ELEMENTE ȘI OPERAȚII DE SIMETRIE

Transcript

1 ELEMENTE ȘI OPERAȚII DE SIMETRIE Cristalografia formelor exterioare ale cristalelor folosește pentru evaluarea simetriei elemente și operații de simetrie și, în acest context, simetria reprezintă proprietatea cristalelor de a fi invariante (neschimbate) în raport cu o transformare, în spatiul variabilelor ce le definesc (ex. în spațiul tridimensional, un obiect geometric poate fi rotit, deplasat, oglindit, în toate aceste cazuri distanțele dintre oricare două puncte ale obiectului rămânând neschimbate). Dacă în urma unei asemenea transformări obiectul (cristalul) se suprapune pe el însuși (se transformă în el insuși) adică dacă el rămâne invariant la această transformare, este simetric iar această transformare este o transformare simetrică (operație de simetrie). Transformările de simetrie care mențin neschimbate proprietățile metrice se numesc transformări izometrice. In continuare ne vom referi exclusiv la simetria formelor exterioare ale cristalelor, motivele grafice in plan considerate fiind folosite doar pentru evidențierea elementelor care fac obiectul explicației. Operații și elemente de simetrie (transformări simetrice) Operațiile de simetrie aplicate formelor exterioare ale cristalelor sunt: rotația, reflexia și inversia și respectiv combinațiile rotație și inversie și rotație si reflexie. Fiecare operație de simetrie, simplă sau compusă, generează elemente de simetrie și anume: - Rotația (suprapunerea simetrică a corpului cristalului pe el insusi într-o rotație 360 ) genereaza ca element de simetrie axa de rotație; - Reflexia (suprapunerea simetrică a corpului cristalului pe el însuși printr-o reflexie după un plan) generează ca element de simetrie planul de simetrie; - Inversia (suprapunerea simetrică a configurației unui cristal prin inversia față de un punct) generează ca element de simetrie centrul de simetrie. - Roto-inversia combină doua operatii de simetrie, rotația și inversia și generează ca element de simetrie axa de roto-invesie (axa de inversiune); - Roto-reflexia combină rotația și reflexia și generează ca element de simetrie axa de roto-reflexie.

2 Operații și elemente simple de simetrie Axa de rotație (axa de simetrie) reprezintă o linie imaginară în jurul căreia, rotind cristalul 360, toate fețele, colțurile, muchiile lui se suprapun de n ori, n determinând ordinul axului de rotație. Axa de rotație se notează A n sau 1, 2, 3, 4, 6 conform ordinului axului de rotație și arată de câte ori cristalul se suprapune pe el însuși într-o rotație completă 360 (ex. dacă n = 3, cristalul arată aceeași configurație de fete, muchii, colțuri de 3 ori într-o rotație 360 ). Se definește, pentru fiecare axă de rotație, un unghi minim de invarianță (α) cu propritatea: α= 2π/n (α) fiind unghiul cel mai mic după care se produce o suprapunere simetrică a corpului cristalului pe el însuși. Datorită structurii interne a cristalului, caracterizată prin periodicitate, omogenitate și simetrie, solidele cristaline admit doar următoarele ordine de rotație: 1, 2, 3, 4, 6. a. b. c. d. Fig.1. Axe de rotație: a. axă de ordinul 2 (A 2 ); b. axă de ordinul 3 (A 3 ); c. axă de ordinul 4 (A 4 ); d. axă de ordinul 6 (A 6 ); Tabelul 1. Axele de rotație. Ax de simetrie 1 (A 1 ) 2 (A 2 ) 3 (A 3 ) 4 (A 4 ) 6 (A 6 ) Notație grafică - Unghi minim de invarianță

3 Planul de simetrie reprezintă suprapunerea simetrică a cristalului prin reflexia după un plan. Se notează cu P sau m (operația de oglindire, mirror eng.). a. b. Fig. 2. a. Axe de simetrie (considerând axele de rotație perpendicular pe planul foii); b. axe și plane de simetrie 2m, 3m, 4m, respectiv 6m fiind numărul planelor de simetrie conținute de morivul 2D considerat). Fig.3. Dispunerea unor plane de simetrie intr-un corp 3D (cub).

4 Centrul de simetrie se definește prin suprapuneri simetrice prin inversia față de un punct, numit centru de simetrie, cu proprietatea că de-o parte și de de alta a lui, la distațe egale, se găsesc puncte simetric echivalente (ex. fețe simetrice însă inversate una față de cealaltă). Fig.4. Centrul de simetrie într-un corp 3D.

5 Exercitiul 1 Să se construiască poliedrele din hartie atașate temelor (pe site) și să se determine elementele de simetrie pentru fiecare. Realizați schite și plasați elementele de simetrie pe schiță, conform notațiilor grafice prezentate anterior. Plasați schițele cu alungirea morfologica sau axa unica (daca exista) vertical (ex. un paralelipiped dreptunghic va fi plasat cu L ungimea, vertical).

6 Elemente și operații compuse de simetrie Operațiile compuse de simetrie presupun combinații de două operații simple de simetrie și, pentru cristalografie, sunt relevante două combinații și anume rotația și inversia și rotația și reflexia, acestea generând două elemente compuse (complexe) de simetrie axa de rotoinversie și axa de rotoreflexie. Axa de rotoinversie- presupune o operație compusă din o rotatie de ordin n (1, 2, 3, 4, 6), cu unghi elementar α și o inversie după un punct care nu este centru de simetrie de sine stătător în cristal. Pornind de la un punct dat (sau o configuratie) și aplicând operația compusă, se proiectează puncte elementare a căror relație de simetrie este exprimată prin axa de rotoinversie. Operația compusă (rotatie cu unghi elementar α și inversie) se continuă atata timp cât nu se produc suprapuneri simetrice pe punctele deja proiectate (fig.5). Se noteaza Ā n (sau,,,, conform ordinului de rotație) și cu simbolurile grafice menționate mai jos. Axele de rotoinversie (sau de inversiune) sunt: Axa de rotoinversie de ordinul 1. Prin rotirea punctului 1 (un punct oarecare din cristal) cu un unghi α de 360 şi inversarea acestuia după un punct central, se generează punctul simetric echivalent 2. La rîndul său, punctul 2 este rotit şi inversat suprapunîndu-se simetric peste punctul iniţial. Punctele obtinute, 1 și 2, fiind simetric echivalente și echidistante față de punctul de inversiune, formează o configurație ce implică centru de simetrie și din acest motiv rotoinversia de ordinul 1 este echivalentă cu un centru de simetrie. Axa de rotoinversie de ordinul 2. Prin rotirea punctului 1 cu 180 şi inversia acestuia după un punct central, se generează punctul simetric echivalent 2. La rîndul său, punctul 2 este rotit şi inversat suprapunîndu-se simetric peste punctul iniţial. Configurația obținută este astfel echivalenta unui plan de simetrie. Axa de rotoinversie de ordinul 3. Rotația și inversia succesivă cu unghi elementar α = 120 nu produce suprapuneri simetrice până la punctul 6 (se proiectează puncte aplicând rotație și inversie până la suprapunerea în punctul inițial 1). Se observă că cele 6 puncte obținute sunt simetric echivalente și echidistante două câte două (1-4, 2-5, 3-6) față de punctul de inversiune care devine astfel centru de simetrie. Axa de rotoinversie de ordinul 4. Rotația din punctul 1, cu unghi elementar de 90 și inversia produce 4 puncte elementare dispuse pe direcţii perpendiculare (1-3 si 2-4).

7 Axa de rotoinversie de ordinul 6. Prin rotirea și inversia succesivă din punctul 1 cu unghi elementar α = 60, se generează succesiv 6 puncte. Se observă că punctele obținute implică prezența unui plan de simetrie perpendicular pe axa de rotație. a. b. c. d. e. Fig.5. Axe de rotoinversie: a. axa de rotoinversie de ordinul 1; b. axa de rotoinversie de ordinul 2; c. axa de rotoinversie de ordinul 3; d. axa de rotoinversie de ordinul 4; e. axa de rotoinversie de ordinul 6; (după Cristalografie, curs, 2007, Gh. Ilinca). Notație grafică

8 Axa de rotoreflexie- presupune o operație compusă din o rotație de ordin n (1, 2, 3, 4, 6), cu unghi elementar α și o reflexie după un plan care nu este plan de simetrie în cristal. Ca și în cazul rotoinversiei, operația compusă (rotație cu unghi elementar α și reflexie) se continuă atâta timp cât nu se produc suprapuneri simetrice pe punctele deja proiectate. Se noteaza n (sau,,, sau conform ordinului de rotație). Axa de rotoreflexie de ordinul 1. Prin rotirea punctului 1 cu 360 şi reflectarea acestuia după un plan perpendicular pe axa de rotaţie, se generează punctul simetric echivalent 2. La rîndul său, punctul 2 este rotit şi reflectat suprapunîndu-se simetric peste punctul iniţial. Axa de rotoreflexie de ordinul 2. Prin rotirea punctului 1 cu 180 şi reflectarea acestuia după un plan perpendicular pe axa de rotaţie, se generează punctul simetric echivalent 2. La rîndul său, punctul 2 este rotit şi reflectat suprapunîndu-se simetric peste punctul iniţial. Axa de rotoreflexie de ordinul 3. Rotația și reflexia succesivă cu unghi elementar α = 120 nu produce suprapuneri simetrice până la punctul 6 (se proiectează puncte aplicând rotație și reflexie până la suprapunerea în punctul inițial 1). Se observă că planul de reflexie considerat devine, după proiectarea tuturor punctelor, plan de simetrie. Axa de rotoreflexie de ordinul 4. Rotația din punctul 1, cu unghi elementar de 90 și reflexie produce 4 puncte elementare dispuse pe direcţii perpendiculare (1-3 și 2-4). Axa de rotoreflexie de ordinul 6. Prin rotirea punctului 1 cu unghi elementar α = 60 şi reflectarea acestuia după un plan perpendicular pe axa de rotaţie, se generează succesiv 6 puncte. Se observă că cele 6 puncte obținute sunt simetric echivalente două câte două față de un punct interior care devine astfel centru de simetrie (1-4, 2-5, 3-6). a. b. (Fig.6. Axe de rotoreflexie)

9 c. d. e. Fig.6. Axe de rotoreflexie: a. axa de rotoreflexie de ordinul 1; b. axa de rotoreflexie de ordinul 2; c. axa de rotoreflexie de ordinul 3; d. axa de rotoreflexie de ordinul 4; e. axa de rotoreflexie de ordinul 6; (după Cristalografie, curs, 2007, Gh. Ilinca)

10 Exercitiul 2 Prin proiectarea grafică a axelor compuse de simetrie se observă că unele dintre configurațiile de puncte obținute sunt identice (echivalente). Folosind cilindrii anexați să se proiecteze toate cele 10 axe compuse de simetrie și să se determine echivalențele. (Atenție! Unele axe compuse sunt echivalente unor elemente simple de simetrie. Numiți care sunt acestea). Recomandare: trasati ghidaje pe bazele cilindrilor pentru marcarea unghiurilor de rotație. Axele de rotoinversie: 1 Axele de rotoreflexie: Echivalențe:

11 Nota bene Aceste elemente de simetrie formeaza 32 de combinații posibile care în cristalografie poartă numele de clase de simetrie sau grupuri punctuale și din acest motiv, simetria formelor exterioare ale cristalelor este numită și simetrie punctuală (elementele de simetrie combinate se intersectează într-un punct). Forma regulată exterioară a cristalelor exprimă structura ordonată a atomilor și moleculelor într-o rețea caracterizată prin periodicitate, omogenitate și simetrie. Aplicată la scara structurii cristaline (modelul repetitiv periodic al atomilor într-o rețea), simetria este caracterizată aplicând operații de simetrie translaționale care determină noi elemente de simetrie și anume axa de rotație elicolidală sau giră (rotație+translație) și planul de alunecare (reflexie+translație). Simetria structurii cristaline poartă numele de simetrie spațială. Addenda Axa de ordinul 5 in cristalografie Deși unele obiecte pot arăta o simetrie de ordinele 5, 7, 8, etc, acest lucru nu este posibil în starea cristalină deoarece forma exterioară a cristalelor este expresia unui aranjament geometric regulat al atomilor în rețeaua cristalină. La nivel empiric, dacă încercăm să acoperim un spațiu folosind poligoane cu simetrie de ordinul 5 sau 8 observăm ca nu le putem combina astfel încât să acopere complet spațiul, așa cum se observă mai jos.

12 Addenda Axa de ordinul 5 in cristalografie (continuare) Considerăm un aranjament de puncte echidistante (gri) separate prin vectorul de translație t (vezi mai jos). Daca aplicam translatia t sub un unghi α = 360 /n (- sau +) caracteristic unui ordin de rotație n, considerând axul de rotație perpendicular pe planul foii, obținem punctele albastre și, respectiv, cele roșii. Dacă unghiul α corespunde unei operații de simetrie, cercurile colorate obținute corespund nodurilor de rețea și distanțele dintre acestea trebuie să fie egale cu un multiplu întreg de t (vectorul de translație) mt și m t, unde m și m sunt numere întregi. În triunghiul obținut în urma translației, avem relația: Întrucât valoarea funcției cosinus este cuprinsă între -1 și +1, sunt permise doar 5 posibilități: m cos α -1-1/2 0 1/2 1 α (360 ) n Notă: Axa de ordinul 5 implică un unghi elementar de 72 iar cos 72 = m intreg.

13 Forme ce conțin elemente compuse de simetrie Romboedrul Prisma triunghiulara Scalenoedrul Tetraedrul regulat Cubul

14 Determinarea formulei de simetrie punctuale): Reguli de identificare a elementelor de simetrie (reformulări ale unor teoreme ale simetriei 1. Dacă o axă de simetrie de ordin n (n = 2, 3, 4, 6) are o axă de ordin 2 perpendiculară (A n A 2 ), atunci există n axe de ordin 2 perpendiculare pe A n ; 2. Dacă o axă de simetrie de ordin n (A n ) este conţinută într-un plan de simetrie, atunci există n plane care se intersectează după axa de simetrie considerată; 3. Punctul de intersecţie al unei axe de simetrie de ordin par cu un plan de simetrie perpendicular este centru de simetrie. Identificarea formulei de simetrie a unui cristal: 1. Se determină axa de simetrie de ordin maxim; 2. Se determină existenta planului de simetrie perpendicular pe axa considerată; 3. Se determină axele de ordin inferior celui maxim și prezența planelor de simetrie perpendiculare pe fiecare dintre ele; 4. Se observă dacă există centru de simetrie. Formula de simetrie este de forma: C, unde m = numarul pe axe/plane identificat. Ex. Formula de simetrie a cubului este de forma: C Nota: se noteaza planele de simetrie perpendiculare pe axe de ordin superior lui 2.

15 Exercitiul 3 Să se determine formulele de simetrie pentru poliedrele de hartie realizate la exercitiul 1.

16 Exercitiul 4 Sa se deseneze: 1. Un octaedru pornind de la cub, unind centrele fețelor cubului; 2. Un tetraedru pornind de la cub, unind diagonalele fețelor cubului; 3. Un dodecaedru pornind de la cub, construind piramide tetragonale pe fiecare fata a cubului, sub unghiuri de 45 fata de muchii (folosiți raportorul). Sa se determine formulele de simetrie pentru fiecare corp in parte. Recomandare: pentru determinarea simetriei folositi si poliedrele de hartie (cub, octaedru, tetraedru).

17 Singonii și sisteme cristalografice Introducere În funcție de simetria conținută (ex. axe unice de ordinele 2, 3, 4 sau 6, mai multe axe de ordinul 3, mai multe axe de ordinul 2, niciun element de simetrie, etc) cele 32 de clase de simetrie se grupeaza în 7 sisteme cristalografice și anume: cubic, tetragonal, hexagonal, trigonal, rombic, monoclinic și triclinic. Plasarea intr-un sistem cristalografic se face identificand simetria minima caracteristica a fiecăruia și anume: Singonie Sistem cristalografic Simetrie minima Cubică Sistemul cubic 4 axe de ordinul 3 Tetragonală Sistemul tetragonal Axă unică A 4 sau Ā 4 Hexagonală Sistemul hexagonal Axă unică A 6 sau Ā 6 Sistemul trigonal Axă unică A 3 sau Ā 3 Rombică Sistemul rombic Minim trei elemente de simetrie, axe si/sau plane, cu ordin maxim al axelor 2 Monoclinică Sistemul monoclinic O axă de ordinul 2 și/sau un plan de simetrie Triclinică Sistemul triclinic Un singur element de simetrie posibil, centrul de simetrie sau nimic

18 Exercițiul 5 Să se determine formulele de simetrie (plasând pe schițe elementele de simetrie principale) și să se identifice sistemul cristalografic căruia îi aparțin. Model Formula de simetrie Sistem cristalografic Notație internațională Prisma rombică Piramida rombică Prisma triunghiulara Piramida triunghiulara

19 Romboedru Piramida hexagonala Tetraedru regulat Piramida patratica

20 Cub Piramida hexagonala Octaedru Bisfenoid tetragonal

21 Prisma patratica Bipiramida patratica Scalenoedru ditrigonal 1 1