ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT

Transcript

1 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT

2 Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα» (kernel) δημιουργίας ορθοκανονικών διανυσμάτων για κάθε τιμή του Ν. Στην περίπτωση αυτή οι συντελεστές c k (δηλαδή οι προβολές του x στα g k ) δίνονται (*): Η σχέση αυτή εκφράζει το μονοδιάστατο Διακριτό Μετασχηματισμό Συνημιτόνου (DCT) Οι τιμές x[n] προκύπτουν έτσι: Η σχέση αυτή εκφράζει τον αντίστροφο μονοδιάστατο Διακριτό Μετασχηματισμό Συνημιτόνου (inverse DCT idct) N με αντικατάσταση των g k στις σχέσεις c i x n g i [n] n0

3 O μετασχηματισμός Fourier Μετασχηματισμός Fourier είναι θεμελιώδους σημασίας στην ανάλυση των σημάτων και των συστημάτων συνεχούς ή διακριτής ανεξάρτητης μεταβλητής περιοδικές συναρτήσεις και ακολουθίες αναλύονται σε αθροίσματα όρων που καθένας τους εκφράζει μία αρμονική ταλάντωση Θα αναφερθούμε σε Διακριτό μετασχηματισμό Fourier (Discrete Fourier Transform, DFT) Διακριτή σειρά Fourier (Discrete Fourier Series, DFS) Μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (Discrete Time Fourier Transform, DTFT) Αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier (Inverse Fourier Transform)

4 Εισαγωγή στους υπολογισμούς Μ/Σ μιγαδικών ΣΔΧ Οι σχέσεις για την ερμηνεία ενός Μ/Σ στην περίπτωση των πραγματικών σημάτων πεπερασμένου μήκους Ν είναι αποτέλεσμα του γεγονότος ότι αναλύσαμε το σήμα σε μία βάση ορθοκανονικών διανυσμάτων (μέτρο ίσο με τη μονάδα και είναι μεταξύ τους κάθετα) x T y x, y R N Στην περίπτωση μιγαδικών σημάτων Μιγαδικός z a + bj, αν z (?) z? z T z a bj a bj a bj a + bj a b όμως: x a + b a + b z T z άρα χρειάζεται διαφορετική προσέγγιση: αν z a bj ο συζυγής τότε: z T z a b j a + b x bj a bj a + ( bj) a

5 Εισαγωγή στους υπολογισμούς Μ/Σ μιγαδικών ΣΔΧ Δύο μιγαδικά διανύσματα g 0, g λέγονται ορθομοναδιαία αν g T 0 g 0 g T g g T 0 g g T g 0 0 Στη γραμμική άλγεβρα ο συζυγής ενός μιγαδικού πίνακα A, γράφεται A και αποτελείται από τα συζυγή στοιχεία του A Ο ανάστροφος του συζυγούς του A, δηλαδή ο A T, λέγεται αναστροφοσυζυγής του A ή A Ερμιτιανός και γράφεται A H Άρα οι σχέσεις για τα ορθομοναδιαία γράφονται: g H 0 g 0 g H g g H 0 g g H g 0 0

6 Εισαγωγή στους υπολογισμούς Μ/Σ μιγαδικών ΣΔΧ Για N ορθομοναδιαία μιγαδικά διανύσματα g0, g,, gn- ο συνολικός πίνακας των διανυσμάτων είναι: G H g 0 H g H g N H Ισχύουν οι σχέσεις: G H G I και G H G Κατ αναλογία με την περίπτωση προβολής διανύσματος πραγματικών παραμέτρων για τα μιγαδικά διανύσματα: C c 0 c c N c k g kh x N n0 G H x και αντίστοιχα g k[n] x[n] x G C (λόγω G H G ) x n c k g k n N k0 το ανάπτυγμα του x[n] σε σειρά του g k [n]

7 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Πυρήνας παραγωγής ορθομοναδιαίων διανυσμάτων: Η βάση είναι ορθομοναδιαία διότι ισχύουν οι σχέσεις μοναδιαίου μήκους και καθετότητας: (για k m)

8 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Oι συντελεστές ενός πεπερασμένου μήκους Ν σήματος x είναι N c k e jπ N kn x[n] N n0 H σχέση αποτελεί το μοναδιαίο (unitary) Διακριτό Μετασχηματισμό Fourier (Discrete Time Fourier Transform - DFT) N-σημείων Ανάπτυγμα σε σειρά ενός πεπερασμένου μήκους Ν σήματος x N x n c k e jπ N kn N k0 H σχέση αποτελεί το ανάπτυγμα στην αντίστοιχη σειρά Αν θέσουμε C k ck C k x n N N N N e jπ N n0 kn x[n], ή αλλιώς: X(k) e jπ N n0 kn x[n] N C k e jπ N kn k0 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier - DFT, ή αλλιώς: x n N N X(k) e jπ N kn k0 Διακριτή Σειρά Fourier - DFS

9 DFT - Παράδειγμα Για το σήμα x[ 3 ] Τ, N3, n0,,, k0,,, τα ορθομοναδιαία διανύσματα βάσης είναι: g g e π 3 0 e π 3 e π 3 e π 3 0 e π 3 e π 3 g 0 e π e π 3 0 e π 3 0 cos π 3 + j sin (π 3 ) cos 4π 3 + j sin (4π 3 ) cos 4π 3 + j sin (4π 3 ) cos 8π 3 + j sin (8π 3 ) + j 3 j 3 j 3 + j 3

10 Συνεπώς ο πίνακας των ορθομοναδιαίων διανυσμάτων είναι G g 0 3 g 3 g 3 με ερμιτιανό πίνακα (Hermitian) Ο DFT είναι C G H x G Η + j 3 j 3 j 3 + j 3 j 3 + j 3 + j 3 j 3 + j 3 j 3 DFT - Παράδειγμα j 3 + j j j 3

11 DFT - Παράδειγμα Οι τιμές του σήματος ανακτώνται από τις τιμές c k του DFT x 3 G C 3 + j 3 j 3 j 3 + j j j 3 3

12 DFT - Παράδειγμα Για το σήμα x[0 0 ] Τ, N5, n,k0, 4, τα ορθομοναδιαία διανύσματα βάσης είναι: g 0 e π e π 5 0 e π 5 0 e π e π g e π 5 0 e π 5 e π 5 e π 5 3 e π 5 4 cos π 5 + j sin (π 5 ) cos 4π 5 + j sin (4π 5 ) cos 6π 5 + j sin (6π 5 ) cos 8π 5 + j sin (8π 5 ) j j 0.95 g e π 5 0 e π 5 e π 5 e π 5 3 e π j j 0.95 g 4 e π e π 5 4 e π 5 4 e π e π g 3 e π e π 5 3 e π 5 3 e π e π j j j j 0.95

13 Συνεπώς ο πίνακας των ορθομοναδιαίων διανυσμάτων είναι G j j j j j j 0.95 DFT - Παράδειγμα j j 0.95 με ερμιτιανό πίνακα (Hermitian) G Η j j j j j j j j 0.95 Ο DFT είναι C G H x G H j j j j 0.95

14 DFT - Παράδειγμα Οι τιμές του σήματος ανακτώνται από τις τιμές c k του DFT x 5 G C 5 G j j j j