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4/9/2015 ΠΕΜΠΤΗ 3/9/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 2/9/2015 ΤΡΙΤΗ 1/9/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 31/8/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΤΟΥ ΠΡΟΕΔΡΕΙΟΥ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΑΚΤΙΚΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΩΝ, ΑΝΤΕΠΙΣΤΕΛΛΟΝΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6)

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας το r με r n, έχουμε: Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας n=1, βρίσκουμε την τροχιά με τη μικρότερη ακτίνα n: Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στη 2.6, παίρνουμε: Αν

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΜΗΤΣΟΤΑΚΗΣ ΑΘΗΝΑ 27 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON Πρόγραµµα Matlab για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης f(x)= µε την µέθοδο Newton. Συναρτήσεις f(x), f

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία N. Μισυρλής (e-mail: nmis@di.uoa.gr) Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Parallel Scientific Computing Laboratory (PSCL)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΘΕΜΑ A ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Παρασκευή, 0 Μαΐου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ Στις ερωτήσεις Α -Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Κβαντική µηχανική Τύχη ή αναγκαιότητα Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης Ηφυσικήστόγύρισµα του αιώνα «Όλοι οι θεµελιώδεις νόµοι και δεδοµένα της φυσικής επιστήµης έχουν ήδη ανακαλυφθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Ακρίβης. Προσωπικά στοιχεία. Εκπαίδευση. Ακαδημαϊκές Θέσεις. Ηράκλειο. Country, Ισπανία. Λευκωσία, Κύπρος. Rennes, Γαλλία.

Γεώργιος Ακρίβης. Προσωπικά στοιχεία. Εκπαίδευση. Ακαδημαϊκές Θέσεις. Ηράκλειο. Country, Ισπανία. Λευκωσία, Κύπρος. Rennes, Γαλλία. Γεώργιος Ακρίβης Προσωπικά στοιχεία Έτος γέννησης 1950 Τόπος γέννησης Χρυσοβίτσα Ιωαννίνων Εκπαίδευση 1968 1973,, Ιωάννινα. Μαθηματικά 1977 1983,, Μόναχο, Γερμανία. Μαθηματικά, Αριθμητική Ανάλυση Ακαδημαϊκές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου Οργανική Χημεία Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου 1. Γενικά Δυνατότητα προσδιορισμού δομών με σαφήνεια χρησιμοποιώντας τεχνικές φασματοσκοπίας Φασματοσκοπία μαζών Μέγεθος, μοριακός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 7 Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 7. Εξισώσεις κύματος ης ης τάξης Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των υπερβολικών εξισώσεων είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Βιοφυσική. ΦΥΣ 415 Διδάσκων Σ. Σκούρτης (χειμερινό εξάμηνο 2009-10) 1 η Διάλεξη

Βιοφυσική. ΦΥΣ 415 Διδάσκων Σ. Σκούρτης (χειμερινό εξάμηνο 2009-10) 1 η Διάλεξη Βιοφυσική ΦΥΣ 415 Διδάσκων Σ. Σκούρτης (χειμερινό εξάμηνο 2009-10) 1 η Διάλεξη Δύο άλλα παραδείγματα βιολογικής δράσης (και σύγκρισή τους σε ατομικό επίπεδο) Φωτοσύνθεση Επιδιόρθωση του DNA από τη DNA

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1: Τυπική μορφή μοριακού δυναμικού.

Σχ. 1: Τυπική μορφή μοριακού δυναμικού. ΤΕΤΥ - Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 6-1 Κεφάλαιο 6. Μόρια Εδάφια: 6.a. Μόρια και μοριακοί δεσμοί 6.b. Κβαντομηχανική περιγραφή του χημικού δεσμού 6.c. Περιστροφή και ταλάντωση μορίων 6.d. Μοριακά φάσματα 6.a.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία N. Μισυρλής (e-mail: nmis@di.uoa.gr) Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Parallel Scientific Computing Laboratory (PSCL)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Εξάμηνο Υ/Ε Ώρες Θεωρίας Ώρες Ασκήσης Διδακτικές μονάδες ECTS A Υ 3 1 4 6 Διδάσκουσα Ε. Καλδούδη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ιατρικής Φυσικής Αντικειμενικοί στόχοι του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ»

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ» ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ» «Ενίσχυση Ερευνητικών Ομάδων στο ΤΕΙ Πάτρας» MIS 383592 Υποέργο 09 Ανάπτυξη λογισμικού συνοριακών στοιχείων για την Τίτλος Επιστημονικός Υπέυθυνος αριθμητική επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 0 ΜΑΪΟΥ 013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Μικροκυματική μέτρηση σχετικής υγρασίας καρπών στα 2.8 GHz

Μικροκυματική μέτρηση σχετικής υγρασίας καρπών στα 2.8 GHz Μικροκυματική μέτρηση σχετικής υγρασίας καρπών στα 2.8 GHz Κουφογιάννης Ιωάννης, Πιπής Κωνσταντίνος ikoufis@ee.auth.gr, napoli2004@yahoo.gr Προπτυχιακοί φοιτητές Τομέας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Δρ Νικόλαος Στ. Χριστοδούλου

Δρ Νικόλαος Στ. Χριστοδούλου Δρ Νικόλαος Στ. Χριστοδούλου 1. ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Όνoμα: Νικόλαος Επώνυμο: Χριστοδούλου Πατρώνυμο: Στυλιανός Ημερ. γέννησης 27 Ιανουαρίου 1976 Τόπος γέννησης Αθήνα Φύλο, Οικ. κατάσταση Άρρεν, Άγαμος Υπηκοότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ LASER ΤΜΗΜΑ ΟΠΤΙΚΗΣ & ΟΠΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ LASER ΤΜΗΜΑ ΟΠΤΙΚΗΣ & ΟΠΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ LASER ΤΜΗΜΑ ΟΠΤΙΚΗΣ & ΟΠΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ «Ίσως το φως θα ναι μια νέα τυραννία. Ποιος ξέρει τι καινούρια πράγματα θα δείξει.» Κ.Π.Καβάφης ΑΡΧΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ LASER Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 10: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Ολοκληρώσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί

1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί 1.12 Ηλεκτρονιακά κύματα και χημικοί δεσμοί Ο Lewis πρότεινε το μοντέλο του κοινού ηλεκτρονιακού ζεύγους των δεσμών το 1916, σχεδόνμιαδεκαετίαπριναπότηθεωρίατουde Broglie τηςδυαδικότηταςκύματος-σωματιδίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 204 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις

Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις 1. Σκοπός Επεξεργασία Δεδομένων - Γραφικές Παραστάσεις Σκοπός της άσκησης είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τη γραφική απεικόνιση των δεδομένων τους, την χρήση των γραφικών παραστάσεων για την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ. Θέμα Δ

ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ. Θέμα Δ ΑΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ Θέμα Δ 4_2149 Άτομο υδρογόνου βρίσκεται σε κατάσταση όπου η στροφορμή του είναι ίση με 3,15 10-34 J s. Δ1) Σε ποια στάθμη βρίσκεται το ηλεκτρόνιο; Δ2) Αν το άτομο έφθασε στην προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ 05 2 0 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικές θεωρίες (πρότυπα)

Ατομικές θεωρίες (πρότυπα) Ατομικές θεωρίες (πρότυπα) 1. Αρχαίοι Έλληνες ατομικοί : η πρώτη θεωρία που διατυπώθηκε παγκοσμίως (καθαρά φιλοσοφική, αφού δεν στηριζόταν σε καμιά πειραματική παρατήρηση). Δημόκριτος (Λεύκιπος, Επίκουρος)

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά Ακτίνες Χ (Roentgen) Είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος μεταξύ 10 nm και 0.01 nm, δηλαδή περίπου 10 4 φορές μικρότερο από το μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας. ( Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών - Πειράματα Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) σε Σεισμική Τράπεζα

Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών - Πειράματα Μονοβαθμίων Συστημάτων (ΜΒΣ) σε Σεισμική Τράπεζα ΠΠΜ 5: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ, Πειράματα ΜΒΣ σε Σεισμική Τράπεζα Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος ΠΠΜ 5: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ Δυναμική

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανακλώμενο ηλεκτρόνιο KE = E γ - E γ = E mc 2

Ανακλώμενο ηλεκτρόνιο KE = E γ - E γ = E mc 2 Σκέδαση Compton Το φαινόμενο Compton περιγράφει τη σκέδαση ενός φωτονίου από ένα ελεύθερο ατομικό ηλεκτρόνιο: γ + γ +. To φωτόνιο δεν εξαφανίζεται μετά τη σκέδαση αλλά αλλάζει κατεύθυνση και ενέργεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Παν Πειραιά, Δρ Φούντας Ευάγγελος. Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής

Καθηγητής Παν Πειραιά, Δρ Φούντας Ευάγγελος. Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Κ Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Μ Α Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής Μ. ΚΑΡΑΟΛΗ και Α. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ 80, 185 34 ΠΕΙΡΑΙΑΣ Τηλ 210 414 2314 / Fax: 210-4142107

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΑΔΑ: ΒΙΥΗ469Β7Λ-ΨΞΚ Α.Π : 2223 HMEPOMHNIA : 05.06.2014 Θέμα : Συγκρότηση Ειδικής Επταμελούς Επιτροπής Επιλογής καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής . Στοιχεία κβαντικής μηχανικής Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται τα κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων, οι βασικές τους καταστάσεις και η έννοια της υπέρθεσης καταστάσεων. Δίνονται ορισμοί και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Φυσικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σύµφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Επιστήμης Υπολογιστών και Αριθμητικής Ανάλυσης

Τομέας Επιστήμης Υπολογιστών και Αριθμητικής Ανάλυσης Τομέας Επιστήμης Υπολογιστών και Αριθμητικής Ανάλυσης Προσωπικό Καθ. Πουλάκης Δημήτριος (Δ/ντης Τομέα) Γνωστικό αντικείμενο : Θεωρία Αριθμών ή Αλγεβρική Γεωμετρία Αν. Καθ. Γουσίδου Κουτίτα Μαρία Γνωστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Aτοµικά Φάσµατα Άτοµο Bohr. Τροχιές ηλεκτρονίων Ατοµικά Φάσµατα Άτοµο Bohr Ενεργειακά Επίπεδα και Φάσµατα Αρχή της Αντιστοιχίας Πυρηνική κίνηση

Aτοµικά Φάσµατα Άτοµο Bohr. Τροχιές ηλεκτρονίων Ατοµικά Φάσµατα Άτοµο Bohr Ενεργειακά Επίπεδα και Φάσµατα Αρχή της Αντιστοιχίας Πυρηνική κίνηση Aτοµικά Φάσµατα Άτοµο Bohr Τροχιές ηλεκτρονίων Ατοµικά Φάσµατα Άτοµο Bohr Ενεργειακά Επίπεδα και Φάσµατα Αρχή της Αντιστοιχίας Πυρηνική κίνηση Μοντέλο Rutherford Πώς εξασφαλίζεται η συνεκτική δύναµη που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ Δορυφορική Γεωδαισία Σύγχρονα Συστήματα και Εφαρμογές Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών, Τμήμα Τοπογραφίας ΤΕΙ Αθήνας, 26 Μαΐου 2010 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΣΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Παρακαλούμε να διαβάσετε πρώτα τα παρακάτω:

Παρακαλούμε να διαβάσετε πρώτα τα παρακάτω: 36 th International Physics Olympiad. Salamanca (España) 2005 Θεωρητική Εξέταση 05-Ιουλίου-2005 Παρακαλούμε να διαβάσετε πρώτα τα παρακάτω: 1. Για τη θεωρητική εξέταση ο διαθέσιμος χρόνος είναι 5 ώρες.

Διαβάστε περισσότερα

1.15 Ο δεσμός στο μεθάνιο και ο υβριδισμός τροχιακού

1.15 Ο δεσμός στο μεθάνιο και ο υβριδισμός τροχιακού 1.15 Ο δεσμός στο μεθάνιο και ο υβριδισμός τροχιακού Η δομή του Μεθανίου τετραεδρική γωνίες δεσμού = 109.5 Μήκη δεσμού = 110 pm αλλά η δομή εμφανίζεται ασυνεπής με την ηλεκτρονική διάταξη του άνθρακα Η

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ (ενημερώθηκε 30/06/2011) ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ HIGHLY CITED RESEARCHER IN MATHEMATICS ΥΠΕΥΘΥΝΟΥ ΣΥΝΤΑΞΗΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 1 Διάλεξη 1 Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ 6 ΑΣΚΗΣΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ Τα άτομα και τα μόρια είναι κβαντικές οντότητες, η κατανόησις των οποίων είναι αδύνατος δίχως την χρήσιν κβαντικών εννοιών. Γνωρίζουμε πλέον (9) ότι τα μόρια αποτελούνται

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑΣ Γραφείο 211 Επίκουρος Καθηγητής: Δ. Τσιπλακίδης Τηλ.: 2310 997766 e mail: dtsiplak@chem.auth.gr url:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ακαδημαϊκό Έτος 2014-2015 Περίοδος Φεβρουαρίου 2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ 1ο-2ο ΕΞΑΜΗΝΟ 3ο-4ο ΕΞΑΜΗΝΟ 5ο-6ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Στόχος : Να εξηγήσουμε την επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου στις Ε- Ειδικώτερα: Το δυναμικό του κρυστάλλου 1. εισάγονται χάσματα στα σημεία όπου τέμνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 13 Απριλίου 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) σελίδες και έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER

ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ6 ΜΕΛΕΤΗ ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕ- ΝΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΦΩΤΟΕΚΠΕΜΠΟΥΣΩΝ ΙΟ ΩΝ (LEDS) Γ. Μήτσου Α. Θεωρία 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα