ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Συνέδριο για την επιστημονική έρευνα στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5-8 Ιουλίου 2007, Πλωμάρι Λέσβου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Συνέδριο για την επιστημονική έρευνα στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5-8 Ιουλίου 2007, Πλωμάρι Λέσβου"

Transcript

1 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Συνέδριο για την επιστημονική έρευνα στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 5-8 Ιουλίου 007, Πλωμάρι Λέσβου Νέες μέθοδοι για την εύρεση θεμελιωδών χαρακτηριστικών της αλληλεπίδρασης ατόμων και μορίων με ηλεκτρομαγνητικά πεδία Κ. Δημητρίου 1,, Β. Κωνσταντούδης, Θ. Μερκούρης, Γ. Κομνηνός, Ι. Φαμέλης 4, Ζ. Αναστάση 5, Ν. Πιάγκος, Χ. Τσίτουρας 6, Θ. Σίμος 5, Γ. Παπαγεωργίου 1 και Κλ. Α. Νικολαΐδης 1,,* 1 Τμήμα Φυσικής, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Τμήμα Φυσικής, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα Ινστιτούτο Θεωρητικής και Φυσικής Χημείας, Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών, Αθήνα Ινστιτούτο Μικροηλεκτρονικής, ΕΚΕΦΕ Δημόκριτος, Αθήνα 4 Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών, ΤΕΙ Αθηνών, Αθήνα 5 Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών, Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας, Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου, Τρίπολη 6 Γενικό Τμήμα Θετικών Επιστημών, ΤΕΙ Χαλκίδας, Ψαχνά * Τηλέφωνο: , Φαξ: , ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στόχος του προγράμματος είναι η λύση μετωπικών προβλημάτων Φυσικής και Υπολογιστικών Μαθηματικών που προκύπτουν όταν μελετάται θεωρητικά η λύση εξισώσεων τύπου Schrödinger. Στη περίπτωση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrödinger, οι εφαρμογές περιλαμβάνουν την ποσοτική κατανόηση των αποτελεσμάτων της αλληλεπίδρασης ισχυρών παλμών λέιζερ με άτομα και μόρια. Εδόθη έμφαση σε προβλήματα για πολλά σώματα και για πολυκαναλικά συνεχή φάσματα. Επί πλέον, για την μελέτη της πολυφωτονικής διάσπασης διατομικών μορίων, εφαρμόσαμε προηγμένες μεθόδους της Κλασσικής Μηχανικής όπου προκύπτουν πολύπλοκα θέματα μη γραμμικής και χαοτικής μηχανικής, που πλέον διαφαίνεται ότι σχετίζονται με ορισμένα κβαντικά χαρακτηριστικά. Όσον αφορά την μελέτη θεμάτων μαθηματικών και αριθμητικής ανάλυσης, η προσπάθεια εστιάσθηκε στην ανάπτυξη μεθόδων μεγάλης ακρίβειας στα πλαίσια των μεθοδολογιών μονοβηματικών τύπου Runge-Kutta-Nyström και διβηματικών τύπου υβριδικών- Numerov. Λέξεις Κλειδιά: Eξίσωση Schrödinger, κβαντική μηχανική, κλασσική μηχανική, πολυφωτονικός ιονισμός/διάσπαση. ABSTRACT: The aim of the present project is to solve problems encountered in Physics and Computational Mathematics, which arise when we solve Schrödinger type equations. In the case of the time-dependent Schrödinger equation, we are interested in the quantitative understanding of phenomena resulting from the interaction of strong laser pulses with atoms and molecules. We focused on problems involving systems with many electrons and many open channels. In addition, for the study of molecular dissociation, we applied recent methods of classical nonlinear and chaotic dynamics. The obtained results showed that some quantum features are also predicted by Classical Mechanics. Regarding the mathematical and numerical analysis of the Schrödinger equation, we developed methods of Runge-Kutta-Nyström and Numerov type that aim at high accuracy. Keywords: Schrödinger equation, Quantum Mechanics, Classical Mechanics, multiphoton ionization/dissociation. I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια, η κατανόηση της αλληλεπίδρασης ισχυρών πεδίων λέιζερ με άτομα και μόρια αποτελεί πεδίο έρευνας πολύ έντονου επιστημονικού ενδιαφέροντος, ιδιαίτερα με την κατασκευή εξαιρετικά βραχύχρονων και ισχυρών παλμών λέιζερ [1]. Επιδίωξη είναι όχι μόνον να γίνουν κατανοητά ποσοτικά τα φαινόμενα που εμφανίζονται αλλά και να ελέγχεται η συμπεριφορά των ατόμων και μορίων συναρτήσει των παραμέτρων των παλμών λέιζερ, με προφανείς τεχνολογικές προεκτάσεις. Η προϋπόθεση για την λύση των σχετικών προβλημάτων είναι η θεωρία και η υπολογιστική μεθοδολογία να είναι μη διαταρακτική και να λαμβάνονται υπ όψιν τα χαρακτηριστικά των παλμών αυτών. Για τον σκοπό αυτό εφαρμόσαμε προηγμένες μεθόδους της Κβαντικής (QM και της Κλασσικής (CM μηχανικής, κι επί πλέον νέες υπολογιστικές μεθόδους για την λύση εξισώσεων που συνδέονται με τέτοια προβλήματα. Ως προς την QM, χρησιμοποιήσαμε δύο τρόπους για να υπολογισθούν και να εξηγηθούν η προβλεφθούν νέα φαινόμενα. Ο ένας απαιτεί την λύση της timedependent Schrödinger equation (TDSE Ψ( t i = ( H t o + H L ( t Ψ( t όπου Η ο η Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου ατόμου/μορίου και Η L (t η Χαμιλτονιανή αλληλεπίδρασης του ατόμου/μορίου με έναν η περισσότερους παλμούς λείζερ. Η επίλυση της TDSE πραγματοποιήθηκε με βάση την State-Specific Expansion Approach (SSEA [], αναπτύσσοντας την κυματοσυνάρτηση του συστήματος Ψ(t στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του δέσμιου και του συνεχούς φάσματος του αδιατάρακτου ατόμου/μορίου (Η ο με συντελεστές εξαρτωμένων απo τον χρόνο. Η αριθμητική επίλυση της TDSE απαιτείται όταν οι ισχυροί παλμοί λέιζερ έιναι βραχύχρονοι. Ο άλλος τρόπος αφορά μακρύχρονους παλμούς λέιζερ και βασίζεται στην λύση της complex eigenvalue Schrödinger equation [], όπου τα προβλήματα μετατρέπονται σε μη Ερμιτιανά και οι (1

2 μιγαδικές λύσεις περιέχουν την πληροφορία για την ενέργεια και την δυναμική. Ως προς την CM, επιλύσαμε αριθμητικά τις εξισώσεις κίνησης του Χάμιλτον για την περίπτωση όπου ένα διατομικό μόριο αλληλεπιδρά μ έναν παλμό λέιζερ. Εφαρμόσαμε σύγχρονες μεθόδους από τον χώρο της μη γραμμικής-χαοτικής δυναμικής [4,5] για να εξηγήσουμε το φαινόμενο φωτοδιάσπασης διατομικού μορίου και πως αυτό εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του παλμού. Σε συνδυασμό με τους νέους κβαντικούς υπολογισμούς που πραγματοποιήσαμε, επιτύχαμε μία βαθύτερη κατανόηση όσον αφορά την θεωρητική πρόβλεψη δυνατότητας ελέγχου της φωτοδιάσπασης καθώς και την πολύπτυχη σχέση μεταξύ QM και CM σε πραγματικά συστήματα. Φαινόμενα που διερευνήσαμε με την βοήθεια των μεθόδων που αναπτύξαμε παρουσιάζονται στο δεύτερο μέρος του άρθρου και αφορούν: α τον συμφωνο ελεγχο (coherent control του πολυφωτονικού ιονισμού, β τον χρονοεξαρτώμενο σχηματισμό της κατατομής υψηλά διηγερμένων καταστάσεων από ολιγόχρονους παλμούς λέιζερ και γ την πολυφωτονική διάσπαση διατομικών μορίων. Το ενδιαφέρον δεδομένο είναι ότι, λόγω της δομής των σχετικών εξισώσεων και των μεγάλων υπολογιστικών απαιτήσεων, υπάρχουν ανοικτά προβλήματα υπολογιστικής-αριθμητικής φύσης και ότι τέτοια προβλήματα προκαλούν ενδιαφέρον σε μαθηματικούς εφαρμογών οι οποίοι μελετούν εξισώσεις τέτοιας ή παρόμοιας μορφής. Οι μέθοδοι που βελτιώθηκαν και εφαρμόσθηκαν παρουσιάζονται στο τρίτο μέρος του άρθρου και είναι μονοβηματικές τύπου Runge-Kutta-Nyström και διβηματικές τύπου υβριδικές- Numerov II. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Α. Σύμφωνος έλεγχος (coherent control του πολυφωτονικού ιονισμού Ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα του συμφώνου ελέγχου (coherent control του πολυφωτονικού ιονισμού του αρνητικού ιόντος του υδρογόνου (H - εντός πεδίου τριών μακρόχρονων παλμών λέιζερ. Αυτή η περίπτωση επιτρέπει την διατύπωση του προβλήματος σε μορφή που είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Οι σχετικές βασικές εξισώσεις που λύθηκαν σε μορφή ιδιοτιμών πινάκων, είναι εξισώσεις του Schrödinger με μιγαδικές ιδιοτιμές, ζ = ε iγ/, οι οποίες είναι προϊόντα μη Ερμιτιανών κατασκευών, καταλλήλων για την περιγραφή καταστάσεων συντονισμού στο συνεχές φάσμα που προκύπτουν από τη θεωρία των μιγαδικών συντεταγμένων, γνωστή ως MEMPT (Many-Electron Many-Photon Theory, []. Οι ιδιοτιμές είναι συναρτήσεις των εντάσεων και των συχνοτήτων της ακτινοβολίας. Το Γ αντιστοιχεί στον ρυθμό πολυφωτονικού ιονισμού του H - και το ε περιέχει την πληροφορία για την επαγόμενη πόλωσή του. Αποδείξαμε ότι ο πολυφωτονικός ρυθμός ιονισμού υπακούει σε απλούς κανόνες σαν συνάρτηση των φάσεων των τριών πεδίων των μακρόχρονων παλμών λέιζερ. Παραδείγματος χάριν, ο πολυφωτονικού ρυθμού ιονισμού (Γ κυριαρχείται από τρεις όρους: Γ( ω1 = ω, F1 ; ω = ω, F, φ; ω = 4ω, F, φ ~ D + Ecos(φ + F cos( φ φ Προς επιβεβαίωση τούτου, στο Σχήμα 1 παραθέτουμε τα αποτελέσματα της MEMPT όπου δείχνεται η εξάρτηση του πολυφωτονικού ρυθμού ιονισμού του H - από απλές τριγωνομετρικές συναρτήσεις των φάσεων φ 1, φ, φ των τριών πεδίων λέιζερ (θεμελιώδης συχνότητα ω 1 = ω = 0.7 ev, ω = ω, ω = ω. Σχήμα 1 Πολυφωτονικός ρυθμός ιονισμού Γ (σε ατομικές μονάδες του Η - 1 S που αλληλεπιδρά με τρεις παλμούς λέιζερ εντάσεων I 1 =1.4x10 7 W/cm, I =.15x10 7 W/cm, I =5.6x10 7 W/cm (βλ. Κείμενο. Β. Χρονοεξαρτώμενος σχηματισμός της κατατομής (profile υψηλά διηγερμένων καταστάσεων από ολιγόχρονους παλμούς λέιζερ Σ αυτήν την ερευνητική δραστηριότητα δίνουμε ακριβή αποτελέσματα για την ενέργεια και τον χρονοεξαρτώμενο σχηματισμό της κατατομής (profile της διαφορικής πιθανότητας ιονισμού P(ε,t της βασικής κατάστασης του He 1s 1 S από την σύμφωνη διέγερση και διάσπαση της διπλά διηγερμένης κατάστασης He sp 1 P o που επάγεται από ένα ολιγόχρονο παλμό λέιζερ. Οι φυσικές διαδικασίες που εμπλέκονται στο πρόβλημα είναι: 1 παλμός λέιζερ + HeΨ (1 s S He (1 s g 1 0 ( ε p στην περιοχή της ο (s p P 1 0 αυτοϊονισμός + Ψο + + Ψ He (s p P He (1 s ( ε p Τα αποτελέσματά μας, είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν σε μελλοντικά πειράματα

