Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα"

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

2 Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες ιδιότητες Για τη λύση πολλών διαφορετικών ειδών προβλημάτων πρέπει να μετράμε αντικείμενα Καθορισμός πολυπλοκότητας αλγορίθμων Προσδιορισμός του αν υπάρχουν αρκετοί τηλεφωνικοί αριθμοί ή διευθύνσεις Internet για την ικανοποίηση της ζήτησης Υπολογισμός πιθανοτήτων γεγονότων Εκτίμηση των διαφορετικών passwords σε σύστημα υπολογιστών Διαφορετικές κατατάξεις τερματισμού δρομέων σε αγώνα δρόμου

3 Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Ο κανόνας γινομένου Έστω ότι μία διαδικασία μπορεί να διασπαστεί σε ακολουθία δύο εργασιών. Αν υπάρχουν n 1 τρόποι να γίνει ηπρώτηεργασίακαιn 2 τρόποι να γίνει η δεύτερη εργασία μετά την εκτέλεση της πρώτης εργασίας, τότε υπάρχουν n 1 n 2 τρόποι εκτέλεσης της διαδικασίας Ο κανόνας αθροίσματος Αν μια εργασία μπορεί να εκτελεστεί με n 1 τρόπους και μια δεύτερη εργασία με n 2 τρόπους και αν αυτές οι εργασίες δεν μπορούν να εκτελεστούν ταυτόχρονα, τότε υπάρχουν n 1 +n 2 τρόποι εκτέλεσης μιας από τις εργασίες αυτές

4 Κανόνας γινομένου 3 επιλογές 2 επιλογές Συνολικά: 3 x 2 = 6 επιλογές ντυσίματος

5 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 1 Τα καθίσματα σε ένα αμφιθέατρο πρόκειται να ονομαστούν με ένα γράμμα του λατινικού αλφαβήτου που θα ακολουθείται από έναν θετικό ακέραιο όχι μεγαλύτερο από το 100. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος καθισμάτων που μπορούν να ονομαστούν με διαφορετικό τρόπο; Γράμμα Θετικός ακέραιος εκδοχές 100 εκδοχές Συνολικά: 26 * 100 = 2600 εκδοχές

6 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 2 Πόσεςδιαφορετικέςακολουθίεςbit με μήκος 7; Θέση 7 Θέση 6 Θέση 5 Θέση 4 Θέση 3 Θέση 2 Θέση 1 2 εκδοχές Συνολικά: 2*2*2*2*2*2*2 = 2 7 = 128 εκδοχές

7 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 3 Πόσες διαφορετικές πινακίδες αυτοκινήτων υπάρχουν αν κάθε πινακίδα περιέχει 3 (λατινικά) γράμματα ακολουθούμενα από 3 ψηφία (και δεν υπάρχουν απαγορευμένες ακολουθίες γραμμάτων); Γράμματα Αριθμοί 26 εκδοχές 10 εκδοχές Συνολικά: 26*26*26*10*10*10 = 26 3 *10 3 = εκδοχές

8 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 4 Πόσες συναρτήσεις υπάρχουν από σύνολο με m στοιχεία σε σύνολο με n στοιχεία; Πεδίο ορισμού με m στοιχεία Σύνολο τιμών με n στοιχεία Συνάρτηση: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Για κάθε ένα από τα m στοιχεία του «πράσινου» συνόλου υπάρχουν n πιθανές εικόνες Συνολικά: n*n* *n (m φορές) = n m εκδοχές

9 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 4* Πόσες συναρτήσεις υπάρχουν από σύνολο με 3 στοιχεία σε σύνολο με 5 στοιχεία; Πεδίο ορισμού με 3 στοιχεία Σύνολο τιμών με 5 στοιχεία Συνάρτηση: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Για κάθε ένα από τα 3 στοιχεία του «πράσινου» συνόλου υπάρχουν 5 πιθανές εικόνες Συνολικά: 5*5*5 = 5 3 = 125 εκδοχές

10 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 5 Πόσες συναρτήσεις ένα προς ένα υπάρχουν από σύνολο με m στοιχεία σε σύνολο με n στοιχεία; Πεδίο ορισμού με m στοιχεία Σύνολο τιμών με n στοιχεία Συνάρτηση ένα-προς-ένα: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 μοναδικό στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Αν τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου > στοιχεία του «πορτοκαλί» συνόλου δε μπορεί να οριστεί συνάρτηση ένα-προς-ένα από το «πράσινο» στο «πορτοκαλί» σύνολο Διαφορετικά, γιατοπρώτοαπόταm στοιχεία υπάρχουν n εκδοχές, για το δεύτερο από τα m στοιχεία υπάρχουν n-1 εκδοχές,, για το m-στό στοιχείο υπάρχουν n-m+1 εκδοχές Συνολικά: n*(n-1)*(n-2) *(n-m+1) εκδοχές

11 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 5* Πόσες συναρτήσεις ένα προς ένα υπάρχουν από σύνολο με 3 στοιχεία σε σύνολο με 5 στοιχεία; Πεδίο ορισμού με 3 στοιχεία Σύνολο τιμών με 5 στοιχεία Συνάρτηση ένα-προς-ένα: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 μοναδικό στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Tα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου < στοιχεία του «πορτοκαλί» συνόλου μπορεί να οριστεί συνάρτηση ένα-προς-ένα από το «πράσινο» στο «πορτοκαλί» σύνολο Για το πρώτο από τα 3 στοιχεία υπάρχουν 5 εκδοχές, για το δεύτερο από τα 3 στοιχεία υπάρχουν 4 εκδοχές, γιατοτρίτοαπότα3 στοιχεία υπάρχουν 3 εκδοχές Συνολικά: 5*4*3 = 60 εκδοχές

12 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 6 Υποθέστε ότι η μορφή των τηλεφωνικών αριθμών καθορίζεται από ένα σχέδιο αριθμοδότησης. Ο τηλεφωνικός αριθμός αποτελείται από 10 ψηφία που χωρίζονται σε: Κωδικό Περιοχής με 3 ψηφία Κωδικό Κομβικού Τηλεφωνικού Κέντρου με 3 ψηφία Αριθμό Τερματικού Τηλεφωνικού Κέντρου με 4 ψηφία Επιπλέον, υπάρχουν οι εξής περιορισμοί: Χ: συμβολίζει ψηφίο που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε από τις τιμές 0 έως 9 Ν: συμβολίζει ψηφίο που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε από τις τιμές 2 έως 9 Υ: συμβολίζει ψηφίο που μπορεί να είναι 0 ή 1 Εξετάζουμε 2 σχέδια αριθμοδότησης Σχέδιο 1: Οι τηλεφωνικοί αριθμοί έχουν τη μορφή ΝΥΧ ΝΝΧ ΧΧΧΧ Σχέδιο 2: Οι τηλεφωνικοί αριθμοί έχουν τη μορφή ΝΧΧ ΝΧΧ ΧΧΧΧ Πόσοιτηλεφωνικοίαριθμοίείναιδυνατοίμεκάθεσχέδιο; Σχέδιο 1: ΝΥΧ ΝΝΧ ΧΧΧΧ : 8*2*10*8*8*10*10*10*10*10 = 160*640* = Σχέδιο 2: ΝΧΧ ΝΧΧ ΧΧΧΧ : 8*10*10*8*10*10*10*10*10*10 = 800*800* =

13 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 7 Με χρήση του κανόνα γινομένου, δείξτε ότι το πλήθος διαφορετικών υποσυνόλων πεπερασμένου συνόλου S είναι 2 S αυθαίρετο υποσύνολο συνόλου S Σύνολο S Για κάθε στοιχείο του S υπάρχουν 2 εκδοχές: Να περιλαμβάνεται ή να μην περιλαμβάνεται σε κάθε υποσύνολο που φτιάχνουμε Συνολικά: 2*2* *2 ( S φορές) = 2 S εκδοχές

14 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 8 Υπάρχουν n γλυκά σε μια σακούλα, έξι από τα γλυκά είναι πορτοκαλί και τα υπόλοιπα είναι κίτρινα. Η Χάνα πήρε ένα γλυκό από τη σακούλα και το έφαγε, μετά πήρε ένα ακόμα γλυκό. Η πιθανότητα η Χάνα να έφαγε δυο πορτοκαλί γλυκά είναι 1/3. Αποδείξτε το n² n 90=0. 1/3 = 6/n * 5/(n 1) 1/3 = 30 / n(n 1) n(n 1)/3 = 30 n(n 1) = 90 n² n = 90 n² n 90 = 0

15 Κανόνας αθροίσματος 3 επιλογές 2 επιλογές Συνολικά: = 5 επιλογές ρούχου

16 Κανόνας αθροίσματος: παράδειγμα 1 Υποθέστε ότι επιλέγεται είτε ένα μέλος ΔΕΠ είτε ένας τελειόφοιτος φοιτητής ενός Τμήματος για να εκπροσωπηθεί το Τμήμα σε Επιτροπή. Πόσες επιλογές υπάρχουν για τον εκπρόσωπο αυτόν όταν υπάρχουν 37 μέλη ΔΕΠ και 83 τελειόφοιτοι φοιτητές στο Τμήμα; Image source: k nevrok.dra.sch.gr,

17 Κανόνας αθροίσματος: παράδειγμα 2 Υποθέστε ότι πρέπει να επιλέξετε ένα project από ένας από 3 διαθέσιμους καταλόγους, Α, Β και Γ, καθένας από τους οποίους περιέχει 23, 15 και 19 εργασίες, αντίστοιχα. Από πόσες εργασίες μπορείτε να επιλέξετε συνολικά; 23 εργασίες 15 εργασίες 19 εργασίες Συνολικά: = 57 εκδοχές Image source:

18 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 1 Σε μία βιβλιοθήκη, οι διαθέσιμες αίθουσες λαμβάνουν ετικέτες που είναι συμβολοσειρές με έναν ή δύο αλφαριθμητικούς χαρακτήρες Αλφαριθμητικοί χαρακτήρες: τα 26 γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (κεφαλαία και μικρά θεωρούνται ίδια) και τα 10 ψηφία Κάθε συμβολοσειρά ετικέτας πρέπει να ξεκινάει με γράμμα Κάθε συμβολοσειρά ετικέτας για τις αίθουσες πρέπει να είναι διαφορετική από 5 συγκεκριμένες ετικέτες των 2 χαρακτήρων που έχουν αποδοθεί σε γραφεία διοίκησης Πόσες διαφορετικές ετικέτες υπάρχουν διαθέσιμες; 26 * 36 = 936 διαφορετικές εκδοχές 26 διαφορετικές εκδοχές 5 ετικέτες είναι δεσμευμένες Συνολικά: = 957 εκδοχές

19 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 2 Κάθε χρήστης ενός υπολογιστικού συστήματος έχει ένα password με μήκος από 6 έως 8 χαρακτήρες όπου κάθε χαρακτήρας είναι κεφαλαίο γράμμα του λατινικού αλφαβήτου ή ψηφίο καιπρέπειναπεριέχειτουλάχιστον1 ψηφίο Πόσα δυνατά passwords υπάρχουν; πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 1 ψηφίο αποκλείονται λέξεις που έχουν μόνο γράμματα passwords με 6 χαρακτήρες: 36*36*36*36*36*36=36 6 passwords με 6 χαρακτήρες που περιέχουν μόνο γράμματα: 26*26*26*26*26*26=26 6 passwords με 6 χαρακτήρες που περιέχουν τουλάχιστον 1 ψηφίο: Κατ αναλογία: passwords με 7 που περιέχουν τουλάχιστον 1 ψηφίο: passwords με 8 που περιέχουν τουλάχιστον 1 ψηφίο: Συνολικά: = εκδοχές

20 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 3 Πόσοιακέραιοιυπάρχουνμεταξύτου100 και του 199 οι οποίοι έχουν διαφορετικά ψηφία; Πόσοι από αυτούς τους ακεραίους είναι περιττοί; Οι ζητούμενοι αριθμοί αποτελούνται από 3 θέσεις στις οποίες το πρώτο ψηφίο είναι 1 και τα άλλα 2 προκύπτουν από τις διατάξεις 2 ψηφίων από τα 9 διαθέσιμα (δε συμπεριλαμβάνουμε το ψηφίο 1 που έχει ήδη χρησιμοποιηθεί): P(9,2)=9*8=72 Οι περιττοί αριθμοί θα καταλήγουν σε 3,5,7,9 (αφού έχουν διαφορετικά ψηφία και το 1 αποκλείεται) Για κάθε μία από αυτές τις επιλογές υπάρχουν 8 επιλογές για το μεσαίο ψηφίο Επομένως, συνολικά υπάρχουν 4*8=32 περιττοί ακέραιοι με διαφορετικά ψηφία μεταξύ 100 και 199

21 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 4 Πόσους περιττούς ακέραιους μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 1,2,3,4,5 οι οποίοι έχουν 4 ψηφία και τα ψηφία αυτά είναι διαφορετικά μεταξύ τους; Οι ζητούμενοι 4 ψήφιοι ακέραιοι πρέπει να έχουν 1 ή 3 ή 5 στη δεξιότερη θέση 4 ψήφιοι με 1 στη δεξιότερη θέση: 4*3*2=24 4 ψήφιοι με 3 στη δεξιότερη θέση: 4*3*2=24 4 ψήφιοι με 5 στη δεξιότερη θέση: 4*3*2=24 Επομένως, συνολικά 3*24=72 αριθμοί

22 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 5 Πόσοι πενταψήφιοι ακέραιοι υπάρχουν οι οποίοι να είναι μεγαλύτεροι του και να έχουν ταυτόχρονα τις εξής ιδιότητες: (α) τα ψηφία τους να είναι διαφορετικά και (β) να μην περιέχουν να ψηφία 0 και 9; Αριθμοί που ξεκινάμε από 53 και ακολουθούν 3 ψηφία που δεν μπορούν να είναι 0 και 9, ούτε 5 και 3 και πρέπει να είναι και διαφορετικά μεταξύ τους: 6*5*4=120 Αριθμοί που ξεκινάνε από 5 και ακολουθούν 4 ψηφία που δεν μπορούν να είναι 0 και 9, ούτε 5, πρέπει να είναι και διαφορετικά μεταξύ τους και τα ψηφία της αριστερότερης θέσης πρέπει να είναι μεγαλύτερα του 3: 4*6*5*4=480 5 ψήφιοι αριθμοί που στην αριστερότερη θέση έχουν ψηφίο μεγαλύτερο του 5 και όχι 0 ή 9, στην επόμενη θέση όχι ό,τι στην προηγούμενη ούτε 0 ή 9, στην επόμενη θέση όχι ό,τι στις στις δύο προηγούμενες ούτε 0 ή 9, κ.ο.κ.: 3*7*6*5*4=2520 Επομένως, συνολικά =3120 αριθμοί

23 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 6 Τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ χρησιμοποιούνται για να σχηματιστούν λέξεις μήκους 3. (α) Πόσες λέξεις περιέχουν το γράμμα Α επιτρεπομένων επαναλήψεων; (β) Πόσες λέξεις αρχίζουν με Α επιτρεπομένων επαναλήψεων; (α) Όλες οι πιθανές λέξεις με 3 γράμματα από τα Α,Β,Γ,Δ είναι4 3. Αυτές που δεν περιέχουν κανένα Α είναι 3 3. Επομένως, οι ζητούμενες προκύπτουν από τη διαφορά τους: =64 27=37 λέξεις (β) Το αριστερότερο γράμμα είναι Α. Οπότε ζητάμε λέξεις 2 γραμμάτων που σχηματίζονται από τα 4 δοσμένα γράμματα: 4 2 =16 λέξεις

24 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 7 Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί του δεκαδικού συστήματος δεν έχουν δύο ψηφία ίδια; Για να είναι τετραψήφιος κάποιος αριθμός δεν πρέπει να έχει 0 στην αριστερότερη θέση, στην οποία μπορεί να βρίσκεται ένα από τα εναπομείναντα 9 ψηφία (1,,9) Άρα, το πλήθος των ζητούμενων αριθμών είναι: 9*9*8*7=4.536

25 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 8 Πόσες είναι οι λέξεις της μορφής ww R μήκους 10 με κεφαλαία γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου χωρίς τόνους; Τα πέντε πρώτα γράμματα (w) καθορίζουν και τα πέντε επόμενα (w R : w reversed) Επομένως, ασχολούμαστε μόνο με τα πέντε πρώτα γράμματα και υπολογίζουμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να συνθέσω πεντάδες Η επιλογή του κάθε γράμματος είναι ανεξάρτητη και καθένα μπορείναπάρει 24 διαφορετικές τιμές. Άρα, συνολικά μπορούμε να φτιάξουμε 24*24*24*24*24=24 5 διαφορετικές λέξεις των πέντε γραμμάτων (κανόνας γινομένου) Τόσες είναι και οι ζητούμενες λέξεις αφού τα πέντε πρώτα γράμματα καθορίζουν και τα πέντε επόμενα

26 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 9 Έχουμε 24 αριθμημένες (διαφορετικές) πράσινες μπάλες και 24 αριθμημένες κόκκινες μπάλες. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε μία πράσινη και μία κόκκινη μπάλα; Πράσινη μπάλα μπορούμε να διαλέξουμε με 24 τρόπους Κόκκινη μπάλα μπορούμε να διαλέξουμε με 24 τρόπους Για να συμβαίνουν και τα δύο μαζί υπάρχουν 24*24=576 διαφορετικοί τρόποι (κανόνας γινομένου)

27 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕ μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος για να απαριθμούμε τους τρόπους εκτέλεσης μιας από τις 2 εργασίες Πόσες συμβολοσειρές bit με μήκος 8 είτε αρχίζουν από 1 είτε τελειώνουν σε 00; Ενδιαφέρομαι για 8 bit συμβολοσειρές που αρχίζουν με 1: 2 7 που τελειώνουν σε 00: 2 6 που αρχίζουν με 1 και τελειώνουν σε 00: 2 5 ΠΡΟΣΕΧΩ ΝΑ ΜΗ ΔΙΠΛΟΜΕΤΡΑΩ Αυτές τις έχω μετρήσει 2 φορές από μία σε καθεμία από τις προηγούμενες κατηγορίες πρέπει να απομακρύνω τη μία φορά Συνολικά, οι ζητούμενες συμβολοσειρές είναι: = =160

28 Ασκήσεις (Ι) 18*325= =

29 Ασκήσεις (ΙΙ) έξι 6*7= =

30 Ασκήσεις (ΙΙΙ) 5*10 2 =500 3*9= =

31 Ασκήσεις (ΙV) (26-5) 8 21*20*19*18*17*16*15*14 5*26 7 5*8* *25*24*23*22*21*20*

32 έξι Ασκήσεις (V)

33 Ασκήσεις (VI) έξι a) 5! + 5! = 240

34 Ασκήσεις (VII) έξι b) Όλες οι δυνατές τοποθετήσεις 6 ατόμων: 6! Τοποθετήσεις στις οποίες γαμπρός και νύφη κάθονται δίπλα: 240 Η απάντηση είναι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης: 6!-240=480

35 Ασκήσεις (VIII) έξι Καμία τοποθέτηση c) 1 εκδοχή για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους 2 εκδοχές για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους 3 εκδοχές για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους εκδοχές 4 εκδοχές για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους 5 εκδοχές για νύφη * 4! για τους υπόλοιπους

36 Αρχή Περιστεριώνα: ιδέα Αν υπάρχουν περισσότερα περιστέρια (k+1) από φωλιές (k), τότε υπάρχει τουλάχιστον μία φωλιά με τουλάχιστον δύο περιστέρια Αν k+1 ή περισσότερα αντικείμενα τοποθετηθούν σε k κουτιά, τότε τουλάχιστον ένα κουτί θα περιέχει τουλάχιστον δύο αντικείμενα Ονομάζεται και Αρχή του Dirichlet (19 ος αιώνας) Image source:

37 Αρχή Περιστεριώνα: διατύπωση f όχι ένα-προς-ένα

38 Παράδειγμα 1 Σε οποιαδήποτε ομάδα με 367 ανθρώπους υπάρχουν τουλάχιστον 2 που έχουν γεννηθεί την ίδια μέρα οι 367 άνθρωποι f οι 366 δυνατές ημέρες γέννησης όχι ένα-προς-ένα

39 Παράδειγμα 2 Σε οποιαδήποτε ομάδα 27 λέξεων στα αγγλικά υπάρχουν τουλάχιστον 2 που αρχίζουν με το ίδιο γράμμα οι 27 αγγλικές λέξεις f τα 26 γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου όχι ένα-προς-ένα

40 Παράδειγμα 3 Πόσοι φοιτητές θα πρέπει να υπάρχουν σε μία τάξη για να εξασφαλιστεί ότι τουλάχιστον 2 θα πάρουν τον ίδιο βαθμό στην τελική εξέταση, αν η βαθμολογία είναι από 0 έως 100; Χρειαζόμαστε τουλάχιστον 101+1=102 φοιτητές f οι 101 δυνατές βαθμολογίες όχι ένα-προς-ένα

41 Γενικευμένη Αρχή του Περιστεριώνα Αν Ν αντικείμενα τοποθετηθούν σε k κουτιά, τότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα κουτί που θα περιέχει τουλάχιστον αντικείμενα N k Ο συμβολισμός διαβάζεται «άνω ακέραιο μέρος» Σημαίνει ότι στρογγυλοποιώ έναν δεκαδικό αριθμό στον αμέσως μεγαλύτερό του ακέραιο Π.χ., άνω ακέραιο μέρος του 3,17 είναι το ο 4 άνω ακέραιο μέρος του 7,27 είναι το ο 8 Ισχύει άνω ακέραιο μέρος x x+1 Παράδειγμα: Μεταξύ 100 ατόμων υπάρχουν τουλάχιστον άνω ακέραιο μέρος του 100/12 = άνω ακέραιο μέρος του 8,39333 = 9 που γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα

42 Γενικευμένη Αρχή του Περιστεριώνα: παράδειγμα 1 Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος φοιτητών που χρειάζεται να βρίσκονται στο μάθημα για να είναι σίγουρο ότι τουλάχιστον 6 από αυτούς θα λάβουν την ίδια βαθμολογία, αν υπάρχουν 5 δυνατές βαθμολογίες, οι Α, Β, C, D, F; Ουσιαστικά μας ζητείταιτο ελάχιστο πλήθος αντικειμένων, Ν, που πρέπει να τοποθετήσουμε σε 5 κουτιά ώστε τουλάχιστον 1 κουτί να περιέχει τουλάχιστον 6 αντικείμενα άνω ακέραιο μέρος Ν/5 Ν/5+1 6 Ν 25 Αν έχουμε 25 φοιτητές μπορεί ανά 5 να λάβουν μία από τις 5 δυνατές βαθμολογίες οπότε δεν εξασφαλίζεται το ζητούμενο Αν όμως έχουμε 26 φοιτητές τότε ισχύει ότι τουλάχιστον 6 από αυτούς θα λάβουν την ίδια βαθμολογία ΔΗΛ., μετά την επιλογή του 25 ου φοιτητή δεν υπάρχει τρόπος να αποφύγουμε 6 φοιτητέςμείδιαβαθμολογία

43 Γενικευμένη Αρχή του Περιστεριώνα: παράδειγμα 2 Πόσα χαρτιά πρέπει να επιλέξουμε από μια τράπουλα με 52 χαρτιά για να εξασφαλιστεί ότι θα επιλέξουμε 3 χαρτιά το ίδιου «χρώματος»; Ουσιαστικά μας ζητείται το ελάχιστο πλήθος αντικειμένων, Ν, που πρέπει να τοποθετήσουμε σε 4 κουτιά (τα χρώματα) ώστε τουλάχιστον 1 κουτί να περιέχει τουλάχιστον 3 αντικείμενα άνω ακέραιο μέρος Ν/4 Ν/4+1 3 Ν 8 Αν έχουμε 8 χαρτιά μπορεί ανά 2 να έχουν το ίδιο «χρώμα» οπότε δεν εξασφαλίζεται το ζητούμενο Αν όμως έχουμε 9 χαρτιά τότε ισχύει ότι τουλάχιστον 3 από αυτούς θα έχουν το ίδιο «χρώμα» ΔΗΛ., μετά την επιλογή του 8 ου χαρτιού δεν υπάρχει τρόπος να αποφύγουμε 3 χαρτιάτουίδιου «χρώματος»

44 Γενικευμένη Αρχή του Περιστεριώνα: παράδειγμα 3 Πόσα χαρτιά πρέπει να επιλέξουμε από μια τράπουλα με 52 χαρτιά για να εξασφαλιστεί ότι θα επιλέξουμε τουλάχιστον 3 «κούπες»; Μπορεί να είμαστε τόσο «άτυχοι» και να διαλέξουμε όλα τα υπόλοιπα χαρτιά πριν «πετύχουμε κούπα» Πόσαείναιταυπόλοιπαχαρτιά; 39 Άρα, αν επιλέξουμε τουλάχιστον 39+3=42 χαρτιά, σίγουρα θα έχουμε επιλέξει και 3 «κούπες»

45 Γενικευμένη Αρχή του Περιστεριώνα: παράδειγμα 4 Υποθέστε ότι σε μια ομάδα 6 ατόμων, κάθε ζεύγος ατόμων αποτελείται από 2 φίλους ή από 2 εχθρούς. Τότε, στηνομάδα υπάρχουνείτε 3 φίλοι μεταξύ τους είτε 3 εχθροί μεταξύ τους. Έστω Α αυθαίρετο από τα 6 άτομα Από τα υπόλοιπα 5 άτομα, υπάρχουν 3 ή περισσότερα που είναι φίλοι του Α, ή 3 ή περισσότερα που είναι εχθροί του Α ΓΙΑΤΙ; Τα 5 αντικείμενα (άτομα) τοποθετούνται σε 2 κουτιά (φίλοι / εχθροί του Α) τουλάχιστον 1 κουτί περιέχει τουλάχιστον άνω ακέραιο μέρος 5/2 = 3 αντικείμενα Αν το σύνολο με τα τουλάχιστον 3 αντικείμενα είναι φίλοι του Α Και τουλάχιστον 2 από αυτούς είναι φίλοι μεταξύ τους ΟΚ Αλλιώς, όλοι (3) είναι εχθροί μεταξύ τους ΟΚ Αν το σύνολο με τα τουλάχιστον 3 αντικείμενα είναι εχθροί του Α Και τουλάχιστον 2 από αυτούς είναι εχθροί μεταξύ τους ΟΚ Αλλιώς, όλοι (3) είναι φίλοι μεταξύ τους ΟΚ

46 ΟαριθμόςτουRamsey Συμβολίζεται με R(m,n) m,nθετικοί ακέραιοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 2 Συμβολίζει το ελάχιστο πλήθος ατόμων σε συγκέντρωση έτσι ώστε να υπάρχουν ή m φίλοι μεταξύ τους ή n εχθροί μεταξύ τους Με την υπόθεση ότι κάθε ζεύγος ατόμων στη συγκέντρωση είναι φίλοι ή εχθροί Image source: math.info

47 Ασκήσεις (Ι) 1. Σε οποιοδήποτε σύνολο 6 μαθημάτων, θα πρέπει να υπάρχουν 2 που πραγματοποιούνται την ίδια μέρα (δε γίνονται μαθήματα Σαββατοκύριακα) 3. Ένα συρτάρι περιέχει 12 καφέ και 12 μαύρες κάλτσες και κάποιος διαλέγει τυχαία κάλτσες στο σκοτάδι Πόσες κάλτσες πρέπει να πάρει για να έχει σίγουρα ζευγάρι του ίδιου χρώματος; 3 Πόσες τουλάχιστον κάλτσες πρέπει να πάρει για να έχει σίγουρα 2 μαύρες κάλτσες; 12+2=14 5. Σε οποιαδήποτε ομάδα 5 ακεραίων (όχι απαραίτητα διαδοχικών) υπάρχουν 2 μετοίδιουπόλοιποότανδιαιρούνταιμε4 9. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος ατόμων (καθένα τους προέρχεται από τις 28 χώρες της ΕΕ) που φοιτούν σε πανεπιστήμιο για να εξασφαλιστεί ότι υπάρχουν τουλάχιστον 100 από την ίδια χώρα μέλος; άνω ακέραιο μέρος Ν/28=100 Ν 2773

48 Ασκήσεις (ΙΙ) 19. Υποθέστε ότι σε τάξη 25 φοιτητών κάθε άτομο είναι στο 3, στο 2, ή στο 1 έτος. Αποδείξτε ότι: στο μάθημα υπάρχουν τουλάχιστον 9 τριτοετείς, τουλάχιστον 9 δευτεροετείς, ή τουλάχιστον 9 πρωτοετείς φοιτητές Τοποθετώ 25 αντικείμενα (φοιτητές) σε 3 κουτιά (μαθήματα) οπότε τουλάχιστον 1 κουτί έχει τουλάχιστον άνω ακέραιο μέρος 25/3=9 αντικείμενα στο μάθημα υπάρχουν τουλάχιστον 3 τριτοετείς, τουλάχιστον 19 δευτεροετείς, ή τουλάχιστον 5 πρωτοετείς φοιτητές Αν δεν ισχύει η δήλωση, πρέπει να έχουμε το πολύ 2 τριτοετείς και το πολύ 18 δευτεροετείς και το πολύ 4 πρωτοετείς φοιτητές, δηλ., συνολικά το πολύ =24 φοιτητές Άτοπο!

49 Ασκήσεις (ΙΙΙ) 35. Υποθέστε ότι έχουμε 100 υπολογιστές και 20 εκτυπωτές. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος καλωδίων που χρειάζονται για να υπάρχει απευθείας σύνδεση 20 υπολογιστών σε διαφορετικούς εκτυπωτές; 1620 καλώδια είναι αρκετά. ΓΙΑΤΙ; Δίνουμε ετικέτες στους υπολογιστές: Υ1, Υ2, Υ100 Δίνουμε ετικέτες στους εκτυπωτές: Ε1, Ε2, Ε20 20 καλώδια για να συνδέσουμε τον υπολογιστή Υ1 με τον εκτυπωτή Ε1, τον υπολογιστή Υ2 με τον εκτυπωτή Ε2, τον υπολογιστή Υ20 με τον εκτυπωτή Υ20 Τους υπόλοιπους 80 υπολογιστές τους συνδέουμε με όλους τους εκτυπωτές, δηλ., άλλα 80*20=1600 καλώδια Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με λιγότερα από 1620 καλώδια; Ας δούμε αν μπορούμε με =1619 καλώδια Τοποθετούμε 1619 αντικείμενα σε 20 κουτιά Κάθεκουτίλαμβάνεικατάμέσοόρο 80,95 < 81 καλώδια Υπάρχει εκτυπωτής που συνδέεται με λιγότερους από 81 υπολογιστές δηλ., συνδέεται με 80 ή λιγότερους εκτυπωτές υπάρχουν 20 υπολογιστές που δε συνδέονται στον εκτυπωτή αυτόν Αν αυτοί οι 20 υπολογιστές χρειαστεί να τυπώσουν ταυτόχρονα αυτό ΔΕΝ είναι εφικτό αφού συνδέονται μόνο σε 19 εκτυπωτές

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία

Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση: μέτρηση αντικειμένων με ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση. Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Αρχή Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση - μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών

Διαβάστε περισσότερα

Gutenberg

Gutenberg Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός

Διακριτά Μαθηματικά. Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Διακριτά Μαθηματικά Προχωρημένες μέθοδοι απαρίθμησης: Εγκλεισμός- Αποκλεισμός Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού (Ι) Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕ μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1

Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Διακριτά Μαθηματικά 1ο Φροντιστήριο 07/10/2016 1 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Διατάξεις r αντικειμένων επιλεγμένων από n αντικείμενα χωρίς επανατοποθέτηση: P(n, r) = n! (n r)! Αντιμεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: μεταθέσεις και συνδυασμοί Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Μεταθέσεις & Συνδυασμοί Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2016 ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 6 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 6.1 [1 μονάδα] Πόσοι 3ψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται από τα ψηφία 2,3,5,6,7 και 9, τέτοιοι που να διαιρούνται με το 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 7 Αυγούστου 2012 Η είναι ένα κομμάτι των Μαθηματικών που επικεντρώνεται στη "μέτρηση" του πλήθους των αντικειμένων ενός συνόλου. Η ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0

α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0 Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί

Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016

Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/2016 Φροντιστήριο #6 Λυμένες Ασκήσεις στη Συνδυαστική 22/4/206 Ο κανόνας του Pascal + = +,0 ή ισοδύναμα, = +,0 + Απόδειξη + =!!! +!!! = =!!! + =!!!! =!!!! = =!!!! = +!!! =!! = Το τρίγωνο του Pascal = + Για

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Εύη Παπαϊωάννου. papaioan@ceid.upatras.gr papaioan@upatras.gr

Διακριτά Μαθηματικά. Εύη Παπαϊωάννου. papaioan@ceid.upatras.gr papaioan@upatras.gr Διακριτά Μαθηματικά Εύη Παπαϊωάννου papaioan@ceid.upatras.gr papaioan@upatras.gr https://www.ceid.upatras.gr/webpages/faculty/papaioan/dchmnt/2014-2015/dm/index.html Πότε και πού; Παρασκευή, 15.00 18.00,

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙΙ 1 / 16 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Εξεταστέα ύλη. Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016

Διακριτά Μαθηματικά. Εξεταστέα ύλη. Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά Εξεταστέα ύλη Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις Λογική δήλωση σημασία κανόνες λογικής: διαχωρίζουν τα επιχειρήματα σε έγκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2016 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 15/06/2016 Λύσεις Θεμάτων Θέμα 1: [14 μονάδες] 1. [5] Έστω Y(x): «Το αντικείμενο x είναι ηλεκτρονικός υπολογιστής», Φ(y):

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Ακολουθίες Γεννήτριες Συναρτήσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακολουθία: αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13

Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/ / 13 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική-Θέματα & Ασκήσεις 03/11/2016 1 / 13 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = (

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

N(F I G) = = N N(F ) N(I ) N(G)+N(FI ) + N(FG)+N(IG) N(FIG) = = = 200

N(F I G) = = N N(F ) N(I ) N(G)+N(FI ) + N(FG)+N(IG) N(FIG) = = = 200 Διακριτά Μαθηματικά Ι Φροντιστήριο Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού 1 / 9 Σε ένα σχολείο υπάρχουν 1000 μαθητές. Απ αυτούς οι 400 μιλάνε Γαλλικά, οι 300 Ιταλικά και 200 μιλάνε Γερμανικά. Εάν υπάρχουν 200 μαθητές,που

Διαβάστε περισσότερα

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ

και η εκλογή του ενός αποκλείει την ταυτόχρονη εκλογή του άλλου, ΤΟΤΕ 7/10/010 ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΑΝ ένα αντιείμενο A1 μπορεί να επιλεγεί με k1 αι ένα αντιείμενο A μπορεί να επιλεγεί με k αι η ελογή του ενός απολείει την ταυτόχρονη ελογή του άλλου, ΤΟΤΕ ένα οποιοδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 19/04/2016 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΜΥ 3: Διακριτή Ανάλυση και Δομές Χειμερινό Εξάμηνο 26 Σειρά Ασκήσεων 5: Απαρίθμηση, Αρχή της Θυρίδας, Συνδυασμοί και Μεταθέσεις, Γραφήματα και Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Α'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. ιάταξη φυσικών αριθµών 2. Στρογγυλοποίηση 3. Πρόσθεση-Αφαίρεση-Πολλαπλασιασµός 4. υνάµεις 5. Ευκλείδεια ιαίρεση 6. ιαιρετότητα-μκ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations

1.7 Διατάξεις 1. Στην ελληνική βιβλιογραφία επικρατεί ο συμβολισμός. Permutations .7 Διατάξεις Είναι το σύνολο των συμπλεγμάτων που μπορεί να προκύψουν όταν επιλέγονται υποσύνολα που περιέχουν διακεκριμένα στοιχεία από ένα υπερσύνολο διακεκριμένων στοιχείων. Εδώ δεν ενδιαφέρουν οι θέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου

5. 1 ΣΥΝΟΛΑ. Η έννοια του συνόλου ΜΕΡΟΣ Α 5.1 ΣΥΝΟΛΑ 359 5. 1 ΣΥΝΟΛΑ Η έννοια του συνόλου Ονομάζουμε σύνολο στα Μαθηματικά κάθε ομάδα αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους με απόλυτη σαφήνεια Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ. Διαιρετότητα. Πρώτοι αριθμοί

ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ. Διαιρετότητα. Πρώτοι αριθμοί ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013-14 Mathematics knows no races or geographic boundaries; for mathematics, the cultural world is one country. David Hilbert ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Διαιρετότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 μονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέμπτη 21 Ιουνίου 2012 16:30-19:30 Υποθέστε ότι θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική. Που το πάµε. Πείραµα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 ιακριτά Μαθηµατικά, Άνοιξη Πέµπτη, 21/4/2016

Συνδυαστική. Που το πάµε. Πείραµα Συνδυαστική. Το υλικό των. ΗΥ118 ιακριτά Μαθηµατικά, Άνοιξη Πέµπτη, 21/4/2016 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 21/4/2016 Συνδυαστική Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 2 Πείραµα Πείραµα: Οποιαδήποτε διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθµό παρατηρήσιµων

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Μοντελοποίηση Υπολογισμού Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Προβλήματα - Υπολογιστές Δεδομένου ενός προβλήματος υπάρχουν 2 σημαντικά ερωτήματα: Μπορεί να επιλυθεί με χρήση υπολογιστή;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ Θεοδόσης ηµητράκος e-mail: dimitheo@aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική)

ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Οργανωτικά Ζητήματα Επικοινωνία: Επίλυση αποριών, οδηγίες,..., και λοιπά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές;

Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Πόσες από αυτές τις σκακιέρες είναι αλήθεια διαφορετικές; Αυτές οι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 1: Εισαγωγή

Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 1: Εισαγωγή Διακριτά Μαθηματικά Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Σκοποί ενότητας Βιβλιογραφία Αντικείμενο μαθήματος Χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εργαλειομηχανές CNC. Χαρακτηριστικά κώδικα G (ISO) -2/4-

Εργαλειομηχανές CNC. Χαρακτηριστικά κώδικα G (ISO) -2/4- Χαρακτηριστικά κώδικα G (ISO) -1/4- Ορισμός Είναι η γλώσσα προγραμματισμού των ΕΜ CNC Συντάσσεται όπως οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού των υπολογιστών και μπορεί να φέρει λογικές πράξεις και επαναλήψεις

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΟΥΔΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΟΥΔΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΠΟΥΔΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 ΘΕΜΑ Α :

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή Επαναληπτικές Ασκήσεις Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Άσκηση 1 Τι πραγματεύεται το θεώρημα Euler; Απάντηση Ψευδογραφήματα που περιέχουν ένα κύκλωμα στο ψευδογραφήματα, των οποίων ο βαθμός κάθε κορυφής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα