ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ

Transcript

1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Μ. Σφακιωτάκης Χειµερινό Οκτώβριος εξάµηνο

2 Σύστηµα Μάζας-Ελατηρίου-Αποσβεστήρα (MSD) Έστω το παρακάτω στοιχειώδες σύστηµα µάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα (Ma-Spring-Damper ytem, MSD) Γνωστές σταθερές του συστήµατος: η µάζα m του οχήµατος η σταθερά του ελατηρίου k το φυσικό µήκος l 0 του ελατηρίου ο συντελεστής απόσβεσης c του αποσβεστήρα Θεωρούµε ότι το ελατήριο και ο αποσβεστήρας είναι αµιγώς γραµµικά στοιχεία Επιθυµούµε τον υπολογισµό της απόκρισης για τη θέση x(t) του οχήµατος (της µάζας), που προκύπτει από την επιβαλλόµενη δύναµη f(t) ή/και τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος. Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 2

3 Εξίσωση Κίνησης του Συστήµατος MSD f (t) c!x(t) ( ) k x(t) l 0 m Θεωρώντας ότι x > L 0 και x > 0, η εξίσωση κίνησης του οχήµατος προκύπτει, από την εφαρµογή του 2 ου νόµου του Νεύτωνα ως: m!!x(t) = f (t) k( x(t) l ) 0 c!x(t) η δύναµη επαναφοράς του ελατηρίου η δύναµη αντίστασης του αποσβεστήρα Στις θέσεις ισορροπίας ισχύει:!!x =!x = 0 f = k( x l ) 0 x = f + kl 0 k Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 3

4 Εξίσωση Κίνησης του Συστήµατος MSD - m!!x(t) = f (t) k( x(t) l ) 0 c!x(t) Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 4

5 Εξίσωση Κίνησης του Συστήµατος MSD Επίλυση µέσω Laplace m!!x(t) = f (t) k( x(t) l ) 0 c!x(t) ml {!!x(t) } = L{ f (t)} kl{ x(t) } + kl 0 L{ 1} cl {!x(t) } L 1!x L 1 { } = X() x 0 {!!x(t) } = 2 X() x 0!x 0 x 0 = x(0),!x 0 =!x(0) m( 2 X() x 0!x ) 1 0 = F() kx()+ kl 0 c ( X() x ) 0 X() ( m 2 + c + k) kl 0 mx 0 m!x 0 cx 0 = F() X() ( m 2 + c + k) = F()+ kl 0 + x 0 ( m + c ) +!x 0 m Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 5

6 Αριθµητικές Τιµές Σταθερών Παραµέτρων Έστω οι ακόλουθες τιµές για τις σταθερές του συστήµατος: (προσοχή στις µονάδες!) m = 2 kg k = 3 N/cm = 300 N/m l 0 = 6 cm = 0.06 m c = 2.5 N cm/ec = 250 Nec/m X() ( ) = F() x ( ) + 2!x 0 Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 6

7 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #1 x 0 = 4 cm = 0.04 m X() ( ) = F() x 0 Σαν πρώτο παράδειγµα, θεωρούµε την περίπτωση που το ελατήριο εµφανίζει αρχική συµπίεση, µε µηδενική αρχική ταχύτητα, χωρίς την εφαρµογή εξωτερικής δύναµης, ήτοι:!x 0 = 0 cm/ec = 0 m/ec ( ) + 2!x 0 f (t) = 0 F() = 0 X() ( ) = ( ) = X() = ( ) = ( )( ) = ανάλυση σε απλά κλάσµατα (π.χ. µέσω της εντολής reidue του matlab) Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 7

8 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #1 Η απόκριση θέσης x(t) του οχήµατος στο χρόνο υπολογίζεται λαµβάνοντας τον AML της X(), αξιοποιώντας τη γραµµική ιδιότητα και τους πίνακες µε τα ζεύγη του µετασχηµατισµού Laplace. X() = x(t) = L 1 { X() } = L L L = e t e 1.21t ( t 0) = ταχέως αποσβεννύµενος όρος, µε πολύ µικρή συνεισφορά (λόγω πολύ µικρού συντελεστή) ο όρος αυτός αποσβένεται σε περίπου 6 ec, και είναι αυτός που κυρίως διαµορφώνει τη δυναµική του συστήµατος Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 8

9 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #1 x(t) = e t e 1.21t το σύστηµα τελικά αποκαθίσταται σε απόσταση ίση µε το φυσικό µήκος του ελατηρίου επιβεβαιώνεται ότι η αρχική θέση του συστήµατος είναι στα 4cm Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 9

10 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #2 X() ( ) = F() x 0 Σαν δεύτερο παράδειγµα, θεωρούµε την περίπτωση όπου: ( ) + 2!x 0 x 0 = 6 cm = 0.06 m!x 0 = 20 cm/ec = 0.2 m/ec f (t) = 8 N F() = 8 X() ( ) = ( ) 0.4 = X() = ( ) = ( )( ) = Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 10

11 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #2 Η απόκριση θέσης x(t) του οχήµατος στο χρόνο υπολογίζεται λαµβάνοντας τον AML της X(), αξιοποιώντας τη γραµµική ιδιότητα και τους πίνακες µε τα ζεύγη του µετασχηµατισµού Laplace. X() = x(t) = L 1 { X() } = L L L = e t e 1.21t ( t 0) = η τελική τιµή στην οποία ισορροπεί η θέση του οχήµατος εµφανίζονται οι ίδιοι εκθετικά αποσβεννύµενοι όροι µε το προηγούµενο παράδειγµα, µε τη µόνη διαφορά να έγκειται στους συντελεστές τους Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 11

12 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #2 x(t) = e t e 1.21t στην τελική θέση ισορροπίας η δύναµη επαναφοράς του ελατηρίου είναι ίση και αντίθετη της εφαρµοζόµενης δύναµης Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 12

13 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #3 Στο τρίτο παράδειγµα, µελετάται η απόκριση του συστήµατος σε ηµιτονοειδή διέγερση συχνότητας 6 rad/ec. x 0 = 10 cm = 0.1 m!x 0 = 0 cm/ec X() ( ) = F() x 0 ( ) + 2!x 0 f (t) = 8co(6t) N F() = = X() ( ) = ( ) = X() = ( 2 +36)+ ( )( 2 +36) ( )( 2 +36) = ( ) ( )( 2 +36) Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 13

14 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #3 X() = ( ) ( )( 2 +36) = = 0.06 = j j j j + 6j ( )( + 6j) + ( j) ( 6j) = = = 0.06 = 0.06 = 0.06 = j = = = Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 14

15 Εύρεση της Απόκρισης του Συστήµατος Παράδειγµα #3 X() = x(t) = L 1 { X() } = e t e 1.21t co(6t) in(6t) 36 οι (αναµενόµενοι) εκθετικά αποσβεννύµενοι όροι συντηρούµενη ταλάντωση, συχνότητας 6 rad/ec (ίδια µε την είσοδο) Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 15

16 Συνάρτηση Μεταφοράς του Συστήµατος MSD Για την εξαγωγή της συνάρτησης µεταφοράς του συστήµατος, πρέπει να υπολογιστεί ο λόγος Χ()/F(), για µηδενικές αρχικές συνθήκες, από τη δυναµική εξίσωση στο πεδίο της µιγαδικής συχνότητας: ( ) = F()+ kl 0 X() m 2 + c + k + x 0 ( m + c ) +!x 0 m Λόγω της παρουσίας του σταθερού όρου kl 0 / αυτό δεν είναι άµεσα εφικτό, στο πλαίσιο της ανάλυσης που έχει υιοθετηθεί. Για το λόγο αυτό, µπορούµε εναλλακτικά να θεωρήσουµε τη µεταβλητή z(t), η οποία εκφράζει την επιµήκυνση του ελατηρίου: παρατηρώντας ότι!z(t) =!x(t),!!z(t) =!!x(t) z(t) = x(t) l 0 Η δυναµική εξίσωση του συστήµατος, θεωρώντας σαν έξοδο τη z(t) προκύπτει τότε ως: m!!z(t) = f (t) kz(t) c!z(t) m( 2 Z() z 0!z ) 0 = F() kz() c( Z() z ) 0 Λαµβάνοντας µηδενικές αρχικές συνθήκες, η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι: m 2 Z() = F() kz() cz() G() = Z() F() = 1 m 2 + c + k Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 16

17 Ανάλυση της Απόκρισης του Συστήµατος MSD Η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος, µπορεί να τεθεί στην τυποποιηµένη µορφή µελέτης των συστηµάτων 2 ης τάξης: k G() = Z() Εποµένως, F() = 1 m 2 + c + k = 1 k m 2 + c m + k m ω 2 n = k m ω n = k m ζ = c 2 1 mk 2ζω n = c m Η τιµή της παραµέτρου c επηρρεάζει (µόνο) την απόσβεση του συστήµατος Αύξηση της µάζας m οδηγεί ταυτόχρονα σε µείωση του συντελεστή απόσβεσης και της φυσικής ιδιοσυχνότητας του συστήµατος Αύξηση της σταθεράς k του ελατηρίου µειώνει το συντελεστή απόσβεσης και αυξάνει την φυσική ιδιοσυχνότητα του συστήµατος Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 17

18 Διερεύνηση της Επίδρασης του Ελατηρίου Με βάση την ανάλυση αυτή είναι εποµένως εφικτός ο υπολογισµός αναλυτικών σχέσεων για την επίδραση των παραµέτρων του συστήµατος σε χαρακτηριστικά όπως ο χρόνος αποκατάστασης t, το ποσοστό υπερύψωσης, και ο χρόνος κορυφής t p k G() = 1 k m 2 + c m + k m m = 2 kg c = 20 Nec/m k = N/m ω n = k m ζ = c 2 1 mk t! 4 ζω n = c 2 t p = π ω d = 1 m 2 π ω n 1 ζ 2 = k m π 1 c2 4mk Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 18

19 Διερεύνηση της Επίδρασης του Ελατηρίου Η βηµατική απόκριση του συστήµατος για διαφορετικές τιµές της σταθεράς k του ελατηρίου G() = 1 k k m 2 + c m + k m Η σταθερά του ελατηρίου καθορίζει, εκτός από τους πόλους του συστήµατος (δηλ. τα χαρακτηριστικά της µεταβατικής απόκρισης) και το στατικό κέρδος! Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 19

20 Έλεγχος Κλειστού Βρόχου του Συστήµατος: Μόνιµο Σφάλµα Στη συνέχεια, επιχειρείται η σχεδίαση ενός συστήµατος κλειστού βρόχου για την παρακολούθηση της επιθυµητής µεταβολής της θέσης του οχήµατος z d (t). Z d () E() ελεγκτής K F() MSD G() Z() T() = Z() Z d () = KG() 1+ KG() = K m 2 + c + k + K = K k + K k + K m 2 + c m + k + K m Η G() είναι τύπου-0, οπότε το σφάλµα µόνιµης κατάστασης του συστήµατος κλειστού βρόχου σε βηµατική είσοδο αναφοράς z d (t) = z d, θα είναι: e = z d 1+ K 1 k = z d k k + K Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 20

21 Έλεγχος Κλειστού Βρόχου του Συστήµατος: Μεταβατική Απόκριση Η ευστάθεια και τα χαρακτηριστικά της µεταβατικής απόκρισης συναρτήσει του κέρδους Κ µελετώνται µέσω του γεωµετρικού τόπου ριζών: m = 2 kg c = 20 Nec/m k = 300 N/m Η αύξηση του κέρδους Κ (για τη µείωση του σφάλµατος µόνιµης κατάστασης), οδηγεί σε υποβάθµιση της µεταβατικής απόκρισης Σφακιωτάκης Μιχάλης ΣΑΕ ΙΙ Μελέτη συστήµατος Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα (MSD) 21