ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό μέγιστο, είναι επαρκής και πλήρης για το. Να βρεθούν αμερόληπτοι ομοιόμορφα ελάχιστης διασποράς (ΑΟΕΔ) εκτιμητές για τα g g =. Επάρκεια: = ( > 0) (, ) ( ) x ( ) = και fx ( x; ) = ( xi;0, ) = ( 0 < xi < ) = 0 < x x < i= i= f X ( x; ) = hfn ( x) gfn ( T ( x), ) : Fisher Neyma hfn x x T x = gfn x = x < έτσι T( X) = X = επαρκής για το g Πληρότητα: =. 0 < t < 0 t FT ( t; ) = P{ X t} = P { X t,, X t} ( P { X t} ) 0 t = = < t < t ft ( t; ) = ( 0 < t < ), + 0, 0, 0 t= 0 ( ) ϕ T = Θ= ϕ t t dt = > t= 0 ϕ t t dt = 0, > 0 ϕ = 0, > 0 ϕ t = 0, t > 0. από όπου και T( X) = X = πλήρης για το g =.

2 ΑΟΕΔ για g 0 = + ( T ) = t t dt T, = = Θ= T T = αμερόληπτος για το g =. Επειδή T ψ ( T) = με T = επαρκής και πλήρης για το, από το θεώρημα Lehma- Scheffe (και πιο συγκεκριμένα από το πόρισμα.4.5) έχουμε ότι ο T είναι ΑΟΕΔ για το g =. g = ΑΟΕΔ για t dt,, + =, T = = Θ= t T 0 T T = g =. αμερόληπτος για το Επειδή T ψ ( T) = επαρκής και πλήρης για το από το θεώρημα Lehma-Scheffe (πόρισμα.4.5) έχουμε ότι ο T είναι ΑΟΕΔ για το g = όταν. Το T είναι και ο μοναδικός ΑΟΕΔ για 3 (πεπερασμένη διασπορά) εφόσον +, 3,, 3, 0 < Θ= < > T T Θέμα ο (Πρόταση.5.3) Έστω X = X,, X δεδομένα με κατανομή P με Θ. Εάν h : μετρήσιμη συνάρτηση του δείγματος X, και A μετρήσιμο υποσύνολο του, δείξτε ότι η στατιστική T = T X = h X A είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής του συνάρτηση g = P h X A. Ποίο το μέσο τετραγωνικό σφάλμα του T ; Επειδή

3 { } { } { } P T = = P h X A = = P h X A = g { } { } { } { } P T = 0 = P h X A = 0 = P h X A = P h X A = g θα έχουμε ότι ( ) T T ~ Bi, g T = g b = 0 MSE T = g g MSE ( T, ) = ( T ) + bt (, ). 3

4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών - Εισαγωγική κατεύθυνση ΣΑΧΜ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι (Μέρος Β) Ιούνιος 06 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αθανάσιος Ρακιτζής Θέμα 3. Δίνεται τυχαίο δείγμα,, από κατανομή με πυκνότητα πιθανότητας με Θ = (0, ). (; ) = ( ) I (,) (), (α) Να βρεθεί ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας (ΕΜΠ) του. (Μονάδες.5) Λύση: Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ) ( ) = ( = ) ( ) ( Λογαριθμίζοντας, παίρνουμε το λογάριθμο της πιθανοφάνειας, ο οποίος είναι log ( ) = log + 3 log( ) Παραγωγίζοντας τη log ( ) ως προς, έχουμε ότι απ' όπου έπεται ότι = Στη συνέχεια, λύνουμε την εξίσωση = +., Θ = (0, )., Θ = (0, ). = + 4, = 0 ως προς, από την οποία προκύπτει + = 0 = =. Το σημείο αυτό είναι για τη συνάρτηση της πιθανοφάνειας πιθανό σημείο ακρότατης τιμής. Θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο της ας παραγώγου ώστε να εξετάσουμε αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο. Πράγματι, η η παράγωγος του λογαρίθμου της συνάρτησης της πιθανοφάνειας είναι απ' όπου έπεται ότι = + ( ), και για =, είναι = =,

5 = 5 = ( 4) < 0. Άρα, αφού για =, η < 0, στο σημείο αυτό η ( ) μεγιστοποιείται και άρα ο ζητούμενος ΕΜΠ είναι ο =. (β) Να δείξετε ότι η κατανομή της τ.μ. είναι η Εκθετική με παράμετρο (δηλ., ~E( )). Στη συνέχεια να δώσετε την ασυμπτωτική κατανομή του ΕΜΠ. (Μονάδες.0) Δίνεται: Αν ~E(), > 0, τότε (; ) = (/) I (,) (), με () =, () =. Λύση: Έστω τ.μ. =. Τότε, η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (α.σ.κ.) αυτής είναι () = ( ) = ( ) = ( / ) = ( / ). Άρα, η συνάρτηση πυκνότητας της είναι () = () και με απευθείας αντικατάσταση, λαμβάνουμε δηλαδή = ~E( ). = ( / )( / ) = / ( / ), () = / / / I (,) () = / I (,) (), (γ) Να κατασκευάσετε ένα 00( )% διάστημα εμπιστοσύνης ίσων ουρών για το, βασιζόμενοι στον εκτιμητή που βρήκατε στο (α). (Μονάδες.0) Λύση: Αφού =, θα είναι = ή =. Όμως, από το (β), η ~E( ) άρα = ~(, ). Κατά συνέπεια, η τ.μ. (; ()) = = ~, δηλαδή η ; () = / εξαρτάται μόνο από το ενώ η κατανομή της είναι ανεξάρτητη αυτού. Άρα, είναι ποσότητα οδηγός και θα τη χρησιμοποιήσουμε για την κατασκευή ενός 00( )% διάστημα εμπιστοσύνης ίσων ουρών για το. Ψάχνουμε σταθερές, με <, τέτοιες ώστε ; () = / και ; () > = /. Αφού (; ())~, θα είναι = ;/ και = ;/. Άρα, θα ισχύει ότι ;/ ; () =, ;/ = ;/ = ;/ ;/ ;/ ;/ ;/ =, =,

6 Άρα, το ζητούμενο ΔΕ για το, είναι το ;/ ;/,. Θέμα 4. Έστω τυχαίο δείγμα,, από αρνητική διωνυμική κατανομή (3, ), Θ = (0,). (α) Να βρεθεί ο εκτιμητής μεθόδου ροπών (ΕΜΡ) του. (Μονάδες 0.5) Δίνεται: Αν ~(, ), > 0, 0 < <, τότε (;, ) = και () = ( )/, () = ( )/. Γ( + ) ( ) I,,, () Γ()! Λύση: Για την εύρεση του ΕΜΡ του, λύνουμε ως προς την παρακάτω εξίσωση () = () = 3 = ( + 3) =, αφού, με βάση τον τύπο της συνάρτησης πιθανότητας της Αρνητικής Διωνυμικής κατανομής, είναι = 3, =. (β) Να δοθεί η ασυμπτωτική κατανομή του ΕΜΡ. Είναι ο ΕΜΡ συνεπής εκτιμητής του ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες.0) Λύση: Από το Κ.Ο.Θ. είναι ( ) (0, ), όπου = 3( )/ και = 3( )/. Έστω η συνάρτηση h() = 3/( + 3) με h () = 3/( + 3) 0 για κάθε R. Άρα, με εφαρμογή της Μεθόδου Δέλτα, έχουμε ότι δηλαδή, και μετά από πράξεις (h( ) h()) (0, (h ()) ), καθώς, 0, () h (), καθώς, 0, (), καθώς,. Τέλος, ο ΕΜΡ είναι συνεπής εκτιμητής του ως ασυμπτωτικά κανονικός.