Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ"

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΥΠΟΣ & ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θεωρητικό - Υποχρεωτικό ΤΥΠΙΚΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 4ο (Εαριό εξάμηο ) ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΕΣ ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤ. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΦΟΡΤΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6 2 Ωρες θεωρία με ασκήσεις Μηχαική ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΣΚΟΠΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ Κοιή λογική, Αεξάρτητο πεύμα, Μελέτη. Καταόηση βασικώ εοιώ και αρχώ της Τεχικής Μηχαικής και ειδικότερα (α) της Στερεοστατικής, όπως στερεό σώμα, δύαμη, ροπή δύαμης, διάγραμμα ελεύθερου σώματος, στηρίξεις, συθήκες ισορροπίας, κέτρα βάρους και κετροειδή, προσδιορισμός φορτίω διατομής και (β) της Ατοχής τω Υλικώ, όπως ορθή και διατμητική τάση και τροπή, ετατική κατάσταση φορέα, καταπόηση σε μοοαξοικό εφελκυσμό, θλίψη, λυγισμό, κάμψη, στρέψη και Ικαότητα εφαρμογής τους στη επίλυση απλώ προβλημάτω Στερεοστατικής και Ατοχής τω Υλικώ ως και τυχό απαραίτητη μοτελοποίηση τεχικώ προβλημάτω. Ατικείμεο, διαίρεση και αρχές της Μηχαικής. Στερεοστατική: Δύαμη, ροπή δύαμης, έοια της ισοδυαμίας, ισοδύαμα συστήματα δυάμεω, σύθεση δυάμεω, στερεό σώμα, διάγραμμα ελεύθερου σώματος, είδη στήριξης φορέω. Στερεοστατικές Εξισώσεις Ισορροπίας σημείου και στερεού σώματος στο επίπεδο και στο χώρο, ισορροπία συστήματος στερεώ σωμάτω. Κέτρα βάρους και κετροειδή. Σύθετοι φορείς. Επίπεδοι δικτυωτοί φορείς, μέθοδος κόμβω. Ολόσωμοι φορείς, δοκός με συγκετρωμέα και καταεμημέα φορτία, αρθρωτοί φορείς. Υπολογισμός Φορτίω Διατομής (αξοική δύαμη, τέμουσα δύαμη, καμπτική ροπή). Ατοχή τω Υλικώ: Μέθοδος τω τομώ. Διαγράμματα σ-ε. Μοοαξοικός εφελκυσμός-θλίψη. Διάτμηση. Κετρική Κάμψη, ελαστική γραμμή, ροπές αδράειας. Στρέψη, Λυγισμός, Αρχή της επαλληλίας, σύθετες καταποήσεις. Εεργειακές μέθοδοι. Υπερστατικά προβλήματα. Π. Βουθούη: "Τεχική Μηχαική", Αθήα 2002, Ζ έκδοση (βιβλίο του μαθήματος που προσφέρεται από το ΤΕΙ Χαλκίδας). Π. Βουθούη: "Τεχική Μηχαική Ατοχή τω Υλικώ", Αθήα 2002, Ζ έκδοση. Π. Βουθούη: "Μηχαική του Απαραμόρφωτου Στερεού -Στατική", Αθήα 2003, Δ έκδοση. Θ. Δ. Τριβέλλα, "Μαθήματα Τεχικής Μηχαικής", Γκιούρδας Εκδοτική, Αθήα Ι. Γκαρούτσου: "Εισαγωγή στη Στατική, Συοπτική Θεωρία και Ασκήσεις", Spin, Αθήα. W. Mc Lean and W. Nelson: "Engineering Mechanics", Schaum's outline Series, McGraw - Hill, New York. F. Beer and E. Johnston: "Vector Mechanics for Engineers", McGraw - Hill, New York. Δημήτριος Παλλές, Επιστημοικός Συεργάτης.

2 ΜΗΧΑΝΙΚΗ : Περιγραφή και πρόβλεψη τω καταστάσεω κίησης τω σωμάτω (η ηρεμία μπορεί α θεωρηθεί ειδική περίπτωση κίησης) λόγω αλληλεπίδρασης ή υπό τη επίδραση εξωτερικώ αιτίω. ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΔΙΑΚΡΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Γείκευση Μαθηματικής διατύπωσης όμω κίησης ή ισορροπίας τω σωμάτω. (Θεωρητική Φυσική) ΤΕΧΝΙΚΗ ή ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Χρήση τω αρχώ της Θεωρ. Μηχ. στη αάπτυξη μεθοδολογίας επίλυσης προβλημάτω τεχικώ/πρακτικώ εφαρμογώ. Σκοπός η βέλτιστη διαστασιολόγηση τω κατασκευώ (ασφαλής και με ελάχιστο δυατό κόστος κατασκευή). ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Έρευα αλληλεπίδρασης υλικώ σωμάτω και τω συθηκώ ύπαρξης ισορροπίας ή προξεούμεης κίησης και παραμόρφωσης. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ (ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ) περιλαμβάει τη Υδροστατική, τη Υδροδυαμική (τελευταία και τη Μαγητοϋδροδυαμική) και τη Αεριοδυαμική (Δυαμική συμπιεστώ ρευστώ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΠΑΡΑΜΟΡΦΩΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Οι αποστάσεις μεταξύ τω υλικώ σημείω του στερεού παραμέου σταθερές αεξαρτήτως φορτίσεως. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΜΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Το στερεό σώμα μπορεί α παραμορφώεται υπο τη επίδραση εξωτερικώ φορτίσεω. ΣΤΑΤΙΚΗ Μελέτη τω συθηκώ ακιησίας/ισορροπίας τω στερεώ σωμάτω. Επίλυση ισοστατικώ και υπερστατικώ προβλημάτω. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΠΑΡΑΜΟΡΦΩΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ (ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ) Μελέτη τω συθηκώ ισορροπίας τω στερεώ σωμάτω με τη υπόθεση οτι αυτά παραμέου απαραμόρφωτα υπό τη επίδραση φορτίσεω. Επίλυση ισοστατικώ προβλημάτω. ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Προσδιορισμός τω εσωτερικώ τάσεω και παραμορφώσεω που ααπτύσσοται σε έα σώμα υπό τη επίδραση εξωτερικώ φορτίσεω, με τη επίλυση συστήματος διαφορικώ εξισώσεω με ισάριθμους αγώστους ύστερα από τη εισαγωγή εός όμου που συδέει δυάμεις με παραμορφώσεις (από μαθηματικής σκοπιάς ιδιαίτερα δυσχερές πρόβλημα στις περισσότερες περιπτώσεις). ΑΝΤΟΧΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Προσεγγιστική λύση του προβλήματος της Μηχαικής του παραμορφωσίμου σώματος με τη βοήθεια απλοποιητικώ παραδοχώ. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΡΑΜΟΡΦΩΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Γεωμετρική αάλυση της κίησης τω σωμάτω αεξαρτήτως αιτίω που τη προκαλού. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΠΑΡΑΜΟΡΦΩΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Αάλυση της κίησης τω σωμάτω ως συέπεια τω αλληλεπιδράσεώ τους. 2

3 ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ, ΜΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ) Οι όμοι του Νεύτωα (Newton) επαρκού πλήρως για τη αιτιολόγηση και ερμηεία του συόλου σχεδό τω προβλημάτω της Μηχαικής, με τη προϋπόθεση ότι οι ταχύτητες που ααπτύσσου τα σώματα είαι αμελητέες σε σχέση με τη ταχύτητα του φωτός. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Πληρέστερη περιγραφή της Μηχαικής που περιλαμβάει και τη περίπτωση που οι ταχύτητες που ααπτύσσου τα σώματα είαι συγκρίσιμες με τη ταχύτητα του φωτός. Στη οριακή περίπτωση τω μικρώ ταχυτήτω συμπίπτει με τη Νευτώεια. ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ (NEWTON). ΝΟΜΟΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ: Κάθε σώμα εμμέει στη κατάσταση ηρεμίας του ή ευθυγράμμου ισοταχούς κιήσεως, εκτός α εφαρμοσμέες δυάμεις το ααγκάσου α αλλάξει κατάσταση. Αυτός ο όμος θέτει στη ουσία τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες ισχύει ο δεύτερος όμος, ορίζοτας το αδραειακό σύστημα ααφοράς. 2. ΝΟΜΟΣ ΚΙΝΗΣΕΩΣ (ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ): Η μεταβολή της ορμής είαι αάλογη στη κιούσα δύαμη και γίεται κατά τη κατεύθυσή της. F = dp/dt = m dv/dt = m a. 3. ΝΟΜΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΩΣ: Σε κάθε δράση αθίσταται πάτα μία ίση ατίδραση, ή οι αμοιβαίες επιδράσεις δύο σωμάτω «επ αλλήλω» είαι πάτα ίσες και με ατίθετη κατεύθυση, όχι απαραίτητα συγγραμμικές. F 2 = F ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ή ΥΠΕΡΘΕΣΗΣ: Οι δυάμεις οι εφαρμοζόμεες στα σώματα συμπεριφέροται ως διαύσματα. Στη περίπτωση που δύο ή περισσότερες δυάμεις επεεργού ταυτόχροα σε έα σώμα, ο διαυσματικός τους χαρακτήρας επιτρέπει α υπολογίσουμε το συολικό τους αποτέλεσμα (ατίδραση, τάση), το οποίο ισούται με το διαυσματικό άθροισμα τω αποτελεσμάτω που θα προέρχοτα απο κάθε δύαμη, εά αυτή δρούσε αεξάρτητα στο σώμα. Η ίδια αρχή εφαρμόζεται και για τις μικρές παραμορφώσεις που προκαλούται στα παραμορφώσιμα σώματα από εξωτερικές φορτίσεις. 5. ΑΡΧΗ ΤΟΥ SAINT-VENANT: Στατικά ισοδύαμα συστήματα, επιφέρου ίδιες τάσεις και παραμορφώσεις σε ικαοποιητική απόσταση απο τη περιοχή εφαρμογής τους. 6. ΝΟΜΟΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ: Η αμοιβαία έλξη μεταξύ δύο υλικώ σημείω είαι αάλογη προς το γιόμεο τω μαζώ τους και ατιστρόφως αάλογη προς το τετράγωο της απόστασής τους. F G = G m m 2 / r 2. 3

4 ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΥΝΑΜΗΣ, ΡΟΠΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ, ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ ΔΥΝΑΜΗ Εώ η έοια της δύαμης γίεται διαισθητικά ή εστικτωδώς εύκολα ατιληπτή, είαι αρκετά δύσκολο α δοθεί έας αυστηρός ορισμός της. Μπορούμε α πούμε οτι είαι έα αίτιο μεταβολής της κιητικής ή/και παραμορφωσιακής κατάστασης τω σωμάτω, το οποίο όμως γίεται ατιληπτό/μετρήσιμο μόο από τα αποτελέσματα της εφαρμογής του. Παραδείγματα (α) μεταβολή κιητικής κατάστασης: έα ηλεκτρόιο εισερχόμεο με κάποια αρχική ταχύτητα παράλληλα στους οπλισμούς εός πυκωτή, αποκτά μετά τη έξοδό του από αυτό μία συιστώσα ταχύτητας κάθετη στους οπλισμούς εξ αιτίας της δύαμης του ηλεκτρικού πεδίου (β) μεταβολή παραμορφωσιακής κατάστασης: δύο ευθύγραμμοι παράλληλοι αγωγοί διαρρεόμεοι από ηλεκτρικό ρεύμα της ίδιας φοράς ασκού ο έας στο άλλο ελκτική δύαμη που προκαλεί τη παραμόρφωσή τους σε καμπυλόγραμμους αγωγούς (λόγω του μαγητικού πεδίου που δημιουργείται γύρω τους και λόγω της επεέργειας τω δυάμεω Laplace). Ο δεύτερος όμος του Νεύτωα μας δίει έα τρόπο υπολογισμού της συισταμέης δύαμης που ασκείται σε έα σώμα, εά γωρίζουμε πώς μεταβάλλεται η κιητική του κατάσταση ως συάρτηση του χρόου: F=dp/dt=d(m. v)/dt Σύμφωα και με τη αρχή της επαλληλίας, η δύαμη είαι διαυσματικό μέγεθος, αλλά όπως θα δούμε δε είαι ελεύθερο αλλά εφαρμοστό διάυσμα. Μοάδες SI: Ν (Newton, Νιούτο) = kg. m/s 2 ), άλλη μοάδα kp=9.8n 0Ν. 4

5 { Παρέθεση - Στοιχεία διαυσματικής άλγεβρας: Στη προσπάθεια περιγραφής τω φυσικώ φαιομέω με όσο το δυατό μεγαλύτερη πληρότητα, χρησιμοποιούται διάφορες μαθηματικές έοιες. Φυσικά μεγέθη όπως η θερμοκρασία, ο χρόος, η μάζα, η εέργεια χαρακτηρίζοται πλήρως με τη ααφορά εός μόο πραγματικού αριθμού (του μέτρου τους) και βέβαια της μοάδας μέτρησης τους. Τέτοια μεγέθη οομάζοται μοόμετρα ή βαθμωτά. Ορισμός διαύσματος. Εα μέγεθος Α που χαρακτηρίζεται (α) από έα «μέτρο» ή «μήκος» (αριθμός ή βαθμωτό μέγεθος) συοδευόμεο με τις κατάλληλες μοάδες (β) από μία διεύθυση (οομάζεται και φορέας) (γ) από μία φορά (σε κάθε διεύθυση ορίζοται δύο φορές από τις οποίες μία χαρακτηρίζεται ως θετική και η ατίθετή της ως αρητική) (δ) από έα σημείο εφαρμογής (στη Στερεοστατική όπως θα δούμε παίζει σηματικό ρόλο και χαρακτηρίζει το εφαρμοστό διάυσμα, σε ατίθεση με τα Μαθηματικά όπου δε παρουσιάζει εδιαφέρο και χαρακτηρίζει το ελεύθερο διάυσμα). Η ύπαρξη του σημείου εφαρμογής είαι μία εξιδαίκευση, διότι π.χ. πάτα η περιοχή εφαρμογής δυάμεω εξ επαφής μεταξύ τω σωμάτω είαι μη μηδεικώ διαστάσεω. Έα τέτοιο μέγεθος που μπορεί α συδυάζεται με άλλα ομοειδή μεγέθη σύμφωα με έα ειδικό καόα («πράξη»), είαι δυατό σε πολλές περιπτώσεις α παρασταθεί από έα «διάυσμα Α» και συμβολίζεται είτε Α, είτε A r. Το μέτρο ή μήκος του συμβολίζεται με A, A ή Α. Μοαδιαία διαύσματα είαι όλα τα διαύσματα που έχου μέτρο ίσο με μία μοάδα μέτρησης του φυσικού μεγέθους που περιγράφου. Συήθως αυτά συμβολίζοται με μικρά γράμματα και επιπλέο κάποιες φορές έχου ξεχωριστό διακριτικό σύμβολο (π.χ. «καπέλλο»): Μοαδιαίο διάυσμα a, α, a r, aˆ, a = a =. Υπάρχου ωστόσο ποσότητες που χαρακτηρίζοται από μέτρο και κατεύθυση και δε μπορού α παρασταθού από διαύσματα, είτε διότι δε ικαοποιού το όμο του παραλληλογράμμου για τη πρόσθεση (βλ. παρακάτω), είτε διότι το μέτρο και/ή η κατεύθυσή τους δε είαι αεξάρτητα από τη εκλογή του συστήματος συτεταγμέω. Παράδειγμα: οι πεπερασμέες περιστροφές δε είαι διαυσματικό μέγεθος. 5

6 Πλεοεκτήματα διαυσματικού συμβολισμού. Η διατύπωση εός φυσικού όμου με διαύσματα είαι αεξάρτητη από τη επιλογή του συστήματος συτεταγμέω. 2. Ο συμβολισμός με διαύσματα είαι περιεκτικός. Πολλοί φυσικοί όμοι έχου απλές και σαφείς μορφές που είαι πιθαό α γίου δυσδιάκριτες ότα οι όμοι γράφοται σε κάποιο συγκεκριμέο σύστημα συτεταγμέω. Πράξεις μεταξύ διαυσμάτω Στο χώρο τω διαυσμάτω ορίζεται η πράξη της πρόσθεσης μεταξύ διαυσμάτω (όμος του παραλληλογράμμου ή μέθοδος του δυαμοτριγώου, βλ. 3 & 4, σ. Σ-3 έως Σ-9 βιβλίου) και του πολλαπλασιασμού πραγματικού αριθμού με διάυσμα. Και οι δύο ειδώ πράξεις δίου έα έο διάυσμα. Ο τρόπος ορισμού τω δύο αυτώ πράξεω έχει ως αποτέλεσμα τη ύπαρξη εός μοαδικού ουδετέρου στοιχείου για κάθε μία: Πρόσθεση - Μηδεικό διάυσμα (έα διάυσμα μηδεικού μέτρου και μή οριζόμεης κατεύθυσης) 0 ή 0 r διότι A r + 0 r = 0 r + A r = A r, A r. Ο ορισμός του μηδεικού (ουδέτερου) στοιχείου στη ουσία ορίζει και τη έοια του ατίθετου εός οποιουδήποτε διαύσματος (συμβολίζεται A r ). Είαι αυτό που προστιθέμεο στο ατίστοιχό του διάυσμα δίδει ως αποτέλεσμα το μηδεικό διάυσμα: A r + ( A r ) = ( A r ) + A r = 0 r, A r. Πολλαπλασιασμός πραγματικού αριθμού με διάυσμα - Ουδέτερο στοιχείο ο αριθμός διότι. A r = A r, A r Ως αποτέλεσμα του ορισμού της πράξης του πολ/σμού, κάθε διάυσμα μπορεί α γραφεί σα γιόμεο εός αριθμού ίσου με το μέτρο του επί το μοαδιαίο διάυσμα στη κατεύθυσή του: Α= A r = A a r = Α â = Α a, κλπ. Καόας παραλληλογράμμου / δυαμοτριγώου για τη σύθεση δύο διαυσμάτω (δυάμεω): Επίλυση Παραδείγματος, σ. Σ-8 διδακτ. βιβλίου (σύθεση δύο δυάμεω με δύο τρόπους: α. καόας παραλληλογράμμου και όμοι συημιτόω και ημιτόω β. αάλυση σε ορθογώιο σύστημα αξόω). Ααπαράσταση διαύσματος σε τρισορθογώιο σύστημα συτεταγμέω. 6 Κλείσιμο Παρέθεσης } Διάβασμα απο διδακτ. βιβλίο ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΑΤΙΚΗ:, 2, 3, 4, 6. Λυμέες ασκήσεις:, 2, 3, 4, σ. Σ-62 έως Σ-66 και, 2, 3, 4, σ. Σ-75 έως Σ-78. Αλυτες ασκήσεις: 9 &0, σ. Σ-07 και άσκηση που δόθηκε στο μάθημα (Σύθεση τεσσάρω συτρεχουσώ δυάμεω στο χώρο - πρόβλημα ααγόμεο στο επίπεδο).

7 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Ορισμός. Η ροπή δύαμης F ως προς σημείο Ο (που θεωρούμε ως αρχή τω αξόω) ισούται με: Μ Ο = OA F με Μ Ο = OA. F. sinθ = d. F όπου OA το διάυσμα θέσης εός τυχαίου σημείου Α (διάυσμα θέσης εός σημείου Α οομάζουμε το διάυσμα που έχει ως αρχή τη αρχή τω αξόω και τέλος το ε λόγω σημείο) του φορέα της F, θ η γωία μεταξύ OA και F και d η απόσταση του φορέα της F από το σημείο Ο (μοχλοβραχίοας). Εξ ορισμού το εξωτερικό γιόμεο δύο διαυσμάτω είαι έα διάυσμα με διεύθυση κάθετη στο επίπεδό τους, φορά οριζόμεη από το καόα του δεξιόστροφου κοχλία και μέτρο αεξάρτητο του σημείου Α (βλ. σελ. Σ-5 βιβλίου). Εά το σημείο Ο και τμήμα του φορέα της F αποτελού μέρος εός στερεού σώματος και το Ο παραμέει σταθερό, τότε το σώμα τείει α περιστραφεί γύρω από άξοα διερχόμεο από το Ο και παράλληλο με το διάυσμα της ροπής Μ Ο. Όπως φαίεται και από το ορισμό της, η ροπή είαι και αυτή διαυσματικό μέγεθος, αλλά είαι ελεύθερο διάυσμα. Μοάδες SI: Ν. m = kg. m 2 /s 2 Μ Ο F Ο d Α θ Ότα οι εφαρμοζόμεες δυάμεις σε έα σώμα αήκου στο ίδιο επίπεδο, η διεύθυση τω διαυσμάτω όλω τω ροπώ ως προς οποιοδήποτε σημείο είαι κοιή (πάτα κάθετη στο επίπεδο) και χρησιμοποιείται μόο η αλγεβρική τιμή τω ροπώ (μέτρο + πρόσημο λόγω φοράς). Ετσι η ροπή είαι ίση με το γιόμεο του μέτρου της δύαμης επι τη κάθετη απόσταση (μοχλοβραχίοας) του φορέα της από το σημείο ααφοράς (βλ. σελ. Σ-5 βιβλίου). Σύμβαση: για άξοα x οριζότιο με θετική φορά προς τα δεξιά και y κατακόρυφο με θετική φορά προς τα επάω, η ροπή θεωρείται θετική ότα τείει α προκαλέσει περιστροφή ατίθετη της φοράς κίησης τω δεικτώ του ωρολογίου. Η επιλογής της σύμβασης γίεται έχοτας υπ όψη το καόα του δεξιόστροφου κοχλία. Αυτό θα μας είαι 7

8 χρήσιμο στη συέχεια στη Ατοχή τω Υλικώ, ότα θα εξετάσουμε τη κάμψη. Στο βιβλίο η θετική φορά ορίζεται ατίθετα. Συισταμέη ροπή μίας ομάδας δυάμεω ως προς έα σημείο ορίζουμε το άθροισμα τω ροπώ όλω τω δυάμεω της ομάδας ως προς το υπ όψι σημείο. Θεώρημα Varignon (σελ.σ-6): Η συισταμέη ροπή μίας ομάδας δυάμεω ισούται με τη ροπή της συισταμέης τους. Άμεση εφαρμογή του θεωρήματος συιστά ο υπολογισμός της ροπής μίας δύαμης ως προς δεδομέο σημείο, αφού πρώτα ααλυθεί στις δύο συιστώσες της κατα τους άξοες x και y. Βλ. Λυμέη Άσκηση στο μάθημα ή παρόμοιο Παράδειγμα 3, σελ.σ-9. Διάβασμα απο διδακτ. βιβλίο ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΑΤΙΚΗ: 9. Άλυτη άσκηση: υπολογισμός ροπής δύαμης ως προς σημείο (δόθηκε στο μάθημα). Εφαρμογή Συισταμέης ροπής: Ροπή ζεύγους (σελ.σ-7). Η ροπή ζεύγους δυάμεω (F, F) ισούται με: Μ = Δr F, με Μ = d. F όπου Δr οποιοδήποτε διάυσμα με αρχή και τέλος πάω στους φορείς τω δύο δυάμεω και d η απόσταση μεταξύ τω παράλληλω δυάμεω. Το αποτέλεσμα της ροπής ζεύγους είαι αεξάρτητο του σημείου ααφοράς. Η έοια της ροπής γίεται συήθως παραστατικά ατιληπτή ως αποτέλεσμα της επίδρασης εός ζεύγους (ίσου μέτρου και ατίθετης φοράς) δυάμεω που δρού σε παράλληλους φορείς οι οποίοι απέχου μη μηδεική απόσταση μεταξύ τους. Αυτό το ζεύγος έχει τη τάση α θέσει το «σώμα» στο οποίο δρα σε περιστροφή περί άξοα (κάθετο στο επίπεδο τω φορέω τω δύο δυάμεω), άσχετα α η περιστροφή αυτή δε λαμβάει πάτα χώρα. Οι δυάμεις δε είαι απαραίτητο α θεωρούται ετοπισμέες σε έα σημείο, αλλά μπορεί α είαι και καταεμημέες. Παράδειγμα: Θεωρούμε έα ορθογωικό πλαίσιο αγωγού που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα και βρίσκεται μέσα σε έα ομογεές μαγητικό πεδίο (βλ. σχήμα): οι απέατι 8

9 πλευρές που είαι κάθετες στο μαγητικό πεδίο θα δέχοται δύο ίσες και ατίθετες δυάμεις Laplace, οι οποίες τείου α περιστρέψου το πλαίσιο περί κατάλληλο άξοα. F Ι F=Ι. Δl Β Β 9

10 ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΕΠΙ ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Σε ατίθεση με το λογισμό τω ελευθέρω διαυσμάτω (όπου για τη σύγκριση και το ορισμό τω πράξεω μεταξύ τους είαι επιτρεπτή η μετατόπιση εός διαύσματος κατά μήκος του φορέα του ή παράλληλα σε αυτό), η εμπειρία οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για το πλήρη χαρακτηρισμό μιας δύαμης (εκτός από το μέτρο, τη διεύθυση και τη φορά) απαιτείται και ααφορά του σημείου εφαρμογής της. Αυτό είαι ααγκαίο διότι, γεικά, μία κατά μέτρο, διεύθυση και φορά σταθερή δύαμη που ασκείται πάω σ έα στερεό σώμα επιφέρει διαφορετικά αποτελέσματα εά ασκείται σε διαφορετικά σημεία του σώματος. Ετσι καθίσταται ααγκαία η εισαγωγή του εφαρμοστού διαύσματος. (α) (β) F F Παράδειγμα: Α και οι δυάμεις είαι ίσες στις περιπτώσεις (α) και (β), αάλογα με το συτελεστή τριβής και το βάρος του σώματος, υπάρχει περίπτωση στο (β) το σώμα α αατραπεί, εώ αυτό πάτα αποκλείεται στο (α). Έχουμε έτσι ίσες δυάμεις α επεεργού στο ίδιο σώμα και α επιφέρου διαφορετικά αποτελέσματα αάλογα με πού βρίσκεται το σημείο εφαρμογής τους! Από τη στιγμή όμως που παραδεχόμαστε ότι η δύαμη είαι (γεικά) εφαρμοστό διάυσμα γίεται δυσχερέστερη και η σύγκριση (έοια της ισότητας) αλλά και η πραγματοποίηση αλγεβρικώ πράξεω μεταξύ εφαρμοστώ διαυσμάτω. Στη ουσία η μόη δυατότητα συδυασμού εφαρμοστώ διαυσμάτω απομέει η περίπτωση που τα διαύσματα έχου κοιό σημείο εφαρμογής. Το γεγοός αυτό επέβαλε, μέσω της έοιας της ροπής εός εφαρμοστού διαύσματος ως προς σημείο, τη έοια της ισοδυαμίας. Δύο συστήματα δυάμεω στη Στερεοστατική λέγοται ισοδύαμα ότα εφαρμοζόμεα στο ίδιο απολύτως στερεό σώμα προκαλού το ίδιο αποτέλεσμα ως προς τη τάση μεταβολής της κιητικής του κατάστασης. Αυτό συμβαίει εά έχου ίσες συιστάμεες δυάμεις και ίσες ροπές ως προς έα σημείο. Τότε θα έχου ίσες ροπές και ως προς οποιοδήποτε σημείο. Ο στόχος είαι α μετατρέψουμε έα σύθετο σύστημα δυάμεω σε έα απλούστερο ισοδύαμο. Η έοια της ισοδυαμίας μεταξύ δύο συστημάτω με εφαρμοστά διαύσματα είαι το ατίστοιχο της έοιας της ισότητας μεταξύ ελευθέρω διαυσμάτω. Αποδεικύεται ότι στις τρείς διαστάσεις είαι δυατό α ααγάγουμε οποιοδήποτε σύστημα δυάμεω σε μία συισταμέη δύαμη και μία ροπή ως προς σημείο συγγραμμική με αυτή. Η διεύθυση αυτή του σώματος καλείται κετρικός άξοας. 0

11 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΙΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Α) Θεώρημα ολίσθησης δύαμης κατά μήκος του φορέα της. (σελ. Σ-2) P i P i P i -P i Β Α Η κιητική κατάσταση εός απολύτως στερεού σώματος δε μεταβάλλεται εά θεωρήσουμε ότι επί πλέο του επιβεβλημέου συστήματος δυάμεω ασκούται δύο ίσες σε μέτρο και ατίθετες σε φορά συγγραμμικές δυάμεις με κοιό σημείο εφαρμογής (οι οποίες προφαώς έχου συισταμέη δύαμη και ροπή ίση με μηδέ ως προς οποιοδήποτε σημείο). Εστω ότι σε έα σώμα ασκείται έα φορτίο P i σε έα σημείο. Εα ισοδύαμο σύστημα θα είαι και εκείο στο οποίο επιπρόσθετα ασκούται και οι συγγραμμικές δυάμεις P i και -P i σε έα άλλο σημείο του σώματος πάω στη διεύθυση του P i. Εά τώρα διαλέξουμε P i = P i, επειδή πρόκειται για απολύτως στερεό σώμα μπορούμε με ασφάλεια α υποθέσουμε ότι η συδυασμέη δράση τω ίσω και ατίθετω P i και -P i, παρ όλο που δε έχου κοιό σημείο εφαρμογής, δε θα τείει α επιφέρει αλλαγή στη κιητική κατάσταση του σώματος και γιατί η απόσταση μεταξύ τω σημείω Α και Β δε μπορεί α μεταβληθεί και γιατί ως συγγραμμικές δε δημιουργού ροπή ως προς σημείο του σώματος. Αρα και πάλι η συισταμέη τους είαι ίση με το μηδεικό διάυσμα και μπορούμε α τις αγοήσουμε. Έτσι παραμέει μόο η P i που είαι απλώς η P i μετατοπισμέη στο σημείο Β. Ο παραπάω συλλογισμός σε συτομία περιγράφεται ως εξής: Η δύαμη είαι ολισθαίο διάυσμα στη Στερεοστατική. Η παραπάω πρόταση δε ισχύει στη Στατική του παραμορφωσίμου σώματος. Παράδειγμα: Εφελκυσμός και θλίψη ράβδου είαι ισοδύαμη καταπόηση στη Στερεοστατική, αλλά όχι στη Μηχαική του Παραμορφώσιμου Στερεού.

12 Β) Θεώρημα παράλληλης μεταφοράς δύαμης. (σελ. Σ-8) Εά για κάποιο λόγο χρειάζεται α μετατοπισθεί ο φορέας μίας δύαμης P παράλληλα στο εαυτό του σε απόσταση d, για α προκύψει ισοδύαμο σύστημα, πρέπει εκτός από τη δύαμη α προστεθεί και μία «ροπή μεταφοράς» μέτρου ίσου με P. d με τη κατάλληλη φορά. P i P i P i -P i P i Β Α Μ Β d 2

13 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Σύθεση δύο παράλληλω δυάμεω. (σελ. Σ-2) Επειδή οι φορείς τω παράλληλω δυάμεω δε τέμοται, χρησιμοποιούμε δύο βοηθητικές ατίθετες συευθειακές δυάμεις ίσου αλλά τυχαίου μέτρου, ώστε α μετατρέψουμε το σύστημα σε δυάμεις τεμομέω φορέω και με ολίσθηση α τις συθέσουμε για α βρούμε τη συισταμέη τους. Q d d 2 R P F 2 Q F R P 2 R 2 Στη περίπτωση δύο ομόρροπω δυάμεω, ο φορέας της συισταμέης τους κείται αάμεσα στους φορείς τους, σε τέτοιες αποστάσεις ώστε οι ροπές τω δύο δυάμεω ως προς οποιοδήποτε σημείο του φορέα της συισταμέης α είαι ίσες και ατίθετες: F. d = F. 2 d 2 Αάλογα γίεται και η σύθεση παράλληλω και ατίρροπω δυάμεω (βλ. σελ. Σ-2). Στη περίπτωση ζεύγους δυάμεω (ίσες και ατίρροπες, F & F, σε απόσταση d συισταμέη μηδέ) η προσπάθεια σύθεσης δίει πάτα έα έο ζεύγος δυάμεω διαφορετικού αλλά ίδιου μέτρου και διεύθυσης αλλά σταθερής συιστάμεης ροπής: M=F. d δηλαδή δε είαι δυατό α βρεθεί ισοδύαμο σύστημα μηδεικής ροπής. 3

14 ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Με τη βοήθεια τω παραπάω βασικώ ιδεώ γίεται η σύθεση δυάμεω στη στερεοστατική: Συγγραμμικές (φορείς ταυτίζοται) Συτρέχουσες (φορείς διέρχοται από κοιό σημείο) Συεπίπεδες (Μη παράλληλες, Παράλληλες ομόρροπες ή ατίρροπες, Ζεύγος) Ασύμβατες Στο μάθημα θα ασχοληθούμε κυρίως με σύθεση και ισορροπία δυάμεω στο επίπεδο. ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΛΥΜΕΝΗ ΑΣΚΗΣΗ Δ Γ Β Α Ε Έας αβαρής φορέας (δοκός) είαι πακτωμέος στο έδαφος στο σημείο Α. Ο φορέας στηρίζεται επιπρόσθετα από δύο σχοιιά στα οποία οι ασκούμεες τάσεις είαι F ΓΒ =5 kn και F ΔΕ =0 kn ατίστοιχα (βλ. σχήμα). Να βρεθεί το ισοδύαμο σύστημα μίας δύαμης και μίας ροπής ως προς το σημείο Α της πάκτωσης για τις δύο εξωτερικές φορτίσεις. Να βρεθεί σημείο ως προς το οποίο το ισοδύαμο σύστημα έχει μηδεική ροπή. Δίοται: ΑΒ= 5m, ΑΓ=4m, ΑΔ=3m, ΑΕ=3m. Άλυτη Άσκηση για εξάσκηση (δόθηκε στο μάθημα): Άσκηση 2.4 / σελ.67 Βουθούης «Στατική» (σύθεση παράλληλω δυάμεω - Ααγωγή παράλληλω δυάμεω σε ισοδύαμο σύστημα με μηδεική ροπή). 4

15 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Εα απολύτως στερεό (μή παραμορφώσιμο) σώμα στο οποίο ασκείται έα σύστημα δυάμεω P i (,2, ) ισορροπεί εά και μόο εά η συισταμέη δύαμη P και η συισταμέη ροπή M A εός ισοδύαμου συστήματος δυάμεω (ως προς οποιοδήποτε σημείο A του σώματος ή του χώρου) ισούται ταυτόχροα και οι δύο με μηδέ (μηδεικά διαύσματα). Οι ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ εός στερεού σώματος ή γεικότερα φυσικού συστήματος ορίζοται ως το ελάχιστο πλήθος τω αεξαρτήτω παραμέτρω που απαιτούται για α καθορισθεί πλήρως η κατάσταση του σώματος ή συστήματος. Παραδείγματα: (α) Για α καθοριστεί πλήρως η θέση εός υλικού σημείου απαιτούται 3 πραγματικοί αριθμοί (συτεταγμέες θέσης του σημείου), επομέως έα υλικό σημείο έχει 3 βαθμούς ελευθερίας. (β) Για α καθοριστεί πλήρως η θέση εός απολύτως στερεού σώματος στο χώρο απαιτούται 6 πραγματικοί αριθμοί (οι συτεταγμέες θέσης εός σημείου συ τρεις γωίες ως προς κάποιο σύστημα αξόω, 3+3=6) και επομέως έα απολύτως στερεό σώμα έχει 6 βαθμούς ελευθερίας. Στο επίπεδο το απολύτως στερεό σώμα έχει 3 βαθμούς ελευθερίας (συτεταγμέες θέσης εός σημείου συ μία γωία ως προς κάποιο σύστημα αξόω, 2+=3). Καθώς έα απολύτως στερεό σώμα έχει 6 βαθμούς ελευθερίας, χρειάζοται 6 αεξάρτητες εξισώσεις για α λυθεί μοοσήματα οποιοδήποτε πρόβλημα στερεοστατικής (ή φυσικά, γεικότερα και οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεω με αγώστους). Τότε το πρόβλημα λέγεται ισοστατικό. Στη γεική περίπτωση λοιπό της ισορροπίας στο χώρο, οι εξισώσεις αυτές είαι: P x = M Ax = P ix =0, M Aix =0, P y = M Ay = P iy =0, M Aiy =0, P z = και ζεύγη δυάμεω που μπορού α ααπαραστήσου πιθαές ετοπισμέες ροπές. Ατί της χρήσης τω ροπώ τω δυάμεω ως προς σημείο, πολύ συχά χρησιμοποιούται οι ροπές τω δυάμεω ως προς κατάλληλους άξοες (βλ. παρακάτω). 5 M Az = P iz =0 ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ M Aiz =0 όπου Α οποιοδήποτε σημείο του σώματος. Στο σύστημα δυάμεω συμπεριλαμβάοται

16 { Παρέθεση 2 - Στοιχεία διαυσματικής άλγεβρας: Εσωτερικό γιόμεο, εφαρμογές εσωτερικού γιομέου: προβολή διαύσματος επί διάυσμα, έκφραση εσωτερικού γιομέου σε καρτεσιαές συτεταγμέες). Ορισμός. Η ροπή δύαμης F ως προς άξοα λ ισούται με: M λ = (r F). n λ όπου r είαι διάυσμα θέσης με αρχή έα οποιοδήποτε σημείο του άξοα λ και τέλος έα οποιοδήποτε σημείο του φορέα της F και n λ το μοαδιαίο διάυσμα του άξοα. Η ροπή δύαμης ως προς άξοα είαι έτσι έα βαθμωτό μέγεθος αφού είαι η προβολή του διαύσματος της ροπής πάω στο άξοα. Με ορολογία στερεομετρίας, η ροπή δύαμης F ως προς άξοα λ ορίζεται ως το γιόμεο της ορθής προβολής της δύαμης σε επίπεδο κάθετο στο άξοα επι τη απόστασή του από το φορέα της δύαμης. Σε προβλήματα στο χώρο με πολύπλοκη γεωμετρία χρησιμοποιούμε το αυστηρό διαυσματικό ορισμό, εώ σε προβλήματα με απλή γεωμετρία ο γεωμετρικός ορισμός που είαι περισσότερο καταοητός δίει γρήγορα αποτελέσματα. Εφαρμογές:. Η ροπή δύαμης ως προς άξοα παράλληλο στο φορέα της είαι μηδεική. 2. Η ροπή δύαμης ως προς άξοα που τέμει το φορέα της είαι μηδεική. Κλείσιμο Παρέθεσης 2} Στη περίπτωση ισορροπίας σε επίπεδο (xy) όπου έα απολύτως στερεό σώμα έχει 3 βαθμούς ελευθερίας, χρειάζοται 3 αεξάρτητες εξισώσεις για α λυθεί μοοσήματα το πρόβλημα. Μπορούμε εαλλακτικά α επιλέξουμε όποιο συδυασμό στεροστατικώ εξισώσεω ισορροπίας καθιστά τη επίλυση του συστήματος ευκολότερη: P x = P ix =0, P y = P iy =0, M Az = M Aiz =0 ή P x = P ix =0, M Az = M Aiz =0, M Βz = M Βiz =0 ή M Az = M Aiz =0, M Βz = M Βiz =0 M Γz = M Γiz =0 6

17 όπου Α, Β, Γ τρία οποιαδήποτε μη συευθειακά σημεία του επιπέδου. Ατίστοιχη δυατότητα χρήσης εαλλακτικώ εξισώσεω ισορροπίας υπάρχει και σε τρισδιάστατα προβλήματα. Ειδική περίπτωση ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΤΡΙΩΝ ΣΥΝΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ: Ικαή και ααγκαία συθήκη για α ισορροπού τρείς συεπίπεδες δυάμεις είαι αφ εός το δυαμοτρίγωό τους α είαι κλειστό (συισταμέη δύαμη μηδέ) και αφ ετέρου οι φορείς τους α διέρχοται από το ίδιο σημείο (συισταμέη ροπή μηδέ). (βλ. Παράδειγμα 2 / σελ.σ-4). ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ Κάθετι που επιβάλλει περιορισμούς στη κιητικότητα (αφαίρεση βαθμώ ελευθερίας) εός απολύτως στερεού σώματος μπορεί α οομασθεί γεικά «σύδεσμος» ή «στήριξη». Η αφαίρεση εός βαθμού ελευθερίας από έα σώμα έχει σα αποτέλεσμα τη αάπτυξη μίας ατίστοιχης «ατίδρασης στήριξης» (η οποία είαι μία άγωστη δύαμη ή ροπή), που ασκείται σε αυτό συήθως μόο ότα ασκηθεί κάποια εξωτερική φόρτιση. Αφαίρεση δύο βαθμώ ελευθερίας συεπάγεται τη εμφάιση δύο άγωστω ατιδράσεω στήριξης, κ.ο.κ. Είδη συδέσμω/στηρίξεω: Κύλιση ( άγωστη ατίδραση κάθετη στο επίπεδο κύλισης) Άρθρωση (3 άγωστες ατιδράσεις στο χώρο, 2 ατιδράσεις στο επίπεδο) Πάκτωση (6 ατιδράσεις στο χώρο 3 δυάμεις & 3 ροπές, 3 ατιδράσεις στο επίπεδο 2 δυάμεις & ροπή) Πολλές φορές σε προβλήματα στερεοστατικής χρειάζεται α υπολογισθού οι ατιδράσεις στήριξης. Βλ. Λυμέη Άσκηση στο μάθημα: Παράδειγμα 4 / σελ.σ-24 [ισορροπία 3 συεπίπεδω δυάμεω, επίλυση με δύο τρόπους: α) αάλυση δυάμεω σε καρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω - χρήση στερεοστατικώ εξισώσεω ισορροπίας, β) με δυαμοτρίγωο - ισορροπία 3 συεπίπεδω δυάμεω]. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ (Δ.Ε.Σ.). Για τη κατάστρωση τω στερεοστατικώ εξισώσεω ισορροπίας εός απολύτως στερεού σώματος είαι πολύ χρήσιμη η σχεδίαση του Διαγράμματος Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.). 7

18 Σε αυτό σχεδιάζοται μόο οι εξωτερικές δυάμεις, δηλ. οι δυάμεις που ασκούται προς στο σώμα που εδιαφέρει, αεξαρτήτως προέλευσης (επιβαλλόμεα φορτία και ροπές ή ατιδράσεις στήριξης) (βλ. σελ.σ-9). Δε σχεδιάζοται οι δυάμεις που ασκούται απο το σώμα σε άλλα σώματα. ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΛΥΜΕΝΗ ΑΣΚΗΣΗ (απλή περίπτωση ισορροπίας στο χώρο) z Z Ε Δ 2m 2,5m 2,5m m y Γ m Α 5m Β x Tο ορθογωικό πλαίσιο ΑΒΔZ του φωτιστικού του σχήματος έχει ομοιόμορφα γραμμικά καταεμημέο βάρος 00Ν/m. Να υπολογιστού οι δυάμεις τω κατακόρυφω ημάτω αάρτησης στα Α, Γ και Ε. Έστω οτι για κάποιο λόγο δε μπορούμε α ααρτήσουμε ήμα στο σημείο του ταβαιού πάω από το σημείο Γ και ααγκαζόμαστε α το τοποθετήσουμε κατακόρυφα πάω από το σημείο Β. Πόση πρέπει α είαι η ελάχιστη δύαμη που α μπορεί α ατέξει το υλικό του ήματος για α ααρτηθεί το φωτιστικό απο τα έα του σημεία; Υπόδειξη: θεωρήστε ροπές ως προς άξοες παράλληλους στις διευθύσεις x και y του επιπέδου xy. 8

19 Άλυτες Ασκήσεις για εξάσκηση: 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 2.0, 2., 2.2, 2.3, 2.5, 2.6, σ (άλυτη 2.6/σ.78 όμοια με λυμέη 2.9/σ.72, επίλυση με δύο τρόπους όπως προηγουμέως) Βουθούης «Στατική» + άσκηση απλής περίπτωσης ισορροπίας στο χώρο που ακολουθεί. z Ε Β A Γ 30 ο Δ y x Η επίπεδη ορθογωική πλάκα του σχήματος έχει ομοιόμορφα καταεμημέο βάρος W=9kΝ και διαστάσεις ΑΒ=ΔΓ=4m και ΒΓ=ΑΔ=8m. Στο σημείο Α στηρίζεται με μία σφαιρική άρθρωση, εώ στο σημείο Δ με μία κύλιση η οποία επιτρέπει τη μετατόπιση μόο κατά τη διεύθυση y. Στη σχεδιασμέη θέση, σε γωία 30 σε σχέση με τη οριζότια διεύθυση (επίπεδο x-y), συγκρατείται από τη ράβδο ΓΕ η οποία συδέεται στα σημεία Γ και Ε με σφαιρικές αρθρώσεις. Το σημείο Ε βρίσκεται πάω στο επίπεδο y-z και απέχει 5m από το σημείο Δ. Να υπολογιστεί η δύαμη S που καταποεί τη ράβδο ΓΕ, θεωρώτας οτι όλοι οι σύδεσμοι έχου μηδεικές τριβές. 9

20 ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΚΑΙ ΚΕΝΤΡΟΕΙΔΗ Ορισμός: Κέτρο βάρους σώματος οομάζεται το σημείο ως προς το οποίο η συισταμέη τω στοιχειωδώ δυάμεω βαρύτητας, που ασκούται στο σώμα, δίδει ισοπολικό σύστημα. Για g=σταθ. το κέτρο βάρους συμπίπτει με το κέτρο μάζας. Α επιπλέο ρ=σταθ., τότε οι συτεταγμέες του κέτρου βάρους x k, y k, z k δίοται από τις σχέσεις: V x k =, dv V xdv V y k =, dv όπου x, y, z οι συτεταγμέες του στοιχειώδους όγκου dv του χωρικού ολοκληρώματος. V ydv z k = V V zdv dv Εά η καταομή μάζας μπορεί α μοτελοποιηθεί ως επιφαειακή ή γραμμική (οπότε μιλούμε για κετροειδή) με σταθερή πυκότητα, τότε οι ατίστοιχες σχέσεις γίοται A x k =, da A xda A y k = επιφαειακό κετροειδές da A yda xdl l x k =, dl l l y k = διδιάστατο γραμμικό κετροειδές dl l ydl όπου da και dl η στοιχειώδης επιφάεια και το στοιχειώδες μήκος τόξου του επιφαειακού ή επικαμπύλιου ολοκληρώματος ατίστοιχα. Λυμέη άσκηση: Κέτρο βάρους ορθογωίου τριγώου. Δείτε επίσης πιό σύθετα παραδείγματα 3 και 4, σελ. 90 (Κέτρο βάρους τριγώου) & 9 (Κέτρο βάρους ημικυκλίου) του βιβλίου. Εά το σώμα ή το κετροειδές αποτελείται από πεπερασμέο αριθμό τμημάτω,2,, τω οποίω είαι γωστά τα κέτρα βάρους, τότε τα ολοκληρώματα ατικαθίσταται από πεπερασμέα αθροίσματα: π.χ. xi Ai x k =, y k =... A i 20

21 όπου x i, y i είαι οι συτεταγμέες τω γωστώ κέτρω βάρους τω τμημάτω και A i το εμβαδό κάθε τμήματος (θετικό εά υπάρχει και αρητικό εά λείπει). Το σηματικό είαι οι συτεταγμέες α δίοται όλες ως προς τη ίδια αρχή τω αξόω. Ο Πίακας 7., σελ βιβλίου έχει εδεικτικά αποτελέσματα για κέτρα βάρους διαφόρω διατομώ. Λυμέες ασκήσεις: Παράδειγμα 5, σελ.92 βιβλίου (έγιε στο μάθημα με αφαίρεση εός μη υπάρχοτος τμήματος), Κέτρο βάρους ορθογωίου τριγωικού πλαισίου (σύγκριση τριγωικού πλαισίου με τριγωική πλάκα για ισόπλευρα ορθογώια τρίγωα), Υπολογισμός ατιδράσεω στήριξης ισόπλευρου ορθογώιου τριγωικού πλαισίου (πρβλ. Πρόσθετες Ασκήσεις σ.5 και σ.6). Θεωρήματα Πάππου-Guldin Τα θεωρήματα αυτά είαι χρήσιμα για το προσδιορισμό συτεταγμέω Κ.Β. κετροειδώ τω οποίω είαι γωστά τα γεωμετρικά στοιχεία. ο θεώρημα: Εμβαδό επιφάειας από περιστροφή = (μήκος γεέτειρας καμπύλης) (μήκος περιφέρειας που διαγράφει Κ.Β. γεέτ. καμπύλης) A=L (2πx k ) 2 ο θεώρημα: Όγκος στερεού από περιστροφή = (εμβαδό γεέτειρας επιφάειας) (μήκος περιφέρειας που διαγράφει Κ.Β. γεέτ. επιφ.) V=A (2πx k ) Λυμέες ασκήσεις: Κέτρο βάρους τετάρτου κυκλικής στεφάης, Κέτρο βάρους τετάρτου κυκλικού δίσκου (τεταρτοκύκλιο). Προβλήματα για εξάσκηση στο προσδιορισμό κέτρω βάρους: 3., 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.9, 3.2, 3.23, 3.24, 3.26 / σ.7-8 Βουθούη «Στατική». Υπεθύμιση: Εμβαδό τριγώου = (/2) (βάση) (ύψος) Μήκος περιφέρειας κύκλου = 2πR Εμβαδό κύκλου = πr 2 Εμβαδό σφαίρας = 4πR 2 Όγκος σφαίρας = (4/3)πR 3 Όγκος κώου = (/3)πR 2 h 2

22 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Αποτελούται από τμήματα συδεόμεα μεταξύ τους με αρθρώσεις (εσωτερικοί σύδεσμοι) με τρόπο ώστε α αποτελού έα στερεό σύολο. Το όλο στερεό σώμα συδέεται με το περιβάλλο με στηρίξεις (εξωτερικοί σύδεσμοι). Επίλυση εός σύθετου φορέα σημαίει το προσδιορισμό τω εσωτερικά ααπτυσσόμεω δυάμεω που καταποού κάθε τμήμα του, ότα στο φορέα επιβάλλοται γωστές εξωτερικές φορτίσεις. Γ Β Δ Ε Α Παράδειγμα. Έστω φορέας αποτελούμεος από δύο δοκούς ΑΓ και ΒΕ και μία ράβδο ΓΔ. Η δοκός ΑΓ είαι πακτωμέη στο σημείο Α, εώ οι αρθρώσεις στα σημεία Β και Δ δε λύου τη συέχεια τω δοκώ ΑΓ και ΒΕ ατίστοιχα. Ο φορέας φορτίζεται από έα ετοπισμέο κατακόρυφο φορτίο P εφαρμοζόμεο στο σημείο Ε. Η επίλυση γίεται με τη βοήθεια τω στερεοστατικώ εξισώσεω ισορροπίας και βασίζεται στη υπόθεση οτι ότα έας φορέας ισορροπεί στο σύολό του, τότε ισορροπού και τα επιμέρους τμήματά του. Η συήθως χρησιμοποιούμεη μεθοδολογία είαι: (α) Εφαρμόζοτας στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας για το φορέα ως ειαίο στερεό σώμα προσδιορίζουμε τις ατιδράσεις στήριξής του (εξωτερικές ατιδράσεις). Στη συέχεια (β) Εφαρμόζοτας στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας για κάθε έα από τα επιμέρους τμήματα του φορέα ξεχωριστά, προσδιορίζουμε τις εσωτερικά ααπτυσσόμεες δυάμεις (εσωτερικές ατιδράσεις) πάω στους αρθρωτούς συδέσμους κάθε τμήματος. Τη αρχή αυτή χρησιμοποιούμε και για το υπολογισμό τω φορτίω διατομής (συαρτήσεις αξοικώ και τεμουσώ δυάμεω και καμπτικώ ροπώ, βλ. παρακάτω). Οι ααπτυσσόμεες δυάμεις στα επιμέρους τμήματα μεταφέροται μέσω τω αρθρώσεω απο το έα τμήμα στο άλλο. Σύμφωα με το τρίτο όμο του Νεύτωα, οι εσωτερικές δυάμεις που εεργού σε δύο τμήματα του φορέα που συδέοται μέσω μίας άρθρωσης θα είαι ατίρροπες και ίσου μέτρου. Αυτή είαι μία πολύ ουσιαστική εφαρμογή του όμου 22

23 και πρέπει α λαμβάεται υπ όψι με προσοχή κατα τη σχεδίαση τω Δ.Ε.Σ. τω τμημάτω του φορέα. ΔΙΚΤΥΩΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ή ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Είαι φορείς που αποτελούται αποκλειστικά από ευθύγραμμα στοιχεία (ράβδοι) συδεδεμέα μεταξύ τους από τα άκρα τους με ιδαικές αρθρώσεις (σφαιρικές στη περίπτωση χωρικού δικτυώματος), για τους οποίους θεωρούμε οτι οι φορτίσεις μπορού α εφαρμόζοται μόο επι τω αρθρώσεω (κόμβοι του δικτυώματος). Η ύπαρξη τω αρθρώσεω και η παραδοχή οτι τα εξωτερικά επιβαλλόμεα φορτία δε μπορού α εφαρμόζοται παρά μόο στα άκρα τω ράβδω, έχει σα αποτέλεσμα οι ράβδοι α καταποούται μόο απο εσωτερικές δυάμεις ίσου μέτρου και ατίθετης φοράς συευθειακές με το άξοά τους (αξοικές δυάμεις). Αυτές είαι είτε εφελκυστικές είτε θλιπτικές. Ο περιορισμός αυτός του τρόπου φόρτισης τω ράβδω του δικτυώματος δίει και το ορισμό της ράβδου σε ατιδιαστολή με τη δοκό που θα συατήσουμε αργότερα. Δικτυώματα απατώται σε γέφυρες, στέγαστρα αοικτώ ή κλειστώ χώρω, βραχίοες ή σκελετούς γεραώ, πυλώες μεταφοράς ηλεκτρικού ρεύματος ή αεμογεητριώ. Η αρθρωτή σύδεση τω ράβδω μπορεί α απεικοισθεί ως κυλιδρικός πείρος που παρεμβάλλεται χωρίς τριβές στις οπές που υπάρχου στις ακραίες διαπλατύσεις τω ράβδω. Ε τούτοις στις συηθέστερες κατασκευές η σύδεση τω ράβδω δε είαι αρθρωτή χωρίς τριβές: π.χ. στις σιδηροκατασκευές οι συδέσεις γίοται με ηλώσεις τω ράβδω πάω στα κομβοελάσματα. Παρ όλο λοιπό που φαίεται α μη τηρείται καμία απο τις σχετικές υποθέσεις (άξοες ράβδω συτρέχου στο ίδιο σημείο σύδεση αρθρωτή χωρίς τριβές και άρα χωρίς δυατότητα μεταβίβασης ροπής), έχει πειραματικά αποδειχθεί οτι τα αποτελέσματα που εξάγοται βάσει τω παραδοχώ αυτώ απέχου ελάχιστα απο τα πραγματικά. Έτσι μπορούμε α είμαστε βέβαιοι οτι η προσέγγιση που κάαμε με τις παραδοχές μας είαι αρκετά ικαοποιητική. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΘΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ - ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η παραπάω σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτω που προέρχοται απο τη χρήση απλοποιητικώ παραδοχώ και πειραματικώ αποτελεσμάτω είαι μία διαδικασία που απατάται σε όλες τις θετικές επιστήμες. Κάουμε λοιπό εδώ μία μικρή παρέθεση. Επειδή τα προβλήματα της Τεχικής Μηχαικής που συατούμε είαι πολύπλοκα, 23

24 προσπαθούμε α τα απλοποιήσουμε κάοτας εξιδαικευμέες προσομοιώσεις («μοτελοποιήσεις»). Αυτές πρέπει κάθε φορά α στοιχειοθετούται αάλογα με το τύπο του προβλήματος γιατί δε μπορού προφαώς α είαι αυθαίρετες. Ουσιαστικά προσπαθούμε α μειώσουμε το αριθμό τω αγώστω παραμέτρω του προβλήματος. Παραδείγματα μοτελοποιήσεω: Στοιχείο Μοτελοποίηση Απαλοιφή άγωστης παραμέτρου Ετοπισμέη δύαμη Μηδεικές διαστάσεις σημείου εφαρμογής Αγόηση Χωρικής Καταομής Δύαμης Ιδαική Κύλιση Κύλιση χωρίς τριβές Μηδεισμός συιστώσας ατίδρασης παράλληλης στη διεύθυση κύλισης Ιδαική Άρθρωση Άρθρωση χωρίς τριβές Μηδεισμός ροπής ατίδρασης Ιδαική ράβδος Ιδαικές αρθρώσεις στα άκρα & φορτίσεις μόο στα άκρα Μηδεισμός ροπής ατίδρασης και τεμουσώ δυάμεω Υπάρχου πολλώ ειδώ πραγματικές αρθρώσεις οι οποίες μοτελοποιούται ως ιδαική άρθρωση. Ατίστοιχα ισχύου για όλω τω ειδώ τις μοτελοποιήσεις. ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Στόχος ο προσδιορισμός τω εσωτερικώ δυάμεω (τάσεω) τω ράβδω. Η διαδικασία περιλαμβάει τα εξής μέρη:. Έλεγχος ισοστατικότητας. Ισοστατικός λέγεται ο φορέας η επίλυση του οποίου επιτυγχάεται μόο με τη βοήθεια τω εξισώσεω ισορροπίας. Για έα δικτυωτό φορέα ο αριθμός τω αγώστω είαι ίσος με το συολικό αριθμό τω ράβδω συ τις ατιδράσεις στήριξής του. Από τη άλλη πλευρά ο αριθμός τω εξισώσεω που μπορού α καταστρωθού για έα επίπεδο (τρισδιάστατο) φορέα είαι διπλάσιος (τριπλάσιος) του αριθμού τω κόμβω του διότι σε κάθε κόμβο υπάρχει έα σύστημα συτρεχουσώ δυάμεω (οι εξισώσεις ροπώ είαι ταυτοτικά ίσες με μηδέ αφού όλες οι δυάμεις σε έα κόμβο διέρχοται από το ίδιο σημείο). Για α είαι επομέως ισοστατικό έα δικτύωμα θα πρέπει μεταξύ του αριθμού τω ράβδω, ρ, τω ατιδράσεω, α, και τω κόμβω, κ, α ισχύει η σχέση ρ + α = 2κ Εα ρ + α > 2κ ή ρ + α < 2κ τότε το δικτύωμα λέγεται υπερστατικό ή γεωμετρικά υποορισμέο (μηχαισμός) και δε επιλύεται στα πλαίσια της Στερεοστατικής. 24

25 2. Έλεγχος στερεότητας τω κόμβω. 3. Υπολογισμός ατιδράσεω στήριξης. 4. Υπολογισμός τάσεω ράβδω. Υπάρχου διάφορες μέθοδοι. Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο τω κόμβω. Για κάθε κόμβο του δικτυώματος ισχύου εξισώσεις της μορφής Σ(Ν i cosω i )+ F κ cosφ κ =0, Σ(Ν i sinω i )+ F κ sinφ κ =0 όπου i αριθμεί το πλήθος τω ράβδω του κόμβου κ, Ν i η άγωστη αξοική δύαμη της ράβδου i, ω i η γωία που σχηματίζει η ράβδος i με το άξοα x, F κ η γωστή εξωτερική δύαμη που τυχό εεργεί στο κόμβο κ, και φ κ η γωία που σχηματίζει η F κ με το άξοα x. Η επίλυση πρέπει α ξεκιά απο κόμβο στο οποίο συτρέχου δύο το πολύ ράβδοι με άγωστες δυάμεις. Παράδειγμα 5 / σελ.σ-26, Παράδειγμα 6 / σελ.σ-33. Λυμέες ασκήσεις: Νο5 / σελ.σ-66, Νο7 / σελ.σ-70, Νο6 / σελ.σ-80, Νο7 / σελ.σ-82, Νο / σελ.σ-90. Άλυτες ασκήσεις: / σελ.σ

26 ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (βλ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 βιβλίου) Ολόσωμοι φορείς, Δοκοί, τρόποι φόρτισης: ετοπισμέη-καταεμημέη q(x). Μέθοδος τω τομώ. Αξοική δύαμη, τέμουσα δύαμη, καμπτική ροπή. Σύμβαση για το πρόσημο N(x), Q(x), M(x). Προσδιορισμός συαρτήσεω N(x), Q(x), M(x) με εμφάισή τους στο Δ.Ε.Σ. του τμήματος (αριστερού ή δεξιού) της ράβδου. Σχεδίαση τω Δ.Α.Δ., Δ.Τ.Δ. και Δ.Κ.Ρ. Ειδικές περιπτώσεις q(x)=0, q(x)=σταθ. Σχέσεις μεταξύ q(x), Q(x), M(x). Σημεία τοπικού ακροτάτου M(x): Q(x)=0. Λυμέες ασκήσεις στο μάθημα: Παράδειγμα 2 / σελ.244, Παράδειγμα 3 / σελ.246, άσκηση εκτός βιβλίου με ασυέχεια στο Δ.Κ.Ρ. λόγω ετοπισμέης ροπής. Διαβάστε λυμέες ασκήσεις: Παράδειγμα 4 & 4Α / σελ.250, Παράδειγμα 5 / σελ.252, Λυμέη άσκηση 8.2 / σελ.263. Ατιπαραβολή Δ.Τ.Δ. και Δ.Κ.Ρ. αμφιέρειστης δοκού με α) ετοπισμέο φορτίο και β) καταεμημέο φορτίο σε όλο το μήκος της βλ. σχετικό σχόλιο σελ Προβλήματα για εξάσκηση: 8.3, 8.4, 8.7, 8.8, 8.9, 8.0 / σελ Εδώ ολοκληρώεται η ύλη της Στερεοστατικής. Στο βιβλίο «Τεχική Μηχαική» Π. Βουθούη που προσφέρεται από το Τμήμα Ηλεκτρολογίας ως διδακτικό σύγγραμμα, υπάρχει το μεγαλύτερο μέρος της ύλης της Στερεοστατικής που διδάχθηκε (βλ. ααφορές στο κείμεο τω σημειώσεω). Για τη ύλη Ατοχής Υλικώ που διδάχθηκε στο μάθημα, βλ. επίσης στο ίδιο βιβλίο, εστιάζοτας στα σημεία που ααφέροται παρακάτω. 26

27 ΑΝΤΟΧΗ τω ΥΛΙΚΩΝ Ατικείμεο Ατοχής τω Υλικώ. Εγκατάλειψη της παραδοχής του απαραμόρφωτου στερεού. Είδη απλώ καταποήσεω. Μέθοδος τω Τομώ (Δ.Ε.Σ. τμήματος του φορέα με οητή τομή). Διάκριση μεταξύ δύαμης και τάσης ααγκαιότητα εισαγωγής της έοιας της τάσης. Ορισμός ορθής και διατμητικής τάσης σε στοιχειώδη επιφάεια οητής τομής. Μοάδα μέτρησης τάσης. Κετρική μοοαξοική φόρτιση Ορισμός συμβατικής ορθής αηγμέης παραμόρφωσης Ααγκαιότητα εισαγωγής της έοιας της αηγμέης παραμόρφωσης σε ατιδιαστολή με τη απλή επιμήκυση. Σημασία τω παραμορφώσεω στο σχεδιασμό τω κατασκευώ και τη Μηχαική. Διάγραμμα τάσεω-τροπώ σε μοαξοικό εφελκυσμό/θλίψη. Έοιες ελαστικής και πλαστικής παραμόρφωσης. Ορισμός Μέτρου Ελαστικότητας, Ε. Όλκιμη και ψαθυρή θραύση. Ορισμός ορίου διαρροής, ορίου ατοχής και τάσης θραύσης. Νόμος Hooke για ράβδο σε μοαξοική ετατική κατάσταση φορτιζόμεη στα άκρα της Δl=Pl/(EΑ). Οριακή και Επιτρεπόμεη (σ επ ) τάση κατασκευής. Συτελεστής ασφαλείας. Συθήκες ατοχής. Λυμέη άσκηση στο μάθημα: Παραλλαγή Παραδείγματος 2 / σ.9: Διαστασιολόγηση ράβδου καταποουμέης σε αξοικό εφελκυσμό και υπολογισμός προκαλούμεης παραμόρφωσης. Διαβάστε επίσης Παράδειγμα, σ.65. Προβλήματα για εξάσκηση: 3.8, σ. 7. Διάκριση μεταξύ ισοστατικώ και υπερστατικώ προβλημάτω. Η χρησιμότητα της εξίσωσης συμβιβαστού τω παραμορφώσεω στη επίλυση υπερστατικώ προβλημάτω. Παράδειγμα 3 / σ.95. Διαβάστε Λυμέες Ασκήσεις 3., 3.2, 3.3 και 3.4 σ Προβλήματα για εξάσκηση: 3.9, 3.0, 3., 3.4, 3.20 (για τη τελευταία άσκηση διαβάστε πρώτα 3.7, σ.80) / σ Καθαρή Κάμψη (Κεφ.9 έως σ.288). Εξίσωση συμβιβαστού τω παραμορφώσεω στη κάμψη. Βασικός τύπος κάμψης για γραμμικά ελαστικά υλικά. Ροπή αδράειας, σ Υπολογισμός διατομής απο τη συθήκη ατοχής. Λύση Άσκησης Επαάληψης 6 που δόθηκε στο μάθημα (σταθερή συεχής φόρτιση σε ορισμέο τμήμα δοκού). Συτελεστής χρησιμοποίησης διατομής - Σχόλιο για βέλτιστο προσαατολισμό ορθογωικής διατομής ( 9.8, σ ). Διαβάστε Λυμέες Ασκήσεις 9. & 9.2 / σ Προβλήματα για εξάσκηση: 9.3, 9.4, 9.5, 9.7 / σ. 34. Έοιες ελαστικής γραμμής, βέλους κάμψης και διαφορικής εξίσωσης ελαστικής γραμμής (σ ). Αρχή της Επαλληλίας. Παραδείγματα εφαρμογώ στη περίπτωση μοαξοικής καταπόησης (βλ. λυμέη άσκηση 3.3 / σ.0 αφού διαβάσετε λυμέη άσκηση 2. / σ.57) και κάμψης (βλ. 0.5 / σ ). Ορισμός Γωιακής ή Διατμητικής Παραμόρφωσης και Μέτρου Διάτμησης, G (σ.64-65). Λόγος του Poisson, μ ( 3.3, σ.67-70). Σχέση μεταξύ E, G και μ. Καταπόηση σε διάτμηση. Μοότμητος και δίτμητος ήλος. Παράδειγμα: Υπολογισμός μέσης διατμητικής τάσης. Προβλήματα για εξάσκηση: 5.3, 5.4, 5.7, 5,, 5.2 / σ (Κεφ. 5, σ.33-54) Στρέψη ατράκτω διατομής κυκλικής συμμετρίας. Εξίσωση συμβιβαστού τω παραμορφώσεω στη στρέψη. Βασικός τύπος στρέψης για γραμμικά ελαστικά υλικά. Πολική Ροπή αδράειας. Έοια τω κυρίω τάσεω Κύριες τάσεις στη στρέψη. (Κεφ.) Εξάρτηση, από τη γωία τομής, τω ορθώ και διατμητικώ τάσεω επεεργουσώ σε πλάγια τομή ράβδου υποκειμέης σε αξοική φόρτιση Μέγιστη διατμητική τάση. ( 3., σ.99-05) Θραύση όλκιμω και ψαθυρώ υλικώ υποκείμεω σε στρέψη. (Κεφ.) Παράδειγμα 3 / σ.356. Δείτε επίσης Λυμέη Άσκηση./σ.37. Προβλήματα για εξάσκηση:.3,.4,.5,.7,.8 / σ

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 14: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 14: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 14: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 159 Εισαγωγή: Μηχανική ονομάζεται το τμήμα της Φυσικής, το οποίο εξετάζει την κίνηση και την ισορροπία των σωμάτων. Επειδή η σημασία της είναι μεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗ Νυμφοδώρα Παπασιώπη Φαιόμεα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στην οικογένειά μου.

Αφιερώνεται στην οικογένειά μου. Αφιερώνεται στην οικογένειά μου. ii Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 1 Εισαγωγή... Κεφάλαιο 1 ο Βασικές αρχές και έννοιες της Μηχανικής... 4 1.1 Η δύναμη...6 1. Τύποι συστημάτων δυνάμεων...8 1.3 Ροπή δύναμης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβριος 2008. Άσκηση 5 Δίνεται αμφίπακτη δοκός μήκους L=6,00m με διατομή IPE270 από χάλυβα S235.

Νοέμβριος 2008. Άσκηση 5 Δίνεται αμφίπακτη δοκός μήκους L=6,00m με διατομή IPE270 από χάλυβα S235. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Δομοστατικής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Μάθημα : Σιδηρές Κατασκευές Ι Διδάσκοντες : Ι Βάγιας Γ. Ιωαννίδης Χ. Γαντές Φ. Καρυδάκης Α. Αβραάμ

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε όλες τις κινήσεις που μελετούσαμε μέχρι τώρα, προκειμένου να απλοποιηθεί η μελέτη τους, θεωρούσαμε τα σώματα ως υλικά σημεία. Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος CE07_S04 Πιστωτικές. Φόρτος εργασίας μονάδες:

Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος CE07_S04 Πιστωτικές. Φόρτος εργασίας μονάδες: Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Μεταλλικές Κωδικός CE07_S04 μαθήματος: Κατασκευές ΙI μαθήματος: Πιστωτικές Φόρτος εργασίας μονάδες: 5 150 (ώρες): Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Συσκευασίες από αλουμίνιο, π.χ. αναψυκτικά, μπίρες κ.ά. Συσκευασίες από λευκοσίδηρο, π.χ. από γάλα εβαπορέ, τόνο, ζωοτροφές, τοματοπολτό κ.ά.

Συσκευασίες από αλουμίνιο, π.χ. αναψυκτικά, μπίρες κ.ά. Συσκευασίες από λευκοσίδηρο, π.χ. από γάλα εβαπορέ, τόνο, ζωοτροφές, τοματοπολτό κ.ά. ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΗ ΣΥΣΚΕΥΑΣΙΩΝ Η Αακύκλωση σήμερα αποτελεί σηματική προτεραιότητα για το περιβάλλο και το μέλλο μας. Δε είαι μια εφήμερη τάση της εποχής, αλλά ατίθετα, υποχρέωση κάθε πολιτισμέης κοιωίας που συμβάλει

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015 Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 9 5 015 ΘΕΜΑ Α: Α1. α Α. β Α. α Α4. δ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β: B1. Σωστό το iii. Αιτιολόγηση: Οι εξωτερικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD Ανάλυση της Ανθρώπινης Κίνησης Εμβιομηχανική Κινησιολογία Κινηματική Κινητική Λειτουργική Ανατομική Γραμμική Γωνιακή Γραμμική Γωνιακή Θέση Ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Θέση, μετατόπιση και διάστημα Όταν ένα σημειακό αντικείμενο κινείται ευθύγραμμα, για να μελετήσουμε την κίνησή του θεωρούμε σαν σύστημα αναφοράς έναν άξονα χ χ. Στην αρχή του

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝ: Μαρούσι, 13-09-2012. Αριθ. Πρωτ. 106328/Γ2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθμός Προτεραιότητας:

ΚΟΙΝ: Μαρούσι, 13-09-2012. Αριθ. Πρωτ. 106328/Γ2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθμός Προτεραιότητας: Μαρούσι, 13-09-2012 ---- ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Αριθ. Πρωτ. 106328/Γ2 Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθμός Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 3. Ανάλυση & Σχεδιασμός ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2015 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος.

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος. Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1o A Λυκείου 22 Μαρτίου 28 Στις ερωτήσεις Α,Β,Γ,Δ,E μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής απάντησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Μόρφωση χωρικών κατασκευών από χάλυβα

Μόρφωση χωρικών κατασκευών από χάλυβα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Χάρης Ι. Γαντές Επίκουρος Καθηγητής Μόρφωση χωρικών κατασκευών από χάλυβα Επιστημονική Ημερίδα στα Πλαίσια της 4ης Διεθνούς Ειδικής Έκθεσης για τις Κατασκευές Αθήνα, 16 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝ: Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθμός Προτεραιότητας: ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Μαρούσι, 18-10-2013 Αριθ. Πρωτ.

ΚΟΙΝ: Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθμός Προτεραιότητας: ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Μαρούσι, 18-10-2013 Αριθ. Πρωτ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ---- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη Ιουνίου 9 11. 14. ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος 1 Ένα στερεό εκτελεί μεταφορική κίνηση όταν: α) η τροχιά κάθε σημείου είναι ευθεία γραμμή β) όλα τα σημεία του έχουν ταχύτητα που μεταβάλλεται με το χρόνο γ) μόνο το κέντρο μάζας του διαγράφει ευθύγραμμη

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

μηχανικη στερεου σωματοσ

μηχανικη στερεου σωματοσ μηχανικη στερεου σωματοσ 4 Ροπή δύναμης 112 Ισορροπία στερεού 115 Ροπή αδράνειας 116 Στροφορμή 122 Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής 126 Σύνοψη 131 Ασκήσεις 132 4-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην προσπάθειά μας να απλοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2002 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Οδηγία 5 Ανάλυση συµπαγών πλακών

Τεχνική Οδηγία 5 Ανάλυση συµπαγών πλακών CSI Hellas, εκέµβριος 2003 Τεχνική Οδηία 5 Ανάλυση συµπαών πλακών Η τεχνική οδηία 5 παρέχει βασικές πληροφορίες ια την πλακών. ανάλυση Γενικά. Το Adaptor αναλύει µόνο συµπαείς ορθοωνικές πλάκες, συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένα Παραδείγματα. Στοιχεία Θεωρίας. Άλυτες Ασκήσεις. Ερωτήσεις Θεωρίας

Αναλυτικά Λυμένα Παραδείγματα. Στοιχεία Θεωρίας. Άλυτες Ασκήσεις. Ερωτήσεις Θεωρίας ΒΟΗΘΗΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ Αναλυτικά Λυμένα Παραδείγματα Στοιχεία Θεωρίας Άλυτες Ασκήσεις Ερωτήσεις Θεωρίας Νικόλαος Χονδράκης (Εκπαιδευτικός) ... Νικόλαος Γ. Χονδράκης ( chon nik o@g ma il.co

Διαβάστε περισσότερα

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Σ' ένα πρόβλημα, παρατηρώ αλλαγή στη κατάσταση ενός στερεού (ή συστήματος στερεών), καθώς αυτό δέχεται εξωτερικές ροπές.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Φυσική Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΡΑΠΕΖΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει.

Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης 1. Τι είναι δύναμη; Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει. 2. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα δυνάµεων

Παραδείγµατα δυνάµεων ΥΝΑΜΕΙΣ Παραδείγµατα Ορισµός της δύναµης Χαρακτηριστικά της δύναµης Μάζα - Βάρος Μέτρηση δύναµης ράση - αντίδραση Μέτρηση δύναµης Σύνθεση - ανάλυση δυνάµεων Ισορροπία δυνάµεων 1 Ανύψωση βαρών Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73

XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 20 1 XΑΛΥΒΔΌΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Σύμμικτες πλάκες ονομάζονται οι φέρουσες πλάκες οροφής κτιρίων, οι οποίες αποτελούνται από χαλυβδόφυλλα και επί τόπου έγχυτο

Διαβάστε περισσότερα

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014)

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014) > Φυσική Β Γυμνασίου >> Αρχική σελίδα ΔΥΝΑΜΗ ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς μμ εε ααππααννττήή σσεει ιςς (σελ. 1) ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς χχωρρί ίςς ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. 5) ΙΑΒΑΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΤΑΛΟΓΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ

Η ΚΑΤΑΛΟΓΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ Η ΚΑΤΑΛΟΟΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΣΤΙΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ ΤΟΥ Ε: ΞΩΤΕΙΚΟΥ Υπό κ. Evl Col, της Βιβλιοθήκης του K' Coll. Σηματικό μέρος του HELEN αφιερώεται ο ι η εξέταση της πολιτικής, που ακολουθού οι βιβλιοθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014)

Σε γαλάζιο φόντο ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ (2013 2014) Σε μαύρο φόντο ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ (2013-2014) > Φυσική Γ Γυμνασίου >> Αρχική σελίδα ΗΛΕΚΤΡΙΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙΙ ΦΟΡΤΙΙΟ ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς χχωρρί ίςς ααππααννττήήσσεει ιςς (σελ. 1) ΕΕρρωττήήσσεει ιςς ΑΑσσκκήήσσεει ιςς μμεε ααππααννττήήσσεει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΚΥΡΩΣΕΙΣ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ

ΑΓΚΥΡΩΣΕΙΣ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ Ημερίδα: ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΤΙΡΙΩΝ & ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Σ.Π.Μ.Ε. ΗΡΑΚΛΕΙΟ 14.11.2008 ΑΓΚΥΡΩΣΕΙΣ ΟΠΛΙΣΜΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΠΛΟΥΤΑΡΧΟΣ Δρ. Πολ. Μηχανικός Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ

ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ ΕΡΓΟ : ΡΥΘΜΙΣΗ ΒΑΣΕΙ Ν.4178/2013 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ ΘΕΣΗ : Λεωφόρος Χαλανδρίου και οδός Παλαιών Λατομείων, στα Μελίσσια του Δήμου Πεντέλης ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 http://www.sofistik.gr/ Μεταλλικές και Σύμμικτες Κατασκευές Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 Aξιότιμοι συνάδελφοι, Κυκλοφόρησε η νέα έκδοση του προγράμματος διαστασιολόγησης κόμβων μεταλλικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Ο Ρ Ο Σ Η Μ Ο. Για το κενό ή αέρα στο SI: N m. , Μονάδα στο S.I. 1. Πως βρίσκουμε τη συνισταμένη δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων:

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Ο Ρ Ο Σ Η Μ Ο. Για το κενό ή αέρα στο SI: N m. , Μονάδα στο S.I. 1. Πως βρίσκουμε τη συνισταμένη δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων: ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Φυσική της Λυκείου Γενικής Παιδείας Στατικός Ηλεκτρισμός Τύποι που ισχύουν Νόμος του Coulomb Πως βρίσκουμε τη συνισταμένη δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων: α. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του παραλλογράμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστό το β. Δόθηκε ότι οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες, δηλαδή ma = mb. Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε:

ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστό το β. Δόθηκε ότι οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες, δηλαδή ma = mb. Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α δ Α β Α β Α4 γ Α5. α Σ, β Λ,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2008 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑÏΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά)

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά) ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31/05/2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 07:30 10:00 π.μ. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΤΜΗΜΑ:...

Διαβάστε περισσότερα