Τετάρτη, Ιανουάριος 03, 2007 Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τετάρτη, Ιανουάριος 03, 2007 Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος"

Transcript

1 Τετάρτη, Ιανουάριος 03, 2007 Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος σµηνίας "Ο ΣΜΗΝΙΤΗΣ ESTARIAN ΤΩΡΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΟΥ Κ.Ε.Φ ΓΙΑ ΧΡΕΩΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ" - Άργησες πατόψαρο, τι έκανες πάλι, ψοφοντάρευες στο θάλαµο; - Οχι ρε Α.Κ.Φ.Φ, είχα ένα προβληµατάκι που έπρεπε να λύσω. - Σε στενεύουν οι αρβύλες ρε Estarian; Σε πονάει το λαιµουδάκι σου µήπως; Μήπως θες να στείλουµε αµοιβό να κάνει το νουµεράκι σου; - Είσαι καλά ρε; Η σκοπιά είναι το καλύτερο µέρος για να λύνω ασκήσεις. Ηρεµία, κρύο (δουλεύει καλύτερα ο εγκέφαλος), και επαφή µε τη φύση. Τέλεια! - (Κοίτα ρε σε κάτι άτοµα που δίνουµε και όπλα) - Και τι θα έχει το πρόγραµµα σήµερα ρε µούργο; - Ααα σήµερα έχω κέφια για κλασµατική γεωµετρία. - Υπάρχει τέτοιο πράµα;; - Αµή! Δώσε τώρα όπλο,σφαίρες, ασύρµατο και χλαίνη, και έλα σε καµιά ώρα να σου εξηγήσω Το τζιπάκι µεταφέρει τον ακοίµητο φρουρό της πατρίδας στη Σ39. Το νούµερο, 6:30-10:30. Κρύο-υγρασία. Πρόβατα µπαίνουν και βοσκάνε παραδίπλα. Αλλά άµα ο άνθρωπος είναι καµµένος, δε µασάει από τέτοια. Κούµπωµα γεµιστήρας στο όπλο, άπλωµα χλαίνης στο δάπεδο της σκοπιάς, τσεκ ασυρµάτου (φροντίδα ακούει φύλακα 39; ακούει.. οκ..) και τσουπ, σηµειωµατάριο και στυλό.. και ξεκινάµε.. Έχει περάσει µία ώρα και χαράζει πλέον. Ευτυχώς γιατί αρχίζει και τελειώνει η µπαταρία στη µίνι-λάµπα διαβάσµατος (γαµάτη, απο Παπασωτηρίου. Κουµπώνει στο αυτί σα Hands-free και φέγγει τρελλά..). Ο ήχος τζίπ που πλησιάζει σπάει τη µονοτονία των βελασµάτων και των γρύλλων. Το θύµα έρχεται. Έλα σµηνία να σου ξηγήσω γω την ιστορία Ο σµηνίας Γ.Μ έρχεται µε δύο αχνιστούς καφέδες. "Ηρθα ρε. Αν και κάτι µου λέει πως θα το µετανοιώσω" "Σουτ και κάτσε εδώ να µάθεις 5 πράγµατα ρε παλιογιωτά" "Σεµνάαααααααααα... ψάρακα :P" "Θυµάσαι καθόλου γεωµετρία από το σχολείο ρε;" "Ε ναι τα κλασσικά. Τρίγωνα, τετράγωνα, εµβαδά, παράλληλες, Θαλήδες, µινίσκοι Ιπποκράτη κλπ κλπ" "Χµ ωραία, κάτι θυµάσαι. Για τις διαστάσεις, θυµάσαι;" "Ε ναι 1,2,3. Ζούµε σε τρισδιάστατο κόσµο, δύο διαστάσεις το επίπεδο, µία η ευθείες και καµία το σηµείο" "Για καραβανάς επιδεικνύεις ιδιαίτερο πλούτο γνώσεων" "Και συ για φαντάρος επιδεικνύεις ιδιαίτερη όρεξη να φάς καµιά 10φ" "Καλά καλά ρε...ξεκολλα.. Που λες εδώ µε τις διαστάσεις, πως θα σου φαινόταν αν σου έλεγα ότι υπάρχουν σχήµατα που έχουν διάσταση πχ.. 2 1/2;" "Θα έλεγα ότι για να το λές εσύ κάτι θα ξέρεις έστω και αν µου φαίνεται παπάτζα" "Άκου λοιπόν και µάθε..:

2 Στο κοµπιούτερ που έχετε µέσα στη µοίρα, έχει ο προσωπάρχης για wallpaper ένα περίεργο σχήµα. Ένα σχήµα που µοιάζει κάπως έτσι : Αυτό λοιπόν είναι ένα fractal, και συγκεκριµένα. Είναι ένα σχήµα που αρχικά θα έλεγες ότι είναι δισδιάστατο. Αλλά δεν είναι. Η κλασµατική γεωµετρία (fractal geometry - Ο όρος fractal προέρχεται από το λατινικό fractus που σηµαίνει κλάσµα) είναι ένα κοµµάτι των µαθηµατικών που ενυπάρχει µε µια ιδιαίτερη µορφή τέχνης. Επισης είναι και ο καλύτερος τρόπος για να περιγράψεις µαθηµατικώς µορφές που υπάρχουν στη φύση όπως το σχήµα µιας ακρογιαλιάς, βουνά, µέχρι και όργανα έµβιων οργανισµών.γιατί καλός ο Ευκλείδης, αλλά συγγνώµη, στη φύση το βουνό δεν είναι ακριβώς τρίγωνο. Ούτε µια ακρογιαλιά ακριβώς καµπύλη. Το πρόβληµα της περιγραφής ενός ακανόνιστου σχήµατος φαντάζεσαι ποιοί το αντιµετώπισαν πρώτοι; "Μάλλον οι χαρτογράφοι του στρατού;" Σωστός ο παίχτης. Πως θα µετρήσεις το µήκος των ακτών, όταν η ακτή είναι

3 µια γραµµή µε πραγµατικά άπειρες πτυχώσεις; Κάποια στιγµή κατάλαβαν ότι το µήκος των ακτών σε ένα χάρτη µεγάλης κλίµακας ήταν το µισο από το µήκος τους σε ένα χάρτη πιο µικρής κλίµακας. Και αυτό πάλι µικρότερο από ένα χάρτη ακόµα πιο µικρής κλίµακας. Γενικότερα όσο κατέβαιναν σε κλίµακα τόσο αυξανόταν το µήκος των ακτών. Και προφανώς ξύναν τις φαλάκρες τους µε απορία και απογοήτευση. Έτσι ανακάλυψαν µία από τις κύριες ιδιότητες των fractals. Ιδιότητες Δύο από τις βασικότερες ιδιότητες των fractals είναι η αυτο-οµοιότητα (selfsimilarity) και η µη-ακέραια διάσταση. Για παράδειγµα κοίτα λίγο τις φτέρες εδώ δίπλα. Κοίτα τα φύλλα. Πάρε ένα και θα παρατηρήσεις ότι το κάθε µικρό φυλλαράκι, µέρος του όλου φύλλου έχει το ίδιο σχήµα µε όλο το φύλλο. Αυτό είναι η αυτο-οµοιότητα. Το ίδιο ισχύει και για τα fractals.μπορείς να τα µεγενθύνεις όσες φορές θες, αλλά αυτό που θα βλέπεις στην οθόνη σου θα είναι ίδιο µε το µεγαλύτερο. Πήγαινε µετά στο γραφείο προσωπικού, πάρε το wallpaper και ξεκινα να µεγενθύνεις. Θα δεις αµέσως τι εννοώ. Και θα κάνεις και φιγούρα στη σµηνία εκεί µέσα που τη βλέπω έτοιµη... Η κλασµατική διάσταση είναι λίγο δυσκολότερο να εξηγηθεί. Στην κλασσική γεωµετρία όπως θυµάσαι έχουµε αντικείµενα µε ακέραιες διαστάσεις : Σηµεία µε µηδενική, γραµµές και καµπύλες µε διάσταση ένα, σχήµατα στο επίπεδο µε δύο, και σχήµατα στο χώρο µε τρείς.παρ'ολα αυτά κάποια φυσικά φαινόµενα περιγράφονται καλύτερα µε κλασµατικές διαστάσεις. Με αριθµούς µεταξύ δύο ακεραίων. Για παράδειγµα αν µια ευθεία έχει διάσταση ένα, µια fractal καµπύλη θα έχει διάσταση µεταξύ ένα και δύο ανάλογα µε το πόσο χώρο πιάνει όπως στριφογυρίζει µέσα στο επίπεδο. 'Οσο περισσότερο επίπεδο χώρο πιάνει ένα fractal, τόσο περισσότερο η διάστασή του προσεγγίζει το δύο. Οµοίως ένα fractal "λοφοειδές" θα έχει µια διάσταση µεταξύ 2 και 3. Έτσι ένα τοπίο fractal που δείχνει ένα µεγάλο λόφο και µικρές προεξοχές, θα είναι πιο κοντά σε διάσταση δύο, ενώ µια ακανόνιστη επιφάνεια από πολλά µικρά λοφάκια θα είναι πιο κοντά στο 3.Υπάρχουν διάφορα είδη fractals. Εδώ θα σου πω για fractals µιγαδικών και fractals που προέρχονται από πολλές επαναλήψεις συναρτήσεων. Μιγαδικά fractals Εχεις ακούσει για µιγαδικούς αριθµούς όταν ήσουν λύκειο; "Ναι αµέ.. z=a+bi όπου i είναι η ρίζα του -1. a,b στο R.Μιγαδικό επίπεδο κλπ" Ρε εσύ είσαι αστέρι! Τεσπα προχωράµε. Ένας µιγαδικός όπως θυµάσαι είναι µια τελίτσα στο µιγαδικό επίπεδο. Μια τελίτσα που καθορίζεται από τα a,b. a για τον άξονα των x, b για τον άξονα των y - που λέγεται και φανταστικός άξονας. Σύνολο Mandelbrot Το σύνολο Mandelbrot είναι σηµεία στο µιγαδικό επίπεδο. Για να φτιάξουµε αυτό το fractal (που είναι και αυτό που έχει στο γραφείο προσωπικού ο ανθυπασπιστής) πρέπει να χρησιµοποιήσουµε έναν αλγόριθµο που βασίζεται στον αναδροµικό τύπο

4 , (1) χωρίζοντας τα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου σε δύο κατηγορίες : 1. σηµεία µέσα στο σύνολο Mandelbrot 2.σηµεία εκτός αυτού Έτσι λοιπόν να, ορίστε πως θα δείχνει ένα σύνολο Mandelbrot, µε µαυρισµένα τα σηµεία που του ανήκουν : Έτσι για το θεαθήναι, ας χρωµατίσουµε και τα σηµεία εκτός. Το χρώµα, εξαρτάται από το πόσες επαναλήψεις κάναµε για να αποφασίσουµε αν είναι εκτός. Πως το δηµιουργούµε ; Για να δηµιουργήσουµε ένα σύνολο Mandelbrot αρχικά επιλέγουµε ένα σηµείο C στο µιγαδικό επίπεδο. Ο µιγαδικός αριθµός που αντιστοιχεί σε αυτό το σηµείο έχει τη µορφή c=a+bi. υπολογίζοντας την τιµή του στην εξίσωση 1, χρησιµοποιώντας το 0 σαν τιµή του, παίρνουµε ως αποτέλεσµα το C.Στο επόµενο βήµα, βάζουµε το C σαν και υπολογίζουµε. Παίρνουµε για αποτέλεσµα τον µιγαδικό. Μετά απλά το βάζουµε ως και επαναλαµβάνουµε επ'άπειρο. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται και "µετανάστευση" του αρχικού σηµείου C πάνω στο µιγαδικό επίπεδο. Τι συµβαίνει όταν επαναλαµβάνουµε συνεχώς τη συνάρτηση. Θα παραµείνει το σηµείο κοντά στην αρχική του θέση ή θα αποµακρύνεται συνεχώς αυξάνοντας απεριόριστα την απόστασή του απο κει

5 που ξεκίνησε; Στην πρώτη περίπτωση το C ΑΝΗΚΕΙ στο σύνολο (µαύρα σηµεία) ενώ στη δεύτερη λέµε ότι πάει στο άπειρο και του αναθέτουµε ένα χρώµα ανάλογα µε την ταχύτητα που "ξεφεύγει" από την αρχή. Βέβαια µπορούµε να το δούµε και από άλλη οπτική γωνία : Φαντάσου ότι όλα τα σηµεία στο επίπεδο έλκονται και απο το άπειρο και από το σύνολο Mandelbrot. Έτσι καταλαβαίνουµε πιο εύκολα γιατί α. Σηµεία µακριά από το σύνολο κινούνται ταχύτατα προς το άπειρο β. Σηµεία κοντά στο σύνολο κινούνται αργά προς το άπειρο γ. Σηµεία εντός συνόλου δεν ξεφεύγουν ποτέ Σύνολα Julia Τα σύνολα Julia έχουν µεγάλη σχέση µε τα σύνολα Mandelbrot. Η επαναληπτική συνάρτηση που χρησιµοποιείται για αυτά είναι η ίδια µε του συνόλου Mandelbrot. Η µόνη διαφορά έγκειται στο τρόπο που χρησιµοποιείται ο τύπος. Για το σύνολο Mandelbrot επαναλαµβάνουµε τον τύπο για κάθε σηµείο C,πάντα µε. Για να φτιάξουµε σύνολο Julia κρατάµε το C σταθερο και αλλάζουµε το. Η τιµή του C καθορίζει και το σχήµα του συνόλου Julia. Με λίγα λόγια, κάθε σηµείο στο µιγαδικό επίπεδο σχετίζεται και µε ένα συγκεκριµένο σύνολο Julia. Πως φτιάχνουµε ένα σύνολο Julia Πρέπει πρώτα να επιλέξουµε ένα σηµείο c στο µιγαδικό επίπεδο για να το συσχετίσουµε µε το σύνολό µας. Για να δούµε αν ένα σηµείο Ζ ανήκει στο σύνολο Julia, και να το χρωµατίσουµε αντίστοιχα, πρέπει να θέσουµε στη συνάρτηση και να αρχίσουµε τις επαναλήψεις.τώρα µικρέ και ανόητε σµηνία τί θα συµβεί στο αρχικό σηµείο Ζ; Θα µείνει κοντά στην αρχή ή θα αρχίσει να φεύγει και να φεύγει και να φεύγει, όπως µερικοί φαντάροι από τη σκοπιά; Στην πρώτη περίπτωση, ανήκει στο σύνολο Julia. Στη δεύτερη περίπτωση, που πάει προς το άπειρο, του αναθέτουµε και ένα χρώµα ανάλογα µε την ταχύτητα µε την οποία αποµακρύνεται από την "αρχή". Έχουµε και άλλα είδη fractals όµως -ΟΧΙ ΑΣΕ ΤΟ ΟΠΛΟ ΚΑΤΩ ΕΙΝΑΙ ΓΕΜΑΤΟ Iterated function system fractals αγαπητέ. Μη µουτρώνεις, κάτσε και θα δείς, αυτά είναι ωραία..αυτά που λες δηµιουργούνται µέσα από απλούς µετασχηµατισµούς στο επίπεδο, όπως πχ η περιστροφή των αξόνων. Για να φτιάξουµε ένα τέτοιο fractal κοίτα τι κάνουµε : 1. Ορίζουµε ένα σύνολο από µετασχηµατισµούς στο επίπεδο 2. Φτιάχνουµε ένα αρχικό σχήµα στο επίπεδο. Ο,τι ναναι 3. Μετασχηµατίζουµε το σχήµα χρησιµοποιώντας τους µετασχηµατισµούς που ορίσαµε 4. Μετασχηµατίζουµε το σχήµα που βγήκε ξανά, µε τους ίδιους µετασχηµατισµούς. 5. Επαναλαµβάνουµε το 4 όσο θέµε. Μπορείς να το κάνεις έναν αιώνα άµα θες, εµένα δε µε χαλάει. Και να δείς τι ωραία πράµατα που βγαίνουν.. Τα πλέον γνωστά σχήµατα που βγήκαν από τέτοιους µετασχηµατισµούς είναι το τρίγωνο του Sierpinski και η νιφάδα του Koch. Και κοίτα να δεις πως : Παίρνουµε ένα ισόπλευρο τρίγωνο Παίρνουµε τα µέσα των πλευρών και τα συνδέουµε. Το κάνουµε όσες φορές θέλουµε. Να πως θα φαίνεται και µετά από 4 επαναλήψεις :

6 1) 2) 3) 4) Και τώρα µάγκα, χρησιµοποιώντας αυτό το παράδειγµα θα σου αποδείξω ότι η διάστασή του ΔΕΝ είναι ακέραιος :Πρώτα, κάτσε να πούµε πως συµπεριφέρεται το "µέγεθος" ενός αντικειµένου όταν αυξάνεται η γραµµική του διάσταση. Σε διάσταση ένα, πάρε ένα ευθύγραµµο τµήµα. Αν διπλασιάσουµε τη γραµµική του διάσταση, τοτε το µήκος του επίσης διπλασιάζεται. Σε δύο διαστάσεις, αν πχ οι γραµµικές διαστάσεις ενός τετραγώνου διπλασιαστούν τότε το χαρακτηριστικό του µέγεθος, το εµβαδό, αυξάνεται 4 φορές. Στις τρείς διαστάσεις, ανάλογα για έναν κύβο, ο όγκος του 8πλασιάζεται. Αυτή η σχέση µεταξύ διάστασης D, γραµµικής αύξησης L και την αύξηση του µεγέθους S µπορούµε να τη γράψουµε λοιπόν ως S= L^D (Το ^ συµβολίζει τη δύναµη) Επιλύοντας τον τύπο αυτό ως προς D βλέπουµε πως η διάσταση αλλάζει όταν αλλάζει και το µέγεθος µέσω ενός γραµµικού µετασχηµατισµού µεγέθους: Στα παραπάνω παραδείγµατα το D είναι ακέραιος -1,2,3- ανάλογα µε τη διάσταση του κάθε σχήµατος. Αυτό ισχυει και για όλα τα σχήµατα στην Ευκλείδια γεωµετρία. Για τα fractals όµως ; Αµα δεις στο τρίγωνο του

7 Sierpinski, θα παρατηρήσεις πως αν η γραµµική διάσταση του αρχικού τριγώνου διπλασιαστεί, τότε το εµβαδό όλου του fractal (τα µπλε τρίγωνα) θα αυξηθει κατά έναν παράγοντα 3. Ε αµα τα βάλεις 2 και 3 στην παραπάνω σχέση, θα δείς ότι η διάσταση του τριγώνου Sierpinski είναι Η νιφάδα του Koch Για να κατασκευάσουµε µια νιφάδα Koch, πρέπει να αρχίσουµε µε ένα ισόπλευρο τρίγωνο µε τις πλευρές του να έχουν µήκος, παραδείγµατος χάριν, 1. Στη µέση κάθε πλευράς, θα προσθέσουµε ένα νέο τρίγωνο µε µέγεθος ένα τρίτο του αρχικού.επαναλαµβάνουµε αυτήν την διαδικασία για έναν άπειρο αριθµό επαναλήψεων. Το µήκος του"συνόρου", της περιµέτρου είναι 3.(4/3).(4/3).(4/3) άπειρο. Εντούτοις, το εµβαδό παραµένει λιγότερο από αυτό ενός κύκλου περιγεγραµµένου στο τρίγωνο. Αυτός σηµαίνει ότι µια άπειρη σε µήκος γραµµή περιβάλλει µια περιοχή πεπερασµένου εµβαδού. Μια νιφάδα Koch στην τελική της µορφή µοιάζει πολύ µε µια ακτογραµµή. Νιφάδα Koch µετά απο 4 επαναλήψεις Να και µερικά ακόµα fractals : Σου µοιάζει µε φύλλο απο φτέρη ε; ε ναι ρε σµηνία, τα φύλλα της φτέρης είναι κλασσικό παράδειγµα fractal σχήµατος όπως ειπαµε και παραπάνω :)

8 Αυτό είναι πιο τεχνητό, αλλά παρατήρησε : Επανάληψη. Συνεχής επανάληψη του ίδιου µοτίβου. Σε κάθε σηµείο αν κάνεις ένα ζουµάρισµα θα δείς τα ίδια. Το ίδιο σχήµα..εφαρµογές Απειρες πραγµατικά. Απο αστροφυσική και βιολογικές επιστήµες µέχρι γραφιστική. Ακοµα και το πως και γιατί τα αστέρια είναι εκεί που είναι, µπορεί ίσως να εξηγηθεί µέσω της φρακταλικής συµπεριφοράς της κατανοµής των διααστρικών αερίων. Οι κλασµατικές κατανοµές είναι ιεραρχικές στη δοµή τους. Σκέψου ένα συννεφάκι καπνού ή ένα σύννεφο στον ουρανό. Ο στροβιλισµός του αέρα δίνει τα σχήµατα τους, τα οποία ίσως να µπορούν να περιγραφούν µε κλασµατική γεωµετρία. Στη βιολογία.. πανικός. Από την αυτο-οµοιότητα στις αλυσίδες του DNA µέχρι την οργάνωση των χρωµοσωµάτων και από τη συµπεριφορά πληθυσµών στο ρυθµό της καρδιάς κάθε ατόµου. Έτσι που λες κύριε σµηνία. Κύριε σµηνία; Ρε! ΚΑΛΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ!!! Αναρτήθηκε από Estarian στις 11:58 πµ

9 10 σχόλια: Nikolo είπε... Εκπληκτικό!Πάνω στην κατάλληλη στιγµή που είχα αρχίσει και ενδιαφερόµουν για τα fractals...λες να πιάνει και για τον διοικητή..; Μπα... αυτοί είναι βαρεµένοι συνήθως..anyway µπράβο παιδιά γιατί είχαµε καιρό να δούµε νέα σας... Υ.Γ:τα θερµά µου συγχαρητήρια για το blog -νοµίζω είναι το πρώτο µου σχόλιο οπότε ας τα πω κ αυτά-, εύχοµαι πάντα έµπνευση και να κάνετε πάντα τα Μαθηµατικά υπέροχα και εξαιρετικά ενδιαφέροντα όπως είναι, και όχι όπως θέλουν να τα δείχνουν κάτι καµµένοι µε έδρες, διδακτορικά και συµβόλαιαεµπόρια για συγγράµατα κάτω από το τραπέζι...(απελπισµένος και γεµάτος βαρεµάρα φοιτητής µαθηµατικού εδώ...) 8:08 πµ i-fallos (Καπεταν Ηρεµος) είπε... Εξαίρετο! 11:04 µµ MICHALAKIS είπε... Άντε ρε παιδιά αργήσατε... Σας έχω βάλει και link στο blog µου (να µε σχωρνάτε). 4:39 µµ τέλσον είπε... Απίστευτο... εγώ πάντως θα σε είχα πυροβολήσει... όλα αυτά στην σκοπιά;;; Εστάριαν... χάλασες... χάλασες... Δεν χρειάζεται να πώ ότι σε κάποια φάση σε έχασα έτσι;;; 3:53 µµ Estarian είπε... Τέλσονα ετοιµάζω ποστ γίγαντα για τοπολογία. Θα βάλω τα δυνατά µου να µε χάσεις στη δεύτερη παράγραφο :P 11:14 πµ Sigmataf είπε...

10 (ΤΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΤ) 2:05 µµ mathematician είπε... Δυναµική επιστροφή Συνεχίστε έτσι 1:15 πµ Νερίνα είπε... Παραδοχή 1η: Όταν διαβάζω τέτοια κείµενα καταλαβαίνω µόνο την αράδα που διαβάζω και µόνο εκείνη τη στιγµή. Παραδοχή 2η: Παρόλα αυτά συνεχίζω µαζοχιστικά να τα διαβάζω, απλά και µόνο γιατί θαυµάζω το πόσο απλά και άψογα τοποθετηµένα στη θέση τους µοιάζουν όλα. Παραδοχή 3η: Λατρεύω τα µαθηµατικά, αλλά µετά την αποµάκρυνση εκ του ταµείου δεν θυµάµαι ούτε τι λατρεύω. Ακόµα και έτσι µ' αρέσουν τα µαθηµατικά σας... Καλή σας µέρα 11:26 πµ Νερίνα είπε... Το πόσο αλλούτελα δε είµαι αποδεικνύεται και απο το ότι τώρα είδα την ηµεροµηνία του ποστ. Δεν πειράζει η πρόθεση είναι που µετράει... 11:29 πµ Arkin είπε... Τοπολογία; Μάλλον θα σε χάσουµε στη δεύτερη γραµµή, και χωρίς πολλή προσπάθεια εκ µέρους σου... 12:50 πµ Ανάρτηση Σχολίου Σύνδεσµοι σε αυτήν την ανάρτηση Δηµιουργία Συνδέσµου Παλαιότερη Ανάρτηση Αρχική Σελίδα Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom) Αρχειοθήκη ιστολογίου

11 2007 (1) o January (1) Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος σµηνίας 2006 (2) o August (1) Όνοµα: "τρελή ξανθιά" o January (1) Χρονικό παράδοξο 2005 (7) o December (1) Ο κώδικας της γραµµής o September (2) Οι πρώτοι αριθµοί Αρχιµήδη "Στοµάχιον" o August (2) Παράδοξοι που είστε... Μέχρι πού ξέρεις να µετράς; o July (2) Να συστηθώ... Ξεκινάµε απο το 0... Συνεργάτες Estarian Oneiros i-fallos (Καπεταν Ηρεµος)

ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Κατασκευή µαθηµατικών fractals ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 1. Η καµπύλη του Koch H καµπύλη του Κoch ή Νησί του Koch ή χιονονιφάδα του Koch περιγράφηκε για πρώτη φορά από το Σουηδό µαθηµατικό Helge

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου - από τον Φουάτ σε τρεις εταιρίες χρήματα... μπλου μπρουμέλ, άλλη μια P.A κάπως έτσι και άλλη μία που μου είχες πει

Διαβάστε περισσότερα

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι.

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι. 0001 00:00:11:17 00:00:13:23 Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18 Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10 Ναι. 0004 00:01:06:17 00:01:07:17 Σου έδειξα τη φωτογραφία; 0005 00:01:07:17 00:01:10:10

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ

ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ η ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ και ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ οι ΙΔΕΕΣ και οι ΕΝΝΟΙΕΣ ηλεκτρικό φορτίο και ηλεκτρικό φορτίο στο µεταξύ κάποιος τον αναγκάζει να µε πλησιάζει κι όσο µε πλησιάζει τόσο περισσότερο

Διαβάστε περισσότερα

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;»

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» «Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» Οπου (Α) ο καλούµενος - χρήστης της υπ' αριθ. 698... (µέλος της Χ.Α.) Οπου (Β) ο καλών Ηµεροµηνία: 20/09/2013 Εναρξη: 22:12':00''

Διαβάστε περισσότερα

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω»

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» «Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» Στον αποµαγνητοφωνηµένο δάλογο που ακολουθεί συνοµιλεί συγγενής του Γ. Ρουπακιά (Α) µε τον (Β) - Οπου Α η καλούσα - Οπου Β

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης Σχολικό Έτος 2006 2007 Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Τρίτη 10 Οκτωβρίου στο Σ Ε Αλεξανδρούπολης. 2 η Ώρα : Μαθηµατικά στο Β2. ΙΣΜΑΗΛ : Λεµονιά, θέλω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο

Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο 4 Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο Σεβάχ. Για να δει τον κόσμο και να ζήσει περιπέτειες.

Διαβάστε περισσότερα

ΝΗΦΟΣ: Ένα λεπτό µόνο, να ξεµουδιάσω. Χαίροµαι που σε βλέπω. Μέρες τώρα θέλω κάτι να σου πω.

ΝΗΦΟΣ: Ένα λεπτό µόνο, να ξεµουδιάσω. Χαίροµαι που σε βλέπω. Μέρες τώρα θέλω κάτι να σου πω. Νήφο. Πεταλία; Εγώ, ναι. Σήκω. Δεν ξέρω αν µπορώ. Μπορείς. Είµαι κουρασµένος. Ήρθε η ώρα, όµως. Τα χέρια µου έχουν αίµατα. Τα πόδια µου είναι σαν κάποιου άλλου. Δεν έχουµε πολύ χρόνο. Ένα λεπτό µόνο, να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ. ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις;

ΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ. ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις; ΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις; ΧΡΗΣΤΑΚΗΣ Μια χαρά είμαι. Εσύ; ΑΡΗΣ Κι εγώ πολύ καλά. Πάρα πολύ καλά! ΧΡΗΣΤΑΚΗΣ Σε βλέπω

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου - Έλα - πέρασες μια φορά ε; Σε είδα σε μια στιγμή αλλά δεν ήμουν βέβαιος, δεν με είδες; - πέρασα με το αμάξι και έκανα

Διαβάστε περισσότερα

Έρευνα στη Διδακτική των Μαθηματικών και Διδακτική Πράξη

Έρευνα στη Διδακτική των Μαθηματικών και Διδακτική Πράξη Έρευνα στη Διδακτική των Μαθηματικών και Διδακτική Πράξη Δέσποινα Πόταρη Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Διδασκαλία σε τμήμα της Α Λυκείου του 3 ου Λυκείου Πετρούπολης 3 η διδακτική ώρα (02-03-11)

Διαβάστε περισσότερα

μονόλογος. του γιώργου αθανασίου.

μονόλογος. του γιώργου αθανασίου. μονόλογος. του γιώργου αθανασίου. δεν μπορώ άλλο. δεν αντέχω. τι σ έπιασε αυτή τη φορά; δεν μπορώ. τρελαίνομαι. με τι; δεν ξέρω τι να γράψω. δεν ξέρω τι να δημιουργήσω. αυτό είναι μόνο; δεν καταλαβαίνεις,

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Γυµ.Ν.Λαµψάκου Α Γυµνασίου Γεωµ.Β2.6 γωνίες από 2 παράλληλες + τέµνουσα 19/3/10 Φύλλο εργασίας

Γυµ.Ν.Λαµψάκου Α Γυµνασίου Γεωµ.Β2.6 γωνίες από 2 παράλληλες + τέµνουσα 19/3/10 Φύλλο εργασίας Φύλλο εργασίας Mπορείτε να βρείτε τη γωνία κάβων; ραστηριότητα Ένα δεξαµενόπλοιο που στο σχήµα είναι στο σηµείο Β, πλέει προς την είσοδο µιας διώρυγας µε την βοήθεια δύο ρυµουλκών που απεικονίζονται µε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή

Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή απο-επιλέγουµε άξονες και άλγεβρα 2. Από το εργαλείο κατασκευής πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 4 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 4 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ το Δημοτικό η δασκάλα λέει στους μαθητές της: -Παιδιά, ελάτε να κάνουμε ένα τεστ εξυπνάδας! Ριχάρδο, πες μου ποιο είναι αυτό το ζωάκι: Περπατά στα κεραμίδια, έχει μουστάκι, κάνει νιάου και αλλά έχει και

Διαβάστε περισσότερα

παραδειγματα επεισοδίων

παραδειγματα επεισοδίων παραδειγματα επεισοδίων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ Οι μαθητές ερμηνεύουν τα δρώμενα στην τάξη: ως προς το νόημα εννοιών και διαδικασιών ως προς τη φύση και την αξία αυτών στο μάθημα των μαθηματικών Καλδρυμίδου,

Διαβάστε περισσότερα

Modern Greek Stage 6 Part 2 Transcript

Modern Greek Stage 6 Part 2 Transcript 1. Announcement Καλημέρα, παιδιά. Θα ήθελα να δώσετε μεγάλη προσοχή σε ό,τι πω σήμερα, γιατί όλες οι ανακοινώσεις είναι πραγματικά πολύ σημαντικές. Λοιπόν ξεκινάμε: Θέμα πρώτο: Αύριο η βιβλιοθήκη του σχολείου

Διαβάστε περισσότερα

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1

οµή δικτύου ΣΧΗΜΑ 8.1 8. ίκτυα Kohonen Το µοντέλο αυτό των δικτύων προτάθηκε το 1984 από τον Kοhonen, και αφορά διαδικασία εκµάθησης χωρίς επίβλεψη, δηλαδή δεν δίδεται καµία εξωτερική επέµβαση σχετικά µε τους στόχους που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Τα βιβλία της σειράς «ΕΤΣΙ ΓΡΑΦΩ ΚΑΙ ΙΑΒΑΖΩ µε µικρά βήµατα µέσα από συγκεκριµένους στόχους» πρώτο, δεύτερο και τρίτο µέρος, αποτελούν πολύ καλό βοήθηµα για την πρώτη ανάγνωση και γραφή. Οι µαθητές της

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΑΖΕΤΑΙ (Κωµικό σκετς)

Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΑΖΕΤΑΙ (Κωµικό σκετς) 1 Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΑΖΕΤΑΙ (Κωµικό σκετς) ΠΑΙΖΟΥΝ ΛΟΧΑΓΟΣ ΛΟΧΙΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΣ (στρατιώτες) Σήµερα θα πάµε µαζί να κάνουµε ασκήσεις και θεωρία. Για κάντε γραµµή. Αρχίζω. Προσέξτε. Πρώτα πρώτα ν ακούτε

Διαβάστε περισσότερα

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 2 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 2 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ Βάζει η δασκάλα εργασία για το σπίτι, να ρωτήσουν πως γεννιούνται τα παιδιά. - Μαμά, μαμά, λέει ο Σοτός μόλις πήγε σπίτι, η δασκάλα μας είπε να σας ρωτήσουμε πως γεννιούνται τα παιδιά. - Δεν μπορώ τώρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΗ ΠΡΑΞΗ. Σκηνή 1 η

ΠΡΩΤΗ ΠΡΑΞΗ. Σκηνή 1 η ΠΡΩΤΗ ΠΡΑΞΗ Σκηνή 1 η Το σπίτι του ακατάστατο. Μπαίνει η υπηρέτρια κι από πίσω μπαίνει ο. Κάθε πρωί η ίδια ιστορία. `Ερχεστε και μας βρίσκετε με την κρέμα ημέρας. Ορίστε, δεν πρόλαβα ούτε να την απλώσω

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii)

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii) Καρλόβασι 17/02/2011 Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. 1. Να υπολογίσετε κάθε ένα από τα παρακάτω όρια (για ). (i)! (ii) 4 + 4 2 (iii) 1 1+ 2 2+ 3 3+ + (i) Χρη- οπότε a+1

Διαβάστε περισσότερα

Μια νύχτα. Μπαίνω στ αμάξι με το κορίτσι μου και γέρνει γλυκά στο πλάϊ μου και το φεγγάρι λες και περπατάει ίσως θέλει κάπου να μας πάει

Μια νύχτα. Μπαίνω στ αμάξι με το κορίτσι μου και γέρνει γλυκά στο πλάϊ μου και το φεγγάρι λες και περπατάει ίσως θέλει κάπου να μας πάει Μια νύχτα Μπαίνω στ αμάξι με το κορίτσι μου και γέρνει γλυκά στο πλάϊ μου και το φεγγάρι λες και περπατάει ίσως θέλει κάπου να μας πάει Μια νύχτα σαν κι αυτή μια νύχτα σαν κι αυτή θέλω να σου πω πόσο σ

Διαβάστε περισσότερα

Γλωσσικές πράξεις στη διαγλώσσα των μαθητών της Ελληνικής ως Γ2

Γλωσσικές πράξεις στη διαγλώσσα των μαθητών της Ελληνικής ως Γ2 Γλωσσικές πράξεις στη διαγλώσσα των μαθητών της Ελληνικής ως Γ2 Σπυριδούλα Μπέλλα Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πανεπιστήμιο Αιγαίου 9/5/2017 Επικοινωνιακή ικανότητα γνώση ενός ομιλητή ως

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Αναπαράσταση Αντικείμενων 3D

Γραφικά Υπολογιστών: Αναπαράσταση Αντικείμενων 3D 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Αναπαράσταση Αντικείμενων 3D (Octrees & Fractals) Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Contents Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Στον Γιάννη και στον Θεόφιλο

Στον Γιάννη και στον Θεόφιλο ...... O άλλος μου εαυτός Στον Γιάννη και στον Θεόφιλο Διορθώσεις: Νέστορας Χούνος Σελιδοποίηση: Κωνσταντίνα Ελαιοτριβάρη Μακέτα εξωφύλλου: Ευθύµης Δηµουλάς 2009 ΕΥΑ ΙΕΡΟΠΟΥΛΟΥ & EKΔOΣEIΣ «AΓKYPA» Δ.A.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ:

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2007-2008 Τάξη: Γ 3 Όνομα: Η μύτη μου είναι μεγάλη. Όχι μόνο μεγάλη, είναι και στραβή. Τα παιδιά στο νηπιαγωγείο με λένε Μυτόγκα. Μα η δασκάλα τα μαλώνει: Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσωπα. Σωκράτης. Υπατία. Αναξίμανδρος. Αβερρόης. Σχολείο: Εκπαιδευτική Αναγέννηση. Υπεύθυνοι καθηγητές: Κωνσταντίνος Λάττας, Έλλη Τσενέ

Πρόσωπα. Σωκράτης. Υπατία. Αναξίμανδρος. Αβερρόης. Σχολείο: Εκπαιδευτική Αναγέννηση. Υπεύθυνοι καθηγητές: Κωνσταντίνος Λάττας, Έλλη Τσενέ Σχολείο: Εκπαιδευτική Αναγέννηση Υπεύθυνοι καθηγητές: Κωνσταντίνος Λάττας, Έλλη Τσενέ Σενάριο: «Παραδόξως λογικά» Πρόσωπα Ζήνων Σωκράτης Πυθαγόρας Αισχίνης Θανάσης Εύα Δανάη Νίκος Υπατία Αναξίμανδρος Αβερρόης

Διαβάστε περισσότερα

Bίντεο 1: Η Αµµόχωστος του σήµερα (2 λεπτά) ήχος θάλασσας

Bίντεο 1: Η Αµµόχωστος του σήµερα (2 λεπτά) ήχος θάλασσας ΘΥΜΑΜΑΙ; Πρόσωπα Ήρωας: Λούκας Αφηγητής 1: Φράνσις Παιδί 1: Ματθαίος Παιδί 2: Αιµίλιος Βασίλης (αγόρι):δηµήτρης Ελένη (κορίτσι): Αιµιλία Ήλιος: Περικλής Θάλασσα: Θεοδώρα 2 ΘΥΜΑΜΑΙ; CD 1 Ήχος Θάλασσας Bίντεο

Διαβάστε περισσότερα

Αυτήν εκεί την κοπελιά την ξέρεις; Πού είναι τα παιδιά; Γιατί δεν είναι μέσα στις τάξεις τους;

Αυτήν εκεί την κοπελιά την ξέρεις; Πού είναι τα παιδιά; Γιατί δεν είναι μέσα στις τάξεις τους; 1. Αυτήν εκεί την κοπελιά την ξέρεις; Πού είναι τα παιδιά; Γιατί δεν είναι μέσα στις τάξεις τους; Σήμερα αρχίζουν τα μαθήματα των ελληνικών. Η Ελένη έχει αγωνία: φοβάται ότι ξέχασε όλα όσα έμαθε το καλοκαίρι

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

17.Β. ΜΙΚΡΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 2 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ

17.Β. ΜΙΚΡΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 2 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ Λέει ο Σοτός στη μαμά του: - Μαμά, έμαθα να προβλέπω το μέλλον! - Μπα; Κάνε μου μια πρόβλεψη! - Όπου να είναι θα έρθει ο γείτονας να μας πει να πληρώσουμε το τζάμι που του έσπασα!!! Ενώ ο πατέρας διαβάζει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Όταν κάποιος ξεκινήσει τον πλειστηριασμό με μια αγορά σκοπός του είναι να περιγράψει όσο καλύτερα μπορεί το χέρι του στον συμπαίκτη του.

Όταν κάποιος ξεκινήσει τον πλειστηριασμό με μια αγορά σκοπός του είναι να περιγράψει όσο καλύτερα μπορεί το χέρι του στον συμπαίκτη του. Πλειστηριασμός Όταν κάποιος ξεκινήσει τον πλειστηριασμό με μια αγορά σκοπός του είναι να περιγράψει όσο καλύτερα μπορεί το χέρι του στον συμπαίκτη του. Πλειστηριασμός Ο συμπαίκτης του ανοίξαντα αναλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

«Γκρρρ,» αναφωνεί η Ζέτα «δεν το πιστεύω ότι οι άνθρωποι μπορούν να συμπεριφέρονται έτσι μεταξύ τους!»

«Γκρρρ,» αναφωνεί η Ζέτα «δεν το πιστεύω ότι οι άνθρωποι μπορούν να συμπεριφέρονται έτσι μεταξύ τους!» 26 σχεδιασε μια ΦωτογρΑΦιΑ τήσ προσκλήσήσ που ελαβεσ Απο τον ΔΑσκΑλο σου. παρουσιασε το λογοτυπο και το σλογκαν που χρήσιμοποιει το σχολειο σου για τήν εβδομαδα κατα τήσ παρενοχλήσήσ. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΕΝΟΧΛΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κάποια μέρα, όπως όλοι παντρεύονται, έτσι παντρεύτηκε και ο Σοτός. Σον ρωτάει η γυναίκα του:

Κάποια μέρα, όπως όλοι παντρεύονται, έτσι παντρεύτηκε και ο Σοτός. Σον ρωτάει η γυναίκα του: Κάποια μέρα, όπως όλοι παντρεύονται, έτσι παντρεύτηκε και ο Σοτός. Σον ρωτάει η γυναίκα του: -Σότε, μ' απατάς; Ναι η Ου; - Ουουουου!!! Σοτός: Έλα να κάνουμε ερώτα μέχρι το πρωί Αννούλα: Σι λες ρε βλάκα,

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3

Κεφάλαιο 8 ο Τ 3, 1-1, -1 Χ -1, -1 1, 3 Κεφάλαιο 8 ο Συνεχίζουµε µε τις µεικτές στρατηγικές. Θα δούµε τώρα ένα παράδειγµα στο οποίο υπάρχουνε ισορροπίες κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές αλλά πέρα από αυτό υπάρχει και µια ισορροπία κατά Nash

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Χαμπάρι ο Γιαννάκης. Η μάνα χαμηλώνει το στερεοφωνικό... Ο Γιαννάκης επιτέλους, γυρίζει! Βλέπει τη μάνα... θυμώνει... της βάζει τις φωνές...

Χαμπάρι ο Γιαννάκης. Η μάνα χαμηλώνει το στερεοφωνικό... Ο Γιαννάκης επιτέλους, γυρίζει! Βλέπει τη μάνα... θυμώνει... της βάζει τις φωνές... 1.... εξ ουρανού... στο δωμάτιό του... ακατάστατο. Ακούει μουσική δυνατά... παίζει ηλεκτρική κιθάρα... χτυπιέται [πλάτη στο κοινό]... πόρτα κλειστή... ανοίγει... μπαίνει η μάνα του... σάντουιτς σε πιάτο...

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Κωνσταντινοπούλου Ψυχολόγος - ειδική παιδαγωγός

Μαρία Κωνσταντινοπούλου Ψυχολόγος - ειδική παιδαγωγός ΠΑΡΑΞΕΝΑ ΟΜΟΡΦΟ Ένα παραμύθι για τη διαφορετικότητα, για μικρούς αλλά και για μεγάλους (αυτισμός) Τα παιδιά είναι ελεύθερα να ζωγραφίσουν τις παρακάτω σελίδες όπως αυτά αισθάνονται... Μαρία Κωνσταντινοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Και µη γραµµικότητα στη φύση

Πολυπλοκότητα. Και µη γραµµικότητα στη φύση Πολυπλοκότητα Και µη γραµµικότητα στη φύση (και πώς να τις αντιµετωπίσουµε) του Τάσου Μπούντη Ολοι γνωρίζουµε ότι τα πουλιά δεν πετούν προς µία κατεύθυνση, τα αυτοκίνητα και οι άνθρωποι δεν κινούνται σχεδόν

Διαβάστε περισσότερα

Πώς γράφεις αυτές τις φράσεις;

Πώς γράφεις αυτές τις φράσεις; Πρόλογος Όταν ήμουν μικρός, ούτε που γνώριζα πως ήμουν παιδί με ειδικές ανάγκες. Πώς το ανακάλυψα; Από τους άλλους ανθρώπους που μου έλεγαν ότι ήμουν διαφορετικός, και ότι αυτό ήταν πρόβλημα. Δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδόν ο καθένας µας έχει θαυµάσει κάϖοιες εικόνες fractals αϖό αυτές ϖου κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ηµερολόγια, ϖεριοδικά, internet κλϖ.

Σχεδόν ο καθένας µας έχει θαυµάσει κάϖοιες εικόνες fractals αϖό αυτές ϖου κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ηµερολόγια, ϖεριοδικά, internet κλϖ. Η ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ FRACTALS- ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχεδόν ο καθένας µας έχει θαυµάσει κάϖοιες εικόνες fractals αϖό αυτές ϖου κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ηµερολόγια, ϖεριοδικά, internet κλϖ. Πολλοί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσβαση και δήλωση µαθηµάτων στον Εύδοξο

Πρόσβαση και δήλωση µαθηµάτων στον Εύδοξο Πρόσβαση και δήλωση µαθηµάτων στον Εύδοξο Τι πρέπει να γνωρίζω πριν ξεκινήσω την διαδικασία 1. Να έχω κωδικούς από τον Κέντρο Δικτύου του ΤΕΙ Αθήνας (είναι αυτοί µε τους οποίους έχω πρόσβαση στο ασύρµατο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

Πλειστηριασμός Για να πλειοδοτήσει κάποιος άξονας θα πρέπει να αναλάβει την υποχρέωση

Πλειστηριασμός Για να πλειοδοτήσει κάποιος άξονας θα πρέπει να αναλάβει την υποχρέωση Πλειστηριασμός Προκειμένου να περιγράψουμε το χέρι μας στο συμπαίκτη, χρησιμοποιούμε μια ειδική διεθνή γλώσσα τα Μπριτζικά ή Μπριτζιακά. Τα καλά νέα είναι ότι αυτή η γλώσσα έχει μόνο λίγες λεξούλες. Πλειστηριασμός

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

KEΦΑΛΑΙΟ 1 AN HMΟΥΝ ΜΕΓΑΛΟΣ. Όταν είσαι μικρός ένα πράγμα είναι σίγουρο. Ότι θέλεις να μεγαλώσεις όσο πιο γρήγορα γίνεται.

KEΦΑΛΑΙΟ 1 AN HMΟΥΝ ΜΕΓΑΛΟΣ. Όταν είσαι μικρός ένα πράγμα είναι σίγουρο. Ότι θέλεις να μεγαλώσεις όσο πιο γρήγορα γίνεται. KEΦΑΛΑΙΟ 1 AN HMΟΥΝ ΜΕΓΑΛΟΣ Όταν είσαι μικρός ένα πράγμα είναι σίγουρο. Ότι θέλεις να μεγαλώσεις όσο πιο γρήγορα γίνεται. Ο μπαμπάς μου λέει ότι αυτά είναι χαζομάρες και ότι όταν μεγαλώσω θα θέλω να ήμουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Η άσκηση μιας ιστορίας

Η άσκηση μιας ιστορίας Η άσκηση μιας ιστορίας Η άσκηση (Σχολικό βιβλίο Φυσικής Α Λυκείου Άσκηση 14 / Σελίδα 158) «Ένα όχημα έχει λάστιχα διαμέτρου 0,8 m. Βρείτε την ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου στο πέλμα

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση

Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Παρακολουθώντας τη συζήτηση που έχει αναπτυχθεί, σχετικά µε το «... Αν η αποµάκρυνση x του σώµατος δίνεται από τη σχέση x=αηµ(ωt+φ) η κίνηση του σώµατος ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πόσες µαύρες τελείες βλέπετε ; Οι οριζόντιες γραµµές δείχνουν να είναι παράλληλες ;

Πόσες µαύρες τελείες βλέπετε ; Οι οριζόντιες γραµµές δείχνουν να είναι παράλληλες ; Πόσες µαύρες τελείες βλέπετε ; Οι οριζόντιες γραµµές δείχνουν να είναι παράλληλες ; και όµως είναι! 1 Το παρακάτω σχήµα δείχνει για ελικοειδές ; και όµως δεν είναι! Οι κύκλοι είναι ανεξάρτητοι. Πόσα χρώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Ο Μικρός Πρίγκιπας έφτασε στη γη. Εκεί είδε μπροστά του την αλεπού. - Καλημέρα, - Καλημέρα, απάντησε ο μικρός πρίγκιπας, ενώ έψαχνε να βρει από πού ακουγόταν η

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ. Άσε το Χάος να βάλει τάξη. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΟΜΙΛΟΥ. Fractals Πλακοστρώσεις(Penrose) Χάος. Α Β Γ Λυκείου ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΑΘΗΤΩΝ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ. Άσε το Χάος να βάλει τάξη. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΟΜΙΛΟΥ. Fractals Πλακοστρώσεις(Penrose) Χάος. Α Β Γ Λυκείου ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ Δρ ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΟΜΙΛΟΥ ΤΑΞΗ Άσε το Χάος να βάλει τάξη. Fractals Πλακοστρώσεις(Penrose) Χάος Α Β Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Σε αυτό το µάθηµα θα ασχοληθούµε µε τη βελτίωση της εµφάνισης ενός ιστοτόπου, αλλά και τον εύκολο χειρισµό όλων των αλλαγών στην εµφάνιση της σελίδας

Σε αυτό το µάθηµα θα ασχοληθούµε µε τη βελτίωση της εµφάνισης ενός ιστοτόπου, αλλά και τον εύκολο χειρισµό όλων των αλλαγών στην εµφάνιση της σελίδας Σε αυτό το µάθηµα θα ασχοληθούµε µε τη βελτίωση της εµφάνισης ενός ιστοτόπου, αλλά και τον εύκολο χειρισµό όλων των αλλαγών στην εµφάνιση της σελίδας µέσω της τεχνολογίας των ιαδοχικών Φύλλων Στυλ (cascading

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ ΤΙΤΑ ΑΡΗΣ ΤΙΤΑ ΑΡΗΣ ΤΙΤΑ

Α ΜΕΡΟΣ ΤΙΤΑ ΑΡΗΣ ΤΙΤΑ ΑΡΗΣ ΤΙΤΑ Α ΜΕΡΟΣ Μικρό, σύγχρονο οικογενειακό διαμέρισμα. Στο μπροστινό μέρος της σκηνής βλέπουμε δυο παιδικά δωμάτια, ένα στ αριστερά κι ένα στα δεξιά. Από το εσωτερικό τους καταλαβαίνουμε αμέσως ότι αριστερά

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία

Κεφάλαιο 4. Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία Κεφάλαιο 4 Στο προηγούµενο κεφάλαιο ορίσαµε την ισορροπία κατά Nash και είδαµε ότι µια ισορροπία κατά Nash είναι: (α) ένα διάνυσµα από στρατηγικές, έτσι ώστε δεδοµένων των υπολοίπων στρατηγικών, ο παίκτης

Διαβάστε περισσότερα

Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα: ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό Κέντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:...

Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα: ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό Κέντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο:... Όνοµα:... Όνοµα πατέρα:... e-mail:... ιεύθυνση:... Τηλέφωνο:... Εξεταστικό Κέντρο:... Σχολείο προέλευσης:... Τάξη:... Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για

Διαβάστε περισσότερα

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού.

2. Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. . Δυναμικό και χωρητικότητα αγωγού. Σε όλα τα σηµεία ενός αγωγού, σε ηλεκτροστατική ισορροπία, το δυναµικό είναι σταθερό. Για παράδειγµα, στην φορτισµένη σφαίρα του διπλανού σχήµατος τα σηµεία Α και Β

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις. Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

Ειρήνη Τσιτυρίδου, «Οι ξένες γλώσσες για τους μεγάλους»

Ειρήνη Τσιτυρίδου, «Οι ξένες γλώσσες για τους μεγάλους» ΚΟΖΑΝΗ 10/3/2015 8 Ο Δημοτικό Σχολείο Κοζάνης Ειρήνη Τσιτυρίδου, «Οι ξένες γλώσσες για τους μεγάλους» Σε ένα σχολείο, ο δάσκαλος προσπαθούσε να μάθει στα παιδιά να μιλούν σωστά ελληνικά. Όμως ο Πέτρος,

Διαβάστε περισσότερα

Οι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση.

Οι θέσεις µου... Ένα υλικό σηµείο κάθε φορά βρίσκεται σε ένα µόνο σε ένα σηµείο του χώρου και άρα κάνει µία µόνο κίνηση. Οι θέσεις µου... ) Η παράγραφος.7α του σχολικού βιβλίου Κατεύθυνσης Γ Λυκείου είναι λάθος, γιατί σύνθεση απλών αρµονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας ίδιας διεύθυνσης ούτε υπάρχει ούτε υποστηρίζεται θεωρητικά.

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι. Ανεύρεση Υποψηφίων: «Τεχνικές και Μέθοδοι για να έχουµε µία ανεξάντλητη ροή υποψηφίων»

Στόχοι. Ανεύρεση Υποψηφίων: «Τεχνικές και Μέθοδοι για να έχουµε µία ανεξάντλητη ροή υποψηφίων» : «Τεχνικές και Μέθοδοι για να έχουµε µία ανεξάντλητη ροή υποψηφίων» Βεβαιωθείτε ότι λειτουργούν τα ηχεία σας (θα πρέπει να ακούγεται µουσική). Κλείστε όλα τα υπόλοιπα προγράµµατα για να µη συναντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΕΟΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ: ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ

ΙΔΕΟΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ: ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ 1 ΙΔΕΟΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ: ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ ΚΑΙ ΓΡΑΦΩ Κώστας Κύρος 2 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 3 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2 Γίνε και εσύ ένας συγγραφέας! Γράψε τη δική σου μικρή ιστορία. Εκτύπωσέ την και δώσ την στους φίλους σου για να

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Και ο μπαμπάς έκανε μία γκριμάτσα κι εγώ έβαλα τα γέλια. Πήγα να πλύνω το στόμα μου, έπλυνα το δόντι μου, το έβαλα στην τσέπη μου και κατέβηκα να φάω.

Και ο μπαμπάς έκανε μία γκριμάτσα κι εγώ έβαλα τα γέλια. Πήγα να πλύνω το στόμα μου, έπλυνα το δόντι μου, το έβαλα στην τσέπη μου και κατέβηκα να φάω. 1 Εδώ και λίγες μέρες, ένα από τα πάνω δόντια μου κουνιόταν και εγώ το πείραζα με τη γλώσσα μου και μερικές φορές με πονούσε λίγο, αλλά συνέχιζα να το πειράζω. Κι έπειτα, χτες το μεσημέρι, την ώρα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Συνέντευξη από τη. ηµοσιογράφοι. κα Τατιάνα Στεφανίδου. Είµαι πολλά χρόνια δηµοσιογράφος, από το 1992.

Συνέντευξη από τη. ηµοσιογράφοι. κα Τατιάνα Στεφανίδου. Είµαι πολλά χρόνια δηµοσιογράφος, από το 1992. ΑΞΙΖΕΙ ΝΑ ΤΟ ΙΑΒΑΣΕΙΣ Συνέντευξη από τη δηµοσιογράφο κα Τατιάνα Στεφανίδου ηµοσιογράφοι Χάρης Μιχαηλίδης ηµήτρης Μαρούδας Φένια Πάσσα Αµαλία Τζήµα Λυδία Τούµπη Συντονισµός -επιµέλεια κειµένου Όµιλος δηµοσιογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου)

Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου) Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου) Εισαγωγή. Αυτό το φυλλάδιο έχει στόχο να δώσει ένα ανάλογο αποτέλεσµα µε αυτό του linear speedup θεωρήµατος, εάν έχουµε µία µηχανή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα