ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 2, 0 1, 1 4, 2 3, 4 1, 2 2, 3 1, 3 0, 2 3, 0 Ποια(ες) είναι η ισορροπία(ες) κατά Nash των παραπάνω παιγνίων; ΑΣΚΗΣΗ 2 Έστω δύο επιχειρήσεις, η µία ήδη λειτουργεί στον κλάδο (επιχείρηση 1) και η άλλη θέλει να εισέλθει στον κλάδο (επιχείρηση 2). Η επιχείρηση 1 σχεδιάζει να κατασκευάσει ένα καινούργιο εργοστάσιο. Τα αποτελέσµατα των αποφάσεων δείχνονται στην παρακάτω µήτρα. Είσοδος Όχι Κατασκευάσει 0, -1 2, 0 Όχι 2, 1 3, 0 Βρείτε τις ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς και σε µικτές στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 3 ύο εταιρίες αυτοκινήτων αποφασίζουν ταυτόχρονα να εισάγουν στην αγορά ένα νέο µοντέλο. Κάθε µια από τις εταιρίες σκέφτεται αν προσφέρει ή όχι ευκολίες πληρωµής στους πελάτες, κάτι που θα αύξανε το µερίδιο της αγοράς της αλλά συγχρόνως θα είχε κόστος για την εταιρία. Και οι δύο προτιµούν να µην προσφέρουν ευκολίες πληρωµής, αλλά κάθε µια φοβάται ότι η άλλη θα τις προσφέρει, και κατά συνέπεια η ίδια θα χάσει πελάτες. Ας υποθέσουµε ότι τα προσδοκώµενα κέρδη των εταιριών είναι τα ακόλουθα: αν και οι δυο προσφέρουν ευκολίες πληρωµής κάθε µια κερδίζει 400 εκατ. ; αν καµιά δεν τις προσφέρει κάθε µια κερδίζει 600 εκατ. ; αν η µια προσφέρει ευκολίες πληρωµής αλλά η άλλη όχι, η πρώτη κερδίζει 800 εκατ. και η δεύτερη µόνο 300 εκατ. Παραστήσατε το παίγνιο σε στρατηγική µορφή και υπολογίσατε την ισορροπία κατά Nash. ΑΣΚΗΣΗ 4 ύο άτοµα, ο Α και ο Β, θέλουν να µοιράσουν 1000 λίρες, Ανακοινώνουν ταυτόχρονα πόσο θέλει να κρατήσει κάθε ένας από τις 1000 λίρες, Έστω s A και s Β τα ποσά αυτά, 0 s A, s Β Αν 0 s A + s Β 1000, τότε κάθε ένας παίρνει αυτό που ζήτησε, στην αντίθετη περίπτωση δεν παίρνει κανείς τίποτα. Ποιες είναι οι ισορροπίες κατά Nash αυτού του παιγνίου; 1

2 ΑΣΚΗΣΗ 5 Υποθέσατε ότι έξι αδέλφια πρέπει να αποφασίσουν µεταξύ τους ποιος θα πάρει το αυτοκίνητο το Σαββατοκύριακο και στήνουν το εξής παίγνιο. Ταυτόχρονα γράφουν σε ένα χαρτί ένα αριθµό µεταξύ 0 και 10. Κατόπιν υπολογίζουν τον αριθµητικό µέσο αυτών των αριθµών και ο αδελφός που έχει γράψει τον αριθµό που είναι µικρότερος από το µέσο και είναι πλησιέστερος στον µέσο παίρνει το αυτοκίνητο. Σε περίπτωση ισοπαλίας, όλοι οι αδελφοί που έχουν προτείνει τον ίδιο αριθµό έχουν την ίδια πιθανότητα να πάρουν το αυτοκίνητο. Προσδιορίσατε τις ισορροπίες κατά Nash αυτού του παιγνίου, εξηγώντας µε λεπτοµέρειες πως τις βρήκατε. ΑΣΚΗΣΗ 6 ύο επιχειρήσεις που λειτουργούν στον ίδιο κλάδο και παράγουν προϊόντα ταυτόσηµα, πρέπει να αποφασίσουν ταυτόχρονα την ποσότητα που θα παράγουν για την παρούσα περίοδο. Γνωρίζουν ότι το κόστος παραγωγής τους είναι ίσο µε C(q i )=10+2q i, i=1, 2, και επίσης την κοινή καµπύλη ζήτησης του προϊόντος τους, P(q 1 + q 2 )=320-2(q 1 + q 2 ). (α) Ποιες είναι οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης; Αν οι επιχειρήσεις µεγιστοποιούν τα κέρδη τους, ποια είναι τα αποτελέσµατα για κάθε ζευγάρι στρατηγικών; Ποιες είναι οι καµπύλες (βέλτιστης) αντίδρασης; (β) Ποια είναι η ισορροπία κατά Nash όταν οι επιχειρήσεις αποφασίζουν ταυτόχρονα τις ποσότητες παραγωγής τους; ΑΣΚΗΣΗ 7 ύο άτοµα, ο Α και ο Β, µοιράζονται ένα διαµέρισµα όπου καθένας έχει το δικό του δωµάτιο. Όσον αφορά τη διακόσµηση του διαµερίσµατος, κάθε ένας πρέπει να αποφασίσει µε ποιο τρόπο θα κατανείµει τους πίνακες ζωγραφικής που έχει στην κατοχή του. Πιο συγκεκριµένα, καθένας έχει δύο πίνακες και πρέπει να αποφασίσει πόσους να κρεµάσει στο δωµάτιό του και πόσους στο σαλόνι. Υποθέσατε ότι κάθε ένας παίρνει ξεχωριστά την απόφασή του, οι πίνακες τοποθετούνται ανάλογα και κατόπιν δεν µπορούν να ξεκρεµαστούν. Έστω x Α και x Β ο αριθµός των πινάκων που τα άτοµα Α και Β αποφασίζουν να κρεµάσουν στο δωµάτιό τους (οπότε, x s = 4 - x Α x Β είναι ο αριθµός των πινάκων που µένουν για το σαλόνι). Η συνάρτηση χρησιµότητας του Α είναι U A ( x A, x S ) = x A (1,5 + x S ) και του Β είναι U B ( x B, x S ) = x B (1,5 + x S ). (α) Ποιες είναι οι στρατηγικές καθενός από τα δύο άτοµα στο διαµέρισµα; (β) Παραστήσατε το παίγνιο σε µορφή µήτρας. (γ) Προσδιορίσατε τη µοναδική ισορροπία κατά Nash. Είναι το αποτέλεσµα αυτό καλό για το δύο άτοµα; ΑΣΚΗΣΗ 8 Ορισµένοι από τους φορολογούµενους αποφασίζουν κάθε χρόνο αν θα κάνουν δήλωση εισοδήµατος ή όχι. Το πλεονέκτηµα από τη µη δήλωση είναι, προφανώς ότι αν δεν εξεταστεί η περίπτωση τους δεν θα πληρώσουν κανένα φόρο. Ο κίνδυνος όµως που διατρέχουν είναι ότι αν ανακαλυφθούν, πέρα από τους φόρους, πρέπει να πληρώσουν επίσης και πρόστιµο. Ας εξετάσουµε την περίπτωση ενός συγκεκριµένου φορολογούµενου. Υποθέσατε ότι το αρχικό του εισόδηµα είναι R, I είναι οι φόροι που θα πληρώσει αν αποφασίσει να κάνει δήλωση, Μ είναι το πρόστιµο που θα πληρώσει επιπλέον από τους φόρους που του αντιστοιχούν αν ανακαλυφθεί, και C είναι το κόστος της Εφορίας να διερευνήσει την περίπτωση ενός φορολογούµενου (το 2

3 οποίο προφανώς πληρώνεται όποιο και αν είναι το αποτέλεσµα της έρευνας αυτής).ο φορολογούµενος ενδιαφέρεται να πετύχει το µεγαλύτερο δυνατό εισόδηµα και το κριτήριο της Εφορίας είναι να µεγιστοποιήσει τα καθαρά φορολογικά έσοδα (δηλ. έσοδα από φόρους και πρόστιµα µείον το κόστος της διερεύνησης). (α) Παραστήσατε το παίγνιο σε στρατηγική µορφή έτσι ώστε να περιγράφεται ακριβώς η σχέση µεταξύ της Εφορίας και του φορολογούµενου. (β) Υποθέτοντας ότι I+M C > I > I C > 0, έχει κανείς από τους παίκτες µια κυρίαρχη στρατηγική: είξατε αν το παίγνιο έχει µια ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές και εξηγήσατε της απάντησή σας σε οικονοµικούς όρους. (γ) Υποθέτοντας τώρα ότι I > 0 >I+M C > I C, απαντήσατε στην ερώτηση (β). ΑΣΚΗΣΗ 9 Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις επιχειρήσεις παράγουν ένα οµοιογενές αγαθό του οποίου η αντίστροφη καµπύλη ζήτησης δίνεται από p=120 (q 1 +q 2 +q 3 ), όπου q i παριστάνει την ποσότητα που παράγει η επιχείρηση ι= 1, 2, 3. Κάθε επιχείρηση παράγει µε µηδενικό κόστος. Οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται εκλέγοντας ταυτόχρονα την ποσότητά τους. (α) Ποια είναι η ισορροπία Cournot Nash στον κλάδο; (β) Ποια είναι τα κέρδη κάθε επιχείρησης στην ισορροπία; (γ) Έχουν κίνητρο δύο οποιεσδήποτε επιχειρήσεις να συγχωνευθούν και να δρουν ως ναι επιχείρηση οπότε φυσικά ο κλάδος θα µετατραπεί σε δυοπώλιο; ικαιολογήσατε την απάντησή σας. (δ) Τι θα συµβεί όταν ο αριθµός των επιχειρήσεων στον κλάδο τείνει στο άπειρο; ΑΣΚΗΣΗ 10 Στον κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ατελώς υποκατάστατα αγαθά. Οι καµπύλες ζήτησης των προϊόντων τους είναι q 1 = p 1 +p 2 και q 2 = p 2 +p 1. Οι δύο επιχειρήσεις έχουν την ίδια τεχνολογία που τους επιτρέπει να παράγουν τα αγαθά τους µε το ίδιο κόστος ανά µονάδα προϊόντος ίσο µε 2 (δεν υπάρχει σταθερό κόστος). Η στρατηγική µεταβλητή των επιχειρήσεων είναι η τιµή και οι επιχειρήσεις παίρνουν τις αποφάσεις τους ταυτόχρονα. Προσδιορίσατε την ισορροπία κατά Nash του παιγνίου. ΑΣΚΗΣΗ 11 Βρείτε την ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές των ακόλουθων παιγνίων: ` R T 2, 1 0, 2 B 1, 2 3, 0 R T -2, -1 0, 0 B 0, 0-1, -2 3

4 ΑΣΚΗΣΗ 12 Το ακόλουθο διάγραµµα παριστά το δέντρο ενός παιγνίου τέλειας πληροφόρησης µεταξύ δύο παιχτών. r D e l R I W c M D II r a m W D I R l b M D II d r I l D (α) Προσδιορίσατε τα σύνολα πληροφόρησης κάθε παίχτη. (β) Ποιες είναι οι αµιγείς στρατηγικές κάθε παίχτη; Και ποιες είναι οι επιλογές κάθε παίχτη σε καθένα από τα σύνολα πληροφόρησής του; (γ) Ποιο είναι το αποτέλεσµα του συνδυασµού των στρατηγικών (rll, M); (δ) Προσδιορίσατε όλα τα δυνατά ζευγάρια στρατηγικών που οδηγούν το παίγνιο στην πορεία rrl ΑΣΚΗΣΗ 13 ίνεται το ακόλουθο παίγνιο σε αναλυτική µορφή : 10, 2 l H 0, 0 A -1, -1 h H 3, 5 (α) Προσδιορίσατε τις ισορροπίες κατά Nash του παιγνίου αυτού. (β) Παραστήσατε σε µορφή στρατηγική το παίγνιο. (γ) Είναι κάποια από τις ισορροπίες κατά Nash τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; (δ) Υποθέτοντας τώρα ότι ο παίχτης Β παρατηρεί την απόφαση του παίχτη Α πριν πάρει την απόφασή του, απαντήσατε στις τρεις προηγούµενες ερωτήσεις. 4

5 ΑΣΚΗΣΗ 14 ίνεται το ακόλουθο παίγνιο σε αναλυτική µορφή: I II U 2 1, 2 U 1 D 2 0, 3 U 2 2, 1 D 1 II D 2 0, 3 (α) Προσδιορίσατε ποιες είναι οι στρατηγικές κάθε παίχτη και βρείτε όλες τις τέλειες ισορροπίες κατά Nash υποπαιγνίων. (β) Παραστήσατε το παίγνιο σε στρατηγική µορφή και βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash. ΑΣΚΗΣΗ 15 Ας θεωρήσουµε το παίγνιο στο οποίο ο παίχτης Ι επιλέγει πρώτος µεταξύ 0 και 1. Κατόπιν επιλέγει η Τύχη µεταξύ 0 και 1 µε ίσες πιθανότητες. Τέλος ο παίχτης ΙΙ επιλέγει µεταξύ 0 και 1 µη γνωρίζοντας την επιλογή του παίχτη Ι αλλά γνωρίζοντας ποια ήταν η επιλογή της Τύχης. Αν το άθροισµα των τριών επιλογών είναι ίσο µε 1, ο παίχτης Ι πληρώνει τον παίχτη ΙΙ µια λίρα. Στην αντίθετη περίπτωση ο παίχτης ΙΙ πληρώνει τον παίχτη Ι µια λίρα. (α) Σχεδιάστε το δέντρο του παιγνίου. (β) είξατε ποια είναι τα σύνολα πληροφόρησης κάθε παίχτη. (γ) Ποιες είναι οι αµιγείς στρατηγικές κάθε παίχτη; Ποιες είναι οι επιλογές κάθε παίχτη σε καθένα από τα σύνολα πληροφόρησής του; (δ) Αν επιλέγονταν ο συνδυασµός των στρατηγικών: 0 για τον παίχτη Ι και (1, 0) για τον παίχτη ΙΙ, δηλ. [0 (1, 0)], σε ποιο τελικό κόµβο του δέντρου θα φτάναµε; και µε ποια πιθανότητα; ΑΣΚΗΣΗ 16 Σε ένα κλάδο υπάρχει µια καθιερωµένη επιχείρηση, ενώ µια νέα επιχείρηση σκέφτεται να εισέλθει στον κλάδο. Αν η τελευταία αποφασίσει να εισέλθει, η καθιερωµένη επιχείρηση έχει δύο επιλογές: να αποδεχτεί την είσοδο της νέας επιχείρησης χάνοντας έτσι ένα µέρος των πελατών της ή να διεξάγει πόλεµο τιµών στη νεοεισερχόµενη. Αν αποδεχτεί την είσοδο της αντιπάλου, τα κέρδη της καθιερωµένη επιχείρησης θα είναι 10 εκατ., ενώ αν διεξάγει πόλεµο τιµών θα έχει απώλειες 10 εκατ. Από την άλλη, η νεοεισερχόµενη θα κερδίσει 10 εκατ. Αν δεν δεχτεί τον πόλεµο τιµών, ενώ θα έχει απώλειες 20 εκατ. Στην αντίθετη περίπτωση. Τέλος, αν η αντίπαλος αποφασίσει να µην εισέλθει στον κλάδο, η καθιερωµένη επιχείρηση θα συνεχίσει να πετυχαίνει τα κέρδη του µονοπωλίου που είναι 30 εκατ. Σχεδιάστε την αναλυτική µορφή του παιγνίου. Προσδιορίσατε κατόπιν τη στρατηγική µορφή του και βρείτε τις ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές. Ποιες απ αυτές είναι τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων; ΑΣΚΗΣΗ 17 Στον κλάδο της πληροφορικής υπάρχουν συνήθως ορισµένες εταιρίες που έχουν ηγετικό ρόλο και άλλες που αναµένουν τις πρώτες να πάρουν τις αποφάσεις τους και κατόπιν προσαρµόζουν κατάλληλα τις αποφάσεις τους. Ας υποθέσουµε ότι στον κλάδο η εταιρία ΙΤΜ παίζει το ρόλο του ηγέτη κατά Stackelberg και η εταιρία 5

6 MIGA είναι ακόλουθος κατά Stackelberg. Οι δύο επιχειρήσεις έχουν την ίδια τεχνολογία και το κόστος παραγωγής τους είναι c(q ι ) = cq ι, όπου c > 0. Η καµπύλη ζήτησης του προϊόντος είναι p(q) = 120 Q, (0 < Q < 120), όπου Q είναι η συνολική ποσότητα που προσφέρεται στην αγορά. Το παίγνιο µεταξύ των δύο εταιριών είναι το εξής: ΙΤΜ ανακοινώνει την ποσότητα του νέου προϊόντος που θα παράγει. Αφού παρατηρήσει αυτή την απόφαση, η MIGA αποφασίζει αν θα εισάγει το νέο προϊόν, και αν το εισάγει πόσο θα παράγει. Τα κέρδη της είναι µηδέν αν δεν το εισάγει. Αν το εισάγει τα κέρδη και των δύο εταιριών εξαρτώνται τόσο από την απόφαση της ΙΤΜ όσο και της MIGA. Παραστήσατε το παίγνιο σε αναλυτική µορφή. Ποιες είναι οι στρατηγικές κάθε εταιρίας; ποια είναι τα κέρδη τους σε κάθε ενδεχόµενο; Προσδιορίσατε την ισορροπία κατά Stackelberg του παιγνίου αυτού. Θα εισέλθει ή όχι η MIGA στον κλάδο; ΑΣΚΗΣΗ 18 Υποθέσατε ότι το παίγνιο είναι ακριβώς το ίδιο µε την άσκηση 17, εκτός του ότι το κόστος της MIGA είναι c(q ι ) = cq ι + K, όπου Κ παριστά το σταθερό κόστος (π.χ. το κόστος του να αποκτήσει την απαραίτητη τεχνολογία). Υπάρχει κάποια τιµή της παραµέτρου Κ, πάνω απ την οποία η MIGA δεν θα εισάγει το προϊόν στην αγορά στην ισορροπία του παιγνίου; ΑΣΚΗΣΗ 19 Στο ακόλουθο παίγνιο διαπραγµάτευσης, µια επιχείρηση (Ε) και ένα συνδικάτο (S) προσπαθούν να µοιράσουν µεταξύ τους τα κέρδη που δηµιουργούνται από την οικονοµική δραστηριότητά τους. Υποθέσατε ότι τα κέρδη αυτά είναι 20 εκατ. Η διαδικασία διαπραγµάτευσης περιλαµβάνει τρία στάδια προσφορών αντιπροσφορών. Η εταιρία κάνει την πρώτη προσφορά, κατόπιν το συνδικάτο κάνει µια αντιπροσφορά και τέλος κάνει µια νέα προσφορά η εταιρία. Σε κάθε στάδιο, αυτός που λαµβάνει την προσφορά έχει την δυνατότητα να την δεχτεί ή να την απορρίψει. Αν την δεχτεί, η διαπραγµάτευση παίρνει τέλος, ενώ αν την απορρίψει κάνει την αντιπροσφορά του. Αν δεν φτάσουν σε καµία συµφωνία µετά το τρίτο στάδιο και οι δύο κερδίζουν µηδέν. (α) Ποια είναι η πιθανή συµφωνία µεταξύ της εταιρίας και του συνδικάτου αν ο κοινός συντελεστής προεξόφλησης είναι δ = ¼; (β) Ποια είναι η πιθανή συµφωνία αν ο συντελεστής προεξόφλησης της εταιρίας είναι δ Ε = ¼ και του συνδικάτου δ S = ½; (γ) Συγκρίνατε τις παραπάνω συµφωνίες και σχολιάσατε αν και γιατί είναι λογικά τα παραπάνω αποτελέσµατα. (δ) Υποθέσατε τώρα ότι αλλάζει η διαδικασία διαπραγµάτευσης κατά τον εξής τρόπο: Είναι η ίδια όπως και τα προηγούµενα, αλλά τώρα εισάγεται η δυνατότητα ενός τέταρτου σταδίου (αν δεν επιτευχθεί καµία συµφωνία µέχρι και το τρίτο στάδιο), όπου παρέχεται η δυνατότητα στην εταιρία και στο συνδικάτο να απαιτήσουν ταυτόχρονα ένα µερίδιο των κερδών. Αν το άθροισµα των απαιτήσεων είναι µικρότερο ή ίσο από 20 εκατ., κάθε µέρος κερδίζει όσο ζήτησε. Στην αντίθετη περίπτωση, κανένας δεν λαµβάνει τίποτα. Αναλύσατε το παίγνιο όταν ο συντελεστής προεξόφλησης είναι ίσος µε 1. Τι αναµένεται να συµβεί σε αυτήν την περίπτωση; Ποια είναι η διαφορά µε την περίπτωση που δεν υπάρχει το τέταρτο στάδιο; 6

7 ΑΣΚΗΣΗ 20 Ας εξετάσουµε το ακόλουθο παίγνιο µεταξύ δύο παιχτών αθροίσµατος µηδέν (δηλ. το άθροισµα των κερδών των δύο παιχτών είναι µηδέν; όσο κερδίζει ο ένας χάνει ο άλλος) που έχει τρία στάδια: -στο πρώτο στάδιο, ο παίχτης Α εκλέγει a {-1, 2}. -στο δεύτερο στάδιο, η Τύχη εκλέγει b {1, -1}, µε αντίστοιχες πιθανότητες 1/3 και 2/3. -στο τρίτο στάδιο, ο παίχτης Β εκλέγει c {-1, 1} χωρίς να γνωρίζει την εκλογή της Τύχης, αλλά γνωρίζοντας την απόφαση του συµπαίχτη του. Τα κέρδη του παίχτη Α δίνονται από u(a,b)= (ac) b. Παραστήσατε το παίγνιο σε αναλυτική και σε στρατηγική µορφή. Βρείτε τις ισορροπίες κατά Nash στην στρατηγική µορφή του παιγνίου. ΑΣΚΗΣΗ 21 Υποθέσατε ότι δύο κατασκευαστικές εταιρίες, UNOSA και DOSSA, λαµβάνουν µέρος σε µια δηµοπρασία για την απόκτηση ενός ηλιακού συστήµατος. Για απλοποίηση ας υποθέσουµε ότι και οι δύο σχεδιάζουν τρεις δυνατές προσφορές, που θα τις καλέσουµε, υψηλή, µέση και χαµηλή. Το σύστηµα δίνεται στην εταιρία που θα κάνει την υψηλότερη προσφορά, και σε περίπτωση ισοπαλίας, θα δοθεί για ιστορικούς λόγους στην UNOSA. Τα προσδοκώµενα κέρδη της εταιρίας που έχει το ηλιακό σύστηµα εξαρτώνται προφανώς από την προσφορά που έκανε και είναι ίσα µε 10 αν η προσφορά είναι υψηλή, 30 αν είναι µέση και 40 αν είναι χαµηλή. Αν δεν κερδίσει την δηµοπρασία, τα κέρδη της εταιρίας είναι µηδέν. Υποθέσατε ότι κάθε εταιρία κάνει την προσφορά της µυστικά και τη στέλνει µέσα σε ένα σφραγισµένο φάκελο. (α) Προσδιορίσατε τη στρατηγική µορφή του παιγνίου. (β) Βρείτε την ισορροπία του παιγνίου απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές, δείχνοντας την ακριβή σειρά µε την οποία κάνετε την απαλοιφή. (γ) είξατε αν οι στρατηγικές που προσδιορίσατε στο (β) µια κατά Nash ισορροπία. (δ) Υπάρχει κάποιος άλλος συνδυασµός στρατηγικών που να οδηγεί σε καλύτερα αποτελέσµατα για τον νικητή της διαπραγµάτευσης; Είναι ισορροπία κατά Nash; (ε) είξατε αν η ισορροπία αυτή είναι αποτελεσµατική κατά Pareto ή όχι. Αν όχι, δείξατε ποιος συνδυασµός στρατηγικών θα οδηγούσε σε µια αποτελεσµατική κατανοµή των πόρων. (στ) Υποθέσατε τώρα ότι η εταιρία DOSSA έχει την δυνατότητα να µάθει αν η προσφορά που έκανε η αντίπαλός της είναι χαµηλή ή όχι, άλλα δεν µπορεί να έχει πληροφόρηση που να µπορεί να διακρίνει µεταξύ µέσης και υψηλής προσφοράς. Σχεδιάσατε την αναλυτική µορφή του παιγνίου. (ζ) Προσδιορίσατε πόσες στρατηγικές έχει τώρα κάθε µία από τις εταιρίες, εξηγώντας µε λεπτοµέρειες όλα τα απαιτούµενα βήµατα. (θ) Προσδιορίσατε αν οι συνδυασµοί στρατηγικών (Υψηλή, Υψηλή, Χαµηλή) και (Μέση, Μέση, Χαµηλή) αποτελούν µια επιχειρηµατική συµπεριφορά που δεν είναι πιστευτή. Είναι κανένας από τους δύο συνδυασµούς τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων; 7