3 φασματοσκοπίας σε πραγματικό χρόνο, που τα τελευταία χρόνια, με την δημιουργία παλμών λέιζερ διαρκείας μερικών εκατοντάδων attosecond βρίσκεται στο διεθνές επιστημονικό προσκήνιο [6]. Εφαρμόσαμε δύο γενικές μεθόδους. Η μία είναι αναλυτική, που χρησιμοποιεί την αλληλεπίδραση ηλεκτρονιακών διατάξεων στο συνεχές φάσμα, στο πλαίσιο της θεωρίας διαταραχών 1 ης τάξεως. Η άλλη είναι αριθμητική πέρα από την θεωρία διαταραχών, που χρησιμοποιεί την θεωρία μας της καθορισμένης κατάστασης για την λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης του Schrödinger []. Η πολυηλεκτρονιακή δομή και συσχέτιση λαμβάνονται υπ όψη δια της θεωρίας της καθορισμένης κατάστασης τόσο για την αρχική κατάσταση όσο και την κατάσταση συντονισμού και τις καταστάσεις του συνεχούς φάσματος. Τα αποτελέσματα των δύο μεθόδων είναι σε πολύ καλή συμφωνία, με μία μικρή ποσοτική διαφωνία για μεγάλες εντάσεις του πεδίου του laser. Οι αναλυτικοί τύποι (βλ. εξίσωση του άρθρου [6], για μικρές εντάσεις πεδίου, δείχνουν με σαφήνεια και απλότητα την εξάρτηση της κατατομής από τα χαρακτηριστικά του παλμού του λέιζερ. Στο παρακάτω τρισδιάστατο διάγραμμα δείχνεται η διαφορική πιθανότητα ιονισμού P(ε,t για την διέγερση της κατάστασης συντονισμού 1 o He sp P όπου ε είναι η ενέργεια πάνω από το κατώφλι ιονισμού, όπως υπολογίσθηκε από την αριθμητική επίλυση της χρονο-εξαρτώμενης εξίσωσης του Schrödinger. Όπως παρατηρούμε, προϊόντος του χρόνου σχηματίζεται το ασυμμετρικό προφίλ του Fano [7]. Σε αυτή την κατεύθυνση του προγράμματος μελετήσαμε κβαντικά και κλασσικά την διάσπαση του διατομικού μορίου του υδροφθορίου (HF όταν αυτό αλληλεπιδρά με ισχυρούς παλμούς λέιζερ. Όσον αφορά την QM, επιλύσαμε την TDSE με βάση τη μέθοδο της SSEA για μοριακά συστήματα. Η κλασσική μελέτη της φωτοδιάσπασης πραγματοποιήθηκε με βάση την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης του Χάμιλτον. Επί πλέον, χρησιμοποιήσαμε αναπαραστάσεις στον κλασσικό χώρο των φάσεων [4,5] προκειμένου να κατανοήσουμε βαθύτερα το φαινόμενο της φωτοδιάσπασης καθώς και πως αυτό εξαρτάται από τις παραμέτρους του λέιζερ. Στο σχήμα παρουσιάζουμε την κβαντική και κλασσική πιθανότητα διάσπασης συναρτήσει της συχνότητας του λέιζερ (ω, διαιρουμένης της συχνότητας ω 01 = (Ε 1 -Ε 0 που αντιστοιχεί στη διαφορά ενέργειας μεταξύ της βασικής και πρώτης διεγερμένης δονητικής κατάστασης του μορίου, για τρεις διαφορετικές εντάσεις (Ι του λέιζερ Ι=10 TW/cm, Ι=0 TW/cm και Ι=0 TW/cm. Παρατηρούμε ότι η κβαντική και η κλασσική πιθανότητα φωτοδιάσπασης εμφανίζουν μέγιστο σε μία περιοχή συχνοτήτων μικρότερης της συχνότητας ω 01 (ω~( x ω 01. Ο κλασσικός υπολογισμός προβλέπει αυτό το μέγιστο ακόμα και για την μικρότερη ένταση των 10 TW/cm σε καλή συμφωνία με τον αντίστοιχο κβαντικό υπολογισμό. Σημειώνουμε ότι το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό και από προηγούμενους κβαντικούς και κλασσικούς υπολογισμούς [4, 8], για υψηλές εντάσεις λέιζερ, χωρίς ωστόσο να έχει δοθεί μία πλήρης, ικανοποιητική εξήγηση. Σχήμα Διαφορική πιθανότητα ιονισμού P(ε,t για την διέγερση της κατάστασης συντονισμού He sp 1 P o όπου ε είναι η ενέργεια πάνω από το κατώφλι ιονισμού. Ο παλμός λέιζερ έχει διάρκεια 11 fs και συχνότητα που αντιστοιχεί σε ενέργεια φωτονίου ίση με 60.1 ev. Γ. Κβαντική και Κλασσική μελέτη φωτοδιάσπασης διατομικού μορίου Photodissociation probability (P D , 0,1 0,4 0, (a I = 10 TW/cm (b I = 0 TW/cm (c I = 0 TW/cm 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 Scaled frequency (ω / ω 01 Σχήμα Κβαντική (μαύρη γραμμή και κλασσική (γκρι γραμμή

