Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος)."

Transcript

1 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού συνόλου, την έννοια της περιοχής ( γειτονιάς ) ενός σημείου και συζητούμε τις μεταξύ τους σχέσεις. Ορισμός.. Έστω X σύνολο. Μία τοπολογία στο X είναι ένα υποσύνολο P X ώστε: (ι), X. (ιι) Η ένωση των μελών κάθε οικογένειας του ανήκει στο. (Αν U : i I i, όπου I τυχόν σύνολο δεικτών, τότε Ui ii.) (ιιι) Η τομή των μελών κάθε πεπερασμένης οικογένειας του ανήκει στο. (Αν N και U,..., U τότε k U k.) Το ζεύγος ( X, ) ονομάζεται τοπολογικός χώρος και τα μέλη της ονομάζονται ανοικτά υποσύνολα του X. Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). Παραδείγματα.. ) Έστω X, d μετρικός χώρος. Υπενθυμίζουμε ότι ένα υποσύνολο V X με V λέγεται ανοικτό αν για κάθε V :, V. Εύκολα αποδεικνύεται ότι αν θέσουμε d V X : V και V ανοικτό είναι μια τοπολογία στο X. Ορολογία. Ένας τοπολογικός χώρος ( X, ) ονομάζεται μετρικοποιήσιμος, αν υπάρχει μετρική d στο X ώστε d

2 5 ) Έστω X σύνολο. Θέτουμε = P X Προφανώς η είναι μια τοπολογία στο X, η οποία ονομάζεται η διακριτή τοπολογία στο X. Παρατηρούμε ότι όπου d η διακριτή μετρική στο X. ( Απόδειξη. Αν X τότε, όπου.). d 3) Έστω X σύνολο. Θέτουμε =, X. Προφανώς η είναι μια τοπολογία στο X, η οποία ονομάζεται η τετριμμένη τοπολογία στο X. Παρατηρούμε ότι: α) Αν X, τότε ( X, ) μετρικοποιήσιμος τοπολογικός χώρος. Πράγματι, επειδή X έπεται ότι P X, X =. Συνεπώς από το παράδειγμα () έχουμε το συμπέρασμα. β) Αν X, τότε ο ( X, ) δεν είναι μετρικοποιήσιμος. Πράγματι έστω d μια μετρική στο X ώστε. Αν, d a b X με a b και d a b, τότε οι ανοικτές σφαίρες a,, b, είναι ξένες και βέβαια. Επίσης a, X b,. Έπεται ότι a,, b, άτοπο. και συνεπώς 3, 4) Έστω X a, b με a b και =, X, a αποδεικνύεται όπως πριν ότι ο ( X, ) δεν είναι μετρικοποιήσιμος. Ο ( X, ), ονομάζεται ο χώρος του Sierpiski. 5) Έστω X σύνολο. Θέτουμε = X : X \ πεπερασμένο Αποδεικνύεται εύκολα ότι η είναι μια τοπολογία στο X.

3 6 Σημειώνουμε ότι ένα σύνολο X λέγεται συμπεπερασμένο αν X \ πεπερασμένο. Επομένως τα μέλη της είναι τα συμπεπερασμένα υποσύνολα του X και το. Η τοπολογία λέγεται η συμπεπερασμένη τοπολογία. Ορισμός.3. Έστω X τοπολογικός χώρος. Ένα υποσύνολο X λέγεται κλειστό αν το X \ είναι ανοικτό. Πρόταση.4 Έστω υποσυνόλων του X. Τότε (α), X X τοπολογικός χώρος και F η οικογένεια των κλειστών (β) Η τομή κάθε οικογένειας μελών της F είναι κλειστό σύνολο (γ) Η ένωση κάθε πεπερασμένης οικογένειας μελών της F είναι κλειστό σύνολο. Απόδειξη (α) προφανές. c (β) Αν i, i I κλειστά τότε το X \, i I ανοικτά i i ii c i ανοικτό, αλλά (από τους κανόνες De Morga ) ii c i c i ii ανοικτό i ii κλειστό σύνολο. (γ) Η απόδειξη είναι παρόμοια με το (β). Αν,..., κλειστά σύνολα τότε c,..., c ανοικτά σύνολα c i i i c i ανοικτό σύνολο i i κλειστό. Ορισμός.5 Έστω X τοπολογικός χώρος και X. Η κλειστότητα ( ή κλειστή θήκη) του είναι το σύνολο Το συμβολίζεται και με : κλειστό και clx ή cl Παρατηρούμε ότι το ως τομή κλειστών συνόλων είναι κλειστό και μάλιστα είναι το ελάχιστο( ως προς τη σχέση του περιέχεσθαι) κλειστό σύνολο που περιέχει το Πρόταση.6 Έστω X τοπολογικός χώρος.

4 7 Η πράξη της κλειστότητας P X P X, ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες (α) (β) (γ) (δ) (ε) κλειστό Απόδειξη Οι (α) και (β) είναι προφανείς (γ) Το είναι κλειστό άρα (δ) Παρατηρούμε ότι αν C. D τότε C D ( C D C D D C D ). Με την βοήθεια αυτής της παρατήρησης έχουμε και και () Επίσης, και βέβαια το κλειστό συνεπώς (). Από τις () και () έχουμε το συμπέρασμα (ε) Αν κλειστό τότε από τον ορισμό έπεται αμέσως ότι. Αν τότε κλειστό αφού κλειστό σύνολο. Παραδείγματα.7. )Έστω X σύνολο εφοδιασμένο με την διακριτή τοπολογία = P X. Τότε κάθε υποσύνολο X είναι κλειστό. ) Έστω( X, ) μετρικός χώρος. Αν X και τότε ως γνωστόν η ανοικτή σφαίρα, y X : d, y, :, είναι ανοικτό σύνολο και η κλειστή σφαίρα y X d y είναι κλειστό σύνολο.

5 8 3) Έστω X R με τη συνήθη μετρική. Τότε κάθε κλειστό διάστημα είναι κλειστό σύνολο. Επίσης κάθε διάστημα της μορφής, a a, b, a b R ή, b είναι κλειστό σύνολο. Το διάστημα, δεν είναι ανοικτό ούτε και κλειστό σύνολο (γιατί; ). 4) Κάθε ευθεία στο ευκλείδειο επίπεδο X R είναι κλειστό σύνολο ( γιατί; ) 5) Έστω X Q με την συνήθη μετρική. Τότε το σύνολο, 3, 3 V Q Q Q, ώστε V Q. είναι ανοικτό και κλειστό υποσύνολο του Παρατηρήσεις.8. ) Για κάθε τοπολογικό χώρο X και, X ισχύει ( όπως είδαμε πριν). Δεν ισχύει γενικά για τις τομές η αντίστοιχη σχέση. Πράγματι, έστω X R με τη συνήθη μετρική, Q(= το σύνολο των ρητών ) και R \ Q ( = το σύνολο των αρρήτων) Τότε άρα. Από την άλλη όμως έχουμε R και R, άρα R. Συνεπώς. Σημειώνουμε ότι, γενικά ισχύει ( γιατί; ) ) Αν X, d μετρικός χώρος, X και τότε ( προφανώς ),, ( η σφαίρα, είναι κλειστό σύνολο. Δεν ισχύει όμως γενικά ισότητα. Πράγματι έστω d η διακριτή μετρική στον X. Αν X τότε, X ενώ,,. Σημειώνουμε ότι η ισότητα,,, ισχύει στους ευκλείδειους χώρους και γενικότερα σε διανυσματικούς χώρους με νόρμα. ( Αν X, διανυσματικός χώρος με νόρμα τότε ο X μετρικοποιείται με την μετρική d, y y,, y X.) Η επόμενη πρόταση περιγράφει με ένα ισοδύναμο τρόπο την κλειστότητα ενός συνόλου.

6 9 Πρόταση.9 Έστω ( X, ) τ.χ. και (α) (β) Για κάθε ανοικτό U X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα με U ισχύει U. Δηλαδή X : U για κάθε U με U. Απόδειξη (α) (β). Έστω. Ας υποθέσουμε, για να καταλήξουμε σε άτοπο, ότι υπάρχει U με U ώστε U. Τότε, X \ U και βέβαια X \ U κλειστό. Από τον ορισμό της κλειστότητας έχουμε ότι X \ U, επομένως, αφού, θα έχουμε ότι X \ U το οποίο αντιφάσκει στο γεγονός ότι U. (β) (α) Ας υποθέσουμε, πάλι προς απαγωγή σε άτοπο, ότι το X ικανοποιεί την συνθήκη στον ισχυρισμό (β) και ότι. Τότε το X \ το οποίο είναι ανοικτό σύνολο και άρα από την πρότασή μας θα πρέπει X \. Αυτό όμως αντιφάσκει με το ότι. Ορισμός.. Έστω ( X, ) τ.χ., συσσώρευσης ( σ.σ.) του, αν ισχύει με U. X και X. Το θα καλείται σημείο U \, για κάθε ανοικτό U X Το σύνολο των σημείων συσσώρευσης ενός συνόλου X ονομάζεται το παράγωγο σύνολο του και συμβολίζεται με '. Παρατηρούμε ότι, '. Ένα σημείο, θα ονομάζεται μεμονωμένο ( ή απομονωμένο) σημείο του αν υπάρχει U :U. Πρόταση. Έστω ( X, ) τ.χ και X, τότε '. Απόδειξη. Έστω. Αν τότε '. Αν τότε για κάθε U με U, ισχύει U \ U συνεπώς ' '. Αντίστροφα, έστω '. Αν τότε, αφού. Αν ' τότε από τον ορισμό του σ.σ. και την πρόταση.9 έχουμε.

7 Πόρισμα.. Έστω ( X, ) τ.χ και αν ' X. Τότε, το είναι κλειστό αν και μόνο. Ιδιαίτερα έπεται ότι αν το δεν έχει σ.σ. ( ' ) τότε είναι κλειστό. Απόδειξη () Αν το είναι κλειστό τότε από την πρόταση.6 έχουμε ότι. Κατά συνέπεια από την προηγούμενη πρόταση έχουμε ότι ' '. ( ) Αν ' τότε από την προηγούμενη πρόταση έχουμε ότι '. Επομένως από την πρόταση.6 το είναι κλειστό. Ο δεύτερος ισχυρισμός μας τώρα είναι προφανής Παρατηρήσεις και παραδείγματα.3 Έστω ( X, ) τ.χ και X (α) Έστω. Τότε το είναι σ.σ. του αν και μόνο αν δεν είναι μεμονωμένο σημείο του ( γιατί; ). (β) Έστω,3 R ( όπου το R θεωρείται με την συνήθη τοπολογία). Τότε το είναι μεμονωμένο του και συνεπώς δεν είναι σ.σ. του. Επίσης παρατηρούμε ότι κάθε σημείο του, R είναι σ.σ. του, αλλά και του,. Το παράδειγμα αυτό μας δείχνει ότι ένα σ.σ. ενδέχεται να ανήκει ή να μην ανήκει στο σύνολο. (γ) Έστω R( ή R με την ευκλείδεια μετρική ) ανοικτό τότε ' ( γιατί;). Ακόμη παρατηρούμε ότι ένα άπειρο υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου ενδέχεται να μην έχει σ.σ. για παράδειγμα οι ακέραιοι αριθμοί Z R δεν έχουν σ.σ. Ακολουθεί η έννοια του εσωτερικού ενός συνόλου σε ένα τοπολογικό χώρο, η οποία είναι η δυική έννοια της κλειστότητας. Ορισμός.4. Έστω ( X, ) τ.χ και σύνολο: X. Ορίζουμε ως εσωτερικό του το : και ανοικτό σύνολο Το εσωτερικό ενός συνόλου συμβολίζεται και με it ή it X ή και it Είναι σαφές, από τον ορισμό, ότι το εσωτερικό ενός συνόλου είναι ανοικτό σύνολο, ως ένωση ανοικτών συνόλων Ακόμη από τον ορισμό προκύπτει ότι το εσωτερικό.

8 είναι το μεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται στο. Τα σημεία του ονομάζονται εσωτερικά σημεία του. Παραδείγματα.5. ) Έστω X, είναι το ανοικτό διάστημα ) Έστω X R με τη συνήθη τοπολογία. Το εσωτερικό του,. R το ευκλείδειο επίπεδο ( δηλ. ο R με την ευκλείδεια μετρική ). Τότε το εσωτερικό του κλειστού δίσκου, είναι ο ανοικτός δίσκος,. 3) Ένα άπειρο σύνολο σε ένα τοπολογικό χώρο μπορεί να έχει κενό εσωτερικό. Πράγματι, έστω X R, με την συνήθη τοπολογία, τότε o Q, όπου Q το σύνολο των ρητών. Ανάλογα τα σύνολα χώρο R. ( Δώστε τις λεπτομέρειες.) Q και Z έχουν κενό εσωτερικό στον ευκλείδειο Ο δυϊσμός μεταξύ κλειστότητας και εσωτερικού περιγράφεται στην ακόλουθη. Πρόταση.6. Έστω X τοπολογικός χώρος και X τότε ισχύουν : (α) X \ X \ και (β) X \ X \. Απόδειξη (α) Έστω X \ υπάρχει ανοικτό σύνολο U X με U : U ( πρόταση.9) υπάρχει ανοικτό σύνολο U X με U : U c X \ X \ Έτσι αποδείχτηκε η ισότητα (α). (β) Εφαρμόζουμε την ισότητα (α) στο X \ και παίρνουμε αμέσως την ισότητα (β) Πρόταση. 7. Έστω X τοπολογικός χώρος η πράξη του εσωτερικού, P X P X Ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: (α) (β), ( όπου ), (γ), (δ) Το είναι ανοικτό.

9 Απόδειξη Οι (α) και (β) είναι προφανείς συνέπειες του ορισμού.4 (γ) Παρατηρούμε ότι αν C D X τότε αυτή ότι: C D. Έπεται από την παρατήρηση και και (), συνεπώς Επίσης έχουμε και. Το είναι ανοικτό (ως τομή δύο ανοικτών ) επομένως έπεται η ισότητα (γ). (δ) Αν το είναι ανοικτό σύνολο τότε ( προφανώς ) Αν τότε ανοικτό αφού το (). Από τις () και () είναι ανοικτό σύνολο. Παρατήρηση.8. Η ισότητα δεν ισχύει γενικά για την ένωση. Πράγματι έστω X R( με την συνήθη τοπολογία ) και Q( = οι ρητοί ), R \ Q (= οι άρρητοι ). Τότε R και R\ Q. Δηλαδή Γενικά ισχύει ότι R R, όμως, άρα. ( γιατί;) Q Ορισμός.9. Έστω X τ.χ. και X. Το σύνορο X ) ορίζεται από την ισότητα \ d X Επειδή όπως αποδείξαμε ισχύει X \ X \ d ( ή d C X d ή ή \, έπεται ότι Τα σημεία του d ονομάζονται συνοριακά σημεία του. Παρατηρούμε ότι το X είναι συνοριακό σημείο του U και U X \ για κάθε ανοικτό σύνολο με U. Έπεται ιδιαίτερα ότι το και C το συμπλήρωμά του X \ έχουν το ίδιο σύνορο. Πρόταση.. Έστω X τ.χ. και X.Τότε ισχύουν τα ακόλουθα (α) d d με d.

10 3 (β) X X \ d με τα σύνολα, d και \ ξένα. X, ανά δύο Απόδειξη (α) Παρατηρούμε ότι \ \ d και βέβαια d. Από την ισότητα που μόλις αποδείξαμε και το ότι έπεται αμέσως ότι d (β) Είναι προφανές ότι τα τα. και \ X είναι ξένα σύνολα, από τον ισχυρισμό (α) και d είναι επίσης ξένα. Επειδή τα σύνολα και X \ έχουν το ίδιο σύνορο έπεται ότι τα X \ και d είναι ξένα. Έτσι τα σύνολα, X \ είναι ξένα ανά δύο. Ακολούθως χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα και την ισότητα έχουμε: \ \ d X X X. d και X \ X \ Παρατηρήσεις και παραδείγματα.. Στα παραδείγματα που ακολουθούν αναφερόμαστε στον ευκλείδειο χώρο, δηλαδή στον R με την ευκλείδεια μετρική. ( d, y y k yk, όπου,...,,,..., k )Το σύνορο του διαστήματος I, \, \,, d I I I. y y y R ) R είναι το σύνολο )Tο σύνορο του άνω ημιεπιπέδου πραγματικών αριθμών, : R. y R y, : είναι η ευθεία των 3)Αν, είναι ένας ανοικτός δίσκος στο, : S y R y ( Γεωμετρικά προφανές.) R, τότε το σύνορό του είναι ο κύκλος

11 4 4)Το προηγούμενο παράδειγμα γενικεύεται σε κάθε Ευκλείδειο χώρο. Αν, είναι μία ανοικτή σφαίρα στον, : R τότε το σύνορό της είναι το σύνολο S y R y. ( αποδεικνύουμε πρώτα ότι η κλειστότητα της ανοικτής σφαίρας, ισούται με την αντίστοιχη κλειστή σφαίρα,, οπότε το αποτέλεσμα έπεται από τον ορισμό του συνόρου. Η απόδειξη αυτή αφήνεται ως άσκηση). 5) Η έννοια του συνόρου γίνεται καλύτερα κατανοητή ( και ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα ) στην περίπτωση των ανοικτών υποσυνόλων ευκλείδειων χώρων. Έστω R ανοικτό. Ένα σημείο R είναι συνοριακό σημείο του, αν και μόνο αν το είναι σημείο συσσώρευσης του και ( γιατί;). Αυτό εκφράζει την διαισθητική ιδέα ότι ένα συνοριακό σημείο ενός συνόλου είναι ένα σημείο στην άκρη του συνόλου. Ορισμός.. Έστω X τ.χ. και X. (α) μία περιοχή ή γειτονιά του είναι ένα σύνολο U X ώστε U όλων των περιοχών του συμβολίζεται με περιοχών ή σύστημα γειτονιών του. (β) Μία βάση περιοχών (α) N και. Το σύνολο N και ονομάζεται το σύστημα των του είναι μια οικογένεια υποσυνόλων του X ώστε: (β) Για κάθε U N υπάρχει V ώστε V U. Είναι σαφές ότι το σύστημα N είναι βάση περιοχών του. Γενικά υπάρχουν πολλές διαφορετικές βάσεις περιοχών στο ίδιο σημείο X. Αν η έχει καθοριστεί τότε τα μέλη της ονομάζονται βασικές περιοχές ή βασικές γειτονιές του. Παραδείγματα.3. ) Έστω ( X, ) τ.χ. και Είναι τότε προφανές ότι η U X : U. X. Θέτουμε είναι μια βάση περιοχών στο.

12 5 ) Έστω ότι στο σύνολο X θεωρούμε τη διακριτή τοπολογία ( = P X ). Τότε η είναι μια βάση περιοχών στο και η N X : σύστημα περιοχών του 3) Έστω, X d μετρικός χώρος και X. Θέτουμε: είναι το, : και, : Είναι τότε φανερό ότι κάθε μία από τις οικογένειες και είναι βάση περιοχών του.. Μάλιστα η 4) Έστω p X είναι αριθμήσιμη. p a, b R ορίζουμε R το ευκλείδειο επίπεδο. Αν, : και p U : p όπου U το ανοικτό ορθογώνιο U a, a b, b. Είναι σαφές ότι και οι δύο αυτές οικογένειες είναι βάσεις περιοχών στο p a, b την δεύτερη αριθμήσιμη και ακόμη ότι. p p Σημειώνουμε ακόμη ότι μία τρίτη βάση περιοχών στο p a, b με. Είναι η οικογένεια όλων των τριγώνων του επιπέδου που στο εσωτερικό τους περιέχουν το σημείο p a, b ( γιατί; ). Ορισμός.4. Έστω S σύνολο (α) Μία μη κενή οικογένεια F υποσυνόλων του S λέγεται ότι είναι ένα φίλτρο στο S αν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες : ( F ) F F, 3 F F F F F F F Αν F G S και F F G F (β) Μια μη κενή οικογένεια υποσυνόλων του S λέγεται ότι είναι μια βάση φίλτρου αν ισχύουν :

13 6 Αν,. τότε υπάρχει C ώστε C Παρατηρήσεις.5 ) Αν είναι μια βάση φίλτρου στο S τότε η οικογένεια F όλων των υπερσυνόλων των μελών της είναι ένα φίλτρο ( που ονομάζεται το φίλτρο που παράγεται από την ). Προφανώς κάθε φίλτρο είναι βάση φίλτρου., τότε το σύνολο F C S : C ) Αν C S είναι ένα φίλτρο στο S, το οποίο ονομάζεται το κύριο φίλτρο το παραγόμενο από το C. Ένα φίλτρο F λέγεται ελεύθερο ( free) αν F : F F =. Το φίλτρο του Frechet πάνω σε ένα άπειρο σύνολο S είναι η οικογένεια όλων των συμπεπερασμένων υποσυνόλων του S ( πρβλ. παραδ.. (5) ). Παρατηρούμε ότι το φίλτρο του Frechet είναι ελεύθερο ( και συνεπώς όχι κύριο) και περιέχεται σε κάθε ελεύθερο φίλτρο επί του S. ( γιατί;). 3) Έστω ( X, ) τ.χ. και X περιοχών. Είναι τότε απλό να ελέγξουμε ότι το σύστημα των N του είναι ένα φίλτρο και ότι κάθε βάση περιοχών βάση φίλτρου ( συμπληρώστε τις λεπτομέρειες ). του είναι μια Ορισμός.6.Έστω X σύνολο και, τοπολογίες επί του X. Αν ισχύει ότι, τότε θα λέμε ότι η τοπολογία είναι λεπτότερη ( η μεγαλύτερη) της και ότι η είναι τραχύτερη ( ή μικρότερη ) της. Πρόταση.7.( Κριτήριο του Hausdorff ). Έστω X σύνολο και, τοπολογίες επί του X. Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι. (α) Η είναι λεπτότερη της ( δηλαδή ).

14 7 (β) Για κάθε X και για κάθε περιοχή U του στην τοπολογία υπάρχει V περιοχή του στην ώστε V U. Απόδειξη (α) (β) Έστω U περιοχή του στην τοπολογία τότε υπάρχει V τέτοια ώστε V U ( π.χ. V = it U ). Επομένως V και τότε το V είναι ( ανοικτή ) περιοχή του στην τοπολογία. (β) (α) Έστω U, θα αποδείξουμε ότιu. Έστω U, από την υπόθεσή μας υπάρχει περιοχή V του στην ώστε V U. Έπεται ότι it V V U. Αυτό σημαίνει ότι το U μπορεί να εκφρασθεί ως ένωση - ανοικτών συνόλων και συνεπώς είναι μέλος της. Παρατήρηση.8. Στην περίπτωση που έχουμε δύο μετρικές d, d στο σύνολο X και τις αντίστοιχες μετρικές τοπολογίες d και d το κριτήριο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής d για κάθε X d,,, όπου, η ανοικτή σφαίρα ως προς d. για κάθε υπάρχει τέτοιο ώστε είναι η ανοικτή σφαίρα ως προς d και, Ασκήσεις )Έστω X και =η συμπεπερασμένη τοπολογία στο X Αποδείξτε ότι (α) Αν d τυχούσα μετρική στο X τότε. (β) Αν X πεπερασμένο τότε P X = η διακριτή τοπολογία (γ) Αν X άπειρο τότε ο ( X, ) δεν είναι μετρικοποιήσιμος. d

15 8 ) Αποδείξτε ότι το καθένα από τα ακόλουθα υποσύνολα του P N είναι μια τοπολογία στο N. (α) αποτελείται από το το N και κάθε αρχικό διάστημα (iitial segmet topology). I,,...,, (β) αποτελείται από το το N και κάθε τελικό διάστημα ( fial segmet topology ) T,,...,, 3) Βρείτε όλες τις πιθανές τοπολογίες πάνω σε ένα σύνολο X με X ή X 3. [Υπόδειξη : Υπάρχουν 4 τοπολογίες στο X αν X και 9 τοπολογίες αν X 3.] 4) Έστω X άπειρο σύνολο και μια τοπολογία στο X ώστε το μόνο άπειρο ανοικτό υποσύνολο του X είναι ο ίδιος ο X. Είναι τότε η η τετριμμένη τοπολογία στο X ; 5) Έστω X άπειρο σύνολο και τοπολογία στο X ώστε κάθε άπειρο υποσύνολο του X είναι μέλος της. Αποδείξτε ότι είναι η διακριτή τοπολογία στο X. 6) Έστω X, διανυσματικός χώρος με νόρμα, X και. Αποδείξτε ότι (α),, (β) it,,,,, και (γ) d, d, S,. ( Όπου είναι η ανοικτή και κλειστή σφαίρα κέντρου ακτίνας και, : S y X y.) 7) Βρείτε τα it, και d για τα ακόλουθα υποσύνολα του Ευκλείδειου επιπέδου: (α), y R : y, (β) r cos, r si : r, (γ) :, όπου R, R,. (δ), y R, είτε ο, είτε ο y είναι άρρητος.

16 9 8) Βρείτε τα σημεία συσσώρευσης του συνόλου αν: : N R. (α) (β) cos,si : N R y R y y R, :. (γ) Όπου το R και. R θεωρούνται με την συνήθη ( ευκλείδεια ) τοπολογία. 9) Έστω S άπειρο σύνολο. Αποδείξτε ότι: (α) Το φίλτρο του Frechet F (= των συμπεπερασμένων υποσυνόλων του S ) είναι πράγματι φίλτρο και μάλιστα ελεύθερο. (β) Κάθε ελεύθερο φίλτρο στο S περιέχει το φίλτρο του Frechet. ) Έστω X και Y σύνολα f : X Y συνάρτηση και βάση φίλτρου στο X τότε η οικογένεια f είναι μια βάση φίλτρου στο Y. ( Έπεται ιδιαίτερα ότι αν F φίλτρο στο X τότε f F είναι βάση φίλτρου στο Y όπου f F = f E : E F.) ) Αν N, λέμε ότι το έχει πυκνότητα αν το όριο, lim,,..., υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, ( Όπου με X συμβολίζουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου X.) αποδείξτε ότι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του N με πυκνότητα ίση με είναι ένα ( ελεύθερο) φίλτρο στο N. ) Έστω S σύνολο και U ένα φίλτρο στο S. Το U λέγεται ότι είναι ένα υπερφίλτρο στο S, αν δεν υπάρχει φίλτρο στο S που να περιέχει γνήσια το U ( δηλαδή F φίλτρο και U F U F ). Αποδείξτε ότι (α) Αν S τότε το κύριο φίλτρο F S : είναι ένα υπερφίλτρο. (β) Αν S πεπερασμένο τότε κάθε υπερφίλτρο στο S είναι της μορφής κάποιο S. (γ) Κάθε φίλτρο F στο S περιέχεται σε ένα υπερφίλτρο. F, για

17 [ Υπόδειξη Έστω F η κλάση όλων των φίλτρων του S που περιέχει το F. Τότε F είναι μερικά διατεταγμένο με την σχέση F F F F. Εφαρμόστε το Λήμμα του Zor στο F.], (δ) Έστω F ένα φίλτρο στο S. Τότε το F είναι ένα υπερφίλτρο για κάθε S είτε F ή S \ F. (ε) Αν F είναι ένα ελεύθερο φίλτρο στο ( άπειρο ) σύνολο S και F είναι φίλτρο ώστε F F τότε και το F είναι ελεύθερο. Έπεται ιδιαίτερα ( χρησιμοποιώντας τον ισχυρισμό (γ) ) ότι ελεύθερα υπερφίλτρα υπάρχουν στο S. 3 Χρησιμοποιώντας επαγωγή αποδείξτε ότι, αν το πεπερασμένο σύνολο X έχει στοιχεία, τότε υπάρχουν τουλάχιστον! διαφορετικές τοπολογίες επί του X. [Υπόδειξη: Έστω X και,...,, στο X, θεωρούμε τυχόν i Για κάθε U όλα τα με i,..., U i μαζί με τα σύνολα Y. Αν είναι μια τοπολογία και ορίζουμε μια τοπολογία i στο Y ως ακολούθως: U, θέτουμε Ui U \ i. H i αποτελείται από Y \ i και Y.]

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον

1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 6Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΚΛΕΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΕΙΣΤΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΑΚΑ ΣΥΝΟΛΑ, ΧΩΡΟΙ HAUSDORFF ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Κλειστα συνολα Εχοντας

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc

Shmei seic Genik c TopologÐac. Miqa l GerapetrÐthc Shmei seic Genik c TopologÐac Miqa l GerapetrÐthc Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 2013 ii Perieqìmena Εισαγωγή 1 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα, βάσεις και υποβάσεις..................

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

f x 0 για κάθε x και f 1

f x 0 για κάθε x και f 1 06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΗΜΜΑ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και x, y X με x y. Τότε υπάρχει μια περιοχή του x και μια περιοχή του y (και, μάλιστα, ίδιας ακτίνας) οι οποίες είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον. 67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3..., ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΟΓΔΟΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και A X. Ονομάζουμε εσωτερικό του A το σύνολο Ονομάζουμε σύνορο του A το σύνολο A = {x x εσωτερικό του A}. A = {x

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω ( X, ) και (, ) X Y {( x, ) : x X και Y} Y χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

j=1 x n (i) x s (i) < ε.

j=1 x n (i) x s (i) < ε. Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Πραγματική Ανάλυση Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Το μέτρο Lebesgue.. Μήκη διαστημάτων..................................2

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 5Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΕΠΑΓΟΜΕΝΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Τοπολογια γινομενο και προβολες Εστω X, Y τοπολογικοί

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 0 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω E διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A E. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 < ε}

x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 < ε} 1 Ανοικτή μπάλα στον R n Ορισμός: Εστω x 0 R n και ε > 0. Ανοικτή μπάλα του R n με κέντρο x 0 και ακτίνα ε καλείται το σύνολο: B( x 0, ε) = { x R n : x x 0 < ε} Κλειστή μπάλα στον R n Ορισμός: Εστω x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

B = {x A : f(x) = 1}.

B = {x A : f(x) = 1}. Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 20 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

x < A y f(x) < B f(y).

x < A y f(x) < B f(y). Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A} ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ, 11Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Μετά τη συνεκτικότητα, όπου είδαμε κάπως αναλυτικά την ιδιότητα εκείνη που επιτρέπει σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα