Η παρούσα ιπλωματική Εργασία. εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών. για την απόκτηση του. Μεταπτυχιακού ιπλώματος Ειδίκευσης.

Transcript

1

2 Η παρούσα ιπλωματική Εργασία εκποήθηκε στα πλαίσια τω σπουδώ για τη απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώματος Ειδίκευσης που αποέμει το ιαπαεπιστημιακό ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακώ Σπουδώ «ιδακτική και Μεθοδολογία τω Μαθηματικώ» Εγκρίθηκε τη... από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμεη από τους Οοματεπώυμο Βαθμίδα Υπογραφή ) Βασιλική Φαρμάκη (επιβλέπουσα Καθηγήτρια) Ααπλ.... Καθηγήτρια ) Ευστάθιος Γιαακούλιας Ααπλ.... Καθηγητής ) Νικόλαος Παπααστασίου Επίκ.... Καθηγητής

3 ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Ν. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗΣ ΤΩΝ ΕΥ ΟΞΟΥ-ΑΡΧΙΜΗ Η ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 007

4 Στο Νίκο. 4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ θερμά τα μέλη της τριμελούς επιτροπής και ιδιαίτερα τη επιβλέπουσα καθηγήτρια μου κ. Φαρμάκη Βασιλική για τη βοήθειά της στη εκπόηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Επίσης θα ήθελα α ευχαριστήσω τους φίλους μου μαθηματικούς κ. Καμπούκο Κυριάκο και κ. Πάλλα Παρασκευά για τη ουσιαστική τους συμπαράσταση. 5

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή...7 Κεφάλαιο Ι Εύδοξος Ααλογία μεγεθώ.εύδοξος....ααλογία μεγεθώ στο V βιβλίο τω Στοιχείω του Ευκλείδη...4.Αξίωμα Ευδόξου Αρχιμήδη...6 Κεφάλαιο ΙΙ Η μέθοδος της εξάτλησης στα Στοιχεία του Ευκλείδη.Αρχή της εξάτλησης...0.η μέθοδος της εξάτλησης στο ΧΙΙ βιβλίο τω Στοιχείω.....Πρόταση ΧΙΙ Πρόταση XΙΙ.5... Κεφάλαιο ΙΙΙ Αρχιμήδης τετραγωισμός παραβολής. Αρχιμήδης...9.Ο τετραγωισμός της παραβολής Εμβαδό παραβολής (ευρετική μέθοδος )...4. Τετραγωισμός παραβολής (γεωμετρική απόδειξη)...47 Κεφάλαιο ΙV Παραδείγματα της μεθόδου της εξάτλησης με σύγχροη ορολογία. Γεική περιγραφή της μεθόδου της εξάτλησης Απόδειξη του τετραγωισμού παραβολής με σύγχροη ορολογία Υπολογισμός όγκου παραβολοειδούς εκ περιστροφής... 6 Βιβλιογραφία...7 6

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το κύριο θέμα που θα μας απασχολήσει στη παρούσα εργασία είαι η μέθοδος της εξάτλησης και η εφαρμογή της από το Εύδοξο και το Αρχιμήδη. Με τη μέθοδο της εξάτλησης επιτυγχάεται η εύρεση, με αυστηρό μαθηματικό τρόπο, εμβαδώ και όγκω μέσω αλλεπάλληλω προσεγγίσεω. Εμβαδά γώριζα α υπολογίζου οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώιοι. Συγκεκριμέα οι Αιγύπτιοι γώριζα α υπολογίζου το εμβαδό του ορθογωίου,του τριγώου και του ισοσκελούς τραπεζίου. Γώριζα επίσης το εμβαδό του κύκλου με βάση έα καόα που ατιστοιχεί στο τύπο Ε = d 9,όπου d η διάμετρος.ο τύπος αυτός οδηγεί στη προσεγγιστική τιμή του π= 56 =. 6 που είαι μια ικαοποιητική 8 προσέγγιση. Οι Βαβυλώιοι είχα εμπειρικές μεθόδους για το ορθό υπολογισμό εμβαδώ τριγώω και τραπεζοειδώ και όγκω κυλίδρω και πρισμάτω και γώριζα επίσης εμπειρικά το Πυθαγόρειο θεώρημα.το πιο αξιόλογο όμως επίτευγμα τω Βαβυλωίω ήτα η δημιουργία της άλγεβρας και η αακάλυψη της τεχικής για τη λύση τω δευτεροβάθμιω εξισώσεω. Θεωρείται ότι σε γεικές γραμμές οι Βαβυλώιοι προχώρησα περισσότερο στα Μαθηματικά από τους Αιγυπτίους. Ωστόσο,ούτε οι Βαβυλώιοι, ούτε οι Αιγύπτιοι, έφτασα στη μαθηματική αφαίρεση, στη αυστηρή διατύπωση υποθέσεω και συμπερασμάτω, στη αποδεικτική διαδικασία. ε φαίεται πουθεά ο σαφής διαχωρισμός του προσεγγιστικού από το ακριβή υπολογισμό.όλα αυτά είαι δημιουργήματα του αρχαίου Ελληικού πολιτισμού. Οι Αρχαίοι Έλληες μέσα από τη γεωμετρία επιόησα και έφτασα σε υψηλή τελειότητα τη μέθοδο της εξάτλησης που είαι ο πρόδρομος και στεός συγγεής του ολοκληρωτικού λογισμού (Σ.Νεγρεπότης Σ.Γιωτόπουλος Ε.Γιαακούλιας,[6] ). ύο σηματικά οόματα συδέοται με τη προϊστορία αυτής της μεθόδου. Ο μεγάλος Γεωμέτρης Ιπποκράτης ο Χίος (450πχ) και ο μεγάλος φιλόσοφος και ατομιστής ημόκριτος (460-70πχ). 7

8 Ο Συμπλίκιος στα σχόλια του στα «Φυσικά» του Αριστοτέλη [9,60,-60,7] ααφέρει O `» mšntoi EÜdhmoj n tí GewmetrikÍ ƒstor v oùk pˆ tetragwnikáj pleur j de xa fhsi tõn `Ippokr thn tõn toà mhn skou tetragwnismòn, ll kaqòlou, æj n tij e poi. e g r p j mhn skoj t¾n ktõj perifšreian À shn œcei ¹mikukl ou À me zona À l ttona, tetragwn zei d Ð `Ippokr thjkaˆ tõn shn ¹mikukl ou œconta kaˆ tõn me zona kaˆ tõn l ttona, kaqòlou n e h dedeicëj æj doke. kq»somai d t ØpÕ toà EÙd»mou kat lšxin legòmena Ñl ga tin prostiqeˆj <e j> saf»neian põ táj tîn EÙkle dou Stoice wn namn»sewj di tõn ØpomnhmatikÕn tròpon toà EÙd»mou kat tõ rcakõn œqoj suntòmouj kqemšnou t j podòseij. lšgei d ïde n tù deutšrj bibl J táj GewmetrikÁj ƒstor aj». Στο κείμεο αυτό ο Συμπλίκιος εξηγεί τις προσπάθειες τετραγωισμού τω μηίσκω που έκαε ο Ιπποκράτης εκθέτοτας κατά λέξη όσα έγραψε ο Εύδημος προσθέτοτας κάποια στοιχεία, για α τα διασαφηίσει και α τα συδέσει με τις προτάσεις τω Στοιχείω, επειδή ο Εύδημος, όπως συήθιζα οι Αρχαίοι, εξέθετε συοπτικά τα επιχειρήματά του. Στο εδάφιο [9,6,-6,0] ο Συμπλίκιος λέει ότι πρώτος ο Ιπποκράτης ο Χίος αέφερε και απέδειξε ότι τα τετράγωα τω διαμέτρω έχου ίδιο λόγο όπως οι κύκλοι.«kaˆ oƒ tîn mhn skwn d tetragwnismoˆ dòxantej e nai tîn oùk pipola wn diagramm twn di t¾n o keiòthta t¾n prõj tõn kúklon Øf' `Ippokr touj gr fhs n te prètou kaˆ kat tròpon œdoxan podoqánai diòper pˆ plšon yèmeq te kaˆ dišlqwmen. rc¾n m n oân poi»sato kaˆ prîton œqeto tîn prõj aùtoýj crhs mwn, Óti tõn aùtõn lògon œcei t te Ómoia tîn kúklwn tm»mata prõj llhla kaˆ aƒ b seij aùtîn dun mei. (toàto d de knuen k toà t j diamštrouj de xai tõn aùtõn lògon coúsaj dun mei to j kúkloij) Óper EÙkle dhj deúteron tšqeiken n tù dwdek tj tîn Stoice wn bibl J, t¾n pròtasin e pën oûtwj oƒ kúkloi prõj ll»louj e sˆn æj t põ tîn diamštrwn tetr gwna æj g r oƒ kúkloi prõj ll»louj œcousin, oûtwj kaˆ t Ómoia tm»mata. Ómoia». Η απόδειξη εός τέτοιου αποτελέσματος απαιτεί κάποια διαδικασία εξάτλησης. Σήμερα δε γωρίζουμε τίποτα που α μας επιτρέπει α συμπεράουμε ότι η μέθοδος της εξάτλησης είχε ααπτυχθεί πλήρως πρι το Εύδοξο. Για το ημόκριτο ο Αρχιμήδης στο πρόλογο της εργασίας του «Περί τω μηχαικώ θεωρημάτω προς Ερατοσθέη Έφοδος» [84,4-84,0] ααφέρει <... DiÒper kaˆ tîn qewrh>m twn toútwn, ïn EÜdoxoj xhúrhken prîtoj t¾n pòdeixin, perˆ toà kènou kaˆ táj puram doj, Γι αυτό το λόγο από τα σχετικά με το κώο και τη πυραμίδα θεωρήματα,τη απόδειξη τω οποίω πρώτος βρήκε ο Εύδοξος 8

9 Óti tr ton mšroj Ð m n kînoj toà kul ndrou, ¹ d puramˆj toà pr smatoj, tîn b sin còntwn t¾n aùt¾n kaˆ Ûyoj son, où mikr n pone mai n tij Dhmokr tj mer da prètj t¾n pòfasin t¾n perˆ toà e rhmšnou sc»matoj cwrˆj pode xewj pofhnamšnj. για εκεία τα οποία δηλώου ότι ο κώος ισούται με το / του κυλίδρου, και η πυραμίδα του πρίσματος με τα οποία έχου τη ίδια βάση και το ίδιο ύψος σηματική μερίδα πρέπει α αποδοθεί στο ημόκριτο που ήτα ο πρώτος ο οποίος διατύπωσε τη σχετική με το ε λόγω σχήμα εκφώηση έστω και χωρίς απόδειξη. Ο van der Waerden[] ααφέρει Κατά το Cavalieri μπορούμε α πεισθούμε ότι δύο πυραμίδες (ή κώοι ) με ίσες βάσεις και ύψη έχου ίσους όγκους, α τις τεμαχίσουμε σε φέτες με επίπεδα παράλληλα προς τις βάσεις και θεωρήσουμε αυτές τις φέτες, κατά προσέγγιση ως πρίσματα (ή κυλίδρους ). Μπορεί ο ημόκριτος α έκαε κάτι τέτοιο. Έτσι θα μπορούσε α εξηγηθεί και η δήλωση του Πλουτάρχου, σύμφωα με τη οποία ο ημόκριτος είχε θέσει το ακόλουθο ερώτημα «α οι κυκλικές τομές, οι παράλληλες προς τη βάση, που χαράσσοται σε έα κώο είαι ίσες,τότε πώς είαι δυατό ο κώος α διαφέρει από έα κύλιδρο; Και εά γίοται μικρότερες όσο προχωρούμε προς τη κορυφή, τότε η καμπύλη επιφάεια, η οποία πρέπει α είαι λεία δε είαι βαθμοειδής ;» Α λάβουμε υπόψη ότι ο Αρχιμήδης, σ όλο του το έργο που είαι γωστό σε μας, από τους προγεέστερους μαθηματικούς ααφέρεται με τρόπο που δείχει υψηλή εκτίμηση στο έργο τους μόο στο Εύδοξο και στο ημόκριτο δε μπορούμε παρά α δεχτούμε ότι η μαθηματική συμβολή του ημόκριτου είαι σηματική. Το 4 ο αιώα π.χ.θα δεσπόσει η μορφή του Ευδόξου,του δημιουργού της θεωρίας λόγω - με τη οποία ξεπεράστηκε η κρίση που είχε δημιουργήσει η αακάλυψη της ασυμμετρίας πλευράς και διαγωίου του τετραγώου - και της μεθόδου της εξάτλησης που χρησιμοποιήθηκε για το υπολογισμό εμβαδώ και όγκω. Το ο π.χ. αιώα τα πρόσωπα που θ αφήσου αεξίτηλα τη σφραγίδα τους είαι ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης.Ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του θα κάει καταγραφή και απολογισμό όλω τω αρχαίω ελληικώ μαθηματικώ, και η επαγωγική μέθοδος περιγραφής του θα γίει πρότυπο για τη δημιουργία της μαθηματικής θεωρίας.τέλος ο Αρχιμήδης θα επεξεργαστεί μεθόδους για τη εύρεση εμβαδώ, όγκω και κέτρου βάρους,χρησιμοποιώτας και παράλληλα βελτιώοτας τη μέθοδο της εξάτλησης στη αυστηρή απόδειξη τω αποτελεσμάτω του.οι μέθοδοί του θ αποτελέσου τα θεμέλια του ολοκληρωτικού λογισμού για τη δημιουργία του οποίου χρειάστηκα α περάσου είκοσι αιώες( Γιαακούλιας Ε.[]). Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας θα ξεκιήσουμε με τη περιγραφή της ζωής και τω φιλοσοφικώ απόψεω του Ευδόξου, θα περιγράψουμε πως αέπτυξε σε μεγάλο βαθμό μια θεωρία ααλογιώ που ήτα εφαρμόσιμη σε οποιαδήποτε μεγέθη, θα ααφερθούμε στο Αξίωμα Ευδόξου -Αρχιμήδη και σε βασικές προτάσεις του V βιβλίου που θα χρησιμοποιήσουμε. 9

10 Στο δεύτερο κεφάλαιο θα ξεκιήσουμε με τη αρχή της εξάτλησης,όπως αυτή διατυπώεται στη πρόταση Χ. τω Στοιχείω του Ευκλείδη, θα κάουμε μια περιγραφή τω προτάσεω του ΧΙΙ βιβλίου και θα ασχοληθούμε με τις αποδείξεις τω προτάσεω ΧΙΙ. και ΧΙΙ.5.Η απόδειξη στο δωδέκατο βιβλίο στηρίζεται σε δύο βάσεις στη θεωρία τω ααλογιώ του πέμπτου βιβλίου και στη μέθοδο της εξάτλησης. H μέθοδος της εξάτλησης σε γεικές γραμμές,και χωρίς ααφορά σε ειδικά τεχάσματα,είαι η ακόλουθη με τα «αθροίσματα Riemann» (που θα ήτα ιστορικά δικαιότερο, όπως γράφει ο Bourbaki, α οομάζοται αθροίσματα Ευδόξου- Αρχιμήδη) επιτυγχάοται (άω και) κάτω φράγματα της ζητούμεης γεωμετρικής ποσότητας (π.χ εμβαδού, όγκου) με τη γεωμετρική κατασκευή μιας γήσια αύξουσας ακολουθίας εμβαδώ ή όγκω εγγεγραμμέω σχημάτω και μιας γήσια φθίουσας ακολουθίας ατιστοίχω περιγεγραμμέω γεωμετρικώ μεγεθώ μεταξύ τω οποίω κείται η ζητούμεη γεωμετρική ποσότητα Α,η οποία επιθυμούμε α αποδείξουμε οτι ισούται με τη γωστή εκ τω προτέρω τιμή Β (Σ.Νεγρεπότης Σ.Γιωτόπουλος Ε.Γιαακούλιας [6] ). Στο τρίτο κεφάλαιο θ ααφερθούμε ε συτομία στη ζωή και το έργο του πιο μεγάλου μαθηματικού της ελληιστικής περιόδου-και όλης της αρχαιότητας του Αρχιμήδη, θα παρουσιάσουμε τις απόψεις μελετητώ για το έργο του και θα περιγράψουμε το τετραγωισμό της παραβολής ( γεωμετρική και ευρετική μέθοδο). Στο τέταρτο κεφάλαιο, θα κάουμε μία γεική περιγραφή της μεθόδου της εξάτλησης, θα αποδείξουμε το τετραγωισμό της παραβολής και το όγκο παραβολοειδούς εκ περιστροφής με τη μέθοδο της εξάτλησης, αλλά με σύγχροη ορολογία και θα δούμε πώς ο Αρχιμήδης παρουσιάζει στη πραγματεία του «Περί τω μηχαικώ θεωρημάτω προς Ερατοσθέη έφοδος» τη εύρεση του όγκου του παραβολοειδούς εκ περιστροφής. β η α η 0

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΕΥΔΟΞΟΣ-ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΜΕΓΕΘΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ααφερθούμε στις φιλοσοφικές απόψεις του Ευδόξου,στη ζωή του όπως τη περιγράφει ο ιογέης ο Λαέρτιος στο 8 ο βιβλίο του «Ζωή τω Φιλοσόφω»,θα παραθέσουμε τους πέτε πρώτους ορισμούς της γεικής θεωρίας ααλογιώ του V βιβλίου τω Στοιχείω του Ευκλείδη,θα δούμε τι ίσχυε πρι τη εποχή του Ευδόξου, τo Αξίωμα Ευδόξου -Αρχιμήδη, καθώς και ορισμέες προτάσεις του V βιβλίου που θα χρησιμεύσου στις παρακάτω αποδείξεις..ευδοξοσ Καταρχή, θα ήτα χρήσιμο α ααφέρουμε κάποια χαρακτηριστικά της ζωής και τω απόψεω του Ευδόξου. λέγει Ο van der Waerden [] «Ο Εύδοξος γύρω στο 65 π.χ. επέστρεψε και πάλι στη Αθήα από τη Αίγυπτο μαζί με τους μαθητές του. Τη εποχή εκείη είχε αποκτήσει λαμπρή φήμη. Συζητούσε με το Πλάτωα για φιλοσοφικά θέματα, για τις ιδέες και για το υπέρτατο αγαθό. Είχε τη άποψη ότι οι ιδέες είαι παρούσες στα αισθητά,είαι «ααμεμιγμέες» με τα αισθητά, καθορίζοτας έτσι το χαρακτήρα τους. ίδασκε, επίσης ότι η ηδοή, η απόλαυση, είαι το άριστο αγαθό. Ο Πλάτω, όμως δε συμφωούσε με τις απόψεις περί ιδεώ του Ευδόξου. Χαρακτηριστικός είαι ο Πλατωικός διάλογος «Φίληβος»όπου ο van der Waerden ισχυρίζεται ότι ο Πλάτω επικρίει τις απόψεις του Ευδόξου σχετικά με τη ηδοή. Ο ισχυρισμός του ιογέη του Λαέρτιου ότι ο Εύδοξος και ο Πλάτω ήτα εχθροί είαι περίπου βέβαιο ότι είαι υπερβολικός, αλλά το ίδιο ακριβώς ισχύει και με το το ατίθετο ισχυρισμό του Στράβωα,ότι ο Εύδοξος ήτα μεταξύ τω «Πλάτωος εταίρω. Ο Εύδοξος ήτα επίσης πολύ καλός αστροόμος. Κατασκεύασε έα εξαιρετικά μεγαλοφυές πλαητικό σύστημα επηρεασμέος από το Πλάτωα ο οποίος πρότειε το πρόβλημα με τις ομαλές κυκλικές κιήσεις που θα εξηγούσα τις φαιόμεες κιήσεις τω πλαητώ. Σύμφωα με αυτό το σύστημα, η σφαιρική γη ήτα ακίητη στο κέτρο και από το κέτρο αυτό περιστρέφοτα 7 ομόκετρες σφαίρες.» Ας δούμε τώρα πωs περιγράφει στο 8 o βιβλίο με τη Ζωή τω Φιλοσόφω [86-9] ο ιογέηs ο Λαέρτιος τη ζωή του Ευδόξου :

12 EÜdoxoj A sc nou Kn dioj strològoj, gewmštrhj, atròj, nomoqšthj.oátoj t m n gewmetrik 'ArcÚta di»kouse, t d' atrik Filist wnoj (Wellmann ) toà Sikeliètou, kaq Kallι macoj n to j P nax (Pfeiffer 49) fhsi. Swt wn d' n ta j Diadoca j lšgei kaˆ Pl twnoj aùtõn koàsai. genòmenon g r tîn triîn pou kaˆ e kosi kaˆ stenîj diake menon kat klšoj tîn Swkratikîn e j 'Aq»naj p rai sýn Qeomšdonti tù atrù, trefòmenon Øp' aùtoà oƒ dš, kaˆ paidik Ônta katacqšnta d' e j tõn Peirai Ðshmšrai nišnai 'Aq»naze kaˆ koúsanta tîn sofistîn aùtòqi Øpostršfein. dúo d¾ mánaj diatr yanta o kad' panelqe n kaˆ prõj tîn f lwn ranisqšnta e j A gupton p rai met Crus ppou toà atroà, sustatik j fšronta par' 'Aghsil ou prõj Nekt nabin tõn d to j ƒereàsin aùtõn sustásai. kaˆ tšttaraj mánaj prõj niautù diatr yant' aùtòqi xuròmenòn q' Øp»nhn kaˆ ÑfrÝn t¾n 'Oktaethr da kat tinaj suggr yai. nteàqšn te genšsqai n Kuz kj kaˆ tí Propont di sofisteúonta ll kaˆ par MauswlÕn fikšsqai. œpeiq' oûtwj panelqe n 'Aq»naze, paný polloýj perˆ autõn œconta maqht j, éj fas tinej, Øp r toà Pl twna lupásai, Óti t¾n rc¾n aùtõn parepšmyato. tin j dš fasi ka sumpòsion œconti tù Pl twni aùtõn t¾n ¹mikÚklion kat klisin pollîn Ôntwn, e shg»sasqai. fhsˆ d' aùtõn NikÒmacoj Ð 'Aristotšlouj (Arist. EN 7b9) t¾n ¹don¾n lšgein tõ gaqòn. Ο Εύδοξος ήτα γιος του Αισχίη και καταγότα από τη Κίδο. Ητα αστροόμος, γεωμέτρης ομοθέτης. άσκαλό του στη γεωμετρία είχε το Αρχύτα και στη ιατρική το Φιλιστίωα το Σικελιώτη όπως λέει ο Καλλίμαχος στους Πίακες. Ο Σωσίω στις ιαδοχές λέει ότι υπήρξε και μαθητής του Πλάτωα. Ότα ήτα περίπου χρόω επειδή έιωθε περιορισμέος, επηρεασμέος από τη δόξα τω Σωκρατικώ, ααχώρησε για τη Αθήα μαζί με το γιατρό Θεομέδοτα, που του εξασφάλιζε τα προς το ζη. Αποβιβάστηκε στο Πειραιά και καθημεριά πήγαιε στη Αθήα, άκουγε τους σοφιστές και γύριζε πάλι πίσω. Έμειε εκεί μήες και στη συέχεια επέστρεψε στη πατρίδα του. Με τη βοήθεια τω φίλω του ααχώρησε για τη Αίγυπτο μαζί με το γιατρό Χρύσιππο, έχοτας συστατικές επιστολές από το Αγησίλαο για το Νεκτάαβι που το σύστησε στους ιερείς. Εκεί έμειε έα χρόο ξύρισε τα γέια και συέγραψε τη «Οκταετηρίδα». Από κει πήγε στη Κύζικο και στη Προποτίδα για α διδάξει ως σοφιστής. Πήγε επίσης και στη αυλή του Μαυσώλου. Κατόπι ξααγύρισε στη Αθήα έχοτας πάρα πολλούς μαθητές για α λυπήσει, όπως λέε μερικοί το Πλάτωα επειδή από τη αρχή δε του είχε δώσει σημασία. Κάποιοι μάλιστα λέε ότι στη διάρκεια εός συμποσίου του Πλάτωα, όπου ήτα πολλοί ο Εύδοξος πρότειε α βάζου τα αάκλιτρα σε ημικύκλιο. Ο Νικόμαχος του Αριστοτέλη λέει πως αυτός θεωρούσε τη ηδοή αγαθό.

13 pedšcqh d¾ n tí patr di megalot mwj æj tò ge perˆ aùtoà y»fisma genòmenon dhlo. ll kaˆ par to j Ellhsin pifanšstatoj gšneto, gr yaj to j d oij pol taij nòmouj, éj fhsin Ermippoj n tet rtv Perˆ tîn pt sofîn (FHG iii. 40), kaˆ strologoúmena kaˆ gewmetroúmena kaˆ ter' tta xiòloga. Esce d kaˆ qugatšraj tre j, 'Akt da, Delf da, Filt da. fhsˆ d' aùtõn 'Eratosqšnhj n to j PrÕj B twna (FGrH 4 F ) kaˆ Kunîn dialògouj sunqe nai oƒ dš, gegrafšnai m n A gupt ouj tí aøtîn fwní, toàton d meqermhneúsanta kdoànai to j Ellhsi. toútou di»kouse CrÚsippoj Ð 'Er new Kn dioj t te perˆ qeîn kaˆ kòsmou kaˆ tîn metewrologoumšnwn, t d' atrik par Filist wnoj toà Sikeliètou. Katšlipe d kaˆ Øpomn»mata k llista. toútou gšgone pa j 'AristagÒraj, oá CrÚsippoj 'Aeql ou maqht»j,. `O d' aùtòj fhsi tõn Kn dion EÜdoxon km sai kat t¾n tr thn kaˆ katost¾n 'Olumpi da, eøre n te t perˆ t j kampúlaj gramm j. teleúthse d tr ton gwn kaˆ penthkostõn œtoj. Toàton ntˆ EÙdÒxou Endoxon k loun di t¾n lampròthta táj f»mhj. Στη πατρίδα του το δέχτηκα με μεγάλες τιμές όπως φαίεται από το ψήφισμα που έγιε γι αυτό. Αλλά και μεταξύ τω Ελλήω ξεχώρισε, θεσπίζοτας όμους για τους συμπολίτες του, όπως λέει ο Ερμιππος στο τέταρτο «Περί τω εφτά σοφώ», και γράφοτας για αστροομία γεωμετρία και άλλα αξιόλογα. Είχε και τρείς κόρες, τη Ακτίδα τη ελφίδα και τη Φιλτίδα. Ο Ερατοσθέης στα προς Βάτωα λέει πως είχε συθέσει και «Κυώ διαλόγους». Αλλοι λέε πως τούτοι οι διάλογοι είχα γραφτεί από Αιγύπτιους στη δική τους γλώσσα και πως ο Εύδοξος τους μετέφρασε και τους δημοσιοποίησε στους Ελληες. Ο Κίδιος Χρύσιππος του Ερίεου παρακολούθησε τις ομιλίες του για τους θεούς, το σύμπα και τα ουράια φαιόμεα εώ τα ιατρικά θέματα τα γώρισε από το Φιλιστίωα το Σικελιώτη. Αφησε εξαίρετα υπομήματα. Είχε και έα γιο, το Αρισταγόρα του οποίου γιος ήτα ο Χρύσιππος, μαθητής του Αεθλίου. Ο Κίδιος Εύδοξος άκμασε κατά τη εκατοστή Τρίτη Ολυμπιάδα και αακάλυψε τα σχετικά με τις καμπύλες γραμμές. Πέθαε πεήτα τριώ χροώ. Λόγω της μεγάλης του φήμης το οόμασα Έδοξο ατί για Εύδοξο. Tέλος πρέπει α ααφερθεί ότι ο Εύδοξος ήτα πολύ μεγάλος μαθηματικός ίσως ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας μετά το Αρχιμήδη και αυτό φαίεται από τη ααφορά τω έργω του. Θεωρία λόγω (V βιβλίο τω Στοιχείω του Ευκλείδη ), μέτρηση εμβαδώ και όγκω (XII βιβλίο τω Στοιχείω). Με αυτά τα έργα θα ασχοληθούμε παρακάτω.

14 . ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΜΕΓΕΘΩΝ ΣΤΟ V ΒΙΒΛΙΟ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Το V βιβλίο τω Στοιχείω του Ευκλείδη αποδίδεται στο Εύδοξο. αώυμο σχόλιο στο V βιβλίο ααφέρεται. «Toàto tõ bibl on EÙdÒxou toà Knid ou toà maqhmatikoà toà kat toýj Pl twnoj crònouj gegonòtoj e nai lšgetai, pigšgraptai d Ómwj EÙkle dou.» (Σχόλιο V.,- ) Σ έα Εκεί, ο Εύδοξος, αέπτυξε ακόμα περισσότερο τη έοια του λόγου για οποιαδήποτε μεγέθη. Όμως ας δούμε τι ίσχυε πρι τη εποχή του Ευδόξου. Η πρώτη θεωρία ααλογιώ ίσχυε για τη περίπτωση τω αριθμώ και τω συμμέτρω μεγεθώ. Η θεωρία αυτή αήκει στους Πυθαγόρειους. Ο ορισμός. εξής που αποτέλεσε τη βάση αυτής της θεωρίας είαι ο Ορισμός Εστω Α και Β δύο σύμμετρα μεγέθη και Γ, δύο άλλα σύμμετρα μεγέθη, όχι κατ αάγκη ομοειδή προς τα Α,Β. Τότε Α/B=Γ/ α και μόο α το Α είαι το ίδιο πολλαπλάσιο ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια μέρη του Β όπως το Γ είαι του. H δεύτερη θεωρία ααλογιώ είαι η αθυφαιρετική θεωρία λόγω, η οποία ίσχυε και σε ομογεή ασύμμετρα μεγέθη.ο ορισμός που αποτέλεσε τη βάση εξής αυτής της θεωρίας είαι ο Ορισμός Εστω Α,Β έα ζεύγος ομογεώ μεγεθώ με Α>Β και Γ, έα άλλο ζεύγος ομογεώ μεγεθώ με Γ>. Τότε Α/B=Γ/ α και μόο α Αθ(Α,Β)=Αθ(Γ, ) Για το πιο πάω ορισμό δε υπάρχει καμία ααφορά σε κείμεο της αρχαιότητας.η αποκάλυψή του είαι έργο τω ιστορικώ τω μαθηματικώ H. G. Zeuthen, E. Dijκsterhuis και κυρίως του O. Becker. Η θεμελιώδης μαρτυρία που οδήγησε τους παραπάω ιστορικούς στη διατύπωση της θέσης για τη ύπαρξη αυτού του ορισμού είαι έα χωρίο από τα Τοπικά του Αριστοτέλη (58b9-5) που ααφέρει: llwn tîn Ðrismoà deomšnwn. œoike d kaˆ n to j maq»masin œnia di' Ðrismoà œlleiyin où vd wj gr fesqai, oœon Óti ¹ par t¾n pleur n tšmnousa tõ p pedon Ðmo wj diaire t»n te gramm¾n kaˆ tõ cwr on. toà d Ðrismoà hqšntoj eùqšwj fanerõn tõ legòmenon t¾n g r aùt¾n ntana resin œcei t cwr a kaˆ aƒ gramma œsti d' ÐrismÕj toà aùtoà lògou oátoj. ηλαδή Φαίεται ότι και στα μαθηματικά μερικές προτάσεις δε είαι εύκολο α αποδειχτού λόγω έλλειψης ορισμού, όπως για παράδειγμα ότι η ευθεία που τέμει έα παραλληλόγραμμο και είαι παράλληλη προς τη μια πλευρά αυτού διαιρεί ομοίως και τη πλευρά και το χωρίο. Μόλις όμως διατυπωθεί ο 4

15 ορισμός το λεγόμεο γίεται αμέσως φαερό. ιότι τα χωρία και οι γραμμές έχου τη ίδια ατααίρεση, και αυτός είαι ο ορισμός του αυτού του λόγου. O Αλέξαδρος ο Αφροδισιέας στα σχόλιά του στα Τοπικά.(545,5-9) ααφέρει: œsti d ÐrismÕj tîn nalògwn, ú oƒ rca oi crînto, oátoj n logon œcei megšqh prõj llhla ïn ¹ aùt¾ nqufa resij aùtõj d t¾n nqufa resin ntana resin e rhke. t d' n logon œconta prõj llhla kaˆ Ðmo wj œcein prõj llhla lšgetai diõ e pen œsti d ÐrismÕj toà aùtoà lògou oátoj ntˆ toà œsti d ÐrismÕj toà n logon. «ότι ατααίρεση σημαίει αθυφαίρεση και μεγέθη είαι αάλογα ότα έχου τη ίδια αθυφαίρεση». Ο συδυασμός αυτού του χωρίου με το χωρίο από τα «Ααλυτικά Υστερα» του Αριστοτέλη (Α5, 74a 8-5) αποκτά ιστορική διάσταση. Το χωρίο αυτό λέει : tõ n logon Óti kaˆ nall x, Î riqmoˆ kaˆ Î grammaˆ kaˆ Î stere kaˆ Î crònoi, ésper de knutò pote cwr j, ndecòmenòn ge kat p ntwn mi pode xei deicqánai ll di tõ m¾ e nai çnomasmšnon ti taàta p nta n, riqmo m»kh crònoi stere, kaˆ e dei diafšrein ll»lwn, cwrˆj lamb neto. nàn d kaqòlou de knutai où g r Î grammaˆ À Î riqmoˆ ØpÁrcen, ll' Î tod, Ö kaqòlou Øpot qentai Øp rcein. ηλαδή το θεώρημα της εαλλαγής τω όρω σε μια ααλογία παλαιότερα το αποδείκυα ξεχωριστά για αριθμούς για γραμμές για στερεά και για χρόους εώ τώρα είαι δυατό α αποδειχτεί με μια απόδειξη για όλα. Αρα αφού το θεώρημα της εαλλαγής αποδεικύεται με το ορισμό του Ευδόξου για όλα τα μεγέθη σε μία απόδειξη, αυτό σημαίει ότι υπήρχε παλαιότερα κάποια άλλη θεωρία ααλογιώ για ασύμμετρα μεγέθη. Σύμφωα με τα παραπάω χωρία αυτή δε είαι άλλη παρά η αθυφαιρετική θεωρία λόγω που βασίζεται στο αθυφαιρετικό ορισμό (Θεαίτητος ) Η τρίτη θεωρία ααλογιώ είαι του Ευδόξου Το V βιβλίο τω στοιχείω του Ευκλείδη περιέχει τη θεωρία λόγω του Ευδόξου. Παραθέτουμε τους πέτε πρώτους ορισμούς. Α Mšroj stˆ mšgeqoj megšqouj tõ œlasson toà me zonoj, Ótan katametrí tõ me zon. Β. Pollapl sion d tõ me zon toà l ttonoj, Ótan katametrátai ØpÕ toà l ttonoj. Γ. LÒgoj stˆ dúo megeqîn Ðmogenîn ¹ kat phlikòtht poia scšsij.. LÒgon œcein prõj llhla megšqh lšgetai, dúnatai pollaplasiazòmena ll»lwn Øperšcein. Ε. 'En tù aùtù lògj megšqh lšgetai e nai prîton prõj deúteron kaˆ tr ton prõj tštarton, Ótan t toà prètou kaˆ tr tou s kij pollapl sia tîn toà deutšrou kaˆ tet rtou s kij pollaplas wn kaq' Ðpoionoàn pollaplasiasmõn k teron katšrou À ma ØperšcV À ma sa Ï À ma lle pv lhfqšnta kat llhla. Ο ορισμός (ε) μας λέει ότι για δύο ζεύγη ομοειδώ μεγεθώ Α,Β και Γ,, Α/Β=Γ/ μόο α για οιουσδήποτε δύο φυσικούς αριθμούς μ, ισχύει μία τω σχέσεω παρακάτω τριώ 5

16 i) μα>β και συγχρόως μγ> i i) μα=β και συγχρόως μγ= iii) μα<β και συγχρόως μγ< Ο ορισμός αυτός κρίθηκε αρητικά από πολλούς, μάλιστα λέγεται ότι ο Γαλιλαίος το χαρακτήρισε ως το χειρότερο ορισμό που γώριζε. Καταβλήθηκα πολλές προσπάθειες, έως ότου οδηγηθούμε σε μία αποδεκτή ερμηεία από το Thomas Heath[4], το 906.Αυτή έχει ως εξής «το κλάσμα Β Α χωρίζει το πλήθος τω θετικώ ρητώ μ σε τέτοιους, ώστε μ Α >. Β και μ Α. Β. Η τομή κατά τη σύγχροη ορολογία του Dedekind- Α Γ προσδιορίζει το ρητό ή ασύμμετρο αριθμό. Το κλάσμα χωρίζει Β Δ ομοίως το πλήθος τω θετικώ ρητώ σε τέτοιους, ώστε μ. Γ >. Δ μ Γ μ. Γ. Δ.Η τομή προσδιορίζει το ρητό ή ασύμμετρο αριθμό.εά οι δύο Δ Α Γ αυτές τομές συμπίπτου, τότε θα έχουμε =. Εά η πρώτη είαι Β Δ Α Γ μεγαλύτερη της δεύτερης,τότε θα έχουμε >». Β Δ Η σηματική έλλειψη του παραπάω ορισμού από τους Έλληες είαι η ατίστροφη διατύπωση, δηλαδή ότι κάθε τέτοια τομή παράγει έα πραγματικό αριθμό και σ αυτό ακριβώς το σημείο ο Dedekind κάει τη απαραίτητη προσθήκη, για τη πλήρη θεμελίωση τω πραγματικώ αριθμώ. (Ε.Σταμάτης [8]). Ορισμός Έα σύολο i) Α Ø. ii) Α Q. Α Q λέγεται τομή Dedekind, α iii)α r Α και q Q: q<r τότε q Α iv) To Α δε έχει μέγιστο στοιχείο, δηλαδή r Α, r Α r < r. ΑΞΙΩΜΑ ΕΥΔΟΞΟΥ- ΑΡΧΙΜΗΔΗ Ο τέταρτος ορισμός του V βιβλίου ααφέρει ότι ότα δοθού δύο άισα μεγέθη Α<Β του ίδιου είδους τότε υπάρχει θετικός ακέραιος n ώστε n.α>β. και 6

17 Η ιδιότητα αυτή έμειε γωστή μεταγεέστερα ως η ιδιότητα τω Αρχιμήδη Εύδοξου ή σα το αξίωμα συέχειας. O Aρχιμήδης σε δύο πραγματείες του ααφέρει τούτο ως λήμμα. ι) Στη πραγματεία του «περί σφαίρας και κυλίδρου» το διατυπώει ως εξής: Eti d tîn n swn grammîn kaˆ tîn n swn pifaneiîn kaˆ tîn n swn stereîn tõ me zon toà l ssonoj Øperšcein toioútj, Ö suntiqšmenon aùtõ autù dunatòn stin Øperšcein pantõj toà proteqšntoj tîn prõj llhla legomšnwn. Ακόμη δε και στις άισες γραμμές και στις άισες επιφάειες και στα άισα στερεά, είαι δυατό η διαφορά τω λαμβαομέη πολλές φορές α υπερβεί ολόκληρο το μεγαλύτερο μέγεθος ιι) Στο πρόλογο της πραγματείας «τετραγωισμός της παραβολής» ( σελ. 65,6 65,6), ο Αρχιμήδης ααφέρει το «λήμμα» που υποθέτει και είαι γωστό σήμερα με το όομα «Αξίωμα Ευδόξου Αρχιμήδη» ως εξής: tîn n swn cwr wn t n Øperoc n, μ Øperšcei tõ me zon toà l ssonoj, dunatõn e men aùt n aut suntiqemšnan pantõj Øperšcein toà proteqšntoj peperasmšnou cwr ou. Kšcrhntai d kaˆ oƒ pròteron gewmštrai tùde tù l»mmati toúj te g r kúklouj diplas ona lògon œcein pot' ll louj t n diamštrwn podede casin aùtù toútj tù l»mmati crèmenoi, kaˆ t j sfa raj Óti triplas ona lògon œconti pot' ll laj t n diamštrwn, œti d kaˆ Óti p sa puramˆj tr ton mšroj stˆ toà pr smatoj toà t n aùt n b sin œcontoj t puram di kaˆ Ûyoj son kaˆ diòti p j kînoj tr ton mšroj stˆ toà kul ndrou toà t n aùt n b sin œcontoj tù kènj kaˆ Ûyoj son, Ðmo on tù proeirhmšnj lámm ti lamb nontej œgrafon. Sumba nei d tîn Η υπεροχή, κατά τη οποία το μεγαλύτερο από δύο δοθέτα μεγέθη υπερέχει,είαι δυατό λαμβαομέη πολλές φορές α υπερβεί το δοθέ (μεγαλύτερο) πεπερασμέο μέγεθος. Αλλωστε το λήμμα αυτό είχα χρησιμοποιήσει και οι προηγούμεοι γεωμέτρες, διότι με αυτό αποδείκυα ότι ο λόγος τω εμβαδώ δύο κύκλω μεταξύ τους ισούται με το τετράγωο του λόγου τω διαμέτρω τους[χιι.] και ότι ο λόγος τω όγκω δύο σφαιρώ μεταξύ τους ισούται με τη τρίτη δύαμη του λόγω τω διαμέτρω τους[χιι.8]. Επίσης χρησιμοποιώτας έα λήμμα παρόμοιο με το προααφερθέ απέδειξα ότι κάθε πυραμίδα είαι το έα τρίτο πρίσματος που έχει τη ίδια βάση και ίσο ύψος με τη πυραμίδα[χιι.7], καθώς και ότι κάθε κώος ισούται με το έα τρίτο κυλίδρου που έχει τη ίδια βάση και ίσο ύψος με το κώο.[χιι.0]. Συμβαίει επίσης τα παραπάω 7

18 proeirhmšnwn qewrhm twn kaston mhdenõj Âsson tîn neu toútou toà l»mmatoj podedeigmšnwn pepisteukšnai rke d j t n Ðmo an p stin toútoij nagmšnwn tîn Øf' mîn kdidomšnwn. θεωρήματα α μη είαι λιγότερο αποδεκτά από τα άλλα που έχου αποδειχτεί χωρίς τη βοήθεια αυτού του λήμματος, εμέα μου αρκεί α φθάσου α γίου εξ ίσου αξιόπιστα με εκεία και αυτά που εκδίδω τώρα.. Κατά το Ε. Σταμάτη [7] το αξίωμα της συέχειας το ορθότερο είαι α μημοεύεται ως αξίωμα του Ααξαγόρα και όχι ως αξίωμα του Εύδοξου ή του Αρχιμήδους. Εις το έργο του Ααξαγόρα «περί φύσεως» υπάρχει το εξής απόσπασμα oüte» g r toà smikroà sti tò ge l ciston, ll' œlasson e (tõ g r Õn oùk œsti tõ m¾ oùk e nai) ll kaˆ toà meg lou e sti me zon. kaˆ son stˆ tîi smikrîi pláqoj, prõj autõ d kastòn sti kaˆ mšga kaˆ smikròn»(διότι κατά τη θεώρηση του μικρού δε δυάμεθα α ισχυριστούμε ότι υπάρχει το μικρότατο, αλλά πάτοτε μικρότερο απ αυτό, (διότι το υπάρχο δε μπορεί α παύσει α υπάρχει οσοδήποτε μικρό και α θεωρηθεί ) αλλά και για το μεγάλο υπάρχει πάτοτε μεγαλύτερο). Τη οομασία αξίωμα μετρήσεως του Αρχιμήδους χρησιμοποιεί ο D. Hilbert εις τη πραγματεία του «Αρχές της Γεωμετρίας». Ο Έλληας μαθηματικός Κω. Καραθεοδωρής το οομάζει θεώρημα του Αρχιμήδους, το αποδίδει όμως στο Εύδοξο και το διατυπώει ως εξής: «Εά ε και α είαι δύο τυχότες πεπερασμέοι θετικοί αριθμοί, τότε η ακολουθία ε, ε, ε, 4ε... περιέχει αριθμούς,οι οποίοι υπερβαίου το α» ( Ε. Σταμάτη [7]). Παρακάτω θα ααφέρουμε συοπτικά μερικές πολύ χρήσιμες προτάσεις του V βιβλίου που θα φαού πολύ σηματικές στα επόμεα κεφάλαια. Πρόταση : Oƒ tù aùtù lògj oƒ aùtoˆ kaˆ ll»loij e sˆn oƒ aùto. Α α/β = γ/δ και γ/δ = ε/ζ τότε α/β = ε/ζ Πρόταση : 'E n Ï Ðposaoàn megšqh n logon, œstai æj œn tîn ¹goumšnwn prõj œn tîn pomšnwn, oûtwj panta t ¹goÚmena prõj panta t pòmena. Α α/α' = β/β' = γ/γ' = τότε α/α' = (α+β+γ+ ) / (α'+β'+γ'+ ) Πρόταση 6: 'E n tšssara megšqh n logon Ï, kaˆ nall x n logon œstai. Α α/β = γ/δ τότε α/γ = β/δ. 8

19 Πρόταση 7: 'E n sugke mena megšqh n logon Ï, kaˆ diaireqšnta n logon œstai. Πρόταση 8: 'E n divrhmšna megšqh n logon Ï, kaˆ sunteqšnta n logon œstai. Α α/β = γ/δ τότε (α-β)/β = (γ-δ)/δ. Α α/β = γ/δ τότε (α+β)/β = (γ+δ)/δ. 9

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗΣ ΣΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Οι Έλληες γεωμέτρες έως τη εποχή του Ευδόξου,είχα διαισθητικά δεχτεί ότι τα εμβαδά απλώ καμπυλόγραμμω σχημάτω ήτα γεωμετρικά μεγέθη του ίδιου τύπου, όπως και τα εμβαδά πολυγωικώ σχημάτω. Για το υπολογισμό τους χρησιμοποιούσα δύο φυσικές ιδιότητες. ) Τη μοοτοία : Α έα πολύγωο Α περιέχεται σ έα καμπυλόγραμμο σχήμα Β,τότε εμβ(α)<εμβ(β) και )Τη προσθετικότητα: A Γ=Α Β και Α,Β ξέα μεταξύ τους τότε εμβ(γ)=εμβ(β)+ εμβ(α) Αυτές οι δύο ιδιότητες έπαιξα σηματικό ρόλο ώστε ο Εύδοξος α οδηγηθεί αργότερα σε μία μέθοδο υπολογισμού εμβαδώ καμπυλόγραμμω σχημάτω,που σήμερα είαι γωστή ως η «μέθοδος της εξάτλησης».(ε.γιαακούλιας[]). Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τη πρόταση X. τω Στοιχείω,η οποία αποτελεί τη Αρχή της εξάτλησης, θα δούμε συοπτικά τα συμπεράσματα τω προτάσεω του ΧΙΙ βιβλίου και θα αποδείξουμε τις προτάσεις ΧΙΙ. και ΧΙΙ.5 με σύγχροη ορολογία.. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗΣ Η αρχή της εξάτλησης διατυπώεται στη πρόταση Χ.Ι τω βιβλίω τω Στοιχείω του Ευκλείδη. Αποτελεί μια εφαρμογή της αρχής της συέχειας και είαι μεγίστης σημασίας για τη γέεση τω άπειρω διαδικασιώ. Ας δούμε πώς η πρόταση ΧI διατυπώεται και αποδεικύεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη. ΠΡΟΤΑΣΗ X. DÚo megeqîn n swn kkeimšnwn, n põ toà me zonoj faireqí me zon À tõ ¼misu Έστω δύο άισα μεγέθη. Α απ το μεγαλύτερο αφαιρέσουμε έα μέγεθος μεγαλύτερο απ το μισό του 0

21 kaˆ toà kataleipomšnou me zon À tõ ¼misu, kaˆ toàto eˆ g gnhtai, leifq»seta ti mšgeqoj, Ö œstai œlasson toà kkeimšnou l ssonoj megšqouj και απ αυτό που μέει έα μέγεθος μεγαλύτερο απ το μισό του και α αυτή η διαδικασία επααλαμβάεται συεχώς θα μείει έα μέγεθος το οποίο θα είαι μικρότερο από το μικρότερο αρχικό μέγεθος. A Κ Θ B Γ Ζ Η Ε Estw dúo megšqh nisa t AB, G, ïn me zon tõ AB lšgw, Óti, n põ toà AB faireqí me zon À tõ ¼misu kaˆ toà kataleipomšnou me zon À tõ ¼misu, kaˆ toàto eˆ g gnhtai, leifq»seta ti mšgeqoj, Ö œstai œlasson toà G megšqouj TÕ G g r pollaplasiazòmenon œstai pot toà AB me zon. pepollaplasi sqw, kaˆ œstw tõ DE toà m n G pollapl sion, toà d AB me zon, kaˆ divr»sqw tõ DE e j t tù G sa t DZ, ZH, HE, kaˆ fvr»sqw põ m n toà AB me zon À tõ ¼misu tõ BQ, põ d toà AQ me zon À tõ ¼misu tõ QK kaˆ toàto eˆ gignšsqw, wj n aƒ n tù AB diairšseij soplhqe j gšnwntai ta j n tù DE diairšsesin. Estwsan oân aƒ AK, KQ, QB diairšseij soplhqe j oâsai ta j DZ, ZH, HE kaˆ peˆ me zòn sti tõ DE toà AB, kaˆ fçrhtai põ m n toà DE œlasson toà ¹m seoj tõ EH, põ d toà AB me zon À tõ ¼misu tõ BQ, Εστω δύο μεγέθη άισα τα ΑΒ,Γ τω οποίω μεγαλύτερο το ΑΒ λέγω, ότι,εά από το ΑΒ αφαιρεθεί μεγαλύτερο από το μισό και από το υπόλοιπο μεγαλύτερο του μισού και τούτο γίεται πάτα, τότε θα μείει μέγεθος το οποίο θα είαι μικρότερο του μεγέθους Γ ιότι το Γ πολλαπλασιαζόμεο θα γίει κάποτε μεγαλύτερο του ΑΒ. Ας πολλαπλασιαστεί και έστω το Ε πολλαπλάσιο του Γ και του ΑΒ μεγαλύτερο και ας διαιρεθεί το Ε σε ίσα προς το Γ μεγέθη τα Ζ, ΖΗ, ΗΕ, και ας αφαιρεθεί από το ΑΒ μεγαλύτερο του μισού το ΒΘ, από δε το ΑΘ μεγαλύτερο του μισού το ΘΚ και τούτο ας γίεται πάτοτε έως ότου οι διαιρέσεις του ΑΒ α γίου ισοπληθείς με τις διαιρέσεις του Ε Έστω λοιπό οι διαιρέσεις ΑΚ, ΚΘ, ΘΒ, ισοπληθείς προς τις διαιρέσεις Ζ, ΖΗ, ΗΕ και επειδή το Ε>ΑΒ και αφαιρεθεί από με το Ε λιγότερο του μισού το ΕΗ από δε το ΑΒ μεγαλύτερο του μισού το ΒΘ, το υπόλοιπο άρα το

22 loipõn ra tõ HD loipoà toà QA me zòn stin. kaˆ peˆ me zòn sti tõ HD toà QA, kaˆ fçrhtai toà m n HD ¼misu tõ HZ, toà d QA me zon À tõ ¼misu tõ QK, loipõn ra tõ DZ loipoà toà AK me zòn stin.. son d tõ DZ tù G kaˆ tõ G ra toà AK me zòn stin. œlasson ra tõ AK toà G. Katale petai ra põ toà AB megšqouj tõ AK mšgeqoj œlasson n toà kkeimšnou l ssonoj megšqouj toà G Óper œdei de xai. Ðmo wj d deicq»setai, k n ¹m sh Ï t fairoúmena Η θα είαι μεγαλύτερο του υπολοίπου ΘΑ. και επειδή το Η >ΘΑ και αφαιρέθει από με του Η το μισό ΗΖ, από δε του ΘΑ μεγαλύτερο του μισού το ΘΚ, άρα το υπόλοιπο Ζ είαι μεγαλύτερο του υπολοίπου ΑΚ. Είαι δε Ζ=Γ. Άρα και το Γ>ΑΚ. Μικρότερο άρα το ΑΚ του Γ. Απομέει άρα από το μέγεθος ΑΒ το μέγεθος ΑΚ, το οποίο είαι μικρότερο του δοθέτος μικροτέρου μεγέθους Γ ο.ε.δ. καθ όμοιο τρόπο γίεται η απόδειξη ότα τα αφαιρούμεα είαι μισά ΣΧΟΛΙΑ ) Η πρόταση Χ. χρησιμοποιείται στα Στοιχεία του Ευκλείδη στη απόδειξη της Χ. και σε πολλές προτάσεις του ΧII βιβλίου. ) Ο van der Waerden [] αποδίδει στο Θεαίτητο τη Χ.. Συγκεκριμέα ααφέρει «Στο δέκατο βιβλίο χρησιμοποιείται αποκλειστικά στη απόδειξη της πρότασης Χ. Εά δοθού δύο άισα μεγέθη και αθυφαιρείται πάτοτε το μικρότερο από το μεγαλύτερο,και το εκάστοτε υπόλοιπο ουδέποτε καταμετρεί το προηγούμεο αυτού, τα μεγέθη θα είαι ασύμμετρα. Η απόδειξη της πρότασης είαι αρκετά κομψή μπορεί α γίει όμως και χωρίς τη χρήση της Χ., ως εξής α τα μεγέθη Α και Β είχα κοιό μέτρο Ε,τότε τα υπόλοιπα που προκύπτου από τη αθυφαίρεση θα ήτα πάτοτε πολλαπλάσια του Ε και, μάλιστα, σταθερά ελαττούμεα πολλαπλάσια, οπότε μετά από πεπερασμέο αριθμό βημάτω η ακολουθία τω υπολοίπω θα έφταε στο τέλος. Κατά συέπεια η Χ. δε είαι προαπαιτούμεη της Χ.. Αλλά τότε, ποιο σκοπό εξυπηρετεί η Χ.; Χρειάζεται για τη αθυφαιρετική απόδειξη της πρότασης α Α/Γ=Β/Γ, τότε Α=Β η οποία με τη σειρά της χρειαζότα, για α θεμελιωθεί η θεωρία τω ααλογιώ. Ο Θεαίτητος άρχισε προφαώς το βιβλίο του με μια έκθεση της θεωρίας τω ααλογιώ με βάση το ορισμό μέσω της ατααίρεσης. Ακολουθώτας τη συηθισμέη μέθοδο, άρχισε με λήμματα τα οποία θα του χρειάζοτα αργότερα.σ αυτά περιλαμβάεται η Χ.»

23 ) Με σύγχροη ορολογία στη πρόταση Χ. αποδεικύεται ότι, α για μια * ακολουθία ( α ) θετικώ όρω ισχύει α + α Ν, τότε για * οποιοδήποτε θετικό αριθμό ε, ρ Ν, ώστε α ρ < ε. Η σχέση μάλιστα α + α α + = α ω με ω * Ν α * Ν α δίεται εκεί έμμεσα ως εξής Τότε ισχύει α + α α = * Ν. Αποδεικύεται επαγωγικά ότι α α α * α Ν οπότε για α είαι α ε ρ < αρκεί < ε ρ ή ρ ε > που εξασφαλίζεται από το Αξίωμα Ευδόξου Αρχιμήδη. α. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗΣ ΣΤΟ ΧΙΙ ΒΙΒΛΙΟ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Στο ΧΙΙ βιβλίο διατυπώοται και αποδεικύοται 8 συολικά προτάσεις τα βασικά συμπεράσματα τω οποίω έχου συοπτικά ως εξής. Αρχικά στη πρόταση, αποδεικύεται ότι δύο κύκλοι είαι αάλογοι τω τετραγώω τω διαμέτρω τους. Ας σημειωθεί ότι με σημεριούς όρους,το εμβαδό κύκλου λαμβάεται ως όριο της ακολουθίας ( Ε η ) που ορίζου τα η εμβαδά τω εγγεγραμμέω στο κύκλο καοικώ πολυγώω με πλευρές. Στη συέχεια αποδεικύεται ότι δύο πυραμίδες (τριγωικές αρχικά και μετά πολυγωικές ) με ίσα ύψη είαι αάλογες τω βάσεω τους, για α καταλήξουμε στη πρόταση 7, απ όπου προκύπτει το θεμελιώδες συμπέρασμα, σύμφωα με το οποίο κάθε τριγωικό πρίσμα διαιρείται σε τρεις ίσες (ισοδύαμες ) τριγωικές πυραμίδες. Έτσι ο λόγος δύο όμοιω τριγωικώ πυραμίδω αάγεται σε λόγο παραλληλεπιπέδω, για α αποδειχτεί τελικά ότι ισούται με το κύβο του λόγου τω ομολόγω ακμώ τους (πρόταση 8). Ακολουθεί η σύγκριση κώου και κυλίδρου με ίσες βάσεις και ίσα ύψη. Αρχικά αποδεικύεται ότι, α δύο κώοι (ή κύλιδροι ) έχου ίσα ύψη, τότε είαι αάλογοι τω βάσεω τους (πρόταση ). Ακολούθως αποδεικύεται ότι δύο όμοιοι κώοι (ή κύλιδροι) είαι αάλογοι τω κύβω τω διαμέτρω τω βάσεω τους (πρόταση ). Στη συέχεια αποδεικύεται ότι δύο κύλιδροι (ή κώοι) με ίσες βάσεις είαι αάλογοι τω υψώ τους, καταλήγοτας στο ότι δύο ίσοι κύλιδροι (ή κώοι) έχου ύψη ατιστρόφως αάλογα τω βάσεω τους αλλά και ατίστροφα (πρόταση5) Με σημεριούς όρους ο όγκος V εός κυλίδρου και ο όγκος V εός κώου λαμβάοται ως όρια τω ακολουθιώ (V η ) και(v η ) που ορίζοται από τους όγκους τω εγγεγραμμέω πρισμάτω και πυραμίδω ατιστοίχως η με βάσεις καοικά πολύγωα με πλευρές.

24 Το κεφάλαιο τελειώει με τη πρόταση 8 στη οποία αποδεικύεται ότι δύο σφαίρες είαι αάλογες τω κύβω τω διαμέτρω τους. Της απόδειξης αυτής προηγείται η εξής πρόταση, α δοθού δύο ομόκετρες σφαίρες τότε υπάρχει δυατότητα α εγγράψουμε στη μεγάλη σφαίρα πολύεδρο που α μη έχει κοιά σημεία με τη μικρή σφαίρα. Το χαρακτηριστικό γώρισμα του XII βιβλίου είαι η χρήση της μεθόδου της εξάτλησης που εφαρμόζεται στις προτάσεις,,4,5,0,,6,7,8. Το XII. βιβλίο τω στοιχείω αποδίδεται στο Εύδοξο σύμφωα κυρίως με τα λεγόμεα του Αρχιμήδη. ) Στο πρόλογο του βιβλίου του «περί σφαίρας και κυλίδρου» (κεφάλαιο, 9,-9,), ο Αρχιμήδης, έπειτα από τη ααφορά τω αποτελεσμάτω σχετικά με τη επιφάεια της σφαίρας και του όγκου και της επιφάειας εός ότι ορθού κυλίδρου με ύψος ίσο με τη διάμετρο της σφαίρας ααφέρει [diòper oùk n Ñkn»saimi ntiparabale n aùt pròj te t to j lloij gewmštraij teqewrhmšna kaˆ prõj t dòxanta polý Øperšcein tîn ØpÕ EÙdÒxou perˆ t stere qewrhqšntwn, Óti p sa puramˆj tr ton stˆ mšroj pr smatoj toà b sin œcontoj t¾n aùt¾n tí puram di kaˆ Ûyoj son, kaˆ Óti p j kînoj tr ton mšroj stˆn toà kul ndrou toà b sin œcontoj t¾n aùt¾n tù kènj kaˆ Ûyoj son kaˆ g r toútwn prouparcòntwn fusikîj perˆ taàta t sc»mata, pollîn prõ EÙdÒxou gegenhmšnwn x wn lògou gewmetrîn sunšbainen ØpÕ p ntwn gnoe sqai mhd' Øf' nõj katanohqánai.] "έχοτας τώρα αακαλύψει ότι οι ιδιότητες που ααφέραμε είαι αληθιές σ αυτά τα σχήματα, δε αισθάομαι καέα δισταγμό α τις παραθέσω δίπλα με τις προηγούμεες αακαλύψεις μου και με αυτές τω θεωρημάτω του Ευδόξου στα στερεά που έχου θεμελιωθεί, συγκεκριμέα ότι «κάθε πυραμίδα είαι το έα τρίτο του πρίσματος με τη ίδια βάση και ίσο ύψος» (XII.7) και κάθε κώος είαι το έα τρίτο του κυλίδρου που έχει τη ίδια βάση και ίσο ύψος (XII.0). Αυτές οι ιδιότητες ήτα άγωστες στους ικαούς γεωμέτρες που έζησα πρι το Εύδοξο και δε παρατηρήθηκα από καέα, α και προϋπάρχου φυσικώς στα σχήματα." )Στη πραγματεία "Αρχιμήδους περί τω μηχαικώ θεωρημάτω προς Ερατοσθέη έφοδος" (σελ., 84,4-84,7), ο Αρχιμήδης λέγει ότι: [ïn EÜdoxoj xhúrhken prîtoj t¾n pòdeixin, perˆ toà kènou kaˆ táj puram doj, Óti tr ton mšroj Ð m n kînoj toà kul ndrou, ¹ d puramˆj toà pr smatoj, tîn b sin còntwn t¾n aùt¾n kaˆ Ûyoj son] "Πρώτος ο Εύδοξος απέδειξε ότι ο κώος είαι το τρίτο μέρος του κυλίδρου και η πυραμίδα του πρίσματος με τη ίδια βάση και ίσο ύψος." Από τα ααφερθέτα συμπεραίουμε ότι οι βασικές προτάσεις του XII. βιβλίου είαι του Ευδόξου. Στο XII. Βιβλίο παρουσιάζεται η αάγκη α ορισθεί το εμβαδό του κύκλου με βάση το εμβαδό πολυγώου ή ο όγκος κυλίδρου(και κώου) με βάση το όγκο πρίσματος(πυραμίδας).επίσης παρουσιάζεται η αάγκη α συγκριθού πυραμίδα και πρίσμα που έχου ίσες βάσεις και ίσα ύψη. Σε αυτές τις 4

25 περιπτώσεις καταφεύγουμε στη αξιοθαύμαστη μέθοδο του Ευδόξου, τη μέθοδο της εξάτλησης. Οι Αρχαίοι Έλληες είχα συειδητά εξοβελίσει τη έοια του ορίου και του απείρου από τις αποδεικτικές τους διαδικασίες. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα α καταφεύγου σε αξιοθαύμαστες με, αλλά αρκετά δύσκαμπτες μεθόδους πέρα της ετυπωσιακής πράγματι διαδικασίας που ακολουθούσα για α υποψιαστού εκ τω προτέρω τη τιμή Β κάποιας κατά καόα γεωμετρικής ποσότητας Α τη οποία προσπαθούσα α υπολογίσου(ευκλείδη Στοιχεία, []) Το χαρακτηριστικό γώρισμα του XII. βιβλίου είαι η χρήση της μεθόδου της εξάτλησης που εφαρμόζεται στις προτάσεις,,,5,0,,6,7,8. Εμείς στη παρούσα εργασία θα ααφερθούμε στις προτάσεις και 5.. ΠΡΟΤΑΣΗ XII. Oƒ kúkloi prõj ll»louj e sˆn æj t põ tîn diamštrwn tetr gwna. Οι κύκλοι είαι μεταξύ τους όπως τα τετράγωα τω διαμέτρω τους. Ξ Α Ρ Κ Ε Ν Β Ζ Θ Ο Γ Π Λ Η Μ Estwsan kúkloi oƒ ABGD, EZHQ, di metroi d aù tîn [œstwsan] aƒ BD,ZQ lšgw, Óti stˆn æj Ð ABGD kúkloj prõj tõn EZHQ kúklon, oûtwj tõ põ táj BD tetr gwnon prõj tõ põ táj ZQ tetr gwnon. E g r m» stin æj Ð ABGD kúkloj prõj tõn EZHQ, oûtwj tõ põ táj BD tetr gwnon prõj tõ põ táj ZQ, œstai æj tõ põ táj BD prõj tõ põ Έστω οι κύκλοι ΑΒΓ, ΕΖΗΘ, διάμετροι δε αυτώ οι Β,ΖΘ. Λέγω ότι ο κύκλος ΑΒΓ προς το κύκλο ΕΖΗΘ είαι όπως το τετράγωο του Β προς το τετράγωο του ΖΘ. Α το τετράγωο του Β δε είαι προς το τετράγωο του ΖΘ όπως ο κύκλος ΑΒΓ προς το κύκλο ΕΖΗΘ, τότε όπως είαι το τετράγωο του Β προς το τετράγωο του ΖΘ θα είαι 5

26 táj ZQ, oûtwj Ð ABGD kúkloj ½toi prõj œlassòn ti toà EZHQ kúklou cwr on À prõj me zon. œstw pròteron prõj œlasson tõ S. kaˆ ggegr fqw e j tõn EZHQ kúklon tetr gwnon tõ EZHQ tõ d¾ ggegrammšnon tetr gwnon me zòn stin À tõ ¼misu toà EZHQ kúklou, peid»per n di tîn E, Z, H, Q shme wn faptomšnaj [eùqe aj] toà kúklou g gwmen, toà perigrafomšnou perˆ tõn kúklon tetragènou ¼misÚ sti tõ EZHQ tetr gwnon, toà d perigrafšntoj tetragènou l ttwn stˆn Ð kúkloj éste tõ EZHQ ggegrammšnon tetr gwnon me zòn sti toà ¹m - sewj toà EZHQ kúklou.. tetm»sqwsan d ca aƒ EZ, ZH, HQ, QE perifšreiai kat t K, L, M, N shme a, kaˆ pezeúcqwsan aƒ EK, KZ, ZL, LH, HM, MQ, QN, NE kaˆ kaston ra tîn EKZ, ZLH, HMQ, QNE trigènwn me zòn stin À tõ ¼misu toà kaq' autõ tm»matoj toà kúklou, peid»per n di tîn K, L, M, N shme wn faptomšnaj toà kúklou g gwmen kaˆ naplhrèswmen t pˆ tîn EZ, ZH, HQ, QE eùqeiîn parallhlògramma, kaston tîn EKZ, ZLH, HMQ, QNE trigènwn ¼misu œstai toà kaq' autõ parallhlogr mmou, ll tõ kaq' autõ tmáma œlattòn sti toà parallhlogr mmou éste kaston tîn EKZ, ZLH, HMQ, QNE trigènwn me zòn sti toà ¹m sewj toà kaq' autõ tm»matoj toà kúklou. και ο κύκλος ΑΒΓ προς έα μικρότερο ή μεγαλύτερο κύκλο ΕΖΗΘ. Έστω Β /ΖΘ = (κυκ.αβγ ) / (Σ) όπου Σ είαι η περιοχή εκείη με εμβαδό μικρότερο του κύκλου ΕΖΗΘ. Εγγράφουμε το τετράγωο ΕΖΗΘ στο κύκλο ΕΖΗΘ. Τότε το εγγραφόμεο τετράγωο είαι μεγαλύτερο από το μισό του κύκλου ΕΖΗΘ, επειδή εά από τα σημεία Ε,Ζ,Η,Θ, φέρουμε εφαπτόμεες στο κύκλο,το τετράγωο Ε,Ζ,Η,Θ είαι το μισό του περιγραφομέου περί το κύκλο τετραγώου,του δε περιγραφέτος τετραγώου ο κύκλος είαι μικρότερος. Ώστε το εγγραφόμεο τετράγωο στο ΕΖΗΘ κύκλο είαι μεγαλύτερο από το μισό του κύκλου ΕΖΗΘ. ιχοτομούμε τα τόξα ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, και ΘΕ στα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν ατιστοίχως και θεωρούμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, και ΝΕ. Κάθε έα από τα τρίγωα ΕΚΖ, ΖΛΗ, ΗΜΘ, ΘΝΕ είαι μεγαλύτερο από το μισό του κυκλικού τμήματος που το περιέχει, τόσο ώστε α από τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν φέρουμε εφαπτόμεες στο κύκλο και συμπληρώσουμε τα παραλληλόγραμμα πάω στα ευθύγραμμα τμήματα ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ κάθε έα από τα τρίγωα είαι το μισό από το παραλληλόγραμμο που το περιέχει. Αλλά το τμήμα του κύκλου που απομέει είαι μικρότερο του παραλληλογράμμου. Ώστε κάθε έα από τα τρίγωα ΕΚΖ,ΖΛΗ,ΗΜΘ,ΘΝΕ είαι μεγαλύτερο από το μισό του τμήματος του κύκλου που το περιέχει. 6

27 tšmnontej d¾ t j Øpoleipomšnaj perifere aj d ca kaˆ pizeugnúntej eùqe aj kaˆ toàto eˆ poioàntej katale yomšn tina potm»mata toà kúklou, œstai l ssona táj ØperocÁj, Î Øperšcei Ð EZHQ kúkloj toà S cwr ou. de cqh g r n tù prètj qewr»mati toà dek tou bibl ou, Óti dúo megeqîn n swn kkeimšnwn, n põ toà me zonoj faireqí me zon À tõ ¼misu kaˆ toà kataleipomšnou me zon À tõ ¼misu, kaˆ toàto eˆ g gnhtai, leifq»seta ti mšgeqoj, Ö œstai œlasson toà kkeimšnou l ssonoj megšqouj.. lele fqw oân, kaˆ œstw t pˆ tîn EK, KZ, ZL, LH, HM, MQ, QN, NE tm»mata toà EZHQ kúklou l ttona táj ØperocÁj, Î Øperšcei Ð EZHQ kúkloj toà S cwr ou. Έτσι, διχοτομώτας τα εαπομείατα τόξα και εώοτας τα ευθύγραμμα τμήματα και πράττοτας τούτο συεχώς θα μείου τελικά κάποια κυκλικά τμήματα που θα είαι μικρότερα από τη επιφάεια που ο κύκλος ΕΖΗΘ υπερέχει του Σ. (X.) ιότι εδείχθη στο πρώτο θεώρημα του δεκάτου βιβλίου ότι,α έχουμε δύο άισα μεγέθη και από το μεγαλύτερο αφαιρεθεί κάτι μεγαλύτερο του μισού και απ αυτό που απομέει κάτι μεγαλύτερο του μισού,και α αυτό γίεται επ άπειρο,θα απομείει μέγεθος το οποίο θα είαι μικρότερο του δοθέτος μικροτέρου μεγέθους. Έστω ότι έχου μείει κυκλικά τμήματα του κύκλου ΕΖΗΘ όπως παραπάω, τα ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΗΜ, ΜΘ, ΘΝ, και ΝΕ τα οποία έχου εμβαδό μικρότερο απ τη επιφάεια που υπερέχει ο κύκλος ΕΖΗΘ από τη Σ. Επομέως (ΕΖΗΘ)>(ΕΚΖΛΗΜΘΝ)>(Σ) ggegr fqw kaˆ e j tõn ABGD kúklon tù EKZLHMQN polugènj Ómoion polúgwnon tõ AXBOGPDR œstin ra æj tõ põ táj BD tetr gwnon prõj tõ põ táj ZQ tetr gwnon, oûtwj tõ AXBOGPDR polúgwnon prõj tõ EKZL HMQN polúgwnon. ll kaˆ æj tõ põ táj BD tetr gwnon prõj tõ põ táj ZQ, oûtwj Ð ABGD kúkloj prõj tõ S cwr on kaˆ æj ra Ð ABGD kúkloj prõj tõ S cwr on, oûtwj tõ AXBOGPDR polúgwnon prõj tõ EKZLHMQN polúgwnon nall x ra æj Ð ABGD kúkloj prõj tõ n aùtù polúgwnon, oûtwj tõ S cwr on Έστω ότι εγγράφουμε στο κύκλο ΑΒΓ έα πολύγωο όμοιο προς το ΕΚΖΛΗΜΘΝ, το ΑΞΒΟΓΠ Ρ. Τότε Β / ΖΘ = (ΑΞΒΟΓΠ Ρ) / (ΕΚΖΛΗΜΘΝ)(XII.) Αλλά και Β /ΖΘ = (κυκλ.αβγ ) / (Σ) (κυκλ.αβγ ) / (Σ) = = (ΑΞΒΟΓΠ Ρ) / (ΕΚΖΛΗΜΘΝ) Αρα (κυκλ.αβγ ) / (ΑΞΒΟΓΠ Ρ) = = (Σ) / (ΕΚΖΛΗΜΘΝ) (V.6) 7

28 prõj tõ EKZLHMQN polúgwnon. me zwn d Ð ABGD kúkloj prõj tõ n aùtù polúgwnon, oûtwj tõ S cwr on prõj tõ EKZLHMQN polúgwnon. me zwn d Ð ABGD kúkloj toà n aùtù polugènou me zon ra kaˆ tõ S cwr on toà EKZLHMQN polugènou. ll kaˆ œlatton Óper stˆn dúnaton.. oùk ra stˆn æj tõ põ táj BD tetr gwnon prõj tõ põ táj ZQ, oûtwj Ð ABGD kúkloj prõj œlassòn ti toà EZHQ kúklou cwr on. Ðmo - wj d¾ de xomen, Óti oùd æj tõ põ ZQ prõj tõ põ BD, oûtwj Ð EZHQ kúkloj prõj œlassòn ti toà ABGD kúklou cwr on. Lšgw d», Óti oùd æj tõ põ táj BD prõj tõ põ táj ZQ, oûtwj Ð ABGD kúkloj prõj me zòn ti toà EZHQ kúklou cwr on. E g r dunatòn, œstw prõj me zon tõ S. n palin ra [ stˆn] æj tõ põ táj ZQ tetr gwnon prõj tõ põ táj DB, oûtwj tõ S cwr on prõj tõn ABGD kúklon.. ll' æj tõ S cwr on prõj tõn ABGD kúklon, oûtwj Ð EZHQ kúkloj prõj œlattòn ti toà ABGD kúklou cwr on kaˆ æj ra tõ põ táj ZQ prõj tõ põ táj BD, oûtwj Ð EZHQ kúkloj prõj œlassòn ti toà ABGD kúklou cwr on Óper dúnaton de cqh. oùk ra stˆn æj tõ põ táj BD tetr gwnon prõj tõ põ táj ZQ, oûtwj Ð ABGD kúkloj prõj me zòn ti toà EZHQ kúklou cwr on. de cqh Όμως (κυκλ.αβγ ) >(ΑΞΒΟΓΠ Ρ) Οπότε και (Σ) > (ΕΚΖΛΗΜΘΝ) το οποίο είαι άτοπο αφού εξ υποθέσεως (Σ) < (ΕΚΖΛΗΜΘΝ). Επομέως δε ισχύει ότι όπως είαι το τετράγωο του Β προς το τετράγωο του ΖΘ είαι ο κύκλος ΑΒΓ προς μια επιφάεια μικρότερη του ΕΖΗΘ. Όμοια δε ισχύει ότι ο κύκλος ΕΖΗΘ προς μια επιφάεια μικρότερη του κύκλου ΑΒΓ είαι όπως το τετράγωο του ΖΘ προς το τετράγωο του Β. Λέγω,ότι δε ισχύει ότι το Β /ΖΘ είαι όπως ο κύκλος (ΑΒΓ )προς έα χωρίο μεγαλύτερο του κύκλου(εζηθ) Έστω Β / ΖΘ = (κυκλ.αβγ ) / (Σ) όπου Σ είαι μια επιφάεια μεγαλύτερη του κύκλου ΕΖΗΘ. Αλλά (Σ) / (κυκλ.αβγ ) = = (κυκλ.εζηθ) / (Τ) όπου Τ μια επιφάεια μικρότερη του κύκλου ΑΒΓ. Συεπώς ΖΘ / Β = (κυκλ.εζηθ)/(τ) το οποίο είαι άτοπο Επομέως δε ισχύει ότι το τετράγωο του Β προς το τετράγωο του ΖΘ είαι όπως ο κύκλος ΑΒΓ προς μια επιφάεια μεγαλύτερη του κύκλου 8

29 dš, Óti oùd prõj œlasson œstin ra æj tõ põ táj BD tetr gwnon prõj tõ põ táj ZQ, oûtwj Ð ABGD kúkloj prõj tõn EZHQ kúklon. Oƒ ra kúkloi prõj ll»louj e sˆn æj t põ tîn diamštrwn tetr gwna Óper œdei de xai ΕΖΗΘ,εδείχθη ότι δε ισχύει ούτε για μικρότερο Άρα από τις δυο περιπτώσεις συμπεραίουμε ότι Β / ΖΘ = (κυκλ.αβγ ) / (κυκλ.εζηθ).ο.ε.δ.άρα οι κύκλοι είαι μεταξύ τους όπως τα τετράγωα τω διαμέτρω τους. LÁmma Lšgw d», Óti toà S cwr ou me zonoj Ôntoj toà EZHQ kúklou stˆn æj tõ S cwr on prõj tõn ABGD kúklon, oûtwj Ð EZHQ kúkloj prõj œlattòn ti toà ABGD kúklou cwr on. Gegonštw g r æj tõ S cwr on prõj tõn ABGD kúklon, oûtwj Ð EZHQ kúkloj prõj tõ T cwr on. lšgw, Óti œlattòn sti tõ T cwr on toà ABGD kúklou. peˆ g r stin æj tõ S cwr on prõj tõn ABGD kúklon, oûtwj Ð EZHQ kúkloj prõj tõ T cwr on, nall x stin æj tõ S cwr on prõj tõn EZHQ kúklon, oûtwj Ð ABGD kúkloj prõj tõ T cwr on. me zon d tõ S cwr on toà EZHQ kúklou me zwn ra kaˆ Ð ABGD kúkloj toà T cwr ou éste stˆn æj tõ S cwr on prõj tõn ABGD kúklon, oûtwj Ð EZHQ kúkloj prõj œlattòn ti toà ABGD kúklou cwr on Óper œdei de xai Λήμμα Λέγω τώρα ότι (Σ)/(κυκλ.ΑΒΓ )=(κυκλ.εζηθ)/τ όπου Σ μια επιφάεια μεγαλύτερη του κύκλου ΕΖΗΘ και Τ μια επιφάεια μικρότερη του κύκλου ΑΒΓ. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει. Λέω ότι το χωρίο Τ είαι μικρότερο του κύκλου ΑΒΓ. Ας γίει (Σ) / (κυκλ.αβγ ) = = (κυκλ.εζηθ) /(Τ) Λέω ότι το χωρίο Τ είαι μικρότερο του κύκλου ΑΒΓ. Τότε (Σ) / (κυκλ.αβγ ) = = (κυκλ.εζηθ) / (Τ) εαλλάξ είαι (Σ) / (κυκλ.εζηθ) = = (κυκλ.αβγ ) / (Τ) (V.6) Είαι δε μεγαλύτερο το χωρίο Σ του κύκλου ΕΖΗΘ. Άρα και ο κύκλος ΑΒΓ είαι μεγαλύτερος του χωρίου Τ(V.4) Επομέως είαι (Σ)/ (κυκλ.αβγ )= (κυκλ.εζηθ) / (Τ). Άρα αποδείχθηκε το ζητούμεο. 9

30 Ας εξετάσουμε τώρα τη απόδειξη ΧΙΙ. με σύγχροη ορολογία. Απαραίτητη για τη απόδειξη της, είαι η πρόταση (ΧΙΙ.) η οποία ααφέρει ύο όμοια πολύγωα εγγεγραμμέα σε κύκλους είαι αάλογα τω τετραγώω τω διαμέτρω τω κύκλω αυτώ. Στή απόδειξη της πρότασης βασικό ρόλο έπαιξε επίσης η ακόλουθη θεμελιώδης παρατήρηση που θα τη ααφέρουμε ως Γεικό Λήμμα. Γεικό Λήμμα. Α δοθεί αριθμός ε>0 και κύκλος Κ, τότε υπάρχει εγγεγραμμέο καοικό - γωο Ε,ώστε η διαφορά του από το κύκλο α είαι μικρότερη του ε, δηλαδή Κ- Ε <ε. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θ Ρ Γ Η Ν Κ B E Σ Α Θεωρούμε το εγγεγραμμέο τετράγωο ΑΒΓ και το περιγεγραμμέο τετράγωο ΕΖΗΘ στο κύκλο Κ. Προφαώς το ΑΒΓ είαι ίσο με το μισό του ΕΖΗΘ, άρα μεγαλύτερο από Κ/. Αφαιρώτας λοιπό από το κύκλο το τετράγωο ΑΒΓ, ουσιαστικά του αφαιρούμε ποσότητα μεγαλύτερη από το Κ/. Α θεωρήσουμε το εγγεγραμμέο καοικό οκτάγωο ΑΜΒΝΓΡ ΣΑ και το αφαιρέσουμε από το κύκλο, τότε αφαιρούμε ουσιαστικά από το προηγούμεο υπόλοιπο, υ = Κ Ε 4,τα τρίγωα ΑΜΒ, ΒΝΓ,ΓΡ, ΣΑ. Όμως, σχηματίζοτας το παραλληλόγραμμο ΑΑ Β Β με τη πλευρά Α Β εφαπτομέη του κύκλου στο Μ, παρατηρούμε ότι το τρίγωο είαι ίσο με το μισό του παραλληλογράμμου ΑΒΒ Α, κατά συέπεια μεγαλύτερο από το κυκλικό τμήμα ΑΜΒΑ. Αφαιρώτας λοιπό τα τρίγωα ΜΑΒ, ΝΒΓ,ΡΓ, Σ Α από το υπόλοιπο υ, αφαιρούμε ποσότητα μεγαλύτερη από το μισό του υ και βρίσκουμε υπόλοιπο υ = Κ Ε 8. Η διαδικασία αυτή σύμφωα με τη πρόταση Χ., θα μας οδηγήσει σε υπόλοιπο υ = Κ Ε μ + μικρότερο από το αριθμό ε. μ Α' M Ζ Β' 0

31 Απόδειξη πρότασης (ΧΙΙ.) Θεωρούμε τους κύκλους K, K με ακτίες ρ, ρ και κέτρα Ο, Ο ατίστοιχα. A Θ B Α Θ Β Η Ο Γ Η Ο' Γ Ζ Ζ Aρκεί α δείξουμε ότι Ε K ρ = K ρ K ρ ρ α) Έστω. Τότε K ρ ρ = K S όπου Ε S K Έστω αρχικά S < K Α θεωρήσουμε το αριθμό ε = K S > 0 τότε σύμφωα με το γεικό Λήμμα που ααφέρθηκε στη αρχή της απόδειξης, θα υπάρχει πολύγωο Ε εγγεγραμμέο στο κύκλο K τέτοιο, ώστε, K Ε < ε. Άρα K Ε < K S οπότε Ε > S () Α Ε είαι το ατίστοιχο καοικό πολύγωο το εγγεγραμμέο στο κύκλο τότε, λόγω της πρότασης θα έχουμε Ε Ε = ρ ρ S K Όμως ισχύει = >, αφού K > E.Άρα θα έχουμε E S > E () E Οι σχέσεις (),() οδηγού σε άτοπο, δηλαδή δε μπορεί α ισχύει S < K. β)έστω τώρα ότι ρ ρ K > T S > K.Τότε από τη σχέση ρ ρ S S K K S =.Α ισχύει =,τότε θα έχουμε και = > K K T T K (από το λήμμα που ακολουθεί). = = K S. K S παίρουμε αφού S > K. K Άρα

32 Επομέως ρ ρ = K T με T < K. Το πρόβλημα λοιπό αάγεται στη προηγούμεη περίπτωση (α) και με τους ίδιους όπως πρι συλλογισμούς οδηγεί στις σχέσεις E > T και E < T που ατιφάσκου. Επομέως δε μπορεί α ισχύει S > K. K ρ Τελικά, ισχύει S = K οπότε =. K ρ Λήμμα Α έα χωρίο S είαι μεγαλύτερο εός κύκλου K, τότε ο λόγος του S προς έα άλλο κύκλο K είαι ίσος με το λόγο του K προς έα χωρίο Τ μικρότερο του κύκλου K. S K ηλαδή,α S > K και =, τότε T < K. K T S K K S Πράγματι από τη = προκύπτει = > αφού S > K. K T T K Άρα T < K. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στα Στοιχεία του Ευκλείδη και στη πρόταση που προηγήθηκε,για α αποδειχθεί η σχέση K ρ =, αποδείχτηκε ότι οι σχέσεις K ρ K ρ < K ρ K ρ > οδηγού σε άτοπο. K ρ Η πορεία όμως της απόδειξης που ακολουθείται στη περίπτωση K ρ < K ρ περίπτωση και βασίζεται στο Λήμμα, δε μπορεί α εφαρμοστεί στη K ρ >. K ρ K ρ K ρ Για το λόγο αυτό, η σχέση > γράφεται ως < και τότε K ρ K ρ εφαρμόζεται η διαδικασία που ακολουθήθηκε πάω στο κύκλο Κ ατί του Κ. Α θέλουμε α αποδείξουμε τη δεύτερη περίπτωση αεξάρτητα απο τη πρώτη,πρέπει α περιγράψουμε διαδοχικά πολύγωα στους κύκλους, όπως έκαε ο Αρχιμήδης στη μέτρηση του κύκλου. Ας δούμε τώρα πώς αποδεικύεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη η πρόταση ΧΙΙ.5 και