4 πιθανότητα φωτοδιάσπασης HF για τρεις διαφορετικές εντάσεις λέιζερ (α Ι=10 TW/cm, (β Ι=0 TW/cm και (γ Ι=0 TW/cm. Οι κάθετες γραμμές αντιστοιχούν στις συχνότητες ω/ω0ν όπου ω0ν=(εν-ε0/ν (βλ και Σχήμα 4. άπειρο, και επομένως η πιθανότητα διάσπασης είναι μηδέν, όπως επιβεβαιώνεται και στο σχήμα (α. Καθώς η ένταση μεγαλώνει (σχήμα 5(c οι ΚΑΜ τόροι συρρικνώνονται και ένα μέρος της αρχικής κατάστασης βρίσκεται μέσα στη θάλασσα των χαοτικών τροχιών, που σημαίνει ότι οι τροχιές αυτές οδηγούν στη διάσπαση του μορίου. Σε υψηλότερες συχνότητες, για παράδειγμα ω/ω01=0.9, η εξήγηση είναι διαφορετική. Σε μικρές εντάσεις (σχήμα 5(b, το μεγαλύτερο μέρος της αρχικής κατάστασης εμφανίζεται μέσα στην περιοχή νησίδας συντονισμού (resonance island. Ωστόσο, εμφανίζεται ένας ακόμα μηχανισμός σταθεροποίησης του μορίου στις υψηλές συχνότητες. Ένα μέρος της αρχικής κατάστασης, αν και εμφανίζεται μέσα στην θάλασσα χαοτικών τροχιών, δεν θα καταλήξει σε διάσπαση του μορίου, λόγω της ύπαρξης τόρων ΚΑΜ που επιβιώνουν σε υψηλότερες ενέργειες. Σε μεγαλύτερες εντάσεις (σχήμα 5(d οι τόροι αυτοί έχουν καταστραφεί με αποτέλεσμα το μόριο να μπορεί να διασπαστεί. Η παραπάνω επιχειρηματολογία εξηγεί την διαπλάτυνση της καμπύλης της κλασσικής φωτοδιάσπασης συναρτήσει ης συχνότητας λέιζερ, καθώς η ένταση του λέιζερ αυξάνει (βλ. Σχήμα. Ολοκληρώνοντας, συμπεραίνουμε ότι το κλασσικό μοντέλο είναι ικανό να προβλέψει τα γενικά χαρακτηριστικά της καμπύλης της κβαντικής φωτοδιάσπασης του HF συναρτήσει της συχνότητας λέιζερ, αφού και οι δύο μέθοδοι προβλέπουν ότι η φωτοδιάσπαση του HF μεγιστοποιείται σε μία περιοχή συχνοτήτων λέιζερ μικρότερης της ω01. Τα αποτελέσματα αυτής της έρευνας έχουν σταλεί προς δημοσίευση [9]. Η κβαντική εξήγηση δίνεται στο σχήμα 4, όπου παρουσιάζουμε τις ενέργειες των δέσμιων δονητικών καταστάσεων του HF καθώς και τις πολυφωτονικές μεταβάσεις με ενδιάμεσους συντονισμούς. Το μέγιστο στην συχνότητα ω/ω01 ~ 0.88 οφείλεται στο γεγονός ότι το μόριο απορροφώντας έξι φωτόνια μεταφέρεται στην διεγερμένη δονητική κατάσταση ν=6, και μπορεί να διασπαστεί, αφού απορροφήσει άλλα επτά φωτόνια που ενδιαμέσως βηματίζουν πολύ κοντά στις υψηλά διεγερμένες δονητικές καταστάσεις. Με παρόμοιο συλλογισμό εξηγείται και το μέγιστο που εμφανίζεται στη συχνότητα ω/ω01 ~ 0.8 για ένταση του λέιζερ Ι=0 TW/cm. Ωστόσο, το μέγιστο αυτό είναι εμφανές μόνο σε μεγάλες εντάσεις λόγο του γεγονότος ότι απαιτούνται οκτώ φωτόνια για να μεταφερθεί το σύστημα από την βασική στην ν=8 δονητική κατάσταση του μορίου, δηλαδή είναι μια πολυφωτονική διαδικασία υψηλής τάξης. CONTINUUM Bound state energies (a.u ν=1 ν=0 ν=19 ν=18 ν=17 ν=16 ν=15 ν=14 ν=1 ν=1 ν=11 ν=10 ν=9 ν=8 ν=7-0,10 ν=6 ν=5-0,1 ν=4-0,14 1,0 (a ν= -0,16 ν= -0,18 ω/ω01 = 0.9, I=10 TW/cm ω/ω01 = 0.8, I=10 TW/cm (b resonance island 0,8 ν=1 - ω01 ω05 ω06 KAM 0,6 ν=0 ω07 ω08 ω09 KAM 0,4 Scaled energy (H0/D Σχήμα 4 Ενέργειες δέσμιων καταστάσεων του αδιατάρακτου μορίου του HF και πολυφωτονικές με ενδιάμεσους συντονισμούς. Προκειμένου να εμβαθύνουμε στην εξήγηση της κλασσικής φωτοδιάσπασης μελετήσαμε τις τροχιές στον χώρο των φάσεων, στην αναπαράσταση ενέργειας Η0/D (Ηο η Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου μορίου HF και D η ενέργεια διάσπασής του και γωνίας (θ, όπου θ ορίζεται αναλυτικώς από την ενέργεια, τη θέση και την ορμή του μορίου [4]. Στο σχήμα 5 παρουσιάζουμε στροβοσκοπικά γραφήματα για εντάσεις Ι=10, 0 TW/cm και για δύο διαφορετικές συχνότητες ω/ω01=0.8, 0.9. Η αρχική ενέργεια του μορίου παριστάνεται στο σχήμα με γκρι γραμμή. Για συχνότητα ω/ω01=0.8 και ένταση Ι=10 TW/cm παρατηρούμε ότι όλη η αρχική κλασσική κατάσταση βρίσκεται παγιδευμένη στους τόρους ΚΑΜ (Κolmogorof-ArnoldMoser, περιοδικές τροχιές που δεν διαφεύγουν στο 0, 1,0 (c I=0 TW/cm (d I=0 TW/cm 0,8 0,6 0,4 0, Angle (rad

5 Σχήμα 5 Στροβοσκοπικά γραφήματα για τέσσερις διαφορετικές τιμές των παραμέτρων λέιζερ (a Ι=10 TW/cm, ω/ω 01 =0.8, (b Ι=10 TW/cm, ω/ω 01 =0.9, (c Ι=0 TW/cm, ω/ω 01 =0.8, (d Ι=0 TW/cm, ω/ω 01 =0.9. ΙΙΙ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ SCHRODINGER Στην ενότητα ΙΙ παρουσιάσαμε αποτελέσματα για ατομικά και μοριακά συστήματα που αλληλεπιδρούν με ισχυρούς παλμούς λέιζερ. Στην περίπτωση που τα πεδία είναι πολύ ισχυρά ο αριθμός των εξισώσεων φθάνει την τάξη των εκατοντάδων χιλιάδων, γεγονός που καθιστά την μέθοδο λύσης (ανάπτυξη σε σειρά Taylor [] ασταθή λόγω συσσωρευμένου σφάλματος και επομένως, υπάρχει η ανάγκη για μαθηματική διερεύνηση του θέματος. Οι μέθοδοι που βελτιώθηκαν και εφαρμόσθηκαν είναι Α μονοβηματικές τύπου Runge-Kutta-Nyström και Β διβηματικές τύπου υβριδικές-numerov. Α. Μονοβηματική μέθοδος τύπου Runge-Kutta- Nyström Η εξίσωση ιδιοτιμών του Schrödinger για την Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου συστήματος (Η ο που προκύπτει από την TDSE (1 όταν ο όρος αλληλεπίδρασης λέιζερ-ατόμου/μορίου είναι μηδέν (Η L (t=0 και όταν το πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε πρόβλημα ενός σώματος μέσα σε δυναμικό, δίνεται από την σχέση l( l+ 1 y ( x = + V ( x E y( x ( x Παραγάγαμε μια οικογένεια τεσσάρων συμμετρικών μεθόδων έξι βημάτων με έκτη αλγεβρική τάξη και εκθετική τάξη από ένα έως τέσσερα. Οι τέσσερις μέθοδοι ολοκληρώνουν ακριβώς τις συναρτήσεις 7 Iωx p 1 Iωx 1, x,..., x, e,..., x e, p= 1 1 4, όπου το p { } ( εκφράζει την εκθετική τάξη της μεθόδου [10]. Οι παραγόμενες μέθοδοι διατηρούν την έκτη αλγεβρική τάξη, αυξάνουν όμως την εκθετική, που με χρήση φανταστικής συχνότητας μετατρέπουν τη μέθοδο σε τριγωνομετρικά προσαρμοσμένη μέθοδο. Οι μέθοδοι αυτού του τύπου είναι ιδιαίτερα αποδοτικές σε διαφορικές εξισώσεις με λύση ταλαντωτικής μορφής, όπως η εξίσωση Schrödinger, επιπλέον όμως παρουσιάζουν ένα επιπλέον πλεονέκτημα που σχετίζεται με την ενέργεια Ε. Αν κάνουμε την ανάλυση του τοπικού σφάλματος αποκοπής, τότε παρατηρούμε ότι η μέγιστη 8 4 δύναμη της ενέργειας στο συντελεστή του h είναι E για την αντίστοιχη κλασική μέθοδο, E (1 ης εκθετικής τάξης, E ( ης και ης και E (4 ης. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό συμπέρασμα, γιατί όταν χρησιμοποιούμε μεγάλη τιμή για την ενέργεια, η χαμηλή δύναμή της στον κυρίαρχο όρο του σφάλματος συνεπάγεται μικρότερο σφάλμα. Προβλέπουμε δηλαδή ότι αύξηση της εκθετικής τάξης της μεθόδου συντελεί στην αύξηση της αποδοτικότητάς της. Πράγματι κατά την ολοκλήρωση της εξίσωσης στο πρόβλημα του συντονισμού με χρήση του δυναμικού Woods-Saxon η προηγούμενη πρόβλεψη επιβεβαιώνεται. Ολοκληρώνουμε την εξίσωση Schrödinger για συγκεκριμένες τιμές ενέργειας (ιδιοτιμές για τις οποίες γνωρίζουμε την αναλυτική τους λύση (ίση με π/ και τις συγκρίνουμε με την αντίστοιχη αριθμητική λύση. Συμπεραίνουμε την αύξηση της αποδοτικότητας της μεθόδου καθώς η εκθετική τάξη αυξάνει, ιδίως για μεγάλες τιμές ενέργειας. Στο Σχήμα 6 συγκρίνουμε τα αποτελέσματα των νέων μεθόδων με τα αντίστοιχα των κλασσικών συμμετρικών μεθόδων έξι βημάτων [11], καθώς και μια ομάδα πρόσφατα κατασκευασμένων συμμετρικών μεθόδων τριγωνομετρικά προσαρμοσμένων [1]-[17]. Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι η νέα μέθοδος τέταρτης εκθετικής τάξης παρουσιάζει την υψηλότερη αποδοτικότητα από όλες τις εξεταζόμενες μεθόδους, κάτι που αναδεικνύει τη σημασία της εκθετικής προσαρμογής υψηλής τάξης για την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger. Accuracy Efficiency (E = New 4th exp order (6 New rd exp order (6 New nd exp order (6 4 New 1st exp order (6 Jenkins 6-step (6 Simos PSEF (6 Raptis (6 Henrici (6 Raptis-Allison (4 KS -Stage PSEF (4 Chawla -Stage PS ( Log 10 (Function Evaluations Σχήμα 6 Ακρίβεια μεθόδου προς συναρτησιακούς υπολογισμούς. B. Διβηματικές μέθοδοι τύπου Numerov. Στα πλαίσια της έρευνας μας ασχοληθήκαμε με την κατασκευή υβριδικών διβηματικών μεθόδων τύπου Numerov που συχνά χρησιμοποιούνται στην αριθμητική επίλυση της TDSE. Με βάση τις νέες μεθοδολογίες κατασκευής τους που έχουν αναπτυχθεί στη βιβλιογραφία [18, 19] και αναπτύχθηκε συμβολικό λογισμικό για την παραγωγή των εξισώσεων τάξης και των όρων του τοπικού σφάλματος αποκοπής για διβηματικές μεθόδους τύπου Numerov. Μία τέτοια s βημάτων μέθοδος σε διανυσματική μορφή μπορεί να γραφεί με την ακόλουθη μορφή: [ k+ 1] [ k] [ k 1] T U = U U + λ ( b Is f( Y [ k] [ k 1] λ s Y = ( e+ c U c U + ( A I f( Y ( 5

6 όπου λ είναι το βήμα στο χρόνο, [111 1] T S s s e = και I s μοναδιαίος. Οι συντελεστές της μεθόδου καθορίζεται από τον πίνακα s s S A και τα διανύσματα bc,. Στην περίπτωση που = 0, i jη μέθοδος είναι άμεση. a ij Για μία έξι σταδίων μέθοδο έχουμε πίνακες της μορφής: A , b= [ b1, b, b, b4, b5, b6], (4 a a c= [ 1,0, c, c, c, c ]. 1 = a41 a4 a a51 a5 a5 a a61 a6 a6 a64 a Για τον καθορισμό των συντελεστών της μεθόδου αναπτύσσουμε τα αντίστοιχα αναπτύγματα Taylor της θεωρητικής και της αριθμητικής λύσης και τα αφαιρούμε. Αυτό οδηγεί σε εκφράσεις της μορφής q F q F q F q F q F 7 1,1 1,1λ +,1,1λ +,1,1λ + + ( 7,1 7, ,10 7,10 λ ( ( q8,1f8,1 q8,1f8,0 λ O( λ Τα διάφορα F ij είναι εκφράσεις στοιχειωδών διαφορικών και τα q ij εκφράσεις που εμπλέκουν τους συντελεστές της μεθόδου της μορφής q = be 1, q = bc,..., q = bac,... ( Για να είναι μία μέθοδος έβδομης τάξης πρέπει να μηδενίζονται όλοι οι όροι στην έκφραση (5 μέχρι το λ 8. Έτσι μηδενίζοντας τα αντίστοιχα 4 συνολικά q ij έχουμε να λύσουμε τις εξισώσεις τάξης ως προς τους συντελεστές της μεθόδου. Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να μειωθούν εάν ικανοποιήσουμε απλοποιητικές παραδοχές της μορφής Ae = 1 ( c + c. (7 Η μεθοδολογία κατασκευής του συμβολικού λογισμικού που βασίζεται σε θεωρία γράφων, την συνδυαστική ανάλυση και τις τεχνικές συμβολικού προγραμματισμού. Το έργο στις διάφορες φάσεις του παρουσιάστηκε σε ένα συνέδριο [0] και η ερευνητική εργασία που προέκυψε έχει σταλεί σε διεθνές περιοδικό [1]. Ο κώδικας μπορεί να βρεθεί στην ιστοσελίδα μαζί με πρακτικά παραδείγματα χρήσης του. IV. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Το έργο αυτό συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο (75% και από Εθνικούς πόρους (5% Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευσης και Αρχικής Επαγγελματικής Κατάρτισης (ΕΠΕΑΕΚ και ειδικότερα από το πρόγραμμα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ.. V. ΑΝΑΦΟΡΕΣ [1] Time-resolved atomic inner-shell spectroscopy, M. Drescher, M. Hentschel, R. Kienberger, M. Uiberacker, V. Yaklovlev, A.Scrinzi, Th. Westerwalbesloh, U. Kleineberg, U. Heinzmannn and F. Krausz, Nature, Vol. 419, October 00, pp [] Computation of strong-field multiphoton processes in polyelectronic atoms: State-specific method and applications to H and Li -, T. Mercouris, Y. Komninos, S. Dionissopoulou and C. A. Nicolaides, Phys. Rev. A, Vol. 50, November 1994, pp [] Controllable surfaces of path interference in the multiphoton ionization of atoms by a weak trichromatic field -, T. Mercouris and C. A. Nicolaides, J. Opt. B, Vol. 7, September 005, pp. S40-S407. [4] Nonhyperbolic escape and changes in phase-space stability structures in laser-induced multiphoton dissociation of a diatomic molecule -, V. Constantoudis and C. A. Nicolaides, Phys. Rev. A., Vol 64, October 001, pp [5] Stabilization and relative phase effects in bichromatically driven diatomic Morse molecule: Interpretation based on nonlinear classical dynamics -, V. Constantoudis and C. A. Nicolaides,, J. Chem. Phys, Vol 1, February 005, pp [6] Time-dependent formation of the profile of the He sp 1 P 0 state excited by short laser pulse, T. Mercouris, Y. Komni0nos and C. A. Nicolaides, Phys. Rev. A., Vol 75, January 007, pp [7] Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts, U. Fano, Phys. Rev., Vol 14, July 1961, pp [8] Laser-induced dissociation of hydrogen floride, A.Guldberg and G. D. Billing,, Chem. Phys. Lett., Vol 186, November 1991, pp [9] Quantum and classical dynamics of a diatomic molecule in laser fields with frequency In the region producing maximum dissociation, K.I. Dimitriou, V. Constantoudis, Th. Mercouris, Y. Komninos and C. A. Nicolaides, submitted. [10] Chebyshevian multistep methods for Ordinary Differential Equations, T. Lyche, Num. Math., Vol. 19, 197, pp [11] [1] A Numerov-type method with minimal phase-lag for the integration of second order periodic initial-value problems. II. Explicit method, M.M. Chawla and P.S. Rao, J.Comput. Appl. Math., Vol 15, 1986, pp. 9 [1] Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations P. Henrici,, John Wiley and Sons, New York, USA, 196. [14] Exponentially-fitted solutions of the eigenvalue Schrödinger equation with automatic error control A.D. Raptis, Computer Physics Communications, Vol. 8, 198, pp. 47. [15] Exponential-fitting methods for the numerical solution of the Schrödinger equation D. Raptis and A.C. Allison, Computer Physics Communications, Vol. 14, 1978, pp. 1. [16] A P-stable exponentially-fitted method for the numerical integration of the Schrodinger equation, T.E. Simos, Molecular Simulation, 1, 14-15, (005. [17] A P-stable exponentially-fitted method for the numerical integration of the Schrodinger equation, Z. Kalogiratou and T.E. Simos, Applied Mathematics and Computation, Vol. 11, 000, pp [18] Explicit Numerov type methods for second order IVPs with oscillating solutions, G. Papageorgiou, Ch. Tsitouras and I. Th. Famelis, Int. J. Mod. Phys. C, Vol , [19] Explicit Numerov type methods with reduced number of stages, Ch. Tsitouras, Comput. Math. Appl., Vol. 4 00, pp [0] Famelis Th., Tsitouras Ch., Symbolic Derivation of Order Conditions for ODE solvers, N. A. Biennial Conference Dundee, Great Britain, 9 June - 1 July

7 [1] Symbolic Derivation of Order Conditions for Hubrid- Numerov-type methods solving, Th.Famelis, Ch Tsitouras., submitted. 7

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Χρονεξαρτημένη χαμιλτονιανή Στα προβλήματα τα οποία εξετάσαμε μέχρι τώρα η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές

Πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 11 Διατομικά Μόρια Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 11 Διατομικά Μόρια Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 11 Διατομικά Μόρια Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paula (Atkins

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Απεικόνιση ηλεκτρονίων ατόμων σιδήρου ως κύματα, διατεταγμένων κυκλικά σε χάλκινη επιφάνεια, με την τεχνική μικροσκοπικής σάρωσης σήραγγας. Δημήτρης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΑΡΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΑΡΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ 23/1/2017 ΤΡΙΤΗ 24/1/2017 1η 1ο ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ, 4 3ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ, 4 Γαλλικά (9.00 11.00)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό.

3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό. ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 16 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΠΡΟΤΥΠΟ BOHR ΟΜΑΔΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος και να αιτιολογήσετε αυτές που είναι λάθος : 1.

Διαβάστε περισσότερα

December 19, Raman. Stokes. Figure 1: Raman scattering

December 19, Raman. Stokes. Figure 1: Raman scattering Φασματοσκοπία Raman 1 Χειμερινό εξάμηνο 2016 December 19, 2016 1 Raman Το φως μπορεί να σκεδαστεί από ένα μοριακό δείγμα, κατά τη γνωστή μας διαδικασία της σκέδασης Rayleigh κατά την οποία το σκεδαζόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης

Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 1 Ηλεκτρονιακή δομή των ατόμων 1 Εισαγωγή Δομή του ατόμου Δημόκριτος Αριστοτέλης Dalton Thomson 400 π.χ. 350π.χ. 1808 1897 Απειροελάχιστα τεμάχια ύλης (τα

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 2/9/2016 ΠΕΜΠΤΗ 1/9/2016 ΤΕΤΑΡΤΗ 31/8/2016 ΤΡΙΤΗ 30/8/2016 ΔΕΥΤΕΡΑ 29/8/2016 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 1ο-2ο 3ο-4ο ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ 5ο-6ο 7ο-8ο 9ο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2016-17 1η 1o - 2ο 3o - 4ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ (7 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ ΟΥ 3 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ ΟΥ 3 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ ΟΥ 3 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΣΧΟΛΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Σήμερα 7-02-2013, ημέρα Πέμπτη και ώρα 10.00 συνήλθε σε συνεδρίαση το Συμβούλιο της Σχολής Τεχνολογικών Εφαρμογών του ΤΕΙ Αθήνας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΛΕΙΖΕΡ ΜΕ ΑΤΟΜΑ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΚΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΛΕΙΖΕΡ ΜΕ ΑΤΟΜΑ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΚΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΛΕΙΖΕΡ ΜΕ ΑΤΟΜΑ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΚΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Εμμανουήλ

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Σύστημα με δύο ηλεκτρόνια Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοµατεπώνυµο : ιεύθυνση : Email: Web: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΧΑΤΖΗΠΑΝΤΕΛΙ ΗΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Λεωφ. Κνωσσού, Ηράκλειο, 71409. chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa Προσωπικά

Διαβάστε περισσότερα

Πτυχιακή διατριβή. Η επίδραση της τασιενεργής ουσίας Ακεταλδεΰδης στη δημιουργία πυρήνων συμπύκνωσης νεφών (CCN) στην ατμόσφαιρα

Πτυχιακή διατριβή. Η επίδραση της τασιενεργής ουσίας Ακεταλδεΰδης στη δημιουργία πυρήνων συμπύκνωσης νεφών (CCN) στην ατμόσφαιρα ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή διατριβή Η επίδραση της τασιενεργής ουσίας Ακεταλδεΰδης στη δημιουργία πυρήνων συμπύκνωσης νεφών (CCN)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΡΟΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Γεωργίου Π. Νίνη «Η Θεωρία Ομάδων και

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Σ. ΠΟΛΙΤΗΣ Διπλ. Φυσικός Πανεπιστημίου Πατρών Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Σ. ΠΟΛΙΤΗΣ Διπλ. Φυσικός Πανεπιστημίου Πατρών Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Σ. ΠΟΛΙΤΗΣ Διπλ. Φυσικός Πανεπιστημίου Πατρών Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 1.1 ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Επώνυμο ΠΟΛΙΤΗΣ Όνομα Όνομα πατρός Διεύθυνση Ηλ. διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΜΟΡΙΑ, ΥΛΙΚΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΜΟΡΙΑ, ΥΛΙΚΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΜΟΡΙΑ, ΥΛΙΚΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ι ΑΣΚΟΝΤΕΣ: Μαρία Κανακίδου, Σταύρος Φαράντος, Γιώργος Φρουδάκης 1 / 31 ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΡΩΤΗ Σύγχρονη Υπολογιστική Χηµεία: Επισκόπηση Μοριακές Θεωρίες

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ III. ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ III. ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εικόνα του ατόμου που είναι τόσο γνωστή, δηλαδή ο πυρήνας και γύρω του σε τροχιές τα ηλεκτρόνια σαν πλανήτες (το πρότυπο του Ruterford

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΔΙΠΛΗΣ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015, ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΔΙΠΛΗΣ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015, ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 6/2/2015 ΠΕΜΠΤΗ 5/2/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 4/2/2015 ΤΡΙΤΗ 3/2/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 2/2/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΔΙΠΛΗΣ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ Ν. Γιόκαρης,, (Κ.Ν.( Παπανικόλας) & Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ,, 2016 Φλοιώδης Δομή των Πυρήνων Η σύζευξη Spin Τροχιάς (L S)( Διέγερση και Αποδιέγερση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ( )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ( ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4/9/2015 ΠΕΜΠΤΗ 3/9/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 2/9/2015 ΤΡΙΤΗ 1/9/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 31/8/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οπτικά πλέγματα με υπέρψυχρα ατομικά αέρια

Οπτικά πλέγματα με υπέρψυχρα ατομικά αέρια Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Οπτικά πλέγματα με υπέρψυχρα ατομικά αέρια Optical lattices with ultracold atomic gases Στέφανος Κούρτης Υπέρψυχρα ατομικά

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

Φασματοσκοπίας UV/ορατού Φασματοσκοπίας υπερύθρου Φασματοσκοπίας άπω υπερύθρου / μικροκυμάτων Φασματοσκοπίας φθορισμού Φασματοσκοπίας NMR

Φασματοσκοπίας UV/ορατού Φασματοσκοπίας υπερύθρου Φασματοσκοπίας άπω υπερύθρου / μικροκυμάτων Φασματοσκοπίας φθορισμού Φασματοσκοπίας NMR Φασματοσκοπία Ερμηνεία & εφαρμογές : Φασματοσκοπίας UV/ορατού Φασματοσκοπίας υπερύθρου Φασματοσκοπίας άπω υπερύθρου / μικροκυμάτων Φασματοσκοπίας φθορισμού Φασματοσκοπίας NMR Ποια φαινόμενα παράγουν τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4/9/2015 ΠΕΜΠΤΗ 3/9/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 2/9/2015 ΤΡΙΤΗ 1/9/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 31/8/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΡΜΟΥ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ 5ο 7ο 9ο

ΚΟΡΜΟΥ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ 5ο 7ο 9ο ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2016-17 1η 5ο 7ο 9ο ΔΕΥΤΕΡΑ 23/1/2017 ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ, 4 --------- Γαλλικά

Διαβάστε περισσότερα

Διατομικά μόρια- Περιστροφική ενέργεια δονητικά - περιστροφικά φάσματα

Διατομικά μόρια- Περιστροφική ενέργεια δονητικά - περιστροφικά φάσματα Διατομικά μόρια- Περιστροφική ενέργεια δονητικά - περιστροφικά φάσματα Πολυατομικά μόρια περιστροφική ενέργεια περιστροφικά φάσματα Σκέδαση φασματοσκοπία n συνεισφορά του πυρηνικού σπιν Δονητικά περιστροφικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Μερικές εφαρμογές. Τεχνικές προσομοίωσης και σχεδιασμού υλικών σε ΗΥ. Υπολογιστικές μέθοδοι στην επιστήμη των υλικών

Εισαγωγικές έννοιες. Μερικές εφαρμογές. Τεχνικές προσομοίωσης και σχεδιασμού υλικών σε ΗΥ. Υπολογιστικές μέθοδοι στην επιστήμη των υλικών Τεχνικές προσομοίωσης και σχεδιασμού υλικών σε ΗΥ Μερικές εφαρμογές Εισαγωγικές έννοιες Εναπόθεση σε Cu(111) Τσαλάκωμα γραφενίου Τριβή Δ.Γ. Παπαγεωργίου Ανάμιξη νερού πεντανίου Σκίσιμο γραφενίου Πρόσκρουση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2016-17 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 1η 5ο 7ο 9ο ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 27/1/201 ΠΕΜΠΤΗ 26/1/2017

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Άτομα αερίου υδρογόνου που βρίσκονται στη θεμελιώδη κατάσταση (n = 1), διεγείρονται με κρούση από δέσμη ηλεκτρονίων που έχουν επιταχυνθεί από διαφορά δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές Καταστάσεις

Κβαντικές Καταστάσεις Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Ατομική Δομή ΙΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Ατομική Δομή ΙΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cetive Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ

ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Ενότητα 5 Φασματοσκοπία υπερύθρου διατομικών μορίων Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 10/11/2013 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ( )

ΠΡΟΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ( ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4/9/2015 ΠΕΜΠΤΗ 3/9/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 2/9/2015 ΤΡΙΤΗ 1/9/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 31/8/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΣΧΕΔΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦ ΑΡΜ ΟΣΜ ΕΝΩΝ Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ Φ ΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜ ΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο 3ο-4ο 5ο-6ο 5ο-6ο Μαθηματικού 7ο-8ο Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Δομή Διάλεξης Γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενο μέρος Χαμιλτονιανής. Εύρεση πιθανότητας μετάβασης Απλό παράδειγμα με ακριβή λύση: Σύστημα δύο καταστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή δομή Ο2 σύμφωνα με VB διαμαγνητικό

Μοριακή δομή Ο2 σύμφωνα με VB διαμαγνητικό Μοριακή δομή Ο 2 σύμφωνα με VB? διαμαγνητικό Θεωρία Μοριακών Τροχιακών Μolecular Orbital Theory (MO) Τα μοριακά τροχιακά (molecular orbital) είναι κυματοσυναρτήσεις οι οποίες προκύτπουναπότογραμμικόσυνδυασμότωνκυματοσυναρτήσεωντωναο.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Μοριακή Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Μοριακή Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική Μοριακή Δομή ΙΙ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ - ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΑΡΙΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ - ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΑΡΙΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 22/1/2016 ΠΕΜΠΤΗ 21/1/201 ΤΕΤΑΡΤΗ 20/1/2016 ΤΡΙΤΗ 19/1/2016 ΔΕΥΤΕΡΑ 18/1/201 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ - ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΑΡΙΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2015-16 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ II. ΤΟ ΦΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ BOHR Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κλειδί στην παραπέρα διερεύνηση της δομής του ατόμου είναι η ερμηνεία της φύσης του φωτός και ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Ιωάννης Καλαμαράς, Διδάκτωρ Χημικός. 100 Ερωτήσεις τύπου Σωστού Λάθους Στο τέλος οι απαντήσεις

Δρ. Ιωάννης Καλαμαράς, Διδάκτωρ Χημικός. 100 Ερωτήσεις τύπου Σωστού Λάθους Στο τέλος οι απαντήσεις 1 ο Κεφάλαιο Χημείας Θετικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Ερωτήσεις τύπου Σωστού Λάθους Στο τέλος οι απαντήσεις 1. Η εξίσωση E = h v μας δίνει την ενέργεια μιας ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας 2. H κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΗΛΙΑ ΣΙΜΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΤΟΥ ΠΡΟΕΔΡΕΙΟΥ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΑΚΤΙΚΟΥ ΜΕΛΟΥΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΩΝ, ΑΝΤΕΠΙΣΤΕΛΛΟΝΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παραμαγνητικός συντονισμός

Παραμαγνητικός συντονισμός Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη

Διαβάστε περισσότερα

Δx

Δx Ποια είναι η ελάχιστη αβεβαιότητα της ταχύτητας ενός φορτηγού μάζας 2 τόνων που περιμένει σε ένα κόκκινο φανάρι (η η μέγιστη δυνατή ταχύτητά του) όταν η θέση του μετράται με αβεβαιότητα 1 x 10-10 m. Δx

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΠΡΟΤΥΠΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ «Β ΘΕΜΑΤΑ ΑΤΟΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ» ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Χ. Δ. ΦΑΝΙΔΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-05 ΘΕΜΑ B Σχέσεις μεταξύ κινητικής,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 1: Αριθμητικές μέθοδοι στα φαινόμενα μεταφοράς και στη θερμοδυναμική Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ - ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΑΡΙΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ - ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΑΡΙΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΕΙΜΕΡΙΝΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ - ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΑΡΙΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2015-16 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2 1η 5ο-6ο 7ο-8ο 9ο ΔΕΥΤΕΡΑ 18/1/201 ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (ΣΤΑΤΙΚΗ) ΑΜΦ.1,2,3,4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας)

3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.1-1 3.1 Η Αρχή της υπέρθεσης (ή της επαλληλίας) 3.1.1 Γενική διατύπωση 3.1. Εύρος ισχύος της αρχής της υπέρθεσης 3.1.3 Μαθηματικές συνέπειες της αρχής της υπέρθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6: Ατομική Δομή Συμμετρία Εναλλαγής

Διάλεξη 6: Ατομική Δομή Συμμετρία Εναλλαγής Συμμετρία Εναλλαγής Σε μονοηλεκτρονιακά άτομα ιόντα η κατάσταση του ηλεκτρονίου καθορίζεται από τέσσερις κβαντικούς αριθμούς {n, l, m l, m s } ή {n, l, j, m j }. Σε πολυηλεκτρονιακά άτομα πόσα ηλεκτρόνια

Διαβάστε περισσότερα

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19)

( J) e 2 ( ) ( ) x e +, (9-14) = (9-16) ω e xe v. De = (9-18) , (9-19) Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας Η φασµατική περιοχή στην οποία βρίσκεται µια φωτεινή ακτινοβολία χαρακτηρίζεται από την συχνότητα ν (Hz) µε την οποία ταλαντώνεται το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο του φωτός.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί αριθμοί τρεις κβαντικοί αριθμοί

Κβαντικοί αριθμοί τρεις κβαντικοί αριθμοί Κβαντικοί αριθμοί Στην κβαντομηχανική εισάγονται τρεις κβαντικοί αριθμοί για τον καθορισμό της κατανομής του ηλεκτρονιακού νέφους (ατομικού τροχιακού). Οι κβαντικοί αυτοί αριθμοί προκύπτουν από την επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες αντιλήψεις γύρω από το άτομο. Κβαντική θεωρία.

Σύγχρονες αντιλήψεις γύρω από το άτομο. Κβαντική θεωρία. Σύγχρονες αντιλήψεις γύρω από το άτομο. Κβαντική θεωρία. Η κβαντική θεωρία αναπτύχθηκε με τις ιδέες των ακόλουθων επιστημόνων: Κβάντωση της ενέργειας (Max Planck, 1900). Κυματική θεωρία της ύλης (De Broglie,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας

Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας Ασκήσεις Φασµατοσκοπίας Η φασµατική περιοχή στην οποία βρίσκεται µια φωτεινή ακτινοβολία χαρακτηρίζεται από την συχνότητα ν (Hz) µε την οποία ταλαντώνεται το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο του φωτός.

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ

ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ ΜΟΡΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑ Ενότητα 2 Ένταση και πλάτος φασματικών γραμμών Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Φυσικών της Ώθησης ΘΕΜΑ A ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Παρασκευή, 0 Μαΐου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ Στις ερωτήσεις Α -Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 013 - ΕΞΕΤΑΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΛΛΙΚΑ ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΑ ΥΠΟ ΘΛΙΨΗ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ

ΜΕΤΑΛΛΙΚΑ ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΑ ΥΠΟ ΘΛΙΨΗ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΑ ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΑ ΥΠΟ ΘΛΙΨΗ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΚΑΝΟΝΙΣΤΙΚΩΝ ΙΑΤΑΞΕΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα