TEI Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού ΤΕ Τομέας Βιομηχανικής Πληροφορικής. Σημειώσεις ΕΥΦΥΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TEI Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού ΤΕ Τομέας Βιομηχανικής Πληροφορικής. Σημειώσεις ΕΥΦΥΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥ"

Transcript

1 TEI Πειραιά Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού ΤΕ Τομέας Βιομηχανικής Πληροφορικής Σημειώσεις ΕΥΦΥΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ ΝΤΟΥΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής 03

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή Ασαφή Σύνολα Αρχή της Επέκτασης Ασαφείς Σχέσεις και Συνθέσεις Ασαφής Αριθμητική Ασαφής Λογική Ασαφής Συλλογισμός Δομή Συστήματος Ασαφούς Λογικής Σύστημα Ασαφούς Λογικής μια Μη Γραμμική Προσέγγιση Ασαφής Συλλογισμός με τη Μέθοδο TSK Βασικά Στοιχεία Μηχανικής Μάθησης και Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Εξαγωγή Γνώσης από Δεδομένα Εισόδου Εξόδου Βελτιστοποίηση Συστημάτων Ασαφούς Λογικής Ρύθμιση των Κερδών PID Ελεγκτή με Σύστημα Ασαφούς Λογικής Βιβλιογραφία Παράρτημα...67

3 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η τεχνητή νοημοσύνη (rtificia Inteigence) είναι μια από τις νεότερες επιστήμες και αποτελεί έναν κλάδο της επιστήμης των υπολογιστών. Ουσιαστικά γεννήθηκε το 956 και ο στόχος που τέθηκε ήταν να δημιουργήσει μηχανές με σκοπό να λειτουργούν αυτόνομα μέσα σε πολύπλοκα και δυναμικά μεταβαλλόμενα περιβάλλοντα. Η θεωρία συστημάτων και ειδικότερα η θεωρία ελέγχου προσέφεραν το μαθηματικό υπόβαθρο για την προσέγγιση της λύσης αυτού του προβλήματος. Τα εργαλεία της τεχνητής νοημοσύνης χρησιμοποιήθηκαν στη θεωρία ελέγχου για να ξεπεραστούν οι μαθηματικοί περιορισμοί της θεωρίας ελέγχου. Ο συγκερασμός της τεχνητής νοημοσύνης και τα θεωρίας των συστημάτων δημιούργησε έναν νεοσύστατο επιστημονικό κλάδο αυτό της υπολογιστικής νοημοσύνης (Computationa Inteigence). Η υπολογιστική νοημοσύνη εμπεριέχει και συνδυάζει συνεργατικά τρία βασικά δομικά επιστημονικά πεδία, δηλαδή τα συστήματα ασαφούς λογικής (Fuzzy Logic Systems), τα νευρωνικά δίκτυα (Neura Networks) και τους γενετικούς αλγόριθμους (Genetic gorithms). Στο σχήμα φαίνεται ότι τα συστήματα σαφούς λογικής αναδεικνύονται μέσα από τον συγκερασμό που προκύπτει από την τομή δύο επιστημονικών κλάδων. Τεχνητή Νοημοσύνη (Πληροφορική) Θεωρία Συστημάτων Υπολογιστική Νοημοσύνη Συστήματα Ασαφούς Λογικής Νευρωνικά Δίκτυα Γενετικούς Αλγόριθμους Σχήμα. Από την τομή δύο επιστημονικών κλάδων προκύπτει ένας νέος επιστημονικός τομέας των συστημάτων ασαφούς λογικής. Ένα από τα κύρια πεδία έρευνας της τεχνητής νοημοσύνης είναι η τεχνολογία της γνώσης (Knowedge engineering). Η τεχνητή νοημοσύνη χρησιμοποιεί εξειδικευμένη γνώση (π.χ. για προβλήματα διάγνωσης) του υπό μελέτη πεδίου και τεχνικές συλλογισμού για την αναζήτηση της λύσης σε συγκεκριμένα προβλήματα. Τα συστήματα αυτά περιέχουν: βάση γνώσης (κανόνες με σύμβολα), μηχανισμό απόκτησης γνώσης, σύστημα επεξήγησης, διεπικοινωνία χρήστη με το σύστημα και έναν μηχανισμό συμπερασμού και ονομάστηκαν έμπειρα συστήματα (Epert Systems). Η γλώσσα παράστασης που χρησιμοποιείται είναι η προτασιακή λογική ή λογική Booe και για περίπλοκα περιβάλλοντα η λογική πρώτης τάξης (first-order ogic, FOL) ή κατηγορηματικός λογισμός πρώτης τάξης. Η FOL είναι η κλασική Αριστοτέλεια λογική. Παράδειγμα: Όλοι οι άνδρες είναι θνητοί. Ο Σωκράτης είναι άνδρας. Ως εκ τούτου ο Σωκράτης είναι θνητός. 3

4 Η βασική αρχή της τεχνολογίας των έμπειρων συστημάτων είναι η συλλογική ανθρώπινης γνώσης και μέσα από τον μηχανισμό συλλογισμού να παράγεται ένα συμπέρασμα όμοιο με αυτό του εμπειρογνώμονα. Το λογισμικό των συμβατικών υπολογιστικών συστημάτων είναι η «εξίσωση» Δεδομένα + αλγόριθμος = Λογισμικό Στην τεχνητή νοημοσύνη η εξίσωση μετασχηματίζεται ως Γνώση + Μηχανισμός Συμπεράσματος = Έμπειρο Σύστημα Ένα σημαντικό στοιχείο αυτής της διαδικασίας είναι η παράσταση της αβεβαιότητας (uncertainty) που υπάρχει στην ανθρώπινη γνώση. Η διαχείριση της αβεβαιότητας μπορεί να προσεγγιστεί με διάφορες μεθοδολογίες όπως: Δίκτυα Bayes, θεωρία Dempster-Shafer, ασαφής λογική και εμπειρικές τεχνικές. Η ασαφής λογική είναι μια αναγκαία συνθήκη αλλά όχι ικανή για να εντοπίσει λύσεις γενικότερα στα προβλήματα της τεχνητής νοημοσύνης όπως για παράδειγμα η αναγνώριση προτύπων (Zadeh). Η τεχνητή νοημοσύνη σήμερα μελετά ορθολογικούς ή ευφυείς πράκτορες (Inteigent agents) οι οποίοι προσλαμβάνουν αντιλήψεις από το περιβάλλον και πραγματοποιούν συγκεκριμένες ενέργειες. Η υπολογιστική νοημοσύνη για τον επιτυχή σχεδιασμό ευφυών συστημάτων χωρίς την ύπαρξη μαθηματικού προτύπου (mode-free) συνδυάζει υποκειμενική γνώση (γλωσσική πληροφορία) και κανόνες που προκύπτουν από αριθμητικά δεδομένα του συστήματος. Η μεθοδολογία η οποία έχει συμβάλλει στην υλοποίηση mode-free συστημάτων είναι η ασαφής λογική. Η ασαφής λογική προέκυψε από τη θεωρία των ασαφών συνόλων. Ο μηχανισμός συμπεράσματος χρησιμοποιεί muti-vaued λογική (ασαφής λογική) και έτσι ξεφεύγει από τα στενά πλαίσια της Αριστοτέλειας λογικής και έρχεται κοντύτερα στο ανθρώπινο συλλογισμό. Στην υπολογιστική νοημοσύνη η παραπάνω εξίσωση διαμορφώνεται ως Πληροφορία (αριθμητική και γλωσσική) + Ασαφής Μηχανισμός Συμπεράσματος = Σύστημα Ασαφούς Λογικής Μια πρώτη αίσθηση του ασαφούς συνόλου Έστω ότι το υπερσύνολο αναφοράς U περιλαμβάνει τους αριθμούς 3,4,5,6,7 και 8. Στο U ορίζουμε το κλασικό-σαφές μονοσύνολο Α={/5} το οποίο περιλαμβάνει τον αριθμό 5 με βαθμό συμμετοχής. Εάν χρησιμοποιήσουμε την έκφραση «οι ακέραιοι αριθμοί κοντά στο 5» τότε μπορούμε να ορίσουμε ένα ασαφές σύνολο τα οποίο να περιλαμβάνει και τους ακέραιους αριθμούς 3,4,6,7 που είναι κοντά στο 5 με βαθμούς συμμετοχής μικρότερους από το. Για παράδειγμα Α = {0.5/ /4 + / / /7 + 0/8} 4

5 Υπερσύνολο αναφοράς U Ασαφές σύνολο Ασαφές όριο Σαφές σύνολο Α Σχήμα. Διάγραμμα Venn ασαφούς συνόλου. Το ασαφές σύνολο μπορεί να θεωρηθεί ως ένας ασαφής αριθμός (fuzzy number) που περιγράφεται με τη γλωσσική τιμή «περίπου 5». Οι γλωσσικές τιμές της γλωσσικής μεταβλητής ύψος ανθρώπου είναι οι όροι «κοντός» και «ψηλός» άνθρωπος. Οι όροι αυτοί στην κλασική θεωρία των συνόλων περιγράφονται από δύο διαστήματα π.χ. [0,.85] και [.85,.0]. Όμως το καθοριστικό όριο του διαχωρισμού της έννοιας κοντός και ψηλός έχει καθοριστεί στο.85 υποκειμενικά. Επομένως μια περισσότερο πραγματική παράσταση, η οποία θα αντιπροσώπευε ίσως περισσότερους ανθρώπους, θα ήταν μια προοδευτική μετάβαση από την έννοια του κοντού στην έννοια του ψηλού (Σχήμα 3). Γα να επιτευχθεί αυτό εισάγουμε την έννοια του βαθμού συμμετοχής στο σύνολο [0,]. Συνάρτηση συμμετοχής Συνάρτηση συμμετοχής Κοντοί.85 Ψηλοί.85 Συνάρτηση συμμετοχής Κοντοί Ψηλοί Σχήμα 3. Κλασικά και ασαφή σύνολα που περιγράφουν τις γλωσσικές τιμές «κοντός και ψηλός άνθρωπος» της γλωσσικής μεταβλητής ύψος. 5

6 . Ποια είναι τα κύρια ερευνητικά πεδία της ασαφούς θεωρίας συνόλων; Όλες οι θεωρίες και τα συστήματα που χρησιμοποιούν τη θεμελιώδη έννοια του ασαφούς συνόλου και της συνάρτησης συμμετοχής ανήκουν στο πλαίσιο της θεωρίας ασαφών συνόλων.. Ασαφή Μαθηματικά (ασαφή σύνολα, ασαφείς σχέσεις και μετρήσεις, ασαφής τοπολογία, ανάλυση διαστημάτων κ.α.).. Συστήματα Ασαφούς Λογικής Ασαφής έλεγχος Ασαφής επεξεργασία σήματος Ασαφής Μοντελοποίηση Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες 3. Ασαφής Λήψη Αποφάσεων (Ασαφής μαθηματικός προγραμματισμός, πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση κ.α.). 4. Αβεβαιότητα και Πληροφορία (Μέτρηση της αβεβαιότητας, θεωρία δυνατότητας κ.α.). 5. Ασαφής Λογική και Τεχνητή Νοημοσύνη (Προσεγγιστικός συλλογισμός, ασαφή έμπειρα συστήματα κ.α.).. Ιστορική εξέλιξη της θεωρίας των ασαφών συνόλων Το 937, ο φιλόσοφος Μαξ Μπλακ (Ma Back), παρουσίασε το πρώτο ασαφές σύνολο, που είχε την ίδια μορφή με τα ασαφή σύνολα που χρησιμοποιούμε σήμερα. Το ονόμασε αόριστο σύνολο. Επίσης όρισε και το αντίστροφο σύνολο ενός αόριστου συνόλου. Ο Μπλακ, έδειξε ότι τα αόριστα σύνολα ταιριάζουν με τις έννοιες που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας ζωή. Όλες αυτές οι εργασίες, έμειναν άγνωστες για πολύ καιρό. Αυτό γιατί η ιδέα ότι μπορεί κάτι να είναι αλήθεια και να μην είναι αλήθεια, ήταν επαναστατική, προκλητική και επομένως πολύ δύσκολο να γίνει αποδεκτή. Η θεμελίωση του ασαφούς ελέγχου και γενικότερα της ασαφούς λογικής, έγινε με την θεωρία των ασαφών συνόλων (Fuzzy set theory), που δημοσίευσε για πρώτη φορά ολοκληρωμένη, στην σημερινή της μορφή, ο Zadeh. Ιστορικά, έχουν γίνει και άλλες προσπάθειες προσέγγισης αυτής της λογικής, κυρίως σε θεωρητικό επίπεδο, οι οποίες δεν έτυχαν ιδιαίτερης προσοχής. Δεκαετία του 960: Η ασαφής θεωρία ξεκίνησε με τον καθορισμό των ασαφών συνόλων από τον Lotfi Zadeh. Δεκαετία του 970: Εφαρμογές της ασαφούς λογικής στην Ευρώπη (974: Ασαφής ελεγκτής Mamdani). Δεκαετία του 980: Ασαφής μοντελοποίηση (TSK mode) με πληθώρα εφαρμογών στην Ιαπωνία. 6

7 Δεκαετία του 990: Ευρεία βιομηχανική εφαρμογή των ασαφών συστημάτων στην Ευρώπη και στις Ηνωμένες Πολιτείες. Συνέργια Νευρωνικών Δικτύων, Γενετικών Αλγόριθμων και Ασαφών Συστημάτων. 000-σήμερα: Η ασαφής θεωρία γίνεται επιστήμη και εφαρμόζεται σε ποικίλους επιστημονικούς τομείς: Αυτόματος έλεγχος, Αναγνώριση προτύπων, Επιχειρησιακή έρευνα, Διοικητική και Οικονομική επιστήμη..3 Η αρχή της ασυμβατότητας (Principe of incompatibiity) Η αρχή αυτή διατυπωμένη από τον Zadeh λέει ότι: Καθώς η πολυπλοκότητα ενός συστήματος αυξάνει μειώνεται η ικανότητά μας να προβούμε σε ακριβείς και σημαντικές περιγραφές όσον αφορά τη συμπεριφορά του συστήματος μέχρι που φθάνουμε σε ένα όριο πέρα από το οποίο τα χαρακτηριστικά της ακρίβειας και της σημαντικότητας γίνονται σχεδόν αμοιβαία αποκλειόμενα. Στο διάγραμμα του σχήματος 4 φαίνεται η αρχή της ασυμβατότητας δηλαδή δείχνει τελικά ότι τα συστήματα ασαφούς λογικής αντιμετωπίζουν την πολυπλοκότητα του συστήματος χωρίς να μειώνεται σημαντικά η ακρίβεια της περιγραφής του. Ανακρίβεια μοντέλου Μαθηματικές εξισώσεις Μέθοδοι άνευμοντέλου (ΝΔ) Συστήματα ασαφούς λογικής Πολυπλοκότητα συστήματος Σχήμα 4. Διάγραμμα σχέσεως πολυπλοκότητας συστήματος και ανακρίβειας μοντέλου με μεθοδολογίες περιγραφής του. Η αύξηση της μαθηματικής ακρίβειας στην περιγραφή ενός συστήματος αυξάνει εκθετικά τα κόστος υλοποίησης της προτεινόμενης λύσης. Είναι δηλαδή πολύ ακριβή λύση για να είναι πρακτικά εφαρμόσιμη (Σχήμα 5). Παράδειγμα: Ένας οδηγός χρειάζεται λιγότερο από ένα λεπτό γι να παρκάρει σε μια θέση. Θα ήθελε πολύ περισσότερο χρόνο εάν του λέγαμε να παρκάρει στην ίδια θέση αλλά με ακρίβεια 0.0 mm από τη διαχωριστική γραμμή και οι τροχοί να στρίψουν κατά 0.0 μοίρες δεξιά. Ερώτηση: Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του κόστους μιας ασαφούς προσέγγισης και μιας κλασικής προσέγγισης. 7

8 Απάντηση: Υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των θεωρητικώς δυνατών λύσεων και των πρακτικώς εφικτών (Hirota, NS 99) Κόστος και πρακτικότητα Κόστος Ωφέλεια Μη ακρίβεια Ακρίβεια Σχήμα 5. Διάγραμμα που δείχνει τα σχέση ακρίβειας της περιγραφής το συστήματος με το κόστος και την ωφέλεια..4 Η έννοια της αβεβαιότητας (uncertainty) Στις αρχές του 9 ου αιώνα οι επιστήμονες πίστευαν ότι η κλασική μηχανική μπορούσε να λύσει τα προβλήματα τα κίνησης των σωμάτων. Όταν όμως αντιμετώπισαν ν- σώματα (κίνηση μορίων σε αέρια) η κλασική μηχανική δε μπόρεσε να εφαρμοστεί και οδηγήθηκαν στη στατιστική μηχανική. Δηλαδή αποδέχτηκαν το γεγονός ότι δεν μπορούμε να μιλάμε για κάτι με την καθιερωμένη ακρίβεια αλλά μιλάμε για αυτό στατιστικά. Η θεμελίωση της κβαντομηχανικής ουσιαστικά ξεκίνησε με τον όρο αβεβαιότητα και μη ακρίβεια. Ο Heisenberg διατύπωσε την αρχή της αβεβαιότητας (97) Είναι αδύνατο να προσδιορίσουμε με ακρίβεια συγχρόνως τη θέση και την ορμή ενός μικρού σωματιδίου (π.χ. ηλεκτρόνιο). Την ίδια εποχή ο Schrodinger υιοθετώντας την αρχή της αβεβαιότητας και την αρχή του De Brogie έδωσε την περίφημη κυματική εξίσωση καταρρίπτοντας όλα τα ατομικά πρότυπα της εποχής. Η κυματική εξίσωση δίνει λύσεις για υδρογονοειδή άτομα δηλαδή άτομα με ένα ηλεκτρόνιο στην εξωτερική στιβάδα. Για πολυ-ηλεκτρονιακά άτομα η κυματική εξίσωση δίνει λύσεις κατόπιν κατάλληλων προσεγγίσεων. Σήμερα το ίδιο συμβαίνει και με την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων. Αποδεχόμαστε δηλαδή την αριθμητική λύση τους. Όπως διαπιστώνουμε η αβεβαιότητα ενυπάρχει στα φυσικά συστήματα και συνυπάρχει και στις έννοιες των λέξεων που χρησιμοποιούμε καθημερινά. Πριν αναφέρουμε τους τύπους των αβεβαιοτήτων που συναντούμε σε πραγματικά προβλήματα είναι σημαντικό να κατανοηθεί η διαφορετικότητα εννοιολογικά κρίσιμων όρων: η ασάφεια (fuzziness), το τυχαίο (randomness) και η πιθανότητα (probabiity). 8

9 Ασάφεια (Fuzziness): H ασάφεια μετρά το βαθμό στο οποίο ένα γεγονός συμβαίνει. Περιγράφει ένα αμφίβολο γεγονός (event ambiguity). Τυχαίο (Randomness): Περιγράφει την αβεβαιότητα της ύπαρξης ενός γεγονότος (event occurrence). Ένα γεγονός συμβαίνει ή όχι. Πιθανότητα (Probabiity): Περιγράφει ένα γεγονός με συχνότητες..4. Ποια είναι η σχέση ασάφειας και πιθανότητας Ερώτηση: Μήπως τα ασαφή σύνολα είναι στατιστικά μοντέλα έντεχνα παραλλαγμένα; Απάντηση: Έστω το σύνολο Π = {όλα τα κατάλληλα πόσιμα ποτά}. Σ ένα τραπέζι υπάρχουν δύο δοχεία που έχουν κάποια ποτά Α και Β. Η ετικέτα στο ένα δοχείο γράφει μ(αєπ) = 0.9 όπου μ είναι η συνάρτηση συμμετοχής και στο άλλο P(ΒЄΠ) = 0.9 όπου P είναι η πιθανότητα. μ(αєπ) = 0.9: σημαίνει ότι το ποτό που έχει το πρώτο δοχείο συμμετέχει στο σύνολο Π με βαθμό συμμετοχής 0.9. P(ΒЄΠ) = 0.9: σημαίνει ότι η πιθανότητα να είναι το περιεχόμενο του δεύτερου δοχείου πόσιμο ποτό είναι 9%, δηλαδή υπάρχει ένα ποσοστό 9% να είναι μη πόσιμο (Θειικό οξύ). Επομένως κάποιος διαβάζοντας τις ετικέτες θα άνοιγε για να πιει προφανώς το πρώτο δοχείο με μ(αєπ) = 0.9. Αν ανοίξουμε τα δοχεία και διαπιστώσουμε ότι το υγρό Α είναι μπύρα και το υγρό Β είναι θειικό οξύ τότε μετά την παρατήρηση θα έχουμε μ(αєπ) = 0.9 και P(ΒЄΠ) = 0. Συμπέρασμα: Στο παράδειγμα αυτό έχουμε δύο είδη πληροφορίας: ο είδος πληροφορίας: η ασαφής συμμετοχή σε ένα σύνολο περιγράφει ομοιότητες αντικειμένων. ο είδος πληροφορίας: Η πιθανότητα περιέχει πληροφορία με σχετικές συχνότητες..4. Τύποι αβεβαιότητας Η αβεβαιότητα ενυπάρχει στις καθημερινό μας λεξιλόγιο και όπως δήλωσε και ο J. Mende words mean different things to different peope. Συνεπώς τα ασαφή σύνολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν την αβεβαιότητα και έτσι να κάνουμε υπολογισμούς με λέξεις. Οι τύποι αβεβαιότητας είναι τρεις:. Fuzziness (Vagueness): οι έννοιες των λέξεων που χρησιμοποιούνται στα αίτια και στα αποτελέσματα των κανόνων μπορεί να είναι αβέβαιες.. Non specificity (information-based imprecision): πιθανές αβεβαιότητες. η αβεβαιότητα μπορεί να οφείλεται στο θόρυβο των μετρήσεων που ενεργοποιούν το σύστημα ασαφούς λογικής.. Η αβεβαιότητα μπορεί να οφείλεται στο θόρυβο των δεδομένων εκπαίδευσης (training data) που χρησιμοποιούνται για να ρυθμιστούν οι παράμετροι του συστήματος ασαφούς λογικής. 9

10 3. Strife (discord) (διαφωνία-ασυμφωνία): τα συμπεράσματα των κανόνων μπορεί να έχουν ένα ιστόγραμμα τιμών ειδικά όταν η γνώση λαμβάνεται από μια ομάδα εμπειρογνωμόνων και οι οποίοι δεν συμφωνούν. Ασαφείς έννοιες στην τεχνολογία Υπάρχουν αρκετοί τεχνολογικοί όροι που χρησιμοποιούνται ευρέως στον έλεγχο, στην επεξεργασία σήματος και τις τηλεπικοινωνίες τους οποίους συχνά επικαλούμαστε με ασαφές περιεχόμενο. Η συσχέτιση είναι ένας όρος που υπολογίζεται με ακρίβεια από μαθηματικό τύπο. Εάν η συσχέτιση κανονικοποιηθεί στο διάστημα [0,] και για ένα σύνολο δεδομένων υπολογίσουμε την συσχέτιση 0. τότε συνήθως λέμε τα δεδομένα αυτά έχουν χαμηλή συσχέτιση. Η ευστάθεια είναι και αυτός ένας όρος ο οποίος συχνά περιγράφεται με τα βαθμό της σχετικής ευστάθειας. Παράδειγμα: ένα σύστημα έχει δύο μιγαδικούς πόλους και συντελεστή απόσβεσης 0.4. Το σύστημα το χαρακτηρίζουμε με μικρή απόσβεση. Άρα έχουμε ασαφοποιήσει τον αριθμό 0.4 στο ασαφές σύνολο «μικρή απόσβεση». Το σφάλμα σχολιάζεται με ασαφείς έννοιες όπως: μικρό, μεγάλο, σχεδόν μηδέν πολύ μεγάλο κ.α. Η συχνότητα και η ανάλυση χαρακτηρίζεται ως υψηλή, χαμηλή. Για τη δειγματοληψία χρησιμοποιούμε χαμηλού ρυθμού, υψηλού ρυθμού κ.α..5 Γιατί χρησιμοποιούνται Συστήματα Ασαφούς Λογικής Για σύνθετα και πολύπλοκα συστήματα για τα οποία διαθέτουμε λίγα αριθμητικά δεδομένα και αμφίβολη μη ακριβή πληροφορία ο ασαφής συλλογισμός μας δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσουμε τη συμπεριφορά του συστήματος. Τα συστήματα ασαφούς λογικής μπορούν να συνδυάσουν δύο διαφορετικά είδη πληροφορίας για το σύστημα. Το ένα είδος πληροφορίας είναι αριθμητικό και προέρχεται από τις μετρήσεις των αισθητήρων και το άλλο είδος της πληροφορίας προέρχεται από τη γνώση των εμπειρογνωμόνων του συστήματος και εκφράζεται με φυσική γλώσσα.6 Τι είναι τα Συστήματα Ασαφούς Λογικής Τα συστήματα ασαφούς λογικής ανήκουν στην κατηγορία των ευφυών συστημάτων και βρίσουν εφαρμογή σε πολλά πρακτικά προβλήματα. Τα συστήματα αυτά βασίζονται σε γνώση. Ένα παράδειγμα ασαφούς κανόνα: Εάν η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι μεγάλη Τότε εφάρμοσε μικρή επιτάχυνση () όπου ο λέξεις μεγάλη και μικρή μοντελοποιούνται με ασαφή σύνολα. Το σύστημα σαφούς λογικής περιέχει ένα σύνολο τέτοιων κανόνων 0

11 Οι τύποι των συστημάτων ασαφούς λογικής είναι τρεις: ) θεωρητικά ασαφή συστήματα, ) Takagi-Sugeno-Kang ασαφή συστήματα και 3) ασαφή συστήματα με ασαφοποιητή και αποασαφοποιητή. ) Θεωρητικά ασαφή συστήματα Τα συστήματα αυτά έχουν είσοδο και έξοδο ασαφή σύνολα. Στα τεχνολογικά προβλήματα όμως οι είσοδοι και ο έξοδοι είναι πραγματικές τιμές. Οι κανόνες σε αυτόν τον τύπο συστήματος είναι της μορφής (). Εάν χρησιμοποιείται και η ανάδραση τότε το μετατρέπει σε ασαφές δυναμικό σύστημα. Ασαφείς Κανόνες (Τύπου ) Ασαφή σύνολα n στο U R Μηχανή Ασαφούς Συλλογισμού (Mamdani) Ασαφή σύνολα στο U R Σχήμα 6. Διάγραμμα θεωρητικού συστήματος ασαφούς λογικής. ) Συστήματα ασαφούς λογικής Tagaki-Sugeno-Kang (TSK) Το πρόβλημα της πρώτης κατηγορίας ασαφών συστημάτων επιλύθηκε από το TSK. Οι κανόνες τώρα είναι της μορφής: Εάν η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι μεγάλη Τότε η επιτάχυνση είναι y=c () όπου c είναι μια σταθερά. Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα του κανόνα τώρα είναι μια μαθηματική σχέση και δεν περιέχει ανθρώπινη γνώση. Ένα άλλο πρόβλημα με τους TSK είναι ότι δεν υπάρχει η δυνατότητα εφαρμογής διαφορετικών μεθοδολογιών ασαφούς συλλογισμού. Στον αντίποδα αυτών το TSK συνδυάζει ευκολότερα τους κανόνες. Ασαφείς Κανόνες (Τύπου ) Μετρήσεις n R Μηχανή Ασαφούς Έξοδος y R Συλλογισμού (TSK) Σχήμα 7. Διάγραμμα συστήματος ασαφούς λογικής TSK.

12 3) Συστήματα ασαφούς λογικής με ασαφοποιητή και αποασαφοποιητή Τα μειονεκτήματα του θεωρητικού ασαφούς συστήματος και του TSK υπερκαλύπτονται με το ασαφές σύστημα εφοδιασμένο με ασαφοποιητή και αποασαφοποιητή. Η σημαντική συνεισφορά των συστημάτων ασαφούς λογικής είναι ότι αυτά παρέχουν μια συστηματική διαδικασία μετασχηματισμού μιας βάσης γνώσης σε μια μη γραμμική απεικόνιση. y=f() Ασαφείς κανόνες Μετρήσεις Ασαφοποιητής Αποασαφοποιητής Έξοδος Ασαφή σύνολα εισόδου Μηχανή ασαφούς συλλογισμού Ασαφές σύνολο εξόδου Σχήμα 8. Διάγραμμα συστήματος ασαφούς λογικής με ασαφοποιητή και αποασαφοποιητή..7 Πού χρησιμοποιούνται Συστήματα Ασαφούς Λογικής. Συστήματα ελέγχου (έλεγχος αεροσκαφών-rockwe Corp.). Συστήματα πρόβλεψης (μετεωρολογικές παράμετροι) πρόγνωση σεισμών 3. Επεξεργασία σήματος και εικόνας 4. Τηλεπικοινωνίες 5. Κατασκευή ολοκληρωμένων κυκλωμάτων 6. Έμπειρα συστήματα σε διάφορους επιστημονικούς τομείς όπως Διοίκηση επιχειρήσεων Ιατρική Οικονομία Ψυχολογία 7. Αναγνώριση προτύπων 8. Ρομποτική 9. Εφαρμογές στη βιομηχανία τσιμέντου, στη βιομηχανία χημικών διεργασιών, στα κτήρια (κλιματισμός Mitsubishi, αντισεισμικά συστήματα ελέγχου), στα τραίνα της Ιαπωνίας (Sendai) κ.α.

13 0. Καταναλωτικά προϊόντα Πλυντήρια (Matsushita, Hitachi) Σταθεροποιητές ψηφιακής εικόνας (Panasonic, Sanyo) Αυτοκίνητα (κλιματισμός, αμορτισέρ, BS, κατανάλωση καυσίμου) Τηλεόραση (Sony). Ευφυείς πράκτορες (Inteigent agents). Ευφυείς πράκτορες μοντελοποιούν συναισθήματα 3

14 . ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Βασικοί ορισμοί και ορολογία Η επέκταση ενός κλασικού συνόλου σε ασαφές σύνολο όσον αφορά τις συναρτήσεις συμμετοχής είναι συγκρίσιμη με την επέκταση του συνόλου των ακεραίων Ζ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R. Έτσι η διαστολή του πεδίου τιμών της συνάρτησης συμμετοχής από το {0,} στο [0,] είναι ανάλογη με την επέκταση από το Ζ στο R. Τα ασαφή σύνολα πρότειναν έναν εναλλακτικό τρόπο σε σχέση με τη θεωρία των πιθανοτήτων για τη μοντελοποίηση της αβεβαιότητας αμφισβητώντας την Αριστοτέλεια λογική. Με τα ασαφή σύνολα μπορούμε να επιτύχουμε: μοντελοποίηση της αβεβαιότητας και παράσταση υποκειμενικής ανθρώπινης γνώσης. Εάν Χ (universe of discourse) είναι μια συλλογή αντικειμένων που καθορίζονται με τη μεταβλητή, τότε ένα ασαφές σύνολο Α στο Χ ορίζεται από ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών: = {(, µ ( ) X )} όπου µ Α ( ) ονομάζεται συνάρτηση συμμετοχής (membership function, MF) για το σύνολο Α. Η MF απεικονίζει σε κάθε στοιχείο του Χ έναν βαθμό ή τιμή συμμετοχής μεταξύ 0 και. Συνάρτηση συμμετοχής µ του συνόλου είναι η συνάρτηση που δίνει το βαθμό συμμετοχής των στοιχείων του υπερσυνόλου αναφοράς στο σύνολο. Έστω το διακριτό υπερσύνολο αναφοράς Χ με στοιχεία i. Αν το ανήκει στο X, τότε αυτό περιγράφεται με ζευγάρια των στοιχείων και του αντίστοιχου βαθμού συμμετοχής τους στο σύνολο: µ ( ) µ ( ) = + + Τα στοιχεία που έχουν βαθμό συμμετοχής 0, δεν είναι απαραίτητο να σημειώνονται. Το σύμβολο + στην παραπάνω εξίσωση, σημαίνει ένωση και όχι πρόσθεση, ενώ το σύμβολο του κλάσματος δε σημαίνει διαίρεση, απλώς χρησιμοποιείται για να προσδιορίζουμε σε ποιο στοιχείο του X, αντιστοιχεί ο κάθε βαθμός συμμετοχής. Για παράδειγμα, εάν το σύνολο έχει ως στοιχεία δύο αριθμούς, έστω τον αριθμό με βαθμό συμμετοχής µ () = 0.8 και τον αριθμό με µ () = 0.4, τότε ɶ = {0.8 /+ 0.4 / } Αν το X είναι συνεχές, τότε το συμβολίζεται ως: µ ( ) = ή Χ µ ( ) = S 4

15 Το σύμβολο του ολοκληρώματος εκφράζει το σύνολο και δεν έχει την έννοια του ολοκληρώματος. Το S καλείται σύνολο στήριξης (support set) του συνόλου και είναι το σύνολο των του X για τα οποία ισχύει µ ( ) > 0. support( ) = { µ ( ) > 0} Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται ένα διακριτό σύνολο = {0./ + 0.5/ / + / / / + 0./ } και ένα συνεχές με συνάρτηση συμμετοχής: ( ) µ = e ì ì Σχήμα 9. Διακριτό ( ) και συνεχές ( ) ασαφές σύνολο. Γλωσσικές μεταβλητές και γλωσσικές τιμές Υποθέτουμε τη γλωσσική μεταβλητή Χ όπου Χ = θερμοκρασία. Η γλωσσική μεταβλητή Χ μπορεί να πάρει διαφορετικές γλωσσικές τιμές: υψηλή, χαμηλή κ.α. Δηλαδή η έκφραση η θερμοκρασία είναι χαμηλή σημαίνει ότι έχουμε καταχωρίσει τη γλωσσική τιμή χαμηλή στη γλωσσική μεταβλητή θερμοκρασία. Επομένως μπορούμε να καθορίσουμε ασαφή σύνολα με ονόματα υψηλή θερμοκρασία (ΥΘ), χαμηλή θερμοκρασία (ΧΘ) και µ ΥΘ ( ), µ ( ) X Θ τα αντίστοιχα ασαφή σύνολα που να καθορίζουν πλήρως τις αντίστοιχες γλωσσικές τιμές. Παράδειγμα: Έστω ότι η μέτρηση της θερμοκρασίας σε ένα σύστημα θεωρείται ικανοποιητική μεταξύ 40 ο C και 60 ο C. Κάτω από τους 40 ο C η θερμοκρασία θεωρείται χαμηλή και πάνω από τους 60 ο C θεωρείται υψηλή. Στο σχήμα 0 δίνονται οι συναρτήσεις συμμετοχής που ικανοποιούν τις παραπάνω γλωσσικές τιμές. Στο σχήμα αυτό ορίζεται μερικές βασικές έννοιες όπως η στήριξη, ο πυρήνας και τα σημεία καμπής ενός ασαφούς συνόλου που αποτελούν βασική ορολογία στη βιβλιογραφία. 5

16 crossover point crossover point Membersip grades support core Temperature Σχήμα 0. Συναρτήσεις συμμετοχής των ασαφών συνόλων υψηλή θερμοκρασία και χαμηλή θερμοκρασία. Η στήριξη (support) του ασαφούς συνόλου Χ είναι ένα σύνολο σημείων στο X τέτοιων ώστε µ Α ( ) > 0 ήτοι support() = { ( ) > 0} Ο πυρήνας (core) ενός ασαφούς συνόλου είναι το σύνολο όλων των σημείων στο X έτσι ώστε µ Α ( ) =, core( ) = { ( ) = } µ Α Ένα ασαφές σύνολο έχει την ιδιότητα της κανονικότητας (normaity) εάν ο πυρήνας του δεν είναι το κενό σύνολο, δηλαδή υπάρχει ένα σημείο X τέτοιο ώστε µ Α ( ) =. Το σημείο του ασαφούς συνόλου στο οποίο συμβαίνει µ Α ( ) > 0.5 ονομάζεται σημείο καμπής ή σημείο διασταυρώσεως (crossover point) ήτοι crossover ( ) = { ( ) = 0.5}. µ Α Σ ένα ασαφές σύνολο του οποίου η στήριξη είναι ένα σημείο =α στο X με µ Α ( a) = ονομάζεται ασαφές μονοσύνολο (fuzzy singeton). µ Α μ Α () α Σχήμα. Ασαφές μονοσύνολο. 6

17 Το μέτρο (cardinaity) ή η πληθικότητα ενός ασαφούς συνόλου ορίζεται ως η ποσότητα = µ ( ) όπου U το διακριτό υπερσύνολο αναφοράς. Επίσης U U = πλήθος των στοιχείων του U. Το σχετικό μέτρο ενός ασαφούς συνόλου ορίζεται ως η ποσότητα =. U Ένα ασαφές σύνολο καλείται κυρτό ήτοι η συνάρτηση συμμετοχής µ Α ( ) είναι κυρτή καμπύλη όταν και μόνον όταν µ [ λ + ( λ ) ] min( µ ( ), µ ( )) λ (0,) α-cuts ή eve sets: ένα α-cut είναι ένα σαφές σύνολο το οποίο περιέχει τα στοιχεία του ασαφούς συνόλου με βαθμό συμμετοχής τουλάχιστον α. Μια α-τομή ορίζεται ως εξής: α = { U, µ ( ) α} όπου 0 < α Παράδειγμα: Θεωρούμε ένα ασαφές σύνολο Α των «μικρών ακεραίων» = Τότε το 0.5-cut του Α είναι απλά το σαφές σύνολο a = {,,3, 4}. Οι α-τομές προσφέρουν μια άλλη μέθοδο για την αναλυτική παράσταση οποιουδήποτε ασαφούς συνόλου: µ ( ) = ( α µ ( )) 0< α Οι α-τομές θα αναφερθούν αναλυτικά στο κεφάλαιο της ασαφούς αριθμητικής. α Περιγραφή συναρτήσεων συμμετοχής Η δυνατότητα χρησιμοποίησης παραμετροποιημένων συναρτήσεων για τον καθορισμό συναρτήσεων συμμετοχής (Membership Function) είναι πολύ σημαντική στο σχεδιασμό προσαρμοζόμενων ασαφών συστημάτων (daptive Fuzzy Systems).. Τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής. Μια τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από τρεις παραμέτρους (a, b, c), οι οποίες ορίζουν τις τετμημένες των τριών γονιών (corner). Το b είναι η κορυφή του τριγώνου (ape of the triange) όπου µ Α ( b) =. a c triange( ; a, b, c) = ma(min(, ),0) b a c b 7

18 μ Α () α b c Σχήμα. Ασαφές σύνολο με τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής.. Τραπεζοειδής συνάρτηση συμμετοχής. Μια τραπεζοειδής συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από τέσσερις παραμέτρους (a, b, c, d), οι οποίες ορίζουν τις τετμημένες των τεσσάρων γονιών (corner). Έχουμε µ Α ( ) = για b c. a d trapezoid( ; a, b, c, d) = ma(min(,, ),0) b a d c μ Α () α b c d Σχήμα 3. Ασαφές σύνολο με τραπεζοειδή συνάρτηση συμμετοχής. Οι παραπάνω συναρτήσεις συμμετοχής χρησιμοποιούνται ευρέως σε πραγματικού χρόνου εφαρμογές εξαιτίας της υπολογιστικής τους απλότητας. Επειδή οι συναρτήσεις αυτές δεν είναι ομαλές (smooth) στα σημεία καμπής (switching points) εισάγονται άλλοι τύποι συναρτήσεων συμμετοχής που είναι ομαλές και μη γραμμικές. 3. Γκαουσιανή συνάρτηση συμμετοχής. Μια Gaussian συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από δύο παραμέτρους (σ, c). ( c) { [ ] } σ gaussian( ; σ, c) = e όπου c είναι το κέντρο της συνάρτησης συμμετοχής και το σ καθορίζει το εύρος της. Ένα παράδειγμα Γκαουσιανής συνάρτησης με c=0 και τυπική απόκλιση σ=. 8

19 Σχήμα 4. Γκαουσιανή ή ακτινική συνάρτηση ( y = e ). 4. Γενικευμένη Be συνάρτηση συμμετοχής. Μια γενικευμένη Be συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από τρεις παραμέτρους (a, b, c), όπου η παράμετρος b είναι συνήθως θετική. be( ; a, b, c) = c + a Στη συνάρτηση αυτή ρυθμίζοντας τις παραμέτρους α και c μεταβάλλονται το κέντρο και το εύρος της συνάρτησης συμμετοχής. Η παράμετρος b καθορίζει τις κλίσεις στα crossover points της καμπύλης. Ένα παράδειγμα be με c=50, a=0 και b=4. b = (0 : 0.:00) y = + ^./( ( abs( 50) / 0). 8) pot(, y) saveas(,'c:\figure','eps') 9

20 a=30 a= Σχήμα 5. Γενικευμένη συνάρτηση συμμετοχής be(;α,4,50). 5. Σιγμοειδής συνάρτηση συμμετοχής. Μια σιγμοειδής συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από δύο παραμέτρους (a, c). sigmoid ( ; a, c) = + ep[ a( c)] Η παράμετρος a ρυθμίζει την κλίση στο crossover point =c. Ένα παράδειγμα σιγμοειδούς συνάρτησης με c=0 και διαφορετικές τιμές κλίσεων α. Σχήμα 6. Σιγμοειδής συνάρτηση με διαφορετικές τιμές του α. y =, a = 0,, 0.6, 0.3 a + e 0

21 6. Υπερκωνική (Hyperconic) συνάρτηση συμμετοχής. Χρησιμοποιείται συχνά σε ασαφή συστήματα ελέγχου. Οι ασαφείς κανόνες που χρησιμοποιούν υπερκωνικές συναρτήσεις συμμετοχής έχουν μια τοπική επίπτωση, επειδή το σύνολο αναφοράς τους περιορίζεται σε μια κλειστή υπερσφαίρα (hyperba) ακτίνας r με κέντρο u. Η υπερκονική συνάρτηση συμμετοχής καθορίζεται από τρεις παραμέτρους (α,u,r) ως εξής: a u, for u r, a > 0 hyperconic( ; a, u, r) = r 0 αλλού Η παράμετρος u καθορίζει το κέντρο της συνάρτησης συμμετοχή και το r ορίζει το εύρος της. Πώς καθορίζονται οι συναρτήσεις συμμετοχής Υπάρχουν δύο βασικές προσεγγίσεις για να καθοριστούν οι συναρτήσεις συμμετοχής. Η πρώτη προσέγγιση είναι να χρησιμοποιηθεί η γνώση των εμπειρογνωμόνων για την προδιαγραφή της συνάρτησης συμμετοχής. Η δεύτερη προσέγγιση είναι να χρησιμοποιηθούν δεδομένα από πολλούς αισθητήρες και οι συναρτήσεις συμμετοχής να καθοριστούν είτε με τη χρησιμοποίηση νευρωνικών δικτύων είτε με γενετικούς αλγόριθμους. Βασικές πράξεις με ασαφή σύνολα Έχοντας υπερσύνολο αναφοράς το X με στοιχεία και τα και B να ανήκουν σε αυτό. Κενό σύνολο (empty set): µ ( ) 0 Υπερσύνολο αναφοράς (universe): µ ( ) Ισοτιμία (identity ή equivaent): = B µ ( ) = µ ( ) X Υποσύνολο (subset): B µ ( ) µ ( ) X Ένωση (union): µ B ( ) = ma( µ ( ), µ B ( )) X Τομή (intersection): µ B ( ) = min( µ ( ), µ B ( )) X Συμπλήρωμα (compement): µ ( ) = µ ( ) Παράδειγμα: X B Έστω ότι έχουμε ένα διακριτό υπερσύνολο αναφοράς X με τους ακέραιους αριθμούς από το έως και το 7, και δύο ασαφή σύνολα = περίπου 3 και B = περίπου 5 που ανήκουν σε αυτό, όπου B

22 = {0 /+ 0.5 / + / / / / / 7} και B = {0 /+ 0 / + 0 / / 4 + / / / 7}. Τότε: = {/ + 0.5/ + 0 / / 4 + / 5 + / 6 + / 7}, B = {/ + / + / / / / 6 + / 7} B = {0 /+ 0.5 / + / / 4 + / / / 7} B = {0 /+ 0 / + 0 / / / / / 7} Παράδειγμα των τριών βασικών πράξεων με συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής ì 0.6 ì ì Σχήμα 7. Συμπλήρωμα, Ένωση και Τομή. Βασικές ταυτότητες με ασαφή σύνολα Νόμος διπλής άρνησης (invoution): = Μεταθετική ιδιότητα (commutativity): B = B B = B

23 Μοναδιαία ποσότητα (idempotency): = = ( B ) C = ( B C ) Προσεταιριστική ιδιότητα (associativity): ( B) C = ( B C) Επιμεριστική ιδιότητα (distributivity): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B C = B C B C = B C Νόμος απορρόφησης (absorption): ( ) ( ) B = B = ( ) Θεώρημα De Morgan (De Morgan s Law) : ( ) B = B B = B Γενίκευση και επέκταση των τριών βασικών πράξεων μεταξύ αριθμητικών μεταβλητών Γενίκευση της ασαφούς τομής (T-norm τελεστές) Λογικό γινόμενο y = min[, y] Αλγεβρικό γινόμενο y Φραγμένο γινόμενο y = ma[0, + y ] if y = Δραστικό γινόμενο ɺ y = y if = 0 if, y < Γενίκευση της ασαφούς ένωσης (T-conorm ή S norms τελεστές) Λογικό άθροισμα y = ma[, y] Αλγεβρικό άθροισμα + y y Φραγμένο άθροισμα y = min[, + y] Δραστικό άθροισμα if y = 0 ɺ y = y if = 0 if y 0 3

24 Γενίκευση του ασαφούς συμπληρώματος a Συμπλήρωμα Sugeno Ns ( a) = όπου s (, ) και το α + s a παριστάνει την τιμή μιας συνάρτησης συμμετοχής. Εάν s = 0 τότε προκύπτει το κλασικό ασαφές συμπλήρωμα. w w Συμπλήρωμα Yager Nw ( a) = ( a ) όπου w (0, ). Εάν w = τότε προκύπτει το κλασικό ασαφές συμπλήρωμα. Ο τελεστής ασαφούς συμπληρώματος είναι μια συνεχής συνάρτηση N :[0,] [0,] η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω απαιτήσεις: N(0) = και N() = 0, N( a) b if a b όπου α και b είναι συναρτήσεις συμμετοχής κάποιων ασαφών συνόλων. Οι παραπάνω τελεστές ικανοποιούν την ιδιότητα της ενέλιξης (invoution): N( N( a)) = a Η συνάρτηση Ν μετασχηματίζει τη συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου Α σε συνάρτηση συμμετοχής του συμπληρώματος. N( µ ( )) = µ ( ). Επιπλέον της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος πράξεις με ασαφή σύνολα Έστω ένα υπερσύνολο αναφοράς U = {,,3,4,5,6,7}, και δύο ασαφή σύνολα με συναρτήσεις συμμετοχής µ ( ) = και µ ( ) = B Αλγεβρικό γινόμενο Φραγμένο άθροισμα µ ( B ) = µ ( B ) = Φραγμένο γινόμενο µ ( B ) = Αλγεβρικό άθροισμα µ ( + B ) =

