Τετάρτη, Ιανουάριος 03, 2007 Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τετάρτη, Ιανουάριος 03, 2007 Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος"

Transcript

1 Τετάρτη, Ιανουάριος 03, 2007 Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος σµηνίας "Ο ΣΜΗΝΙΤΗΣ ESTARIAN ΤΩΡΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΟΥ Κ.Ε.Φ ΓΙΑ ΧΡΕΩΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ" - Άργησες πατόψαρο, τι έκανες πάλι, ψοφοντάρευες στο θάλαµο; - Οχι ρε Α.Κ.Φ.Φ, είχα ένα προβληµατάκι που έπρεπε να λύσω. - Σε στενεύουν οι αρβύλες ρε Estarian; Σε πονάει το λαιµουδάκι σου µήπως; Μήπως θες να στείλουµε αµοιβό να κάνει το νουµεράκι σου; - Είσαι καλά ρε; Η σκοπιά είναι το καλύτερο µέρος για να λύνω ασκήσεις. Ηρεµία, κρύο (δουλεύει καλύτερα ο εγκέφαλος), και επαφή µε τη φύση. Τέλεια! - (Κοίτα ρε σε κάτι άτοµα που δίνουµε και όπλα) - Και τι θα έχει το πρόγραµµα σήµερα ρε µούργο; - Ααα σήµερα έχω κέφια για κλασµατική γεωµετρία. - Υπάρχει τέτοιο πράµα;; - Αµή! Δώσε τώρα όπλο,σφαίρες, ασύρµατο και χλαίνη, και έλα σε καµιά ώρα να σου εξηγήσω Το τζιπάκι µεταφέρει τον ακοίµητο φρουρό της πατρίδας στη Σ39. Το νούµερο, 6:30-10:30. Κρύο-υγρασία. Πρόβατα µπαίνουν και βοσκάνε παραδίπλα. Αλλά άµα ο άνθρωπος είναι καµµένος, δε µασάει από τέτοια. Κούµπωµα γεµιστήρας στο όπλο, άπλωµα χλαίνης στο δάπεδο της σκοπιάς, τσεκ ασυρµάτου (φροντίδα ακούει φύλακα 39; ακούει.. οκ..) και τσουπ, σηµειωµατάριο και στυλό.. και ξεκινάµε.. Έχει περάσει µία ώρα και χαράζει πλέον. Ευτυχώς γιατί αρχίζει και τελειώνει η µπαταρία στη µίνι-λάµπα διαβάσµατος (γαµάτη, απο Παπασωτηρίου. Κουµπώνει στο αυτί σα Hands-free και φέγγει τρελλά..). Ο ήχος τζίπ που πλησιάζει σπάει τη µονοτονία των βελασµάτων και των γρύλλων. Το θύµα έρχεται. Έλα σµηνία να σου ξηγήσω γω την ιστορία Ο σµηνίας Γ.Μ έρχεται µε δύο αχνιστούς καφέδες. "Ηρθα ρε. Αν και κάτι µου λέει πως θα το µετανοιώσω" "Σουτ και κάτσε εδώ να µάθεις 5 πράγµατα ρε παλιογιωτά" "Σεµνάαααααααααα... ψάρακα :P" "Θυµάσαι καθόλου γεωµετρία από το σχολείο ρε;" "Ε ναι τα κλασσικά. Τρίγωνα, τετράγωνα, εµβαδά, παράλληλες, Θαλήδες, µινίσκοι Ιπποκράτη κλπ κλπ" "Χµ ωραία, κάτι θυµάσαι. Για τις διαστάσεις, θυµάσαι;" "Ε ναι 1,2,3. Ζούµε σε τρισδιάστατο κόσµο, δύο διαστάσεις το επίπεδο, µία η ευθείες και καµία το σηµείο" "Για καραβανάς επιδεικνύεις ιδιαίτερο πλούτο γνώσεων" "Και συ για φαντάρος επιδεικνύεις ιδιαίτερη όρεξη να φάς καµιά 10φ" "Καλά καλά ρε...ξεκολλα.. Που λες εδώ µε τις διαστάσεις, πως θα σου φαινόταν αν σου έλεγα ότι υπάρχουν σχήµατα που έχουν διάσταση πχ.. 2 1/2;" "Θα έλεγα ότι για να το λές εσύ κάτι θα ξέρεις έστω και αν µου φαίνεται παπάτζα" "Άκου λοιπόν και µάθε..:

2 Στο κοµπιούτερ που έχετε µέσα στη µοίρα, έχει ο προσωπάρχης για wallpaper ένα περίεργο σχήµα. Ένα σχήµα που µοιάζει κάπως έτσι : Αυτό λοιπόν είναι ένα fractal, και συγκεκριµένα. Είναι ένα σχήµα που αρχικά θα έλεγες ότι είναι δισδιάστατο. Αλλά δεν είναι. Η κλασµατική γεωµετρία (fractal geometry - Ο όρος fractal προέρχεται από το λατινικό fractus που σηµαίνει κλάσµα) είναι ένα κοµµάτι των µαθηµατικών που ενυπάρχει µε µια ιδιαίτερη µορφή τέχνης. Επισης είναι και ο καλύτερος τρόπος για να περιγράψεις µαθηµατικώς µορφές που υπάρχουν στη φύση όπως το σχήµα µιας ακρογιαλιάς, βουνά, µέχρι και όργανα έµβιων οργανισµών.γιατί καλός ο Ευκλείδης, αλλά συγγνώµη, στη φύση το βουνό δεν είναι ακριβώς τρίγωνο. Ούτε µια ακρογιαλιά ακριβώς καµπύλη. Το πρόβληµα της περιγραφής ενός ακανόνιστου σχήµατος φαντάζεσαι ποιοί το αντιµετώπισαν πρώτοι; "Μάλλον οι χαρτογράφοι του στρατού;" Σωστός ο παίχτης. Πως θα µετρήσεις το µήκος των ακτών, όταν η ακτή είναι

3 µια γραµµή µε πραγµατικά άπειρες πτυχώσεις; Κάποια στιγµή κατάλαβαν ότι το µήκος των ακτών σε ένα χάρτη µεγάλης κλίµακας ήταν το µισο από το µήκος τους σε ένα χάρτη πιο µικρής κλίµακας. Και αυτό πάλι µικρότερο από ένα χάρτη ακόµα πιο µικρής κλίµακας. Γενικότερα όσο κατέβαιναν σε κλίµακα τόσο αυξανόταν το µήκος των ακτών. Και προφανώς ξύναν τις φαλάκρες τους µε απορία και απογοήτευση. Έτσι ανακάλυψαν µία από τις κύριες ιδιότητες των fractals. Ιδιότητες Δύο από τις βασικότερες ιδιότητες των fractals είναι η αυτο-οµοιότητα (selfsimilarity) και η µη-ακέραια διάσταση. Για παράδειγµα κοίτα λίγο τις φτέρες εδώ δίπλα. Κοίτα τα φύλλα. Πάρε ένα και θα παρατηρήσεις ότι το κάθε µικρό φυλλαράκι, µέρος του όλου φύλλου έχει το ίδιο σχήµα µε όλο το φύλλο. Αυτό είναι η αυτο-οµοιότητα. Το ίδιο ισχύει και για τα fractals.μπορείς να τα µεγενθύνεις όσες φορές θες, αλλά αυτό που θα βλέπεις στην οθόνη σου θα είναι ίδιο µε το µεγαλύτερο. Πήγαινε µετά στο γραφείο προσωπικού, πάρε το wallpaper και ξεκινα να µεγενθύνεις. Θα δεις αµέσως τι εννοώ. Και θα κάνεις και φιγούρα στη σµηνία εκεί µέσα που τη βλέπω έτοιµη... Η κλασµατική διάσταση είναι λίγο δυσκολότερο να εξηγηθεί. Στην κλασσική γεωµετρία όπως θυµάσαι έχουµε αντικείµενα µε ακέραιες διαστάσεις : Σηµεία µε µηδενική, γραµµές και καµπύλες µε διάσταση ένα, σχήµατα στο επίπεδο µε δύο, και σχήµατα στο χώρο µε τρείς.παρ'ολα αυτά κάποια φυσικά φαινόµενα περιγράφονται καλύτερα µε κλασµατικές διαστάσεις. Με αριθµούς µεταξύ δύο ακεραίων. Για παράδειγµα αν µια ευθεία έχει διάσταση ένα, µια fractal καµπύλη θα έχει διάσταση µεταξύ ένα και δύο ανάλογα µε το πόσο χώρο πιάνει όπως στριφογυρίζει µέσα στο επίπεδο. 'Οσο περισσότερο επίπεδο χώρο πιάνει ένα fractal, τόσο περισσότερο η διάστασή του προσεγγίζει το δύο. Οµοίως ένα fractal "λοφοειδές" θα έχει µια διάσταση µεταξύ 2 και 3. Έτσι ένα τοπίο fractal που δείχνει ένα µεγάλο λόφο και µικρές προεξοχές, θα είναι πιο κοντά σε διάσταση δύο, ενώ µια ακανόνιστη επιφάνεια από πολλά µικρά λοφάκια θα είναι πιο κοντά στο 3.Υπάρχουν διάφορα είδη fractals. Εδώ θα σου πω για fractals µιγαδικών και fractals που προέρχονται από πολλές επαναλήψεις συναρτήσεων. Μιγαδικά fractals Εχεις ακούσει για µιγαδικούς αριθµούς όταν ήσουν λύκειο; "Ναι αµέ.. z=a+bi όπου i είναι η ρίζα του -1. a,b στο R.Μιγαδικό επίπεδο κλπ" Ρε εσύ είσαι αστέρι! Τεσπα προχωράµε. Ένας µιγαδικός όπως θυµάσαι είναι µια τελίτσα στο µιγαδικό επίπεδο. Μια τελίτσα που καθορίζεται από τα a,b. a για τον άξονα των x, b για τον άξονα των y - που λέγεται και φανταστικός άξονας. Σύνολο Mandelbrot Το σύνολο Mandelbrot είναι σηµεία στο µιγαδικό επίπεδο. Για να φτιάξουµε αυτό το fractal (που είναι και αυτό που έχει στο γραφείο προσωπικού ο ανθυπασπιστής) πρέπει να χρησιµοποιήσουµε έναν αλγόριθµο που βασίζεται στον αναδροµικό τύπο

4 , (1) χωρίζοντας τα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου σε δύο κατηγορίες : 1. σηµεία µέσα στο σύνολο Mandelbrot 2.σηµεία εκτός αυτού Έτσι λοιπόν να, ορίστε πως θα δείχνει ένα σύνολο Mandelbrot, µε µαυρισµένα τα σηµεία που του ανήκουν : Έτσι για το θεαθήναι, ας χρωµατίσουµε και τα σηµεία εκτός. Το χρώµα, εξαρτάται από το πόσες επαναλήψεις κάναµε για να αποφασίσουµε αν είναι εκτός. Πως το δηµιουργούµε ; Για να δηµιουργήσουµε ένα σύνολο Mandelbrot αρχικά επιλέγουµε ένα σηµείο C στο µιγαδικό επίπεδο. Ο µιγαδικός αριθµός που αντιστοιχεί σε αυτό το σηµείο έχει τη µορφή c=a+bi. υπολογίζοντας την τιµή του στην εξίσωση 1, χρησιµοποιώντας το 0 σαν τιµή του, παίρνουµε ως αποτέλεσµα το C.Στο επόµενο βήµα, βάζουµε το C σαν και υπολογίζουµε. Παίρνουµε για αποτέλεσµα τον µιγαδικό. Μετά απλά το βάζουµε ως και επαναλαµβάνουµε επ'άπειρο. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται και "µετανάστευση" του αρχικού σηµείου C πάνω στο µιγαδικό επίπεδο. Τι συµβαίνει όταν επαναλαµβάνουµε συνεχώς τη συνάρτηση. Θα παραµείνει το σηµείο κοντά στην αρχική του θέση ή θα αποµακρύνεται συνεχώς αυξάνοντας απεριόριστα την απόστασή του απο κει

5 που ξεκίνησε; Στην πρώτη περίπτωση το C ΑΝΗΚΕΙ στο σύνολο (µαύρα σηµεία) ενώ στη δεύτερη λέµε ότι πάει στο άπειρο και του αναθέτουµε ένα χρώµα ανάλογα µε την ταχύτητα που "ξεφεύγει" από την αρχή. Βέβαια µπορούµε να το δούµε και από άλλη οπτική γωνία : Φαντάσου ότι όλα τα σηµεία στο επίπεδο έλκονται και απο το άπειρο και από το σύνολο Mandelbrot. Έτσι καταλαβαίνουµε πιο εύκολα γιατί α. Σηµεία µακριά από το σύνολο κινούνται ταχύτατα προς το άπειρο β. Σηµεία κοντά στο σύνολο κινούνται αργά προς το άπειρο γ. Σηµεία εντός συνόλου δεν ξεφεύγουν ποτέ Σύνολα Julia Τα σύνολα Julia έχουν µεγάλη σχέση µε τα σύνολα Mandelbrot. Η επαναληπτική συνάρτηση που χρησιµοποιείται για αυτά είναι η ίδια µε του συνόλου Mandelbrot. Η µόνη διαφορά έγκειται στο τρόπο που χρησιµοποιείται ο τύπος. Για το σύνολο Mandelbrot επαναλαµβάνουµε τον τύπο για κάθε σηµείο C,πάντα µε. Για να φτιάξουµε σύνολο Julia κρατάµε το C σταθερο και αλλάζουµε το. Η τιµή του C καθορίζει και το σχήµα του συνόλου Julia. Με λίγα λόγια, κάθε σηµείο στο µιγαδικό επίπεδο σχετίζεται και µε ένα συγκεκριµένο σύνολο Julia. Πως φτιάχνουµε ένα σύνολο Julia Πρέπει πρώτα να επιλέξουµε ένα σηµείο c στο µιγαδικό επίπεδο για να το συσχετίσουµε µε το σύνολό µας. Για να δούµε αν ένα σηµείο Ζ ανήκει στο σύνολο Julia, και να το χρωµατίσουµε αντίστοιχα, πρέπει να θέσουµε στη συνάρτηση και να αρχίσουµε τις επαναλήψεις.τώρα µικρέ και ανόητε σµηνία τί θα συµβεί στο αρχικό σηµείο Ζ; Θα µείνει κοντά στην αρχή ή θα αρχίσει να φεύγει και να φεύγει και να φεύγει, όπως µερικοί φαντάροι από τη σκοπιά; Στην πρώτη περίπτωση, ανήκει στο σύνολο Julia. Στη δεύτερη περίπτωση, που πάει προς το άπειρο, του αναθέτουµε και ένα χρώµα ανάλογα µε την ταχύτητα µε την οποία αποµακρύνεται από την "αρχή". Έχουµε και άλλα είδη fractals όµως -ΟΧΙ ΑΣΕ ΤΟ ΟΠΛΟ ΚΑΤΩ ΕΙΝΑΙ ΓΕΜΑΤΟ Iterated function system fractals αγαπητέ. Μη µουτρώνεις, κάτσε και θα δείς, αυτά είναι ωραία..αυτά που λες δηµιουργούνται µέσα από απλούς µετασχηµατισµούς στο επίπεδο, όπως πχ η περιστροφή των αξόνων. Για να φτιάξουµε ένα τέτοιο fractal κοίτα τι κάνουµε : 1. Ορίζουµε ένα σύνολο από µετασχηµατισµούς στο επίπεδο 2. Φτιάχνουµε ένα αρχικό σχήµα στο επίπεδο. Ο,τι ναναι 3. Μετασχηµατίζουµε το σχήµα χρησιµοποιώντας τους µετασχηµατισµούς που ορίσαµε 4. Μετασχηµατίζουµε το σχήµα που βγήκε ξανά, µε τους ίδιους µετασχηµατισµούς. 5. Επαναλαµβάνουµε το 4 όσο θέµε. Μπορείς να το κάνεις έναν αιώνα άµα θες, εµένα δε µε χαλάει. Και να δείς τι ωραία πράµατα που βγαίνουν.. Τα πλέον γνωστά σχήµατα που βγήκαν από τέτοιους µετασχηµατισµούς είναι το τρίγωνο του Sierpinski και η νιφάδα του Koch. Και κοίτα να δεις πως : Παίρνουµε ένα ισόπλευρο τρίγωνο Παίρνουµε τα µέσα των πλευρών και τα συνδέουµε. Το κάνουµε όσες φορές θέλουµε. Να πως θα φαίνεται και µετά από 4 επαναλήψεις :

6 1) 2) 3) 4) Και τώρα µάγκα, χρησιµοποιώντας αυτό το παράδειγµα θα σου αποδείξω ότι η διάστασή του ΔΕΝ είναι ακέραιος :Πρώτα, κάτσε να πούµε πως συµπεριφέρεται το "µέγεθος" ενός αντικειµένου όταν αυξάνεται η γραµµική του διάσταση. Σε διάσταση ένα, πάρε ένα ευθύγραµµο τµήµα. Αν διπλασιάσουµε τη γραµµική του διάσταση, τοτε το µήκος του επίσης διπλασιάζεται. Σε δύο διαστάσεις, αν πχ οι γραµµικές διαστάσεις ενός τετραγώνου διπλασιαστούν τότε το χαρακτηριστικό του µέγεθος, το εµβαδό, αυξάνεται 4 φορές. Στις τρείς διαστάσεις, ανάλογα για έναν κύβο, ο όγκος του 8πλασιάζεται. Αυτή η σχέση µεταξύ διάστασης D, γραµµικής αύξησης L και την αύξηση του µεγέθους S µπορούµε να τη γράψουµε λοιπόν ως S= L^D (Το ^ συµβολίζει τη δύναµη) Επιλύοντας τον τύπο αυτό ως προς D βλέπουµε πως η διάσταση αλλάζει όταν αλλάζει και το µέγεθος µέσω ενός γραµµικού µετασχηµατισµού µεγέθους: Στα παραπάνω παραδείγµατα το D είναι ακέραιος -1,2,3- ανάλογα µε τη διάσταση του κάθε σχήµατος. Αυτό ισχυει και για όλα τα σχήµατα στην Ευκλείδια γεωµετρία. Για τα fractals όµως ; Αµα δεις στο τρίγωνο του

7 Sierpinski, θα παρατηρήσεις πως αν η γραµµική διάσταση του αρχικού τριγώνου διπλασιαστεί, τότε το εµβαδό όλου του fractal (τα µπλε τρίγωνα) θα αυξηθει κατά έναν παράγοντα 3. Ε αµα τα βάλεις 2 και 3 στην παραπάνω σχέση, θα δείς ότι η διάσταση του τριγώνου Sierpinski είναι Η νιφάδα του Koch Για να κατασκευάσουµε µια νιφάδα Koch, πρέπει να αρχίσουµε µε ένα ισόπλευρο τρίγωνο µε τις πλευρές του να έχουν µήκος, παραδείγµατος χάριν, 1. Στη µέση κάθε πλευράς, θα προσθέσουµε ένα νέο τρίγωνο µε µέγεθος ένα τρίτο του αρχικού.επαναλαµβάνουµε αυτήν την διαδικασία για έναν άπειρο αριθµό επαναλήψεων. Το µήκος του"συνόρου", της περιµέτρου είναι 3.(4/3).(4/3).(4/3) άπειρο. Εντούτοις, το εµβαδό παραµένει λιγότερο από αυτό ενός κύκλου περιγεγραµµένου στο τρίγωνο. Αυτός σηµαίνει ότι µια άπειρη σε µήκος γραµµή περιβάλλει µια περιοχή πεπερασµένου εµβαδού. Μια νιφάδα Koch στην τελική της µορφή µοιάζει πολύ µε µια ακτογραµµή. Νιφάδα Koch µετά απο 4 επαναλήψεις Να και µερικά ακόµα fractals : Σου µοιάζει µε φύλλο απο φτέρη ε; ε ναι ρε σµηνία, τα φύλλα της φτέρης είναι κλασσικό παράδειγµα fractal σχήµατος όπως ειπαµε και παραπάνω :)

8 Αυτό είναι πιο τεχνητό, αλλά παρατήρησε : Επανάληψη. Συνεχής επανάληψη του ίδιου µοτίβου. Σε κάθε σηµείο αν κάνεις ένα ζουµάρισµα θα δείς τα ίδια. Το ίδιο σχήµα..εφαρµογές Απειρες πραγµατικά. Απο αστροφυσική και βιολογικές επιστήµες µέχρι γραφιστική. Ακοµα και το πως και γιατί τα αστέρια είναι εκεί που είναι, µπορεί ίσως να εξηγηθεί µέσω της φρακταλικής συµπεριφοράς της κατανοµής των διααστρικών αερίων. Οι κλασµατικές κατανοµές είναι ιεραρχικές στη δοµή τους. Σκέψου ένα συννεφάκι καπνού ή ένα σύννεφο στον ουρανό. Ο στροβιλισµός του αέρα δίνει τα σχήµατα τους, τα οποία ίσως να µπορούν να περιγραφούν µε κλασµατική γεωµετρία. Στη βιολογία.. πανικός. Από την αυτο-οµοιότητα στις αλυσίδες του DNA µέχρι την οργάνωση των χρωµοσωµάτων και από τη συµπεριφορά πληθυσµών στο ρυθµό της καρδιάς κάθε ατόµου. Έτσι που λες κύριε σµηνία. Κύριε σµηνία; Ρε! ΚΑΛΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ!!! Αναρτήθηκε από Estarian στις 11:58 πµ

9 10 σχόλια: Nikolo είπε... Εκπληκτικό!Πάνω στην κατάλληλη στιγµή που είχα αρχίσει και ενδιαφερόµουν για τα fractals...λες να πιάνει και για τον διοικητή..; Μπα... αυτοί είναι βαρεµένοι συνήθως..anyway µπράβο παιδιά γιατί είχαµε καιρό να δούµε νέα σας... Υ.Γ:τα θερµά µου συγχαρητήρια για το blog -νοµίζω είναι το πρώτο µου σχόλιο οπότε ας τα πω κ αυτά-, εύχοµαι πάντα έµπνευση και να κάνετε πάντα τα Μαθηµατικά υπέροχα και εξαιρετικά ενδιαφέροντα όπως είναι, και όχι όπως θέλουν να τα δείχνουν κάτι καµµένοι µε έδρες, διδακτορικά και συµβόλαιαεµπόρια για συγγράµατα κάτω από το τραπέζι...(απελπισµένος και γεµάτος βαρεµάρα φοιτητής µαθηµατικού εδώ...) 8:08 πµ i-fallos (Καπεταν Ηρεµος) είπε... Εξαίρετο! 11:04 µµ MICHALAKIS είπε... Άντε ρε παιδιά αργήσατε... Σας έχω βάλει και link στο blog µου (να µε σχωρνάτε). 4:39 µµ τέλσον είπε... Απίστευτο... εγώ πάντως θα σε είχα πυροβολήσει... όλα αυτά στην σκοπιά;;; Εστάριαν... χάλασες... χάλασες... Δεν χρειάζεται να πώ ότι σε κάποια φάση σε έχασα έτσι;;; 3:53 µµ Estarian είπε... Τέλσονα ετοιµάζω ποστ γίγαντα για τοπολογία. Θα βάλω τα δυνατά µου να µε χάσεις στη δεύτερη παράγραφο :P 11:14 πµ Sigmataf είπε...

10 (ΤΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΤ) 2:05 µµ mathematician είπε... Δυναµική επιστροφή Συνεχίστε έτσι 1:15 πµ Νερίνα είπε... Παραδοχή 1η: Όταν διαβάζω τέτοια κείµενα καταλαβαίνω µόνο την αράδα που διαβάζω και µόνο εκείνη τη στιγµή. Παραδοχή 2η: Παρόλα αυτά συνεχίζω µαζοχιστικά να τα διαβάζω, απλά και µόνο γιατί θαυµάζω το πόσο απλά και άψογα τοποθετηµένα στη θέση τους µοιάζουν όλα. Παραδοχή 3η: Λατρεύω τα µαθηµατικά, αλλά µετά την αποµάκρυνση εκ του ταµείου δεν θυµάµαι ούτε τι λατρεύω. Ακόµα και έτσι µ' αρέσουν τα µαθηµατικά σας... Καλή σας µέρα 11:26 πµ Νερίνα είπε... Το πόσο αλλούτελα δε είµαι αποδεικνύεται και απο το ότι τώρα είδα την ηµεροµηνία του ποστ. Δεν πειράζει η πρόθεση είναι που µετράει... 11:29 πµ Arkin είπε... Τοπολογία; Μάλλον θα σε χάσουµε στη δεύτερη γραµµή, και χωρίς πολλή προσπάθεια εκ µέρους σου... 12:50 πµ Ανάρτηση Σχολίου Σύνδεσµοι σε αυτήν την ανάρτηση Δηµιουργία Συνδέσµου Παλαιότερη Ανάρτηση Αρχική Σελίδα Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom) Αρχειοθήκη ιστολογίου

11 2007 (1) o January (1) Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος σµηνίας 2006 (2) o August (1) Όνοµα: "τρελή ξανθιά" o January (1) Χρονικό παράδοξο 2005 (7) o December (1) Ο κώδικας της γραµµής o September (2) Οι πρώτοι αριθµοί Αρχιµήδη "Στοµάχιον" o August (2) Παράδοξοι που είστε... Μέχρι πού ξέρεις να µετράς; o July (2) Να συστηθώ... Ξεκινάµε απο το 0... Συνεργάτες Estarian Oneiros i-fallos (Καπεταν Ηρεµος)

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι.

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι. 0001 00:00:11:17 00:00:13:23 Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18 Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10 Ναι. 0004 00:01:06:17 00:01:07:17 Σου έδειξα τη φωτογραφία; 0005 00:01:07:17 00:01:10:10

Διαβάστε περισσότερα

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω»

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» «Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» Στον αποµαγνητοφωνηµένο δάλογο που ακολουθεί συνοµιλεί συγγενής του Γ. Ρουπακιά (Α) µε τον (Β) - Οπου Α η καλούσα - Οπου Β

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;»

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» «Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» Οπου (Α) ο καλούµενος - χρήστης της υπ' αριθ. 698... (µέλος της Χ.Α.) Οπου (Β) ο καλών Ηµεροµηνία: 20/09/2013 Εναρξη: 22:12':00''

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης Σχολικό Έτος 2006 2007 Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Τρίτη 10 Οκτωβρίου στο Σ Ε Αλεξανδρούπολης. 2 η Ώρα : Μαθηµατικά στο Β2. ΙΣΜΑΗΛ : Λεµονιά, θέλω

Διαβάστε περισσότερα

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 4 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 4 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ το Δημοτικό η δασκάλα λέει στους μαθητές της: -Παιδιά, ελάτε να κάνουμε ένα τεστ εξυπνάδας! Ριχάρδο, πες μου ποιο είναι αυτό το ζωάκι: Περπατά στα κεραμίδια, έχει μουστάκι, κάνει νιάου και αλλά έχει και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 2 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 2 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ Βάζει η δασκάλα εργασία για το σπίτι, να ρωτήσουν πως γεννιούνται τα παιδιά. - Μαμά, μαμά, λέει ο Σοτός μόλις πήγε σπίτι, η δασκάλα μας είπε να σας ρωτήσουμε πως γεννιούνται τα παιδιά. - Δεν μπορώ τώρα,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Modern Greek Stage 6 Part 2 Transcript

Modern Greek Stage 6 Part 2 Transcript 1. Announcement Καλημέρα, παιδιά. Θα ήθελα να δώσετε μεγάλη προσοχή σε ό,τι πω σήμερα, γιατί όλες οι ανακοινώσεις είναι πραγματικά πολύ σημαντικές. Λοιπόν ξεκινάμε: Θέμα πρώτο: Αύριο η βιβλιοθήκη του σχολείου

Διαβάστε περισσότερα

Τα βιβλία της σειράς «ΕΤΣΙ ΓΡΑΦΩ ΚΑΙ ΙΑΒΑΖΩ µε µικρά βήµατα µέσα από συγκεκριµένους στόχους» πρώτο, δεύτερο και τρίτο µέρος, αποτελούν πολύ καλό βοήθηµα για την πρώτη ανάγνωση και γραφή. Οι µαθητές της

Διαβάστε περισσότερα

«Γκρρρ,» αναφωνεί η Ζέτα «δεν το πιστεύω ότι οι άνθρωποι μπορούν να συμπεριφέρονται έτσι μεταξύ τους!»

«Γκρρρ,» αναφωνεί η Ζέτα «δεν το πιστεύω ότι οι άνθρωποι μπορούν να συμπεριφέρονται έτσι μεταξύ τους!» 26 σχεδιασε μια ΦωτογρΑΦιΑ τήσ προσκλήσήσ που ελαβεσ Απο τον ΔΑσκΑλο σου. παρουσιασε το λογοτυπο και το σλογκαν που χρήσιμοποιει το σχολειο σου για τήν εβδομαδα κατα τήσ παρενοχλήσήσ. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΕΝΟΧΛΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΑΖΕΤΑΙ (Κωµικό σκετς)

Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΑΖΕΤΑΙ (Κωµικό σκετς) 1 Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΑΖΕΤΑΙ (Κωµικό σκετς) ΠΑΙΖΟΥΝ ΛΟΧΑΓΟΣ ΛΟΧΙΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΣ (στρατιώτες) Σήµερα θα πάµε µαζί να κάνουµε ασκήσεις και θεωρία. Για κάντε γραµµή. Αρχίζω. Προσέξτε. Πρώτα πρώτα ν ακούτε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Και µη γραµµικότητα στη φύση

Πολυπλοκότητα. Και µη γραµµικότητα στη φύση Πολυπλοκότητα Και µη γραµµικότητα στη φύση (και πώς να τις αντιµετωπίσουµε) του Τάσου Μπούντη Ολοι γνωρίζουµε ότι τα πουλιά δεν πετούν προς µία κατεύθυνση, τα αυτοκίνητα και οι άνθρωποι δεν κινούνται σχεδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ:

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2007-2008 Τάξη: Γ 3 Όνομα: Η μύτη μου είναι μεγάλη. Όχι μόνο μεγάλη, είναι και στραβή. Τα παιδιά στο νηπιαγωγείο με λένε Μυτόγκα. Μα η δασκάλα τα μαλώνει: Δεν

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

17.Β. ΜΙΚΡΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 2 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ

17.Β. ΜΙΚΡΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 2 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ Λέει ο Σοτός στη μαμά του: - Μαμά, έμαθα να προβλέπω το μέλλον! - Μπα; Κάνε μου μια πρόβλεψη! - Όπου να είναι θα έρθει ο γείτονας να μας πει να πληρώσουμε το τζάμι που του έσπασα!!! Ενώ ο πατέρας διαβάζει

Διαβάστε περισσότερα

KEΦΑΛΑΙΟ 1 AN HMΟΥΝ ΜΕΓΑΛΟΣ. Όταν είσαι μικρός ένα πράγμα είναι σίγουρο. Ότι θέλεις να μεγαλώσεις όσο πιο γρήγορα γίνεται.

KEΦΑΛΑΙΟ 1 AN HMΟΥΝ ΜΕΓΑΛΟΣ. Όταν είσαι μικρός ένα πράγμα είναι σίγουρο. Ότι θέλεις να μεγαλώσεις όσο πιο γρήγορα γίνεται. KEΦΑΛΑΙΟ 1 AN HMΟΥΝ ΜΕΓΑΛΟΣ Όταν είσαι μικρός ένα πράγμα είναι σίγουρο. Ότι θέλεις να μεγαλώσεις όσο πιο γρήγορα γίνεται. Ο μπαμπάς μου λέει ότι αυτά είναι χαζομάρες και ότι όταν μεγαλώσω θα θέλω να ήμουν

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Κωνσταντινοπούλου Ψυχολόγος - ειδική παιδαγωγός

Μαρία Κωνσταντινοπούλου Ψυχολόγος - ειδική παιδαγωγός ΠΑΡΑΞΕΝΑ ΟΜΟΡΦΟ Ένα παραμύθι για τη διαφορετικότητα, για μικρούς αλλά και για μεγάλους (αυτισμός) Τα παιδιά είναι ελεύθερα να ζωγραφίσουν τις παρακάτω σελίδες όπως αυτά αισθάνονται... Μαρία Κωνσταντινοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι. Ανεύρεση Υποψηφίων: «Τεχνικές και Μέθοδοι για να έχουµε µία ανεξάντλητη ροή υποψηφίων»

Στόχοι. Ανεύρεση Υποψηφίων: «Τεχνικές και Μέθοδοι για να έχουµε µία ανεξάντλητη ροή υποψηφίων» : «Τεχνικές και Μέθοδοι για να έχουµε µία ανεξάντλητη ροή υποψηφίων» Βεβαιωθείτε ότι λειτουργούν τα ηχεία σας (θα πρέπει να ακούγεται µουσική). Κλείστε όλα τα υπόλοιπα προγράµµατα για να µη συναντήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Ειρήνη Τσιτυρίδου, «Οι ξένες γλώσσες για τους μεγάλους»

Ειρήνη Τσιτυρίδου, «Οι ξένες γλώσσες για τους μεγάλους» ΚΟΖΑΝΗ 10/3/2015 8 Ο Δημοτικό Σχολείο Κοζάνης Ειρήνη Τσιτυρίδου, «Οι ξένες γλώσσες για τους μεγάλους» Σε ένα σχολείο, ο δάσκαλος προσπαθούσε να μάθει στα παιδιά να μιλούν σωστά ελληνικά. Όμως ο Πέτρος,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Ο Μικρός Πρίγκιπας έφτασε στη γη. Εκεί είδε μπροστά του την αλεπού. - Καλημέρα, - Καλημέρα, απάντησε ο μικρός πρίγκιπας, ενώ έψαχνε να βρει από πού ακουγόταν η

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοψαρούλη, μην εμπιστεύεσαι ΠΟΤΕ... αχινό! Εκπαιδευτικός σχεδιασμός παιχνιδιού: Βαγγέλης Ηλιόπουλος, Βασιλική Νίκα.

Τριγωνοψαρούλη, μην εμπιστεύεσαι ΠΟΤΕ... αχινό! Εκπαιδευτικός σχεδιασμός παιχνιδιού: Βαγγέλης Ηλιόπουλος, Βασιλική Νίκα. Ήρθε ένας νέος μαθητής στην τάξη. Όλοι τον αποκαλούν ο «καινούριος». Συμφωνείς; 1 Δεν είναι σωστό να μη φωνάζουμε κάποιον με το όνομά του. Είναι σαν να μην τον αναγνωρίζουμε. Σωστά. Έχει όνομα και με αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ ΤΙΤΑ ΑΡΗΣ ΤΙΤΑ ΑΡΗΣ ΤΙΤΑ

Α ΜΕΡΟΣ ΤΙΤΑ ΑΡΗΣ ΤΙΤΑ ΑΡΗΣ ΤΙΤΑ Α ΜΕΡΟΣ Μικρό, σύγχρονο οικογενειακό διαμέρισμα. Στο μπροστινό μέρος της σκηνής βλέπουμε δυο παιδικά δωμάτια, ένα στ αριστερά κι ένα στα δεξιά. Από το εσωτερικό τους καταλαβαίνουμε αμέσως ότι αριστερά

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

17.Β. ΜΙΚΡΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 4 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ

17.Β. ΜΙΚΡΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 4 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ Ήταν ο Σοτός στην τάξη και η δασκάλα σηκώνει την Αννούλα στον χάρτη και τη ρωτάει: Αννούλα, βρες μου την Αμερική. Σην βρίσκει η Αννούλα και ρωτάει μετά τον Σοτό η δασκάλα: -Σοτέ, ποιος ανακάλυψε την Αμερική;

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλο βραβείο, μεγάλοι μπελάδες. Μάνος Κοντολέων. Εικονογράφηση: Τέτη Σώλου

Μεγάλο βραβείο, μεγάλοι μπελάδες. Μάνος Κοντολέων. Εικονογράφηση: Τέτη Σώλου Συλλογή Περιστέρια 148 Εικονογράφηση εξωφύλλου: Εύη Τσακνιά 1. Το σωστό γράψιμο Έχεις προσέξει πως κάποια βιβλία παρακαλούμε να μην τελειώσουν ποτέ κι άλλα, πάλι, από την πρώτη κιόλας σελίδα τα βαριόμαστε;

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσβαση και δήλωση µαθηµάτων στον Εύδοξο

Πρόσβαση και δήλωση µαθηµάτων στον Εύδοξο Πρόσβαση και δήλωση µαθηµάτων στον Εύδοξο Τι πρέπει να γνωρίζω πριν ξεκινήσω την διαδικασία 1. Να έχω κωδικούς από τον Κέντρο Δικτύου του ΤΕΙ Αθήνας (είναι αυτοί µε τους οποίους έχω πρόσβαση στο ασύρµατο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.

ΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις. Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η )

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) 1 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΟΥ JACKSON POLLOCK ΣΤΟΝ ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟ WILLIAM WRIGHT ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΤΟΥ 1950. Το καλοκαίρι του 1950 o δημοσιογράφος William Wright πήρε μια πολύ ενδιαφέρουσα ηχογραφημένη

Διαβάστε περισσότερα

Πόσες µαύρες τελείες βλέπετε ; Οι οριζόντιες γραµµές δείχνουν να είναι παράλληλες ;

Πόσες µαύρες τελείες βλέπετε ; Οι οριζόντιες γραµµές δείχνουν να είναι παράλληλες ; Πόσες µαύρες τελείες βλέπετε ; Οι οριζόντιες γραµµές δείχνουν να είναι παράλληλες ; και όµως είναι! 1 Το παρακάτω σχήµα δείχνει για ελικοειδές ; και όµως δεν είναι! Οι κύκλοι είναι ανεξάρτητοι. Πόσα χρώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Φωνή: Θανούλη! Φανούλη! Μαριάννα! Φανούλης: Μας φωνάζει η μαμά! Ερχόμαστε!

Φωνή: Θανούλη! Φανούλη! Μαριάννα! Φανούλης: Μας φωνάζει η μαμά! Ερχόμαστε! 20 Χειμώνας σε μια πλατεία. Χιονίζει σιωπηλά. Την ησυχία του τοπίου διαταράσσουν φωνές και γέλια παιδιών. Μπαίνουν στη σκηνή τρία παιδιά: τα δίδυμα, ο Θανούλης και ο Φανούλης, και η αδελφή τους η Μαριάννα.

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στην Fractal Γεωμετρία (Μορφοκλασματική Γεωμετρία)

Μια εισαγωγή στην Fractal Γεωμετρία (Μορφοκλασματική Γεωμετρία) Μια εισαγωγή στην Fractal Γεωμετρία (Μορφοκλασματική Γεωμετρία) Το σύνολο του Mandelbrot. Το πολυπλοκότερο και εντυπωσιακότερο σύνολο των μαθηματικών Διημερίδα Μαθηματικών Ηράκλειο, 7-8 Μαρτίου 2014 Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Και ο μπαμπάς έκανε μία γκριμάτσα κι εγώ έβαλα τα γέλια. Πήγα να πλύνω το στόμα μου, έπλυνα το δόντι μου, το έβαλα στην τσέπη μου και κατέβηκα να φάω.

Και ο μπαμπάς έκανε μία γκριμάτσα κι εγώ έβαλα τα γέλια. Πήγα να πλύνω το στόμα μου, έπλυνα το δόντι μου, το έβαλα στην τσέπη μου και κατέβηκα να φάω. 1 Εδώ και λίγες μέρες, ένα από τα πάνω δόντια μου κουνιόταν και εγώ το πείραζα με τη γλώσσα μου και μερικές φορές με πονούσε λίγο, αλλά συνέχιζα να το πειράζω. Κι έπειτα, χτες το μεσημέρι, την ώρα που

Διαβάστε περισσότερα

1 / 13 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 5 ης ηµοτικού. Μάρτιος 2007

1 / 13 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 5 ης ηµοτικού. Μάρτιος 2007 1 / 13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Συνέντευξη από τη. ηµοσιογράφοι. κα Τατιάνα Στεφανίδου. Είµαι πολλά χρόνια δηµοσιογράφος, από το 1992.

Συνέντευξη από τη. ηµοσιογράφοι. κα Τατιάνα Στεφανίδου. Είµαι πολλά χρόνια δηµοσιογράφος, από το 1992. ΑΞΙΖΕΙ ΝΑ ΤΟ ΙΑΒΑΣΕΙΣ Συνέντευξη από τη δηµοσιογράφο κα Τατιάνα Στεφανίδου ηµοσιογράφοι Χάρης Μιχαηλίδης ηµήτρης Μαρούδας Φένια Πάσσα Αµαλία Τζήµα Λυδία Τούµπη Συντονισµός -επιµέλεια κειµένου Όµιλος δηµοσιογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Λυκείου Γενικής Μαρίνος Παπαδόπουλος Πίνακας Περιεχοµένων Τίτλος Θεµατικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σηµείωµα υο λόγια προς τους µαθητές 5-6 Μάθηµα Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισµού 7-4 Μάθηµα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Ο Τοτός και ο Μπόμπος εξετάζονται από το δάσκαλό τους. Ο Μπόμπος βγαίνει από την αίθουσα και λέει στον Τοτό:

Ο Τοτός και ο Μπόμπος εξετάζονται από το δάσκαλό τους. Ο Μπόμπος βγαίνει από την αίθουσα και λέει στον Τοτό: Ο Τοτός και ο Μπόμπος εξετάζονται από το δάσκαλό τους. Ο Μπόμπος βγαίνει από την αίθουσα και λέει στον Τοτό: - "Η πρώτη απάντηση είναι 1821, η δεύτερη Θεόδωρος Κολοκοτρώνης και η τρίτη δεν ξέρουμε ερευνάται

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΕΙΝΗ ΕΝΑ ΤΡΑΓΟΥ Ι ΓΙΑ ΤΟΝ Γ

ΕΚΕΙΝΗ ΕΝΑ ΤΡΑΓΟΥ Ι ΓΙΑ ΤΟΝ Γ Πέρος Ζαχαρίας Ζαχαρίας Πέρος ψευδώνυμο, του σπουδαστή της Αντιρύπανσης Ζαχαρία Περογαμβράκη. Στην Κοζάνη ασχολήθηκε με το Θέατρο σαν ερασιτέχνης ηθοποιός σε αρκετές παραστάσεις, συμμετείχε σε μία ταινία

Διαβάστε περισσότερα

Ε: Τι λέτε, μου πάνε; Α: χαχχαχχαχ (τα έπαιξαν και με τραβούσαν από τα χερια καθώς απομακρυνόμουν

Ε: Τι λέτε, μου πάνε; Α: χαχχαχχαχ (τα έπαιξαν και με τραβούσαν από τα χερια καθώς απομακρυνόμουν Ακάνθους - ίσως η καλύτερή μου βραδιά στο pick up..πειραματιζόμουν πολύ με peacock (έχω μιλήσει σε άλλο άρθρο μου για αυτό... περί της θεωρίας του παγωνιού που έχει να κάνει με το να φοράς τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Δουλεύει, τοποθετώντας τούβλα το ένα πάνω στο άλλο.

Δουλεύει, τοποθετώντας τούβλα το ένα πάνω στο άλλο. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ Παραδείγματα με συμπληρωμένα Φύλλα εργασίας Φύλλο εργασίας Α α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, χρησιμοποιώντας τη φαντασία σας. Δώστε ταυτότητα στο παιδί της φωτογραφίας. Όνομα Ίντιρα Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

εργαστηρι 3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Η ΜΙΚΡΟ ΘΕΑΤΡΙΚΟ «ΔΥΟ ΗΜΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΖΩΗ ΤΟΥ ΛΕΥΤΕΡΗ ΜΑΚΡΗ» ΠΡΩΤΗ ΠΡΑΞΗ

εργαστηρι 3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Η ΜΙΚΡΟ ΘΕΑΤΡΙΚΟ «ΔΥΟ ΗΜΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΖΩΗ ΤΟΥ ΛΕΥΤΕΡΗ ΜΑΚΡΗ» ΠΡΩΤΗ ΠΡΑΞΗ εργαστηρι 3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Η ΜΙΚΡΟ ΘΕΑΤΡΙΚΟ «ΔΥΟ ΗΜΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΖΩΗ ΤΟΥ ΛΕΥΤΕΡΗ ΜΑΚΡΗ» Αφηγητής: Ο Λευτέρης είναι μαθητής της Γ Γυμνασίου, μέτριος στην επίδοση, με πολλές όμως δυνατότητες, δημοφιλής, ποδοσφαιρόφιλος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΝΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ USABILITY TEST

ΣΥΝΤΟΝΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ USABILITY TEST ΣΥΝΤΟΝΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ USABILITY TEST ΟΔΗΓΟΣ ΑΠΟ ΤΗ USERFOCUS Text Userfocus 2009. cartoon artwork bitstrips www.bitstrips.com ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΤΡΙΑ ΣΤΑΔΙΑ ΣΤΟ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ ΕΝΟΣ USABILITY TEST ΑΡΧΙΚΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΩΣΕΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω:

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: - «Όταν κανείς επιθυµεί να ξέρει να διαιρεί οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 5 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ

Διαβάστε περισσότερα

α) Συµπληρώστε τα κενά γνωρίζοντας ότι: β) Αν στη κάτω σειρά χρησιµοποιούνται µονοψήφιοι θετικοί ακέραιοι και διαφορετικοί µεταξύ τους τότε ποιος είναι µεγαλύτερος αριθµός που µπορεί να υπάρχει στην κορυφή;

Διαβάστε περισσότερα

Τετράδια Κιθάρας. Χρήση του PowerTab

Τετράδια Κιθάρας. Χρήση του PowerTab Τετράδια Κιθάρας Extra ενότητα Χρήση του PowerTab Ευγένιος Αστέρις 1 Περιεχόμενα Πρόλογος... 3 Εγκατάσταση του Power Tab... 4 Εισαγωγή ενός αρχείου midi στο Power Tab... 5 Μελέτη με το Power Tab... 9 Εξήγηση

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; (Κάθε σωστή απάντηση 1 βαθµός)

Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; (Κάθε σωστή απάντηση 1 βαθµός) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 Φύλλο εργασίας 1 Ερµηνεύουµε σύµβολα! Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; Επικοινωνούµε έτσι κι αλλιώς 26 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; Σύνολο: (Κάθε σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΠΟΥ ΤΡΩΕΙ ΣΟΚΟΛΑΤΑ

ΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΠΟΥ ΤΡΩΕΙ ΣΟΚΟΛΑΤΑ g Μια ιστορία για µικρούς και µεγάλους ένα παραµύθι τεχνολογίας και ζαχαροπλαστικής. ΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΠΟΥ ΤΡΩΕΙ ΣΟΚΟΛΑΤΑ Μια ιστορία της. Λίνα ΣΤΑΡ!!! Τ.Ε.Ε. ΕΙ ΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΣΥΡΟΥ Μαθήτρια: Λίνα Βαρβαρήγου (Λίνα

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Από κάθε κορυφή ενός τετραγώνου «κόβουµε» τριγωνική πυραµίδα όπως φαίνεται στο σχήµα, όπου ΚΛΜ µέσα των ακµών του κύβου. Τούτο κάνουµε µε όλες τις κορυφές του κύβου. Να βρείτε πόσες είναι οι κορυφές του

Διαβάστε περισσότερα

κάνουμε τι; Γιατί άμα είναι να είμαστε απλώς ενωμένοι, αυτό λέγεται παρέα. Εγώ προτιμώ να παράγουμε ένα Έργο και να δούμε.

κάνουμε τι; Γιατί άμα είναι να είμαστε απλώς ενωμένοι, αυτό λέγεται παρέα. Εγώ προτιμώ να παράγουμε ένα Έργο και να δούμε. Εισήγηση του Ν. Λυγερού στη 2η Παγκόσμια Συνδιάσκεψη Ποντιακής Νεολαίας "Οι προκλήσεις του 21ου αιώνα, η ποντιακή νεολαία και ο ρόλος της στο οικουμενικό περιβάλλον". Συνεδριακό Κέντρο Ιωάννης Βελλίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

17.Α.ΜΕΓΑΛΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 1 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ

17.Α.ΜΕΓΑΛΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 1 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ Μια φορά η δασκάλα του Τοτού του είπε να γράψει 3 προτάσεις. Όταν πήγε σπίτι του ρωτάει τη μαμά του που έκανε δουλειές: - Μαμά πες μου μια πρόταση. - Άσε με τώρα, δεν μπορώ. Ο Τοτός τη γράφει. Μετά πηγαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ

ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ - Α,α,α,α,α,α,α! ούρλιαξε η Νεφέλη - Τρομερό! συμπλήρωσε η Καλλιόπη - Ω, Θεέ μου! αναφώνησα εγώ - Απίστευτα τέλειο! είπε η Ειρήνη και όλες την κοιτάξαμε λες και είπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ Μη µου µιλάς γι' αυτά που ξεχνάω Μη µε ρωτάς για καλά κρυµµένα µυστικά Και µε κοιτάς... και σε κοιτώ... Κι είναι η στιγµή που δεν µπορεί να βγεί απ' το µυαλό Φυσάει... Κι είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ Τί σε απασχολεί; Διάβασε τον κατάλογο που δίνουμε παρακάτω και, όταν συναντήσεις κάποιο θέμα που απασχολεί κι εσένα, πήγαινε στις σελίδες που αναφέρονται εκεί. Διάβασε τα κεφάλαια, που θα βρεις σ εκείνες

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιµοποίηση των τεχνικών του PIAGET (µέθοδος της συνέντευξης) για. την αξιολόγηση της νοητικής ανάπτυξης των παιδιών.

Χρησιµοποίηση των τεχνικών του PIAGET (µέθοδος της συνέντευξης) για. την αξιολόγηση της νοητικής ανάπτυξης των παιδιών. Χρησιµοποίηση των τεχνικών του PIAGET (µέθοδος της συνέντευξης) για την αξιολόγηση της νοητικής ανάπτυξης των παιδιών. 1. Ταξινόµ ηση. Ηλικία: 5-7 ετών. Σκοπός: Να διερευνήσουµε πώς το παιδί ταξινοµεί

Διαβάστε περισσότερα

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 4.5.6.1 Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 4.5.6.2 ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ 4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Ευθείες γραµµές και παραβολικά τµήµατα µπορούν να µοντελοποιηθούν µε τη χρήση κυβικών πολυωνυµικών τµηµάτων. Τα κυκλικά ελλειπτικά ή υπερβολικά τµήµατα όµως προσεγγίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ο χαρούμενος βυθός. Αφηγητής : Ένας όμορφος βυθός. που ήταν γαλαζοπράσινος χρυσός υπήρχε κάπου εδώ κοντά και ήταν γεμάτος όλος με χρυσόψαρα.

Ο χαρούμενος βυθός. Αφηγητής : Ένας όμορφος βυθός. που ήταν γαλαζοπράσινος χρυσός υπήρχε κάπου εδώ κοντά και ήταν γεμάτος όλος με χρυσόψαρα. Ο χαρούμενος βυθός Σχόλιο [D2]: Σπανουδάκης Κύματα Αφηγητής : Ένας όμορφος βυθός. που ήταν γαλαζοπράσινος χρυσός υπήρχε κάπου εδώ κοντά και ήταν γεμάτος όλος με χρυσόψαρα. Ψαροτουφεκάδες, δύτες και ψαράδες

Διαβάστε περισσότερα