Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1"

Transcript

1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος εκεµβρίου 0 LaTEX c:... A lyc \ALGEBRA\ch\ex revision\exercises 3.tex

2

3 Κεφάλαιο Πραγµατικοί Αριθµοί έµης Απόστολος Ζάχος Ιωάννης Κατσαργύρης Βασίλειος Κόσυβας Γεώργιος Λυγάτσικας Ζήνων. Οι Πράξεις και οι ιδιότητές τους. Η πρόταση : x )x + ) = 0 x = 0 και x + = 0 είναι αληθής ή ψευδής ; ικαιολογήστε την απάντησή σας.. Τοποθετήστε το σύµβολο ή στα κενά ώστε να είναι σωστοί οι παρακάτω συλλογισµοί : α ) x = y x + 3 = y + 3 ϐ ) x = y x = y γ ) xy x 0 και y 0 3. Η παρακάτω πρόταση ισχύει για κάθε a, b, c ΙR µε b, c 0; ικαιολογήστε την απάντησή σας. Αν a b = a, τότε b = c. c 3

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4. Για ποιές τιµές του x ΙR ορίζεται η παράσταση ; + + x Να γίνει απλό το παραπάνω σύνθετο κλάσµα. 5. Αν x = και y = 004, να υπολογίσετε την παράσταση : 004 A = 6x y)x 3[x x + y)x xx + y)] + 3x 6. Αν x = y 3 = z 5 και y + z = 5, να ϐρείτε τους αριθµούς x, y και z. 7. Αν x + y = 3 να ϐρεθεί η τιµή της παράστασεις : [ ] A = 6x y) x + y) + 4 x y) [x x y)]. 8. Να ϐρεθούν οι τιµές του x για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις : A = 4 x + 3 B = x 4 x Υποθέτω ότι : a, b, c, d ΙR µε a b = b c = c c + d. είξτε ότι : d d. υνάµεις = ac + b d. acd 0. Ισχύει α β) = α + β) για κάθε α, β ΙR; ικαιολογήστε την απάντησή σας.. Ισχύει α β) 3 = β α) 3 για κάθε α, β ΙR; ικαιολογήστε την απάντησή σας.. Να συµπληρώστε τα κενά ώστε οι παραστάσεις να είναι τέλεια τετράγωνα : α ) a 3a +... ϐ ) x + xy +... γ ) 6a 4a +... δ ) x + x +... ε ) ab + a

5 .. ΥΝΑΜΕΙΣ 5 ϝ ) x x 0x + 5 ) 3 x + 5) 3 3. Να δειχθεί ότι η τιµή της παράστασης A = 5 x) 3 5 x ) 3, είναι ανεξάρτητη της µεταβλητής x, x 5, 5). 4. Να δείξετε ότι : x + ) x = 4, x 0. x x) 5. α ) Να απλοποιηθεί η παράσταση : a + β) a β). ϐ ) Να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης : 6. Να γίνουν γινόµενα οι παραστάσεις : α ) 7x 3 8 ϐ ) x 3 + γ ) x δ ) 00a 4a ) 7. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : α ) ϐ ) γ ) a 3 + b 3 a b) + ab a a + a a a a a 3 b 3 a + b) ab 8. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : ) ). 004 ) x + x + x + 3) x3 x + x x x x x 3 ) x x) + x x 4) xx ) + x )x ) 5) x 3x + x x x + x x + x 9. Αν a b a 6b 8 = 0, δείξτε ότι b = a ή b = a Αν x a xy + y = 0, δείξτε ότι y = x a ή y = x + a.. α ) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : A = x 0x + 5 και B = 5 x.

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ϐ ) Εστω Γ = x 0x + 5) 005 x + 5) x) x ) 005 i. Για ποιές τιµές του x ορίζεται η παράσταση Γ; ii. Απλοποιήστε την Γ.. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : x ) x x α ) A = 3 y) 9 y x + xy ) 4 y x ) 3 ϐ ) B = xy y 3 x + xy + y 3. Να δειχθεί ότι η τιµή της παρακάτω παράστασης είναι ανεξάρτητη των x και y. 4. Να δειχθεί ότι ισχύει : 5. Να γίνουν γινόµενο οι παραστάσεις : [ x 3 y xy 3 ) xy ] x 4 y ) x 4. [ x xy + y ] x 3 + y 3 x y ) x + xy + y = x3 y 3. A = x4x + 6)x + ) + 6xx + 3)3x + 3) 4x6x + 9)x + )x + 5) Γ = 9x y 3 3x 4 y 6x 3 y 3 + 8xy 4 6. α ) Να γίνει γινόµενο η παράσταση : x 3 + 6x + x + 8. ϐ ) Να λύσετε την εξίσωση : x 3 + 6x + x + 8 = Να γίνει γινόµενο η παράσταση : x y) x + xy + y ) + y x) x xy + y ) + xy yx. 8. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : α ) ϐ ) γ ) x + x 6)x 3 3x + x) x + 4x 5)4x 6x) x 3 8 x 4 x + x + 4 x x y x + xy x y. y 9. Αν α+β = και α +β =, να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης A = α 3 +β 3.

7 .. ΥΝΑΜΕΙΣ Αν x + x = y +, τότε να δείξτε ότι είτε x = y είτε xy =. y 3. α ) Να µετατρέψτε σε γινόµενο την παράσταση α + β + + αβ. ϐ ) Αν α > και αβ + β + α = 0, να δείξτε ότι ο αριθµός α + είναι αριθµός διαφορετικός του 0 και έχει αντίστροφο τον β Να εκτελεσθούν µε σύντοµο τρόπο οι πράξεις : α ) x + a)x ax + a ) x a)x + ax + a ) ϐ ) x + a)x a)x ax + a )x + ax + a ) 33. είξτε ότι : α ) Αν x + y) = x + y τότε x = 0 ή y = 0. Ισχύει το αντίστροφο ; ϐ ) Αν x + y) 3 = x 3 + y 3, τότε x = 0 ή y = 0 ή x + y = 0. Ισχύει το αντίστροφο ; 34. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες : α ) α + β)α 3 β 3 ) α β)α 3 + β 3 ) = αβα + β)α β) ϐ ) α + β)β + γ)γ + α) = αβ + βγ + γα + α β + β γ + γ α + αβγ γ ) α + β + γ) + α + β γ) α β + γ) α β γ) = 8αβ. δ ) α+β+γ) 3 = α 3 +β 3 +γ 3 +3αβα+β)+3βγβ+γ)+3γαγ+α)+6αβγ ε ) α 3 + β 3 + γ 3 3αβγ = α + β + γ) α β) + β γ) + γ α) ) ϝ ) Αν : α + β + γ = 0 τότε α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ 35. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις α ) A = [ x ) x ) 4 x ) 3 ] ϐ ) B = 7x3 y x 3 y y 3 x Να γίνουν οι πράξεις : α ) ϐ ) x + + x + + x x x 8. x y + x 3 y 3 x + x + y x y 37. α ) είξτε ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό β ίσχύει : β.. ) ) β + β =

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ϐ ) Αν β είναι ένας περιττός ακέραιος, τότε οι β + και β είναι άρτιοι και οι β +, β ακέραιοι αριθµοί. γ ) είξτε ότι κάθε περιττός ακέραιος είναι διαφορά τετραγώνων δύο ακε- ϱαίων αριθµών. ) 38. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : A = + x x + x 3 + x 3. Υπόδειξη : + x x + x 3 ) + x 3 = + x x + x 3 ) + x Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός A = είναι κύβος ακεραίου αριθµού. Υπόδειξη : Αν a = 007 ο αριθµός A γράφεται aa + ) 3 a + )a ) 3. είξτε ότι : a + ) Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, δ ισχύει : αδ βγ =, τότε : α + β + γ + δ + αβ + γδ. Υπόδειξη : Υποθέστε το αντίθετο, ότι δηλαδή α + β + γ + δ + αβ + γδ = = αδ βγ Άρα, α + β + γ + δ + αβ + γδ = = αδ βγ. είξτε ότι η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναµη µε την η οποία οδηγεί σε άτοπο. α + β) + α δ) + γ + δ) + β + γ) = 0.3 ιάταξη Πραγµατικών 4. Αν α β > α + β, τότε : α ) α > β ϐ ) β < 0 γ ) α < 0 δ ) β > 0 ε ) Τίποτα απο τα προηγούµενα. 4. Αν α 0 να συγκριθούν οι αριθµοί α και α. 43. α ) Αν α + β = 0 δείξτε ότι α = β = 0. ϐ ) Αν x + ) + y + ) + w 3) = 0, να ϐρείτε τα x, y και w. 44. Αν α + β > 0 δείξτε ότι α 0 ή β α ) Αν x πραγµατικός, να λυθεί η ανίσωση x + )x ) > 0 ).

9 .3. ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ 9 ϐ ) Αν x επαληθεύει την ανίσωση ), να δείξετε ότι x > x. γ ) Αν x < y ϑετικοί πραγµατικοί οι οποίοι δεν επαληθεύουν την ανίσωση ), να συγκρίνεται τους αριθµούς x y και y x. 46. Αν x και 3 y < 5, να ϐρείτε µεταξύ ποιών τιµών ϐρίσκονται οι παραστάσεις : α ) x + y, ϐ ) 3x y, x γ ) y και δ ) x + y 47. Αν α + β = 4 να δειχθεί ότι : αβ 4 και α + β α ) Αν α > να δείξτε ότι 4 + α > + α. ϐ ) Αν α > > β, να αποδείξτε ότι + α + β + αβ < 0. γ ) Αν α να αποδείξτε ότι α3 + 4 α + α. δ ) Αν α > 0 και β < 0 να αποδείξτε ότι : α β) α ) 4. β 49. Αν α, β, γ είναι ϑετικοί πραγµατικοί, να δείξετε ότι : ) α + β + γ) α + β + 9 γ 50. Αν για τους α, β ισχύουν : α ) α > 0, ϐ ) α > β και γ ) α β =, να δείξετε ότι β < 0. Υποερώτηµα 4 ou ϑέµατος στις Πανελλαδικές εξετάσεις Θετ. και Τεχν. Κατ/νσης,004). 5. Αν x [ π, π) και x = κπ + π, κ ΖZ να ϐρείτε τον x Αν x, y, z > 0 να δειχθεί ότι : α ) ϐ ) x + y x + y x + y και x + y x + y + y + z y + z + z + x z + x x + y + z.

10 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 53. Να ϐρείτε τις τιµές των x, y γαι τις οποίες ισχύει : 5x + 4x + y xy + = Να ϐρείτε τις κοινές λύσεις, σε µορφή διαστηµάτων, των ανισώσεων : α ) x + ) 5 και 3x + > x 3) ϐ ) x + 6 > 0 και 3x < α ) Να ϐρείτε το πρόσηµο της παράστασης A = x + y x 4xy + 7. ϐ ) Να ϐρείτε την ελαχίστη τιµή της παράστασης A και στη συνέχεια να προσδιορίσετε τις τιµές των x και y για τις οποίες συµβαίνει το ελάχιστο. 56. Να ϐρεθούν οι ακέραιοι αριθµοί x που επαληθεύουν τις ανισώσεις ) 4x + 4) 3x + ) + 4 ) 5x ) + 3 < 3x Να εξετάσετε το πρόσηµο των παρακάτω αλγεβρικών παραστάσεων : α ) A = x + y xy ϐ ) B = x + y + xy. 58. α ) είξτε ότι αν 0 < x < τότε : x + x 4. ϐ ) είξτε ότι η πιθανότητα P A) ενός ενδεχοµένου A Ω, ικανοποιεί την ανισοτική σχέση του πρώτου ερωτήµατος. 59. Εστω δειγµατικός χώρος Ω µε A ένα εκ των ενδεχοµένων του. Αν α < β τότε : α < α P A) + β P A ) < β 60. είξτε ότι για κάθε x, y ΙR : xx y) x y + )..3. Κάποιες αξιοσηµείωτες ανισότητες 6. Για οποιουσδήποτε ϑετικούς αριθµούς α, β ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες : α + α β α + β α + β β 6. είξτε ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει α + β + γ αβ + αγ + βγ.) 63. Χρησιµοποιώντας την ανίσωση., σελίδα 0, δείξτε ότι για τους ϑετικούς πραγµατικούς α, β, γ ισχύει :

11 .3. ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ α ) ϐ ) αβ γ + αγ β + βγ α α + β + γ α β + β γ + γ α α β + β γ + γ α 64. Ανισότητα Andreescu) Για οπουσδήποτε ϑετικούς αριθµούς x, y και αυθαί- ϱετους αριθµούς α, β ισχύει η ακόλουθη ανισότητα : α x + β α + β) y x + y.) 65. Χρησιµοποιώντας την ανίσωση., σελίδα, αποδείξτε ότι : α ) για οπουσδήποτε ϑετικούς αριθµούς x, y, z και αυθαίρετους αριθµούς α, β, γ ισχύει : α x + β y + γ α + β + γ) z x + y + z.3) ϐ ) είξτε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς a, b και c ισχύει : a + b + c) 3a + b + c ) 66. Χρησιµοποιώντας την ανίσωση.3, σελίδα, αποδείξτε την ανισότητα Cauchy-Schwartz για οποιουσδήποτε αριθµούς α,,3 και β,,3 : ) ) ) α β + α β + α 3 β 3 α + α + α3 β + β + β3.3. Παρατηρήσεις Υπάρχουν δύο πράγµατα που ϑα πρέπει να γίνουν κατανοητά στο κεφάλαιο των ανισοτήτων : α ) οι ανισοτικές σχέσεις µεταξύ των στοιχείων των αριθµοσυνόλων και ειδικότερα του ΙR πυκνότητα QΙ και QΙ α) και ϐ ) οι αλγεβρικές ανισώσεις. Οι πρώτες ϑα µας οδηγήσουν να κατανοήσουµε την ανάλυση και ειδικότερα τη γεωγραφία του συνόλου των πραγµατικών αριθµών και ϕυσικά την έννοια του απείρου. ύο χαρακτηριστικές ασκήσεις είναι : 67. Εστω ότι ισχύει a < b. Να αποδείξετε ότι a < a + b < b. Στη συνέχεια να γράψετε δέκα τιµές του x για τις οποίες ισχύει : a < x < b.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 68. είξτε ότι µεταξύ δύο ϱητών πάντα µπορούµε να ϐρούµε έναν άρρητο ή δείξτε ότι αν α, β QΙ µε α < β, ο αριθµός α + β + / QΙ και ότι α < α + β + < β 69. Εστω x = Ποιά απο τα παρακάτω είναι σωστά : α ) x = ϐ ) x < γ ) Το x είναι ο µεγαλύτερος ϑετικός µικρότερος του Φυσικά ϑα πρέπει να δώσετε µια µαθηµατική αιτιολόγιση. Οι αλγεβρικές ανισώσεις παίζουν σηµαντικό ϱόλο σε όλους τους µαθηµατικούς κλάδους. Αν δεν πεισθείτε απο την πολυµορφία των ασκήσεων που παραθέτουµε, µπορείτε να ανατρέξετε στο : V.M. Tikhomirov: ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ, εκδόσεις Κάτοπτρο, Απόλυτη Τιµή 70. Να χαρακτηρίσετε σαν Σ Σωστό) ή Λ Λάθος) τις παρακάτω προτάσεις : α ) 3 + < 3 +. ϐ ) Αν α 0 τότε : α + > α +. α α γ ) Αν α + β = α + β τότε αβ > 0. δ ) Αν α + 5 < α + 5, τότε α < 0. ικαιολογήστε την απάντησή σας στις περιπτώσεις ϐ) και δ). 7. Απο την ισότητα x + y = 0 προκύπτει ότι : α ) x > 0 και y > 0 ϐ ) x και y είναι αντίθετοι αριθµοί γ ) x = 0 και y = 0 δ ) x > 0 και y < 0 7. Η εξίσωση 3x + 5x 6 = 0 έχει : QΙ Στην ανάλυση ϑα αντιµετωπίσετε το εξής πρόβληµα : είξτε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f : ΙR είναι σταθερή.

13 .4. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ 3 α ) λύση ϐ ) λύσεις γ ) αδύνατη δ ) έχει λύση για κάθε x > Η ανίσωση x x αληθεύει : α ) για κάθε x πραγµατικό ϐ ) δεν υπάρχει πραγµατικός x έτσι ώστε να είναι αληθής γ ) για κάθε x > 0 δ ) για κάθε x 0 ε ) για x = Αν x 0 και y 0 ποιό απο τα παρακάτω είναι σωστό : α ) x + y = x + y ϐ ) x + y x + y γ ) x y = x y δ ) y x = x y ικαιολογήστε την απάντησή σας στις περιπτώσεις γ) και δ). 75. Να συµπληρώσετε τα κενά σε κάθε µια απο τις παρακάτω σχέσεις : α ) x > = x =... ϐ ) x > = x =... γ ) Αν a = a = a... 0 δ ) Η εξίσωση x = είναι... ε ) Η ανίσωση x < 5 είναι... ϝ ) x > 5 =... ) 76. Η εξίσωση a + b + 00 x = 004 α ) έχει µοναδική λύση ϐ ) είναι αόριστη γ ) είναι αδύνατη 77. Στη σχέση a b a + b το ίσον ισχύει όταν α ) a, b ετερόσηµοι ϐ ) a = 0 ή b = 0 γ ) a + b = 0

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ δ ) a + b 0 ε ) a, b > 78. α ) είξτε ότι : a b a b. Πότε ισχύει το ίσον ; 79. α ) Αν x, y 0, να δειχθεί ότι x y + y. Πότε ισχύει το ίσον ; x ϐ ) Να λυθεί η εξίσωση : x ) x + ) + x + ) x ) =. 80. Να ϐρείτε τις τιµές των x, y, z σε κάθε παράσταση : α ) x + y + + z = 0, ϐ ) x x + + x y + z 4z + 4 = 0, γ ) x + ) x + y + + y + y + + x 4x + 4 = Αν < x < να δειχθεί ότι 3 x = x Αν x και y 3 να δειχθεί ότι 3x y 9. x ) 83. Αν x 0, να δειχθεί ότι : x x) x + = Αν 4 x =, τότε x =. Ισχύει το αντίστροφο ; x 85. α ) Να δειχθεί ότι x + y + x y = x + y. ϐ ) Αν x = y = x + y να δείξετε ότι x y = 3 x. 86. Να δειχθεί ότι : α ) ϐ ) 36 a a + = 3 a, a a = a Να απλοποιηθεί η παράσταση : x + x x 4 + x x 4 x Να δειχθεί ότι : x x + y y + x z Να απλποιηθεί η παράσταση : A = α + α + α α + α3 β 3 + γ 3 3αβγ 3αβγ γ 3 + β 3 α 3 Υποθέστε ότι τα κλάσµατα είναι καλά ορισµένα.

15 .5. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Να υπολογισθούν τα x, y αν x y + y + 3 = α ) Να δείξετε ότι : x y x + y και x y x y ϐ ) Αν ισχύει x + x 3 < α για κάποιο x πραγµατικό, να δείξετε ότι α >. 9. ίδεται η παράσταση : S = x + α x α, όπου α ΙR. α ) Να υπολογίσετε τις τιµές του x για τις οποίες ορίζεται η S. ϐ ) Να λύσετε την εξίσωση S =. γ ) είξτε ότι : S = x + α + xα x α. 93. α ) Αν α, β ΙR, να δείξετε ότι : α + β = α + β α β 0. ϐ ) Να λύσετε την εξίσωση : 7 6x + x x + 5 = x 8x α ) Αν x, y ΙR, να δείξετε ότι : x + y = 0 x = y = 0. ϐ ) Να λύσετε την εξίσωση : x + 3 = x 9 = Αν x, y ΙR και x y + y x xy =, να δείξετε ότι οι αριθµοί x, y είναι οµόσηµοι. 96. Αν x, y, z, ω > 0 και x y = y z = z, να δείξετε ότι : x ω 3 y z. ω 97. Αν x, y ΙR να δείξετε την ισοδυναµία : x + 3y < x + 6y x y y < 8 x α ) Για τον πραγµατικό αριθµό α ισχύει : α α ή α α; ικαιολογήστε. ϐ ) Να συµπληρώσετε την ισοδυναµία x = α... γ ) Για τους µη µηδενικούς πραγµατικούς x, y ισχύει xy + xy = 0. Να υπολογίσετε την τµή της παράστασης : K = x x + y y. δ ) Να ϐρείτε το x το οποίο ανήκει στο διάστηµα [, 0] και για το οποίο ισχύει : x Ρίζες Πραγµατικών Αριθµών 99. Είναι σωστή ή λανθασµένη καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις : ν NΝ 3 α ) x6 y = x y 4

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ϐ ) γ ) δ ) 4 x y 8 = x 3 y 4 x4 y 8 = x y ν α ν β ν = α β ν ε ) α ν + β ν = α + β 3 ϝ ) α3 + β 3 < α + β, µε α, β > 0). 3 Ϲ ) x 6 x 4 = x 3 x η ) Αν x > 0 τότε x 3 x x = x 4 x. 00. Γράψτε απλούστερα τις παραστάσεις : , , , ) 7 7) Απλοποιήστε χωρίς υπολογιστή το 0. Λύστε τις εξισώσεις : x = 8,, x = 0, x + 5 = 0, x = 0, x 4 = 9 0 6, 0, 3x = 0, Να απλοποιήσετε τους παρακάτω αριθµούς µε την ϐοήθεια των ταυτοτήτων : α ) 5 ) ϐ ) 3 ) ) Να απλοποιηθεί η παράσταση αν x < : x x + x + x + + x x Η παράσταση A = x 8x + 6 x 0x + 5 να γραφεί χωρίς ϱι- Ϲικά και απόλυτες τιµές. 06. Γράψτε τους παρακάτω αριθµούς χωρίς ϱιζικά στον παρανοµαστή : 3, 5 7, 5

17 .6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Αν x > 4 να µετασχηµατίσετε την παράσταση A σε ισοδύναµη µε ϱητό παρανοµαστή : x 4) A = x 4 x Να λυθεί η εξίσωση : x) 3x + ) = α ) Να δειχθεί ότι για α, β 0 ισχύει α + β αβ 0. ϐ ) Να προσδιορίσετε τις τιµές των ϑετικών αριθµών α, β για τους οποίους ισχύει : β αβ + α α + = Βρείτε ποιά απο τις ακόλουθες παραστάσεις x, x, x +, x +, x, έχει τον εξής πίνακα προσήµου : ξ Να υπολογισθεί η παράσταση : A = Να ϐρείτε τους α, β και γ, γνωρίζοντας ότι : 3. Αν xy xy + x xy y α ) + α β + α β γ = 0 4. Βρείτε τον πιό µικρό ακέραιο n τέτοιον ώστε : y ) = 0 να δειχθεί ότι x = ή y =. x n + + n 00.6 Ασκήσεις Επανάληψης 5. Να αποδείξετε ότι : α ) α + β )γ + δ ) αγ + βδ) ϐ ) x + 5)y + 7) xy α ) Να υπολογίσετε τα αναπτύγµατα : x y ) και y )

18 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ϐ ) Αν x xy + 9y 4 y + = 0, να αποδείξετε ότι x = 4 και y =. 7. α ) Να αποδειχθεί ότι : a + b ) a + b) ϐ ) Αν για τους ϑετικούς a και b ισχύει : a + b = 3, να αποδειχθεί ότι : a + a) + b + ) 69 b 8 8. Σ ένα δεδοµένο κύκλο O, r) να εγγραφεί ορθογώνιο µεγίστου εµβαδού. 9. α ) Να αποδειχθεί η ταυτότητα α + β + γ )x + y + z ) αx + βy + γz) = = βx αy) + γy βx) + γx αz) ϐ ) είξτε ότι οι διχοτόµοι τριγώνου ABΓ διέρχονται απο ένα σηµείο I το οποίο ονοµάζεται έγκεντρο). γ ) Εστω τρίγωνο ABΓ και σηµείο P στο εσωτερικό του. Αν x, y, z οι αποστάσεις του P απο τις πλευρές του τριγώνου ABΓ, και x + y + z = δ, όπου δ γνωστό µήκος, να ϐρεθεί η ϑέση του σηµείου P ώστε το άθροισµα x + y + z να είναι το ελάχιστο δυνατό. 0. Για ποιές τιµές του πραγµατικού αριθµού x η παράσταση : A = x + x + x x + είναι ανεξάρτητη του x.. Να λυθεί η εξίσωση : 3x + 3y + 3z = xy + xz + yz.. Αν α, β, γ πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ, να αποδειχθεί ότι : α ) α 3 + β 3 + γ 3 < αβα + β) + βγβ + γ) + γαγ + α). ϐ ) α + β α + γ + β + γ β + α + γ + α γ + β < 4. γ ) α + β γ < αβ. 3. Αν κ QΙ και 0 < κ <, να δειχθεί ότι ο αριθµός 9 α = κ + κ + 9 κ + + κ είναι ϱητός. 4. Αν ν α ν + β α ν β και α ΖZ, β, + ), ν NΝ, να δείξετε ότι : ή α 007 = ή α 007 =.

19 .6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 9 5. ) ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 998/9, Α Λυκείου): Εστω ότι για ϑετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει : ) ) ) αβ α + β γ + βγ β + γ α + γα γ + α β = 0 6. ) ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 00/, Α Λυκείου): Αν για τους πραγ- µατικούς αριθµούς x, y, z ισχύει ότι : xyz =, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : K = y + y x + + z + z y + + x + x z + 7. ) ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 003/4, Α Λυκείου): Να ϐρεθούν οι ακέραιοι α, β για τους οποίους ισχύει η ισότητα : αβ + αβ + α = β + 4β + 3

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

21 Κεφάλαιο Εξισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων. Η Εξίσωση α x + β = 0 8. Να λυθεί η εξίσωση : 5x x x = 3 x Να ϐρείτε το λ ΙR, έτσι ώστε η εξίσωση λλx ) = x4λ 4) λ, να είναι α) αδύνατη και ϐ) ταυτότητα. 30. Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) x 4)x ) = x )x ), ϐ ) x + 7x x = x x x γ ) x x 4) + xx 4) + x 4) = 0 δ ) xx ) x 3 + x = 0 ε ) x + ) + x = 0 ϝ ) xx ) + x 4x + 4 = 0 Ϲ ) x 4)x + ) = x )x ) η ) x x = x x 4 ϑ ) x x = x + x ι ) x + x + x x + = 0

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3. Αν 9x + 6x + + y y + z = 0, µπορείτε να προσδιορίσετε τους πραγ- µατικούς x, y και z; 3. α ) Να ϐρεθούν οι τιµές του λ ΙR έτσι ώστε η εξίσωση λ x λ + 4 = 4λ 4)x να είναι ταυτότητα. ϐ ) Για τις τιµές του λ που ϐρήκατε στην ερώτηση α), να λυθεί ως προς y η εξίσωση y λ ) = y λ. 33. Για ποιές τιµές των λ, µ ΙR η εξίσωση : είναι ταυτότητα. λ x ) + λ + µ x + = λ ) + λ + µ 34. ίνεται η εξίσωση λ x + λ + λ + 4x = 0. α ) Να γραφεί στην γενικευµένη µορφή εξίσωσης ου ϐαθµού. ϐ ) Να λυθεί για τις διάφορες τιµές του λ. γ ) Να ϐρείτε το λ ώστε να έχει λύση το. 35. Να λυθεί η εξίσωση : x + x x = x. 36. Να λυθεί για τις διάφορες τιµές του λ ΙR η εξίσωση : x λ 3 = 4x + λ. 37. Αν ο x = είναι λύση της εξίσωσης αx 3 = να ϐρείτε τον α. 38. Να λυθουν οι εξισώσεις : α ) x = 3 x x 7 5 ϐ ) x + + x = Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) x = x, ϐ ) x = x, γ ) x + ) x = 0, δ ) x 3 3x + 3 x = Να γίνει γινόµενο η παράσταση A = 73x + ) 3 x) + 3x + )x 3) 3 και να λύσετε την εξίσωση A = Να λυθεί ως προς x η παράσταση : 3α + α + x α α x = αa ) x α, a ΙR. Για ποιές τιµές του α οι ϱίζες της εξίσωσης είναι πρώτοι αριθµοί ;

23 .. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + βx + γ = Θεωρώ την εξίσωση λ λ x) + λ µ = µ µ x) + λµ, ) µε λ, µ ΙR. α ) Να λύσετε την εξίσωση. ϐ ) Αν µ < 0 και µ > λ και x 0 η µοναδική λύση της ), δείξτε ότι : x µ λ) 3 8µ 3 > ίνονται οι εξισώσεις : x 5) x) 3 = x 3) 3 ) λ 5)x = λ 6 + ρ + 4) ) λ 5) λx = 5x + 3 3) είξτε ότι οι ϱίζες της εξίσωσης ) είναι µήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Αν ρ είναι το µήκος της υποτείνουσας του προηγουµένου όρθογωνίου τριγώνου δείξτε ότι για την τιµή του λ για την οποία η εξίσωση ) είναι αόριστη, η εξίσωση 3) είναι αδύνατη. 44. Να ϐρείτε τη τιµή του λ ΙR για την οποία η εξίσωση λ 3 x x = x µε άγνωστο το x, είναι αόριστη. 45. ) ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 006/7, Α Λυκείου): Να λυθεί η εξίσωση : λλx + 3) = λ 3 + λx για τις διάφορες πραγµατικές τιµές της παραµέτρου λ.. Η Εξίσωση αx + βx + γ = Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ ή Λ. α ) Ισχύει : x 3x + = 0 x + 3x = 0. ϐ ) Εστω αx + βx + γ = 0, α 0. Οταν τα α, β και γ αντικατασταθούν απο τα αντίθετά τους η τιµή της διακρίνουσας αλλάζει. γ ) Η εξίσωση x ) = 0 έχει διπλή ϱίζα. δ ) Η εξίσωση αx + γ = 0 έχει διακρίνουσα πάντα αρνητική. ε ) Η εξίσωση x = x έχει διπλή ϱίζα το 0. ϝ ) Το κλάσµα x ορίζεται για κάθε x ΙR. + x + Ϲ ) Αν = 0 τότε η διπλή ϱίζα της αx + βx + γ = 0 είναι η β α. η ) Αν > 0 και γ = 0 τότε η αx + βx + γ = 0 έχει ϱίζα το 0.

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ϑ ) Αν υπάρχει ϱ ΙR έτσι ώστε αϱ + βϱ + γ = 0, τότε η αx + βx + γ = 0 έχει δύο παραγµατικές ϱίζες. 47. Αν α + β + γ = 0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση αx + βx + γ = 0 έχει ϱίζα τη. 48. Αν p είναι ϱίζα της εξίσωσης x + αx + β = 0 να αποδειχθεί ότι p α p + β. 49. Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) x 3 )x 6 = 0. ϐ ) αβx α β)x = 0, αβ 0. γ ) x x + = 0, όπου η διακρίνουσά της. 50. ίδεται η εξίσωση : x λ 3 x λ +) = 0. είξτε ότι για κάθε λ πραγµατικό, η εξίσωση έχει δύο ϱίζες. 5. Εστω η εξίσωση x 4λx + 4λ = 0. Αφού ϐρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης, προσδιορίστε το λ έτσι ώστε οι ϱίζες να ανήκουν στο διάστηµα, 3]. 5. α ) Αν x, y ϱητοί, λ > 0 και λ άρρητος τότε να αποδείξετε ότι : x + y λ = 0 x = 0 και y = 0 ϐ ) Να δειχθεί ότι αν α, β, γ, κ ϱητοί αριθµοί, λ > 0 και λ άρρητος και η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ϱίζα τον αριθµό κ + λ, τότε η εξίσωση αυτή έχει για ϱίζα και τον συζυγή του, κ λ. 53. είξτε ότι η πραγµατική ϱίζα ρ της εξίσωσης x 3 5 = 0, δεν είναι δυνατόν να είναι ϱίζα µιας εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού µε συντελεστές ϱητούς αριθ- µούς. Μπορείτε µε την ϐοήθεια ενός συστήµατος συµβολικού υπολογισµού, το Maple ή το Mathematica, να ϐρείτε µια εξίσωση δευτέρου ϐαθµού µε συντελεστές στο ΙR έτσι ώστε να έχει ϱίζα το ρ και της οποίας οι συντελεστές να είναι όλοι διάφοροι του Αν αγ 0 και α γ = α + γ, η εξίσωση αx + βx + γ = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. 55. Εστω α, β ΙR µε την ιδιότητα : dβ, α) + α = 0. α ) Να αποδείξετε ότι α < 0. ϐ ) Να υπολογίσετε το β. γ ) Για την τιµή του β που ϐρήκατε στο δεύτερο ερώτηµα, δείξτε ότι η εξίσωση x α + β)x + αβ + ) = 0 έχει δύο ϱίζες πραγµατικές και άνισες. 56. Αν οι αριθµοί x )x ) και x )x + 3) είναι διαδοχικοί ακέραιοι 5 τότε :

25 .. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + βx + γ = 0 5 α ) να υπολογίσετε το x, ϐ ) να ϐρείτε αυτούς τους ακεραίους. 57. Θεωρούµε τις δύο εξισώσεις : x + αx + β = 0 ) και x + γx + δ = 0 ) όπου α, β, γ και δ πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει : αγ = β + δ). Αν και οι διακρίνουσες των ) και ) αντίστοιχα, τότε : α ) να ϐρείτε το πρόσηµο του αθροίσµατος +, ϐ ) να αποδείξετε ότι τουλάχιστον µια απο αυτές έχει ϱίζες πραγµατικές. 58. ίνονται οι δύο εξισώσεις : x λ )x 3 = 0 ) και x λ )x + 3λ = 0 ) µε λ. Αν οι δύο εξισώσεις έχουν κοινή ϱίζα, να ϐρείτε : α ) την κοινή ϱίζα, ϐ ) την τιµή του λ... Αθροισµα και γινόµενο ϱιζών 59. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ ή Λ. α ) Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, µε ϱίζες ϱ και ϱ είναι ισοδύναµη µε την x ϱ )x ϱ ) = 0. ϐ ) Οταν η µία ϱίζα µιας εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού είναι το και το άθροισµα των ϱιζών P = 4 τότε = 0. γ ) Υπάρχουν δύο πραγµατικοί αριθµοί µε γινόµενο και άθροισµα. δ ) Αν οι ϱίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0, είναι ετερόσηµες τότε αγ > 0. ε ) Η εξίσωση x 5x + = 0 έχει ϱίζες αντίθετες. ϝ ) Αν η εξίσωση x λx + = 0, λ ΙR, έχει δύο ϱίζες άνισες, αυτές είναι αντίστροφες. Ϲ ) Αν ϱ, ϱ είναι δύο ϱίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0, οι ϱ, ϱ είναι ϱίζες της εξίσωσης : αx + β x + γ = Να ϐρεθεί η συνθήκη µεταξύ των α, β, γ, α 0, έτσι ώστε οι ϱίζες της εξίσωσης : αx + βx + γ = 0 να είναι : α ) αντίθετοι αριθµοί ϐ ) αντίστροφοι αριθµοί.

26 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6. Να ϐρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί p για τους οποίους η διαφορά των δύο ϱιζών της εξίσωσης x px + p 9 = 0, είναι ίση µε Να ϐρεθούν όλοι οι πραγµατικοί αριθµοί p και q για τους οποίους η εξίσωση x + px + q = 0 έχει ϱιζες τους p και q. 63. ίνεται η εξίσωση x λ 3 + 8)x = 0 ). α ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ) έχει δύο ϱίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε λ ΙR. ϐ ) Να ϐρείτε το λ ώστε οι ϱίζες της ) να είναι αντίθετες. 64. ίνεται η εξίσωση : x 3x + λ = 0, ). α ) Να ϐρείτε τις τιµές του λ ώστε η εξίσωση ) να έχει ϱίζες πραγµατικές. ϐ ) Αν x, x οι ϱίζες της ) και ισχύει x = x να ϐρείτε τις ϱίζες x και x, καθώς και το λ. 65. α ) Αν δύο ϑετικοί αριθµοί x και y έχουν σταθερό άθροισµα, x + y = α, δείξτε ότι το γινόµενό τους γίνεται µέγιστο όταν x = y. ϐ ) Αν δύο ϑετικοί αριθµοί x και y έχουν σταθερό γινόµενο, x y = α, δείξτε ότι το άθροισµά τους γίνεται ελάχιστο όταν x = y. 66. Αν x και x είναι ϱίζες της εξίσωσης x βx + γ = 0, να αποδειχθεί ότι : x 3 + x 3 = β 3 3βγ. 67. Αν x και x είναι ϱίζες της εξίσωσης αx +βx+γ = 0, α 0, να αποδειχθεί ότι : x x = α 68. Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει ϱίζες οµόσηµες όταν είναι : A : P > 0 και S < 0 B : P > 0 και S > 0 Γ : > 0 και S > 0 : 0 και P > 0 E : > 0 και P > 0 Να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση και να τη διακαιολογήσετε. 69. Να λυθεί η εξίσωση x x + S = 0, όπου η διακρίνουσά της και S το άθροισµα των ϱιζών. 70. ίνεται η εξίσωση x µ + 3)x + µ + 6µ 5 µε ϱίζες ρ και ρ. Αποδείξτε ότι η διαφορά ρ ρ δεν εξαρτάται απο το µ. 7. Αν ρ και ρ είναι ϱίζες της x + α + γ)x + αγ β = 0 να ϐρεθούν οι ϱίζες της εξίσωσης y ρ + ρ )y + ρ ρ + β χωρίς να χρησιµοποιηθεί ο τύπος που λύνει τη δευτεροβάθµια εξίσωση. 7. ίδεται η εξίσωση x 7x + 80 = 0. Χωρίς να υπολογισθούν οι ϱίζες της, ϐρείτε µια δευτεροβάθµια εξίσωση της οποίας οι ϱίζες είναι οι αντίστροφοι των ϱιζών της δοθείσας εξίσωσης.

27 .. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + βx + γ = Αν x, x είναι ϱίζες της εξίσωσης αx +βx+γ = 0 να σχηµατίσετε µια άλλη εξίσωση που να δέχεται ως ϱίζες τους αριθµούς κx, κx όπου κ ακέραιος αριθµός. 74. ) ίδεται η εξίσωση x + βx + γ = 0. Αν x, x είναι οι ϱίζες της, να κατασκευασθεί µια δευτεροβάθµια εξίσωση µε ϱίζες τις x + 3 x και x + 3 x. 75. ) ίδεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0 και α, γ 0, µε ϱίζες ρ και ρ έτσι ώστε ρ ρ. Αν µ ο µεγαλύτερος απο τους : ρ ρ, ρ ρ να αποδειχθεί : α ) ότι : β αγ < µ < β αγ, ϐ ) < β αγ γ ) Εξετάστε τις προυποθέσεις έτσι ώστε ο β να είναι µηδέν. 76. ) Αν µεταξύ των ϱιζών x, x και των ακεραίων συντελεστών α, β, γ της εξίσωσης αx +βx+γ = 0 ισχύουν οι σχέσεις αγ < 0 και α x +x + > α x x, να αποδειχθεί ότι οι ϱίζες είναι άρρητοι αριθµοί... Αναγωγή σε δευτέρου ϐαθµού εξίσωση 77. Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) x + ) 3 x + ) 4 = 0 x x ϐ ) x ) x = 0. γ ) x 3) + x 6x + 9 = 7, δ ) 5 5 n 7 0 n + 4 n = 0 µε n NΝ, x ε ) x + x x 5 = 0, ϝ ) αν x x = y, δείξτε ότι x + x = y +. Με την παρατήρηση αυτή λύστε την εξίσωση : x + x + x x = Να ϐρεθούν οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, του οποίου η υποτεινουσα είναι 0 εκατ. και το εµβαδόν του δεν αλλάζει αν η µια κάθετη πλευρά αυξηθεί κατά 3 εκατ. ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 8 εκατ. 79. Να ϐρεθούν τα σηµεία τοµής του κύκλου x + y = 3 και της υπερβολής y = 6 x.

28 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ { x 4 + y 4 = α 80. Αν ξέρουµε ότι το σύστηµα έχει τέσσερες ακέραιες λύσεις xy = β απο τις οποίες η µια είναι η, ), να ϐρείτε τις άλλες λύσεις χωρίς να λύσετε το σύστηµα. 8. Εστω η διτετράγωνος εξίσωση : ) : αx 4 + βx + γ = 0. Να αποδειχθεί ότι : α ) η ) έχει τέσσερες πραγµατικές και άνισες ϱίζες, όταν β 4αγ > 0, β α > 0 και γ α > 0, ϐ ) η ) έχει µόνο δύο πραγµατικές ϱίζες, αν γ α < 0, γ ) η ) δεν έχει πραγµατικές ϱίζες αν β 4αγ > 0, β α < 0 και γ α > 0 ή β 4αγ < Να διερευνηθεί το είδος των ϱιζών της µ )x 4 4x + µ + = 0 για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού µ. Υπόδειξη : είξτε ότι για µ, 3) και µ 3, ) η εξίσωση δεν έχει ϱίζες, για µ, ) µόνο δύο πραγµατικές, για µ, ) έχει 4 πραγµατικές και για µ, ) καµµία πραγµατική ϱίζα. 83. ) Να λυθεί η εξίσωση : x x + ) 4 6x x x + ) + 5x 4 = ) Να λυθεί η εξίσωση : α x 3 + β x + β x + α = ) ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 998/9, Α Λυκείου): Να ϐρεθούν οι πραγµατικές λύσεις της εξίσωσης : x + x = 4 x + x ) ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 007/8, Α Λυκείου): Να ϐρεθούν οι ακέραιες ϑετικές ϱίζες της εξίσωσης : x 6 + x 3 y + 3x 3 + 3y + y 4 40 = ) Για ποιές τιµές του µ η εξίσωση x + 3 τέσσερες διαφορετικές πραγµατικές ϱίζες. = x + µx + )3 x) έχει 88. ) ιαγωνισµός Θαλής Μαθ. Ετ. 00/, Α Λυκείου): Να λυθεί η εξίσωση : 3 + α + α 4 )x = + α + α ) x + α 5 + α 4 + α 3 α α ως προς x ϑεωρώντας το α ως παράµετρο.

29 .. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + βx + γ = ιαθεµατικά Θέµατα 89. Εστω εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0. Είναι γνωστό ότι η αλγεβρική διακρίνουσα δίνει την ποιότητα των ϱιζών της δευτεροβάθµιας εξίσωσης. Υπάρχει γεωµετρική διακρίνουσα της δευτεροβάθµιας εξίσωσης ; Ενα γεω- µετρικό µέγεθος δηλαδή που ϑα καθορίζει αν το γράφηµα της συνάρτησης fx) = αx + βx + γ έχει ή όχι κοινά σηµεία µε τον άξονα x x. 90. Θέλουµε να συνεχίσουµε να συµπληρώσουµε τον παρακάτω πίνακα µε ϕυσικούς αριθµούς ακολουθώντας τους δύο παρακάτω κανόνες : ος Κανόνας Κάθε γραµµή περιέχει διαδοχικούς ϕυσικούς αριθµούς. ος Κανόνας Σε κάθε γραµµή το άθροισµα των τετραγώνων των αριθµών που ϐρίσκονται στην αριστερή περιοχή είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των αριθµών στην δεξιά περιοχή µε τα έντονα τετράγωνα, δες σχήµα.. Ετσι για παράδειγµα στην πρώτη γραµµή 3 +4 = 5. Τότε : Σχήµα.: Άσκηση 89 α ) είξτε ότι δεν υπάρχει άλλος τρόπος να συµπληρώσουµε την πρώτη γραµµή. ϐ ) Συµπληρώστε τις επόµενες γραµµές του πίνακα. γ ) είξτε ότι αν συνεχίσουµε να συµπληρώνουµε τον πίνακα προσθέτοντας κάθε ϕορά και µία νέα γραµµή στο κάτω µέρος, ϑα υπάρξει γραµµή που ϑα περιέχει τον αριθµό 004. Προσδιορίστε την ακριβή ϑέση του 004 στον πίνακα.

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 2 oυ και 3 oυ Κεφαλαίου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου oυ και 3 oυ Κεφαλαίου έµης Απόστολος, Ζάχος Ιωάννης, Κατσαργύρης Βασίλειος, Κόσυβας Γεώργιος, Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής Οκτώβριος 004 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 1

Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 1 Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου 1 Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 11 Σεπτεµβρίου 2012 1 LaTEX Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό έχει γραφεί για τους µαθητές της Α Λυκείου του

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Αλγεβρας Α Λυκείου

Ασκήσεις Αλγεβρας Α Λυκείου Ασκήσεις Αλγεβρας Α Λυκείου c 013 αυτηορ. Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Σχολ. Ετος 015-016 1 Ιουλίου 015 Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό έχει γραφεί για τους µαθητές της Α Λυκείου του Προτύπου

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι

7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε

Πραγματικοί αριθμοί. Κεφάλαιο Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. = 2. Να υπολογίσετε Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους. Έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει α + β = 0 και β + α την τιμή της παράστασης αβ + αβ. =. Να υπολογίσετε. Αν x y

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά

Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ Άλγεβρα. Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα Α ΛYKEIOY ΆΛΓΕΒΡΑ 09-00 Μίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά Ταξη: Α Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Έκδοση 907 Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου προορίζεται για σχολική χρήση και

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Ιούνιος 04 . Έννοια της πιθανότητας GI_A_ALG 497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,,

( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Τα θέµατα που συνθέτουν τα σχέδια κριτηρίων που ακολουθούν αντλήθηκαν από τις ερωτήσεις του σχεδιασµού αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Πράξεις στο R - υνάµεις µε εκθέτη ακέραιο.............. 1. Μέθοδοι απόδειξης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

α έχει μοναδική λύση την x α

α έχει μοναδική λύση την x α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία

Πιθανότητες. Κεφάλαιο Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Κατανόηση εννοιών - Θεωρία Κεφάλαιο Πιθανότητες. Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα.. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Ποιό πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό και ποιό πείραμα τύχης; 2. Τι ονομάζουμε δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης; 3. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α 0 Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση την x= - αx+β=0 α=0 β 0 β=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα, δηλαδή επαληθεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 / Εξισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 0 / 0 6 εκδόσεις Ασκήσεις Πιθανότητες Τράπεζα θεμάτων. Δίνεται η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία.

Σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό αποτελεί συνέχεια του Α τεύχους και απευθύνεται κυρίως στους μαθητές της Α Λυκείου, αλλά και στους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα «Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων» της Α Λυκείου.

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων

Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παπασταυρίδης Γ.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα