Matemātiskās statistikas pamatjēdzieni

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matemātiskās statistikas pamatjēdzieni"

Transcript

1 Matemātskās statstkas pamatjēdze Uzskatīsm, ka ξ - gadījuma lelums, kas apraksta pētāmā objekta uzvedību (rādītāj par veu, va varākām objekta pazīmēm ). Gadījuma lelums ξ peņem vērtības o kādas kopas X. Kopu X sauksm par ģeerālo kopu (pazīmes vērtību kopu). Peņemsm, ka dot gadījuma leluma ξ mērījumu (ovērojumu, mēģājumu) rezultāt x, x,... x, kas vedo vrk, kuru sauc par empīrsko rdu. Reģstrētās pazīmes vērtības, kas vedo empīrsko rdu, sauksm par ovērojumem (varatem). Models Vekāršākas u tcamākas models r gadījumā, kad ovērojum tka egūt vecot atkārtotus eatkarīgus ekspermetus emaīgos apstākļos. Tas ozīmē, ka skatļus x, x,... x var uzskatīt kā veu gadījuma vektora X = ( X, X,... X ) realzācju x ( x, x,... x ) lelum { X,,,..., } def =, kur gadījuma = - savstarpēj eatkarīg u veād sadalīt, ( FX ( x) = P( X ), ( ) ( ),,,...,, < x FX x = F ξ x = t..,. j PX ( < xx, < y) = PX ( < x) PX ( < y)) j j Vektora X (jeb tā realzācju x) sauc par zlas. Izlases kopas elemetu skatu sauc par zlases apjomu. l Par statstku sauc attēlojumu T : X R, l N. Formalzēt statstsko eotektību pētāmā objektā ozīmē kostruēt objekta stohastsko model: =

2 < X, Fξ( x, θ) >, θ Θ, Fξ( x, θ) = Pθ( ξ < x), x R, kur mūs teresējošā gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja Fξ ( x, θ ) r atkarīga o parametraθ, kas var peņemt vērtības o kopas Θ. def Par varācju rdu sauc ovērojumu rezultātu vrk, ja še rezultāt sakārtot augošā kārtībā. Apzīmējot k-to pēc vērtības ' ovēroto lelumu ar xk, k =,,...,, varam uzdot apskatāmā gadījuma lelumaξ ovēroto vērtību vrk varācju rdas vedā ' ' ' x x x.... Empīrskā sadalījuma fukcja Par empīrsko sadalījuma fukcju sauc fukcju 0, x x k F ( x) =, x < x x, x> x k k+ Empīrskā sadalījuma fukcja r mootoa, epārtraukta o kresās puses u ta r pārtraukuma pukt tka pe argumeta vērtībām, kas veādas ar varācju rdas locekļem. Lēceu lelum pārtraukuma puktos r daudzkārtņ. Pe katra x F ( ) x ordāta r gadījuma lelums ar espējamām vērtībām k 0,,,...,,. Varbūtību otkumam ϖ : F ( x) = pe jebkuras x vērtības aprēķa pēc formulas k k k k P F( x) = = C [ P( ξ < x) ] [ P( ξ < x) ] =.

3 k k k = C Fξ( x) Fξ( x), k =,,...,. Fξ ( x) osaka otkuma { ωξϖ : ( ) < x} varbūtību dotam x, bet F ( x ) dod otkuma { ωξϖ : ( ) < x} bežumu. Apzīmējot ar x -otkuma { ωξϖ : ( ) < x} ovērojumu skatu x, x kur - kopējas ovērojumu skats, egūstam F ( x) =. No pastprātā lelo skatļu lkuma (PLS) seko F ( x) F ( x), x R ar varbūtību. ξ Glveko teorēma:[],[] Ja Fξ ( x) - gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, F ( x )- gadījuma leluma ξ empīrskā sadalījuma fukcja, kas egūta, zmatojot leluma ξ eatkarīgus ovērojumus, tad P( sup F ( x) Fξ ( x) 0) =. < x< Kolmogorova teorēma: [],[] Ja Fξ ( x) epārtraukta gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, F ( x )- gadījuma leluma ξ empīrskā sadalījuma fukcja, D : = sup F ( x) F ( x), tad < x< ξ 0, z 0 P( D < z) K( z), K( z) = k ( ) e k = Pezīme. Fukcja K( z), z > 0 r tabulēta. k z., z > 0 3

4 Statstskā materāla oformēšaa ξ - dskrēts gadījuma lelums ξ statstskas sadalījums tabula, kurā erakstītās augošā kārtībā sakārtotas ovērotās vērtības x, =,..., k, u tām atblstoše bežum, =,,..., k. k =, =,,..., k, =, va relatīve bežum ξ - epārtraukts gadījuma lelums Varācjas rdas varatus apveo k tervālos ( x+, x), =,,..., k, kur x: m{ x, =,..., }, xk+ : max{ x, =,..., }, u saskata ck ovēroto vērtību atrodas katrā tervālā. Novēroto vērtību k skatu katrā -tajā tervālā apzīmē ar, =,,..., k, =. ξ statstskā (varācjas) rda- tabula, kurā dot tervāl augošā kārtībā u tem atblstoše bežum, va relatīve bežum, =,,..., k. Tālākā statstskās (varācjas) rdas apstrādē zvēlas katra tervāla pārstāv x *, =,,..., k, parast tervāla cetru ( va tervāla robežu), u katrā -tajā tervālā oākušos varatus * osacīt uzskata par veādem x. Pemēram, la kostruētu gadījuma leluma ξ empīrsko sadalījuma fukcju, va aprēķātu statstkas vērtības, gadījumā, kad dat uzdot statstskās rdas formā, jāzmato ξ statstskas = 4

5 sadalījums, t.., jākostruē tabula, kurā erakstītas augošā kārtībā sakārtotas ovērotās vērtības x *, =,,..., k u tām atblstoše bežum. Apstrādājot tervālu statstskās rdas, jāleto šād lelum: xm - pazīmes vsmazākā reģstrētā vērtība, bet, ja tā av zāma, prmā tervāla apakšējā robeža, xmaks - pazīmes lelākā reģstrētā vērtība va pēdējā tervāla augšējā robeža, xmaks - xm - varācjas ampltūda jeb apjoms. Parast leto veāda garuma tervālus, bet ja veāda garuma tervālu rdas malējos tervālos bežum r maz va parādās tukš tervāl, tad leto arī eveāda garuma tervālus. Ja av ekādu ctu apsvērumu par vēlamo tervālu garumu, var zmatot Sterdžesa formulu: Δ = x maks x m. + 3, lg Varācjas rdu grafske attēl Varācjas rdu attēlo ar polgou va hstogrammu. Polgou zmato galveokārt dskrētu varācjas rdu attēlošaa. To zvedo šād: koordātu sstēmā atlek puktus, kuru koordātas attecīg r pazīmes vērtības (varat) u to bežum, va relatīve bežum. Blakus esošos puktus saveojot ar tases ogrežņem, egūst polgou. Hstogrammu leto galveokārt tervālu varācjas rdu attēlošaa. Uz abscsu ass atlek ogrežņus, kas atblst varācjas rdas tervālem. Peņemot tos par pamatem, vrs katra tervāla kostruē tasstūr, kura laukums veāds ar dotā tervāla relatīvo bežumu, =,,..., k, va bežumu. 5

6 Ja katrā tervālā relatīvo bežumu (bežumu) dala ar tervāla garumu h = x+ x, =,..., k, tad egūtas skatls r tasstūra augstums, =,..., k, =,,..., k. Plas relatīvo h h bežumu hstogrammas laukums r veāds ar. Bežumu hstogrammas laukums r veāds ar..pemērs. Lauksamecības uzņēmumu sadalījums pēc graudaugu ražības. Grupas Graudaugu ražība, Samecību skats Nr. ct/ha x x + 0,0 4,0 4,0 8,0 8,0,0,0 6,0 6,0 30,0 30,0 34,0 x relatīvas bežums (%) ,03 0,7 0,30 0,8 0,7 0,05 Kopā =55 00.tabula h x.zīm. Graudaugu ražības relatīvo bežumu hstogramma. 6

7 F (x) x-ražība, - samecību skats (.tabulas dat r grafsk lustrēt.attēlā) zīm. Graudaugu ražības empīrskā sadalījuma fukcja. x.pemērs. Peņemsm, ka 0 studetu grupa, kārtojot eksāmeu, r eguvus šādas atzīmes (desmt ballu sstēmā): 7;5;6;9;7;8;3;4;4;7. Studetu sadalījums pēc atzīmēm: x tabula x zīm. Atzīmju bežumu polgos. 7

8 F (x) x 4.zīm. Atzīmju sadalījumu empīrskā sadalījuma fukcja. Varācjas rdas raksturotāj Statstske raksturotāj jāatspoguļo statstskā objekta (parādības) objektīvās īpašības. Statstkā zmato rādītājus, kur īs u kocetrēt raksturo galveās sadalījuma īpašības. Šos rādītājus aprēķa teš pēc sākotējem datem. Datus apstrādā ar datortehku. Peņemsm, ka dota zlase ( x, x,..., x ). Empīrskas (artmētskas) vdējas -- x = = x svērtas (dat sagrupēt) -- x = k = x. 8

9 Empīrskas l-tās kārtas sākuma momets-- l x = α l :, = l N l ( x ) = svērtas -- αl : =, l N Empīrskas l-tās kārtas cetrālas Empīrskā dspersja -- k l ( x x) = momets -- β l : =, l N k l ( x x) = svērtas -- βl : =, l N ( x x) x : ( ) β = = = = α α = = = s Var x x Ja dot kāda dvdmesju gadījuma leluma ( ξ, η ) ovērojum, {( x, y),,,..., } xy : = = = ( x y ) x y k = tad -- empīrskas -ās kārtas sākuma momets, k N -- empīrskas k-tās kārtas sākuma momets. 3.Pemērs. Aprēķāt vdējo mēeša darba algu 8 clvēku brgāde, ja atsevšķem brgādes strādekem šajā mēesī r zmaksāts: 5,7; 30,9; 90,5; 50,3; 0,50;,93; 9,0; 05,9(lat). Mūsu rīcībā r teš, esagrupēt dat par katra strādeka algu. Tādēļ r jāleto empīrskā (esvērtā) vdējā formula. 9

10 Izdarot aprēķus 8 x = x = = 6,9( lat) 8 Strādeka vdējā mēeša alga pēc oapaļošaas r 7lat. 8 x = Var( x) = x = 306, S = Var( x) = Medāa varācjas rdas vdū esošā varats. Ja veību skats varācjas rdā r epāra skatls m+, tad medāa r x m+. Ja veību skats r pāra skatls m, tad medāa r varatu x m u x m+ artmētskas vdējas. x + x + Me=x m+, ja =m+; Me= m m, ja =m. La atrastu medāu tervālu varācjas rda -- jāatrod medāas tervāls ( xl, x l + ). Medāas tervāls r tas, kurā uzkrāte absolūte bežum prmo rez pārsedz pus o kopas veību skata va kurā uzkrāte relatīve bežum prmo rez pārsedz 50% -- peņemot, ka medāas tervāla etvaros varat sadalās vemērīg, zmato terpolācjas formulu l (0.5 )( xl+ xl) = Me = xl + l Pemēram, -ajā pemērā o -ās tabulas atrodam medāas tervālu. Tas r (,6), jo tajā uzkrātas relatīvas bežums prmo rez pārsedz 0.5 (50%), (pemērā teš 50%). Me= Par modu Mo sauc varatu, kurš sadalījuma rdā r sastopams vsbežāk. 0

11 Dskrētā varācjas rda gadījumā moda olasāma teš kā varats ar vslelāko absolūto va relatīvo bežumu. Nepārtrauktā gadījumā varācjas rdu vsprms attēlo ar hstogrammu. Pēc tam, la atrastu modu tervālu varācjas rda: -- jāosaka modas jeb modālas tervāls ( xl, x l + ). Tas r tervāls ar vslelāko bežumu. -- peņemot hpotēz, ka sadalījums tervālu etvaros r vemērīgs, modu aprēķa pēc terpolācjas formulas : ( xl+ xl)( l l ) Mo = xl + l l+ l Tā, -ajā pemērā modālas tervāls r (8, ), Mo =,5. Nosakot medāu, ņem vērā vsus rdas locekļus, bet modu osaka galveokārt modālas tervāls; terpolācjas gadījumā bez tam ņem vērā vēl prms modālo u pēc modālo tervālus. Modu leto galveokārt tad, ja r svarīg zdalīt teš to varatu, kurš sastopams vsbežāk. Pemēram, preču peprasījuma statstkā moda var būt vsbežāk peprasītas apavu zmērs, gatavo apģērbu zmērs utt. Šajā gadījumā artmētske vdēje r mazozīmīg, jo av vajadzīgs u av paredzēts ražot, pemēram, apavus, kuru zmērs teš atblstu artmētskajam vdējam (zmēram). Parametru ovērtējumu īpašības [],[] Peņemsm, ka gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja Fξ ( x, θ ) satur ezāmu parametru θ. Peņemsm, ka dota zlase x=( x, x,... x ).

12 Par parametra θ ovērtējumu sauc fukcju T( x, x,... x ), kas atkarīga tka o ovērotājām vērtībām x, x,... x, kura kaut kādā ozīmē tuva ovērtējamam parametram θ. Statstku T( x, x,... x ) sauc par parametra θ eovrzītu (eobīdītu) ovērtējumu, ja jebkuram ET( x, x,... x ) =θ. Pretēja gadījumā ovērtējums r ovrzīts. Statstku T( x, x,... x ) sauc par parametra θ asmptotsk eovrzītu ovērtējumu, ja lm ET ( x, x,... x ) = θ. Statstku T( x, x,... x ) sauc par parametra θ būtsku ovērtējumu, ja ε, δ > 0 0: > 0 P( T( x, x,..., x ) θ > ε) < δ, T( x, x,... x ) koverģē pēc kas ozīmē, ka statstka varbūtības uz skatl θ. Statstku T*( x, x,... x ) sauc par parametraθ efektīvu ovērtējumu, ja m DT( x, x,... x ) = DT. T { T: ET= θ } Tas ozīmē, ka pe dota zlases apjoma starp eovrzītem ovērtējumem statstka T*( x, x,... x ) r vsmazākā dspersja. Pemēram, Ex = Eξ, ES = Dξ, kas ozīmē, ka empīrskas vdējas r eovrzīts ovērtējums matemātskaja cerība, bet empīrskā dspersja r asmptotsk eovrzīts ovērtējums teorētska dspersja. ( x x) = Savukārt, statstka s : = S = būs eovrzīts ovērtējums teorētska dspersja, jo zpldās Es = Dξ. Empīrske raksturlelum r ozīmīg, jo pe lelem te r tuv, koverģeces pēc varbūtības ozīmē, atblstošem teorētskem lelumem.

13 Teorēma [],[8]. Ja, spēkā sekojošas sakarības (vsur koverģece pēc varbūtības) F ( ) ( ) x Fξ x jebkuram x, x, < x < k x k k αk = = Eξ,jaEξ < ( x x) = S = Dξ, ja Eξ <. Atzīmēsm, ka dažrez būtsks, bet ovrzīts ovērtējums dod labāku rezultātu. Kā lkums, ar tešem aprēķem var pārbaudīt va parametra θ ovērtējums r ovrzīts, va eovrzīts. La pārbaudītu va ovērtējums r būtsks, va ebūtsks jāleto LSL u sekojošu lemmu. Lemma. Ja gadījuma lelumu vrke (, ) ξ koverģē pēc varbūtības uz skatl a, gadījuma lelumu vrke (, ) η koverģē pēc varbūtības uz skatl b, dvu maīgo x u y fukcja f ( xy, ) epārtraukta puktā x = ay, = b, tad f ( ξ, η ) f( a, b) pēc varbūtības. La pārbaudītu va ovērtējums r efektīvs, va av jāleto Rao- Kramera eveādību. 3

14 Teorēma[],[9]. Peņemsm, ka px (, θ ), x= ( x, x,... x ) r gadījuma vektora X = ( X, X,... X ) varbūtību sadalījuma blīvuma fukcja, parametrs θ R, u spēkā osacījum: a) kopa G = { x R : p( x, θ ) > 0} av atkarīga o parametra θ (regulāras osacījums) b) blīvuma fukcjas logartms dferecējams pēc θ x G u l px (, θ) l px (, θ) I : = p( x, θ ) dx= E <, θ θ G tad jebkuram parametra θ eovrzītam ovērtējumam θ = T( X, X,..., X) zpldās Rao-Kramera eveādība E( θ θ) = var( θ). I I -(Fšera koefcets) r formācjas daudzums par parametru θ zlasē X = ( X, X,... X ). Saskaņā ar mūsu model, zlases vsas kompoetes r eatkarīgas u veād sadalītas, tātad I = I, kur l px (, θ ) I = E r formācjas daudzums par parametru θ θ veā kompoetē X. Rao-Kramera eveādība osaka parametraθ ovērtējuma dspersjas zemāko robežu. Tātad, ja kaut kāda parametraθ eovrzīta statstka to sasedz, tad varam apgalvot, ka statstka r parametraθ efektīvs ovērtējums. Pemēr... Peņemsm, ka ξ N( θσ, ), kur x, x,..., x r gadījuma lelumaξ vērtību zlase, ko zmatosm, la egūtu 4

15 parametra θ efektīvu ovērtējumu. Šm olūkam uz ovērojumem ( x, x,..., x ) skatāmes kā uz -dmesju gadījuma leluma ( X, X,..., X ) veu vērtību. Gadījuma lelum X, =,,..., kopumā eatkarīg u veād sadalīt, F ( x) = F ( x). X ξ ( x θ) l p( x, θ) l px (, θ) = l πσ = σ θ x θ X θ = E I = =. σ σ σ σ No šejees varam secāt, ka statstka x, kura Ex = θ u σ Dx =, r parametra θ efektīvs ovērtējums.. La gadījuma lelums η sadalīts pēc ekspoecālā lkuma ar ezāmo parametru λ > 0. Ievērojot, ka Eη =, Dη = λ λ σ u ka Ex E, Dx η = η =, evedīsm jauu parametru θ : = λ u tam meklēsm efektīvu ovērtējumu. x x l px (, θ ) θ px (, θ) = e, x> 0 l px (, θ) = lθ = θ θ θ x x = + I = p( x, θ ) dx I. 0 θ θ + = = θ θ θ θ Līdz ar to statstka x r eovrzīts u efektīvs ovērtējums parametram θ : =. λ 5

16 Parametru ovērtējumu atrašaas metodes [],[9] I.Vslelākās tcamības metode Uzskata, ka ekspermeta rezultātā esam eguvuš vstcamākās vērtības, tas ozīmē: a) dskrētem gadījuma lelumem - Pθ ( X = x, X = x,..., X = x) = : L( x, x,..., x, θ ), max Lx (, x,..., x, θ) = Lx (, x,..., x, θ). θ Par parametra θ ovērtējumu ņemsm θ, kas dod tcamības Lx (, x,...,, ) fukcjas x θ maksmumu. Ja ξ r dskrēts gadījuma lelums, kuram -vērtību zlasē r r ovērotas vērtības x, x,..., x r ar atblstošem bežumem,,..., =, tad, r r = ņemot vērā X, =,,..., eatkarību, tcamības fukcju varam pārrakstīt formā r L( x, x,..., xr, θ ) = Pθ ( X = x). b) epārtrauktem gadījuma lelumem - Peņemsm, ka eatkarīgu ovērojumu rezultātā otek varbūtīgas otkums, t.., ( [, ], [, ],..., [, ], θ ) P X x x+ dx X x x+ dx X x x+ dx = = max θ Par parametra θ ovērtējumu, tāpat kā dskrētā gadījumā, ņem θ, kas dod tcamības fukcjas = 6

17 Lx (, x,..., x, θ ) = px (, θ ) maksmumu, kur pxθ (, ) r = gadījuma leluma ξ sadalījuma blīvuma fukcja. Tātad, jāatrsa veādojums dl( x, x,..., x, θ ) = 0. dθ Atrsājums, kas dod tcamības fukcjas maksmumu, būs parametra θ ovērtējums. Ieprekšējā veādojuma vetā rezēm ērtāk apskatīt šādu veādojumu dl L( x, x,..., x, θ ) dl( x, x,..., x, θ ) = = 0. dθ dθ L Dvu ezāmo parametru θ u θ gadījumā jāatrsa veādojumu sstēma Lx (, x,..., x, θ, θ) l Lx (, x,..., x, θ, θ) = 0 0 θ = θ va Lx (, x,..., x, θ, θ) l Lx (, x,..., x, θ, θ) = 0 = 0 θ θ Pemēr.. Novērtēsm otkuma A varbūtību p, ja otkums A eatkarīgos mēģājumos parādījes m rezes. Varbūtību p uzskatīsm par parametru, kas etpst dskrētā gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcjā. Gadījuma lelums ξ peņem tka dvas vērtības: x =, x = 0 atkarībā o tā, va otkums A dotajā mēģājumā otek va ē. Tātad, tcamības fukcja būs o kurees m m Lx (, x,..., x, θ) = p ( p), 7

18 dl L( x, x,..., x, p) m m = = 0. dp p p m Līdz ar to p = = x. Tātad, varbūtības p ovērtējums r = otkuma A parādīšaās relatīvas bežums X m p = = = x =. Šs ovērtējums būtsks (lelo skatļu lkums) u eovrzīts, jo X E( X) = = p Ep = E = = = p, kā arī asmptotsk ormāls (cetrālā robežteorēma).. Peņemsm, kaξ r gadījuma lelums, sadalīts pēc Puasoa lkuma ar ezāmo parametru μ > 0, t.., gadījuma lelums, kas peņem eegatīvas veselu skatļu vērtības ar μ μ varbūtībām P( ξ = ) = e, μ > 0, = 0,,,....! Peņemsm, ka eatkarīgos mēģājumus ovērotas gadījuma leluma ξ vērtības x, x,..., xk ar atblstošem bežumem,,..., k, =. Tad k = μ μ Lx (, x,..., x, ) P ( X x) ( e ),! k k x k μ = = = = = x k k dl L x l L= [ x l μ l x! μ], = [ ] = 0, μ = dμ = 8

19 k x X μ = = = = = k x μ = = = x. 3. Peņemsm, ka ξ N( μσ, ), t.., gadījuma lelums ξ r sadalīts pēc ormālā sadalījuma lkuma ar ezāmem parametrem μ u σ. x, x,..., x gadījuma leluma ξ vērtību zlase, Peņemsm, ka kuru zmatosm, la egūtu parametru μ u σ ovērtējumu. Tad o sakarības Lx (, x,. x,.., μ, σ ) = ( ) exp{ ( ) } x μ πσ σ = l L = l π l σ ( x ) }. μ σ Veādojum μ u = σ ovērtējumu egūšaa r sekojoš: Atrodam L = ( x ) 0 μ = μ σ = L = + 4 = σ σ σ ( x μ) 0 = ( X x) = μ = x, σ = = S. Prmas ovērtējums-eovrzīts, būtsks u efektīvs, otrasasmptotsk eovrzīts u būtsks.. 9

20 4. Peņemsm, ka gadījuma lelums ξ vs..[ a, b], t.., varbūtību sadalījuma blīvuma fukcja gadījuma leluma ξ r, x [ ab, ] pxab (,, ) = b a. 0, x [ ab, ] Peņemsm, ka x, x,..., x gadījuma leluma ξ vērtību zlase, kuru zmatosm, la egūtu parametru a u b ovērtējumu. Tcamības fukcja Lx (, x,..., x, ab, ) = r ezāmo ( b a) parametru a u b fukcja u maksmumu sasedz pe a = m X, b = max X. Vslelākās tcamības metode -dod būtskus, kaut arī rezēm ovrzītus ovērtējumus, kas asmptotsk ormāl sadalīt; - kaut kāda ozīmē vslabāk zmato vsu ovērojumu zlases doto formācju par ezāmo parametru. II. Mometu metode Šī metode dod vekāršākus u ērtākus raksturojumus: zlases sākuma momet kalpo par ovērtējumem gadījuma leluma ξ sadalījuma atblstošem teorētskem sākuma mometem, kas satur ezāmus parametrus. Savukārt ovērtējame parametr zsakās kā teorētsko mometu zāmas fukcjas. Azvetojot tajās teorētskos mometus ar to ovērtējumem, egūstam parametru ovērtējumus. 0

21 Pemēr. a) Peņemsm, ka gadījuma lelums ξ vs..[ a, b]. x, x,..., x r gadījuma leluma ξ vērtību zlase, kuru zmatosm, la egūtu parametru a u b ovērtējumu ar mometu metodes palīdzību. Ir zāms, ka ( ) Eξ = b+ a, Dξ = b a. b+ a x = b = x + 3S Tad, ( b a). S a = = x 3S b) Aplūkosm kā egūt korelācjas koefceta ovērtējumu zmatojot mometu metod. def cor( ξ, η) ρ( ξη, ): = = E( ξ Eξ)( η Eη) = σσ ξ η σσ ξ η = ( Eξη Eξ Eη ). σσ ξ η Azvetojot teorētskos mometus ar to ovērtējumem, egūstam sstēmu x = Eξ y = Eη xy = = Eξη sx = σ ξ sy = ση rxy, = ( xy x y ) ss x y

22 Tātad, r( xy, ) = Cov( x, y) Cov( x, y) = = Var( x) Var( y) ss x y ss x y ( xy xy ) r korelācjas koefceta ρ( ξη, ) ovērtējums. Vsbežāk sastopamās sadalījuma fukcjas[6],[8] Vemērīgas sadalījums [ ab,, ] ξ vs..[ a, b] Varbūtību blīvuma fukcja r 0, x a px ( ) =, a< x b ( ) b a, Eξ = b+ a, Dξ = b a, x> b Normālas sadalījums, ξ Na (, σ ) Normālā sadalījuma blīvuma fukcja r ( x a) σ (,, ),, 0 pxaσ = e a R σ > πσ Eξ = a, Dξ = σ, Mo( ξ) = Me( ξ) = a. Pa ( 3σ < ξ < a+ 3 ξ) = Ja σ = u a=0, tad sadalījumu sauc par stadartu (ormētu) ormālo sadalījumu. Daudzdmesju ormālas sadalījums, ξ NaM (, )

23 ξ = ( ξ, ξ,..., ξ ), a = ( a, a,..., a ), a R k, k M -smetrskā, poztīv defīta matrca. Daudzdmesju sadalījumu sauc par ormālu, ja tā blīvuma fukcja r k π pxaa (,, ) = ( ) A exp{ ( Ax ( a),( x a)}, k kur x R, A - matrcas A determats, (.,. )-skalāras - rezājums, M : = A = cov( ξ, ξ j),, j =,,..., k - kovarācjas matrca. - Ja A r dagoālmatrca, tad ormālā vektora ξ kompoetes eatkarīgas u k ( x a ) pxaa (,, ) = ( π ) σ exp = σ. Spēkā arī pretējs apgalvojums, ja ormālā vektora kompoetes eatkarīgas, tad atblstošā kovarācjas matrca dagoāla. Dvdmesju ormālā sadalījuma blīvuma fukcja r šāda: pxy (, ) = ( x a) ( x a)( y b) ( y b) = exp ρ + πσ ( ρ) σ ξση ρ ξ σξση σ η kur ρ( ξη, )-korelācjas koefcets, Eξ = ae, η = b. k Lemma [] ξ ~ NaM (, ), η = Cξ η ~ NCaCMC (, ) χ sadalījums. Pīrsoa jeb Peņemsm, ka ξ N(0,), =,,...,, eatkarīg 3

24 χ ξ = χ sadalījumu ar brīvības pakāpēm (hī- kvadrāts ar Gadījuma leluma brīvības pakāpēm). χ sadalījuma blīvuma fukcja r p χ kur r brīvības pakāpes. = sadalījumu sauc par Prsoa jeb x x e, x> 0, ( x) = ( ) Γ 0, x 0, χ Eχ =, Dχ =, τ pēc sadalījuma, kur τ N (0,). 5.zīm. χ sadalījumu blīvuma fukcjas. 4

25 Stjūdeta jeb t-sadalījums. Peņemsm, ka ξ ~ N (0,), χν = χν r eatkarīg gadījuma lelum. ξ χ Gadījuma leluma t ν = ν sadalījumu sauc par Stjūdeta jeb t-sadalījumu ar ν brīvības pakāpēm. t ν sadalījuma blīvuma fukcja r ν ν + ν + Γ x pt ( x) =, x (, ). ν πν ν + ν Γ Ja ν =, tad egūstam Koš sadalījumu. τ pēc sadalījuma, kur τ N (0,) t ν ν 6.zīm. t-sadalījumu blīvuma fukcjas. 5

26 F-sadalījums. Peņemsm, ka χ, χ - eatkarīg gadījuma lelum. m χm Gadījuma leluma χ m jeb F- sadalījumu ar m u brīvības pakāpēm. F m sadalījuma blīvuma fukcja r, = Fm, sadalījumu sauc par Sedekora m+ m m+ Γ m m m x + x, x> 0, pf ( x) = m m, Γ Γ 0, x 0. Ja m=, tad F, t. 7.zīm. F-sadalījumu blīvuma fukcjas. 6

27 Gadījuma leluma z = l F m, sadalījumu sauc par Fšera sadalījumu ar m u brīvības pakāpēm. Peņemsm, ka ξ epārtraukt sadalīts gadījuma lelums ar sadalījuma fukcju F ξ (x) Atradīsm gadījuma leluma η = Fξ (ξ ) sadalījuma fukcju. No tā, ka Fξ ( x) [0,] zret 0, x 0, Fη( x) = P( η < x) = P( Fξ( ξ) < x) =., x >. Ja x (0,) egūstam F ( x) = P( η < x) = P( F ( ξ ) < x) = η ξ = P < F x = F F x = x < x. ({ ω: ξ ξ ( )}) ξ( ξ ( )), 0 Līdz ar to 0, x 0 Fη ( x) = x, 0< x, x > Tādējād, gadījuma lelums η r vemērīg sadalīts segmetā [0,]. Izmatojot formulu ξ = ( η) varam modelēt epārtraukt sadalītus F ξ gadījuma lelumus (η - vemērīg sadalīts [0,] gadījuma lelums).. 7

28 Statstkas, sastītas ar ormālo zlas Kokrea teorēma [] Ja gadījuma vektora ξ = ( ξ, ξ,..., ξ ) kompoetes r eatkarīgas u sadalītas pēc stadarta ormālā sadalījuma lkuma u eksstē k kvadrātskas formas ( Vjξ, ξ ), j =,,..., k ar atblstošem ragem,,.., k, kurām ( Vjξξ, ), k ξ = = j= tad r spēkā šād apgalvojum:. o veādības k j= j = seko, ka katra kvadrātska forma ( Vjξ, ξ ), j =,,..., k r χ j sadalījums u tās vsas r eatkarīgas;. ja katra kvadrātska forma ( Vjξ, ξ ), j =,,..., k r χm j sadalījums, tad katra šī sadalījuma brīvības pakāpju skats m j veāds ar atblstošo kvadrātskās formas ragu, j =,,..., k u r spēkā j k j = ; j= 3. ja vsas kvadrātskās formas ( Vjξ, ξ ), j =,,..., k r eatkarīgas kopumā, tad katra šī gadījuma leluma k sadalījums r χ j =,,..., k u r spēkā j =. j Teorēmas rezultātus bež zmato matemātskajā statstka, vecot pētījumos, kas sastīt ar ormālo sadalījumu. j= Saskaņā ar mūsu model, o Kokreas teorēmas seko: 8

29 a) ja ξ N (0,), y = ( y, y,... y ) r gadījuma ξ zlase, tad s y Perādījums. pārrakstīsm formā y χ Kvadrātskās formas N(0,) u eatkarīg. y ( y y) = = = + y y = ( y y) + y. = = ( y y) = rags veāds ar -, savukārt kvadrātskās formas y rags veāds ar. Tā kā zpldās Kokrea teorēmas prmā apgalvojuma osacījum varam secāt, ka sy χ, y χ u tās r eatkarīgas. Ievērojot gadījuma leluma χ = τ, kur τ N(0,), defīcju egūstam: s, (0,) y N eatkarīg. y b) ja χ ξ Na (, σ ), ( x a) σ p( xa,, σ ) = e, a R, σ R πσ x= ( x, x,... x )- r gadījuma ξ zlase, tad + 9

30 x a N(0,) σ sx = χ σ eatkarīg Perādījums. Saskaņā ar mūsu model, gadījuma vektora y = ( y, y,... y ), x a kur y : =, =,,...,, kompoetes eatkarīgas kopumā σ u sadalītas pēc stadarta ormāla sadalījuma lkuma. Tādējād, o pukta (a) seko, ka s x s = y y = x x = χ, ( ) ( ) y = σ = σ x a y= N(0,), u tās r eatkarīgas, kas arī bja σ jāperada. x a t (pēc t-sadalījuma defīcjas) s s σ = χ (pēc χ -sadalījuma defīcjas) c) x= ( x, x,..., x ), y= ( y, y,... y ) dvas Peņemsm, ka eatkarīgas zlases o sadalījumem: = m ( x a ) σ ξ Na (, σ ), pxa (,, σ ) e, πσ a R R =, σ +,,. 30

31 Ja ξ, ξ -eatkarīg, tad kur sm ( ) σ s σ = F (, m ), sm x zl, x y ( ) σ szl, yσ ( x x) ( y y) = = zl, x =, szl, y = s (seko o F-sadalījuma defīcjas). d) Jaξ gadījuma lelums ar sadalījuma fukcju Fξ ( x), Eξ = a, Dξ = σ, x= ( x, x,... x )- r gadījuma ξ zlase, u zlases apjoms r lels, tad o Cetrālās Robeža teorēmas (CRT), x a N(0,) σ e) ξ gadījuma lelums ar sadalījuma fukcju Fξ ( x), varācjas rdas varatus apveo k tervālos: ( x+, x), =,,..., k, x: = m{ x, =,..., }, xk+ : = max{ x, =,..., }, - ovēroto vērtību skats katrā -tajā tervālā, =,,..., k, zlases apjoms r lels, tad k ( p) p χk l, = ξ + ξ + ξ =, k k =, = p = P( ( x, x )) = F ( x ) F ( x ), =,,..., k, x x + =, l- ovērtējumu skats, kas r epecešams la aprēķātu p, =,,..., k. 3

32 Tcamības tervāla kostruēšaa Peņemsm, ka Fξ ( x, θ ) r gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, fukcja zāma, bet satur ezāmu parametru θ, θ R. Peņemsm, ka x = ( x, x,... x ) -gadījuma leluma ξ vērtību zlase, ar kuru palīdzību tka egūts parametra θ ovērtējums γ ( x, x,..., x ). Nepecešams vēl ovērtēt ovērtējuma precztāt u drošību, t.., jāoskadro, kādas kļūdas rada ezāmā parametra azvetošaa ar tā ovērtējumu. Tas sevšķ svarīg, ja ovērojumu skats r maz. Peņemsm, ka egūts parametra θ eovrzīts ovērtējums γ ( x, x,..., x ). Jo mazāks θ γ, jo precīzāk ovērtējumsγ ( x, x,..., x ) osaka parametruθ. Tātad, ja θ γ < δ, tad skatls δ raksturo ovērtējuma precztāt. Statstskās metodes ļauj sprest tka par varbūtību β, ar kādu realzējas pēdēja eveādība. Par parametra θ ovērtējuma γ ( x, x,..., x ) drošību va tcamības varbūtību sauc varbūtību β, ar kādu realzējas eveādība θ γ < δ. Ņemsm, pemēram, varbūtību β petekoš lelu, tādu, la otkumu ar varbūtību β varētu uzskatīt par praktsk drošu, t.., β [0.95;0.999]. Tad P( θ γ < δ) β, va arī P( γ δ < θ < γ + δ) β, t.., azvetojot parametru θ ar γ ( x, x,..., x ), kļūda būs dapazoā δ, va ar varbūtību β ezāmā parametra θ vērtība būs tervālā ( ) J θβ = γ δγ+ δ. Kļūda, pēc absolūtās vērtības lelāka ekā δ,,, 3

33 parādīses ar varbūtību, kas mazāka par α = β. Šādā gadījumā tervālu J θβ, = ( γ δγ, + δ) sauc par parametra θ tcamības tervālu ar drošības koefcetu β. Ja varbūtību teorjas kursā apskatīja varbūtību, ar kādu gadījuma lelums peņem vērtības o dotā tervālā, tad šet ctād, šet θ r J θβ = γ δγ+ δ r gadījuma tervāls. kostate, bet ( ),, β - av varbūtība tam, ka θ būs dotajā tervālā, bet varbūtība tam,, =, + pārklās puktu θ. Tcamības tervālu var uzskatīt par tādu θ vērtību tervālu, kas saska ar ovērojumu rezultātem, av ar tem pretruā. Tās θ vērtības, kam θ γ > δ, var uzskatīt par pretruīgām ovērojumem, jo tāda otkuma varbūtība mazāka par α = β, t.., praktsk eespējams gadījums. Teorētsk tcamības tervālu ar tcamības varbūtību, pemēram, 0.5, var lustrēt sekojoš: ja zdarītu ovērojumu sērjas, tad puse o tcamības tervālem, kas kostruēt pēc katras sērjas ovērojumem, segtu ovērtējamo parametra θ. ka gadījuma tervāls J θβ ( γ δγ δ) Peņemsm, ka Fξ ( x, θ ) r gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, θ, θ Ξ - parametrs. x = ( x, x,... x ) -gadījuma leluma ξ vērtību zlase, γ( x), γ( x) statstkas, α {0.05;0.0;0.00}- ozīmības līmes, β = α - drošība, T( x, θ )- gadījuma fukcja o ovērotājām vērtībām x, x,... x u parametra θ : k T : X Ξ R, k N = Jθ, α = ( γ( x), γ ( x)) sauc par parametra θ tcamības tervālu, ja zpldās P(( γ ( x) < θ < γ ( x)) = α, 33

34 t.., ar varbūtību β = α tervāls ( γ ( x), γ ( x)) ar gadījuma galem γ ( x) u γ ( x) pārklāj parametra θ pateso vērtību..teorēma[9] Ja T( x, θ ) : F ( t), t R av atkarīga o θ, θ Ξ T( x, θ ) x T( x, θ) pēc θ eatkarīg o x ves veīgs atrsājums T( x, θ ) = t attecība pret θ tad, x T( x, β), T( x, β): Pθ ( x: T( x, β) < θ < T( x, β)) = β, β = α drosība Pemēram, gadījumā, kad T( x, θ) vsem x u β = p- p egūstam Pθ( T( x, θ ) < t ) = FT( x, θ) ( t) = p t( p) Pθ( T( x, θ ) < t ) = FT( x, θ) ( t) = p t( p). Tātad β = P( t ( β) < T( x, θ) < t ( β)) = P( T ( x, t ) < θ < T ( x, t )) Nezāmā parametra θ tcamības tervāls būs Jθβ, = ( T ( x, β), T ( x, β)), x - zlase, β -drošība. Jθβ, = ( T ( x, β), T ( x, β)) r tādu θ vērtību tervāls, kas saska ar ovērojumu rezultātem, t.., av ar to pretruā. Vēlams, la tervāla garums, kas r gadījuma lelums, būtu mazāks. Tomēr, vsbežāk tervāla robežas t, t zvēlās tā, la α Pθ( T( x, θ) > t) = Pθ( T( x, θ) < t) =. 0 34

35 Pemēr.. Ar uzdoto drošību β otekt tcamības tervālu ormāl sadalīta gadījuma leluma ξ parametram θ := Eξ, ja zāma Dξ = σ. x θ T( x, θ ) = apmera teorēmas osacījumus. Līdz ar to: σ x θ T( x, θ ) = N(0,) ; σ ar Laplasa fukcjas tabulām, pe uzdota β atrodam t o veādojumā x θ β = P < t < t σ, o šejees egūstam tσ tσ β = P x < θ < x+ ; tātad, matemātskās cerības tcamības tervāls ormāl sadalītam gadījuma lelumam ξ, gadījumā, kad Dξ = σ zāma, r tσ tσ Jθβ, = x, < x+.. Gadījuma lelums ξ ormāl sadalīts ar ezāmem parametrem θ 0, θ. Aalzējot zlas x= ( x, x,... x ), kostruēt ar uzdotu drošību β tcamības tervālus parametrem θ 0 u θ. x θ0 a) T( x, θ0) = apmera teorēmas osacījumus. s x θ0 T( x, θ0) = t (Stjūdeta sadalījums ar - s brīvības pakāpēm); ņemot vērā, ka gadījuma leluma t ν ar ν brīvības pakāpēm sadalījuma blīvuma fukcja r pāra fukcja, secām, ka 35

36 t = t = t evērojot eprekšējo, pēc Stjūdeta sadalījuma fukcjas tabulām, atrodam t o veādojuma x θ 0 β = P t< < t. s Ievetojot t = t = t formulā, egūstam ts ts β = P x < θ0 < x+ 8.zīm.Smetrsks tervāls zem Stjūdeta sadalījuma līkes. līdz ar to secām, ka pe uzdota β matemātskās cerības tcamības tervāls ormāl sadalītam gadījuma lelumam ξ, gadījumā, kad dspersja ξ av zāmā, r ts ts Jθ x, x. 0, β = < + 36

37 s b) T( x, θ) = χ u apmera teorēmas osacījumus. Līdz ar θ to uzdotam β var atrast bezgalīg daudz skatļu pāru ( t, t ) tādu, ka Pt ( < χ < t) = β. Skatās letderīg tervāla robežas t u t zvēlētes tā, la zpldās β α Pθ ( T( x, θ ) > t) = Pθ( T( x, θ) < t) = =. 9.zīm. Itervāls zem χν sadalījumu blīvuma fukcjas. t u t atrod o tabulām u eveto formulā ( s ) s s β = Pt < < t = P < θ < θ t t ; o šejees secām, ka pe uzdota β dspersjas tcamības tervāls ormāl sadalītam gadījuma lelumam ξ r s s Jθ, β=,. t t.pezīme. Dspersjas tcamības tervāla kostruēšaa mēs letojam gadījuma leluma χ ν sadalījuma tabulas, kurās parast brīvības pakāpes ν

38 Izmatosm faktu, ka Eχ = ν, Dχ = ν u to, ka gadījuma ν ν χ leluma ν ν sadalījuma fukcja, ja ν, tecas uz stadartu ν ormālu sadalījumu. Tad, pe lelām ν vērtībām χν N( ν, ν). Tātad, ja ν >30, s t ( ) s ( ) t ( ) β = Pt ( < < t) = P < < = θ ( ) ( ) ( ) t ( ) t ( ) = FN(0,) FN(0,). ( ) ( ) Ievērojot, ka s s β Pθ t > = Pθ < t =, σ σ egūstam t ( ) β ( ) N(0,), t + β F = FN(0,) =, ( ) ( ) kā arī to, ka t ( ) t ( ) =. ( ) ( ).pezīme. Ja ovērojamā ormāl sadalīta gadījuma leluma matemātskā cerība a r zāma, tad, la kostruētu dspersjas σ tcamības tervālu, var zmatot statstku x a T( x, σ ) = N(0,). σ 3.pezīme. Peņemsm, ka F( x, θ ) r gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja ar veu ezāmu parametru θ R. Atzīmēsm, ka šajā gadījumā ga Eξ, ga Dξ r fukcjas o parametra θ. 38

39 Peņemsm, ka x, x,..., x r gadījuma leluma ξ zlase. Tā kā { x, =,,..., } kopumā eatkarīg u veād sadalīt, tad pe lelem pēc cetrālās robežteorēmas zpldās = ( x Ex) N(0,), Dx = kas ļauj kostruēt tcamības tervālu ezāmam parametram θ R. 3. Ar uzdotu drošību β otekt tcamības tervālu ekspoecāla sadalīta gadījuma leluma ξ parametram θ := λ, gadījumā, kad zlases apjoms r lels. Blīvuma fukcja ekspoecālajam sadalījumam r 0, x < 0 pξ ( x) = λx λe, x 0, λ > 0. Eξ =, Dξ λ = λ u pe lelem pēc CRT fukcja x T( x, λ) = λ = λ( x ) N(0,). λ Tātad, pe uzdotas drošības β o ( ( λ ) ) β = P t< x < t atrodam t. Līdz ar to, ekspoecāl sadalīta gadījuma leluma ξ parametra λ tcamības tervāls r t t Jλβ, =, + x x. 4.Pezīme. Pe lelem līdzīg kostruē tcamības tervālu ezāmam parametram, pemēram, tādem gadījuma lelumem: 39

40 x p ξ b(, P), T( x, p) = N(0,), lels, p( p) x λ ξ P( λ), T( x, λ) = N(0,), lels, λ x ν χ ν, T( x, ν) = N(0,), lels. ν 5.Pezīme. La aprēķātu korelācjas koefceta ρ( ξη, ) tcamības tervālu, var zmatot statstkas + rx, y T( x, y) = l rx, y sadalījuma fukcju, kura ļot tuva ormālajam sadalījumam ar matemātsko cerību + ρ l ( ξη, ) u dspersju ρ( ξη, ) 3 (R.Fšers). Statstskā hpotēžu pārbaude[],[],[5] Hpotēzes par varbūtību statstskā pārbaude Peņemsm, ka zāmu apsvērumu rezultātā mums r pamats uzskatīt, ka dotā otkuma varbūtība r p. Zot, ka eatkarīgos mēģājumos otkums parādījes m rezes, grbām pārbaudīt mūsu hpotēz par otkuma varbūtību p. Pemēram, metot moētu, uzskatām, ka varbūtība veā meteā uzkrst ģerbom r 0.5. Peņemsm, ka 00 rezes metot moētu, ģerbos r uzkrts 40 rezes. Mūsu pemērā uzkrtušo ģerboņu skats μ - gadījuma lelums, kas sadalīts pēc bomālā sadalījuma lkuma ar matemātsko cerību Eμ = p = 50 u dspersju Dμ = pq = 5. Mūs teresē, va ekspermetā uzkrtušo ģerboņu skatu 40 var uzskatīt par petekoš tuvu teorētska orma 50, kas atblst hpotēze p =. 40

41 Vsprms zvēlēsmes robežas gadījuma leluma μ peļaujamām ovrzēm, ja spēkā mūsu hpotēze, t.., uzrādīsm tādu krtsko ovrz, kuras pārsegšaa pe mūsu hpotēzes r espējama ar tk mazu varbūtību, ka to praktsk var skatīt par eespējamu. Tāpēc, ja šī pārsegšaa tomēr otek, mūsu hpotēze av saveojama ar ovērojumem, ovērojum eapstpra hpotēz. U ctād, ja faktskās ovrzes mazākas par krtsko, mēs varam uzskatīt, ka ekspermeta rezultāts av pretruā ar zvrzīto hpotēz u ovērotajām ovrzēm r gadījuma raksturs. Parast par praktsk eespējamām ovrzēm peņem tādas, kuru varbūtība epārsedz 0.05 va 0.0. Šo varbūtību sauc par ozīmības līme α, ta atblstošo lelo ovržu apgabalu par krtsko apgabalu, bet pašu pārbaudes lkumu- par ozīmes krtērju (pārbaudes procedūru, hpotēzes krtērju). Prcps, pēc kura otkum ar mazu varbūtību skatās eespējam, bet otkum ar varbūtību tuvu veekam gadrīz droš, r gadrīz vsas matemātskās statstkas pamatā. Skatl α zvēlas az praktskem apsvērumem. Dažos gadījumos var ņemt vērā otkumus, ja to varbūtība <0.05, bet, ja jāoskadro, pemēram, ldmašīas avārjas espēja, jāņem vērā pat gadījum, kuru varbūtība r 0.00 u mazāka. Peņemsm, ka α =0.05. Ņemot vērā, ka pe petekoš lelem gadījuma lelums μ r tuvu ormāl sadalītam gadījuma lelumam, lelums μ p η = pq tuvu ormāl sadalītam gadījuma lelumam ar parametrem Eη = 0, Dη =. No šejees atradīsm krtskā apgabala robežu t P( η > t) = α t =.96. Tātad, gadījuma lelumaη vērtības, kas pēc absolūtās vērtības lelākas par t, espējamas ar varbūtību 0.05, tk maza, ka pe peņemtās hpotēzes dotā ekspermetā, tas r eespējams otkums. Jāoskadro gadījuma lelumaη ekspermetā realzējuses vērtība η* = =

42 Tā kā η * >.96, hpotēz evar peņemt par parezu, jo ekspermetā realzējes otkums ar tk mazu varbūtību, ka mēs to peņemam par eespējamu. Prcps: otkum ar mazu varbūtību tek uzskatīt par eespējamem, otkum ar varbūtību tuvu gadrīz drošem. Ja η * būtu bjs espējamo vērtību robežas, tad hpotēzes būtu jāpārbauda tālāk, jo ekspermetā egūtas rezultāts ebūtu ar to pretruā, bet tas vēl ebūtu hpotēzes parezības perādījums. Hpotēžu pārbaudes vspārīgas uzdevums Peņemsm, ka ruājot par kādas parādības vedu, hpotēze H 0, zāmu apsvērumu dēļ, r peņemta kā galveā (ulles), ošķrot to o vsas alteratīvo hpotēžu {H, =,,...} kopas. Ir ekspermets, kura rezultāts x r kādas kopas X (ģeerālās kopas) elemets. Pēc zlases vērtības x jāosaka, kura o hpotēzēm dodama prekšroka. Hpotēzes H 0 pārbaudes process formāl r šāds: - zvēlas kādu kopu S, ko sauc par hpotēzes H 0 krtsko kopu - zdara ekspermetu - ja ekspermeta rezultāts x S, tad hpotēz H 0 orada. Vēlams, la S apmerātu sekojošas prasības: a) Px ( S H0) = 0, jo tādā gadījumā mēs ekad eoradītu parezu hpotēz H 0 b) Px ( S H ) =, 0, jo tādā gadījumā mēs vemēr oradītu hpotēz H 0, ja patesībā pareza būtu jebkura o hpotēzēm H, 0. Taču praktsk teresatos gadījumos, la zpldās Px ( S H0) = 0, kopa S jābūt tukša. Bet tad arī Px ( S H ) = 0vsem, u pārbaudes process r bjs veltīgs. Tāpēc jāpeļauj o 0 atšķrīgas 4

43 vērtības varbūtība Px ( S H0), zvēlotes vsprms ozīmības līme, t.., zvēlotes skatl α > 0 u prasot, la Px ( S H) α. Ha hpotēze H 0 ļot ozīmīga, α jābūt mazam. Parast zvēlas veu o skatļem 0.05, 0.0, 0.00, kas r vsu atzīt u kurem tāpēc r sastādītas atblstošas statstskas tabulas. Tātad, vsprms zvēlas α, tad zvēlas S, kas apmera Px ( S H0) α u zdara ekspermetu. Acīmredzot Px ( S H0) r varbūtība oradīt hpotēz H 0, ja tā pareza. Šādu kļūdu sauc par prmā veda kļūdu. No Px ( S H0) α seko, ka prmā veda kļūdas varbūtība epārsedz ozīmības līme α. Ja x S, kur S apmera Px ( S H0) α, tad hpotēze H 0 tek oradīta ozīmības līme α. Ja x S, tad var sacīt, ka hpotēze H 0 etek oradīta ozīmības līme α. Apgalvot, ka hpotēze H 0 tek peņemta, edrīkst, jo espējams, ka ctā ozīmības līmeī tā tks oradīta. Protams, ka mūs galveokārt teresē gadījum, kad hpotēze H 0 tek va etek oradīta vsos saprātīgos ozīmības līmeņos. Tād gadījum sastopam bež. Bez prmā veda kļūdas espējama otrā veda kļūda- hpotēze H 0 etek oradīta, la ga patesībā pareza r evs H 0, bet ga kāda o hpotēzēm H, 0. Šs kļūdas varbūtība r γ (): = P( x S H ) = P( x S H ). 0 Fukcju β () = P( x S H ), kas veāda ar varbūtību oradīt hpotēz H 0, jo pareza hpotēze H 0, sauc par statstskā krtērja S jaudu. La otrā veda kļūda būtu 43

44 vsmazākā starp vsem S, kas apmera Px ( S' H0) α, jāzvēlas tas S, kam spēkā Px ( S H) = sup Px ( S' H), 0. S ' Vspār S atkarīgs o. Ja eksstē S, kas av atkarīgs o, tad tas r vslabākas krtērjs, kas demžēl dezga ret eksstē. Otrā veda kļūdu regulē ar krtskā apgabala zvēl. Krtskas apgabals jāzvēlas tā, la gadījumā, kad orada H 0, varbūtība okļūt apgabalā S, kas šajā gadījumā r eparezas hpotēzes H 0 oradīšaas varbūtība, būtu vslelākā. Peņemsm, ka ekspermeta rezultātā ovēro statstku T(x). Tad, gadījumā =, hpotēzes H 0 pārbaudes procesu formulē šād: Peņemsm, ka F( x, θ ) gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, fukcja zāma, bet satur ezāmu parametru, θ Ξ, Ξ =Ξ Ξ, Ξ Ξ = 0 0 x = ( x, x,..., x ) -gadījuma leluma ξ vērtību zlase, α (0.05;0.0;0.00) ozīmības līmes. Hpotēzes H 0 pārbaudes process: zvrzās H0={ θ Ξ0} -ulles hpotēze H = { θ Ξ } - alteratīva hpotēze zvēlas α zvēlas statstku T( x) X, zvēlas hpotēzes H 0 krtsko kopu S X : 44

45 C = { S : P( T( x) S H0) = α} sup PT ( ( x) S H) = S C = PT ( ( x) S H) vec ekspermetu aalzē ekspermeta rezultātu T( x) S hpotēze H 0 tek oradīta ozīmības līmeī α, T( x) S hpotēze H 0 etek oradīta ozīmības līmeī α. α = ( ( ) ) PT x S H0 prmā veda kl, uda β = ( ( ) ) PT x S H otrā veda kl, uda β = PT ( ( x) S H) krtērja jauda Krtskas apgabals Peņemsm, ka par gadījuma lelumaξ sadalījumu zvrzās hpotēzes 0.zīm. H = ( θ= θ ), H = ( θ= θ ) f ξ 0 0 ( x) gadījuma leluma ξ sadalījuma blīvuma fukcja 45

46 Pe šādām hpotēzēm, kas dotas zīmējumā, otrā veda kļūda mmāla, ja par krtsko apgabalu zvēlas lelu poztīvo ovržu apgabalu. Ja hpotēze H būtu ovrzīta pa kres attecība pret hpotēz H 0 par krtsko apgabalu būtu jāzvēlas lelu egatīvo ovržu apgabalu. Ja av zāmas kokurējošās hpotēzes ovrzes tedeces, tad par krtsko apgabalu zvēlas pēc absolūtās vērtības lelu ovržu apgabalu. Vdējo salīdzāšaa. Praksē bež ve ekspermetu vec varākas rezes, pe tam ekspermetos egūte vdēje lelum jūtam atšķras. Kā pemēru varam mēt produkcjas kvaltātes zlases pārbaud. Jāoskadro, va šo atšķrību dod ekspermetu gadījuma kļūdas, zlases erobežotība va arī būtskas atšķrības zlasēs. Pemēram: produkcjas kvaltāte būtsk atšķras atkarībā o partjas, jo etek evērots ražošaas teholoģjas process. Peņemsm, ka katrā sērjā tek mērīts ves u tas pats lelums a. Mērīšaas kļūdas prmajā u otrajā ekspermetā sadalītas pēc ormālā sadalījuma lkuma attecīg ar parametrem (0, σ ) u (0, σ ). Jāoskadro, va mērāmo lelumu patesā vērtība r a, kaut ga x u y atšķīrās. Atrsājuma etap:.izvrzām ulles hpotēz H 0 : starp salīdzāmo zlašu parametrem būtsku atšķrtību av u alteratīvas hpotēz H : salīdzāmo zlašu parametr būtsk atšķras. 46

47 .Atrodam gadījuma leluma T( x, y) = x y, va kādas ctas statstkas T( x, y) = f( x, y) sadalījuma fukcju. 3.Uzdodot β = α kostruējam T( x, y ) statstkas krtsko apgabalu S. 4.Izdarot ekspermetu zrēķām statstkas egūto vērtību T*. 5. Ja egūtā vērtība T* r krtskā apgabalā, tad zvrzīto ulles hpotēz oradām. Ja ē, tad varam uzskatīt, ka atšķrību zsaukušas ekspermeta gadījuma kļūdas. Taču mūsu ulles hpotēze perādīta av, evaram apgalvot, ka abas zlases r egūtas vea u tā paša leluma mērījumu rezultātā. a)vdējo salīdzāšaa, ja zāma mērījumu precztāte x, x,..., x ; y, y,..., y, u ka Peņemsm, ka dotas dvas zlases m abās mērījumu sērjās, abos ekspermetos, zām lelum σ u σ. Tad, ņemot vērā, ka x N( a, σ ), =,,...,, y N( a, σ), =,,..., m, egūstam, ka gadījuma lelum σ σ x N( a, ), y N( a, ) m u r eatkarīg. No tas seko, ka x y N a a, σ σ +. m No šejees x y ( a a) T( x, y) = N(0,) σ σ. + m Tālāk pēc dota α oteksm krtsko apgabalu 47

48 x y P( T( x, y) > t H0) = α jeb P > t = α σ σ. + m No šejees pēc Laplasa tegrāļa tabulām atrodam t. Tālāk, ja x y T*( x, y) = σ σ kur, x, y,, m, σ, σ + m kokrēt, dote va ekspermetā egūt skatļ, pēc moduļa lelāk par t, tad hpotēz H 0 : ka starp salīdzāmo zlašu parametrem būtsk atšķrtību av, oradām kā eparezu. Tātad atšķrtība r būtska. Pretējā gadījumā atšķrības var būt gadījuma rakstura, eozīmīgas. b)vdējo salīdzāšaa, ja mērījumu precztāte av zāma Peņemsm, ka σ u σ av zām, bet abās zmēģājumu sērjās veād ( pemēram, abās sērjās mērījum tek vekt ar veu strumetu). Ievērojot, ka χ χm σ σ s s m,, peņēmumu σ = σ = σ, kā arī faktu, ka eatkarīgem χ u χ spēkā m : χ + χ = χ, egūstam - m- +m- s + sm χ + m. σ Ņemot vērā, ka gadījuma lelum 48

49 x y ( a a) N(0,) s + sm, χ + m σ + σ m r eatkarīg, kostruējam statstku sadalītu pēc t-sadalījuma lkuma x y ( a a ) T( x, y) = + m t+ m. + s + sm Pēc dota α, o t-sadalījuma tabulām atrodam t o m t.., P( T( x, y) > t H ) = α, 0 P x y + m > t = α. + s + sm m Tālāk, pēc ekspermetā egūtajem skatļem, jāaprēķa x y T*( x, y) = + m + s + sm m u jāaalzē, va T*(x,y) vērtība peder krtskajam apgabalam va ē. Pezīme. Šajā zlases salīdzāšaas uzdevumā var tkt mērīts ves u tas pats ormāl sadalīts gadījuma lelums. Tad gadījumā a) σ u σ, kas tek uzdot, vars av tka mērījumu kļūdu rezultāts, gadījumā b) spredum palek te paš. 49

50 Dspersju hpotēžu pārbaude Dspersju hpotēzēm peletojumos r svarīga ozīme, jo dspersja raksturo tādus kostruktīvus u teholoģskus rādītājus kā mašīu u strumetu precztāte, teholoģsko procesu precīza zplde utt. Peņemsm, ka grbam pārbaudīt, va dvas ormālu zlašu dspersjas r veādas. Izvrzām hpotēz, ka dspersjas r veādas. Kā mēs redzējām, šāda veda hpotēžu pārbaudē jāatrod statstka, kuras, ja H 0 pareza, sadalījums av atkarīgs o ovērojumu sadalījuma lkuma parametrem, jo tādam e o kā eatkarīgam sadalījumam var vegl sastādīt tabulas. Apskatīsm attecību ( x x) sm x ( ) m = (, ) = =, m sm y ( ) ( y y) = T x y kur x, x,..., x; y, y,..., ym-dvas eatkarīgas zlases o sadalījumem ξ Na (, σ ), η Na (, σ), turklāt skatītajam σ sadalījums r χ, saucējam - σ χm m. Ja hpotēze H 0 pareza, tad attecība r F- (Sedekora) sadalījums ar atblstošajām brīvības pakāpēm - u m-, T( x, y) F, m. Ievērojot F- sadalījuma blīvuma fukcjas formu, krtsko apgabalu zvēlas tā, la pe ozīmības līmeņa zpldās α α PF (, m > t) = PF (, m < t ) =. Tāda krtskā apgabala zvēle dod lelāku pārbaudes krtērja jaudu. Acīmredzot, ka Fm,. Tad F, m PF (, m < t ) = P > = PF ( m, > ). F, m t t 50

51 F Tātad,, m - sadalījuma kresajam krtskajam puktam atblst Fm, sadalījuma labas krtskas pukts. Tāpēc petek ar vepusīgām tcamības robežu tabulām, la otektu krtsko apgabalu. Korelācjas koefceta hpotēzes pārbaude La pārbaudītu hpotēz par korelācjas koefcetu, var zmatot tcamības tervāla metod. Ša pārbaude r dv soļ:. zmatojot statstku + rx, y T( x, y) = l r osaka ar drošību β = α tcamības tervālu jeb statstkas peļaujamo vērtību apgabalu;. zdara secājumus: ja ulles hpotēzes vērtība peder tcamības tervālam, tad evaram oradīt ulles hpotēz H 0 : ρ( ξη, ) = ρ0; ja vērtība atrodas ārpus tcamības tervāla, ulles hpotēz orada u uzskata, ka zpldās H: ρ( ξη, ) ρ0. Tādējād tcamības tervālu varam uzskatīt par ulles hpotēzes peļaujamo apgabalu, bet tervālu ārpus peļaujamā apgabala par ulles hpotēzes oradīšaas apgabalu. Sadalījuma lkumu hpotēžu pārbaude Peņemsm, ka jāpārbauda hpotēze H 0, kas apgalvo, ka gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja r Fξ ( x). Kā zāms, šajā gadījumā, tek kostruēts krtskas apgabals S, u hpotēze tek oradīta, ja zlases vērtība x S u etek oradīta, ja x S. Krtsko apgabalu kostruē, zmatojot statstku T( x, y) Z, kuras sadalījuma lkums F (), R T( x, y) t t zāms. Tad, krtskas apgabals var būt, pemēram, šāda veda { ztxy : (, ) > γ }, kur α x, y 5

52 PzTxy { : (, ) > γ α H0} α, α -eprekš uzdots ozīmības līmes. Kostruētā krtērja prmā veda kļūdas varbūtība epārsedz α. Taču α r pārāk mazs, la krtērjs mūs plīgā apmerātu. Vajag, la tam būtu petekoša jauda, t.., la varbūtība P{ ztxy : (, ) > γ α H} būtu petekoš tuva veekam. Pe uzdotās alteratīvas H varumam statstku šīs īpašība ezpldās. Tāpēc īpaš teresatas r uversālās statstkas, kuru atblstošajem krtērjem r petekoša jauda plašā gadījumu klasē. χ statstka u krtērjs (Prsoa krtērjs) Dota zlase ar apjomu. Jāpārbauda, va ekspermetāle dat av pretruā ar hpotēz, ka gadījuma lelums ξ sadalīts pēc sadalījuma lkuma Fξ ( x). Sadalīsm skatļu tas r savstarpēj ešķeļošos ogrežņos: (, a),[ a, a),...,[ ar, ). Ar p, =,,..., rapzīmēsm varbūtību zlases vērtība ekļūt -tajā ogrezī. Acīmredzot, p = Fξ( a) Fξ( a ). Defēsm statstku r ( p) χ : =, = p kur zlases apjoms, - -tajā tervālā esošo ovēroto vērtību skats, =,,...,r; a0 =, ar =. Krtērju, kura pamatā r χ statstka, sauc par χ krtērju. Ja hpotēze H 0 pareza, tad p, =,,..., r gadrīz droš, u statstka r r ( p) χ : = = p p p = = 5

53 pe petekoš lelem ar lelu varbūtību būs ārpus krtskā apgabala S = { χ > γ }. Ja pareza H, t.., ģeerālās kopas sadalījuma fukcja α F '( x) F ( x), tad eksstē tāds, ka ξ ξ p > 0.Tātad χ. Še spredum rāda, ka χ krtērjam r petekoša jauda. To apstpra ga precīz aprēķ, ga šī krtērja sekmīga peletošaa praktsku uzdevumu rsāšaā. Teorēma[],[6]. Ja pareza hpotēze H : F ( x) F( x) 0 ξ = u zlases apjoms tecās uz bezgalību, tad statstkas r ( p) χ : = = p sadalījums tecas uz χr l sadalījumu ar r lbrīvības pakāpēm, kur zlases apjoms; (, a),[ a, a),...,[ ar, ) - skatļu tases sadalījums savstarpēj ešķeļošos tervālos, a0 =, ar = ; - - tajā tervālā esošo ovēroto vērtību skats, =,,...,r; p = F( a) F( a ), =,,...,r; l- ovērtējumu skats, kas zmatots, aprēķot teorētsko sadalījumu. Teorēma ļauj par krtsko apgabalu ņemt S = ( γ, ), kur γ r veādojuma F χ ( γ ) = α atrsājums. r l Pezīme. Galvee uzdevum, kurus rsa, zmatojot χ krtērju, r šād:. pārbauda, va dv gadījuma lelum r eatkarīg ves o otra;. pārbauda, va dotas empīrskas sadalījums atblst zvēlētajam teorētskajam sadalījumam; 3. pārbauda, va dv va varāk empīrske sadalījum r veāda veda, eoskadrojot, kādam teorētskam sadalījumam te atblst. 53

54 χ kā empīrskā u teorētskā sadalījuma atblstības pārbaudes krtērjs Peņemsm, ka dota zlase ar apjomu. Ar drošību β = α jāpārbauda, va ekspermetāle dat av pretruā ar hpotēz, ka gadījuma lelums ξ sadalīts pēc sadalījuma lkuma F ( x).tātad, ξ H0 : Fξ ( x) = F( x) H : Fξ ( x) F( x) Sadalīsm skatļu tas r savstarpēj ešķeļošos ogrežņos: (, a),[ a, a),...,[ ar, ). Peņemot, ka ulles hpotēze r spēkā, aprēķāsm varbūtību, ar kādu zlases vērtība var ekļūt -tajā ogrezī. t.., p, =,,..., r. Ja sadalījuma fukcja satur ezāmus parametrus, jāzmato parametru atblstoše ovērtējum. Defēsm statstku r ( p) T( x) =, = p kur zlases apjoms, - -tajā tervālā esošo ovēroto vērtību skats, =,,...,r; a0 =, ar =. Ja pareza H 0, pēc teorēmas, T( x) χr l pēc sadalījuma, kur l- ovērtējumu skats, kas zmatots, aprēķot p, =,,..., r. Ja spēkā H, tad vsmaz pe vea lm p > 0, u T( x). Līdz ar to S = ( γ, ), kur γ atrodam o veādojumā PT ( ( x) > γ H0) = α. Izrēķām statstkas ekspermetā egūto vērtību * ( ) Secām: T x. 54

55 ja T * ( x) < γ, tad hpotēz jāpārbauda tālāk, jo ekspermetā egūtas rezultāts av ar to pretruā, ja T * ( x) > γ zvrzīto ulles hpotēz oradām. Kolmogorova krtērjs [0],[4] La otektu ekspermetālo datu saskaņotības pakāp ar hpotēz, kas apgalvo, ka epārtraukta gadījuma leluma ξ sadalījuma lkums r F( x, ) var letot Kolmogorova krtērju. Izvēlas sekojošu statstku D = sup F ( x) F( x), kur F ( x ) r empīrskā sadalījuma fukcja, F( x ) r teorētskā sadalījuma fukcja. A. Kolmogorovs r perādījs, ka P( D < x) K( x), kur x ( ) e. ( ) k k x K x = k = Krtskā apgabala kostruēšaa var zmatot Kolmogorova sadalījuma tabulas, kas sasta x u K(x) Ja gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja r F ( x) F( x), t.., pareza alteratīvā hpotēze, tad pēc Gļveko teorēmas ar varbūtību veādu ar r spēkā lm sup F ( x) F( x) = 0 u, tātad x lmd = lmsup F( x) F( x) > 0. x No šejees ar varbūtību lm D =. Tas ozīmē, ka pe jebkura ozīmības līmeņa α, zlases apjomam eerobežot palelotes, Kolmogorova krtērja jauda tecas uz veeku. 55

56 Kolmogorova krtērja peletošaas shēma r šādā: a)tek kostruēta empīrskā sadalījuma fukcja F ( x ) u zvrzīta hpotēz par teorētsko sadalījuma fukcju F( x; ) o ekspermeta rezultātem tek otekta D = x* ; b)pēc tabulām tek atrasts lelums K( x*), t.., varbūtība, ka gadījuma cēloņu dēļ F ( x) u F( x ) atšķrība, ja pareza ulles hpotēze, ebūs mazāka par faktsk ovēroto x*; c)ja K( x*) < α, tad ulles hpotēz vajag oradīt kā eparezu, pretējā gadījumā to var uzskatīt par saveojumu ar prakses datem. Kolmogorova krtērjs o Prsoa krtērja atšķras ar savu vekāršību. Taču, la to letotu, precīz jāza F( x, ) t.., jāza e tka fukcjas vedu, bet arī vs tajā etlpstoše parametr, kas praksē ret r espējams. Parast o teorētskem apsvērumem zāms r tka fukcjas F( x ) vspārīgas veds, tajā eejošos parametrus osaka pēc statstskā materāla. Prsoa krtērjā tas tek evērots, samazot sadalījuma hīkvadrāta brīvības pakāpju skatu par osakāmo parametru skatu. Letot Kolmogorova krtērju, ja parametr av zām, av etecams. ω pārbaudes krtērjs Peņemsm, ka hpotēze H 0 apgalvo, ka epārtraukta gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja r F(x). Letosm statstku kur ω = [ F ( x) F( x)] df( x), 0, x x, k F( x) =, xk < x xk+, k =,,...,, x> x 56

57 (x,x,...,x )-zlases vērtības, dotas varācju rdas vedā. x x k+ k ω = F ( x) df( x) + F( x) df( x) + k = k 3 F( x ) k F ( x) + + [ F( x) ] df( x) = x 3 k F( x ) 3 k [ F( x )] k = + F( x ). k k= 3 3 k= x k k = 3 Ir zāms, ka statstkas ω sadalījums pe petekoš lelem tuvs dotam tabulētam robežsadalījumam. Pe ω - pārbaudes krtērja jauda, tāpat kā Prsoa u Kolmogorova krtērja jaudas, tecas uz veeku. χ kā eatkarības pārbaudes krtērjs Peņemsm, ka jāpārbauda H 0 : F( ξη, )( x, y) = Fξ( x) Fη( y), kas ozīmē, ka gadījuma lelum ξ u η r eatkarīg, pret alteratīvo hpotēz H : gadījuma lelum ξ u η r atkarīg. Aplūkosm dskrētu gadījumu: ξ { a, a,..., a }; η { b, b,..., b }. s Apkoposm ovērojumu rezultātus darba tabulā: k ( x, y ),( x, y ),...,( x, y ) 57

58 ξ η b b... b k Σ a ν ν... ν k ν. a... ν... ν... ν k ν. a s ν s ν s... ν sk ν s. Σ ν. ν.... ν. k Kad ulles hpotēze r pareza, zpldās pj : = P( ξ = a, η = bj ) = P( ξ = a ) P( η = bj ) = : p p j, =,,... s, j =,,..., k. Mūsu apzīmējumos, tas ozīmē, ka p = p p, =,,... s, j =,,..., k, p =, p = j j j = j= s La aprēķātu p, =,..., s, j =,..., k, jāzmato s- j k ν p = ovērtējumus u k- ovērtējumus pārbaudes krtērja statstku var perakstīt ν j p j =. Tātad, χ j s k s k j p ( ν j j ) ν ν ν = = p ν ν j = j= j = j= 58

59 s k s k s k ( ) ν ν j ν j ν ν j = + = ν ν = j= j = j= = j= ( ν ) j ( νj ) s k s k = =. = j= ν ν j = j= ν ν j Saskaņā ar hī- kvadrāta krtērju, brīvības pakāpju skatu šajā gadījumā osaka, atskatot o kopējā klašu skata savstarpēj eatkarīgo leāro osacījumu skatu, kas sasta aplūkojamos datus, t.., sk ( s ) ( k ) = ( s )( k ). Tātad, pe petekoš lelem χ ( ν ) j. s k = χ( s )( ) = j= ν ν j Atlek, pēc uzdotā α, atrast atblstošo krtsko vērtību, aprēķāt empīrsko hī kvadrātu u zdarīt vajadzīge secājum. Pezīme. Gadījumā, kad (ξ, η ) epārtraukt sadalīts vektors (jeb vea o kompoetēm r epārtraukt sadalīts gadījuma lelums), jākostruē statstskā rda, jāzvēlas tervālu pārstāvjus u ekspermeta rezultātus jāpkopo darba tabulā. 59

IEVADS KĻŪDU TEORIJĀ

IEVADS KĻŪDU TEORIJĀ RĪGAS TEHNISKĀS KOLEDŽA I.Klotņa IEVADS KĻŪDU TEORIJĀ 011. 1 1. FIZIKĀLO LIELUMU MĒRĪŠANA Peredze apstprna, ka dažādus tpskus objektus var savā starpā salīdznāt tka pēc tādām īpašībām, kuras raksturo ar

Διαβάστε περισσότερα

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 nodabība piemēs pēķināt vektoa a gaumu un viziena kosinusus, ja a = 5 i 6 j + 5k Vektoa a koodinātas i dotas: a 5 ; a =

Διαβάστε περισσότερα

Tēraudbetona konstrukcijas

Tēraudbetona konstrukcijas Tēraudbetona konstrukcijas tēraudbetona kolonnu projektēšana pēc EN 1994-1-1 lektors: Gatis Vilks, SIA «BALTIC INTERNATIONAL CONSTRUCTION PARTNERSHIP» Saturs 1. Vispārīga informācija par kompozītām kolonnām

Διαβάστε περισσότερα

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme).

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). 004, Pēteris Daugulis ATTIECĪBAS Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). Bināra attiecība - īpašība, kas piemīt

Διαβάστε περισσότερα

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 51 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 2015 811/2013 Izstrādājuma datu lapa par energopatēriņu Turpmākie izstrādājuma dati atbilst S regulu 811/2013, 812/2013, 813/2013 un 814/2013 prasībām, ar ko papildina

Διαβάστε περισσότερα

PREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem.

PREDIKĀTU LOĢIKA. Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. 005, Pēteris Daugulis PREDIKĀTU LOĢIKA Izteikumu sauc par predikātu, ja tas ir izteikums, kas ir atkarīgs no mainīgiem lielumiem. Par predikātiem ir jādomā kā par funkcijām, kuru vērtības apgabals ir patiesumvērtību

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE

LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE Materiāls ņemts o grāmatas:adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (-) kārtas (rajou) uzdevumi u atrisiājumi" LATVIJAS RAJONU 9 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 9 Ir jāaprēķia 00-ais

Διαβάστε περισσότερα

Elektriskais lauks dielektriķos Brīvie un saistītie lādiņi

Elektriskais lauks dielektriķos Brīvie un saistītie lādiņi 3... Elktrskas lauks dlktrķos 3... Brīv un sastīt lādņ 79. gadā angļu znātnks S. Grjs (666 736) kurš konstatēja, ka lktrskas lādņš var pārt no vna ķrmņa uz otru, pmēram, pa mtāla stpl. Līdz ar to, var

Διαβάστε περισσότερα

Rīgas Tehniskā universitāte. Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte. Industriālās elektronikas un elektrotehnikas institūts. I. Raņķis, V.

Rīgas Tehniskā universitāte. Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte. Industriālās elektronikas un elektrotehnikas institūts. I. Raņķis, V. īgas ehnsā unverstāte Enerģētas un eletrotehnas faultāte Industrālās eletronas un eletrotehnas nsttūts I aņķs, VBražs EGULĒŠANAS EOIJAS PAMAI Lecju onspets Atārtots zdevums īgas ehnsā unverstāte īga, 7

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t

S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014

Διαβάστε περισσότερα

J. Dravnieks Matemātiskās statistikas metodes sporta zinātnē

J. Dravnieks Matemātiskās statistikas metodes sporta zinātnē J. Dravieks Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē Mācību grāmata LSPA studetiem, maģistratiem, doktoratiem RĪGA - 004 Juris Dravieks, 004. Matemātiskās statistikas metodes sporta ziātē SATURS IEVADS...

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

.1. 8,5. µ, (=,, ) . Ρ( )... Ρ( ).

.1. 8,5. µ, (=,, ) . Ρ( )... Ρ( ). ΡΧΗ 1Η Ε ε Γ Α Ο ΗΡ Ε Ε Ε Ε Η Ε Ο Ε Ο Ε Η 14 Ο Ο 2001 Ε Ε Ο Ε Ο Η Ε Η εε : Η Ο ΧΕ Η Ο Ο Ε εά : Ε (6) Ε Α 1ο Α.1. π µ µ ά : Ρ ( ) = Ρ ( ) Ρ ( ). 8,5 Α.2. µ π µπ µ π µ µ, (=,, ) : Ρ ( )... 1 Ρ( ) 2 Ρ( )...

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Φυσική Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΘΕΟΛΟΓΟΣ ΤΣΙΑΡΔΑΚΛΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr - f= f= f t+ 0 ) max

Διαβάστε περισσότερα

Mehānikas fizikālie pamati

Mehānikas fizikālie pamati 1.5. Viļņi 1.5.1. Viļņu veidošanās Cietā vielā, šķidrumā, gāzē vai plazmā, tātad ikvienā vielā starp daļiņām pastāv mijiedarbība. Ja svārstošo ķermeni (svārstību avotu) ievieto vidē (pieņemsim, ka vide

Διαβάστε περισσότερα

ENERGOSTANDARTS VĒJAGREGĀTU SISTĒMAS

ENERGOSTANDARTS VĒJAGREGĀTU SISTĒMAS LATVIJA ENERGOTANDART LEK 1400-21 Pirmais izdevums 2006 VĒJAGREGĀTU ITĒMA 21. DAĻA TĪKLĀ LĒGTU VĒJAGREGĀTU ITĒMA ĢENERĒTĀ ELEKTROENERĢIJA KVALITĀTE PARAMETRU MĒRĪŠANA UN NOVĒRTĒŠANA Latvijas Eletrotehisā

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs

Διαβάστε περισσότερα

9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m

9.BbF`2iBbB2`mM; A,.Bz2`2Mx2Mp2`7?`2M 7Ƀ` T `ib2hh2.bz2`2mib H;H2B+?mM;2M 8.BbF`2iBbB2`mM; AA, 6BMBi2 1H2K2Mi2 o2`7?`2m R R R K h ( ) L 2 (Ω) H k (Ω) H0 k (Ω) R u h R 2 Φ i Φ i L 2 A : R n R n n N + x x Ax x x 2 A x 2 x 3 x 3 a a n A := a n a nn A x = ( 2 5 9 A = )( x ( ) 2 5 9 x 2 ) ( ) 2x +5x = 2. x +9x 2 Ax = b 2x +5x

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l = C ALGEBRA Answers - Worksheet A a 7 b c d e 0. f 0. g h 0 i j k 6 8 or 0. l or 8 a 7 b 0 c 7 d 6 e f g 6 h 8 8 i 6 j k 6 l a 9 b c d 9 7 e 00 0 f 8 9 a b 7 7 c 6 d 9 e 6 6 f 6 8 g 9 h 0 0 i j 6 7 7 k 9

Διαβάστε περισσότερα

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor

Teor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 2016, stor eor imov r. ta matem. statist. Vip. 94, 6, stor. 93 5 Abstract. e article is devoted to models of financial markets wit stocastic volatility, wic is defined by a functional of Ornstein-Ulenbeck process

Διαβάστε περισσότερα

Modelēšanas paņēmieni hidroģeoloģijā

Modelēšanas paņēmieni hidroģeoloģijā Modelēšanas paņēmen droģeoloģā Jurs Seņņovs LU Vdes un Tenoloģso procesu matemātsās modelēšanas laboratora 1. Ievads 2. Gruntsūdens plūsmas pamatsaarības 1. Darsī lums 2. Ūdens blances venādoums 3. Ūdens

Διαβάστε περισσότερα

Laboratorijas darbu apraksts (I semestris)

Laboratorijas darbu apraksts (I semestris) Laboratorijas darbu apraksts (I semestris) un mērījumu rezultātu matemātiskās apstrādes pamati 1. Fizikālo lielumu mērīšana Lai kvantitatīvi raksturotu kādu fizikālu lielumu X, to salīdzina ar tādas pašas

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

< = ) Τ 1 <Ο 6? <? Ν Α <? 6 ϑ<? ϑ = = Χ? 7 Π Ν Α = Ε = = = ;Χ? Ν !!! ) Τ 1. Ο = 6 Μ 6 < 6 Κ = Δ Χ ; ϑ = 6 = Σ Ν < Α <;< Δ Π 6 Χ6 Ο = ;= Χ Α

< = ) Τ 1 <Ο 6? <? Ν Α <? 6 ϑ<? ϑ = = Χ? 7 Π Ν Α = Ε = = = ;Χ? Ν !!! ) Τ 1. Ο = 6 Μ 6 < 6 Κ = Δ Χ ; ϑ = 6 = Σ Ν < Α <;< Δ Π 6 Χ6 Ο = ;= Χ Α # & ( ) ) +,. /, 1 /. 23 / 4 (& 5 6 7 8 8 9, :;< = 6 > < 6? ;< Β Γ Η. Ι 8 &ϑ Ε ; < 1 Χ6 Β 3 / Κ ;Χ 6 = ; Λ 4 ϑ < 6 Χ ; < = = Χ = Μ < = Φ ; ϑ =

Διαβάστε περισσότερα

Elektromagnētisms (elektromagnētiskās indukcijas parādības)

Elektromagnētisms (elektromagnētiskās indukcijas parādības) atvijas Uiversitāte Fizikas u matemātikas fakutāte Fizikas oaļa Papiiājums ekciju kospektam kursam vispārīgajā fizikā ektromagētisms (eektromagētiskās iukcijas parāības) Asoc prof Aris Muižieks Noformējums

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,

Διαβάστε περισσότερα

Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma

Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma Temperatūras izmaiħas atkarībā no augstuma, atmosfēras stabilitātes un piesārħojuma Gaisa vertikāla pārvietošanās Zemes atmosfērā nosaka daudzus procesus, kā piemēram, mākoħu veidošanos, nokrišħus un atmosfēras

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

Pētniecības metodes un pētījumu datu analīze skolēnu zinātniski pētnieciskā darba rakstīšanas procesā. Seminārs skolēniem

Pētniecības metodes un pētījumu datu analīze skolēnu zinātniski pētnieciskā darba rakstīšanas procesā. Seminārs skolēniem Pētniecības metodes un pētījumu datu analīze skolēnu zinātniski pētnieciskā darba rakstīšanas procesā. Seminārs skolēniem Dr. oec, docente, Silvija Kristapsone 29.10.2015. 1 I. Zinātniskās pētniecības

Διαβάστε περισσότερα

Labojums MOVITRAC LTE-B * _1114*

Labojums MOVITRAC LTE-B * _1114* Dzinēju tehnika \ Dzinēju automatizācija \ Sistēmas integrācija \ Pakalpojumi *135347_1114* Labojums SEW-EURODRIVE GmbH & Co KG P.O. Box 303 7664 Bruchsal/Germany Phone +49 751 75-0 Fax +49 751-1970 sew@sew-eurodrive.com

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )

Διαβάστε περισσότερα

4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός.

4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΙΟΥΝΙΟΣ 207 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ:.............................. Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G 3. Īss raksturojums Imunoglobulīnu G veido 2 vieglās κ vai λ ķēdes un 2 smagās γ ķēdes. IgG iedalās 4 subklasēs: IgG1, IgG2, IgG3,

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)

Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x) Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

( ) S( x ) 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

( ) S( x ) 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) Ορίζουμε την πληροφορία κατά Fsher ( σαν το ποσό της πληροφορίας που περιέχει η παρατήρηση για την παράμετρο Συμβολίζοντας με S( την λογαριθμική παράγωγο της πιθανοφάνειας ως προς την παράμετρο (score

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

Normal μοντέλο με γνωστή διασπορά, και άγνωστο μέσο

Normal μοντέλο με γνωστή διασπορά, και άγνωστο μέσο Normal μοντέλο με γνωστή διασπορά, και άγνωστο μέσο Εδώ έχουμε να εκτιμήσουμε τη locato παράμετρο του ormal μοντέλου για γνωστό precso τ σ π x ϑ = N x ϑτ, Θα δείξουμε = δηλαδή η κατανομή δειγματοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles

Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Résolution de problème inverse et propagation d incertitudes : application à la dynamique des gaz compressibles Alexandre Birolleau To cite this version: Alexandre Birolleau. Résolution de problème inverse

Διαβάστε περισσότερα

Inflation and Reheating in Spontaneously Generated Gravity

Inflation and Reheating in Spontaneously Generated Gravity Univesità di Bologna Inflation and Reheating in Spontaneously Geneated Gavity (A. Ceioni, F. Finelli, A. Tonconi, G. Ventui) Phys.Rev.D81:123505,2010 Motivations Inflation (FTV Phys.Lett.B681:383-386,2009)

Διαβάστε περισσότερα

(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007

(... )..!, .. (! ) # - $ % % $ & % 2007 (! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. = E(ˆθ) και διασπορά σ 2ˆθ = Var(ˆθ).

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. = E(ˆθ) και διασπορά σ 2ˆθ = Var(ˆθ). Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος που υπολογίζονται από τα δεδοµένα που έχουν συλλεχθεί, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση

Διαβάστε περισσότερα

Homework for 1/27 Due 2/5

Homework for 1/27 Due 2/5 Name: ID: Homework for /7 Due /5. [ 8-3] I Example D of Sectio 8.4, the pdf of the populatio distributio is + αx x f(x α) =, α, otherwise ad the method of momets estimate was foud to be ˆα = 3X (where

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Έκθεση 2012. 1.1 Συνοπτική παρουσίαση... 3

Τεχνική Έκθεση 2012. 1.1 Συνοπτική παρουσίαση... 3 Δ2.3/2 1.1 Συνοπτική παρουσίαση....................... 3 Δ2.3/3 Σύμφωνα με το τεχνικό δελτίο του έργου η δράση της παρούσας έκθεσης συνοψίζεται ως εξής. Δράση 2.3: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ/ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΕΣ ΥΒΡΙΔΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

MS EXCEL pievienojumprogramma STATISTIKA 3.11

MS EXCEL pievienojumprogramma STATISTIKA 3.11 LATVIJAS SORTA EDAGOĢIJAS AKADĒMIJA Juris Dravieks MS EXCEL pievieojumprogramma STATISTIKA 3.11 Mācību līdzeklis - rokasgrāmata LSA studetiem, maģistratiem, doktoratiem apildiāts RĪGA - 013 Juris Dravieks,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

W ISR i = 5 15 ISR i + 4 15 ISR i 1 + 3 15 ISR i 2 + 2 15 ISR i 3 + 1 15 ISR i 4 W ISR W ISR ) E T hreshold = (1 Ẽ Ẽ + IQR (E) Ẽ IQR(E) E T hreshold = 0.99 e 1 N N i=1 (E i) + 0.01 Ẽ h(t) = H(y )(t)

Διαβάστε περισσότερα

Hydraulic network simulator model

Hydraulic network simulator model Hyrauc ntwor smuator mo!" #$!% & #!' ( ) * /@ ' ", ; -!% $!( - 67 &..!, /!#. 1 ; 3 : 4*

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.

Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής. Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Καηηγορημαηικός Λογιζμός

ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Καηηγορημαηικός Λογιζμός ΔΙΑΚΡΙΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Καηηγορημαηικός Λογιζμός Μοπθέρ Θεωπημάηων Υπάξρεη έλα αληηθείκελν ώζηε λα ηζρύεη θάηη. Υπαξμηαθόο πνζνδείθηεο Γηα θάζε αληηθείκελν ηζρύεη όηη θάηη. Καζνιηθόο πνζνδείθηεο 2 Καηηγοπήμαηα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕ. Ι..Ε.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕ. Ι..Ε. ΑΣΚΗΣΗ 1 ΟΜΑ Α 2 Στην ακόλουθη άσκηση σας δίνονται τα έξοδα ανά µαθητή και οι ετήσιοι µισθοί (κατά µέσο όρο) των δασκάλων για 51 πολιτείες της Αµερικής. Τα δεδοµένα είναι για τη χρονιά 1985. Οι µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Métodos Estadísticos en la Ingeniería

Métodos Estadísticos en la Ingeniería Métodos Estadísticos e la Igeiería INTERVALOS DE CONFIANZA Itervalo de cofiaza para la media µ de ua distribució ormal co variaza coocida: X ± z α/ µ = X = X i N µ X... X m.a.s. de X Nµ Itervalo de cofiaza

Διαβάστε περισσότερα

2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE

2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE Ekspluatācijas gaitā jebkura reāla būve ārējo iedarbību rezultātā kaut nedaudz maina sākotnējo formu un izmērus. Sistēmas, kurās to elementu savstarpējā izvietojuma un izmēru maiņa iespējama tikai sistēmas

Διαβάστε περισσότερα

Η Ομάδα SL(2,C) και οι αναπαραστάσεις της

Η Ομάδα SL(2,C) και οι αναπαραστάσεις της SL(2, C) SO(3, 1) D : Λ D(Λ) SO(3, 1) 2 1 D : ±A D(π(±A)) SL(2, C) SL(2, C) SO(3, 1) SL(2, C) SO(3, 1) ξ i (, ) K i x µ p µ J µν T µν A µ ψ α J i = J i, () K i = K i, ( ) K i M 0i = (iξ i K i ) A i = 1

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

' ( )* * +,,, ) - ". &!: &/#&$&0& &!& $#/&! 1 2!#&, #/&2!#&3 &"&!3, #&- &2!#&, "#4&#3 $!&$3% 2!% #!.1 & &!" //! &-!!

' ( )* * +,,, ) - . &!: &/#&$&0& &!& $#/&! 1 2!#&, #/&2!#&3 &&!3, #&- &2!#&, #4&#3 $!&$3% 2!% #!.1 & &! //! &-!! ..!! "#$% #&" 535.34 ' ( )* *,,, ) - ". &!: 1.4.7 &/#&$&& &!&11 5.7.1 $#/&! 1!#&, #/&!#&3 &"&!3, #&- &!#&, "#4&#3 $!&$3%!% #!.1 & &!" //! &-!!% 3 #&$&/!: /&!&# &-!!%, "#&&# 56$.., //! &-!!% ).. &$ 13 .

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}.

Διαβάστε περισσότερα