Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
|
|
- Τασούλα Λούπης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48
2 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh Zdroje chýb a ich klasifikácia Základné pojmy odhadu chýb Obrátená úloha teórie chýb Podmienenosť úloh ([3]) Úlohy Numerické riešenie rovníc Formulácia úlohy Grafická metóda Metóda polovičného delenia intervalu (bisekcia) Metóda tetív (regula falsi) Newtonova metóda (metóda dotyčníc) Kombinovaná metóda Prostá iteračná metóda Úlohy Sústavy lineárnych rovníc 43 4 Sústavy nelineárnych rovníc 45 5 Výsledky Nepresnosť numerického riešenia úloh Strana 2 z 48
3 5.2 Riešenie nelineárnych rovníc Sústavy lineárnych rovníc Sústavy nelineárnych rovníc Strana 3 z 48
4 1. Nepresnosť numerického riešenia úloh Pri riešení praktických úloh najčastejšie nevystačíme s aparátom klasickej analytickej matematiky. Sú prípady, keď analytický spôsob riešenia je veľmi zložitý alebo dokonca nemožný. V týchto prípadoch prichádza nám na pomoc numerická matematika alebo matematická štatistika. Každá z nich pristupuje k riešeniu úloh zo svojej stránky, ale jedno majú spoločné - pracujú s nepresnosťou (s chybou) Zdroje chýb a ich klasifikácia Základnými zdrojmi chýb sú 1. matematický popis úlohy môže byť nepresný, napr. nepresné zadanie údajov - je to tzv. neodstraniteľná chyba; 2. nepresnosť použitej metódy pri numerickom riešení úlohy, napr. pôvodná úloha obsahovala nekonečný proces (výpočet radu, integrálu atď.), ktorý sme nahradili v procese riešenia konečným - je to tzv. chyba metódy; 3. pri riešení úloh nutne vzniká chyba zaokrúhlovania čísel (ak použijeme kalkulačku alebo počítač), ktorá vyplýva zo spôsobu zobrazovania čísel v kalkulačke alebo v počítači - je to tzv. chyba zaokrúhľovania. Strana 4 z 48
5 ϕ l Krátko, na konkrétnom príklade si vysvetlíme podstatu týchto pojmov ([1]). Majme kyvadlo (pozri obrázok 1), ktoré sa začína pohybovať v čase t = t 0. Máme určiť jeho polohu (uhol ϕ) v čase t = t 1. Diferenciálna rovnica, ktorá popisuje pohyb kyvadla, má nasledujúci tvar: Obr. 1: Kyvadlo l d2 ϕ dt 2 + g sin ϕ + µdϕ dt = 0, (1) kde l je dĺžka kyvadla, g je gravitačné zrýchlenie a µ je koeficient trenia. Akonáhle budeme pracovať s týmto popisom pohybu kyvadla - už sme urobili neodstraniteľnú chybu. Napr. koeficient trenia nie je priamo úmerný rýchlosti pohybu, ďalej veličiny l, g, µ, t 0, ϕ(t 0 ) a ϕ (t 0 ) určujeme s istou nepresnosťou. Názov tejto nepresnosti neodstraniteľná zodpovedá jeho podstate - už v procese numerického riešenia danej úlohy sa táto nepresnosť nedá zmenšiť. Jediným spôsobom zmenšenia tejto nepresnosti je v presnejšom určení (meraní) uvedených veličín alebo v určení lepšieho matematického popisu pohybu kyvadla. Diferenciálna rovnica (1) sa nedá analyticky riešiť, a preto musíme pre riešenie danej úlohy použiť niektorú z numerických metód. Pri numerickom riešení danej úlohy budeme musieť nahradiť deriváciu, ktorá je výsledkom nekonečného procesu (je to limita), jej približnou hodnotou pomocou konečného rozdielu, t.j. pri riešení použijeme napr. jednu konkrétnu hodnotu podlimitného výrazu. Je to chyba metódy, lebo veľkosť nepresnosti závisí od výberu tohto konečného rozdielu. Strana 5 z 48
6 Aj keby sme pracovali s presnými hodnotami (bez použitia kalkulačky alebo počítača) vo všeobecnosti môže nastať prípad, keď sme nútený zaokrúhliť medzivýsledky. Napr. potrebujeme určiť desatinný tvar čísla 1. Je to V závislosti od toho, koľko desatinných miest budeme brať do úvahy urobíme väčšiu alebo menšiu chybu zaokrúhlenia. Poznámka. V numerickej matematike používame bodku namiesto desatinnej čiarky. Reálnych čísel je nekonečne veľa, avšak v počítači môžeme zobraziť iba konečne veľa z nich. To, že koľko, závisí od spôsobu ich ukladania v počítači (konkrétne od veľkosti pamäte vyhradenej pre jedno reálne číslo). Najvýznamnejším nedostatkom tohto zobrazenia je nerovnomerné rozloženie týchto čísel a teda dokonca ani súčet zobrazovaných čísel nemusí byť z tejto množiny (pozri [2]) Základné pojmy odhadu chýb Nech x je presná hodnota a x je jej približná hodnota. Pod absolútnou chybou čísla x rozumieme hodnotu = x x a relatívnou chybou čísla x rozumieme hodnotu δ = x, pre x 0. V praxi často nepoznáme presnú hodnotu x a teda ani hodnotu absolútnej a relatívnej chyby, a preto používame ich odhady. Pod odhadom Strana 6 z 48
7 absolútnej chyby rozumieme také reálne číslo x, pre ktoré platí x x x, teda pre presnú hodnotu platí čo sa často zapiseje v tvare x x x x + x, x = x ± x. Pod odhadom relatívnej chyby rozumieme také reálne číslo δ x, pre ktoré platí x x δ x. x Táto forma pre praktické použitie je málo vhodná, lebo zväčša presnú hodnotu x nepoznáme. V praxi sa preto často používa δ x x x. Potom x môžeme vyjadriť aj nasledujúcim spôsobom: x = x(1 ± δ x ). Odhad relatívnej chyby v praxi sa najčastejšie vyjadruje v percentách. Strana 7 z 48
8 Príklad 1 Určte odhad absolútnej a odhad relatívnej chyby čísla x = 1 7, ak x = Riešenie. Vieme, že 1 7 = a teda x x = = < = = x a x x = = < % = δ x. Ak presné číslo x zaokrúhlime na n desatinných miest, potom x = n. Ak máme aproximáciu čísla x číslom x, potom číslica na k-tom desatinnom mieste aproximácie x je platné, ak x x k, alebo x x x k. Poznámka. A platnými číslicami budú aj všetky číslice daného približného čísla počnúc od prvej nenulovej číslice (ak taká existuje) po nájdené k-té. 1 Odhad je vždy väčšie alebo rovné, preto sme zobrali určité väčšie číslo. 2 Posledná číslica na kalkulačke resp. na počítači je zaokrúhlená, teda skutočná hodnota múže byť menšia a preto pre výpočet odhadu budeme používať väčšiu hodnotu. Strana 8 z 48
9 Príklad 2 Určte počet platných číslic v x ak x = 1 7 a x = Riešenie. Z príkladu 1 vieme, že x = a potom - číslica 1, ktorá je na prvom desatinnom mieste bude platná, lebo = 0.05 > = x, - číslica 4, ktorá je na druhom desatinnom mieste bude platná, lebo = > = x, - číslica 2, ktorá je na tretom desatinnom mieste bude platná, lebo = > = x, - číslica 8, ktorá je na štvrtom desatinnom mieste nebude platná, lebo = < = x. Záver: Približné číslo x = má tri platné číslice 1, 4 a 2. Poznámka. Na základe predchádzajúcej poznámky stačilo by určiť, že 2 je platná číslica a že 8 nie je platná a boli by sme mohli dôjsť k nášmu záveru. Pri numerických výpočtoch veľmi vážnou otázkou je šírenie chýb. Potrebujeme vypočítať hodnotu funkcie viacerých premenných y = f(x 1, x 2,..., x n ), keď hodnoty x 1, x 2,..., x n nepoznáme presne, ale máme dané ich približné hodnoty x 1, x 2,..., x n. Potom n y f( x 1, x 2,..., x n ) x i x i, i=1 Strana 9 z 48
10 δ y n i=1 f( x 1, x 2,..., x n) x i xi, f( x 1, x 2,..., x n ) = n ln f( x 1, x 2,..., x n ) x i x i. Nech y = ±x 1 ± x 2... ± x n, potom na základe vyššie uvedených vzťahov máme: y = x 1 + x x n. Predpokladajme, že x 1 a x 2 majú rovnaké znamienko. Nech y = x 1 x 2, potom y = x 1 + x 2 a δ y = y ȳ = x 1 + x 2 x 1 x 2 = i=1 x 1 x x x 2 x x 2 2 x 1 x 2 kým pre y = x 1 + x 2, bude y = x 1 + x 2 a y ȳ = x 1 + x 2 x 1 + x 2 x 1 δ M + x 2 δ M x 1 + x 2 kde δ M = max{δ x1, δ x2 }. = x 1 + x 2 x 1 + x 2 = x 1 x 1 x 1 + x 2 x 2 x 2 x 1 + x 2 = x 1 δ x1 + x 2 δ x2, (2) x 1 x 2 = x 1 δ x1 + x 2 δ x2 x 1 + x 2 = x 1 + x 2 x 1 + x 2 δ M = δ M = δ y, (3) Poznámka. Z výrazu (2) vidíme, že v prípade rozdielu blízkych hodnôt odhad relatívnej chyby výsledku môže podstatne narásť, a preto pri určení odhadu relatívnej chyby sa doporučuje usporiadať postupnosť vykonávania aritmetických operácií tak, aby sme približne rovnaké hodnoty neodčítavali. Strana 10 z 48
11 Príklad 3 Nech y = f(x) = 2 x + x 2. Určte odhad absolútnej a odhad relatívnej chyby výrazu ȳ = f( x), ak x = 1.90 ± Riešenie. Na základe zadania vieme, že x = 1.90 a x = Potom ȳ = 2 x + x 2 = = 3.71, y = f ( x) x = x x = = a δ y y = 100 = % < 3.02%. c 3.71 Výsledok: y = a δ y = 3.02%. Teda y = 3.71±0.112 a číslica 3 je platná, lebo = 0.5 > y = 0.112, ale už číslica 7 nie je platná, lebo = 0.05 < y = V tomto prípade už číslice napravo od číslice 7 (včítane tejto číslice) nepredstavujú podstatnú informáciu a výsledok môžeme upraviť nasledovne: Číslo 3.71 zaokrúhlime na platné číslice, teda na 4. Teda máme novú približnú hodnotu ȳ n = 4, ale potom aj odhad absolútnej chyby sa zmení: y n = y + ȳ n ȳ = = < 0.5. Ako výsledok sme dostali: y = 4 ± 0.5. Ale ak je to iba medzivýsledok, potom sa doporučuje zaokrúhliť o jedno resp. dve desatinné miesta viacej. Teda číslo 3.71 zaokrúhlime na 3.7. Máme novú približnú hodnotu y m = 3.7, ale potom aj odhad absolútnej chyby sa zmení: y m = y + y m ȳ = = < 0.2. Dostali sme výsledok v nasledujúcom tvare : y = 3.7 ± 0.2. Poznámka. Počas výpočtu sa doporučuje zaokrúhlovať medzivýsledky na jedno alebo dve desatinné miesta viac, než sú platné číslice. Strana 11 z 48
12 Príklad 4 Nech u = f(x, y) = x sin y, x = 1.15 ± 0.02 a y = 0.50 ± Určte odhad absolútnej a odhad relatívnej chyby u. Riešenie. Na základe zadania vieme, že x = 1.15, x = 0.02, ȳ = 1.50 a y = Potom u f( x,ȳ) x x + f( x,ȳ) y y = sin ȳ x + x cos ȳ y = (sin 0.50) (cos 0.50) 0.03 = < Teda odhad absolútnej chyby u = Budeme potrebovať približnú hodnotu ū. Vypočítame ju: ū = x sin ȳ = 1.15 sin 0.50 = Teda u = ± Vypočítame odhad relatívnej chyby. δ u u = = % < 7.3%. Dostávame, že ū za odhad relatívnej chyby môžeme zobrať δ u = 7.3%. Ľahko sa môžete presvedčiť o tom, že ū má iba jednu platnú číslicu a to prvú 5 a teda ostatné číslice nemajú veľký význam. Preto zaokruhlíme ū na stotiny. Dostaneme, že ū = 0.55, nesmieme zabudnúť, že sme mohli urobiť dodatočne chybu zaokrúhlením < a o túto hodnotu musíme vypočítanú hodnotu odhadu absolútnej chyby zväčšiť. Dostaneme = < 0.05 = u a výsledný tvar čísla u je u = 0.55 ± Ak teraz vypočítame odhad relatívnej chyby, potom dostaneme u 100 = 0.05 ū 0.55 bude δ u = 9.1%. 100 = 9.09% < 9.1% a nový odhad relatívnej chyby Strana 12 z 48 3 V numerickej matematike argument goniometrických funkcií berieme nie v stupňoch ale v radiánoch!
13 1.3. Obrátená úloha teórie chýb V praxi sa často stretávame s úlohou keď musíme určiť odhady absolútnych chýb približných hodnôt vstupujúcich veličín tak, aby odhad absolútnej chyby výsledku nebol väčší, než istá predom zadaná hodnota. Pozrieme sa na dva najčastejšie sa vyskytujúce prípady. Nech u = f(x 1, x 2,..., x n ) a potrebujeme určiť x i, i = 1, 2,..., n tak, aby u k, kde k je istá dana konštanta. 1. Prvý prípad. Predpokladajme, že chceme, aby pre všetky i = 1, 2,..., n zložky f( x 1, x 2,..., x n) xi x i mali približne rovnaký vplyv na odhad absolútnej chyby u, t.j. f( x 1, x 2,..., x n) x1 x 1 =... = f( x 1, x 2,..., x n) xn x n. Potom pre každé i = 1, 2,..., n u =. n f( x 1, x 2,..., x n ) x i x i = n f( x 1, x 2,..., x n ) x i x i, i=1 a teda dostaneme, že. u x i = 4 n f( x 1, x 2,..., x n). (4) x i 4 Takto určené hodnoty nemusia spĺňať podmienky úlohy, lebo pri ich určení ešte nevieme, že aké budú približné hodnoty. Teda na splnenie požiadavky je potrebné namiesto parciálnych derivácií použiť ich odhady. Strana 13 z 48
14 Príklad 5 Nech máme dané rozmery kužeľa: polomer základne je r. = 4dm, výška kužeľa je h. = 9dm a π. = Aké musia byť r, h a π, aby sme určili objem kužeľa s presnosťou V = 0.2dm 3? Riešenie. Vieme, že V = 1 3 πr2 h. Položme r = 4dm, h = 9dm a π = Potom na základe vzťahu (4) dostaneme: r = V 3 V r = V π2 r h = = , teda ak chceme mať výsledok s požadovanou presnosťou, potom r musí byť menšie alebo rovné ako , napr. r = h = V 3 V h = V π r2 = = , teda ak chceme mať výsledok s požadovanou presnosťou, potom h musí byť menšie alebo rovné ako , napr. h = π = V 3 V π = V = r2 h = , 3 teda ak chceme mať výsledok s požadovanou presnosťou, potom π musí byť menšie alebo rovné ako , napr. π = Strana 14 z 48
15 2. Druhý prípad. Predpokladajme, že odhady absolútnych chýb x i sú rovnaké, t.j. x 1 = x 2... = x n. Máme u. = n f( x 1, x 2,..., x n ) x i x i = x i i=1 n f( x 1, x 2,..., x n ) x i. i=1 Ako výsledok pre všetky i = 1,..., n dostávame x i = u np f( x 1, x 2,..., xn) x 5. i=1 i 1.4. Podmienenosť úloh ([3]) Riešenie numerických úloh môžeme považovať za postup, ktorý priraďuje vstupným údajom výstupné údaje. Budeme hovoriť, že úloha je dobre podmienená, keď malé chyby vstupných údajov pomerne málo zmenia výstupný údaj. V opačnom prípade hovoríme o zle podmienených úlohách. Ako mieru podmienenosti sa definuje číslo podmienenosti úlohy C p, ktoré určuje veľkosť týchto zmien relatívna chyba výstupného údaju C p = relatývna chyba vstupných údajov. Pre dobre podmienené úlohy je C p blízke 1. Pre C p 100 hovoríme o zle podmienenej úlohe. 5 Takto určené hodnoty nemusia spĺňať podmienky úlohy ani v tomto prípade, lebo pri ich určení ešte nevieme, že aké budú približné hodnoty. Teda na splnenie požiadavky aj tu je potrebné namiesto parciálnych derivácií použiť ich odhady. Strana 15 z 48
16 1.5. Úlohy 1. Určte odhad absolútnej, odhad relatívnej chyby čísla a počet platných čislíc v x = 2.72 ak x = e Nech y = xe x. Určte odhad absolútnej a odhad relatívnej chyby výrazu ȳ, ak x = 1.10 ± Výsledok upravte na platné číslice plus jedno desatinné miesto. 3. Nech u = x sin y + z. Určte odhad absolútnej chyby výrazu ū, ak x = 2.10 ± 0.02, y = 0.50 ± 0.01 a z = 1.30 ± Výsledok upravte na platné číslice a potom vypočítajte odhad relatívnej chyby upraveného výrazu. 4. Nech máme daný polomer gule r. = 2m a π. = 3.1. Aké musia byť r a π, aby sme určili objem gule s presnosťou V = 0.2m 3? 7 Strana 16 z 48 6 e= Predpokladáme, že všetky zložky majú približne rovnaký vplyv na odhad absolútnej chyby - prvý prípad.
17 2. Numerické riešenie rovníc 2.1. Formulácia úlohy Teraz sa budeme venovať hľadaniu reálnych koreňov (riešení) rovnice f(x) = 0, (5) kde f je reálna funkcia jednej reálnej premennej. Reálne číslo α, pre ktoré f(α) = 0, sa nazýva koreňom (riešením) rovnice (5). Ak funkcia f(x) je mnohočlenom, potom rovnica a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, pre a n 0, (6) sa nazýva algebraickou a v opačnom prípade transcendentnou. Pri riešení rovnice (5) doporučujem dodržiavať nasledujúcu postupnosť krokov: 1. Určíme interval (a, b), v ktorom sa nachádzajú všetky riešenia danej rovnice Určíme počet riešení, ktoré ležia v intervale (a, b). 3. Oddelíme riešenia (separujeme korene), t.j. nájdeme také nepretínajúce sa intervaly (a i, b i ) v ktorých sa nachádza práve jedno riešenie danej rovnice (násobnosť riešenia neberieme do úvahy 9 ). 8 a a b môžu byť aj + a. 9 Hovoríme, že α je k-násobným riešením rovnice (5) ak f(α) = f (α) =... = f (k 1) (α) = 0 a f (k) (α) 0. Strana 17 z 48
18 4. Vyberieme a použijeme vhodnú približnú metódu na určenie približného riešenia Určíme odhad absolútnej chyby nájdeného približného riešenia. Uvediem niekoľko užitočných viet z matematickej analýzy: Veta 1 [Bolzano-Cauchy] Nech funkcia f : a, b R je spojita na svojom definičnom obore a nech f(a)f(b) < 0. (7) Potom existuje aspoň jeden taký bod c (a, b), že f(c) = 0. Slabosťou vety 1 je, že ona nedáva prakticky žiadnu informáciu o počte koreňov na intervale a, b (ich môže byť nespočitateľne veľa), a nemôžeme tvrdiť ani to, že v prípade nesplnenia podmienok vety 1 v danom intervale nie je žiaden koreň (dokonca ich môže byť spočitateľne veľa)[4]. Konkrétne f(x) = x 2 sin 1 x [2] Táto veta 1 sa dá podstatne zosilniť ak podmienku spojitosti doplníme monotónnosťou na tomto intervale. Veta 2 Spojitá a ostro monotónna funkcia f(x) má práve jeden koreň na intervale a, b vtedy a iba vtedy, keď na koncoch intervalu nadobúda rôzne znaky. 10 Pre rôzne riešenia aj použité metódy môžu byť rôzne. Strana 18 z 48
19 Táto veta umožňuje nie len určiť vhodné intervaly pre výpočet ale aj vylúčiť z úvah nevhodné intervaly, ak poznáme jej monotónnosť a znaky na koncoch intervalu. Prakticky určiť monotónnosť funkcií na interale sa dá pre diferencovateľné funkcie, ak sa nemení znak ich derivácie na danom intervale. V prípade takýchto funkcií veľkou pomocou môže byť nasledujúca veta: Veta 3 Nech funkcia f(x) je diferencovateľná na intervale a, b. Potom ak f (x) nemení znamienko na intervale (a, b), potom podmienka (7) je nutnou a postačujúcou podmienkou toho, aby rovnica (5) mala práve jeden koreň v intervale a, b. Príklad 6 Určme koľko má koreňov rovnica x 2 e x = π a kde sa nachádzajú. Riešenie. Označme f(x) = x 2 e x π. Potom f (x) = x(x + 2)e x. Vidíme, že f (x) = 0 iba pre x = 0 a pre x = 2. Funkcie f(x) a f (x) sú definované a spojité na celej číselnej osi, teda body 2 a 0 sú jedinými v ktorých sa môže meniť znak derivácie a teda monotónnosť funkcie (z klesajúcej na rastúcu a naopak). Teraz ak určíme hodnoty v týchto bodoch a v nekonečno (pre nekonečno v limite) dostávame: f : , a na základe vety 3 prichádzame k záveru, že daná rovnica má jediný kladný koreň. Tento jediný koreň sa nachádza dokonca v intervale jednotkovej dĺžky 1, 2. Skutočne f(1) < 0 a f(2) > 0. Strana 19 z 48
20 Zaujímavým dôsledkom vety 1 je nasledujúce tvrdenie: Dôsledok 1 Nech funkcia f(x) je spojitá a nech platí f(a ε) f(a + ε) < 0, potom v intervale a ε, a + ε sa nachádza aspoň jeden koreň α. Teda číslo a je približným riešením danej úlohy s presnosťou ε. Poznamenávam, že tento test je laický. Vo výpočtovej praxi sa nevyužíva často, lebo vyžaduje výpočet funkcie ešte v ďalších dvoch bodoch. Hoci na základe príkladov z klasických zbierok človek môže získať klamný dojem o vhodnosti použitia tohto testu. Poznámka 1 Ako som už spomínal, rovnica (5) môže mať riešenie v intervale (a, b) aj v prípade keď f(a)f(b) > 0. Príklad 7 Rovnica x 2 3x + 2 = 0 má v intervale (0, 3) korene 1 a 2, hoci f(0)f(3) > 0. Na odhad absolútnej chyby približného riešenia slúži nasledujúca veta: Veta 4 Nech α je presné a x k približné riešenie rovnice (5) ležiace v intervale (a, b). Ďalej nech f (x) m > 0 pre všetky hodnoty x a, b. Potom platí nasledujúci odhad: α x k f(x k) m. (8) Strana 20 z 48
21 Dôkaz. Podľa vety o strednej hodnote existuje taká hodnota c (a, b), že f(x k ) f(α) = f (c)(x k α), a po úprave x k α = f(x k) f(α). f (c) Nakoľko derivácia funkcie je oddelená od 0 a α je riešením rovnice (5) 11 dostávame: x k α = f(x k) f(α) f (c) f(x k) m, čo bolo treba dokázať. Teraz pár slov o algebraických rovniciach. Ako som už spomínal, v prípade algebraických rovníc máme k dispozícii aj ďalšie (pomerne silné) prostriedky. Veta 5 Algebraická rovnica nepárneho stupňa má aspoň jeden reálny koreň. Veta 6 [Descartes] Počet kladných koreňov algebraickej rovnice (6) je rovný počtu znamienkových zmien v postupnosti koeficientov a n, a n 1,..., a 1, a 0 (nulové koeficienty neuvažujeme), alebo o párny počet menší (včítane násobnosti koreňov). Strana 21 z f(α) = 0
22 Príklad 8 Každá z nasledujúcich troch rovníc má tie isté korene {1,2,3}. 1. x 3 6x x 6 = 0, 12 kde počet zmien je 3 (1,-6,11,-6), 2. x 5 8x x 3 34x x 6 = 0, 13 kde počet zmien je 5 (1,-8,24,-34,23,-6), 3. x 4 7x x 2 17x + 6 = 0, 14 kde počet zmien je 4 (1,-7,17,-17,6). Na základe Descartovej vety v prvom prípade môže byť 3 alebo 1 kladný koreň, v druhom prípade 5,3 alebo 1 kladný koreň a v poslednom prípade 4,2 alebo 0 kladných koreňov. A v skutočnosti stále máme 3 rôzne kladné korene. Poznámka 2 Počet záporných koreňov rovnice P n (x) = 0, kde P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 sa rovná počtu kladných koreňov rovnice Q n (x) = 0, kde Q n (x) = P n ( x). O niečo silnejšia je nasledujúca veta: Veta 7 [Budan-Fourier] Nech pre mnohočlen P n (x) platí, že a n 0. Nech je α < β a P n (α)p n (β) 0 a nech σ(x) je počet znamienkových zmien v postupnosti P n (x), P n(x),..., P n (n) (x). Potom počet reálnych koreňov rovnice P n (x) = 0, ktoré ležia v intervale α, β sa rovná σ(α) σ(β) alebo je o párny počet menší (včítane násobnosti). 12 každý z nich je prostý 13 1 je trojnásobný a ostatné sú prosté 14 1 je dvojnásobný a ostatné sú prosté Strana 22 z 48
23 Presnejší odhad počtu reálnych koreňov môžeme získať pomocou Sturmovej vety. V tejto vete podstatnú úlohui zohráva tzv. Sturmova postupnosť. Uvediem jednu konštrukciu takej postupnosti. 1. F 0 (x) = P n (x), 2. F 1 (x) = P n(x), teda F 0 (x) = Q 1 (x) F 1 (x) F 2 (x), teda F i 1 (x) = Q i (x) F i (x) F i+1 (x), teda F s 1 (x) = Q s (x) F s (x) a F s+1 (x) = 0. Z konštrukcie je zrejmé, že stupeň mnohočlenov monotónne klasá a F s (x) je deliteľom všetkých mnohočlenov danej postupnosti. Ak F s (x) je konštanta, potom všetky korene rovnice P n (x) = 0 sú prosté. Naviac ak F s (x) nie je konštantou, potom pre G i (x) = F i (x)/f s (x) rovnica G 0 (x) = 0 má tie isté korene ako rovnica F 0 (x) = 0 (čo je vlastne naša pôvodná rovnica) ale už teraz všetky korene sú prosté a {G i (x)} s i=0 je Sturmovou postupnosťou pre G 0 (x). 15 Ostatné členy postupnosti získame ako zvyšok po delení predchádzajúceho mnohočlena s nasledujúcim ale s opačným znakom. Strana 23 z 48
24 Veta 8 [Sturm] Nech P n (x) je mnohočlen s reálnymi koeficientami, {F i (x)} s i=0 je Sturmova postupnosť pre P n (x) a interval a, b je taký, že P n (a) P n (b) 0. Potom počet rôznych reálnych koreňov algebraickej rovnice (6) v intervale (a, b) sa rovná σ(a) σ(b), kde σ(c) je počet znamienkových zmien v postupnosti {F 0 (c), F 1 (c),..., F s (c)}. Ľahko sa môžeme presvedčiť o tom, že všetky korene rovnice (6) sa nachádzajú v intervale r m, r m, kde r m = 1 + max{ a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 }. (9) a n Poznámka 3 Z predchádzajúcej vety a z konštrukcie Sturmovej postupnosti vyplíva, že pri získavaní jednotlivých prvkov Sturmovej postupnosti môžeme ich krátiť ľubovoľným kladným výrazom (napr. kladnou konštantou môžeme násobiť aj deliť, deliť výrazom x atď. Príklad 9 Pomocou Sturmovej vety separujte korene rovnice Riešenie. 1. F 0 (x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 4 x 3 + 2x 2 + 3x + 4 = F 0(x) = 3x 2 + 4x + 3 = 3(x x + 1) teda môžeme zobrať F 1 (x) = x x + 1. Strana 24 z 48
25 3. Určíme F 2 (x) pomocou delenia mnohočlenov: F 0 (x) : F 1 (x). x x x + 4 : x x + 1 = x ( x x 2 + x ) 2 x x ( x x + 2 ) x = (x + 3) Dostali sme, že F 2 (x) = (x + 3) = x Určíme F 3 (x) pomocou delenia mnohočlenov: F 1 (x) : F 2 (x). x x + 1 : x 3 = x ( x x ) 5-3 x ( - 3 x - 5 ) 6 = 6 1 Dostali sme, že F 3 (x) = (1) = 1. Na základe vzťahu (9) dostávame, že x 1 + max{ 2, 3, 4 } 1 = = 5 a pomocou nasledujúcej tabuľky Strana 25 z 48
26 x F 0 (x) F 1 (x) F 2 (x) F 3 (x) σ(x) dostávame, že riešenie sa nachádza v intervale 2, 1, lebo σ( 2) σ( 1) = 2 1 = 1 a viac reálnych riešení daná rovnica nemá. a a σ( 5) σ( 2) = 2 2 = 0 a σ( 1) σ(5) = 1 1 = 0 Príklad 10 Pomocou Sturmovej vety separujte korene rovnice Riešenie. x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 7x + 2 = F 0 (x) = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 7x F 0(x) = 4x x x + 7 ( x x x + 7 4) a teda F 1 (x) = x x x F 0 (x) : F 1 (x) = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 7x + 2 : x x2 + 9x + 7 = 2 4 x a zvyšok je Q(x) = 4 16 x2 3x 3 = (x2 + 2x + 1) a F 2 (x) = Q(x) = [ (x 2 + 2x + 1)] = x 2 + 2x + 1. Strana 26 z F 1 (x) : F 2 (x) = x x x : x2 + 2x + 1 = x Príklad 11 Pomocou Sturmovej vety separujte korene rovnice x 5 + 5x 10 = 0. a zvyšok je 0.
27 Riešenie. 1. F 0 (x) = x 5 + 5x F 0(x) = 5x 4 +5 = 5 (x 4 + 1) ale x 4 +1 > 0 a preto F 1 (x) = 1 a už máme Sturmovu postupnosť hotovú. Na základe vzťahu (9) dostávame, že x 1 + max{ 5, 10 1 = = 11 a pomocou nasledujúcej tabuľky x x 5 + 5x σ(x) dostávame, že riešenie sa nachádza v intervale (1, 2), lebo σ(1) σ(2) = 1 0 = 1 a viac reálnych riešení daná rovnica nemá. 16 Strana 27 z Grafická metóda Približné hodnoty reálnych koreňov rovnice f(x) = 0 môžeme nájsť tzv. grafickou metódou ak funkciu f(x) dokážeme rozložiť na dve funkcie f(x) = g(x) h(x) tak, aby sme mohli ľahko znázorniť grafy funkcií y = g(x) a y = h(x). V tomto prípade riešením rovnice f(x) = 0 je vlastne priesečník grafov týchto dvoch pomocných funkcií. 16 σ( 11) σ(11) = 1 0 = 1 a vieme, že ten jediný koreň sa nachádza v intervale (1, 2)
28 3.5 3 y=h(x) y=g(x) α Obr. 2: Separácia koreňov grafickou metódou V praxi sa často používa táto metóda pri separácií koreňov. Príklad 12 Grafickou metódou separujte korene rovnice Strana 28 z 48 Riešenie. e x + x 2 = 0.
29 3 y = 2 x y = e x Obr. 3: Separácia koreňov Z obrázku 2 je vidno, že jediný koreň danej rovnice sa nachádza v intervale 0.2, Metóda polovičného delenia intervalu (bisekcia) Predpokladajme, že už sme odseparovali korene danej rovnice f(x) = 0 a nech interval a, b je jedným z nich. Teraz sa budeme venovať nájdeniu riešenia z Strana 29 z 48
30 tohto intervalu. V prípade, že f(a) f(b) < 0 môžeme definovať postupnosť intervalov a n, b n s nasledujúcimi vlastnosťami: 1. a 1, b 1 = a, b, 2. ďalší postup je nasledujúci - zoberieme stred intervalu c 1 = a 1+b 1 2, ak tento bod je riešením danej rovnice - proces ukončíme. V opačnom prípade f(c 1 ) 0. Potom buď platí, že f(a 1 ) f(c 1 ) < 0 a potom a 2, b 2 = a 1, c 1, alebo f(b 1 ) f(c 1 ) < 0 a potom a 2, b 2 = c 1, b Nech sme už definovali taký interval a n, b n, že f(a n ) f(b n ) < 0. Znova berieme stred intervalu c n = an+bn. Ak tento bod je riešením danej 2 rovnice - proces ukončíme. V opačnom prípade f(c n ) 0. Potom buď platí, že f(a n ) f(c n ) < 0 a potom a n+1, b n+1 = a n, c n, alebo f(b n ) f(c n ) < 0 a potom a n+1, b n+1 = c n, b n. Ak postupnosť {c n } má konečný počet členov, potom posledný je koreňom rovnice f(x) = 0. Ak je nekonečná, potom má konečnú limitu 17, čo je vlastne presným riešením našej rovnice. Všimnite si, že na každom kroku sa dĺžka intervalu zmenšila na polovičku a teda pre približné riešenie c n platí odhad kde α je presné riešenie. c n α < b a 2 n, (10) 17 lebo pravé konce (aj ľavé) tvoria ohraničené monotónne postupnosti Strana 30 z 48
31 Ak máme určiť približné riešenie s presnosťou ε > 0, potom ukončíme proces delenia intervalu až keď b n a n < 2ε a za približné riešenie zoberieme c n = an+bn. 2 Z nerovnice (10) (ak jej pravá strana bude menšia než ε) dostaneme, že n 1 ln ( ) b a ln 2 ε. Ak sú splnené podmienky, že funkcia je spojitá a na koncoch daného intervalu nadobúda rôzne znaky, potom táto metóda je vždy konvergentná. Príklad 13 Metódou polovičného delenia intervalu určte s presnosťou ε = 0.01 približné riešenie rovnice e x + x 2 = 0. Riešenie. Z riešenia príkladu 12 vieme, že daná rovnica má iba jeden koreň v intervale 0.2, 0.6. Na základe vzťahu (10), kde a = 0.2, b = 0.6 a ε = 0.01 dostávame, že n 1 ( ) b a ln 2 ln ε = 1 ln 2 ln ( ) = , 0.01 teda n = 6. V tomto prípade bude a 1 = a = 0.2, f(a 1 ) = e a 1 + a 1 2 = e = < 0, b 1 = b = 0.6, f(b 1 ) = e b 1 + b 1 2 = e = > 0 a funkcia je spojitá. Podmienky sú splnené a vieme, že šiesta iterácia už bude dobrá. Strana 31 z 48
32 k a k b + k c k = a k+b k f(c 2 k ) Metóda tetív (regula falsi) Nech rovnica f(x) = 0 má v intervale a, b jediný reálny koreň α. Predpokladáme ďalej, že funkcia f(x) je spojitá na tomto intervale a f(a) f(b) < 0. Pokiaľ sú splnené vyššie uvedené podmienky potom aj táto metóda je vždy konvergentná. Základná myšlienka tejto metódy je podobná myšlienke metódy polovičného delenia intervalu iba miesto stredu c k = a k+b k intervalu 2 a, b berieme priesečník tetivy s osou Ox. Postup riešenia je nasledujúci: Aproximujeme presné riešenie α priesečníkom x k priamky, ktorá je spojnicou bodov [a k, f(a k )] a [b k, f(b k )] (čo je vlastne tetiva vzhľadom na graf funkcie y = f(x)) s osou x. Táto priamka má rovnicu y f(a k ) = f(b k) f(a k ) b k a k (x a k ). Daný priesečník získame tak, že v tomto vzťahu položíme y = 0 a vyjadríme si x, čo bude vlastne x-ovou súradnicou priesečníka, t.j. približným riešením Strana 32 z 48
33 našej rovnice. Dostaneme, že x k = a kf(b k ) b k f(a k ). f(b k ) f(a k ) Ak nemáme ďalšie informácie o funkcii f(x), potom spôsob rozhodovania je identický so spôsobom rozhodovania metódy polovičného delenia intervalu. Keď f (x) a f (x) nemenia znamienko na intervale a, b, potom sa situácia zjednoduší, lebo môže nastať iba jeden z nasledujúcich prípadov: 1. f (x) > 0 a f (x) > 0, 2. f (x) > 0 a f (x) < 0, 3. f (x) < 0 a f (x) > 0, 4. f (x) < 0 a f (x) < 0. V týchto prípadoch zrejme odpadne rozhodovanie, že ktorým intervalom máme pokračovať vo výpočte, lebo jeden z bodov a alebo b musí byť takým, že f f > 0 a ten bod v procese výpočtu zostáva pevným. V tomto prípade najvhodnejšie je použiť ako kritérium zastavenia iteračného procesu odhad z vety 4 (nerovnosť (9)). Strana 33 z 48
34 f (x)>0, f (x)>0, b je pevný bod f (x)<0, f (x)>0, a je pevný bod a x 1 b a x 1 b f (x)>0, f (x)<0, a je pevný bod f (x)<0, f (x)<0, b je pevný bod Strana 34 z 48 a x 1 b a x 1 b Obr. 4: Možnosti pre metódu regula falsi.
35 Príklad 14 Metódou regula falsi určte s presnosťou ε = 0.01 približné riešenie rovnice e x + x 2 = 0. Riešenie. Z riešenia príkladu 12 vieme, že daná rovnica má iba jeden koreň v intervale 0.2, 0.6. Na základe vzťahu (10), kde a = 0.2, b = 0.6 a ε = 0.01 dostávame, že a 1 = a = 0.2, f(a 1 ) = e a 1 +a 1 2 = e = < 0, b 1 = b = 0.6, f(b 1 ) = e b 1 +b 1 2 = e = > 0 a funkcia je spojitá. Podmienky sú splnené a navyše vieme, že f (x) = e x +1 > 0, f (x) = e x > 0, f(b) f (b) > 0 a teda pevným bodom bude bod b. Poznamenávam, že z monotónnosti funkcie f(x) vyplýva, že m = min { f (x) } = f (a) = x a,b e a + 1 = e = f(c k ) m k a k b + k c k = a kf(b k ) b k f(a k ) f(b k ) f(a k ) f(c k ) < > ε < ε Dostali sme, že približné riešenie danej úlohy s požadovanou presnosťou je c 2 = Newtonova metóda (metóda dotyčníc) Najčastejšie používaný tvar tejto metódy: Nech rovnica f(x) = 0 má v intervale a, b jediný reálny koreň α. Ďalej nech funkcia f(x) je spojitá na tomto intervale, nech jej prvá a druhá derivácia nemenia znamienko na tomto intervale (a sú nenulové) a f(a) f(b) < 0. V tomto prípade jeden z koncových Strana 35 z 48
36 bodov musí byť taký, že funkčná hodnota a hodnota druhej derivácie majú v tomto bode rovnaké znamienko. Tento bod označíme znakom x 0. Ďalšie priblíženie určíme na základe nasledujúceho vzťahu: x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) (11) Základná myšlienka tejto metódy je, že z bodu (x 0, f(x 0 )) nakreslíme dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) a za ďalšie priblíženie zoberieme priesečník tejto dotyčnice s osou Ox. Táto dotyčnica má rovnicu y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). Daný priesečník získame tak, že v tomto vzťahu položíme y = 0 a vyjadríme si x, čo bude vlastne x-ovou súradnicou priesečníka, t.j. približným riešením našej rovnice. Dostaneme, že x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ). V tomto prípade najvhodnejšie je použiť ako kritérium zastavenia iteračného procesu odhad z vety 4 (nerovnosť (9)). Príklad 15 Newtonovou metódou určte s presnosťou ε = 0.01 približné riešenie rovnice e x + x 2 = 0. Strana 36 z 48
37 Riešenie. Z riešenia príkladu 12 vieme, že daná rovnica má iba jeden koreň v intervale 0.2, 0.6. Vieme, že funkcia je spojitá, f (x) = e x + 1 > 0, f (x) = e x > 0, f(b) f (b) > 0 a teda x 0 = b. Poznamenávam, že z monotónnosti funkcie f(x) vyplýva, že m = min x a,b { f (x) } = f (a) = e a + 1 = e = Potom x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) = 0.6 e e = = f(x k ) m k x k = x k 1 f(x k 1) f (x k 1 ) f(x k ) < ε Dostali sme, že hľadané približné riešenie danej úlohy je x 1 = Kombinovaná metóda Ako už sám názov naznačuje, táto metóda pozostáva z použitia dvoch metód. Z Newtonovej metódy a z metódy regula falsi. Teda pre použitie sa vyžaduje splnenie oboch týchto metód. Teda nech rovnica f(x) = 0 má v intervale a, b jediný reálny koreň α. Ďalej nech funkcia f(x) je spojitá a jej prvá a druhá derivácia nemenia znamienko na tomto intervale (a sú nenulové) a f(a) f(b) < 0. Potom pre jeden z koncových bodov platí, že funkčná hodnota a hodnota druhej derivácie majú to isté znamienko a v druhom - rôzne. Nech x 0 je ten bod v ktorom f(x 0 ) f (x 0 ) > 0 a pre y 0 platí, že f(y 0 ) f (y 0 ) < 0. Potom jednotlivé členy postupnosti aproximácií koreňa α, {x n } n=1, {y n } n=1 určíme pomocou nasledujúcich vzťahov: Strana 37 z 48
38 a y n+1 = y n x n+1 = x n f(x n), n = 0, 1,..., f (x n ) f(y n ) f(x n+1 ) f(y n ) (x n+1 y n ), n = 0, 1,.... Ľahko sa presvedčíme o tom, že α leží v intervale s koncovými bodmi x n a y n. Výpočet ukončíme keď f(xn) f(yn) < ε, alebo < ε, alebo x m m n y n < 2ε a potom približným riešením danej rovnice bude x n, y n, resp. xn+yn, podľa 2 toho, že ktorá z vyššie uvedených nerovností platí. Príklad 16 Kombinovou metódou určte s presnosťou ε = 10 5 približné riešenie rovnice e x + x 2 = 0. Riešenie. Z riešenia príkladu 12 vieme, že daná rovnica má iba jeden koreň v intervale 0.2, 0.6. Vieme, že funkcia je spojitá, f (x) = e x + 1 > 0, f (x) = e x > 0, f(b) f (b) > 0 a teda x 0 = b, f(a) f (a) < 0 a teda y 0 = a. Poznamenávam, že z monotónnosti funkcie f(x) vyplýva, že m = min x a,b { f (x) } = f (a) = e a + 1 = e = Potom x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) Nakoľko f(x 1) m = = 0.6 e e = = = > ε, musíme pokračovať. Vypočí ( ) ( ( ) tame y 1 = y 0 f(y 0) f(x 1 ) f(y 0 ) (x 1 y 0 ) = 0.2 Strana 38 z 48
39 0.2) = Nakoľko f(y 1) = = > ε a y m x 1 = = > 2ε musíme pokračovať vo výpočte. Máme x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 = = Nakoľko f(x 2) ) = = > ε, musíme pokračovať. Vypočítame m y 2 = y 1 f(y 1) (x ( ) f(x 2 ) f(y 1 ) 2 y 1 ) = ( ( ) ) = Nakoľko f(y 2) = = < ε výpočet m ukončíme a približným riešením bude y 2 = Prostá iteračná metóda Prostou iteračnou metódou riešiť úlohu (5) znamená nahradiť ju rovnicou tvaru x = ϕ(x), (12) na ktorej použijeme metódu postupných aproximácií. Banachova veta o pevnom bode 18 nám poskytne základné informácie o konvergencii metódy. Veta 9 Nech ϕ je funkciou jednej reálnej premennej (ϕ : R R, kder = (, )) a nech existuje také reálne číslo q 0, 1), že je splnená nasledujúca tzv. Lipschitzova podmienka 18 Podrobnejšie o tejto vete viď [3, Veta 2.2]. ϕ(v) ϕ(u) q v u (13) Strana 39 z 48
40 pre všetky u, v R. 19 Potom rovnica (12) má práve jeden reálny koreň α, t.j. α = ϕ(α). Iteračná postupnosť {x n } definovaná predpisom: x i+1 = ϕ(x i ), i = 0, 1,..., (14) je pre každé x 0 R konvergentná a jej limitou je α. Ďalej platí odhad: α x n = q 1 q x n x n 1. (15) Príklad 17 Prostou iteračnou metódou určte s presnosťou ε = 10 5 približné riešenie rovnice e x + x 2 = 0. Riešenie. Z riešenia príkladu 12 vieme, že daná rovnica má iba jeden koreň v intervale 0.2, 0.6. Daný tvar rovnice nám ponúka dva prirodzené možnosti vyjadrenia x z tejto rovnice. 1. x = 2 e x. V tomto prípade ϕ(x) = 2 e x a ϕ (x) = e x. Na intervale 0.2, 0.6 bude ϕ (x) = e x > 1, čo znamená, že konvergencia daného iteračného procesu nie je zaručená a teda tento predpis nám nevyhovuje. 2. e x = 2 x a teda x = ln(2 x). V tomto prípade ϕ(x) = ln(2 x) a ϕ (x) = 1. Na intervale 0.2, 0.6 bude 2 x ϕ (x) = 1 1 = 2 x Ak je ϕ diferencovateľná, potom stačí nasledujúca podmienka: ϕ (x) q < 1 pre všetky x R, resp. na separačnom intervale. Strana 40 z 48
41 < 0.72 = q, čo znamená, že konvergencia daného iteračného procesu je zaručená pre ľubovoľný bod x 0 0.2, 0.6 a teda tento predpis nám vyhovuje. Za x 0 si zvolme stred intervalu, t.j. x 0 = = a x 1 = ln(2 x 0 ) = ln(2 0.4) = Odhad chyby bude q x 1 q 1 x 0 = = Iteračné body a odhady sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. k x k = ϕ(x k 1 ) q 1 q k x k > ε > ε > ε > ε < ε Dostali sme, že hľadané približné riešenie danej úlohy je x 24 = Úlohy 1. Grafickou metódou separujte korene rovnice sin(x) 3 ln(x) = Pomocou Sturmovej vety separujte korene rovnice x 4 +2x 3 +x 2 +2x+1 = 0. Strana 41 z 48
42 3. Pomocou Sturmovej vety separujte korene rovnice 16x 4 64x x 2 48x + 9 = Metódou polovičného delenia intervalu (bisekcia) určte korene rovnice 5x 4 + x 2 + 9x + 2 = 0 s presnosťou ε = Metódou tetív (regula falsi) určte korene rovnice 6x 3 + 5x + 6 = 0 s presnosťou ε = Newtonovou metódou (metódou dotyčníc) určte korene rovnice x 4 + 8x 3 + 4x 2 7x 5 = 0 s presnosťou ε = Kombinovou metódou určte korene rovnice x 4 + 4x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0 s presnosťou ε = Prostou iteračnou metódou určte korene rovnice x 4 x 3 +3x 2 +x 9 = 0 s presnosťou ε = Strana 42 z 48
43 3. Sústavy lineárnych rovníc Iteračnou metódou riešte sústavu lineárnych rovníc s presnosťou ε = x + 10y z = 9 x + y + 8z = 2 10x + y z = 9 2. x + 8y z = 2 x y + 8z = 9 10x + y + z = 9 Strana 43 z 48
44 Riešte sústavu iteračnou metódou. Overte splnenie postačujúcich podmienok konvergencie metódy, urobte 5 krokov z daného štartovacieho bodu a odhadnite chybu x y + 7z = 23 8x + y 1.2z = 8 2.3x + 8y + 0.5z = x 0.8y + z = x + 9y 0.6z = 18 x + 0.5y + 9.8z = 34 (x 0, y 0, z 0 ) = ( 0.8, 1.2, 2.3) (x 0, y 0, z 0 ) = (2.5, 1.8, 3.4) Strana 44 z 48
45 4. Sústavy nelineárnych rovníc Vypočítajte iteračnou metódou určený koreň sústavy s presnosťou ε = x 2 + y 2 = 1 x 3 y = 0 (x > 0, y > 0) 2. x 2 + y 2 4y + 3 = 0 5x 0.5y + 1 = 0 (x > 0, y > 0) Riešte sústavu iteračnou metódou. Overte splnenie postačujúcich podmienok konvergencie metódy, urobte 5 krokov z daného štartovacieho bodu a odhadnite chybu. 15. y 0.5x 2 = 0.5 2x y3 6 = cos (x 1) + y = 0.8 x cos y = 1 (x > 0, y > 0), x 0 = 0.8, y 0 = 0 x 0 = 2, y 0 = 0.5 Strana 45 z 48 Newtonovou metódou vypočítajte určený koreň sústavy s presnosťou ε = y x sin(x) = 0 (x 3) 2 + y 2 = 1 (x > 0, y > 0)
46 21. xy 1 = 0 y (x 1) 3 = 0 (x < 0, y < 0) Strana 46 z 48
47 5. Výsledky 5.1. Nepresnosť numerického riešenia úloh 1. x = > , δ x = 0.1% > % a všetky sú platné, t.j. ich je 3 2. y = , δ y = 7.7% > %, ȳ = má iba jednu platnú číslicu, t.j. y = 3.3 ± u = , ū = má dve platné číslice, t.j. y = 2.3 ± 0.05 a δ u = 2.2% > %, 4. π V 2 f π a r V 2 f r = , teda π = = , teda r = Pozor! Jeden z málo prípadov, keď berieme za odhady menšie hodnoty (kvôli zaručenia výsledného odhadu pre objem) Riešenie nelineárnych rovníc 1. 1, π 2. F 0 (x) = x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x + 1, F 1 (x) = 2x 3 + 3x 2 + x + 1, F 2 (x) = x 2 5x 3, F 3 (x) = 9x 5, F 4 (x) = 1. Potom x 1 2, 1, lebo σ( 2) σ( 1) = 3 2 = 1 a x 2 1, 0, lebo σ( 1) σ(0) = 2 1 = Má viacnásobné korene. Po vydelení pôvodnej ľavej strany s posledným nenulovým zvyškom dostaneme F 0 (x) = 4x 2 8x + 3, F 1 (x) = x 1, F 2 (x) = 1. Potom x 1 0, 1, lebo σ(0) σ(1) = 2 1 = 1 a x 2 1, 2, lebo σ(1) σ(2) = 1 0 = x 1 = , x 2 = F 0 (x) = 4x 2 8x+3, F 1 (x) = x 1, F 2 (x) = 1. Potom x 1 0, 1, lebo σ(0) σ(1) = 2 1 = 1 a x 2 1, 2, lebo σ(1) σ(2) = 1 0 = x 1 = , x 2 = Strana 47 z 48
48 7. x 1 = , x 2 = x 1 = , x 2 = Sústavy lineárnych rovníc 1. {(1,1,0)} 2. {( 1, 0, 1)} 3. {x 5 = , y 5 = , z 5 = , } 4. {x 5 = , y 5 = , z 5 = , 10 4 } 5.4. Sústavy nelineárnych rovníc 1. {( , )} 2. {( , )} 3. {( ,0,976220)} 4. {( , )} Literatúra [1] Bahvalov N., Жidkov N., Kobelьnikov G.: Qislennye metody. FIZMATLIT, Moskva Peterburg, [2] Doboš J.:... [3] Pirč V., Buša J.: Numerické metódy. Elfa, Košice, [4] Verжbicki V., M.: Osnovy qislennyh metodov. Vysxa xkola, Moskva, Strana 48 z 48
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Strana 1 z 262 Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Strana
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika. Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER
Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika Ján BUŠA Viktor PIRČ Štefan SCHRÖTTER Košice 2006 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc. Doc. RNDr. Vladimír Penjak, CSc. Prvé vydanie Za
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8
Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. Zbierka riešených a neriešených úloh. z matematiky. pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach
Technická univerzita v Košiciach Zbierka riešených a neriešených úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na TU v Košiciach Martin Bača Ján Buša Andrea Feňovčíková Zuzana Kimáková Denisa Olekšáková Štefan
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότεραMetódy numerickej matematiky I
Úvodná prednáška Metódy numerickej matematiky I Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207 Úvodná prednáška OBSAH 1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie 2. Zdroje a typy chýb 3. Definície chýb 4. Zaokrúhľovanie,
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA A MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Stavebná fakulta Doc.Ing. Roman Vodička, PhD. RNDr. PavolPurcz, PhD.
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáša č. 2 Numericé metódy matematiy I Riešenie nelineárnych rovníc Prednáša č. 2 OBSAH 1. Opaovanie 2. Niečo z funcionálnej analýzy 3. Úvod 4. Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie 5.
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραChí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky
Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότερα4 Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti
Reálna unkcia reálnej premennej a jej vlastnosti Táto kapitola je venovaná štúdiu reálnej unkcie jednej reálnej premennej. Pojem unkcie patrí medzi základné pojmy v matematike. Je to vlastne matematický
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραFakulta matematiky, fyziky a informatiky. Univerzita Komenského. Contents I. Úvod do problematiky numeriky 2
NUMERICKÁ MATEMATIKA ročník Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Contents I Úvod do problematiky numeriky II Počítačová realizácia reálnych čísel 3 III Diferenčný počet 5 IV CORDIC
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραSpojitosť a limity trochu inak
Spojitosť a limity trochu inak Štefan Tkačik Abstrakt Spojitosť funkcie alebo oblastí je základným stavebným kameňom matematickej analýzy. Pochopenie jej podstaty uľahčí chápanie diferenciálneho a integrálneho
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c)
Prírodovedecká fakulta Univerzity P. J. Šafárika v Košiciach Božena Mihalíková, Ivan Mojsej Strana 1 z 43 DIFERENCÁLNE ROVNICE Matematická analýza (MAN 2c) 1 Obyčajné diferenciálne rovnice 3 1.1 Úlohy
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické nerovnice
Ma-Go--T List Goniometrické nerovnice RNDr. Marián Macko U: Problematiku, ktorej sa budeme venovať, začneme úlohou. Máme určiť definičný obor funkcie f zadanej predpisom = sin. Máš predstavu, s čím táto
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICKÁ OLYMPIÁDA
S MATEMATICÁ OLYMPIÁDA skmo.sk 2008/2009 58. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO. Nech n je kladné celé číslo a a,..., a k (k 2) sú navzájom rôzne celé čísla z množiny {,..., n} také, že n
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/28 Motivácia k metódam vol nej optimalizácie APLIKÁCIE p. 2/28 II 1. PRÍKLAD: Lineárna regresia - metóda najmenších štvorcov Na základe dostupných
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2013/2014 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/27
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE. Funkcia základné pojmy. Graf funkcie
FUNKCIE Funkcia základné pojm. Graf funkcie V prai sa často stretávame so skúmaním závislosti veľkosti niektorých veličín od veľkosti iných veličín, napríklad dĺžka kružnice l závisí od jej priemeru d
Διαβάστε περισσότεραPolynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice
Polynómy. Hornerova schéma. Algebrické rovnice Teoretické základy Definícia 1 Nech (koeficienty) a 0, a 1,..., a n sú komplexné čísla a nech n je nezáporné celé číslo. Výraz P n (x) = a n x n + a n 1 x
Διαβάστε περισσότεραMatematická analýza pre fyzikov IV.
119 Dodatok - klasické riešenia PDR 8.1. Parciálne diferenciálne rovnice Príklady parciálnych diferenciálnych rovníc: Lalpaceova rovnica u = 0 Helmholtzova rovnica u = λu n Lineárna transportná rovnica
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I ZBIERKA ÚLOH
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STAVEBNÁ FAKULTA ÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU V STAVEBNÍCTVE KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY RNDr. Pavol PURCZ, PhD. Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁ MATEMATIKA I ZBIERKA
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραNumerická lineárna algebra. Zobrazenie
Numerická lineárna algebra. Zobrazenie reálnych čísiel v počítači Ing. Gabriel Okša, CSc. Matematický ústav Slovenská akadémia vied Bratislava Stavebná fakulta STU G. Okša: Reálne čísla v počítači 1/16
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραFaculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava. NumDif
Numerické riešenie diferenciálnych rovníc Jela Babušíková Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University Bratislava Klasifikácia diferenciálnych rovníc: obyčajné - počiatočná a okrajová
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότερα1. Komplexné čísla. Doteraz ste pracovali s číslami, ktoré pochádzali z nasledovných množín:
1. Komplexné čísla Po preštudovaní danej kapitoly by ste mali byť shopní: poznať použitie a význam komplexnýh čísel v elektrikýh obvodoh rozumieť pojmom reálna a imaginárna časť, imaginárna jednotka, veľkosť,
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραprimitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2
Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej
Διαβάστε περισσότεραTECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA 1. Funkcia jednej premennej a jej diferenciálny počet
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA MATEMATIKA časťa Funkcia jednej premennej a jej diferenciáln počet Dušan Knežo, Miriam Andrejiová, Zuzana Kimáková 200 RECENZOVALI: prof. RNDr. Jozef
Διαβάστε περισσότεραSK skmo.sk. 2009/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc x2 y = z 1, y2 z = x 1, z2 x = y 1. (Radek Horenský) Riešenie.
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραSTREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY KATEDRA MATEMATIKY A TEORETICKEJ INFORMATIKY STREDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA pre študentov FEI TU v Košiciach Ján BUŠA Štefan SCHRÖTTER Košice
Διαβάστε περισσότερα7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry
Katedra matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická Univerzita v Košiciach Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová, Helena Myšková 005 RECENZOVALI: RNDr. Štefan Schrötter, CSc. RNDr.
Διαβάστε περισσότεραDerivácia funkcie. Pravidlá derivovania výrazov obsahujúcich operácie. Derivácie elementárnych funkcií
Derivácia funkcie Derivácia funkcie je jeden z najužitočnejších nástrojov, ktoré používame v matematike a jej aplikáciách v ďalších odboroch. Stručne zhrnieme základné informácie o deriváciách. Podrobnejšie
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότερα