Τετάρτη, Ιανουάριος 03, 2007 Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τετάρτη, Ιανουάριος 03, 2007 Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος"

Transcript

1 Τετάρτη, Ιανουάριος 03, 2007 Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος σµηνίας "Ο ΣΜΗΝΙΤΗΣ ESTARIAN ΤΩΡΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΟΥ Κ.Ε.Φ ΓΙΑ ΧΡΕΩΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ" - Άργησες πατόψαρο, τι έκανες πάλι, ψοφοντάρευες στο θάλαµο; - Οχι ρε Α.Κ.Φ.Φ, είχα ένα προβληµατάκι που έπρεπε να λύσω. - Σε στενεύουν οι αρβύλες ρε Estarian; Σε πονάει το λαιµουδάκι σου µήπως; Μήπως θες να στείλουµε αµοιβό να κάνει το νουµεράκι σου; - Είσαι καλά ρε; Η σκοπιά είναι το καλύτερο µέρος για να λύνω ασκήσεις. Ηρεµία, κρύο (δουλεύει καλύτερα ο εγκέφαλος), και επαφή µε τη φύση. Τέλεια! - (Κοίτα ρε σε κάτι άτοµα που δίνουµε και όπλα) - Και τι θα έχει το πρόγραµµα σήµερα ρε µούργο; - Ααα σήµερα έχω κέφια για κλασµατική γεωµετρία. - Υπάρχει τέτοιο πράµα;; - Αµή! Δώσε τώρα όπλο,σφαίρες, ασύρµατο και χλαίνη, και έλα σε καµιά ώρα να σου εξηγήσω Το τζιπάκι µεταφέρει τον ακοίµητο φρουρό της πατρίδας στη Σ39. Το νούµερο, 6:30-10:30. Κρύο-υγρασία. Πρόβατα µπαίνουν και βοσκάνε παραδίπλα. Αλλά άµα ο άνθρωπος είναι καµµένος, δε µασάει από τέτοια. Κούµπωµα γεµιστήρας στο όπλο, άπλωµα χλαίνης στο δάπεδο της σκοπιάς, τσεκ ασυρµάτου (φροντίδα ακούει φύλακα 39; ακούει.. οκ..) και τσουπ, σηµειωµατάριο και στυλό.. και ξεκινάµε.. Έχει περάσει µία ώρα και χαράζει πλέον. Ευτυχώς γιατί αρχίζει και τελειώνει η µπαταρία στη µίνι-λάµπα διαβάσµατος (γαµάτη, απο Παπασωτηρίου. Κουµπώνει στο αυτί σα Hands-free και φέγγει τρελλά..). Ο ήχος τζίπ που πλησιάζει σπάει τη µονοτονία των βελασµάτων και των γρύλλων. Το θύµα έρχεται. Έλα σµηνία να σου ξηγήσω γω την ιστορία Ο σµηνίας Γ.Μ έρχεται µε δύο αχνιστούς καφέδες. "Ηρθα ρε. Αν και κάτι µου λέει πως θα το µετανοιώσω" "Σουτ και κάτσε εδώ να µάθεις 5 πράγµατα ρε παλιογιωτά" "Σεµνάαααααααααα... ψάρακα :P" "Θυµάσαι καθόλου γεωµετρία από το σχολείο ρε;" "Ε ναι τα κλασσικά. Τρίγωνα, τετράγωνα, εµβαδά, παράλληλες, Θαλήδες, µινίσκοι Ιπποκράτη κλπ κλπ" "Χµ ωραία, κάτι θυµάσαι. Για τις διαστάσεις, θυµάσαι;" "Ε ναι 1,2,3. Ζούµε σε τρισδιάστατο κόσµο, δύο διαστάσεις το επίπεδο, µία η ευθείες και καµία το σηµείο" "Για καραβανάς επιδεικνύεις ιδιαίτερο πλούτο γνώσεων" "Και συ για φαντάρος επιδεικνύεις ιδιαίτερη όρεξη να φάς καµιά 10φ" "Καλά καλά ρε...ξεκολλα.. Που λες εδώ µε τις διαστάσεις, πως θα σου φαινόταν αν σου έλεγα ότι υπάρχουν σχήµατα που έχουν διάσταση πχ.. 2 1/2;" "Θα έλεγα ότι για να το λές εσύ κάτι θα ξέρεις έστω και αν µου φαίνεται παπάτζα" "Άκου λοιπόν και µάθε..:

2 Στο κοµπιούτερ που έχετε µέσα στη µοίρα, έχει ο προσωπάρχης για wallpaper ένα περίεργο σχήµα. Ένα σχήµα που µοιάζει κάπως έτσι : Αυτό λοιπόν είναι ένα fractal, και συγκεκριµένα. Είναι ένα σχήµα που αρχικά θα έλεγες ότι είναι δισδιάστατο. Αλλά δεν είναι. Η κλασµατική γεωµετρία (fractal geometry - Ο όρος fractal προέρχεται από το λατινικό fractus που σηµαίνει κλάσµα) είναι ένα κοµµάτι των µαθηµατικών που ενυπάρχει µε µια ιδιαίτερη µορφή τέχνης. Επισης είναι και ο καλύτερος τρόπος για να περιγράψεις µαθηµατικώς µορφές που υπάρχουν στη φύση όπως το σχήµα µιας ακρογιαλιάς, βουνά, µέχρι και όργανα έµβιων οργανισµών.γιατί καλός ο Ευκλείδης, αλλά συγγνώµη, στη φύση το βουνό δεν είναι ακριβώς τρίγωνο. Ούτε µια ακρογιαλιά ακριβώς καµπύλη. Το πρόβληµα της περιγραφής ενός ακανόνιστου σχήµατος φαντάζεσαι ποιοί το αντιµετώπισαν πρώτοι; "Μάλλον οι χαρτογράφοι του στρατού;" Σωστός ο παίχτης. Πως θα µετρήσεις το µήκος των ακτών, όταν η ακτή είναι

3 µια γραµµή µε πραγµατικά άπειρες πτυχώσεις; Κάποια στιγµή κατάλαβαν ότι το µήκος των ακτών σε ένα χάρτη µεγάλης κλίµακας ήταν το µισο από το µήκος τους σε ένα χάρτη πιο µικρής κλίµακας. Και αυτό πάλι µικρότερο από ένα χάρτη ακόµα πιο µικρής κλίµακας. Γενικότερα όσο κατέβαιναν σε κλίµακα τόσο αυξανόταν το µήκος των ακτών. Και προφανώς ξύναν τις φαλάκρες τους µε απορία και απογοήτευση. Έτσι ανακάλυψαν µία από τις κύριες ιδιότητες των fractals. Ιδιότητες Δύο από τις βασικότερες ιδιότητες των fractals είναι η αυτο-οµοιότητα (selfsimilarity) και η µη-ακέραια διάσταση. Για παράδειγµα κοίτα λίγο τις φτέρες εδώ δίπλα. Κοίτα τα φύλλα. Πάρε ένα και θα παρατηρήσεις ότι το κάθε µικρό φυλλαράκι, µέρος του όλου φύλλου έχει το ίδιο σχήµα µε όλο το φύλλο. Αυτό είναι η αυτο-οµοιότητα. Το ίδιο ισχύει και για τα fractals.μπορείς να τα µεγενθύνεις όσες φορές θες, αλλά αυτό που θα βλέπεις στην οθόνη σου θα είναι ίδιο µε το µεγαλύτερο. Πήγαινε µετά στο γραφείο προσωπικού, πάρε το wallpaper και ξεκινα να µεγενθύνεις. Θα δεις αµέσως τι εννοώ. Και θα κάνεις και φιγούρα στη σµηνία εκεί µέσα που τη βλέπω έτοιµη... Η κλασµατική διάσταση είναι λίγο δυσκολότερο να εξηγηθεί. Στην κλασσική γεωµετρία όπως θυµάσαι έχουµε αντικείµενα µε ακέραιες διαστάσεις : Σηµεία µε µηδενική, γραµµές και καµπύλες µε διάσταση ένα, σχήµατα στο επίπεδο µε δύο, και σχήµατα στο χώρο µε τρείς.παρ'ολα αυτά κάποια φυσικά φαινόµενα περιγράφονται καλύτερα µε κλασµατικές διαστάσεις. Με αριθµούς µεταξύ δύο ακεραίων. Για παράδειγµα αν µια ευθεία έχει διάσταση ένα, µια fractal καµπύλη θα έχει διάσταση µεταξύ ένα και δύο ανάλογα µε το πόσο χώρο πιάνει όπως στριφογυρίζει µέσα στο επίπεδο. 'Οσο περισσότερο επίπεδο χώρο πιάνει ένα fractal, τόσο περισσότερο η διάστασή του προσεγγίζει το δύο. Οµοίως ένα fractal "λοφοειδές" θα έχει µια διάσταση µεταξύ 2 και 3. Έτσι ένα τοπίο fractal που δείχνει ένα µεγάλο λόφο και µικρές προεξοχές, θα είναι πιο κοντά σε διάσταση δύο, ενώ µια ακανόνιστη επιφάνεια από πολλά µικρά λοφάκια θα είναι πιο κοντά στο 3.Υπάρχουν διάφορα είδη fractals. Εδώ θα σου πω για fractals µιγαδικών και fractals που προέρχονται από πολλές επαναλήψεις συναρτήσεων. Μιγαδικά fractals Εχεις ακούσει για µιγαδικούς αριθµούς όταν ήσουν λύκειο; "Ναι αµέ.. z=a+bi όπου i είναι η ρίζα του -1. a,b στο R.Μιγαδικό επίπεδο κλπ" Ρε εσύ είσαι αστέρι! Τεσπα προχωράµε. Ένας µιγαδικός όπως θυµάσαι είναι µια τελίτσα στο µιγαδικό επίπεδο. Μια τελίτσα που καθορίζεται από τα a,b. a για τον άξονα των x, b για τον άξονα των y - που λέγεται και φανταστικός άξονας. Σύνολο Mandelbrot Το σύνολο Mandelbrot είναι σηµεία στο µιγαδικό επίπεδο. Για να φτιάξουµε αυτό το fractal (που είναι και αυτό που έχει στο γραφείο προσωπικού ο ανθυπασπιστής) πρέπει να χρησιµοποιήσουµε έναν αλγόριθµο που βασίζεται στον αναδροµικό τύπο

4 , (1) χωρίζοντας τα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου σε δύο κατηγορίες : 1. σηµεία µέσα στο σύνολο Mandelbrot 2.σηµεία εκτός αυτού Έτσι λοιπόν να, ορίστε πως θα δείχνει ένα σύνολο Mandelbrot, µε µαυρισµένα τα σηµεία που του ανήκουν : Έτσι για το θεαθήναι, ας χρωµατίσουµε και τα σηµεία εκτός. Το χρώµα, εξαρτάται από το πόσες επαναλήψεις κάναµε για να αποφασίσουµε αν είναι εκτός. Πως το δηµιουργούµε ; Για να δηµιουργήσουµε ένα σύνολο Mandelbrot αρχικά επιλέγουµε ένα σηµείο C στο µιγαδικό επίπεδο. Ο µιγαδικός αριθµός που αντιστοιχεί σε αυτό το σηµείο έχει τη µορφή c=a+bi. υπολογίζοντας την τιµή του στην εξίσωση 1, χρησιµοποιώντας το 0 σαν τιµή του, παίρνουµε ως αποτέλεσµα το C.Στο επόµενο βήµα, βάζουµε το C σαν και υπολογίζουµε. Παίρνουµε για αποτέλεσµα τον µιγαδικό. Μετά απλά το βάζουµε ως και επαναλαµβάνουµε επ'άπειρο. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται και "µετανάστευση" του αρχικού σηµείου C πάνω στο µιγαδικό επίπεδο. Τι συµβαίνει όταν επαναλαµβάνουµε συνεχώς τη συνάρτηση. Θα παραµείνει το σηµείο κοντά στην αρχική του θέση ή θα αποµακρύνεται συνεχώς αυξάνοντας απεριόριστα την απόστασή του απο κει

5 που ξεκίνησε; Στην πρώτη περίπτωση το C ΑΝΗΚΕΙ στο σύνολο (µαύρα σηµεία) ενώ στη δεύτερη λέµε ότι πάει στο άπειρο και του αναθέτουµε ένα χρώµα ανάλογα µε την ταχύτητα που "ξεφεύγει" από την αρχή. Βέβαια µπορούµε να το δούµε και από άλλη οπτική γωνία : Φαντάσου ότι όλα τα σηµεία στο επίπεδο έλκονται και απο το άπειρο και από το σύνολο Mandelbrot. Έτσι καταλαβαίνουµε πιο εύκολα γιατί α. Σηµεία µακριά από το σύνολο κινούνται ταχύτατα προς το άπειρο β. Σηµεία κοντά στο σύνολο κινούνται αργά προς το άπειρο γ. Σηµεία εντός συνόλου δεν ξεφεύγουν ποτέ Σύνολα Julia Τα σύνολα Julia έχουν µεγάλη σχέση µε τα σύνολα Mandelbrot. Η επαναληπτική συνάρτηση που χρησιµοποιείται για αυτά είναι η ίδια µε του συνόλου Mandelbrot. Η µόνη διαφορά έγκειται στο τρόπο που χρησιµοποιείται ο τύπος. Για το σύνολο Mandelbrot επαναλαµβάνουµε τον τύπο για κάθε σηµείο C,πάντα µε. Για να φτιάξουµε σύνολο Julia κρατάµε το C σταθερο και αλλάζουµε το. Η τιµή του C καθορίζει και το σχήµα του συνόλου Julia. Με λίγα λόγια, κάθε σηµείο στο µιγαδικό επίπεδο σχετίζεται και µε ένα συγκεκριµένο σύνολο Julia. Πως φτιάχνουµε ένα σύνολο Julia Πρέπει πρώτα να επιλέξουµε ένα σηµείο c στο µιγαδικό επίπεδο για να το συσχετίσουµε µε το σύνολό µας. Για να δούµε αν ένα σηµείο Ζ ανήκει στο σύνολο Julia, και να το χρωµατίσουµε αντίστοιχα, πρέπει να θέσουµε στη συνάρτηση και να αρχίσουµε τις επαναλήψεις.τώρα µικρέ και ανόητε σµηνία τί θα συµβεί στο αρχικό σηµείο Ζ; Θα µείνει κοντά στην αρχή ή θα αρχίσει να φεύγει και να φεύγει και να φεύγει, όπως µερικοί φαντάροι από τη σκοπιά; Στην πρώτη περίπτωση, ανήκει στο σύνολο Julia. Στη δεύτερη περίπτωση, που πάει προς το άπειρο, του αναθέτουµε και ένα χρώµα ανάλογα µε την ταχύτητα µε την οποία αποµακρύνεται από την "αρχή". Έχουµε και άλλα είδη fractals όµως -ΟΧΙ ΑΣΕ ΤΟ ΟΠΛΟ ΚΑΤΩ ΕΙΝΑΙ ΓΕΜΑΤΟ Iterated function system fractals αγαπητέ. Μη µουτρώνεις, κάτσε και θα δείς, αυτά είναι ωραία..αυτά που λες δηµιουργούνται µέσα από απλούς µετασχηµατισµούς στο επίπεδο, όπως πχ η περιστροφή των αξόνων. Για να φτιάξουµε ένα τέτοιο fractal κοίτα τι κάνουµε : 1. Ορίζουµε ένα σύνολο από µετασχηµατισµούς στο επίπεδο 2. Φτιάχνουµε ένα αρχικό σχήµα στο επίπεδο. Ο,τι ναναι 3. Μετασχηµατίζουµε το σχήµα χρησιµοποιώντας τους µετασχηµατισµούς που ορίσαµε 4. Μετασχηµατίζουµε το σχήµα που βγήκε ξανά, µε τους ίδιους µετασχηµατισµούς. 5. Επαναλαµβάνουµε το 4 όσο θέµε. Μπορείς να το κάνεις έναν αιώνα άµα θες, εµένα δε µε χαλάει. Και να δείς τι ωραία πράµατα που βγαίνουν.. Τα πλέον γνωστά σχήµατα που βγήκαν από τέτοιους µετασχηµατισµούς είναι το τρίγωνο του Sierpinski και η νιφάδα του Koch. Και κοίτα να δεις πως : Παίρνουµε ένα ισόπλευρο τρίγωνο Παίρνουµε τα µέσα των πλευρών και τα συνδέουµε. Το κάνουµε όσες φορές θέλουµε. Να πως θα φαίνεται και µετά από 4 επαναλήψεις :

6 1) 2) 3) 4) Και τώρα µάγκα, χρησιµοποιώντας αυτό το παράδειγµα θα σου αποδείξω ότι η διάστασή του ΔΕΝ είναι ακέραιος :Πρώτα, κάτσε να πούµε πως συµπεριφέρεται το "µέγεθος" ενός αντικειµένου όταν αυξάνεται η γραµµική του διάσταση. Σε διάσταση ένα, πάρε ένα ευθύγραµµο τµήµα. Αν διπλασιάσουµε τη γραµµική του διάσταση, τοτε το µήκος του επίσης διπλασιάζεται. Σε δύο διαστάσεις, αν πχ οι γραµµικές διαστάσεις ενός τετραγώνου διπλασιαστούν τότε το χαρακτηριστικό του µέγεθος, το εµβαδό, αυξάνεται 4 φορές. Στις τρείς διαστάσεις, ανάλογα για έναν κύβο, ο όγκος του 8πλασιάζεται. Αυτή η σχέση µεταξύ διάστασης D, γραµµικής αύξησης L και την αύξηση του µεγέθους S µπορούµε να τη γράψουµε λοιπόν ως S= L^D (Το ^ συµβολίζει τη δύναµη) Επιλύοντας τον τύπο αυτό ως προς D βλέπουµε πως η διάσταση αλλάζει όταν αλλάζει και το µέγεθος µέσω ενός γραµµικού µετασχηµατισµού µεγέθους: Στα παραπάνω παραδείγµατα το D είναι ακέραιος -1,2,3- ανάλογα µε τη διάσταση του κάθε σχήµατος. Αυτό ισχυει και για όλα τα σχήµατα στην Ευκλείδια γεωµετρία. Για τα fractals όµως ; Αµα δεις στο τρίγωνο του

7 Sierpinski, θα παρατηρήσεις πως αν η γραµµική διάσταση του αρχικού τριγώνου διπλασιαστεί, τότε το εµβαδό όλου του fractal (τα µπλε τρίγωνα) θα αυξηθει κατά έναν παράγοντα 3. Ε αµα τα βάλεις 2 και 3 στην παραπάνω σχέση, θα δείς ότι η διάσταση του τριγώνου Sierpinski είναι Η νιφάδα του Koch Για να κατασκευάσουµε µια νιφάδα Koch, πρέπει να αρχίσουµε µε ένα ισόπλευρο τρίγωνο µε τις πλευρές του να έχουν µήκος, παραδείγµατος χάριν, 1. Στη µέση κάθε πλευράς, θα προσθέσουµε ένα νέο τρίγωνο µε µέγεθος ένα τρίτο του αρχικού.επαναλαµβάνουµε αυτήν την διαδικασία για έναν άπειρο αριθµό επαναλήψεων. Το µήκος του"συνόρου", της περιµέτρου είναι 3.(4/3).(4/3).(4/3) άπειρο. Εντούτοις, το εµβαδό παραµένει λιγότερο από αυτό ενός κύκλου περιγεγραµµένου στο τρίγωνο. Αυτός σηµαίνει ότι µια άπειρη σε µήκος γραµµή περιβάλλει µια περιοχή πεπερασµένου εµβαδού. Μια νιφάδα Koch στην τελική της µορφή µοιάζει πολύ µε µια ακτογραµµή. Νιφάδα Koch µετά απο 4 επαναλήψεις Να και µερικά ακόµα fractals : Σου µοιάζει µε φύλλο απο φτέρη ε; ε ναι ρε σµηνία, τα φύλλα της φτέρης είναι κλασσικό παράδειγµα fractal σχήµατος όπως ειπαµε και παραπάνω :)

8 Αυτό είναι πιο τεχνητό, αλλά παρατήρησε : Επανάληψη. Συνεχής επανάληψη του ίδιου µοτίβου. Σε κάθε σηµείο αν κάνεις ένα ζουµάρισµα θα δείς τα ίδια. Το ίδιο σχήµα..εφαρµογές Απειρες πραγµατικά. Απο αστροφυσική και βιολογικές επιστήµες µέχρι γραφιστική. Ακοµα και το πως και γιατί τα αστέρια είναι εκεί που είναι, µπορεί ίσως να εξηγηθεί µέσω της φρακταλικής συµπεριφοράς της κατανοµής των διααστρικών αερίων. Οι κλασµατικές κατανοµές είναι ιεραρχικές στη δοµή τους. Σκέψου ένα συννεφάκι καπνού ή ένα σύννεφο στον ουρανό. Ο στροβιλισµός του αέρα δίνει τα σχήµατα τους, τα οποία ίσως να µπορούν να περιγραφούν µε κλασµατική γεωµετρία. Στη βιολογία.. πανικός. Από την αυτο-οµοιότητα στις αλυσίδες του DNA µέχρι την οργάνωση των χρωµοσωµάτων και από τη συµπεριφορά πληθυσµών στο ρυθµό της καρδιάς κάθε ατόµου. Έτσι που λες κύριε σµηνία. Κύριε σµηνία; Ρε! ΚΑΛΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ!!! Αναρτήθηκε από Estarian στις 11:58 πµ

9 10 σχόλια: Nikolo είπε... Εκπληκτικό!Πάνω στην κατάλληλη στιγµή που είχα αρχίσει και ενδιαφερόµουν για τα fractals...λες να πιάνει και για τον διοικητή..; Μπα... αυτοί είναι βαρεµένοι συνήθως..anyway µπράβο παιδιά γιατί είχαµε καιρό να δούµε νέα σας... Υ.Γ:τα θερµά µου συγχαρητήρια για το blog -νοµίζω είναι το πρώτο µου σχόλιο οπότε ας τα πω κ αυτά-, εύχοµαι πάντα έµπνευση και να κάνετε πάντα τα Μαθηµατικά υπέροχα και εξαιρετικά ενδιαφέροντα όπως είναι, και όχι όπως θέλουν να τα δείχνουν κάτι καµµένοι µε έδρες, διδακτορικά και συµβόλαιαεµπόρια για συγγράµατα κάτω από το τραπέζι...(απελπισµένος και γεµάτος βαρεµάρα φοιτητής µαθηµατικού εδώ...) 8:08 πµ i-fallos (Καπεταν Ηρεµος) είπε... Εξαίρετο! 11:04 µµ MICHALAKIS είπε... Άντε ρε παιδιά αργήσατε... Σας έχω βάλει και link στο blog µου (να µε σχωρνάτε). 4:39 µµ τέλσον είπε... Απίστευτο... εγώ πάντως θα σε είχα πυροβολήσει... όλα αυτά στην σκοπιά;;; Εστάριαν... χάλασες... χάλασες... Δεν χρειάζεται να πώ ότι σε κάποια φάση σε έχασα έτσι;;; 3:53 µµ Estarian είπε... Τέλσονα ετοιµάζω ποστ γίγαντα για τοπολογία. Θα βάλω τα δυνατά µου να µε χάσεις στη δεύτερη παράγραφο :P 11:14 πµ Sigmataf είπε...

10 (ΤΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΖΤ) 2:05 µµ mathematician είπε... Δυναµική επιστροφή Συνεχίστε έτσι 1:15 πµ Νερίνα είπε... Παραδοχή 1η: Όταν διαβάζω τέτοια κείµενα καταλαβαίνω µόνο την αράδα που διαβάζω και µόνο εκείνη τη στιγµή. Παραδοχή 2η: Παρόλα αυτά συνεχίζω µαζοχιστικά να τα διαβάζω, απλά και µόνο γιατί θαυµάζω το πόσο απλά και άψογα τοποθετηµένα στη θέση τους µοιάζουν όλα. Παραδοχή 3η: Λατρεύω τα µαθηµατικά, αλλά µετά την αποµάκρυνση εκ του ταµείου δεν θυµάµαι ούτε τι λατρεύω. Ακόµα και έτσι µ' αρέσουν τα µαθηµατικά σας... Καλή σας µέρα 11:26 πµ Νερίνα είπε... Το πόσο αλλούτελα δε είµαι αποδεικνύεται και απο το ότι τώρα είδα την ηµεροµηνία του ποστ. Δεν πειράζει η πρόθεση είναι που µετράει... 11:29 πµ Arkin είπε... Τοπολογία; Μάλλον θα σε χάσουµε στη δεύτερη γραµµή, και χωρίς πολλή προσπάθεια εκ µέρους σου... 12:50 πµ Ανάρτηση Σχολίου Σύνδεσµοι σε αυτήν την ανάρτηση Δηµιουργία Συνδέσµου Παλαιότερη Ανάρτηση Αρχική Σελίδα Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom) Αρχειοθήκη ιστολογίου

11 2007 (1) o January (1) Η κλασµατική διάσταση και ο κακόµοιρος σµηνίας 2006 (2) o August (1) Όνοµα: "τρελή ξανθιά" o January (1) Χρονικό παράδοξο 2005 (7) o December (1) Ο κώδικας της γραµµής o September (2) Οι πρώτοι αριθµοί Αρχιµήδη "Στοµάχιον" o August (2) Παράδοξοι που είστε... Μέχρι πού ξέρεις να µετράς; o July (2) Να συστηθώ... Ξεκινάµε απο το 0... Συνεργάτες Estarian Oneiros i-fallos (Καπεταν Ηρεµος)

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι.

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι. 0001 00:00:11:17 00:00:13:23 Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18 Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10 Ναι. 0004 00:01:06:17 00:01:07:17 Σου έδειξα τη φωτογραφία; 0005 00:01:07:17 00:01:10:10

Διαβάστε περισσότερα

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;»

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» «Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» Οπου (Α) ο καλούµενος - χρήστης της υπ' αριθ. 698... (µέλος της Χ.Α.) Οπου (Β) ο καλών Ηµεροµηνία: 20/09/2013 Εναρξη: 22:12':00''

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ:

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2007-2008 Τάξη: Γ 3 Όνομα: Η μύτη μου είναι μεγάλη. Όχι μόνο μεγάλη, είναι και στραβή. Τα παιδιά στο νηπιαγωγείο με λένε Μυτόγκα. Μα η δασκάλα τα μαλώνει: Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

εργαστηρι 3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Η ΜΙΚΡΟ ΘΕΑΤΡΙΚΟ «ΔΥΟ ΗΜΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΖΩΗ ΤΟΥ ΛΕΥΤΕΡΗ ΜΑΚΡΗ» ΠΡΩΤΗ ΠΡΑΞΗ

εργαστηρι 3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Η ΜΙΚΡΟ ΘΕΑΤΡΙΚΟ «ΔΥΟ ΗΜΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΖΩΗ ΤΟΥ ΛΕΥΤΕΡΗ ΜΑΚΡΗ» ΠΡΩΤΗ ΠΡΑΞΗ εργαστηρι 3 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Η ΜΙΚΡΟ ΘΕΑΤΡΙΚΟ «ΔΥΟ ΗΜΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΖΩΗ ΤΟΥ ΛΕΥΤΕΡΗ ΜΑΚΡΗ» Αφηγητής: Ο Λευτέρης είναι μαθητής της Γ Γυμνασίου, μέτριος στην επίδοση, με πολλές όμως δυνατότητες, δημοφιλής, ποδοσφαιρόφιλος

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή

προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή Οι εφαρµογές λογισµικού που µέχρι τώρα γνωρίσαµε, µας δίνουν τη δυνατότητα να εκτελέσουµε ένα συγκεκριµένο είδος εργασιών. Έτσι η Ζωγραφική µας προσφέρει τα κατάλληλα εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιµοποίηση των τεχνικών του PIAGET (µέθοδος της συνέντευξης) για. την αξιολόγηση της νοητικής ανάπτυξης των παιδιών.

Χρησιµοποίηση των τεχνικών του PIAGET (µέθοδος της συνέντευξης) για. την αξιολόγηση της νοητικής ανάπτυξης των παιδιών. Χρησιµοποίηση των τεχνικών του PIAGET (µέθοδος της συνέντευξης) για την αξιολόγηση της νοητικής ανάπτυξης των παιδιών. 1. Ταξινόµ ηση. Ηλικία: 5-7 ετών. Σκοπός: Να διερευνήσουµε πώς το παιδί ταξινοµεί

Διαβάστε περισσότερα

Φωνή: Θανούλη! Φανούλη! Μαριάννα! Φανούλης: Μας φωνάζει η μαμά! Ερχόμαστε!

Φωνή: Θανούλη! Φανούλη! Μαριάννα! Φανούλης: Μας φωνάζει η μαμά! Ερχόμαστε! 20 Χειμώνας σε μια πλατεία. Χιονίζει σιωπηλά. Την ησυχία του τοπίου διαταράσσουν φωνές και γέλια παιδιών. Μπαίνουν στη σκηνή τρία παιδιά: τα δίδυμα, ο Θανούλης και ο Φανούλης, και η αδελφή τους η Μαριάννα.

Διαβάστε περισσότερα

17.Α.ΜΕΓΑΛΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 1 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ

17.Α.ΜΕΓΑΛΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 1 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ Μια φορά η δασκάλα του Τοτού του είπε να γράψει 3 προτάσεις. Όταν πήγε σπίτι του ρωτάει τη μαμά του που έκανε δουλειές: - Μαμά πες μου μια πρόταση. - Άσε με τώρα, δεν μπορώ. Ο Τοτός τη γράφει. Μετά πηγαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ Τί σε απασχολεί; Διάβασε τον κατάλογο που δίνουμε παρακάτω και, όταν συναντήσεις κάποιο θέμα που απασχολεί κι εσένα, πήγαινε στις σελίδες που αναφέρονται εκεί. Διάβασε τα κεφάλαια, που θα βρεις σ εκείνες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ Μη µου µιλάς γι' αυτά που ξεχνάω Μη µε ρωτάς για καλά κρυµµένα µυστικά Και µε κοιτάς... και σε κοιτώ... Κι είναι η στιγµή που δεν µπορεί να βγεί απ' το µυαλό Φυσάει... Κι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνέντευξη από τη. ηµοσιογράφοι. κα Τατιάνα Στεφανίδου. Είµαι πολλά χρόνια δηµοσιογράφος, από το 1992.

Συνέντευξη από τη. ηµοσιογράφοι. κα Τατιάνα Στεφανίδου. Είµαι πολλά χρόνια δηµοσιογράφος, από το 1992. ΑΞΙΖΕΙ ΝΑ ΤΟ ΙΑΒΑΣΕΙΣ Συνέντευξη από τη δηµοσιογράφο κα Τατιάνα Στεφανίδου ηµοσιογράφοι Χάρης Μιχαηλίδης ηµήτρης Μαρούδας Φένια Πάσσα Αµαλία Τζήµα Λυδία Τούµπη Συντονισµός -επιµέλεια κειµένου Όµιλος δηµοσιογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 5 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ο χαρούμενος βυθός. Αφηγητής : Ένας όμορφος βυθός. που ήταν γαλαζοπράσινος χρυσός υπήρχε κάπου εδώ κοντά και ήταν γεμάτος όλος με χρυσόψαρα.

Ο χαρούμενος βυθός. Αφηγητής : Ένας όμορφος βυθός. που ήταν γαλαζοπράσινος χρυσός υπήρχε κάπου εδώ κοντά και ήταν γεμάτος όλος με χρυσόψαρα. Ο χαρούμενος βυθός Σχόλιο [D2]: Σπανουδάκης Κύματα Αφηγητής : Ένας όμορφος βυθός. που ήταν γαλαζοπράσινος χρυσός υπήρχε κάπου εδώ κοντά και ήταν γεμάτος όλος με χρυσόψαρα. Ψαροτουφεκάδες, δύτες και ψαράδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΝΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ USABILITY TEST

ΣΥΝΤΟΝΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ USABILITY TEST ΣΥΝΤΟΝΙΖΟΝΤΑΣ ΕΝΑ USABILITY TEST ΟΔΗΓΟΣ ΑΠΟ ΤΗ USERFOCUS Text Userfocus 2009. cartoon artwork bitstrips www.bitstrips.com ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΤΡΙΑ ΣΤΑΔΙΑ ΣΤΟ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟ ΕΝΟΣ USABILITY TEST ΑΡΧΙΚΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΩΣΕΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

Η Αλφαβητοχώρα. Γιώργος Αμπατζίδης. Ελλάδα. A sea of words 5 th year

Η Αλφαβητοχώρα. Γιώργος Αμπατζίδης. Ελλάδα. A sea of words 5 th year Η Αλφαβητοχώρα Γιώργος Αμπατζίδης. Ελλάδα Η μέρα έμοιαζε συνηθισμένη στην Αλφαβητοχώρα. Ο κύριος ې διαφήμιζε τα φρέσκα λαχανικά του στο μανάβικο δείχνοντας με καμάρι πως το μαρούλι είχε ακόμα την πρωινή

Διαβάστε περισσότερα

Ο Τοτός και ο Μπόμπος εξετάζονται από το δάσκαλό τους. Ο Μπόμπος βγαίνει από την αίθουσα και λέει στον Τοτό:

Ο Τοτός και ο Μπόμπος εξετάζονται από το δάσκαλό τους. Ο Μπόμπος βγαίνει από την αίθουσα και λέει στον Τοτό: Ο Τοτός και ο Μπόμπος εξετάζονται από το δάσκαλό τους. Ο Μπόμπος βγαίνει από την αίθουσα και λέει στον Τοτό: - "Η πρώτη απάντηση είναι 1821, η δεύτερη Θεόδωρος Κολοκοτρώνης και η τρίτη δεν ξέρουμε ερευνάται

Διαβάστε περισσότερα

EΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ MOVIE MAKER

EΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ MOVIE MAKER EΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ MOVIE MAKER 1. Ανοίξτε από ΟΛΑ ΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ, το Windows movie maker 2. Αυτή είναι η βασική επιφάνεια εργασίας του λογισµικού Το movie maker µας δίνει δύο δυνατότητες. Να κάνουµε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

Τι σημαίνει αστικά πεδία σε μετάβαση για εσάς και την καλλιτεχνική σας δημιουργία;

Τι σημαίνει αστικά πεδία σε μετάβαση για εσάς και την καλλιτεχνική σας δημιουργία; Τι σημαίνει αστικά πεδία σε μετάβαση για εσάς και την καλλιτεχνική σας δημιουργία; Δύσκολη ερώτηση Για την καλλιτεχνική μου δημιουργία δεν παίζει κανένα ρόλο. Αυτό που με πικραίνει είναι ότι έζησα την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΜΑΣ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΩΝ ΜΙΑ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ

ΤΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΜΑΣ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΩΝ ΜΙΑ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ ΤΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΜΑΣ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΩΝ ΜΙΑ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ Με τους μαθητές τις μαθήτριες και τη δασκάλα της P2ELa 2013-2014 Η ΑΝΑΧΩΡΗΣΗ- ΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Μια μέρα ξεκινήσαμε από τις Βρυξέλλες

Διαβάστε περισσότερα

5 η Κύρια Κάρτα: Προϊόντα που χρησιµοποιούµε για τα κουνούπια, το σκόρο και τα άλλα έντοµα

5 η Κύρια Κάρτα: Προϊόντα που χρησιµοποιούµε για τα κουνούπια, το σκόρο και τα άλλα έντοµα Παράρτηµα. Μελέτη δύο εβδοµάδες µετά τη διδακτική παρέµβαση - 6 ο Κεφάλαιο 488.6.5 Πέµπτης Κύριας Κάρτας: Προϊόντα που χρησιµοποιούµε για τα κουνούπια, το σκόρο και τα άλλα έντοµα. Με αφορµή την πέµπτη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (1 ος ΤΡΟΠΟΣ)

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (1 ος ΤΡΟΠΟΣ) Extra Οδηγίες 2 ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (1 ος ΤΡΟΠΟΣ) 1. Σκανάρουµε το πορτάκι που θέλουµε ή το φωτογραφίζουµε µε ψηφιακή µηχανή. Το αποθηκεύουµε µε όνοµα π.χ. 01_portaki.bmp σε κάποιο φάκελο όπου έχουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Το τέλος -ένας µονόλογος-

Το τέλος -ένας µονόλογος- Το τέλος -ένας µονόλογος- Γυναίκα µόνη, όµορφη, τριακονταετής. Καθιστή, µετά όρθια, πάντα µόνη. Χώρος κλειστός, ελάχιστα φωτεινός, παλιά ωραίος. Η ατµόσφαιρα έχει κάτι το πένθιµο. Το πρόσωπο κάτι το µόνιµο

Διαβάστε περισσότερα

LET S DO IT BETTER improving quality of education for adults among various social groups

LET S DO IT BETTER improving quality of education for adults among various social groups INTERVIEWS REPORT February / March 2012 - Partner: Vardakeios School of Hermoupolis - Target group: Immigrants, women 1 η συνέντευξη Από την Αλβανία Το 2005 Η γλώσσα. Ήταν δύσκολο να επικοινωνήσω με τους

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήρι 2: Εν αρχή ην ο λόγος των κοινοτήτων

Εργαστήρι 2: Εν αρχή ην ο λόγος των κοινοτήτων Εργαστήρι 2: Εν αρχή ην ο λόγος των κοινοτήτων Στο εργαστήρι αυτό οι μαθητές καλούνται να παρουσιάσουν ένα θεατρικό διάλογο και να προβληματιστούν για τα κριτήρια επιλογής των αντιπροσώπων τους στα μαθητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

γλώσσα προγραµµατισµού Logo

γλώσσα προγραµµατισµού Logo γλώσσα προγραµµατισµού Logo προγράµµατα στη Logo Μέχρι τώρα είδαµε ότι για τη δηµιουργία ενός σχήµατος πληκτρολογούµε στο πλαίσιο εισαγωγής του Παραθύρου Εντολών µια σειρά από κατάλληλες εντολές. Στη συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

Δουλεύει, τοποθετώντας τούβλα το ένα πάνω στο άλλο.

Δουλεύει, τοποθετώντας τούβλα το ένα πάνω στο άλλο. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ Παραδείγματα με συμπληρωμένα Φύλλα εργασίας Φύλλο εργασίας Α α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, χρησιμοποιώντας τη φαντασία σας. Δώστε ταυτότητα στο παιδί της φωτογραφίας. Όνομα Ίντιρα Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Το παραμύθι της Επιπεδίας

Το παραμύθι της Επιπεδίας Το παραμύθι της Επιπεδίας Ιστορία του J.Weeks, βασισμένη σε ιδέες του μυθιστορήματος Flatland: a romance in many dimensions, του E.A.Abbott, το οποίο δημοσιεύτηκε το 1884, και στο οποίο βασίστηκε το κινηματογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΠΟΥ ΤΡΩΕΙ ΣΟΚΟΛΑΤΑ

ΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΠΟΥ ΤΡΩΕΙ ΣΟΚΟΛΑΤΑ g Μια ιστορία για µικρούς και µεγάλους ένα παραµύθι τεχνολογίας και ζαχαροπλαστικής. ΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΠΟΥ ΤΡΩΕΙ ΣΟΚΟΛΑΤΑ Μια ιστορία της. Λίνα ΣΤΑΡ!!! Τ.Ε.Ε. ΕΙ ΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΣΥΡΟΥ Μαθήτρια: Λίνα Βαρβαρήγου (Λίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

σόκ. Σιώπησε και έφυγε μετανιωμένος χωρίς να πει τίποτα, ούτε μια λέξη.» Σίμος Κάρμιος Λύκειο Λειβαδιών Σεπτέμβριος 2013

σόκ. Σιώπησε και έφυγε μετανιωμένος χωρίς να πει τίποτα, ούτε μια λέξη.» Σίμος Κάρμιος Λύκειο Λειβαδιών Σεπτέμβριος 2013 Εμπειρίες που αποκόμισα από το Διήμερο Σεμινάριο που αφορά στην ένταξη Παιδιών με Απώλεια Ακοής στη Μέση Γενική και Μέση Τεχνική και Επαγγελματική Εκπαίδευση Είχα την τύχη να συμμετάσχω στο διήμερο σεμινάριο

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Προσκλήσεις και ευχές

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Προσκλήσεις και ευχές Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Προσκλήσεις και ευχές Ενότητα: Κοινωνικές σχέσεις (2 φύλλα εργασίας) Επίπεδο: Β1, Β2 Κοινό: αλλόγλωσσοι ενήλικες ιάρκεια: 4 ώρες (2 δίωρα) Υλικοτεχνική υποδομή: Για τον διδάσκοντα: 1

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα Εύρεση του π

Δραστηριότητα Εύρεση του π Δραστηριότητα Εύρεση του π Ανάµεσα σε πολλά πρωτότυπα και εντυπωσιακά επιτεύγµατα του Αρχιµήδη, η µέθοδός του για την εύρεση µιας αριθµητικής προσέγγισης για το π ξεχωρίζει για την κοµψότητα και την ασυνήθιστη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πώς γίνεται το debug? Το debug γίνεται με δύο τρόπους, ως επί το πλείστον. Τουλάχιστον, εγώ δύο έμαθα, και αυτούς αναφέρω.

Πώς γίνεται το debug? Το debug γίνεται με δύο τρόπους, ως επί το πλείστον. Τουλάχιστον, εγώ δύο έμαθα, και αυτούς αναφέρω. Τι είναι το debug μαμα? Με απλά λόγια, debug (αποσφαλμάτωση αλλά που να κάθεσαι να το πεις), είναι η διαδικασία εντοπισμού και διόρθωσης σφαλμάτων που υπάρχουν σε κώδικα (ασχέτως γλώσσας προγραμματισμού).

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πρέπει να κάνω εμβόλια;

Γιατί πρέπει να κάνω εμβόλια; Για τους μικρούς μας φίλους Γιατί πρέπει να κάνω εμβόλια; Σε ύ Είµαι το µικρόβιο. Μου αρέσει να κάνω τα µικρά παιδιά να αρρωσταίνουν. Εγώ και η οικογένειά µου βρισκόµαστε παντού στο περιβάλλον που ζεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ανακύκλωση! γραφομηχανής, βιβλίο, αυγοθήκη, χαρτοσακούλα, χαρτόκουτο, τετράδιο.

Ανακύκλωση! γραφομηχανής, βιβλίο, αυγοθήκη, χαρτοσακούλα, χαρτόκουτο, τετράδιο. Ανακύκλωση! Αφού διαβάσαμε από το βιβλίο μας το θεατρικό κείμενο «τα χαρτιά ανακυκλώνονται» φτιάξαμε σε χάρτινες σακούλες τους ήρωες και το παίξαμε! Ήταν πολύ διασκεδαστικό! Ήρωες: Εφημερίδα, φάκελος αλληλογραφίας,

Διαβάστε περισσότερα

Citizenship Language Pack For Migrants in Europe ΕΛΛΗΝΙΚΑ. Μάθημα ελληνικής γλώσσας για μετανάστες με τη χρήση πολυμέσων.

Citizenship Language Pack For Migrants in Europe ΕΛΛΗΝΙΚΑ. Μάθημα ελληνικής γλώσσας για μετανάστες με τη χρήση πολυμέσων. Citizenship Language Pack For Migrants in Europe ΕΛΛΗΝΙΚΑ Μάθημα ελληνικής γλώσσας για μετανάστες με τη χρήση πολυμέσων Επίπεδο A2 Πώς να επικοινωνείτε στην καθημερινότητα σας στην Ελλάδα Με την υποστήριξη

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. ΟΟυρανός, το Υπέροχο Σπίτι του Θεού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. ΟΟυρανός, το Υπέροχο Σπίτι του Θεού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει ΟΟυρανός, το Υπέροχο Σπίτι του Θεού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:Lazarus Διασκευή:SarahS. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children www.m1914.org

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Οι σημειώσεις του Ντόμινο & οι σημειώσεις για τους γονείς

Οι σημειώσεις του Ντόμινο & οι σημειώσεις για τους γονείς Οι σημειώσεις του Ντόμινο & οι σημειώσεις για τους γονείς Καλώς ήρθατε στο littlebridge.com HomeBook 1. Εναρμονισμένο με τα 12 κεφάλαια του online υλικού, αυτό το βιβλίο συμπληρώνει με τον καλύτερο τρόπο

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Ζήτησε να συναντηθούμε νύχτα. Το φως της μέρας τον

Ζήτησε να συναντηθούμε νύχτα. Το φως της μέρας τον Μια φωνή τρυφερή και ευάλωτη Ζήτησε να συναντηθούμε νύχτα. Το φως της μέρας τον ενοχλούσε, είπε. Η νύχτα είναι πιο τρυφερή, πιο ευάλωτη. Η φωνή του χανόταν. Μια φωνή τρυφερή και ευάλωτη, σαν τη νύχτα του

Διαβάστε περισσότερα

Πάµε βόλτα στον Άγιο Λαυρέντιο Πηλίου παρέα µε τα κορίτσια του Γυµνασίου και του Λυκείου, στην κατασκήνωση που οργανώνει η Μητρόπολη ηµητριάδος!

Πάµε βόλτα στον Άγιο Λαυρέντιο Πηλίου παρέα µε τα κορίτσια του Γυµνασίου και του Λυκείου, στην κατασκήνωση που οργανώνει η Μητρόπολη ηµητριάδος! Ψάχνετε χειροτεχνίες για παιδική ή εφηβική κατασκήνωση; Πάµε βόλτα στον Άγιο Λαυρέντιο Πηλίου παρέα µε τα κορίτσια του Γυµνασίου και του Λυκείου, στην κατασκήνωση που οργανώνει η Μητρόπολη ηµητριάδος!

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΤΡΙΚΟ3 Η ΠΙΟ ΩΡΑΙΑ ΣΥΝΤΑΓΗ

ΘΕΑΤΡΙΚΟ3 Η ΠΙΟ ΩΡΑΙΑ ΣΥΝΤΑΓΗ ΘΕΑΤΡΙΚΟ3 Η ΠΙΟ ΩΡΑΙΑ ΣΥΝΤΑΓΗ Ένα παιδικό θεατρικό μιούζικαλ για παιδιά Διαμορφώνουμε κατάλληλα την τάξη μας, σε μια γωνιά έχουμε βάλει ένα τραπέζι και πάνω σ αυτό κατσαρόλες, ένα ξύλο κοπής, κουτάλες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Λεµονίδης - Κάπως Αµήχανα

Κώστας Λεµονίδης - Κάπως Αµήχανα Κώστας Λεµονίδης - Κάπως Αµήχανα 1. Παντοτινά δικός σου Ξέρεις ποιος είσαι, ελεύθερο πουλί Μέσα σου βλέπεις κι ακούς µιά φωνή Σου λέει τι να κάνεις, σου δείχνει να ζεις Μαθαίνεις το δρόµο και δεν σε βρίσκει

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Hellas Alive Μάθε να το χρησιµοποιείς

Hellas Alive Μάθε να το χρησιµοποιείς Hellas Alive Μάθε να το χρησιµοποιείς Λίγα Λόγια Το Hellas Alive καλύπτει πέντε επίπεδα γλωσσοµάθειας της Ελληνικής.Το κάθε επίπεδο χωρίζεται σε 15 ενότητες µε κάθε ενότητα να αναπτύσσεται σε 4 µαθήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

Αντωνία Μαρκούρη Διευθύντρια Προβολής και Ανάπτυξης της Pierre Fabre ΕΛΛΑΣ Α.Ε

Αντωνία Μαρκούρη Διευθύντρια Προβολής και Ανάπτυξης της Pierre Fabre ΕΛΛΑΣ Α.Ε ΟΠΤΙΚΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΚΑΙ ΑΥΘΟΡΜΗΤΕΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ Αντωνία Μαρκούρη Διευθύντρια Προβολής και Ανάπτυξης της Pierre Fabre ΕΛΛΑΣ Α.Ε Τα τελευταία χρόνια, µε τις ριζικές αλλαγές που βλέπουµε να πραγµατοποιούνται στη

Διαβάστε περισσότερα

You & I. ΑΝΤΡΑΣ Γεια σου.

You & I. ΑΝΤΡΑΣ Γεια σου. You & I 1 η σκηνή Μια ερηµική στάση λεωφορείου στη µέση του πουθενά. Ένα αµάξι σταµατάει στη µέση ενός επαρχιακού δρόµου. Ένας άντρας (του οποίου το πρόσωπο δεν βλέπουµε) βγαίνει από το όχηµα και κάνει

Διαβάστε περισσότερα

Στον κόσμο με την Thalya

Στον κόσμο με την Thalya Γρηγόρης Μπελαβίλας Στον κόσμο με την Thalya Συνέντευξη: Τσέκος Αθανάσιος Tι σάς κάνει να γράφετε μουσική? Ο βασικός λογος είναι ότι οι μουσικές που γράφω μού αρέσουν πολύ πιό πολύ από τίς μουσικές τών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Γεια σου! Είμαι η Ζωή. Καλημέρα. Με λένε Πέτρο. Πώς σε λένε; Χάρηκα! Καλησπέρα. Είμαι η Ελένη Παυλίδη.

Γεια σου! Είμαι η Ζωή. Καλημέρα. Με λένε Πέτρο. Πώς σε λένε; Χάρηκα! Καλησπέρα. Είμαι η Ελένη Παυλίδη. Γεια σου! Τι κάνεις; Γεια! Πώς σε λένε; [5] Γεια! Είμαι ο Ιβάν. Γεια σου! Είμαι η Ζωή. Καλημέρα. Με λένε Πέτρο. Πώς σε λένε; Γεια σου, Πέτρο. Με λένε Ιβάν. Χάρηκα! Κι εγώ. Καλησπέρα σας. Με λένε Νίκο Παπαδόπουλο.

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Σχ.7.1. Σύµβολο κοινού τελεστικού ενισχυτή και ισοδύναµο κύκλωµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 7. ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΙ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ Ο τελεστικός ενισχυτής εφευρέθηκε κατά τη διάρκεια του δεύτερου παγκοσµίου πολέµου και. χρησιµοποιήθηκε αρχικά στα συστήµατα σκόπευσης των αντιαεροπορικών πυροβόλων για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο εγωιστής γίγαντας. Μεταγραφή : Γλυμίτσα Ευθυμία. Διδασκαλείο Δημοτικής Εκπαίδευσης. «Αλέξανδρος Δελμούζος»

Ο εγωιστής γίγαντας. Μεταγραφή : Γλυμίτσα Ευθυμία. Διδασκαλείο Δημοτικής Εκπαίδευσης. «Αλέξανδρος Δελμούζος» Ο εγωιστής γίγαντας Μεταγραφή : Γλυμίτσα Ευθυμία Διδασκαλείο Δημοτικής Εκπαίδευσης «Αλέξανδρος Δελμούζος» 2010-2011 Κάθε απόγευμα μετά από το σχολείο τα παιδιά πήγαιναν για να παίξουν στον κήπο του γίγαντα.

Διαβάστε περισσότερα

DIY: Κατασκευή πολυεστερικού Doorpanel 29/04/2006, 11:54 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΟΛΥΕΣΤΕΡΙΚΟΥ DOORPANEL ΣΕ ALFA ROMEO 33

DIY: Κατασκευή πολυεστερικού Doorpanel 29/04/2006, 11:54 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΟΛΥΕΣΤΕΡΙΚΟΥ DOORPANEL ΣΕ ALFA ROMEO 33 DIY: Κατασκευή πολυεστερικού Doorpanel 29/04/2006, 11:54 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΟΛΥΕΣΤΕΡΙΚΟΥ DOORPANEL ΣΕ ALFA ROMEO 33 Πρόκειται για µία κατασκευή σχετικά απλή η οποία όµως απαιτεί χρόνο και µεράκι. Σκοπός της είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό.

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Καθηγητής: Λοιπόν, πιστεύεις στον Θεό; Φοιτητής: Βεβαίως, κύριε. Καθ.: Είναι καλός ο

Διαβάστε περισσότερα

Ο Τόμπυ και οι Μέλισσες

Ο Τόμπυ και οι Μέλισσες Ο Τόμπυ και οι Μέλισσες Είναι άνοιξη και, όπως και πέρυσι, ο Τόμπυ επισκέπτεται τον θείο του στο αγρόκτημα. «Επιτέλους, έχω διακοπές!» φωνάζει ο Τόμπυ. Ανυπομονεί να ξαναδεί την αγαπημένη του αγελάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Η φίλη μας η ανακύκλωση. Ειδική έκδοση για τους μαθητές του Δημοτικού Σχολείου

Η φίλη μας η ανακύκλωση. Ειδική έκδοση για τους μαθητές του Δημοτικού Σχολείου Η φίλη μας η ανακύκλωση Ειδική έκδοση για τους μαθητές του Δημοτικού Σχολείου Στην όμορφη πολιτεία με το γαλάζιο ουρανό μια μικρή παρέα από σκουπίδια συναντήθηκε για να κουβεντιάσει το μέλλον της. Ο Αλουμίνης,

Διαβάστε περισσότερα

Ν Ι Κ Ο Λ Α Ο Σ Π. Κ Υ Ρ Α Ν Α Κ Ο Σ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Ε.Μ.Π. Εργολ. ηµοσίων Eργων ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΕΛ.ΚΕ.ΠΑ. ΕΠΙΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ

Ν Ι Κ Ο Λ Α Ο Σ Π. Κ Υ Ρ Α Ν Α Κ Ο Σ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Ε.Μ.Π. Εργολ. ηµοσίων Eργων ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΕΛ.ΚΕ.ΠΑ. ΕΠΙΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ 7 Ν Ι Κ Ο Λ Α Ο Σ Π. Κ Υ Ρ Α Ν Α Κ Ο Σ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ Ε.Μ.Π. Εργολ. ηµοσίων Eργων ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΕΛ.ΚΕ.ΠΑ. ErgoMetr ΕΠΙΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Νέο σύγχρονο πρόγραµµα γενικών επιµετρήσεων σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΡΩΜΑ ΤΟΥ ΘΕΟΥ. του Prem Rawat

ΤΟ ΑΡΩΜΑ ΤΟΥ ΘΕΟΥ. του Prem Rawat ΤΟ ΑΡΩΜΑ ΤΟΥ ΘΕΟΥ του Prem Rawat TΙΣ ΠΡΟΑΛΛΕΣ σκεφτόμουν τι είναι η ειρήνη. Και κατάλαβα κάτι: η ειρήνη είναι το άρωμα. Όταν ο Θεός βρίσκεται κοντά σου, αναδύεται αυτό το άρωμα. Είναι εξαίσιο. Είναι όμορφο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Πόλεμος για το νερό. Συγγραφική ομάδα. Καραγκούνης Τριαντάφυλλος Κρουσταλάκη Μαρία Λαμπριανίδης Χάρης Μυστακίδου Βασιλική

Πόλεμος για το νερό. Συγγραφική ομάδα. Καραγκούνης Τριαντάφυλλος Κρουσταλάκη Μαρία Λαμπριανίδης Χάρης Μυστακίδου Βασιλική Πόλεμος για το νερό Συγγραφική ομάδα Καραγκούνης Τριαντάφυλλος Κρουσταλάκη Μαρία Λαμπριανίδης Χάρης Μυστακίδου Βασιλική 3 ο Δημοτικό Σχολείο Ωραιοκάστρου Τάξη ΣΤ1 Θεσσαλονίκη 2006 ΠΟΛΕΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΡΟ Άκουγα

Διαβάστε περισσότερα

ηµιουργία γραφικών πινάκων στο Word

ηµιουργία γραφικών πινάκων στο Word ηµιουργία γραφικών πινάκων στο Word 7.1. ηµιουργία γραφικών Θα δηµιουργήσουµε ένα σχεδιάγραµµα για να δείξουµε σχηµατικά πώς θα είναι κατανεµηµένος ο εξοπλισµός της πρότασής µας. Για να δηµιουργήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα