ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Συνέδριο για την επιστημονική έρευνα στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5-8 Ιουλίου 2007, Πλωμάρι Λέσβου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Συνέδριο για την επιστημονική έρευνα στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5-8 Ιουλίου 2007, Πλωμάρι Λέσβου"

Transcript

1 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Συνέδριο για την επιστημονική έρευνα στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5-8 Ιουλίου 007, Πλωμάρι Λέσβου Νέες μέθοδοι για την εύρεση θεμελιωδών χαρακτηριστικών της αλληλεπίδρασης ατόμων και μορίων με ηλεκτρομαγνητικά πεδία Κ. Δημητρίου 1,, Β. Κωνσταντούδης, Θ. Μερκούρης, Γ. Κομνηνός, Ι. Φαμέλης 4, Ζ. Αναστάση 5, Ν. Πιάγκος, Χ. Τσίτουρας 6, Θ. Σίμος 5, Γ. Παπαγεωργίου 1 και Κλ. Α. Νικολαΐδης 1,,* 1 Τμήμα Φυσικής, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Τμήμα Φυσικής, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα Ινστιτούτο Θεωρητικής και Φυσικής Χημείας, Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών, Αθήνα Ινστιτούτο Μικροηλεκτρονικής, ΕΚΕΦΕ Δημόκριτος, Αθήνα 4 Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών, ΤΕΙ Αθηνών, Αθήνα 5 Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών, Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας, Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου, Τρίπολη 6 Γενικό Τμήμα Θετικών Επιστημών, ΤΕΙ Χαλκίδας, Ψαχνά * Τηλέφωνο: , Φαξ: , ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στόχος του προγράμματος είναι η λύση μετωπικών προβλημάτων Φυσικής και Υπολογιστικών Μαθηματικών που προκύπτουν όταν μελετάται θεωρητικά η λύση εξισώσεων τύπου Schrödinger. Στη περίπτωση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrödinger, οι εφαρμογές περιλαμβάνουν την ποσοτική κατανόηση των αποτελεσμάτων της αλληλεπίδρασης ισχυρών παλμών λέιζερ με άτομα και μόρια. Εδόθη έμφαση σε προβλήματα για πολλά σώματα και για πολυκαναλικά συνεχή φάσματα. Επί πλέον, για την μελέτη της πολυφωτονικής διάσπασης διατομικών μορίων, εφαρμόσαμε προηγμένες μεθόδους της Κλασσικής Μηχανικής όπου προκύπτουν πολύπλοκα θέματα μη γραμμικής και χαοτικής μηχανικής, που πλέον διαφαίνεται ότι σχετίζονται με ορισμένα κβαντικά χαρακτηριστικά. Όσον αφορά την μελέτη θεμάτων μαθηματικών και αριθμητικής ανάλυσης, η προσπάθεια εστιάσθηκε στην ανάπτυξη μεθόδων μεγάλης ακρίβειας στα πλαίσια των μεθοδολογιών μονοβηματικών τύπου Runge-Kutta-Nyström και διβηματικών τύπου υβριδικών- Numerov. Λέξεις Κλειδιά: Eξίσωση Schrödinger, κβαντική μηχανική, κλασσική μηχανική, πολυφωτονικός ιονισμός/διάσπαση. ABSTRACT: The aim of the present project is to solve problems encountered in Physics and Computational Mathematics, which arise when we solve Schrödinger type equations. In the case of the time-dependent Schrödinger equation, we are interested in the quantitative understanding of phenomena resulting from the interaction of strong laser pulses with atoms and molecules. We focused on problems involving systems with many electrons and many open channels. In addition, for the study of molecular dissociation, we applied recent methods of classical nonlinear and chaotic dynamics. The obtained results showed that some quantum features are also predicted by Classical Mechanics. Regarding the mathematical and numerical analysis of the Schrödinger equation, we developed methods of Runge-Kutta-Nyström and Numerov type that aim at high accuracy. Keywords: Schrödinger equation, Quantum Mechanics, Classical Mechanics, multiphoton ionization/dissociation. I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια, η κατανόηση της αλληλεπίδρασης ισχυρών πεδίων λέιζερ με άτομα και μόρια αποτελεί πεδίο έρευνας πολύ έντονου επιστημονικού ενδιαφέροντος, ιδιαίτερα με την κατασκευή εξαιρετικά βραχύχρονων και ισχυρών παλμών λέιζερ [1]. Επιδίωξη είναι όχι μόνον να γίνουν κατανοητά ποσοτικά τα φαινόμενα που εμφανίζονται αλλά και να ελέγχεται η συμπεριφορά των ατόμων και μορίων συναρτήσει των παραμέτρων των παλμών λέιζερ, με προφανείς τεχνολογικές προεκτάσεις. Η προϋπόθεση για την λύση των σχετικών προβλημάτων είναι η θεωρία και η υπολογιστική μεθοδολογία να είναι μη διαταρακτική και να λαμβάνονται υπ όψιν τα χαρακτηριστικά των παλμών αυτών. Για τον σκοπό αυτό εφαρμόσαμε προηγμένες μεθόδους της Κβαντικής (QM και της Κλασσικής (CM μηχανικής, κι επί πλέον νέες υπολογιστικές μεθόδους για την λύση εξισώσεων που συνδέονται με τέτοια προβλήματα. Ως προς την QM, χρησιμοποιήσαμε δύο τρόπους για να υπολογισθούν και να εξηγηθούν η προβλεφθούν νέα φαινόμενα. Ο ένας απαιτεί την λύση της timedependent Schrödinger equation (TDSE Ψ( t i = ( H t o + H L ( t Ψ( t όπου Η ο η Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου ατόμου/μορίου και Η L (t η Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης του ατόμου/μορίου με έναν η περισσότερους παλμούς λείζερ. Η επίλυση της TDSE πραγματοποιήθηκε με βάση την State-Specific Expansion Approach (SSEA [], αναπτύσσοντας την κυματοσυνάρτηση του συστήματος Ψ(t στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του δέσμιου και του συνεχούς φάσματος του αδιατάρακτου ατόμου/μορίου (Η ο με συντελεστές εξαρτωμένων απo τον χρόνο. Η αριθμητική επίλυση της TDSE απαιτείται όταν οι ισχυροί παλμοί λέιζερ έιναι βραχύχρονοι. Ο άλλος τρόπος αφορά μακρύχρονους παλμούς λέιζερ και βασίζεται στην λύση της complex eigenvalue Schrödinger equation [], όπου τα προβλήματα μετατρέπονται σε μη Ερμιτιανά και οι (1

2 μιγαδικές λύσεις περιέχουν την πληροφορία για την ενέργεια και την δυναμική. Ως προς την CM, επιλύσαμε αριθμητικά τις εξισώσεις κίνησης του Χάμιλτον για την περίπτωση όπου ένα διατομικό μόριο αλληλεπιδρά μ έναν παλμό λέιζερ. Εφαρμόσαμε σύγχρονες μεθόδους από τον χώρο της μη γραμμικής-χαοτικής δυναμικής [4,5] για να εξηγήσουμε το φαινόμενο φωτοδιάσπασης διατομικού μορίου και πως αυτό εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του παλμού. Σε συνδυασμό με τους νέους κβαντικούς υπολογισμούς που πραγματοποιήσαμε, επιτύχαμε μία βαθύτερη κατανόηση όσον αφορά την θεωρητική πρόβλεψη δυνατότητας ελέγχου της φωτοδιάσπασης καθώς και την πολύπτυχη σχέση μεταξύ QM και CM σε πραγματικά συστήματα. Φαινόμενα που διερευνήσαμε με την βοήθεια των μεθόδων που αναπτύξαμε παρουσιάζονται στο δεύτερο μέρος του άρθρου και αφορούν: α τον συμφωνο ελεγχο (coherent control του πολυφωτονικού ιονισμού, β τον χρονοεξαρτώμενο σχηματισμό της κατατομής υψηλά διηγερμένων καταστάσεων από ολιγόχρονους παλμούς λέιζερ και γ την πολυφωτονική διάσπαση διατομικών μορίων. Το ενδιαφέρον δεδομένο είναι ότι, λόγω της δομής των σχετικών εξισώσεων και των μεγάλων υπολογιστικών απαιτήσεων, υπάρχουν ανοικτά προβλήματα υπολογιστικής-αριθμητικής φύσης και ότι τέτοια προβλήματα προκαλούν ενδιαφέρον σε μαθηματικούς εφαρμογών οι οποίοι μελετούν εξισώσεις τέτοιας ή παρόμοιας μορφής. Οι μέθοδοι που βελτιώθηκαν και εφαρμόσθηκαν παρουσιάζονται στο τρίτο μέρος του άρθρου και είναι μονοβηματικές τύπου Runge-Kutta-Nyström και διβηματικές τύπου υβριδικές- Numerov II. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Α. Σύμφωνος έλεγχος (coherent control του πολυφωτονικού ιονισμού Ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα του συμφώνου ελέγχου (coherent control του πολυφωτονικού ιονισμού του αρνητικού ιόντος του υδρογόνου (H - εντός πεδίου τριών μακρόχρονων παλμών λέιζερ. Αυτή η περίπτωση επιτρέπει την διατύπωση του προβλήματος σε μορφή που είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Οι σχετικές βασικές εξισώσεις που λύθηκαν σε μορφή ιδιοτιμών πινάκων, είναι εξισώσεις του Schrödinger με μιγαδικές ιδιοτιμές, ζ = ε iγ/, οι οποίες είναι προϊόντα μη Ερμιτιανών κατασκευών, καταλλήλων για την περιγραφή καταστάσεων συντονισμού στο συνεχές φάσμα που προκύπτουν από τη θεωρία των μιγαδικών συντεταγμένων, γνωστή ως MEMPT (Many-Electron Many-Photon Theory, []. Οι ιδιοτιμές είναι συναρτήσεις των εντάσεων και των συχνοτήτων της ακτινοβολίας. Το Γ αντιστοιχεί στον ρυθμό πολυφωτονικού ιονισμού του H - και το ε περιέχει την πληροφορία για την επαγόμενη πόλωσή του. Αποδείξαμε ότι ο πολυφωτονικός ρυθμός ιονισμού υπακούει σε απλούς κανόνες σαν συνάρτηση των φάσεων των τριών πεδίων των μακρόχρονων παλμών λέιζερ. Παραδείγματος χάριν, ο πολυφωτονικού ρυθμού ιονισμού (Γ κυριαρχείται από τρεις όρους: Γ( ω1 = ω, F1 ; ω = ω, F, φ; ω = 4ω, F, φ ~ D + Ecos(φ + F cos( φ φ Προς επιβεβαίωση τούτου, στο Σχήμα 1 παραθέτουμε τα αποτελέσματα της MEMPT όπου δείχνεται η εξάρτηση του πολυφωτονικού ρυθμού ιονισμού του H - από απλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις των φάσεων φ 1, φ, φ των τριών πεδίων λέιζερ (θεμελιώδης συχνότητα ω 1 = ω = 0.7 ev, ω = ω, ω = ω. Σχήμα 1 Πολυφωτονικός ρυθμός ιονισμού Γ (σε ατομικές μονάδες του Η - 1 S που αλληλεπιδρά με τρεις παλμούς λέιζερ εντάσεων I 1 =1.4x10 7 W/cm, I =.15x10 7 W/cm, I =5.6x10 7 W/cm (βλ. Κείμενο. Β. Χρονοεξαρτώμενος σχηματισμός της κατατομής (profile υψηλά διηγερμένων καταστάσεων από ολιγόχρονους παλμούς λέιζερ Σ αυτήν την ερευνητική δραστηριότητα δίνουμε ακριβή αποτελέσματα για την ενέργεια και τον χρονοεξαρτώμενο σχηματισμό της κατατομής (profile της διαφορικής πιθανότητας ιονισμού P(ε,t της βασικής κατάστασης του He 1s 1 S από την σύμφωνη διέγερση και διάσπαση της διπλά διηγερμένης κατάστασης He sp 1 P o που επάγεται από ένα ολιγόχρονο παλμό λέιζερ. Οι φυσικές διαδικασίες που εμπλέκονται στο πρόβλημα είναι: 1 παλμός λέιζερ + HeΨ (1 s S He (1 s g 1 0 ( ε p στην περιοχή της ο (s p P 1 0 αυτοϊονισμός + Ψο + + Ψ He (s p P He (1 s ( ε p Τα αποτελέσματά μας, είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν σε μελλοντικά πειράματα

3 φασματοσκοπίας σε πραγματικό χρόνο, που τα τελευταία χρόνια, με την δημιουργία παλμών λέιζερ διαρκείας μερικών εκατοντάδων attosecond βρίσκεται στο διεθνές επιστημονικό προσκήνιο [6]. Εφαρμόσαμε δύο γενικές μεθόδους. Η μία είναι αναλυτική, που χρησιμοποιεί την αλληλεπίδραση ηλεκτρονιακών διατάξεων στο συνεχές φάσμα, στο πλαίσιο της θεωρίας διαταραχών 1 ης τάξεως. Η άλλη είναι αριθμητική πέρα από την θεωρία διαταραχών, που χρησιμοποιεί την θεωρία μας της καθορισμένης κατάστασης για την λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης του Schrödinger []. Η πολυηλεκτρονιακή δομή και συσχέτιση λαμβάνονται υπ όψη δια της θεωρίας της καθορισμένης κατάστασης τόσο για την αρχική κατάσταση όσο και την κατάσταση συντονισμού και τις καταστάσεις του συνεχούς φάσματος. Τα αποτελέσματα των δύο μεθόδων είναι σε πολύ καλή συμφωνία, με μία μικρή ποσοτική διαφωνία για μεγάλες εντάσεις του πεδίου του laser. Οι αναλυτικοί τύποι (βλ. εξίσωση του άρθρου [6], για μικρές εντάσεις πεδίου, δείχνουν με σαφήνεια και απλότητα την εξάρτηση της κατατομής από τα χαρακτηριστικά του παλμού του λέιζερ. Στο παρακάτω τρισδιάστατο διάγραμμα δείχνεται η διαφορική πιθανότητα ιονισμού P(ε,t για την διέγερση της κατάστασης συντονισμού 1 o He sp P όπου ε είναι η ενέργεια πάνω από το κατώφλι ιονισμού, όπως υπολογίσθηκε από την αριθμητική επίλυση της χρονο-εξαρτώμενης εξίσωσης του Schrödinger. Όπως παρατηρούμε, προϊόντος του χρόνου σχηματίζεται το ασυμμετρικό προφίλ του Fano [7]. Σε αυτή την κατεύθυνση του προγράμματος μελετήσαμε κβαντικά και κλασσικά την διάσπαση του διατομικού μορίου του υδροφθορίου (HF όταν αυτό αλληλεπιδρά με ισχυρούς παλμούς λέιζερ. Όσον αφορά την QM, επιλύσαμε την TDSE με βάση τη μέθοδο της SSEA για μοριακά συστήματα. Η κλασσική μελέτη της φωτοδιάσπασης πραγματοποιήθηκε με βάση την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης του Χάμιλτον. Επί πλέον, χρησιμοποιήσαμε αναπαραστάσεις στον κλασσικό χώρο των φάσεων [4,5] προκειμένου να κατανοήσουμε βαθύτερα το φαινόμενο της φωτοδιάσπασης καθώς και πως αυτό εξαρτάται από τις παραμέτρους του λέιζερ. Στο σχήμα παρουσιάζουμε την κβαντική και κλασσική πιθανότητα διάσπασης συναρτήσει της συχνότητας του λέιζερ (ω, διαιρουμένης της συχνότητας ω 01 = (Ε 1 -Ε 0 που αντιστοιχεί στη διαφορά ενέργειας μεταξύ της βασικής και πρώτης διεγερμένης δονητικής κατάστασης του μορίου, για τρεις διαφορετικές εντάσεις (Ι του λέιζερ Ι=10 TW/cm, Ι=0 TW/cm και Ι=0 TW/cm. Παρατηρούμε ότι η κβαντική και η κλασσική πιθανότητα φωτοδιάσπασης εμφανίζουν μέγιστο σε μία περιοχή συχνοτήτων μικρότερης της συχνότητας ω 01 (ω~( x ω 01. Ο κλασσικός υπολογισμός προβλέπει αυτό το μέγιστο ακόμα και για την μικρότερη ένταση των 10 TW/cm σε καλή συμφωνία με τον αντίστοιχο κβαντικό υπολογισμό. Σημειώνουμε ότι το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό και από προηγούμενους κβαντικούς και κλασσικούς υπολογισμούς [4, 8], για υψηλές εντάσεις λέιζερ, χωρίς ωστόσο να έχει δοθεί μία πλήρης, ικανοποιητική εξήγηση. Σχήμα Διαφορική πιθανότητα ιονισμού P(ε,t για την διέγερση της κατάστασης συντονισμού He sp 1 P o όπου ε είναι η ενέργεια πάνω από το κατώφλι ιονισμού. Ο παλμός λέιζερ έχει διάρκεια 11 fs και συχνότητα που αντιστοιχεί σε ενέργεια φωτονίου ίση με 60.1 ev. Γ. Κβαντική και Κλασσική μελέτη φωτοδιάσπασης διατομικού μορίου Photodissociation probability (P D , 0,1 0,4 0, (a I = 10 TW/cm (b I = 0 TW/cm (c I = 0 TW/cm 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 Scaled frequency (ω / ω 01 Σχήμα Κβαντική (μαύρη γραμμή και κλασσική (γκρι γραμμή

4 πιθανότητα φωτοδιάσπασης HF για τρεις διαφορετικές εντάσεις λέιζερ (α Ι=10 TW/cm, (β Ι=0 TW/cm και (γ Ι=0 TW/cm. Οι κάθετες γραμμές αντιστοιχούν στις συχνότητες ω/ω0ν όπου ω0ν=(εν-ε0/ν (βλ και Σχήμα 4. άπειρο, και επομένως η πιθανότητα διάσπασης είναι μηδέν, όπως επιβεβαιώνεται και στο σχήμα (α. Καθώς η ένταση μεγαλώνει (σχήμα 5(c οι ΚΑΜ τόροι συρρικνώνονται και ένα μέρος της αρχικής κατάστασης βρίσκεται μέσα στη θάλασσα των χαοτικών τροχιών, που σημαίνει ότι οι τροχιές αυτές οδηγούν στη διάσπαση του μορίου. Σε υψηλότερες συχνότητες, για παράδειγμα ω/ω01=0.9, η εξήγηση είναι διαφορετική. Σε μικρές εντάσεις (σχήμα 5(b, το μεγαλύτερο μέρος της αρχικής κατάστασης εμφανίζεται μέσα στην περιοχή νησίδας συντονισμού (resonance island. Ωστόσο, εμφανίζεται ένας ακόμα μηχανισμός σταθεροποίησης του μορίου στις υψηλές συχνότητες. Ένα μέρος της αρχικής κατάστασης, αν και εμφανίζεται μέσα στην θάλασσα χαοτικών τροχιών, δεν θα καταλήξει σε διάσπαση του μορίου, λόγω της ύπαρξης τόρων ΚΑΜ που επιβιώνουν σε υψηλότερες ενέργειες. Σε μεγαλύτερες εντάσεις (σχήμα 5(d οι τόροι αυτοί έχουν καταστραφεί με αποτέλεσμα το μόριο να μπορεί να διασπαστεί. Η παραπάνω επιχειρηματολογία εξηγεί την διαπλάτυνση της καμπύλης της κλασσικής φωτοδιάσπασης συναρτήσει ης συχνότητας λέιζερ, καθώς η ένταση του λέιζερ αυξάνει (βλ. Σχήμα. Ολοκληρώνοντας, συμπεραίνουμε ότι το κλασσικό μοντέλο είναι ικανό να προβλέψει τα γενικά χαρακτηριστικά της καμπύλης της κβαντικής φωτοδιάσπασης του HF συναρτήσει της συχνότητας λέιζερ, αφού και οι δύο μέθοδοι προβλέπουν ότι η φωτοδιάσπαση του HF μεγιστοποιείται σε μία περιοχή συχνοτήτων λέιζερ μικρότερης της ω01. Τα αποτελέσματα αυτής της έρευνας έχουν σταλεί προς δημοσίευση [9]. Η κβαντική εξήγηση δίνεται στο σχήμα 4, όπου παρουσιάζουμε τις ενέργειες των δέσμιων δονητικών καταστάσεων του HF καθώς και τις πολυφωτονικές μεταβάσεις με ενδιάμεσους συντονισμούς. Το μέγιστο στην συχνότητα ω/ω01 ~ 0.88 οφείλεται στο γεγονός ότι το μόριο απορροφώντας έξι φωτόνια μεταφέρεται στην διεγερμένη δονητική κατάσταση ν=6, και μπορεί να διασπαστεί, αφού απορροφήσει άλλα επτά φωτόνια που ενδιαμέσως βηματίζουν πολύ κοντά στις υψηλά διεγερμένες δονητικές καταστάσεις. Με παρόμοιο συλλογισμό εξηγείται και το μέγιστο που εμφανίζεται στη συχνότητα ω/ω01 ~ 0.8 για ένταση του λέιζερ Ι=0 TW/cm. Ωστόσο, το μέγιστο αυτό είναι εμφανές μόνο σε μεγάλες εντάσεις λόγο του γεγονότος ότι απαιτούνται οκτώ φωτόνια για να μεταφερθεί το σύστημα από την βασική στην ν=8 δονητική κατάσταση του μορίου, δηλαδή είναι μια πολυφωτονική διαδικασία υψηλής τάξης. CONTINUUM Bound state energies (a.u ν=1 ν=0 ν=19 ν=18 ν=17 ν=16 ν=15 ν=14 ν=1 ν=1 ν=11 ν=10 ν=9 ν=8 ν=7-0,10 ν=6 ν=5-0,1 ν=4-0,14 1,0 (a ν= -0,16 ν= -0,18 ω/ω01 = 0.9, I=10 TW/cm ω/ω01 = 0.8, I=10 TW/cm (b resonance island 0,8 ν=1 - ω01 ω05 ω06 KAM 0,6 ν=0 ω07 ω08 ω09 KAM 0,4 Scaled energy (H0/D Σχήμα 4 Ενέργειες δέσμιων καταστάσεων του αδιατάρακτου μορίου του HF και πολυφωτονικές με ενδιάμεσους συντονισμούς. Προκειμένου να εμβαθύνουμε στην εξήγηση της κλασσικής φωτοδιάσπασης μελετήσαμε τις τροχιές στον χώρο των φάσεων, στην αναπαράσταση ενέργειας Η0/D (Ηο η Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου μορίου HF και D η ενέργεια διάσπασής του και γωνίας (θ, όπου θ ορίζεται αναλυτικώς από την ενέργεια, τη θέση και την ορμή του μορίου [4]. Στο σχήμα 5 παρουσιάζουμε στροβοσκοπικά γραφήματα για εντάσεις Ι=10, 0 TW/cm και για δύο διαφορετικές συχνότητες ω/ω01=0.8, 0.9. Η αρχική ενέργεια του μορίου παριστάνεται στο σχήμα με γκρι γραμμή. Για συχνότητα ω/ω01=0.8 και ένταση Ι=10 TW/cm παρατηρούμε ότι όλη η αρχική κλασσική κατάσταση βρίσκεται παγιδευμένη στους τόρους ΚΑΜ (Κolmogorof-ArnoldMoser, περιοδικές τροχιές που δεν διαφεύγουν στο 0, 1,0 (c I=0 TW/cm (d I=0 TW/cm 0,8 0,6 0,4 0, Angle (rad

5 Σχήμα 5 Στροβοσκοπικά γραφήματα για τέσσερις διαφορετικές τιμές των παραμέτρων λέιζερ (a Ι=10 TW/cm, ω/ω 01 =0.8, (b Ι=10 TW/cm, ω/ω 01 =0.9, (c Ι=0 TW/cm, ω/ω 01 =0.8, (d Ι=0 TW/cm, ω/ω 01 =0.9. ΙΙΙ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ SCHRODINGER Στην ενότητα ΙΙ παρουσιάσαμε αποτελέσματα για ατομικά και μοριακά συστήματα που αλληλεπιδρούν με ισχυρούς παλμούς λέιζερ. Στην περίπτωση που τα πεδία είναι πολύ ισχυρά ο αριθμός των εξισώσεων φθάνει την τάξη των εκατοντάδων χιλιάδων, γεγονός που καθιστά την μέθοδο λύσης (ανάπτυξη σε σειρά Taylor [] ασταθή λόγω συσσωρευμένου σφάλματος και επομένως, υπάρχει η ανάγκη για μαθηματική διερεύνηση του θέματος. Οι μέθοδοι που βελτιώθηκαν και εφαρμόσθηκαν είναι Α μονοβηματικές τύπου Runge-Kutta-Nyström και Β διβηματικές τύπου υβριδικές-numerov. Α. Μονοβηματική μέθοδος τύπου Runge-Kutta- Nyström Η εξίσωση ιδιοτιμών του Schrödinger για την Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου συστήματος (Η ο που προκύπτει από την TDSE (1 όταν ο όρος αλληλεπίδρασης λέιζερ-ατόμου/μορίου είναι μηδέν (Η L (t=0 και όταν το πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε πρόβλημα ενός σώματος μέσα σε δυναμικό, δίνεται από την σχέση l( l+ 1 y ( x = + V ( x E y( x ( x Παραγάγαμε μια οικογένεια τεσσάρων συμμετρικών μεθόδων έξι βημάτων με έκτη αλγεβρική τάξη και εκθετική τάξη από ένα έως τέσσερα. Οι τέσσερις μέθοδοι ολοκληρώνουν ακριβώς τις συναρτήσεις 7 Iωx p 1 Iωx 1, x,..., x, e,..., x e, p= 1 1 4, όπου το p { } ( εκφράζει την εκθετική τάξη της μεθόδου [10]. Οι παραγόμενες μέθοδοι διατηρούν την έκτη αλγεβρική τάξη, αυξάνουν όμως την εκθετική, που με χρήση φανταστικής συχνότητας μετατρέπουν τη μέθοδο σε τριγωνομετρικά προσαρμοσμένη μέθοδο. Οι μέθοδοι αυτού του τύπου είναι ιδιαίτερα αποδοτικές σε διαφορικές εξισώσεις με λύση ταλαντωτικής μορφής, όπως η εξίσωση Schrödinger, επιπλέον όμως παρουσιάζουν ένα επιπλέον πλεονέκτημα που σχετίζεται με την ενέργεια Ε. Αν κάνουμε την ανάλυση του τοπικού σφάλματος αποκοπής, τότε παρατηρούμε ότι η μέγιστη 8 4 δύναμη της ενέργειας στο συντελεστή του h είναι E για την αντίστοιχη κλασική μέθοδο, E (1 ης εκθετικής τάξης, E ( ης και ης και E (4 ης. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό συμπέρασμα, γιατί όταν χρησιμοποιούμε μεγάλη τιμή για την ενέργεια, η χαμηλή δύναμή της στον κυρίαρχο όρο του σφάλματος συνεπάγεται μικρότερο σφάλμα. Προβλέπουμε δηλαδή ότι αύξηση της εκθετικής τάξης της μεθόδου συντελεί στην αύξηση της αποδοτικότητάς της. Πράγματι κατά την ολοκλήρωση της εξίσωσης στο πρόβλημα του συντονισμού με χρήση του δυναμικού Woods-Saxon η προηγούμενη πρόβλεψη επιβεβαιώνεται. Ολοκληρώνουμε την εξίσωση Schrödinger για συγκεκριμένες τιμές ενέργειας (ιδιοτιμές για τις οποίες γνωρίζουμε την αναλυτική τους λύση (ίση με π/ και τις συγκρίνουμε με την αντίστοιχη αριθμητική λύση. Συμπεραίνουμε την αύξηση της αποδοτικότητας της μεθόδου καθώς η εκθετική τάξη αυξάνει, ιδίως για μεγάλες τιμές ενέργειας. Στο Σχήμα 6 συγκρίνουμε τα αποτελέσματα των νέων μεθόδων με τα αντίστοιχα των κλασσικών συμμετρικών μεθόδων έξι βημάτων [11], καθώς και μια ομάδα πρόσφατα κατασκευασμένων συμμετρικών μεθόδων τριγωνομετρικά προσαρμοσμένων [1]-[17]. Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι η νέα μέθοδος τέταρτης εκθετικής τάξης παρουσιάζει την υψηλότερη αποδοτικότητα από όλες τις εξεταζόμενες μεθόδους, κάτι που αναδεικνύει τη σημασία της εκθετικής προσαρμογής υψηλής τάξης για την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger. Accuracy Efficiency (E = New 4th exp order (6 New rd exp order (6 New nd exp order (6 4 New 1st exp order (6 Jenkins 6-step (6 Simos PSEF (6 Raptis (6 Henrici (6 Raptis-Allison (4 KS -Stage PSEF (4 Chawla -Stage PS ( Log 10 (Function Evaluations Σχήμα 6 Ακρίβεια μεθόδου προς συναρτησιακούς υπολογισμούς. B. Διβηματικές μέθοδοι τύπου Numerov. Στα πλαίσια της έρευνας μας ασχοληθήκαμε με την κατασκευή υβριδικών διβηματικών μεθόδων τύπου Numerov που συχνά χρησιμοποιούνται στην αριθμητική επίλυση της TDSE. Με βάση τις νέες μεθοδολογίες κατασκευής τους που έχουν αναπτυχθεί στη βιβλιογραφία [18, 19] και αναπτύχθηκε συμβολικό λογισμικό για την παραγωγή των εξισώσεων τάξης και των όρων του τοπικού σφάλματος αποκοπής για διβηματικές μεθόδους τύπου Numerov. Μία τέτοια s βημάτων μέθοδος σε διανυσματική μορφή μπορεί να γραφεί με την ακόλουθη μορφή: [ k+ 1] [ k] [ k 1] T U = U U + λ ( b Is f( Y [ k] [ k 1] λ s Y = ( e+ c U c U + ( A I f( Y ( 5

6 όπου λ είναι το βήμα στο χρόνο, [111 1] T S s s e = και I s μοναδιαίος. Οι συντελεστές της μεθόδου καθορίζεται από τον πίνακα s s S A και τα διανύσματα bc,. Στην περίπτωση που = 0, i jη μέθοδος είναι άμεση. a ij Για μία έξι σταδίων μέθοδο έχουμε πίνακες της μορφής: A , b= [ b1, b, b, b4, b5, b6], (4 a a c= [ 1,0, c, c, c, c ]. 1 = a41 a4 a a51 a5 a5 a a61 a6 a6 a64 a Για τον καθορισμό των συντελεστών της μεθόδου αναπτύσσουμε τα αντίστοιχα αναπτύγματα Taylor της θεωρητικής και της αριθμητικής λύσης και τα αφαιρούμε. Αυτό οδηγεί σε εκφράσεις της μορφής q F q F q F q F q F 7 1,1 1,1λ +,1,1λ +,1,1λ + + ( 7,1 7, ,10 7,10 λ ( ( q8,1f8,1 q8,1f8,0 λ O( λ Τα διάφορα F ij είναι εκφράσεις στοιχειωδών διαφορικών και τα q ij εκφράσεις που εμπλέκουν τους συντελεστές της μεθόδου της μορφής q = be 1, q = bc,..., q = bac,... ( Για να είναι μία μέθοδος έβδομης τάξης πρέπει να μηδενίζονται όλοι οι όροι στην έκφραση (5 μέχρι το λ 8. Έτσι μηδενίζοντας τα αντίστοιχα 4 συνολικά q ij έχουμε να λύσουμε τις εξισώσεις τάξης ως προς τους συντελεστές της μεθόδου. Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να μειωθούν εάν ικανοποιήσουμε απλοποιητικές παραδοχές της μορφής Ae = 1 ( c + c. (7 Η μεθοδολογία κατασκευής του συμβολικού λογισμικού που βασίζεται σε θεωρία γράφων, την συνδυαστική ανάλυση και τις τεχνικές συμβολικού προγραμματισμού. Το έργο στις διάφορες φάσεις του παρουσιάστηκε σε ένα συνέδριο [0] και η ερευνητική εργασία που προέκυψε έχει σταλεί σε διεθνές περιοδικό [1]. Ο κώδικας μπορεί να βρεθεί στην ιστοσελίδα μαζί με πρακτικά παραδείγματα χρήσης του. IV. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Το έργο αυτό συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο (75% και από Εθνικούς πόρους (5% Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευσης και Αρχικής Επαγγελματικής Κατάρτισης (ΕΠΕΑΕΚ και ειδικότερα από το πρόγραμμα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ.. V. ΑΝΑΦΟΡΕΣ [1] Time-resolved atomic inner-shell spectroscopy, M. Drescher, M. Hentschel, R. Kienberger, M. Uiberacker, V. Yaklovlev, A.Scrinzi, Th. Westerwalbesloh, U. Kleineberg, U. Heinzmannn and F. Krausz, Nature, Vol. 419, October 00, pp [] Computation of strong-field multiphoton processes in polyelectronic atoms: State-specific method and applications to H and Li -, T. Mercouris, Y. Komninos, S. Dionissopoulou and C. A. Nicolaides, Phys. Rev. A, Vol. 50, November 1994, pp [] Controllable surfaces of path interference in the multiphoton ionization of atoms by a weak trichromatic field -, T. Mercouris and C. A. Nicolaides, J. Opt. B, Vol. 7, September 005, pp. S40-S407. [4] Nonhyperbolic escape and changes in phase-space stability structures in laser-induced multiphoton dissociation of a diatomic molecule -, V. Constantoudis and C. A. Nicolaides, Phys. Rev. A., Vol 64, October 001, pp [5] Stabilization and relative phase effects in bichromatically driven diatomic Morse molecule: Interpretation based on nonlinear classical dynamics -, V. Constantoudis and C. A. Nicolaides,, J. Chem. Phys, Vol 1, February 005, pp [6] Time-dependent formation of the profile of the He sp 1 P 0 state excited by short laser pulse, T. Mercouris, Y. Komni0nos and C. A. Nicolaides, Phys. Rev. A., Vol 75, January 007, pp [7] Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts, U. Fano, Phys. Rev., Vol 14, July 1961, pp [8] Laser-induced dissociation of hydrogen floride, A.Guldberg and G. D. Billing,, Chem. Phys. Lett., Vol 186, November 1991, pp [9] Quantum and classical dynamics of a diatomic molecule in laser fields with frequency In the region producing maximum dissociation, K.I. Dimitriou, V. Constantoudis, Th. Mercouris, Y. Komninos and C. A. Nicolaides, submitted. [10] Chebyshevian multistep methods for Ordinary Differential Equations, T. Lyche, Num. Math., Vol. 19, 197, pp [11] [1] A Numerov-type method with minimal phase-lag for the integration of second order periodic initial-value problems. II. Explicit method, M.M. Chawla and P.S. Rao, J.Comput. Appl. Math., Vol 15, 1986, pp. 9 [1] Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations P. Henrici,, John Wiley and Sons, New York, USA, 196. [14] Exponentially-fitted solutions of the eigenvalue Schrödinger equation with automatic error control A.D. Raptis, Computer Physics Communications, Vol. 8, 198, pp. 47. [15] Exponential-fitting methods for the numerical solution of the Schrödinger equation D. Raptis and A.C. Allison, Computer Physics Communications, Vol. 14, 1978, pp. 1. [16] A P-stable exponentially-fitted method for the numerical integration of the Schrodinger equation, T.E. Simos, Molecular Simulation, 1, 14-15, (005. [17] A P-stable exponentially-fitted method for the numerical integration of the Schrodinger equation, Z. Kalogiratou and T.E. Simos, Applied Mathematics and Computation, Vol. 11, 000, pp [18] Explicit Numerov type methods for second order IVPs with oscillating solutions, G. Papageorgiou, Ch. Tsitouras and I. Th. Famelis, Int. J. Mod. Phys. C, Vol , [19] Explicit Numerov type methods with reduced number of stages, Ch. Tsitouras, Comput. Math. Appl., Vol. 4 00, pp [0] Famelis Th., Tsitouras Ch., Symbolic Derivation of Order Conditions for ODE solvers, N. A. Biennial Conference Dundee, Great Britain, 9 June - 1 July

7 [1] Symbolic Derivation of Order Conditions for Hubrid- Numerov-type methods solving, Th.Famelis, Ch Tsitouras., submitted. 7

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοµατεπώνυµο : ιεύθυνση : Email: Web: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΧΑΤΖΗΠΑΝΤΕΛΙ ΗΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Λεωφ. Κνωσσού, Ηράκλειο, 71409. chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa Προσωπικά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΤΟΥ ΠΡΟΕΔΡΕΙΟΥ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΑΚΤΙΚΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΩΝ, ΑΝΤΕΠΙΣΤΕΛΛΟΝΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ LASER ΤΜΗΜΑ ΟΠΤΙΚΗΣ & ΟΠΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ LASER ΤΜΗΜΑ ΟΠΤΙΚΗΣ & ΟΠΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ LASER ΤΜΗΜΑ ΟΠΤΙΚΗΣ & ΟΠΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ «Ίσως το φως θα ναι μια νέα τυραννία. Ποιος ξέρει τι καινούρια πράγματα θα δείξει.» Κ.Π.Καβάφης ΑΡΧΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ LASER Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικές θεωρίες (πρότυπα)

Ατομικές θεωρίες (πρότυπα) Ατομικές θεωρίες (πρότυπα) 1. Αρχαίοι Έλληνες ατομικοί : η πρώτη θεωρία που διατυπώθηκε παγκοσμίως (καθαρά φιλοσοφική, αφού δεν στηριζόταν σε καμιά πειραματική παρατήρηση). Δημόκριτος (Λεύκιπος, Επίκουρος)

Διαβάστε περισσότερα

Δρ Νικόλαος Στ. Χριστοδούλου

Δρ Νικόλαος Στ. Χριστοδούλου Δρ Νικόλαος Στ. Χριστοδούλου 1. ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Όνoμα: Νικόλαος Επώνυμο: Χριστοδούλου Πατρώνυμο: Στυλιανός Ημερ. γέννησης 27 Ιανουαρίου 1976 Τόπος γέννησης Αθήνα Φύλο, Οικ. κατάσταση Άρρεν, Άγαμος Υπηκοότητα

Διαβάστε περισσότερα

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου Οργανική Χημεία Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου 1. Γενικά Δυνατότητα προσδιορισμού δομών με σαφήνεια χρησιμοποιώντας τεχνικές φασματοσκοπίας Φασματοσκοπία μαζών Μέγεθος, μοριακός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία N. Μισυρλής (e-mail: nmis@di.uoa.gr) Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Parallel Scientific Computing Laboratory (PSCL)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ (ενημερώθηκε 30/06/2011) ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ HIGHLY CITED RESEARCHER IN MATHEMATICS ΥΠΕΥΘΥΝΟΥ ΣΥΝΤΑΞΗΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά

Ακτίνες Χ (Roentgen) Κ.-Α. Θ. Θωμά Ακτίνες Χ (Roentgen) Είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος μεταξύ 10 nm και 0.01 nm, δηλαδή περίπου 10 4 φορές μικρότερο από το μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας. ( Φάσμα ηλεκτρομαγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ (SPECTROMETRIC TECHNIQUES)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ (SPECTROMETRIC TECHNIQUES) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ (SPECTROMETRIC TECHNIQUES) ΑΘΗΝΑ, ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2014 ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Στηρίζονται στις αλληλεπιδράσεις της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας με την ύλη. Φασματομετρία=

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Παν Πειραιά, Δρ Φούντας Ευάγγελος. Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής

Καθηγητής Παν Πειραιά, Δρ Φούντας Ευάγγελος. Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Κ Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Μ Α Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής Μ. ΚΑΡΑΟΛΗ και Α. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ 80, 185 34 ΠΕΙΡΑΙΑΣ Τηλ 210 414 2314 / Fax: 210-4142107

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 9η Ολυμπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Β φάση) Κυριακή 9 Μαρτίου 01 Ώρα:.00-1.00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Το δοκιμιο αποτελειται απο εννεα (9) σελιδες και επτα (7) θεματα.. Να απαντησετε σε ολα τα θεματα του δοκιμιου.. Μαζι

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιείται στην άσκηση φαίνεται στην φωτογραφία του σχήματος 1:

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιείται στην άσκηση φαίνεται στην φωτογραφία του σχήματος 1: ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1. Πειραματική Διάταξη Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιείται στην άσκηση φαίνεται στην φωτογραφία του σχήματος 1: Σχήμα 1 : Η πειραματική συσκευή για τη μελέτη της απόδοσης φωτοβολταϊκού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΤΙΡΙΩΝ Εβελίνα Θεμιστοκλέους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 1 Διάλεξη 1 Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Πράσινο και κίτρινο φως προσπίπτουν ταυτόχρονα και µε την ίδια γωνία πρόσπτωσης σε γυάλινο πρίσµα. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή:

Α1. Πράσινο και κίτρινο φως προσπίπτουν ταυτόχρονα και µε την ίδια γωνία πρόσπτωσης σε γυάλινο πρίσµα. Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστή: 54 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΘΕΜΑ Α Α1. Πράσινο και κίτρινο φως

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2005. Κώστας Δόσιος

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2005. Κώστας Δόσιος ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Μου δίνεται η ευκαιρία με την περάτωση της παρούσης διδακτορικής διατριβής να σημειώσω ότι, είναι ιδιαίτερα δύσκολο και κοπιαστικό να ολοκληρώσεις το έργο που ξεκινάς κάποια στιγμή έχοντας

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακά Ηλεκτρονικά. Θερινό Σχολείο 2005 Ν.Γλέζος, Ινστιτούτο Μικροηλεκτρονικής, ΕΚΕΦΕ «ηµόκριτος»

Μοριακά Ηλεκτρονικά. Θερινό Σχολείο 2005 Ν.Γλέζος, Ινστιτούτο Μικροηλεκτρονικής, ΕΚΕΦΕ «ηµόκριτος» Μοριακά Ηλεκτρονικά 1 1. R.Waser, Nanoelectronics and Information Technology, ch.5,20, Wiley-Vch, 2003 2. Davidov, Quantum Mechanics, Pergamon Press, 1973 3. Τραχανάς, Κβαντική Μηχανική ΙΙΙ, Παν. Εκδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. Διατάξεις Ημιαγωγών. Ηλ. Αιθ. 013. Αριθμητικές Μέθοδοι Διαφορικών Εξισώσεων Ηλ. Αιθ. 013 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ακαδημαϊκό Έτος 2014-2015 Περίοδος Φεβρουαρίου 2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ 1ο-2ο ΕΞΑΜΗΝΟ 3ο-4ο ΕΞΑΜΗΝΟ 5ο-6ο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή 13 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1. ύο µονοχρωµατικές ακτινοβολίες Α και Β µε µήκη κύµατος στο κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΥΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΥΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΦΑΣΜΑΤΟΜΕΤΡΙΑ: Μέτρηση της έντασης της (συνήθως) ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας με (φωτοηλεκτρικούς ήάλλους κατάλληλους) μεταλλάκτες, μετάτην αλληλεπίδραση της με

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματική μελέτη του πλάσματος που παράγεται από αλληλεπίδραση laser με γραφίτη

Πειραματική μελέτη του πλάσματος που παράγεται από αλληλεπίδραση laser με γραφίτη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Μεταπτυχιακή εργασία Πειραματική μελέτη του πλάσματος που παράγεται από αλληλεπίδραση laser με γραφίτη Καστανά Μαρία Επιβλέπων Καθηγητής: Σ. Κουρής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. A2. Ο μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων σε ένα άτομο που χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθμούς n = 2 και m l = 0 είναι: α. 4 β.3 γ.2 δ.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. A2. Ο μέγιστος αριθμός ηλεκτρονίων σε ένα άτομο που χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς αριθμούς n = 2 και m l = 0 είναι: α. 4 β.3 γ.2 δ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Για τις ερωτσεις Α1 έως και Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστ απάντηση. Α1. Ένα τροχιακό χαρακτηρίζεται από τους κβαντικούς

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Φυσικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Φυσικών της Ώθησης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Ομάδα Φυσικών της Ώθησης 1 Τετάρτη, 20 Μα ου 2015 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 003.3: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για οικονομολόγους

ΕΠΛ 003.3: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για οικονομολόγους ΕΠΛ 003.3: ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Για οικονομολόγους Στόχοι 1 Να εξετάσουμε γιατί η Πληροφορική είναι χρήσιμη στην οικονομική επιστήμη. Να μάθουμε πώς χρησιμοποιείται η Πληροφορική

Διαβάστε περισσότερα

Osmotic effects of hard spheres on star polymer glasses Οσμωτικές επιδράσεις σκληρών σφαιρών σε υάλους ατεροειδών πολυμερών

Osmotic effects of hard spheres on star polymer glasses Οσμωτικές επιδράσεις σκληρών σφαιρών σε υάλους ατεροειδών πολυμερών Osmotic effects of hard spheres on star polymer glasses Οσμωτικές επιδράσεις σκληρών σφαιρών σε υάλους ατεροειδών πολυμερών Τελική έκθεση προόδου Επιστημονικός Υπεύθυνος: Δ. Βλασσόπουλος Συνεργάτες: D.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΔΙΠΛΗΣ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015, ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΔΙΠΛΗΣ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015, ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2) 1η ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΔΙΠΛΣ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015, ΑΚΑΔΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘ ΕΠΑΝΑΛΨ 2) ΔΕΥΤΕΡΑ 2/2/2015 ΤΡΙΤ 3/2/2015 ΤΕΤΑΡΤ

Διαβάστε περισσότερα

723 Τεχνολογίας Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΤΕΙ Λάρισας

723 Τεχνολογίας Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΤΕΙ Λάρισας 723 Τεχνολογίας Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΤΕΙ Λάρισας Το Τμήμα Τεχνολογίας Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών του ΤΕΙ Λάρισας ιδρύθηκε με το Προεδρικό Διάταγμα 200/1999 (ΦΕΚ 179 06/09/99), με πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

Λουκάς Βλάχος Αν. Καθηγητής. http://www.physics.auth.gr vlahos@astro.auth.gr

Λουκάς Βλάχος Αν. Καθηγητής. http://www.physics.auth.gr vlahos@astro.auth.gr Γιατί να σπουδάσω Φυσική; Λουκάς Βλάχος Αν. Καθηγητής http://www.physics.auth.gr vlahos@astro.auth.gr Θέματα Εισαγωγή Η φυσική και οι άλλες επιστήμες Οι τομείς και οι κατευθύνσεις στο Τμήμα φυσικής Τα

Διαβάστε περισσότερα

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα.

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. 2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ INTERACTIVE PHYSICS ΕΛΕΓΧΕΙ ΣΤΕΡΕΟΤΥΠΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΤΟ INTERACTIVE PHYSICS ΕΛΕΓΧΕΙ ΣΤΕΡΕΟΤΥΠΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 568 ΤΟ INTERACTIVE PHYSICS ΕΛΕΓΧΕΙ ΣΤΕΡΕΟΤΥΠΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Βαλαδάκης Ανδρέας Δ. Καθηγητής Βαρβακείου Σχολής avaladak@otenet.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Επειδή με το λογισμικό Interactive Physics (IP) δημιουργούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ Μαρία Γιαννακούρου ΤΕΙ Αθηνών, Σχολή Τεχνολογίας Τροφίμων και Διατροφής, Τμήμα Τεχνολογίας Τροφίμων Νικόλαος Γ. Στοφόρος Γεωπονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΙΑΚΟΙ ΜΑΓΝΗΤΕΣ. Γιάννης Σανάκης, ρ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ»

ΜΟΡΙΑΚΟΙ ΜΑΓΝΗΤΕΣ. Γιάννης Σανάκης, ρ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» ΜΟΡΙΑΚΟΙ ΜΑΓΝΗΤΕΣ Γιάννης Σανάκης, ρ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΚΕΦΕ «ΗΜΟΚΡΙΤΟΣ» Εισαγωγή Υλικό σε εξωτερικό µαγνητικό πεδίο, Η: Β = Η + 4πΜ Μ: Μαγνήτιση ανά µονάδα όγκου Μαγνητική επιδεκτικότητα: χ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

2009: 22892841 ή 22892832, Εmail: stavrost@ucy.ac.cy ή haris@ucy.ac.cy. www.ucy.ac.cy/fmweb/metaptihiaka.htm

2009: 22892841 ή 22892832, Εmail: stavrost@ucy.ac.cy ή haris@ucy.ac.cy. www.ucy.ac.cy/fmweb/metaptihiaka.htm ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΘΕΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2009-2010 Το Πανεπιστήµιο Κύπρου ανακοινώνει ότι δέχεται αιτήσεις για περιορισµένο αριθµό θέσεων στο

Διαβάστε περισσότερα

GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING

GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING GREECE BULGARIA 6 th JOINT MONITORING COMMITTEE BANSKO 26-5-2015 «GREECE BULGARIA» Timeline 02 Future actions of the new GR-BG 20 Programme June 2015: Re - submission of the modified d Programme according

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Θέμα Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο.

1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο. ΙΑΚΟΠΗ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΗΝΙΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τάξη και τµήµα: Ηµεροµηνία: Όνοµα µαθητή: 1. Να σχεδιάσετε το κύκλωµα διακοπής ρεύµατος σε πηνίο. 2. Η ένταση του ρεύµατος που µετράει το αµπερόµετρο σε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft:

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: Specisoft ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: NPV & IRR: Αξιολόγηση & Ιεράρχηση Επενδυτικών Αποφάσεων Από Αβραάμ Σεκέρογλου, Οικονομολόγo, Συνεργάτη της Specisoft Επισκεφθείτε το Management

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Κεφάλαιο 2 ο

ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Κεφάλαιο 2 ο ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΛΑΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Κεφάλαιο 2 ο Η Επιστήμη της Διοίκησης των Επιχειρήσεων 2.1. Εισαγωγικές έννοιες Ο επιστημονικός κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

Με k1 = 1.220, k2 = 2.232, k3 = 3.238, and n = 1,2,3,

Με k1 = 1.220, k2 = 2.232, k3 = 3.238, and n = 1,2,3, ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΠΟΜ 114(Ε) ΟΠΤΙΚΗ ιάθλαση φωτός µέσω σχισµής, γύρω από µικρό δοκάρι και µέσω µικρής οπής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΜΟΡΙΑ, ΥΛΙΚΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΜΟΡΙΑ, ΥΛΙΚΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΜΟΡΙΑ, ΥΛΙΚΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ι ΑΣΚΟΝΤΕΣ: Μαρία Κανακίδου, Σταύρος Φαράντος, Γιώργος Φρουδάκης ΣΚΟΠΟΣ Ι Σκοπός του µαθήµατος είναι να εισαγάγει τον ϕοιτητή στην Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

http://www.physics.ntua.gr/~yorgos/med/index.php

http://www.physics.ntua.gr/~yorgos/med/index.php Εφαρμογές των Ιοντιζουσών Ακτινοβολιών στην Ιατρική & τη Βιολογία http://www.physics.ntua.gr/~yorgos/med/index.php Βιβλιογραφία Ε. Ν. Γαζής, Ιοντίζουσες Ακτινοβολίες Εφαρμογές στη Βιολογία & Ιατρική. Glenn

Διαβάστε περισσότερα

: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. : Φυσική γενικής παιδείας. Εξεταστέα Ύλη : : ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ. Ημερομηνία : 07-12-2014 ΘΕΜΑ 1 Ο

: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. : Φυσική γενικής παιδείας. Εξεταστέα Ύλη : : ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ. Ημερομηνία : 07-12-2014 ΘΕΜΑ 1 Ο Τάξη Μάθημα : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ : Φυσική γενικής παιδείας Εξεταστέα Ύλη : Καθηγητής : ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Ημερομηνία : 07-12-2014 ΘΕΜΑ 1 Ο Στις παρακάτω ερωτήσεις να βρείτε τη σωστή απάντηση: Α. Σύμφωνα με το

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 4. Β) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 8

Μονάδες 4. Β) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 8 Β.1 Μονοχρωματική δέσμη φωτός, περνάει από τον αέρα σε ένα κομμάτι γυαλί. Το μήκος κύματος της δέσμης φωτός όταν αυτή περάσει από τον αέρα στο γυαλί: α. θα αυξηθεί β. θα μειωθεί γ. θα παραμείνει αμετάβλητο

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική και Τεχνολογία των laser 6 o εξάμηνο, ΣΕΜΦΕ

Φυσική και Τεχνολογία των laser 6 o εξάμηνο, ΣΕΜΦΕ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Φυσική και Τεχνολογία των laser 6 o εξάμηνο, ΣΕΜΦΕ Ασκήσεις Αθήνα, 2012 Περιεχόμενα 1 Άσκηση 1 3 2 Άσκηση 2 4 3 Άσκηση 3

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν. ΤΕΧΝΙΚΗ ΚΑΥΣΗΣ & ΑΕΡΙΟΠΟΙΗΣΗΣ Κτ. Χ-Μ Αμφ. 1. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κτ. Χ-Μ ΑΙΘ.

Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν. ΤΕΧΝΙΚΗ ΚΑΥΣΗΣ & ΑΕΡΙΟΠΟΙΗΣΗΣ Κτ. Χ-Μ Αμφ. 1. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κτ. Χ-Μ ΑΙΘ. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΕΣ 1 ο & 2 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ 3 ο & 4 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ 5 ο & 6 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ 7 ο & 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ 9 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗ ΚΑΥΣΗΣ & ΑΕΡΙΟΠΟΙΗΣΗΣ Κτ. Χ-Μ Αμφ. 1 ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΑΝΟΡΓΑΝΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ Κτ. Χ.-Μ. Αιθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΜΙΧΑΗΛ Π. ΜΑΡΚΑΚΗΣ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΜΙΧΑΗΛ Π. ΜΑΡΚΑΚΗΣ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΜΙΧΑΗΛ Π. ΜΑΡΚΑΚΗΣ Ημερομηνία γέννησης: 13/6/1963 Τόπος γέννησης: Αθήνα Οικογενειακή κατάσταση: Έγγαμος, 2 παιδιά. Τηλέφωνα: +30 2610431031 (Οικία), +30 2610996882 (Εργασία) Email: markakis@upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα!

Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! ΓΙΩΡΓΟΣ ΑΣΗΜΕΛΛΗΣ Μαθήματα Οπτικής 3. Πόλωση Το Φως Είναι Εγκάρσιο Κύμα! Αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας ή ανιχνεύουμε με αισθητήρες είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει όταν φως με συγκεκριμένο χρώμα -είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Δείκτες Επιτυχίας (Γνώσεις και υπό έμφαση ικανότητες) Παρεμφερείς Ικανότητες (προϋπάρχουσες

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHT 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κρούση: Κρούση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο δύο ή περισσότερα σώματα έρχονται σε επαφή για πολύ μικρό χρονικό διάστημα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Ευαισθητοποιημένη χημειοφωταύγεια με νανοδομημένους καταλύτες - Προοπτικές εφαρμογής της μεθόδου στην αναλυτική χημεία

Ευαισθητοποιημένη χημειοφωταύγεια με νανοδομημένους καταλύτες - Προοπτικές εφαρμογής της μεθόδου στην αναλυτική χημεία Ευαισθητοποιημένη χημειοφωταύγεια με νανοδομημένους καταλύτες - Προοπτικές εφαρμογής της μεθόδου στην αναλυτική χημεία Δρ Κυριάκος Παπαδόπουλος Ερευνητής Α Ινστιτούτο Φυσικοχημείας ΕΚΕΦΕ Δημόκριτος Δεκέμβριος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων

1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων 1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων 1. Ερώτηση: Τι είναι η ηλεκτρονική δόμηση ή ηλεκτρονική κατανομή; Η συμπλήρωση των τροχιακών με ηλεκτρόνια, λέγεται ηλεκτρονική δόμηση ή ηλεκτρονική κατανομή.

Διαβάστε περισσότερα

Λουκάς Βλάχος Καθηγητής αστροφυσικής. http://www.physics.auth.gr valhos@astro.auth.gr

Λουκάς Βλάχος Καθηγητής αστροφυσικής. http://www.physics.auth.gr valhos@astro.auth.gr Λουκάς Βλάχος Καθηγητής αστροφυσικής http://www.physics.auth.gr valhos@astro.auth.gr Εισαγωγή Δεξιότητες του σύγχρονου φυσικού Οι τομείς και οι κατευθύνσεις στο Τμήμα φυσικής Τα μεταπτυχιακά Γιατί να σπουδάσω

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΕΤΟΣ 1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΩΔΙΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θ Α Ε ΔΜ. 2 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΩΔΙΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θ Α Ε ΔΜ

1 ο ΕΤΟΣ 1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΩΔΙΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θ Α Ε ΔΜ. 2 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΩΔΙΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θ Α Ε ΔΜ 1 ο ΕΤΟΣ 1 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ Α1Υ Α2Υ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ 3 1 1 5 2 2 5 Α3Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι 3 1 1 6 Α10Υ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΟΥ ΜΠ&Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Δορυφορική βαθυμετρία

Δορυφορική βαθυμετρία Πανεπιστήμιο Αιγαίου Δορυφορική βαθυμετρία Διάλεξη 12 Γεωπληροφορική και εφαρμογές στο παράκτιο και θαλάσσιο περιβάλλον Γεωπληροφορική και εφαρμογές στο παράκτιο και θαλάσσιο περιβάλλον ΔΙΑΛΕΞΗ 12 Δορυφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 Επιτροπή προπτυχιακών σπουδών: Κ. Βασιλάκης Κ. Γιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

γ - διάσπαση Δήμος Σαμψωνίδης (17-12- 2010) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

γ - διάσπαση Δήμος Σαμψωνίδης (17-12- 2010) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο γ - διάσπαση Δήμος Σαμψωνίδης (17-12- 2010) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο 1 γ - διάσπαση Τύποι διασπάσεων Ενεργειακά Ακτινοβολία πολυπόλων Κανόνες επιλογής Εσωτερικές

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα.

Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. Α2 Μέτρηση της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. 1 Σκοπός Στο πείραμα αυτό θα μελετηθεί η συμπεριφορά των στάσιμων ηχητικών κυμάτων σε σωλήνα με αισθητοποίηση του φαινομένου του ηχητικού συντονισμού. Επίσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων

Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων 169 Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών - Τεύχος 1 (Γενικό Μέρος) Ενότητα 3.6.2 Διδάσκοντας με τη βοήθεια λογισμικού υπολογιστικών φύλλων 1. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα