Copyright, Οκτώβριος 2011, Π. Μουστάνης, Eκδόσεις Zήτη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Copyright, Οκτώβριος 2011, Π. Μουστάνης, Eκδόσεις Zήτη"

Transcript

1

2 ISBN Copyrigt, Οκτώβριος 20, Π. Μουστάνης, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.22/993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 8 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ. 47 Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια 4 7, Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό ήρθε και συμπλήρωσε ένα κενό που υπήρχε στην ελληνική βιβλιογραφία, στο χώρο των ασκήσεων Στατιστικής Φυσικής. Στοχεύει επίσης να αποτελέσει μια εισαγωγή στη Στατιστική Φυσική με άμεσο και σαφή τρόπο, χωρίς να προαπαιτείται γνώση της Θερμοδυναμικής. Και στην παρούσα έκδοση, η ύλη έχει ταξινομηθεί σε τρία κεφάλαια. Στο πρώτο περιέχονται οι θεμελιώδεις έννοιες της Στατιστικής και εξετάζονται συστήματα στα πλαίσια της μικροκανονικής μεθοδολογίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετώνται συστήματα στα πλαίσια της κανονικής μεθοδολογίας ενώ τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται το φερμιονικό και μποζονικό αέριο, καθώς και η μεγαλοκανονική κατανομή. Κάθε κεφάλαιο περιέχει τις απαραίτητες έννοιες πάνω στις οποίες βασίζεται η θεωρία και τις ασκήσεις οι οποίες, εν μέρει, συμπληρώνουν τη θεωρία και σκοπίμως δεν έχουν συμπεριληφθεί σε αυτήν προκειμένου να γίνουν άμεσα αντιληπτές οι έννοιες και οι αρχές της Στατιστικής Φυσικής. Όπου ήταν εφικτό και συγκεκριμένα στα δύο πρώτα κεφάλαια, δόθηκε και μία μεθοδολογία επίλυσης των ασκήσεων. Όσον αφορά τις ασκήσεις θα ήθελα να επισημάνω ότι έχω αποφύγει την λεπτομερή παρουσίαση αρκετών αλγεβρικών πράξεων, ώστε να μην χάνεται η ουσία της άσκησης. Σεπτέμβρης 20 Παναγιώτης Μουστάνης

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο : Βασικές αρχές της Στατιστικής. Μακροκατάσταση Μικροκατάσταση....2 Στατιστικό βάρος Αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων Εργοδική υπόθεση Ορισμός εντροπίας κατά Bolzmann Χώρος των φάσεων Κβάντωση του χώρου φάσεων Συλλογές κατανομές Θεμελιώδεις νόμοι της θερμοδυναμικής Ορισμοί Μεθοδολογία Λυμένες Ασκήσεις Κεφάλαιο 2: Κανονική Κατανομή 2. Θεμελιώδεις έννοιες Ορισμοί Μέσες τιμές μακροσκοπικών μεγεθών Θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας Θερμοχωρητικότητα των στερεών Μεθοδολογία... 7 Λυμένες Ασκήσεις... 73

5 8 Στατιστική Φυσική Κεφάλαιο 3: Μεγαλοκανονική Κατανομή Κατανομές Fermi - Dirac και Bose - Einstein 3. Μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού Μεγαλοκανονική κατανομή Συνάρτηση επιμερισμού κβαντικού ιδανικού αερίου Συνάρτηση επιμερισμού μονοσωματιδιακής στάθμης Κατανομές Fermi - Dirac και Bose - Einstein Το μοντέλο των ελεύθερων ηλεκτρονίων στα μέταλλα Συμπύκνωση κατά Bose - Einstein Ακτινοβολία μέλανος σώματος Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματικό Συμπλήρωμα Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί Κβαντικό ιδανικό αέριο... 9 Βιβλιογραφία Ευρετήριο Όρων... 95

6 Εισαγωγή Οι μακροσκοπικές ιδιότητες ενός σώματος καθορίζονται από τις ιδιότητες των μικροσκοπικών, θεμελιωδών λίθων του, των ατόμων και των μορίων του, καθώς και από τις αλληλεπιδράσεις τους με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η στατιστική φυσική είναι η γέφυρα που ενώνει το μικρόκοσμο με το μακρόκοσμο, τη συμπεριφορά των ατόμων και των μορίων με τις μακροσκοπικές ιδιότητες του σώματος. Το πέρασμα αυτό από το μικρόκοσμο στον μακρόκοσμο δεν είναι προφανές ούτε άμεσο, λόγω του μεγάλου αριθμού σωματιδίων που απαρτίζουν ένα μακροσκοπικό σύστημα. Επίσης οι νόμοι που διέπουν τη συμπεριφορά ενός μακροσκοπικού συστήματος είναι εντελώς διαφορετικής φύσης από εκείνους που διέπουν τη συμπεριφορά των μορίων του. Παράδειγμα η μη αντιστρεψιμότητα των φυσικών διαδικασιών (δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής), παρ όλο που οι εξισώσεις κίνησης του κάθε μορίου είναι αντιστρέψιμες ως προς το χρόνο. Όταν αυξάνεται το 23 μέγεθος ενός συστήματος, έστω N 0, τότε μία δεδομένη ενέργεια, Ε του συστήματος μπορεί να «διαμοιραστεί» με αναρίθμητους τρόπους ανάμεσα στα διάφορα σωματίδια. Παραδείγματος χάριν, σε ένα ιδανικό αέριο E = ε + ε + + ε = ε + ε + + ε = 2 Ν 2 όπου εi, i =, N είναι η ενέργεια του i-σωματιδίου. Συνέπεια αυτού του γεγονότος είναι ότι οι αποστάσεις μεταξύ γειτονικών ενεργειακών σταθμών είναι της τάξης του 0 - N. Άρα ένα μακροσκοπικό σώμα δεν μπορεί, αυστηρά μιλώντας, να βρεθεί σε μία στάσιμη κατάσταση, για τους εξής δύο λόγους:. Υπάρχουν πάντα αλληλεπιδράσεις με το περιβάλλον, έστω απειροελάχιστες, οι οποίες προκαλούν τη μετάβαση του συστήματος από μία ενεργειακή στάθμη σε μία άλλη. 2. Ακόμα και αν θεωρήσουμε το σύστημα κλειστό με κάθε έννοια, για να γνωρίσουμε σε ποια ενεργειακή στάθμη βρίσκεται το σύστημα, πρέπει η αβεβαιότητα, ΔΕ, στην ενέργεια της μέτρησης να είναι μικρότερη από την απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών σταθμών, η οποία όπως είδαμε, είναι της τάξης 0 - N. Λόγω ό- μως της αρχής της αβεβαιότητας ενέργειας χρόνου, το καλύτερο που μπορούμε να επιτύχουμε είναι: Ν

7 0 Στατιστική Φυσική - ΔE Δt όπου ΔΕ < 0 Ν Ν 0 23 Άρα Δt / ΔΕ 0 0, δηλαδή ο χρόνος παρατήρησης πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερος της ηλικίας του σύμπαντος. Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι, ένα μακροσκοπικό σύστημα δεν μπορεί να βρίσκεται σε μία στάσιμη ενεργειακή στάθμη. Πάντα λοιπόν υπάρχουν διακυμάνσεις όλων των μεγεθών ενός μακροσκοπικού συστήματος (ενέργεια, μαγνητική ροπή, κ.λπ.) γύρω από κάποια μέση τιμή. Άρα πάντα θα μιλάμε, στη στατιστική φυσική, για υπολογισμό της μέσης τιμής ενός μεγέθους, ακόμα και όταν δε χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως, μέση ενέργεια κ.λπ. αλλά απλά ενέργεια του συστήματος.

8 ο Κεφάλαιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Μακροκατάσταση Μικροκατάσταση Έστω ένα μακροσκοπικό σύστημα το οποίο αποτελείται από Ν σωματίδια (για λόγους απλότητας του ίδιου είδους) και είναι σχεδόν μονωμένο. Μία μακροσκοπική κατάσταση του συστήματος ή μακροκατάσταση καθορίζεται από την ενέργειά του Ε, τον όγκο V και το Ν. Όταν το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία, η στατιστική μηχανική επιτρέπει τον καθορισμό μίας μακροκατάστασης χωρίς να απαιτείται λεπτομερής γνώση των μικροκαταστάσεων του συστήματος, δηλαδή, κλασικά μιλώντας, χωρίς να απαιτείται η γνώση των συντεταγμένων θέσης r,, r N και των ορμών p,, pn (αν και αυτό είναι αδύνατο) των σωματιδίων του. Κβαντικά, η μικροκατάσταση καθορίζεται από το σύνολο των καλών κβαντικών αριθμών του συστήματος. Σε κάθε μακροκατάσταση ενός συστήματος αντιστοιχεί ένας καθορισμένος αριθμός μικροκαταστάσεων του συστήματος, οι οποίες είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση. Με άλλα λόγια, μία μακροκατάσταση μπορεί να προκύψει από ένα πλήθος διαφορετικών μικροκαταστάσεων. Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε 3 spin /2 μέσα σε μαγνητικό πεδίο Η παράλληλο στον άξονα z. To κάθε σπιν έχει μαγνητική ροπή μ με δύο δυνατούς προσανατολισμούς και η ενέργειά του ε = μ Η είναι ± μη ανάλογα αν είναι αντιπαράλ- ληλο ή παράλληλο στο πεδίο Η. Το σύστημα αυτό έχει 8 διαφορετικές μικροκαταστάσεις και αντίστοιχες ενέργειες, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Καλοί κβαντικοί αριθμοί είναι οι ιδιοτιμές των τελεστών που μετατίθενται με τη Hamiltonian και συνεπώς δε μεταβάλλονται με το χρόνο.

9 2 Κεφάλαιο Μικροκαταστάσεις Ø Ø Ενέργειες 3μΗ μη μη Η Ø μη ØØ Ø Ø ØØ ØØØ μη μη μη 3μΗ Έστω ότι η ενέργεια του συστήματος είναι Ε =- μη. Αυτό σημαίνει ότι δύο σπιν είναι προσανατολισμένα παράλληλα στο πεδίο Η ενώ το τρίτο αντιπαράλληλα. Δηλαδή έχουμε μόνο τρεις μικροκαταστάσεις οι οποίες είναι συμβατές με την ενέργεια Ε =- μη : Ø Ø Ø Η Στο παράδειγμα αυτή η μακροκατάσταση του συστήματος καθορίζεται μόνο από την ενέργειά του (ο όγκος δεν υπεισέρχεται καθόλου). Το πλήθος των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν στη συγκεκριμένη ενέργεια ονομάζεται στατιστικό βάρος της μικροκατάστασης. Εδώ το στατιστικό βάρος της μακροκατάστασης με Ε =- μη είναι 3. Γενικότερα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:.2 Στατιστικό βάρος Ορισμός Ο αριθμός των δυνατών ή των πραγματοποιήσιμων μικροκαταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρίσκεται ένα μακροσκοπικό σύστημα για δεδομένες τιμές των V, N και ενέργειας στο διάστημα από Ε έως και E+ δε, ονομάζεται στατιστικό βάρος της μακροκατάστασης και συμβολίζεται με Ω (Ε, δε, Ω, Ν) ή με Ω (Ε, Ω, Ν) δε.

10 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 3 Όταν πρόκειται για κβαντικό σύστημα συνήθως το στατιστικό βάρος θα ορίζεται σαν το πλήθος των δυνατών μικροκαταστάσεων στις οποίες μπορεί να βρίσκεται ένα μακροσκοπικό σύστημα για δεδομένες τιμές V, N και Ε = σταθ. Με άλλα λόγια είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων οι οποίες είναι συμβατές με την μακροκατάσταση Ε, V, Ν και θα γράφουμε Ω (Ε, V, Ν) ή μερικές φορές πιο απλά Ω(Ε) με Ε = σταθ. Ξαναγυρνώντας στο προηγούμενο παράδειγμα βλέπουμε ότι, ενώ σ αυτή την περίπτωση η ενέργεια του συστήματος και ο αριθμός των σπιν καθορίζουν τη μακροκατάσταση, δεν υπάρχει τρόπος να γνωρίζουμε σε ποια από τις τρεις μικροκαταστάσεις βρίσκεται το σύστημα. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να γενικευτεί σε οποιοδήποτε «κλειστό» σύστημα το οποίο έχει φθάσει σε θερμοδυναμική ισορροπία. Λόγω των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των σωματιδίων ενός συστήματος (είτε λόγω των συγκρούσεων των ατόμων ενός αερίου είτε λόγω των ταλαντώσεων πλέγματος σ ένα παραμαγνητικό στερεό, λόγου χάρη) το σύστημα περνά από όλες τις δυνατές μικροκαταστάσεις οι οποίες είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση. Άρα λοιπόν συνοψίζοντας, έχουμε το ακόλουθο αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων..3 Αξίωμα των εξ ορισμού ίσων πιθανοτήτων Όλες οι μικροκαταστάσεις ενός συστήματος που είναι συμβατές με τη δεδομένη μακροκατάσταση είναι εξ ίσου πιθανές να πραγματοποιηθούν. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: i) Έστω ότι ένα μονωμένο σύστημα έχει «απόλυτα καθορισμένη» ενέργεια Ε. Κάθε κβαντική μικροκατάσταση έχει πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ίση με p = ΩΕ (, Ω, Ν) ii) Έστω ότι γνωρίζουμε την ενέργεια ενός μονωμένου συστήματος με μία αβεβαιότητα δε. Δηλαδή η ενέργειά του βρίσκεται σ ένα διάστημα Ε έως Ε+ δε. Το βασικό αξίωμα της στατιστικής λέει ότι στην κατάσταση ισορροπίας το σύστημα μπορεί να βρίσκεται με την ίδια πιθανότητα σε μία οποιαδήποτε ενεργειακή στάθμη Ε με Ε < Ε < Ε+ δε, ή r r Ïc, E < Er < E+ δε pe ( = Er ) =Ì Ó 0, σε όλες τις άλλες περιπτώσεις

11 4 Κεφάλαιο όπου c σταθερά υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης Â r pe ( = E) = r και το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις καταστάσεις στο διάστημα μεταξύ Ε και E+ δε. Άρα: pe ( = E r ) =. ΩΕ (, δε, Ω, Ν).4 Εργοδική υπόθεση Η μέση τιμή ενός μεγέθους, π.χ. της ενέργειας ενός συστήματος σε ισορροπία μπορεί να υπολογιστεί είτε παρατηρώντας το σύστημα για ένα σχετικά μεγάλο χρονικό διάστημα και εξάγοντας τη μέση τιμή του μεγέθους ως προς το χρόνο παρατήρησης, είτε «μετρώντας» την ίδια χρονική στιγμή τις ενέργειες μίας πολύ μεγάλης συλλογής πανομοιότυπων συστημάτων και εξάγοντας τη μέση τιμή του μεγέθους ως προς τη συλλογή. Το αποτέλεσμα των δύο διαδικασιών υπολογισμού της μέσης τιμής είναι το ίδιο (εργοδική αρχή)..5 Ορισμός εντροπίας κατά Boltzmann Η εντροπία ενός συστήματος ορίζεται ως: S = kln Ω( Ε) δε όπου Ω(Ε) δε είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων του συστήματος όταν αυτό έχει ενέργεια στο διάστημα από Ε έως Ε+ δε. Για κβαντικό σύστημα το οποίο έχει καθορισμένη ενέργεια Ε ορίζεται ως S = kln Ω( Ε). Η εντροπία έχει ορισθεί έτσι ώστε να είναι κατ αρχήν μία εκτατή ποσότητα. Δηλαδή αν S και S 2 είναι οι εντροπίες δύο ανεξάρτητων συστημάτων, τότε η εντροπία του σύνθετου συστήματος είναι S+ S2. Κατά δεύτερον αν είναι πραγματοποιήσιμη μία μόνο μικροκατάσταση ΩE ( ) = και S = kln = 0 δηλαδή έχουμε πλήρη τάξη.

12 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 5.6 Χώρος φάσεων Ένα σύστημα μπορεί να περιγραφεί από f γενικευμένες συντεταγμένες και τις αντίστοιχες ορμές, δηλαδή από ένα σύνολο 2f παραμέτρων. Το f ονομάζεται αριθμός των βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Στην περίπτωση ενός ιδανικού μονοατομικού αερίου f = 3N. Ο χώρος 2f-διαστάσεων ονομάζεται χώρος των φάσεων του συστήματος. Κλασικά μία κατάσταση του συστήματος καθορίζεται αν καθορίσουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες θέσης και ορμής του κάθε σωματιδίου, δηλαδή παριστάνεται από ένα σημείο στο χώρο αυτό. Με την πάροδο του χρόνου, οι γενικευμένες συντεταγμένες q i και ορμές p i μεταβάλλονται με αποτέλεσμα το σημείο του χώρου των φάσεων να διαγράφει μία τροχιά στο χώρο αυτό που αντιστοιχεί σε μία επιφάνεια σταθερής ενέργειας (αν το σύστημα είναι μονωμένο). Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα για να κατανοήσουμε καλύτερα τα παραπάνω: Έστω ένας απλός κλασικός μονοδιάστατος αρμονικός ταλαντωτής συχνότητας ω. Η Χαμιλτονιανή του είναι: 2 p 2 2 H = + mω q. 2m 2 Όταν η ενέργειά του είναι Ε μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση στη μορφή: 2 2 p q + =. 2 2mE 2 E/ mω Αυτή είναι η εξίσωση μίας έλλειψης στο επίπεδο q - p. Δηλαδή εδώ ο χώρος των φάσεων είναι δύο διαστάσεων αφού, όπως ξέρουμε, ένας μονοδιάστατος ταλαντωτής έχει έναν μόνο βαθμό ελευθερίας f=. Κλασικά μια μικροκατάσταση καθορίζεται από την ταυτόχρονη γνώση της θέσης q και της ορμής p και παριστάνεται από ένα σημείο στο χώρο αυτό όπως φαίνεται στο Σχήμα : p q Σχήμα

13 6 Κεφάλαιο Με την πάροδο του χρόνου η θέση και η ορμή μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιείται πάντα η εξίσωση: 2 2 p q + = 2 2mE 2 E/ mω δηλαδή το σημείο θα κινείται σε μία κλειστή καμπύλη και συγκεκριμένα σε μία έλλειψη (Σχήμα 2). Το πλήθος των μικροκαταστάσεων ( q, p ) που είναι πραγματοποιήσιμες είναι προφανώς όσα τα σημεία της έλλειψης δηλαδή άπειρα. p q Σχήμα 2 Θα μπορούσαμε λοιπόν, να ισχυριστούμε ότι η εντροπία ενός συστήματος τέτοιων ταλαντωτών είναι άπειρη; Κατ αρχήν εμείς δεν ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε το πρόβλημα ενός αρμονικού ταλαντωτή καθορισμένης ενέργειας Ε αλλά όταν αυτός αλληλεπιδρά με το περιβάλλον με αποτέλεσμα η ενέργειά του να μην είναι σταθερή αλλά να κυμαίνεται σ ένα διάστημα από Ε έως E+ δε. Όταν η ενέργειά του λοιπόν είναι Ε+ δε τότε το σημείο του χώρου των φάσεων θα κινείται σε μεγαλύτερη έλλειψη (Σχήμα 3) οπότε όταν η ενέργειά του κυμαίνεται στο διάστημα από Ε έως Ε+ δε μπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε μικροκατάσταση δηλαδή σε κάθε σημείο του επιπέδου q-p μεταξύ των δύο καμπυλών σταθερής ενέργειας. p E E+δΕ q Σχήμα 3

14 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 7 Το πλήθος προφανώς των σημείων αυτών είναι άπειρο με συνέπεια να έχουμε άπειρο πλήθος μικροκαταστάσεων Ω άρα και άπειρη εντροπία ανά ταλαντωτή S kln Ω! N = = Άρα κάτι δεν πάει καλά στην κλασική θεώρηση. Αν θέλουμε να «σώσουμε» την κλασική περιγραφή θα πρέπει να λάβουμε υπ όψη μας την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg και να κβαντώσουμε όπως λέμε τον χώρο των φάσεων..7 Κβάντωση του χώρου φάσεων Λόγω της αρχής της αβεβαιότητας δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ταυτόχρονα τη θέση x και την ορμή p x ενός σωματιδίου δηλαδή να κάνουμε το γινόμενο αβεβαιοτήτων της θέσης, Δx και της ορμής Δp x αυθαίρετα μικρό. Αυτό που μπορούμε να επιτύχουμε είναι το πολύ: ΔpxΔx ª όπου η σταθερά του Planck. Με απλά λόγια δεν μπορούμε στο χώρο των φάσεων (επίπεδο x-p για τον αρμονικό ταλαντωτή) να διακρίνουμε ένα σημείο (μικροκατάσταση) από ένα άλλο αυθαίρετα κοντινό του. Αυτό που κάνουμε λοιπόν είναι το εξής: Χωρίζουμε το επίπεδο x-p (ή q-p) σε ορθογώνια ακμών Δpx, Δx δηλαδή εμβαδού το καθένα και θεωρούμε ότι η κάθε κυψελίδα αντιστοιχεί σε μία μόνο μικροκατάσταση δηλαδή δεν έχουμε πλέον άπειρα σημεία μικροκαταστάσεις σ αυτήν αλλά μόνο ένα. (Σχήμα 4). Οπότε αν θέλουμε να βρούμε το πλήθος των μι- p q Σχήμα 4

15 8 Κεφάλαιο κροκαταστάσεων με ενέργειες από Ε έως E+ δε θα μετρήσουμε πόσες κυψελίδες υπάρχουν μεταξύ των δύο ελλείψεων. Συνεπώς: εμβαδόν μεταξύ δύο ελλείψεων ΩΕδΕ= ( ) ή ΩΕδΕ ( ) εμβαδόν κυψελίδας με τη συνθήκη E < H < E+ δε. (Να θυμίσουμε ότι το διπλό ολοκλήρωμα περιοχής D του επιπέδου xy). D = dpdq dxdy εκφράζει το εμβαδόν της Άρα λοιπόν γενικεύοντας, αν έχουμε ένα σύστημα με f = 3N βαθμούς ελευθερίας (π.χ. Ν σωματίδια ιδανικού αερίου σε τρεις διαστάσεις ή Ν τρισδιάστατους κλασικούς αρμονικούς ταλαντωτές), το στατιστικό βάρος ΩE ( ) δε, δηλαδή το πλήθος των μικροκαταστάσεων που περικλείονται μεταξύ δύο επιφανειών σταθερής ενέργειας, ισούται με τον όγκο που περικλείεται ανάμεσα στις δύο αυτές επιφάνειες, που είναι: 6N dp dp dp dp dq dq dq x y z 2x N N N E < H < E+ δε ή εν συντομία 6N Ν i= dp dq i i x y z E < H < E+ δε 3N δια τον όγκο της κάθε κυψελίδας (το κάθε γινόμενο dp dq πρέπει να διαιρεθεί δια ). Συνοψίζοντας σε τρεις διαστάσεις θα έχουμε: ΩEδΕ ( ) = Ν! Ε< Η < Ε+ δe N i= dp dq i 3N όπου το! Ν είναι μία επιπλέον διόρθωση που πρέπει να βάλουμε με το χέρι για να σώσουμε την κλασική περιγραφή και οφείλεται στο γεγονός ότι τα σωματίδια ενός συστήματος (π.χ. αερίου) είναι εν γένει μη διακρίσιμα. i

16 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 9 Αν όμως έχουμε εντοπισμένα στο χώρο σωματίδια, όπως για παράδειγμα όταν μελετάμε τις ταλαντώσεις των ιόντων ενός στερεού που έχουμε εντοπισμένους ταλαντωτές σε συγκεκριμένες διακριτές θέσεις τότε: ΩEδΕ ( ) = Ε< Η < Ε+ δe N i= dp dq i 3N i. Κβαντικά, το στατιστικό βάρος μίας μακροκατάστασης ισούται με τον αριθμό των σημείων (μικροκαταστάσεις) στον χώρο των φάσεων που περικλείονται ανάμεσα σε δύο επιφάνειες σταθερής ενέργειας Ε και E+ δε, δηλαδή: ΩΕ (, δε, V, N) = Â. E< H< E+ δε Σημείωση: To ΩΕ (, dε ) εξαρτάται προφανώς από το εύρος de του ενεργειακού διαστήματος. Η ποσότητα ΩΕ ( ) = ΩΕ (, de)/ de είναι ανεξάρτητη του de και ονομάζεται πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων. Με άλλα λόγια θεωρούμε ότι: ΩE (, de) = ΩEdE ( ). Μερικές φορές θα συμβολίζουμε με ΩΕ ( ) το πλήθος των καταστάσεων στο διάστημα από 0 έως Ε, ή στην περίπτωση όπου το σύστημα έχει καθορισμένη ενέργεια θα δηλώνουμε το πλήθος των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν σε ενέργεια Ε. Κάθε φορά θα είναι ξεκάθαρο από το κείμενο τι θα εννοούμε..8 Συλλογές - κατανομές Μικροκανονική συλλογή Αν θεωρήσουμε ένα πολύ μεγάλο πλήθος από πανομοιότυπα συστήματα, μονωμένα τότε μιλάμε για μικροκανονική συλλογή. Η πιθανότητα να έχει ένα τυχαίο σύστημα της συλλογής ενέργεια στο διάστημα από Ε έως Ε+ δε είναι σταθερά για όλες τις ενέργειες σ αυτό το διάστημα (μικροκανονική κατανομ) και ίση, όπως είδαμε ίση με ΩΕ (, V, N ).

17 20 Κεφάλαιο Κανονική συλλογή Ένα πολύ μεγάλο πλήθος πανομοιότυπων συστημάτων, τα οποία βρίσκονται σε θερμική επαφή το ένα με το άλλο, δηλαδή ανταλλάσουν ενέργεια, αποτελεί τη λεγόμενη κανονική συλλογή. Αν διαλέξουμε στην τύχη ένα σύστημα, η πιθανότητα (κανονική κατα- αυτό να έχει ενέργεια από Ε έως Ε + δε είναι ανάλογη με νομή). Μεγαλοκανονική συλλογή EkT / e - Αν τα πανομοιότυπα συστήματα που θεωρήσαμε προηγουμένως ανταλλάσουν εκτός από ενέργεια και σωματίδια, τότε έχουμε τη λεγόμενη μεγαλοκανονική συλλογή. Η πιθανότητα να έχει ένα σύστημα ενέργεια στο διάστημα από έως E+ δε και αριθμό σωματιδίων στο διάστημα από Ν έως Ν + δν είναι ανάλογο με ( E μ)/ kt e - -, όπου μ το χημικό δυναμικό (μεγαλοκανονική κατανομή)..9 Θεμελιώδεις νόμοι της Θερμοδυναμικής Ορισμοί Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μονωμένο σύστημα με οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες (π.χ. έχουμε ένα αέριο το οποίο καταλαμβάνει μόνο το ήμισυ ενός δοχείου όγκου V, με τη βοήθεια ενός χωρίσματος και αφαιρούμε το χώρισμα). Είναι προφανές ότι μετά την πάροδο ενός χρονικού διαστήματος το σύστημα θα έχει φθάσει σε εκείνη τη μακροκατασταση στην οποία θα αντιστοιχούν οι περισσότερες μικροκαταστάσεις και άρα το στατιστικό της βάρος θα είναι μέγιστο. Αυτό ισχύει γενικά σε οποιοδήποτε μονωμένο σύστημα, και το φυσικό μέγεθος που καθορίζει τη φορά των φυσικών διεργασιών είναι η εντροπία. Πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής Η προσφερόμενη θερμότητα στο σύστημα ισούται με τη μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας συν το έργο που εκτελέστηκε από αυτό δq = du + δw. Δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής Όταν ένα θερμικά μονωμένο σύστημα μεταβαίνει από μια μακροκατάσταση σε μια άλλη η εντροπία του αυξάνεται πάντα, ΔS > 0, ενώ παραμένει σταθερή, ΔS = 0, μόνο όταν το σύστημα έχει φτάσει στην κατάσταση ισορροπίας.

18 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 2 Τρίτος νόμος της θερμοδυναμικής Όταν η θερμοκρασία ενός συστήματος τείνει στο απόλυτο μηδέν η εντροπία του τείνει στο μηδέν. Αυτό τον νόμο είναι από να τον καταλάβει κανείς, γιατί για Τ=0 κάθε σύστημα βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση. Άρα: ST ( = 0) = klng όπου g ο εκφυλισμός της βασικής κατάστασης. Επειδή όμως όλα σχεδόν τα συστήματα έχουν μη εκφυλισμένη βασική κατάσταση, δηλαδή g =, συνεπάγεται ότι: ST ( = 0) = kln= 0. Ακόμη και για συστήματα όπου η βασική στάθμη είναι εκφυλισμένη, ο εκφυλισμός αυτός δεν είναι ανάλογος του συστήματος, άρα μπορούμε να πούμε ότι: lim S = 0. TÆ0 Στατιστικός ορισμός θερμοκρασίας T Ê S ˆ = Á Ë E V, N Ορισμός πίεσης Ê S ˆ P = T Ë Á V E, N Ορισμός χημικού δυναμικού Ê S ˆ μ=-tá Ë V E, V Γενικευμένος ορισμός της εντροπίας S =-k  pr ln p r r όπου p r η πιθανότητα να βρίσκεται το σύστημα σε μία κατάσταση r και το άθροισμα εκτείνεται σε όλες τις καταστάσεις.

19 22 Κεφάλαιο Μεθοδολογία Για να υπολογίσουμε την εντροπία ενός συστήματος ή την ενέργειά του συναρτήσει της θερμοκρασίας, στα πλαίσια της μικροκανονικής μεθοδολογίας, υπολογίζουμε πρώτα το στατιστικό βάρος Ω(Ε). Σε γενικές γραμμές τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: Βήμα ο : Για να βρούμε το Ω(Ε) διακρίνουμε αν έχουμε i) κβαντικό ή ii) κλασικό σύστημα. i) Κβαντικό σύστημα Γνωρίζοντας τις ενεργειακές στάθμες κάθε σωματιδίου ε i γράφουμε τη συνολική ενέργεια του συστήματος N i= i E = Â ε (για Ν ανεξάρτητα σωματίδια)και υπολογίζουμε με πόσους δυνατούς τρόπους μπορούμε να πάρουμε τη συγκεκριμένη ενέργεια. Αυτό είναι το Ω το οποίο το εκφράζουμε είτε συναρτήσει της Ε είτε κάποιας άλλης παραμέτρου. ii) Κλασικό σύστημα Το πλήθος των μικροκαταστάσεων του συστήματος υπολογίζεται από τους τύπους: dpidqi i= ΩΕδΕ ( ) = 3N Ν! Ε< Η < Ε+ δe για μη διακρίσιμα σωματίδια (π.χ. ιδανικό αέριο) ή από ΩΕδΕ ( ) = Ε< Η < Ε+ δe N i= N dp dq i 3N για διακρίσιμα σωματίδια π.χ. (ταλαντωτές). Σε δύο διαστάσεις το N από το. i 3N θα πρέπει να αντικατασταθεί με το 2N ενώ σε μία

20 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 23 Βήμα 2 ο : Βήμα 3 ο : Έχοντας βρει το στατιστικό βάρος η εντροπία υπολογίζεται από τον ορισμό: S = kln Ω( Ε) για κβαντικό σύστημα S = kln Ω( Ε) δε για κλασικό σύστημα Η ενέργεια συναρτήσει της θερμοκρασίας υπολογίζεται σε κάθε περίπτωση από τον ορισμό της θερμοκρασίας: T Ê S ˆ = Á Ë E V, N.

21 24 Κεφάλαιο Ασκήσεις στη Μικροκανονική Κατανομή Άσκηση Να υπολογιστεί ο αριθμός μικροκαταστάσεων, ΩΕ (, dε ), που αντιστοιχούν σε ενέργειες στο διάστημα από Ε έως Ε+ de για ελεύθερο σωματίδιο i) στις τρεις διαστάσεις και ii) στις δύο διαστάσεις. Λύση αʹ τρόπος i) Το πλήθος των μικροκαταστάσεων Ω(Ε)dE ενός σωματιδίου σε τρεις διαστάσεις είναι: Ω( Ε) δε = dpdq = dxdydz dp dp dp 3 3 Ε< Η < Ε+ de x y z V E< H< E+ de όπου V o όγκος του δοχείου στο οποίο βρίσκεται το σωματίδιο. Η συνθήκη E < H < E+ δε επηρεάζει μόνο τις ορμές και όχι τη θέση του σωματιδίου, για το λόγο αυτό το αρχικό εξαπλό ολοκλήρωμα γράφτηκε σαν γινόμενο των δύο τριπλών ολοκληρωμάτων. Τώρα το πρώτο ολοκλήρωμα μας δίνει τον όγκο του δοχείου ενώ dpxdpydpz = dpxdpydpz. E< H< E+ de (Για να γίνει αυτό κατανοητό να πούμε ότι όταν έχουμε συνάρτηση μίας μεταβλητής ισχύει x+ dx f ( xdx ) = f( xdx ) γιατί και τα δύο μέλη εκφράζουν εμβαδόν ορθογωνίου βάσης dx και ύψους f ( x )). Άρα λοιπόν: x V Ω( Ε) de = dp 3 xdpydpz. Περνώντας σε σφαιρικές συντεταγμένες 2 dp = dp dp dp = 4πp dp x y z

22 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 25 (κατ αναλογία με την dxdydz = 4πr dr ). Άρα τελικά έχουμε: 2 2 4πVp dp ΩΕdE ( ) = () 3 Επειδή το σωματίδιο είναι ελεύθερο έχει μόνο κινητική ενέργεια 2 2 E = p /2mfi p = 2mE και διαφορίζοντας παίρνουμε: mde 2pdp = 2mdE fi dp =. 2mE 2 Αντικαθιστώντας το p = 2mE και το dp στην () παίρνουμε μετά από πράξεις: 3/2 /2 2 π(2 m) Ε ΩΕ (, de) = de. 3 ii) Σε δύο διαστάσεις: A Ω( E) de = dpdq = dxdy dp dp = 2πpdp 2 2 x y 2 Ε < H< E+ de Α Ε< Η< Ε+ de όπου Α το εμβαδόν της περιοχής στην οποία κινείται το σωματίδιο. Επίσης χρειάστηκε να γράψουμε dpxdpy = 2πpdp σε πολικές συντεταγμένες σε αναλογία με το dxdy = 2πrdr και να αμελήσουμε πάλι την ολοκλήρωση αφού το de είναι απειροστό διάστημα και όχι πεπερασμένο. Τώρα επειδή όπως έχουμε δει προηγουμένως ότι pdp = mde παίρνουμε τελικά: 2πmA Ω( Ε) de = de. 2 βʹ τρόπος ii) H Χαμιλτονιανή ενός ελεύθερου σωματιδίου σε δύο διαστάσεις είναι: ( 2 2 x y ) H = p + p () 2m και θεωρώντας περιοδικές συνθήκες με περίοδο L και στις δύο διευθύνσεις, οι ιδιοτιμές της ορμής είναι:

23 26 Κεφάλαιο p L L x = n2, py = n2 όπου n, n 2 = 0±, ± 2 Στο px, p y επίπεδο, η «επιφάνεια» σταθερής ενέργειας Ε είναι κύκλος ακτίνας 2mE, καθώς από την () έχουμε: x y ( 2 ) p + p = me. Για L μεγάλο, έχουμε λοιπόν ότι, ο αριθμός των μικροκαταστάσεων με ενέργειες στο διάστημα από Ε έως και Ε + de ισούται με το εμβαδόν του δακτυλίου ακτίνας p= 2mE και πάχους dp, όπου p το μέτρο της ορμής του σωματιδίου, διαιρεμένου με (/L) 2 (Σχήμα 5). Άρα: 2 2πpdp L 2πmdE ΩΕ (, de) = 2 2 ( / L) = (2) p y 2mE p x Σχήμα 5 = 2mE και pdp = mde για να περά- όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι σουμε στην τελευταία ισότητα. p 2 i) Για ένα ελεύθερο σωματίδιο στις τρεις διαστάσεις με περιοδικές συνθήκες, περιόδου L, o ζητούμενος αριθμός μικροκαταστάσεων θα είναι, σε πλήρη αναλογία με το προηγούμενο υποερώτημα, ίσος με τον αριθμό των κύβων ακμής / L που περικλείονται σε σφαιρικό φλοιό ακτίνας p και πάχους dp, δηλαδή:

24 Βασικές Αρχές της Στατιστικής /2 /2 4πp dp V2 π(2 m) E de ΩΕ (, de) = 3 3 ( / L) = (3) όπου θέσαμε p 2 3 L = V και χρησιμοποιήσαμε τη σχέση 2m = 2mE και dp = de. /2 2E Άσκηση 2 Για κλασικό ιδανικό αέριο Ν ατόμων να δειχθεί ότι ο αριθμός των μικροκαταστάσεων (στατιστικό βάρος) που αντιστοιχούν σε ενέργειες από Ε έως E+ de είναι: N 3 Ν/2 3 N/2 V π (2 me) 3NdE ΩΕ (, de) = 3N Ê3N ˆ N! Á! 2E Ë 2 όπου χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό της Γάμμα συνάρτησης n -x Γn ( + ) = n! xe dx 0 Υπόδειξη: H επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R σε χώρο n διαστάσεων είναι: n/2 nπ n- Sn ( R) = R. ( n /2)! Λύση Το στατιστικό βάρος της μακροκατάστασης του αερίου είναι εξ ορισμού Ω( Ε) de = dq 3N dqn dp dpn N! 6N E< H< E+ de dq dq dp dp = 3N N N! 3 N V V Το 3Ν-πλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τη συνθήκη E < H < E+ de. Όμως για ιδανικό αέριο N 2 N pi 2 E =  fi pi = 2mE 2m  i= i= N

25 28 Κεφάλαιο x y z Nx Ny Nz 2 fi p + p + p + + p + p + p = me. Αυτή είναι εξίσωση σφαίρας ακτίνας R= 2mE σε χώρο 3Ν διαστάσεων. Έτσι λοιπόν το ολοκλήρωμα: 3 N /2 3 3N - Nπ dq dpn = S3N( R) dr = ( 2 me) d 2mE = Ê3N ˆ Á! Ë 2 6N E< H< E+ de 3N - 3 N/ Ν/2 3 N/2 π (2 me) 2 mde π (2 me) 3ΝdE = =. (3 N / 2)! 2mE Ê3N ˆ Á!2E Ë 2 Τώρα, το κάθε ολοκλήρωμα Άρα τελικά: dq i ισούται με τον όγκο του δοχείου V. V N 3 Ν/2 3 N/2 V π (2 me) 3NdE ΩΕdE ( ) =. 3N N!(3 N / 2)! 2E Άσκηση 3 Δείξτε ότι η πιθανότητα να έχει ένα συγκεκριμένο άτομο ιδανικού αερίου ενέργεια -βε ε είναι ανάλογη του e ( β= / kt) περιοριζόμενοι στα πλαίσια της μικροκανονικής μεθοδολογίας. Λύση Έστω ότι ένα σωματίδιο έχει ενέργεια ε. Τότε το στατιστικό βάρος των υπολοίπων Ν σωματιδίων είναι ΩΕ ( -ε, Ν- ). Άρα η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο στην ενεργειακή στάθμη είναι: 3 Ν /2 ΩΕ ( -ε, Ν-) ÏΕ-ε Ï3 pε () = Ì = expì Nln( -ε/ Ε). ΩΕ (, Ν) Ó Ε Ó2 Περνώντας τώρα στο όριο ΕÆ, Ν Æ γνωρίζουμε ότι Ε 3 kt Ν Æ 2 για ιδανικό μονοατομικό αέριο. Αναπτύσσοντας το λογάριθμό και κρατώντας μόνο τον όρο που είναι γραμμικός ως προς ε/ Ε, ( ε/ Ε )

26 Βασικές Αρχές της Στατιστικής 29 Ê εˆ ε lná- ª - Ë Ε Ε έχουμε τελικά: Ï 3 ε Ê ε ˆ pε () expì- N = expá-. Ó 2 E Ë kt Άσκηση 4 Να υπολογιστεί το πλήθος των μικροκαταστάσεων, Ω0 ( Ε ), ενός ιδανικού μονοατομικού αερίου, Ν ατόμων, που αντιστοιχούν σε ενέργειες από 0 έως Ε. Αν ΩΕdE (, ) είναι το πλήθος των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν σε ενέργειες από Ε έως E+ de, όπως υπολογίστηκε στην προηγούμενη άσκηση, να συγκριθούν τα μεγέθη ln Ω0 ( Ε ), ln ΩΕ (, de ). Ποιο φυσικό συμπέρασμα προκύπτει; Λύση To πλήθος των μικροκαταστάσεων Ω0 ( Ε ) που αντιστοιχούν σε ενέργειες από 0 έως Ε ισούται με: όγκος σφαίρας στο χώρο των ορμών ακτίνας 2mE Ω0 ( Ε) = () 3 N!( / V) N O όγκος μίας 3Ν-διάστατη σφαίρας ακτίνας 2mE είναι: Άρα: R= 2mE 0 3 Ν/2 3 Ν/2 3 N/2 3Ν (2 ) π π me S3N ( R) dr = R = (3 Ν / 2)! (3 N / 2)! N 3 Ν/2 3 N/2 V π (3 me) Ω0 ( E) = (3) 3N N!(3 N /2)! Συγκρίνοντας την παραπάνω εξίσωση με την έκφραση ΩΕ ( ) της άσκησης 2 καταλήγουμε στην: Ω0( Ε)3 Ν /2 Ω( Ε, de) = de (4) Ε 3 NdE Άρα ln ΩΕ (, de) = ln Ω0 ( Ε) + ln + ln 2 E

27 30 Κεφάλαιο ln ΩΕ (, de) ª ln Ω( Ε) + ln NdE (5) E ή 0 δεδομένου ότι τόσο το Ω(Ε) όσο και το Ω0 ( Ε ) είναι μεγάλοι αριθμοί, το ln3/2 μπορεί κάλλιστα να αμεληθεί. Τώρα ΝdE de ln = ln E ε όπου ε = Ε/ Ν είναι η ενέργεια ανά σωματίδιο. Στην ακραία περίπτωση όπου το de είναι αρκετά μεγάλο ώστε να ισχύει de E = Nε, τότε: de Nε ln = ln = lnn ε ε 23 και μπορεί επίσης να αμεληθεί αυτός ο όρος (για N 0 ), στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης (5). Από την άλλη μεριά, αν το de είναι τόσο μικρό ώστε το γινόμενο των αβεβαιοτήτων ενέργειας χρόνου να πάρει την ελάχιστη τιμή, έστω de t = fi de = / t τότε: de ln ε = ln. tε Για να είναι συγκρίσιμος αυτός ο όρος με τον πρώτο όρο της εξίσωσης (5) ώστε να μην μπορεί να αμεληθεί, θα πρέπει: ln Ν 0 tε 23 δηλαδή το t θα ξεπερνά την ηλικία του σύμπαντος. Άρα λοιπόν σε κάθε περίπτωση ln ΩE (, de) ª ln Ω( E). 0 Το φυσικό συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι, η εντροπία ενός συστήματος μπορεί να υπολογιστεί είτε σαν kln Ω( Ε, dε ) είτε σαν kln Ω0 ( Ε ). Σε κάποιες ασκήσεις, η εντροπία θα υπολογίζεται σαν k επί το λογάριθμο του αριθμού των καταστάσεων του συστήματος που αντιστοιχούν σε ενέργειες από 0 έως Ε.

28 Μαθηματικό Συμπλήρωμα 87 Μαθηματικό Συμπλήρωμα Τύπος του Stirling Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων έχουμε: ln n! = Â ln x x= Για n, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το άθροισμα με ολοκλήρωμα οπότε σε πρώτη προσέγγιση: n ln n! ª ln xdx = nlnn- n+ ª nlnn-n που είναι ο τύπος του Stirling. Συνάρτηση Γάμμα Αρκετά ολοκληρώματα υπολογίζονται εύκολα με τη βοήθεια της συνάρτησης Γάμμα. Η συνάρτηση Γάμμα ορίζεται ως: Ên + ˆ xe dx= Γ n+ Á mr Ë m n -( rx) m 0 Αποδεικνύεται ότι η Γ(k) έχει την ιδιότητα: Γk ( + ) = kγ= ( k) Aν k είναι φυσικός τότε: Γk ( + ) = k! Επίσης Γ(/ 2) = π, Γ () =. n Μερικά χρήσιμα ολοκληρώματα Ολοκληρώματα της μορφής: n -αx 0 Ι = x e, α> 0 n 2 υπολογίζονται εύκολα, παραγωγίζοντας διαδοχικά ως προς α τα ολοκληρώματα: Ι0 = e dx = 0 2 π α - 2 αx, 2 -αx Ι = xe dx = 0 2α έως ότου εμφανιστεί η επιθυμητή δύναμη του x.

29 88 Μαθηματικό Συμπλήρωμα Γενικευμένο διώνυμο Newton M! M n 2 N n! n2!! n n n N! ( ) = Â N x x x x x i N όπου η άθροιση είναι πάνω σε όλους τους μη αρνητικούς ακέραιους n, n 2,, nn για τους οποίους ισχύει n+ n2 + + nn = M. Χρήσιμα αναπτύγματα σε δυναμοσειρές n N 2 3 x x x x - x = < 2 3 e x = + x+ x + x + 2! 3! 3 5 x x sin x = x ! 5! 2 4 x x cos x = ! 3 5 x 2x tan x = x Ê x x ˆ cot x = Á- - - x Ë x 2x tan x = x Ê x x ˆ cot x = x Á Ë 3 45

30 Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί 89 Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί Ορισμοί εντροπίας S = klnω Γενικευμένος ορισμός εντροπίας S =- k ln p =-k  p ln p Ορισμός θερμοκρασίας S = T E Ê S ˆ p= T Ë Á V r r r r E, N Πίεση Ê ln Z ˆ p= ktá Ë V T, N Ê lnξ ˆ p= ktá Ë V T, μ Χημικό δυναμικό Κανονική συνάρτηση επιμερισμού Ελεύθερη ενέργεια Helmoltz Μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού Μεγάλο δυναμικό Ê S ˆ μ=-τá Ë N EV, Ê ln Z ˆ μ=-kτá Ë N Z =  e - r βε r F =- ktln Z F = E- TS β Ε Ξ =  e - - Ν, Ε J =- kt ln Ξ ( μν) J = Ε-ΤS- μν J =- PV T, V

31 90 Χρήσιμες Σχέσεις Ορισμοί Μέση ενέργεια E E Ê ln Z ˆ =- Á Ë β Ê lnξ ˆ =- Á Ë β Τ, Ν λ, V Κανονική συλλογή Mεγαλοκανονική συλλογή Μέσος αριθμός σωματιδίων για μεγαλοκανονική συλλογή Ê J ˆ Ν =- Ë Á μ Τ, V

32 Κβαντικό Ιδανικό Αέριο 9 Κβαντικό Ιδανικό Αέριο 2 (2 ) /2 f ( EdE ) = (2s+ ) πv m E de σε 3 - d 3 Συνάρτηση επιμερισμού μονοσωματιδιακής στάθμης i. βμ ( - ε ι ) ± 3/2 Zi = [ ± e ] όπου + για φερμιόνια και για μποζόνια. Κατανομές Fermi-Dirac και Bose-Einstein: n = i βε ( i - μ ) e ± όπου + για κατανομή Fermi-Dirac και για Bose-Eistein. Συνάρτηση επιμερισμού κβαντικού αερίου Zi i= Ζ = Μέση ενέργεια E = Ef( E) n de Αριθμός σωματιδίων για φερμιονικό αέριο 0 N = f( E) n de. 0

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1. Ένα κιλό νερού σε θερμοκρασία 0 C έρχεται σε επαφή με μιά μεγάλη θερμική δεξαμενή θερμοκρασίας 100 C. Όταν το νερό φτάσει στη θερμοκρασία της δεξαμενής,

Διαβάστε περισσότερα

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική Η κανονική κατανομή στη κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική φυσική Βίγκα Ελένη (ttp://users.aut.gr/vinga) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια o o Μια πολύ απλή περίπτωση για να ξεκινήσουμε είναι: Na θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 DOS H DOS περιγράφει τον αριθμό των καταστάσεων που είναι προσιτές σε ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χημείας Πανεπιστήμιο Κρήτης. Εαρινό εξάμηνο 2009

Τμήμα Χημείας Πανεπιστήμιο Κρήτης. Εαρινό εξάμηνο 2009 Τμήμα Χημείας Πανεπιστήμιο Κρήτης Εργαστήριο Φυσικοχημείας Ι Στοιχεία Στατιστικής Θερμοδυναμικής Εαρινό εξάμηνο 9 Διδάσκων : Δ. Άγγλος Υπευθ. Εργαστηρίου : Ν. Στρατηγάκης Μεταπτυχιακοί : Ν. Διαμαντοπούλου,

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σημειώσεις Στατιστικής Θερμοδυναμικής. Γεώργιος Φανουργάκης

Πρόχειρες σημειώσεις Στατιστικής Θερμοδυναμικής. Γεώργιος Φανουργάκης Πρόχειρες σημειώσεις Στατιστικής Θερμοδυναμικής 1 Γεώργιος Φανουργάκης 2 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στη Στατιστική Θερμοδυναμική H Στατιστική θερμοδυναμική ή Στατιστική μηχανική είναι η εφαρμογή της θεωρίας πιθανοτήτων,

Διαβάστε περισσότερα

Α Θερμοδυναμικός Νόμος

Α Θερμοδυναμικός Νόμος Α Θερμοδυναμικός Νόμος Θερμότητα Έχουμε ήδη αναφέρει ότι πρόκειται για έναν τρόπο μεταφορά ενέργειας που βασίζεται στη διαφορά θερμοκρασιών μεταξύ των σωμάτων. Ορίζεται από τη σχέση: Έργο dw F dx F dx

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων

ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων ΜΑΘΗΜΑ - VII ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΙΙ (ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Β8 - Θερµοχωρητικοτήτες µετάλλων Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ»

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ» ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ» 1. Βασικές αρχές της θερμοδυναμικής: οι 4 νόμοι της θερμοδυναμικής, η έννοια του θερμοδυναμικού συστήματος, προσδιορισμός και ιδιότητες εντροπίας. 2. Μαθηματικός

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία

Μοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής ΠΥΡΗΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής REF: Σ. Δεδούσης, Μ.Ζαμάνη, Δ.Σαμψωνίδης Σημειώσεις Πυρηνικής Φυσικής Πυρηνικά μοντέλα Βασικός σκοπός της Πυρηνικής Φυσικής είναι η περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει το ατοµικό πρότυπο του Bohr καθώς και τα µειονεκτήµατά του. Να υπολογίζει την ενέργεια που εκπέµπεται ή απορροφάται

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου

Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου 1. Ερώτηση: Τι είναι η κβαντομηχανική; H κβαντομηχανική, είναι η σύγχρονη αντίληψη μιας νέας μηχανικής που μπορεί να εφαρμοστεί στο μικρόκοσμο του ατόμου. Σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης

Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης ΤΕΤΥ Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 2-1 Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης Εδάφια: 2.a. Η σύσταση των ατόμων 2.b. Ατομικά φάσματα 2.c. Η Θεωρία του Bohr 2.d. Η κυματική συμπεριφορά των σωμάτων: Υλικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ. Αμαλία Α. Κώνστα 1

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ. Αμαλία Α. Κώνστα 1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Αμαλία Α. Κώνστα 1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ η Έκδοση Αμαλία Α. Κώνστα Ομότιμη Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Αθήνα 015 Στη μνήμη του πατέρα μου Αναστασίου Σ. Κώνστα ΠΡΟΛΟΓΟΣ Stattcal mechanc the art of turnng

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θετ.- τεχ. κατεύθυνσης

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θετ.- τεχ. κατεύθυνσης 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θετ.- τεχ. κατεύθυνσης ΘΕΜΑ 1 ο : Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να βρείτε τη μια σωστή απάντηση: 1. Μια ποσότητα ιδανικού αέριου εκτονώνεται ισόθερμα μέχρι τετραπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς

Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς Στόχος : Να εξηγήσουμε την επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου στις Ε- Ειδικώτερα: Το δυναμικό του κρυστάλλου 1. εισάγονται χάσματα στα σημεία όπου τέμνονται

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1. Στοιχειακοί ηµιαγωγοί

Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1. Στοιχειακοί ηµιαγωγοί Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική 1 Στοιχειακοί ηµιαγωγοί Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική Οµοιοπολικοί δεσµοί στο πυρίτιο Κρυσταλλική δοµή Πυριτίου ιάσταση κύβου για το Si: 0.543 nm Εισαγωγή στη Μικροηλεκτρονική

Διαβάστε περισσότερα

2η Εργαστηριακή Άσκηση Εξάρτηση της ηλεκτρικής αντίστασης από τη θερμοκρασία Θεωρητικό μέρος

2η Εργαστηριακή Άσκηση Εξάρτηση της ηλεκτρικής αντίστασης από τη θερμοκρασία Θεωρητικό μέρος 2η Εργαστηριακή Άσκηση Εξάρτηση της ηλεκτρικής αντίστασης από τη θερμοκρασία Θεωρητικό μέρος Όπως είναι γνωστό από την καθημερινή εμπειρία τα περισσότερα σώματα που χρησιμοποιούνται στις ηλεκτρικές ηλεκτρονικές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο της άσκησης

Περιεχόμενο της άσκησης Προαπαιτούμενες γνώσεις Ημιαγωγοί Θεωρία ζωνών Ενδογενής αγωγιμότητα Ζώνη σθένους Ζώνη αγωγιμότητας Προτεινόμενη βιβλιογραφία 1) Π.Βαρώτσος Κ.Αλεξόπουλος «Φυσική Στερεάς Κατάστασης» 2) C.Kittl, «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Δεύτερη Φάση) Κυριακή, 13 Απριλίου 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: Το δοκίμιο αποτελείται από έξι (6) σελίδες και έξι (6) θέματα. Να απαντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ISBN 978-960-456-205-3 Copyright, Μάρτιος 2010, Ε. Λάμπρου, Γ. Πανταζής, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008 ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 8. Να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι συντελεστές a και b της εξίσωσης y = be a, ώστε να περιγράφει τα πειραματικά σημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1 ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Προβλήματα μεταφοράς θερμότητας παρουσιάζονται σε κάθε βήμα του μηχανικού της χημικής βιομηχανίας. Ο υπολογισμός των θερμικών απωλειών, η εξοικονόμηση ενέργειας και ο σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ. Θεωρητικη αναλυση ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΚΑ Υλικα 3ο μεροσ Θεωρητικη αναλυση μεταλλα Έχουν κοινές φυσικές ιδιότητες που αποδεικνύεται πως είναι αλληλένδετες μεταξύ τους: Υψηλή φυσική αντοχή Υψηλή πυκνότητα Υψηλή ηλεκτρική και θερμική

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f( ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F( για την οποία ισχύει F (=f(. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(= = df

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορίες για τον Ήλιο:

Πληροφορίες για τον Ήλιο: Πληροφορίες για τον Ήλιο: 1) Ηλιακή σταθερά: F ʘ =1.37 kw m -2 =1.37 10 6 erg sec -1 cm -2 2) Απόσταση Γης Ήλιου: 1AU (~150 10 6 km) 3) L ʘ = 3.839 10 26 W = 3.839 10 33 erg sec -1 4) Διαστάσεις: Η διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΟ-ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ-ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

EΡΓΟ-ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ-ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ EΡΓΟ-ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ-ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Διαδοση θερμοτητας και εργο είναι δυο τροποι με τους οποιους η ενεργεια ενός θερμοδυναμικου συστηματος μπορει να αυξηθει ή να ελαττωθει. Δεν εχει εννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23) Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Η ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Η εξίσωση αυτή εκφράζει μια σχέση μεταξύ της πίεσης, της θερμοκρασίας και του ειδικού όγκου. P v = R Όπου P = πίεση σε Pascal v = Ο ειδικός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός)

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Υπήρξε εφευρέτης του πρώτου σήματος ασυρμάτου τηλεφώνου και εκμεταλλεύτηκε εμπορικά την εφεύρεση. Ίδρυσε το 1897 την Ανώνυμη Εταιρεία Ασυρμάτου Τηλεγράφου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα