Copyright, Οκτώβριος 2011, Π. Μουστάνης, Eκδόσεις Zήτη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Copyright, Οκτώβριος 2011, Π. Μουστάνης, Eκδόσεις Zήτη"

Transcript

1

2 ISBN Copyrigt, Οκτώβριος 20, Π. Μουστάνης, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.22/993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 8 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ. 47 Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια 4 7, Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό ήρθε και συμπλήρωσε ένα κενό που υπήρχε στην ελληνική βιβλιογραφία, στο χώρο των ασκήσεων Στατιστικής Φυσικής. Στοχεύει επίσης να αποτελέσει μια εισαγωγή στη Στατιστική Φυσική με άμεσο και σαφή τρόπο, χωρίς να προαπαιτείται γνώση της Θερμοδυναμικής. Και στην παρούσα έκδοση, η ύλη έχει ταξινομηθεί σε τρία κεφάλαια. Στο πρώτο περιέχονται οι θεμελιώδεις έννοιες της Στατιστικής και εξετάζονται συστήματα στα πλαίσια της μικροκανονικής μεθοδολογίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετώνται συστήματα στα πλαίσια της κανονικής μεθοδολογίας ενώ τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται το φερμιονικό και μποζονικό αέριο, καθώς και η μεγαλοκανονική κατανομή. Κάθε κεφάλαιο περιέχει τις απαραίτητες έννοιες πάνω στις οποίες βασίζεται η θεωρία και τις ασκήσεις οι οποίες, εν μέρει, συμπληρώνουν τη θεωρία και σκοπίμως δεν έχουν συμπεριληφθεί σε αυτήν προκειμένου να γίνουν άμεσα αντιληπτές οι έννοιες και οι αρχές της Στατιστικής Φυσικής. Όπου ήταν εφικτό και συγκεκριμένα στα δύο πρώτα κεφάλαια, δόθηκε και μία μεθοδολογία επίλυσης των ασκήσεων. Όσον αφορά τις ασκήσεις θα ήθελα να επισημάνω ότι έχω αποφύγει την λεπτομερή παρουσίαση αρκετών αλγεβρικών πράξεων, ώστε να μην χάνεται η ουσία της άσκησης. Σεπτέμβρης 20 Παναγιώτης Μουστάνης

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο : Βασικές αρχές της Στατιστικής. Μακροκατάσταση Μικροκατάσταση....2 Στατιστικό βάρος Αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων Εργοδική υπόθεση Ορισμός εντροπίας κατά Bolzmann Χώρος των φάσεων Κβάντωση του χώρου φάσεων Συλλογές κατανομές Θεμελιώδεις νόμοι της θερμοδυναμικής Ορισμοί Μεθοδολογία Λυμένες Ασκήσεις Κεφάλαιο 2: Κανονική Κατανομή 2. Θεμελιώδεις έννοιες Ορισμοί Μέσες τιμές μακροσκοπικών μεγεθών Θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας Θερμοχωρητικότητα των στερεών Μεθοδολογία... 7 Λυμένες Ασκήσεις... 73

5 8 Στατιστική Φυσική Κεφάλαιο 3: Μεγαλοκανονική Κατανομή Κατανομές Fermi - Dirac και Bose - Einstein 3. Μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού Μεγαλοκανονική κατανομή Συνάρτηση επιμερισμού κβαντικού ιδανικού αερίου Συνάρτηση επιμερισμού μονοσωματιδιακής στάθμης Κατανομές Fermi - Dirac και Bose - Einstein Το μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων στα μέταλλα Συμπύκνωση κατά Bose - Einstein Ακτινοβολία μέλανος σώματος Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματικό Συμπλήρωμα Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί Κβαντικό ιδανικό αέριο... 9 Βιβλιογραφία Ευρετήριο Όρων... 95

6 Εισαγωγή Οι μακροσκοπικές ιδιότητες ενός σώματος καθορίζονται από τις ιδιότητες των μικροσκοπικών, θεμελιωδών λίθων του, των ατόμων και των μορίων του, καθώς και από τις αλληλεπιδράσεις τους με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η στατιστική φυσική είναι η γέφυρα που ενώνει το μικρόκοσμο με το μακρόκοσμο, τη συμπεριφορά των ατόμων και των μορίων με τις μακροσκοπικές ιδιότητες του σώματος. Το πέρασμα αυτό από το μικρόκοσμο στον μακρόκοσμο δεν είναι προφανές ούτε άμεσο, λόγω του μεγάλου αριθμού σωματιδίων που απαρτίζουν ένα μακροσκοπικό σύστημα. Επίσης οι νόμοι που διέπουν τη συμπεριφορά ενός μακροσκοπικού συστήματος είναι εντελώς διαφορετικής φύσης από εκείνους που διέπουν τη συμπεριφορά των μορίων του. Παράδειγμα η μη αντιστρεψιμότητα των φυσικών διαδικασιών (δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής), παρ όλο που οι εξισώσεις κίνησης του κάθε μορίου είναι αντιστρέψιμες ως προς το χρόνο. Όταν αυξάνεται το 23 μέγεθος ενός συστήματος, έστω N 0, τότε μία δεδομένη ενέργεια, Ε του συστήματος μπορεί να «διαμοιραστεί» με αναρίθμητους τρόπους ανάμεσα στα διάφορα σωματίδια. Παραδείγματος χάριν, σε ένα ιδανικό αέριο E = ε + ε + + ε = ε + ε + + ε = 2 Ν 2 όπου εi, i =, N είναι η ενέργεια του i-σωματιδίου. Συνέπεια αυτού του γεγονότος είναι ότι οι αποστάσεις μεταξύ γειτονικών ενεργειακών σταθμών είναι της τάξης του 0 - N. Άρα ένα μακροσκοπικό σώμα δεν μπορεί, αυστηρά μιλώντας, να βρεθεί σε μία στάσιμη κατάσταση, για τους εξής δύο λόγους:. Υπάρχουν πάντα αλληλεπιδράσεις με το περιβάλλον, έστω απειροελάχιστες, οι οποίες προκαλούν τη μετάβαση του συστήματος από μία ενεργειακή στάθμη σε μία άλλη. 2. Ακόμα και αν θεωρήσουμε το σύστημα κλειστό με κάθε έννοια, για να γνωρίσουμε σε ποια ενεργειακή στάθμη βρίσκεται το σύστημα, πρέπει η αβεβαιότητα, ΔΕ, στην ενέργεια της μέτρησης να είναι μικρότερη από την απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών σταθμών, η οποία όπως είδαμε, είναι της τάξης 0 - N. Λόγω ό- μως της αρχής της αβεβαιότητας ενέργειας χρόνου, το καλύτερο που μπορούμε να επιτύχουμε είναι: Ν

7 0 Στατιστική Φυσική - ΔE Δt όπου ΔΕ < 0 Ν Ν 0 23 Άρα Δt / ΔΕ 0 0, δηλαδή ο χρόνος παρατήρησης πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερος της ηλικίας του σύμπαντος. Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι, ένα μακροσκοπικό σύστημα δεν μπορεί να βρίσκεται σε μία στάσιμη ενεργειακή στάθμη. Πάντα λοιπόν υπάρχουν διακυμάνσεις όλων των μεγεθών ενός μακροσκοπικού συστήματος (ενέργεια, μαγνητική ροπή, κ.λπ.) γύρω από κάποια μέση τιμή. Άρα πάντα θα μιλάμε, στη στατιστική φυσική, για υπολογισμό της μέσης τιμής ενός μεγέθους, ακόμα και όταν δε χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως, μέση ενέργεια κ.λπ. αλλά απλά ενέργεια του συστήματος.

8 ο Κεφάλαιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Μακροκατάσταση Μικροκατάσταση Έστω ένα μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτελείται από Ν σωματίδια (για λόγους απλότητας του ίδιου είδους) και είναι σχεδόν μονωμένο. Μία μακροσκοπική κατάσταση του συστήματος ή μακροκατάσταση καθορίζεται από την ενέργειά του Ε, τον όγκο V και το Ν. Όταν το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία, η στατιστική μηχανική επιτρέπει τον καθορισμό μίας μακροκατάστασης χωρίς να απαιτείται λεπτομερής γνώση των μικροκαταστάσεων του συστήματος, δηλαδή, κλασικά μιλώντας, χωρίς να απαιτείται η γνώση των συντεταγμένων θέσης r,, r N και των ορμών p,, pn (αν και αυτό είναι αδύνατο) των σωματιδίων του. Κβαντικά, η μικροκατάσταση καθορίζεται από το σύνολο των καλών κβαντικών αριθμών του συστήματος. Σε κάθε μακροκατάσταση ενός συστήματος αντιστοιχεί ένας καθορισμένος αριθμός μικροκαταστάσεων του συστήματος, οι οποίες είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση. Με άλλα λόγια, μία μακροκατάσταση μπορεί να προκύψει από ένα πλήθος διαφορετικών μικροκαταστάσεων. Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε 3 spin /2 μέσα σε μαγνητικό πεδίο Η παράλληλο στον άξονα z. To κάθε σπιν έχει μαγνητική ροπή μ με δύο δυνατούς προσανατολισμούς και η ενέργειά του ε = μ Η είναι ± μη ανάλογα αν είναι αντιπαράλ- ληλο ή παράλληλο στο πεδίο Η. Το σύστημα αυτό έχει 8 διαφορετικές μικροκαταστάσεις και αντίστοιχες ενέργειες, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Καλοί κβαντικοί αριθμοί είναι οι ιδιοτιμές των τελεστών που μετατίθενται με τη Hamiltonian και συνεπώς δε μεταβάλλονται με το χρόνο.

9 2 Κεφάλαιο Μικροκαταστάσεις Ø Ø Ενέργειες 3μΗ μη μη Η Ø μη ØØ Ø Ø ØØ ØØØ μη μη μη 3μΗ Έστω ότι η ενέργεια του συστήματος είναι Ε =- μη. Αυτό σημαίνει ότι δύο σπιν είναι προσανατολισμένα παράλληλα στο πεδίο Η ενώ το τρίτο αντιπαράλληλα. Δηλαδή έχουμε μόνο τρεις μικροκαταστάσεις οι οποίες είναι συμβατές με την ενέργεια Ε =- μη : Ø Ø Ø Η Στο παράδειγμα αυτή η μακροκατάσταση του συστήματος καθορίζεται μόνο από την ενέργειά του (ο όγκος δεν υπεισέρχεται καθόλου). Το πλήθος των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν στη συγκεκριμένη ενέργεια ονομάζεται στατιστικό βάρος της μικροκατάστασης. Εδώ το στατιστικό βάρος της μακροκατάστασης με Ε =- μη είναι 3. Γενικότερα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:.2 Στατιστικό βάρος Ορισμός Ο αριθμός των δυνατών ή των πραγματοποιήσιμων μικροκαταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρίσκεται ένα μακροσκοπικό σύστημα για δεδομένες τιμές των V, N και ενέργειας στο διάστημα από Ε έως και E+ δε, ονομάζεται στατιστικό βάρος της μακροκατάστασης και συμβολίζεται με Ω (Ε, δε, Ω, Ν) ή με Ω (Ε, Ω, Ν) δε.

10 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 3 Όταν πρόκειται για κβαντικό σύστημα συνήθως το στατιστικό βάρος θα ορίζεται σαν το πλήθος των δυνατών μικροκαταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρίσκεται ένα μακροσκοπικό σύστημα για δεδομένες τιμές V, N και Ε = σταθ. Με άλλα λόγια είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων οι οποίες είναι συμβατές με την μακροκατάσταση Ε, V, Ν και θα γράφουμε Ω (Ε, V, Ν) ή μερικές φορές πιο απλά Ω(Ε) με Ε = σταθ. Ξαναγυρνώντας στο προηγούμενο παράδειγμα βλέπουμε ότι, ενώ σ αυτή την περίπτωση η ενέργεια του συστήματος και ο αριθμός των σπιν καθορίζουν τη μακροκατάσταση, δεν υπάρχει τρόπος να γνωρίζουμε σε ποια από τις τρεις μικροκαταστάσεις βρίσκεται το σύστημα. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να γενικευτεί σε οποιοδήποτε «κλειστό» σύστημα το οποίο έχει φθάσει σε θερμοδυναμική ισορροπία. Λόγω των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των σωματιδίων ενός συστήματος (είτε λόγω των συγκρούσεων των ατόμων ενός αερίου είτε λόγω των ταλαντώσεων πλέγματος σ ένα παραμαγνητικό στερεό, λόγου χάρη) το σύστημα περνά από όλες τις δυνατές μικροκαταστάσεις οι οποίες είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση. Άρα λοιπόν συνοψίζοντας, έχουμε το ακόλουθο αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων..3 Αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων Όλες οι μικροκαταστάσεις ενός συστήματος που είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση είναι εξ ίσου πιθανές να πραγματοποιηθούν. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: i) Έστω ότι ένα μονωμένο σύστημα έχει «απόλυτα καθορισμένη» ενέργεια Ε. Κάθε κβαντική μικροκατάσταση έχει πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ίση με p = ΩΕ (, Ω, Ν) ii) Έστω ότι γνωρίζουμε την ενέργεια ενός μονωμένου συστήματος με μία αβεβαιότητα δε. Δηλαδή η ενέργειά του βρίσκεται σ ένα διάστημα Ε έως Ε+ δε. Το βασικό αξίωμα της στατιστικής λέει ότι στην κατάσταση ισορροπίας το σύστημα μπορεί να βρίσκεται με την ίδια πιθανότητα σε μία οποιαδήποτε ενεργειακή στάθμη Ε με Ε < Ε < Ε+ δε, ή r r Ïc, E < Er < E+ δε pe ( = Er ) =Ì Ó 0, σε όλες τις άλλες περιπτώσεις

11 4 Κεφάλαιο όπου c σταθερά υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης Â r pe ( = E) = r και το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις καταστάσεις στο διάστημα μεταξύ Ε και E+ δε. Άρα: pe ( = E r ) =. ΩΕ (, δε, Ω, Ν).4 Εργοδική υπόθεση Η μέση τιμή ενός μεγέθους, π.χ. της ενέργειας ενός συστήματος σε ισορροπία μπορεί να υπολογιστεί είτε παρατηρώντας το σύστημα για ένα σχετικά μεγάλο χρονικό διάστημα και εξάγοντας τη μέση τιμή του μεγέθους ως προς το χρόνο παρατήρησης, είτε «μετρώντας» την ίδια χρονική στιγμή τις ενέργειες μίας πολύ μεγάλης συλλογής πανομοιότυπων συστημάτων και εξάγοντας τη μέση τιμή του μεγέθους ως προς τη συλλογή. Το αποτέλεσμα των δύο διαδικασιών υπολογισμού της μέσης τιμής είναι το ίδιο (εργοδική αρχή)..5 Ορισμός εντροπίας κατά Boltzmann Η εντροπία ενός συστήματος ορίζεται ως: S = kln Ω( Ε) δε όπου Ω(Ε) δε είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων του συστήματος όταν αυτό έχει ενέργεια στο διάστημα από Ε έως Ε+ δε. Για κβαντικό σύστημα το οποίο έχει καθορισμένη ενέργεια Ε ορίζεται ως S = kln Ω( Ε). Η εντροπία έχει ορισθεί έτσι ώστε να είναι κατ αρχήν μία εκτατή ποσότητα. Δηλαδή αν S και S 2 είναι οι εντροπίες δύο ανεξάρτητων συστημάτων, τότε η εντροπία του σύνθετου συστήματος είναι S+ S2. Κατά δεύτερον αν είναι πραγματοποιήσιμη μία μόνο μικροκατάσταση ΩE ( ) = και S = kln = 0 δηλαδή έχουμε πλήρη τάξη.

12 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 5.6 Χώρος φάσεων Ένα σύστημα μπορεί να περιγραφεί από f γενικευμένες συντεταγμένες και τις αντίστοιχες ορμές, δηλαδή από ένα σύνολο 2f παραμέτρων. Το f ονομάζεται αριθμός των βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Στην περίπτωση ενός ιδανικού μονοατομικού αερίου f = 3N. Ο χώρος 2f-διαστάσεων ονομάζεται χώρος των φάσεων του συστήματος. Κλασικά μία κατάσταση του συστήματος καθορίζεται αν καθορίσουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες θέσης και ορμής του κάθε σωματιδίου, δηλαδή παριστάνεται από ένα σημείο στο χώρο αυτό. Με την πάροδο του χρόνου, οι γενικευμένες συντεταγμένες q i και ορμές p i μεταβάλλονται με αποτέλεσμα το σημείο του χώρου των φάσεων να διαγράφει μία τροχιά στο χώρο αυτό που αντιστοιχεί σε μία επιφάνεια σταθερής ενέργειας (αν το σύστημα είναι μονωμένο). Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα για να κατανοήσουμε καλύτερα τα παραπάνω: Έστω ένας απλός κλασικός μονοδιάστατος αρμονικός ταλαντωτής συχνότητας ω. Η Χαμιλτονιανή του είναι: 2 p 2 2 H = + mω q. 2m 2 Όταν η ενέργειά του είναι Ε μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση στη μορφή: 2 2 p q + =. 2 2mE 2 E/ mω Αυτή είναι η εξίσωση μίας έλλειψης στο επίπεδο q - p. Δηλαδή εδώ ο χώρος των φάσεων είναι δύο διαστάσεων αφού, όπως ξέρουμε, ένας μονοδιάστατος ταλαντωτής έχει έναν μόνο βαθμό ελευθερίας f=. Κλασικά μια μικροκατάσταση καθορίζεται από την ταυτόχρονη γνώση της θέσης q και της ορμής p και παριστάνεται από ένα σημείο στο χώρο αυτό όπως φαίνεται στο Σχήμα : p q Σχήμα

13 6 Κεφάλαιο Με την πάροδο του χρόνου η θέση και η ορμή μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται πάντα η εξίσωση: 2 2 p q + = 2 2mE 2 E/ mω δηλαδή το σημείο θα κινείται σε μία κλειστή καμπύλη και συγκεκριμένα σε μία έλλειψη (Σχήμα 2). Το πλήθος των μικροκαταστάσεων ( q, p ) που είναι πραγματοποιήσιμες είναι προφανώς όσα τα σημεία της έλλειψης δηλαδή άπειρα. p q Σχήμα 2 Θα μπορούσαμε λοιπόν, να ισχυριστούμε ότι η εντροπία ενός συστήματος τέτοιων ταλαντωτών είναι άπειρη; Κατ αρχήν εμείς δεν ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε το πρόβλημα ενός αρμονικού ταλαντωτή καθορισμένης ενέργειας Ε αλλά όταν αυτός αλληλεπιδρά με το περιβάλλον με αποτέλεσμα η ενέργειά του να μην είναι σταθερή αλλά να κυμαίνεται σ ένα διάστημα από Ε έως E+ δε. Όταν η ενέργειά του λοιπόν είναι Ε+ δε τότε το σημείο του χώρου των φάσεων θα κινείται σε μεγαλύτερη έλλειψη (Σχήμα 3) οπότε όταν η ενέργειά του κυμαίνεται στο διάστημα από Ε έως Ε+ δε μπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε μικροκατάσταση δηλαδή σε κάθε σημείο του επιπέδου q-p μεταξύ των δύο καμπυλών σταθερής ενέργειας. p E E+δΕ q Σχήμα 3

14 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 7 Το πλήθος προφανώς των σημείων αυτών είναι άπειρο με συνέπεια να έχουμε άπειρο πλήθος μικροκαταστάσεων Ω άρα και άπειρη εντροπία ανά ταλαντωτή S kln Ω! N = = Άρα κάτι δεν πάει καλά στην κλασική θεώρηση. Αν θέλουμε να «σώσουμε» την κλασική περιγραφή θα πρέπει να λάβουμε υπ όψη μας την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg και να κβαντώσουμε όπως λέμε τον χώρο των φάσεων..7 Κβάντωση του χώρου φάσεων Λόγω της αρχής της αβεβαιότητας δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ταυτόχρονα τη θέση x και την ορμή p x ενός σωματιδίου δηλαδή να κάνουμε το γινόμενο αβεβαιοτήτων της θέσης, Δx και της ορμής Δp x αυθαίρετα μικρό. Αυτό που μπορούμε να επιτύχουμε είναι το πολύ: ΔpxΔx ª όπου η σταθερά του Planck. Με απλά λόγια δεν μπορούμε στο χώρο των φάσεων (επίπεδο x-p για τον αρμονικό ταλαντωτή) να διακρίνουμε ένα σημείο (μικροκατάσταση) από ένα άλλο αυθαίρετα κοντινό του. Αυτό που κάνουμε λοιπόν είναι το εξής: Χωρίζουμε το επίπεδο x-p (ή q-p) σε ορθογώνια ακμών Δpx, Δx δηλαδή εμβαδού το καθένα και θεωρούμε ότι η κάθε κυψελίδα αντιστοιχεί σε μία μόνο μικροκατάσταση δηλαδή δεν έχουμε πλέον άπειρα σημεία μικροκαταστάσεις σ αυτήν αλλά μόνο ένα. (Σχήμα 4). Οπότε αν θέλουμε να βρούμε το πλήθος των μι- p q Σχήμα 4

15 8 Κεφάλαιο κροκαταστάσεων με ενέργειες από Ε έως E+ δε θα μετρήσουμε πόσες κυψελίδες υπάρχουν μεταξύ των δύο ελλείψεων. Συνεπώς: εμβαδόν μεταξύ δύο ελλείψεων ΩΕδΕ= ( ) ή ΩΕδΕ ( ) εμβαδόν κυψελίδας με τη συνθήκη E < H < E+ δε. (Να θυμίσουμε ότι το διπλό ολοκλήρωμα περιοχής D του επιπέδου xy). D = dpdq dxdy εκφράζει το εμβαδόν της Άρα λοιπόν γενικεύοντας, αν έχουμε ένα σύστημα με f = 3N βαθμούς ελευθερίας (π.χ. Ν σωματίδια ιδανικού αερίου σε τρεις διαστάσεις ή Ν τρισδιάστατους κλασικούς αρμονικούς ταλαντωτές), το στατιστικό βάρος ΩE ( ) δε, δηλαδή το πλήθος των μικροκαταστάσεων που περικλείονται μεταξύ δύο επιφανειών σταθερής ενέργειας, ισούται με τον όγκο που περικλείεται ανάμεσα στις δύο αυτές επιφάνειες, που είναι: 6N dp dp dp dp dq dq dq x y z 2x N N N E < H < E+ δε ή εν συντομία 6N Ν i= dp dq i i x y z E < H < E+ δε 3N δια τον όγκο της κάθε κυψελίδας (το κάθε γινόμενο dp dq πρέπει να διαιρεθεί δια ). Συνοψίζοντας σε τρεις διαστάσεις θα έχουμε: ΩEδΕ ( ) = Ν! Ε< Η < Ε+ δe N i= dp dq i 3N όπου το! Ν είναι μία επιπλέον διόρθωση που πρέπει να βάλουμε με το χέρι για να σώσουμε την κλασική περιγραφή και οφείλεται στο γεγονός ότι τα σωματίδια ενός συστήματος (π.χ. αερίου) είναι εν γένει μη διακρίσιμα. i

16 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 9 Αν όμως έχουμε εντοπισμένα στο χώρο σωματίδια, όπως για παράδειγμα όταν μελετάμε τις ταλαντώσεις των ιόντων ενός στερεού που έχουμε εντοπισμένους ταλαντωτές σε συγκεκριμένες διακριτές θέσεις τότε: ΩEδΕ ( ) = Ε< Η < Ε+ δe N i= dp dq i 3N i. Κβαντικά, το στατιστικό βάρος μίας μακροκατάστασης ισούται με τον αριθμό των σημείων (μικροκαταστάσεις) στον χώρο των φάσεων που περικλείονται ανάμεσα σε δύο επιφάνειες σταθερής ενέργειας Ε και E+ δε, δηλαδή: ΩΕ (, δε, V, N) = Â. E< H< E+ δε Σημείωση: To ΩΕ (, dε ) εξαρτάται προφανώς από το εύρος de του ενεργειακού διαστήματος. Η ποσότητα ΩΕ ( ) = ΩΕ (, de)/ de είναι ανεξάρτητη του de και ονομάζεται πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων. Με άλλα λόγια θεωρούμε ότι: ΩE (, de) = ΩEdE ( ). Μερικές φορές θα συμβολίζουμε με ΩΕ ( ) το πλήθος των καταστάσεων στο διάστημα από 0 έως Ε, ή στην περίπτωση όπου το σύστημα έχει καθορισμένη ενέργεια θα δηλώνουμε το πλήθος των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν σε ενέργεια Ε. Κάθε φορά θα είναι ξεκάθαρο από το κείμενο τι θα εννοούμε..8 Συλλογές - κατανομές Μικροκανονική συλλογή Αν θεωρήσουμε ένα πολύ μεγάλο πλήθος από πανομοιότυπα συστήματα, μονωμένα τότε μιλάμε για μικροκανονική συλλογή. Η πιθανότητα να έχει ένα τυχαίο σύστημα της συλλογής ενέργεια στο διάστημα από Ε έως Ε+ δε είναι σταθερά για όλες τις ενέργειες σ αυτό το διάστημα (μικροκανονική κατανομ) και ίση, όπως είδαμε ίση με ΩΕ (, V, N ).

17 20 Κεφάλαιο Κανονική συλλογή Ένα πολύ μεγάλο πλήθος πανομοιότυπων συστημάτων, τα οποία βρίσκονται σε θερμική επαφή το ένα με το άλλο, δηλαδή ανταλλάσουν ενέργεια, αποτελεί τη λεγόμενη κανονική συλλογή. Αν διαλέξουμε στην τύχη ένα σύστημα, η πιθανότητα (κανονική κατα- αυτό να έχει ενέργεια από Ε έως Ε + δε είναι ανάλογη με νομή). Μεγαλοκανονική συλλογή EkT / e - Αν τα πανομοιότυπα συστήματα που θεωρήσαμε προηγουμένως ανταλλάσουν εκτός από ενέργεια και σωματίδια, τότε έχουμε τη λεγόμενη μεγαλοκανονική συλλογή. Η πιθανότητα να έχει ένα σύστημα ενέργεια στο διάστημα από έως E+ δε και αριθμό σωματιδίων στο διάστημα από Ν έως Ν + δν είναι ανάλογο με ( E μ)/ kt e - -, όπου μ το χημικό δυναμικό (μεγαλοκανονική κατανομή)..9 Θεμελιώδεις νόμοι της Θερμοδυναμικής Ορισμοί Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μονωμένο σύστημα με οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες (π.χ. έχουμε ένα αέριο το οποίο καταλαμβάνει μόνο το ήμισυ ενός δοχείου όγκου V, με τη βοήθεια ενός χωρίσματος και αφαιρούμε το χώρισμα). Είναι προφανές ότι μετά την πάροδο ενός χρονικού διαστήματος το σύστημα θα έχει φθάσει σε εκείνη τη μακροκατασταση στην οποία θα αντιστοιχούν οι περισσότερες μικροκαταστάσεις και άρα το στατιστικό της βάρος θα είναι μέγιστο. Αυτό ισχύει γενικά σε οποιοδήποτε μονωμένο σύστημα, και το φυσικό μέγεθος που καθορίζει τη φορά των φυσικών διεργασιών είναι η εντροπία. Πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής Η προσφερόμενη θερμότητα στο σύστημα ισούται με τη μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας συν το έργο που εκτελέστηκε από αυτό δq = du + δw. Δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής Όταν ένα θερμικά μονωμένο σύστημα μεταβαίνει από μια μακροκατάσταση σε μια άλλη η εντροπία του αυξάνεται πάντα, ΔS > 0, ενώ παραμένει σταθερή, ΔS = 0, μόνο όταν το σύστημα έχει φτάσει στην κατάσταση ισορροπίας.

18 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 2 Τρίτος νόμος της θερμοδυναμικής Όταν η θερμοκρασία ενός συστήματος τείνει στο απόλυτο μηδέν η εντροπία του τείνει στο μηδέν. Αυτό τον νόμο είναι από να τον καταλάβει κανείς, γιατί για Τ=0 κάθε σύστημα βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση. Άρα: ST ( = 0) = klng όπου g ο εκφυλισμός της βασικής κατάστασης. Επειδή όμως όλα σχεδόν τα συστήματα έχουν μη εκφυλισμένη βασική κατάσταση, δηλαδή g =, συνεπάγεται ότι: ST ( = 0) = kln= 0. Ακόμη και για συστήματα όπου η βασική στάθμη είναι εκφυλισμένη, ο εκφυλισμός αυτός δεν είναι ανάλογος του συστήματος, άρα μπορούμε να πούμε ότι: lim S = 0. TÆ0 Στατιστικός ορισμός θερμοκρασίας T Ê S ˆ = Á Ë E V, N Ορισμός πίεσης Ê S ˆ P = T Ë Á V E, N Ορισμός χημικού δυναμικού Ê S ˆ μ=-tá Ë V E, V Γενικευμένος ορισμός της εντροπίας S =-k  pr ln p r r όπου p r η πιθανότητα να βρίσκεται το σύστημα σε μία κατάσταση r και το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις καταστάσεις.

19 22 Κεφάλαιο Μεθοδολογία Για να υπολογίσουμε την εντροπία ενός συστήματος ή την ενέργειά του συναρτήσει της θερμοκρασίας, στα πλαίσια της μικροκανονικής μεθοδολογίας, υπολογίζουμε πρώτα το στατιστικό βάρος Ω(Ε). Σε γενικές γραμμές τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: Βήμα ο : Για να βρούμε το Ω(Ε) διακρίνουμε αν έχουμε i) κβαντικό ή ii) κλασικό σύστημα. i) Κβαντικό σύστημα Γνωρίζοντας τις ενεργειακές στάθμες κάθε σωματιδίου ε i γράφουμε τη συνολική ενέργεια του συστήματος N i= i E = Â ε (για Ν ανεξάρτητα σωματίδια)και υπολογίζουμε με πόσους δυνατούς τρόπους μπορούμε να πάρουμε τη συγκεκριμένη ενέργεια. Αυτό είναι το Ω το οποίο το εκφράζουμε είτε συναρτήσει της Ε είτε κάποιας άλλης παραμέτρου. ii) Κλασικό σύστημα Το πλήθος των μικροκαταστάσεων του συστήματος υπολογίζεται από τους τύπους: dpidqi i= ΩΕδΕ ( ) = 3N Ν! Ε< Η < Ε+ δe για μη διακρίσιμα σωματίδια (π.χ. ιδανικό αέριο) ή από ΩΕδΕ ( ) = Ε< Η < Ε+ δe N i= N dp dq i 3N για διακρίσιμα σωματίδια π.χ. (ταλαντωτές). Σε δύο διαστάσεις το N από το. i 3N θα πρέπει να αντικατασταθεί με το 2N ενώ σε μία

20 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 23 Βήμα 2 ο : Βήμα 3 ο : Έχοντας βρει το στατιστικό βάρος η εντροπία υπολογίζεται από τον ορισμό: S = kln Ω( Ε) για κβαντικό σύστημα S = kln Ω( Ε) δε για κλασικό σύστημα Η ενέργεια συναρτήσει της θερμοκρασίας υπολογίζεται σε κάθε περίπτωση από τον ορισμό της θερμοκρασίας: T Ê S ˆ = Á Ë E V, N.

21 24 Κεφάλαιο Ασκήσεις στη Μικροκανονική Κατανομή Άσκηση Να υπολογιστεί ο αριθμός μικροκαταστάσεων, ΩΕ (, dε ), που αντιστοιχούν σε ενέργειες στο διάστημα από Ε έως Ε+ de για ελεύθερο σωματίδιο i) στις τρεις διαστάσεις και ii) στις δύο διαστάσεις. Λύση αʹ τρόπος i) Το πλήθος των μικροκαταστάσεων Ω(Ε)dE ενός σωματιδίου σε τρεις διαστάσεις είναι: Ω( Ε) δε = dpdq = dxdydz dp dp dp 3 3 Ε< Η < Ε+ de x y z V E< H< E+ de όπου V o όγκος του δοχείου στο οποίο βρίσκεται το σωματίδιο. Η συνθήκη E < H < E+ δε επηρεάζει μόνο τις ορμές και όχι τη θέση του σωματιδίου, για το λόγο αυτό το αρχικό εξαπλό ολοκλήρωμα γράφτηκε σαν γινόμενο των δύο τριπλών ολοκληρωμάτων. Τώρα το πρώτο ολοκλήρωμα μας δίνει τον όγκο του δοχείου ενώ dpxdpydpz = dpxdpydpz. E< H< E+ de (Για να γίνει αυτό κατανοητό να πούμε ότι όταν έχουμε συνάρτηση μίας μεταβλητής ισχύει x+ dx f ( xdx ) = f( xdx ) γιατί και τα δύο μέλη εκφράζουν εμβαδόν ορθογωνίου βάσης dx και ύψους f ( x )). Άρα λοιπόν: x V Ω( Ε) de = dp 3 xdpydpz. Περνώντας σε σφαιρικές συντεταγμένες 2 dp = dp dp dp = 4πp dp x y z

22 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 25 (κατ αναλογία με την dxdydz = 4πr dr ). Άρα τελικά έχουμε: 2 2 4πVp dp ΩΕdE ( ) = () 3 Επειδή το σωματίδιο είναι ελεύθερο έχει μόνο κινητική ενέργεια 2 2 E = p /2mfi p = 2mE και διαφορίζοντας παίρνουμε: mde 2pdp = 2mdE fi dp =. 2mE 2 Αντικαθιστώντας το p = 2mE και το dp στην () παίρνουμε μετά από πράξεις: 3/2 /2 2 π(2 m) Ε ΩΕ (, de) = de. 3 ii) Σε δύο διαστάσεις: A Ω( E) de = dpdq = dxdy dp dp = 2πpdp 2 2 x y 2 Ε < H< E+ de Α Ε< Η< Ε+ de όπου Α το εμβαδόν της περιοχής στην οποία κινείται το σωματίδιο. Επίσης χρειάστηκε να γράψουμε dpxdpy = 2πpdp σε πολικές συντεταγμένες σε αναλογία με το dxdy = 2πrdr και να αμελήσουμε πάλι την ολοκλήρωση αφού το de είναι απειροστό διάστημα και όχι πεπερασμένο. Τώρα επειδή όπως έχουμε δει προηγουμένως ότι pdp = mde παίρνουμε τελικά: 2πmA Ω( Ε) de = de. 2 βʹ τρόπος ii) H Χαμιλτονιανή ενός ελεύθερου σωματιδίου σε δύο διαστάσεις είναι: ( 2 2 x y ) H = p + p () 2m και θεωρώντας περιοδικές συνθήκες με περίοδο L και στις δύο διευθύνσεις, οι ιδιοτιμές της ορμής είναι:

23 26 Κεφάλαιο p L L x = n2, py = n2 όπου n, n 2 = 0±, ± 2 Στο px, p y επίπεδο, η «επιφάνεια» σταθερής ενέργειας Ε είναι κύκλος ακτίνας 2mE, καθώς από την () έχουμε: x y ( 2 ) p + p = me. Για L μεγάλο, έχουμε λοιπόν ότι, ο αριθμός των μικροκαταστάσεων με ενέργειες στο διάστημα από Ε έως και Ε + de ισούται με το εμβαδόν του δακτυλίου ακτίνας p= 2mE και πάχους dp, όπου p το μέτρο της ορμής του σωματιδίου, διαιρεμένου με (/L) 2 (Σχήμα 5). Άρα: 2 2πpdp L 2πmdE ΩΕ (, de) = 2 2 ( / L) = (2) p y 2mE p x Σχήμα 5 = 2mE και pdp = mde για να περά- όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι σουμε στην τελευταία ισότητα. p 2 i) Για ένα ελεύθερο σωματίδιο στις τρεις διαστάσεις με περιοδικές συνθήκες, περιόδου L, o ζητούμενος αριθμός μικροκαταστάσεων θα είναι, σε πλήρη αναλογία με το προηγούμενο υποερώτημα, ίσος με τον αριθμό των κύβων ακμής / L που περικλείονται σε σφαιρικό φλοιό ακτίνας p και πάχους dp, δηλαδή:

24 Βασικές Αρχές της Στατιστικής /2 /2 4πp dp V2 π(2 m) E de ΩΕ (, de) = 3 3 ( / L) = (3) όπου θέσαμε p 2 3 L = V και χρησιμοποιήσαμε τη σχέση 2m = 2mE και dp = de. /2 2E Άσκηση 2 Για κλασικό ιδανικό αέριο Ν ατόμων να δειχθεί ότι ο αριθμός των μικροκαταστάσεων (στατιστικό βάρος) που αντιστοιχούν σε ενέργειες από Ε έως E+ de είναι: N 3 Ν/2 3 N/2 V π (2 me) 3NdE ΩΕ (, de) = 3N Ê3N ˆ N! Á! 2E Ë 2 όπου χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό της Γάμμα συνάρτησης n -x Γn ( + ) = n! xe dx 0 Υπόδειξη: H επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R σε χώρο n διαστάσεων είναι: n/2 nπ n- Sn ( R) = R. ( n /2)! Λύση Το στατιστικό βάρος της μακροκατάστασης του αερίου είναι εξ ορισμού Ω( Ε) de = dq 3N dqn dp dpn N! 6N E< H< E+ de dq dq dp dp = 3N N N! 3 N V V Το 3Ν-πλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τη συνθήκη E < H < E+ de. Όμως για ιδανικό αέριο N 2 N pi 2 E =  fi pi = 2mE 2m  i= i= N

25 28 Κεφάλαιο x y z Nx Ny Nz 2 fi p + p + p + + p + p + p = me. Αυτή είναι εξίσωση σφαίρας ακτίνας R= 2mE σε χώρο 3Ν διαστάσεων. Έτσι λοιπόν το ολοκλήρωμα: 3 N /2 3 3N - Nπ dq dpn = S3N( R) dr = ( 2 me) d 2mE = Ê3N ˆ Á! Ë 2 6N E< H< E+ de 3N - 3 N/ Ν/2 3 N/2 π (2 me) 2 mde π (2 me) 3ΝdE = =. (3 N / 2)! 2mE Ê3N ˆ Á!2E Ë 2 Τώρα, το κάθε ολοκλήρωμα Άρα τελικά: dq i ισούται με τον όγκο του δοχείου V. V N 3 Ν/2 3 N/2 V π (2 me) 3NdE ΩΕdE ( ) =. 3N N!(3 N / 2)! 2E Άσκηση 3 Δείξτε ότι η πιθανότητα να έχει ένα συγκεκριμένο άτομο ιδανικού αερίου ενέργεια -βε ε είναι ανάλογη του e ( β= / kt) περιοριζόμενοι στα πλαίσια της μικροκανονικής μεθοδολογίας. Λύση Έστω ότι ένα σωματίδιο έχει ενέργεια ε. Τότε το στατιστικό βάρος των υπολοίπων Ν σωματιδίων είναι ΩΕ ( -ε, Ν- ). Άρα η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο στην ενεργειακή στάθμη είναι: 3 Ν /2 ΩΕ ( -ε, Ν-) ÏΕ-ε Ï3 pε () = Ì = expì Nln( -ε/ Ε). ΩΕ (, Ν) Ó Ε Ó2 Περνώντας τώρα στο όριο ΕÆ, Ν Æ γνωρίζουμε ότι Ε 3 kt Ν Æ 2 για ιδανικό μονοατομικό αέριο. Αναπτύσσοντας το λογάριθμό και κρατώντας μόνο τον όρο που είναι γραμμικός ως προς ε/ Ε, ( ε/ Ε )

26 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 29 Ê εˆ ε lná- ª - Ë Ε Ε έχουμε τελικά: Ï 3 ε Ê ε ˆ pε () expì- N = expá-. Ó 2 E Ë kt Άσκηση 4 Να υπολογιστεί το πλήθος των μικροκαταστάσεων, Ω0 ( Ε ), ενός ιδανικού μονοατομικού αερίου, Ν ατόμων, που αντιστοιχούν σε ενέργειες από 0 έως Ε. Αν ΩΕdE (, ) είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν σε ενέργειες από Ε έως E+ de, όπως υπολογίστηκε στην προηγούμενη άσκηση, να συγκριθούν τα μεγέθη ln Ω0 ( Ε ), ln ΩΕ (, de ). Ποιο φυσικό συμπέρασμα προκύπτει; Λύση To πλήθος των μικροκαταστάσεων Ω0 ( Ε ) που αντιστοιχούν σε ενέργειες από 0 έως Ε ισούται με: όγκος σφαίρας στο χώρο των ορμών ακτίνας 2mE Ω0 ( Ε) = () 3 N!( / V) N O όγκος μίας 3Ν-διάστατη σφαίρας ακτίνας 2mE είναι: Άρα: R= 2mE 0 3 Ν/2 3 Ν/2 3 N/2 3Ν (2 ) π π me S3N ( R) dr = R = (3 Ν / 2)! (3 N / 2)! N 3 Ν/2 3 N/2 V π (3 me) Ω0 ( E) = (3) 3N N!(3 N /2)! Συγκρίνοντας την παραπάνω εξίσωση με την έκφραση ΩΕ ( ) της άσκησης 2 καταλήγουμε στην: Ω0( Ε)3 Ν /2 Ω( Ε, de) = de (4) Ε 3 NdE Άρα ln ΩΕ (, de) = ln Ω0 ( Ε) + ln + ln 2 E

27 30 Κεφάλαιο ln ΩΕ (, de) ª ln Ω( Ε) + ln NdE (5) E ή 0 δεδομένου ότι τόσο το Ω(Ε) όσο και το Ω0 ( Ε ) είναι μεγάλοι αριθμοί, το ln3/2 μπορεί κάλλιστα να αμεληθεί. Τώρα ΝdE de ln = ln E ε όπου ε = Ε/ Ν είναι η ενέργεια ανά σωματίδιο. Στην ακραία περίπτωση όπου το de είναι αρκετά μεγάλο ώστε να ισχύει de E = Nε, τότε: de Nε ln = ln = lnn ε ε 23 και μπορεί επίσης να αμεληθεί αυτός ο όρος (για N 0 ), στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης (5). Από την άλλη μεριά, αν το de είναι τόσο μικρό ώστε το γινόμενο των αβεβαιοτήτων ενέργειας χρόνου να πάρει την ελάχιστη τιμή, έστω de t = fi de = / t τότε: de ln ε = ln. tε Για να είναι συγκρίσιμος αυτός ο όρος με τον πρώτο όρο της εξίσωσης (5) ώστε να μην μπορεί να αμεληθεί, θα πρέπει: ln Ν 0 tε 23 δηλαδή το t θα ξεπερνά την ηλικία του σύμπαντος. Άρα λοιπόν σε κάθε περίπτωση ln ΩE (, de) ª ln Ω( E). 0 Το φυσικό συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι, η εντροπία ενός συστήματος μπορεί να υπολογιστεί είτε σαν kln Ω( Ε, dε ) είτε σαν kln Ω0 ( Ε ). Σε κάποιες ασκήσεις, η εντροπία θα υπολογίζεται σαν k επί το λογάριθμο του αριθμού των καταστάσεων του συστήματος που αντιστοιχούν σε ενέργειες από 0 έως Ε.

28 Μαθηματικό Συμπλήρωμα 87 Μαθηματικό Συμπλήρωμα Τύπος του Stirling Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων έχουμε: ln n! = Â ln x x= Για n, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το άθροισμα με ολοκλήρωμα οπότε σε πρώτη προσέγγιση: n ln n! ª ln xdx = nlnn- n+ ª nlnn-n που είναι ο τύπος του Stirling. Συνάρτηση Γάμμα Αρκετά ολοκληρώματα υπολογίζονται εύκολα με τη βοήθεια της συνάρτησης Γάμμα. Η συνάρτηση Γάμμα ορίζεται ως: Ên + ˆ xe dx= Γ n+ Á mr Ë m n -( rx) m 0 Αποδεικνύεται ότι η Γ(k) έχει την ιδιότητα: Γk ( + ) = kγ= ( k) Aν k είναι φυσικός τότε: Γk ( + ) = k! Επίσης Γ(/ 2) = π, Γ () =. n Μερικά χρήσιμα ολοκληρώματα Ολοκληρώματα της μορφής: n -αx 0 Ι = x e, α> 0 n 2 υπολογίζονται εύκολα, παραγωγίζοντας διαδοχικά ως προς α τα ολοκληρώματα: Ι0 = e dx = 0 2 π α - 2 αx, 2 -αx Ι = xe dx = 0 2α έως ότου εμφανιστεί η επιθυμητή δύναμη του x.

29 88 Μαθηματικό Συμπλήρωμα Γενικευμένο διώνυμο Newton M! M n 2 N n! n2!! n n n N! ( ) = Â N x x x x x i N όπου η άθροιση είναι πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακέραιους n, n 2,, nn για τους οποίους ισχύει n+ n2 + + nn = M. Χρήσιμα αναπτύγματα σε δυναμοσειρές n N 2 3 x x x x - x = < 2 3 e x = + x+ x + x + 2! 3! 3 5 x x sin x = x ! 5! 2 4 x x cos x = ! 3 5 x 2x tan x = x Ê x x ˆ cot x = Á- - - x Ë x 2x tan x = x Ê x x ˆ cot x = x Á Ë 3 45

30 Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί 89 Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί Ορισμοί εντροπίας S = klnω Γενικευμένος ορισμός εντροπίας S =- k ln p =-k  p ln p Ορισμός θερμοκρασίας S = T E Ê S ˆ p= T Ë Á V r r r r E, N Πίεση Ê ln Z ˆ p= ktá Ë V T, N Ê lnξ ˆ p= ktá Ë V T, μ Χημικό δυναμικό Κανονική συνάρτηση επιμερισμού Ελεύθερη ενέργεια Helmoltz Μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού Μεγάλο δυναμικό Ê S ˆ μ=-τá Ë N EV, Ê ln Z ˆ μ=-kτá Ë N Z =  e - r βε r F =- ktln Z F = E- TS β Ε Ξ =  e - - Ν, Ε J =- kt ln Ξ ( μν) J = Ε-ΤS- μν J =- PV T, V

31 90 Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί Μέση ενέργεια E E Ê ln Z ˆ =- Á Ë β Ê lnξ ˆ =- Á Ë β Τ, Ν λ, V Κανονική συλλογή Mεγαλοκανονική συλλογή Μέσος αριθμός σωματιδίων για μεγαλοκανονική συλλογή Ê J ˆ Ν =- Ë Á μ Τ, V

32 Κβαντικό Ιδανικό Αέριο 9 Κβαντικό Ιδανικό Αέριο 2 (2 ) /2 f ( EdE ) = (2s+ ) πv m E de σε 3 - d 3 Συνάρτηση επιμερισμού μονοσωματιδιακής στάθμης i. βμ ( - ε ι ) ± 3/2 Zi = [ ± e ] όπου + για φερμιόνια και για μποζόνια. Κατανομές Fermi-Dirac και Bose-Einstein: n = i βε ( i - μ ) e ± όπου + για κατανομή Fermi-Dirac και για Bose-Eistein. Συνάρτηση επιμερισμού κβαντικού αερίου Zi i= Ζ = Μέση ενέργεια E = Ef( E) n de Αριθμός σωματιδίων για φερμιονικό αέριο 0 N = f( E) n de. 0

Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann)

Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Κεφάλαιο 2: Βασικές αρχές της στατιστικής φυσικής- Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Ανακεφαλαίωση (Με τι ασχοληθήκαμε) ώσαμε τις έννοιες της μακροκατάστασης, της μικροκατάστασης και του στατιστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2017 8/3/2017 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 17/3/2017 Οι λύσεις των προβλημάτων 26 και 27 * να παραδοθούν μέχρι τις 24/3/2017 1. Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική Η κανονική κατανομή στη κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική φυσική Βίγκα Ελένη (ttp://users.aut.gr/vinga) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια o o Μια πολύ απλή περίπτωση για να ξεκινήσουμε είναι: Na θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann)

Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Κεφάλαιο 2: Βασικές αρχές της στατιστικής φυσικής- Μικροκανονική- Kανονική κατανομή (Boltzmann) Ανακεφαλαίωση (Με τι ασχοληθήκαμε) Δώσαμε τις έννοιες της μακροκατάστασης, της μικροκατάστασης και του στατιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2013 5/3/2013 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 3, 4, 5 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2013 Οι λύσεις των προβλημάτων 8 * και 20 να παραδοθούν μέχρι τις 28/3/2013 1. Για να κερδίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων (Μεγαλοκανονική κατανομή) Ιδανικό κβαντικό αέριο

Σύστημα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων (Μεγαλοκανονική κατανομή) Ιδανικό κβαντικό αέριο Κεφάλαιο : Σύστημα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων (Μεγαλοκανονική κατανομή) Ιδανικό κβαντικό αέριο Ανακεφαλαίωση (Με τι ασχοληθήκαμε) Ασχοληθήκαμε με συστήματα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων. Τον τρίτο

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ISBN 978-960-456-259-6 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ

3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 3 ος ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ- ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Ο τρίτος θερμοδυναμικός Νόμος 2. Συστήματα με αρνητικές θερμοκρασίες 3. Θερμοδυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

2 ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ - ΕNTΡΟΠΙΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ - ΕNTΡΟΠΙΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ - ΕNΡΟΠΙΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα. O ος Θερμοδυναμικός Νόμος. Η Εντροπία 3. Εντροπία και αταξία 4. Υπολογισμός Εντροπίας

Διαβάστε περισσότερα

KATANOMEΣ- ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

KATANOMEΣ- ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KATANOMEΣ- ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα 1. Στατιστικές Συλλογές. Κατανομή Gibbs 3. Από την Κατανομή Gibbs στις Κατανομές Maxwell

Διαβάστε περισσότερα

Στην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)

Στην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος) Αν σε σύστημα που διατηρείται σε σταθερές συνθήκες κάνουμε Ν παρατηρήσεις και από αυτές στις Ν Α παρατηρήθηκε το γεγονός Α, τότε λέμε ότι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός δίνεται από τη σχέση: P

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Κεντρικό: Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Κεντρικό: Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Κεντρικό: Τηλ.: 0 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Κινητική Θεωρία των Αεριών. Πίεση 3. Κινητική Ερμηνεία της Πίεσης 4. Καταστατική εξίσωση των Ιδανικών

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 9: Στατιστική Φυσική

Διάλεξη 9: Στατιστική Φυσική Στατιστική Φυσική: Η μελέτη της θερμοδυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος σωματίων σε σχέση με τις ιδιότητες των επί μέρους σωματίων. Αν και δεν μπορεί να προβλέψει με απόλυτη ακρίβεια την θερμοδυναμική

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2010 4/3/2010 Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 1. Για να κερδίσουμε το ΛΟΤΤΟ πρέπει να διαλέξουμε 6 διαφορετικούς αριθμούς από τους 49 διαθέσιμους. Η σειρά επιλογής των αριθμών δεν παίζει κανέναν ρόλο. Αν θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

* Επειδή μόνο η μεταφορά θερμότητας έχει νόημα, είτε συμβολίζεται με dq, είτε με Q, είναι το ίδιο.

* Επειδή μόνο η μεταφορά θερμότητας έχει νόημα, είτε συμβολίζεται με dq, είτε με Q, είναι το ίδιο. ΘΕΡΜΙΔΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΜΗΔΕΝΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ Μονάδες - Τάξεις μεγέθους Μονάδες ενέργειας 1 cal = 4,19 J Πυκνότητα νερού 1 g/cm 3 = 1000 Kg/m 3. Ειδική θερμότητα νερού c = 4190 J/Kg.K = 1Kcal/Kg.K = 1 cal/g.k

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 DOS H DOS περιγράφει τον αριθμό των καταστάσεων που είναι προσιτές σε ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χημείας Πανεπιστήμιο Κρήτης. Εαρινό εξάμηνο 2009

Τμήμα Χημείας Πανεπιστήμιο Κρήτης. Εαρινό εξάμηνο 2009 Τμήμα Χημείας Πανεπιστήμιο Κρήτης Εργαστήριο Φυσικοχημείας Ι Στοιχεία Στατιστικής Θερμοδυναμικής Εαρινό εξάμηνο 9 Διδάσκων : Δ. Άγγλος Υπευθ. Εργαστηρίου : Ν. Στρατηγάκης Μεταπτυχιακοί : Ν. Διαμαντοπούλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

ΕΝΤΡΟΠΙΑ-2ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNOT ΕΝΤΡΟΠΙΑ-ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ-ΚΥΚΛΟΣ CARNO Η εντροπία είναι το φυσικό µέγεθος το οποίο εκφράζει ποσοτικά το βαθµό αταξίας µιας κατάστασης ενός θερµοδυναµικού συστήµατος. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 2 ο. Σύντομη Θεωρία

Φυσική Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 2 ο. Σύντομη Θεωρία Φυσική Προσανατολισμού Β Λυκείου 05-06 Κεφάλαιο ο Σύντομη Θεωρία Θερμοδυναμικό σύστημα είναι το σύστημα το οποίο για να το περιγράψουμε χρησιμοποιούμε και θερμοδυναμικά μεγέθη, όπως τη θερμοκρασία, τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 02/2015

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 02/2015 ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 02/2015 ΘΕΜΑ 1 Ι. α) Κύκλος λειτουργίας στο επίπεδο P-V. P 1 1-2, 3-4: αδιαβατικές (εν γένει σχεδιάζονται ως καμπύλες γραμμές) 4 3 0 V 1 V 2 V 2 4-1, 2-3: ισόχωρες (ευθείες)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 09/2014

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 09/2014 ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 09/2014 ΘΕΜΑ 1 Ι. α) Κύκλος λειτουργίας στο επίπεδο P-V. P 1 2 1-2 και 3-4: ισοβαρείς (υπό σταθερές P 2 και P 1, αντίστοιχα, P 1

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

2. και 3. Βλέπε τα παρακάτω γραφήματα του G vs. T για διάφορες πιέσεις και για

2. και 3. Βλέπε τα παρακάτω γραφήματα του G vs. T για διάφορες πιέσεις και για ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦ.. και. Βλέπε τα παρακάτω γραφματα του G vs. για διάφορες πιέσεις και για στερεά (σ), υγρ(υ) και αέρια(α) φάση Σε οποιοδποτε σηµείο P, της διαχωριστικς γραµµς µεταξύ της φάσης και της

Διαβάστε περισσότερα

Από τι αποτελείται το Φως (1873)

Από τι αποτελείται το Φως (1873) Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η Επιστήμη της Θερμοδυναμικής ασχολείται με την ποσότητα της θερμότητας που μεταφέρεται σε ένα κλειστό και απομονωμένο σύστημα από μια κατάσταση ισορροπίας σε μια άλλη

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα 1. Θερμοδυναμική Ορισμοί. Έργο 3. Θερμότητα 4. Εσωτερική ενέργεια 5. Ο Πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος 6. Αντιστρεπτή

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική και στατιστική Θερμοδυναμική

Κλασική και στατιστική Θερμοδυναμική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική και στατιστική Θερμοδυναμική Κανονική Κατανομή oltzma- Μεγαλοκανονική Κατανομή Διδάσκων: Καθηγητής Ιωάννης Παναγιωτόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Ακαδημαϊκό έτος 0-3 Στατιστική Θερμοδυναμική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Επώνυμο: Όνομα: Προσωπικός Αριθμός: Ημερομηνία: Βαθμολογία θεμάτων 3 4 5 6 7 8 9 0 Γενικός Βαθμός η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ "ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ"

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις

Επαναληπτικές ασκήσεις Επαναληπτικές ασκήσεις a a a Τ Τ x Τ Έστω απομονωμένο μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτελείται από 3 mol όμοιων και διακριτών μονοατομικών μορίων τα οποία δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Τα μόρια αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012

ETY-202. Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/12/2012 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 Εκπομπή και απορρόφηση ακτινοβολίας ΎΛΗ & ΦΩΣ 12. ΎΛΗ & ΦΩΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ηλεκτρομαγνητικά πεδία Απορρόφηση είναι Σε αυτή τη διαδικασία το ηλεκτρόνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: , ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ KENTΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ 26/10/2011 1) Θεωρούµε ένα σύστηµα που αποτελείται από ένα σωµατίδιο µε σπιν ½ και µε µαγνητική ροπή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΟ ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Λεωφ Κηφισίας 56, ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ Αμπελόκηποι, ΛΑΓΑΝΑ Αθήνα PhD Τηλ: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenetg, wwwedlagg Λεωφ Κηφισίας 56, Τηλ: 10 69 97 985, wwwedlagg ΛΥΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Α Θερμοδυναμικός Νόμος

Α Θερμοδυναμικός Νόμος Α Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Έχουμε ήδη αναφέρει ότι πρόκειται για έναν τρόπο μεταφορά ενέργειας που βασίζεται στη διαφορά θερμοκρασιών μεταξύ των σωμάτων. Ορίζεται από τη σχέση: Έργο dw F dx F dx

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σημειώσεις Στατιστικής Θερμοδυναμικής. Γεώργιος Φανουργάκης

Πρόχειρες σημειώσεις Στατιστικής Θερμοδυναμικής. Γεώργιος Φανουργάκης Πρόχειρες σημειώσεις Στατιστικής Θερμοδυναμικής 1 Γεώργιος Φανουργάκης 2 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στη Στατιστική Θερμοδυναμική H Στατιστική θερμοδυναμική ή Στατιστική μηχανική είναι η εφαρμογή της θεωρίας πιθανοτήτων,

Διαβάστε περισσότερα

Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα

Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα Τί είδαµε και τι θα δούµε σήµερα q Κίνηση σωμάτων σε κεντρικό δυναμικό Ø Το πρόβλημα ανάγεται σε κίνηση με 1 DoF: µ r = l µr + F( r) 3 q Είδαμε ποιοτική συμπεριφορά Ø Μη φραγμένες, φραγμένες και κυκλικές

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική και στατιστική Θερμοδυναμική

Κλασική και στατιστική Θερμοδυναμική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική και στατιστική Θερμοδυναμική Θεμελίωση της στατιστικής θερμοδυναμικής - μικροκανονική κατανομή Διδάσκων: Καθηγητής Ιωάννης Παναγιωτόπουλος Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΚΕΣ & ΨΥΚΤΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΡΜΙΚΕΣ & ΨΥΚΤΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 6932 946778 www.pmoiras.weebly.om ΘΕΡΜΙΚΕΣ & ΨΥΚΤΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Περιεχόμενα 1. Κυκλικές διαδικασίες 2. O 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος- Φυσική Ερμηνεία 2.1 Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ»

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ» ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ» 1. Βασικές αρχές της θερμοδυναμικής: οι 4 νόμοι της θερμοδυναμικής, η έννοια του θερμοδυναμικού συστήματος, προσδιορισμός και ιδιότητες εντροπίας. 2. Μαθηματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

Hamiltonian φορμαλισμός

Hamiltonian φορμαλισμός ΦΥΣ - Διαλ.0 Hamltonan φορμαλισμός q = H H Οι εξισώσεις Hamlton είναι:, p = p q Ø (p,q) ονομάζονται κανονικές μεταβλητές Ø Η είναι συνάρτηση που ονομάζεται Hamltonan Ø Κανονικές μεταβλητές ~ θέση και ορμή

Διαβάστε περισσότερα

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη 2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 960-431-953-1 Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου 1. Ερώτηση: Τι είναι η κβαντομηχανική; H κβαντομηχανική, είναι η σύγχρονη αντίληψη μιας νέας μηχανικής που μπορεί να εφαρμοστεί στο μικρόκοσμο του ατόμου. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη Διεύθυνση επικοινωνίας: Μαντζουκίδης Κωνσταντίνος Πτυιούος Τμήματος Χημείας Α.Π.Θ. Τ.Θ. 1373, Τ.Κ. 57500, Τρίλοφος Θεσσαλονίκης Τηλ: 390 6489 6974 995091 e-mail : costasmantz@gmail.com Το μεγαλύτερο και

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα

Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα 7 7.1 Εισαγωγή Οι διαδικασίες υψηλών ενεργειών που περιγράφηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, καθώς και η επιτάχυνση σωματιδίων σε υψηλές ενέργειες η οποία θα περιγραφεί

Διαβάστε περισσότερα

[6] Να επαληθευθεί η εξίσωση του Euler για (i) ιδανικό αέριο, (ii) πραγματικό αέριο

[6] Να επαληθευθεί η εξίσωση του Euler για (i) ιδανικό αέριο, (ii) πραγματικό αέριο [1] Να βρεθεί ο αριθμός των ατόμων του αέρα σε ένα κυβικό μικρόμετρο (κανονικές συνθήκες και ιδανική συμπεριφορά) (Τ=300 Κ και P= 1 atm) (1atm=1.01x10 5 Ν/m =1.01x10 5 Pa). [] Να υπολογισθεί η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: Σ. Δεδούσης, Μ.Ζαμάνη, Δ.Σαμψωνίδης Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Πυρηνικά μοντέλα Βασικός σκοπός της Πυρηνικής Φυσικής είναι η περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Μεθοδολογία

Θεωρία και Μεθοδολογία Θεωρία και Μεθοδολογία Εισαγωγή/Προαπαιτούμενες γνώσεις (κάθετη δύναμη) Πίεση p: p = F A (εμβαδόν επιφάνειας) Μονάδα μέτρησης πίεσης στο S.I. είναι το 1 Ν m2, που ονομάζεται και Pascal (Pa). Συνήθως χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thaasisxeos@yahoo.gr ISBN 978-960-456-08-4 Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 010,

Διαβάστε περισσότερα