25 Ασκήσεις στα ασαφή σύνολα. Το ασαφές σύνολο Α έχει συνάρτηση συμμετοχής be( ; a, b, c) = µ ( ) =. Να δειχτεί ότι το ασαφές συμπλήρωμα του Α b c + a περιγράφεται από τη συνάρτηση συμμετοχής be( ; a, b, c).. Να δειχτεί ότι οι τελεστές του Sugeno και Yager ικανοποιούν το νόμο της ενέλιξης: Ν(Ν(α))=α. 3. Έστω δύο ασαφή σύνολα Α και Β στο υπερσύνολο αναφοράς U. Να αποδειχθεί η σχέση + B = B + B όπου ο τελεστής ορίζει την πληθικότητα του ασαφούς συνόλου. 4. Να αποδειχτεί ότι οι νόμοι του De Morgan ισχύουν και για ασαφή σύνολα, δηλαδή, ( ),( ) B = B B = B. 5. Έστω το υπερσύνολο αναφοράς U= και τα ασαφή σύνολα Α=0.8/3+/5+0.6/6 και Β=0.7/3+/4+0.5/6. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις:. or B. and B 3. B 4. a για α=0.5 a 5. για α= 6. ( ),( ) B = B B = B

26 3. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ Η αρχή της επέκτασης (etension principe) προτάθηκε από τον Zadeh. Η αρχή της επέκτασης είναι μια σημαντική τεχνική στη θεωρία των ασαφών συνόλων η οποία δημιουργεί την εικόνα ενός αρχέτυπου ασαφούς συνόλου μέσα από μια συνάρτηση. Έστω f : U V μια κλασική συνάρτηση από το σαφές σύνολο U στο σαφές σύνολο V. Υποθέτουμε ότι δίνεται ένα ασαφές σύνολο Α στο U και θέλουμε να καθορίσουμε το ασαφές σύνολο B = f ( ) στο V. Εάν η συνάρτηση f είναι μονοτονική ή αμφιμονοσήμαντη ή αντιστρέψιμη «-» τότε η συνάρτηση συμμετοχής του συνόλου Β είναι: µ y = µ f y y V () B ( ) [ ( )], Εάν η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη τότε προκύπτει το πρόβλημα ότι υπάρχουν δύο διαφορετικές τιμές του πεδίου ορισμού της συνάρτησης στις οποίες αντιστοιχεί μια τιμή στο πεδίο τιμών δηλαδή, υπάρχουν, : f ( ) = f ( ), και μπορεί να είναι µ ( ) µ ( ). Στην περίπτωση αυτή στο δεύτερο μέλος της () θα υπάρχουν δύο διαφορετικές τιμές µ ( f ( y = )) και µ ( f = ( y )). Για την επίλυση αυτού του προβλήματος προτάθηκε να λαμβάνεται η μεγαλύτερη από τις τιμές συμμετοχής. Επομένως τελική συνάρτηση συμμετοχής του συνόλου Β δίνεται από τη σχέση (). µ ( y ) = ma µ ( ), y V () B f ( y) όπου f ( y) το σύνολο των σημείων του U για τα οποία ισχύει η σχέση f ( ) = y. Η () αποτελεί την αρχή της επέκτασης η οποία ουσιαστικά είναι ένας fuzzy cacuator. 3. Αριθμητική με ασαφείς αριθμούς Ένα ασαφές σύνολο Α στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ονομάζεται ασαφής αριθμός εάν το Α έχει α) την ιδιότητα της κανονικότητας, β) την ιδιότητα της κυρτότητας, γ) ένα φραγμένο σύνολο στήριξης και δ) όλα τα α-cuts κλειστά διαστήματα του R. Στην πράξη χρησιμοποιούνται οι τριγωνικοί και τραπεζοειδείς ασαφείς αριθμοί των οποίων οι συναρτήσεις συμμετοχής ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες. Χρησιμοποιώντας την αρχή της επέκτασης μπορούμε να ορίσουμε τις τέσσερις βασικές πράξης της αριθμητικής. Πρόσθεση: Η συνάρτηση συμμετοχής του αθροίσματος δύο ασαφών αριθμών ορίζεται ως µ ( z) = sup min[ µ ( ), µ ( y)] όπου sup είναι το supremum:μέγιστο + B B + y= z Αφαίρεση: Η συνάρτηση συμμετοχής της διαφοράς δύο ασαφών αριθμών ορίζεται ως µ ( z) = sup min[ µ ( ), µ ( y)] B B y= z 6

27 Πολλαπλασιασμός: Η συνάρτηση συμμετοχής του γινομένου δύο ασαφών αριθμών ορίζεται ως µ ( z) = sup min[ µ ( ), µ ( y)] B B y= z Διαίρεση: Η συνάρτηση συμμετοχής της διαίρεσης δύο ασαφών αριθμών ορίζεται ως µ ( z) = sup min[ µ ( ), µ ( y)] / B B / y= z Άλλες προσεγγίσεις για να μελετηθούν οι βασικές πράξεις είναι τα α-cuts και η μέθοδος verte. Οι πράξεις με α-cuts θα τις γνωρίσουμε στο 5 ο κεφάλαιο της ασαφούς αριθμητικής. Ασκήσεις στην αρχή της επέκτασης. Έστω συνάρτηση f ( ) = και ένα διακριτό ασαφές σύνολο Α=μικρό=/+0.8/+0.6/3+0./4. Να βρεθεί η ασαφής εικόνα f ( ) δηλαδή η συνάρτηση συμμετοχής της µ ( y ). B. Έστω η συνάρτηση f ( ) = 3 και ένα διακριτό ασαφές σύνολο Α=0./(-)+0.4/(-)+0.8/0+0.9/+0.3/. Να βρεθεί η ασαφής εικόνα f ( ) δηλαδή η συνάρτηση συμμετοχής της µ B ( y ). 3. Θεωρούμε ένα κλασικό σαφές αλγεβρικό σύστημα y = f ( ) όπου y και η έξοδος και η είσοδος του συστήματος και η συνάρτηση f περιγράφει το σύστημα. Να εφαρμοστεί η αρχή της επέκτασης () στις παρακάτω συναρτήσεις f με τις αντίστοιχες συναρτήσεις συμμετοχής: y Από την εξίσωση της έλλειψης + = με α= και b= προκύπτει a b η συνάρτηση y = f ( ) = με και 0 y και το 4 ασαφές σύνολο Α πάνω στο µ ( ) = y = f ( ) = και εάν 3 ( ) µ = 5 εάν 3 5 y f = ( ) = και εάν 4 µ ( ) = 3 5 εάν 4 5 7

28 Άσκηση στις βασικές πράξεις. Δίνονται οι ασαφείς αριθμοί «περίπου 3» και B «περίπου». Να γίνουν οι τέσσερις βασικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. ={0.3/+0.6/+/3+0.7/4+0./5} B={0.5/0+/+0.5/} 8

29 4. ΑΣΑΦΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ 4. Κλασικές σχέσεις Μια κλασική σχέση δείχνει την παρουσία ή την απουσία μιας σύνδεσης μεταξύ των στοιχείων δύο ή περισσότερων συνόλων. Τα ζευγάρια αυτά είναι διατεταγμένα με συγκεκριμένη διάταξη στην οποία το πρώτο στοιχείο του ζεύγους ανήκει στο πρώτο σύνολο και το δεύτερο στοιχείο στο δεύτερο σύνολο. Οι κλασικές σχέσεις ορίζονται πάνω στο καρτεσιανό γινόμενο (Cartesian product: Το όνομα προήλθε από τον φιλόσοφο-μαθηματικό Rene Descartes). Το καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων Α και Β που συμβολίζεται ως B και ορίζεται ως το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (, y ) με και y Β όπου: B = {(, y); και y B} Παράδειγμα Καρτεσιανού γινομένου δύο κλασικών σαφών συνόλων Έστω τα κλασικά σύνολα Α={,} και Β={,,3} τότε το Καρτεσιανό γινόμενο είναι: Α B = {(,), (,), (,3), (,), (,), (,3)}. Ας θεωρήσουμε δύο μεταβλητές και y των οποίων οι τιμές είναι πραγματικοί αριθμοί στα κλειστά διαστήματα [, ] και [ y, y ] αντίστοιχα. Η γεωμετρική παράσταση του καρτεσιανού γινομένου [, ] [ y, y] αποτελείται από όλα τα στοιχεία του ορθογώνιου παραλληλογράμμου που φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. y y R : = y [, ] [ y, y ] y Σχήμα 8. Γεωμετρική παράσταση Καρτεσιανού γινομένου και κλασικής σχέσης R. Στο προηγούμενο σχήμα φαίνεται και ένα παράδειγμα κλασικής δυαδικής σχέσης R η οποία εκφράζεται από την ισότητα των μεταβλητών. Ισχύει R [, ] [ y, y]. Η σχέση αυτή περιγράφει την έννοια «το είναι ίσο με το y». 9

30 4. Ασαφείς σχέσεις στον ίδιο Καρτεσιανό χώρο Ως ασαφής η προηγούμενη έννοια με γλωσσικούς όρους θα είναι: «το είναι προσεγγιστικά ίσο με το y». Για τη σύλληψη αυτής της ευρύτερης έννοιας χρειαζόμαστε ένα ασαφές σύνολο δύο διαστάσεων. Η συνάρτηση συμμετοχής η οποία περιγράφει την έννοια αυτή είναι μια ασαφής σχέση. Ένα παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης συμμετοχής είναι: (, ) ma(0, y µ ) R y = c όπου το c είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός, ο οποίος επιλέγεται έτσι ώστε η ασαφής σχέση R να παριστάνει κατά τον καλύτερο τρόπο την έννοια που περιγράφει. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα θα μπορούσε το c να πάρει την τιμή 0.0 και να περιγράψουμε με αυτόν τον τρόπο την προσέγγιση της ισότητας = y ± 0.0. Ορισμός ασαφούς σχέσης: Έστω U και V δύο υπερσύνολα. Τότε η ασαφής σχέση R ορίζεται ως: R = {(, y), µ (, y);(, y) U V} R µ (, y) µ (, y) = min( µ ( ), ( y)) R = B µ B Παράδειγμα: Η ασαφοποίηση της κλασικής σχέσης = μπορεί να γίνει με την ασαφή σχέση R η οποία έχει συνάρτηση συμμετοχής: µ (, R ) = Η παραπάνω ασαφής σχέση προσεγγίζει την σχέση =. Αυτό σημαίνει ότι εάν τα δεδομένα ικανοποιούν τη σχέση τότε ο βαθμός συμμετοχής που προκύπτει είναι. Δεδομένα που ικανοποιούν για παράδειγμα την =. θα έχουν βαθμό συμμετοχής μικρότερο από. Παράσταση ασαφούς σχέσης Γλωσσική περιγραφή (π.χ. «το είναι όμοιο με το y») Λίστα διατεταγμένων ζευγών με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης συμμετοχής Γράφημα Πίνακας Σχεσιακός πίνακας Παράδειγμα: Έστω τα υπερσύνολα αναφοράς U={+} και V={++3} και δύο ασαφή σύνολα Α και Β, αντίστοιχα: Α={/+0.9/} και Β={0.5/+0.7/+/3}. και y B. Γλωσσική περιγραφή: «το είναι λίγο μικρότερο από το y» Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ασαφούς σχέσης έχουμε: B = { } (,) (, ) (,3) (,) (,) (,3) 30

31 η ίδια σχέση με τη μορφή πίνακα γράφεται: R = B = Σχήμα 9. Το γράφημα της ασαφούς σχέσης R. Επειδή οι ασαφείς σχέσεις είναι ασαφή σύνολα υψηλής διάστασης (Καρτεσιανά γινόμενα) ισχύουν όλες ο βασικές λειτουργίες των ασαφών συνόλων (ένωση, τομή, συμπλήρωμα, α-cuts κ.α.) και στις ασαφείς σχέσεις. 0.4 Παράδειγμα: Έστω R = και R = 0.3 τότε µ R (, ) (, ) (, ) R y = µ R y µ R y = τότε 0.8 µ R (, ) (, ) (, ) R y = µ R y µ R y = 0.5 Συμπέρασμα: Η διαφορά μιας κλασικής και μιας ασαφούς σχέσης είναι ότι στη μεν κλασική σχέση ισχύει µ (, y ) = {0,} ενώ στην ασαφή σχέση ισχύει R µ ( R, y ) = [0,]. Ουσιαστικά η ασαφής σχέση είναι ένα ασαφές σύνολο δύο διαστάσεων. Άσκηση Θεωρούμε δύο ανεξάρτητα ασαφή σύνολα Α και Β (Non-interactive fuzzy sets) με συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής µ ( ) = 0. με [ 0, + 0] και µ B ( y) = 0. y με y [ 0, + 5]. Να βρεθεί η σχέση R του Καρτεσιανού γινομένου B με διακριτές και συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής. Λύση Για να εφαρμόσουμε τη διαδικασία εύρεσης της ασαφούς σχέσης R μετατρέπουμε τα συνεχή ασαφή σύνολα σε διακριτά χρησιμοποιώντας 5 τιμές. Α={0.9/+0.7/3+0.5/5+0.3/7+0./9} Β={0./+0.4/+0.6/3+0.8/4+/5} 3

32 R (, y) = min( µ ( ), B ( y)) = = µ B µ Αφήνετε στον αναγνώστη η εύρεση της σχέσης R με συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής. 4.. Προβολή και κυλινδρική επέκταση H Προβολή (Projection) μιας δυαδικής ασαφούς σχέσης πάνω σε μια διάσταση είναι μια ασαφής σχέση με συνάρτηση συμμετοχής που ορίζεται από τη σχέση: Πρώτη προβολή πάνω στο για όλα τα y: Δεύτερη προβολή πάνω στο y για όλα τα : Η συνολική προβολή είναι τελικά η μέγιστη τιμή της R µ ( ) = ma[ µ (, y)] R R y V µ ( y) = ma[ µ (, y)] U R R µ = ma [ µ (, y)] RT U, y V Η κυλινδρική επέκταση είναι η αντίθετη διαδικασία της προβολής. Η συνάρτηση συμμετοχής της νέας ασαφούς σχέσης ορίζεται από τον τύπο: R Παράδειγμα: µ (, y) = µ ( y) ή RC R µ (, y) = µ ( ) RC R R = µ R ( ) [ ] [ ] µ R ( y ) µ R T µ R C = Ασαφείς σχέσεις σε διαφορετικούς Καρτεσιανούς χώρους Έστω οι ασαφείς σχέσεις R ( U, V ) και R (, ) V W. Η σύνθεση (compositiona) δηλώνεται ως R R και ορίζεται ως μια ασαφής σχέση στο U W με συνάρτηση συμμετοχής 3

33 µ (, z) = ma min[ µ (, y), µ ( y, z)] R R R R y V ή µ (, z) = ma[ µ (, y) µ ( y, z)] R R R R y V Αλγόριθμος υπολογισμού της σύνθεσης δύο ασαφών σχέσεων Ma-Μin σύνθεση: ) Δημιουργούμε τις ασαφείς σχέσεις R και R με τη μορφή πίνακα και στη συνέχεια ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία πολλαπλασιασμού δύο πινάκων αλλά ) αντικαθιστούμε τον κάθε πολλαπλασιασμό με την min λειτουργία και 3) την πρόσθεση με τη ma λειτουργία. Ma-Product σύνθεση: ) Δημιουργούμε τις ασαφείς σχέσεις R και R με τη μορφή πίνακα και στη συνέχεα ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία πολλαπλασιασμού δύο πινάκων αλλά ) αντικαθιστούμε τον κάθε πολλαπλασιασμό με τη λειτουργία του αλγεβρικού πολλαπλασιασμού και 3) την πρόσθεση με τη ma λειτουργία. Ασκήσεις. Θεωρούμε τρεις δυαδικές ασαφείς σχέσεις που ορίζονται από τους παρακάτω πίνακες: P = P = , και P3 = Να υπολογιστούν με τους κανόνες σύνθεσης ma-min και ma-product οι συνθέσεις P P, P P P3.. Έστω τα υπερσύνολα U={+}, V={++3} και W={α+β+γ}. Θεωρούμε τρία ασαφή σύνολα: Α={/+0.9/}, Β={0.5/+0.7/+/3} και Γ={0.3/α+0./β+0.8/γ}. α) Θεωρούμε τις ασαφείς σχέσεις P και P οι οποίες ορίζονται στο UV και VW αντίστοιχα και υπολογίζονται από τις σχέσεις P = B και P = BΓ. Να υπολογιστούν οι συναρτήσεις συμμετοχής της ασαφούς σχέσης P P με τους δύο τρόπους σύνθεσης ma-min και ma-product. β) Αν δοθεί ένα ασαφές σύνολο που ανήκει στο υπερσύνολο U με συνάρτηση συμμετοχής = {0.9 /+ 0.8 / } να βρεθεί το αντίστοιχο ασαφές σύνολο στο υπερσύνολο W, (Να γίνει η πράξη ( P P ) ). 3. Χρησιμοποίησε τη σύνθεση ma-min για να υπολογίσεις το ασαφές σύνολο Β όταν δοθεί το ασαφές μονοσύνολο Α =/3 με τα δεδομένα της άσκησης, δηλαδή να γίνουν οι πράξεις B = P, B = P και B = P3 4. Η συσχέτιση της έντασης των σεισμικών κυμάτων και της επιτάχυνσης του εδάφους είναι μη ακριβής. Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα υπερσύνολο με σεισμικές εντάσεις της κλίμακας Mercai, I={5,6,7,8,9} και ένα υπερσύνολο των 33

34 επιταχύνσεων σε g, ={0.,0.4,0.6,0.8,.0,.}. Η ασαφής σχέση R Καρτεσιανό χώρο ΙΑ είναι: στο R = ( I) ( ) Εάν ένα ασαφές σύνολο «σεισμικής έντασης κοντά στο 7» ορίζεται ως Ι ={0./5+0.6/6+/7+0.8/8+0./9} να καθοριστεί η συνάρτηση συμμετοχής Α των επιταχύνσεων χρησιμοποιώντας τη σύνθεση ma-product. 34

35 5. ΑΣΑΦΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ Σε πολλές πραγματικές εφαρμογές (συστήματα λήψης αποφάσεων) χρησιμοποιούμε διαστήματα πραγματικών αριθμών για να περιγράψουμε την αβεβαιότητα που υπάρχει για την πραγματική τιμή μιας αριθμητικής μεταβλητής. Το ίδιο συμβαίνει και σε τεχνολογικά προβλήματα όπου χρησιμοποιούνται συχνά διαστήματα για να χαρακτηρίσουμε αποδεκτές τις μεταβολές των παραμέτρων. Έτσι οι μαθηματικοί (956) για να αντιμετωπίσουν τη μη-ακριβή παράσταση πραγματικών αριθμών εισήγαγαν και μελέτησαν τα κλειστά διαστήματα (Interva anaysis). Η ανάλυση διαστημάτων είναι ο θεμελιώδης λίθος του ψηφιακού υπολογισμού στον οποίο η ακρίβεια μιας μεταβλητής είναι περιορισμένη αφού περιγράφεται από ένα πεπερασμένο πλήθος bits. Για παράδειγμα, η πρόσθεση δύο διαστημάτων οδηγεί σε ένα ευρύτερο διάστημα. Επομένως, η συσσωρευμένη αβεβαιότητα στο νέο διάστημα εξαρτάται από τις αλγεβρικές λειτουργίες που εφαρμόζονται στα δύο διαστήματα. Όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε δύο σαφείς αριθμούς, το αποτέλεσμα ένας σαφής αριθμός. Όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε δύο διαστήματα, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο διάστημα. Στο νέο αυτό διάστημα πρέπει να καθορίσουμε τα δύο άκρα του, δηλαδή το κάτω και το άνω φράγμα. Για να υπολογίσουμε τα όρια του νέου διαστήματος χρησιμοποιούμε τα άκρα των δύο αρχικών διαστημάτων. Οι πράξεις με αριθμητικά διαστήματα ουσιαστικά είναι πράξεις μεταξύ ανισοτήτων. Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε αριθμητικά διαστήματα Πράξεις Αποτέλεσμα Πρόσθεση [α, β]+[γ, δ] [α+γ, β+δ] Αφαίρεση [α, β]-[γ, δ] [α-δ, β-γ] Πολλαπλασιασμός [α, β] [γ, δ] [min(αγ, αδ, βγ, βδ), ma(αγ, αδ, βγ, βδ)] Διαίρεση [α, β] / [γ, δ]= [α, β] [/δ, /γ] [min(α/δ, α/γ, β/δ, β/γ), ma(α/δ, α/γ, β/δ, β/γ)] Για τα κλειστά διαστήματα [α, β] και [γ, δ] ισχύει α β και γ δ. Για την πράξη της διαίρεσης στο διάστημα [γ, δ] δεν πρέπει να περιλαμβάνεται ο αριθμός μηδέν ή διαφορετικά οι αριθμοί γ και δ δεν πρέπει να είναι ετερόσημοι. Παράδειγμα Έστω δύο αριθμητικά διαστήματα Α=[, 6] ή [, ] και Β=[, 4] ή [-4, -]. Να γίνουν οι 4 πράξεις μεταξύ του πρώτου ζεύγους των διαστημάτων [, 6] και [, 4] και του δεύτερου ζεύγους [, ] και [-4, -]. Πρόσθεση Α + Β = [, 6] + [, 4] = [+, 6+4] = [3, 0] Α + Β = [, ] + [-4, -] = [-4, -] = [-3, ] Αφαίρεση Α - Β = [, 6] - [, 4] = [-4, 6-] = [-, 5] Α - Β = [, ] - [-4, -] = [+, +4] = [, 6] 35

36 Πολλαπλασιασμός Α Β = [, 6] [, 4] = [min (, 4, 6, 6 4), ma ((, 4, 6, 6 4)] = [, 4] Α Β = [, ] [-4, -] = [min ( (-), (-4), (-), (-4)), ma ( (-), (-4), (- ), (-4))] = [min(-,-4,-,-8), ma(-,-4,-,-8)] = [-8, -] Διαίρεση Α / Β = [, 6] / [, 4] = [, 6] [/4, /] = [min ( /4, /, 6 /4, 6 /), ma (( /4, /, 6 /4, 6 /)] = [min(0.5,,.5, 6), ma(0.5,,.5, 6)] = [0.5, 6] Α / Β = [, ] [-4, -] = [, ] [/(-), /(-4)] = [min ( (-/4), (-), (-/4), (- )), ma ( (-/4), (-), (-/4), (-))] = [min(-0.5,-,-0.5,-), ma(-0.5,-,- 0.5,-)] = [-, -0.5] Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε ασαφείς αριθμούς Ένα ασαφές σύνολο μπορεί να παρασταθεί με τις α-τομές, δηλαδή μια συνάρτηση συμμετοχής μπορεί να παραμετροποιηθεί με την παράμετρο α. Η παράμετρος α είναι ένας αριθμός που παίρνει τιμές στο διάστημα [0,]. Η παραμετροποίηση της συνάρτησης του ασαφούς αριθμού από το α μας προσφέρει τη δυνατότητα του μετασχηματισμού του ασαφούς αριθμού σε κλειστά διαστήματα. Έτσι οι ασαφείς αριθμητικές πράξεις ουσιαστικά μετατρέπονται σε πράξεις αριθμητικών διαστημάτων. To α-cut ενός ασαφούς συνόλου Α στο R ορίζεται ως α = { R, µ ( ) α} Για να κάνουμε ακριβή παράσταση του ασαφούς συνόλου ορίζουμε ένα ασαφές σύνολο με συνάρτηση συμμετοχής a µ ( ). α Το θεώρημα της ανάλυσης (Resoution Principe ή Decomposition Theorem) δηλώνει ότι η συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου Α ισούται με την ασαφή ένωση (τελεστής ma) των συναρτήσεων συμμετοχής a µ ( ) ήτοι το sup πάνω στο α Є [0,]. Η σχέση είναι: 0< α α µ ( ) = ( α µ ( )) και προκύπτει εποπτικά από το επόμενο σχήμα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ασαφές σύνολο Α με τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής και η έννοια του α-cut. Η λειτουργία του α-cut είναι να μετατρέψει ένα ασαφές σύνολο με τη χρήση μιας στάθμης α σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης [ a α, a α + ]. α 36

37 µ ( ) µ α α µ ( a = α ) α µ α ( ) α a α a α + Σχήμα 0. Η λειτουργία του α-cut μετασχηματίζει ένα ασαφές σύνολο σε ένα κλειστό διάστημα. Μια εδική κατηγορία ασαφών αριθμών που συχνά χρησιμοποιούνται στην πράξη και είναι οι τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί. Ένας τριγωνικός ασαφής αριθμός Α είναι ένα ασαφές σύνολο στο R με τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής: µ ( ) = µ ( ; a, b, c) Πρόσθεση και αφαίρεση με τη μέθοδο α-cut Έστω δύο τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί Α και Β. Τα αντίστοιχα α-cuts αυτών είναι: + + = [ a, a ], B = [ b, b ] α α α α α α Τότε η πρόσθεση Α+Β είναι ένας ασαφής αριθμός που ορίζεται με τον τύπο: + + ( + B) = [ a + b, a + b ] α α α α α η αφαίρεση Α-Β είναι ένας ασαφής αριθμός που ορίζεται από τον τύπο: + + ( B) = [ a b, a b ] α α α α α Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με τη μέθοδο α-cut Ο πολλαπλασιασμός του Α και του Β, Α Β, είναι ένας ασαφής αριθμός που δίνεται από τον τύπο: ( B) = [min( a b, a b, a b, a b ), ma( a b, a b, a b, a b )] α α α α α α α α α α α α α α α α α + Εάν 0 [ bα, bα ] τότε η διαίρεση του Α και Β, Α/Β, είναι ένας ασαφής αριθμός που δίνεται από τον τύπο: ( / B) = [min( a / b, a / b, a / b, a / b ),ma( a / b, a / b, a / b, a / b )] α α α α α α α α α α α α α α α α α 37

38 Παράδειγμα: Πρόσθεση και αφαίρεση διακριτών ασαφών αριθμών Ας υπολογίσουμε το άθροισμα των δύο ασαφών αριθμών Α = περίπου 3 και Β = περίπου με 0.5-cut. ={0.3/+0.6/+/3+0.7/4+0./5} B={0.5/0+/+0.5/} = [ a, a ] = [, 4] B = [ b, b ] = [0,] ( + B) = [ + 0,4 + ] = [,6] 0.5 εάν [,6] µ ( + B) 0.5 ( ) = 0 εάν [,6] ( B) = [,4 0] = [ 0, 6] 0.5 Παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός και διαίρεση διακριτών ασαφών αριθμών ( B) = [min(0, 4, 40, 48), ma(0, 4, 40, 48)] = [0, 48] 0.5 ( / B ) 0.5 = [min(/ 5,/ 6, / 5,/ 3), ma(/ 5,/ 6, / 5,/ 3)] = [/ 6, / 5] Παράδειγμα: Αφαίρεση ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής Ας υπολογίσουμε το άθροισμα δύο ασαφών αριθμών Α = 8 και Β = 5. Οι ασαφείς αριθμοί εκφράζονται από τους τύπους: + = [ a, a ] α α α 0 για 7 7 για 7 8 µ ( ) = + 9 για για 9 και 0 για 4 4 για 4 5 µ B ( ) = + 6 για για 6 ( a ) a 7 a µ α = α = α α = α + 7 και ( a + ) a + 9 a + µ α = α = α + α = 9 α επομένως α = [ α + 7, 9 α ] + B = [ b, b ] α α α ( b B ) b 4 b µ α = α = α α = α + 4 και ( b + B ) b + 6 b + µ α = α = α + α = 6 α επομένως B α = [ α + 4, 6 α ]. 38

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ασκήσεις και ερωτήσεις

ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ασκήσεις και ερωτήσεις ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ασκήσεις και ερωτήσεις 1) Ερωτήσεις Σωστού/Λάθους (ΣΛ) Το πακέτο λογισμικού Excel της Microsoft είναι λογισμικό διαχείρισης ΒΔ (ΣΛ) Το πακέτο λογισμικού Access της Microsoft είναι λογισμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4/9/2015 ΠΕΜΠΤΗ 3/9/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 2/9/2015 ΤΡΙΤΗ 1/9/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 31/8/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακός Έλεγχος Συστημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα