4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE"

Transcript

1 4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri geometrice pot fi transformate în aşa fel încât să fie în poziţii particulare faţă de planele de proiecţie. Aducând suprafeţele acestor corpuri geometrice în plane paralele cu planele de proiecţie, acestea se vor proiecta în adevărata lor mărime fie în planele de proiecţie fie în plane paralele cu ele. Metodele prin care se pot realiza aceste transformări se referă la: -modificarea sistemului de referinţă în raport cu corpurile geometrice considerate (metoda schimbării planelor de proiecţie) sau -modificarea poziţiei corpurilor geometrice faţă de sistemul de referinţă adoptat (metoda rotaţiei, cu cazul particular - rabaterea) Metoda schimbării planelor de proiecţie Planele de proiecţie sunt schimbate astfel încât elementul proiectat să ocupe o poziţie particulară faţă de noul plan de proiecţie ( în general paralel cu acesta). Metoda schimbării planelor de proiecţie se poate efectua fie prin schimbarea unui plan de proiecţie (planul vertical [V] sau orizontal [H]), fie prin schimbarea succesivă a ambelor plane de proiecţie. Indiferent de schimbarea efectuată, în noul sistem de referinţă planele de proiecţie rămân ortogonale Metoda schimbării planului vertical de proiecţie [V] Prin schimbarea planului vertical de proiecţie rămân neschimbate proiecţiile orizontale şi cotele punctelor şi se modifică proiecţiile verticale. Noile proiecţii verticale se obţin măsurând pe liniile de ordine mărimea cotelor punctelor respective, faţă de noua axă (O 1 x 1 ). Axa de proiecţie (O 1 x ) = [H] [V 1 ] se notează în aşa fel încât un observator 1 situat în proiecţia orizontală a neschimbată, cu faţa către noul plan vertical [V 1 ], să poată citi axa (O 1 x 1 ) în acelaşi sens în care citea axa (Ox) (fig.4.1).

2 90 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme a. Schimbarea planului vertical de proiecţie, pentru un punct A. Se modifică axa de proiecţie (O 1 x 1 ), depărtarea y A1 şi proiecţia verticală a 1 a punctului A; rămân neschimbate cota z A şi proiecţia orizontală a (/Aa/ /a 1 a x1 /) (fig.4.1). Fig.4.1

3 Metodele geometriei descriptive 91 b. Schimbarea planului vertical de proiecţie, pentru o dreaptă oarecare. Noul plan vertical de proiecţie [V 1 ] se aşează paralel cu dreapta (fig.4.2). Noua axă de proiecţie (O 1 x 1 ) va fi într-o poziţie paralelă cu proiecţia orizontală (d) a dreptei, proiecţie rămasă neschimbată.astfel dreapta (D) este transformată într-o frontală. Se obţine noua proiecţie verticală a dreptei (a 1 b ) şi deci: /a b / /AB / Fig.4.2

4 92 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme c. Schimbarea planului vertical de proiecţie, pentru un plan. Noul plan vertical de proiecţie [V 1 ] se aşează perpendicular pe planul [P] (fig.4.3). Noua axă de proiecţie (O 1 x 1 ) se trasează perpendicular pe urma orizontală a planului (Ph). Intersecţia axei (O 1 x ) cu urma (Ph ) determină punctul Px 1 ;cel de al doilea 1 punct al urmei verticale (Pv 1 ) este punctul M(m,m ), situat pe vechea urmă verticală (Pv ) a planului. Pentru simplificare punctul M(m,m ) se consideră a fi punctul comun planelor [P], [V] şi [V 1 ] şi proiecţia sa orizontală m = (Ox) (O 1 x 1 ). Prin schimbarea de plan a punctului M se determină m 1, cel de al doilea punct al urmei verticale (Pv 1 ). Fig.4.3

5 Metodele geometriei descriptive Metoda schimbării planului orizontal de proiecţie [H] Prin schimbarea planului orizontal de proiecţie rămân neschimbate proiecţiile verticale şi depărtările punctelor şi se modifică proiecţiile orizontale. Noile proiecţii orizontale se obţin măsurând pe liniile de ordine mărimea depărtărilor punctelor respective, faţă de noua axă (O 1 x 1 ). a. Schimbarea planului orizontal de proiecţie, pentru un punct A. Se modifică proiecţia orizontală a a punctului, axa de proiecţie şi cota punctului. Rămân neschimbate proiecţia verticală a şi depărtarea punctului.(/aa / /a 1 ax 1 /) (fig.4.4). Fig.4.4

6 94 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme b. Schimbarea planului orizontal de proiecţie, pentru o dreaptă oarecare. Noul plan orizontal de proiecţie [H 1 ] se aşează paralel cu dreapta (fig.4.5). Noua axă de proiecţie (O 1 x 1 ) se aşează într-o poziţie paralelă cu proiecţia verticală (d ) a dreptei, proiecţie rămasă neschimbată.astfel dreapta (D) este transformată în orizontală.se obţine noua proiecţie orizontală (a 1 b 1 ) a dreptei şi deci: /a 1 b 1 / /AB /. Fig.4.5 Fig.4.6 c. Schimbarea planului orizontal de proiecţie, pentru un plan. Noul plan orizontal de proiecţie [H 1 ] se aşează perpendicular pe planul [P] (fig.4.6). Noua axă de proiecţie (O 1 x 1 ) se trasează perpendicular pe urma verticală a planului (Pv). Intersecţia axei (O 1 x 1 ) cu urma (Pv ) determină punctul Px 1 ;cel de al doilea punct al urmei verticale (Ph 1 ) este punctul M(m,m ), situat pe vechea urmă orizontală(ph ) a planului. Pentru simplificare punctul M(m,m ) se consideră a fi punctul comun planelor [P], [V] şi [H 1 ] ( m = (Ox) ( O 1 x 1 )).Prin schimbarea de plan a punctului M se determină m 1 cel de al doilea punct al urmei orizontale (Ph 1 ).

7 Metodele geometriei descriptive Metoda rotaţiei Prin această metodă corpurile geometrice din spaţiu sunt aduse în poziţii particulare faţă de planele de proiecţie,prin rotirea acestora în jurul unei axe fixe perpendiculare pe unul din planele de proiecţie. În funcţie de axa de rotaţie deosebim rotaţia de nivel şi rotaţia frontală Rotaţia de nivel La rotaţia de nivel axa de rotaţie este o dreaptă de verticală iar punctele se rotesc în plane de nivel. Proiecţiile orizontale descriu arce de cerc cu centrul în Ω (ω, ω ) pe axa de rotaţie (Z) iar proiecţiile verticale se deplasează paralel cu axa (Ox) până în dreptul noilor proiecţii orizontale. a. Rotaţia de nivel pentru un punct A(a, a ), cu un unghi α în jurul unei axe (Z)(z, z ) perpendiculară pe [H] (fig.4.7). Fig.4.7

8 96 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Punctul A se roteşte în planul de nivel [N] (Z), având cota egală cu cota punctului. Axa (Z)(z, z ) intersectează planul [N] în punctul Ω (ω,ω ) = (Z) [N] care este centrul de rotaţie. Raza de rotaţie R este distanţa de la punctul A la axa (Z); R= /Ω A/. După rotaţie proiecţia orizontală a punctului A, a se deplasează pe un cerc ajungând în a 1 iar proiecţia verticală a se deplasează în planul [V], pe urma [Nv ] a planului de nivel, în poziţia a 1. Punctul A 1 (a 1,a 1 ') este rotitul punctului A(a, a ) faţă de axa verticală (Z). b. Rotaţia de nivel pentru o dreaptă oarecare (D)(d, d ) în jurul unei axe verticale (Z)(z, z ) permite transformarea acesteia într-o dreaptă frontală (fig.4.8). Fig.4.8

9 Metodele geometriei descriptive 97 Pentru simplificare, axa (Z) s-a considerat concurentă cu dreapta (D) în punctul B(b,b ), care va fi propriul său rotit, adică B(b, b )=B 1 (b,b 1 ). Punctul 1 A(a, a ) se roteşte în jurul axei, în planul de nivel [N], până când depărtarea lui va fi egală cu depărtarea punctului B(b, b ). Raza de rotaţie este R= /Ω A/, Ω = (Z) [N], iar rotaţia punctului A se efectuează cu unghiul γ ( fig. 4.8). Dreapta (D )(d,d ') determinată de punctele A (a,a ') şi B (b,b 1 ') este o frontală, segmentul /a',b 1 ' / reprezentând adevărata mărime a segmentului 1 /AB / (D), iar α - unghiul real făcut de dreapta (D) cu planul [H]. c..rotaţia de nivel pentru un plan [P] în jurul unei axe verticale (Z)(z, z ) permite transformarea lui într-un plan de capăt (fig. 4.9). Fig.4.9

10 98 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Axa (Z) intersectează planul [P] în punctul Ω care este centrul de rotaţie; Centrul de rotaţie al urmei (Ph ) este punctul ω =(z). Fie /ω m/ perpendiculara comună a axei de rotaţie (Z) şi a urmei (Ph ). Se roteşte segmental /ω m/, în jurul lui ω, cu un unghi α, până când acesta devine paralel cu axa (Ox), iar punctul m se deplasează în m 1. Noua urmă orizontală a planului rotit [Ph 1 ] este tangenta în m 1 la cercul cu centrul în ω şi raza /ω m/, perpendiculară pe axa (Ox) în Px. Punctul Px 1 1 aparţine şi urmei verticale (Pv 1 ). Cel de al doilea punct necesar pentru trasarea urmei verticale a planului (Pv 1 ) se obţine utilizând o dreaptă orizontală (D) [P] care trece prin punctul Ω. Prin rotaţia ei de nivel în jurul axei (Z) se obţine dreapta de capăt (D )(d d 1 ' ) a cărei urma verticală v (Pv ). După rotaţie v se deplasează în punctul 1 1 v 1 = ω, punct prin care trece urma verticală a planului [Ph ] Rotaţia de front. La rotaţia de front axa de rotaţie este o dreaptă de capăt iar punctele se rotesc în plane frontale. Proiecţiile verticale descriu arce de cerc cu centrul în Ω(ω,ω ) pe axa de rotaţie (Y) iar proiecţiile orizontale se deplasează paralel cu axa (Ox) până în dreptul noilor proiecţii verticale. a. Rotaţia de front pentru un punct B(b, b ), cu un unghi b în jurul unei axe (Y)(y, y ) perpendiculară pe [V] (fig.4.10). Fig.4.10

11 Metodele geometriei descriptive 99 Punctul B se roteşte în planul frontal [F] (Y), având depărtarea egală cu depărtarea punctului. Axa (Y)(y, y ) intersectează planul [F] în punctul Ω (ω,ω ) = (Y) [F] care este centrul de rotaţie. Raza de rotaţie R este distanţa de la punctul B la axa (Y); R= /Ω B/. După rotaţie proiecţia verticală a punctului B, b se deplasează pe un cerc ajungând în b 1 iar proiecţia orizontală b se deplasează în planul [H], pe urma [Fh ] a planului frontal, în poziţia b 1. Punctul B 1 (b 1, b 1 ') este rotitul punctului B(b, b ) faţă de axa de capăt (Y). b. Rotaţia de front pentru o dreaptă oarecare (D)(d, d ) în jurul unei axe de capăt (Y)(y, y ) permite transformarea acesteia într-o dreaptă orizontală (fig.4.11). Fig.4.11

12 100 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Pentru simplificare, axa (Y) s-a considerat concurentă cu dreapta (D) în punctul B(b,b ), care va fi propriul său rotit, adică B(b,b )=B 1 (b,b 1 ). Punctul 1 A(a, a ) se roteşte în jurul axei, în planul frontal [F], până când cota lui va fi egală cu cota punctului B(b,b ). Raza de rotaţie este R= /Ω A/, Ω =(Y) [F], iar rotaţia punctului A se efectuează cu unghiul γ ( fig. 4.11). Dreapta (D )(d, d ') determinată de punctele A (a, a ') şi B (b, b 1 ') este o orizontală, segmentul /a,b 1 / reprezentând adevărata mărime a segmentului 1 /AB / (D), iar b - unghiul real făcut de dreapta (D) cu planul [V]. c..rotaţia de front pentru un plan [P] în jurul unei axe de capăt (Y)(y,y ) permite transformarea lui într-un plan vertical (fig. 4.12). Fig.4.12

13 Metodele geometriei descriptive 101 Axa (Y) intersectează planul [P] în punctul Ω care este centrul de rotaţie; Centrul de rotaţie al urmei (Pv ) este punctul ω =(y ). Fie /ω m / perpendiculara comună a axei de rotaţie (Y) şi a urmei (Pv ). Se roteşte segmental /ω m /, în jurul lui ω, cu un unghi α, până când acesta devine paralel cu axa (Ox), iar punctul m se deplasează în m 1. Noua urmă verticală a planului rotit [Pv 1 ] este tangenta în m 1 la cercul cu centrul în ω şi raza /ω m /, perpendiculară pe axa (Ox) în Px. Punctul 1 Px aparţine şi urmei orizontale (Ph 1 ). Cel de al doilea punct necesar pentru trasarea 1 urmei orizontale a planului (Ph 1 ) se obţine utilizând o dreaptă frontală(f) [P] care trece prin punctul Ω. Prin rotaţia ei de front în jurul axei (Y) se obţine dreapta verticală (F 1 )(f 1, f 1 ' ).a cărei urmă orizontală h 1 (Ph 1 ). După rotaţie h se deplasează în punctul h 1 = ω, punct prin care trece urma orizontală a planului [Ph ] Metoda rabaterii Rabaterea este un caz particular al rotaţiei în care axa de rotaţie este chiar urma planului pe care se face rabaterea. În cazul în care rabaterea se efectuează întrun plan paralel cu unul din planele de proiecţie axa de rabatere este dreapta de intersecţie dintre planul rabătut şi planul pe care se face rabaterea. Cercurile descrise prin rotaţia diferitelor puncte în timpul rabaterii sunt cuprinse în plane perpendiculare pe axa de rabatere. Rabaterea unui plan [P] se poate efectua în două sensuri; în epură, se preferă acel sens de rabatere care asigură o claritate mai mare a construcţiei grafice. După rabatere, diversele elemente geometrice (segmente de dreaptă, unghiuri, figuri plane), conţinute în planul rabătut, apar în adevărata lor mărime. Pe o figură rabătută, soluţiile problemelor propuse se pot obţine utilizând axiomele şi teoremele geometriei plane Rabaterea în planul orizontal [H]. Rabaterea planului [P] se efectuează pe planul orizontal de proiecţie [H] utilizând ca axă de rabatere urma orizontală (Ph ) (Fig.4.13). Pentru a construi planul [Po ], planul rabătut al planului [P] în planul orizontal de proiecţie [H], este necesar a fi cunoscut un al doilea element care contribuie la definirea acestui plan. Acesta va fi punctul V(v,v ) (Pv ). În timpul rabaterii, punctul V se roteşte în planul [Q] (Ph ) şi descrie un arc de cerc cu raza R = //ω V// şi centrul ω = (Ph ) (Qh ). După rabatere, punctul V ajunge în poziţia Vo [H] (fig. 4.13, a). Astfel, planul [Po ] este definit de urma orizontală (Ph ) şi punctul Vo. Urma verticală (Pvo ) a planului rabătut [Po ] este definită de punctele Px şi Vo.

14 102 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Raza de rabatere R este ipotenuza triunghiului dreptunghic Δ v 1 vω, dreptunghic în v; acest triunghi poartă denumirea de triunghi de poziţie al punctului V. Raza de rabatere /ω v / a punctului V, având o poziţie oarecare faţă de planele de proiecţie, nu se proiectează în adevărata mărime pe nici unul din aceste plane. De aceea, pentru a construi în epură punctul Vo, triunghiul de poziţie al punctului V se roteşte în jurul catetei /ω v/ până când se suprapune cu planul orizontal de proiecţie [H]. Fig.4.13

15 Metodele geometriei descriptive 103 După rotaţie, Δv vω devine Δ v 1 v ω, conţinut în planul [H]. În epură Δ v 1 vω se construieşte ştiind că /vω / [H], / v 1 v / / v v / şi unghiul din v este de 90o. Arcul de cerc având centrul în ω şi raza /ω v 1 / intersectează în Vo urma orizontală (Qh) a planului vertical [Q] în care se roteşte punctul V. Punctele Px şi Vo definesc urma verticală (Pvo ) a planului [P], rabătut în planul [H]. Punctul Vo poate fi determinat şi prin rotirea triunghiului dreptunghic Δ v 1 vω, dreptunghic în ω, în jurul catetei /Pxω / şi aşezarea acestuia în planul orizontal de proiecţie [H] (fig.4.13, a). În epură (fig. 4.14), cateta /Pxω / şi ipotenuza /Pxv / ale Δ v ω Px sunt determinate în adevărata mărime. Ca urmare, punctul Vo este determinat, în epură, prin intersecţia arcului de cerc cu centrul Px şi raza /P x v / cu urma (Q h )( /vw/ (Ph ) a planului [Q] în care se roteşte punctul V (Pv ). Punctele Px şi Vo definesc urma verticală (Pvo ) a planului [P]. Fig Rabaterea în planul vertical [V]. Rabaterea planului [P] se efectuează pe planul vertical de proiecţie [V] utilizând ca axă de rabatere urma verticală (Pv ) (Fig.4.15). Pentru a construi planul [Po ], planul rabătut al planului [P] în planul vertical de proiecţie [V], este necesar a fi cunoscut un al doilea element care contribuie la definirea acestui plan. Acesta va fi punctul H(h,h ) (Ph ).

16 104 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme În timpul rabaterii, punctul H se roteşte în planul [Q] (Pv ) şi descrie un arc de cerc cu raza R = //ω H// şi centrul ω = (Pv ) (Qv ). După rabatere, punctul H ajunge în poziţia Ho [V]. Astfel, planul [Po ] este definit de urma verticală (Pv ) şi punctul Ho. Urma orizontală (Pho ) a planului rabătut [Po ] este definită de punctele Px şi Ho. Raza de rabatere R= /ω h1 / este ipotenuza triunghiului de poziţie Δ h h 1 ω,dreptunghic în h ; centrul de rabatere este ω. Arcul de cerc cu centrul în ω. şi raza /ω h 1 / intersectează urma verticală (Qv ) a planului de capăt [Q] în care se roteşte punctul [H] în Ho. Punctele Px şi Ho definesc urma orizontală (Pho ) a planului [P], rabătut în planul vertical de proiecţie [V]. Fig.4.15 Fig.4.16 O altă soluţie pentru rabaterea planului oarecare [P] (Ph, Pv ) pe planul vertical de proiecţie [V] este prezentată în fig Această soluţie des utilizată se bazează pe un raţionament asemănător celui prezentat în fig Considerându-se punctul H(h, h ) (Ph ), după rabaterea planului [P] în jurul urmei (Pv ) se obţine punctul Ho [V] cu proprietatea /Px, Ho / /Px, H/. Ca urmare, pentru a obţine în epură punctul Ho, se construieşte /h ω (Pv ), /h ω / reprezentând urma verticală (Qv ) a planului [Q] în care are loc rotaţia punctului H; arcul de cerc cu centrul în Px şi raza /Pxh / intersectează pe (Qv ) în punctul Ho. Punctele Px şi Ho definesc urma orizontală rabătută (Pho ) a planului [P] în planul [V].

17 Metodele geometriei descriptive Rabaterea planelor proiectante pe planul [H]. Planele proiectante având urmele lor perpendiculare între ele, după rabatere aceste urme rămân tot perpendiculare. In fig.4.17 este prezentată rabaterea unui plan de capăt [P] pe planul [H], şi în fig.4.18, rabaterea unui plan vertical [P] pe planul [H]. În ambele cazuri axa de rabatere este (Ph). Fig.4.17 Fig.4.18

18 106 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Rabaterea planelor proiectante pe planul [V] In fig.4.19 este prezentată rabaterea unui plan de capăt [P] pe planul [V], şi în fig.4.20, rabaterea unui plan vertical [P] pe planul [V]. În ambele cazuri axa de rabatere este (Pv). Fig.4.19 Fig.4.20

19 Metodele geometriei descriptive Ridicarea rabaterii. Ridicarea rabaterii este operaţia inversă a rabaterii. Ea permite determinarea proiecţiilor unui punct, dreaptă sau figură plană, într-un plan oarecare [P], dându-se adevărata lor mărime în planul rabătut într-unul din planele de proiecţie. În fig.4.21 se prezintă determinarea prin ridicarea rabaterii a proiecţiilor unui triunghi echilateral [ABC] conţinut într-un plan oarecare [P]. Fig.4.21 Triunghiul echilateral [AoBoCo] a fost construit în planul [P] rabătut în planul orizontal de proiecţiei [H]. Pentru ridicarea rabaterii, vârfurile triunghiului Ao,Bo,Co, se situează pe orizontalele planului şi anume: A (O 1 ), B (O 2 ), C (O 3 ). În planul rabătut aceste puncte se vor situa astfel: Ao (O 1 o), Bo (O 2 o), Co (O 3 o); se determină urma verticală (Pv ) a planului [P] şi, proiecţiile orizontale şi verticale ale acestor orizontale. Cu perpendiculare pe axa de rabatere (Ph ), ridicate din Ao, Bo şi Co, se determină proiecţiile orizontale ale vârfurilor triunghiului :a,b,c iar cu linii de ordine, ridicate din aceste proiecţii orizontale, se determină, pe proiecţiile verticale ale orizontalelor corespunzătoare, proiecţiile verticale ale vârfurilor triunghiului: a, b, c.

20 108 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme 4.2. LUCRĂRI DE LABORATOR Schimbarea de plan pentru o dreaptă Enunţ: Fie dreapta (AB). Prin schimbarea planelor de proiecţie să se transforme dreapta oarecare (AB) într-o dreaptă (D) (tabelul 4.1). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 4.22); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.4.22) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor A şi B (tabelul 4.1) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : A(85,20,15) I 1, B(35,40,40) I Dreapta (D) o dreaptă de capăt (tabelul 4.1) Se reprezintă epurele punctelor A şi B conform modelului(fig.4.22) Pentru a transforma o dreaptă oarecare într-o dreaptă perpendiculară pe unul din planele de proiecţie sunt necesare două schimbări de plane In cazul din exemplul indicat prima schimbare este a planului [H] astfel încât dreapta oarecare (AB) să se transforme într-o dreaptă orizontală, ceea ce înseamnă că noua axă de proiecţie să fie paralelă cu proiecţia verticală a dreptei (O 1 x 1 ) (a b ) Se măsoară depărtările punctelor A şi B,respectiv y A şi y B, pe noile linii de ordine faţă de noua axă de proiecţie (O 1 x 1 ) obţinându-se astfel noile proiecţii orizontale a 1 şi b 1..Segmentul a 1 b 1 A 1 B 1 va fi în adevărată mărime deoarece aparţine unei orizontale A doua schimbare este a planului [V] prin care dreapta orizontală (A 1 B 1 ) se va transforma într-o dreaptă de capăt (A 2 B 2 ). Această transformare se realizează prin poziţionarea axei (O 2 x 2 ) perpendiculară pe proiecţia orizontală a orizontalei (A 1 B 1 ) Se observă că punctele A 1 şi B 1 au aceiaşi cotă (z A z B ) care se va măsura pe noua linie de ordine faţă de axa de proiecţie (O 2 x 2 ). Deci proiecţia verticală a dreptei de capăt (A 2 B 2 ) (D) va fi în punctul a 2 b Se completează indicatorul conform modelului (fig.4.22).

21 Metodele geometriei descriptive 109 Tabelul 4.1 Varianta Punctul x A y z x B y z (D) frontală orizontală Varianta Punctul x A y z x B y z (D) de capăt verticală Varianta Punctul x A y z x B y z (D) orizontală de capăt

22 110 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Fig.4.22

23 Metodele geometriei descriptive Rotaţia unui plan [P] Enunţ: Prin metoda rotaţiei să se transforme planul oarecare [P] (Px, B, C) într-un plan [P 2 ] ( tabelul 4.2). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ).( fig 4.23); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor Px,B şi C (tabelul 4.2) şi să se precizeze poziţia lor în spaţiu: Px(100,0,0) ( Ox); B (0,60,0) (Oy); C(0,0,70) (Oz); 1.5. Planul [P 2 ]-plan de nivel ( tabelul 4.2) Se reprezintă epurele punctelor Px,B şi C conform modelului(fig.4.23) Se reprezintă urmele planului [P],(Pv) şi (Ph), definit de punctele Px, B şi C Printr-o rotaţie de nivel, în jurul axei verticale (Z), se transformă planul [P] într-un plan de capăt [P 1 ], utilizând o orizontală (O) a planului [P]concurentă cu axa de rotaţie în punctul M. Se construieşte perpendiculara din M pe urma orizontală a planului ma (Ph); punctul a va fi piciorul perpendicularei construite. Această perpendiculară se va roti până când proiecţia ei ma va fi paralelă cu (Ox), deci a ajunge a 1. Urma orizontală (Ph 1 ) va fi perpendiculară în a 1 pe ma 1 şi deci şi pe (Ox). Urma verticală (Pv 1 )a planului de capăt va fi definită de m şi Px 1 = a Printr-o nouă rotaţie frontală,în jurul unei axe de capăt (Z1) se transformă planul de capăt [P1] într-un plan de nivel [P2] având urma verticală (Pv2). Se construieşte proiecţia verticală a perpendicularei din z 1 (proiecţia verticală a axei de rotaţie Z 1 )pe planul de capăt [P1] : (z 1 b 1 ) (Pv 1 ). Proiecţia verticală b 1 a piciorului perpendicularei din z 1 pe (Pv 1 ) se roteşte până când z 1 b 1 ajunge perpendicular pe (Ox) şi deci (Pv 2 ) (Ox) ceea ce înseamnă că planul [P2] este un plan de nivel Se trasează urma verticală (Pv2) a planului de nivel [P2] paralelă cu (Ox) Se completează indicatorul conform modelului (fig.4.23).

24 112 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Tabelul 4.2 Varianta Punctul x Px y x B y x C y z [P2] de nivel frontal Varianta Punctul x Px y x B y x C y z [P2] vertical de capăt Varianta Punctul x Px y x B y x C y z [P2] frontal nivel

25 Metodele geometriei descriptive 113 Fig.4.23

26 114 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Determinarea adevăratei mărimi a unui Δ[ABC] prin rabatere. Enunţ: Să se determine adevărata mărime a unui Δ[ABC] prin metoda rabaterii într-un plan de proiecţie (tabelul 4.2). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 4.24); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.4.21) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor A,B şi C (tabelul 4.3) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : A(70,20,15) I1; B(10,55,15) I1 ; C(40,20,35) I Planul în care se face rabaterea este [H] Se reprezintă epurele punctelor A, B şi C conform modelului(fig.4.24) Se reprezintă proiecţiile dreptelor (AB) şi (AC) şi se determină urmele lor V şi H Se reprezintă urmele planului [P],(Pv) şi (Ph) definit de dreptele concurente (AB) şi (AC) Se rabate planul [P] în planul [H] şi împreună cu el şi Δ[ABC]. Axa de rabatere va fi urma orizontală a planului (Ph). Pentru a rabate urma verticală a lui (Pv)se utilizează v urma verticală a orizontalei pe care sunt situate punctele B şi C.Din v se construieşte o perpendiculară pe axa de rabatere (Ph) până în Vo, la intersecţia cu arcul de cerc cu centrul în Px şi raza Pxv. Urma verticală (Pv) a planului [P] rabătut în planul [H] va fi definită de punctele Px şi Vo.Orizontala rabătută (Oo) în planul [H] va fi paralelă cu axa de rabatere (Ph) şi va trece prin Vo. Odată cu orizontala se rabat şi punctele A şi B.Punctele Ao şi Bo se obtin ducând perpendiculare din a şi b până la intersecţia cu orizontala (Oo) Punctul Co se obţine construind triunghiul de poziţie astfel: prin c se duce o paralelă la axa de rabatere pe care se măsoară un segment egal cu cota punctului C ( cn =z c ) ;ipotenuza acestui triunghi va fi definită de punctele m şi n, unde m este piciorul perpendicularei din c pe axa de rabatere.cu centru în m şi raza de rabatere mn se trasează un arc de cerc până la intersecţia cu perpendiculara din c pe axa de rabarere în punctul Co Triunghiul AoBoCo fiind rabătut în planul [H] va fi în adevărata sa mărime Se completează indicatorul conform modelului (fig.4.24).

27 Metodele geometriei descriptive 115 Tabelul 4.3 Varianta punctul x A y z x B y z x C y z Rabatere în planul [H] Varianta punctul x A y z x B y z x C y z Rabatere în planul [V] Varianta punctul x A y z x B y z x C y z Rabatere în planul [H]

28 116 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Fig.4.24

29 Metodele geometriei descriptive Prismă dreptă cu baza într-un plan [P]. Enunţ: Să se construiască un cub [ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ] cu baza un pătrat [ABCD] [P] (Px, Py, T); latura cubului este AB =30 mm (tabelul 4.4). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 4.25); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.4.25) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor Px,Py,T şi A (tabelul 4.4) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : Px(110,0,0) (Ox); Py(0,85,0) (Oy) ; T(30,0,85) [V]; A(70,15,z A ) I In varianta dată se utilizează ridicarea rabaterii din planul [H] Se reprezintă epurele punctelor Px,Py, T şi A conform modelului (fig.4.25) Se reprezintă urmele planului [P],(Pv) şi (Ph) definit de punctele Px,Py şi T Punctul A din plan se construieşte cunoscându-se teorema potrivit căreia un punct aparţine unui plan dacă aparţine unei drepte din plan. De aceea cunoscându-se abscisa şi cota punctului A se va construi o dreaptă în plan care să conţină proiecţia verticală a. Cel mai simplu este să se construiască o orizontală a planului [P] care trece prin punctul A Proiecţia verticală a orizontalei (o ) este paralelă cu (Ox),conţine a şi intersectează (Pv) în v ; proiecţia orizontală a orizontalei (o) va trece prin v şi va fi paralelă cu (Ph); pe ea se determină cu linie de ordine a proiecţia orizontală a punctului A Pentru a construi baza [ABCD] a cubului se rabate planul [P] în planul [H] având ca axă de rabatere (Ph)( vezi lucrarea 4.2.3); pe orizontala rabătută se construieşte latura AoBo =30 mm În planul rabătut se construieşte pătratul [AoBoCoDo] a cărui latură CoDo se va afla pe o altă orizontală a planului (Oo 1 ) Se ridică în plan orizontala (O 1 ) astfel: prin Vo 1 se trasează un arc de cerc cu centrul în Px şi raza Px,Vo 1 până intersectează (Pv) în v 1, apoi se trasează proiecţiile orizontalei (O 1 ) în planul [P] la fel ca şi la orizontala (O) Proiecţiile orizontale a,b,c,d se vor afla pe proiecţiile orizontale ale orizontalelor corespunzătoare (o) şi (o 1 ); cu linii de ordine se obţin şi proiecţiile lor verticale a, b, c, d.

30 118 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Latura cubului AA 1 se afla pe o perpendiculara (MA) ridicată din A pe planul [P], (m a ) (Pv) şi (ma) (Ph); pentru a măsura un segment de mărime dată se va transforma dreapta (MA) într-o dreaptă orizontală printr-o rotaţie frontală având ca axă o dreaptă de capăt ce trece prin A. Pe proiecţia orizontală a dreaptei rotite (am 1 ) se va măsura segmentul a a 11 =30 mm ; prin proiecţia orizontală rotită a punctului a 11 se va aduce o paralelă la (Ox) până la intersecţia cu perpendiculara (MA) pentru a determina proiecţia orizontală nerotită a 1 a punctului A 1. Proiecţia verticală a 1 a punctului A 1 se determină cu linie de ordine dusă pe (a m ) Cunoscându-se baza cubului [ABCD] şi înălţimea sa AA 1 celelalte vârfuri B 1, C 1, D 1, se determină ducând paralele la laturile cunoscute, ştiindu-se că proiecţia ortogonală conservă paralelismul laturilor Se completează indicatorul conform modelului (fig.4.25). Tabelul 4.4 Varianta Punctul x Px y x Py y x T y z x A z Ridicarea rabateriidin [H]

31 Metodele geometriei descriptive 119 Tabelul 4.4 continuare Varianta Punctul x Px y x Py y x T y z x A y Ridicarea rabateriidin [V] Varianta Punctul x Px y x Py y x T y z x A z Ridicarea rabateriidin [H]

32 120 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Fig.4.25

33 Metodele geometriei descriptive TEME Distanţa dintre două plane paralele. Enunţ: Să se determine adevărata mărime a distanţei dintre planele paralele [R] (Rx, A, B) şi [Q] (Qx, Qh, Qv), prin schimbarea planelor de proiecţie (tabelul 4.5). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 4.26); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.4.26) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor Rx, A, B şi Qx (tabelul 4.4) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : Rx(70,0,0) (Ox); A(15,0,60) [V] ; B(15,60,0) [H]; Qx(50,0,0) (Ox) Se reprezintă epurele punctelor Rx, A, B şi Qx conform modelului (fig.4.26) Se reprezintă urmele planului [R],(Rv) şi (Rh) definit de punctele Rx,A şi B Urmele planului [Q] se construiesc trasând paralele prin Qx la urmele planului [R] ; (Qh) (Rh) şi (Qv) (Rv) Prin schimbarea planului [H] astfel încât (O 1 x 1 ) să fie perpendicular pe (Rv) şi (Qv) cele două plane [R] şi [Q] devin plane verticale [R 1 ] şi [Q 1 ] Pentru determinarea urmelor orizontale (Rh) şi (Qh) utilizăm punctele H 2 şi H situate pe urmele orizontale ale planelor [R] şi [Q] având proiecţiile verticale h 2 şi h în punctul de intersecţie dintre axele (Ox) şi (O 1 x 1 ). După schimbarea planului [H] proiecţiile orizontale h 1 şi h 3 se vor afla pe perpendiculara trasată pe noua axa de proiecţie din punctul comun celor două axe (fig.4.26) Adevărata mărime d a distanţei dintre ele va fi deci distanţa dintre urmele lor orizontale (fig.4.26) Se completează indicatorul conform modelului (fig.4.26).

34 122 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Tabelul 4.5 Varianta Punctul x Rx y A x y z B x y x Q Varianta Punctul x Rx y A x y z B x y x Q

35 Metodele geometriei descriptive 123 Varianta Punctul x Rx y Tabelul 4.5 continuare A x y z B x y x Q

36 124 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Fig.4.26

37 Metodele geometriei descriptive Rotaţia unei drepte (D). Enunţ: Să se transforme dreapta (D); (AB) într-o dreaptă (D 2 ) prin metoda rotaţiei (tabelul 4.6). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ).( fig 4.27); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.4.27) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor A şi B (tabelul 4.6) şi se precizează poziţia lor în spaţiu : A(85,40,15) [I 1 ] ; B(65,20,40) [I 1 ] Dreapta (D 2 )-dreaptă fronto-orizontală Se reprezintă epurele punctelor A şi B conform modelului (fig.4.27) Se reprezintă proiecţiile dreptei (AB) Printr-o rotaţie frontală,având ca axă de rotaţie o dreaptă de capăt (Z),concurentă cu dreapta (AB) în punctul B,se transformă dreapta dată într-o orizontală astfel: -proiecţia ei verticală (a b ) se va roti în jurul axei (Z) până când (a 1 b 1 ) devine paralelă cu (Ox); -proiecţia orizontală a va ajunge după rotaţia frontală în a Printr-o altă rotaţie,dar de nivel, având ca axă de rotaţie o dreaptă verticală (Z 1 ), concurentă cu orizontala (A 1 B 1 ) în punctul A 1, se transformă orizontala într-o dreaptă fronto-orizontală (A 2 B 2 ) astfel: - proiecţia orizontală b 1 va ajunge după rotaţia de nivel în b 2,astfel încât (a 2 b 2 ) să fie paralelă cu (Ox); - proiecţia ei verticală (a 2 b 2 ) va ajunge şi ea paralelă cu (Ox) Se completează indicatorul conform modelului (fig.4.27).

38 126 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Tabelul 4.6 Varianta Punctul A B x y z x y z (D 2 ) Dreaptă verticală Dreaptă de capăt Varianta Punctul A B x y z x y z (D 2 ) Dreaptă fronto-orizontală Dreaptă verticală Varianta Punctul A B x y z x y z (D 2 ) Dreaptă de capăt Dreaptă fronto-orizontală

39 Metodele geometriei descriptive 127 Fig.4.27

40 128 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Unghiul dintre două drepte Enunţ: Să se determine unghiul dintre două drepte concurente (D);(AB) şi (D1);(BC) prin metoda rabaterii în planul [H] (tabelul 4.7). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ).( fig 4.28); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.4.28) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor A,B şi C (tabelul 4.7) şi se precizeze poziţia lor în spaţiu : A(110,45,0) [H] ; B(70,25,30) [I 1 ] ; C(45,40,0) [H] Se reprezintă epurele punctelor A, B şi C conform modelului (fig.4.28) Se reprezintă proiecţiile dreptelor (D) şi (D 1 ) Axa de rabatere va fi dreapta (AC) situată în planul [H] Se construieşte triunghiul de poziţie pentru punctul B, faţă de axa de rabatere Cu centrul în m (piciorul perpendicularei din b pe axa de rabatere) şi cu raza ipotenuza triunghiului de poziţie se determină punctul Bo pe prelungirea perpendicularei din b pe axa de rabatere Punctele A şi C fiind pe axa de rabatere şi punctul Bo fiind şi el rabătut în planul [H], unghiul dintre cele două drepte (AB) şi (BC) va fi unghiul (fig.4.28) Se completează indicatorul conform modelului (fig.4.28).

41 Metodele geometriei descriptive 129 Tabelul 4.7 Varianta Punctul A x y B x y z C x y Varianta Punctul A x y B x y z C x y

42 130 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Tabelul 4.7 continuare Varianta Punctul A x y B x y z C x y

43 Metodele geometriei descriptive 131 Fig.4.28

44 132 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Ridicarea rabaterii într-un plan proiectant. Enunţ: Să se construiască într-un plan proiectant [P] (Px,T) un hexagon [A,B,C,D,E,F] înscris într-un cerc de rază R=30mm şi centrul în Ω (tabelul 4.8). Indicaţii: 1.1. Lucrarea se execută pe un format A4( ) ( fig 4.29); exemplul de rezolvare este corespunzător variantei nr Se liniază formatul A4 conform modelului (fig.4.29) Se completează enunţul problemei Se scriu coordonatele punctelor Px,T şi Ω Px(80,0,0); T(0,0,65); Ω(40,40,z Ω ) 1.5. Se reprezintă planul de capăt [P] (Px,T) şi centrul Ω Planul [P] se va rabate în planul [H] astfel încât urma sa orizontală (Ph)va rămâne perpendiculară pe (Ox) şi urma sa verticală (Pv 1 )se va suprapune peste (Ox) Impreună cu urma verticală (Pv 1 ) se rabate şi centrul cercului Ω in care se va înscrie hexagonul;după rabatere acesta ajunge în Ω o În cercul cu centrul în Ω o şi raza de 30mm se va înscrie hexagonul [A o, B o, C o, D o, E o, F o ] Se ridică rabaterea acestui hexagon în planul [P] pentru fiecare vârf al său,fiind cunoscut faptul că orice figură plană aparţinând unui plan de capăt are proiecţia verticală suprapusă peste urma verticală (Pv) a planului Se determină cu linii de ordine şi proiecţia orizontală [abcdef]a hexagonului construit în planul proiectant (de capăt) [P] Se completează indicatorul conform modelului (fig.4.29).

45 Metodele geometriei descriptive 133 Tabelul 4.8 Varianta Punctul [P] x Px x T y z x Ω y y Ω z z Ω Ridicarea rabaterii din planul [H] Varianta Punctul [P] x Px x T y z x Ω y y Ω z z Ω Ridicarea rabaterii din planul [V] Varianta Punctul [P] x Px x T y z x Ω y y Ω z z Ω Ridicarea rabaterii din planul [H]

46 134 Geometrie descriptivă-îndrumar de laborator şi teme Fig.4.29

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

8. INTERSECŢIA CORPURILOR GEOMETRICE

8. INTERSECŢIA CORPURILOR GEOMETRICE 8. INTERSECŢIA CORPURILOR GEOMETRICE 8.1.GENERALITĂŢI Două corpuri geometrice se intersectează după una sau două linii poligonale sau curbe închise.acestea sunt în general spaţiale şi sunt formate din

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr. I UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Specializarea Matematică-Informatică, linia de studiu română 29 Iunie I 1 2 3 I 4 5 MATEM 6 MATEM 7 Bibliografie I Motivaţia:

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 30. Transmisii prin lant

Capitolul 30. Transmisii prin lant Capitolul 30 Transmisii prin lant T.30.1. Sa se precizeze domeniile de utilizare a transmisiilor prin lant. T.30.2. Sa se precizeze avantajele si dezavantajele transmisiilor prin lant. T.30.3. Realizati

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

6. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

6. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 75 6. METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE rin etodele geoetriei descriptive se relieă odificre proiecţiilor eleentelor geoetrice din poiţiile dte în lte poiţii, prticulre fţă de plnele

Διαβάστε περισσότερα

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie

TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5. Elemente de cartometrie TOPOGRAFIE - CARTOGRAFIE LP. 5 Elemente de cartometrie Cartometria este acea parte a cartografiei care se ocupă cu procedeele şi instrumentele necesare aprecierii cantitative a diferitelor obiecte sau

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida Prof. Jiduc Gabriel. AutoCAD: Comenzi de desenare

Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida Prof. Jiduc Gabriel. AutoCAD: Comenzi de desenare Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida Prof. Jiduc Gabriel AutoCAD: Comenzi de desenare Comenzi de desenare Un desen în AutoCAD este format din una sau mai multe entităţi grafice O entitate grafică este reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

cercului circumscris triunghiului ABE.

cercului circumscris triunghiului ABE. Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Ediția a IV-a 2012-2013 Problema 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia (x 2 + y 2 ) 3 = (x 3 y 3 ) 2. Soluţie. Ecuaţia se scrie echivalent x

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE ȘI OPERAȚII DE SIMETRIE

ELEMENTE ȘI OPERAȚII DE SIMETRIE ELEMENTE ȘI OPERAȚII DE SIMETRIE Cristalografia formelor exterioare ale cristalelor folosește pentru evaluarea simetriei elemente și operații de simetrie și, în acest context, simetria reprezintă proprietatea

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

A1. Valori standardizate de rezistenţe

A1. Valori standardizate de rezistenţe 30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 3 DETERMINAREA DISTANŢEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE

LUCRAREA NR. 3 DETERMINAREA DISTANŢEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE LUCRAREA NR. 3 DETERMINAREA DISTANŢEI FOCALE A OGLINZILOR SFERICE Tema lucrării: 1) Determinarea distanţei focale a unei oglinzi concave ) Determinarea distanţei focale a unei oglinzi convexe 3) Studiul

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de geometrie

Elemente de geometrie 6 Elemente de geometrie ercet=m [i descoperim 1 Puncte şi linii el mai înalt vîrf de pe Pămînt este vîrful Everest (homolungma) din unţii Himalaya. El se află la altitudinea de 8 848 m deasupra nivelului

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 20 februarie 2016 Subiecte

Olimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 20 februarie 2016 Subiecte Pagina din 5 0 februarie 06 Problema. (0 puncte) F Q La oglindă D/ În laboratorul de fizică, elevii din cercul de robotică studiază mișcarea unei mașinuțe robot teleghidate. De la distanța D = 4m Fig.

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

BISECTOAREI GLISANTE

BISECTOAREI GLISANTE ÎN LEGĂTURĂ CU TEOREMA BISECTOAREI GLISANTE de ANDREI ECKSTEIN, TIMIŞOARA În aceast articol ne propunem să reunim diverse proprietăţi cunoscute, legate de teorema bisectoarei glisante şi de bogatul ei

Διαβάστε περισσότερα

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic O adaptare didactica a unui sistem axiomatic Oana Constantinescu In acest document dorim sa prezentam o adaptare a unui sistem axiomatic semiformalizat pentru geometria in plan si in spatiu. Spunem adaptare

Διαβάστε περισσότερα

P A + P C + P E = P B + P D + P F.

P A + P C + P E = P B + P D + P F. Fie P un punct situat în interiorul cercului C. Prin punctul P se duc trei coarde care determină în jurul punctului P şase unghiuri de 60. Notăm A, B, C, D, E, F (în ordine) capetele acestor coarde. Arătaţi

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα