Copyright, Οκτώβριος 2011, Π. Μουστάνης, Eκδόσεις Zήτη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Copyright, Οκτώβριος 2011, Π. Μουστάνης, Eκδόσεις Zήτη"

Transcript

1

2 ISBN Copyrigt, Οκτώβριος 20, Π. Μουστάνης, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.22/993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 8 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ. 47 Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια 4 7, Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό ήρθε και συμπλήρωσε ένα κενό που υπήρχε στην ελληνική βιβλιογραφία, στο χώρο των ασκήσεων Στατιστικής Φυσικής. Στοχεύει επίσης να αποτελέσει μια εισαγωγή στη Στατιστική Φυσική με άμεσο και σαφή τρόπο, χωρίς να προαπαιτείται γνώση της Θερμοδυναμικής. Και στην παρούσα έκδοση, η ύλη έχει ταξινομηθεί σε τρία κεφάλαια. Στο πρώτο περιέχονται οι θεμελιώδεις έννοιες της Στατιστικής και εξετάζονται συστήματα στα πλαίσια της μικροκανονικής μεθοδολογίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετώνται συστήματα στα πλαίσια της κανονικής μεθοδολογίας ενώ τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται το φερμιονικό και μποζονικό αέριο, καθώς και η μεγαλοκανονική κατανομή. Κάθε κεφάλαιο περιέχει τις απαραίτητες έννοιες πάνω στις οποίες βασίζεται η θεωρία και τις ασκήσεις οι οποίες, εν μέρει, συμπληρώνουν τη θεωρία και σκοπίμως δεν έχουν συμπεριληφθεί σε αυτήν προκειμένου να γίνουν άμεσα αντιληπτές οι έννοιες και οι αρχές της Στατιστικής Φυσικής. Όπου ήταν εφικτό και συγκεκριμένα στα δύο πρώτα κεφάλαια, δόθηκε και μία μεθοδολογία επίλυσης των ασκήσεων. Όσον αφορά τις ασκήσεις θα ήθελα να επισημάνω ότι έχω αποφύγει την λεπτομερή παρουσίαση αρκετών αλγεβρικών πράξεων, ώστε να μην χάνεται η ουσία της άσκησης. Σεπτέμβρης 20 Παναγιώτης Μουστάνης

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο : Βασικές αρχές της Στατιστικής. Μακροκατάσταση Μικροκατάσταση....2 Στατιστικό βάρος Αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων Εργοδική υπόθεση Ορισμός εντροπίας κατά Bolzmann Χώρος των φάσεων Κβάντωση του χώρου φάσεων Συλλογές κατανομές Θεμελιώδεις νόμοι της θερμοδυναμικής Ορισμοί Μεθοδολογία Λυμένες Ασκήσεις Κεφάλαιο 2: Κανονική Κατανομή 2. Θεμελιώδεις έννοιες Ορισμοί Μέσες τιμές μακροσκοπικών μεγεθών Θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας Θερμοχωρητικότητα των στερεών Μεθοδολογία... 7 Λυμένες Ασκήσεις... 73

5 8 Στατιστική Φυσική Κεφάλαιο 3: Μεγαλοκανονική Κατανομή Κατανομές Fermi - Dirac και Bose - Einstein 3. Μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού Μεγαλοκανονική κατανομή Συνάρτηση επιμερισμού κβαντικού ιδανικού αερίου Συνάρτηση επιμερισμού μονοσωματιδιακής στάθμης Κατανομές Fermi - Dirac και Bose - Einstein Το μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων στα μέταλλα Συμπύκνωση κατά Bose - Einstein Ακτινοβολία μέλανος σώματος Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματικό Συμπλήρωμα Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί Κβαντικό ιδανικό αέριο... 9 Βιβλιογραφία Ευρετήριο Όρων... 95

6 Εισαγωγή Οι μακροσκοπικές ιδιότητες ενός σώματος καθορίζονται από τις ιδιότητες των μικροσκοπικών, θεμελιωδών λίθων του, των ατόμων και των μορίων του, καθώς και από τις αλληλεπιδράσεις τους με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η στατιστική φυσική είναι η γέφυρα που ενώνει το μικρόκοσμο με το μακρόκοσμο, τη συμπεριφορά των ατόμων και των μορίων με τις μακροσκοπικές ιδιότητες του σώματος. Το πέρασμα αυτό από το μικρόκοσμο στον μακρόκοσμο δεν είναι προφανές ούτε άμεσο, λόγω του μεγάλου αριθμού σωματιδίων που απαρτίζουν ένα μακροσκοπικό σύστημα. Επίσης οι νόμοι που διέπουν τη συμπεριφορά ενός μακροσκοπικού συστήματος είναι εντελώς διαφορετικής φύσης από εκείνους που διέπουν τη συμπεριφορά των μορίων του. Παράδειγμα η μη αντιστρεψιμότητα των φυσικών διαδικασιών (δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής), παρ όλο που οι εξισώσεις κίνησης του κάθε μορίου είναι αντιστρέψιμες ως προς το χρόνο. Όταν αυξάνεται το 23 μέγεθος ενός συστήματος, έστω N 0, τότε μία δεδομένη ενέργεια, Ε του συστήματος μπορεί να «διαμοιραστεί» με αναρίθμητους τρόπους ανάμεσα στα διάφορα σωματίδια. Παραδείγματος χάριν, σε ένα ιδανικό αέριο E = ε + ε + + ε = ε + ε + + ε = 2 Ν 2 όπου εi, i =, N είναι η ενέργεια του i-σωματιδίου. Συνέπεια αυτού του γεγονότος είναι ότι οι αποστάσεις μεταξύ γειτονικών ενεργειακών σταθμών είναι της τάξης του 0 - N. Άρα ένα μακροσκοπικό σώμα δεν μπορεί, αυστηρά μιλώντας, να βρεθεί σε μία στάσιμη κατάσταση, για τους εξής δύο λόγους:. Υπάρχουν πάντα αλληλεπιδράσεις με το περιβάλλον, έστω απειροελάχιστες, οι οποίες προκαλούν τη μετάβαση του συστήματος από μία ενεργειακή στάθμη σε μία άλλη. 2. Ακόμα και αν θεωρήσουμε το σύστημα κλειστό με κάθε έννοια, για να γνωρίσουμε σε ποια ενεργειακή στάθμη βρίσκεται το σύστημα, πρέπει η αβεβαιότητα, ΔΕ, στην ενέργεια της μέτρησης να είναι μικρότερη από την απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών σταθμών, η οποία όπως είδαμε, είναι της τάξης 0 - N. Λόγω ό- μως της αρχής της αβεβαιότητας ενέργειας χρόνου, το καλύτερο που μπορούμε να επιτύχουμε είναι: Ν

7 0 Στατιστική Φυσική - ΔE Δt όπου ΔΕ < 0 Ν Ν 0 23 Άρα Δt / ΔΕ 0 0, δηλαδή ο χρόνος παρατήρησης πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερος της ηλικίας του σύμπαντος. Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι, ένα μακροσκοπικό σύστημα δεν μπορεί να βρίσκεται σε μία στάσιμη ενεργειακή στάθμη. Πάντα λοιπόν υπάρχουν διακυμάνσεις όλων των μεγεθών ενός μακροσκοπικού συστήματος (ενέργεια, μαγνητική ροπή, κ.λπ.) γύρω από κάποια μέση τιμή. Άρα πάντα θα μιλάμε, στη στατιστική φυσική, για υπολογισμό της μέσης τιμής ενός μεγέθους, ακόμα και όταν δε χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως, μέση ενέργεια κ.λπ. αλλά απλά ενέργεια του συστήματος.

8 ο Κεφάλαιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Μακροκατάσταση Μικροκατάσταση Έστω ένα μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτελείται από Ν σωματίδια (για λόγους απλότητας του ίδιου είδους) και είναι σχεδόν μονωμένο. Μία μακροσκοπική κατάσταση του συστήματος ή μακροκατάσταση καθορίζεται από την ενέργειά του Ε, τον όγκο V και το Ν. Όταν το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία, η στατιστική μηχανική επιτρέπει τον καθορισμό μίας μακροκατάστασης χωρίς να απαιτείται λεπτομερής γνώση των μικροκαταστάσεων του συστήματος, δηλαδή, κλασικά μιλώντας, χωρίς να απαιτείται η γνώση των συντεταγμένων θέσης r,, r N και των ορμών p,, pn (αν και αυτό είναι αδύνατο) των σωματιδίων του. Κβαντικά, η μικροκατάσταση καθορίζεται από το σύνολο των καλών κβαντικών αριθμών του συστήματος. Σε κάθε μακροκατάσταση ενός συστήματος αντιστοιχεί ένας καθορισμένος αριθμός μικροκαταστάσεων του συστήματος, οι οποίες είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση. Με άλλα λόγια, μία μακροκατάσταση μπορεί να προκύψει από ένα πλήθος διαφορετικών μικροκαταστάσεων. Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε 3 spin /2 μέσα σε μαγνητικό πεδίο Η παράλληλο στον άξονα z. To κάθε σπιν έχει μαγνητική ροπή μ με δύο δυνατούς προσανατολισμούς και η ενέργειά του ε = μ Η είναι ± μη ανάλογα αν είναι αντιπαράλ- ληλο ή παράλληλο στο πεδίο Η. Το σύστημα αυτό έχει 8 διαφορετικές μικροκαταστάσεις και αντίστοιχες ενέργειες, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Καλοί κβαντικοί αριθμοί είναι οι ιδιοτιμές των τελεστών που μετατίθενται με τη Hamiltonian και συνεπώς δε μεταβάλλονται με το χρόνο.

9 2 Κεφάλαιο Μικροκαταστάσεις Ø Ø Ενέργειες 3μΗ μη μη Η Ø μη ØØ Ø Ø ØØ ØØØ μη μη μη 3μΗ Έστω ότι η ενέργεια του συστήματος είναι Ε =- μη. Αυτό σημαίνει ότι δύο σπιν είναι προσανατολισμένα παράλληλα στο πεδίο Η ενώ το τρίτο αντιπαράλληλα. Δηλαδή έχουμε μόνο τρεις μικροκαταστάσεις οι οποίες είναι συμβατές με την ενέργεια Ε =- μη : Ø Ø Ø Η Στο παράδειγμα αυτή η μακροκατάσταση του συστήματος καθορίζεται μόνο από την ενέργειά του (ο όγκος δεν υπεισέρχεται καθόλου). Το πλήθος των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν στη συγκεκριμένη ενέργεια ονομάζεται στατιστικό βάρος της μικροκατάστασης. Εδώ το στατιστικό βάρος της μακροκατάστασης με Ε =- μη είναι 3. Γενικότερα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:.2 Στατιστικό βάρος Ορισμός Ο αριθμός των δυνατών ή των πραγματοποιήσιμων μικροκαταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρίσκεται ένα μακροσκοπικό σύστημα για δεδομένες τιμές των V, N και ενέργειας στο διάστημα από Ε έως και E+ δε, ονομάζεται στατιστικό βάρος της μακροκατάστασης και συμβολίζεται με Ω (Ε, δε, Ω, Ν) ή με Ω (Ε, Ω, Ν) δε.

10 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 3 Όταν πρόκειται για κβαντικό σύστημα συνήθως το στατιστικό βάρος θα ορίζεται σαν το πλήθος των δυνατών μικροκαταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρίσκεται ένα μακροσκοπικό σύστημα για δεδομένες τιμές V, N και Ε = σταθ. Με άλλα λόγια είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων οι οποίες είναι συμβατές με την μακροκατάσταση Ε, V, Ν και θα γράφουμε Ω (Ε, V, Ν) ή μερικές φορές πιο απλά Ω(Ε) με Ε = σταθ. Ξαναγυρνώντας στο προηγούμενο παράδειγμα βλέπουμε ότι, ενώ σ αυτή την περίπτωση η ενέργεια του συστήματος και ο αριθμός των σπιν καθορίζουν τη μακροκατάσταση, δεν υπάρχει τρόπος να γνωρίζουμε σε ποια από τις τρεις μικροκαταστάσεις βρίσκεται το σύστημα. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να γενικευτεί σε οποιοδήποτε «κλειστό» σύστημα το οποίο έχει φθάσει σε θερμοδυναμική ισορροπία. Λόγω των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των σωματιδίων ενός συστήματος (είτε λόγω των συγκρούσεων των ατόμων ενός αερίου είτε λόγω των ταλαντώσεων πλέγματος σ ένα παραμαγνητικό στερεό, λόγου χάρη) το σύστημα περνά από όλες τις δυνατές μικροκαταστάσεις οι οποίες είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση. Άρα λοιπόν συνοψίζοντας, έχουμε το ακόλουθο αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων..3 Αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων Όλες οι μικροκαταστάσεις ενός συστήματος που είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση είναι εξ ίσου πιθανές να πραγματοποιηθούν. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: i) Έστω ότι ένα μονωμένο σύστημα έχει «απόλυτα καθορισμένη» ενέργεια Ε. Κάθε κβαντική μικροκατάσταση έχει πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ίση με p = ΩΕ (, Ω, Ν) ii) Έστω ότι γνωρίζουμε την ενέργεια ενός μονωμένου συστήματος με μία αβεβαιότητα δε. Δηλαδή η ενέργειά του βρίσκεται σ ένα διάστημα Ε έως Ε+ δε. Το βασικό αξίωμα της στατιστικής λέει ότι στην κατάσταση ισορροπίας το σύστημα μπορεί να βρίσκεται με την ίδια πιθανότητα σε μία οποιαδήποτε ενεργειακή στάθμη Ε με Ε < Ε < Ε+ δε, ή r r Ïc, E < Er < E+ δε pe ( = Er ) =Ì Ó 0, σε όλες τις άλλες περιπτώσεις

11 4 Κεφάλαιο όπου c σταθερά υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης Â r pe ( = E) = r και το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις καταστάσεις στο διάστημα μεταξύ Ε και E+ δε. Άρα: pe ( = E r ) =. ΩΕ (, δε, Ω, Ν).4 Εργοδική υπόθεση Η μέση τιμή ενός μεγέθους, π.χ. της ενέργειας ενός συστήματος σε ισορροπία μπορεί να υπολογιστεί είτε παρατηρώντας το σύστημα για ένα σχετικά μεγάλο χρονικό διάστημα και εξάγοντας τη μέση τιμή του μεγέθους ως προς το χρόνο παρατήρησης, είτε «μετρώντας» την ίδια χρονική στιγμή τις ενέργειες μίας πολύ μεγάλης συλλογής πανομοιότυπων συστημάτων και εξάγοντας τη μέση τιμή του μεγέθους ως προς τη συλλογή. Το αποτέλεσμα των δύο διαδικασιών υπολογισμού της μέσης τιμής είναι το ίδιο (εργοδική αρχή)..5 Ορισμός εντροπίας κατά Boltzmann Η εντροπία ενός συστήματος ορίζεται ως: S = kln Ω( Ε) δε όπου Ω(Ε) δε είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων του συστήματος όταν αυτό έχει ενέργεια στο διάστημα από Ε έως Ε+ δε. Για κβαντικό σύστημα το οποίο έχει καθορισμένη ενέργεια Ε ορίζεται ως S = kln Ω( Ε). Η εντροπία έχει ορισθεί έτσι ώστε να είναι κατ αρχήν μία εκτατή ποσότητα. Δηλαδή αν S και S 2 είναι οι εντροπίες δύο ανεξάρτητων συστημάτων, τότε η εντροπία του σύνθετου συστήματος είναι S+ S2. Κατά δεύτερον αν είναι πραγματοποιήσιμη μία μόνο μικροκατάσταση ΩE ( ) = και S = kln = 0 δηλαδή έχουμε πλήρη τάξη.

12 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 5.6 Χώρος φάσεων Ένα σύστημα μπορεί να περιγραφεί από f γενικευμένες συντεταγμένες και τις αντίστοιχες ορμές, δηλαδή από ένα σύνολο 2f παραμέτρων. Το f ονομάζεται αριθμός των βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Στην περίπτωση ενός ιδανικού μονοατομικού αερίου f = 3N. Ο χώρος 2f-διαστάσεων ονομάζεται χώρος των φάσεων του συστήματος. Κλασικά μία κατάσταση του συστήματος καθορίζεται αν καθορίσουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες θέσης και ορμής του κάθε σωματιδίου, δηλαδή παριστάνεται από ένα σημείο στο χώρο αυτό. Με την πάροδο του χρόνου, οι γενικευμένες συντεταγμένες q i και ορμές p i μεταβάλλονται με αποτέλεσμα το σημείο του χώρου των φάσεων να διαγράφει μία τροχιά στο χώρο αυτό που αντιστοιχεί σε μία επιφάνεια σταθερής ενέργειας (αν το σύστημα είναι μονωμένο). Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα για να κατανοήσουμε καλύτερα τα παραπάνω: Έστω ένας απλός κλασικός μονοδιάστατος αρμονικός ταλαντωτής συχνότητας ω. Η Χαμιλτονιανή του είναι: 2 p 2 2 H = + mω q. 2m 2 Όταν η ενέργειά του είναι Ε μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση στη μορφή: 2 2 p q + =. 2 2mE 2 E/ mω Αυτή είναι η εξίσωση μίας έλλειψης στο επίπεδο q - p. Δηλαδή εδώ ο χώρος των φάσεων είναι δύο διαστάσεων αφού, όπως ξέρουμε, ένας μονοδιάστατος ταλαντωτής έχει έναν μόνο βαθμό ελευθερίας f=. Κλασικά μια μικροκατάσταση καθορίζεται από την ταυτόχρονη γνώση της θέσης q και της ορμής p και παριστάνεται από ένα σημείο στο χώρο αυτό όπως φαίνεται στο Σχήμα : p q Σχήμα

13 6 Κεφάλαιο Με την πάροδο του χρόνου η θέση και η ορμή μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται πάντα η εξίσωση: 2 2 p q + = 2 2mE 2 E/ mω δηλαδή το σημείο θα κινείται σε μία κλειστή καμπύλη και συγκεκριμένα σε μία έλλειψη (Σχήμα 2). Το πλήθος των μικροκαταστάσεων ( q, p ) που είναι πραγματοποιήσιμες είναι προφανώς όσα τα σημεία της έλλειψης δηλαδή άπειρα. p q Σχήμα 2 Θα μπορούσαμε λοιπόν, να ισχυριστούμε ότι η εντροπία ενός συστήματος τέτοιων ταλαντωτών είναι άπειρη; Κατ αρχήν εμείς δεν ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε το πρόβλημα ενός αρμονικού ταλαντωτή καθορισμένης ενέργειας Ε αλλά όταν αυτός αλληλεπιδρά με το περιβάλλον με αποτέλεσμα η ενέργειά του να μην είναι σταθερή αλλά να κυμαίνεται σ ένα διάστημα από Ε έως E+ δε. Όταν η ενέργειά του λοιπόν είναι Ε+ δε τότε το σημείο του χώρου των φάσεων θα κινείται σε μεγαλύτερη έλλειψη (Σχήμα 3) οπότε όταν η ενέργειά του κυμαίνεται στο διάστημα από Ε έως Ε+ δε μπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε μικροκατάσταση δηλαδή σε κάθε σημείο του επιπέδου q-p μεταξύ των δύο καμπυλών σταθερής ενέργειας. p E E+δΕ q Σχήμα 3

14 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 7 Το πλήθος προφανώς των σημείων αυτών είναι άπειρο με συνέπεια να έχουμε άπειρο πλήθος μικροκαταστάσεων Ω άρα και άπειρη εντροπία ανά ταλαντωτή S kln Ω! N = = Άρα κάτι δεν πάει καλά στην κλασική θεώρηση. Αν θέλουμε να «σώσουμε» την κλασική περιγραφή θα πρέπει να λάβουμε υπ όψη μας την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg και να κβαντώσουμε όπως λέμε τον χώρο των φάσεων..7 Κβάντωση του χώρου φάσεων Λόγω της αρχής της αβεβαιότητας δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ταυτόχρονα τη θέση x και την ορμή p x ενός σωματιδίου δηλαδή να κάνουμε το γινόμενο αβεβαιοτήτων της θέσης, Δx και της ορμής Δp x αυθαίρετα μικρό. Αυτό που μπορούμε να επιτύχουμε είναι το πολύ: ΔpxΔx ª όπου η σταθερά του Planck. Με απλά λόγια δεν μπορούμε στο χώρο των φάσεων (επίπεδο x-p για τον αρμονικό ταλαντωτή) να διακρίνουμε ένα σημείο (μικροκατάσταση) από ένα άλλο αυθαίρετα κοντινό του. Αυτό που κάνουμε λοιπόν είναι το εξής: Χωρίζουμε το επίπεδο x-p (ή q-p) σε ορθογώνια ακμών Δpx, Δx δηλαδή εμβαδού το καθένα και θεωρούμε ότι η κάθε κυψελίδα αντιστοιχεί σε μία μόνο μικροκατάσταση δηλαδή δεν έχουμε πλέον άπειρα σημεία μικροκαταστάσεις σ αυτήν αλλά μόνο ένα. (Σχήμα 4). Οπότε αν θέλουμε να βρούμε το πλήθος των μι- p q Σχήμα 4

15 8 Κεφάλαιο κροκαταστάσεων με ενέργειες από Ε έως E+ δε θα μετρήσουμε πόσες κυψελίδες υπάρχουν μεταξύ των δύο ελλείψεων. Συνεπώς: εμβαδόν μεταξύ δύο ελλείψεων ΩΕδΕ= ( ) ή ΩΕδΕ ( ) εμβαδόν κυψελίδας με τη συνθήκη E < H < E+ δε. (Να θυμίσουμε ότι το διπλό ολοκλήρωμα περιοχής D του επιπέδου xy). D = dpdq dxdy εκφράζει το εμβαδόν της Άρα λοιπόν γενικεύοντας, αν έχουμε ένα σύστημα με f = 3N βαθμούς ελευθερίας (π.χ. Ν σωματίδια ιδανικού αερίου σε τρεις διαστάσεις ή Ν τρισδιάστατους κλασικούς αρμονικούς ταλαντωτές), το στατιστικό βάρος ΩE ( ) δε, δηλαδή το πλήθος των μικροκαταστάσεων που περικλείονται μεταξύ δύο επιφανειών σταθερής ενέργειας, ισούται με τον όγκο που περικλείεται ανάμεσα στις δύο αυτές επιφάνειες, που είναι: 6N dp dp dp dp dq dq dq x y z 2x N N N E < H < E+ δε ή εν συντομία 6N Ν i= dp dq i i x y z E < H < E+ δε 3N δια τον όγκο της κάθε κυψελίδας (το κάθε γινόμενο dp dq πρέπει να διαιρεθεί δια ). Συνοψίζοντας σε τρεις διαστάσεις θα έχουμε: ΩEδΕ ( ) = Ν! Ε< Η < Ε+ δe N i= dp dq i 3N όπου το! Ν είναι μία επιπλέον διόρθωση που πρέπει να βάλουμε με το χέρι για να σώσουμε την κλασική περιγραφή και οφείλεται στο γεγονός ότι τα σωματίδια ενός συστήματος (π.χ. αερίου) είναι εν γένει μη διακρίσιμα. i

16 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 9 Αν όμως έχουμε εντοπισμένα στο χώρο σωματίδια, όπως για παράδειγμα όταν μελετάμε τις ταλαντώσεις των ιόντων ενός στερεού που έχουμε εντοπισμένους ταλαντωτές σε συγκεκριμένες διακριτές θέσεις τότε: ΩEδΕ ( ) = Ε< Η < Ε+ δe N i= dp dq i 3N i. Κβαντικά, το στατιστικό βάρος μίας μακροκατάστασης ισούται με τον αριθμό των σημείων (μικροκαταστάσεις) στον χώρο των φάσεων που περικλείονται ανάμεσα σε δύο επιφάνειες σταθερής ενέργειας Ε και E+ δε, δηλαδή: ΩΕ (, δε, V, N) = Â. E< H< E+ δε Σημείωση: To ΩΕ (, dε ) εξαρτάται προφανώς από το εύρος de του ενεργειακού διαστήματος. Η ποσότητα ΩΕ ( ) = ΩΕ (, de)/ de είναι ανεξάρτητη του de και ονομάζεται πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων. Με άλλα λόγια θεωρούμε ότι: ΩE (, de) = ΩEdE ( ). Μερικές φορές θα συμβολίζουμε με ΩΕ ( ) το πλήθος των καταστάσεων στο διάστημα από 0 έως Ε, ή στην περίπτωση όπου το σύστημα έχει καθορισμένη ενέργεια θα δηλώνουμε το πλήθος των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν σε ενέργεια Ε. Κάθε φορά θα είναι ξεκάθαρο από το κείμενο τι θα εννοούμε..8 Συλλογές - κατανομές Μικροκανονική συλλογή Αν θεωρήσουμε ένα πολύ μεγάλο πλήθος από πανομοιότυπα συστήματα, μονωμένα τότε μιλάμε για μικροκανονική συλλογή. Η πιθανότητα να έχει ένα τυχαίο σύστημα της συλλογής ενέργεια στο διάστημα από Ε έως Ε+ δε είναι σταθερά για όλες τις ενέργειες σ αυτό το διάστημα (μικροκανονική κατανομ) και ίση, όπως είδαμε ίση με ΩΕ (, V, N ).

17 20 Κεφάλαιο Κανονική συλλογή Ένα πολύ μεγάλο πλήθος πανομοιότυπων συστημάτων, τα οποία βρίσκονται σε θερμική επαφή το ένα με το άλλο, δηλαδή ανταλλάσουν ενέργεια, αποτελεί τη λεγόμενη κανονική συλλογή. Αν διαλέξουμε στην τύχη ένα σύστημα, η πιθανότητα (κανονική κατα- αυτό να έχει ενέργεια από Ε έως Ε + δε είναι ανάλογη με νομή). Μεγαλοκανονική συλλογή EkT / e - Αν τα πανομοιότυπα συστήματα που θεωρήσαμε προηγουμένως ανταλλάσουν εκτός από ενέργεια και σωματίδια, τότε έχουμε τη λεγόμενη μεγαλοκανονική συλλογή. Η πιθανότητα να έχει ένα σύστημα ενέργεια στο διάστημα από έως E+ δε και αριθμό σωματιδίων στο διάστημα από Ν έως Ν + δν είναι ανάλογο με ( E μ)/ kt e - -, όπου μ το χημικό δυναμικό (μεγαλοκανονική κατανομή)..9 Θεμελιώδεις νόμοι της Θερμοδυναμικής Ορισμοί Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μονωμένο σύστημα με οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες (π.χ. έχουμε ένα αέριο το οποίο καταλαμβάνει μόνο το ήμισυ ενός δοχείου όγκου V, με τη βοήθεια ενός χωρίσματος και αφαιρούμε το χώρισμα). Είναι προφανές ότι μετά την πάροδο ενός χρονικού διαστήματος το σύστημα θα έχει φθάσει σε εκείνη τη μακροκατασταση στην οποία θα αντιστοιχούν οι περισσότερες μικροκαταστάσεις και άρα το στατιστικό της βάρος θα είναι μέγιστο. Αυτό ισχύει γενικά σε οποιοδήποτε μονωμένο σύστημα, και το φυσικό μέγεθος που καθορίζει τη φορά των φυσικών διεργασιών είναι η εντροπία. Πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής Η προσφερόμενη θερμότητα στο σύστημα ισούται με τη μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας συν το έργο που εκτελέστηκε από αυτό δq = du + δw. Δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής Όταν ένα θερμικά μονωμένο σύστημα μεταβαίνει από μια μακροκατάσταση σε μια άλλη η εντροπία του αυξάνεται πάντα, ΔS > 0, ενώ παραμένει σταθερή, ΔS = 0, μόνο όταν το σύστημα έχει φτάσει στην κατάσταση ισορροπίας.

18 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 2 Τρίτος νόμος της θερμοδυναμικής Όταν η θερμοκρασία ενός συστήματος τείνει στο απόλυτο μηδέν η εντροπία του τείνει στο μηδέν. Αυτό τον νόμο είναι από να τον καταλάβει κανείς, γιατί για Τ=0 κάθε σύστημα βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση. Άρα: ST ( = 0) = klng όπου g ο εκφυλισμός της βασικής κατάστασης. Επειδή όμως όλα σχεδόν τα συστήματα έχουν μη εκφυλισμένη βασική κατάσταση, δηλαδή g =, συνεπάγεται ότι: ST ( = 0) = kln= 0. Ακόμη και για συστήματα όπου η βασική στάθμη είναι εκφυλισμένη, ο εκφυλισμός αυτός δεν είναι ανάλογος του συστήματος, άρα μπορούμε να πούμε ότι: lim S = 0. TÆ0 Στατιστικός ορισμός θερμοκρασίας T Ê S ˆ = Á Ë E V, N Ορισμός πίεσης Ê S ˆ P = T Ë Á V E, N Ορισμός χημικού δυναμικού Ê S ˆ μ=-tá Ë V E, V Γενικευμένος ορισμός της εντροπίας S =-k  pr ln p r r όπου p r η πιθανότητα να βρίσκεται το σύστημα σε μία κατάσταση r και το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις καταστάσεις.

19 22 Κεφάλαιο Μεθοδολογία Για να υπολογίσουμε την εντροπία ενός συστήματος ή την ενέργειά του συναρτήσει της θερμοκρασίας, στα πλαίσια της μικροκανονικής μεθοδολογίας, υπολογίζουμε πρώτα το στατιστικό βάρος Ω(Ε). Σε γενικές γραμμές τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: Βήμα ο : Για να βρούμε το Ω(Ε) διακρίνουμε αν έχουμε i) κβαντικό ή ii) κλασικό σύστημα. i) Κβαντικό σύστημα Γνωρίζοντας τις ενεργειακές στάθμες κάθε σωματιδίου ε i γράφουμε τη συνολική ενέργεια του συστήματος N i= i E = Â ε (για Ν ανεξάρτητα σωματίδια)και υπολογίζουμε με πόσους δυνατούς τρόπους μπορούμε να πάρουμε τη συγκεκριμένη ενέργεια. Αυτό είναι το Ω το οποίο το εκφράζουμε είτε συναρτήσει της Ε είτε κάποιας άλλης παραμέτρου. ii) Κλασικό σύστημα Το πλήθος των μικροκαταστάσεων του συστήματος υπολογίζεται από τους τύπους: dpidqi i= ΩΕδΕ ( ) = 3N Ν! Ε< Η < Ε+ δe για μη διακρίσιμα σωματίδια (π.χ. ιδανικό αέριο) ή από ΩΕδΕ ( ) = Ε< Η < Ε+ δe N i= N dp dq i 3N για διακρίσιμα σωματίδια π.χ. (ταλαντωτές). Σε δύο διαστάσεις το N από το. i 3N θα πρέπει να αντικατασταθεί με το 2N ενώ σε μία

20 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 23 Βήμα 2 ο : Βήμα 3 ο : Έχοντας βρει το στατιστικό βάρος η εντροπία υπολογίζεται από τον ορισμό: S = kln Ω( Ε) για κβαντικό σύστημα S = kln Ω( Ε) δε για κλασικό σύστημα Η ενέργεια συναρτήσει της θερμοκρασίας υπολογίζεται σε κάθε περίπτωση από τον ορισμό της θερμοκρασίας: T Ê S ˆ = Á Ë E V, N.

21 24 Κεφάλαιο Ασκήσεις στη Μικροκανονική Κατανομή Άσκηση Να υπολογιστεί ο αριθμός μικροκαταστάσεων, ΩΕ (, dε ), που αντιστοιχούν σε ενέργειες στο διάστημα από Ε έως Ε+ de για ελεύθερο σωματίδιο i) στις τρεις διαστάσεις και ii) στις δύο διαστάσεις. Λύση αʹ τρόπος i) Το πλήθος των μικροκαταστάσεων Ω(Ε)dE ενός σωματιδίου σε τρεις διαστάσεις είναι: Ω( Ε) δε = dpdq = dxdydz dp dp dp 3 3 Ε< Η < Ε+ de x y z V E< H< E+ de όπου V o όγκος του δοχείου στο οποίο βρίσκεται το σωματίδιο. Η συνθήκη E < H < E+ δε επηρεάζει μόνο τις ορμές και όχι τη θέση του σωματιδίου, για το λόγο αυτό το αρχικό εξαπλό ολοκλήρωμα γράφτηκε σαν γινόμενο των δύο τριπλών ολοκληρωμάτων. Τώρα το πρώτο ολοκλήρωμα μας δίνει τον όγκο του δοχείου ενώ dpxdpydpz = dpxdpydpz. E< H< E+ de (Για να γίνει αυτό κατανοητό να πούμε ότι όταν έχουμε συνάρτηση μίας μεταβλητής ισχύει x+ dx f ( xdx ) = f( xdx ) γιατί και τα δύο μέλη εκφράζουν εμβαδόν ορθογωνίου βάσης dx και ύψους f ( x )). Άρα λοιπόν: x V Ω( Ε) de = dp 3 xdpydpz. Περνώντας σε σφαιρικές συντεταγμένες 2 dp = dp dp dp = 4πp dp x y z

22 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 25 (κατ αναλογία με την dxdydz = 4πr dr ). Άρα τελικά έχουμε: 2 2 4πVp dp ΩΕdE ( ) = () 3 Επειδή το σωματίδιο είναι ελεύθερο έχει μόνο κινητική ενέργεια 2 2 E = p /2mfi p = 2mE και διαφορίζοντας παίρνουμε: mde 2pdp = 2mdE fi dp =. 2mE 2 Αντικαθιστώντας το p = 2mE και το dp στην () παίρνουμε μετά από πράξεις: 3/2 /2 2 π(2 m) Ε ΩΕ (, de) = de. 3 ii) Σε δύο διαστάσεις: A Ω( E) de = dpdq = dxdy dp dp = 2πpdp 2 2 x y 2 Ε < H< E+ de Α Ε< Η< Ε+ de όπου Α το εμβαδόν της περιοχής στην οποία κινείται το σωματίδιο. Επίσης χρειάστηκε να γράψουμε dpxdpy = 2πpdp σε πολικές συντεταγμένες σε αναλογία με το dxdy = 2πrdr και να αμελήσουμε πάλι την ολοκλήρωση αφού το de είναι απειροστό διάστημα και όχι πεπερασμένο. Τώρα επειδή όπως έχουμε δει προηγουμένως ότι pdp = mde παίρνουμε τελικά: 2πmA Ω( Ε) de = de. 2 βʹ τρόπος ii) H Χαμιλτονιανή ενός ελεύθερου σωματιδίου σε δύο διαστάσεις είναι: ( 2 2 x y ) H = p + p () 2m και θεωρώντας περιοδικές συνθήκες με περίοδο L και στις δύο διευθύνσεις, οι ιδιοτιμές της ορμής είναι:

23 26 Κεφάλαιο p L L x = n2, py = n2 όπου n, n 2 = 0±, ± 2 Στο px, p y επίπεδο, η «επιφάνεια» σταθερής ενέργειας Ε είναι κύκλος ακτίνας 2mE, καθώς από την () έχουμε: x y ( 2 ) p + p = me. Για L μεγάλο, έχουμε λοιπόν ότι, ο αριθμός των μικροκαταστάσεων με ενέργειες στο διάστημα από Ε έως και Ε + de ισούται με το εμβαδόν του δακτυλίου ακτίνας p= 2mE και πάχους dp, όπου p το μέτρο της ορμής του σωματιδίου, διαιρεμένου με (/L) 2 (Σχήμα 5). Άρα: 2 2πpdp L 2πmdE ΩΕ (, de) = 2 2 ( / L) = (2) p y 2mE p x Σχήμα 5 = 2mE και pdp = mde για να περά- όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι σουμε στην τελευταία ισότητα. p 2 i) Για ένα ελεύθερο σωματίδιο στις τρεις διαστάσεις με περιοδικές συνθήκες, περιόδου L, o ζητούμενος αριθμός μικροκαταστάσεων θα είναι, σε πλήρη αναλογία με το προηγούμενο υποερώτημα, ίσος με τον αριθμό των κύβων ακμής / L που περικλείονται σε σφαιρικό φλοιό ακτίνας p και πάχους dp, δηλαδή:

24 Βασικές Αρχές της Στατιστικής /2 /2 4πp dp V2 π(2 m) E de ΩΕ (, de) = 3 3 ( / L) = (3) όπου θέσαμε p 2 3 L = V και χρησιμοποιήσαμε τη σχέση 2m = 2mE και dp = de. /2 2E Άσκηση 2 Για κλασικό ιδανικό αέριο Ν ατόμων να δειχθεί ότι ο αριθμός των μικροκαταστάσεων (στατιστικό βάρος) που αντιστοιχούν σε ενέργειες από Ε έως E+ de είναι: N 3 Ν/2 3 N/2 V π (2 me) 3NdE ΩΕ (, de) = 3N Ê3N ˆ N! Á! 2E Ë 2 όπου χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό της Γάμμα συνάρτησης n -x Γn ( + ) = n! xe dx 0 Υπόδειξη: H επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R σε χώρο n διαστάσεων είναι: n/2 nπ n- Sn ( R) = R. ( n /2)! Λύση Το στατιστικό βάρος της μακροκατάστασης του αερίου είναι εξ ορισμού Ω( Ε) de = dq 3N dqn dp dpn N! 6N E< H< E+ de dq dq dp dp = 3N N N! 3 N V V Το 3Ν-πλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τη συνθήκη E < H < E+ de. Όμως για ιδανικό αέριο N 2 N pi 2 E =  fi pi = 2mE 2m  i= i= N

25 28 Κεφάλαιο x y z Nx Ny Nz 2 fi p + p + p + + p + p + p = me. Αυτή είναι εξίσωση σφαίρας ακτίνας R= 2mE σε χώρο 3Ν διαστάσεων. Έτσι λοιπόν το ολοκλήρωμα: 3 N /2 3 3N - Nπ dq dpn = S3N( R) dr = ( 2 me) d 2mE = Ê3N ˆ Á! Ë 2 6N E< H< E+ de 3N - 3 N/ Ν/2 3 N/2 π (2 me) 2 mde π (2 me) 3ΝdE = =. (3 N / 2)! 2mE Ê3N ˆ Á!2E Ë 2 Τώρα, το κάθε ολοκλήρωμα Άρα τελικά: dq i ισούται με τον όγκο του δοχείου V. V N 3 Ν/2 3 N/2 V π (2 me) 3NdE ΩΕdE ( ) =. 3N N!(3 N / 2)! 2E Άσκηση 3 Δείξτε ότι η πιθανότητα να έχει ένα συγκεκριμένο άτομο ιδανικού αερίου ενέργεια -βε ε είναι ανάλογη του e ( β= / kt) περιοριζόμενοι στα πλαίσια της μικροκανονικής μεθοδολογίας. Λύση Έστω ότι ένα σωματίδιο έχει ενέργεια ε. Τότε το στατιστικό βάρος των υπολοίπων Ν σωματιδίων είναι ΩΕ ( -ε, Ν- ). Άρα η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο στην ενεργειακή στάθμη είναι: 3 Ν /2 ΩΕ ( -ε, Ν-) ÏΕ-ε Ï3 pε () = Ì = expì Nln( -ε/ Ε). ΩΕ (, Ν) Ó Ε Ó2 Περνώντας τώρα στο όριο ΕÆ, Ν Æ γνωρίζουμε ότι Ε 3 kt Ν Æ 2 για ιδανικό μονοατομικό αέριο. Αναπτύσσοντας το λογάριθμό και κρατώντας μόνο τον όρο που είναι γραμμικός ως προς ε/ Ε, ( ε/ Ε )

26 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 29 Ê εˆ ε lná- ª - Ë Ε Ε έχουμε τελικά: Ï 3 ε Ê ε ˆ pε () expì- N = expá-. Ó 2 E Ë kt Άσκηση 4 Να υπολογιστεί το πλήθος των μικροκαταστάσεων, Ω0 ( Ε ), ενός ιδανικού μονοατομικού αερίου, Ν ατόμων, που αντιστοιχούν σε ενέργειες από 0 έως Ε. Αν ΩΕdE (, ) είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν σε ενέργειες από Ε έως E+ de, όπως υπολογίστηκε στην προηγούμενη άσκηση, να συγκριθούν τα μεγέθη ln Ω0 ( Ε ), ln ΩΕ (, de ). Ποιο φυσικό συμπέρασμα προκύπτει; Λύση To πλήθος των μικροκαταστάσεων Ω0 ( Ε ) που αντιστοιχούν σε ενέργειες από 0 έως Ε ισούται με: όγκος σφαίρας στο χώρο των ορμών ακτίνας 2mE Ω0 ( Ε) = () 3 N!( / V) N O όγκος μίας 3Ν-διάστατη σφαίρας ακτίνας 2mE είναι: Άρα: R= 2mE 0 3 Ν/2 3 Ν/2 3 N/2 3Ν (2 ) π π me S3N ( R) dr = R = (3 Ν / 2)! (3 N / 2)! N 3 Ν/2 3 N/2 V π (3 me) Ω0 ( E) = (3) 3N N!(3 N /2)! Συγκρίνοντας την παραπάνω εξίσωση με την έκφραση ΩΕ ( ) της άσκησης 2 καταλήγουμε στην: Ω0( Ε)3 Ν /2 Ω( Ε, de) = de (4) Ε 3 NdE Άρα ln ΩΕ (, de) = ln Ω0 ( Ε) + ln + ln 2 E

27 30 Κεφάλαιο ln ΩΕ (, de) ª ln Ω( Ε) + ln NdE (5) E ή 0 δεδομένου ότι τόσο το Ω(Ε) όσο και το Ω0 ( Ε ) είναι μεγάλοι αριθμοί, το ln3/2 μπορεί κάλλιστα να αμεληθεί. Τώρα ΝdE de ln = ln E ε όπου ε = Ε/ Ν είναι η ενέργεια ανά σωματίδιο. Στην ακραία περίπτωση όπου το de είναι αρκετά μεγάλο ώστε να ισχύει de E = Nε, τότε: de Nε ln = ln = lnn ε ε 23 και μπορεί επίσης να αμεληθεί αυτός ο όρος (για N 0 ), στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης (5). Από την άλλη μεριά, αν το de είναι τόσο μικρό ώστε το γινόμενο των αβεβαιοτήτων ενέργειας χρόνου να πάρει την ελάχιστη τιμή, έστω de t = fi de = / t τότε: de ln ε = ln. tε Για να είναι συγκρίσιμος αυτός ο όρος με τον πρώτο όρο της εξίσωσης (5) ώστε να μην μπορεί να αμεληθεί, θα πρέπει: ln Ν 0 tε 23 δηλαδή το t θα ξεπερνά την ηλικία του σύμπαντος. Άρα λοιπόν σε κάθε περίπτωση ln ΩE (, de) ª ln Ω( E). 0 Το φυσικό συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι, η εντροπία ενός συστήματος μπορεί να υπολογιστεί είτε σαν kln Ω( Ε, dε ) είτε σαν kln Ω0 ( Ε ). Σε κάποιες ασκήσεις, η εντροπία θα υπολογίζεται σαν k επί το λογάριθμο του αριθμού των καταστάσεων του συστήματος που αντιστοιχούν σε ενέργειες από 0 έως Ε.

28 Μαθηματικό Συμπλήρωμα 87 Μαθηματικό Συμπλήρωμα Τύπος του Stirling Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων έχουμε: ln n! = Â ln x x= Για n, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το άθροισμα με ολοκλήρωμα οπότε σε πρώτη προσέγγιση: n ln n! ª ln xdx = nlnn- n+ ª nlnn-n που είναι ο τύπος του Stirling. Συνάρτηση Γάμμα Αρκετά ολοκληρώματα υπολογίζονται εύκολα με τη βοήθεια της συνάρτησης Γάμμα. Η συνάρτηση Γάμμα ορίζεται ως: Ên + ˆ xe dx= Γ n+ Á mr Ë m n -( rx) m 0 Αποδεικνύεται ότι η Γ(k) έχει την ιδιότητα: Γk ( + ) = kγ= ( k) Aν k είναι φυσικός τότε: Γk ( + ) = k! Επίσης Γ(/ 2) = π, Γ () =. n Μερικά χρήσιμα ολοκληρώματα Ολοκληρώματα της μορφής: n -αx 0 Ι = x e, α> 0 n 2 υπολογίζονται εύκολα, παραγωγίζοντας διαδοχικά ως προς α τα ολοκληρώματα: Ι0 = e dx = 0 2 π α - 2 αx, 2 -αx Ι = xe dx = 0 2α έως ότου εμφανιστεί η επιθυμητή δύναμη του x.

29 88 Μαθηματικό Συμπλήρωμα Γενικευμένο διώνυμο Newton M! M n 2 N n! n2!! n n n N! ( ) = Â N x x x x x i N όπου η άθροιση είναι πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακέραιους n, n 2,, nn για τους οποίους ισχύει n+ n2 + + nn = M. Χρήσιμα αναπτύγματα σε δυναμοσειρές n N 2 3 x x x x - x = < 2 3 e x = + x+ x + x + 2! 3! 3 5 x x sin x = x ! 5! 2 4 x x cos x = ! 3 5 x 2x tan x = x Ê x x ˆ cot x = Á- - - x Ë x 2x tan x = x Ê x x ˆ cot x = x Á Ë 3 45

30 Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί 89 Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί Ορισμοί εντροπίας S = klnω Γενικευμένος ορισμός εντροπίας S =- k ln p =-k  p ln p Ορισμός θερμοκρασίας S = T E Ê S ˆ p= T Ë Á V r r r r E, N Πίεση Ê ln Z ˆ p= ktá Ë V T, N Ê lnξ ˆ p= ktá Ë V T, μ Χημικό δυναμικό Κανονική συνάρτηση επιμερισμού Ελεύθερη ενέργεια Helmoltz Μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού Μεγάλο δυναμικό Ê S ˆ μ=-τá Ë N EV, Ê ln Z ˆ μ=-kτá Ë N Z =  e - r βε r F =- ktln Z F = E- TS β Ε Ξ =  e - - Ν, Ε J =- kt ln Ξ ( μν) J = Ε-ΤS- μν J =- PV T, V

31 90 Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί Μέση ενέργεια E E Ê ln Z ˆ =- Á Ë β Ê lnξ ˆ =- Á Ë β Τ, Ν λ, V Κανονική συλλογή Mεγαλοκανονική συλλογή Μέσος αριθμός σωματιδίων για μεγαλοκανονική συλλογή Ê J ˆ Ν =- Ë Á μ Τ, V

32 Κβαντικό Ιδανικό Αέριο 9 Κβαντικό Ιδανικό Αέριο 2 (2 ) /2 f ( EdE ) = (2s+ ) πv m E de σε 3 - d 3 Συνάρτηση επιμερισμού μονοσωματιδιακής στάθμης i. βμ ( - ε ι ) ± 3/2 Zi = [ ± e ] όπου + για φερμιόνια και για μποζόνια. Κατανομές Fermi-Dirac και Bose-Einstein: n = i βε ( i - μ ) e ± όπου + για κατανομή Fermi-Dirac και για Bose-Eistein. Συνάρτηση επιμερισμού κβαντικού αερίου Zi i= Ζ = Μέση ενέργεια E = Ef( E) n de Αριθμός σωματιδίων για φερμιονικό αέριο 0 N = f( E) n de. 0

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Α Θερμοδυναμικός Νόμος

Α Θερμοδυναμικός Νόμος Α Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Έχουμε ήδη αναφέρει ότι πρόκειται για έναν τρόπο μεταφορά ενέργειας που βασίζεται στη διαφορά θερμοκρασιών μεταξύ των σωμάτων. Ορίζεται από τη σχέση: Έργο dw F dx F dx

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός)

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Υπήρξε εφευρέτης του πρώτου σήματος ασυρμάτου τηλεφώνου και εκμεταλλεύτηκε εμπορικά την εφεύρεση. Ίδρυσε το 1897 την Ανώνυμη Εταιρεία Ασυρμάτου Τηλεγράφου

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΤΟ 2ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΤΟ 2ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΤΟ 2ο ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ Μη αντιστρεπτά φαινόμενα Η ενέργεια διατηρείται και στη χρονικά αντίστροφη μεταβολή, όμως αυτή ποτέ δεν συμβαίνει π.χ. - Όλα τα σώματα που αρχικά ολισθαίνουν πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα»

Νίκος Σταματόπουλος «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» «Αρχές Διατήρησης» vs «Νόμοι του Νεύτωνα» Ερώτημα 1 ο : Ποιες από αυτές τις «αρχές» είναι όντως αρχές και ποιες δεν είναι; Ερώτημα 2 ο : Ποιο έχει μεγαλύτερη ισχύ; η «αρχή» ή ο «νόμος»; Ερώτημα 3 ο : Ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Η εξίσωση αυτή εκφράζει μια σχέση μεταξύ της πίεσης, της θερμοκρασίας και του ειδικού όγκου. P v = R Όπου P = πίεση σε Pascal v = Ο ειδικός

Διαβάστε περισσότερα

: Μιγαδικοί Συναρτήσεις έως και αντίστροφη συνάρτηση. 1. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει γραφικά το νόμο του Gay-Lussac;

: Μιγαδικοί Συναρτήσεις έως και αντίστροφη συνάρτηση. 1. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει γραφικά το νόμο του Gay-Lussac; Τάξη : Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μάθημα : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Εξεταστέα Ύλη : Μιγαδικοί Συναρτήσεις έως και αντίστροφη συνάρτηση Καθηγητής : Mάρθα Μπαμπαλιούτα Ημερομηνία : 14/10/2012 ΘΕΜΑ 1 ο 1. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ 1. Τι εννοούµε λέγοντας θερµοδυναµικό σύστηµα; Είναι ένα κοµµάτι ύλης που αποµονώνουµε νοητά από το περιβάλλον. Περιβάλλον του συστήµατος είναι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη Ιουνίου 9 11. 14. ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Course: Renewable Energy Sources

Course: Renewable Energy Sources Course: Renewable Energy Sources Interdisciplinary programme of postgraduate studies Environment & Development, National Technical University of Athens C.J. Koroneos (koroneos@aix.meng.auth.gr) G. Xydis

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 2.4 Παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η αντίσταση ενός αγωγού Λέξεις κλειδιά: ειδική αντίσταση, μικροσκοπική ερμηνεία, μεταβλητός αντισ ροοστάτης, ποτενσιόμετρο 2.4 Παράγοντες που επηρεάζουν την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Η επιστήμη της Θερμοδυναμικής (Thermodynamics) συσχετίζεται με το ποσό της μεταφερόμενης ενέργειας (έργου ή θερμότητας) από ένα σύστημα προς ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

Q=Ne. Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου. Q ολ(πριν) = Q ολ(μετά) Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.

Q=Ne. Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου. Q ολ(πριν) = Q ολ(μετά) Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno. Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου Κβάντωση ηλεκτρικού φορτίου ( q ) Q=Ne Ολικό

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix

Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix Περιεχόμενα Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... v Πρόλογος...vii Λίγα λόγια για τον συγγραφέα...ix Ευχαριστίες...ix Κεφαλαιο 1: Eισαγωγή... 1 1. ΕΠΙΣΤΗΜΗ, ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΑ... 1 2. ΜΙΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΙΣ Μ.Ε.Κ. Μ.Ε.Κ. Ι (Θ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΙΣ Μ.Ε.Κ. Μ.Ε.Κ. Ι (Θ) ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΙΣ Μ.Ε.Κ. Μ.Ε.Κ. Ι (Θ) Διαλέξεις Μ4, ΤΕΙ Χαλκίδας Επικ. Καθηγ. Δρ. Μηχ. Α. Φατσής ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Το «φρεσκάρισμα» των γνώσεων από τη Θερμοδυναμική με σκοπό

Διαβάστε περισσότερα

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου

Οργανική Χημεία. Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου Οργανική Χημεία Κεφάλαια 12 &13: Φασματοσκοπία μαζών και υπερύθρου 1. Γενικά Δυνατότητα προσδιορισμού δομών με σαφήνεια χρησιμοποιώντας τεχνικές φασματοσκοπίας Φασματοσκοπία μαζών Μέγεθος, μοριακός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

6.2. ΤΗΞΗ ΚΑΙ ΠΗΞΗ, ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ

6.2. ΤΗΞΗ ΚΑΙ ΠΗΞΗ, ΛΑΝΘΑΝΟΥΣΕΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΕΣ 45 6.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΦΑΣΕΩΝ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΦΑΣΕΩΝ Όλα τα σώµατα,στερεά -ά-αέρια, που υπάρχουν στη φύση βρίσκονται σε µια από τις τρεις φάσεις ή σε δύο ή και τις τρεις. Όλα τα σώµατα µπορεί να αλλάξουν φάση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων

1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων 1.2 Αρχές δόμησης πολυηλεκτρονικών ατόμων 1. Ερώτηση: Τι είναι η ηλεκτρονική δόμηση ή ηλεκτρονική κατανομή; Η συμπλήρωση των τροχιακών με ηλεκτρόνια, λέγεται ηλεκτρονική δόμηση ή ηλεκτρονική κατανομή.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. και d B οι πυκνότητα του αερίου στις καταστάσεις Α και Β αντίστοιχα, τότε

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. και d B οι πυκνότητα του αερίου στις καταστάσεις Α και Β αντίστοιχα, τότε ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Θέµα ο Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Σύµφωνα µε την κινητική θεωρία των ιδανικών αερίων, η πίεση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Χριστουγέννων Β Λυκείου

Επαναληπτικό Χριστουγέννων Β Λυκείου Επαναληπτικό Χριστουγέννων Β Λυκείου 1.Ποιά από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή ; Σύµφωνα µε τον 1ο θερµοδυναµικό νόµο το ποσό της θερµότητας που απορροφά η αποβάλει ένα θερµοδυναµικό σύστηµα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΕΦ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ 17/4/2015

ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΕΦ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ 17/4/2015 ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΕΦ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο 17/4/2015 Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλης Κ. Παπαζάχος. Ταξίδι στο παρελθόν μου

Βασίλης Κ. Παπαζάχος. Ταξίδι στο παρελθόν μου Βασίλης Κ. Παπαζάχος Ταξίδι στο παρελθόν μου EΚΔΟΣΕΙΣ ΖΗΤΗ Θεσσαλονίκη 2009 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-186-5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ 5. Η εσωτερική ενέργεια Τα υλικά σώµατα αποτελούνται από δοµικούς λίθους, δηλαδή άτοµα, ιόντα ή µόρια. Kάθε δοµικός λίθος σώµατος διαθέτει δυναµική και κινητική ενέργεια.

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Πρίκας, Eκδόσεις Zήτη, Ιούνιος 2009, Θεσσαλονίκη

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Πρίκας, Eκδόσεις Zήτη, Ιούνιος 2009, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Πρίκας Αθανάσιος Διδάκτωρ Φυσικής Στοιχειωδών Σωματίων Μύτικας Αιτωλοακαρνανίας, 3 19 Τηλ: 646 81535 E-mail: aprikas@central.ntua.gr ISBN 978-96-456-16-9

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

Η μουσική των (Υπερ)Χορδών. Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης

Η μουσική των (Υπερ)Χορδών. Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης Η μουσική των (Υπερ)Χορδών Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης H σύγχρονη (αγοραία) αντίληψη για την δηµιουργία του Σύµπαντος (πιθανά εσφαλµένη..) E t Ενέργεια Χρόνος String Theory/M-Theory H Ιστορία της

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΥΓΡΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΥΓΡΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΥΓΡΟΥ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1.1. Εσωτερική ενέργεια Γνωρίζουμε ότι τα μόρια των αερίων κινούνται άτακτα και προς όλες τις διευθύνσεις με ταχύτητες,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΓΝΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 1. Σε μια ελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται: α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 9η Ολυμπιάδα Φυσικής Γ Λυκείου (Β φάση) Κυριακή 9 Μαρτίου 01 Ώρα:.00-1.00 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Το δοκιμιο αποτελειται απο εννεα (9) σελιδες και επτα (7) θεματα.. Να απαντησετε σε ολα τα θεματα του δοκιμιου.. Μαζι

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤ-ΤΕΧΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤ-ΤΕΧΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ-ΕΧΝ ΚΑΕΥΘΥΝΣΗΣ Κινητική θεωρία των ιδανικών αερίων. Νόμος του Boyle (ισόθερμη μεταβή).σταθ. για σταθ.. Νόμος του hales (ισόχωρη μεταβή) p σταθ. για σταθ. 3. Νόμος του Gay-Lussac

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ENOTHTA 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ENOTHT 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Κρούση: Κρούση ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο δύο ή περισσότερα σώματα έρχονται σε επαφή για πολύ μικρό χρονικό διάστημα κατά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Μεταφορά Θερμότητας

Εισαγωγή στην Μεταφορά Θερμότητας Εισαγωγή στην Μεταφορά Θερμότητας ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής Διάλεξη 1 MMK 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 1 1 Μεταφορά Θερμότητας - Εισαγωγή Η θερμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κατεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις: Σε ισόχωρη αντιστρεπτή θέρµανση ιδανικού αερίου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ LASER ΤΜΗΜΑ ΟΠΤΙΚΗΣ & ΟΠΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ LASER ΤΜΗΜΑ ΟΠΤΙΚΗΣ & ΟΠΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ LASER ΤΜΗΜΑ ΟΠΤΙΚΗΣ & ΟΠΤΟΜΕΤΡΙΑΣ ΑΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ «Ίσως το φως θα ναι μια νέα τυραννία. Ποιος ξέρει τι καινούρια πράγματα θα δείξει.» Κ.Π.Καβάφης ΑΡΧΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ LASER Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Hideki Yukawa and the Nuclear Force Πυρηνική δύναμη Μεσόνια και θεωρία Yukawa Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής πυρηνική δύναμη Η πυρηνική δύναμη (ή αλληλεπίδραση νουκλεονίουνουκλεονίου, ή NN forces,

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1 έως Α5 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1 Α4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση Θερμότητας. (Αγωγή / Μεταφορά με τη βοήθεια ρευμάτων / Ακτινοβολία)

Διάδοση Θερμότητας. (Αγωγή / Μεταφορά με τη βοήθεια ρευμάτων / Ακτινοβολία) Διάδοση Θερμότητας (Αγωγή / Μεταφορά με τη βοήθεια ρευμάτων / Ακτινοβολία) Τρόποι διάδοσης θερμότητας Με αγωγή Με μεταφορά (με τη βοήθεια ρευμάτων) Με ακτινοβολία άλλα ΠΑΝΤΑ από το θερμότερο προς το ψυχρότερο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα