Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Transcript

1 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că p = e = e e = = = 0! Distriuţi Poisso este u cz limită l distriuţiei Beroulli Fie = p vlore medie distriuţiei Beroulli Atuci p = 0 câd De semee ( )( ) + lim C p q = lim =! ( ) ( )( + ) = lim lim e = e!! Î schem lui Beroulli p = C p q reprezită proilitte relizării de ori eveimetului A îtr-o serie de eperieţe Dcă p = şi, tuci p este forte mic Distriuţi Poisso se mi umeşte şi lege eveimetelor rre şi este folosită l cotrolul sttistic l produselor idustrile tuci câd proilitte oţierii uei piese defecte este forte mică Vlore medie distriuţiei Poisso este M( f) = e = e e = e e = = 0! = ( )! De semee M( f) = e = e = e [( ) + ]! ( )! ( )! = = 0 = = = e + = e e ( + ) = = ( )! = ( )! + Î coseciţă, dispersi distriuţiei Poisso este =

2 5 Elemete de teori proilităţilor Vriile letore cotiue Fie ( X, Ω, p) u câmp de proilitte Remitim că fucţi f : X se umeşte vriilă letore cotiuă dcă re propriette că oricre r fi, f (, ) = { X; f( ) < } = { f < } Ω, ( ) fucţi f luâd o ifiitte eumărilă de vlori Defiiţi 557 Se umeşte fucţie de reprtiţie socită vriilei letore f fucţi F : [0, ] dtă de F( ) = p( f < ) Teorem 55 Fucţi de reprtiţie F uei vriile letore cotiue următorele proprietăţi: ) F este mooto crescătore; ) F( ) = lim F( ) = 0, F( ) = lim F( ) = ; 3) p( f < ) = F( ) F( ) ; 4) F este cotiuă l stâg pe f re Demostrţie ) Dcă, tuci { f < } { f < }, F ( ) F ( ) ) Ţiem sem că F( ) = p( ) = 0 şi F( ) = p( X) = 3) Deorece { f < } = { f < } { f < }, ir ultimele două eveimete sut disjucte, rezultă că F ( ) = F ( ) + p( f < ), p( f < ) = F( ) F( ) tuci F 4) Fie A= { f < } şi ( ) u şir, Dcă A = { f < }, A = { f < },, A = { f < },, A = A şi A Am = = petru m Î coseciţă ( ) [ ] F ( ) = pa ( ) = lim pa ( ) + pa ( ) + + pa ( ) = = lim F( ) + F( ) F( ) + + F( ) F( ) = lim F( ), este cotiuă l stâg î Defiiţi 558 Fie f o vriilă letore cotiuă şi Dcă eistă o fucţie itegrilă : stfel îcât ρ + F( ) = ρ( t)dt,, F fucţi s de reprtiţie tuci fucţi ρ se umeşte desitte de reprtiţie su desitte de proilitte vriilei letore f Teorem 553 Desitte de reprtiţie ρ vriilei letore cotiue f re următorele proprietăţi: ) ρ( ) 0, ;

3 88 ECUAŢII + ) ρ( )d = ; 3) p( f ) ρ( )d < = Demostrţi este evidetă Oservţi 555 Fie f o vriilă letore cotiuă şi F fucţi s de reprtiţie Dcă desitte de reprtiţie ρ vriilei letore f este cotiuă, tuci F ( ) = ρ( ), Defiiţi 559 Se umeşte vlore medie uei vriile letore cotiue f epresi + M ( f) = ρ( )d Mometul de ordiul formul M ( f) = ρ( )d + l uei vriile letore cotiue Dispersi vriilei letore f este defiită stfel: = D ( f) = M ( f M( f)) D ( f) = M( f ) ( M( f)) Numărul se umeşte tere medie pătrtică vriilei letore f f se defieşte pri Î cele ce urmeză, vom prezet uele legi de proilitte uzule, defiite pri desităţi de reprtiţie Defiiţi 550 Vriil letore f re o reprtiţie uiformă pe [ ], dcă re desitte de reprtiţie,dcă [, ] ρ( ) = 0, dcă [, ] + Este clr că ρ( )d = Avem:

4 5 Elemete de teori proilităţilor 89 0, dcă F( ) = ρ( t)d t =, dcă (, ], dcă > Oţiem succesiv: + M( f) = d=, ( ) d + + M f = =, 3 ( ) = M( f) ( M( f)) = Defiiţi 55 Vriil letore f stisfce o lege ormlă Nm (, ) dcă re desitte de reprtiţie = ( m) ρ( m ;, ) e Oservţi 556 Lege ormlă părut î legătură cu teori erorilor de măsurre Fucţi ρ re proprietăţile uei desităţi de reprtiţie Îtr-devăr ( m) ρ( ; m, )d= e d Dcă fcem schimre de vriilă = m+ t, () oţiem ρ( ; m, )d= e dt = Î fig 7 sut reprezette grficele fucţiilor ρ( m ;, ) petru diferite vlori le lui m şi celşi, ir î fig 7 sut reprezette grficele fucţiilor ρ( m ;, ) petru celşi m şi diferite vlori le lui O O Fig 7 Fig 7

5 90 ECUAŢII Vom clcul cum medi şi dispersi cestei vriile letore Folosid schimre de vriilă (), rezultă: ( m) m M ( f) = e d e dt te dt m = + =, ( m) D ( f) = ( m) e d= t e dt Itegrâd pri părţi, oţiem D ( f) = te + e dt = Vom determi cum fucţi de reprtiţie legii ormle ( tm) F( ) = e dt Fcem schimre de vriilă t = m+ y Rezultă că m y F( ) = e dy Pe de ltă prte 0 y y e dy = e dy =, y F( ) = + e dy 0 Folosid fucţi lui Lplce Φ :, m y Φ ( ) = e dy, 0 putem scrie m F( ) = ( +Φ Î coseciţă m m p ( f< ) = F ( ) F ( ) = ( ) ( Φ Φ )